FUNDAMENTOS DE CÁLCULO 2017 - 2 Prof. José Luis Henostroza G. (H 0103)
UNIDAD 1: LÓGICA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA Cuantificadores. Conjeturas y demostraciones.
ELEMENTOS DE LĂ“GICA CUANTIFICACIONAL Considere la siguiente inferencia: Todas las funciones trigonomĂŠtricas son periĂłdicas. El coseno es una funciĂłn trigonomĂŠtrica. Por lo tanto, el coseno es una funciĂłn periĂłdica, • La inferencia, intuitivamente es vĂĄlida. La conclusiĂłn se sigue de las premisas. • La lĂłgica proposicional que hemos estudiado se limita a expresar đ?‘? ∧ q → đ?‘&#x;, que no expresa una inferencia vĂĄlida. • Es necesario analizar la estructura interna de cada proposiciĂłn. En la primera premisa hay un cuantificador Todos.
Variable Una variable es un símbolo (como por ejemplo x, y, t, etc) que denota un elemento arbitrario de un conjunto (como por ejemplo A, B, U, N, etc)
Predicado Un predicado es una propiedad que pueden cumplir los elementos de un conjunto. Si por ejemplo la propiedad es P, entonces denotamos x cumple la propiedad P mediante Px. La expresión Px es un enunciado abierto, que según los valores que tome la variable x expresará proposiciones verdaderas o proposiciones falsas.
Cuantificador universal Dado un conjunto y una propiedad P, la proposiciĂłn ∀đ?‘Ľ: đ?‘ƒđ?‘Ľ afirma que todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad P.
Cuantificador existencial Dado un conjunto y una propiedad P, la proposiciĂłn ∃đ?‘Ľ: đ?‘ƒđ?‘Ľ afirma que al menos un elemento del conjunto cumple la propiedad P.
Ejemplo:
AnĂĄlisis de la verdad o falsedad de proposiciones con cuantificadores
Dado el conjunto đ??´ = {−4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3}, analice la verdad o falsedad de las siguiente proposiciones: Es FALSA.
a) b)
∀đ?‘Ľ ∈ đ??´: đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘Žđ?‘&#x; ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´: đ?‘Ľ ≤ 4
Por ejemplo x = 1 no cumple la propiedad. Decimos que x=1 es un contraejemplo de la proposiciĂłn universal. Es VERDADERA. Se verifica que cada elemento de A cumpla la propiedad. Es VERDADERA
c)
∃đ?‘Ľ ∈ đ??´: đ?‘Ľ 2 > 9
Por ejemplo x = -4 cumple la propiedad y basta con este ejemplo por ser una proposiciĂłn existencial. Es FALSA
d)
∃đ?‘Ľ ∈ đ??´: đ?‘Ľ = 2
Verificamos con todos los elementos y ninguno cumple la propiedad.
Actividad: Dado un conjunto de creyentes (C) y un conjunto de dioses (D), Âżes lo mismo? p: Para todo creyente, existe al menos un dios. q: Existe al menos un dios para todo creyente.
Actividad:
Para entenderlo mejor, las expresamos simbĂłlicamente: p: ∀đ?‘Ľ ∈ đ??ś , ∃đ?‘Ś ∈ đ??ˇ q: ∃đ?‘Ś ∈ đ??ˇ , ∀đ?‘Ľ ∈ đ??ś
E interpretamos el significado de cada una:
p: ∀đ?‘Ľ ∈ đ??ś , ∃đ?‘Ś ∈ đ??ˇ
q: ∃đ?‘Ś ∈ đ??ˇ , ∀đ?‘Ľ ∈ đ??ś
Creyentes
Dioses
Dioses
Creyentes
đ?‘Ľ1
đ?‘Ś1
đ?‘Ś1
đ?‘Ľ1
đ?‘Ľ2
đ?‘Ś2
đ?‘Ľ2
đ?‘Ľ3
đ?‘Ś3
đ?‘Ľ3
Debe interpretarse que para cada creyente hay al menos un dios.
Debe interpretarse que hay al menos un dios de todos los creyentes
En conclusiĂłn, el orden de los cuantificadores sĂ es importante.
NegaciĂłn de proposiciones con cuantificadores. Se usan las siguientes fĂłrmulas:
~∀đ?‘Ľ: đ?‘ƒđ?‘Ľ ≥ ∃đ?‘Ľ: ~đ?‘ƒđ?‘Ľ
~∃đ?‘Ľ: đ?‘ƒđ?‘Ľ ≥ ∀đ?‘Ľ: ~đ?‘ƒđ?‘Ľ đ?‘?: ∀đ?‘Ľ, ∃đ?‘Ś:
đ?‘ƒđ?‘Ľ âˆ§âˆź đ?‘„đ?‘Ľ → đ?‘…đ?‘Ľ, halle ~đ?‘?
Ejemplo:
Dada
SoluciĂłn:
Recordemos tambiĂŠn las leyes lĂłgicas proposicionales de la clase anterior. ~đ?‘? ≥ ~ ∀đ?‘Ľ, ∃đ?‘Ś: đ?‘ƒđ?‘Ľ âˆ§âˆź đ?‘„đ?‘Ľ → đ?‘…đ?‘Ľ ≥ ∃đ?‘Ľ, ∀đ?‘Ś: ~ đ?‘ƒđ?‘Ľ âˆ§âˆź đ?‘„đ?‘Ľ → đ?‘…đ?‘Ľ ≥ ∃đ?‘Ľ, ∀đ?‘Ś: đ?‘ƒđ?‘Ľ âˆ§âˆź đ?‘„đ?‘Ľ âˆ§âˆź đ?‘…đ?‘Ľ
En conclusiĂłn, ~đ?’‘: ∃đ?’™, ∀đ?’š: đ?‘ˇđ?’™ âˆ§âˆź đ?‘¸đ?’™ âˆ§âˆź đ?‘šđ?’™
PROPOSICIONES MATEMÁTICAS • En las dos primeras clases hemos analizado la verdad o falsedad de proposiciones acerca de conocimientos matemáticos adquiridos en educación básica, intentando justificar nuestras respuestas en base a la lógica. • Vimos cómo la verificación de casos particulares sirve para establecer una conjetura acerca de una proposición matemática, pero ello no es suficiente para demostrar su verdad. • Principales conclusiones a partir del análisis y justificación de la verdad de proposiciones matemáticas:
ANÁLISIS DE PROPOSICIONES MATEMÁTICAS 1. Si una proposición universal se conjetura como verdadera, su demostración se basa en propiedades generales y nunca en la comprobación de casos particulares (a menos que verifiquemos la proposición con cada uno de los elementos) 2. Si hay la conjetura de que una proposición universal es falsa, se puede verificar la falsedad mostrando un ejemplo en que no se cumpla lo afirmado (contraejemplo). 3. Toda proposición condicional se analiza partiendo de la verdad de la hipótesis o antecedente, para analizar si se da la verdad o falsedad del consecuente. Nunca en matemática se parte de antecedente falso.
4. Para demostrar una proposición condicional nunca debemos partir o asumir aquello que se quiere demostrar. Eso es hacer trampa.
EJEMPLO: Dos proposiciones sobre polĂgonos. Primero establecemos quĂŠ es un polĂgono.
Tres o mĂĄs puntos distintos P1, P2, P3, ‌, Pn de un plano forman un polĂgono cuyos lados son los segmentos consecutivos đ?‘ƒ1 đ?‘ƒ2 , đ?‘ƒ2 đ?‘ƒ3 ,‌, đ?‘ƒđ?‘›âˆ’1 đ?‘ƒđ?‘› , đ?‘ƒđ?‘› đ?‘ƒ1 , si se cumplen dos condiciones: 1. Dos segmentos cualesquiera no se intersecan, o se intersecan solo en sus extremos. 2. Dos segmentos consecutivos no estĂĄn alineados y por cada punto pasan a lo mĂĄs dos segmentos
NO son polĂgonos.
SĂ? son polĂgonos.
EJEMPLO: Dos proposiciones sobre polígonos. Ahora diferenciamos entre polígono convexo y polígono no convexo. CONVEXO Toda recta que contiene uno de los lados del polígono deja los demás vértices en un mismo semiplano determinado por dicha recta
NO CONVEXO Alguna recta que contiene uno de los lados del polígono deja los vértices restantes en semiplanos distintos.
Una caracterĂstica fundamental del polĂgono convexo. En un polĂgono convexo no hay tres vĂŠrtices que sean colineales. Teorema: đ?‘›(đ?‘›âˆ’3) En un polĂgono convexo de n vĂŠrtices, el nĂşmero de diagonales es đ??ˇ = 2
DemostraciĂłn:
Basta recordar que el nĂşmero de rectas determinadas por n puntos donde no đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) hay tres que sean colineales es . De esta cantidad restamos las rectas 2 que contienen los lados, y obtendremos la cantidad de diagonales.
Teorema: En un polĂgono convexo de n vĂŠrtices, el nĂşmero de diagonales es đ?‘›(đ?‘› − 3) đ??ˇ= 2
DemostraciĂłn: Basta recordar que el nĂşmero de rectas determinadas por n puntos donde no đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) hay tres que sean colineales es . De esta cantidad restamos las rectas 2 que contienen los lados, y obtendremos la cantidad de diagonales. AsĂ, đ?‘›(đ?‘› − 1) đ?‘›2 − đ?‘› − 2đ?‘› đ?‘›2 − 3đ?‘› đ?‘› đ?‘› − 3 đ??ˇ= −đ?‘› = = = . 2 2 20 2
Teorema: En un polĂgono convexo la suma de las medidas de los ĂĄngulos interiores en grados es 180 đ?‘› − 2 . DemostraciĂłn: NĂşmero de lados
3
4
5
6
‌n
NĂşmero de diagonales trazadas desde un vĂŠrtice
0
1
2
3
‌n – 3
Numero de triĂĄngulos desde un vĂŠrtice
1
2
3
4
‌n-2
Fijamos un vĂŠrtice, y desde este vĂŠrtice pueden trazarse đ?‘› − 3 diagonales y estas forman đ?‘› − 2 triĂĄngulos. Cada ĂĄngulo interno de estos triĂĄngulos forma parte de algĂşn ĂĄngulo interno del polĂgono, y la suma de los ĂĄngulos internos de todos los triĂĄngulos equivale a la suma de los ĂĄngulos internos del polĂgono. De modo que, la suma de ĂĄngulos internos es 180 đ?‘› − 2 .