06 magnitudes proporcionales

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MAGNITUDES PROPORCIONALES 01. Si una magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de otra, y esta es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de una tercera, ¿qué relación de proporcionalidad tiene la primera y tercera magnitud?

Solución “Si una magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de otra”, entonces

... (1)

“y esta es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de una tercera”, entonces elevando al cuadrado se obtiene:

... (2)

Efectuando (1) ÷ (2) para eliminar B , entonces

ˆ

02. Se sabe que A es directamente proporcional a B y C e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de D. Si B aumenta en su tercera parte, C disminuye en sus 2/5 y D disminuye en sus 9/25, ¿qué sucede con A?

Solución “A es directamente proporcional a B y C e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de D”, entonces

Datos:

Como:

÷

, entonces

÷

ˆ

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03. Se sabe que A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de C. Cuando C aumenta en sus 7/9 y A aumenta en su quinta parte, B aumenta en 12 unidades. ¿Cuál es el valor original de B?

Solución “A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de C”, entonces

Datos:

Como:

entonces

ˆ

04.

es igual a la suma de dos cantidades, una de las cuales es directamente proporcional a inversamente proporcional a entonces

y cuando

. Calcular el valor de entonces

cuando

y la otra es

, si se sabe que cuando

.

Solución “Y es igual a la suma de dos cantidades”, entonces

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... (1)

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“una de las cuales es directamente proporcional a entonces

"

... (2)

“y la otra es inversamente proporcional a entonces

”

... (3)

(2) y (3) en (1):

... (4)

Datos: •

; reemplazamos en (4)

... (5)

•

; reemplazamos en (4)

... (6)

resolviendo el sistema (5) y (6):

;

;

reemplazando en (4):

nos piden

cuando

, entonces

ˆ

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05. Las utilidades “ ” obtenidas por las ventas de un artículo son directamente proporcionales al número “ ” de unidades demandadas y al precio de venta unitario “ ” del artículo. Se sabe que cuando el precio de venta unitario es “ ” dólares se demandan “ ” unidades de acuerdo con la ecuación

y que

cuando el precio de venta unitario es $ 100, se obtienen $2 500 de utilidad. Halle la constante de proporcionalidad y determine el porcentaje en el cual cambia la utilidad cuando la demanda se incrementa de 120 a 150 unidades.

Solución “Las utilidades “U” obtenidas por las ventas de un artículo son directamente proporcionales al número “q” de unidades demandadas y al precio de venta unitario “p” del artículo”, entonces ... (1)

Datos • •

... (2) Si:

, entonces

reemplazando en (2): remplazando en (1)

ˆ

•

Si

, reemplazando en (2)

, reemplazando en (1):

÷

•

Si

, reemplazando en (2)

, reemplazando en (1):

÷

entonces el porcentaje que cambia la utilidad es:

ˆ

06. Se sabe que Cuando

es directamente proporcional a ,

Calcular E cuando

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,

, entonces ,

,

y

y

e inversamente proporcional a

y

.

. .

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07.

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es la suma de dos cantidades, de modo tal que una de ellas es directamente proporcional a inversamente proporcional a Hallar

cuando

. Entonces cuando

,

y cuando

,

y la otra

.

.

08. El sueldo de una persona es directamente proporcional a su eficiencia y al tiempo de servicio e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su edad. Una persona que ingresó a trabajar a los 17 años, a los 25 años de edad obtuvo una eficiencia de 60. A los 49 años de edad, ¿qué eficiencia debe tener para triplicar el sueldo que ganaba a los 25 años?

09. El precio de un diamante es directamente proporcional al cubo de su peso. Si un diamante de este tipo que vale $100 000 se parte en dos pedazos, uno los 2/3 del otro, ¿qué pérdida de su valor sufrirá dicha piedra?

10.

es igual a la suma de dos cantidades, una de las cuales es directamente proporcional a inversamente proporcional a o

. Determine el valor de

cuando

si se conoce que

y la otra,

vale 19 cuando

.

11. El cuadrado de A es directamente proporcional a B y B es inversamente proporcional al cuadrado de C. Si C aumenta en sus 2/5, ¿qué sucederá con el valor correspondiente de A?.

12. E varía directamente proporcional con el cubo de A e inversamente proporcional con C y con la raíz cuadrada de B ¿En qué fracción aumentaría E si A aumenta a sus 4/3. B disminuye en 1/9 y C se divide entre

?

13. Para deducir la fórmula que nos permita calcular el valor del interés en una operación financiera se emplea criterios de proporcionalidad, sabiendo que el interés (I) es directamente proporcional al capital (C), a la tasa de interés (i) y al tiempo (t) que dura el préstamo. Deducir la fórmula del cálculo de interés si un capital de $ 100 genera i de interés en la unidad del tiempo, un capital (C) producirá un interés (I) en un tiempo t.

14. Se sabe que . Cuando

15.

es directamente proporcional a vale 4,

es proporcional a

y

si

vale 5. Hallar el valor de

y cuando

es inversamente proporcional a es 30.

es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de

cuarta parte, ¿en cuánto varía

, sí

. Si

aumenta en su

?

16. El costo de colocar losetas en un piso varía con el área del piso, con la raíz cuadrada del número de losetas y con el tiempo empleado. Por colocar 400 losetas cuadradas de 30 cm. de lado en 12 horas se cobró S/.

80,00. Por colocar 625 losetas rectangulares, de cuádruple largo que ancho, en 15 horas se cobró S/.125,00.

Determinar el perímetro de estas últimas losetas.

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17. El sueldo de un empleado es directamente proporcional a su eficiencia y a sus años de servicio e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su edad. Un empleado de 25 años con 4 años de servicio tiene 80 puntos de eficiencia. 11 años más tarde tiene 60 puntos de eficiencia y su sueldo es $ 2 064 más. ¿Cuál era su sueldo a los 25 años?

18. El consumo de carbón de una locomotora varía proporcionalmente con el cuadrado de su velocidad. Cuando la velocidad es de 24 km/h el consumo de carbón es de 2 toneladas por hora. Si el precio del carbón es de $ 64 la tonelada y los demás gastos de la máquina son de $ 45 por hora, hallar el costo de un viaje a una distancia de 200 km y realizado a una velocidad de 36 km/h.

19. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante de 36 000 soles se rompe en tres partes cuyos pesos son proporcionales a 2, 3 y 5. Hallar la pérdida al romperse el diamante.

20. El precio de un televisor es directamente proporcional a su tamaño e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la energía que consume. El precio de un televisor es igual a los 5/3 de otro y el tamaño del primero es igual a los 10/9 del tamaño del segundo. Si la suma de los consumos de energía es 390 watts, ¿cuánta energía consume cada televisor?

21. La duración de un viaje por tren es directamente proporcional a la distancia que recorre y al número de pasajeros e inversamente proporcional a la velocidad del tren. A su vez la velocidad del tren es inversamente proporcional al número de vagones del tren. Si un tren de 20 vagones recorre 100 kilómetros en 2 horas, ¿Cuántos vagones tendrá otro, que recorre 100 kilómetros en la mitad del tiempo empleado por el primero, llevando el doble de pasajeros que el primero?

22. En un proceso de producción se descubre que dicha producción es directamente proporcional al número de máquinas e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas.

Inicialmente había 15 máquinas con 9 años de uso, si se consiguen 8 máquinas más con 4 años de antigüedad cada una. Calcule la relación de lo producido actualmente con lo producido anteriormente.

23. A es inversamente proporcional a B, cuando A = a, B = b. Si A aumenta en una unidad, B disminuye en una unidad. Además se cumple que: . Hallar

24. El rendimiento de un atleta varia en forma directamente proporcional al número de días de preparación aumentado en 10 e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su edad. Si el atleta de 18 años que posee 80 días de preparación tiene un rendimiento que es el triple del rendimiento de otro atleta que se ha preparado 30 días, ¿qué edad tiene este último?

25. En la fabricación de helados los insumos relevantes son: leche, azúcar y saborizantes. El precio de estos helados es directamente proporcional al precio de la leche y del azúcar e inversamente proporcional con la SAN MIGUEL G 719-8151 Av. Elmer Faucett 255

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cantidad demandada de los saborizantes en el mercado. ¿Qué variación experimentará el precio de un helado de vainilla, cuando el precio de la leche disminuya en su octava parte, el precio del azúcar aumente en sus 3/8 y la cantidad demandada de la esencia de vainilla disminuya a sus 7/8.

26. La duración de un viaje por tren es directamente proporcional a la distancia que recorre y al número de pasajeros e inversamente proporcional a la velocidad del tren. A su vez la velocidad del tren es inversamente proporcional al número de vagones del tren. Si un tren de 20 vagones recorre 100 kilómetros en 2 horas, ¿cuántos vagones tendrá otro, que recorre 100 kilómetros en la mitad del tiempo empleado por el primero, llevando el doble de pasajeros que el primero?

27. El costo de un ejemplar de una revista es proporcional al número de empleados que laboran y al cuadrado del número de páginas que tiene la revista e inversamente proporcional al cuadrado del número de patrocinadores y a la raíz cuadrad del tiraje mensual de dicha revista. Actualmente, la revista tiene 50 páginas, cuesta S/.6 cada ejemplar, tiene un tiraje de 10 000 revistas mensualmente, cuenta con 12 trabajadores y 20 patrocinadores importantes. Para el próximo mes se incrementará en 44% el tiraje, en 25% el número de trabajadores y en 20% el número de páginas. ¿Cuál será el nuevo costo de cada revista si el número de patrocinadores no variará?

28. Se sabe que el precio de un periódico es directamente proporcional al número de páginas que tiene y al tamaño de cada página e inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de periódicos producidos. Un periódico de 25 páginas tiene una producción de 250 000 ejemplares, un precio de S/. 2 y 2

un área por página de 600 cm . Un periódico de 25 páginas que tiene sus dimensiones de cada página en razón 3/2 tiene un precio de S/. 2,5. Calcular el área de cada página si el número de ejemplares producidos está entre 480 000 y 750 000 y además sus dimensiones en cm son cantidades enteras.

29. Se sabe que A es directamente proporcional a B y C e inversamente proporcional a D y E. Cuando A = 2B, D = 4 y C = 2, entonces E = 3. Calcular E cuando A = 72, D = 6, B = 2 y C = 3E.

30. El precio de un televisor varia en forma directamente proporcional al cuadrado de su tamaño medido en pulgadas e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la cantidad de energía que consume mensualmente. Si un televisor de 14 pulgadas cuesta $ 300, ¿cuánto costara un televisor de 21 pulgadas cuyo consumo de energía es la cuarta parte del consumo de energía del televisor de 14 pulgadas?

31. El costo de construir un edificio es directamente proporcional al área del terreno sobre el cual se construye y al número de pisos e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de su distancia al centro de la ciudad.

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Un edificio de 12 pisos construido sobre área de 400 m y situado a 81 km del centro de la ciudad tiene un costo de construcción de $2 000 000. ¿Cuántos pisos tiene un edificio que costó $ 4 500 000 si se sabe que su distancia al centro de la ciudad está comprendida entre 121 y 225 km, que está construido sobre un 2

terreno rectangular de 28×25 m y la distancia al centro de la ciudad medida en km está representada por un número entero?

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