Walter Ramos Melo
Matemáticas para economistas 2
FUNCIONES HOMOGÉNEAS - CÓNCAVAS Y CONVEXAS Función homogénea Una función
se dice que es homogénea de grado
si se verifica que: ,
Teorema de Euler es homogénea de grado
Ejercicios 01. Si la función
es homogénea de grado 1, encontrar los valores de
,
y . (2 puntos)
Solución
el factor
se debe de factorizar en el numerador y denominador, entonces ÷
÷
÷
v
entonces
1
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como es homogénea de grado 1 entonces
ˆ
02. Demuestre lo siguiente Si
es homogénea de grado cero, siendo
diferenciable y con derivadas parciales continuas en todo
los puntos de su dominio, entonces ,
Demostración es homogénea, entonces
Aplicando el teorema de Euler , donde
es el grado de homogeneidad, por dato
2
, entonces
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sea
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, entonces
ˆ
3
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Concavidad y convexidad de funciones de dos variables Dada una función
2
:ú ÷ú
Matriz Hessiana
Sea
;
a) Si
y
÷
es estrictamente convexa
b) Si
y
÷
es convexa
c) Si
y
÷
es estrictamente cóncava
d) Si
y
÷
es cóncava
e) Si
y
÷ No se puede determinar
Nota Para determinar que sea cóncava o convexa
no puede ser negativa, si lo fuese no se podría determinar.
Concavidad y convexidad de funciones de tres variables 3
Dada una función f : ú ÷ ú
Matriz Hessiana
Sea
;
;
a) Si
;
;
÷
es definida positiva, es estrictamente convexa
b) Si
;
;
÷
es definida negativa, es estrictamente cóncava
c) Si es punto silla no se puede clasificar
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Teorema 1. Cuando la matriz hessiana es definida positiva, entonces la función
es estrictamente convexa
2. Cuando la matriz hessiana es semidefinida positiva, entonces la función 3. Cuando la matriz hessiana es definida negativa, entonces la función
es convexa
es estrictamente cóncava
4. Cuando la matriz hessiana es semidefinida negativa, entonces la función
es cóncava
Ejercicios 01. Encontrar el dominio más grande en el cual
es cóncava
Solución i.
Análisis de la Hessiana ÷
÷
entonces
ii. Para que sea semidefinida negativa,
v
entonces
entonces
ˆ
5
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02. Analizar la concavidad o convexidad de la función
según los valores del parámetro
.
03. Para la función
encontrar el vector gradiente y la matriz hessiana.
Demostrar que la función es cóncava y encontrar el máximo global de .
04. Analizar la concavidad y convexidad de la función
05. Analizar la concavidad y convexidad de la función
06. Analizar la concavidad y convexidad de la función ;
07. Analizar la concavidad y convexidad de la función
08. Analizar la concavidad y convexidad de la función ;
09. Analizar la concavidad y convexidad de la función
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Conjuntos convexos Un conjunto
de puntos del plano se llama convexo si se puede unir cada par de puntos de
que esté totalmente contenido en
por un segmento
.
Ejemplos
Sean
e
dos puntos cualesquiera de
Un conjunto
en
. Se define el segmento de extremos
e
como el conjunto
se llama convexo si
Ejercicios 01. Probar que si
y
son dos conjuntos convexos en
, entonces
es convexo
Demostración es convexo, entonces
... (1)
es convexo, entonces
... (2)
además como
, entonces
como
, entonces
De (1) : De (2) : entonces
ˆ
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Teoría de concavidad y convexidad Se dice que
es cóncava si para todo par de puntos
y
si ,
Se dice que
es convexa si para todo par de puntos
y
si ,
Ejercicios 01. Si
es una función cóncava en
Si
y
, analizar la verdad o falsedad de:
, entonces
Solución Los puntos son
v
, como
es cóncava, entonces
, entonces
entonces
para
ˆ
02. Si
es una función cóncava en
La función
y
es una función convexa en es cóncava en 8
, analizar la verdad o falsedad de:
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Solución Si
es cóncava, entonces
Si
es convexa, entonces
es cóncava es cóncava
como la suma de dos funciones cóncavas es otra función cóncava entonces
es cóncava
ˆ
03. Sea
un subconjunto convexo de
Probar que si
,
una función.
es cóncava si y solamente si
es convexo
Demostración i)
Sea
un subconjunto convexo, si
•
un subconjunto convexo, si
•
es cóncava,
•
es cóncava, entonces
es convexo
, entonces
,
, entonces
,
... (1)
, entonces entonces
, entonces
,
... (2)
, entonces
,
... (3)
efectuando (2) + (3)
de (3)
entonces entonces
ii) Sea •
un subconjunto convexo, si un subconjunto convexo, si
•
es convexo, entonces , entonces
es convexo, entonces entonces entonces
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, ,
es cóncava
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01. a) La funciรณn de producciรณn de un bienes dada por
representar las curvas de nivel (isocuantas) para
y (1 punto)
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