Lugar geométrico

Talentum

Geometría analítica

LUGAR GEOMÉTRICO 01. Dados los puntos

,

a) Halle la ecuación de la recta

,

y

, y la recta

que pasa por los puntos R y S.

que pasa por Q y es perpendicular a la recta

b) Determine las coordenadas del punto c) Si el punto Q se mueve en el plano de tal manera que su distancia a F es igual que su distancia a la recta la ecuación del lugar geométrico generado por el punto medio del segmento

, halle

.

Resolución a) La recta

que pasa por los puntos

entonces la pendiente de la recta como la recta

pasa por

y

tiene pendiente

, que es perpendicular a la recta

, tendrá pendiente

, entonces su ecuación será:

ˆ b) Como la recta

, que pasa por los puntos

y

tiene pendiente

, entonces su ecuación será:

, de donde entonces

lo calculamos resolviendo el sistema

ˆ

c) Sea

el punto medio de

, de donde

entonces

, de donde:

Como el punto Q se mueve en el plano de tal manera que su distancia a F es igual que su distancia a la recta entonces

ˆ

San Miguel G 719-8151

1

Av. Elmer Faucett 255

Talentum

Geometría analítica

02. Sean las rectas

Si el segmento

, donde

y

, se desplaza paralelamente a

, hallar la ecuación del lugar geométrico

que describe el punto medio de Resolución Si

, si

Si Sea

como

, entonces

, si

, de donde

, entonces

, de donde

tiene la forma tiene la forma

el lugar geométrico que describe el punto medio de

es punto medio de

, entonces

de donde

como

se desplaza paralelamente a

(

), entonces

entonces de donde reemplazando los valores encontrados

ˆ

San Miguel G 719-8151

2

Av. Elmer Faucett 255

Talentum Ejercicios propuestos

Geometría analítica

01. Sea Q un punto que se mueve sobre la curva

y el punto fijo

.

a) Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento FQ b) Si del origen de coordenadas se traza una recta L que corta a P en los puntos A y B, y la suma de las abscisas de esos puntos es 11, hallar las coordenadas de A y B 02. El punto B se mueve en el plano de tal manera que equidista del punto geométrico generado por el punto N que divide al segmento

03. Si el punto B se desplaza sobre la curva de ecuación

y del eje Y. Halle la ecuación del lugar

en la razón

y el punto A tiene coordenadas

.

Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P que dividen al segmento en la relación

04. En un triángulo ABC se cumplen las siguientes condiciones: 4 unidades y el lado

es paralelo a la recta

el vértice C tiene ordenada 4, el lado

mide

. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe el

punto medio de la mediana trazada desde A. 05. Sean

y

paralela a

rectas que pasan por los puntos y perpendicular a

y

. Se sabe que el punto

respectivamente y la recta divide al segmento

de tal forma que:

a) Encontrar las coordenadas de los puntos A y B b) Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por los puntos N que equidistan del punto A y de la recta c) Usando la parte b), hallar la ecuación del lugar geométrico formado por el punto medio del segmento G es el baricentro del triángulo formado por el eje X, el eje Y y la recta

.

donde

.

06. Sea el punto A(6; 0) y B un punto que dista 6 unidades del origen. Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por los puntos medios P(x; y) del segmento AB. ¿A qué curva corresponde la ecuación encontrada?

07. Los extremos de un segmento AB de longitud s se deslizan sobre los ejes coordenados (A sobre el eje Y, B sobre el eje X). a) Demostrar que el lugar geométrico que describe el punto Q que divide AB en la razón 1:2 es una elipse con eje mayor paralelo al eje Y. b) Para s = 3, graficar el lugar geométrico hallado en a), señalando las coordenadas de su centro, focos y vértices. c) Si en la condición inicial se dijera que A está sobre el eje X y B sobre el eje Y, ¿cuál sería la gráfica del nuevo lugar geométrico?

08. Se tiene el triángulo ABC con A(0; 0), B(5; 0) y C(3; 2). Se toma un punto M sobre BC. Desde M se traza una perpendicular a AC; al pie de dicha perpendicular se le denota por N. Y desde M se traza una perpendicular a AB; al pie de dicha perpendicular se le denota por P. a) Halle la ecuación del lugar geométrico del punto medio de NP, cuando M se mueve sobre la recta BC. b) Grafique el lugar geométrico determinado en a).

09. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A(-2; 0) y B(4; 0). Halle la ecuación del lugar geométrico descrito por el vértice C, si este se mueve de tal manera que la medida del ángulo B es el doble de la medida del ángulo A.

San Miguel G 719-8151

3

Av. Elmer Faucett 255

Talentum

Geometría analítica

10. Sea C una circunferencia de radio 5 que pasa por el origen O, tiene su centro sobre el eje de ordenadas y es tangente a la recta . Por el origen se trazan segmentos que cortan a C y L en los puntos B y C, respectivamente.

Hallar la ecuación del lugar geométrico descrito por los puntos P que estando en el segmento

satisfacen que

.

11. Sean la circunferencia y la recta: , a) Halle la ecuación del lugar geométrico que describe el punto

el segmento

es perpendicular a

con

,

si

y

.

b) Identifique y esboce la gráfica del lugar geométrico.

12. a) Halle la ecuación y grafique el lugar geométrico descrito por los puntos en el plano que equidistan de las rectas

y

b) Determine si los puntos

13. a) Por el punto

y

pertenecen al lugar geométrico descrito en a).

pasa un conjunto de rectas y desde

se traza una perpendicular a cada una de

ellas. Determinar la ecuación del lugar geométrico de las intersecciones de las rectas que pasan por A y sus respectivas perpendiculares. b) Se une el punto con cada uno de los puntos del lugar geométrico hallado en a). Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen a dicho segmento en la razón 2. El punto del lugar geométrico buscado está más cerca a C 14. Dados los puntos

y

, hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos tales que el cociente

entre sus distancias a los puntos A y B sea constante. Se sabe además que el punto

pertenece a dicho lugar

geométrico.

15. Dados los puntos segmento

y

, hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen al

en la razón 1/3, si se sabe además que

de inclinación que

y

forman un ángulo de 45° (

tiene mayor ángulo

).

16. Hallar el lugar geométrico de los puntos, tales que, la suma de sus distancias a los puntos

y

sea

siempre igual a 8.

17. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto

excede en 2 unidades a la

distancia al eje y.

18. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios del segmento AB, siendo

y B, un punto

del lugar geométrico de aquellos cuya distancia al origen es 3 unidades.

19. Dos vértices de un triángulo ABC son

y

. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describe

el vértice C, si los ángulos interiores A y B son complementarios.

20. Hallar la ecuación del lugar geométrico que describen los puntos que dividen al segmento y B un punto perteneciente al lugar geométrico de ecuación

San Miguel G 719-8151

4

en la razón 1/2, siendo

.

Av. Elmer Faucett 255