Lógica proposicional

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PROPOSICIONES Y EQUIVALENCIAS Enunciado Un enunciado es un conjunto de palabras que se combinan entre sí para expresar una idea.

Ejemplos 1. ¿Qué hora es?

2. !Viva el Perú¡ 3. Entrega el lápiz.

4. Lima es la capital del Perú.

5. 5 + 3 = 2

6.

7.

Él tiene 16 años. x+5=7

Proposición Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso.

Ejemplos De los ejemplos de enunciado, los enunciados 4 y 5

Toda pregunta, mandato o exclamación no es una proposición Ejemplos De los ejemplos de enunciado, los enunciados 1, 2 y 3 Proposiciones abiertas Es un enunciado que depende de algo o alguien para que sea una proposición Ejemplos De los ejemplos de enunciado, los enunciados 6 y 7 Clases de proposiciones Existen dos clases de proposiciones: Proposiciones simples: también denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.

Ejemplo El cielo es azul.

Proposiciones compuestas: también denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.

Entre las proposiciones compuestas básicas tenemos Conjunción Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos “conjunción” de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean. p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Observese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si ambas, verdad y que si

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es verdad, entonces p y q son,

es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa.

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Otras formulaciones equivalentes de la conjunción

son:

“p pero q” “p además q” “p aunque q” “p sin embargo q” “p a la vez q” “p también q” “p no obstante q” “p a pesar de que q” Disyunción Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p ó q” y la notaremos

Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p ó q lo es.

p

q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Observese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si al menos, ha de ser verdadera y si

es verdad, entonces una de las dos,

es falsa, entonces ambas han de ser falsas.

Disyunción exclusiva Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos “disyunción exclusiva” de ambas a la proposición compuesta “p ó q pero no ambas” y la notaremos

Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas, son verdaderas.

p

q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Observese también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si asegurar que una de las dos es verdad y si

es verdad, únicamente podemos

es falsa, solo podemos deducir que ambas tienen el mismo valor de

verdad.

Otra formulación equivalente de la disyunción exclusiva

es:

“o p o q pero no ambas”

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Negación Dada una proposición cualquiera p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos

Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

p V

F

F

V

De esta forma, el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre opuesto al valor verdadero de la afirmación original.

Otra formulación equivalente de la disyunción exclusiva

es:

“No ocurre que” “Es imposible que” “No es el caso que” “Es falso que” “No es cierto que” Tautologías, Contradicciones y Contingencia Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples

,

,

, ....,

P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a

, ,

, ,

, ...., , ....,

. .

Si P no es Tautología ni Contradicción de le llama Contingencia Proposición condicional Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “p entonces q”, se le llama “proposición condicional” y se denota por

A la proposición “p” se le llama hipótesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la “q” tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional. Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa ( no se debe deducir una conclusión falsa de una hipótesis verdadera).

Obsérvese que si

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

es verdad no puede deducirse prácticamente nada sobre los valores de verdad de p y q ya que

pueden ser ambas verdad, ambas falsas o la primera falsa y la segunda verdad. Ahora bien, si el condicional

es

falso, entonces podemos asegurar que p es verdadera y q es falsas Otras formulaciones equivalentes de la proposición condicional

son:

“p solo si q” “p consiguiente q” “p es una condición suficiente para q”

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Fundamentos de cálculo “p luego q” “p por lo tanto q” “p en conclusión q” “Si p, q” “Cuando p, q” “Siempre que p, q” “Porque p, q” “Puesto que p, q” “Dado que p, q” “q puesto que q” “q si p” “q es una condición necesaria para p” “q se sigue de p” “q es condición de p” “q es una consecuencia lógica de p” “q cuando p” “q porque p” “q siempre p” “q en vista de que p” “q puesto que p”

Dada la proposición condicional

definimos tres proposiciones asociadas.

•

La proposición conversa o recíproca se define como

•

La proposición inversa es la proposición

•

La proposición contrapositiva, contrarrecíproca o contrapuesta se define como

Proposición bicondicional Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta “p si y solo si q” se le llama “proposición bicondicional” y se denota por:

Luego la proposición bicondicional

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

es verdadera únicamente en caso de que ambas proposiciones p y q, tengan

los mismos valores de verdad.

Una formulación equivalente de la proposición bicondicional

es:

“p si y solo si q” “p cuando y solo cuando q” “ p porque y solo porque q” “p si y solamente si q” “p si y únicamente si q” “Una condición necesaria y suficiente para p es q” Equivalencias Decimos que dos proposiciones compuestas P, Q son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad y en este caso escribimos

.

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Ejemplo La proposición

es equivalente a:

como podemos ver de la tabla.

Esto quiere decir que la proposición “Si termino la tarea entonces voy a la playa” es equivalente a “No termino la tarea o voy a la playa”.

Sea: p : Termino la tarea q : Voy a la playa

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

Otras equivalencias Leyes de identidad

Leyes de dominación

Leyes de idempotencia

Leyes de doble negación

Leyes de conmutación

Leyes de asociación

Leyes de distribución

Leyes de De Morgan

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Leyes de absorciรณn

Leyes de negaciรณn

Equivalencias lรณgicas que involucran declaraciones condicionales: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Equivalencias lรณgicas que involucran bicondicionales: 1.

2.

3.

4.

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Ejercicios resueltos 01. Escriba el recíproco y el contrarrecíproco de los siguientes enunciados: a) Si la medida del ángulo ABC es 45°, entonces el ángulo ABC es agudo. b) Si a < b entonces c)

.

Si el ángulo ABC es agudo, entonces su medida es mayor que 0° y menor que 90°.

d) Considere que a, b y c son las longitudes de un triángulo. Si

, entonces el triángulo es un triángulo

rectángulo.

Resolución a) Sea: p : la medida del ángulo ABC es 45° q : el ángulo ABC es agudo El enunciado

“Si la medida del ángulo ABC es 45°, entonces el ángulo ABC es agudo” tiene la forma lógica formal: p ÷ q El recíproco es: q ÷ p

“El ángulo ABC es agudo, entonces la medida del ángulo ABC es 45°” El contrarrecíproco es: - q ÷ - p

“El ángulo ABC no es agudo, entonces la medida del ángulo ABC no es 45°” b) Sea: p: a<b q: El enunciado

“Si a < b entonces

”

tiene la forma lógica formal: p ÷ q El recíproco es: q ÷ p

“

entonces a < b”

El contrarrecíproco es: - q ÷ - p

“ c)

entonces a $ b”

Sea: p : el ángulo ABC es agudo q : la medida del ángulo ABC es mayor que 0° y menor que 90° El enunciado

“Si el ángulo ABC es agudo, entonces su medida es mayor que 0° y menor que 90°” tiene la forma lógica formal: p ÷ q El recíproco es: q ÷ p

“La medida del ángulo ABC es mayor que 0° y menor que 90°, entonces el ángulo ABC es agudo” El contrarrecíproco es: - q ÷ - p

“La medida del ángulo ABC es mayor o igual que 90°, entonces el ángulo ABC no es agudo” d) Sea: p: q : el triángulo es un triángulo rectángulo

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El enunciado

“Si

, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo”

tiene la forma lógica formal: p ÷ q El recíproco es: q ÷ p

“El triángulo es un triángulo rectángulo, entonces

”

El contrarrecíproco es: - q ÷ - p

“El triángulo no es un triángulo rectángulo, entonces a

”

Ejercicios propuestos 01. Construya en cada caso, un circuito lógico equivalente a la proposición dada: a) b) 02. Construya en cada caso, un circuito lógico equivalente a la proposición dada: a) b) 03. Construya en cada caso, un circuito lógico equivalente a la proposición dada: a) b) 04. Si definimos: entonces ¿

es equivalente a:

?

05. Si las siguientes proposiciones

son verdaderas, halle el valor de verdad de las proposiciones: a) b) c) 06. Se sabe que las siguientes proposiciones: es verdadera es falsa es verdadera hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones a) b) c) 07. Si la proposición: es verdadera a) Hallar los valores de p, q, r, s y t b) Hallar el valor de verdad de la proposición:

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08. Si se sabe que las siguientes proposiciones son verdaderas:

además se sabe que la proposición es falsa el valor de verdad de la proposición Siendo a, b y c las proposiciones w: proposición cualquiera

09. Se sabe que las proposiciones:

son falsas, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. II.

10. Se definen los conectivos lógicos:

y

:

Halle el valor de verdad de las proposiciones a) b) c) 11. Si la siguiente proposición: es verdadera, determinar el valor de verdad de:

12. La proposición

es verdadera, sabiendo que

y

tienen valores de verdad opuestos; determinar

los valores de verdad de: I. II. 13. Se sabe que las siguientes proposiciones:

son verdaderas, además se sabe que: es falsa hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. II. III.

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14. Si la proposiciรณn compuesta: es verdadera, determinar los valores de verdad de 15. Si

,

,

y

.

no es falsa, calcular el valor de verdad de la proposiciรณn

16. Se sabe que las siguientes proposiciones son verdaderas:

Hallar los valores de verdad de las proposiciones

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,

,

10

.

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