1. Lógica de proposiciones

FUNDAMENTOS DE CÁLCULO 2017 - 2 Prof. José Luis Henostroza G. (H 0103)

UNIDAD 1 LÓGICA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA

ELEMENTOS DE LÓGICA PROPOSICIONAL Considere el siguiente texto: El número 39 es par o es impar. Ocurre que 39 no es par. Por lo tanto, 39 es impar Los estudiantes dijeron que el texto expresaba una proposición.

Haciendo un análisis más fino, se dieron cuenta de que estaba compuesto por proposiciones como 39 es par, 39 es impar, etc.

Precisamos que se trataba de una inferencia en la cual de dos premisas se extraía una conclusión. La lógica estudia cuándo la conclusión se deduce válidamente de las premisas

Enunciado Un enunciado es todo lo que decimos para informar, preguntar, dar órdenes, expresar deseos, emociones, etc

Proposición Es un enunciado en el que predomina la función informativa del lenguaje acerca de hechos, por lo cual puede calificarse de verdadero o de falso (pero no de ambas cosas a la vez. La proposición lógica: • Se expresa en un lenguaje natural.

• Es el significado de lo expresado (puede enunciarse de otra forma) • Se estudia mediante el lenguaje simbólico

Actividad: ¿Qué enunciados expresan proposiciones? a) Los años bisiestos tienen 8 784 horas.

Es proposición, verdadera.

b) ¿Dónde vives?

No es proposición. Es una pregunta.

c) Existe Premio Nóbel de Matemática.

Es proposición, falsa.

d) 2 es número primo.

Es proposición, verdadera.

e) x > 1 f) Prohibido fumar.

No es proposición. Su valor de verdad depende de x. Es un enunciado abierto No es proposición. Es una orden.

g) Hoy cayeron sobre Chosica 100 TM de rocas por los huaycos.

Es proposición, aunque su verdad o falsedad no se pueda determinar hasta comprobar los hechos.

h) Perú limita con Chile.

Es proposición, verdadera a partir de la guerra con Chile. El valor de verdad puede cambiar con el tiempo..

a) Yo estoy mintiendo.

No es proposición. Si es V, se deduce que es F y si es F, se deduce que es V. Nos lleva a una PARADOJA.

Proposiciones simples y proposiciones compuestas • Las proposiciones compuestas constan de proposiciones enlazadas mediante conectivos lógicos: Negación



Conjunción



Disyunción (inclusiva)



Condicional



Bicondicional



Disyunción (exclusiva)



Estos conectivos lógicos se expresan en el lenguaje natural, pero debemos tener cuidado que no toda conjunción gramatical expresa una conjunción lógica. Para ello debemos aclarar el sentido lógico de cada conectivo y lo haremos con sus tablas de verdad

• Las proposiciones simples son aquellas que no son compuestas.

Actividad:

¿Cuáles de estas proposiciones son simples y cuáles son compuestas?

a) 39 es impar. b) Perú está entre Ecuador y Chile. c) 24 36. d) Rosángela y Michelle se parecen. e) Rosángela y Michelle se odian.

COMPUESTA

Es compuesta si tomamos impar como la negación de par.

SIMPLE

Esta y no es conjunción lógica porque no enlaza proposiciones. La información es una sola.

COMPUESTA

Disyunción: 24 < 36  24 = 36

SIMPLE

Rosángela se parece a Michelle y Michelle se parece a Rosángela equivalen a una misma proposición.

COMPUESTA

Rosángela odia a Michelle y Michelle odia a Rosángela son dos proposiciones distintas. Lo que sienta una es independiente de lo que sienta la otra.

El sentido lógico de los conectivos: Tablas de verdad Negación p

 p

V

F

F

V

• Conectivo monádico, pues opera sobre una sola proposición.

• Se lee No p.

• Su sentido lógico es cambiar el valor de verdad de la proposición.

Conjunción p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

• Conectivo diádico, pues opera sobre dos proposiciones y genera cuatro posibles combinaciones de sus valores de verdad.

• Se lee p y q.

• Es VERDADERA cuando ambas proposiciones son VERDADERAS, y es falsa en los demás casos.

• Puede permutarse el orden: p  q es lo mismo que q  p

Disyunción (débil o inclusiva) p

q

p  q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

• Conectivo diádico, pues opera sobre dos proposiciones y genera cuatro posibles combinaciones de sus valores de verdad.

• Se lee p o q.

• Es FALSA cuando ambas proposiciones son FALSAS, y es verdadera en los demás casos.

• Puede permutarse el orden: p  q es lo mismo que q  p

Condicional p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

• Conectivo diádico, pues opera sobre dos proposiciones y genera cuatro posibles combinaciones de sus valores de verdad.

• Se lee Si p, entonces q.

• No puede permutarse el orden. La primera proposición es el antecedente y la segunda es el consecuente• Es FALSA cuando el antecedente es VERDADERO y el consecuente es FALSO.

Bicondicional p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

• Conectivo diádico, pues opera sobre dos proposiciones y genera cuatro posibles combinaciones de sus valores de verdad.

• Se lee p si y solo si q.

• Puede permutarse el orden: p  q es lo mismo que q  p • Es VERDADERA cuando ambas proposiciones tienen los mismos valores de verdad, y es falsa en los demás casos.

El condicional:

el conectivo más importante en lógica y en matemática.

• En los razonamientos o inferencias, las premisas se enlazan con la conclusión mediante el condicional.

• Los teoremas de la matemática son enunciados condicionales.

Ejemplo: La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180°.

Equivale a la expresión condicional: Si ABC es un triángulo, entonces la suma de los ángulos internos de ABC es 180°. p



q

Antecedente

Consecuente

Hipótesis

Tesis

V

V

V

V

F

F

En matemática siempre partiremos de que la hipótesis es verdadera para tratar de averiguar si la tesis es verdadera o es falsa.

El condicional: variantes.

Dado un condicional p  q • La proposición q  p se denomina recíproca de p  q.

• La proposición q   p se denomina contrarrecíproca o contrapuesta de p  q.

Actividad:

Elabore y compare las tablas de verdad del condicional, de su recíproca y de su contrarrecíproca.

El condicional: su recíproca y su contrarrecíproca.

Condicional

Recíproco

Cotrarrecíproco

p

q

p  q

p

q

q  p

p

q

q  p

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

• El condicional tiene la misma tabla de verdad que su contrarrecíproca (son equivalentes) • En cambio, el condicional no tiene la misma tabla de verdad que su recíproca. Si un condicional es verdadero, su recíproca no necesariamente es verdadera.

Tabla de verdad de proposiciones.

Ejemplo 1:

SoluciĂłn

Halle la tabla de verdad de (p â&#x2C6;§ q) â&#x2020;&#x2019; r

Las tres proposiciones simples p, q y r originan 23 = 8 lĂ­neas, casos o combinaciones de sus valores de verdad. p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r (đ?&#x2019;&#x2018; â&#x2C6;§ đ?&#x2019;&#x2019;) â&#x;ś V V V F V F V F V F F V V F V F F V V F V F F V

đ?&#x2019;&#x201C; V F V F V F V F

Tabla de verdad de proposiciones.

Ejemplo 2:

SoluciĂłn

Halle la tabla de verdad de p â&#x2020;&#x2019; (q â&#x2020;&#x2019; r) ď&#x201A;Ť (p â&#x2C6;§ q) â&#x2020;&#x2019; r

Las tres proposiciones simples p, q y r originan 23 = 8 lĂ­neas, casos o combinaciones de sus valores de verdad. p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

[đ?&#x2018;?

V V V V F F F F

â&#x;ś (đ?&#x2018;&#x17E; â&#x;ś đ?&#x2018;&#x;)] ď&#x201A;Ť [(đ?&#x2018;?

V V V F F V V V V V V V V V V V F V V V V V V V

â&#x2C6;§ đ?&#x2018;&#x17E;) â&#x;ś đ?&#x2018;&#x;] V V V V F F F V V F V F F V V F V V F V V F V F

Según su tabla de verdad una proposición es: • Una tautología (o ley lógica) si su tabla de verdad en la columna principal solo contiene valores de verdad verdaderos.

• Una contradicción si solo contiene valores de verdad falsos en su columna principal.

• Una contingencia si contiene al menos un valor de verdad falso y un valor de verdad verdadero en su columna principal.

Proposiciones equivalentes.

Decimos que dos proposiciones A y B son equivalentes, y lo denotamos como đ??´ â&#x2030;Ą đ??ľ cuando la proposiciĂłn đ??´ â&#x2020;&#x201D; đ??ľ es una tautologĂ­a.

Dicho de otro modo, dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.

Ejemplo Las proposiciones đ?&#x2018;? â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17E; y ~đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; ~đ?&#x2018;? son equivalentes, como se muestra al hacer la tabla de verdad.

p

q

(p ď&#x201A;Ž q)

ď&#x201A;Ť

(ď žq ď&#x201A;Ž ď žp)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

Esta equivalencia se expresa como (đ?&#x2018;? â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17E;) â&#x2030;Ą (~đ?&#x2018;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; ~đ?&#x2018;?) y recibe el nombre de transposiciĂłn.

Equivalencias notables.

Doble Negación.

Idempotencia

 ( p)  p a) (p  p)  p

Conmutativa

b) a)

(p  p)  p (p  q)  (q  p)

Asociativa

b) a)

(p  q)  (q  p) [p  (q  r)]  [(p  q)  r]

b)

[p  (q  r)]  [(p  q)  r]

a)

[p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)]

b)

[p  (q  r)]  [(p  q)  (p  r)]

Distributiva

Equivalencias notables.

De Morgan

a)

 (p  q)  ( p   q)

Absorción

b) a)

 (p  q)  ( p   q) [p  (p  q)]  p

b)

[p  (p  q)]  p

c)

[p  ( p  q)]  (p  q)

Exportación Definición del condicional

d) [p  ( p  q)]  (p  q) p → (q → r) ↔ (p q) → r a) (p → q) ↔ (~p  q)

Definición del bicondicional

b) a)

Transposición

b) (p ↔ q) ↔ p  q (~p q) (p → q) ↔ (~q → ~p)

~(p → q) ↔ (p q) (p ↔ q) ↔ (~p  q) (~q  p)

Ampliación de conocimientos Conectivos gramaticales y conectivos lógicos.

• Existen conectivos del lenguaje natural que expresan los conectivos lógicos.

• Es importante verificar que el conectivo gramatical del lenguaje natural tenga el sentido del conectivo lógico para que se traduzca como tal. Dicho sentido lógico está definido mediante las tablas de verdad.

• Esta lista exhaustiva (aunque tal vez no completa) se emplea para el análisis lógico del lenguaje natural. No o haremos en el curso, pero sea bienvenida la información.

Conectivos gramaticales y conectivos lรณgicos.

Conectivos gramaticales y conectivos lรณgicos.

Conectivos gramaticales y conectivos lรณgicos.