Magnitudes y vectores

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CANTIDADES FÍSICAS Magnitud Es la cantidad de unidades que tiene un cuerpo. Es todo lo que admite medición, ejemplo masa, longitud, tiempo, velocidad, etc.

Unidad Es el patrón de medida que adoptan un grupo de personas para medir un cuerpo.

Medir Es averiguar cuántas veces está contenida la unidad (patrón) en una magnitud..

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS I.

De acuerdo a su origen A) Magnitudes Fundamentales: Son aquellas magnitudes que se toman como patrones y se escogen convencionalmente para definir las magnitudes restantes.

B) Magnitudes Derivadas : Son aquellas magnitudes que se obtienen por combinación de las que se han tomado como fundamentales.

II. De acuerdo a su naturaleza A) Magnitudes Escalares : Son aquellas magnitudes que para estar bien definidas basta conocer únicamente su valor numérico.

B) Magnitudes Vectoriales : Son aquellas que para su definición se requiere a parte de su valor, una dirección.

Sistema Internacional de Unidades (SI) : En este sistema las magnitudes fundamentales son: Magnitud

Unidad

Símbolo

metro

m

Masa

kilogramo

kg

Tiempo

segundo

s

kelvin

K

Intensidad de corriente eléctrica

ampere

A

Intensidad luminosa

candela

cd

mol

mol

Longitud

Temperatura termodinámica

Cantidad de sustancia

Algunas magnitudes derivadas Magnitud

Nombre de la unidad

Símbolo

Superficie

metro cuadrado

m

Volumen

metro cúbico

m

Velocidad

metro por segundo

m/s

Aceleración

metro por segundo cuadrado

m/s

Aceleración angular

radián por segundo cuadrado

Rad/s

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1

2 3

2 2

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Magnitudes derivadas adimensionales Magnitud

Nombre de la unidad

Símbolo

Ángulo plano

radián

rad

Ángulo sólido

estereorradián

sr

ECUACIÓN DIMENSIONAL Es una igualdad que nos indica la dependencia de una magnitud cualquiera respecto de las que son fundamentales.

Para determinar la ecuación dimensional de una magnitud derivada siempre se parte de una fórmula que previamente ha sido hallada por otros medios.

El símbolo empleado para representar una ecuación dimensional son corchetes que encierran a una magnitud, así [trabajo], se lee ecuación dimensional del trabajo.

En general si las magnitudes fundamentales son A, B, C, D, ... la ecuación dimensional de una magnitud derivada “x” se expresará por: Donde: ", $, (, *, ... son números racionales.

Ejemplo: Para determinar la ecuación dimensional de la velocidad se empleará la siguiente ecuación :

y emplearemos que la ecuación dimensional de la distancia y el tiempo son “L” y “T” respectivamente, así : ÷

NOTA: La ecuación dimensional de todo ángulo, función trigonométrica, logaritmo y en general toda cantidad adimensional es la unidad [30 rad] = 1 [Sen30°] = 1 [45] = 1 [Log2] = 1 PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se están sumando o restando deben tener igual ecuación dimensional. Además la ecuación dimensional del primer miembro de la ecuación debe ser igual a la del segundo miembro.

VECTORES VECTOR; es un ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado *

La física utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales

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En general un vector se representa de la siguiente forma : se lee: vector

se lee módulo del vector indica la dirección del vector OPERACIONES VECTORIALES SUMA DE VECTORES, es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector resultante ( ), el cual es igual a la suma de todos los vectores.

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen.

Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas

Vector resultante: Módulo de

:

MÉTODO DEL POLÍGONO Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares.

Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus características. El vector resultante ( ) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

Ejemplo: Sean

,

y

vectores

Construimos el polígono vectorial:

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MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí:

Se cumple que:

EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Determinar las dimensiones de “x” e “y” en

06. Hallar la resultante del sistema de vectores

siendo: A = área 02. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de P y Q para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta?

07. Que vector debe sumarse al vector “ A” cuya magnitud es 30 y dirección 60º, para dar como resultante el vector nulo

siendo: W = trabajo; m = masa; S = área

08. La resultante de dos vectores puede variar desde 7 hasta 17 al cambiar el ángulo entre ellos. Halle la resultante de los dos vectores iniciales al formar entre sí 90º

03. De la ecuación dimensionalmente correcta que se indica, determine las dimensiones de ".$/K

09. Determine el módulo del vector resultante.

Si:

Donde: W = trabajo; d = distancia; A = área; a=aceleración 04. De la ecuación dimensionalmente correcta que se indica, determine las dimensiones de ".$/k

donde: F = fuerza; A = área; V = velocidad 10. Hallar la resultante de los vectores mostrados, sabiendo que: M, N y O son puntos medios

05. Determine la fórmula dimensional de k en la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea:

donde: A = amplitud; m = masa; T=temperatura; P = potencia

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V = velocidad;

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11. Los puntos ABCDEF son los vértices de un exágono regular a partir del vértice “ A” se trazan los vectores AB; AC; AD; AE y AF. Calcular el valor de la resultante de dichos vectores, si |AD| = 60

Si el módulo del vector

es 25 N y el vector resultante

es nulo, determine: a) Los vectores

y

12. En el cubo mostrado, hallar el módulo de la resultante b) El módulo del vector

.

16. PARTE A Se tiene un arreglo de vectores

ecuación

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que

es

dimensionalmente correcta. En la ecuación anterior V es la magnitud derivada velocidad, A es la magnitud derivada superficie y T es la magnitud fundamental tiempo. Determinar las dimensiones de las magnitudes X e Y en función de las magnitudes fundamentales.

B. Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones justificando su respuesta. a)¿Es posible encontrar un vector de módulo cero cuyas componentes en el plano cartesiano (sistema de coordenadas XY) sean distintas de cero? b)Sean dos vectores de módulos 3 u y 5 u. ¿El módulo de la resultante de esos vectores será8 u?

15. El siguiente esquema muestra tres vectores (

y

forman el perímetro de un triángulo equilátero, tal como se muestra en la figura. Si los puntos M, N, O son puntos medios de cada lado del triángulo ABC, y P, Q, R son puntos medios de cada lado del triángulo MNO, determine el vector resultante (de los 9 vectores dispuestos en la figura) en función del vector NM.

13. Si A y B son vectores que tienen igual módulo, analiza la veracidad de las siguientes afirmaciones justificando debidamente tus respuestas: a) Puede suceder que el módulo de la resultante de los dos vectores sea igual al módulo de los vectores. b) Puede suceder que el módulo de la diferencia de los vectores sea igual al módulo de los vectores.

14. A. L a

,

,

y

PARTE B Responde justificando adecuadamente tu respuesta. a) Sean 15 u y 10 u los módulos de los vectores A y B respectivamente, ¿entre qué valores se encuentra el módulo de la resultante de A y B? b) Si A y B son vectores que tienen igual módulo, ¿puede suceder que el módulo de la diferencia de los dos vectores (A-B) sea igual al módulo de los vectores?

17. El capitán de un barco pesquero planifica el recorrido que seguirá hasta encontrar un cardumen de peces en el océano. Para ello ubica el puerto, desde donde zarpa, en el origen de coordenadas. El primer tramo de su recorrido tiene 20,0 km con rumbo N20,0ºO, tal como se muestra en la figura. De no encontrar el cardumen, navegará 38,0 km con rumbo N70,0ºE, si tampoco encuentra a los peces, navegará 50,0 km con rumbo S10,0ºE. El barco navega los tres tramos planificados sin fortuna y se detiene. El capitán pide información al puerto recibiendo la siguiente respuesta: “El cardumen de peces se encuentra respecto al puerto a 30 km y en dirección S40,0ºO”.

).

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a) Trace el recorrido seguido por la embarcación en los tres primeros tramos. Debe indicar en el gráfico para cada nuevo tramo el rumbo que toma la embarcación según los ejes cardinales, tal como se muestra en la figura para el primer tramo.

19. En el siguiente gráfico se muestran los vectores:

,

y

. Se sabe que en el paralelogramo

cumple que:

,y

a) Determinar los vectores vectores

,

,

,

se

.

,

y

en función de los

.

b) Determinar el módulo de la resultante de los vectores ,

y

. Sabiendo que

,

, y que

el ángulo agudo del paralelogramo es 50º.

b) Determine la distancia que existe desde la posición en la que se detiene el barco hasta el cardumen de peces. c) Determine el rumbo que debe tomar el barco pesquero desde su ubicación actual para llegar al cardumen de peces.

20. Teniendo en cuenta la figura adjunta, determinar el

18. El gráfico muestra el recorrido seguido por Carlos a través del centro de una ciudad. Carlos parte de su casa situada en el origen de coordenadas y luego se desplaza a lo largo de tres avenidas, pasando por la Cafetería (C), la Librería (L) y la Plaza de Armas de la ciudad (A). Si la distancia que hay entre su casa y la cafetería es de 8,0 km y es igual a la distancia que hay entre su casa y la Plaza de Armas, determinar: a) La distancia entre su casa y la Librería. b) La distancia entre la Librería y la Plaza de Armas. c) El ángulo que hacen las avenidas CL y LA.

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módulo y la dirección del vector

, si se sabe que la

resultante de los tres vectores tiene módulo 26 N y dirección 43º con respecto al eje x positivo.

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