Walter Ramos Melo
Matemáticas para economistas 2
OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD Sea
f:A÷ú N:A÷ú 2
funciones de dos variables, definidas en A conjunto abierto de ú , sea N = 0, se define la función de Lagrange como: L : úxA ÷ ú
Sea la matriz Hessiana
El Hessiano orleado es
1. Si
entonces
es un máximo relativo de f
2. Si
entonces
es un mínimo relativo de f
EJERCICIOS 01. Una empresa que produce un único bien tiene como función de producción . Supongamos que los costos unitarios de capital y trabajo son
y
, donde
y
respectivamente.
Encontrar la combinación de capital y trabajo que debe considerarse para maximizar la producción si se dispone de
unidades monetarias para adquirir los factores de producción.
Solución Como los costos unitarios de capital y trabajo son
y
monetarias, entonces entonces
ˆ 1
respectivamente y si se dispone de
unidades
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02. Dado el problema
siendo
un parámetro real.
a) Analizar si el problema tiene solución para todo b) ¿Cómo afecta el parámetro
.
en el valor óptimo del problema?
Solución a)
Cálculo de los puntos críticos
entonces
de la segunda y tercera ecuación
÷
Cálculo de la matriz Hessiana , de (1) ÷
2
... (1)
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El Hessiano orleado es
entonces
ˆ
b)
03. Analizar la concavidad o convexidad de la función
según los valores del parámetro
.
Solución Análisis de la Hessiana ÷
÷
Como
3
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entonces
ˆ
04. La función de utilidad de un consumidor es
, donde
bienes 1 y 2 consumidos en un periodo de tiempo dado. Sean respectivamente y
y
e
representan las cantidades de los
los precios unitarios de los bienes 1 y 2
la cantidad de dinero que el consumidor está dispuesto a agotar para su consumo.
a) Calcular la cantidad a consumir de cada uno de los bienes si, el objetivo es maximizar la utilidad. b) ¿Cuál es la variación que experimenta la utilidad máxima ante un cambio en la cantidad de dinero que se dispone?
Solución a) Como
e
representan las cantidades de los bienes 1 y 2 respectivamente con precios de
respectivamente y como está dispuesto a consumir la cantidad de entonces
Cálculo de los puntos críticos
entonces
4
de dinero, entonces
y
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de la segunda y tercera ecuación
entonces
reemplazando en la primera ecuación
ˆ
reemplazando en
ˆ
Verificando si es máximo
5
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El Hessiano orleado es
entonces
ˆ
05. Una empresa fabrica tres artículos A, B, C, en cantidades
,
y
respectivamente, y fija los precios de la
siguiente manera. Un artículo A vale
soles, un artículo B vale
, el precio del artículo C vale
soles.
Asimismo, la empresa ha estimado que su función de coste es
Actualmente el nivel de producción es de 59 unidades, pero la empresa considera que puede aumentarlo en una unidad. Encontrar los precios óptimos y el beneficio óptimo actual y analizar si a la empresa le conviene aumentar su producción. (4 puntos)
Solución Ingreso ( ) es igual al precio de venta por cantidad entonces
6
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La utilidad ( ) es igual al ingreso menos en costo total entonces
como el nivel de producción es 59 unidades, entonces
entonces
entonces Cálculo de los puntos críticos
÷
entonces
entonces
;
÷
;
, reemplazando en la primera ecuación
÷
entonces
÷
7
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÷
÷
Los precios óptimos serán: ÷
÷
÷
El beneficio máximo es
ˆ
Si desea aumentar en una unidad, entonces ÷
entonces
÷
÷
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÷
El beneficio máximo es
ˆ
ˆ No conviene aumentar una unidad porque la utilidad disminuiría
06. Resolver el siguiente programa
(3 puntos)
Solución
÷
entonces
de las dos últimas ecuaciones
÷
entonces ÷
de la primera ecuación
... (1) , reemplazando en (1)
÷
÷
entonces los puntos críticos son:
v
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Si
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÷
entonces
Si
÷
entonces
, el punto crítico es
, el punto crítico es
Cálculo de la hessiana orleado ÷
÷
÷
entonces
, entonces
es máximo relativo
, entonces
es mínimo relativo
07. Dado el programa
a) Encontrar las condiciones que deben cumplir los parámetros
y
para que el punto
sea un punto
crítico del programa. b) Analizar la naturaleza del punto
cuando
.
08. La función de utilidad de un consumidor es
, donde
y
representan las cantidades
de los bienes 1 y 2 consumidos en un periodo de tiempo dado. Sean 4 unidades monetarias el precio unitario del bien 1, 6 unidades monetarias el precio unitario del bien 2 y 130 unidades monetarias el presupuesto que dispone el consumidor, el cual se gasta en su totalidad. a) Encontrar la cantidad a consumir de cada bien si, el objetivo es maximizar la utilidad. 10
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b) ¿Cuál es la variación que experimenta la utilidad máxima ante un cambio en la cantidad de presupuesto disponible?
09. Una empresa produce y comercializa dos bienes
y
expresado por la función y
. El beneficio de la venta de dichos bienes está
, siendo
e
el número de unidades vendidas del bien
, respectivamente. Se sabe que se dispone de 240 unidades de dicha materia prima para producir ambos
factores; cada unidad del bien del bien
precisa 10 unidades de dicha materia prima para su fabricación y cada unidad
20 unidades. La materia prima ha de agotarse en su totalidad en el proceso de fabricación.
a) Escribir un programa con el que se pueda calcular el número de unidades del bien
y
que se han de
fabricar para que el beneficio sea máximo, suponiendo que se vende todo lo que se produce. b) Resolver el programa matemático planteado. c) ¿Qué precio máximo estaría dispuesta a pagar la empresa por cada unidad adicional de materia prima?. Justificar su respuesta.
10. Dado el programa
Suponga que
, donde
,
:
son funciones de clase
en
.
es una solución factible tal que ,
Analizar si
,
,
es un punto estacionario del programa (2 puntos)
11. Dada la función
dada por
a) Encontrar los valores de
y
para que el punto
b) Encontrar una relación entre los parámetros punto
, donde
sea un punto estacionario de
y
y
sea un mínimo local de
en
.
que proporcione una condición necesaria para que el
sobre la esfera
.
12. La función de producción de una empresa que produce un único bien es . Supongamos que los costos unitarios de capital y trabajo son a) Calcule las cantidades necesarias de capital y trabajo para producir
, donde y
y
respectivamente.
unidades de producto si se pretende
minimizar el coste. b) Cuando el coste es mínimo, calcular el coste marginal de la producción.
11
son parámetros reales.