Talentum
Geometría analítica
LA RECTA 01. Halle el área del triángulo
si se conocen las ecuaciones de la rectas que contienen a la altura y a la mediana
trazadas desde el vértice ,
,
y la recta que contiene a la mediana trazada desde el vértice
Resolución El punto se encuentra en la intersección de
y
, entonces
de donde El Baricentro
, del triángulo, se encuentra en la intersección de
y
, entonces
de donde
Como el Baricentro también se calcula como
como
, entonces
, entonces
de donde
... (1)
El punto medio de
y
es
, entonces
, de donde
pertenece a la recta sea
, entonces cumple
, de donde:
entonces el punto
La recta
, es perpendicular a la recta que pasa por los puntos
La pendiente de del segmento
Como la pendiente de
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es
y
es
, entonces la pendiente de
1
es
, por ser perpendiculares
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Talentum entonces
Geometría analítica , entonces
reemplazando se obtiene de donde en (1) de donde
entonces el área del triángulo
es:
ˆ 02. Halle las ecuaciones de los lados de un triángulo, uno de cuyos vértices es y de una mediana trazadas desde un mismo vértice son, respectivamente Resolución Sea el vértice de donde se trazan la bisectriz
y las ecuaciones de una de bisectriz y
.
y la mediana
entonces
de donde entonces la recta que contiene a los vértices de donde
San Miguel G 719-8151
y
es:
con pendiente
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Talentum Sea
Geometría analítica el otro vértice, y sea
la pendiente de la recta que pasa por los puntos
La bisectriz que parte del vértice
es
y
, entonces la pendiente de la bisectriz es
es la bisectriz del entonces
de donde
entonces la recta que contiene a los vértices
y tiene pendiente
es:
de donde Sea
, como pertenece a la recta
de donde
Sea
, entonces
, entonces
el punto medio de
y
... (1)
, entonces
pertenece a la mediana
de donde La
recta
, entonces
, reemplazando en (1) que
paso
por
y
es
de donde
ˆ
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03. Considerar las rectas
a) Hallar la ecuación de la recta
que pasa por el punto
y es perpendicular a la recta
b) Hallar la distancia del punto de intersección de las rectas c) Hallar la ecuación de la recta bisectriz 04. Sean
,By
es
a la recta
, de pendiente positiva, del ángulo formado por
los vértices de un triángulo, tal que
. Si además se sabe que el lado
a) Las coordenadas del vértice
y
se encuentra en el primer cuadrante y la longitud de
está contenido en la recta
, cuya pendiente es
05. Hallar las coordenadas del punto y
, hallar:
.
b) La ecuación de la recta que contiene a la mediana trazada desde el vértice
por
y
.
que dista 10 unidades del origen, sabiendo que la pendiente de la recta que pasa
es -2
06. Un punto
dista del punto
las coordenadas de 07. Sean
unidades. La pendiente del segmento con extremos
y
es
. Hallar
.
,
y
vértices de un triángulo. Calcular las coordenadas del punto
trazada desde B al lado 08. Sean
en
, pie de la perpendicular
.
baricentro del triángulo
,
baricentro del triángulo
y
baricentro del triángulo
. Hallar las coordenadas de los vértices de dicho triángulo. 09. Una recta pasa por el punto
corta al eje
de dicha recta sabiendo que 10. Una recta
corta al eje
en la razón
en el punto
y al eje
en el punto
. Hallar la ecuación
.
en el punto
y al eje
en el punto
, además el punto
divide al segmento
. Hallar la ecuación de la recta.
11. Un móvil parte de
para llegar a
. Determinar
12. Un móvil parte de
para llegar a
debiendo tocar
para que el recorrido sea mínimo y
. Determinar
y
para que el recorrido
sea mínimo. 13. La recta
pasa por los vértices consecutivos
y
de un cuadrado
de lado
unidades.
Suponiendo que las abscisas de todos sus vértices son positivas, hallar: a) Las coordenadas del centro del cuadrado. b) Las coordenadas de los vértices , y . 14. Los puntos
y
son vértices consecutivos del rombo
medido en sentido antihorario a partir del segmento
. Si el ángulo correspondiente al vértice
es 45º. Hallar las coordenadas de los otros vértices de dicho
rombo.
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15. Dado el triángulo de vértice el vértice 16. La recta
,
y
, calcule las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde
a la mediana trazada desde el vértice es paralela a la recta
positiva, se encuentra a
.
y tiene ordenada en el origen igual a 1. Si el punto
unidades de la recta
y tiene abscisa
, hallar la ecuación de la recta
y las coordenadas de
. 17. Determinar los vértices del triángulo •
teniendo en cuenta la siguiente información
es el pie de la altura
• La bisectriz del ángulo • La longitud del lado 18. El vértice
.
es paralela al eje
y corta a
es el doble que la del lado
de un rectángulo
.
.
se encuentra en la intersección de las rectas
, de ordenada mayor que 3, se encuentra sobre la recta Determine los vértices del rectángulo 19. En el triángulo
en
y
, el vértice
y es tal que su distancia a la recta
es
unidades.
si sus diagonales se intersecan en un punto de abscisa -3.
se conocen el vértice y a la mediana
y las ecuaciones de las rectas que contienen a la altura , trazadas desde el vértice
. Halle las ecuaciones de las rectas
que contienen a los lados del triángulo. 20. Hallar la ecuación de la bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas 21. Respecto al triángulo • El vértice
se sabe que:
tiene coordenadas
• El punto medio del lado
es
• El punto medio del lado
es
Si la recta
y se verifica que el segmento
contiene al vértice
es paralelo a la recta
, determine las coordenadas de
22. Hallar las ecuaciones de los lados de un triángulo, conociendo uno de sus vértices y la mediana
.
y las ecuaciones de la altura
:
tiene coordenadas
•
es ecuación de la recta que contiene una de sus alturas.
•
es ecuación de la mediatriz del lado
•
y
.
trazadas desde diferentes vértices.
23. Se tiene la siguiente información sobre un triángulo acutángulo •
y
, donde
es el ángulo
Hallar las coordenadas de los vértices 24. En un trapecio isósceles está contenida en la recta
.
. y
.
se sabe que los extremos de la base menor
son
y cada lado no paralelo del trapecio mide
y
, la base mayor
cm.
a) Halle las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados no paralelos. b) Halle el área del trapecio .
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