Talentum
Geometría analítica
CIRCUNFERENCIA 01. Halle las ecuaciones de las circunferencias que pasan por el punto
y son tangentes a las rectas concurrentes
y Resolución El punto
pertenece a la circunferencia y a la recta
, entonces
es el punto de tangencia con
la recta calculando el punto de intersección de las rectas tangentes a la circunferencia
de donde Como la circunferencia es tangente a
y
circunferencia de encuentra en la recta bisectriz (
, entonces el centro de la ) de dichas recta y pasa por
el punto de intersección entre ellas, Sea
la pendiente de la bisectriz,
, la pendiente de
,
, la
pendiente de Cálculo de la pendiente de la bisectriz
de donde Si como pasa por el punto
, entonces la ecuación de la recta bisectriz es:
de donde además el centro de la circunferencia pasa por la recta ( La pendiente de
es
como pasa por el punto
) que es perpendicular a la recta
, entonces la pendiente de la recta
en el punto
es
, entonces la ecuación de la recta es
de donde el centro de la circunferencia ( ) se encuentra en la intersección de
y
de donde El radio es ˆ La ecuación de circunferencia es
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Si como pasa por el punto
, entonces la ecuación de la recta bisectriz es:
de donde El centro de la circunferencia (
) se encuentra en la intersección de
y
de donde el radio es ˆ La ecuación de circunferencia es
02. Sea
la recta tangente a la circunferencia
en el punto
el centro de la circunferencia de la circunferencia a
. Hallar el centro y radio de
y
la recta que pasa por
si es tangente exterior a
, tangente
y centro con ordenada en el intervalo
Resolución es el centro de la circunferencia La pendiente de la recta que pasa por
entonces la pendiente de
De
se tiene su pendiente
y
es:
, como es perpendicular a la recta tangente
,
es:
y un punto
, entonces su ecuación es:
entonces
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Como la recta circunferencia
pasa por el centro de la circunferencia
, entonces las coordenadas del centro de la
tiene la forma
Por dato la ordenada del centro está en el intervalo El radio de la circunferencia
, entonces
es igual a distancia de
además
a la recta
, entonces
, entonces
como de donde ˆ
03. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos 04. Halle las ecuación de la circunferencia
y es tangente a la recta
que sea tangente a la recta
circunferencia
, tangente exterior a la
y su centro está contenido en la recta
05. Dada la circunferencia de coordenadas
inscrita en el triángulo
, con lados
,
La circunferencia
es tangente exterior a
Observación. La circunferencia
07. Dadas las rectas centro en la recta
de igual longitud y vértice
y la circunferencia , tangente a
y uno de sus diámetros está contenido en
tiene ordenada que se encuentra en el intervalo ] -2; 2 [, halle la ecuación de
en el exterior de
y
.
. Halle las coordenadas de las rectas que contienen a los lados de dicho triángulo
06. Sean las rectas
de
,
es tangente exterior a
. Si el centro
.
si ambas tienen un único punto de contacto y
se encuentra
. , , y es tangente a las restas
y y
. Hallar la ecuación de la circunferencia con .
2
08. Sea el triángulo ABC de área 21 u , donde A se encuentra en el eje X, B en el eje Y y
. Si
es el punto de
intersección de sus medianas, halle la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC
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09. Sean O el origen de coordenadas, A un punto en el semieje positivo de las abscisas y, B y C puntos en el primer cuadrante. Si el ángulo OAB mide 120° y las diagonales del rombo OABC se intersecan en el punto
,
responda lo siguiente: a) Halle las coordenadas de los vértices A, B y C. b) Halle la ecuación de la circunferencia de radio 1 y tangente al lado OC en el punto medio de dicho segmento. (Dar todas las posibles respuestas) 10. Sea la recta
y la parábola
a) Verifique que L y P tienen un punto R en común b) Halle la ecuación de la recta que pase por R y sea perpendicular a L c) Halle la ecuación de la circunferencia C de radio r = 1, cuyo centro tiene abscisa mayor que 4, se encuentra en a dos unidades de R 11. Sean recta
y
dos circunferencias tangentes exteriores en el punto
pasa por
y es tangente solamente a
12. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto
en
, con radios 5 y r > 0 respectivamente. Si la , determinar las ecuaciones de
y
.
, cuyo centro tiene ordenada positiva y se encuentra en la recta
y determina sobre el eje
una cuerda
tal que
, , donde
es el
origen de coordenadas. 13. Dadas las circunferencias
Hallar la ecuación de la recta tangente a 14. Las rectas
y
circunferencias
y
, de pendiente y ordenada en el origen, ambas positivas.
tienen su punto común sobre el eje de abscisas positivo y son tangentes comunes a las y
, cuyas ecuaciones son:
, Si el triángulo formado por las rectas a) las rectas
,
y el eje de ordenadas es equilátero de área
, hallar las ecuaciones de:
y
b) las circunferencias
y
15. Halle la ecuación de la circunferencia de radio
y tangente a la recta
, si se sabe que su centro tiene
abscisa positiva y pertenece a la recta
16. Sea
la recta tangente a
en el punto
en el semieje positivo de las abscisas que es tangente a
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. Halle la ecuación de la circunferencia con centro y tangente exterior a
4
simultáneamente.
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