8. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas. by Tessie Silva

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas Dra. María Teresa Alicia Silva y Ortiz

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Dedicatoria Para ti orientador que quieres formarte para poder guiar a otros en el camino de la vida para aprovechar sus potencialidades y dar lo mejor de sí mismos.

Fig. # 1. Dificultades de aprendizaje en matemáticas.

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Manual para atender dificultades de aprendizaje en matemáticas Contenido Pictogramas. Objetivos. Reflexión. Yo y las matemáticas. ¿Qué tanto sabes del tema? Organización del módulo de matemáticas. 1. Las matemáticas y sus retos de aprendizaje. Introducción. 2. Las capacidades intelectuales y el aprendizaje matemático. 3. El laboratorio interno y la imaginación. 4. Las matemáticas y sus conceptos básicos. 5. Los aprendizajes matemáticos. 6. Consideraciones generales en la evaluación inicial. • Prueba # 1. Capacidad de comprensión: forma “A”. • Prueba # 2. Cubos y dibujos de Kohs. 7. Las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. 8. El cálculo y los problemas de discalculia. 9. Modelos de intervención de los problemas de aprendizaje. 10. Paradigma neuropsicológico de las DAM. 11. Paradigma cognoscitivo de las DAM. 12. Didáctica específica para las matemáticas. 13. El método Montessori. 14. Preparación para el aprendizaje de las matemáticas. 15. Ejercicios preparatorios para el cálculo mental. 16. Didáctica de las relaciones lógico-matemáticas y cuantificación. Apéndice # 1. Vocabulario matemático básico. Apéndice # 2. Nombres de las figuras geométricas. Glosario. Bibliografía. Sitios Web. Índice de cuadros. Índice de actividades. Índice de figuras.

4 6 8 9 12 19 21 30 47 70 77 127 131 141 149 158 173 188 248 295 301 352 374 383 410 411 412 421 427 430 431 432

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Pictogramas

Expresión oral

Subir a la red

Tareas

Discusión en equipo

Estudiar el tema

Lluvia de ideas

Hoja de trabajo

El orientador

Intervención

Expediente

Creatividad

Bajar de la red

Registrar

Cuadro # 1. Pictogramas.

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Material básico Manual y libros issuu.com estuche carpeta hojas blancas hojas de colores juego geometría cinta métrica mantel individual

tarjetero conceptos batería material pruebas material sugerido formatos mampara (folder) imanes plumón pizarrón

cofre matemático e impresos geoplano y ligas cubos mosaicos desechables contenedores paliacate contadores

figuras geométricas cuadrantes tangram 5 cajas de cerillos bloques lógicos regletas fracciones reloj

Cuadro # 2. Material básico.

Índice de actividades Instrucciones. Se recomienda tenerlas resueltas para la primera sesión, de manera que sea muy ágil al rectificar las soluciones. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Yo y las matemáticas ¿Qué sabes del tema? Mi experiencia personal Acertijos matemáticos Lectura de colores Discusión en pequeños grupos Lectura rítmica Cuadrantes Objetos y formas Figuras con abatelenguas Medir y comparar Noción de cantidad Figuras geométricas Jugar con figuras geométricas Diciendo los números

10 12 26 36 39 40 46 62 66 68 71 72 75 76 91

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Juego de memoria Cajas de cerillos Laberinto Buscando números Operaciones básicas Magia cuadriculada Percepción visual Discernir figuras Un cuento geométrico La ropa ¿Cuántos hay? Bloques lógicos Mayor y menor que Fracciones Los cohetes

Cuadro # 3. Índice de actividades de la primera sesión.

113 125 157 161 163 172 179 187 294 300 316 372 380 382 408

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Objetivos

Objetivos generales Identificar los principios de las matemáticas que se pueden aplicar en las estrategias y técnicas para orientar a personas con dificultades de aprendizaje en esta área, tomando como punto de partida los instrumentos de evaluación pertinentes con el fin de programar y realizar una intervención adecuada utilizando material específico como apoyo didáctico.

Objetivos específicos • • • • • • • • • • •

Analizar los fundamentos teóricos y metodológicos de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. Examinar las bases matemáticas desde un enfoque psicopedagógico. Identificar los principales tipos de dificultades de las matemáticas. Descubrir en el/los orientados sus fortalezas y áreas de oportunidad como base para la atención de los casos con el fin de ofrecer una intervención eficaz. Distinguir alternativas de comunicación efectiva y su impacto en el aprendizaje. Examinar el impacto de las dificultades de aprendizaje en matemáticas y su repercusión en las distintas dimensiones de quienes las padecen. Planear actividades para la estimulación, prevención y/o intervención de las matemáticas básicas. Discutir los conflictos que hay en el ambiente familiar para la elección de las herramientas de intervención. Decidir estrategias de solución para resolver retos en el área afectivoemocional. Avalar las distintas alternativas que están a disposición para una orientación óptima. Generar un programa funcional y realista como compromiso para el mejoramiento del aprendizaje de las matemáticas.

Instrucciones. Escribe en el primer recuadro tus objetivos para este tema y tu compromiso para aprenderlo. 6

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Mis objetivos personales

Mi compromiso de aprendizaje

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Reflexión Instrucciones. Lee este pensamiento, relaciónalo con este tema y escribe tu reflexión en el recuadro.

Fig. # 2. Punto de partida.

Reflexión

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Mi actitud ante las matemáticas

Yo y las matemáticas

Nombre: Fecha de aplicación:

No. Exp.: Tema: Diagnóstico inicial

Instrucciones. Elige la opción que mejor te represente con base en la siguiente escala: 1. Nunca

2. A veces

3. Casi siempre

Reactivos 1.-Me siento preparado para las pruebas de matemáticas 2.-Tengo confianza en lograr buenas notas en matemáticas 3.-Me siento tranquilo antes de las pruebas de matemáticas 4.-Siento que mi familia confía en que me va a ir bien en matemáticas 5.-Siento que mis compañeros y amigos confían en mi éxito en matemáticas 6.-Siento que mis profesores confían en mi éxito en matemáticas 7.-Me atrevo a preguntar dudas en clases de matemáticas 8.-Encuantro que las pruebas de matemáticas son fáciles 9.-Me resultan fáciles los ejercicios en las clases de matemáticas 10.-Leo las instrucciones de las pruebas con tranquilidad 11.-Reviso los ejercicios y las pruebas al terminar 12.-Me concentro en las clases de matemáticas 13.-Me siento seguro al hacer ejercicios o tareas de matemáticas 14.-Siento que puedo mejorar mis notas en matemáticas 15.-Intento corregir mis errores en matemáticas 16.-Me gustan las clases de matemáticas 17.-Me gustan las pruebas de matemáticas TOTAL:

4. Siempre 1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

4 4 4 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

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Yo y las matemáticas Es importante estar consciente de cuál es tu actitud ante las matemáticas. Es una materia poco popular debido a la forma como se enseña. Aprenderlas implica dominar su lenguaje y razonar con lógica. Es lo primero que has de indagar en el orientado, si es pertinente, ya que su actitud será determinante en el proceso de intervención. Objetivo: Explorar la relación que tiene el orientado con las matemáticas desde una perspectiva afectiva. Evaluar la percepción que tiene el sujeto de cómo su familia, los profesores, sus compañeros y amigos confían en sus posibilidades de éxito en matemáticas. Descripción: Este ejercicio consta de un listado de situaciones que el orientado debe leer y responder. Estas situaciones se relacionan con la metacognición de su forma de trabajo escolar, la percepción que tienen los otros de él y la autopercepción frente a la asignatura. Puntuación máxima: 68 puntos Criterios de corrección: Se le asigna el siguiente puntaje según la respuesta: Siempre Casi siempre A veces Nunca

4 puntos 3 puntos 2 puntos 1 punto

Se suma el puntaje obtenido, se saca el porcentaje y se ubica en el rasgo correspondiente: ➢ ➢ ➢ ➢

Muy buena percepción y actitud hacia las matemáticas Buena percepción y actitud hacia las matemáticas Regular percepción y actitud hacia las matemáticas Deficiente percepción y actitud hacia las matemáticas si ha obtenido menos de 40 puntos.

Interpretación: Tener en cuenta la frecuencia con que se presenta cada rango para la programación. 10

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Hoja de reflexión # 1

Yo y las matemáticas Yo y las matemáticas Nombre: Fecha:

No. Exp.: Tiempo: Tema: diagnóstico

Instrucciones. Después de haber resuelto y calificado la prueba, escribe en los recuadros tus estrategias de acción y responde las preguntas finales. Estrategias de acción ¿Qué aspectos me ayudan a estar bien?

¿Qué quiero conservar?

¿Qué aspectos me obstaculizan?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo lo pienso poner en práctica?

¿Cuál es mi objetivo y en cuánto tiempo lo quiero lograr?

¿De qué me di cuenta?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo pienso lograrlo? ___________________________ Mi firma 11

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¿Qué tanto sabes del tema? Primera parte Preguntas de falso y verdadero Nombre: Fecha de aplicación

No. Exp.: Tema: Diagnóstico inicial

Instrucciones. Señala en la columna de la derecha la “F” si consideras que la afirmación es falsa o una “V” si la consideras verdadera. 1.

3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

10 11

Los problemas de aprendizaje (PA) en el área de las matemáticas, en la parte de los estudiantes con habilidad mental normal, han sido reconocidos a partir de la década de 1950, aproximadamente. F Las diversidades en las relaciones espaciales están entre aquéllas que son características específicamente mencionadas por autoridades que han escrito sobre problemas en las matemáticas y su relación con las dificultades para aprender. F La confusión de izquierda-derecha puede resultar en dificultades para el aprendizaje efectivo de las habilidades matemáticas. F Los materiales concretos, lúdicos y manipulativos se recomiendan como potencialmente valiosos para crear una comprensión verdadera. F Piaget dio una serie secuencial de métodos prácticos y programados para la instrucción que se aplican en forma directa al estudiante con PA que tiene dificultad con la comprensión matemática. F La hiperactividad lleva a experiencias menores con los números para los estudiantes con PA. F En los PA se consideran factores genéticos llamados cognoscitivos, psicomotores, físicos y sensoriales, así como sociales y emocionales. F Los factores cognoscitivos se ejemplifican por habilidades perceptivas, visuales y auditivas. F Los métodos de enseñanza para estudiantes con PA pueden no ser diferentes, y tampoco las investigaciones parecen apoyar las “razones de diferencia”. F Parece que el lenguaje y las matemáticas no están relacionados. F Los déficits en la memoria pueden llevar a dificultades en el desempeño matemático, como sucede en la incapacidad para retener F los números apropiados durante una operación. La dificultad para usar los hechos matemáticos en un problema de palabras, cuando uno es capaz de aprenderlos de manera individual, F puede ser indicio de una dificultad para aprender.

V V V

V V V V

V V V

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13 14 15 16

17 18

21 22 23

Las dificultades motoras pueden llevar a que el estudiante trabaje tan duro al escribir que existan errores en las operaciones. La dificultad con los números ordinarios puede estar directamente relacionada a otras en el lenguaje expresivo. Una concepción común de los maestros, con respecto al niño con PA, es que son flojos o no ponen atención. Existe la propuesta de que las evaluaciones diagnósticas son mejor conducidas por personal entrenado utilizando métodos de pruebas estandarizadas. Las consideraciones metodológicas incluyen la cantidad de material, velocidad, tipo y modo de presentación, así como otros factores. Las dificultades para aprender los hechos matemáticos pueden sobrellevarse de manera efectiva mediante “aprender exageradamente”, así como con las prácticas y ejercicios orales. Una tarea meta debe ser descompuesta en sus partes, de manera que los estudiantes con PA sean capaces de llevar el ritmo con el resto de la clase. Los problemas matemáticos “sin palabras” pueden ser auxiliares útiles para pensar, así como solucionar problemas, ya que la lectura se reduce al mínimo. La percepción apropiada de los atributos del objeto en la vida diaria es prerrequisito para el aprendizaje de un vocabulario cuantitativo. Ya que los estudiantes con PA pueden tener problemas en el lenguaje, es útil enseñar conceptos matemáticos sin basarse en éste. El vocabulario cuantitativo, dentro de las matemáticas, debe ejemplificarse por cuadrado, kilogramo, centímetro y así sucesivamente. La mayoría de los escritores sugieren que las matemáticas para los estudiantes de escuela secundaria deben enfocarse en el seguimiento del currículo normal, aunque sea a velocidad reducida. Es seguro suponer que la solución de problemas se logrará si las operaciones involucradas en el problema se comprenden. TOTAL: Instrucciones. Identifica estas figuras. Escribe su nombre

Fig. # 3. Identificación de figuras geométricas. 13

F F

V V

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Segunda parte Preguntas de opción múltiple Nombre: Fecha de aplicación

No. Exp.: Tema: Diagnóstico inicial

Instrucciones. Escribe en el paréntesis la opción que mejor responda a la pregunta. 1.

La mayor parte de los enfoques relacionados con la instrucción de las matemáticas para estudiantes con PA se originan del trabajo con: A. Personas con lesión B. Adultos C. Personas con cerebral afásicos retraso mental D. Estudiantes ciegos E. Ninguno de los anteriores Uno de los problemas con respecto a las sugerencias en la enseñanza para las matemáticas es que: A. La información es B. La C. La información no está a menudo información bien desarrollada de inexacta es escasa manera histórica D. B y C E. Todos los anteriores Puede decirse de manera más exacta que los PA de las matemáticas están: A. Asociadas pocas B. La mayoría están C. Se asume que existen veces con PA de asociadas con otros cuando hay PA de lectura lectura PA y de lenguaje D. B y C E. Todas las anteriores. La comprensión de los conceptos numéricos puede adquirirse: A. A pesar de B. Depende del C. Se basa en la la conocimiento de los percepción exacta experiencia números y hechos de los objetos en el solicitados espacio. D. Comienza con la utilización de números E. Todos los anteriores. individuales Los niños en un grupo con PA, un número de experiencias que llevan a la comprensión: A. Son menos B. Pierden su C. No se logran por frecuentes en ellos significado para estudiantes con PA. que en sus muchos estudiantes compañeros sin PA. con PA. D. A y C E. Todos los anteriores.

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Los factores cognoscitivos genéricos se pueden describir mejor como: A. Los procesos B. La memoria y C. Las estrategias para visuales las habilidades la solución de perceptivos. verbales. problemas. D. B y C E. Todos los anteriores. 7. La mejor idea con respecto a la instrucción diferencial es una diseñada: A. Para diferenciar entre B. Pensando en las C. Para estudiantes estudiantes aptos de los capacidades y menos capaces en el menos capaces. deficiencias de los salón de clases. estudiantes. A. B y C B. Ninguno de los anteriores. 8. La influencia de las dificultades perceptivas en el desempeño de las matemáticas se ejemplificaría mejor por: A. Una incapacidad para B. Una dificultad C. La explicación recordar los hechos para contar los incorrecta de las matemáticos. números ordinales. soluciones de los problemas. D. A y B. E. Todos los anteriores. 9. Debido a una velocidad reducida, las dificultades motoras muy probablemente pueden llevar a: A. Una atención B. La incapacidad C. Poca atención a exagerada a la para aprender y patrones y a concluir mecánica de la escritura recordar los de manera apropiada. y olvidar las tareas. hechos. D. B y C. E. Todos los anteriores. 10. Un niño de inteligencia promedio que confunde, consistentemente, los símbolos de operación (+, -, x, :), muy bien puede estar teniendo evidencias: A. De falta de atención B. De dificultades C. De incapacidades en la labor. de discriminación de cierre de memoria. perceptiva. D. A y B. E. Todos los anteriores. 11. Los procesos diagnósticos y terapéuticos de la identificación de un déficit en la conducta sugieren que: A. Ocurre en otras áreas B. Se observa en C. Lleva a objetivos de funcionamiento. áreas matemáticas. específicos. D. B y C. E. Todos los anteriores. 12. El maestro de salón de clase debe buscar ayuda externa adicional: A. Sólo si se consideran B. Aun cuando no C. Si se ha necesarias evaluaciones se requiera la identificado un déficit posteriores. evaluación específico en la posterior. conducta. D. B y C. E. Todos los anteriores. 15

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13. Algunas consideraciones de metodología se ejemplificarían mejor por: A. La cantidad de B. El modo de C. El nivel de información que se ha presentación: interés o dificultad. presentado: cantidad. imágenes o palabras. D. A y C. E. Todos los anteriores. 14. El mejor ejemplo de una razón para que un estudiante con PA no tenga la habilidad para tener una ejecución independiente sería: A. Falta de interés B. Retención y utilización C. Dificultad para en el aprendizaje. deficientes del pensamiento escuchar sonidos. lógico. D. B y C. E. Todos los anteriores. 15. Las técnicas generales para la enseñanza que pueden ser útiles serían: A. Pláticas y ejemplos B. La utilización de C. Práctica para con hechos hasta que indicios auditivos copiar de un libro de se dominen. para aumentar la texto o del pizarrón. información visual. D. A y C. E. Todos los anteriores. 16. La influencia de las dificultades perceptivas en el desempeño de las matemáticas se ejemplificaría mejor por: A. Una incapacidad para B. Una dificultad C. La explicación recordar los hechos para contar los incorrecta de las matemáticos. números ordinales. soluciones de los problemas. D. A y B. E. Ninguno de los anteriores. 17. Algunas situaciones que requieren el uso de significados múltiples o nombres (decir la hora -4:50, diez para las cinco, y así sucesivamente) puede enseñarse de mejor manera a estudiantes con PA en forma: A. B. Por progresión C. Por enfoque de dominio de Simultánea. secuencial. tareas secundarias. D. B y C. E. Todos los anteriores. 18. Hay ventaja en usar problemas sin palabras (no verbales) para ayudar al pensamiento debido a: A. La reducción al B. La comprensión por C. El enfoque del mínimo de la lectura. todos los tipos de problema inmediato a estudiantes. resolver. D. A y C. E. Todos los anteriores. 19. Se piensa que los problemas sin palabras ayudan: A. A las habilidades B. A pensar de C. A la discriminación perceptivas visuales. manera matemática de los componentes matemáticos. D. A y C. E. Todos los anteriores.

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20. El lenguaje de las matemáticas puede ser mejor descrito como: A. Tratar con las B. El aprendizaje de C. La utilización de propiedades de la palabras de hechos numéricos. cantidad y medida. substancia y relación. D. B y C. E. Todos los anteriores. 21. En el programa de escuela secundaria la instrucción de las matemáticas debería enfocarse en: A. La adquisición de las B. La comprensión C. La operación de habilidades básicas. de conceptos factores numéricos. matemáticos. D. Las habilidades independientes del E. Ninguno de los aprendizaje. anteriores. 22. Elija la habilidad que no está asociada comúnmente con las habilidades matemáticas para vivir de manera independiente: A. Sumar y restar B. Calcular, en C. La multiplicación de dinero. suma. números. D. Las operaciones E. Ninguno de los anteriores. orales 23. Dada una hoja de trabajo de varios tipos de problemas, los estudiantes que se confunden y tienen dificultades para proceder quizá reflejen: A. Una falta de B. Un mal C. Mala interpretación habilidades con las entendimiento de del signo de una operaciones. las instrucciones. operación. D. A y C. E. Todos los anteriores.

Alerta: Revisa tus respuestas con la clave. Recuerda que este ejercicio es para que tú te des cuenta qué tanto sabes de la materia y dónde debes poner especial cuidado. Por eso es importante que vayas haciendo las hojas de evaluación que se van incluyendo en cada una de las actividades.

Claves 1. F 2. V 3. V 4. V 5. F

Falso y Verdadero 6. F 11. V 16. F 7. V 12. V 17. V 8. F 13. V 18. F 9. V 14. V 19. F 10. F 15. V 20. V

21. V 22. V 23. V 24. F 25. F

1. A 2. D 3. B 4. C 5. B

Opción Múltiple 6. D 11. E 16. B 7.B 12. D 17. D 8.B 13. E 18. E 9. A 14. B 19. B 10. D 15. B 20. E

Evaluación Puntaje (∑ y %)

Falso y verdadero:

Opción múltiple:

21. D 22. C 23. E

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Hoja de reflexión # 2

¿Qué tanto sabes del tema? ¿Qué tanto sabes del tema? Nombre: Fecha:

No. Exp.: Tiempo: Tema: diagnóstico

¿Qué quiero conservar?

¿Qué aspectos me obstaculizan?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo lo pienso poner en práctica?

¿Cuál es mi objetivo y en cuánto tiempo lo quiero lograr?

¿De qué me di cuenta?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo pienso lograrlo? ___________________________ Mi firma 18

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Organización del módulo de matemáticas En vista de los retos que afronta el orientador en atención a la diversidad hoy en día, durante las sesiones académicas para los profesores en especial, este espacio les brinda la oportunidad de exponer temas por equipos con el fin de aprender a planear, organizar, elaborar contenidos y materiales específicos, diseñar procedimientos eficaces a través de actividades, técnicas y hojas de trabajo específicas para atender casos con dificultades de aprendizaje en matemáticas. El grupo se organizará en equipos con el fin de armar una sesión de 9:00 a 14:00 horas, con media hora de descanso para exponer alguno de los temas del cuadro, tomando como base este manual, pero con la libertad de seleccionar los contenidos que más les interese, complementarlos y enriquecerlos con otras fuentes, así como el uso de material lúdico-manipulativo, haciendo énfasis en los “cómo”. Se aprovechará el cofre matemático en todas las sesiones, así como los materiales que se han sugerido en la plataforma y este manual, teniendo en cuenta de la libertad que existe para que compartan propuestas de otros materiales. En la última sesión tendremos la feria matemática para integrar lo visto al aplicarlo en un rango de edad determinado.

Sesión # 1 Sensibilización

Profesora

Sesión # 2 Perspectiva neuropsicológica Discalculia Equipo # 1

Sesión # 3 Perspectiva cognoscitiva DAM Equipo # 2

Sensibilización matemática Ejercicios preparatorios

Bases teóricas sobre la discalculia

Bases teóricas de la teoría cognoscitiva

Diagnóstico inicial de los participantes.

Prueba: actividad diagnóstica

Prueba: cubos de Kohs

Actividades preparatorias Laboratorio interno Antes del cálculo Nociones y procesos básicos aritméticos y geométricos

Actividades específicas para la intervención. Primeras experiencias con las matemáticas Exploración del medio y de los materiales

Taller # 1: el cofre o el arcón matemático.

Taller # 2: los cuadrantes Taller # 3: los bloques y el programa frontal. lógicos y sus atributos.

Actividades específicas Numeración y cálculo Las fracciones y los decimales Mociones de tiempo y espacio. El reloj

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Sesión # 4 Didáctica de las matemáticas María Montessori Equipo # 3

Sesión # 5 Intervención Psicopedagógica Jean Piaget Equipo # 4

Bases teóricas del método Montessori

Bases teóricas de Jean Piaget y las matemáticas

Prueba: precálculo

Prueba: evaluación piagetana

Actividades específicas: Geometría Ángulos, figuras y cuerpos geométricos El uso de regla, escuadras, etc. Noción de tiempo y espacio Las medidas

Actividades específicas: problemas aritméticos y su solución Instrumentos tecnológicos Intervención: planeación y programación, aplicación y seguimiento de los casos que se atienden.

Taller # 4: Las regletas, las fracciones y los decimales.

Taller # 5: cubos, bancubi mosaicos, pijas, tangram y geoplano.

Sesión # 6 La feria matemática Todos los participantes Todo el grupo participa simultáneamente en las actividades de la feria. a) Niños 9:00 a 10:00 b) Adolescentes 10:00 a 11:00 c) Adultos 11:00 a 12:00 Descanso: 12:00-12:30 d) Adultos mayores 12:30 a 13:30 Cierre del módulo: 13:30 a 14:00

Cuadro # 4. Organización de los módulos. Exposiciones: La organización de los equipos se hará con la debida antelación para contar con el tiempo necesario para estructurar su participación en las sesiones y en la feria. Cada equipo tendrá un espacio específico en la plataforma para poner sus lineamientos, compartir los documentos y materiales propios del tema y solicitar lo que debe traer el grupo para trabajar. Feria matemática: Cada equipo dispone de 50 minutos para poner en práctica las actividades y juegos lúdico-manipulativos que ha diseñado en especial para este evento, según el periodo de edad acordado en el grupo para cada equipo. Plataforma: Subir su carta descriptiva, manual del tema, presentaciones, actividades (con la planeación y los materiales), prueba asignada, rúbrica y tips.

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1. Las matemáticas y sus retos de aprendizaje Introducción El objetivo de enseñar matemáticas en la escuela formal debería centrarse en el desarrollo de las habilidades necesarias para resolver problemas y aplicar los conceptos y nociones matemáticas para desenvolverse en la vida cotidiana en lugar de imponer el aprendizaje de las reglas aritméticas, las unidades de medida y las bases geométricas, por ejemplo, lo cual implica un gran esfuerzo por parte del estudiante sin encontrarle sentido y, además, son causales de frecuentes dificultades de aprendizaje al impartirlas con el enfoque tradicional. El manual DSN-IV de la Asociación Americana de Psiquiatría (APA, 2002) señala que el 1 % de los estudiantes en edad escolar sufren trastorno específico del cálculo, el cual suele manifestarse durante los tres primeros años de la escuela primaria, a menudo constituye el causal más determinante del fracaso escolar, especialmente en los últimos años de la educación básica y la media. Para comprender la naturaleza de este reto es necesario conocer cuáles son los conceptos y habilidades matemáticas básicas, cómo se adquieren, qué procesos cognoscitivos subyacen a la ejecución matemática, por citar unos ejemplos, para poder diseñar sistemas de detección, evaluación intervención y seguimiento adecuados a los casos que se atienden. Según Wikipedia (2013), por fracaso o abandono escolares prematuro se entiende normalmente el hecho de no lograr el título académico mínimo obligatorio de un sistema educativo. No debe confundirse con el abandono escolar temprano, indicador que incluye a quienes terminan la educación obligatoria con aprovechamiento, pero no siguen estudiando. El fracaso escolar es un problema que preocupa tanto a padres y educadores como a todo el medio educativo. Por otro lado, no se debe considerar a la escuela como un lugar donde sólo se adquiere información, sino un espacio donde también se desarrollan las capacidades para analizar y resolver problemas cotidianos, particularmente en la disciplina de las matemáticas. Existe un número considerable de escolares que en el aula sufren a diario las consecuencias de sus múltiples trastornos de aprendizaje en el cálculo, sin tener el alivio de una conducción educativa que los libere del fracaso. 21

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El fracaso se atribuye, en algunos casos, al Sistema Educativo, en otros, al alumnado –por fallos neuropsicológicos o limitaciones en el razonamiento lógico, por ejemplo–, y al profesorado, y otros tantos, lo consideran imputable a instituciones extraescolares, de tipo familiar, social y/o cultural. Esta visión es reduccionista, pues centra las variables en el alumno, en los procedimientos de la enseñanza-aprendizaje, factores socioculturales o hasta en la misma escuela. Lo cierto es que en el fracaso escolar confluyen toda una serie de determinantes que se relacionan entre sí, y que para su manejo o resolución es necesario considerarlos en conjunto. Los objetivos de la educación matemática básica son tan amplios que sus dificultades sobrepasan las explicaciones e interpretaciones restrictivas de las teorías. En los últimos años se ha producido un cambio en el enfoque del estudio de las dificultades de aprendizaje en matemáticas (DAM): en vez de centrarse en las diferencias de habilidad definidas psicométricamente o en una experimentación ateórica centrada en la búsqueda de las técnicas didácticas más eficaces. El interés de la investigación está en comprender la naturaleza de la ejecución matemática, las demandas cognoscitivas que implica y las estrategias de los orientados para responder a dichas demandas. Esto significa tener claro cómo procesan la información, cómo la van construyendo en forma activa, cómo van desarrollando las diferentes subhabilidades y cómo forman la red de conocimientos matemáticos para poder resolver los problemas que se les presentan.

¿Cuáles serían los objetivos de la educación matemática a desarrollar en los alumnos? Los objetivos de la educación matemática son: a) Desarrollo de la comprensión y destrezas matemáticas exigidas en la vida adulta. b) Contar con las bases matemáticas necesarias para el estudio de otras materias. c) Promover actitudes de disposición hacia esta área como la llave de acceso al mundo científico y tecnológico del mundo actual. d) Ser consciente de que las matemáticas son un medio eficaz y necesario para explorar, crear y acomodarse en los retos de la globalización.

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¿Qué habilidades abarca la enseñanza tradicional de las matemáticas elementales? Tradicionalmente, abarca las siguientes habilidades: • • •

La numeración, el cálculo numérico y la resolución de problemas. La estimación de los procesos de autocontrol en la ejecución matemática. La adquisición de la medida y de algunas nociones geométricas.

¿Cómo suelen clasificarse los aprendizajes matemáticos? Tradicionalmente comprenden la numeración, el cálculo, la resolución de problemas, estimación, uso de instrumentos tecnológicos, fracciones y decimales, medida y geometría. Sin embargo, se pueden reducir su aprendizaje en tres grandes grupos básicos: a) Nociones y procesos básicos aritméticos y geométricos. b) Numeración y el cálculo. c) Planteamiento y resolución de problemas.

¿A qué se hace referencia en este trabajo? En este trabajo se hace referencia a las habilidades básicas en relación con las DAM fundamentada principalmente en dos paradigmas: a) La psicología cognoscitiva. b) La neuropsicológica. Aunque también se contemplan otros enfoques que son útiles en algunos casos, con el fin de favorecer la comprensión más adecuada de los fenómenos matemáticos y sus problemas.

¿Cuál es el objetivo de este trabajo? El objetivo del presente trabajo es ofrecer un primer acercamiento al tema de las dificultades de aprendizaje en matemáticas, ya que hoy en día es notorio el primer lugar que ocupa dentro del fracaso escolar, tanto en la educación básica, como en la media y en la superior.

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Otro motivo es el estimular la participación de los alumnos del diplomado interesados en ayudar a personas que presentan problemas de aprendizaje compartan sus experiencias, dialoguen e intercambien ideas sobre los contenidos de manera que se vivencie una propuesta pedagógica de intervención que les permita atender a personas con estos problemas y, a la vez, poder orientar a padres de familia y profesores que, desafortunadamente, no siempre conocen los procedimientos adecuados para ayudar a este tipo de estudiantes.

¿Cuál es el procedimiento? En un primer momento se abre el diálogo para revisar los problemas de aprendizaje en general y en matemáticas en particular. Se pone énfasis en la etiología de estas dificultades y terminología propia de esta materia, así como de un breve marco teórico contextual sobre este tema. De alguna manera se tocan las capacidades intelectuales y su relación con el aprendizaje de las matemáticas, el cálculo y los problemas de la discalculia, la noción de número, ejercicios preparatorios del lenguaje matemático, conceptos numéricos, detección y diagnóstico de las dificultades de aprendizaje en matemáticas y el fracaso escolar para culminar con una propuesta de intervención psicopedagógica. Se brinda una atención especial a los recursos lúdico-manipulativos, los cuales se trabajarán principalmente durante todas las sesiones del módulo haciendo énfasis en la práctica.

¿Qué se les pide a los participantes? En general, se pide a los participantes: • • • • •

Su puntual asistencia a las sesiones con el fin de poder aprovechar al máximo el tiempo. Hacer las lecturas del manual con la debida antelación con el fin de poder elegir los contenidos que los equipos desean aplicar con el grupo. Vincular la teoría con la práctica. Es indispensable modelar estrategias que permitan ilustrar los procedimientos y técnicas a seguir para la intervención. Elaborar material específico del tema y compartirlo con el grupo. Participación y colaboración activa todas las sesiones. 24

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• •

Compartir y aportar todo lo que se pueda para enriquecer los contenidos. Participación en los foros de la plataforma y subida de las tareas a tiempo.

Ahora que ya conoces de qué se trata, ¿qué visión tienes sobre lo que ocurrirá en este módulo matemático? Justifica tu respuesta.

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Actividad # 1

Experiencia personal Nombre: Fecha de aplicación:

Exp. No.: Tema: Experiencia

Instrucciones. Escribe en el primer recuadro cuál ha sido tu experiencia positiva con las matemáticas, y en el segundo las negativas.

Mis experiencias positivas con las matemáticas

Mis experiencias negativas con las matemáticas

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Actividad # 2

¿De quién es la responsabilidad? Nombre: Fecha de aplicación:

Exp. No.: Tema: responsabilidad

Instrucciones. Lee la siguiente lectura y subraya las ideas clave para después concluir y poder discutir con tu equipo de trabajo y llegar a un acuerdo. Sube al foro tus ideas. Una de las preocupaciones más frecuentes entre los profesores de educación preescolar y de primaria al enseñar matemáticas se centra en las dificultades que implica el aprendizaje del lenguaje simbólico propio de esta materia, pues dominarlo adecuadamente requiere el mismo esfuerzo al aprendizaje de la lengua materna o cualquier otra lengua. Cuando el profesor identifica alumnos que no pueden aplicar los contenidos que ha enseñado de esta materia suele etiquetarlos como personas que tienen dificultades para aprender matemáticas (DAM); sin embargo, muchos de ellos pueden desenvolverse bien en su medio y resolver situaciones que implican el cálculo, como es el comprar y vender, pero no lo hacen con los pasos sistematizados que supuestamente debió haber aprendido en la escuela. ¿Qué sucede?, ¿realmente padecen DAM o sólo se trata usar procedimientos diferentes? ¿Se puede etiquetar tan fácilmente a los alumnos o hay que ir más allá para poder avalar este “diagnóstico presuntivo”? En muchas escuelas se sigue un procedimiento tradicional, donde predomina la memoria, la repetición y la mecanización, en contraste con el razonamiento y la comprensión, dando poco o ningún espacio a la experimentación y vinculación con situaciones de la vida diaria, además de hacer a un lado los intereses propios de su edad en aras de cumplir con un programa generalmente muy ambicioso. ¿Qué tan consciente es el profesor del nivel de conocimientos que tiene el niño y si cuenta o no con las bases para adquirir los contenidos que se deben dominar en el grado en que se encuentra? ¿Tiene noción temporal y espacial para poder ordenar, clasificar, seriar, por ejemplo, comprende el concepto del número, tiene una correspondencia número – objeto, le es claro lo que significa cada signo, lo que implica cada fórmula? ¿Ha comprendido el proceso para resolver los 27

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problemas, o sólo lo hace en forma automática porque se le pide la repetición verbal y memorística? ¡Cuántos niños padecen por no entender para qué sirven las cuatro operaciones básicas!, cuál es su utilidad y cuál es el apoyo que nos prestan en la vida diaria. En la escuela se suele enseñar sin materiales concretos que evidencien los procedimientos de una manera lógica y entendible. En contraste, se promueve seguir una serie de pasos de manera abstracta, sin aprovechar su curiosidad natural al dejarlo manipular objetos concretos. El primer reto de un problema es identificar qué es lo que se necesita resolver, es decir, cuál es la pregunta que se debe responder y para qué. Cuantos adultos tienen un serio rechazo a esta materia por sentirse inseguros al tener que hacer cualquier tipo de actividad que implique el procedimiento sistemático que debió dominar en la escuela. Muchas veces sólo lo resuelve de manera automática porque durante las sesiones escolares sólo tenía que resolver el libro, a veces lleno de operaciones o problemas que no le decían nada por no tener la oportunidad de encontrarle algún sentido en su contexto. La vida diaria es matemática y el mundo es matemático. Hay muchas situaciones que nos piden resolver cuestiones abstractas que involucran el comparar, calcular, probar, construir, intercambiar ideas o adoptar otras nuevas, así como formular hipótesis propias y encontrar alternativas. Tymoszco (1986) y Ernest (1991) sostienen que las matemáticas no deben ser enseñadas de forma aislada, sino dentro de un contexto, de lo contrario, ¿se pueden enseñar y aprender? ¿Qué tan válido es apegarse a los requerimientos oficiales, que exigen impartir un vasto contenido, sin alterar el orden ni permitir innovaciones o actividades manipulativas y más creativas?, ¿todos los alumnos deben seguir el mismo ritmo de aprendizaje y alcanzar el mismo nivel para no quedar rezagados? ¿El sistema educativo nacional permite la flexibilidad? ¿Es posible otorgarla como está organizada la escuela? También es necesario considerar la formación del docente y su actitud ante las matemáticas. ¿Cómo las enseña?, ¿qué tipo de formación y experiencias ha tenido al respecto?, ¿domina este lenguaje?, ¿puede hacer los ajustes necesarios para enseñarlas a sus alumnos adecuadamente o sólo es un repetidor de los procedimientos que él recuerda cuando era estudiante?, ¿son eficaces los cursos que se les brinda como actualización docente? ¿Por qué no se ha visto una mejora significativa en ellos de manera que haya resultados más halagüeños?, ¿realmente necesitan conocer más teorías o se requiere centrarse más en el cómo 28

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y para qué? ¿Qué tan válido es tomar como base los intereses individuales y amigarlos con el contexto social donde se desarrolla el alumnado?, ¿cómo pueden mejorar los procesos de enseñanza los profesores para que los alumnos logren disfrutar de las matemáticas, aprenderlas bien de manera que les sean útiles para resolver los distintos retos que afrontan, compartirlas con sus iguales, contrastarlas e incorporarlas en su formación, ayudándoles en el desarrollo de los procesos de pensamiento en lugar de limitarse sólo a la transferencia de contenidos? ¿La Psicología Cognoscitiva es realmente la respuesta para comprender y ayudar al desarrollo de procesos mentales para resolver problemas y tomar decisiones? Lo cierto es que el profesor debe ocuparse de sus alumnos para desarrollar las habilidades necesarias que le permitan tener acceso al mundo matemático a través del juego y el intercambio activo y experimental con sus compañeros, tomando en cuenta sus intereses.

Mis conclusiones

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2. Las capacidades intelectuales y su relación con el aprendizaje de las matemáticas ¿Cuáles son los conceptos generales básicos? Antes de comenzar a ver terminología matemática básica, es necesario distinguir entre capacidad, habilidad y destreza.

¿Qué se entiende por capacidad? La capacidad se define como los recursos y aptitudes que tiene un individuo, entidad o institución para desempeñar una determinada tarea o cometido. En general, cada persona cuenta con una amplia variedad de capacidades de las cuales no está consciente del todo. Así, se enfrenta a distintas tareas que le propone su existencia sin reparar especialmente en los recursos que emplea. Esta circunstancia se debe al proceso mediante el cual se adquieren y utilizan estas aptitudes. Al principio, una persona puede ser incompetente para una determinada actividad y desconocer esta circunstancia; luego, puede comprender su falta de capacidad, motivándose para desarrollarla. Las siguientes frases célebres complementan estas ideas: • • • •

"Nadie sabe de lo que es capaz hasta que lo intenta." (Publio Siro, poeta romano). "El hombre nunca sabe de lo que es capaz hasta que lo intenta." (Charles Dickens, inglés). "Todo lo individual por sí tiene una medida propia de aptitud, sólo la capacidad del género es inmensurable." (Novalis, poeta y filósofo alemán). "Los hombres siempre desaprueban lo que no son capaces de hacer. " (Cristina II, Reina sueca)

¿Cómo se define la habilidad? La habilidad es el talento, pericia o aptitud para realizar una cosa con el fin de ejecutarla con gracia y destreza. Casi todos los seres humanos, incluso aquellos que observan algún problema motriz o discapacidad intelectual, tienen algún tipo de aptitud. Cada individuo desarrolla sus propias habilidades, por eso se observa en todos y todas las mismas destrezas para hacer las mismas cosas, gracias a esto

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existe la diversificación de tareas y trabajos. Las siguientes frases célebres complementan estas ideas: • • • • • • • • • • •

"El carpintero hábil no se hace torpe para poder ser imitado por cualquiera de sus ayudantes." (Confucio). "Cuando más se pone a prueba la habilidad conciliatoria de una persona, es cuando tiene que concertar con un necio." (Doménico Cieri Estrada). "El martirio es la única forma que una persona sin ningún tipo de habilidad puede convertirse en alguien grandioso." (George Bernard Shaw). "El que lucha contra nosotros nos refuerza los nervios y perfecciona nuestra habilidad". (Edmund Burke). "Son nuestras decisiones las que muestran lo que podemos llegar a ser. Mucho más que nuestras propias habilidades." (Joanne Katheleen Rowling). "De la igualdad de habilidades surge la igualdad de esperanzas en el logro de nuestros fines." (Thomas Hobbes). "La excelencia del alimento mental reside menos en el tema que en la habilidad del autor para bien aderezarlo." (Henry Fielding). "Lo que se necesita principalmente es habilidad en lugar de maquinaria." (Wilbur Wright). "La habilidad de llevarse bien sin un líder excepcional es la marca de vigor social." (Eric Hoffer). "Cuando el amor y la habilidad trabajan juntos el resultado es una obra maestra." (John Ruskin). "La habilidad mata a la sabiduría; ésta es una de las pocas cosas ciertas y dolorosas." (Gilbert Keith Chesterton).

¿Qué propuestas hay para desarrollar las habilidades en las escuelas? En 1993 la División de Salud Mental de la Organización Mundial de la Salud (OMS) lanzó la Iniciativa Internacional para la Educación en Habilidades para la Vida en las Escuelas (Life Skills Education in Schools). El propósito de esta actuación era difundir mundialmente la enseñanza de un grupo genérico de diez destrezas psicosociales, consideradas relevantes en la promoción de la competencia psicosocial de niñas, niños y jóvenes. 1. 2. 3. 4. 5.

Autoconocimiento. Empatía. Comunicación asertiva. Relaciones interpersonales. Toma de decisiones

6. Solución de problemas y conflictos. 7. Pensamiento creativo. 8. Pensamiento crítico. 9. Manejo de emociones y sentimientos. 10. Manejo de tensiones y estrés. 31

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¿Cuáles son las habilidades de pensamiento y de solución de problemas? Es necesario especificar cuáles son las habilidades de pensamiento y de solución de problemas van asociadas al área matemática y, por lo tanto, requieren ser contempladas: • • •

Pensamiento crítico y pensamiento sistémico. Identificación, formulación y solución de problemas. Creatividad y curiosidad intelectual.

¿En qué consiste la destreza? La destreza es la habilidad o arte con el cual se realiza una determinada cosa, trabajo o actividad, esto es, la persona que la posee manipula objetos con gran habilidad. Especialmente, la destreza está vinculada a trabajos físicos o manuales. Así, por ejemplo, la destreza en combinación con la preparación física y con los ejercicios físicos hará que el deportista desarrolle una serie de cualidades motrices tales como la resistencia, coordinación, agilidad, flexibilidad, fuerza, velocidad y relajación. Por tanto, es preciso explicar que se nace con la capacidad, se desarrolla la habilidad y se refuerza la destreza; sin embargo, no todas las personas nacen con las capacidades necesarias para llevar a cabo tareas específicas y, en otros casos, hay personas que no logran desarrollar la habilidad por sí mismas, por lo tanto, requieren del apoyo de la educación en ambos casos. Entre las frases célebres sobre destreza, se consideran: • • •

• •

“La destreza ayuda en todo, pero no basta para nada”. (Henri Frédéric Amiel). “La inteligencia consiste no sólo en el conocimiento, sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica”. (Aristóteles). “El hombre dotado de inteligencia puede con el don de saber que posee, conseguir la capacidad necesaria para toda la técnica y destreza artística”. (Theophilus Prebsbyter). “La habilidad es la astucia lo que la destreza a la estafa”. (Chamfort). “De los burros, la destreza no radica en la cabeza”. (Anónimo).

¿Qué es la inteligencia lógico-matemática? Corresponde a una de las ocho inteligencias múltiples del modelo propuesto por Howard Gardner (1983), psicólogo investigador de la Universidad de Harvard: la lógica-matemática, que es la capacidad para resolver problemas.

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El razonamiento lógico permite calcular, medir, evaluar proposiciones e hipótesis y efectuar operaciones matemáticas complejas. Incluye la capacidad de utilizar los números con eficacia, de razonar adecuadamente usando el pensamiento lógico y ser sensible a los patrones y relaciones lógicas. Se manifiesta cuando se trabaja con conceptos abstractos o argumentaciones de carácter complejos. Tener un nivel alto en este tipo de inteligencia es poseer sensibilidad para realizar esquemas y relaciones lógicas, afirmaciones y proposiciones, funciones y otras abstracciones relacionadas; alto nivel de razonamiento numérico, resolución, comprensión y planteamiento de elementos aritméticos y, en general, facilidad en la resolución de problemas.

¿Cuáles son las capacidades superiores relacionadas con las habilidades matemáticas? Es importante saber cuáles son las capacidades de orden superior que han de ser desarrolladas en la escuela asociadas con las matemáticas. 1. Análisis. Capacidad para distinguir y separar las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos. 2. Síntesis. Capacidad para llegar a la composición de un todo a partir del conocimiento y reunión de sus partes. 3. Conceptualización. Capacidad de abstraer los rasgos que son necesarios y suficientes para describir una situación, un fenómeno o un problema. 4. Manejo de la información. Capacidad para visualizar y ubicar los datos y la información necesarios para la mejor comprensión de un fenómeno o situación dada; la capacidad para discernir la pertinencia de datos e informaciones disponibles; también la capacidad de encontrar tendencias o relaciones entre conjuntos desordenados de datos o informaciones. 5. Pensamiento sistémico. Capacidad para visualizar como un sistema [1] los elementos constitutivos de una situación o fenómenos, así como la habilidad de visualizar los sistemas como totalidades que forman parte de totalidades mayores y que pueden ser descompuestos en totalidades menores. Operativamente implica las capacidades de análisis y síntesis, pero agrega el carácter dinámico y se centra en el estudio de las interacciones. 6. Pensamiento crítico. Capacidad de pensar por cuenta propia, analizando y evaluando la consistencia de las propias ideas, de lo que se lee, de lo que se escucha, de lo que se observa. 7. Investigación. Capacidad para plantear interrogantes claros con respecto a una situación o fenómeno dado; de proponer hipótesis precisas y modelos conceptuales de lo que se estudia; de producir o recopilar datos e información 33

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con el propósito de verificar el modelo conceptual y las hipótesis; de examina el peso y la validez de la información y el grado con el que se refutan las hipótesis o los modelos conceptuales y, por último, formular teorías, leyes o conceptos acerca del fenómeno en estudio. 8. Metacognición. Capacidad de reflexionar sobre los pensamientos propios, incluye la planeación antes de una tarea, el monitoreo durante una tarea y la autoevaluación al terminarla.

¿Cuáles son las habilidades y destrezas matemáticas? Las actividades intelectuales permiten percibir, comprender, concebir y actuar, por lo que, existen habilidades propias de las capacidades que se relacionan con la actividad matemática. • • • • • • •

La aptitud numérica: es la habilidad para la velocidad y la precisión numérica. La comprensión verbal: es la habilidad para comprender lo que se lee o se oye y la relación entre las palabras. La velocidad perceptiva: es la habilidad para identificar las similitudes y las diferencias que se pueden ver rápidamente y con precisión. El razonamiento inductivo: es la habilidad de identificar la secuencia lógica de un problema en un problema y luego resolverlo. El razonamiento deductivo: es la habilidad para usar la lógica y evaluar las implicancias de un argumento. La visualización espacial: es la habilidad de imaginar la manera en que vería un objeto al cambiarle de posición en el espacio. La memoria: es la habilidad de retener y recordar experiencias pasadas.

¿Cómo se define a las matemáticas? Las matemáticas se definen como la ciencia formal que parte de axiomas y sigue con el razonamiento lógico para estudiar las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin. Algunas definiciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque sólo una parte de las matemáticas 34

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actuales usan números, predominando el análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.

¿Qué es un axioma? Un axioma es una proposición que se considera “evidente” y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados. En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas “afirmaciones evidentes”, porque permiten deducir las demás fórmulas.

¿Qué es un postulado? En lógica, un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien planteada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemáticas se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.

Mis conclusiones

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Actividad # 3

Acertijos matemáticos Nombre: Fecha de aplicación:

Exp. No.: Tema: ingenio y creatividad

Instrucciones. Resuelve los siguientes acertijos lo más rápido que puedas. Te puedes ayudar con un compañero o de tu equipo de trabajo. Si estás en casa, involucra a tu familia y pasen un momento divertido aprendiendo a deducir las respuestas al descubrir el juego de palabras que está involucrado.

Preguntas 1. ¿Cuál es el número que si lo pones al revés vale menos? 2. ¿Cuál es el número que si le quitas la mitad vale cero? 3. Hay gatos en un cajón, cada gato en un rincón, cada gato ve tres gatos, ¿sabes cuántos gatos son? 4. ¿Qué pesa más, un kilo de hierro o un kilo de paja? 5. Si estás en una carrera y adelantas al segundo, ¿en qué posición terminarás la carrera? 6. De siete patos metidos en un cajón ¿cuántos picos y cuántas patas son? 7. En un árbol hay siete perdices; si un cazador dispara y mata dos, ¿cuántas perdices quedan en el árbol? 8. Si digo cinco por cuatro veinte, más dos es igual a veintitrés, ¿es verdad o mentira? 9. Un pan, otro pan, pan y medio, y medio pan, ¿cuántos panes son? 10. ¿Cómo podría repartir una madre tres papas entre sus cuatro hijos? Cuadro # 5. Acertijos matemáticos.

Responde

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Respuestas 1. ¿Cuál es el número que si lo pones al revés vale menos? 2. ¿Cuál es el número que si le quitas la mitad vale cero? 3. Hay gatos en un cajón, cada gato en un rincón, cada gato ve tres gatos, ¿sabes cuántos gatos son? 4. ¿Qué pesa más, un kilo de hierro o un kilo de paja? 5. Si estás en una carrera y adelantas al segundo, ¿en qué posición terminarás la carrera? 6. De siete patos metidos en un cajón ¿cuántos picos y cuántas patas son? 7. En un árbol hay siete perdices; si un cazador dispara y mata dos, ¿cuántas perdices quedan en el árbol? 8. ¿Qué hacen seis mujeres juntas? 9. Un pan, otro pan, pan y medio, y medio pan, ¿cuántos panes son? 10. ¿Cómo podría repartir una madre tres papas entre sus cuatro hijos?

9 8 4 gatos Pesan lo mismo El segundo 2 picos y 4 patas “metí dos” Ninguna, se van volando Media docena 4 panes En puré

Cuadro # 6. Respuestas a los acertijos matemáticos.  Fuente: http://acertijos.elhuevodechocolate.com/de1a12/acertijo7.htm

¿Cuál es la función de los hemisferios cerebrales? Para facilitar el estudio del cerebro humano los especialistas lo han dividido en dos hemisferios; el izquierdo y el derecho. Cada uno tiene funciones diferentes. •

En el hemisferio izquierdo se encuentran las funciones del lenguaje hablado y escrito, la habilidad numérica, el razonamiento, la habilidad científica y el control de la mano derecha. Se ocupa de la parte verbal: en las estructuras del área de Broca se localiza el centro del habla y en el área de Wernicke la comprensión del lenguaje. Dentro de sus funciones están las habilidades de análisis, razonamiento lógico, la abstracción y resolver problemas numéricos. A través de este hemisferio se aprende la información teórica, y es donde se ubican las dificultades de aprendizaje en matemáticas y la discalculia. Estas dificultades en el cálculo se han dividido en dos grupos grandes grupos: las referentes al orden en el espacio y la simbolización requerida para hacer los cálculos. Otro tipo de dificultad se relaciona con los problemas matemáticos con base en la capacidad de comprensión.

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•

En el hemisferio derecho se realizan las funciones de perspicacia, percepción tridimensional, sentido artístico, imaginación, sentido musical y control de la mano izquierda. También se ocupa de la expresión no verbal, la percepción, la orientación espacial, la conducta emocional (la facultad para expresar y captar emociones). Además, controla los aspectos no verbales de la comunicación, intuición, reconocimiento y recuerdo de caras, voces y melodías. A través de este hemisferio, se piensa y se recuerda en imágenes. Se le conoce como hemisferio holístico porque integra al ser intuitivo. Las personas con mayor dominio del hemisferio derecho tienden a recordar y aprender en imágenes, combinan las partes para formar un todo, son personas creativas y tienen desarrollada la imaginación.

Fig. # 4. Vista exterior del cerebro del lado izquierdo.

Un cuento muy cerebral “Estoy al frente, esperando a mis parientes, que vienen del occidente, para guarecerse del temporal”. ¿Qué nos enseña este cuento? Los nombres de los lóbulos cerebrales: frontales, parietales, occipitales y temporales. Apréndelo y te será fácil recordarlos.

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Actividad # 4

Lectura de colores Exp. No.: Tema: hemisferios cerebrales

Nombre: Fecha de aplicación:

Instrucciones. Lee las siguientes palabras diciendo el color en lugar de la palabra.

Fig. # 5. Juego de colores.

¿Cuál es la incidencia de estudiantes con DAM? La mayoría de los especialistas del área de problemas de aprendizaje sostienen que alrededor del 25 % de los alumnos con dificultades específicas de aprendizaje tienen problemas con el cálculo y/o la solución de problemas, y cuando se dan combinados con problemas de lectura y/o escritura, el porcentaje aumenta hasta el 55 %, aproximadamente. Si bien es cierto que las dificultades de aprendizaje van asociadas con la mitificación social y las normas socio-matemáticas limitando los procedimientos lógico-matemáticos, también es verdad una relación directa con el desarrollo de las capacidades y las funciones superiores de la inteligencia como son la abstracción, el juicio, el razonamiento, la generalización y la deducción. 39

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¿Cómo llegar al conocimiento del número? Piaget llegó a la conclusión de la existencia de una lógica para el conocimiento del número, la cual se va desarrollando, pues ésta no se da en el niño pequeño de manera automática, pues en ese periodo no es capaz de comprender el número abstracto per se. Antes de llegar a este concepto, necesita haber aprendido a clasificar y a seriar; por lo tanto, las escuelas deben promoverlos en lugar de favorecer la memorización. Por ejemplo, se memorizan las tablas de multiplicar en lugar de saber de dónde provienen los resultados; se reconocen las figuras por los lados que tienen y no por las formas. Desafortunadamente, los docentes enseñan matemáticas como un proceso mecánico en lugar de relacionarlo con la realidad, tomando como base el análisis, la síntesis y la comprensión oral y escrita, estableciendo un vínculo entre las funciones de ambos hemisferios para privilegiar la comprensión del lenguaje numérico y el razonamiento analítico numérico.

Actividad # 5

Discusión en pequeños grupos Nombre: Fecha de aplicación:

Exp. No.: Tema: reflexión idea central

Instrucciones: discute con tu equipo las ideas que sostiene Jimeno. Complementen con la ilustración de los hemisferios. Concluyan. “Cuando se habla de matemáticas en el aula, el lenguaje oral suele ser mínimo en las sesiones de matemáticas, el lenguaje escrito y simbólico es prioritariamente utilizado; el estilo retórico se convierte en algo tan importante o más que el contenido, un estilo que traduce las matemáticas escolares a un uso restringido de un lenguaje técnico y notaciones estándar, unas formas mínimas de expresión y empleo de métodos estándar, donde es importante hasta cómo se organiza espacialmente en el papel una actividad, convirtiéndose en muchas ocasiones en un simple juego con símbolos y las reglas que permiten combinarlos adecuadamente”. (Jimeno, s.f.).

Mis conclusiones

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Fig. # 6. Funciones de los hemisferios cerebrales.

Mis conclusiones sobre las funciones de los hemisferios cerebrales

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2.1 La teoría de los dos hemisferios ¿Cómo está formado el cerebro? El cerebro humano consta de dos hemisferios, unidos por el cuerpo calloso, que se hallan relacionados con áreas muy diversas de actividad y funcionan de modo muy diferente, aunque complementario. Podría decirse que cada hemisferio, en cierto sentido, percibe su propia realidad; es decir, percibe la realidad a su manera. Ambos utilizan modos de cognición de alto nivel. Cada mitad tiene su propia forma de conocimiento, su propia manera de percibir la realidad externa, su propia personalidad, y son complementarias una de la otra. Ningún hemisferio es más importante que el otro, pues en cualquier tarea se necesitan ambos en la medida que es más compleja. Siempre busca el equilibrio, conciliando las polaridades.

¿Cómo procesa la información cada hemisferio? Cada hemisferio cerebral tiene un estilo de procesamiento de la información que recibe. Según Jerre Levy, en Psychobiological implications of bilateral asymmetry, el hemisferio izquierdo analiza en el tiempo, mientras que el derecho sintetiza en el espacio.

¿Cómo trabaja el hemisferio izquierdo? Este hemisferio procesa la información analítica y secuencial, paso a paso, de forma lógica y lineal: analiza, abstrae, cuenta, mide el tiempo, planea procedimientos paso a paso, verbaliza; piensa en palabras y números. En suma, en este lado se encuentran las capacidades para leer, escribir y calcular. La percepción y la generación verbales dependen del conocimiento del orden o secuencia en el que se producen los sonidos. Conoce el tiempo y su transcurso. Se guía por la lógica lineal y binaria (sí-no, arriba-abajo, antes-después, másmenos, 1, 2, 3, 4… etc.). •

Emplea el pensamiento convergente, al obtener nueva información usando datos disponibles, formando nuevas ideas o datos convencionalmente aceptables.

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• • •

Aprende de la parte al todo y absorbe rápidamente los detalles, los hechos y las reglas. Analiza la información paso a paso. Quiere entender los componentes uno por uno.

¿Cómo trabaja el hemisferio derecho? Este hemisferio utiliza la percepción global sintetizando la información que le llega. Percibe las cosas en el espacio y cómo se combinan las partes para formar el todo. A través de éste se utilizan las metáforas, los sueños, la creación de nuevas combinaciones de ideas, es experto en el proceso simultáneo y del paralelo, es decir, no pasa de una característica a otra, sino que busca pautas y gestaltes. Procesa la información de manera global partiendo del todo para entender las distintas partes que componen ese todo. Es el hemisferio holístico, intuitivo en vez de lógico, piensa en imágenes, símbolos y sentimientos. Ahí se encuentra la capacidad imaginativa y fantástica, espacial y perceptiva. Se interesa por las relaciones y es eficaz en la mayoría de las tareas visuales y espaciales, para reconocer melodías musicales. En suma, percibe pautas de estímulos visuales y auditivos, la intuición o momento en que todo parece encajar sin tener que explicar las cosas en un orden lógico. Es el momento del “ajá”, ya lo tengo o ahora sí lo veo claro: es el “eureka” o lo encontré atribuido a Arquímedes, quien recibió y experimentó una súbita iluminación mientras se bañaba, lo que le permitió formular su principio de usar el peso del agua desplazada para deducir el peso de un objeto sólido sumergido. • • • •

Emplea el pensamiento divergente, creando una variedad y cantidad de ideas nuevas, más allá de los patrones convencionales. Aprende del todo a la parte. Para entender las partes necesita partir de la imagen global. No analiza la información, la sintetiza. Establece relaciones, no le preocupan las partes en sí, sino saber cómo encajan y se relacionan unas partes con otras.

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2.2 Comparación entre ambos hemisferios ¿Qué quehaceres caracterizan a cada uno de los hemisferios? Hemisferio Izquierdo

Hemisferio Derecho No verbal: Es consciente de las cosas, Verbal: Usa palabras para nombrar, pero le cuesta relacionarlas con describir, definir. palabras. Analítico: Estudia las cosas paso a Sintético: Agrupa las cosas para paso y parte a parte. formar conjuntos. Simbólico: Emplea símbolos en representación de algo. Por ejemplo, el Concreto: Capta las cosas tal como dibujo significa "ojo"; el signo “+” son, en el momento presente. representa el proceso de adición. Abstracto: Toma un pequeño Analógico: Ve las semejanzas entre fragmento de información y lo emplea las cosas; comprende las relaciones para representar el todo. metafóricas. Temporal: Sigue el paso del tiempo, ordena las cosas en secuencias: Atemporal: Sin sentido del tiempo, empieza por el principio, relaciona el centrado en el momento presente. pasado con el futuro, etc. No racional: No necesita una base de Racional: Saca conclusiones basadas razón, ni se basa en los hechos, tiende en la razón y los datos. a posponer los juicios. Espacial: Ve donde están las cosas en relación con otras cosas, y como se Digital: Usa números, como al contar. combinan las partes para formar un todo. Lógico: Sus conclusiones se basan en Intuitivo: Suele tener inspiraciones la lógica: una cosa sigue a otra en un repentinas, a veces basadas en orden lógico. Por ejemplo, un teorema patrones incompletos, pistas, matemático o un argumento razonado. corazonadas o imágenes visuales. Lineal: Piensa en términos de ideas Holístico: Ve las cosas completas, de encadenadas, un pensamiento sigue a una vez; percibe los patrones y otro, llegando a menudo a una estructuras generales, llegando a conclusión convergente. menudo a conclusiones divergentes. Cuadro # 7. Comparación de quehaceres de los dos hemisferios.

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¿Cuáles son las características principales de ambos hemisferios? Según la doctora Jill Bolte Taylor (My stroke of Insight) o el funcionamiento de los hemisferios del cerebro, se caracterizan por lo siguiente: Hemisferio Izquierdo

Hemisferio Derecho

Lógico, analítico y explicativo, detallista Holístico e intuitivo y descriptivo, global Abstracto, teórico

Concreto, operativo

Secuencial

Global, múltiple, creativo

Lineal, racional

Aleatorio

Realista, formal

Fantástico, lúdico

Verbal

No verbal

Temporal, diferencial

Atemporal, existencial

Literal

Simbólico

Cuantitativo

Cualitativo

Lógico

Analógico, metafórico

Objetivo

Subjetivo

Intelectual

Sentimental

Deduce

Imagina

Explícito

Implícito, tácito.

Convergente, continuo

Divergente, discontinuo

Pensamiento vertical

Pensamiento horizontal

Sucesivo

Simultáneo

Intelecto

Intuición

Secuencial

Múltiple

Cuadro # 8. Características principales de los dos hemisferios.

Mis conclusiones

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Actividad # 6

Lectura rítmica Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: lenguaje y movimiento

Instrucciones. Lee únicamente haciendo los movimientos que se te indiquen con base en cada una de las figuras que a continuación se presentan.

Fig. # 7. Lectura rítmica 46

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3. El laboratorio interno de la imaginación ¿Cómo usar la imaginación en el aprendizaje de las matemáticas? Emplear la imaginación como un vehículo para el aprendizaje de las matemáticas es utilizar un medio que lleva a realizarlo de manera natural y divertida, a través de juegos y actividades que van desarrollando el pensamiento lógico del participante.

¿Por qué un laboratorio interno? Todos tenemos un laboratorio aritmético interno que nos permite trabajarla de manera natural y espontánea pues, las matemáticas, son parte de nuestro quehacer natural y las utilizamos constantemente aún sin darnos cuenta: al ordenar, clasificar, comparar, aumentar o disminuir, al comprar o vender, etc.

¿Por qué considerar a las matemáticas para trabajar el laboratorio interno? Desafortunadamente, las matemáticas es la materia escolar que más se rechaza hoy en día y la que más se reprueba. Los alumnos tienen gran aversión hacia ella porque se les dificulta su aprendizaje y, a su vez, los profesores, que en general son matemáticos y no pedagogos, o sólo tienen algunas nociones o se ven obligados a impartirla, con frecuencia no saben cómo enseñarla, proponiendo ejercicios tediosos que piden sólo la memoria de fórmulas o procedimientos sin fundamentarse en la comprensión y el desarrollo del pensamiento lógico. Esta aversión es tal que, al momento de elegir la carrera profesional, un alto porcentaje de estudiantes la escogen según haya o no materias que utilicen matemáticas.

¿Qué repercusión social tiene el no contar con matemáticos de calidad? Esta actitud de rechazo hacia las matemáticas nos pone, como país, en gran desventaja debido a que, si un gran número de profesionistas no la incorpora, difícilmente podremos avanzar con fluidez en los terrenos científico y tecnológico. Será una limitante también para continuar estudios de posgrado, de actualización y de superación profesional. Tampoco se puede ingresar al mundo globalizado debido a que muchas interacciones se basan en esta disciplina. 47

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¿A qué se debe este rechazo? Hay muchos puntos que aclarar al respecto, sin embargo, de manera breve y como un primer paso, se puede afirmar que los alumnos, sean niños o jóvenes, que manifiestan dificultades en matemáticas se debe a que no han resuelto una serie de prerrequisitos mentales para que esta materia pueda ser comprendida con facilidad. Tales lagunas de pensamiento, hasta que no lleguen a subsanarse, dificultarán la comprensión de esta materia. En contraste, una vez subsanados los procesos aritméticos, éstos se llegan a comprender y a descubrir. El problema en las escuelas está principalmente aquí: el alumno que no ha comprendido un paso, y se le presiona para seguir adelante, empieza a quedar con lagunas que le irán creando obstáculos fuertes evitando su rendimiento adecuado.

3.1 La imaginación, prerrequisito para la buena comprensión de la aritmética ¿Cómo dar el primer paso? Los participantes necesitan tomar conciencia de ese lenguaje interno que hay dentro de ellos mismos de manera natural y que les permita descubrir las matemáticas. Hay que cultivar este lenguaje para poder adquirir el sentido lógicomatemático, el cual está basado en la imaginación. Para lograrlo, se necesita fomentar el uso de este laboratorio en un ambiente propicio que motive al participante la creación de la representación o la imagen de objetos que le permita jugar con ellos desde un punto de vista matemático: es pasar de lo concreto (objeto) a lo abstracto (simbolización). A través de una tarea objetiva, al introyectar el objeto, la inteligencia aprende a procesarlo.

¿Cómo representar los objetos en imágenes? Se empieza por desarrollar la capacidad del pensamiento para producir la imagen y guardarla en el interior de la persona, es decir, los objetos externos son reproducidos como una película en la mente del orientado respetando sus características tangibles: color, forma, tamaño, sonido, por ejemplo. A esto le han denominado imaginación.

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¿Qué es la imaginación? La Wikipedia sostiene que la imaginación (del latín imaginatĭo, -ōnis) es un proceso superior que permite al individuo manipular información generada intrínsecamente con el fin de crear una representación percibida por los sentidos de la mente. «Intrínsecamente generada» significa que la información se ha formado dentro del organismo en ausencia de estímulos del ambiente. En lo que respecta a «sentidos de la mente», son los mecanismos que permiten «ver» un objeto que se había visualizado previamente pero que ya no se encuentra presente en el ambiente. Cabe aclarar que cuando se imagina no se reduce sólo al sentido de la visión, sino también otras áreas sensoriales.

¿Cuántos tipos de imaginación hay? En este trabajo se manejan dos tipos de imaginación: la retentiva y la fantasía: •

•

Retentiva: es aquella en la cual se manipulan en el pensamiento los objetos a voluntad, preservando sus características. Este tipo de imaginación es la base del conocimiento. Gracias a ella podemos ir hacia el conocimiento profundo del ser y de la naturaleza, por eso es el inicio del fundamento científico y de las ciencias exactas. Fantasía: es aquella que modifica con suma libertad los objetos, dejándose llevar por su movimiento incontrolado. Es la base del arte. Permite conectarnos con nuestro interior y fundirnos con los seres existentes. Es la base de todas las manifestaciones artísticas.

¿Cuántos tipos de imaginación retentiva hay? Se pueden identificar dos clases de imaginación retentiva: la estática y la dinámica. • •

Estática: nos permite representar el objeto tal y como si fuese una fotografía. Dinámica: nos permite manipular a voluntad el objeto y sin distorsionarlo en su movimiento.

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¿Cuáles son las características fundamentales del objeto? Dentro de las características fundamentales del objeto están: la magnitud, la extensión, el peso y la cantidad. Estas cualidades matemáticas las descubrimos al ponernos en contacto con los seres que nos rodean, pero cuando además de ello las manejamos en nuestra imaginación, nos iniciamos en el descubrimiento de los mecanismos aritméticos al poner en marcha las operaciones del pensamiento que necesita para el proceso matemático.

¿Por qué la imaginación juega un papel importante en la vivencia de la cantidad? Cuando la vivencia de la cantidad, del número y de sus interrelaciones se apoya en la imaginación, entonces la comprensión de las matemáticas se finca con mayor solidez.

¿Por qué es importante la manipulación? Gracias a la manipulación que se hacen en la mente de los objetos se puede saber, por ejemplo, en dónde hay más canicas: en el montón de la derecha o en el de la izquierda. Aquí, la percepción juega un papel clave dentro del proceso. La percepción de la cantidad y de la magnitud sale de adentro debido a que la mente juega con lo que ha percibido y, al irla modificando, va experimentando las cantidades. Esto ayuda al niño a descubrir el proceso aritmético de manera agradable, con gusto y sin tensiones.

Fig. # 8. Comparación de cantidades y de peso. 50

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¿Por qué se recomienda apoyarse en la creatividad? Aquí se considera a la creatividad como el sentido de supervivencia del espíritu, el impulso que tiene el ser humano para dejar salir lo que tiene dentro de sí y poderse manifestar de alguna manera.

¿Cómo ejemplificar esta idea? Una anécdota curiosa, pero basada en un hecho de la vida real, es la historia de un hombre japonés que acostumbraba a sumergirse en la parte más honda de su piscina para liberarse de tensiones y cómo salía a la superficie a tomar el aire que requería de manera abrupta. Este hombre fue el inventor del bolígrafo para escribir bajo el agua y el disco duro de las computadoras. Encontraba en ese lugar su espacio para crear pues sentía que su imaginación se estimulaba cada vez que salía con fuerza hacia la superficie a respirar. Así es la creatividad, ésta patalea para salir.

¿Cómo ejemplificar a la imaginación? Metafóricamente, a través del cinemascopio se ilustra cómo la imaginación va de dentro hacia fuera y de fuera hacia dentro: en el cine se utilizan las imágenes en movimiento, y sólo se aprecian cuando está el espectador para recibir su mensaje, pero a la vez el espectador las procesa en su mente y juega con ellas. Cuando las comenta, eso que ha recibido y procesado, a su vez las regresa con quien comparte e intercambia sus ideas respecto a lo visto en la película: además de receptor se convierte en emisor.

¿Cómo saber la situación del niño? Es común utilizar un examen psicométrico para detectar la situación del niño, pues es una manera rápida y efectiva para detectar algunos puntos que serán muy útiles para comenzar a trabajar con él. Se ha encontrado que las personas con dificultades en matemáticas tienen problemas en su percepción, además de una imaginación poco desarrollada.

¿Qué procedimientos emplea la didáctica de las matemáticas? En la didáctica de las matemáticas deben utilizarse una serie de procedimientos lúdico-manipulativos y relacionarlos con la vida práctica de manera que se facilite su comprensión, en lugar de centrarse en la memorización a través de la mecanización. 51

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¿Qué tipo de materiales de apoyo que pueden utilizarse? Casi cualquier objeto del ambiente puede utilizarse como material de apoyo. También se pueden hacer algunos específicos, como los números de plástico o de cualquier otro material para aparearlos con los objetos, cuantificadores, cuerpos geométricos, dados, colores, regletas, barro, papel, balanza, regla, recipientes, el ábaco, bloques lógicos, tablas aritméticas, por citar algunos ejemplos.

¿Qué inquieta a los profesores? Una inquietud frecuente entre los profesores es saber por qué algunos alumnos no consiguen captar y aplicar los procedimientos matemáticos que se les enseñan, a pesar de que han recibido muchas explicaciones y realizado innumerables ejercicios. Como respuesta a esta situación, su enseñanza se ha ido alejando de las áridas maneras del pasado ─en las cuales los niños vivían esta asignatura sólo como trazos sobre el papel─ integrando a su didáctica el uso de materiales a través de los cuales se ven de manera concreta los procedimientos, lo cual favorece su comprensión y estimula al aprendiz para aprender.

¿Cómo sería el laboratorio ideal? Como una primera reflexión, se te pide que dibujes el laboratorio matemático ideal, es decir, un salón donde se encuentre todo lo necesario para la enseñanza de esta materia a través de material concreto.

3.2 El laboratorio matemático interno ¿Qué requisitos debe tener el laboratorio matemático interno? Contar con un laboratorio matemático es un apoyo valioso para la enseñanza esta materia; sin embargo, el elemento determinante para la captación y aplicación eficiente de los procedimientos matemáticos es que ese laboratorio se introyecte, es decir, que se haga de él una representación interna desde la cual se manejen todos los procedimientos. Se puede concluir, entonces, que el objetivo primordial de la enseñanza de las matemáticas debe formar en cada niño su laboratorio interno.

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¿Se puede ilustrar esta idea? Una anécdota extendida sobre la vida de Einstein es aquella en la cual un periodista le preguntó sobre el laboratorio donde desarrolló sus teorías, las cuales cambiaron el curso de la historia moderna. Él se sonrió y señaló su cabeza mientras decía: “está aquí dentro”. Esta información es confirmada por sus biógrafos, quienes dicen que todo su equipo científico se limitaba a papel y lápiz, pues cada una de sus teorías fue el resultado de lo que él llamaba “experimentos idealizados”.

¿Qué potencialidad tiene este laboratorio interno? Como se ve, construir un laboratorio interno posee alcances extraordinarios, pero no es labor sencilla ni rápida. De hecho, terminar con el montaje completo de un laboratorio interno de matemáticas se consigue, aproximadamente, a los trece años. La ventaja es que todos los avances que se hagan en este sentido serán sólidos y le permitirán al niño el manejo eficiente de los procesos aritméticos adquiridos, aunque sean pocos.

¿Con qué tipo de materiales se construye? Los materiales con los que cuenta para la construcción y equipamiento del laboratorio serán los prerrequisitos de la asignatura y los del pensamiento, destacando entre todos estos la imaginación. En el laboratorio interno podemos visualizar al ábaco. En esta ocasión sólo le vamos a poner tres líneas con diez bolitas cada una: ahora hay que representar en la mente lo siguiente: pasa dos bolitas de la primera línea. Ahora tres más. ¿Cuántas bolitas has pasado por todas? ¿Cuántas quedaron sin pasar? Ahora pasa toda una barra completa. ¿Cuántas barras quedaron sin pasarse? Claudia recalcó que una vez que el niño aprende a representar el ábaco en su imaginación, se le facilita mucho el manejo de números

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¿Es lo mismo número que cantidad? Los números son una cosa y la cantidad es otra. La manera como se manejan los números es interna, pues se prevé el resultado. Un niño que no puede resolver problemas no logra interiorizar las relaciones entre las cantidades y no comprende qué es lo que se le pregunta porque no las puede relacionar: no entiende lo que es capacidad, área y volumen.

¿Por qué se tiene que aprender a controlar la imaginación? La imaginación controlada es el pilar de las matemáticas, pero necesita de la percepción. Ambas deben interceptar de manera adecuada para manejar correctamente el espacio, por ejemplo. Esto se ilustra con lo siguiente: separar los objetos por tamaño. El poner cuatro tuercas con 3 mm entre una y otra dificulta la percepción del espacio porque apenas se percibe. Si el niño no puede tener estable el tamaño de las cosas no las va a poder retener.

¿Cómo ejemplificar esto? A través de un ejercicio sencillo para percibir la cantidad de manera rápida utilizando fichas de dominó. En la computadora se le presenta al alumno una ficha de dominó de manera instantánea para que rápidamente se diga cuál era la cantidad que había. Al utilizar la velocidad en la imagen de cada ficha obligó a la audiencia a percibirla de golpe, retenerla y apreciar la cantidad sin contarla una por una. Las fichas que puso fueron: 2/5, 0/4, ¾, 6/2, 6/3, 6/5. Una variante es pedirle al niño que dibuje lo que ha visto. Cuando la representan en forma invertida, el orientador se da cuenta del problema perceptivo y la inestabilidad que hay en su laboratorio interno.

¿Qué otro ejercicio parecido se puede hacer? Un ejercicio con estrellas: en una primera lámina se muestra una cantidad determinada de estrellas y, rápidamente, se pasa a otra lámina con menos estrellas. La pregunta es, ¿cuántas desaparecieron? En otras se pide al revés: en una primera lámina hay una cantidad de estrellas y en la siguiente aparecían otras más. Si bien la imaginación no da un resultado exacto, si ofrece uno aproximado.

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Con este ejercicio se pretende desarrollar la proyección de la imagen interna. Por ejemplo: se quitan 3 estrellas de doce, se agregan 6 estrellas a un grupo de diez.

Fig. # 9. Jugando con estrellas.

¿Qué otra variante se puede emplear? Otro ejercicio es indicar cuántos lápices le tocarían a cada uno de los niños si éstos eran tres. Se presenta rápidamente una lámina con 12 lápices. La respuesta es 4. Luego se pone veinte rombos. ¿Cuántos le tocarían a cada uno si son cuatro personas? La respuesta es 5. Una vez que se han hecho estos ejercicios, se les pide a los alumnos que comparen sus resultados con los de sus compañeros. Por lo general todos llegan a resultados parecidos.

Fig. # 10. Jugando con lápices.

¿Qué otro tipo de preguntas se puede hacer? Otra variante es hacerlo con llaves de tuercas. Se le pregunta cuántas llaves aparecieron o desaparecieron. ¿Cuántas llaves les toca a cinco mecánicos si se reparten equitativamente?, ¿cuántos panqués les tocan a cuatro personas si se reparten equitativamente? 55

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Fig. # 11. Jugando con objetos.

¿Qué aporta este tipo de ejercicios? Con estos ejercicios se enfatiza la idea de que el uso de este proceso natural es como uno enfrenta el fenómeno de la cantidad. La teoría de conjuntos está basada en esta idea.

¿Con qué tipo de niños se pueden utilizar estos ejercicios? Este tipo de actividades se puede usar con niños de primer año, siempre y cuando no tengan deficiencias en su percepción y sepan usar el espacio en forma adecuada. Cuando un niño de esta edad se resiste a participar en este tipo de ejercicio es indicador de que tiene problemas relacionados con la percepción y el espacio, por lo tanto, se tendrá que ayudarlo a resolverlos antes de emplearlos.

¿Cuál es la primera facultad intelectual que se desarrolla en el ser humano? La primera facultad intelectual que se desarrolla en el ser humano es la imaginación, por lo tanto, se ha de aprovechar ésta para crear el laboratorio interno. A través de los ejercicios como los que se han empleado aquí se logra crear en el participante una estructura interna que les permite entender las matemáticas de manera natural, relajada y sin presión, los motiva a aceptar retos personales y se acercan a las respuestas de manera divertida.

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¿Por qué algunos alumnos rechazan las matemáticas? Los alumnos que rechazan las matemáticas sienten una gran frustración por no poder aprenderlas a pesar de pasarse horas enteras estudiando. Lo que no saben es que sus esfuerzos son inútiles debido a que tienen áreas en su desarrollo que no han resuelto y, en consecuencia, han formado una cadena de lagunas en sus conocimientos. En cambio, al madurar su sistema, una vez que han cubierto los requisitos con los procedimientos que ellos les enseñan, los conceptos que tanto se les dificultaban, ahora les son claros y fáciles de manejar.

¿Cómo reacciona el cerebro al darse cuenta de que tiene alguna deficiencia? Cuando el cerebro tiene conciencia de alguna deficiencia, éste tiende a compensarla y hace los ajustes de manera automática para poder afrontar la situación.

¿Qué sucede si el niño no logra desarrollar su laboratorio interno? Cuando un niño no logra desarrollar su laboratorio interno en el grupo se le debe dar sesiones individuales hasta que logra alcanzar el nivel necesario para entrar en sesiones de grupo, pues es importante que todos los niños y jóvenes logren desarrollar su pensamiento lógico y puedan trabajar con procedimientos matemáticos sin dificultad.

¿Cómo es el desarrollo en el ser humano? El desarrollo en el ser humano es lo más automático que existe. Éste se frena cuando quedan lagunas, pues no puede seguir construyendo donde faltan bases. Los obstáculos vienen del ambiente social, es decir, de la lógica de la sociedad. La tarea del orientador es precisamente subsanar esas lagunas para contrarrestar la deficiencia que el niño presenta.

¿Por qué es un error considerar a la imaginación como un don? Es un error considerar a la imaginación como un don. Ésta se desarrolla de diversas maneras. Por ejemplo: todos manejamos una estructura, la cual representa con un triángulo:

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Inteligencia Visión concreta

Lógica Formal Sistema de signos Visión abstracta

práctica Sentidos Entra lo sensible

Estudio - ciencia

Imaginación Cuadro # 9. Desarrollo de la imaginación.

¿Qué obstáculos se suelen encontrar? Es frecuente encontrar personas que salen del problema de lo sensible, lo pasan a la inteligencia, pero no logran llevarlo a los signos y regresarlo a la inteligencia, como lo hacen los científicos. En general, tienen una buena percepción y una inteligencia práctica, pero no se entregan a la ciencia porque casi no nos van al signo.

¿En qué se centran los científicos? Thomas Alva Edison trabajaba desde su parte sensible y lo llevaba a la práctica. En contraste, Albert Einstein iba de lo sensible al signo y hacía la teoría.

¿Cómo ejercitar todo esto? Un ejercicio que se puede hacer para que el niño se dé cuenta de su imaginación es pedirle que se imagine una silla, y se le va describiendo como es, de repente uno le dice que en una pata hay una gran rajadura que nadie nota, alguien viene y se sienta en ella, la pata se cae y…. ¡mira cómo quedó la persona que se sentó en ella! Por lo general el niño se ríe, pues él solo crea su propia imagen de la persona que se cayó.

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¿Qué otro ejemplo se puede emplear? Otro ejemplo interesante es imaginar una habitación a la que se le tiene que acomodar una serie de muebles. Primero se imagina la pieza y los muebles que hay, éstos se van acomodando en la imaginación para ver cómo quedarían, después ya se irían moviendo con base en el mapa mental que uno se ha formado. Si está mal hecho en la vida real, se tendrán que ir moviendo físicamente varias veces, a menos que se prefiera hacerlo mentalmente y darse el tiempo que se requiera para ver cómo quedan. Lo contrario sería estarlos moviendo físicamente las veces que sean necesarias hasta que queden, pero ¡Qué cansado e impráctico!, ¿verdad?

¿Para qué usar la imaginación ante un problema? Si se toma la alternativa de la imaginación podremos solucionar muchas cosas de manera rápida y práctica, pues se hacen todos los cambios necesarios hasta descubrir la mejor solución. Es necesario aprender a rumiar el mundo lo que sea necesario para llegar a comprenderlo.

¿Qué otra actividad se puede llevar a cabo? Poner un círculo amarillo luminoso (de papel lustre) sobre una pantalla roja tamaño carta. Se a observar durante 30 segundos sin despegar los ojos de la imagen que está en la pantalla. Una vez que se ha terminado el tiempo, uno pasa la vista rápidamente hacia otro espacio, como la pared, y la debe de ver, quizá con colores diferentes, pero en esencia se conserva la misma forma. Esto sucede porque las células de la retina quedan estimuladas y siguen mandando dicha información a pesar de que el objeto estímulo ya no está presente. A esto se le conoce como imagen posterior. Con este ejercicio se le enseña al niño a descubrir el lugar donde va a proyectar las imágenes que obtiene de esta manera. 59

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¿Qué es la imaginación ideática? En el niño pequeño predomina la imaginación ideática, esto es, tiene tan grande su imaginación que realmente ve las cosas como si éstas estuvieran presentes de manera concreta. ¿Qué otro ejercicio sirve para estimular la imaginación? Otro buen ejercicio para estimular el desarrollo de la imaginación es pedirle al niño que escuche música y utilice su fantasía con base en los sonidos de la melodía. Se le pide que cierre sus ojos, haga una respiración profunda, y se permita la representación libre de imágenes en el pizarrón negro que hay en su cerebro, como éstas vayan saliendo espontáneamente. Él ha de dejar que en su pizarrón negro salga lo que sea y se den los movimientos libremente sin tratar de manipularlos. ¿Cuál es la utilidad de este ejercicio? Con este ejercicio uno se da cuenta que la fantasía trabaja de manera similar, en los sueños también pasa algo parecido debido a que la imaginación está libre, no sigue reglas.

3.3 La imaginación ¿Qué es la imaginación metafóricamente? Esta sección toma como punto de partida una frase de André Bretón sobre la imaginación: “La imaginación es por excelencia un objeto que se conquista y no un don”.

¿Por qué es importante desarrollar bien la percepción, en especial la del espacio? Cuando un niño posee una percepción y un manejo del espacio eficientes, se tienen ya cimientos firmes para la construcción del laboratorio aritmético interno. El paso siguiente consiste en introyectar estas dos habilidades, es decir, que el niño sea capaz de manejar el espacio y resolver tareas perceptivas con la imaginación. 60

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¿Qué ventajas tiene para el niño? Con este avance el niño será capaz de manejar los objetos en su pensamiento sin que pierdan ni modifiquen sus características, lo cual le dará la posibilidad de introyectar unidades de medida, la rejilla del porcentaje, enteros y fracciones, un tapete decimal, y todos los instrumentos con que debe contar un laboratorio interno de aritmética.

¿Cuál es la perspectiva de Bacon al respecto? Bacon coloca a la imaginación junto a la memoria y a la razón, como una de las facultades fundamentales. En la Academia Lógica se ha observado que es imprescindible para el aprendizaje y se le ha denominado el estómago de la inteligencia. Sólo cuando algo se maneja en la imaginación se está en el camino de su comprensión; rumiar el mundo sensible con la imaginación es una garantía que nos llevará paulatinamente a la comprensión de los sistemas.

¿Qué aplicación tiene esta perspectiva en el manejo de la imaginación? Bajo esta perspectiva, se le enseña al niño a pasar de la fantasía a la imaginación controlada.

3.4 Los cuadrantes ¿Qué son los cuadrantes? Es la división de un espacio cuadrado en cuatro partes del mismo tamaño. Es útil para aprender a ubicarse en el espacio a través de ir sombreando las partes que se vayan indicando.

¿Cuál sería un ejemplo? En este primer ejercicio el niño irá sombreando las partes del cuadrado con base en el siguiente plano: cuadrado superior izquierdo, cuadrado inferior izquierdo, cuadrado superior derecho y cuadrado superior derecho. De esta manera, para las figuras que están arriba, deberá haber comprendido órdenes como las siguientes.

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Actividad # 7 Los cuadrantes Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: cuadrantes

Instrucciones. Con el color azul, rellena el cuadrado que se te indique en cada uno de los cuadrantes. • • •

Rellena el cuadrado superior izquierdo. Rellena el cuadrado inferior izquierdo. Rellena el cuadrado inferior izquierdo y el cuadrado superior derecho.

Fig. # 12. Los cuadros de los cuadrantes. Continúan las instrucciones Ahora, subdivide cada cuadrado de los cuadrantes con una línea diagonal para tener dos partes: ángulo derecho y ángulo izquierdo del cuadrado superior derecho. En vista de que te han quedado cuatro cuadrados en cada figura, podrás colorearlos siguiendo las indicaciones que se te vayan diciendo: • • • •

Ángulo izquierdo y ángulo derecho del cuadrado superior derecho. Ángulo izquierdo y ángulo derecho del cuadrado superior izquierdo. Ángulo izquierdo y ángulo derecho del cuadrado inferior derecho. Ángulo izquierdo y ángulo derecho del cuadrado inferior izquierdo.

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Fig. # 13. Variantes de los cuadrantes.

¿Hay algún orden en particular a seguir? Para esta práctica inicial, según sea la orden dada, el niño ira sombreando cada parte de manera que le quede en concordancia con la muestra.

¿Qué relación tiene con el laboratorio interno? Si uno le pide al niño que cierre los ojos, podrá proyectar el cuadrante que necesita utilizar y cuál triángulo es el correspondiente según la orden dada. Continúan las instrucciones Cierra tus ojos e imagina tres cuadrantes. Permite que en el pizarrón de tu mente se vayan sombreando los cuadrantes con base en la descripción que se te va dando. •

•

En el primer cuadrante, el que está del lado izquierdo, tienes los cuatro cuadrados en blanco, oscurece de azul el cuadrado superior del lado izquierdo y el inferior del lado derecho. En el segundo cuadrante, el que está en medio, oscurece el triángulo superior derecho del cuadrado izquierdo y el ángulo superior izquierdo del cuadrado superior derecho. En el cuadrante que está a la derecha, oscurece el triángulo superior izquierdo del cuadrado superior izquierdo, el triángulo superior derecho en el cuadrante superior derecho y el triángulo inferior izquierdo del cuadrado inferior izquierdo. Al terminar, abre tus ojos y compara tus respuestas con las imágenes que los representan en la figura # 13.

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Fig. # 14. El laboratorio interno y los cuadrantes. ¿Qué beneficios tiene? Se favorece la estructura verbal del niño cuando se le dan instrucciones de cómo ir trazando las sombras en los cuadrantes.

¿Cuál es la utilidad de aprender en imagen? Si el niño aprende en imagen podrá dejar su memoria para otras cosas que la requieren. De esta manera se evitan ejercicios memorísticos sin un significado para el niño, que terminan siendo tediosos y frustrantes.

¿Qué decía Aristóteles sobre la imaginación? Aristóteles decía que la imaginación y la memoria son dos sistemas muy relacionados. Con base en esta idea se han creado técnicas de memorización que toman como base las imágenes. Si sólo se usa lo verbal, es difícil seguirlas. Como las tablas de multiplicar, hacerlo sólo de memoria sin comprenderlas, sólo el niño aprende la tonada, pero difícilmente le sale la respuesta de manera automática.

¿Qué relación tiene el movimiento con las operaciones matemáticas? El movimiento también está muy relacionado con las operaciones matemáticas. Entre los griegos era muy importante dar gimnasia, geometría y gramática, pues encontraron una estrecha relación en estas tres materias. La gramática requiere estructura, la cual se da a través de formas. Es por ello los bloques lógicos ayudan generar imágenes, por lo tanto, se deben emplear después de haber dominado los cuadrantes.

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Fig. # 15. Bloques lógicos.

¿Qué otro ejercicio se puede hacer? Por último, se pide dibujar un diamante o rombo, tomando como referencia los ángulos rectos que están en contraste a la hipotenusa de cada triángulo, si se divide la figura en cuatro partes iguales. Se señaló el diametral mayor y el menor, para poder ir cortando la figura de manera que queden los cuatro ángulos separados y, en consecuencia, dos triángulos encontrados en la parte superior y dos en la inferior. A través de sus cortes se puede representar la fórmula para sacar su área. El niño se da cuenta que si une dos partes del rombo puede formar el rectángulo y, por consiguiente, su área se calcula con la misma fórmula sólo que por dos: b x h/2 x 2.

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Actividad # 8

Objetos con formas geométricas Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: figuras geométricas

Instrucciones. Identifica cuál es el objeto que tiene la forma de la figura geométrica. Pon encima una ficha para indicar la respuesta.

triángulo

círculo

cuadrado

rectángulo

pentágono

rombo

hexágono

octágono

estrella

corazón

círculo

rombo

cilindro

cubo

cono

pirámide

Fig. # 16. La forma geométrica de los objetos. 66

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Actividad # 9

¿Cuál es la figura? Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: figuras geométricas

Instrucciones. Identifica cuál es la figura que tiene la forma del muñeco. Pon una pinza en la alternativa correcta. Dime qué figuras forman la mariposa.

Fig. # 17. ¿Cuál es la figura?

Actividad # 10 Desintegra e integra Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: figuras geométricas

Instrucciones. Divide las figuras en distintas partes como se ha mostrado con el rombo. 67

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Fig. # 18. Figuras geométricas graciosas.

Actividad # 11 Figuras con abatelenguas Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: figuras geométricas

Instrucciones. Construye las figuras geométricas con abatelenguas.

triángulo

rombo

cuadrado

octágono

rectángulo

trapecio

Fig. # 19. Figuras geométricas con abatelenguas. 68

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¿Cuáles son los elementos del pensamiento? El desarrollo del pensamiento toma cuatro elementos: lógico sensible, formal (análisis, comparación), dialéctico y axiológico. Durante el proceso de desarrollo está la parte biológica, que permite a la persona ir madurando, y la lógica, la cual, a medida que se desarrolla sube su nivel jerárquico.

¿Cómo se van desarrollando los procesos lógicos? Los procesos lógicos se van desarrollando a través del laboratorio interno. Se emplean, por ejemplo, los bloques lógicos, que permiten el trabajo sensorial y neuromotora al ir utilizando un proceso inteligente en su uso.

¿Por qué un matemático no sabe enseñar matemáticas de manera automática? El matemático generalmente no sabe cómo utilizar los principios didácticos para la enseñanza de su especialidad. Es el pedagogo quien debe de encontrar los mejores caminos para su aprendizaje de manera atractiva, sencilla y fácil de adquirir.

Actividad # 12

Cuestionario para opinar Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: perspectiva

Instrucciones. Contesta las siguientes preguntas justificando tu respuesta. Escribe las respuestas en una hoja aparte. Lo ideal sería comentar tus respuestas con tu equipo de trabajo o en el foro para que puedas percibir las semejanzas y diferencias de criterio. 1. Para ti, ¿por qué es importante desarrollar la imaginación en los alumnos?, ¿También es válido para quienes DAM o sólo para los de la escuela común que pueden aprenderlas sin dificultad? 2. Describe una difiultad frecuente que hayas encontrado en ti misma o en personas que conozcas ante el aprendizaje de las matemáticas y que consideres está relacionado con una deficiencia en su imaginación. 3. ¿Cómo emplearías la imaginación para enseñar matemáticas a un niño con DAM? Descríbelo y anexa el material que utilizarías.

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4. Las matemáticas y sus conceptos básicos ¿Qué son las matemáticas? Las matemáticas son la ciencia de las estructuras, es decir, un conjunto de relaciones abstractas que comprenden y permiten el estudio de los números, de las formas, del movimiento, del razonamiento lógico, del azar, de la posición, de la simetría o de la proximidad. Estas estructuras pueden ser reales o imaginarias, visuales o mentales, estáticas o dinámicas, cualitativas o cuantitativas, útiles o sólo con un interés recreativo. Pueden tener su origen en el mundo que nos rodea, en las profundidades del espacio y del tiempo o provenir exclusivamente de la actividad de la mente humana. A las matemáticas se le consideran como la única ciencia no empírica, es decir, no dependen de demostraciones experimentales. Y se deben tomar en cuenta que sus áreas son interdependientes y su estructura es jerárquica. Son un cuerpo organizado de conocimientos, con un lenguaje propio y característico.

¿Cuál es la dificultad del uso de las matemáticas en las escuelas? A la gran mayoría de los estudiantes no les gusta esta materia porque no la comprenden ni dominan su terminología. En las escuelas elementales hay la tendencia de que los estudiantes obtengan las calificaciones más bajas en esta área debido a sus dificultades para adquirir conocimientos y desarrollar las habilidades numéricas. Esto trae como consecuencia un mal recuerdo de las matemáticas y, en estudios posteriores, los alumnos tienden a huir de ellas.

¿Qué se necesita para poder aprender matemáticas? Su aprendizaje requiere un proceso activo, gradual, progresivo y social. Desde la infancia donde se dan los primeros aprendizajes matemáticos se deben experimentar al ir verbalizando cada uno de los procesos, empezando por el propio cuerpo, y después al jugar y manipular material concreto. El docente debe acoplar este lenguaje y terminología a la edad de sus alumnos y emplearlo manera clara, precisa y concreta, de tal forma que pueda promover una actitud de disposición de aprendizaje en sus alumnos.

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¿Por qué es importante aprender matemáticas? Las matemáticas son importantes para la vida cotidiana, como, por ejemplo: desde que se sale de la casa y se cruza la calle, se mide la distancia del coche que se aproxima, también al ir de compras y realizar cuentas sobre el precio y lo que se tiene destinado gastar. Las matemáticas contribuyen al crecimiento del pensamiento con su magnífico mundo de números, formas, medidas, variaciones, probabilidades y análisis de datos; ayudan a comprender cómo es el ambiente circundante, los patrones y las regularidades de la naturaleza que pueden ser descubiertas y estudiadas, en vista de que el pensamiento permite comprender las relaciones entre los números y su uso en diversas situaciones sociales, de la naturaleza y la tecnología.

¿Qué es la medición? La medición es una actividad matemática que ayuda a todas las ciencias y a la sociedad en general a comprender mejor las relaciones entre los elementos que la conforman. Gracias a la medición se aprende a hacer estimaciones, como la distancia de los objetos, las áreas de las superficies, los volúmenes, el peso de todas esas cosas que uno utiliza a diario y las capacidades de los recipientes. También permite calcular el tiempo que transcurre, organizar un calendario, los horarios, permitiendo distribuir las actividades diarias. Ayuda a organizar datos y a comunicar ideas, pues se utilizan en el lenguaje cotidiano como la forma de expresar ideas y pensamientos en forma verbal y/o escrita. A través de la medición se aprende a razonar y a unifica criterios para entender lo que se quiere decir. Por eso, las matemáticas son un juego de la mente humana, pero sin perdedores, sino sólo ganadores.

Actividad # 13

Medir y comparar Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: medición

Instrucciones. Estima cuánto miden determinados objetos y, posteriormente, con tu cinta métrica comprueba qué tanto te acercaste a lo que calculaste a simple vista. Haz otro tipo de comparaciones. Concluye.

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Mis conclusiones

Fig. # 20. Noción de cantidad: 1 al 5. ¿Cuáles son las principales ramas de las matemáticas? Las principales ramas de las matemáticas son las siguientes: aritmética, álgebra, trigonometría, geometría, estadística y cálculo diferencial e integral. 72

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

¿Qué estudia la aritmética? La aritmética se encarga de estudiar las estructuras numéricas elementales, así como las propiedades de las operaciones y los números en sí mismos en su concepto más profundo, construyendo lo que se conoce como teoría de números. Ha nacido con la necesidad de contar los objetos y animales por los seres humanos primitivos. Ésta se encuentra en nuestra vida cotidiana, por ejemplo: • • •

Comprar en una tienda requiere calcular el dinero que será devuelto por el vendedor a través de una resta. Tomar un autobús en donde se requiere contar el dinero con rapidez para pagar el valor del pasaje. Al hacer el inventario de los remanentes de un almacén o al sacar las cuentas de lo que se ha comprado y se ha vendido.

¿Qué estudia el álgebra? El álgebra básica estudia as estructuras, las relaciones y las cantidades (A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en el álgebra los números son representados por símbolos (usualmente letras: a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque permite: •

• •

La formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), siendo el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales. Referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. La formulación de relaciones funcionales.

¿Qué estudia la trigonometría? La trigonometría es la subdivisión de las matemáticas encargada de calcular los elementos de los triángulos. Estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. Su objetivo es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.

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¿Qué estudia la geometría? La geometría estudia las idealizaciones del espacio del medio: los puntos, las rectas y los planos, así como otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros; las propiedades del espacio que se emplean para representar con exactitud las figuras y los cuerpos geométricos; para descubrir y analizar el mundo: la naturaleza, las construcciones que llenan las ciudades y los pueblos, las máquinas e instrumentos, entre otros, pues se pueden descomponer en sencillas figuras geométricas.

¿Qué estudia la estadística? La estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sean una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y a formular predicciones. Puede ser Descriptiva, es decir, sólo importa el conjunto de datos; e Inferencial cuando se busca derivar conclusiones de un conjunto de datos más amplio.

¿Qué estudia el cálculo diferencial e integral? El cálculo diferencial y el integral son herramientas que surgieron en el siglo XVII para resolver algunos problemas de geometría y física. El problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del cálculo. Mientras el cálculo diferencial busca descomponer los elementos, el cálculo integral va a unir los elementos que se encuentran aislados.

Actividad # 14

Figuras geométricas planas Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: información básica

Instrucciones. Escribe en el recuadro correspondiente el nombre de las siguientes figuras geométricas

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Fig. # 21. ¿Cuál es el nombre de estas figuras planas?

Continúan las instrucciones Ahora propón un acertijo matemático, de preferencia usando figuras geométricas, e intercámbialo con tu grupo de trabajo. Compártelo en el foro.

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Actividad # 15

Jugando con figuras geométricas Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: ingenio y la creatividad

Instrucciones. Haz distintas figuras usando las formas básicas y crea varios modelos, como en el ejemplo. ¿Cuáles se repiten en el perrito? Escribe el objetivo, el procedimiento y la evaluación para este ejercicio. Súbelo a la red.

Fig. # 22. Figura de un perrito. ¿Cuántos cuadrados son? ¿Falta alguna otra figura?

¿Cuántos triángulos son? (sí)

(no) 76

¿Cuántos rectángulos son? ¿Cuál?

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5. Los aprendizajes matemáticos ¿Cuáles son las áreas de estudio de las matemáticas? El proceso de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas es complejo porque requiere el desarrollo de una serie de habilidades y destrezas no siempre contempladas en los programas escolares. Tradicionalmente se ha dividido en ocho grandes categorías: numeración, cálculo, resolución de problemas, estimación, uso de instrumentos tecnológicos, fracciones y decimales, medida y geometría, pero su aprendizaje puede reducirse en tres grupos básicos: 1) Nociones y procesos básicos aritméticos y geométricos. 2) Numeración y cálculo. 3) Planteamiento y resolución de problemas.

5.1 Nociones y procesos básicos ¿Qué son las nociones y procesos básicos? Las nociones y procesos básicos e refieren a toda una serie de conceptos y procesos mentales caracterizados por los logros matemáticos propios de la etapa infantil, en especial durante el primer ciclo de la enseñanza primaria: los conceptos básicos y las operaciones lógico-matemáticas

¿Qué son los conceptos básicos? Según A. Boehm, los conceptos básicos son nociones elementales que sirven de base para otros aprendizajes conceptuales más complejos y, además, son expresiones verbales de uso frecuente en la interacción comunicativa en el salón de clase, facilitando la relación profesor-alumno, la cual se ve gravemente interferida cuando este último no los domina, al menos desde el punto de vista comprensivo.

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¿Cómo influyen los conceptos básicos en la comunicación? Aunque esa comunicación se ve favorecida o dificultada por todos los conceptos básicos (dimensionales, espaciales, temporales, cuantificadores...), en relación con los aprendizajes matemáticos se suele destacar habitualmente el papel central de los denominados cuantificadores, o conceptos básicos de cantidad, que constituyen formas evolutivamente anteriores al número en la codificación de la cantidad. En general, se trata de conceptos aproximativos (mucho/poco, nada/todo, algunos/ninguno...) y comparativos (más que, menos que, tantos como...), pero se incluyen también en esta categoría las transformaciones relacionadas con las operaciones manipulativas que puedan realizarse afectando a la cantidad (poner, quitar, añadir, repartir, etc.).

¿Cuáles son algunos de los conceptos básicos? No obstante, los cuantificadores no son los únicos conceptos básicos relevantes para los aprendizajes matemáticos; también son fundamentales los conceptos básicos espaciales (delante/detrás, arriba/abajo...) y temporales (antes/después, primero, segundo, tercero, ni primero ni último...), que constituyen la expresión verbal del nivel de desarrollo de la organización espacio-temporal a partir de la cual el alumno puede afrontar al menos ciertos aspectos de la noción de número, de las operaciones aritméticas y, sobre todo, los aprendizajes relacionados con la geometría.

¿Cuándo hay mayor dificultad con los conceptos básicos? Evidentemente, la incidencia de las dificultades de adquisición de los conceptos básicos es mucho mayor en los primeros años de la escolaridad básica que en momentos posteriores, pero no es tampoco infrecuente, en absoluto, encontrar alumnos de niveles educativos superiores que, en el marco de otra serie de problemas, no usan de manera precisa dichos conceptos. Dentro del contenido curricular se deben incluir como contenidos específicos el desarrollo de la capacidad de ordenación del tiempo y del espacio, además de otros destinados a la automatización del procesamiento de las series numéricas.

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5.2 Operaciones lógico-matemáticas ¿Qué interfiere con la noción de número y el sistema de numeración? Desde los modelos de enseñanza y aprendizaje derivados de las teorías psicogenéticas (básicamente, de la de Piaget), se ha puesto de relieve que los problemas que a veces experimentan los alumnos en el desarrollo de las operaciones lógico-matemáticas (especialmente de clasificación y seriación), de la noción de conservación o de la comprensión de la reversibilidad, entre otras características del pensamiento operatorio, interfieren con la adquisición de la noción de número y del sistema de numeración, ya que se trata de adquisiciones evolutivamente previas y de la base psicogenética para la posterior construcción de estos últimos aprendizajes.

¿Qué ofrecen las operaciones lógicas de clasificación y seriación? Las operaciones lógicas de clasificación y seriación son el fundamento de la noción de número, en la medida en que ésta sería el resultado de la síntesis entre los cardinales y los ordinales... Una síntesis que sólo sería posible como consecuencia de un proceso genético de construcción de la noción de conservación de la cantidad.

¿En qué se basan los aprendizajes matemáticos básicos? El argumento central en este planteamiento es que los aprendizajes matemáticos elementales se basan en la construcción de un tipo de pensamiento lógico a partir de las formas "prelógicas" del pensamiento intuitivo, sugiriendo que los procesos mentales prerrequisitos para una correcta iniciación en las matemáticas serían: • •

• •

Conservación del objeto: es la capacidad para retener mentalmente un objeto no presente o transformado. Conservación de la sustancia: es la capacidad para representar mentalmente una sustancia (masa, volumen o cantidad) cuando ésta esté ausente o, estando presente, sufra variaciones con respecto a su estado inicial. Reversibilidad del pensamiento: es la capacidad para representarse mentalmente el proceso inverso a una transformación observada. Clasificación: es la capacidad para formar clases agrupando los objetos en función de ciertas características específicas o generales. 79

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• • • •

Inclusión: es la capacidad para jerarquizar mentalmente las agrupaciones de dichas realidades. Seriación: es la capacidad de ordenar mentalmente las realidades. Correspondencia: es la capacidad de asociar mentalmente procesos o agrupaciones iguales. Transitividad: es la capacidad de asociar mentalmente procesos o agrupaciones iguales generando una nueva.

¿Cómo se adquiere el número según la perspectiva psicogenética? En resumen, desde el paradigma psicogenético, la adquisición del número está precedida por: a) La comprensión de los conjuntos que implica el uso implícito, o no, del principio de correspondencia que incluye los principios de conservación (del objeto y la substancia), clasificación e inclusión. b) La compresión de las relaciones de orden entre los objetos supone el uso implícito, o no, del principio de seriación.

¿Cuál sería la crítica a esta perspectiva? Aunque estas adquisiciones presuntamente previas a la comprensión del número constituyen un referente presente en la gran mayoría de las monografías sobre las dificultades del aprendizaje matemático entre los 5 y los 10 años, lo cierto es que su importancia real suele ser minimizada en los planteamientos más recientes, que consideran más que discutible su valor como sustento (ni como prerrequisito) en la adquisición de la noción de número, ya que ésta parece asociarse más bien a las experiencias infantiles de «conteo», así como a la realización de actividades, escolares o no, que tienen que ver con la verbalización de la cuantificación de la realidad que rodea a los alumnos.

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5.3 La noción de número y el sistema numérico ¿Cómo se enseña la noción de número y el sistema numérico? Aunque es bastante corriente que la noción de número y el sistema numérico (noción de número, valor posicional de las cifras, etc.) se enseñe en las escuelas con cierta independencia de los símbolos que expresan relaciones entre números (<, >, =, +...) y que, por tanto, tiendan a considerarse aprendizajes separados, diferentes, en realidad son aprendizajes profundamente relacionados entre sí, sobre todo por el nivel de representación que exigen del sistema cognoscitivo, por lo que aquí se incluyen ambos.

¿Cómo se adquiere la noción de número? La adquisición de la noción de número no parece que sea un proceso de todo o nada, producto de una reestructuración constructiva que tenga lugar gracias a la aparición de un nuevo tipo de pensamiento lógico en el desarrollo infantil (o lo que es lo mismo, resultan imprescindibles la ejecución de las llamadas operaciones "prelógicas": conservación, correspondencia y seriación); bien al contrario, la adquisición de la noción de número es el resultado de un proceso gradual, una adquisición progresiva relacionada con la experiencia de atender a las cantidades de las cosas a través del "conteo" y de las actividades asociadas al mismo. Para algunos autores tales experiencias de conteo ponen de manifiesto que el aprendizaje de la numeración implica la elaboración de cinco principios por parte del niño: a) Principio de correspondencia uno a uno: aparece cuando el niño coordina el proceso de participación (mantener en mente dos grupos de objetos: los contados y los aún por contar) y el proceso de etiquetación (utilización del nombre de los números para hacer corresponder cada nombre con un objeto contado). Aquí aparece el conocimiento del nombre de los números, pero está claro que ese nombre no conlleva el «concepto» de número. b) Principio de orden estable: cuando el niño aprende que para contar es indispensable establecer una secuencia de «palabras numéricas» (nombre de números) estable y coherente, no supone que la secuencia empleada sea la convencional (uno, dos, tres, cuatro, etc.), pero sí es, ya al menos, siempre es la misma, cosa que no ocurría antes.

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c) Principio de cardinalidad: La noción de cardinal aparece cuando el niño comprende que la última «palabra numérica» de su secuencia de recuento significa el número total de elementos del conjunto contado, y no es sólo el nombre del último de ellos. d) Principio de abstracción: Aparece cuando, en el proceso descrito, el niño comprende que los números simbolizan una cualidad abstracta, que no depende en absoluto del aspecto físico de los objetos; los principios anteriores se aplican entonces tanto a conjuntos de objetos homogéneos como heterogéneos. e) Principio de irrelevancia de orden: cuando el niño comprende que el orden de enumeración es del todo irrelevante para determinar el cardinal de un conjunto, ese conjunto se puede enumerar de cuantos modos se desee y, pese a todo, el cardinal del conjunto será siempre el mismo. Este principio supone: • Comprender que lo contado son cosas distintas a los números que se les aplican al enumerarlos. • Comprender que las «palabras numéricas» se aplican arbitrariamente a los elementos del conjunto porque son cosas distintas a ellos. • Que el mismo número cardinal resulta siempre de los distintos tipos de recuento posible, ya que es independiente del orden del conteo y constituye una propiedad cuantitativa del conjunto.

¿Cómo aprenden los niños pequeños? La mayoría de los niños de cuatro a cinco años memorizan la secuencia numérica progresivamente (0,1, 2, 3...) y regresivamente (10, 9, 8...) a través de los medios informales en que se desenvuelven. Si el aprendizaje no se ha producido a esta edad es preferible practicar en la adquisición de la habilidad de contar que dirigir los esfuerzos al desarrollo de operaciones lógicas y los conceptos básicos, contrariamente a lo que indican los modelos piagetianos, aunque ambos procedimientos pueden emplearse simultanearse.

¿Qué tipo de ejercicios facilitan la noción de número? Como señala Martínez Montero, existen determinados ejercicios que facilitan la comprensión de la noción de número más que otros, como pueden ser:

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a) Actividades de reparto (dealing): permiten establecer diversos tipos de correspondencia entre dos conjuntos de objetos: desde la correspondencia uno a uno (por ejemplo, un lápiz para cada niño); pasando por reparto uniforme (a cada elemento le corresponde la misma cantidad; por ejemplo, 6 entre 3, entre 2; etc.); reparto irregular (por ejemplo, repartir de todas las formas posibles 4 lápices para 2 alumnos); reparto proporcional (por ejemplo, dar 2 lápices a Juan por cada uno que le demos a José); hasta el reequilibrio de repartos (por ejemplo, volver a repartir 8 lápices entre 2 alumnos habiéndolos repartidos previamente entre 4). b) Actividades de mezcla de códigos: en este tipo, el alumno cardinaliza las cantidades de diversas maneras (por ejemplo, 2, II, @@, etc.). Actividades con la cadena numérica: se trata de identificar los números que se encuentran definidos por una posición, utilizando la recta numérica (por ejemplo: cuenta hasta el 7; cuenta 5 números a partir del 3; ¿Cuántos números hay entre el 4 y el 8?; ...).

Fig. # 23. Recta numérica

¿Cuál es la clave entonces? Para finalizar, aun cuando en la asimilación de los conceptos examinados resulta útil, es necesario el uso y manipulación reiterados de materiales concretos (objetos de la vida real, bloques lógicos, regletas...), pues ayudan en la medida en que propician la formación de representaciones mentales y le dan significado a las nociones aritméticas al irlas trabajando los orientados, primero en forma de "conceptos" intuitivos (a través de la representación gráfica figurativa) y luego como auténticos conceptos matemáticos, que tienen un marcado carácter simbólico.

¿Qué dificulta la adquisición del sistema de numeración? Aunque las dificultades relacionadas con la adquisición de la noción de número son importantes y frecuentes durante toda la primaria (una etapa en donde un importante número de alumnos no llegan a elaborar los principios citados de la cardinalidad, abstracción e irrelevancia de orden), no son las únicas. Con más frecuencia, se presentan dificultades en: 83

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•

La comprensión del carácter «ordenado» del sistema de numeración y la lógica del sistema decimal, que implica reagrupaciones a partir de unidades secundarias: decenas, centenas... como lo pone de manifiesto, por ejemplo, el tipo de errores más comunes en el cálculo en estas edades. La comprensión meramente «intuitiva» de estas nociones, entendiendo por ello que el alumno disponga de sus representaciones mentales concretas, como «imaginar» la decena como una bolsita, caja, etc., que contiene 10 unidades, la centena como una colección de diez «bolsitas» que contienen 10 unidades cada una y así, sucesivamente. De tipo procedimental, que se derivan directamente de no entender el valor posicional de las cifras (por ejemplo, el 7 representa cantidades diferentes según su posición:7, 70, 700...), no comenzar los cálculos escritos desde la derecha o fallar con las "llevadas". No comprender la naturaleza del sistema de numeración lleva a dificultades en la comprensión y manejo de los decimales, las fracciones, etc.

¿Cómo se llega al dominio del sistema decimal? Para llegar al dominio del sistema decimal resulta fundamental realizar y establecer particiones, agrupaciones y relaciones entre los diferentes elementos constitutivos de un número. De esta manera, las actividades que facilitarían el dominio del sistema decimal serían: a) Actividades de partición de un número: es necesario las descomposiciones de carácter múltiple. Por ejemplo: 24 se puede descomponer en 20 + 4; en, 10 + 10 + 4... Tomar en cuenta también: • Consideración simultánea de las unidades de un número: ¿Cuantas decenas existen en 3214? ¿Cuántas centenas? ¿Cuántas unidades de millar? • Descomposición de un número en sus unidades constitutivas: unidades, decenas, centenas, ... • Dada una parte de un número, hallar la otra. b) Actividades de agrupación: componer un número a partir de sus unidades constitutivas, como: • Composición de un número a partir de sus unidades. • Operaciones mixtas de sumar.

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c) Actividades de relación: son las relaciones que se establecen entre las cifras que componen un número. Las actividades que pueden hacerse son: • Composición de todos los números posibles. • Determinación de los números mayores y menores que pueden componerse con cifras dadas. d) A todas ellas se añaden los diferentes sistemas de numeración, como: • Identificar números realizados en una base diferente al decimal. • Leer y escribir números en sistemas diferentes al decimal.

¿Cuáles son los problemas más frecuentes relacionados con la numeración? Entre los problemas más frecuentes relacionados con la numeración están siguientes: • • • •

Dificultad para adquirir la noción de número (comprensión) Dificultad para reconocer y escribir algunos números. Dificultad en la adquisición de órdenes de unidades y el valor proposicional de los números, por ejemplo, el número 25 se lee veinticinco, y no dos y cinco. Dificultad en la adquisición de la regla de los ceros intermedios, por lo difícil que resulta comprender los órdenes de unidades y las reglas para codificar y decodificar las relaciones entre dichas cifras.

¿Cuál es el reto en las actividades que se ofrezcan? A pesar de la insistencia de numerosos autores sobre la necesidad de realizar actividades diversas, como las indicadas por Martínez Montero, para la comprensión y dominio del sistema de numeración, lo básico es plantear estas actividades con un nivel de abstracción (manipulativo-vivencial, gráfico o simbólico) adecuado a las competencias del alumno, ya que en caso contrario las dificultades pueden mantenerse en lo relativo a la comprensión del mismo, aunque pueda aprender determinados algoritmos de identificación de unidades.

¿Qué se debe considerar en la evaluación del dominio de la numeración? Cuando se procede a evaluar el dominio de la numeración por parte de un alumno es preciso tener en cuenta las siguientes consideraciones:

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a) El uso de los números (contar) no significa poseer la noción de número, pues su comprensión se pone de manifiesto a través de la ejecución correcta de actividades como: • •

Completar/continuar series ascendentes y descendentes de números. Identificación de los números "vecinos" de otro dado.

b) La comprensión del sistema numérico decimal no puede comprobarse mediante la ejecución de las actividades de descomposición habituales. Por ejemplo: ¿cuántas unidades, decenas y centenas tiene el número 234?, pues el alumno puede aplicar un algoritmo de identificación que no implique la comprensión del valor posicional, por ello será necesario utilizar actividades como: • •

Consideración simultánea de las unidades de un número. Actividades de composición.

5.4 El cálculo numérico ¿Cuáles son las dificultades en la correcta adquisición de las operaciones de cálculo aritmético? A los aprendizajes anteriores se les deben añadir aquellos que afectan específicamente la correcta adquisición de las operaciones de cálculo aritmético: • • • •

Comprensión de las operaciones Su mecánica Errores conceptuales en el cálculo Lectura y escritura de símbolos numéricos

¿Cuáles son las dificultades en la comprensión de las operaciones? Las dificultades en la comprensión de las operaciones son:

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•

Tiene que ver con la comprensión de los conceptos mismos de suma, resta, multiplicación, división, potencias, raíces, etc., pues a menudo son asimiladas en términos puramente algorítmicos, es decir, como procedimientos mecánicos que se aplican rutinariamente para la obtención de un resultado. El propio término «operaciones» expresa «acciones interiorizadas» que conforman un sistema de relaciones lógico-matemáticas entre ellas: sólo así es posible realizar una adquisición comprensiva de las propiedades de cada una, estudiándose de manera desconectada de las operaciones reales, usando ese conocimiento en la resolución de problemas y en la realización de aprendizajes matemáticos más complejos y de nivel jerárquico superior. Los profesores no consideran su enseñanza como algo importante o, al menos, al alcance de sus alumnos de primaria; causa más preocupación, entonces, otro tipo de problemas relacionados con una insuficiente automatización de cálculo, hábitos incorrectos de resolución de las operaciones escritas, etc...

¿Cuáles son las dificultades en la mecánica de las operaciones aritméticas? Con mucha frecuencia se tiende a realizar los cálculos escritos en órdenes inadecuados (sumar y restar comenzando desde la columna situada a la izquierda, multiplicar sin ordenar el producto de cada multiplicación –cuando el multiplicador tiene dos o más cifras- comenzando por dejar libre la columna de la derecha, etc.: son errores de cálculo derivados de imprecisiones en la suma, resta, multiplicación o división de dos cifras, inexistencia o imprecisión en el cálculo mental, etc.

¿Además de las imprecisiones, qué otro tipo de errores se suelen relacionar? Un conjunto de errores que suelen relacionarse, además de las ya comentadas, con: • • •

La falta de una práctica suficientemente supervisada. La falta de atención. La inexistencia de estrategias de verificación en el desarrollo de tareas que se ejecutan mecánicamente, aplicando una secuencia de pasos impuestos sin explicación y memorizada sin más: se hacen en forma automática, dejando de lado la comprensión.

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¿Cuál es uno de los objetivos de la enseñanza de la aritmética en la escuela? El dominio de las cuatro operaciones básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir) es uno de los objetivos de la enseñanza elemental, al igual que otros cálculos más complejos (potencias, raíces, logaritmos...) lo son de la educación matemática de la secundaria.

¿Qué se debe ejercitar antes de escribir las operaciones básicas? Según algunos autores, antes de ser iniciarse el cálculo escrito de las cuatro operaciones básicas, los alumnos deben adquirir los conceptos y los símbolos de estas, además del aprendizaje de los algoritmos, es decir, procedimientos de cálculo compuestos por una secuencia ordenada de pasos que permiten llegar a la solución correcta en operaciones con multidígitos. A partir de las experiencias informales y formales de contar, ellos van elaborando conceptos básicos de adición, sustracción, multiplicación y división, así como los algoritmos para su resolución.

¿Qué estrategias se recomiendan para lograr todo esto? Las estrategias recomendadas son: •

Suma: se utilizan estrategias que van desde el apoyo de los dedos u objetos físicos al uso de las combinaciones numéricas básicas, pasando por los algoritmos de cálculo escrito y por las estrategias y reglas de cálculo mental que se apoyan en la composición y descomposición de los números (por ejemplo, para calcular 5 + 3, se usa la estrategia de sumar 5 + 5 quitando 2), produciéndose los errores más frecuentes con las «llevadas», en la alineación o colocación correcta de las cifras y en los procedimientos de llevada cuando está presente el cero.

•

Sustracción: se desarrollan y aplican estrategias que varían en función de los problemas a resolver, del grado de abstracción de la tarea y de la edad. La sustracción, en general, al suponer mayor nivel de complejidad, no es dominada hasta el tercer o cuarto grado de Primaria. La comprensión de esta complejidad y el dominio de las estrategias de resolución no es un proceso de todo o nada, sino que supone la ascensión gradual de un camino no exento de dificultades.

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•

Multiplicación: si se tiene bien adquirido el concepto de adición, no presenta grandes dificultades, ya que se representa como la adición sucesiva del mismo número. Los errores más frecuentes están relacionados con las combinaciones básicas, con la suma de los números que se llevan, con la escritura de una hilera de ceros cuando hay un cero en el multiplicador, con los errores en la adición y al tomar el multiplicando como multiplicador.

•

División: al ser la operación inversa a la multiplicación implica una reorganización de este concepto, cuyo resultado final debe ser una estructura de conocimiento aritmético unificada que incluya las cuatro operaciones. Ello significa la consolidación de una red de conexiones entre los diferentes conceptos aritméticos, que es la que permitirá su aplicación flexible.

¿Por qué es más difícil el aprendizaje de la división? En cualquier caso, el aprendizaje de la división es el más difícil de todos los algoritmos: • • • •

Porque se lleva de izquierda a derecha, al contrario que los anteriores. Porque aporta dos resultados, cociente y resto; en los anteriores sólo uno. Porque requiere que los otros algoritmos estén automatizados. Porque es un procedimiento sólo semiautomático, ya que tiene una fase de tanteo que conlleva ciertas probabilidades como que el resto sea mayor que el cociente.

¿Cuál es la etiología de estos errores? Estos errores suelen tener su origen en un mal aprendizaje, de manera que, cuando algunos de los pasos del procedimiento no están claros, el alumno inventa una regla, generalmente inadecuada, para resolver la situación. Así, los errores más frecuentes en las operaciones básicas de quienes tienen DAM son: • • • •

Operar sin tener en cuenta la posición. Operar de izquierda a derecha. Omitir el cero. Errores con las llevadas, sosteniendo como principio general que la mayoría de los errores se producen por una inadecuada o incompleta asimilación del valor posicional de los números.

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¿En dónde se originan los errores en las operaciones matemáticas más complejas? Cuando las dificultades aparecen en otras operaciones matemáticas más complejas (como las potencias, raíces, logaritmos, etc.), a menudo los orígenes suelen remontarse a un inadecuado dominio de las operaciones básicas implicadas (estas operaciones siempre suponen el dominio de las operaciones básicas) y a un inadecuado aprendizaje del algoritmo correspondiente de otro. ¿Cuáles son los errores conceptuales en el cálculo? Esta tercera categoría de dificultades se refiere a todos aquellos errores que se derivan de la inexistencia de los conceptos adecuados. Posiblemente, el más frecuente de ellos sean «las restas con llevada», es decir, cuando en la sustracción la cifra del sustraendo es mayor que la del minuendo; en este caso, no existen problemas si el alumno comprende, aunque sea intuitivamente, que el «déficit» de esa determinada posición en el minuendo desaparece cuando se le traslada una «unidad secundaria» de la posición siguiente (es decir, para restar 9 a 27, este último 7 se aumenta hasta 17, pero implica que ya sólo queda un decena, en lugar de dos, en la siguiente columna). Cuando tal comprensión no existe, el alumno se ve entregado a practicar un ritual incomprensible y arbitrario de «préstamos entre vecinos» sujeto a una secuencia de actos que, en cuanto falla en cualquier eslabón, lo condena al error. Otro tanto cabe decir de las dificultades para el cálculo con números fraccionarios, la obtención de porcentajes, etc., o en la realización de operaciones más complejas.

¿Cuáles son las dificultades en lectura y escritura de símbolos numéricos? La expresión símbolos numéricos escritos incluye, tanto a los números propiamente dichos como los símbolos de las operaciones numéricas (+, -, x, /) y aquellos otros que representan relaciones matemáticas esenciales (=, =, >, <...). Evolutivamente, se adquiere antes el reconocimiento de estos símbolos y el acto de nombrarlos en su escritura, siendo relativamente lento el proceso para poder leer y escribir los signos y los números, lo que implica el aprendizaje, además, del valor posicional de estos últimos. Es muy evidente la presencia de este tipo de error y ha sido asociada tanto a trastornos específicos (lesiones cerebrales con efecto sobre las adquisiciones matemáticas), como a dificultades evolutivas, que serían las más frecuentes en la escolaridad obligatoria, en la cual aparecen con abundancia – en particular en el primer ciclo de primaria– los fallos en la identificación de los números, confusiones entre los que son semejantes, y en la lectura de los signos de operación, en especial de relación, escritura «en espejo» de números, cambios posicionales de cifras, omisiones de números, etc. 90

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Actividad # 16

Diciendo los números Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: errores en los números

Instrucciones. ¿Cómo utilizarías este material para reforzar el aprendizaje de los números básicos? ¿Lo dejarías como está o lo modificarías? Presenta tu propuesta al grupo.

Juan Reyes y Carmela tienen una granja

Y en un potrero pastan seis vacas

Compró dos tractores para mover la tierra

De sus siete árboles recogen rica fruta

Tiene tres cerdos, juegan en el barro

Junto a los frutales ocho ovejas le dan su lana

En el lago viven cuatro patos

Juan y Carmela sembraron nueve matas de maíz

Cinco gallinas ponen muchos huevos

Diez conejos esperan comerse las zanahorias

Fig. # 24. Los números.

¿Cuándo suele aparecer la incidencia de este tipo de dificultades de aprendizaje? Es común que se presente durante la fase de iniciación en la numeración y el cálculo aritmético, persistiendo a veces hasta los 8 o 10 años en alumnos de medios desfavorecidos e, incluso, en grupos-clase completos que han sufrido una enseñanza inicial irregular. 91

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¿Todo alumno que manifieste este tipo de dificultades se considera con DAM? No, pues se trata de un fenómeno natural en ciertos momentos del proceso de aprendizaje matemático; más allá de ese punto, sin embargo, son errores que no suelen persistir sino en quienes tienen discalculia asociada con trastornos específicos de lectura y escritura, así como en algunos alumnos impulsivos e hiperactivos. ¿En qué ayuda la evaluación del nivel de competencia en las operaciones aritméticas? La evaluación del nivel de competencia de un sujeto respecto a las operaciones aritméticas es necesario diferenciar la comprensión de su dominio algorítmico. La evaluación de este último puede realizarse con una colección de ítems relativos a cada operación y secuenciados en orden de dificultad, como por ejemplo la siguiente referida a la suma:

• • • • •

Tipo de suma Sumas de dígitos que totalizan menos de 10 Sumas de números con dos cifras sin "llevadas" Sumas de dos números de una y dos cifras, "sin llevadas" Sumas de dos dígitos rebasando la decena Sumas de tres dígitos: a) Sin rebasar la decena b) Rebasándola en el tercer sumando c) Rebasándola en el segundo solamente Cuadro # 10. Tipos de suma.

Ejemplo 7+2 27 +11 12+7 6+9 3+4+2 3+5+3 7+9

¿En qué ayuda este tipo de colecciones? Este tipo de colecciones, que resulta fácil elaborar una en el automatismo de cada operación básica, conforman lo que se denomina una prueba analítica, para chequear en poco tiempo, y de manera sistemática, los distintos logros y errores de un alumno o alumna. ¿Qué se debe considerar en el dominio de las operaciones aritméticas? A la hora de evaluar el dominio de las operaciones aritméticas por los alumnos es conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones: a) En la valoración de cada operación es necesario diferenciar su comprensión del dominio algorítmico que se posea de la misma, ya que pudiera ocurrir que un alumno poseyera uno y no el otro. b) Se deben emplear diferentes modelos de operaciones: verticales y horizontales. 92

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5.5 Resolución de problemas ¿Cuál es el objetivo de enseñar la resolución de problemas? En cuanto a la resolución de problemas, aunque no lo parezca a veces, está claro que constituye uno de los objetivos finales en la enseñanza de las matemáticas en la escuela obligatoria, para cuya consecución no basta con que el alumno domine las operaciones elementales de cálculo: requiere un aprendizaje específico de ciertas habilidades de representación, reglas y estrategias generales y específicas, así como de la capacidad de traducir de unos lenguajes (modos de representación) a otros. Además de todo ello, el aprendizaje de esta capacidad incluye la comprensión de los enunciados, que exige la decodificación adecuada del mensaje verbal para formarse una representación mental adecuada al estado de cosas descrito en el problema, y la habilidad para establecer relaciones entre los conceptos y procedimientos implicados para, desde ahí, analizar las vías de solución posibles en cada caso y valorar cuál de ellas es la apropiada.

¿Qué se necesita saber para entender el modo en que el alumno aprende a resolver problemas? En cualquier caso, para entender el modo en que el alumno llega a aprender a resolver correctamente los problemas matemáticos (o por qué no llega a hacerlo), es necesario analizar el concepto mismo de problema y el conjunto de operaciones mentales implicadas en su resolución. •

•

Un problema puede considerarse, en general, como una situación en la que a partir de un cierto estado de cosas inicial se trata de alcanzar una meta identificando y aplicando el único procedimiento adecuado o seleccionando uno entre varios posibles; en este sentido, podría afirmarse que existe un problema siempre que la situación actual sea diferente de la situación (meta) deseada... Por ejemplo, si queremos tomar una copa de vino de una botella cerrada, hemos de resolver el problema de abrirla. Resolver un problema, por tanto, comporta pasar de una situación a otra, realizar ciertas operaciones sobre el estado inicial para alcanzar el objetivo: si queremos tomarnos esa copa de vino, una posible solución es tener un sacacorchos a mano y probar a abrir la botella.

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•

Finalmente, en el proceso de resolución de cualquier problema es posible que tengamos que enfrentarnos a unas reglas que especifican cuáles son las operaciones que están permitidas, y que se conocen como límites o restricciones.

¿Cuáles son las partes principales del proceso de resolución de problemas? Suelen distinguirse, al menos, dos partes principales, la de representación del problema, en la que se construye un modelo del estado de cosas que representa el enunciado, y la solución del problema propiamente dicha, es decir, la aplicación del procedimiento apropiado (los operadores matemáticos) para alcanzar la meta final perseguida a partir de la situación de partida. No obstante, cada una de estas fases supone la ejecución correcta de una serie de pasos o tareas.

¿Entonces cuál es el reto? Como es obvio, en los diferentes tipos de problemas matemáticos que pueden plantearse, tales tareas no se dan en compartimentos siempre independientes y perfectamente distinguibles unos de otros; bien al contrario, las lindes entre ellos suelen ser difusas durante el proceso mismo de la resolución del problema; así, la planificación y la ejecución pueden presentarse juntas dado que, en ocasiones, no podemos estar verdaderamente seguros de haber elegido la estrategia correcta hasta no haberla ejecutado y haber observado si se ha logrado hacerla funcionar.

5.5.1 Fases en la resolución de problemas ¿Qué sucede cuando se uno resuelve un problema? Cuando se resuelve un problema, no siempre se es consciente de que se está procediendo mediante una secuencia lineal que respeta el orden en que aquí se presentan las diferentes tareas, sino que, por ejemplo, uno puede empezar por planificar la solución del problema antes de ser consciente de la traducción del problema mismo.

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Para resolver el problema de las prendas de vestir es posible que alguien, que haya desarrollado antes con éxito la estrategia de construir una tabla numérica de doble entrada y completar los datos que faltan, comience aplicando dicha estrategia aún antes de que sea consciente de los términos en que está definiendo el problema. ¿Cuáles serían los componentes del problema? Los componentes del problema son: • • • •

La traducción del problema. La integración del problema. La planificación de la solución. La ejecución de la solución.

5.5.1.1 ¿En qué consiste la traducción del problema? Supone definirlo; es decir, transformar cada proposición del problema en una representación interna. Cuando traducimos un problema nos valemos de las ideas y conceptos elaborados por personas que ya se han enfrentado con problemas similares o, incluso, desarrollamos nuestras propias ideas y conceptos. La creación de unidades de medida tales como litros de gasolina por cada cien kilómetros, tasa de éxito en la universidad, índice de precios al consumo... son otros tantos ejemplos a propósito. •

Ejemplo: tomado de Bransford y Stein (Solución IDEAL de problemas; Editorial Labor): Un estudiante dedicó 22 horas de estudio a la preparación de sus exámenes de Lengua, Matemáticas e Historia. Si dedicó el doble de tiempo a Lengua que a Matemáticas y 3 horas menos a Historia que a Lengua, ¿cuánto tiempo dedicó a cada asignatura?

Lengua

Matemáticas Fig. # 24. Tres materias. 95

Historia

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•

Al traducir el problema, el alumno considera cada una de las materias de forma independiente, es decir, define el tiempo dedicado a la preparación del examen de Lengua como no vinculado con el tiempo dedicado a la preparación del examen de Matemáticas o al de Historia; consecuentemente, resuelve dividiendo las 22 horas entre las tres asignaturas mencionadas y, claro es, se equivoca.

•

Una forma diferente de traducir el problema es a partir de proposiciones que incluyan las relaciones entre los tiempos de preparación de dos asignaturas. Así, decimos que el tiempo dedicado a Matemáticas es L/2 (la mitad que el dedicado a Lengua) o que el tiempo dedicado a Historia es L-3 (tres horas menos que las dedicadas a Lengua).

5.5.1.2 ¿En qué consiste la integración del problema? Implica agrupar las proposiciones textuales del problema en una representación coherente. Esa representación que hace el alumno refleja su forma de entenderlo. (ejemplo: "Es un problema de regla de tres simple") y, por consiguiente, está asociada al conocimiento que posee acerca del tipo de problemas matemáticos que se le pueden plantear. El alumno, por tanto, utiliza su conocimiento esquemático para situar las proposiciones extraídas del enunciado del problema dentro de una de las categorías de problemas con las que ya ha tenido alguna experiencia previa.

¿Cómo se considera al esquema? Los investigadores conciben el esquema como una estructura de información modificable que representa conceptos genéricos almacenados en la memoria. En este sentido, los esquemas contienen una información prototípica sobre las situaciones experimentadas frecuentemente y se utilizan para interpretar nuevas situaciones y observaciones. •

Supongamos que, en medio de la cena, alcanzamos a oír en la televisión la siguiente noticia: El toro no embestía al caballo... el picador sobrepasó la raya... el matador pagó una multa a la autoridad.

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•

Para poder entender un incidente como éste, bastante frecuente en las plazas de toros, la persona que escucha la noticia en la radio debe poseer un buen conocimiento sobre la lidia de reses bravas. Este conocimiento previo se representa en la memoria mediante un esquema que especifica las reglas del juego que deben observar las personas que participan en una corrida de toros, las funciones y cometidos que tiene cada uno (picador, subalternos, matador, presidente, etc.) en el desarrollo de la lidia y el tipo de situaciones que acontecen durante la misma.

¿Cuál es el supuesto de la teoría de los esquemas? La teoría de los esquemas supone que existen estructuras (esquemas) en variables o "ranuras" en las que puede acomodarse la nueva información. Si se rellenan suficientes ranuras de un esquema determinado, éste se convierte en activo. Un esquema activo puede guiar al sujeto en la búsqueda de información para rellenar las restantes ranuras, pero, si esa información adicional no está disponible en el entorno, se rellenarán sus ranuras con la información normal de una situación determinada, se activarán sus procedimientos y se accederá a cualquier otro conocimiento que contenga. En efecto, el esquema es una estructura prototípica que puede incorporar fenómenos observados, gracias a la cual las personas reaccionamos a menudo muy rápida y eficazmente ante nuevos estímulos. Así, en los diversos estudios pudo comprobarse que los alumnos eran capaces de categorizar los problemas de forma casi inmediata. Después de oír las primeras palabras de un problema como "Un barco fluvial recorre 36 km a favor de la corriente...", un alumno puede decir: "¡Ya está! Éste es uno de aquellos problemas de corriente de ríos". Otros investigadores, como Robinson y Hayes, han encontrado que los alumnos utilizan sus esquemas para hacer juicios acertados respecto a cuál es la información importante en un problema y cuál es la accesoria.

¿Cómo aplicar los esquemas? Si aplicáramos las conclusiones de estos investigadores a la memoria para las situaciones repetidas que se experimentan, y que una función importante de los esquemas es la de construir interpretaciones de nuevas situaciones. Los objetos de un esquema pueden entenderse como un problema como éste: 97

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"Dos estaciones de ferrocarril distan 100 kilómetros. A la una del mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren, cada uno de los cuales se dirige hacia el otro. En el instante en que los trenes arrancan, un halcón echa a volar en el sentido de la marcha del primer tren, hasta la máquina del segundo tren. Cuando el halcón alcanza el segundo tren, da media vuelta y vuela en dirección al primero. El halcón prosigue de igual modo hasta que los trenes se cruzan. Supongamos que ambos trenes viajen a la velocidad de 50 km/h. y que el halcón vuele a la velocidad constante de 200 km/h: cuando los trenes se crucen, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido el halcón?" (Bransford y Stein), veríamos que en él resultan accesorias la mayoría de las informaciones (a la una del mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren, echa a volar en el sentido de la marcha del primer tren hasta la máquina del segundo tren, cuando el halcón alcanza el segundo tren, da media vuelta y vuela en dirección al primero, el halcón prosigue de igual modo hasta que los trenes se cruzan...); en cambio, son relevantes las informaciones relativas a la velocidad de los trenes y del halcón o la distancia entre estaciones.

¿Qué sucede si se usa un esquema equivocado? Cuando un alumno utiliza un esquema equivocado para comprender un problema, tiene bastantes dificultades para hallar la solución correcta, al igual que cuando el alumno no posee el esquema de un tipo de problema determinado, bien porque no lo conozca o porque se trate de un tipo de problema poco habitual en su experiencia previa. Por ejemplo, consideremos el problema del reloj y la pulsera, y analicemos algunas de las dificultades que pueden planteársele al alumno cuando no conoce este tipo de problemas. El precio de la pulsera de un reloj es igual a la tercera parte del precio del reloj. El reloj con la pulsera cuesta 2.400 pesos. ¿Cuál es el precio de la pulsera? Una posible respuesta puede ser: 1/3 de 2.400 = 800. Por tanto, el reloj vale 1.600 y la pulsera vale 800. En este caso, no se ha interpretado correctamente la proposición "el precio de la pulsera... es igual a la tercera parte del precio del reloj, dado que el precio del reloj debería ser igual al triple del precio de la pulsera (el inverso de 3 es 1/3) y con la solución aportada no lo es (1.600 no es el triple de 800). 98

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¿Cómo ayudarían los esquemas en este caso? Si el alumno hubiera conocido los problemas sobre múltiplos y divisores hubiera procedido de forma diferente. Así, utilizando dicho esquema diría: "Dado que el precio de la pulsera es igual a un tercio del precio del reloj, el precio del reloj será igual al triple del precio de la pulsera; el precio total incluye el del reloj y el de la pulsera y, por tanto, el precio de la pulsera es 1/4 del total. Por consiguiente 1/4 + 3/4 = precio total".

¿Cuáles serían algunos ejemplos de aplicar de esquemas inadecuados? Existen muchos ejemplos de aplicaciones de esquemas inadecuados para resolver problemas. Algunas de las confusiones más frecuentes al seleccionarlos esquemas a utilizar son: problemas de sumas por problemas de restas; problemas de m.c.m. por los m.c.d.; problemas de correlación por problemas de contraste, etc.

¿Por qué se necesitan los esquemas cognoscitivos? Por todo lo expuesto, cada vez está más extendida la idea de que se necesitan y, por ende, se usan esquemas cognoscitivos para integrar o comprender los problemas. Como hemos visto, esos esquemas representan modos ya experimentados de abordar un problema, que traemos de nuestra memoria para afrontar el mismo tipo de problema o uno similar al que alguna vez hemos resuelto. Integrar la información relativa a un problema requiere, sin duda, un conocimiento específico de los tipos de problemas. En el ejemplo de la dedicación del estudiante a la preparación de los exámenes, que veíamos hace un momento, la tarea de integración requiere reunir las distintas proposiciones que afectan a las relaciones entre las horas invertidas en las asignaturas. Lo que el estudiante dedica a preparar sus exámenes es, en realidad, L + L/2 + L-3. Estamos utilizando un esquema que corresponde al de la resolución de una ecuación con una sola incógnita: x + x/2 + x-3 = 22.

5.5.1.3 ¿En qué consiste la planificación de la solución? Este nuevo componente aborda el diseño de un plan para solucionar el problema, esto es, para resolver problemas se necesita poseer alguna estrategia acomodada a las propias exigencias de cada problema: tantear, hacer un dibujo que 99

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represente cosas y sus relaciones, pensar un problema más fácil, hacer una tabla o empezar por el final (se parte del resultado final y se van recorriendo los pasos, pero al revés) ... son algunas de las estrategias que los alumnos ya aprenden en el último ciclo de la Educación Primaria.

¿Qué tipo de estrategias se aplican en matemáticas? En matemáticas, nos valemos de estrategias generales aplicables a un sinfín de tipos de problemas (ejemplo: empezar por el final) y, desde luego, aprendemos a apoyarnos en estrategias desarrolladas por otros para afrontar un tipo particular de problemas (ejemplo: los que se utilizan para encontrar el área bajo la curva normal). Consideremos, en primer lugar, las estrategias generales que utilizamos al planificar la solución de un problema.

¿En qué consiste la estrategia de pensar un problema más fácil? Una de ellas es la conocida como pensar un problema más fácil y consiste en considerar un problema que sea parecido al que tenemos, pero que sepamos hacer. Veamos el siguiente problema tomado de nuevo de la obra de Bransford y Stein: Es usted el director de un campeonato de tenis, que ha de celebrarse próximamente. Se han inscrito 103 participantes en el torneo, que se juega por simple eliminación (en cuanto pierda una vez, el jugador queda eliminado). Si hace falta para cada encuentro una ficha de puntuaciones e incidencias, ¿cuántas serán necesarias, suponiendo que todos los jugadores comparezcan? Se trata de un problema del tipo N-1 y que puede resolverse más fácilmente si probamos primero una situación concreta más sencilla como, por ejemplo: N = 3. De este modo, podemos comprobar que siempre se necesita un número de fichas de puntuaciones e incidencias menor (una unidad) que el total de participantes.

¿En qué consiste la estrategia del tanteo? En el problema "El cociente de dos números es 3 y su suma 72, ¿qué números son?", la estrategia más adecuada podría ser el tanteo; en cambio, en el problema: 100

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"Margarita compra un lote de tres cuadernos en espiral tamaño folio y una mochila para ir al colegio por 1.344 pesetas. La mochila cuesta 297 pesetas más que el doble del lote de cuadernos ¿Cuál es el precio de cada cosa?". (Matemáticas 6º Primaria. Editorial SM) la estrategia más adecuada podría ser la de empezar por el final (si a 1.344 le restamos 297, queda el precio de tres lotes iguales de cuadernos).

¿Qué se puede decir respecto a las estrategias específicas? Respecto a las estrategias específicas, habría casi tantas como tipos de problemas puedan identificarse en matemáticas. Veamos como muestra un problema en 4º Curso de Primaria (Editorial Santillana): Inés y Álvaro están haciendo una carretera para jugar a las chapas. Inés ha hecho 2 m y 48 cm. de carretera y Álvaro 1 m y 73 cm. ¿Cuántos centímetros de carretera han hecho en total?

¿Por qué el alumno necesita conocer al menos una estrategia específica? Por muy elemental que nos parezca el problema, para resolverlo un alumno necesita conocer la estrategia específica que le permite situar todas las medidas en una misma unidad y, por supuesto, necesita conocer que un 1 metro equivale a 100 centímetros. Veamos ahora un problema más complicado, que puede ayudarnos a entender mejor el concepto de estrategia específica: Aplicamos una prueba de inteligencia a una muestra de 129 estudiantes universitarios de menos de 20 años y obtenemos una media de 28 y una desviación típica de 4,59. Igualmente aplicamos la misma prueba a otra muestra de 95 estudiantes universitarios comprendidos entre los 20 y 24 años de edad, y obtenemos una media de 25,36 y una desviación tipo de 5,07 ¿Podemos afirmar a un nivel de confianza del 5% que la población de universitarios menores de 20 años es más inteligente que la de 20-24 años? Como habrá observado, se trata de un problema de comparación entre medias en grupos independientes y, para resolverlo, el alumno debe conocer la estrategia que le lleva a aplicar una fórmula de comparación determinada (z = *x1 x2 * / s s2/N1-1 + s2/N2-1), a operar con un riesgo concreto a= 0.05 y a decidir en función del valor teórico encontrado para z. 101

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5.5.1.4 ¿En qué consiste la ejecución de la solución? Esta última etapa implica que el alumno efectúe una serie de operaciones, que pueden ser tan simples como los implicados en la suma o tan complejos como los asociados al cálculo infinitesimal y, contra lo que pudiera pensarse en un principio, no es en absoluto un mero trámite; incluso cuando todo lo anterior ha sido correcto, hasta que ponemos en práctica la solución ideada no podemos estar completamente seguros de que las etapas anteriores se hayan cubierto de forma adecuada. Sólo al ejecutar la estrategia de resolución podemos verificar la adecuación del proceso seguido.

¿Cuál es la falla en la aplicación de estrategias? En la muy citada obra de Holt How Children Fail, que describe las conductas de los alumnos en la escuela y el tipo de actuaciones que los llevan a suspender en determinadas materias, se destaca que con frecuencia los alumnos no piensan demasiado en la estrategia a seguir para resolver un problema, así como que una vez hecha la elección la aplican a ciegas, sin verificación de ningún tipo. Por ejemplo, uno de los chicos que Holt describe estaba trabajando en el siguiente problema: Si tenemos 6 jarras y queremos verter en cada una 2/3 de libro de limonada, ¿cuánta limonada nos hará falta? y respondió que18 litros. Holt le preguntó entonces "¿Cuánto hay en cada jarra?", a lo que respondió "¡Dos tercios de litro!". A continuación, Holt le preguntó si esa cantidad era mayor o menor que un litro y, tras decir el alumno que menos, le volvió a interrogar: "¿Cuántas jarras hay?", a lo que el chico contestó que eran 6. Cuando se le hizo observar que, si había seis jarras y todas contenían menos de un litro, la respuesta "18 litros" era absurda, el chico se limitó a encogerse de hombros: "¡Eso es lo que sale al calcularlo!". ¿Cuáles serían otros ejemplos parecidos a la falla de estrategias? Otros ejemplos parecidos tienen lugar cuando el alumno obtiene como media de un conjunto de valores otro valor superior a cualquiera de ellos, cuando la probabilidad de un suceso aleatorio es superior a la unidad o cuando la suma de las partes supera al todo. Emplear el tanteo (cuánto puede dar esto) puede ser una estrategia adecuada para pronosticar una solución aproximada y verificar lo verosímil de la solución finalmente encontrada al problema. 102

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5.5.2 Conocimientos implicados en la resolución de problemas Cada uno de los componentes en la resolución de problemas requiere de una serie de conocimientos en el alumno. ¿Qué requiere la traducción del problema? La traducción del problema requiere algún conocimiento del lenguaje por parte del alumno que le permita, por ejemplo, transformar la proposición: Juan tiene cinco pesos más que Pedro, en una relación cuantitativa entre las dos variables implicadas (Juan y Pedro), pero, también requiere de algún tipo de conocimiento general que permita al alumno, en el ejemplo, entender afirmaciones del tipo Juan tiene un duro como equivalentes a Juan tiene cinco pesos.

¿Qué demanda la integración del problema? La integración del problema demanda del alumno alguna forma de conocimiento estructurado que le ayude en su representación del problema, es decir, el alumno debe poseer cierto conocimiento esquemático del de problemas que se le pueden presentar. Un esquema contiene una información prototipo sobre las situaciones experimentadas con anterioridad y que, una vez recuperadas de la memoria, se utilizan para interpretar nuevas situaciones y observaciones. En el ejemplo, el alumno tiene que identificarlo como un problema de comparación en el que deben contrastarse dos variables entre sí.

¿Qué se necesita para la planificación de la solución? En la planificación de la solución, el alumno debe poseer algún conocimiento heurístico o estratégico de la resolución de problemas.

¿Qué se demanda en la ejecución de la solución? La ejecución de la solución demanda del alumno algún conocimiento sobre los procedimientos de solución, es decir, sobre los conocimientos algorítmicos. En el ejemplo, el alumno tiene que saber sumar, de modo que pueda resolver que la suma de 3 +5 es igual a 8. Relacionado con el tipo de conocimiento necesario para resolver un problema está el de los distintos tipos de problemas de matemáticas a los que se enfrentan los escolares, como resultado de las exigencias que se derivan del propio currículum de educación primaria y educación secundaria. 103

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¿Cuáles son las fases de la intervención? De cara a la intervención con alumnos que tienen dificultad en la resolución de problemas, la mayor parte de los autores y programas existentes se centran en mayor o menor medida en cada una de estas tres fases. En general, y de cara a la práctica educativa convendrá tener en cuenta las siguientes recomendaciones: •

• •

•

Que el alumno comprenda el problema, antes de pensar en la forma de resolverlo, para lo cual es necesario que se acostumbre a leerlo varias veces y desentrañar cada uno de los conceptos de este. Que preste atención a las ideas fundamentales y las ordene según su importancia o en secuencias espaciotemporales. Que el problema a resolver se simplifique al máximo para hacerlo más comprensible, aplicando el principio científico de la parsimonia, redactándolo de una manera más sencilla, breve y comprensible. Que aprenda a analizar la estructura semántica subyacente a los problemas, ya que según como sea presentará niveles de dificultad distintos. En este sentido, generalmente se distinguen tres tipos de problemas (de cambio, combinación y comparación), siendo los de cambio los más fáciles y los de comparación los más complejos. De ahí que se insista en la necesidad de instruir al alumno en procedimientos a través de los cuales aprenda a realizar análisis y esquemas.

¿Qué se necesita en la evaluación de la resolución de problemas? En cuanto a la evaluación de la resolución de problemas, pueden aplicarse colecciones de problemas del estilo de los mencionados para cada operación de cálculo, la que implicaría en el caso de los problemas de suma, una colección incluyendo: a) Problemas que exigen los diferentes tipos anteriores de sumas para su resolución. b) Problemas en donde los elementos objeto de adición son de diferente naturaleza (homogéneos, heterogéneos, magnitudes diversas). c) Problemas que exigen diferentes vías de solución (una suma simple y directa, trabajo con números negativos, problemas que ofrecen distintas alternativas de solución posibles, problemas que exigen una respuesta diferente al algoritmo aritmético, problemas en donde debe inventarse un texto para una solución ofrecida...).

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¿Cómo deben contemplarse los diferentes tipos de problemas? El empleo de tipo de colecciones respecto a los diferentes tipos de problemas debe completarse con una valoración explícita de los aspectos conceptuales del aprendizaje matemático: noción de número, concepto de decena, de centena, comprensión del sentido de las operaciones aritméticas, etc. En cualquier caso, lo que estos ejercicios deben permitirnos es averiguar en qué fase de la resolución del problema aparecen las dificultades: traducción, integración, planificación o ejecución de la solución; con la finalidad de que sirva de punto de apoyo fundamental en el ajuste correspondiente del programa educativo.

5.6 Otros conocimientos matemáticos ¿Qué otros conocimientos matemáticos son necesarios? Aunque la investigación educativa se ha centrado principalmente en la numeración, cálculo y resolución de problemas, vamos a considerar, aunque sea muy brevemente los contenidos de las categorías restantes relacionadas con la estimación, el uso de instrumentos tecnológicos, fracciones y decimales, medida y geometría.

¿Qué es la estimación? La estimación se refiere al ejercicio o capacidad de calcular el resultado de un problema antes de resolverlo, o mejor, es una forma de cálculo mental utilizada con frecuencia en la vida cotidiana. Además, juega un papel importante en los procesos de control de la propia actividad matemática el poner de relieve las incoherencias entre el cálculo realizado y el estimado. También es necesaria cuando sólo se pueda dar una respuesta aproximada, así como para resolver situaciones que demandan una rápida respuesta y no es posible realizar los cálculos exactos. Se lleva a cabo mediante: • • •

El redondeo o reformulación de los números para hacerlos más manejables. El ajuste o compensación para anular una operación, haciendo otra equivalente en dirección contraria. Por selección de otra estrategia cambiando la estructura del problema, por ejemplo, si es de sumar por una multiplicación.

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¿Cuál es la relevancia del dominio de las magnitudes? El dominio de las magnitudes (unidades de longitud, peso, superficie, volumen y sistema monetario) constituyen uno de los aprendizajes matemáticos de mayor utilidad práctica ya que forman parte de la vida cotidiana de manera habitual, y el alumno se va a ver condenado a uso. En dicho dominio inciden dos tipos de dificultades: de una parte, las derivadas de la ausencia de dominio de las operaciones básicas; y de otra, las que tienen relación directa con los conocimientos que implican cada una de ellas.

5.7 Las dificultades en los aprendizajes matemáticos ¿Cuándo suelen presentarse las DAM? Aun cuando las dificultades específicas con los aprendizajes matemáticos son un motivo relativamente infrecuente de consulta y derivación en la Etapa Primaria, más marcada por los problemas relacionados con las dificultades en la lengua escrita, ello no supone que no haya problemas en este ámbito; simplemente, la debilidad de los aprendizajes adquiridos en matemáticas durante la etapa de los 6 a los 12 años suele manifestarse con más fuerza en la Secundaria, cuando el fracaso en el área aparece como el más notorio y escandaloso (aunque, todo hay que decirlo, no es un problema exclusivo de nuestro país). ¿Cuál es el marco teórico que sustentan los estudios de las DAM? Si bien hay una cierta cantidad de investigación sobre el tema, y a menudo bajo perspectivas diferentes, dependiendo de las teorías del aprendizaje en las que se apoyan, la mayor parte de los trabajos se han realizado desde alguna de las dos perspectivas: la neuropsicológica y la cognoscitiva.

¿Qué perspectiva es la que ha predominado más? Como en el caso de la lectura y la escritura, la perspectiva dominante ha sido durante muchos años (y lo es todavía, en parte, en el ámbito profesional, aunque no en el investigador) la neuropsicológica, que relaciona las dificultades en estos aprendizajes con alteraciones en las funciones cerebrales y dispositivos básicos del aprendizaje, pudiéndose advertir, como en el lenguaje escrito, tanto una posición "fuerte" que asocia directa y contundentemente las dificultades en los aprendizajes matemáticos con alteraciones neurológicas más o menos concretas, por ejemplo, anomalías en la zona occipito-parietal, como otra más moderada que sitúa el origen de las dificultades matemáticas en déficits en la maduración. 106

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Desde ambas posiciones, pese a sus diferencias, se supone que los aprendizajes matemáticos se edifican sobre una serie de funciones previas y más generales, como son la orientación espaciotemporal, el esquema corporal, las aptitudes visomotoras, etc.

5.7.1. El enfoque neuropsicológico ¿Cuándo se ha iniciado el estudio de las DAM? A partir del siglo pasado se han venido identificando individuos que presentan una dificultad específica para los aprendizajes de tipo aritmético, y si en un principio se trató de adultos que padecían tales trastornos como consecuencia de lesiones cerebrales adquiridas, pronto quedó en evidencia que ciertos niños y jóvenes presentaban alteraciones matemáticas conductualmente semejantes sin que existiera constatación posible alguna de lesión cerebral adquirida. ¿Qué tipo de términos se emplean en este enfoque? Términos como los de acalculia y discalculia se acuñaron para referirse con precisión y de manera particular a trastornos específicos del aprendizaje matemático no ocasionados por un déficit intelectual global, sino presentes en individuos de inteligencia normal y que han disfrutado de oportunidades socioculturales y educativas apropiadas para adquirir tales aprendizajes; sin trastornos emocionales graves a los que poder atribuir la dificultad específica de aprendizaje, tal y como los describe el DSM-IV-TR en su definición las DAM. Como en el caso del trastorno específico de la lectura denominado dislexia (con el que frecuentemente se asocian algunos de los problemas matemáticos antes descritos), han sido muy diferentes las definiciones y explicaciones etiológicas propuestas en la literatura especializada. Así, los primeros investigadores y clínicos interesados por el problema hablaron de la acalculia como de un trastorno sintomático asociado bien a un déficit primario unido a una lesión cerebral adquirida (no coexistente con otras alteraciones del lenguaje ni del razonamiento), bien secundario a otros trastornos de base verbal o espaciotemporal. Al asociarse el tema a casos sin lesión cerebral, se usa el término discalculia, aunque -desde una orientación neuropsicológica- se ha mantenido la idea de su relación con alguna alteración neurológica no identificable por su alcance limitado (como «disfunción cerebral mínima») o, alternativamente, con la insuficiente «madurez» de algunas funciones neuropsicológicas supuestamente prerrequisito de los aprendizajes aritméticos. 107

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Para los defensores de esta interpretación, la discalculia es un trastorno estructural de las habilidades matemáticas debido a una alteración del substrato anatómicofisiológico de las funciones vinculadas al aprendizaje matemático (audiotemporales, visoespaciales...), la cual no afecta al resto de las funciones mentales. Tradicionalmente, y desde este enfoque, se han venido utilizando indistintamente los términos de discalculia o acalculia para hacer referencia a la dificultad para procesar números y realizar cálculos con ellos. Sin embargo, otros autores utilizan el término de «acalculia» para referirse a trastornos adquiridos como resultado de una lesión cerebral, posterior a la adquisición de las habilidades matemáticas. Dentro de esta categoría se establecen, a su vez, dos modalidades: acalculia primaria y secundaria. En la acalculia primaria se presentan las dificultades sólo en el ámbito de las matemáticas, sin que existan alteraciones en otras funciones como el lenguaje, la memoria o las habilidades visoespaciales. En la acalculia secundaria las dificultades matemáticas van asociadas a trastornos en otras áreas, diferenciándose la acalculia secundaria atáxica (unida a alexia y/o agrafía de número) y acalculia secundaria visoespacial (unida a alteraciones visoespaciales. Por otra parte, utilizan el término discalculia en referencia a la dificultad del alumno para comprender el número y dominar las combinaciones numéricas básicas y la solución de problemas.

¿Cómo se clasifica la discalculia? Ladislav Kosc (1974), partiendo de esas posibles bases del aprendizaje matemático, propuso en los años setenta una clasificación muy difundida de diferentes subtipos posibles de discalculia, que podían presentarse aisladamente o en combinación: 1. Verbal: Incapacidad para comprender conceptos matemáticos y relaciones presentadas verbalmente. 2. Pratognósica: trastorno en la manipulación de objetos tal y como es requerida para hacer comparaciones de tamaño, cantidad, etc. 3. Léxica: Describe la falta de habilidad para entender símbolos matemáticos o números. 4. Gráfica: Discapacidad específica para manipular símbolos matemáticos mediante la escritura, es decir, para escribir números. 5. Ideognósica: Falta de habilidad para entender conceptos matemáticos y relaciones entre ellos, además de para efectuar cálculos mentales. 6. Operacional: Describe la falta de capacidad para efectuar operaciones aritméticas básicas de cualquier tipo, verbales o escritas. 108

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Este mismo autor, en un estudio con 68 niños con DAM, encontró que el 35% de ellos mostraban signos menores de trastorno neurológico (dificultades de orientación derecha-izquierda, agnosia digital, etc.) sugiriendo lo que él denominó discalculia evolutiva.

¿Qué tipo de problemas se asocian con la discalculia? Desde esta perspectiva, se considera que el alumno con dificultades específicas para las matemáticas, discalcúlico, presenta un conjunto más o menos amplio de problemas añadidos, como son: a) Déficits perceptivos: Generalmente, con especial incidencia en el área perceptivo-visual y más concretamente, en las habilidades de discriminación, figura-fondo y orientación espacial. b) Déficit de memoria: En particular, en el funcionamiento y resultados de la memoria a corto plazo o memoria de trabajo, que dificulta mantener activas en el almacén de memoria informaciones durante un cierto tiempo... Algo, sin duda, problemático para la realización de operaciones mínimamente complejas y para la solución de problemas. c) Déficits simbólicos: Especialmente en el ámbito lingüístico general, pero que también se registran en las actividades de lectura y escritura. d) Déficit cognoscitivo que afecta los procesos elementales de pensamiento: comparación, clasificación, deducción de inferencias, etc. e) Alteraciones conductuales: Como en la práctica totalidad de los individuos con trastornos específicos del aprendizaje, suele apreciarse la tríada hiperactividad / déficit de atención / impulsividad, unida a menudo a perseverancia.

¿Cuál sería el perfil típico de la discalculia? Ana Miranda, resumiendo las descripciones de otros autores, concreta este conjunto de alteraciones en un «perfil típico» del sujeto con discalculia, el cual incluiría: déficit en la organización visoespacial e integración verbal; déficits en la integración del esquema corporal; apraxia visomotora; problemas de orientación en el análisis y representación de las relaciones espaciales; déficits de la percepción y el juicio sociales; dificultades para hacer estimaciones de tiempo y distancia; desequilibrio a favor de las capacidades verbales frente a las no verbales en escalas de inteligencia tipo Wechsler.

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5.7.2. El enfoque cognoscitivo ¿Cuáles han sido las principales críticas que se le han hecho al enfoque cognoscitivo? Las principales críticas que se le han hecho al enfoque cognoscitivo son: •

•

En primer lugar, se critica el hecho de que careciendo de una definición operativa, rigurosa y universalmente aceptada de "dificultades específicas de aprendizaje" se parta de una definición descriptiva, realizada en términos negativos (son alumnos que a pesar de mostrar una inteligencia normal, no tener problemas emocionales, ni deficiencias sensoriales, tienen un rendimiento escolar pobre, definido por las bajas puntuaciones en pruebas de rendimiento y, naturalmente, por las calificaciones escolares) y se llegue a una definición positiva: las conciben como una "entidad", como algo que el niño "tiene" y que probablemente esté causado por alguna alteración neurológica. La segunda crítica tiene que ver con la relación que se establece entre dificultades matemáticas y los "signos neurológicos menores" insistiendo la mayoría de los investigadores en la ausencia de demostración de dicha relación. En ella se establece, mayoritariamente, a partir de estudios de correlación, con lo inadecuadas que pueden resultar las conclusiones derivadas exclusivamente de estudios de esa índole. En tercer lugar, se critica el que los estudios se basen en concepciones superficiales de las actividades matemáticas en lugar de en una teoría fundamentada de la competencia matemática, empleándose tareas inadecuada para la medida de ésta. Resulta algo más que anecdótico que la mayoría de los estudios neuropsicológicos no profundice en los procesos cognitivos implicados en cada uno de los aprendizajes matemáticos. Finalmente, en la cuarta se ha criticado la escasez y debilidad metodológica de los estudios neuropsicológicos sobre la discalculia.

En resumen, como señalara Rivière hace más de una década, "conviene guardar una prudente reserva antes de trasladar el modelo de lesión o disfunción a los niños que encuentran difícil adquirir representaciones matemáticas o habilidades de cálculo en la escolaridad normal (a diferencia de los adultos con lesiones, que pierden las capacidades previamente adquiridas). Sin negar que pueda existir un grupo reducido de ellos con algún trastorno neurológico subyacente, no hay pruebas para aceptar la idea de que éste se produce en todos los niños con dificultades específicas para el aprendizaje de las matemáticas".

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

¿Qué se concluye? Desde el enfoque alternativo a estas viejas teorías sobre las DAM, se considera en términos generales que tanto para el aprendizaje de las matemáticas, como para remediar las dificultades se debe de instaurar una enseñanza que esté en correspondencia con los procesos cognoscitivos que subyacen a la ejecución de dichos aprendizajes. En este sentido, hay que tener en cuenta que la competencia matemática sigue un proceso de construcción lento y gradual que va de lo concreto a lo abstracto y de lo específico a lo general, de tal manera que la habilidad matemática es susceptible de descomponerse en una serie de habilidades entre las que podemos distinguir la numeración, el cálculo, la resolución de problemas, la estimación, el concepto de medida y algunas nociones de geometría, habilidades que a su vez pueden, y deben, descomponerse en cada uno de los procesos y estrategias que se emplean en su ejecución.

¿Qué procesos cognoscitivos son importantes en la adquisición de las matemáticas? Destacan los siguientes: Atención

Memoria

Conocimientos previos

A. ¿Por qué es importante la atención? Una cuestión crucial en la operatividad matemática es la exigencia de poseer algunas estrategias que faciliten la acumulación momentánea de recursos atencionales dedicados exclusivamente a la tarea matemática que se ejecuta. Hasta las tareas matemáticas más simples (ejemplo: intenta seguir leyendo y realizar mentalmente la operación 27 + 15) exigen suspender temporalmente otras tareas que estemos realizando para de esa manera ahorrar "recursos atencionales" que puedan dedicarse a la resolución de la tarea en cuestión. Es obvio, que una manera importante de "ahorrar" este tipo de recursos es mediante la automatización de todos los procesos posibles en cada caso (tablas de multiplicar, algoritmos de las operaciones aritméticas, etc.). Los recursos atencionales que se "ahorran" al centrar la atención en la tarea matemática van a posibilitar los procesos de recuperación y almacenamiento de información en la memoria de trabajo y en la memoria a largo plazo. 111

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La realización de tareas matemáticas exige una distribución adecuada de los recursos de procesamiento mental y memoria, así como el empleo de estrategias ordenadas y jerarquizadas, que implican un encaje progresivo de unos procedimientos en otros: la acción de sumar implica necesariamente la de contar. Es bastante probable que una parte del alumnado con DAM posea estrategias inadecuadas en el "ahorro" de esfuerzos cognoscitivos y su posterior redistribución para la realización de los diferentes subprocesos que componen cada tarea matemática.

B. ¿Por qué es básica la memoria? Como han señalado prácticamente todos los investigadores cognoscitivos, los diferentes tipos de memoria y especialmente la memoria de trabajo (working memory), juegan un papel trascendental en la realización de la mayor parte de los procesos intelectuales. En la memoria de trabajo es posible realizar, al menos, las siguientes operaciones: de un lado, sirven de almacén donde se "guardan" los resultados parciales de las operaciones cognoscitivas que realizamos, y que en el caso de los aprendizajes matemáticos son especialmente abundantes (en cualquier operación de cálculo es necesario "guardar" los resultados obtenidos en cada una de las columnas de cada "cuenta"); de otro, sirve de almacén temporal para la información recuperada de la MLP (Memoria a Largo Plazo); o sirve de escenario para la conjunción entre la nueva información (adquirida) y la recuperada de la MLP. La importancia de la memoria en los aprendizajes matemáticos, además de por los datos empíricos, viene demostrada por estudios como los de Russell y Ginsburg, que afirman que el funcionamiento cognoscitivo de quienes presentan DAM es normal, si se exceptúa su pobre conocimiento de hechos numéricos. Esta idea, sobre la importancia de la memoria se ha visto reforzada por muchas otras investigaciones que establecen de una manera clara que quienes padecen DAM se les dificulta operar con información de carácter numérico debido al carácter de "dominio específico" de la memoria de trabajo, que llevaría a que algunas personas tuvieran un procesamiento desigual dependiendo del tipo de estímulo que se utiliza (verbal o numérico). De lo anterior, puede derivarse la importancia de poseer estrategias adecuadas para la recuperación, almacenamiento y manipulación de la información en los diversos niveles de la memoria. Cuestión que muy probablemente se encuentre entre los orígenes de las dificultades matemáticas en el alumnado. 112

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Actividad # 17

Juego de memoria Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: memoria

Instrucciones. Imprime dos juegos de estas tarjetas, plastifícalas y recórtalas. Revuelve todas las tarjetas y colócalas bocabajo para jugar la memoria tradicional.

Fig. # 26. Juego de memoria.

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C. ¿Qué papel juegan los conocimientos previos? Estos conocimientos juegan un papel importante en cualquier actividad intelectual (son los que posibilitan la construcción de los nuevos aprendizajes, así como la ejecución de los mecanismos de aplicación), pero resultan de una especial relevancia en el ámbito matemático.

¿Por qué son tan "importantes" los conocimientos previos en la ejecución de las tareas matemáticas? Son relevantes los conocimientos previos en la ejecución de las tareas matemáticas porque: •

•

Primero, porque a partir de un determinado nivel de aprendizajes matemáticos, estos van perdiendo la conexión con el mundo concreto y se constituyen en una "abstracción" desvinculada de las intenciones y metas del que aprende: tienen que superar su tendencia a hacer depender las relaciones de las intenciones para comprender las relaciones matemáticas. Segundo, porque mientras en otras áreas los conocimientos tienen esencialmente un carácter declarativo, en las matemáticas resultan clave dos tipos de conocimientos previos: los declarativos (conceptos de las operaciones, tipo de números, etc.) y los procedimentales (algoritmos de las diferentes operaciones, estrategias de solución de problemas...). Tercero, porque los conocimientos matemáticos tienen un elevado nivel de interrelación y jerarquización.

¿Por qué son más abundantes los bloqueos en esta área de estudio? El elevado nivel de abstracción, jerarquización e interrelación del conocimiento matemático junto con el doble carácter del conocimiento previo necesario para realizar tareas matemáticas, posibilitan el que los "bloqueos" en las tareas de esta área sean más abundantes que en otras áreas del conocimiento.

¿Qué principios aporta este enfoque en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas? Consecuentemente y desde esta perspectiva, se aportan una serie de principios bien establecidos que pueden aplicarse a las situaciones educativas concretas en el proceso enseñanza-aprendizaje: 114

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1. Para el conocimiento matemático el alumno tiene que ser capaz de establecer relaciones conceptuales, lo que le conducirá a nuevas elaboraciones y reestructuraciones del conocimiento, ya lograr las representaciones cognitivas adecuadas. 2. Los conocimientos previos constituyen la base para la adquisición y comprensión de los nuevos. De manera que, la conexión e integración del conocimiento previo con el nuevo es lo que dará lugar a las reestructuraciones y representaciones, ricas y complejas. 3. Tanto el conocimiento declarativo (conocimiento de los conceptos matemáticos) como el procedimental (conocimiento de las estrategias y habilidades matemáticas) deben ser enseñados explícitamente, porque el conocimiento formal no produce automáticamente competencia procedimental. 4. Considerando las limitaciones de la capacidad de procesamiento del alumno es necesario adquirir los automatismos elementales relacionados con las operaciones básicas (+, -, x, y:) para liberar recursos cognitivos que puedan ser utilizados en tareas de orden superior como el control de la ejecución matemática y la interpretación de los problemas. 5. La competencia matemática se logra aplicando los conocimientos adquiridos a los distintos contextos en los que se desenvuelve el alumno, superando así la fase de acumulación de conocimientos aislados y descontextualizados. 6. Los procesos metacognoscitivos de control y guía de la propia actividad tienen mucha importancia en la ejecución competente. Esta importancia es menor en las fases iniciales, en las que predomina la regulación externa. 7. Precisamente porque el análisis de los errores sistemáticos constituye muchas veces las únicas ventanas de acceso a las mentes de los alumnos, el estudio de estos errores pone de relieve que se aplican principios, reglas o estrategias incorrectas por su parte. 8. Los procesos motivacionales y sociales desempeñan también un importante papel, en cuanto que son factores que favorecen o entorpecen el aprendizaje por el efecto circular que provoca el éxito o fracaso experimentado. Así, muchos fracasos iniciales conducen al alumno a evitar implicarse y a desarrollar actitudes negativas hacia las matemáticas, entrando en una circularidad negativa de difícil solución.

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5.8 Algunos factores básicos en las dificultades de aprendizaje de las matemáticas ¿Qué tanto se conoce la etiología de las DAM? Aunque a partir de los conocimientos actuales sólo se pueden dar respuestas parciales e incompletas acerca de cuáles son los factores que inciden en el elevado fracaso en este área, es inevitable hacer referencia, si no a las "causas" de las DAM, sí a toda una serie de variables que influyen de manera decisiva en ellas; unas inherentes a la propia naturaleza de las matemáticas, otras relacionados con las creencias y expectativas existentes por parte de alumnos, padres y profesores con respecto a estos aprendizajes, un tercer grupo relacionado con las formas de enseñanza y, finalmente, otras centradas en el propio alumno.

¿Hay factores comunes en la etiología de las DAM? La descripción de los factores de esa diversa índole relacionados con las DAM no debería servir para explicar las dificultades concretas que un alumno en particular presenta en un momento determinado; en la medida en que, en cada caso, tales dificultades son el resultado de una compleja ecuación causal en la que cada factor concreto posee unos valores propios y específicos, las siguientes líneas sólo pueden ayudarnos como una especie de esquema general para la exploración individualizada del caso (especialmente, si tenemos en cuenta que con los instrumentos de medición existentes es imposible establecer con un nivel de credibilidad aceptable, el peso relativo de cada factor en una situación concreta).

5.8.1 Factores relacionados con los alumnos ¿Qué bases ofrece el enfoque neuropsicológico? Desde el enfoque neuropsicológico, se busca determinar la existencia de trastornos neurológicos en los alumnos con DAM y se asume que pueden ser debidas a un desorden estructural congénito de las zonas cerebrales concernidas por las habilidades matemáticas, principalmente del hemisferio derecho.

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¿Cuál es el riesgo de esta perspectiva? Son numerosos los estudios, llevados a cabo, y las críticas a los mismos que se han realizado desde todos los frentes por lo que, sin negar que la presencia de ciertas alteraciones neurológicas pueda acompañar a las DAM, resulta arriesgado establecerlas como causa, y más si es causa única. En las DAM que presentan muchos alumnos no se aprecia correlato neurológico alguno.

¿Qué ofrece el enfoque cognoscitivo? Desde el enfoque cognoscitivo y en relación con la problemática centrada en el sujeto, las DAM se relacionan, en general, de la misma manera que con los problemas de lectura y escritura, con representaciones internas y estrategias cognoscitivas inadecuadas que se producen indistintamente en la entrada, procesamiento y/o salida de la información. De forma más específica, se han considerado como factores responsables de las diferencias en la ejecución matemática a la actividad perceptivo-motora, la organización espacial, las habilidades verbales, la falta de conciencia de los pasos a seguir y los fallos estratégicos. También se han considerado las dificultades de pensamiento abstracto, el lenguaje o la lectura, la falta de motivación, la lentitud en la respuesta o los problemas de memoria para automatizar las combinaciones numéricas básicas. ¿Qué otros factores se consideran? Aunque los alumnos suelen aparecer como el único factor de este tipo de dificultades, como vamos a ver continuación, a ello sólo es atribuible lo siguiente, según Rodríguez Ortiz (La intervención psicoeducativa en las dificultades de aprendizaje de las matemáticas. Apuntes de psicología, 93, 79-107): el dominio de los recursos, manejo de heurísticos, procesos de autorregulación y las creencias, actitudes, emociones y motivaciones.

5.8.1.1 ¿En qué consiste el dominio de los recursos? El aprendizaje matemático implica el conocimiento de conceptos y métodos matemáticos que dependen de la historia acumulada de aprendizajes del alumno en el área, condicionada a su vez por aspectos como su estilo de aprendizaje, el material empleado, las estrategias de enseñanza seguidas, etc.

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¿Cuáles son los problemas más frecuentes en relación con el dominio de los recursos? Los problemas más frecuentes en relación con este factor son: •

• • •

El desconocimiento acerca de cuándo deben ser aplicados estos conocimientos adquiridos, lo que puede llevar a no usarlos cuando se precisa y a usarlos cuando no es adecuado. La aplicación del conocimiento disponible sólo en aquellas actividades y aprendizajes que lo demandan explícitamente. Déficits en ese conocimiento, cuando es de tipo semántico, que dificulta la comprensión de las nuevas tareas. Déficits en ese conocimiento, cuando es de tipo procedimental, que pueden interferir con el aprendizaje de nuevos procedimientos.

5.8.1.2 ¿En qué consiste el manejo de heurísticos? Los heurísticos son estrategias generales de resolución de problemas, carentes de contenido matemático específico, pero que aumentan la posibilidad de aplicar adecuadamente el conocimiento disponible en situaciones problemáticas. Son un complemento necesario para el correcto aprendizaje matemático, pero fallan a menudo en los alumnos por los inadecuados planteamientos de la educación matemática (poco reflexiva, demasiado apegada a la adquisición de rutinas).

5.8.1.3 ¿En qué consiste el proceso de autorregulación? Estos procesos son los responsables de que el alumno tenga conciencia de sus propios conocimientos, así como del aprendizaje independiente y de la realización autónoma de tareas (matemáticas y de otro tipo). Su carencia o disminución hace que el alumno: • • •

No perciba cuáles son los recursos apropiados de que dispone para afrontar la resolución de una tarea. Se muestre inflexible cuando debe abandonar una estrategia o punto de vista que le está dificultando una ejecución apropiada. No ponga en juego las destrezas de verificación necesarias para comprobar los resultados a los que llega.

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• •

No sepa por qué emplear un procedimiento, aunque sepa que debe emplearlo, ni -por tanto- autovalorar la adecuación de la aplicación del mismo. Actúe de manera rutinaria y no reflexione en la realización de las actividades de enseñanza-aprendizaje que se le proponen.

5.8.1.4 ¿Cómo influyen las creencias, actitudes, emociones y motivaciones? Últimamente se ha incrementado la investigación que pone de relieve la gran importancia de estos factores en el enfoque (superficial, profundo, estratégico) de aprendizaje que adopta el alumno frente a los contenidos, así como en su manera de utilizar los conocimientos adquiridos. En cualquier caso, ese mismo cuerpo de investigadores tiende a poner de relieve que las concepciones previas y motivaciones del alumno no son sólo responsabilidad de éste, sino que dependen estrechamente de las estrategias y estilos de enseñanza que se le dirija, así como de la significatividad personal de los contextos y situaciones de enseñanzaaprendizaje.

5.8.2 Factores relacionados con la tarea o la naturaleza propia de la Matemáticas ¿Sólo las matemáticas entrañan dificultades específicas? Todas las asignaturas, especialmente las matemáticas entrañan dificultades, si no se da un cierto dominio o capacidad relacionada con habilidades como la abstracción y la generalización, la comprensión de los conceptos y su estructura jerárquica, así como un relativo dominio de su carácter lógico y su lenguaje específico.

Entonces, ¿por qué hay mayor dificultad en matemáticas? La construcción de las matemáticas ha implicado el desarrollo de conceptos cada vez más abstractos y desligados de representaciones habituales. En este sentido, el conocimiento matemático intenta reflejar lo esencial de las relaciones eliminando las inferencias, el contexto o las situaciones particulares, de ahí su carácter eminentemente abstracto. 119

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Por otra parte, y unido a la abstracción, la generalización constituye también otro factor importante del conocimiento matemático a través del cual se tiende a buscar y utilizar conceptos, leyes o teoremas lo más generales posible. La dificultad se plantea cuando los alumnos perciben las características particulares de algo como parte integral de las ideas o conceptos asociándolos naturalmente con ellos. Por eso, uno de los objetivos del desarrollo matemático es conseguir que el alumno aprenda a despojarse de lo no esencial, quedándose con lo abstracto y fundamental.

¿Qué otra dificultad se deriva de la complejidad de los conceptos matemáticos? Otra dificultad se deriva de la complejidad de los conceptos matemáticos, por lo que el profesor tiene que realizar actividades y utilizar estrategias de aprendizaje que permitan al alumno conocer y desentrañar el concepto mediante una programación apropiada. Para ello, es frecuente el uso de analogías y la abstracción. Una de las funciones de la analogía es hacer disponibles las ideas relevantes y estimular al alumno a integrar activamente la nueva información con la anterior aprendida. De esta manera se convierten los contenidos informativos en algo más imaginativo y concreto. Por otra parte, dada la tendencia del alumno a fijarse en aspectos y variaciones de los contextos en que se presentan los conceptos matemáticos, hay profesores que consideran que la simplicidad de la idea matemática se capta mejor exponiéndola sola. Es decir, se trata de alejar los conceptos matemáticos de las experiencias significativas de los alumnos, porque el nivel de abstracción que se necesita para llegar a la pretendida simplicidad puede estar fuera de su alcance. Además del nivel de abstracción y la complejidad, los conceptos matemáticos tienen una estructura jerárquica y una organización lógica precisa.

¿Por qué los aprendizajes matemáticos constituyen una cadena de conocimientos? Los aprendizajes matemáticos constituyen una cadena en la que cada conocimiento se apoya en el anterior. Este carácter lógico de la disciplina tiene que ser adaptado a las características evolutivas del pensamiento del alumno individual y colectivamente para no plantear objetivos por encima de sus posibilidades. Este ha sido un error muy frecuente en la enseñanza de esta disciplina. 120

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¿Qué implica el carácter lógico de las matemáticas? El carácter lógico (deductivo formal) de las matemáticas se ha considerado como una de las principales dificultades en su aprendizaje. Y el hecho es que la falta de atención sobre el pensamiento lógico es muy frecuente por lo que se constituye en uno de los orígenes de las DAM. Una de las dificultades más frecuentes desde los aspectos formales es el de las formas de notación y el uso de las reglas en sí mismas. Al principio, estas deben ser justificadas por su significado, pero, en la utilización habitual, son las formas de notación las que determinan la elección de las reglas. Y, a su vez, el uso forma de la notación puede llevar al uso de reglas sin fundamento, a una manipulación sin significado; no obstante, la manipulación formal deberá seguir siendo una característica esencial de las matemáticas.

¿Qué ocasiona el desconocimiento del lenguaje matemático? Finalmente, el desconocimiento del lenguaje matemático genera también dificultades de aprendizaje, en cuanto que en esta materia se utiliza un lenguaje formal muy distinto al lenguaje natural que se usa habitualmente. De ahí que el lenguaje natural en contextos matemáticos pueda generar confusiones en cuanto que su flexibilidad y amplitud interpretativa choca con el lenguaje matemático, caracterizado por su rigor, exactitud y formalidad. El lenguaje matemático traduce el lenguaje natural a un lenguaje universal formalizado que permite la abstracción de lo esencial de las relaciones matemáticas implicadas, así como un aumento del rigor y la exactitud que matemáticas implicadas, así como un aumento del rigor y la exactitud que viene dada por la estricta significación de los términos.

¿Qué requiere el dominio del lenguaje matemático? El dominio del lenguaje matemático requiere la comprensión de un significado formal intrínseco en el que unos símbolos hacen referencia a otros dentro de un código específico y un significado pragmático que permite la traducción al lenguaje natural y al mundo real. Al alumno le resulta difícil coordinar ambos significados. En definitiva, las dificultades más frecuentes relacionadas con el lenguaje y la lectura en matemáticas son debidas a la complejidad sintáctica del lenguaje utilizado, a la utilización de un vocabulario técnico, a la utilización de notación matemática y a la dificultad de relacionar las matemáticas con el contexto.

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¿Con qué factores se relaciona el currículo matemático? Rodríguez Ortiz relaciona con el currículo matemático, los siguientes factores: 1) Factores relacionados con los contenidos. Las DAM no se pueden comprender sin tener en cuenta aspectos como su naturaleza esencialmente abstracta, que es el resultado de un largo proceso de elaboración histórica; la naturaleza jerárquica del proceso de aprendizaje que exigen (cada nueva adquisición descansa en una adquisición sólida de otras anteriores: de ahí la manifestación en secundaria de muchos problemas que se gestaron en primaria); las peculiaridades del lenguaje matemático, un verdadero sistema simbólico con reglas propias, con conceptos complejos, de un lado, y términos también empleados con otro sentido en el lenguaje ordinario, de otro, factores ambos que complican el proceso de aprendizaje adecuado. 2) Los métodos de enseñanza. De los métodos más habituales en el área priman los aprendizajes pasivo-receptivos, sin tener en cuenta los procesos de aprendizaje comprensivo del alumno, al tiempo que adoptan un enfoque rutinario de los procedimientos. En primaria, se descubren los conceptos y el uso reflexivo de los procedimientos, el «pensamiento matemático»; en secundaria, se sigue habitualmente un enfoque deductivo rígido (exposición de un concepto o principio «-ilustración de este con un ejemplo-» problemas de control de comprensión- problemas de consolidación). Estas dificultades, por otra parte, se incrementan por la escasez de recursos empleados para favorecer la comprensión matemática auténtica y la elaboración de nociones y principios abstractos. 3) La evaluación. Como en el resto de las áreas, suele ser el «pariente pobre»; se evalúa sólo la ejecución de los alumnos, se hace de manera puntual y asistemática, y se valoran sólo a petición de principios y conceptos, y la ejecución mecánica de procedimientos aprendidos como algoritmos.

5.8.3 Factores relacionados con el contexto educativo ¿Qué tipo de influencia negativa tiene el aprendizaje de las matemáticas? Tradicionalmente existen creencias y actitudes, procedentes del mismo campo educativo, que tienen una influencia negativa en el aprendizaje y que llegan a generar ansiedad y trastornos socioemocionales. 122

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¿Qué percepciones y actitudes se observan con mayor frecuencia en el alumnado? Las percepciones y actitudes que con mayor frecuencia se observan en los alumnos sobre la naturaleza de las matemáticas, son descritas como fijas, inmutables, externas, abstractas y que no están relacionadas con la realidad: un conocimiento cuya comprensión está reservada a muy pocos, una colección de reglas y hechos que deben ser recordados y una ofensa al sentido común en algunas de las cosas que asegura, ya que no tienen por qué tener sentido; un área en la que se harán juicios no sólo sobre la capacidad intelectual, sino también sobre la propia valía personal. Esta actitud se deriva, en parte, de las tendencias formalistas de la enseñanza tradicional, basada más en la manipulación sintáctica de los símbolos y reglas que en el significado de estos. Sin embargo, cuando se enseña el uso adecuado de las reglas, los alumnos desarrollan la confianza en sí mismos y la motivación para el logro.

¿Qué factores explicativos se encuentran en el contexto educativo? Independientemente de las actitudes previas sobre las matemáticas, que existen tanto en la mentalidad de los padres y de los alumnos, como en la de los profesores, vamos a considerar algunos factores explicativos de las DAM que se encuentran en el propio contexto educativo, como los procedimientos didácticos y la programación inadecuada de los contenidos.

¿Cómo suelen estar estructurados los contenidos? Los contenidos suelen estar estructurados en torno a objetivos, que habrá que conseguir en los diferentes niveles escolares, adaptando los programas a las características del alumno, especialmente cuando presenta algún problema de maduración o lentitud de aprendizaje. Por ello, es fundamental conocer si hay ausencia de conocimientos previos o de dominio de los anteriores, si el nivel de abstracción es el adecuado y si se da por parte del alumno la capacidad suficiente para abordar los contenidos que se proponen. Las dificultades se presentarán bajo diversas modalidades cuando los conocimientos, sobre todo los básicos, no están bien comprendidos y cuando los niveles de abstracción y competencia cognoscitiva sean inadecuados. Cubrir unos objetivos sin haber resuelto suficientemente estos prerrequisitos es conducir al fracaso seguro del alumno en esta disciplina.

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¿Cómo suelen ser las metodologías? Las metodologías inadecuadas en cuanto a la exposición de los contenidos y al ritmo de trabajo establecido es otra de las posibles causas externas de las DAM. La exposición poco clara y fuera del contexto del alumnado, la ausencia de ejemplos y ejercicios que ilustren las explicaciones, la ausencia de supervisión del progreso del alumno y la utilización de un lenguaje poco comprensible, son algunos de los errores metodológicos que generan fracasos en este ámbito. Por otra parte, podemos encontrar toda una serie de dificultades o limitaciones centradas en el ritmo de trabajo. Intentar compatibilizar la consecución de los objetivos del curso con la adaptación a las características propias del grupo de clase requiere establecer un ritmo que se ajuste a la evolución y progreso de los alumnos sin forzar demasiado, pero sin detenerse más de lo necesario, con suavidad y al mismo tiempo con fortaleza.

¿Qué factores se señalan en el contexto de la enseñanza? Rodríguez Ortiz señala como factores del contexto de enseñanza, los siguientes elementos: a) El proceso de aprendizaje matemático se concibe como un proceso unidireccional de conocimientos «empaquetados», sin dar lugar a una interacción social y cognoscitiva auténtica entre implicados y entre estos y los contenidos, lo que dificulta una verdadera elaboración de aprendizajes significativos, sustituidos por la apropiación mecánica de formulaciones verbales carentes de significado y de «rituales» de actuación. b) En los contextos habituales de enseñanza-aprendizaje, unidireccionales, como hemos dicho, toda la situación está en manos del profesor, lo que favorece la creación de aprendices pasivos y sin capacidad para autorregular su aprendizaje. c) Esos mismos contextos, en donde el alumno se somete a actividades que no comprende, con fines ignotos para él y sin interacciones sociales, facilitan también la aparición de actitudes de rechazo ante la materia: en el «ranking» de las más odiadas aparecen las matemáticas en lugar destacado como el fracaso en su aprendizaje.

¿Qué factores suelen ser asociados al profesor? Entre los factores asociados al profesor, se han investigado la influencia en el fracaso matemático, que ejercen los siguientes: 124

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1) La formación matemática del profesor. Se considera uno de los aspectos más deficitarios, tanto en primaria como en secundaria. En Primaria, porque se descuida una comprensión verdadera de los conceptos y métodos matemáticos, en favor de aprendizajes rutinarios y mecanicistas, de modo que se hace difícil que un profesorado así formado pueda contribuir a una verdadera educación matemática; en secundaria, porque no existe nada para dotar a los futuros profesores (incluso, a los profesores en ejercicio) del conocimiento psicopedagógico necesario para aprender a ayudar a otros a aprender matemáticas. 2) Creencias y actitudes de los profesores. Las «concepciones previas» no son algo de los alumnos, sino una variable presente en la explicación del comportamiento de todo individuo: un profesor enseña de uno u otro modo no sólo en función de su información, sino también -sobre todo- en función de sus creencias sobre la materia que imparte, la capacidad de sus alumnos, el papel de su materia en la formación de estos, etc. De hecho, una de las razones frecuentes para explicar el fracaso matemático de los adolescentes es, sencillamente, que son «demasiado difíciles y no están al alcance de todos».

Actividad # 18

Cajas de cerillos Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: bloques

Instrucciones. Con cinco bloques o cajas de cerillos iguales (forradas), construye las figuras que están en el recuadro. Posteriormente, diseña tú otros modelos con este material y pídele a tu compañero/a de la derecha que los reproduzca, y tú haz lo que te proponga también. Después de haber llevado a cabo la experiencia, contesta lo siguiente: ¿Qué utilidad tiene llevar a cabo este tipo de ejercicios si tomas como base la lectura de esta sección? Sube al foro tus ideas y discútelas con tus compañeros.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 27. Cajas de cerillos.

Actividad # 19

Policubos Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: bloques

Instrucciones. Con tus policubos elabora las torres como se muestran en las tarjetas.

Fig. # 28. Policubos. 126

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6. Consideraciones generales de la evaluación inicial 6.1 Necesidad de efectuar una evaluación inicial ¿Por qué evaluar durante el proceso de enseñanza aprendizaje? El proceso de enseñanza y del aprendizaje del alumnado se dirige hacia el logro de una serie de objetivos valiosos, lo que implica partir de un "estado inicial" (que debe conocerse) sobre el que se irán operando los cambios producidos por la enseñanza y el aprendizaje. El conocimiento de los niveles, características y necesidades de los alumnos nos permitirán tomar una serie de decisiones relativas a: • • •

Planificar y programar las actividades docentes. Adoptar medidas de atención a la diversidad en el aula. Metodologías para emplear.

¿Qué se debe contemplar en la toma de decisiones? Al tratarse de decisiones que afectan a un equipo docente es necesario que exista un intercambio de opiniones e información entre los miembros del equipo educativo. La evaluación inicial de los alumnos es un primer paso en el proceso de evaluación continua que lleva a cabo el equipo educativo, se sospeche que tenga DAM o no.

¿Qué aspectos interesa evaluar? El proceso de evaluación inicial exige que se atienda más a los posibles recursos y capacidades del alumnado que a las posibles deficiencias que presenten, aunque sin olvidar éstas. Parece ser más productivo analizar las expectativas e intereses y las potencialidades que poseen los estudiantes con el fin de proporcionarles una educación adaptada a ellos que simplemente "constatar el bajo nivel que poseen".

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¿Por dónde empezar? Se sugiere tomar en cuenta lo siguiente: a) Si se toma como punto de partida este supuesto, lo primero que conviene explorar y conocer son sus actitudes frente al área o grupo de áreas, y en general a los grandes temas que pueden tratarse desde un punto de vista disciplinar. El conocimiento de estas actitudes proporcionará datos valiosos para organizarles actividades que promuevan su "motivación por aprender". El orientador puede completar esta "radiografía" del alumno con sus actitudes frente a temas más generales (los estudios, ambiente familiar y social, etc.). b) En segundo lugar, interesa conocer las capacidades de los alumnos en relación con los procedimientos. Interesará conocer el nivel de desarrollo de sus capacidades generales (lectura, escritura, identificación, análisis...) ya que tienen una influencia en todas las áreas. También, han de conocerse el grado de dominio de los procedimientos básicos de las matemáticas que caben ser considerados como prerrequisitos en el área; esto permitirá iniciar algunas medidas de refuerzo en caso necesario. c) En tercer lugar, conviene explorar en cada caso los procedimientos centrales del área, aunque sólo sea a modo de anticipación respecto a lo que será el trabajo en el área o grupo de áreas a lo largo del curso y los grados de dominio en relación con los conceptos. En este caso interesa observar no sólo la adquisición o no de determinados conceptos relacionados con las matemáticas, sino los procesos seguidos que los han llevado a concepciones erróneas. Las capacidades que podrían explorarse en este caso pueden ser: identificación, selección, interrelación, definición y aplicación a la resolución de problemas. En estas tareas es importante disponer de la información acumulada sobre el alumno a lo largo de su escolarización en el Instituto, aunque suelen en cada curso cambiar los profesores, los alumnos suelen permanecer en el colegio unos seis años en primaria en promedio. Debido a que esta información histórica puede, en algunos casos, incitar a la sobrevaloración y en otros a una subvaloración del alumno, es importante conocer estos riesgos de sesgo.

¿Cómo evaluar los diferentes aspectos? En primer lugar, debe considerarse que la evaluación es un proceso encomendado al equipo docente de modo colectivo. Esto permitirá un intercambio de informaciones y opiniones que podrán facilitar una enseñanza basada en las necesidades y características del alumnado.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Los instrumentos para recoger la información relevante para la evaluación inicial no tienen que basarse necesariamente en pruebas escritas. Este tipo de pruebas puede ser adecuado para determinados procedimientos y algunos contenidos conceptuales, pero no con carácter general; entre sus ventajas destaca que se dispone de un material escrito, individualizado y siempre revisable, pero tiene la desventaja de que supone un gran esfuerzo para su corrección y que no es adecuada en algunos casos. Como complemento a la prueba escrita se puede trabajar en grupos de debate, en técnicas en pequeño grupo, etc., lo que nos indicará las tendencias generales del grupo. La observación de los alumnos y su anotación en un registro (escrito, de audio, de video...) nos dará información individualizada. En todo caso, las actividades grupales conviene planificarlas rigurosamente (qué se pretende evaluar, cómo se organizará el trabajo del grupo, cómo se va a evaluar, cómo se registrará la información...). Otro instrumento que puede utilizarse es la entrevista, que puede realizarse de modo formal o informal, o simplemente mediante preguntas en clase. En cualquier caso, debe planificarse y seleccionarse las preguntas en función de los objetivos que se pretendan. Puede emplearse una amplia gama de instrumentos en esta evaluación inicial, sobre todo de tipo cualitativo, pero el objetivo que debe guiar su selección y utilización ha de permitir conocer algo de las posibilidades y recursos del orientado. No debe tratarse con una actitud clasificatoria, aunque si debe y puede servir para detectar pronto problemas y dificultades de aprendizaje en algunos de ellos. Una parte importante de la información puede obtenerse de la autoevaluación del orientado o mediante actividades o ejercicios que impliquen un alto grado de su propia valoración.

¿Cuándo realizar la evaluación inicial? El momento más adecuado para realizarla es a comienzo de curso ya que puede facilitar pautas para la adaptación del proyecto curricular a las características y necesidades del alumnado. Normalmente será necesario dedicar varias sesiones para alcanzar un conocimiento mínimo. Al comienzo de las diversas unidades didácticas pueden realizarse "minievaluaciones" como recurso y como activador de organizadores previos. En este caso se puede atender de modo más concreto a las necesidades del área. A modo de resumen se presenta un breve esquema:

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Cuadro # 11. Esquema de evaluación inicial.

Técnicas y procedimientos ¿Qué tipo de técnicas y procedimientos son recomendables? Esta tarea puede realizarse mediante técnicas y procedimientos tales como: • Intercambio de información del equipo educativo. • Autoevaluación de los propios estudiantes. • Entrevistas. • Simulación de situaciones, debates, ... • Pruebas escritas y orales. • Si se sospecha DAM, pruebas formales para su detección y diagnóstico. 130

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Prueba # 1. Guía para la prueba de Capacidad de Comprensión. Forma “A” Ficha técnica • • • • • • • •

•

Nombre: Prueba de capacidad de comprensión. Mide: capacidad de comprensión del espacio, vocabulario y aritmética. Edad: 10 a 18 años. Administración: colectiva. Tiempo: 12 minutos. Material: guía de aplicación, protocolos, lápiz del # 2 o 2 ½, goma de borrar, hojas blancas, cronómetro, bicolor. Estructura: Tres tipos de ejercicios: contar bloques, vocabulario y problemas aritméticos. Evaluación: un punto por cada respuesta correcta según la clave. Sumar todo para obtener la PN y buscar en la tabla la PE (puntuación de escala) para obtener el nivel de comprensión. Área: inteligencia general: verbal y lógico-matemática.

Instrucciones. Esta prueba comprende tres tipos de ejercicios: contar bloques, vocabulario y problemas aritméticos. A. Contar bloques: ejemplos 1) ¿Cuántos bloques hay en este montón? (A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) 4………….... (D) En el montón hay cuatro bloques; por lo tanto, la respuesta es (D), que es la letra que se ha escrito en el paréntesis situado al final de la línea de puntos. Aunque en el dibujo solamente se ven tres bloques, al levantar el bloque colocado en la parte superior se observa que debajo de éste se encuentra el cuarto bloque. 2) ¿Cuántos bloques hay en este montón? (A) 3 (B) 2 (C) 5 (D) 2…………… (A)

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Todos los bloques de un montón dado tienen el mismo tamaño y la misma forma, pero el tamaño y la forma de éstos puede cambiar de un ejercicio a otro. B. Vocabulario: ejemplos 3) Grande aproximadamente significa: (A) blanco (B) pequeño (C) voluminoso (D) negro ………… (C) Puesto que el significado de grande es parecido al de voluminoso, se ha escrito la respuesta (C) en el paréntesis situado al final de la línea de puntos. C. Problemas aritméticos: ejemplos 3) ¿Cuántos paquetes de cigarrillos se pueden comprar con $ 200.00, si cada uno cuesta $ 50.00? (A) 5 (B) 4 (C) 40 (D) 10……………… (B) La respuesta es 4, por consiguiente se ha escrito ( B ) dentro del paréntesis situado al final de la línea de puntos. Los ejercicios de las páginas siguientes son similares a estos ejemplos. Resuelva todos los que pueda en el tiempo que se le concede para ello. Si no está seguro de cuál es la respuesta correcta de un ejercicio, elija la que considere más acertada, pero no adivine. No pierda el tiempo tratando de resolver un ejercicio que no entienda o cuya solución no conozca; déjelo y pase al siguiente

¡NO VUELVA LA PÁGINA HASTA QUE SE LO INDIQUEN! DISPONE DE 12 MINUTOS NO ESCRIBA NADA EN ESTE CUESTIONARIO UTILICE SÓLO LA HOJA DE RESPUESTAS

132

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Prueba de Capacidad de Comprensión Forma “A” 1) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 4

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

9) Juan tiene 93 vacas y su vecino tiene 59. ¿Cuántas vacas menos tiene su vecino? (A) 41 (B) 34 (C) 19 (D) 21 (

)

2) Responder aproximadamente significa: (A) Fabricar (B) Hacer (C) Contestar

(D) Venir

3) ¿Cuántos son 6 paquetes de cigarrillos y 7 paquetes de cigarrillos? (A) 15 (B)17 (C) 13 (D) 11 4) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 4

5) Asaltar aproximadamente significa: (A) Abandonar (B) Regresar (C) Atacar

(D) Retroceder

6) Se repartieron varias hectáreas de tierra entre 7 personas, a partes iguales. Cada persona recibió 6 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas se repartieron? (A) 19 (B) 37 (C) 42 (D) 49

7) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4

8) Decoración aproximadamente significa: (A) Deuda (B) Deseo (C) Condición

(D) Ornamento

10) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 4 (B) 8 (C) 6 (D) 12

133

(

)

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

11) Llamamos a una persona farsante cuando es: (A) Detective (B) Explorador (C) Caballero

(D) Mentiroso

(

)

(

)

(

)

(

)

12) Si un camión recorre 9 kilómetros en 15 minutos, ¿qué distancia recorrerá en una hora? (A) 6 Km. (B) 24 Km. (C) 36 Km. (D) 135 Km. 13) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 14 (B) 11 (C) 15 (D) 16

14) Brotar aproximadamente significa: (A) Hablar (B) Reducir (C) Vivir

(D) Manar

15) Tres hombres pescaron 81 peces. Si cada hombre se lleva un tercio de la pesca, ¿cuántos peces tendrán cada uno? (A) 17 (B) 21 (C) 23 (D) 27 ( )

16) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 22 (B) 16 (C) 27 (D) 24

(

)

17) Privar a una persona de su libertad aproximadamente significa: (A) Dársela (B) Quitársela (C) Restringírsela (D) Deseársela

(

)

18) El sueldo básico de un jefe de ventas es de $ 9,000.00 por mes, más que el vendedor cuyo sueldo básico es de $ 12,000.00 mensuales. ¿Cuál es el sueldo básico mensual del jefe de ventas? (A) $18,500 (B) $ 21,000 (C) $ 23,000 (D) $23,500 ( )

19) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 20 (B) 19 (C) 21 (D) 15 20) Una pregunta aproximadamente significa: (A) Escuela (B) Narración (C) Una interrogación

(D) Un bolso

(

)

21) La escala de un mapa de carretera es de 1 cm = 22 Km. ¿A cuántos kilómetros de distancia se encuentran dos ciudades separadas en el mapa por 3?5 cm? (A) 55 (B) 13 (C) 77 (D) 88 ( )

134

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

22) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 10 (B) 13 (C) 12 (D) 14 23) Una apertura aproximadamente significa: (A) Una (B) Una entrada o (C) Un oráculo terminación una salida

(D) Un ejercicio

(

)

(

)

24) Un hombre participó en prácticas de tiro al blanco 8 veces, haciendo en total 192 puntos, ¿cuál fue su puntuación media? (A) 19 (B) 24 (C) 29 (D) 37 ( )

25) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 17 (B) 22 (C) 18 (D) 21 26) Concurrente aproximadamente significa: (A) Rebelde (B) Simultáneo (C) Capaz

(

)

(

)

(D) Consciente

27) El señor Pérez tiene la quinta parte de su dinero en una libreta de ahorros. La cantidad ahorrada asciende a $ 20,000.00, ¿Cuál es la suma total de dinero que posee el Sr. Pérez? (A) $ 20.000 (B) $ 50,000 (C) $ 80,000 (D) $ 100.000 ( )

28) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 10 (B) 13 (C) 9 (D) 14 29) Ostentar aproximadamente significa: (A) Ocultar (B) Exhibir (C) Expirar

(D) Montar

(

)

(

)

30) El ángulo A del triángulo ABC es de 40° y el ángulo B es de 60°, ¿cuántos grados tiene el ángulo C? (A) 70° (B) 78° (C) 80° (D) 82° ( )

31) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 14 (B) 16 (C) 17 (D) 15 32) Dilema aproximadamente significa: (A) Apuro (B) Evasiva (C) Consolidación

(D) Granero

(

)

(

)

33) Una propiedad fue tasada en $ 900,000.00. El tipo de impuesto fue de 4 5.50 por cada $ 100. ¿Cuál fue el impuesto sobre la propiedad? (A) $ 45,500 (B) $ 49,500 (C) $ 51,500 (D) $ 54,500 ( ) 135

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

34) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 9 (B) 12 (C) 10 (D) 13

(

)

35) Cuando una información es insuficiente significa: (A) Incorrecta (B) Bastante (C) Escasa (D) Equivocada

(

)

36) La superficie de un solar cuadrado es de 81 metros cuadrados. ¿Qué longitud tiene cada lado? (A) 6 (B) 3 (C) 9 (D) 18

(

)

(

)

(

)

37) ¿Cuántos bloques hay en este montón? (A) 7 (B) 9 (C) 8 (D) 10

38) Incurrir aproximadamente significa: (A) Ganar (B) Introducir (C) Cometer

(D) Aumentar

39) A la misma hora que un arbusto de 40 cm de longitud, un árbol proyecta una sombra de 3.60 m de longitud. ¿Qué altura tiene el árbol? (A) 4 m (B) 4.80 m (C) 5.40 m (D) 6 m ( )

40) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 41) La paga que devenga un obrero es el salario que: (A) Va acumulando (B) Ya cobró (C) Disminuye

(D) Desaparece

(

)

(

)

42) Una persona ha invertido $ 35,000 al 8 % de interés anual. ¿Qué intereses le producirá su inversión en un año? (A) $ 1,800 (B) $ 2,600 (C) $ 2,800 (D) 2,900 ( )

43) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 9 (B) 10 (C) 8 (D) 13 44) Una reprimenda es una cáustica cuando es: (A) Displicente (B) Efectiva (C) Costosa

136

(D) Mordaz

(

)

(

)

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

45) Un terreno mide 100 m X 50 m. Una casa construida en el terreno mide 50 m X 25 m. ¿cuál es la superficie de terreno no edificada en metros cuadrados? (A) 1.250 (B) 2.500 (C) 3.750 (D) 5,000 ( )

46) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 19

47) Indispensable aproximadamente significa: (A) Inútil (B) Útil (C) Importante

(D) Necesario

(

)

(

)

48) ¿Cuántos grados de un gráfico circular deberían sombrearse para indicar que el 10 % de todas las personas fuman tabaco en una u otra forma? (A) 10° (B) 15° (C) 18° (D) 36° ( )

49) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 50) Un vestigio aproximadamente significa: (A) Una capa (B) Una pérdida (C) Una plaga

(D) Un rastro

(

)

(

)

51) Pedro y Juan tienen entre los dos $ 4,000.00. Si los ¾ del dinero de Pedro equivalen a la ½ del dinero de Juan, ¿cuánto dinero pertenece a Pedro? (A) $ 1,200 (B) $ 1,500 (C) $ 1,600 (D) $ 2,400 ( )

52) ¿Cuántos bloques hay en ese montón? (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

53) Egregio aproximadamente significa: (A) Apropiado (B) Congregante (C) Designado

(D) Insigne

(

)

(

)

54) Una casa valorada en $ 1,000,000.00 fue asegurada durante un año por el 90 % de su valor original a razón de $ 1.00 por cada $ 1,000. ¿A cuánto ascendió la prima anual del seguro de la casa? (A) $ 900 (B) $ 1,000 (C) $ 9,000 (D) $ 10,000 ( )

¡DETÉNGASE AQUÍ! NO REPASE LOS EJERCICIOS 137

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Protocolo para la Prueba de Capacidad de Comprensión Forma “A” Capacidad de comprensión Nombre: Fecha de aplicación:

Exp. No.: Tiempo: Tema: Diagnóstico

Instrucciones. Escriba dentro del paréntesis la letra que elija respuesta en cada uno de los reactivos. 1 2 3

( ( (

) ) )

16 17 18

( ( (

) ) )

31 32 33

( ( (

) ) )

46 47 48

( ( (

) ) )

4 5 6

( ( (

) ) )

19 20 21

( ( (

) ) )

34 35 36

( ( (

) ) )

49 50 51

( ( (

) ) )

7 8 9

( ( (

) ) )

22 23 24

( ( (

) ) )

37 38 39

( ( (

) ) )

52 53 54

( ( (

) ) )

10 11 12

( ( (

) ) )

25 26 27

( ( (

) ) )

40 41 42

( ( (

) ) )

13 14 15

( ( (

) ) )

28 29 30

( ( (

) ) )

43 44 45

( ( (

) ) )

Puntuación:

Diagnóstico: Observaciones: Recomendaciones:

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Clave para Calificar la Prueba de Capacidad de Comprensión – Forma “A” Instrucciones. Se dará un punto por cada respuesta que coincida con la siguiente clave: 1 2 3

(D) (C) (C)

16 17 18

(A) (B) (B)

31 32 33

(B) (A) (B)

46 47 48

4 5 6

19 20 21

(B) (C) (C)

34 35 36

(B) (C) (C)

49 50 51

(A) (D) (C)

7 8 9

(A) (D) (B)

22 23 24

(D) (B) (B)

37 38 39

(D) (C) (B)

52 53 54

(A) (D) (A)

10 11 12

(B) (D) (C)

25 26 27

(B) (B) (D)

40 41 42

(A) (A) (C)

13 14 15

28 29 30

(D) (B) (C)

43 44 45

(A) (D) (C)

Tabla para convertir la puntuación natural en niveles de comprensión Instrucciones. Se suman los aciertos y se ubican en la siguiente tabla para considerar los siguientes criterios: Puntuación 52 o más 43 a 51 34 a 42 22 a 33 13 a 21 4a9 3 o menos

Nivel de comprensión Excelente Superior Media superior Promedio Baja inferior Bajo Deficiente

Cuadro # 12. Tabla de conversión para la capacidad de comprensión.

139

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Hoja de reflexión # 3

Capacidad de comprensión Capacidad de comprensión Nombre: Fecha:

No. Exp.: Tiempo: Tema: diagnóstico

¿Qué quiero conservar?

¿Qué aspectos me obstaculizan?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo lo pienso poner en práctica?

¿Cuál es mi objetivo y en cuánto tiempo lo quiero lograr?

¿De qué me di cuenta?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo pienso lograrlo? ___________________________ Mi firma 140

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Prueba # 2. Cubos y Dibujos de Kohs

Ficha técnica • • • • • • • • •

Nombre: Cubos de Kohs o prueba de cubos y dibujos. Autor: S. C. Kohs Editorial: Cronopios. http://cronopios.cl/?prueba-cubos-de-kohs,29,,,3 Fuente: http://es.scribd.com/doc/86149858/Protocolo-Test-Cubos-de-Kohs Tipo de prueba: estandarizada. Mide: inteligencia abstracta: percibir figuras para hacer su análisis y síntesis a través de la reproducción de las láminas estímulo. Edad: 5 a 20 años. Administración: individual. Material: 16 cubos con diseños iguales, tarjeta de ensayo, 16 tarjetas o láminas con los diseños, cronómetro, protocolo, pluma.

• •

a) 16 cubos iguales, 2.5 cm., de arista, pintados de los siguientes colores: o Una cara roja, una azul, una amarilla y una blanca. o Una cara roja/azul; otra roja/blanca; roja/amarilla. b) 16 láminas coloreadas en complejidad creciente que se han organizado con caras de un solo color y con caras de dos colores. o Láminas 1 – 9: se construyen con cuatro cubos. o Láminas 10 – 11: se construyen con nueve cubos. o Láminas 12 – 16: se construyen con 16 cubos. c) Tarjetas: tienen dos números: Los romanos indican el orden en que se han de presentar al sujeto; arábigos: el tiempo máximo asignado para su reproducción. Estructura: 16 reactivos. Áreas: matemáticas y perceptiva: posición en el espacio.

Objetivo: Informar sobre la capacidad de integrar desde el punto de vista visoperceptivo-motriz estímulos gráficos, analizar dichos estímulos y sintetizarlos en volumen. 141

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Procedimiento: 1. Se le presenta al sujeto la primera lámina que sirve de entrenamiento. 2. Se pide al sujeto que nombre los colores representados en cada una de las caras de un cubo. Si no fuera capaz de discriminar los colores, la prueba debe ser suspendida. 3. Se le pide que componga con los cubos el diseño mostrado. 4. La figura debe estar a la vista del sujeto en el momento de la ejecución. Siempre se le deben entregar los 16 cubos. 5. Si el examinado no es capaz de realizar la tarea, el orientador la armará lentamente hasta que se dé cuenta de lo que se le está pidiendo. 6. Si el sujeto falla o no entiende la orden, se suspende la prueba. 7. Instrucciones: “Usando estos cubos, arma la figura que está en el diseño”. 8. Vigilar que para la formación de la figura ocupe un plano horizontal. No se acepta en sentido vertical.

Valoración y normas Para la valoración y normas, se sigue la sugerencia del Dr. Feldman y no la original pues, en esta última, el objetivo es medir la capacidad general del sujeto. Valoración: Se asignan los puntos que señala la tabla; si el tiempo de ejecución no excede el que corresponde, si lo excediera, no se otorgan puntos. NOTA: La prueba se considera terminada cuando el examinado comete cinco (5) errores consecutivos.

142

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Tabla de puntajes y Tiempos correspondientes Nº de la lámina 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Tiempo

Puntos por prueba

1.30 min. 1.30 min. 1.30 min. 2 min. 2 min. 2 min. 2 min. 2 min. 2 min. 3 min. 3.30 min. 3.30 min. 3.30 min. 3.30 min. 4 min. 4min. 4 min.

3 5 6 7 7 7 7 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10

Puntos acumulados 8 14 21 28 35 42 50 59 68 77 86 95 104 113 123 125

Cuadro # 13. Tabla de puntajes y tiempos correspondientes para los cubos.

Comparar edad cronológica con edad mental. PN = Puntuación natural EM = Edad Mental

Tabla de Equivalencia EM Instrucciones. Buscar la edad mental del sujeto con base en la puntuación natural que obtuvo en la prueba.

143

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Puntos Edad (PN) Mental 0 5,3 1 5.7 2 6.0 3 6.3 4 6.6 5 6.9 6 7.0 7 7.3 8 7.6 9 7.8 10 7.10 11 8.0 12 8.2 13 8.4 14 8.5 15 8.7 16 8.9 17 8.10 18 9.0 19 9.1 20 9.3 21 9.4 22 9.5 23 9.8 24 9.9 25 9.11 26 10.1 27 10.2 28 10.3 29 10.4 30 10.5 31 10.7 32 10.8

Puntos Edad (PN) Mental 33 10.9 34 10.10 35 10.11 36 11.0 37 11.1 38 11.2 39 11.3 40 11.4 41 11.5 42 11.6 43 11.7 44 11.8 45 11.9 46 11.10 47 11.11 48 12,0 49 12.1 50 12.2 51 12.3 52 12.4 53 12.5 54 12.6 55 12.7 56 12.8 57 12.9 58 12.10 59 12.10 60 12.11 61 13.0 62 13.1 63 13.2 64 13.3 65 13,4

Puntos Edad (PN) Mental 66 13.5 67 13.6 68 13.6 69 13.7 70 13.8 71 13.9 72 13.9 73 13.10 74 13.11 75 14.0 76 14,1 77 14.1 78 14.2 79 14.3 80 14.4 81 14.5 82 14.6 83 14.7 84 14.7 84 14.8 86 14.9 87 14.10 88 14.11 89 15.0 90 15.0 91 15.1 92 15.2 93 15.3 94 15.4 95 15.5 96 15.6 97 15.7 98 15.8

Puntos Edad (PN) Mental 99 15.9 100 15.10 101 15.11 102 16.0 103 16.1 104 16.2 105 16.3 106 16.4 107 16.5 108 16.7 109 16.8 110 16.9 111 16.10 112 16.11 113 17.1 114 17.2 115 17.4 116 17.5 117 17.6 118 17.8 119 17.8 120 17.10 121 18.0 122 18.2 123 18.3 124 18.5 125 18.7 126 18.9 127 18.11 128 19.1 129 19.3 130 19.7 131 19.11

Cuadro # 14. Tabla de equivalencias EM para los cubos.

144

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Protocolo de la Prueba de Cubos de Kohs Cubos y Dibujos (Kohs) Nombre: Fecha de aplicación:

Exp. No.: Edad: Tiempo:

Instrucciones. Registrar con cuidado el desempeño del sujeto con base en los datos sugeridos en la siguiente tabla.

Tabla de registro No. de lámina

Tiempo

Puntos por prueba

P. Acumulados

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Tabla de comparación Edad cronológica

Puntaje obtenido

Edad mental

Observaciones: Análisis cualitativo: __________________________ Nombre y firma del orientador

145

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Material de la Prueba Cubos de Kohs Instrucciones. Imprime las tarjetas, plastifícalas y sepáralas, de manera que estén las 16 tarjetas en forma independiente.

Fig. # 29. Diseños para la prueba de cubos de Kohs.

Recomendaciones 1. Es conveniente ponerle un mantel individual al examinado con el fin de que tenga delimitado su espacio de trabajo. 2. Los cubos deben estar colocados en la parte superior derecha del examinado, si éste es diestro; o del lado izquierdo si es zurdo. Las tarjetas se colocan arriba, al centro, de manera que el sujeto las pueda ver con facilidad.

146

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Protocolo Ilustrado de Cubos de Kohs No. Lámina

Tiempo

Puntos por prueba

Puntos acumulados

Figuras

Puntaje Edad

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Hoja de reflexión # 4

Cubos y dibujos Cubos y dibujos Nombre: Fecha:

No. Exp.: Tiempo: Tema: diagnóstico

Instrucciones. Después de haber resuelto y calificado la prueba, escribe en los recuadros tus estrategias de acción, y responde las preguntas finales. Estrategias de acción ¿Qué aspectos me ayudan a estar bien?

¿Qué quiero conservar?

¿Qué aspectos me obstaculizan?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo lo pienso poner en práctica?

¿Cuál es mi objetivo y en cuánto tiempo lo quiero lograr?

¿De qué me di cuenta?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo pienso lograrlo? ___________________________ Mi firma 148

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

7. Las dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas ¿Qué es DAM? DAM son las siglas de Dificultades en el Aprendizaje de las Matemáticas y para su estudio, en este trabajo, se dividen en dos campos: el cálculo y la solución de problemas.

¿Cuáles son las características del DAM? Entre las dificultades que se tienen están: una lenta memorización y recuperación de la secuencia verbal lo que dificulta el recuento; ritmo lento, baja velocidad del procesamiento de la información. Los estudiantes se enfrentan con este tipo de dificultades desde los primeros años de su escolaridad por problemas con el recuento, que es la base de la memorización de las combinaciones de sumas y restas y la estrategia básica para resolver los primeros problemas de suma y resta. Una de las dificultades más comunes es la memorización de las tablas de multiplicar. Cuando hay problemas en la memoria a largo plazo, las personas tienen que utilizar sus dedos para llevar la cuenta en las sumas y restas básicas, pues se calculan mediante el recuento. También pueden tener problemas con la memoria de trabajo, incluso pueden calcular contando de dos en dos los resultados de esa tabla, pero el recuento no les sirve de gran ayuda en hechos como 8 X 7 o 9 X 6. Otro tipo de dificultad es carecer de una adecuada de las operaciones. ¿Qué sucede entonces? Resuelven los problemas si tienen algún referente concreto, sus dedos, materiales o una representación gráfica; pero sin estos recursos, les es difícil dar el paso de las situaciones concretas a la simbolización matemática, establecer las conexiones entre unas situaciones y otras. Sin embargo, una buena parte de ellos no manifiestan dificultades en áreas como la geometría o los conceptos de probabilidad o medida, fundamentalmente sus problemas suelen ser con la aritmética. En contraste, podrían mostrar su competencia en estas áreas si se reducen las dificultades en los cálculos aritméticos, pero los que realizan un trabajo diferenciado en el aula no suelen llevar a cabo actividades sobre estas áreas, su currículo se centra sobre todo en la aritmética.

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¿Cuáles son las dificultades en el proceso cognoscitivo de DAM? Las dificultades más frecuentes en las matemáticas son de tres tipos tomando como base su clasificación: la adquisición de las nociones básicas y principios numéricos, la numeración y el cálculo y, por último, la resolución de problemas

A. ¿En qué consisten las dificultades en la adquisición de las nociones básicas y principios numéricos? Miranda, Fortes y Gil (2000) hacen una amplia revisión sobre las nociones básicas y los principios numéricos y señalan que, si a los cuatro años los niños cometen los errores que a continuación se mencionan, en un futuro cercano pueden presentar dificultades del aprendizaje de las matemáticas en relación a la tarea de contar: • • • • • • •

No realiza ningún intento de etiquetar cada objeto de un conjunto, por pequeño que éste sea, con una palabra para contar. No realiza ningún intento de llevar la cuenta de los objetos contados y sin contar, etiquetando los objetos del conjunto de una manera totalmente asistemática. No aplica rutinariamente la regla del valor cardinal. No comprende la regla de la cuenta cardinal. Se muestra incapaz de separar hasta cinco objetos cuando se le pide. Se muestra incapaz de realizar comparaciones entre números separados o entre números seguidos pequeños (del 1 al 5). En relación con el desarrollo del concepto del número: o Incapacidad para seguir un orden estable al asociar números a un grupo de objetos. o Uso arbitrario o repetido de determinadas etiquetas numéricas. o Dificultades para agrupar conjuntos en función de un criterio dado. o Creencia de que, si se cambia la localización de los objetos, el número mismo variará.

•

En relación con el aprendizaje de la suma: o Tiene dificultades para determinar automáticamente la relación entre un número dado y el que le sigue o el que precede. o Puede resolver automáticamente problemas del tipo n+1 pero no 1+n

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B. ¿En qué consisten las dificultades en la numeración y en el cálculo? Para González-Pineda (1998) las dificultades que se relacionan con la numeración y el cálculo son: •

•

La comprensión: las dificultades se presentan en la memorización de los números al realizar la asociación entre el número y los objetos reales. La práctica de este tipo de tareas es una condición necesaria pero no suficiente para la comprensión de los hechos numéricos, el significado debe aprenderse de otro modo, no sólo por mera automatización. La escritura de números: son las dificultades derivadas de la dirección de la escritura, pues ésta es de izquierda a derecha mientras que el valor posicional aumenta de derecha a izquierda y las operaciones se realizan siguiendo este orden. Las operaciones: Las dificultades en la realización de las operaciones tienen que ver tanto con la comprensión del significado de las operaciones, como con la “mecánica de las operaciones”.

Actividad # 18

Trazo de números Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: números

Instrucciones. Con un carrito, sigue los trazos de cada número.

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Fig. # 30. Jugando con los números.

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Actividad # 21

Ordena los números Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: números

Instrucciones. Se revuelven las tarjetas para que el orientado las ordene primero de menor a mayor y después de mayor a menor. Pueden ponerse en grupos de nones y pares, etc.

Fig. # 31. Noción de cantidad.

Fig. # 32. Números y objetos. 153

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¿Cuáles son los errores más frecuentes en el cálculo? Tomando como base las cuatro operaciones fundamentales, se señalan los siguientes:

Suma:

• • • • •

• Errores en las combinaciones básicas. • Contar para hallar la suma. • Añadir el número que se lleva al final. • Olvidarse de añadir el número que se lleva. • Reiniciar la suma parcialmente hecha. Agregar irregularmente el número que se lleva. Escribir el número que se lleva. Equivocar el número que se lleva. Procedimientos irregulares. Agrupar números.

Resta: • •

• • • • • • •

Errores en las combinaciones básicas. No prevenir la suma de diez a toda cifra del minuendo inferior a su correspondiente en el sustraendo disminuyendo en uno la inmediata de la izquierda. • Contar para hallar la resta. Errores debidos a ceros en el minuendo. Nombrar los términos al revés. Restar el minuendo del sustraendo. Poner cero cuando la cifra del sustraendo es superior a su correspondiente en el minuendo. Sumar en vez de restar. Errores de lectura. Restar dos veces de la misma cifra del minuendo.

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Multiplicación:

•

Errores relacionados con “llevar”: al agregar el número que se lleva, “llevar” un número equivocado, olvidarse de “llevar”, escribir el número que se “lleva”, errores al agregar el número que se lleva a cero, multiplicar el número que se lleva, agregar dos veces el número que se lleva y agregar un número cuando no se lleva. Errores relacionados con contar: contar para lograr el producto, repetir la tabla hasta llegar al número que se ha de multiplicar, multiplicar mediante sumas y escribir la tabla. Procedimientos defectuosos: Escribir una fila de ceros cuando hay uno en el multiplicador, usar el multiplicando como multiplicador, errores debido al cero en el multiplicador o en el multiplicando, omitir alguna cifra en el multiplicador o en el multiplicando, errores en la colocación de los productos parciales, confundir productos cuando el multiplicador tiene dos o más cifras, no multiplicar una cifra del multiplicando, omitir una cifra en el producto, dividir el multiplicador en dos o más números, repetir una cifra en el producto, empezar por la izquierda, multiplicar los productos parciales. Lapsus y otros: equivocar el proceso, derivar combinaciones desconocidas de otras conocidas, errores de lectura o al escribir los productos, multiplicar dos veces la misma cifra, invertir las cifras de los productos.

División: • • • • • • • • •

Errores en las combinaciones básicas. Errores de resta y/o de multiplicación. Hallar un resto superior al divisor. Hallar el cociente por sucesivas multiplicaciones. Olvidar el resto al seguir dividiendo. Omitir el cero en el cociente. Omitir una cifra del dividendo. Equivocar el proceso. Contar para hallar el cociente.

Cuadro # 15. Errores frecuentes en las operaciones básicas.

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C. ¿Cuáles son las dificultades en la resolución de problemas? Se ponen de manifiesto situaciones relacionadas con la simbolización, representación y aplicación de reglas generales, traducción de lenguajes, entre otros. El aprendizaje de las matemáticas exige el dominio de códigos lingüísticos especializados y la capacidad de traducción desde otros códigos matemáticos y viceversa. El alumno debe aprender a sustituir los procedimientos intuitivos y los códigos propios del lenguaje natural u ordinario por los procedimientos formales y códigos propios del lenguaje matemático. Pero las dificultades de traducción no sólo se producen entre la acción y la simbolización sino también entre la simbolización y el lenguaje verbal, esta traducción no es directa. Es preciso analizar el texto, estableciendo la relación entre los datos con los que se cuenta, el orden en el que aparecen y cómo se pueden utilizar para llegar a la solución a través de las operaciones adecuadas. Debido a estas situaciones se presentan dificultades como: comprensión global del problema y su representación. Así como la terminología o vocabulario utilizado para la comprensión del texto. a) Análisis del problema. A veces se tienen dificultades para entender el problema global y no se saben unir las partes del problema para la ordenación lógica. Por ello, se deben identificar los datos con los que se cuentan y para qué sirven, definiendo concretamente lo que se ha de hallar, qué es lo que se pretende contestar. Existen dificultades en la organización de los datos para la resolución. b) El razonamiento matemático. Se deciden las operaciones a realizar o los procedimientos para resolver el problema. Muchas veces al no comprenderse el problema no se sabe que operaciones realizar y es más fácil para unos la “teoría de la reparación” en las que se aplican ciertas operaciones que pueden llevar al resultado. El problema es identificar entre la multiplicación y la división para resolver la incógnita.

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Actividad # 22

Laberintos Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: laberinto

Instrucciones. A la señal, resuelve el laberinto lo más rápido que puedas, sin levantar el lápiz, ni tocar o cruzar líneas.

Fig. # 33. Laberintos 157

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8. El cálculo y los problemas de la discalculia 8.1. Operaciones básicas del cálculo El orientado debe saber el significado de cada uno de los conceptos utilizados en la realización de las operaciones básicas, por lo tanto, hay que enseñárselos de forma comprensible para que pueda usarlos adecuadamente en lugar de quedarse sólo a proceder de manera automática.

8.1.4. Suma o Adición Es la primera operación de la aritmética, y es la capacidad para sumar mentalmente, aumenta de forma gradual. Esto es, se refiere a la reunión de dos números que indica la cantidad de elementos que tienen dos conjuntos. Los conjuntos de estos elementos deben ser Homogéneos, es decir, del mismo tipo. Está compuesto por sumandos y el resultado o total. Sus propiedades son: • Conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado

(A+B= B+A) •

Asociativa: en el que el orden no varía de cualquier modo

[a+ (b+c) = b (c+a)

8.1.5. Resta o Sustracción En la sustracción, entendida como quitar, se elimina una cierta cantidad de ella llamada sustraendo, y a la cantidad que se le quita se le llama minuendo; el resultado se le llama resta o diferencia. Los orientados inventan procedimientos informales durante la etapa infantil, utilizando los dedos u objetos físicos (se le conoce como muletas, y son necesarias cuando el pensamiento concreto no ha llegado a la abstracción). 158

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8.1.6. Multiplicación Antes de iniciarse en la multiplicación, los orientados deben tener bien consolidado el concepto de adición, ya que la multiplicación se concibe como una adición sucesiva del mismo número. Esta operación se realiza a partir de la suma de números de igual especie para encontrar el producto de los factores que se sumarán cierta cantidad de veces.

8.1.7. División Aunque la primera aproximación al concepto de división es la de reparto en partes iguales, en realidad abarca muchas acepciones que los orientados deben conocer. La división es la operación inversa a la multiplicación. Se descompone una cantidad para saber cuántas veces un número cabe en otro. Sus elementos son el dividendo que es la cantidad que se reparte, divisor el número en que se repartirá o dividirá, cociente que es las veces que caben en el dividendo y el resto es lo que sobra del dividendo.

¿Qué tipo de terminología hay que aprender en relación con las operaciones básicas? En matemáticas básicas hay muchas maneras de llamar a las mismas cosas. Hemos reunido algunas aquí Símbolo

Palabras usadas Suma, adición, más, juntar, incrementar, total

¿Qué es? Juntar dos o más números (o cosas) para hacer un nuevo total.

¿Cómo se llaman los números?

Adición:

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Resta, sustraer, sustracción, quitar, menos, diferencia, disminuir, deducir decrecer.

Es quitar un número de otro.

Multiplicación, multiplicar, producto, por, veces

En su forma más simple: suma repetida

División, dividir, cociente, cuántas veces cabe

Repartir en partes o grupos iguales. Es el resultado de un “reparto equitativo”.

× ÷

Resta:

Multiplicar:

División:

Cuadro # 16. Terminología de las operaciones básicas. Consulta: https://www.disfrutalasmatematicas.com/definiciones-basicas-matematicas.html

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8.2 Etapas de la noción de número De acuerdo con Decroly (cfr. Silva, Tere; 2011: 31), para tener la noción de número se debe pasar ocho etapas que son: • •

• • • • • •

Noción de presencia y ausencia. Al orientado se le ocultan objetos conocidos y debe buscarlos. Se le enseña a conservar la imagen de los objetos. Facultad de discriminación e identificación. El orientado debe ser capaz de distinguir las diferencias y las analogías entre los objetos y poder reunir aquellos que tengan las mismas cualidades. Etapa de repetición. A partir de las analogías, el orientado reconocerá lo que se repite. Noción de pluralidad y de unidad: noción de dos. Las formas tamaños y colores permiten reconocer el conjunto y la unidad. Noción de tres. Facultad de comparación de tamaños continuos (etapa de síntesis). Noción de cuatro (etapa de análisis y de síntesis). Puede clasificar de diferentes formas un mismo objeto de acuerdo con las cualidades. Noción de cinco: primera noción de la fracción.

El material que se emplee para ello requiere de objetos idénticos, análogos y diferentes, como los bloques lógicos.

Actividad # 23

Buscando números Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: noción de cantidad

Instrucciones. Encierra en un círculo rojo la agrupación que contenga más números. Después, identifica qué números hay en el conjunto.

7 3

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6 8

1 2

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Fig. # 34. Grupos de números.

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Actividad # 24

Agilidad operatoria Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: agilidad mental

Instrucciones. Resuelve las operaciones que a continuación se presentan lo más rápido posible. Recuerda que se va a contar el tiempo que empleas para resolverlas.

9x9= 7+1= 3+4= 18 – 9 = 3x3= 15 – 8 = 3–2= 4x5= 6+9= 9x3= 14 – 6 = 12 – 9 = 4x6= 9+0= 7–5=

5x4= 3+3= 16 – 7 = 2–0= 6+5= 3+5= 5x6= 7–5= 3x6= 11 – 9 = 2x8= 3+1= 11 – 8 = 12 – 5 = 6x4=

12 – 5 = 8x6= 4x1= 2x7= 5x5= 10 – 1 = 7–1= 7+6= 4+5= 5+7= 8+6= 12 – 4 = 9 + 11 = 3x3= 7–3=

5+3= 5x7= 5–4= 4+7= 9+2= 2+6= 9+7= 9–5= 4–2= 3x5= 2+8= 3x9= 5x8= 6–4= 8+8=

Cuadro # 20. Agilidad operatoria. Evaluación. El número total de aciertos es 60. Por lo tanto, debes sumar los puntos de las operaciones correctas multiplicándolo por 100 y dividirlo entre 60 para obtener el porcentaje. Las personas que las hayan hecho en un tiempo menor que el promedio pueden ser merecedoras de puntuación extra. Número de aciertos:

Porcentaje: 163

Lugar en el grupo:

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Hoja de reflexión # 7

Operaciones básicas Operaciones básicas Nombre: Fecha:

No. Exp.: Tiempo: Tema: diagnóstico

Instrucciones. Después de haber resuelto y calificado el ejercicio, escribe en los recuadros tus estrategias de acción y responde las preguntas finales.

Estrategias de acción ¿Qué aspectos me ayudan a estar bien?

¿Qué quiero conservar?

¿Qué aspectos me obstaculizan?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo lo pienso poner en práctica?

¿Cuál es mi objetivo y en cuánto tiempo lo quiero lograr?

¿De qué me di cuenta?

¿Qué necesito modificar?

¿Cómo pienso lograrlo? ___________________________ Mi firma

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8.3 Clasificación de las dificultades de cálculo 8.3.1. Discalculia Se le conoce a estos problemas como “discalculia” o dificultades de aprendizaje de las matemáticas (DAM), pero también se usan los términos “disaritmética” o “acalculia”; sin embargo, existen diferencias entre ellos, según sea el referente teórico. En esta parte se toma en consideración el paradigma científico biomédico principalmente. Son alteraciones que tienen su origen en partes del cerebro que son el sustrato anatómico-psicológico de los procesos neuropsicológicos que se ocupan de nociones matemáticas y hechos numéricos, del manejo de los números y del cálculo aritmético. Se refiere específicamente a la incapacidad de realizar operaciones matemáticas o aritméticas. Discalculia es un término que hace referencia a un amplio rango de problemas relacionados con el aprendizaje de las habilidades matemáticas. No existe una única forma de trastorno del aprendizaje de las matemáticas y las dificultades que se presentan varían de persona a persona. Afectan de modo diferente en cada momento de su ciclo vital. Bajo esta perspectiva, las dificultades en matemáticas es el equivalente a la dislexia sólo que, en lugar de tratarse de problemas en el lenguaje, se refiere a la dificultad para comprender y realizar cálculos matemáticos. Su padecimiento se calcula entre un 3 a un 6 por ciento de la población infantil. Esta anomalía casi nunca se diagnostica y trata adecuadamente. Su etiología es multicausal, como: un déficit de percepción visual o problemas de orientación, entre otros. Es una discapacidad relativamente poco conocida. De hecho, se considera una variación de la dislexia. Quien padece discalculia por lo general tiene un cociente intelectual normal o superior, pero manifiesta problemas con las matemáticas, señas y direcciones.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

8.3.1.1 Tipos de discalculia Se diferencian las adquiridas de las evolutivas. Las primeras son una consecuencia de un daño cerebral sobrevenido afectando a personas que ya sabían calcular. Las evolutivas surgen en el curso del desarrollo y del proceso de aprendizaje, pero con características muy similares a las adquiridas. A. Discalculia primaria. También llamada escolar o primaria, se presenta al comenzar el aprendizaje y está vinculada con sus primeras dificultades específicas, que logrará superar su eficiencia. Se puede convertir en discalculia verdadera cuando no se ha superado y persisten y se afianzan los errores, sometiendo al orientado a un programa de reducación. B. Discalculia secundaria. Esta se presenta como síntoma caracterizado por un déficit global del aprendizaje, no se trata de tener una dificultad en alguna asignatura, sino en todos los conocimientos o asignaturas que se imparten. Algunos autores mencionan tres tipos: a) Discalculia escolar secundaria con discapacidad intelectual: el orientado padecen déficit mental, por tanto, las dificultades en el cálculo se incrementan en cuanto más grave es el déficit intelectual. Tiene menos oportunidad de recuperarse porque las dificultades son prácticamente irreversibles. b) Discalculia escolar secundaria de alumnos con dislexia. Su aptitud matemática se deteriora al confundir las cifras cuando las lee o escribe, mal encolumnamiento de las cantidades en las operaciones, no realiza el cálculo mental, ni tampoco los problemas porque no entiende el enunciado. c) Discalculia escolar secundaria de los afásicos. La afasia es un trastorno grave en el lenguaje, al que se agrega dificultades cálculo. No logra expresar su pensamiento adecuadamente por medio de las palabras, por lo que se observan fallas en el cálculo mental, incomprensión del significado de vocablos, frases u oraciones, así como deficiencias de la atención, la memoria y la imaginación. C. Disaritmética. No hay falla en el pensamiento matemático sino más bien son errores visoespaciales similares a los que presenta un disléxico, pues invierten, saltan u omiten signos o palabras o su visión es de espejo. Es notoria su dificultad para comprender el mecanismo de la numeración, retener el vocabulario, concebir la idea de las cuatro operaciones básicas, contar mentalmente y utilizar sus adquisiciones en la resolución de problemas. 166

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D. Discalculia Espacial. Es la dificultad para ordenar los números, de acuerdo con una estructura espacial. Se asocia con la desorientación espaciotemporal.

8.3.1.2 Otras clasificaciones de discalculia Según Kosch (1974), existen seis tipos de discalculia: • • • • • •

Discalculia verbal: Dificultad para nombrar cifras y términos matemáticos. Discalculia léxica: Dificultad para leer cifras y signos matemáticos. Discalculia gráfica: Dificultad para escribir cifras y signos matemáticos. Discalculia pratognóstica: Dificultad para comparar cantidades de objetos de modo manipulativo. Discalculia idiognóstica: Dificultad para comprender conceptos y relaciones matemáticas. Discalculia operacional: Dificultades para realizar operaciones matemáticas.

7.3.2. Acalculia a) Salomón Henschen (1920), neurólogo del Instituto Karolinska en Estocolmo, acuñó el término acalculia o incapacidad para usar números. Descubrió que la habilidad para el cálculo es una función cerebral altamente compleja y que resulta de la colaboración de varias áreas posteriores del hemisferio izquierdo. Este enfoque ha recibido un amplio apoyo empírico por medio de estudios de habilidades numéricas en animales, niños, adultos sanos y pacientes con lesiones cerebrales, tanto en el nivel cognoscitivo como anatómico, confirmando que los parietales son cruciales para el procesamiento numérico. b) Josef Gerstmann (1940), neurólogo alemán. En 1924 descubrió en tres pacientes la tétrada de déficits que puede producir una lesión en la región parietal inferior izquierda: acalculia o discalculia, agrafía o disgrafía, incapacidad para nombrar los dedos de la mano o señalar uno de ellos cuando se le indica (agnosia digital), e imposibilidad de distinguir entre izquierda y derecha. ¿Cuál es la relación entre números, letras, dedos y espacio? c) Dehaene (op. Cit. 1997) afirma que estos cuatro síntomas de la habilidad para el cálculo se asocian a una función cerebral altamente compleja y como resultado de la colaboración de varias áreas posteriores del hemisferio izquierdo, independientes en la misma región cortical.

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Durante décadas se ha observado que estos cuatro elementos constituyentes del síndrome, con frecuencia aparecen juntos, pero también pueden disociarse los primarios, (conocido como el Síndrome de Gerstmann) reflejando simplemente el agrupamiento de una curiosa variedad de nódulos cerebrales independientes en la misma región cortical. Esto significa que los cuatro elementos del Síndrome de Gerstmann pueden aparecer juntos o disociados. a. Morrison y Siegel (1991) distingue entre acalculia y discalculia. En la primera se produce una dificultad en el aprendizaje de la matemática ocasionada por una lesión cerebral en la edad adulta. b. El neuropsicólogo Alexander Luria, discípulo de Vygosky, describe a las lesiones occipitoparietales y frontales en el origen de estos dos tipos de alteraciones en las habilidades matemáticas.

¿Cuáles son las manifestaciones por lesiones occipitoparietales? En las lesiones occipitoparietales se producen las siguientes manifestaciones: • • • •

Déficit en el concepto de número y en las operaciones matemáticas. Percepción incorrecta de los nombres de las cantidades. Déficit en la estructura categórica de los números, lo que se refleja en los errores al leer o al escribir los números. Déficit en el reconocimiento de las relaciones entre los números, motivo por el cual la capacidad no va más allá de las referencias.

¿Cuáles son las manifestaciones por lesiones frontales? En las lesiones frontales, las manifestaciones son: • • •

Déficit en la habilidad de decodificar la información en el contexto de la solución de problemas. Comprensión inadecuada de sistemas conceptuales y lógico- gramaticales de las relaciones numéricas. Dificultades serias en el planeamiento de la solución.

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8.3.2.1 Tipos de Acalculia De acuerdo con Ferreira (2008), la acalculia se puede presentar en tres formas: •

• •

Acalculia afásica: Inhabilidad para la comprensión de números y signos aritméticos como lenguaje. Se asocia con la afasia, es decir, pérdida total o parcial de la capacidad para comunicarse, perturbándose la utilización de las capacidades precisas para la producción y/o la comprensión de la palabra oral y escrita. Acalculia visual-espacial: Comprensión inapropiada de los números y puntos decimales, que genera errores en el cálculo. Anaritmética: Es la pérdida pura del cálculo, generalmente está asociado con la afasia, y pocas veces se detecta como hallazgo aislado. En ella existe una implicación del lóbulo parietal inferior izquierdo que afecta el cálculo mental. Las lesiones en esta región pueden dejar al orientado totalmente incapaz de ejecutar incluso cálculos tan sencillos como 3-1 o 7x8 (Warrington, 1982; Takayama, Sugishita, Akiguchi, Kimura, 1994; Dehaene y Cohen, 1997).

8.4. Factores etiológicos de la Discalculia Las dificultades en matemáticas son diferentes, y afectan de diversas maneras al orientado. Por ejemplo, quien tiene problemas en el procesamiento verbal tendrá desafíos diferentes a quien tiene dificultades en las relaciones visoespaciales o si hay dificultades para recordar y mantener una secuencia adecuada su desempeño en matemáticas será diferente.

¿Cuál es la etiología de la acalculia? La etiología de la acalculia también es muy diversa, pero se ha encontrado lo siguiente: • •

Predisposición genética. Concordancia del 0.73 en gemelos monocigóticos y del 0.56 en gemelos dicigóticos.

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•

• •

En sujetos diagnosticados de discalculia del desarrollo, también presentaban el trastorno el 66% de las madres, el 40% de los padres, el 53% de los hermanos y el 44% de familiares de segundo grado. Ello sugiere que en los familiares de los afectados por el trastorno el riesgo de presentarlo es de 5 a 10 veces mayor que en la población general. Distintas anormalidades neurológicas: ej: asfixia perinatal. Variables ambientales: mala escolarización, “ansiedad matemática” y diversidad en la clase.

8.4.1 Discalculia durante la primera infancia Construir una base sólida para el cálculo involucra diferentes habilidades. El orientado con trastornos de aprendizaje puede tener dificultades en el significado de los números, problemas en tareas como agrupar objetos por forma, color o tamaño, reconocer grupos y patrones, comparar opuestos utilizando conceptos como grande/chico alto/bajo: aprender a contar, reconocer números y emparejarlos con determinadas cantidades, por ejemplo.

8.4.2 Discalculia en niños en edad escolar A medida que el aprendizaje de las matemáticas continúa, a los escolares con dificultades en el procesamiento verbal se les dificulta resolver problemas matemáticos básicos que requieren el uso de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones, pues se les complica recordar hechos matemáticos básicos (las tablas, las unidades de medida), y la aplicación de sus conocimiento y habilidades para resolver problemas matemáticos. Las dificultades también pueden surgir por fallas en las habilidades visoespaciales. Aunque entienda los hechos matemáticos no los puede organizar ni poner en el papel o no puede comprender lo que está escrito en el pizarrón o el libro de matemática.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

8.5 Discalculia en adolescentes y adultos Si las habilidades matemáticas básicas no son dominadas, muchos adolescentes y adultos con discalculia pueden tener dificultades en aplicaciones más avanzadas. Las dificultades en el procesamiento verbal pueden dificultar la comprensión del vocabulario matemático y la construcción del conocimiento matemático. El éxito en los procedimientos matemáticos más avanzados requiere la capacidad de realizar tareas de multipasos, es decir, poder visualizar patrones diferentes partes de un problema matemático o identificar la información necesaria para resolver una ecuación o problemas complejos.

¿Cómo se presentan las dificultades del aprendizaje en matemáticas? Por lo general son alumnos de inteligencia normal, pero rinden por debajo de su capacidad en tareas de cálculo y de solución de problemas. En las pruebas de cálculo numérico y solución de problemas suelen puntuar bajo, lo cual no permite medir su inteligencia a través de este medio. El pensamiento matemático exige procedimientos ordenados, consecutivos que se plasman por medio de un lenguaje preciso que no admite circunloquios, retrocesos ni transgresiones. El trabajo se realiza rompiendo la unidad de contenido (sólo imágenes, sólo palabras, sólo números). En la realización de taras matemáticas hay diferentes procesos implicados: traducir, integrar, planificar, operar y revisar, que exigen que los alumnos posean determinados conocimientos que abarcan desde hechos numéricos, fórmulas, reglas, hasta conocimientos lingüísticos. Las dificultades en las matemáticas afectan a dos tipos de aprendizaje: • •

Cálculo –mental y escritoSolución de problemas.

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Actividad # 25

Magia cuadriculada Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: lógica numérica

Instrucciones. Escribe en los cuadros vacíos los números que aparecen en cada figura, sin repetir ninguno, y cuida que, al sumar en cualquier dirección, obtengas el mismo resultado.

Fig. # 35. Magia cuadriculada 172

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9. Modelos de Intervención de los Problemas de Aprendizaje ¿Cuáles son los principales modelos de intervención? Los modelos de intervención de los problemas de aprendizaje corresponden a distintas teorías que explican cómo se lleva a cabo el aprendizaje exitoso y su fracaso. Se hace una breve revisión de los dos modelos de intervención más utilizados en la atención de los problemas de aprendizaje. •

•

El primero se fundamenta en investigaciones neuropsicológicas para explicarlos en términos de la actividad funcional neurológica, psicológica y su patología, donde los efectos prácticos de intervención responden a problemas específicos como la lectura, la escritura y las matemáticas. El segundo se centra en lo pedagógico. Destacan dos enfoques: uno naturalista, pues toma en consideración las características o habilidades internas del aprendizaje, las habilidades innatas y las predisposiciones biológicas para aprender, y el otro, de origen culturalista pues insiste en la influencia del medio sobre el aprendizaje, así como las habilidades o del análisis de tarea.

Es conviene tener en cuenta que toda persona utiliza formas de aprendizaje variadas y que un mismo aprendizaje se procesa de maneras distintas por diferentes personas. Estos modelos siguen vigentes en la actualidad.

9.1. Modelo perceptivo motor ¿Cuándo surgió el modelo perceptivo-motor? El modelo perceptivo motor surgió en la etapa de transición en el campo de los problemas de aprendizaje, la cual se caracteriza por centrarse en el orientado, interesándose más por lo neurológico que por lo educativo. Se apoya en los estudios de las relaciones cerebro-conducta aplicadas al desarrollo del niño. Este enfoque cuenta con varias teorías que explican los problemas de aprendizaje por déficits en el cerebro, alteraciones en la dominancia cerebral, en los procesos perceptivos, en la memoria auditiva o en la memoria sensoria, por ejemplo.

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Bajo la perspectiva neuropsicológica, la evaluación considera las fortalezas y debilidades del orientado, su desempeño en el lenguaje, memoria, razonamiento, psicomotricidad y percepción. El orientador ha de detectar si sus deficiencias están asociadas a algún daño cerebral, a un retardo en el desarrollo o algún problema neuropsicológico. Con este marco teórico, el modelo perceptivo motor sostiene que el aprendizaje se produce o se basa en el desarrollo psicomotor, visual y espacial del orientado. Considera también que el primer sistema neurológico que se desarrolla es el motor. Una vez que es funcional, se desencadena la habilidad perceptiva. Para ellos, el desarrollo de las habilidades perceptivo-motoras tempranas es esencial para las conceptualizaciones posteriores en el aprendizaje.

¿Cómo se logra el aprendizaje según este modelo? Los autores de este modelo sostienen que el aprendizaje se logra a través de la siguiente secuencia: 1. Respuestas innatas: reflejos que muestran los neonatos (reflejo miótico, a la luz, sobresalto, prensión, etc.). 2. Desarrollo motor general: actividades motoras que implican gatear, caminar, correr, saltar, esquivar, brincar sobre un solo pie. 3. Desarrollo motor espacial: coordinación de actividades complejas (coordinación ojo-mano, mano-pie, sistemas de voz y habilidades para gesticular). 4. Desarrollo motor ocular: control de los ojos, fijación, persecución y rotación. 5. Sistemas de integración motor-lenguaje-auditivo: se observan el balbuceo, el logro del lenguaje imitativo y el lenguaje espontáneo u original. 6. Visualización: acción de evocar o de imaginar. 7. Percepción: capacidad de percibir y diferenciar estímulos sensoriales. 8. Desarrollo intelectual: se da como resultado de varios procesos mentales abstractos.

¿Quién es su principal representante y qué propone? Según Kephart (1964), el exponente más representativo de este modelo, la capacidad de generalizar en los procesos mentales superiores, parte y tiene su fundamento en la capacidad de formar generalizaciones motoras, es decir, que todo comportamiento es básicamente motor, por lo tanto, cualquier tipo de conducta 174

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requiere de respuestas musculares y motoras. Esta afirmación es un ejemplo de la orientación sensorial-perceptivo-motora que caracteriza a este modelo. En las actividades correctivas se insiste en el uso de los procesos visualesmotores del que aprende y sobre todo en el aprendizaje motor básico.

¿Qué tipo de técnicas emplea este modelo? Las técnicas que se emplean en este modelo son sensoriomotoras, por tanto, para la atención de las generalizaciones, la lectura, la escritura y las matemáticas se centran en el desarrollo de perceptivas y motoras.

¿Cuáles son las etapas de desarrollo del aprendizaje según Kephart? La teoría de Kephart considera tres etapas del desarrollo del aprendizaje: la práctica, la subjetiva y la objetiva; basadas en cuatro generalizaciones: motoras: postura, equilibrio, locomotora, recepción y propulsión. a) La etapa práctica: La primera etapa del desarrollo es la manipulación física de objetos, sin ninguna muestra de que el niño los perciba como algo distinto de su propia actividad. Su principal tarea es producir movimientos de sus partes y controlar dichos movimientos. •

•

La generalización motora básica sobre la que se basa esta etapa práctica es la postura y el mantenimiento del equilibrio, que le permite al niño explorar el espacio y dar lugar al aprendizaje de otros patrones de movimiento. La exploración motora junto con la generalización del equilibrio da lugar a otra generalización: el esquema corporal; concepto aprendido como resultado de la observación de los movimientos de las partes del cuerpo y de las relaciones que tienen entre sí y con los objetos externos. Y a su vez, se desarrollan la direccionalidad (hacia dónde se dirige el movimiento) o la práctica de la dimensión de los ejes de su cuerpo, que se producen de la propia lateralidad (lado preferente del cuerpo) para adquirir la noción derecha-izquierda, el espacio, la sincronía o el tiempo.

b) La etapa subjetiva: En esta etapa se lleva a cabo el desarrollo perceptivo-motor a través de este conocimiento refiriéndose siempre al yo. Se basa en las generalizaciones motoras del contacto y la locomoción, que consisten en alcanzar, agarrar y soltar, lo que le permite al orientado manipular y explorar las formas de los objetos y las relaciones con los patrones de movimiento y el 175

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esquema corporal. La percepción de las formas se basa en las generalizaciones de los contactos; la percepción del espacio en las generalizaciones locomotoras; ambas preparan la igualación de la percepción motora. c) La etapa objetiva: Se basa en generalizaciones motoras avanzadas de recepción y propulsión, son patrones que comportan relaciones dinámicas entre una persona que se mueve. •

En los patrones de recepción, el orientado interfiere el movimiento de un objeto y en los de propulsión imparte movimiento a un objeto. Se piensa que la recepción y en particular la visión, asumen una importancia primordial al recibir información. En esta etapa se proyecta más allá de los campos visual y temporal y se aprende tanto lo conceptual como lo perceptivo.

¿Cuál es la base del nivel máximo de todas las generalizaciones? El nivel máximo de todas las generalizaciones es el concepto que se forma sobre las semejanzas entre objeto o situaciones. Kephart insiste en que, si las percepciones no tienen suficiente generalización, los conceptos probablemente serán débiles o limitados.

¿Qué procedimientos terapéuticos recomienda este modelo? Los procedimientos terapéuticos que recomienda este modelo se derivan de la administración de la escala perceptivo motriz, donde se califica el aprendizaje sensoriomotor, el control muscular y la percepción de la forma. Los resultados de las evaluaciones indican cuáles son las etapas de desarrollo del aprendizaje que han resultado insuficientes y cuáles se deben tratar.

¿Qué comprende el entrenamiento de Kephart? Para el entrenamiento Kephart incluye: •

Entrenamiento visual-motor: la capacitación motora gruesa y fina, enfocadas especialmente al manejo de lápiz y papel con ejercicios de trazos, direccionalidad, orientación, trazos de formas y figuras.

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•

Entrenamiento sensitivo-motor: el desarrollo del equilibrio, imagen corporal, lateralidad, noción derecha-izquierda, a través de actividades que requieren andar sobre una viga, caminar hacia delante, hacia atrás, etc. Entrenamiento del control ocular: Se intenta lograr un control visual que debe igualar los patrones generales, motores y cinestésicos que el orientado ha aprendido, como el seguimiento ocular y la fijación visual. Entrenamiento de la percepción de las formas: Se intenta capacitar al niño para diferenciar formas y figuras, igualar y reproducir diversas formas de patrones, partes faltantes en la manipulación de formas y figuras.

¿Qué otro autor se destaca en este modelo? Otra representante de este tipo de sistemas es Marianne Frostig (1964), quien, con sus aportaciones del desarrollo de la percepción visual, basado en cinco áreas, las considera fundamentales para la adquisición del conocimiento: la percepción, entendida como la capacidad de reconocer estímulos tanto internos como externos al cuerpo, es también la capacidad de identificar r interpretare las impresiones sensoriales correlacionándolas con otras experiencias.

¿Cuáles son las cinco áreas de la percepción visual según Frostig? Las cinco áreas de la percepción visual básicas, según Frostig, las cuales forman la base de su prueba, son: 1. Coordinación visomotora: o capacidad para integrar la visión con los movimientos del cuerpo en general, y las finas en particular, con las capacidades visomotoras finas. Esta área es un prerrequisito importante para leer e indispensable para escribir. 2. Figura-fondo: o capacidad para seleccionar un centro de atención particular entre una masa de estímulos (la figura) y desentenderse de los demás estímulos (el fondo). Esta capacidad es esencial para el análisis y la síntesis de las palabras y los párrafos escritos. 3. Constancia de forma: o capacidad para reconocer que una figura puede variar de tamaño, textura o posición, sin alterar su forma básica. Se requiere de esta habilidad para el reconocimiento de las palabras familiares que se ven en un contexto, color, tamaño o estilo de impresión que no son familiares. 4. Posición en el espacio: o capacidad para distinguir una forma determinada de otras figuras, ya sea que se presente en una posición idéntica, rotada o inversa. 177

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Es necesario el dominio de esta posición en el espacio para diferenciar las letras que tienen la misma forma, pero posiciones distintas (b-d, p-q). 5. Relaciones espaciales: o capacidad para percibir dos o más objetos en relación con uno mismo, entre sí y en relación con otros. Esta cualidad es necesaria para reconocer las letras que hay en una palabra y las palabras que hay en una oración.

¿Cuál es el punto de partida de Frostig? Frostig parte de la idea de que el conocimiento se adquiere a través del canal visual, por tanto, si el desarrollo de la percepción visual es deficiente, aparecerán dificultades cognoscitivas. Para ella, la incapacidad de la percepción visual puede ser consecuencia de un retraso en la madurez, de alguna lesión cerebral o de factores genéticos y/o ambientales.

¿Qué impedimentos puede haber? Entre los posibles impedimentos pueden estar: la dificultad de reconocer objetos y su relación entre sí en el espacio; así como la aparición de distorsiones que hacen ver el mundo como inestable e impredecible. Estos y otros problemas preceptivos incrementan la posibilidad de que el orientado experimente cierta perturbación emocional y bajo aprovechamiento escolar.

¿Qué es lo esencial para el aprendizaje escolar? Para la mayoría de los autores del modelo perceptivo-motor, el canal visualmotor es esencial para el desarrollo de las capacidades escolares, así como para la formación de conceptos y del pensamiento abstracto. Por la relación tan estrecha que guardan estos modelos con los procesos de aprendizaje, sus propuestas han tenido gran éxito, y a partir de ellos se han desarrollado programas de instrucción para la atención de los problemas de aprendizaje.

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Actividad # 26

Percepción visual Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: lógica numérica

Instrucciones. Identifica cuántas figuras geométricas hay marcando su contorno con un color distinto. Escribe en el espacio de la derecha el nombre de cada una.

Instrucciones. ¿Cuántas botellas hay? Repasa su contorno con un color distinto. Escribe cuántas son.

Fig. # 36. Percepción visual: discernimiento de figuras. 179

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9.2 Modelo multisensorial ¿Quién es la principal representante de este modelo? Una de las personalidades más importantes en el desarrollo de los sistemas multisensoriales es Grace Fernald (VACT, 1943). Aun cuando existen otros procedimientos denominados multisensoriales, el de Fernald representa el enfoque más comprensivo e integral de todos. • •

Se maneja un balance entre los aspectos visual, auditivo, cinestésico y táctil. Da una particular importancia a los canales táctil y cinestésico, aparte del visual y auditivo, ya que estos involucran receptores que responden a la estimulación casi o en la superficie del cuerpo (exteroceptores) y aquellos que reaccionan a la estimulación dentro de las articulaciones, músculos, tendones, ligamentos y demás (propioceptores). Es por esta razón que también se nombra estrategia VACT.

¿Cuál es la estrategia del VACT? La estrategia VACT de Fernald, es utilizada involucrando cuatro sentidos: visual, auditivo, cinestésico y táctil. Los orientados que presentan problemas para aprender tienen dificultad para integrar la información sensorial que se manda al cerebro a través de los receptores, esto es: recibir la información, organizarla, procesarla y crear una respuesta. El método de Fernald pretende que el niño cuando se enfrenta a una situación de aprendizaje está sintiendo, viendo y escuchando de manera simultánea, por lo que se considera un enfoque multisensorial. Implica aprender empleando tres o más sentidos, el visual, auditivo, cinestésico y táctil. Este método pretende el aprendizaje triple, el cual indica que el niño debe usar los ojos para ver las palabras impresas, decir en voz alta o murmurando las palabras que se están leyendo, escuchar en voz alta lo que uno está diciendo y al final hay que escribir las ideas que se están aprendiendo.

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El primer paso del programa consiste en explicarle al niño que hay un nuevo sistema para enseñarle palabras que verdaderamente funcionan y que ha tenido éxito con otros niños con problemas como él. El segundo paso consiste en pedirle al niño que seleccione palabras (independientemente de la longitud) y luego enseñarle a escribirlas y reconocerlas (leerlas) usando el siguiente procedimiento: a) El especialista escribe la palabra que el niño escogió con letra de molde, empleando un crayón. b) El niño sigue el contorno de las letras con sus dedos haciendo contacto con el papel y diciendo la palabra oralmente mientras sigue. Se repite el procedimiento hasta que el niño realiza el movimiento sin ver el modelo. c) El niño escribe la palabra en un papel, demostrando que esta palabra ya le pertenece. d) Cuando el niño ha interiorizado el hecho de que puede escribir y reconocer las palabras se le anima a que escriba historias. El niño selecciona dos temas y el instructor le va dando las palabras que necesita para completar la historia. e) Después de que el niño ha escrito la historia, el terapeuta la escribe a máquina y se le da inmediatamente al niño para que la lea. f) Se le dan al niño nuevas palabras, las cuáles el escribe y archiva en orden alfabético en una caja que solo él empleará. Este archivo es una forma de afirmar el alfabeto sin necesidad de enfatizar la memoria mecánica.

9.3 Modelo conductista El enfoque conductista comienza con los trabajos de Watson, Thorndike y otros; así como las contribuciones de Skinner, Bandura y Walters. Durante los años cuarenta tuvo un primer impacto en la educación especial y en particular en el ámbito de los problemas de aprendizaje. Se basa en la premisa de que la influencia del ambiente en la conducta es muy importante y en la concepción de que la conducta inadecuada se aprende de la misma manera que se aprende la conducta adecuada. En este mismo sentido, un problema de aprendizaje se refiere a la existencia de conductas incompatibles con el aprendizaje normal.

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¿Cuáles son los supuestos conductistas? La mayoría de los conductistas comparten supuestos, como los siguientes: • •

• •

Los principios de aprendizaje influyen en la conducta (refuerzo positivo). Las intervenciones se centran directamente en la conducta afectada (comprensión lectora, problemas de conducta, conducta de resolución de problemas). Los objetivos de enseñanza son específicos y las metas son observables y medibles. Los datos del progreso del alumno determinan la efectividad de las intervenciones y suministran las pautas para tomar decisiones de instrucción.

Esta orientación está basada en explicaciones del aprendizaje en términos de estímulo-respuesta (condicionamientos clásico y operante) y de aprendizaje observacional. Las aplicaciones prácticas de los planteamientos de este modelo a los problemas de aprendizaje incorporan el manejo de contingencias, el modelamiento, el control de estímulos, los contratos conductuales, la economía de fichas, etc.

¿Cuáles son las repercusiones de la modificación de la conducta? La modificación de la conducta en su concepción más general, se considera una técnica que se basa en el suministro de consecuencias sistemáticas a conductas específicas, cuyo efecto consiste en el cambio de dichas conductas en alguna o algunas de las siguientes modalidades: a) Incremento o fortalecimiento de una conducta débil. b) Extensión o fortalecimiento de una conducta deseable en nuevos escenarios o contextos. c) Restricción o limitación de la aparición de una conducta en un determinado contexto. d) Establecimiento de una nueva conducta. e) Mantenimiento de una conducta ya existente o recientemente establecida. f) Reducción o eliminación de una conducta indeseable. El enfoque conductual dirigido a la solución de los problemas de aprendizaje parte de la suposición básica de que la mayor parte del comportamiento es adquirido, es decir, aprendido. 182

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¿Cómo se dan los problemas de aprendizaje? En consecuencia, se conciben a los problemas de aprendizaje como producto de la falta de oportunidades de este, la estimulación inadecuada y al aprendizaje de comportamientos inadecuados o incompatibles con el desempeño óptimo. Para este enfoque interesan directamente las conductas escolares como la lectura, aritmética y el comportamiento perturbador en el aula. Las técnicas conductuales han demostrado su efectividad en la aplicación, contando con la participación de los padres, el colegio y personal que está involucrado en el tratamiento de los problemas de aprendizaje.

9.4 Modelo cognoscitivo Este modelo se basa en la teoría cognoscitiva que estudia como los individuos van más allá de la información suministrada. La cognición permite a las personas identificar, interpretar, organizar y aplicar la información. La integración y relación de la información con la ya existente implica procesamientos creativos y constructivos por parte del individuo. La cognición ayuda a identificar y a movilizar las estrategias mentales necesarias para coordinar conductas cognoscitivas.

¿Cuáles son algunos de los principios más importantes de esta teoría? Algunos de los principios más importantes del enfoque cognoscitivo son: 1. El alumno relaciona la información nueva con los conocimientos existentes para construir el significado y modificar el conocimiento. 2. El alumno está implicado en el aprendizaje de forma activa y es responsable del mismo. 3. La organización y la integración de la nueva información son procesos muy importantes para el aprendizaje y la memoria. 4. El aprendizaje es holístico, por consiguiente, la enseñanza se debe centrar en el todo. 5. La función del maestro consiste en suministrar experiencias relevantes, a partir de las cuales el alumno pueda construir significados.

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Actividad # 27

Secuencia numérica Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: lógica numérica

Instrucciones. Llena los espacios con los números correspondientes con base en la secuencia lógica.

Fig. # 37. Caminos numéricos. ¿Quiénes son algunos de los representantes del enfoque cognoscitivo? Dentro de los psicólogos que han contribuido a desarrollar el enfoque cognoscitivo se encuentran Anderson, Ausubel, Bandera, Brunner, Cronbach, Dewey y Gagné. Todos ellos creen que lo que sucede internamente en el alumno es importante y que el aprendizaje es un proceso de construcción y el individuo debe ser activo durante el aprendizaje. ¿Cuáles son algunos de los métodos de intervención? Entre los métodos de intervención aplicables a los trastornos cognoscitivos y de aprendizaje se encuentran diversas perspectivas implicadas en la enseñanza, como son: Enfoque de la teoría de desarrollo o epistemología genética: Se enfoca en el desarrollo del conocimiento nuevo en los niños y cambios cualitativos que ocurren cuando se enfrentan a nuevas tareas. Esta perspectiva sugiere que el paso por los distintos estadios de desarrollo de los niños con problemas de aprendizaje, se producen en el orden que los niños normales, aunque con cierto retraso. Esta teoría permite un marco de estudio sobre como aprenden los niños con problemas de aprendizaje, mientras se organizan e interactúan con el medio. Las observaciones de cómo se organizan y responden pueden servir como base para comprender sus estrategias de aprendizaje. 184

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•

Procesos cognoscitivos básicos o modelo de capacidades específicas: Este modelo reconoce la importancia de los procesos cognoscitivos básicos que funcionan de forma interrelacionada para conseguir un aprendizaje. Los procesos que han sido estudiados en niños con problemas de aprendizaje y que se consideran como etiología de estos son, entre otros, atención, memoria y estilo cognoscitivo. Las intervenciones más utilizadas para la conducta, durante la tarea y derivadas de esta perspectiva son: reducción de estímulos, medicamentos cognoscitivos. Procesamiento de la información: Se centra en cómo y en qué información se adquiere, es decir, se interesa por cómo se selecciona, resume, mantiene y se utiliza la información del medio. Cómo se elabora la información acumulada de forma normal en comparación con la adquisición de tipos de información o de habilidades completamente diferentes. En general, la teoría del procesamiento de la información se relaciona con los siguientes principios:

1. Los individuos son activos. 2. Relación recíproca integradora: atención, memoria y funciones perceptivas. 3. Procesos mentales superiores: controlan memoria, atención y percepción. ¿En dónde se presentan dificultades en la aplicación efectiva de las unciones superiores? Bajo esta perspectiva los niños con problemas de aprendizaje presentan dificultades en la aplicación de las funciones superiores de forma efectiva. •

•

Habilidades específicas: Basado en la premisa de que la causa del problema de aprendizaje se debe a un deterioro en procesos fundamentales para el aprendizaje como la percepción motora, percepción visual y percepción auditiva, y que estos procesos son el fundamento del funcionamiento académico. Este modelo es uno de los más conocidos dentro del campo de los problemas de aprendizaje. En este modelo es fundamental identificar el fortalecimiento o la debilidad de los procesos o las funciones cognoscitivas (memoria visual, relaciones espaciales) y entrenarlas. Metacognición: Dentro de la metacognición se distingue entre el conocimiento (cognoscitivo) y la comprensión de este (metacognición). La primera implica la capacidad de dar sentido a las experiencias y la demostración del conocimiento de las estrategias utilizadas para el aprendizaje. Mientras que la metacognición se refiere al conocimiento individual sobre sus cogniciones y la habilidad del individuo para controlarlas y estimulantes, técnicas conductistas y modificación de la teoría mantenerlas. 185

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•

Autores destacados en metacognición de niños: Flavell y Brown. En esencia este modelo se refiere a la conciencia del alumno de cuáles son las estrategias disponibles que pueden ayudarle a aprender. Modificación de la conducta cognoscitiva: su principio básico es que las cogniciones influyen en la conducta y la conducta puede cambiar si se modifican las cogniciones.

A su vez este modelo (cognitivo conductual) consiste en el entrenamiento de autoinstrucciones, que requiere modelar el niño en el uso de una serie de pasos indicados para enseñar a utilizar autoinstrucción verbal en la propia solución de tareas. Este modelo concibe los problemas de aprendizaje como la dificultad para idear y utilizar estrategias cognitivas deliberadas con las cuales enfrentar las exigencias de situaciones académicas y sociales de solución de problemas. ¿Cuáles son las fases de la modificación cognoscitiva? La modificación cognoscitiva que consiste en la auto instrucción generalmente implica cinco fases: 1. Modelamiento de la tarea por parte del maestro o modelación cognoscitiva que consiste en el modelamiento de un adulto que ejecuta una tarea mientras habla consigo en voz alta. 2. Realización de la tarea por parte del sujeto o autodirección manifiesta en donde el niño ejecuta la misma tarea bajo la dirección de un modelo de instrucción. 3. Autodirección manifiesta o desaparición gradual de la auto instrucción manifiesta en donde el niño susurra las instrucciones mientras realiza la tarea. 4. Autodirección manifiesta desvanecida o autodirección secreta en donde el niño ejecuta la tarea y se guía por medio del diálogo interior. 5. Autodirección.

¿En qué consiste el modelamiento de la tarea? El modelamiento de la tarea consiste en: a) b) c) d) e) f)

Definición y comprensión de la tarea (¿Qué tengo que hacer?) Maneras posibles de hacer la tarea (¿Cómo lo voy a hacer?) Selección de una estrategia y su aplicación Auto vigilancia (¿Cómo lo estoy haciendo?) Autoevaluación y recompensa (¿Cómo me quedo?) Selección de estrategias del tema 186

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Así como existen diversas orientaciones teóricas para abordar los problemas de aprendizaje y las diferentes opciones de aplicación, también hay para la evaluación de estos. Después de revisar la parte teórica correspondiente al área de los problemas de aprendizaje, creo importante mencionar, que el presente trabajo se desarrollará en base al modelo cognoscitivo, ya que dicho modelo permite que los individuos aprendan y corrijan sus dificultades de una manera significativa, por medio de estrategias relacionadas con su vida cotidiana y acordes a su nivel, las cuales les permitirán integrar de manera natural los nuevos conocimientos. Me parece un modelo con condiciones óptimas para realizar el trabajo de manera atractiva y fácil, pues se maneja de una manera libre y con interés para los individuos, además de estar estrechamente relacionado a su realidad práctica y social. A continuación, se abordará el tema del fracaso escolar, empezando por definirlo y revisando diferentes enfoques y algunos factores determinantes para este.

Actividad # 28

Discernimiento de figuras Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: percepción visual

Instrucciones. En cada reto deberá identificar el número de figuras que hay y anotarlas en el recuadro correspondiente.

Fig. # 38. Discernir figuras geométricas. 187

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10. Las dificultades de aprendizaje en matemáticas bajo el paradigma neuropsicológico Introducción Cuando se habla de trastornos en el aprendizaje de las matemáticas se hace referencia a dificultades significativas en el desarrollo de las habilidades relacionadas con esta asignatura. Estas dificultades en el aprendizaje de las matemáticas inciden en diversas actividades tales como: • • •

La comprensión y el empleo de nomenclatura matemática, comprensión o denominación de operaciones matemáticas y la solución de problemas. Reconocimiento o la lectura de símbolos numéricos o signos aritméticos. Seguimiento de la secuencia de pasos de solución.

Cuando se comenta sobre estos trastornos de aprendizaje es necesario reflexionar en torno a los conceptos fundamentales Discalculia y Acalculia. La Discalculia es catalogada por algunos autores como Discalculia Escolar y otros se refieren a la Discalculia de Desarrollo (Seller y Sutton 1991), pero si se analizan ambos conceptos se pueden encontrar puntos comunes. Los problemas con las matemáticas son frecuentes a cualquier edad. Durante los años de preescolar y enseñanza elemental, muchos niños son incapaces de clasificar objetos por su tamaño, emparejarlos, comprender el lenguaje aritmético o asimilar el concepto de cálculo racional. Durante los primeros años de enseñanza básica, los alumnos suelen tener problemas para contar; en los cursos superiores, los problemas aparecen con las fracciones, decimales, porcentajes y medidas. Los problemas del aprendizaje de las matemáticas han recibido tradicionalmente menos atención que los de las otras asignaturas. Las matemáticas tienen una estructura lógica; los alumnos construyen relaciones simples al principio y luego pasan a ejercicios más complejos. Al progresar siguiendo este orden de complejidad, el aprendizaje de las técnicas y conceptos matemáticos se hace paso a paso.

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10.1 ¿Qué es la discalculia? La discalculia escolar, es un cuadro psico-médico-pedagógico, constituido específicamente por trastornos, signos o falla del cálculo. Fundamenta su existencia en fenómenos reales, la más de las veces demostrable, y con la participación de la actividad cerebral, que en procesos bien definidos realiza funciones de gran importancia.

• • •

En general: Problemas de razonamiento lógico-formal: reversibilidad, seriación, ordenación, inclusión, descomposición. etc. Dificultades para la simbolización. Dificultades espaciales (se manifiestan en confusiones del sentido direccional de las operaciones).

Discalculia Escolar Comprende las dificultades específicas en el proceso de aprendizaje del cálculo, que se observa en los alumnos de inteligencia normal que pueden concurrir sistemáticamente a las escuelas primarias, pero que realizan de forma deficiente una o más operaciones matemáticas.

De este concepto debemos destacar algunos elementos esenciales: • • •

Dificultades específicas de la signatura de Matemáticas. El proceso de aprendizaje es la condición básica para su existencia. Niños con un coeficiente de inteligencia normal.

Discalculia de Desarrollo Trastorno estructural de la maduración de las habilidades matemáticas, referido sobre todo a niños y se manifiesta por la comisión de errores variados en la comprensión de los números, habilidades de conteo, habilidades computacionales y solución de problemas.

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Acalculia Keller y Sutton que la catalogan como trastorno relacionado con la aritmética, adquirido tras una lesión cerebral sabiendo que las habilidades ya se habían consolidado y desarrollado. Se diferencian dos tipos: 1. Acalculia primaria o verdadera acalculia o anaritmetia. 2. Acalculia secundaria. Esta comprende a su vez dos formas: A) Acalculia afásica o acalculia con alexia y/o agrafia para los números. B) Acalculia secundaria o alteraciones visoespaciales. En suma, la Acalculia se refiere a la imposibilidad para realizar el cálculo sobre la base de una lesión cerebral.

10.2 Bases biopsicológicas de la discalculia ¿Cuáles son las bases biopsicológicas de la discalculia? Las bases biopsicológicas de la discalculia son: • • •

Orgánicos: Disfunción neurológica en el lóbulo occipital. Ambientales: Falta de estimulación, dispedagogías, etc. De interacción: sujeto-ambiente

¿Cómo se dan las acalculias secundarias? Dada la complejidad de los mecanismos neurocognitivos implicados en las funciones aritméticas, es lógico que lesiones encefálicas extensas, produciendo demencia, afasia o alteraciones en el nivel de alerta y atención afecten la capacidad de cálculo, en las llamadas acalculias secundarias.

¿Cómo se dan las acalculias primarias? En el caso de las acalculias primarias, la lesión cerebral puede ser mucho más discreta: así, Hecaen describe casos de alexia y agrafia numéricas fundamentalmente en lesiones témporoparietales izquierdas; de acalculia visoespacial en lesiones parietales derechas, y de anarritmetría por lesiones parietotemporales derechas o izquierdas, con predominio de estas últimas; 190

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para algunos autores, el papel del girus angularis izquierdo sería fundamental para las labores de cálculo más elaboradas, llegándose incluso a sugerir que la memoria de trabajo para las operaciones aritméticas "se encontraría localizada en el lóbulo parietal izquierdo".

¿Cuáles son los componentes de la acalculia visoespacial? Se describen, posteriormente, los componentes de la acalculia visoespacial en lesiones parietotemporales izquierdas, así como anarritmetría en lesiones frontales y subcorticales (núcleo caudado, pujamen y cápsula interna) ocasionando anaritmetia, con alteración en recuerdo de hechos matemáticos y capacidades aritméticas ejecutivas fundamentalmente, con usual conservación de la lectura y escritura de números, de su adecuada colocación y de los conceptos de las operaciones matemáticas en sí (que curiosamente no se suele afectar en estas lesiones localizadas, aunque sí en lesiones más extensas, como en las demencias), independientemente de que la lesión sea parietal, frontal o subcortical izquierda. En general, parece que existiría un gran "network" relacionado con las capacidades aritméticas, en el que estarían implicadas tanto estructuras corticales como subcorticales a nivel frontal, parietal, temporal y ganglios de la base, en especial en el hemisferio dominante (aunque con influencia bihemisférica, como demuestran estudios de flujo cerebral en voluntarios normales, realizando operaciones aritméticas mentalmente), de forma que la lesión más o menos selectiva de alguno de sus componentes produciría una alteración en capacidades aritméticas de forma relativamente aislada, sin que por el momento, se haya descrito un patrón selectivo de afectación correspondiente a la lesión de alguna de estas estructuras de forma concreta.

10.3 Causas de la Discalculia Escolar ¿Cuáles son las causas de la discalculia escolar? Se identifican tres principales: 1. Predisponentes. Inmadurez neurológica 2. Coadyuvantes: • Lingüísticas • Psiquiátricas o psicógenas • Genéticas 3. Determinantes: Pedagógicas 191

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¿Qué es la inmadurez neurológica Cuando se hace referencia a la inmadurez neurológica hay que precisar qué es la maduración, cómo se concibe.

¿Cómo se define la maduración? La maduración se concibe como la suma de características de evolución neurológica que presenta la mayoría de los individuos en las diferentes edades de la vida y que permite la aparición y uso de las capacidades potenciales innatas expresadas en el área de su comportamiento.

¿Qué implica la evolución neurológica? La evolución neurológica implica una maduración progresiva, inconcebible sin modificaciones del sistema nervioso, modificaciones que en la especie humana van caracterizando las diferentes edades con funciones nerviosas en una u otra parte del potencial génico.

¿Por qué se ratifica el predominio del proceso madurativo? Se ratifica el predominio del proceso madurativo porque: • • • • •

El proceso de maduración se inicia antes del aprendizaje a través de los padres y en el momento de la fecundación. El proceso de maduración acompaña al individuo toda la vida en mayor o menor grado. Este proceso por ser una función del Sistema Nervioso Central, como todo lo vital, constituye la base obligada en que se deberá asentar el aprendizaje. Sin este proceso no hay posibilidad de aprendizaje. La calidad y el nivel de maduración establecen las limitaciones de la fuerza del aprendizaje y lo condicionan.

¿Cuáles funciones neurológicas se pueden afectar? Entre las funciones neurológicas que pueden estar afectadas se encuentran: • Sensopercepción • Lateralidad • Atención • Orientación Espacial • Memoria • Ritmo de Seriación • Psicomotricidad • Esquema corporal 192

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¿Qué es percibir las representaciones? Percibir las representaciones para el alumno es un hecho psíquico de carácter individual. No todos perciben de la misma manera. Estas circunstancias permiten comprender que por más que en una clase se utilicen métodos y procedimientos uniformes, mostrando una realidad externa y en las mejores condiciones didácticas, cada uno de los educandos reacciona a la enseñanza en correspondencia con sus estados psíquicos internos. Algunos por razones de orden biológico o psicológico modificaran la interpretación del mundo externo.

¿Qué es el esquema corporal? Esquema corporal no es más que la noción o el conocimiento del propio cuerpo. Otros autores lo denominan autognosis. Esta información no llega a complementarse ni en la edad adulta, cuando todavía hay zonas del cuerpo que se desconocen, ejemplo: la espalda. Por más que un individuo la observe a través de la imagen reflejada en un espejo nunca llega a conocerla completamente. Es evidente la relación de las fallas en el aprendizaje del cálculo con el esquema corporal, ejemplo: la desorientación en cuanto a derecha o izquierda. El alumno con Discalculia Escolar no tiene idea clara de esto.

¿Qué es la lateralidad? Lateralidad: Es la respuesta de la dominancia cerebral de un hemisferio sobre todo el izquierdo en los diestros y el derecho en los zurdos.

¿Cuáles son los diversos grados de inmadurez? Aquí nos vamos a referir a dos grados de inmadurez: •

•

Inmadurez leve: Respecto al cuadro de Discalculia Escolar es más benigno. En pocos meses reacciona al tratamiento médico y con frecuentes motivos de éxito en las clases. Inmadurez mediana: Se halla en la gran mayoría de los alumnos con Discalculia Escolar, configurando el cuadro general de todos aquellos que tienen dificultades en las matemáticas.

¿Cuáles son las causas coadyuvantes? Se señalan tres causas coadyuvantes y una determinante. 193

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A) Lingüísticas: La comprensión matemática solo es posible mediante la interacción con el lenguaje. Esto se entiende así al sólo repasar la significación de los estereotipos verbales donde el significado de las palabras contribuye a elaborar el pensamiento lógico matemático o en la participación del lenguaje en el proceso de interiorización. Cuando se analizan escolares con Discalculia Escolar suele hallarse la parición tardía del lenguaje, los alumnos han comenzado a hablar a los 3 o 4 años, tienen escaso vocabulario, construyen las frases tardíamente o con poca claridad, la comprensión es algo difícil y a elaboración del pensamiento se hace con deficiencia por el deterioro general de los niveles lingüísticos.

B) Psiquiátricos o Psicógenas: Algunos autores de habla inglesa pretenden asignar a esta causa un papel decisivo dando importancia exagerada a los estados emocionales de la infancia. Afirman que han observado con bastante frecuencia alumnos hiperactivos que tienen dificultades en el aprendizaje del cálculo. Sin embargo, conviene dejar sentado que en un alumno emotivo hay terreno propicio para la aparición de cualquier trastorno en el proceso de aprendizaje, pues la emoción es un estado psíquico capaz de disminuir los controles de la inteligencia y la fuerza de voluntad y que librada a su propia acción puede provocar inhibición haciendo fracasar aspectos tan importantes de los planes del maestro. C) Genética: En el registro de numerosos datos efectuados en los diferentes alumnos con Discalculia Escolar, al estudiar la constelación familiar se han hallado padres, hermanos, tíos, etc., que manifiestan una infancia en donde no eran buenos en matemáticas, les costaba trabajo estudiarla y sacaban calificaciones. insuficientes Lo cierto es que a pesar de la inquietud de los genetistas no se ha podido llegar a determinar el gen o los genes responsables de trasmitir por herencia estos trastornos del cálculo. Sin embargo, los datos registrados en la anamnesis autorizan a no eliminar totalmente la etiología genética y, por eso, la hemos considerado un refuerzo coadyuvante de lo que damos como causa determinante. D) Pedagógica: Ninguna de las causas señaladas anteriormente pueden provocar la Discalculia Escolar por sí solas y en forma individual. Combinadas obran de una u otra manera sobre la instauración de los trastornos que solo y exclusivamente se harán presentes sí actúa la causa determinante. Vale decir, la causa que la vincula directamente con los fenómenos que se suceden en el proceso de aprendizaje. Sin este proceso no puede concebirse la Discalculia Escolar. 194

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La prediscalculia o trastorno anterior a la iniciación del aprendizaje del cálculo, son fallas de las funciones de maduración neurológicas del período preoperatorio que no siempre van a desembocar al mismo cuadro, pues en ocasiones, configuran el alumno inmaduro con todas sus características psicofísicas y las fallas generales del proceso asimilativo. Es frecuente encontrar a alumnos con discalculia escolar asociada a la dislexia escolar. También existen algunos que por motivos vinculados a la enseñanza no pueden adquirir la concepción de número, no conocen la serie numérica, fallan en las escalas o se equivocan en las operaciones. Se trata de alumnos con cociente de inteligencia normal que leen y escriben bien, pero tienen discalculia escolar. En todas estas circunstancias lo que originó el cuadro es un solo factor, una única causa determinante: la causa pedagógica que está estrechamente vinculada con el proceso de aprendizaje. La escuela o más directamente el maestro, es el que determina la aparición de este trastorno, pues mediante la aplicación de una serie de ejercicios de adiestramiento se debe garantizar la ausencia de este.

10.4 Tipos de discalculia escolar A. Discalculia natural: Es aquella que presentan los alumnos al comenzar el aprendizaje del cálculo y está vinculada con sus primeras dificultades específicas: Trastornos en la concepción del número. • • • • •

Fallas en la seriación numérica. Escalas Operaciones Cálculo Mental Problemas.

Son errores que natural y paulatinamente se van corrigiendo hasta lograr, en la primera mitad del ciclo lectivo, superar con eficiencia y normalizar el aprendizaje.

195

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

La discalculia natural, como su nombre lo indica, es una consecuencia natural y lógica de la dinámica del aprendizaje que no debe considerarse patológica y, por consiguiente, obligar al maestro a seguir el plan de enseñanza común, con la convicción que mediante los ejercicios de repaso y fijación deberá normalizarse el proceso. B. Discalculia verdadera: Cuando en la segunda mitad del ciclo escolar no se observa la evolución favorable que caracteriza a la discalculia natural y, por el contrario, persiste y se afianzan los errores, nos hallaremos en presencia de la discalculia escolar verdadera, que obliga precozmente al alumno a los planes de reducación, cuadro que sólo se presenta en niños de inteligencia normal y se acompaña de uno o varios de los signos o trastornos y sin que esto incida en un comienzo, en el aprendizaje normal de las demás asignaturas. C. Discalculia secundaria: Es la que se presenta como síntesis de otro cuadro más complejo caracterizado por un déficit más global del aprendizaje. Los trastornos de Discalculia se agregan a las dificultades observadas con mayor intensidad en: a) Discalculia escolar secundaria al oligofrénico. b) Discalculia escolar de los alumnos con dislexia escolar. La discalculia escolar no tratada precozmente se complica con una serie de trastornos que se agravan y son capaces de transformar la dificultad de leer y escribir en una verdadera deficiencia para aprender, y el alumno por su rendimiento puede ser confundido con un falso retrasado mental, pues rechaza la lectura, tiene fallas en el lenguaje, la escritura, la conducta y el dibujo. La aptitud matemática que lo distinguía sufre deterioro, a tal punto que la maestra no lo considera suficiente, pues al leer o al escribir confunde las cifras, las invierte o no les adjudica el lugar que le corresponde en la seriación numérica, en columna mal las cantidades en las operaciones, los cálculos mentales no puede hacerlos o los hace con una lentitud alarmante. Finalmente, como por su dislexia no comprende el significado del enunciado de los problemas, los resuelve mal. Toda esta sintomatología vinculada con el cálculo transforma al disléxico en un alumno con discalculia escolar verdadera. c) Discalculia escolar secundaria de los alumnos afásicos. 196

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También podemos encontrar entre los tipos de Discalculia Escolar la clásica diferenciación de Kosc, citada por Keller y Sutton (1991) que hace referencia a seis tipos: 1. Discalculia verbal: Se manifiesta en dificultades para nombrar las cantidades matemáticas, los números, los términos, los símbolos y las relaciones. 2. Discalculia practognóstica: Se manifiesta en dificultades para enumerar, comparar y manipular objetos matemáticamente. 3. Discalculia lexical: Dificultades en la lectura de símbolos matemáticos. 4. Discalculia Gráfica: Se presentan dificultades en relación con la escritura de símbolos matemáticos. 5. Discalculia ideognóstica: Se presentan dificultades en la realización de operaciones mentales y la comprensión de conceptos matemáticos. 6. Discalculia operacional: Se presentan dificultades en la ejecución de operaciones y cálculos matemáticos. ¿Cuáles son las fallas o síntomas de la discalculia escolar? En relación con las fallas o síntomas de la Discalculia Escolar encontramos seis grandes grupos los que a su vez contienen diferentes manifestaciones.

1. Los números y los signos •

• • •

• •

Fallas en la identificación de los números. o No conoce los números o Se equivoca en el dictado Confusión de cifras de formas semejantes. o Confunden grafismos semejantes. Ejemplo 3 8 Confunde números de sonidos semejantes. Ejemplo 2 12 Confunde números simétricos. Tiene íntima relación con la lateralidad, cierto espacio de la cifra que debiera ocupar el espacio derecho, lo dibuja en el izquierdo. Inversiones. Ejemplo 6 9, las cifras las hace girar 180 grados Confusión de signos de forma semejante. Ejemplo (.), (:)

Fig. # 39. Los signos. 197

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2. Seriación numérica Para llegar al concepto de seriación numérica se debe conocer que:

¿Qué es seriación? Seriación: Es la operación que permite establecer relaciones comparativas respecto a un sistema de referencia con los elementos de un conjunto y ordenarlos según su diferencia en forma creciente o decreciente. Es una actividad cognoscitiva general que implica la coordinación de relaciones. Para investigar el proceso evolutivo de la seriación en los niños, Piaget ideó un material constituido por varillas de diferente tamaño. Se le pide al niño que ordene 10 de estas varillas cuyos tamaños difieren, por ejemplo: en 2 cm, desde la más pequeña hasta las más grande y viceversa. Una vez ordenados se agrupan 9 varillas de tamaños intermedios de forma tal que puedan ser intercaladas exactamente entre cada una de la serie constituida y se pide al niño que sin destruir esta serie ya formada coloque las 9 varillas en el lugar que corresponde.

Fig. # 40. Diez varillas. La respuesta de sus observaciones permite que la seriación implique una coordinación mental de relaciones transitivas reversibles, es decir, deben ser capaces de determinar: Si D es más corto que A C es más corto que B B es más corto que A D será entonces más corto que todos los demás. 198

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Actividad # 29

Varillas Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: longitud

Instrucciones. Organiza las varillas de distintas maneras siguiendo un criterio, por ejemplo, intercalar la mayor con la menor y seguirlo.

Fig. # 41. Juego de varillas.

¿Qué es la seriación numérica? Seriación numérica: Conjunto de números que están subordinados entre sí y se suceden unos a otros. La serie numérica sólo podrá entenderse si se tiene en cuenta la sucesión. Para que los niños puedan manejar adecuadamente una serie numérica es necesario que establezcan diferencias y tengan dominio de los signos < (menor que) y > (mayor que). 199

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

• • • •

•

Traslaciones o transposiciones. El alumno cambia el lugar de los números, ejemplo 13 y escribe 31 Repetición de cifras. Se le ordena al alumno que escriba la serie numérica del 1 al 10 y el alumno reiteradamente escribe dos o más veces el mismo número. Omisión de cifras. El alumno omite uno o más números de la serie, ejemplo 1, 2, 3, 4, 6, 9, 10. Perseveración. Trastorno menos frecuente. Se le indica al alumno que cuente del 1 al 8 y que en el 8 se detenga. Al cumplir la orden no reconoce la limitación de la serie y sigue contando. No abreviación. Se le pide al niño que escriba la serie numérica empezando por una cifra determinada, ejemplo 5 y empieza escribiendo 1.

3. Escalas ascendentes o descendentes Para determinar estos síntomas es conveniente asegurarse que los niños conozcan con claridad las operaciones de la suma (agregar) y de la resta (quitar), mediante operaciones concretas y con objetos familiares, para pasar en otro momento a las operaciones numéricas de las escalas ascendentes y descendentes. Se dan, ¡igual que en la seriación o numeración; repeticiones, omisiones, perseveración, no abreviaciones y también la rotura de la escala, que no es más que intercalar un número que no corresponde. Ejemplo 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

4. Operaciones • Mal encolumnamiento. No coloca las unidades bajo las unidades. Ejemplo: 3 4 +8 114 • Inician la adición y sustracción por la izquierda. Ejemplo: 34 +8 312 • Suman o restan la unidad con la decena. Ejemplo: 132 +253 573

200

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

•

Realizan media operación con la mano izquierda y la otra mitad con la derecha. Esto se puede observar en el momento de la ejecución de la actividad. Ejemplo: 1241 +3135 4376 • En la multiplicación: mal encolumnamiento de los productos iniciando las operaciones por el primer número de la izquierda. Ejemplo: 342.2 486 • En la división: a) No saben con precisión cuántas veces el divisor está contenido en el dividendo. b) Mal encolumnamiento.

5. Cálculos mentales Diferentes dificultades en el uso de los números dígitos y polidígitos y en la solución de operaciones. Esto corresponde a la acción de pensar, imaginar, abstraer, discernir facultades que contribuirán a afianzar el razonamiento. Para realizar el cálculo se necesita el conocimiento cabal de las operaciones y el afianzamiento y desarrollo de las funciones psíquicas tales como: atención, memoria e imaginación, las cuales favorecerán el automatismo en el cálculo.

Actividad # 30

Cálculo mental Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: agilidad mental

Instrucciones. Resolver las operaciones que se presentan respetando los signos aritméticos.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. 42. Cálculo mental.

6. Problemas • • • • •

Incomprensión del enunciado. Lenguaje inadecuado Incomprensión de la relación entre el enunciado y la pregunta del problema. Fallas del mecanismo operacional. Fallas en el razonamiento.

Los efectos de las dificultades de aprendizaje de las matemáticas en general son diversos y van más allá del área académica, es necesario tener en cuenta el área de dificultad afectada evidenciándose distintas manifestaciones por lo que en consonancia con esto se hace necesario: • • •

Determinar el área de dificultad o proceso de maduración afectado. Conocer las manifestaciones o consecuencias, fallas o síntomas. Analizar que ejercicios se pueden realizar. Para ejemplificar lo planteado veamos el siguiente cuadro.

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Efectos de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas Área de dificultad Manifestaciones Percepción Auditiva Confunde los números con sonidos semejantes, ejemplo 60 y 70 Orientación Escritura de cifras simétricas, ejemplo E –F, comienza a escribir Espacial de derecha a izquierda. Memoria Dificultades para memorizar los productos básicos Lenguaje Dificultades para la lectura y comprensión de problemas Atención Dificultades para seguir un orden operacional Cuadro # 20. Efectos de las dificultades en DAM.

10.4 Tipos de errores Aunque los errores específicos de cada alumno deben estudiarse de forma individualizada, es útil examinar algunas categorías de errores que se han obtenido de diferentes estudios: • • •

•

Operación equivocada: el alumno resta cuando debería sumar. Error de cálculo obvio: el alumno aplica la operación correcta, pero se equivoca al evocar un principio matemático básico. Algoritmo defectivo: un algoritmo incluye los pasos específicos usados para resolver un problema matemático. Dicho de otra forma, corresponde al patrón de resolución del problema usado para llegar a una respuesta. Un algoritmo es defectivo sino facilita la respuesta correcta. Por ejemplo, si un niño suma 224 +16, sumando cada número sin tener en cuenta el valor del lugar (por ej.: 2+4+1+6= 13), utiliza un algoritmo defectivo porque la respuesta correcta es 40. En los casos que un algoritmo defectivo es el único error, el alumno aplica la operación correcta y evoca los principios básicos. Respuesta al azar: en una respuesta al azar no hay ninguna relación aparente entre el proceso de resolución del problema y el problema en sí. Por ejemplo, la respuesta al azar puede consistir en conjeturas sin tan siquiera una estimación. La determinación de un error específico es de suma importancia puesto que la intervención correctiva depende del tipo de error. El tipo de error, por ejemplo, influirá en que el alumno reciba instrucción sobre el valor del sitio o instrucción algorítmica específico. Según Howell y Kaplan facilitan las siguientes pautas para efectuar un análisis de errores:

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o Recoge una muestra adecuada del comportamiento del alumno, para él lo formula diferentes problemas de cada tipo en lo que se esté interesado o Anime al alumno para que trabaje, pero no intente influenciar en ningún caso sus respuestas. o Tome nota de todas las respuestas del alumno incluso de los comentarios. o Busque en las respuestas los posibles modelos utilizados por el alumno. o Busque las excepciones a cualquier modelo aparente. o Haga una lista de los modelos que ha identificado como causas asumidas de las dificultades del cálculo del alumno.

Actividad # 31

Cálculo mental con operaciones básicas Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: operaciones básicas

Instrucciones. Resolver las operaciones que se presentan respetando los signos aritméticos.

Fig. # 43. Cálculo mental con operaciones básicas.

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10.4.1 Clasificación de los errores según los procesos 10.4.1.1 Los números y los signos Antes de clasificar los errores, debemos tener en cuenta que el niño tenga la noción de significados de los números, que comprenda que la conservación de las cantidades supone la conservación de números y finalmente, que la serie numérica se explica por medio de dos ideas: la de sucesión y el ordenamiento de conjunto. En posición del número, el niño ve facilitado el concepto de magnitud o de cantidad numérica, lo cual es importante para determinar los errores que se cometen al comparar cantidades. •

• • • •

Fallas en la identificación: el niño no conoce los números, no los identifica. Al enseñarle un número cualquiera de la serie, titubea y se equivoca al nombrarlos o a señalarlos, al dictar un número cualquiera, escribe otro, y al indicarle que copie uno o dos números de la serie, duda y se equivoca, copiando otros. Confusión de números de formas semejantes: el nuño confunde grafismos parecidos: confunde el tres con el ocho, el siete con el cuatro. Confusión de signos: al realizar un dictado o al efectuar una copia, confunde el signo de suma con el de multiplicar; el de dividir con el de restar, y viceversa. Confusión de números de sonidos semejantes: se confunden en el dictado el dos con el doce, el siete con el seis. Inversiones: se caracteriza por la forma en que los alumnos escriben determinados números: los hace girar ciento ochenta grados. El caso más frecuente es la confusión del seis con el nueve.

10.4.1.2 Confusiones de números simétricos Se relaciona con la lateralidad. Ciertos rasgos de determinados números que deberían ocupar el espacio derecho, y el alumno lo dibuja del lado izquierdo. • •

La numeración o seriación numérica: consideramos la serie como un conjunto de números que están subordinados entre si y se suceden unos a otros. La repetición: se le ordena al alumno que escriba la serie del 1 al 10 y reiteradamente escribe dos o más veces el mismo número.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

• • •

•

La omisión: lo más frecuente, es que el alumno omite uno o más números de la serie. La perseveración: aparece como el tratarnos menos frecuente: tan solo en la proporción del 1, 75 al 0,75 por ciento. No abreviar: se hace presente cuando al alumno se le ordena que escriba o repita la serie numérica, pero empezando por un determinado número; el cinco por ejemplo. Traslaciones o trasposiciones: se caracteriza por el hecho de que el alumno que lo presenta cambia de lugar los números. Se le dicta el numero13, y escribe el 31.

10.4.1.3 Escalas ascendentes y descendentes Los alumnos poseen con claridad las nociones operacionales de la suma y de la resta: agregar y quitar, mediante operaciones concretas y con objetos familiares, para pasar en otro momento a las operaciones numéricas de las escalas ascendentes y descendentes, primero con números pares, y luego con impares, clarificarlas con las nociones de magnitud, sucesión y orden:

¿Qué sucede con las operaciones? Las operaciones: las operaciones antes de ser nombrarlas deben ser comprendidas. Entender su empleo y su resultado antes que su mecanismo. Es decir, no basta que el alumno sepa realizar todas las operaciones. Si conoce solo el mecanismo, le falta para completar el aprendizaje lo fundamental: entenderlas en todas sus dimensiones, y llegar a saber para qué sirven. • •

•

Mal encolumnamiento: el alumno no sabe alinear las cifras, y las escribe sin guardar la obligada relación con las demás. Al enunciado del problema: el alumno tiene dificultad para leer el enunciado, porque se trata de un disléxico. Otras veces, no lo entiende porque tiene una inmadurez neurológica, o es un deficiente mental. El lenguaje: este no es claro, y no plantea concretamente, según el grado que cursa el alumno, las distintas partes del enunciado. El niño no entiende la relación del enunciado con la pregunta problema: no llega al grado de interiorización, que le permite una eficiente representación mental.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

•

El razonamiento: la representación mental deficiente determina falsas relaciones, por lo que se confunden las ideas o puntos de referencia principal con los secundarios. El esquema grafico del problema y su división en partes, favorecen el razonamiento. Mecanismo operacional: se han hallado fracasos en este punto. Fallas que podrían desaparecer con la reducación y la ejecución del plan de ejercicios correspondientes, evitando siempre la automatización mediante ejercicios de evocación, relación, reflexión y creación

10.5 Causas de la discalculia Existen causas tan particulares que actúan desde el periodo prenatal, preparando con anticipación el terreno, para que en el caso de que se den las condiciones mínimas, contribuya a provocar la eclosión de la discalculia escolar. Esta persistencia y continuidad a través de toda la vida infantil da una significación importante, por lo que hemos denominado causa predisponente. Es una sola y única: la inmadurez neurológica.

¿Cuáles son las causas de la discalculia? Causas: Las causas por las que se produce este trastorno, al igual que en la dislexia, no están perfectamente determinadas. La discalculia se puede dar en: • •

Niños que padecen una lesión cerebral, sensorial o intelectual (sordos, retraso mental). Niños que sufren problemas afectivos como puede ser un exceso o ausencia de autoridad paterna.

Estos fracasos en el cálculo aparecen como uno de los síntomas de dificultades en el seno familiar en niños con una maduración intelectual y afectiva normal pero que presentan problemas en juegos de percepción y motricidad

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10.6 Clases de discalculia a) Discalculia escolar natural: es aquella que presentan los alumnos al comenzar el aprendizaje del cálculo, y está vinculada con sus primeras dificultades específicas: operaciones, cálculo, problemas. Esta discalculia, es una consecuencia natural y lógica de la dinámica del aprendizaje. No debe considerarse patológica: y, por consiguiente, obliga al maestro a proseguir el plan de enseñanza común, con la convicción de que mediante los ejercicios de repaso y de fijación habrá de normalizar el proceso. b) Discalculia escolar verdadera: cuando en la segunda mitad del ciclo escolar no se observa la evolución favorable que caracteriza a la discalculia escolar natural, y, por el contrario, persisten y se afianzan los errores, nos hallaremos en presencia del cuadro de la discalculia escolar verdadera, que obliga precozmente a someter al alumno as los planes de reducación. c) Discalculia escolar secundaria: Se presenta con un cuadro más complejo, caracterizado por un déficit global del aprendizaje. Existen tres tipos de discalculia escolar secundaria: •

•

Discalculia escolar secundaria del oligofrénico: Este se observa en todos los niños que padecen déficit mental; y las dificultades del cálculo son tanto más severas, cuanto más grave es el déficit de inteligencia. Por consiguiente, menos recuperable, porque las fallas son prácticamente irreversibles. Discalculia escolar secundaria de los alumnos con dislexia escolar: la dislexia escolar no tratada precozmente, se complica con una serie de trastornos que la agravan, y son capaces de transformar la dificultad de leer y escribir en una manifiesta deficiencia para aprender, a tal punto que el alumno, por su rendimiento, puede ser confundido con un falso oligofrénico, pues rechaza sistemáticamente la lectura o no le gusta leer; tiene fallas en el dibujo, la escritura y la conducta. Los cálculos matemáticos o no pueden hacerlos, o los hace con una lentitud alarmante; finalmente por su dislexia no comprende el significado del enunciado de los problemas, los resuelve mal. Discalculia escolar secundaria de los alumnos afásicos: aquí está comprometida, conforme a los niveles de integración, la parte más delicada del sistema nervioso: la corteza cerebral asociativa, sede de las operaciones del pensamiento, factor de jerarquía preponderante en los procesos lógicosmatemáticos. El análisis de las funciones de maduración neurológicas descubre deficiencias llamativas de la atención, la memoria y la imaginación. Según Kosc (1974), los tipos de discalculia se clasifican en:

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o Discalculia verbal: problemas en el nombramiento de las cantidades o sumas de las cosas. o Discalculia practognóstica: problemas en la manipulación con los ejercicios matemáticos. Ejemplo: comparación de objetos, determinando cual es el más largo. o Discalculia léxica: problemas en la lectura de símbolos matemáticos, incluyendo operación de signos y números. o Discalculia gráfica: problemas al escribir símbolos matemáticos y números. o Discalculia ideognóstica: problemas en la comprensión de conceptos matemáticos. o Discalculia operacional: problemas para realizar operaciones aritméticas

10.7 Evaluación de habilidades matemáticas Al realizar la evaluación de habilidades matemáticas, es importante observar la manera en la que el individuo llega a la solución del problema o el cálculo, es decir, encontrar cuáles son los pasos utilizados para llegar a la respuesta por la que se le pregunta. Al conocer estos pasos podemos realizar un diagnóstico correcto. Podemos conocer cuáles son esos pasos observando la manera cómo el individuo lleva a cabo los ejercicios o problemas planteados, pero es posible que, sin utilizar un modelo defectivo para solucionar un problema, la respuesta obtenida sea incorrecta. Por ello es preciso preguntarle al individuo cómo llegó a esa respuesta.

10.7.1 Evaluación forma l- Con pruebas estandarizados Las pruebas estandarizadas de matemáticas contienen referencias sobre los modelos y proporcionan muchos tipos de información. Se clasifican en dos categorías: •

•

Pruebas de conocimientos y aptitudes: en estas pruebas se evalúan los contenidos asimilados por el individuo e incluyen áreas académicas específicas, las cuales se dividen en áreas de habilidades. Por ejemplo, una sección de matemáticas puede estar dividida en razonamiento numérico, cálculo, y ecuaciones. Pruebas de diagnóstico: ninguna prueba de diagnóstico evalúa todas las dificultades matemáticas. El examinador elige una prueba de acuerdo con lo que pretenda evaluar. 209

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Debido a que las puntuaciones cuantitativas no resultan demasiado útiles para desarrollar un programa sistemático de instrucción, la mayoría de las pruebas tienen criterios de referencia. •

Pruebas con criterios de referencia. Las pruebas estandarizadas sólo comparan las puntuaciones individuales conciertas normas, lo cual no ayuda a diagnosticar las dificultades matemáticas del alumno. Por su lado, los tests con criterios de referencias describen la actuación del alumno en términos de criterio para determinadas habilidades, por tanto, resultan más adecuadas para evaluar dificultades específicas. Estas pruebas se dividen en pruebas de conocimiento y aptitudes (localizan áreas problemáticas generales) y pruebas de diagnóstico (se centran en dificultades más específicas).

10.7.2 Evaluación informal

¿Qué es la evaluación informal? Este tipo de evaluación implica examinar muestras de trabajo diario del alumno o utilizar pruebas confeccionadas por el profesor mismo. La evaluación informal, a su vez, permite al profesor probar numerosas formas de habilidades específicas y está directamente relacionada con el programa de enseñanza de las matemáticas. Para identificar áreas problemáticas específicas, el profesor debe confeccionar una prueba de conocimientos y aptitudes con preguntas de distintos niveles de dificultad.

¿Cuáles son los pasos para la confección y utilización de la evaluación informal? Para ello se establecen cuatro pasos de confección y utilización: • • • •

Seleccionar una jerarquía que incluya el área de contenido que se quiere evaluar. Decidir qué habilidades necesitan ser evaluadas. Establecer para cada habilidad dentro de la gama seleccionada. Puntuar la prueba e interpretar el resultado del alumno: para ello puede aplicar el criterio de “dos de cada tres” (67%) o el criterio de proporción correcta por minuto.

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A pesar de la utilización de alguna prueba, sea formal o informal, el docente ha de analizar el comportamiento del alumno, si este manifiesta falta de atención, algoritmo defectivo o déficit de un principio básico, etc.

10.8 Enseñanza de las habilidades matemáticas Hay cinco áreas esenciales para asimilar la adición, sustracción, multiplicación y división: 1. Comprensión: significa comprender la operación en los niveles concreto, semiconcreto y abstracto. 2. Los principios básicos: deben memorizarse porque son herramientas de cálculo. Un principio básico es una operación de dos números enteros de un dígito para obtener un número entero de uno o dos dígitos. 3. El valor del lugar: resulta cuando se dominan la comprensión y los principios básicos, de la forma que la operación ahora puede expandirse. 4. Las estructuras: son propiedades matemáticas que ayudan al alumno. 5. La reagrupación: ayuda a resolver problemas más complejos en cada una de las cuatro operaciones.

10.9 Implicaciones educativas de carácter específico No cualquier actividad programada resulta pertinente para mejorar o ayudar al alumno a desarrollar ciertas destrezas, es necesario tener en cuenta el área específica que representa un problema en el aprendizaje y con base en ello desplegar la gama de posibilidades que hoy en día se ofrecen.

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10.9.1 En las nociones o conceptos básicos

¿Cuáles son las implicaciones educativas en las nociones o conceptos básicos? Las implicaciones educativas en las nociones o conceptos básicos son: •

•

• •

• • •

Conservación de la materia: proporcionar actividades con material continuo (líquidos, arena, aserrín, agua...) y material discontinuo (cuentas, fichas objetos, piezas...) De igual forma, estaría indicado un entrenamiento de la percepción visual de los elementos y objetos que cambian en el espacio y que siguen manteniendo su materia. Correspondencia: pueden realizarse actividades vivenciales de reparto de materiales, el juego de la silla vacía, bloques lógicos, ejercicios de integración visual consistentes en completar ilustraciones hasta hacerlas iguales al modelo propuesto. Seriaciones: formar filas de menor a mayor estatura entre los compañeros de clase, introduciendo paulatinamente variaciones. Clasificaciones: clasificar espontáneamente para detectar las habilidades previas, clasificar por criterios perceptivos (color, forma, tamaño, número...), clasificar por criterios preconceptuales: lugar, movimiento, utilidad..., clasificar por criterios conceptuales, construcción de colecciones según criterio, clasificar por dicotomías: por Ej.: los animales que tienen alas y lo que no las tienen: con el objeto de facilitar la abstracción de atributos de los materiales que se utilizan. Temporales: conceptos como antes, después, ahora.... Espaciales: dentro, fuera, derecha, izquierda, delante, detrás... Cantidad: más, menos, igual, tantos como.

10.9.2 En la numeración ¿Cuáles son las implicaciones educativas en la numeración? Puesto que la construcción del concepto de número es el resultado de la unión de los conceptos lógicos de seriación, clasificación y correspondencia biunívoca, están indicadas las actividades referidas con anterioridad, relativas a la clasificación, correspondencia y seriaciones en el plano gráfico. Así mismo, realizar actividades con grupos o conjuntos de objetos.

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10.9.3 En el cálculo operatorio ¿Cuáles son las implicaciones educativas en el cálculo operatorio? La respuesta educativa que se ofrezca en este sentido debe contemplar, en sus contenidos, los ejercicios específicos anti-inversiones de grafías de números (en su caso) y un entrenamiento grafomotriz para quienes invierten y confunden las escrituras de números. Todo ello simultaneado con el necesario apoyo manipulativo en la realización de operaciones. Es aconsejable, también, la verbalización de los algoritmos empleados a través de la monitorización del docente.

Fig. # 44. La resta

10.9.4 En la resolución de problemas

¿Cuáles son las implicaciones educativas en la resolución de problemas? Las implicaciones educativas en la resolución de problemas son: •

Comprensión: intentar la comprensión del enunciado del problema a través de: la lectura analítica del texto, preguntarse sobre cuáles son los datos, qué es lo que se desea averiguar, representar gráficamente, dibujar el texto problema, ordenación espacial y temporal de las acciones del problema.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

•

Ejecución: trazar un plan de resolución en el cual se comprueben todos los pasos, preguntarse en cada paso (“¿qué información he obtenido?”), aclarar cada operación matemática con un comentario o explicando lo que se ha hecho y para qué es, salir del bloqueo de las dificultades volviendo al inicio de cada frase. Revisión: revisar todo el proceso seguido: comprobar todos los datos obtenidos, buscar otras posibles soluciones, validar el procedimiento utilizado y plantear nuevos problemas.

10.9.5 En los aspectos geométricos ¿Cuáles son las implicaciones educativas en los aspectos geométricos? El componente espacial de los aspectos geométricos tiene una importante relevancia, por lo que debería estimularse el desarrollo de la organización espacial mediante la intuición, así como la interiorización del esquema corporal y a partir de él, organizar las coordenadas espaciales. Del mismo modo, establecer relaciones entre diferentes objetos en función de su relación con el espacio. Otras propuestas orientadas son: desarrollar las nociones de longitud y distancia, entrenamiento en formas geométricas (diferenciación, reproducción y conceptos), interpretar gráficos a cerca de posiciones, trayectorias, movimientos itinerarios, etc.

10.9.6 En las medidas ¿Cuáles son las implicaciones educativas en la numeración? Con respecto a las medidas, desarrollar y afianzar el principio de conservación de la materia a través de la comparación de capacidades de distintos recipientes, ordenar en función de esta capacidad. Construcción de diferentes formas de volumen, moldear plastilina (volumen de sólidos). En lo referido a las dificultades detectadas en las medidas de tiempo, la implicación educativa primera que se deriva de ello es afianzar la noción de tiempo para pasar posteriormente a la lectura del reloj. Antes de la noción de dinero, deben existir las nociones básicas de número (conservación, recuento, ordenación, adición, duplicación y división por dos), deben vincularse estas nociones de número utilizando el dinero, por lo que podría realizarse una enseñanza en paralelo de la numeración con el mismo, vinculándolo a situaciones prácticas (situaciones cotidianas de compra y venta). 214

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10.9.7 En el lenguaje matemático ¿Cuáles son las implicaciones educativas en lenguaje matemático? Básicamente, las implicaciones educativas en esta dimensión estarían dirigidas a los trabajos amplios sobre vocabulario. Explicar y analizar con los alumnos el significado de aquellos términos matemáticos propios y aquello otros con significados diferentes en el ámbito de las matemáticas y en el lenguaje ordinario. El emparejamiento de símbolos con significados estaría indicado en este caso. Finalmente, todas estas sugerencias metodológicas para cada una de las dimensiones matemáticas deberían integrarse a través de juegos matemáticos, de matemáticas recreativas que partan de situaciones cotidianas que estimulen el interés y propicien el gusto por los números y sus propiedades, mejorando de este modo, la adquisición de los conceptos, procedimientos y actitudes favorables al aprendizaje de las matemáticas.

Actividad # 32

Aprender a contar Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: noción de cantidad

Instrucciones. Pon la pinza que corresponda a cada dibujo de las ruedas.

Fig. # 45. Ruedas y pinzas numéricas.

215

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10.10 Pruebas estandarizadas para detectar dificultades de aprendizaje en el área del cálculo

¿Para qué hacer una evaluación inicial? Cualquier intervención educativa debe ir precedida de un diagnóstico diferencial en el que se identifiquen las DAM. Tradicionalmente la evaluación examinaba variables como: • • • •

El nivel de desarrollo del razonamiento: conservación, clasificación, seriación… La realización de cálculos aritméticos: numeración y operaciones. Los conceptos matemáticos que posee el alumno, su comprensión y expresión verbal y planteamiento de problemas y modo de resolverlos. Los elementos gnosos-práxicos, en lo tocante a la estructuración espaciotemporal y el dominio del espacio gráfico.

¿Cuál es el enfoque más recomendable para hacer un diagnóstico eficaz? Sin negar la importancia de esos aspectos, el enfoque cognoscitivo se centra especialmente en los procesos de aprendizaje, es decir, en los conceptos, correctos o erróneos, que presenta el alumno y en las estrategias, adecuadas o no, que utiliza para afrontar las tareas. Desde este enfoque, la evaluación, para un diagnóstico eficaz, debe examinar tanto el conocimiento formal como el informal, ya que este último puede ser insuficiente y dificultar el acceso a las matemáticas, y para tratar de conocer las insuficiencias de los conocimientos subyacentes. • • • • •

Debe detallar los puntos fuertes y débiles del alumno. La precisión y eficacia de las técnicas matemáticas básicas Su grado de automatización, Las estrategias seguidas para llegar a una solución y Los errores sistemáticos que comete,

¿Qué se necesita hacer para cumplir con las condiciones mínimas de un diagnóstico diferencial? Para cumplir las condiciones mínimas de un diagnóstico diferencial, existe una considerable variedad de instrumentos estandarizados que son muy útiles para identificar a los sujetos con DAM. 216

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¿Cuál es la principal ventaja de usar instrumentos estandarizados? La principal ventaja de estos instrumentos radica en la solidez de su construcción (en términos de fiabilidad y validez) y en su estandarización y baremación, que permite hacer comparaciones con grandes grupos de sujetos. En general, no se utilizan pruebas aisladas, sino que se aplican en batería y pruebas específicas que permitan identificar los diferentes factores intervinientes.

¿Qué tipo de pruebas estandarizadas suelen utilizarse para la detección de DAM? Como se mencionó, hay una gran variedad de pruebas que se utilizan con este fin, sin embargo, aquí se mencionan las más comunes y, con fines prácticos, a continuación, se presentan agrupadas en dos tipos: pruebas psicológicas y pruebas pedagógicas.

10.10.1 Pruebas psicológicas ¿Cuál es la finalidad de usar las pruebas psicológicas? La finalidad de las pruebas psicológicas es identificar si el alumno presenta déficits de aptitud específicos que algunos autores han encontrado que correlacionan con el rendimiento matemático. Uno de los estudios identifica, a través de la técnica LISREL de análisis estadístico, el efecto de la inteligencia general, la memoria, los hábitos de estudio, el autoconcepto académico, la comprensión lectora y la resolución de problemas. ¿Cuáles son las pruebas psicológicas para identificar los procesos cognoscitivos y neuropsicológicos que intervienen en el área del cálculo? Para identificar los procesos cognoscitivos y neuropsicológicos que intervienen en la realización de tareas matemáticas, se pueden utilizar diferentes pruebas disponibles en el mercado. Entre las que proporcionan datos de interés para un diagnóstico eficaz en general y en esta área en particular son: a) Escalas de inteligencia de Weschler: incluye subpruebas como la de aritmética y la de memoria auditiva inmediata de dígitos. El perfil cognoscitivo de esta escala puede ser objeto de interpretación neurológica. Son las escalas más utilizadas en la evaluación psicopedagógica. Cuenta con 3 escalas: • • •

WPPSI-IV: de los 6 años y medio a los 8 años y medio; WISC-V: de 6 a 16 años; WAIS-IV: de 16 en adelante). 217

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b) Escalas McCarthy de aptitudes y psicomotricidad: Incluye una escala numérica con tres subpruebas de interés: recuento y distribución, cálculo y memoria numérica. • MSCA, de los 2 años y media a los 8 años y medio. c) Pruebas de factor g: Como ejemplo se señalan dos pruebas, las cuales son de aplicación colectiva a partir de los 4 años. Proporcionan una medida de la inteligencia general, que puede tener cierta importancia en la hipótesis explicativa sobre las dificultades de algunos alumnos. • •

Factor g de Cattel Matrices Progresivas de Raven, ambos de aplicación colectiva a partir de los 4 años).

d) DAT. Es una batería de aptitudes diferenciales, de aplicación colectiva a partir de los 14 años. Evalúa algunos aspectos de la inteligencia general como: razonamiento abstracto, razonamiento verbal, aptitud numérica, rapidez y precisión perceptiva, razonamiento mecánico y relaciones espaciales. e) Prueba del desarrollo de la percepción visual de Frostig (3 a 7 años). La original hecha por la autora resulta relevante; principalmente para el diagnóstico de dificultades en geometría, por las subpruebas que incluyen: coordinación visomotora, discernimiento de figuras o discriminación figura-fondo, constancia de la forma, posición en el espacio y relaciones espaciales. La versión hecha por su Centro es más completa y complicada. f) Prueba gestáltica visomotora de Bender. Se aplica a partir de los 4 años hasta adultos. Permite valorar la integración visomotora y las alteraciones neurológicas. g) Batería Luria-DNI. Es una prueba para evaluar los trastornos neuropsicológicos, con baremos para niños a partir de los 7 años. Entre otras muchas pruebas, incluye una de aritmética con dos subpruebas: •

•

Escritura numérica: se pide escribir y leer números de izquierda a derecha y de arriba a abajo, así como decidir qué número de entre los varios que lee o escucha es mayor. Operaciones aritméticas: las tareas consisten en resolver sumas, restas y multiplicaciones, completar operaciones en las que falta un número o el signo y contar hacia atrás de tres en tres. 218

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h) Pruebas de personalidad de Cattell (ESPQ, CPQ, HSPQ y 16PF). Se aplican a partir de los 6 años hasta adultos. Es importante conocer la personalidad del examinado y su forma de reaccionar, ya que todo esto puede influir en el rendimiento académico. i) PREDISCAL: es una herramienta breve para evaluar de forma rápida y colectiva ciertas dificultades del aprendizaje. Se compone de 3 partes: fluidez lectora, fluidez matemática y cálculo. En siete minutos se miden la fluidez y precisión de las habilidades lectoras y matemáticas.

10.10.2 Pruebas pedagógicas ¿En qué ayudan las pruebas pedagógicas específicas? Las pruebas pedagógicas específicas ayudan a determinar el grado de dominio de la diversidad de conceptos y procedimientos propios del ámbito matemáticos, tales como: • • •

• •

Habilidad para comprender y usar los conceptos de cantidad, combinaciones, número, forma, tamaño, posición y medida. Habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales, enteros y fracciones. Habilidad para aplicar los conceptos matemáticos a la solución de problemas en situaciones personales y sociales (comprar y vender, calcular diferencias de tiempo, pesar y medir). Habilidad para clasificar y categorizar datos y hechos matemáticos. Adquisición de nociones e información específicamente matemática.

¿Qué caracteriza a las pruebas pedagógicas y cuáles se utilizan? En principio, las pruebas pedagógicas no se diferencian de las más clásicas que puede realizar cualquier profesor, aunque suponen una mayor estandarización, que permite, en muchas ocasiones, comparar los resultados con los baremos disponibles para grandes muestras de población de una misma edad o nivel educativo. Algunos ejemplos son: 1. Pruebas pedagógicas graduadas para preescolar y ciclo inicial (EAP de Terrasa). Lo forman multitud de ítems graduados para distintos niveles de Educación Infantil y primer ciclo de Primaria, similares a los que se encuentran los alumnos en la práctica educativa real. Incluyen ítems de lógica, cálculo y grafía de números, medida y geometría. 219

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2. Pruebas psicopedagógicas de evaluación individual (Montesinos et al). Incluyen tareas que permiten detectar la competencia del alumno en el conocimiento de las cantidades, operaciones, problemas y otros contenidos de Educación Infantil y Primaria. 3. Prueba de cálculo y nivel matemático (A. Palomino y J. Crespo). Esta prueba detecta dificultades o errores en el aprendizaje del cálculo. Según sus niveles incluye la escritura y dictado de operaciones basta potencias y raíces. 4. Prueba de aptitud y rendimiento matemático (R. Olea, L. E. Líbano y H. Ahumada). Se aplica de 7 a 12 años y consta de tres series: • •

•

Serie A: Nociones previas: conservación, seriación, previsión, clasificación e inclusión. Serie B: Conocimiento de la simbolización matemática: dictado y lectura de números, concepto de valor, concepto de signos, conocimiento de figuras geométricas y conocimiento de cuerpos geométricos. Serie C: Disposición para el cálculo y resolución de problemas: repartición y resta, resolución de problemas con elementos concretos, con dificultad en el enunciado y de problemas abstractos.

10.11 Programas de matemáticas para personas con problemas de aprendizaje 10.11.1 Programas comerciales ¿Son útiles los programas comerciales? Los programas comerciales ayudan a enseñar habilidades matemáticas. En particular, dado el objeto de este trabajo, a continuación, enunciamos algunos que son útiles para personas con trastornos de aprendizaje. • • •

Computional Arithmetic Program: para alumnos de sexto grado que necesiten aprender y dominar las habilidades básicas de cálculo de los números enteros. Corrective Mathematics Program: para alumnos de los cursos del 3 al12 y para adultos que no dominan las habilidades básicas. Cuisènaire Rods (regletas): son material de soporte para enseñar matemáticas desde preescolar hasta sexto curso. Los cubos Cuisenaire no son un programa completo y se utilizan básicamente para completar otros programas matemáticos. 220

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

•

• •

Equipos DISTAR de aritmética: ponen énfasis en la instrucción directa en un marco muy sistematizado y extensivo. Son ampliamente reconocidos y su calidad está comprobada. Key Math Early Steps Programs: enseña los primeros pasos matemáticos con actividades manuales con material para llevarlas a cabo. Key Math Teach and Practice: está ideado para identificar y corregir dificultades específicas de cálculo.

10.11.2 Programas de computadora ¿Son útiles los programas de computadora? Este tipo de programas, por su parte, le permiten al alumno realizar ejercicios de práctica para el desarrollo de habilidades anteriormente adquiridas. •

•

Academic Skill Builders in Math: este programa está ideado para motivar a los alumnos de todas las edades a asimilar las habilidades matemáticas fundamentales gracias a la rápida acción y los gráficos de color de los juegos de arcada. Seis programas individuales proporcionan preguntas y práctica de las cuatro operaciones matemáticas básicas de combinaciones de operaciones. Basic Skills in Math: identifica las áreas problemáticas específicas del alumno en funciones matemáticas básicas y proporciona práctica basada en las necesidades individuales. Math Sequences: consiste en 12 disquetes que proporcionan un programa matemático basado en objetivos con preguntas y prácticas estructuradas ideado para alumnos de primer a octavo grado o como un curso correctivo para alumnos mayores. Math Skills Elementary Level / Math Skills Junior High Level: estos dos programas proporcionan ejercicios y practica de conceptos matemáticos, de operaciones, y de procesos básicos.

10.12 Ejercicios para la corrección de la discalculia escolar A continuación, se listan algunos ejercicios que se pueden realizar para atender la discalculia escolar teniendo en cuenta las funciones de maduración afectadas.

221

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1. Ejercicios de memoria y percepción auditiva A. Repetición de números. Aplaudir y decir el número correspondiente. Poner el número de pinzas que representa cada tarjeta. Meter las tarjetas en una bolsa y sacar una a una diciendo qué número es. Jugar memoria…

Actividad # 32

Banda numérica Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: números

Instrucciones. Utiliza las barajas para hacer distintos juegos y reforzar el conocimiento básico de los números.

Fig. # 46. Banda numérica B. Tirar dados. Decir qué número es. Variante: tener tarjetas con números y con puntos por separado para que las pueda aparear.

222

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Actividad # 34

Números y dados Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: números

Instrucciones. Aparear números y tarjetas con puntos.

Fig. # 47. Números y dados. Mira el video: Canta los números. https://youtu.be/SKX5AkLTz9c

223

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

C. Discriminación auditiva. Reconocimiento de ruidos: de animales, del medio, del hogar, aparatos eléctricos, instrumentos musicales, del cuerpo…

Actividad # 35

Discriminación auditiva Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: percepción auditiva

Instrucciones. Identificar los ruidos y sonidos de distintas fuentes: hogar, el cuerpo, el medio, animales, la calle, entre otros. Aprovechar los enlaces de los videos que se sugieren a continuación para reforzar esta área.

Fig. # 48. Identificación de ruidos y sonidos. 224

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Mira los videos: • Sonidos del cuerpo humano. https://www.youtube.com/watch?v=-7BQ6UQ0Zs • Sonidos de los animales. https://www.youtube.com/watch?v=YxOrQM2lM-0 • Sonidos de instrumentos musicales. https://www.youtube.com/watch?v=boCQpqAkuRs • Sonidos del transporte. https://www.youtube.com/watch?v=k9D_-KgeSv8 • Sonidos de la casa. https://www.youtube.com/watch?v=8fpEHLGlCag • Sonidos cotidianos. https://www.youtube.com/watch?v=xnWc0AfpigY • Adivina cuál hace el sonido, parte 1. https://www.youtube.com/watch?v=zDvsffsAE4s • Adivina cuál hace el sonido, parte 2. https://www.youtube.com/watch?v=kFOUeCOWcY • Sonidos de onomatopeyas. https://www.youtube.com/watch?v=FubHJR3cpJw

2. Memoria y percepción visual A. Agrupación de objetos por su forma, color y tamaño.

Actividad # 36

Memoria y de percepción visual Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: memoria y percepción visual

Instrucciones. Pon encima de cada tarjeta los objetos que son del mismo color.

225

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 49. Agrupar objetos por colores. B. Dictado de determinados números sin un orden y el alumno debe hacer notar los que faltan, ejemplo: 3-4-7-8-10 Faltan 1-2-5-6-9.

5 5

7 3

Fig. # 50. ¿Qué números faltan?

C. Ordena los coches. Ponerlos de menor a mayor.

siete

tres

ocho

cinco

uno

cero

dos

cuatro

seis

nueve

Fig. # 51. Ordena los coches. Mira los videos: • Aprendamos los colores. https://www.youtube.com/watch?v=PczrkyAZZJ4 • Los colores y los números. https://www.youtube.com/watch?v=_MBwv0g1EIo 226

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

3. Ritmo y Seriación A. Control de movimientos. Detención de la marcha después de 2 o 3 pasos.

Actividad # 37

Ritmo y seriación Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: ritmo y seriación

Instrucciones. Da el número de pasos que se te diga y detente. Variante: camina libremente por el salón y detente al oír el sonido del pandero.

2 pasos

4 pasos

6 pasos

2 pasos

Fig. # 52. Camina y detente. • •

Video: Clap, clap sound musicograma: https://www.youtube.com/watch?v=6UYnHJqo7_4&t=14s Ejercicio de coordinación y gimnasia cerebral. https://www.youtube.com/watch?v=-CIbtmVcA_w

B. Cuentos que tengan objetos de distintos tamaños

Actividad # 38

El cuento Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: cuentos

Instrucciones. Contar cuentos que involucren cantidad, tamaños, series, por ejemplo, enfatizando la secuencia.

227

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Ricitos de oro y los tres ositos Ir contando el cuento de manera que los niños puedan ir mostrando los objetos que se van diciendo según su tamaño. Agrupar cada objeto con el oso correspondiente. Fig. # 53. Ricitos de oro y los tres ositos. Video: Ricitos de oro y los tres ositos. https://www.youtube.com/watch?v=50LpU-ZgxMg

C. Agrupación de objetos según su tamaño de menor a mayor y viceversa.

Actividad # 39

Ordenamiento por tamaño Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: clasificación

Instrucciones. Revolver las barajas y colocarlas bocabajo. Ir volteando cada una de manera que permita ir ordenándolas según su tamaño.

Fig. # 54. Pinos. 228

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 55. Ordenar por tamaños.

4. Abstracción A. Describir algo sin verlo. Poder describir cada escena con claridad.

Actividad # 40

Descripción de objetos Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: reconocer

Instrucciones. El jugador en turno saca un dibujo para describirlo al grupo. Quien lo identifique será el que sacará la siguiente tarjeta y la describirá. 229

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 56. Escucha lo que te dicen para que escojas cuál es.

B. Adivina qué es. Ofrecer las características de algún objeto para que lo reconozcan.

Actividad # 41

Adivina

qué es Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: abstracción

Instrucciones. Escucha con cuidado lo que te voy a decir, pues si eres buen mago, podrás descubrir lo que te acabo de describir. Lo traigo en mi mano Para llamar y jugar Todo el tiempo lo miro Y le puedo hablar cuando deja de sonar

Entramos y salimos De nuestro agujero marchando todas juntas Somos rojas o negras Trabajadoras y fuertes

Me sonríes, y sonrío. Si yo te miro, tú me ves Y todo lo que te digo Te lo digo al revés.

Mi cuerpo es de papel y mi colita de trapo. Subo y subo amarrada, pero no me sueltes, o me escapo. Fig. # 57. Adivina qué es.

5. Ejercicios de esquema corporal. A. Reconocer partes de su cuerpo. Poner las tarjetas bocabajo 230

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Actividad # 42

Las partes del cuerpo Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: el cuerpo

Instrucciones. Identifica la parte del cuerpo que está en la tarjeta y muestra en dónde se ubica tanto en tu cuerpo como en el muñeco.

Fig. # 58. Partes del cuerpo B. Armar el cuerpo. Empleo de rompecabezas con la figura de un niño o un muñeco desarticulado, que se debe armar.

Actividad # 43

Armado de muñecos Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: armado

Instrucciones. Después de haber identificado las distintas partes del cuerpo, colorea y recorta los muñecos. Une sus partes con broches alemanes para que los puedas mover según lo vayan sugiriendo los participantes.

231

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. 59. Muñecos articulados. 6. Ejercicio de direccionalidad y noción derecha – izquierda. A. Reconocer su mano derecha e izquierda. B. Saltar en un solo pie. C. Ejercicios de lateralidad cruzada (con la mano derecha tocar el ojo izquierdo). Nota: Lateralidad: lado preferente del cuerpo.

Actividad # 44

Noción derecha e izquierda Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: noción derecha - izquierda

Instrucciones. Distingue hacia dónde va cada figura y señala según sea la muestra.

232

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

a) Colorea las figuras que van hacia el mismo lado que la muestra b) Poner un círculo rojo a los coches que van hacia la derecha y uno azul a los que van a la izquierda

Fig. 60. Direccionalidad y noción derecha – izquierda.

5. Atención A. Serie numérica. Tachar o subrayar un número determinado en una serie. Encierra en un círculo el doble de cada número que señalas.

233

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Actividad # 45

Atención y concentración Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: atención

Instrucciones. Ve señalando el doble del número que has circulado primero.

10 11 12

Fig. 61. Serie numérica. B. Ritmo. Golpear el pupitre tantas veces como lo hace el maestro y con el mismo dedo. Eco rítmico con el lápiz. Combinar aplausos y pies.

Fig. 62. Ejercicios de ritmo. C. Noción de cantidad. Poner la pinza en la cifra que represente la cantidad en cada tarjeta.

Actividad # 46

Correspondencia número-objeto Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: atención

Instrucciones. Ve señalando el doble del número que has circulado 234

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 63. Correspondencia número – objeto.

D. El tren numérico. Ir subiendo y bajando los números de los vagones según se diga.

235

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Corre trenecito Corre trenecito, corre por el campo;, que llegas y te paras cerca de la estación. Aló, aló, que suba el número 2 y que baje el 5.

Fig. # 64. Poner y quitar números en los vagones. Video: Corre trenecito (adaptar la letra). Poner y quitar números en los vagones. https://www.youtube.com/watch?v=s2mSNQYDjcg

6. Ejercicio de maduración prenumérica A. Ejercicios de mucho o poco. Señala dónde hay muchos y dónde pocos. Mete en este frasco muchos dulces y en este otro frasco pocos dulces.

Actividad # 47

Maduración prenumérica Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: maduración

Instrucciones. Resolver los ejercicios de maduración prenumérica. 236

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

pocos

mucho s

Fig. # 65. Muchos – pocos. B. Tomar varios objetos y decir cuál pesa más. Señala ¿cuál pesa más?

Fig. # 66. ¿Cuál pesa más? ¿Cuál pesa menos? C. Colocar el 1 delante del 2, etc. Sigue el orden de los números para terminar el dibujo y colorea.

Fig. # 67. Sigue la numeración. Consulta otras actividades: https://www.imageneseducativas.com/fichaspara-trabajar-los-numeros-en-infantil-y-preescolar/ 237

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

7. Numeración y seriación

Actividad # 48

Numeración y seriación Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: numeración y seriación

Instrucciones. Llevar a cabo los distintos ejercicios que permitan reforzar la numeración y la comprensión de la seriación. A. Sigue la serie. ¿Qué color sigue?

Fig. # 68. Sigue la serie.

238

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

B. Noción de cantidad. Cuenta y colorea.

Fig. # 69. Cuenta y colorea.

C. Percepción de la forma. Números básicos.

Fig. 70. Número básicos.

239

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

8. Operaciones Cuadros geométricos. Ir colocando debajo de cada botón o figurita distribuida horizontalmente, otros elementos formando hileras verticales. Repetir lo mismo utilizando números.

Actividad # 49

Tabla de doble entrada Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: tablas de doble entrada

Instrucciones. Coloca las figuras geométricas de acuerdo con las indicaciones del cuadro de doble entrada. Después, sustitúyelos con los números de colores. forma/color

1 Fig. # 71. Cuadro geométrico. Nota: Se recomienda poner en práctica los ejercicios sugeridos en los videos de mi canal en YouTube: https://www.youtube.com/channel/UCMM3ooyNO8QDDllBrEv3Rbg 240

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Actividad # 50

Multiplicación Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: multiplicación

Instrucciones. Localiza las operaciones que están en los muñecos en la tabla pitagórica. Ve comprobando los resultados y la lógica que tiene.

Fig. # 72. Tabla pitagórica de la multiplicación.

241

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 73. Los animalitos y las tablas de multiplicar.

10.13 El método ABN y la suma El aprendizaje de la tabla de sumar es el primer paso para la construcción del algoritmo de la suma, ya que la realización de sumas mentalmente agilizará y facilitará el aprendizaje progresivo de esta operación. este aprendizaje no se hará a partir de la tabla ya completada, si no mediante su construcción progresiva como aquí se expone.Junto a esta construcción y progresiva memorización se deben acompañar ejercicios de numeración en los cuales no se trate únicamente la simple memorización del resultado de dos sumandos, sino de todos los caminos que pueden llegar a ese mismo resultado. Es decir, además de saber que 8 + 7 son 15, también deben trabajar (y a esto nos va a ir ayudando la construcción de la tabla de sumar) que también es a la inversa 7 + 8, el doble de 7 +1, el doble de 8 – 1, la suma de 10 + 5, el resultado de contar 6 a partir de 9, o de retroceder 3 desde 18.

242

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 74. Fases de la suma.

Pasos para la construcción de la tabla de sumar 1.- A cada niño se le dará una ficha con la tabla de sumar vacía y se pondrá una grande en la clase. 2.- Los casilleros de la tabla de doble entrada, tanto en la tabla del alumnado como de clase, se hará una vez aprendida la familia correspondiente. 3.-Empezamos por construir la fila y columna del cero. donde uno de los sumandos es el cero, ya que no les ofrecerá ninguna dificultad (21 combinaciones posibles dentro de la tabla). 4.- Seguimos con las combinaciones con el número uno (19 combinaciones dentro de la tabla). Para ello conviene que el número mayor sea el primero y se les indique que sumar uno es el siguiente al que hemos puesto en primer lugar; y una vez conocido y practicado, realizar las sumas a la inversa. 5.- Continuamos con las combinaciones el número diez (17 combinaciones dentro de la tabla). Conviene poner el 10 como primer sumando y seguir el orden 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5 y 10 y posteriormente la operación conmutativa. Con estos tres números se ha completado casi la mitad de la tabla. 6.- El siguiente conviene que sean las combinaciones el número nueve ya que es lo mismo que sumar 10 y quitar 1 (15 combinaciones dentro de la tabla). También aquí el nueve será el primer número y luego a la inversa. 7.- Para las combinaciones del dos podemos recordar el contar salteado (13 combinaciones dentro de la tabla). El orden de presentación igual al del uno. 8.- La que sigue es la familia de los dobles, a la cual sólo le faltan 6 combinaciones posibles en la tabla, las que corresponden a los números 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9.- Seguiremos con los vecinos de los dobles, (10 combinaciones). Este tiene un pequeño truco que le explicaremos a los niños, ya que se trata de parejas que se diferencia en 1 unidad (5+4, 6+7…) y consiste el buscar el doble del mayor de los dos y quitándole 1 (Ya han hecho algo similar con el 9). 243

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

10.- Los próximos son el número misterioso, (8 combinaciones). Se trata de los sumandos con diferencia de dos unidades entre ellos (7 + 5, 6 + 4…) y el truco es el doble del número que no aparece entre medias. 11.- El siguiente grupo es sencillo ya que se trata de los complementos del diez (2 combinaciones, el resto ya han aparecido) pero que completan el grupo. 12.- Por último, nos quedan 5 combinaciones (10 con la propiedad conmutativa) que no tienen truco sencillo como las anteriores, pero que se pueden memorizar simplemente al tratarse de pocas. Son 8+3, 8+4, 8+5, 7+4 y 6+3. Para este caso podemos enseñarles un pequeño truco. Consiste en descomponer el mayor en dos números, un igual al que vamos a sumar y el otro un resto que sumaremos al calcular el doble que nos ha salido. Ejemplo: 8 + 5 = 3 + 5 + 5= 3 + 10 = 13

Fig. # 75. Tabla de sumar para trabajarla con el orientado.

244

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 76. Unidades y decenas. 245

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Actividad # 51

Iniciar la construcción Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: suma

Instrucciones. Inicia la construcción de la suma empezando por el primer cuadrante. Llena los espacios utilizando los palillos. Después, sustitúyelos con la cifra correspondiente.

Fig. # 77. Inicio de la construcción de la tabla de sumar. 246

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Actividad # 52

Identifica unidades y decenas Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: Método ABN

Instrucciones. Identifica las unidades y decenas en la siguiente lámina y une la columna de la izquierda con la de la derecha utilizando este criterio.

Fig. # 78. Identificar unidades y decenas. 247

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11. Las matemáticas y sus dificultades de aprendizaje bajo el paradigma cognoscitivo 11.1 Introducción Las matemáticas son de los conocimientos más antiguos que ha estudiado el ser humano. Su origen se encuentra en las grandes civilizaciones antiguas (Egipto, Grecia, China y Arabia).

Pedagogía en la antigüedad.

Fig. # 79. Los números maya. Las matemáticas se encuentran en todos los ambientes de la vida cotidiana. Se requiere en la participación inteligente en la sociedad. Con ellas se desarrollan las aptitudes intelectuales. Aprenderlas es de gran relevancia pues son muy útiles para muchas cosas, como: a) Son un poderoso medio de comunicación. b) Son importantes para otros campos de conocimiento. 248

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c) Contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico y a la precisión y visión espacial. d) Suscitan un interés intrínseco en muchas personas. Las matemáticas son difíciles de enseñar y de aprender. Los estudiosos de la materia afirman que los índices de fracaso en matemáticas son muy altos, sobre todo en los últimos años de la escolaridad. Las primeras dificultades surgen con la adquisición de las nociones básicas para la comprensión del número: clasificación, seriación, correspondencia, valor cardinal, reversibilidad, etc. El niño necesita experimentar y manipular activamente y adquirir el lenguaje matemático.

Fig. # 80. Cuántos objetos hay de cada modelo. No existe una definición operativa universal de las dificultades de aprendizaje (DA), pero la mayoría suelen contar con tres elementos esenciales. • • •

Especificidad: las dificultades están limitadas a un número restringido de dominios académicos y cognoscitivos. Discrepancia: se determina que los rendimientos no miden el potencial del alumno. Exclusión: las DA son distinguidas de otras condiciones de impedimento o desventaja.

En el sistema educativo se suele emplear como criterio de discrepancia la presencia de “dos o más años de retraso” (Blanco y Bermejo, 2004; Rivière, 1991) y aunque en principio parece el más fácil de aplicar en el contexto escolar, a edades tempranas no resulta adecuado pues las unidades de medida de la competencia

249

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curricular no son iguales y el crecimiento no es constante a lo largo de la escolaridad. La mayoría de los investigadores prefieren determinar el retraso mediante criterios estadísticos, pero no parece lógico asumir que un 25% de la población infantil tiene dificultades de aprendizaje en matemáticas (DAM). Blanco y Bermejo (2008) observaron que los niños DAM de 1º, a pesar de tener una ejecución matemática por debajo la media de sus pares sin dificultades, presentaban tan sólo un año de retraso. Sin embargo, este retraso no se compensaba con el paso de los años, sino que iba en aumento, de forma que al incorporarse a 3º su retraso era de casi dos años y, al iniciar 5º, de más de dos años. Si se establece el criterio de que un niño debe tener 2 años de retraso para intervenir sería necesario esperar a que estén escolarizados en 4º o 5º y por tanto se está ante un modelo de “esperar a que falle”. En contraste, desde el punto de vista psicopedagógico, se considera que estas dificultades deben ser detectadas precozmente y sometidas a intervención temprana. Es pues el momento de que los responsables educativos valoren la mejor forma de definir las dificultades específicas de aprendizaje (DEA) y de establecer procedimientos de detección. Además, sería conveniente tener en cuenta que más de un año de retraso es estadísticamente significativo en 1º, por tanto, los niños que lo presentan deberían ser considerados con necesidades educativas específicas y, de forma precoz, beneficiarse de los recursos personales y materiales complementarios. En algunos estados americanos se ha implementado el sistema de detección "respuesta a la intervención", el cual consta de tres fases: • •

•

1ª Se seleccionan los niños que en 1º presentan bajo rendimiento (por debajo del percentil 25) y no parece justificado por la presencia de una discapacidad. 2ª Se le somete a un periodo de instrucción por parte del especialista. De esta forma se comprueba que el bajo rendimiento no se debe a una incorrecta escolarización. 3ª Se les vuelve a evaluar tras la intervención y se determina que los que sigan presentando un nivel de ejecución muy bajo (normalmente por debajo del percentil 10) son niños con DEA por lo tanto se emplea con ellos los recursos de Educación Especial.

250

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Se pretende así prevenir dificultades en toda la población empleando los recursos con los que se cuentan en las escuelas y se dejan los complementarios para los niños que realmente lo necesitan. Desafortunadamente, el estudio de las Dificultades de Aprendizaje Específicas en Matemáticas (DAM) está menos extendido que el de las dificultades lectoras, por lo que es difícil conocer su verdadera prevalencia (Ansari y Karmiloff-Smith, 2002; Jordan, Hanich y Uberti, 2003). La mayoría de los profesores se preocupan por el aprendizaje de las matemáticas en los orientados de educación primaria debido al nuevo lenguaje simbólico, al uso de las reglas que ocasionan dificultades para el aprendizaje, parecido al proceso de aprendizaje del lenguaje maternal.

Fig. # 81. Colorear el número de dulces que dice y seguir la serie.

251

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Se ha considerado que algunos orientados tienen dificultades para el aprendizaje de las matemáticas porque no pueden aplicarlas como lo imaginó el docente, pero éstos dentro del contexto en el cual se desarrollan, pueden resolver situaciones problemáticas, como compras y ventas sin necesidad de recurrir a pasos sistematizados. El reto está en considerar la siguiente pregunta: ¿en realidad son ellos los que tienen dificultades? Cuando se trabaja con matemáticas en las escuelas, casi siempre se hace de manera tradicional y autoritaria, limitando al niño en muchas cosas que podría experimentar directamente, dificultando su aprendizaje debido a que no responde a sus intereses. Los orientados son el reflejo sus maestros en el aula. Quien tiene desconocimiento del número, aunque sepa cómo se escribe el signo, no lo puede manejar en su contexto, porque le faltó pasar por un proceso de adquisición pues no lo experimenta, ya que sólo se le suele enseñar de manera verbal y repetitiva. Las dificultades no están en el orientado, sino que éstas se presentan cuando tiene que resolver situaciones que implican el uso de la suma o de la resta, porque para resolverlas tiene que seguir ciertos pasos de forma sistemática, que le fueron enseñados de manera verbal, no permitiéndole hacer manipulaciones, ni aplicar su curiosidad; porque las matemáticas es saber hacer, resolviendo problemas. Tiene dificultad para aprender un contenido de manera superficial, donde el único apoyo del maestro es proponer actividades del libro, prohibiéndole trabajar con sus compañeros, que le permitan superar sus dificultades, perdiendo la oportunidad de relacionarlo con su contexto. El docente ha de ser consciente de que éste es un mundo nuevo, donde se le obliga al orientado a relacionarse con números, que no solamente son abstractos, sino que le resultan imprescindibles; prohibiéndole formular, probar, construir e intercambiar sus ideas o adoptar nuevas, a partir de sus propias hipótesis. Con base en las ideas de Vygotsky, se puede afirmar que el orientado no tiene dificultades con las matemáticas per se, ésta se presenta cuando se quiere que él aprenda el lenguaje propio de la materia, sin darle la guía y el apoyo que requiere; imponiendo los intereses del docente. 252

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El maestro, al no correlacionar esta asignatura con las demás, hace que el niño pierda el interés, impidiéndosele buscar otras alternativas. Los teóricos cognoscitivistas afirman que las matemáticas no deben ser enseñadas de forma aislada, sino dentro de un contexto significativo, de lo contrario no es posible su enseñanza. Dentro de las aulas los docentes, continúan impartiendo paso por paso el currículo oficial, sin alterar el orden, sin aportar innovaciones propias a las actividades propuestas, dosifica los contenidos por mes, eso lo lleva a trabajar de manera sistemática, como consecuencia, los niños que no van a ese ritmo se van rezagando dentro del aula. Muchas de las funciones que realiza el profesor con serias limitaciones se deben a la falta de una concepción pluridisciplinar que demanda el aprendizaje las matemáticas, diferente de la manera cómo él las aprendió. Los múltiples cursos de actualización que se les brindan a los profesores no resuelven el problema debido a la superficialidad con que se imparten generalmente, pues no llegan a la raíz del problema por no entenderlo a fondo. Quienes los imparten necesitan comprender lo que los estudiosos de la materia han encontrado sobre las características y condiciones de aprendizaje de tal forma puedan ofrecer una manera más eficaz al tener presente cómo es la estructura del pensamiento infantil. Este conocimiento les permitiría identificar estrategias y procedimientos adecuados a los intereses de los niños, en contraste con el uso y el abuso de la repetición y la mecanización que generalmente suele emplearse por los profesores. Es el orientado quien debe aprender a resolver cualquier situación que se le presenta por sí solo, y aprender a partir de lo social a lo individual, esto es, el docente es su guía en el proceso de aprendizaje de manera que pueda ir resolviendo cada vez más situaciones por sí mismo. Al convivir con su grupo de iguales podrá contrastar y explicar sus ideas. Hoy en día se resalta la transmisión de los procesos del pensamiento matemático como una transferencia de contenidos. Por eso, se ha considerado a la psicología cognoscitiva como una guía adecuada para ayudar a desarrollar los procesos mentales de resolución de problemas, en vez del enfoque tradicional que se centra en la transmisión de recetas específicas. Se retoma la idea de Vygotsky de que el docente debe conocer a sus niños, para que pueda potenciar sus habilidades, y utilizar el trabajo colectivo y el juego como medios y de acuerdo con sus intereses. 253

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Fig. # 82. Juegos matemáticos con operaciones básicas.

11.2 Teorías generales Una teoría que han intentado explicar el aprendizaje de las matemáticas es el Cognoscitivismo, el cual aporta cuatro modelos explicativos de gran importancia: a) Modelos de comprensión: analizan cómo se traducen los enunciados de un problema en representaciones internas. b) Modelos de procesos: identifican los pasos que da la persona para resolver una operación cognoscitiva bien definida, como la división. c) Modelos de estrategias: estudian la forma de escoger, controlar y alcanzar las metas en la resolución de actividades cognoscitivas complejas, como un problema de geometría. d) Modelos de esquemas: describen el modo de seleccionar e integrar la información de representaciones coherentes. Los aprendizajes matemáticos están ligados a las operaciones del pensamiento. Según Piaget, el desarrollo del pensamiento matemático pasa por distintas etapas, evolucionando desde un pensamiento ilógico e intuitivo a un pensamiento lógico.

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1. Dificultades en la numeración: la noción de número comprende un aspecto cardinal y otro ordinal. Para la construcción del número y la adquisición de su valor posicional, el niño deberá realizar operaciones de identidad, clasificación, conservación de la cantidad, seriación, transformación e inclusión. •

•

Identificación de números: para el reconocimiento y comprensión del número es básica la habilidad de reconocer y discriminar entre varias formas. El niño puede confundir los números en la lectura o en la escritura. También hay que tener en cuenta el componente auditivo, ya que es necesario establecer la asociación auditivo-visual en la identificación de números. Correspondencia recíproca: el niño con problemas para el aprendizaje tiene dificultad para entender que cada objeto está representado con su notación numérica. Así, un niño contar los bloques en voz alta (decir los números) a una velocidad, y tocarlos a otra. L falta de coordinación le impide establecer la correspondencia uno a uno. Escasa habilidad para contar comprensivamente: el niño no comprende el número, no recuerda los números en el orden correcto, le cuesta saltar de decena…En el conteo ordinal le cuesta determinar la posición de un elemento en un conjunto. Dificultad en la comprensión de conjuntos: el entendimiento de la propiedad del número es esencial para comprender el concepto de conjunto, pudiendo diferenciar dos conjuntos por el número de elementos que lo componen. También son importantes los conceptos comparativos o cuantitativos (más, menos, grande, pequeño…). Dificultad en la conservación: para los niños con dificultades, más piezas significan más cantidad total. También les cuesta comprender la propiedad conmutativa de la suma y de la multiplicación. Dificultad para entender el valor según la ubicación de un número: en ocasiones, los niños presentan dificultades para comprender el valor de un número según su ubicación, especialmente con aquellos que contienen la cifra 0. Dificultades en el cálculo: muchos niños aprenden las operaciones básicas por rutina y presentan dificultades, unas veces por falta de memoria y otras por inadecuación en la presentación de las operaciones a realizar, en la presentación del problema o por confusiones de direccionalidad al operar. Dificultades en la comprensión del concepto de medida: están relacionadas con la incapacidad de hacer estimaciones acertadas de algo cuando no están disponibles las medidas en unidades precisas. 255

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•

Dificultad para aprender la hora: los niños suelen tener problemas para diferenciar entre la manecilla de las horas y la de los minutos. También les resulta difícil decir las horas intermedias, siendo más sencillo aprender las horas en punto y las medias horas. Dificultad en la comprensión del valor de las monedas: pueden tener problemas en la adquisición de la conservación de la materia, y a la hora de reconocer el valor de cada moneda.

2. Dificultades en los algoritmos de las operaciones: Las operaciones aritméticas exigen la comprensión del concepto de número, el conocimiento del conteo y del valor del número según su ubicación. Por tanto, es necesario que el niño domine estos conceptos antes de iniciarse su instrucción. Los errores más frecuentes que cometen los niños al realizar los algoritmos escritos de suma y resta son los siguientes: a) De colocación de los números: justifican los números a la derecha en vez de hacerlo a la izquierda o no hacen coincidir las columnas de las cifras del primer número con las columnas del segundo. b) De orden de obtención de los hechos numéricos básicos: empieza a sumar o restar por la columna de la izquierda y avanzan hacia la derecha. c) De obtención de los hechos numéricos básicos: se equivocan en los resultados de la tabla de sumar o restar. d) De resta de la cifra menor de la mayor: restan la cifra menor de la mayor sin fijarse si corresponde al minuendo o sustraendo. e) De colocación de un cero: cuando la cifra del minuendo es menor que la cifra del sustraendo pone como resultado el número cero. f) De lugar vacío: ante un lugar vació, no completan la operación u olvidan la llevada. g) De olvido de la llevada: no incorporan la llevada a la columna siguiente. h) De escritura del resultado completo: cuando al operar una columna obtienen un número de dos cifras lo escriben completo en el resultado. 3. Dificultades en la resolución de problemas: Los niños con deficiencias de decodificación y de comprensión en el proceso lector, suelen tener dificultades para interpretar correctamente los problemas. Muchas veces el déficit está relacionado con el vocabulario, y otras, la dificultad radica en el ordenamiento temporal o espacial.

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•

Algunas de las variables relacionadas con esta dificultad son: la longitud del enunciado, la formulación complicada o desordenada del enunciado, la aportación de información innecesaria, los términos técnicos poco comprensibles, las palabras con significa-do múltiple y la puntuación confusa. Una posible estrategia para trabajar la dificultad en la comprensión de problemas podría ser el seguimiento de estos pasos:

1. Sacar la idea general sobre la estructura del problema. 2. Plantearse qué se pide en el problema. 3. Analizar los datos. 4. Plantearse qué se debe hacer y cuál sería el orden correcto. 5. Realizar cálculos y operaciones. 6. Responder a la pregunta con unidades de medida. 7. Observar si la respuesta es lógica y comprobar el resultado obtenido. La didáctica de la resolución de problemas debe contemplar que la acción sea significativa dentro del contexto real vivido por el niño y de su estado evolutivo. Además, se debería enseñar a los niños a leer detenidamente el problema, repetirlo con sus propias palabras, verbalizar y reproducir la situación del problema.

11.3 Campos del conocimiento matemático Las matemáticas ofrecen un conjunto organizado de conocimientos jerarquizados, respetando una minuciosa lógica interna y coherente. Sus tres campos principales son: a) La numeración. b) La aritmética. c) La resolución de problemas. Portellano (1991) ofrece el siguiente esquema sobre los campos del conocimiento matemático:

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Resolución de problemas

Ámbito del conocimiento matemático

Operaciones Aritméticas básicas Concepto de número

Procesos cognoscitivos: - Atención - Memoria - Razonamiento - Percepción

Lenguaje

Conceptos básicos: - Tamaño - Forma - Cantidad - Orden - Posición

Ámbito cognoscitivo previo (Fundamentos)

Cuadro # 18. Campos del conocimiento matemático. Al parecer, la enseñanza tradicional no se adapta a las exigencias cognoscitivas necesarias para el dominio de esta disciplina.

11.3.1 Concepto de número Las investigaciones de Piaget han tenido gran relevancia en la enseñanza del número. Éste es una abstracción que se forma lentamente en el niño a través de diversas experiencias. Piaget y Szeminska (1941) señalan que se necesitan dos condiciones psicológicas para su elaboración: • •

La conservación del todo: el todo es un conjunto de partes que se puede distribuir como se quiera. Tiene que haber reversibilidad del pensamiento para que haya conservación. La seriación de los elementos. El número se construye en la medida que los elementos de la serie son concebidos a la vez como equivalentes y no equivalentes.

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o Equivalente: se pueden agrupar en una misma clase, caracterizada por un cardinal. o No equivalente: pueden ser seriados, siendo cada término de la serie semejante a los demás y diferente por el lugar que ocupa en la serie. El conteo prepara para adquirir habilidades numéricas posteriores. Gelman y Gallistel (1978) señalan cinco componentes de la habilidad de contar: a) Correspondencia uno a uno: se da un emparejamiento biunívoco entre cada uno de los objetos y su etiqueta. b) Orden estable de la secuencia numeral: 1, 2, 3, 4, 5, etc. c) Principio de cardinalidad: el último número de la secuencia representa no sólo el elemento situado en la última posición, sino también el conjunto formado por todos los elementos. d) Orden irrelevante: se pueden contar los objetos de izquierda a derecha o de derecha a izquierda sin afectar el resultado del conteo. e) Principio de abstracción: permite contar tantos objetos homogéneos como heterogéneos, sin que se altere el resultado. Cuando el niño ha adquirido la conservación y la seriación puede abordar la numeración. Para establecer la correspondencia cantidad-símbolo, debe ser capaz de percibir visualmente una cantidad, de evocar el símbolo correspondiente a dicha cantidad y de realizar el grafismo de dicho símbolo. El cuadro representa la correspondencia entre los objetos y su número. s s s s s s s s s s

0 0 0 0 0 0 Fig. # 83. Correspondencia objeto y su número

La grafía de los números no es tan arbitraria como pudiera parecer. Se representa por un signo cuyo número de ángulos es igual a la cantidad que representa. El cero es redondo, sin ángulos. El uno tiene un ángulo, etc. Con el siguiente cuadro, Feliz y González (2002) representan el significado del grafismo de los números:

Fig. # 84. Número de ángulos igual a la cantidad. 259

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Para aprender la numeración debe comprenderse el valor posicional de los números dentro de las cifras. Por ello, antes de la representación gráfica hay que manipular diferentes materiales: fichas, palitos, bolitas, de modo que el niño comprenda cómo 10 unidades forman la decena.

11.3.2 Operaciones aritméticas básicas Para aprenderlas se debe interiorizar previamente las nociones básicas, la numeración, las relaciones espaciales y temporales, etc., pero especialmente el vocabulario, como juntar y separar primero; sumar y restar, después. El aprendizaje de las operaciones debe seguir el orden de dificultad que presenta cada una de ellas. Primero se suman las unidades, después decenas sin llevar, llevando, etc. Después se pasa a la resta, luego a la multiplicación y se termina con la división. Éstas no se comprenden si no se realizan. El niño debe entender que: • • • •

La suma es esencialmente una operación de unión. La resta se caracteriza por su complejidad: sirve para calcular una diferencia, una comparación y la parte desconocida de una suma (contrario de sumar). La multiplicación es una suma abreviada de números iguales. La división corresponde a dos acciones diferentes: una partición (“Tenía 6 lápices, he hecho 2 partes: tengo 3 lápices en cada parte”) y una distribución (“tenía 6 lápices, he hecho grupos de 3; tengo 2 grupos”).

El mecanismo de las operaciones implica: noción de espacio y de orientación. Los números se escriben de izquierda a derecha, pero las operaciones se calculan de derecha a izquierda. La resta y la división presentan dificultades específicas. Según Vergnaud (1985), la principal dificultad está en traducir una situación del mundo real a una operación, pues exige dominar dos tipos de cálculo: •

•

Cálculo de relación: lo forman las operaciones de pensamiento para manejar las relaciones que intervienen en la situación, y que se expresan como teoremas o inferencias en acción, no necesariamente explícitos. El cálculo numérico: incluye operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

260

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11.3.3 Resolución de problemas Según Bermejo (1998), se identifican distintos tipos de problemas matemáticos, el conocimiento que entra en juego en los mismos y las fases sucesivas en su resolución. Es importante cómo se representa.

Problemas de cambio Estado inicial

Cambio

Problemas de combinación

Parte

Estado final Problemas de comparación

Conjunto grande

Parte

Conjunto Pequeño

Todo

Conjunto diferencia

Cuadro # 19. Problemas de cambio.

•

• •

El esquema de los problemas de cambio consta: estado inicial-cambio-estado final. Ejemplo: Alberto tiene 7 caramelos. María le da 3 más. ¿Cuántos tiene caramelos tiene ahora Alberto? El de los problemas de combinación: parte-parte-todo. Antonio tiene 5 caramelos y María 8. ¿Cuántos caramelos tienen entre los dos? En los problemas de comparación: conjunto grande-conjunto pequeño-conjunto diferencia. Elena tiene 6 caramelos. Sergio tiene 3 caramelos más que Elena. ¿Cuántos caramelos tiene Sergio?

Las cantidades aparecidas en los problemas se escriben en el interior de los dibujos, decidiéndose después si hay que sumar o restar.

261

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La representación de los problemas proporciona una base para su comprensión y facilita el establecimiento de relaciones entre los términos del enunciado y la selección del procedimiento para resolverlo. Esto evita que los problemas se asocien a la idea de número, de operación, pero no al de búsqueda. Lo más importante de los problemas no está en los datos, sino en la relación que hay que establecer entre ellos para llegar a la solución correcta. En el conocimiento para solucionar problemas se diferencian los siguientes: a) Conocimiento lingüístico: Interviene en la fase de traducción del problema. b) Conocimiento general: acerca del mundo y conocimiento de esquemas o representación mental de la estructura semántica que subyace al problema. Interviene en la fase de integración de los datos del problema. c) Conocimiento estratégico: o análisis de medios-fines. Es necesario para la fase de planificar la solución. d) Conocimiento operativo: procedimiento necesario para resolver el problema, cómo sumar, se precisa en la fase de ejecución. Las fases de resolución de problemas y conocimientos implicados en las mismas, según Santiuste y González Pérez (2005) se representan en el siguiente esquema: Fase de resolución

Conocimiento implicado

Traducción

Lingüístico

Integración de los datos

• Conocimiento del mundo • Conocimiento de esquemas

Planificación

Estratégico

Ejecución

Operativo

Cuadro # 20. Fases de resolución de problemas y conocimiento implicado.

262

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Actividad # 53

Encuentra el valor de cada objeto Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: razonamiento lógico

Instrucciones. Encuentra el valor de cada figura.

Fig. # 85. Juegos de razonamiento lógico. 263

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11.4 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas Según Rivière, 1990), las dificultades en las matemáticas se basan en conceptos muy discutidos y de dudosa consistencia. Tradicionalmente se habla de la discalculia para referirse a los niños que presentan un trastorno de estructura que les dificulta aprender matemáticas. Todavía no se cuenta con una definición clara, operativa y rigurosa para esto, por tanto, aquí se emplea el término dificultades en el aprendizaje de las matemáticas (DAM) para referirse a las personas que no logran el dominio de ciertas formas de pensamiento matemático, o que encuentran grandes dificultades para alcanzar los objetivos establecidos en el currículo escolar. No se sabe con precisión cuál es la etiología de esta dificultad, pero parce ser multifactorial. Los más importantes son: a) No establecer la asociación número-objeto. b) No comprender que un sistema de numeración está formado por grupos iguales de unidades que dan lugar a unidades de orden superior. c) No comprender el valor posicional de las cifras dentro de una cantidad. d) No descubrir la relación de los números en una serie. e) Mostrar alteraciones en la escritura de los números (omisiones, confusiones, reiteraciones, números en espejo o invertidos, etc.). f) Manifestar dificultades en la estructura espacial de las operaciones o en la comprensión de las acciones correctas que debe realizar. g) Confundir los signos. h) No conocer las operaciones necesarias para resolver un problema. i) No considerar todos los datos de un problema u operar con ellos sin tener en cuenta el resultado., etc.

11.4.1 Dificultades en áreas específicas Es importante identificar las DAM en las primeras etapas de la escolaridad, pues su aprendizaje pasa por un largo proceso de desarrollo en el que las dificultades iniciales pueden llegar a ser mayores. Fernández, Llopis y Pablo (1991) identifican ocho áreas en las DAM: numeración, cálculo, álgebra, resolución de problemas, geometría, gráficas, fracciones y uso del lenguaje matemático. 264

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1) Numeración. Conocimiento y memorización de los números generalmente no tiene dificultad, excepto con los números grandes, pero sí: a. La asociación número-objeto y la concepción del número como la unión de las operaciones de clasificar y seriar. b. Los fundamentos del sistema decimal. c. La escritura de los números, debido a problemas de espacio o de lateralidad, o a la comprensión del valor posicional de las cifras. d. El establecimiento de la clave para seguir una seriación, especialmente si es descendente. Suma ¿Cuál es el valor de cada dulce? Clave

cinco

quince

veinticinco

uno

? = 10 Fig. # 86. Calcular el valor de cada número con sumas. 2) Cálculo. La comprensión y la mecánica de las cuatro operaciones básicas es la principal DAM. Con frecuencia se falla por déficits cognoscitivos, afectivos, grafomotores y perceptivos. Estos niños necesitan mayor apoyo manipulativo. Mayer (2002) ilustra algunos fallos de la resta en el siguiente recuadro. 265

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Nombre del fallo Pedir al cero

Menor mayor

del

0–N=N

0 – N = N y salta sobre cero y pide prestado

Ejemplo 103 - 45 158 253 - 119 146 140 - 21 121 304 - 75 279

Descripción Cuando resta de una columna cuyo número superior es 0, el niño escribe 5, pero no sigue restando de la columna de la izquierda del 0. El niño resta el dígito menor en cada columna del mayor, sin tener en cuenta cuál está arriba. Cuando el dígito superior en una columna es 0, el niño escribe el dígito inferior como respuesta Cuando el dígito superior en una columna es 0, el niño escribe como respuesta el dígito que está debajo. Cuando el niño necesita restar de una columna cuyo dígito superior es 0, se salta la columna y resta de la siguiente.

Cuadro # 21. Fallos en la resta. Multiplicación y resta ¿Cuál es el valor de cada objeto? Clave

once

nueve

once

diez y seis

? = 176 Fig. # 87. Calcular el valor de cada número con multiplicación y resta. 266

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Multiplicación y suma ¿Cuál es el valor de cada objeto? Clave

diez y seis

cero

cuatro

? = 36 Fig. # 88. Calcular el valor de cada número con multiplicación y suma. Tabla de multiplicar ¿Cuál es el valor de cada objeto? Clave

uno

dos

tres

seis

diez y ocho

Fig. # 89. Calcular los valores de la tabla de multiplicar.

267

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Colores ¿Cuál es el valor de cada color? Clave Cada cuadro: 2.5

105

Fig. # 90. Calcular los valores de los colores.

3) Álgebra. Con frecuencia no comprende que las letras simbolizan números, y que pueden tener un único valor (como en X + 5 = 9) o infinitos valores (como en X + Y = 0); tienden a sustituir expresiones aditivas (3 + X) por multiplicaciones (3x); no respetan ni comprenden el significado de los paréntesis. Los errores más comunes en secundaria son: a. b. c. d. e. f. g.

Interpretación incorrecta de la jerarquía operatoria. Mala utilización de las reglas para quitar paréntesis. Operaciones incorrectas con los números negativos. Interferencia de reglas en las operaciones con potencias y raíces. Preponderancia del número sobre la letra al operar. Incorrecta interpretación algebraica del enunciado de un problema. Desprecio de datos, etc.

Parece ser que estos errores se deben a factores tales como: • •

Memorización de reglas, que se utilizan erróneamente por analogía con otras reglas conocidas. Generalización abusiva de reglas.

268

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

• • •

Uso del signo igual como una acción que debe llevar a un resultado, en lugar de como un equilibrio manipulable en ambos sentidos. Omisión de algunas condiciones. Necesidad de reducir las situaciones a términos más simples; traducción literal de enunciados, etc.

Fig. # 91. Lenguaje algebraico. 4) Resolución de problemas. Se observa que los niños con trastornos de lenguaje tienen particulares dificultades para comprender el texto; los que padecen desorientación espaciotemporal, falta de estructuración mental o atención inestable, no ordenan bien las partes del problema.

269

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 92. Estrategias para resolver problemas matemáticos.

5) Geometría. Presenta muchas dificultades debido a la aridez y abstracción de algunas nociones (línea, plano…) y a la terminología (pentágono, polígono…). Por formarse ideas equivocadas sobre el espacio debido a una enseñanza inadecuada al centrar su atención sobre conceptos erróneos; como llegar a creer que si una forma geométrica cambia de posición, también cambia su forma o su tamaño. Dickson, Brown y Gibson (1991) advierten que el aprender el concepto de área en el contexto de medida, ligado a fórmulas, antes de poder experimentarlo prácticamente, induce al alumno a confundirlo con el perímetro o a calcularla midiendo un solo lado de la figura.

270

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 93. Cuerpos geométricos 6) Gráficas. Suele confundirla con el dibujo de una situación; al no entenderla muestra una relación entre dos variables, confunde los intervalos con puntos particulares, o se centra en uno o dos factores que excluyen el resto al construir la gráfica.

Fig. # 94. Cuadros de doble entrada. 271

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

7) Fracciones. Este concepto es difícil de entender. Lo más difícil es tener que sumar o restar la fracción con un número entero, pues considera que el numerador y denominador son elementos independientes, por lo que opera con ellos aisladamente; no interpreta adecuadamente el valor del 0 en la fracción.

Fig. # 95. Tiras de fracciones. 8) Lenguaje matemático. El niño debe aprender a expresarse con lenguaje específico y preciso, lo cual es más complicado que su lenguaje natural. Debe acostumbrarse a la abstracción de los signos, símbolos y formulas utilizados. Según Orton (1990), las complicaciones están: • • • •

Debe asimilar una gran cantidad de vocabulario teórico novedoso. El significado distinto de estos términos respecto al uso habitual. El uso del texto en relación con el léxico, sintaxis, diagramas, tablas, gráficos, etc. Los símbolos matemáticos que aparecen.

272

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Fig. # 96. Percepción visual. Formas y colores.

11.4.2 Dificultades en la resolución de problemas Las habilidades que Mayer (2002) considera necesarias para resolver los problemas requieren transformar cada paso en una representación interna, por lo tanto, se necesita comprender el lenguaje (conocimiento lingüístico) y del mundo (conocimiento semántico). •

Primer paso: dominar las categorías del problema. Para este autor, los componentes de la resolución de problemas se resumen en el siguiente cuadro: Componentes Traducción del problema Integración del problema Planificación de la solución y supervisión Ejecución de la solución

• • • •

Tipos de conocimiento Conocimiento lingüístico Conocimiento semántico Conocimiento esquemático Conocimiento estratégico

•

Conocimiento de procedimiento

Cuadro # 22. Componentes de la resolución de problemas. 273

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•

Segundo paso: la integración del problema. Requiere más de una transformación, por ejemplo: si un libro cuesta 6 pesos, ¿Cuántos libros podría comprar Alberto con 24 pesos? Para tener éxito en su resolución hay que poseer conocimientos sobre las categorías del problema (cambio, combinación y comparación), reconocer la información relevante de la irrelevante y determinar qué información es necesaria para a resolución del problema. El conocimiento esquemático ayuda a integrar la información en una representación coherente.

•

Tercer paso: planificación y supervisión de la solución. Para resolverlo hay que establecer un plan, preguntándose primero “¿conozco algún problema parecido?” El conocimiento estratégico ayuda para llevar a cabo los cálculos requeridos en el plan. Hay tres pasos en el proceso de transformación analógica: a) Reconocimiento. Se identifica un problema parecido (llamado base) que se puede realizar. b) Abstracción. Se abstrae el método de solución o principio. c) Trazado de un plan. Se aplica el método o principio al objetivo.

•

Cuarto paso: la puesta en práctica de la solución. Una vez que se cuenta con el plan, hay que llevarlo a cabo: realizar los cálculos. El conocimiento del procedimiento adquirido con la práctica produce una progresión de los procedimientos básicos a procedimientos más sofisticados y automáticos.

La resolución de problemas se deriva de diferentes tipos de conocimiento implicados en su resolución: a) Conocimiento lingüístico: hay una deficiente comprensión y dificultad para decodificar textos a menudo abstractos o ambiguos. b) Conocimiento esquemático: representación deficiente del problema o verse influido por los modelos intuitivos que se mantienen sobre las operaciones. c) Conocimiento estratégico: no establecer las metas que faciliten la solución, no estar familiarizado con los procedimientos necesarios para resolver el problema o ser incapaz de elaborar un plan, seguirlo y corregirlo cuando sea necesario. d) Conocimiento del procedimiento: puede desconocer el algoritmo de resolución apropiado.

274

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Es necesario considerar los siguientes aspectos: •

•

Dificultades de lectura en matemáticas. Es importante que el profesor utilice técnicas especializadas para leer materiales aritméticos (Terry, 1921) ayude al alumnado a que domine el vocabulario y comprenda la complejidad sintáctica de los enunciados (Langford, 1989), pueda transcribir el enunciado verbal a una forma simbólica. Si se le deja al niño utilizar materiales concretos, como contar con los dedos, es capaz de resolver problemas típicos, como “un granjero tenía 7 vacas y vendió 3, ¿cuántas le quedan?” Estrategias matemáticas. Realmente no se requiere de estrategias poderosas o sofisticadas, sino al contrario, sencillas para representar el problema, en forma gráfica o figurativa. El reto está cuando el problema no es fácil de representarse figurativamente. Los problemas de comparación. Según Lewis y Mayer (1989), algunos niños les es difícil resolver los problemas de comparación, en especial si el término de relación es inconsistente con la operación aritmética requerida, como cuando se emplea la palabra más y su respuesta exige la sustracción. “Alberto tiene 20 canicas; si tiene 8 más que Luis, ¿cuántas canicas tiene Luis?” Esto es el efecto de consistencia: se le dificulta representar las afirmaciones de relación del problema y traducirlas en un plan de solución. Los problemas inconsistentes: son difíciles aún para quienes los resuelven bien, pues exige un tiempo de procesamiento adicional: construir un modelo mental para estructurar un plan de solución. Quienes fallan hacen una traducción directa y derivan el plan de solución de claves lingüísticas únicamente. Hegaty, Mayer y Green (1992) señalan que la construcción del modelo mental hace que los alumnos exitosos dediquen más tiempo a leer los problemas inconsistentes que los consistentes, y los que fracasan dedican el mismo tiempo a la lectura de ambos tipos de problemas.

11.5 Causas de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas Pocas personas logran formarse un pensamiento matemático al terminar la escolaridad obligatoria. ¿Cuáles son las causas del elevado índice de fracaso en las matemáticas? Es posible que, según Beltrán y otros (1987) se deba a:

275

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

• • • • • •

Su alto grado de abstracción. Su carácter acumulativo de contenidos. Su notación simbólica que las hace ser un medio de comunicación preciso. No se adquieren en un medio natural. No se utilizan de manera constante. Su carácter jerárquico, su naturaleza lógica y su complejidad.

Las causas de las DAM son muy variadas y por múltiples factores que interactúan para obstaculizar su aprendizaje, entre los cuales destacan: A. Factores contextuales: se refiere a los procesos, contenidos y estrategias de enseñanza, como su metodología, la organización de la clase, el estilo del profesor, recursos materiales y temporales, el contenido que debe aprenderse, etc. Según Stodolsky (1991) están: a. Métodos homogéneos: contenidos, formas de enseñanza, metas cognoscitivas y comportamiento de los alumnos, b. La enseñanza de temas sigue un orden estándar: suma, resta, multiplicación y división. c. Comportamiento uniforme del alumnado: trabajo individual en el pupitre con poca o nula interacción entre sí. d. Metas: exclusivamente de tipo cognoscitivo. e. Materiales comunes: libros de texto, ejercicios y fichas de trabajo. f. Dos patrones mayoritarios de trabajo: sus objetivos en ambos métodos son comunes: la adquisición de determinados métodos y destrezas, transmitiendo la idea de que el conocimiento válido está fuera de él y deben transferírselo. i. El profesor enseña. Trabajo de pupitre, sesiones de preguntas y respuestas y correcciones y controles. ii. Los materiales enseñan. Enseñanza individualizada para resolver tareas con materiales diversos, según su propio ritmo. g. Otros factores: menor énfasis a la lectura, agrupamiento de alumnos por niveles de habilidad, currículo repetitivo, distintas oportunidades de aprendizaje, actitudes del profesorado. h. Perfiles del profesor (Hafner, 1993): según sus estrategias y estilos: i. Proporcionan definiciones y dan información sobre hechos. ii. Establecen comparaciones ente conceptos. 276

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

iii. Utilizan dibujos y ejemplos, promueven el razonamiento inductivo a partir de las intuiciones de los alumnos. iv. Resuelven ecuaciones, multiplicaciones, etc., utilizando sobre todo métodos de ensayo y error. v. Memorizan reglas, justifican los pasos de cada procedimiento y explican el significado de las fórmulas. i.

Factores de instrucción: según Engelmann, Carnine y Steely (1991), se gasta mucho tiempo en enseñar habilidades de cálculo a expensas de la comprensión de conceptos y la solución de problemas. i. La mayoría de los temas reciben muy poco tiempo de instrucción. ii. Hay exceso de repetición, presentación y gradación. iii. Introducción muy rápida de conceptos sin asegurarse si el alumnado dispone del conocimiento previo necesario. iv. Uso incoherente de estrategias. v. No se provee al alumnado de herramientas para que revisen lo aprendido, dificultando la práctica guiada a su trabajo autónomo.

B. Factores socioculturales: nivel socioeconómico y cultural, sexo, etc. C. Factores cognoscitivos: se refiere a los procesos mentales que subyacen a los errores en los aprendizajes de las matemáticas, como recursos de atención, recuperación de la información de la memoria a largo plazo, conservación de la información en la memoria de trabajo, conocimientos previos y automatización de procesos y operaciones básicas; esto es, estrategias, lenguaje, velocidad de procesamiento, atención, memoria, elaboración de modelos mentales, etc.

a. Según Deaño (1994), la dificultad para resolver problemas se debe a: i. Falta de conocimientos previos. ii. Desconocimiento de estrategias informales para usarse en su resolución o por deficiencia estratégica relacionada con la identificación del objetivo o los procedimientos adecuados, la aplicación del algoritmo conveniente o la revisión de los resultados obtenidos. b. Según Rivière (1990), el alumno debe enfrentarse de manera activa y constructiva a las matemáticas. Muchos de los errores provienen de: 277

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

i. La aplicación de algoritmos inventados. ii. Algoritmos que implican, en sí mismos, la posesión de cierta competencia lógico-matemática. c. Según Brown y Burton (1978) los errores se deben a dos factores básicos: i. Sobrecarga de la memoria de trabajo: incapacita hacerles frente a los requisitos de ciertas tareas matemáticas. ii. Carencia de conocimientos previos para afrontar las tareas. d. González Penda (1998): afirma que los niños con DAM pueden presentar dos tipos de perfiles cognoscitivos: i. Primer grupo: niños con problemas de lenguaje. Se caracterizan por presentar frecuentes errores como: confusión de números, escritura de números en espejo, confusión de signos, dificultades para identificar derecha/izquierda y arriba/abajo en las operaciones, etc. ii. Segundo grupo: niños con habilidades lectoras normales pero con problemas que afectan a las matemáticas y a otras áreas, siendo sus dificultades más comunes: 1. Problemas en la memoria a corto plazo. 2. Dificultades en el perfil psicomotor especialmente en la coordinación óculo-manual. 3. Dificultades en las habilidades visoespaciales. 4. Lentitud en los trabajos escritos y en el ritmo de adquisición de los conceptos matemáticos. 5. Puntuaciones bajas en la subprueba de códigos del WISC-R 6. Frecuentes errores en las subpruebas de aritmética. 7. Dificultades con el significado de las operaciones que realizan, por lo que les incapacita aplicarlas para resolver problemas. D. Factores afectivos: ansiedad, motivación, actitudes, sentimientos de autoeficacia, etc. E. Factores neurológicos: las alteraciones neurológicas son causas internas de las DAM, como posibles lesiones cerebrales que en algunos sujetos tendrían repercusión en lo cognoscitivo y afectivo. Todavía hay muchas controversias al respecto, debido a su debilidad metodológica, pues, como dice Rivière (1990) hay niños con dificultad matemáticas a pesar de que son normales sus funciones 278

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

intelectuales, perceptivas y emocionales, así que aunque padecer lesiones cerebrales llega a afectar esta área, no es la causa de todas o la mayor parte de este problema. De cualquier manera, sobresalen los estudios de: •

•

Henschen (1920) fue el primero en utilizar el término acalculia para designar un trastorno del cálculo producido por una lesión cerebral, pudiéndose emparentar con la dislexia y/o por un trastorno específico del cálculo manifestado por la dificultad para realizar operaciones. Luria (1977) asocia las lesiones cerebrales en zonas del lóbulo parietal inferior, parieto-occipital, sectores frontales, etcétera, producen alteraciones de la representación numérica y del cálculo. Money (1973) considera que las dificultades aritméticas se deben a alteraciones en el hemisferio derecho y las de lectura con el hemisferio izquierdo. Rourke (1993) encontró dos perfiles neuropsicológicos asociados con el bajo rendimiento aritmético al presentar marcadas diferencias en los potenciales evocados (en aritmética, lectura y ortografía) y en el funcionamiento socioemocional (pobre rendimiento aritmético, pero no en lectura, pues no está afecta su organización perceptivo-visual ni el análisis visoespacial de orden superior).

Fig. # 97. Áreas parietales. 279

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

11.6 Estrategias cognoscitivas y metacognoscitivas Estas estrategias son clave en las distintas fases de resolución de problemas. Según Ashman y Conway (1990), las estrategias requeridas en las fases de resolución de problemas son: Comprensión del problema

Estrategias de adquisición de la información

Concepción de un plan

Planificación

Realización del plan

Ejecución NO

¿Funciona el plan?

Estrategias metacognoscitivas Supervisión

SÍ Comprobación

Revisión

Cuadro # 23. Estrategias metacognoscitivas. Montague (1992) y Woodward (1991) afirman que quien carece de estrategias generales de solución de problemas: • • • •

No procesa la información que aparece ni utiliza el conocimiento de modo eficaz. Tiene dificultades para seleccionar y aplicar estrategias adecuadas. No dispone de procesos de autorregulación. Aunque conoce y utiliza estrategias similares a las de sus pares cuando lee, calcula y verifica problemas verbales, difiere en su capacidad para representar dichos problemas, es decir tienen deficiencias para parafrasearlos, visualizarlos por medio de ilustraciones o imágenes mentales y establecer hipótesis, metas y planes de solución.

280

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

•

• • •

No integra de forma correcta los subcomponentes de una habilidad, fallando cuando encuentra los detalles más elementales, como un signo de operación o un paso difícil en un algoritmo. En general, manifiesta un menor conocimiento metacognoscitivo respecto a sus propias destrezas de resolución. Es menos exacto a la hora de predecir cuántos problemas podrá resolver. Es menos preciso en identificar qué problemas están resueltos y cuáles no, esto es, carece de regulación metacognoscitiva.

Según Woodward (1991), los niños con DAM necesitan ayuda para automatizar sus procedimientos y para aprender a reconocer cuándo se necesita realizar un determinado cálculo y qué relación guarda con otros problemas. • •

•

No realizan las actividades propuestas porque no sabe qué hacer. Aunque parece que aprenden los componentes cognoscitivos y metacognoscitivos de las estrategias con relativa facilidad, no mantienen su uso a lo largo del tiempo. Requieren entrenamiento en técnicas de generalización.

11.7 Evaluación de las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas Cualquier intervención educativa debe ser precedida de un diagnóstico diferencial en que se identifiquen las DAM. Velasco y Jabonero (1984) señalan que la evaluación tradicional examinaba variables como: • • • • •

Nivel de desarrollo del razonamiento: conservación, clasificación, seriación, etc. La realización de cálculos aritméticos: numeración y operaciones. Conceptos matemáticos que posee, su comprensión y expresión verbal. Planteamiento de problemas y modo de resolverlos. Los elementos gnosopráxicos: estructuración espaciotemporal y dominio del espacio gráfico.

El enfoque cognoscitivo se centra especialmente en los procesos de aprendizaje: 281

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

• • • • • • • • •

Conceptos correctos o erróneos. Estrategias adecuadas o no para afrontar las tareas. Examina tanto conocimiento formal como informal, pues puede ser insuficiente y dificultar el acceso a las matemáticas. Detallar los puntos fuertes y débiles del niño. La precisión y eficacia de las técnicas matemáticas básicas. Su grado de automatización. Estrategias seguidas para llegar a una solución. Los errores sistemáticos que comete. Conocer las insuficiencias de los conocimientos subyacentes.

Los instrumentos que se pueden emplear para el diagnóstico diferencial pueden apoyarse en pruebas estandarizadas, muy útiles por su solidez en su construcción (fiabilidad y validez), estandarización y baremación, pues permite comparaciones con grupos de pares. En general no se usan pruebas aisladas sino una batería de pruebas específicas para identificar los factores que intervienen.

11.7.1 Pruebas psicológicas Finalidad: identificar déficits de aptitudes específicas asociadas con el rendimiento matemático, la inteligencia general, memoria, hábitos de estudio, autoconcepto académico, comprensión lectora y resolución de problemas. Entre las pruebas que hay en el mercado se toman las subpruebas que se relacionan directamente con este tema. Algunos ejemplos son: Pruebas Escalas de inteligencia Wechsler

Escalas McCarthy de aptitudes y psicomotricidad

Edad/aplicación WPPSI: 4 a 6 ½ años WISC-R: 6 a 16 años WAIS: 16 en adelante Aplicación individual MSCA: 2 ½ a 8 ½ años Aplicación individual

282

Objetivo Muy utilizadas en la evaluación psicopedagógica • Subtests: aritmética, memoria auditiva inmediata (dígitos) • Perfil: puede ayudar en la interpretación neurológica. Escala numérica con tres subpruebas: • Recuento y distribución • Cálculo • Memoria numérica

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Pruebas de factor g: Factor g de Cattell Matrices progresivas de Raven DAT: test de aptitudes diferenciales

A partir de los 4 años Aplicación colectiva

•

A partir de los 14 años Aplicación colectiva

Prueba de desarrollo de la percepción visual de Frostig

3 a 7 años

Prueba gestáltica visomotora de Bender Batería Luria – DNI

4 años hasta adultos

Algunos aspectos de inteligencia general: • Razonamiento abstracto • Razonamiento verbal • Aptitud numérica • Rapidez y precisión perceptiva • Razonamiento mecánico • Relaciones espaciales. Relevante para el diagnóstico de geometría • Coordinación visomotora • Discriminación figura – fondo • Constancia de forma • Posición en el espacio • Relaciones espaciales • Valora la integración visomotora • Alteraciones neurológicas

Cuestionario de personalidad Cattell (ESPQ, CPQ y HSPQ)

De 6 años hasta adultos Aplicación individual

A partir de los 7 años

Miden inteligencia general

Evalúa trastornos neuropsicológicos • Escritura numérica: pide escribir y leer números de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, decidir qué número de entre arios que lee o escucha es mayor. • Operaciones aritméticas: resolver sumas, restas, multiplicaciones, completar operaciones en las que falta un número o el signo y contar hacia atrás de tres en tres. Es importante conocer la personalidad del niño y su forma de reaccionar, pues puede influir en su rendimiento académico.

Cuadro # 24. Pruebas psicológicas.

283

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Fig. # 98. Láminas de la prueba de Bender.

11.7.2 Pruebas pedagógicas Finalidad: ayudan a determinar el grado de dominio de la diversidad de conceptos y procedimientos propios de las matemáticas. a) Habilidad para comprender y usar los conceptos de cantidad, combinaciones, número, forma, tamaño, posición y medida. b) Habilidad para sumar, restar, multiplicar y dividir números naturales, enteros y fracciones. c) Habilidad para aplicar los conceptos matemáticos a la solución de problemas en situaciones personales y sociales: comprar y vender, calcular diferencias de tiempo, pesar y medir. d) Habilidad para clasificar y categorizar datos y hechos matemáticos. e) Adquisición de nociones e información específicamente matemática. No difieren en mucho de las pruebas que elabora el profesor, pero están más estandarizadas, lo que permite comparar resultados obtenidos con los baremos disponibles del mismo nivel educativo. Algunos ejemplos son:

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Pruebas EAP de Terrasa, 1989. Pruebas pedagógicas graduadas para pre-escolar y ciclo inicial Montesinos y otros (1991). Pruebas psicopedagógicas de evaluación individual Palomino y Crespo Pruebas de cálculo y nivel matemático

Nivel/edad Preescolar Primero de primaria

•

Objetivo Reactivos graduados para distintos niveles de educación infantil y primer ciclo de primaria. Reactivos de lógica, cálculo y grafía de números, medida y geometría.

Preescolar Primaria

• • •

7 a 12 años

Serie A: nociones previas: • Conservación • Seriación • Previsión • Clasificación • Inclusión Serie B: conocimiento de simbolización matemática: • Dictado y lectura de números • Concepto de valor • Concepto de signos • Conocimiento de figuras geométricas • Conocimiento de cuerpos geométricos Serie C: disposición para el cálculo y resolución de problemas: • Repartición y resta • Resolución de problemas con elementos concretos, con dificultad en el enunciado • Problemas abstractos

Conocimiento de las cantidades Operaciones Problemas y otros contenidos

Cuadro # 25. Pruebas pedagógicas.

11.7.3 La evaluación informal La evaluación informal de las necesidades matemáticas, según Jean Gross y Pablo Manzano (2004), se puede realizar también a través de:

285

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

a) La observación: mientras el niño trabaja se puede uno dar cuenta de sus patrones de atención y concentración o la falta de ellos, la frecuencia con que pide ayuda, su forma de realizar la selección de los enfoques y los materiales que usa en las tareas prácticas, el lenguaje matemático que emplea y su capacidad para hacer generalizaciones y predicciones. b) El análisis de errores: revisar con cuidado el tipo de faltas que comete el niño en los cálculos escritos con el fin de entender su forma de pensar. c) Utilizar materiales de evaluación informal: diseñados para comprobar la comprensión de determinados objetivos básicos que logra conseguir el niño, su progreso mensual o trimestral, para involucrarlo en la supervisión y el establecimiento de sus objetivos. d) Apoyarse de la entrevista informal: para sondear la comprensión del niño preguntándole cómo llega a determinadas conclusiones o como verificación rápida de los conceptos que ha dominado. Por ejemplo, elaborar un formato que permita evaluar en 15 minutos lo que el niño comprende acerca del tiempo, dinero, la medida, el valor posicional, el cálculo y el uso de la calculadora. e) Combinar con las pruebas estandarizadas: con el fin de hacer una evaluación más detallada y poderla comparar con sus iguales. Las ventajas de contar con una evaluación precisa sobre el desempeño del niño en esta área y sus dificultades: • • • •

Se pueden plantear con precisión los objetivos de aprendizaje que requiere el niño. Desarrollar planes de acción. Obtener información sobre dónde se pierde el niño en matemáticas con el fin de ajustar los estilos y el proceso de enseñanza-aprendizaje. Encontrar alternativas específicas de cómo enseñarle, en lugar de limitarse a la guía de los contenidos correspondientes a su grado escolar.

11.8 Intervención psicopedagógica Cualquier intervención psicopedagógica que se lleve a cabo debe estar precedida de un diagnóstico diferencial que identifique las causas de las DAM y sus manifestaciones. Con base en éste hay que elaborar un programa seleccionando y organizando las estrategias adaptándolas a las necesidades educativas especiales del niño y tomando en consideración el currículo escolar.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Tradicionalmente se consideraba a las DAM como un síndrome unitario, con etiología difusa e incierta, abordada a través de dos formas: a) Mediante la realización de actividades generales de base psicológica, dirigidos a: • • • •

La adquisición de nociones básicas: conservación, correspondencia, reversibilidad y número. El refuerzo de las funciones adquisitivas: atención y memoria. A l potenciación de la psicomotricidad: esquema corporal, funciones sensoriales, ritmo, equilibrio y coordinación espaciotemporal. La práctica en habilidades de simbolización: expresión oral y escrita.

b) Mediante la realización de actividades específicas para el aprendizaje de las matemáticas: •

• •

La numeración: asociación número-objeto, correcta realización de números. comprensión y utilización de signos matemáticos, sistemas de numeración decimal. La resolución de problemas: comprensión, proceso a seguir. Nociones específicas como la geometría: relaciones espaciales, mediciones.

Bermejo (2004) afirma que los avances de la investigación cognoscitiva han puesto de manifiesto que una instrucción basada exclusivamente en el aprendizaje de procedimientos resulta estéril si no va acompañada de un aprendizaje conceptual significativo.

11.8.1 Principios generales de intervención Metafóricamente, Rivière (1990) señala que los principios generales en los que se debe basar cualquier estrategia para facilitar el aprendizaje matemático son como un espejo inverso de los factores que lo dificultan, convirtiendo el aprendizaje en algo significativo y motivador para el niño. Según Hafner (1993) es posible diseñar un perfil de experto en la instrucción de la matemática elemental, utilizando múltiples maneras de representar la información y promover variadas oportunidades para aprender:

287

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

• • •

Enfatizar lo conceptual Establecer vínculos entre conceptos y organizarlos en patrones o modelos. Adoptar una actitud abierta y un enfoque constructivista respecto a esta área.

Las creencias del profesor sobre el pensamiento de sus alumnos afectan el proceso de enseñanza-aprendizaje, por tanto, puede inducir a los aprendices en la construcción del nuevo conocimiento. En cuanto al entorno de aprendizaje, De Corte (1993), Collins, Brown y Newman (1989), dicen que éste debe permitir la adquisición de aptitudes necesarias para la realización de tareas matemáticas y encaminarse a: • • •

La transmisión de algoritmos Comprensión y construcción de significados La enseñanza de estrategias cognoscitivas y metacognoscitivas en un contexto interactivo, como la resolución de problemas en pequeños grupos.

Feliz y González (2002) y Rivière (1990) proponen un decálogo de principios generales para los profesores que deseen lograr una enseñanza de las matemáticas más efectiva y motivadora: 1. Generar expectativas positivas: cuidar las reacciones frente a los errores, los comentarios informales que afectan la autoestima al cuestionar su capacidad y posibilidades de mejora. 2. Atender a la construcción del conocimiento: sobrepasar el simple desarrollo disciplinar y centrarse en un enfoque más global: que el niño investigue, piense, analice, indague, saque conclusiones, etc. 3. La experimentación debe ser la base del aprendizaje: los principios, leyes, pautas, estrategias, etc., se deben introducir a partir de simples experiencias y situaciones significativas que se convertirán en los algoritmos a aplicar. 4. Favorecer y estimular la comprensión: dar tiempo al diálogo, al cuestionamiento, a las consultas, a las dudas, etc. No es adecuado precipitar los resultados. Asegurarse que se ha asimilado lo viejo antes de pasar a lo nuevo. 5. Enseñar paso a paso las estrategias y algoritmos específicos que exige la tarea: utilizar la atención exploratoria del niño como recurso educativo. 6. Asegurarse de que el niño pueda recordar aspectos relevantes de la tarea o problema: ir comprobando que el niño ha procesado la información relevante. 7. La diversidad es un hecho: por tanto, no se puede pretender que todos los niños persigan los mismos objetivos con las mismas actividades y tiempo. 288

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Plantear la programación como un espacio flexible y disponer de actividades de diferentes niveles para el refuerzo y la ampliación. 8. La ayuda se debe prestar de forma mutua: utilizar la colaboración entre profesores y alumnos y hacer una coevaluación del trabajo cooperativo con los alumnos. 9. La enseñanza debe seguir una secuencia en espiral ascendente: hay que contextualizar los esquemas matemáticos, esto es un determinado contenido se retoma en niveles sucesivos, superiores y más complejos acordes con los niveles madurativos del niño y valiéndose de otros contenidos que se han ido desarrollando paralelamente. 10. Las tareas de orientación han de ser adecuadas, con procedimientos de análisis profundo y ocasiones frecuentes de aprendizaje incidental: es válido tanto para los que ya están motivados en las matemáticas como para los que no.

11.8.2 Métodos de enseñanza Bermejo (2004) recomienda aplicar los avances de la investigación cognoscitiva en el aula, en especial las aportaciones de Piaget y Bruner en la didáctica de las matemáticas: un currículo en espiral, el aprendizaje por descubrimiento y el uso de materiales estructurados para construir estructuras abstractas y organizadas. El esquema de la siguiente página ilustra la secuencia en espiral ascendente de las matemáticas, según Feliz y González (2002)

11.8.3 Los métodos de enseñanza No todos los métodos de enseñanza producen iguales beneficios, pues depende mucho del aprendiz. Por ejemplo: a) Capacidad intelectual. los alumnos de capacidad baja necesitan una enseñanza con reglas; los de capacidad media a través del descubrimiento y los de alta capacidad se benefician con cualquiera de los dos procedimientos. b) Métodos por descubrimiento. Son más eficaces que los de exposición cuando el alumno es extravertido y tiene bajos niveles de ansiedad. Los independientes aprenden más si se les ofrece poca orientación y disponen de material 289

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

manipulativo; los dependientes requieren orientaciones precisas y de materiales simbólicos. c) Control interno. Quienes se autorregulan se benefician del trabajo en pequeños grupos; mientras quienes requieren del control externo aprenden por métodos individuales y con la ayuda del profesor.

Cuadro # 26. Áreas básicas de la aritmética. Víctor Santiuste y Joaquín González-Pérez (2005:293)) sugieren prescripciones de interés complementarias al decálogo de principios generales: a) Tener en cuenta los conocimientos previos del niño para que los materiales no le resulten demasiado nuevos ni demasiado conocidos. b) Disponer el tiempo suficiente para que se dé un aprendizaje significativo. c) Planificar las actividades para que el niño experimente las matemáticas en acción, aclarando los objetivos de estas. d) Evitar la complejidad de las notaciones, introduciendo la formal y las técnicas pertinentes sólo cuando el niño disponga de suficientes estructuras de conocimiento para asimilarlas y esté adecuadamente motivado. 290

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

e) Estimular el aprendizaje de relaciones y la modificación de los puntos de vista, priorizando la comprensión y la resolución de problemas, pero sin descuidar el recuerdo de hechos numéricos, deficitario en el niño con DAM. f) Aprovechar la matemática inventada por el niño y su interés por el juego. g) Proporcionar experiencias múltiples, con formas de representación diversas y materiales variados. h) Emplear la práctica distribuida, breve pero frecuente, en torno a los conceptos más complejos.

11.8.4 Cambio de actitudes González-Pineda (1998) advierte sobre los factores afectivos que influyen en el niño cuando está resolviendo un problema, por tanto, si tiene una percepción negativa de las matemáticas, generalmente inducidas a través de la instrucción, éste suele inhibirse ante estas tareas, por tanto hay que romper el círculo vicioso entre las creencias irracionales, ansiedad y conductas de protección, para fomentar creencias constructivas acerca de las matemáticas, como por ejemplo: • • • •

Pobre concepto académico. Escasas expectativas de control. Patrones de atribución no adaptativos. Desconfianza de su capacidad: “yo soy de letras, no sirvo para los números”, “a mí no se me dan los números”.

Para lograr el cambio es indispensable crear un ambiente de confianza en el proceso de enseñanza, y graduar las tareas de manera que el niño logre el éxito de acuerdo con su nivel.

11.8.5 Enseñanza de conceptos y de procedimientos ¿Cuándo surgen las principales dificultades de la enseñanza de las matemáticas? Comienzan durante la adquisición de conceptos básicos que, según Piaget, son la base de toda actividad matemática. • •

Depende del proceso de maduración. Enseñar con cuidado nociones de clasificación, correspondencia, valor cardinal, etc. 291

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

• • •

Identificar lo relevante de lo irrelevante de cada concepto. Ir centrando al niño mediante preguntas, explicaciones breves y claras, ejemplos con las características relevantes más frecuentes. Gran variedad de contraejemplos que infrinjan las características relevantes.

¿Por qué Bell recomienda el método de enseñanza diagnóstica? Bell (1987) recomienda el método de enseñanza diagnóstica, el cual se basa en tareas críticas que exponen las ideas, tanto correctas como equivocadas, del niño, a partir de las cuales se estimula la discusión y uso de muchas técnicas, como diagramas, juegos, invención de preguntas, tareas colectivas, etc. Una vez que el niño descubre el procedimiento correcto de solución, se le plantean problemas similares y se le retroalimenta de inmediato.

¿Qué recomiendan Kelly, Gersten y Carnine respecto a la enseñanza del cálculo y de la resolución de problemas? Kelly, Gersten y Carnine (1990) señalan que en el cálculo y resolución de problemas, el niño debe pasar de saber qué a hacer a saber cómo hacerlo con el fin de mitigar concepciones erróneas y lograr un mejor pensamiento estratégico, el cual es la base del funcionamiento metacognoscitivo.

¿Cómo se podría ejemplificar esta recomendación? El siguiente esquema ejemplifica el proceso de resolución de las ecuaciones: cuál es el procedimiento de despeje de las incógnitas ofrecido por Feliz y González (2002).

¿Cuáles serían los entornos de aprendizaje centrados en la adquisición de capacidades? De Corte (1993) describe dos entornos de aprendizaje centrados en la adquisición de capacidades: a) Enseñar problemas verbales de suma y resta a alumnos de primer curso partiendo de la comprensión y representación del conocimiento conceptual subyacente; de este modo se incrementa tanto la cantidad de problemas resueltos como de estrategias utilizadas.

292

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

b) Enseñar heurísticos y habilidades metacognoscitivas a alumnos de sexo grado de primaria utilizando el Logo, lo cual facilita la transferencia de dichas habilidades a otros dominios de conocimiento. Van Haneghan y Barker (1989) intentan enseñar habilidades de monitorización en matemáticas para que el niño determine: • • •

Si ha dado una respuesta correcta o no. Ha elegido una estrategia adecuada o inadecuada. Ha comprendido el problema o el concepto.

Cuadro # 27. Habilidades de monitorización.

¿Cuál es el punto de partida que recomienda Derry en las estrategias? Derry (1989) propone estrategias de resolución de problemas partiendo del reconocimiento de patrones que caracterizan cada tipo de problema y su combinación con las secuencias de acción. Cuenta con el diseño de un programa tutorial para la computadora.

293

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

Actividad # 54

Cuento geométrico Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: tangram

Instrucciones. Diseña tu propio cuento aprovechando el tangram para ilustrarlo. Sube tu propuesta a la plataforma. Aquí cuenta con un ejemplo.

En una bella casa

vivía un niño

muy alegre y le gustaba mucho bailar,

niño estaba muy triste.

conocidos,

, este niño era

pero cierto día su perro se perdió, y el

Hizo dibujos de su perro y se los enseñó a todos sus

alguien le dijo que había visto a su perro cerca del muelle, el

muchacho corrió hasta el muelle,

él,

, con su perro

el perro al ver a su dueño corrió hacia

y los dos felices decidieron realizar un paseo en bote

Fig. # 99. Cuento geométrico con Tangram.

294

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12. Didáctica específica para las matemáticas La metodología empleada en atención a la diversidad no siempre debe ser esencialmente diferente a la que se utiliza en el aula común, sólo hay que hacer las adaptaciones necesarias a la condición del caso que se atiende. Cuando aparecen las DAM, como tener problemas para realizar las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, hay que potenciar los prerrequisitos para el aprendizaje e incidir en la enseñanza de lo que se viene denominando “precálculo”: manipulaciones, clasificaciones, seriaciones, adquisición del concepto de cantidad, concepto de número y concepto de decena.

12.1 Criterios para programar 1. Introducir las propias necesidades educativas de aprendizaje del alumno pero sin desfasarlo de los contenidos propuestos para el grado escolar en que se encuentra. Esto es, se debe tomar en cuenta tanto lo individual como lo grupal. 2. Evitar reducir el aprendizaje a técnicas instrumentales básicas y a los prerrequisitos. 3. Hacer un seguimiento tutorial del aprovechamiento del alumno para ir adaptando lo que sea necesario a su condición especial. 4. Relacionar los contenidos académicos que aprenda con la práctica de la vida diaria con el fin de que le sean significativos y los utilice cuando se le presente la oportunidad. 5. Implicar a los padres de familia con el fin de que apoyen a su hijo brindándole retos acordes a su condición en la vida diaria. 6. Brindarle los apoyos necesarios oportunamente para que pueda ir avanzando a su ritmo y en forma constante. 7. Establecer relaciones de las matemáticas con otras materias, sus compañeros y su entorno familiar y social. 8. Enseñarle poco a poco el lenguaje lógico–matemático con actividades lúdicomatemáticas. 9. Utilizar material concreto que le permita darse cuenta de los procedimientos.

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10. Permitirle experimentar y manipular materiales, colaborar con sus compañeros, ya sea en pareja o en pequeños grupos, con el fin de brindarse apoyo mutuo y para aprender unos de otros. 11. Aprovechar las actividades digitales que se encuentran en los distintos portales para desarrollar las habilidades necesarias para esta materia.

12.2 Técnicas a) Técnicas de observación y de registro El orientador necesita contar con la información suficiente del caso antes de empezar con la intervención, como ya se ha dicho en otro apartado; sin embargo, al hacer el seguimiento debe recoger datos e información suficiente de sus alumnos apoyándose de instrumentos apropiados para sistematizar los datos. • • • •

Usar los mismos formatos para todos los casos que atienda en el colegio. Brindarles el apoyo necesario a los profesores, así como prever la orientación para que el niño vaya aprendiendo a su ritmo con seguridad y firmeza. Tener una visión global de cada uno de los casos. Observar la posición de cada uno en relación con sus compañeros y los objetivos escolares.

b) Técnicas para recoger datos significativos •

• • • • • •

Contar carpetas individuales: para archivar datos de cada caso: anamensis, datos del equipo multiprofesional, informes escolares, estudios, programas de intervención y de seguimiento, por citar unos ejemplos. Entrevistas: con personas relevantes para el caso: padres de familia, profesores, por ejemplo. Cuestionarios: a los padres y otras personas que puedan ayudar a obtener una información más completa y detallada. Seguimiento: hacerlo periódicamente, en forma continua y oportuna. Escalas estimativas: para observar conductas, actitudes, hábitos de trabajo, dinámica social en el salón y en otras partes del colegio. Hojas de trabajo: para contar con material de observación directo. Otras: desarrollo evolutivo, aptitudes psicolingüísticas, exploración logopédica, entre otras. 296

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c) Técnicas de programación y evaluación Hay que tener en cuenta el tipo de escolarización en que esté el sujeto, el aula y su integración con el ambiente y sus compañeros. El programa debe tomar en cuenta los siguientes puntos: • • • • • •

Temporalización. Objetivos: generales, específicos, etc. Actividades. Metodología. Recursos humanos y materiales. Evaluación y seguimiento.

La evaluación se requiere para comprobar si los objetivos propuestos se han alcanzado y en qué medida. Hay que tomar en cuenta sus distintos tipos: • •

• •

Diagnóstica: para saber los antecedentes y en qué nivel está funcionando la persona en estudio. Continua: para ir comprobando la evolución de la persona durante el programa de intervención y hacer los ajustes necesarios con oportunidad en caso necesario. Investigación: para indagar determinados tipos de aprendizajes, obtener nuevas ideas para introducir en la didáctica de las matemáticas. Informática: para poder informar a los padres, profesores y otros profesionales o asuntos que se requieran manejar de alguna manera especial basada en esos informes.

Los recursos didácticos deben ser los apropiados para cada caso. Es muy probable que se necesiten elaborar materiales específicos de manera que se pueda concretizar los contenidos y permitan al alumnado manipularlos y jugar con ellos, tanto en forma individual como colectiva. Conviene emplear técnicas de expresión artística y lúdica, pues les ayuda mucho en el aprendizaje y a darse cuenta de sus logros y lo que necesitan reforzar.

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12.3 Cómo deben ser las actividades iniciales en matemáticas Las principales actividades matemáticas en Educación Infantil deben ser, cortas y variadas, exigiendo a los niños un cierto nivel de atención y una cierta voluntad de aprender. Deben realizarse sobre todo a través de procedimientos que impliquen tanteo experimental, que no preestablezcan o anticipen los resultados, que permitan a cada niño realizar su propio proceso. En este proceso el alumno ha de ser capaz de expresar qué acciones ha realizado y reflexionar sobre los resultados. El lenguaje ha de ser preciso, pudiéndose utilizar expresiones corrientes con tal de que no sean falsas. También es imprescindible utilizar como punto de partida las actividades y situaciones diarias del aula.

Se deben realizar cuatro tipos diferentes de actividades: a) De identificación, que implica: • Conocer y definir agrupaciones, nombres, figuras geométricas. • Adquirir una noción nueva. b) De relación entre: • Objetos según sus cualidades. • Números. • Magnitudes continuas. • Objetos o puntos por criterios de espacio. c) De operación con: • Cambios de cualidades. • Transformaciones geométricas. • Operaciones aritméticas. d) De expresión mediante: • La utilización de símbolos.

Tanto los procedimientos como los conceptos del lenguaje matemático se articulan y se organizan a partir de sus elementos más básicos:

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•

La lógica invita a los alumnos a reflexionar sobre las cualidades de los objetos y las relaciones por criterios de similitud y diferencia. Se trata de un elemento que ejercita la capacidad de pensar, de reconocer diferentes cualidades sensoriales (color, forma, medida), de realizar agrupaciones y colecciones, así como ordenaciones según una cualidad o una magnitud (volumen, longitud, peso, tonalidad, textura) y seriaciones. El cálculo incluye las primeras relaciones cuantitativas, el concepto de número y el inicio de las primeras operaciones. Los alumnos deben aprender a reflexionar sobre cantidades a partir de situaciones concretas, no sólo a identificar cifras, recitar series numéricas o conocer una técnica para resolver operaciones. La medida implica una cierta maduración mental que el niño de infantil aún no posee. Se debe presentar a través de la manipulación y la experimentación con los objetos que poseen nociones de magnitud de superficie, volumen y longitud (alto-bajo, largo-corto, ancho-estrecho) bien contrastadas. La geometría es la comprensión del espacio en el que el niño vive y se mueve y se debe plantear con experiencia con objetos sólidos tridimensionales (esferas, prismas, cilindros) figuras bidimensionales (cuadrado, rectángulo) y entrar en relación con las primeras nociones de orientación y direccionalidad. El tiempo se refiere al establecimiento de las primeras nociones a través de ordenaciones y comparaciones temporales (antes-ahora-después, mañanatarde, ayer-hoy-mañana). Y el espacio para poderse ubicar en él y poder seguir un orden lógico.

Todas las actividades matemáticas se llevan a cabo en tres momentos diferentes y bien definidos: • • •

La acción, se puede plantear a través de un juego colectivo o de una situación real. La manipulación, se puede realizar en grupo o individualmente. La expresión, que normalmente será plástica (no es el caso del cálculo mental), y poco a poco por medio de símbolos.

Se debe tener presente en todo momento que la vivencia directa de la actividad es la que facilita la adquisición del aprendizaje por parte del alumno, por tanto, se debe procurar trabajar la matemática infantil en el aula, lo más manipulativa, concreta y lúdica posible mientras los pequeños adquieren la suficiente madurez para ir comprendiendo y aprendiendo conceptos abstractos. 299

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Actividad # 55

La ropa Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: Agrupar

Instrucciones. Colorea y recorta la ropa de la niña. Revuélvela y métela en una bolsa oscura. Ordena las piezas por grupos de manera que puedas identificar cuántas hay de cada una.

Fig. # 100. Ropa.

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13. El método Montessori

"El niño, con su enorme potencial físico e intelectual, es un milagro frente a nosotros. Este hecho debe ser transmitido a todos los padres, educadores y personas interesadas en niños, porque la educación desde el comienzo de la vida podría cambiar verdaderamente el presente y futuro de la sociedad. Tengamos claro que el desarrollo del potencial humano no está determinado por nosotros. Solo podemos servir al desarrollo del niño, pues este se realiza en un espacio en el que hay leyes que rigen el funcionamiento de cada ser humano y cada desarrollo tiene que estar en armonía con todo el mundo que nos rodea y con todo el universo." María Montessori

13.1 ¿Quién fue María Montessori? Para poder comprender a grandes rasgos y en detalle la filosofía, los principios y el currículo Montessori, es necesario saber quién fue la fundadora del método, sus ideales, trabajos y pensamientos que la llevaron a elaborar este modelo de enseñanza-aprendizaje. María Montessori, nacida en Italia en 1870, era una mujer de clase media que se interesó a lo largo de su niñez y adolescencia en el estudio de la biología y medicina. Contradictoriamente, María se rehusaba a estudiar pedagogía, como así lo querían sus padres, ya que pretendía ser médico. Finalmente se convirtió en la primera mujer doctora de medicina en Italia. Falleció en 1952. Al momento de terminar su carrera, María trabajó en una clínica psiquiátrica como voluntaria, y fue quizás este trabajo el punto de inflexión que le hizo interesarse por el aprendizaje de los niños. En el centro en el cual trabajaba, María estaba rodeada de niños catalogados de “idiotas”, ya que no eran capaces de funcionar correctamente en sus familias y la escuela. Sin embargo, para Montessori esta experiencia resultó ser decisiva al momento de confirmar su apasionado interés por la reforma social y el desarrollo intelectual de todo niño.

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La doctora Montessori comenzó a revisar la obra de dos doctores franceses, Jean Itard y Édouard Seguin, quienes en resumen proponían que el aprendizaje necesitaba de estímulo constante del niño a través de los sentidos y el movimiento. Montessori cada vez más se interesó por el estudio de la teoría de la educación y el trabajo de observación y experimentación de diversos materiales y métodos con los niños. Otro de los teóricos educacionales que influyó en la creación de su método fue principalmente Friedrich Froebel y, en menor escala, el antropólogo Giuseppe Sergi, en cuanto a la importancia del entorno escolar. En la práctica, María creó sus escuelas, denominadas “la casa de los niños”. En la primera tuvo alumnos carentes de cuidados, atención y estimulación en el hogar, y en otra escuela tuvo niños más privilegiados. En ambos casos, el desarrollo de los aprendizajes de sus alumnos comenzó a ser satisfactorios bajo sus cuidados. María Montessori estaba convencida de que todo niño era inteligente y capaz de aprender (lo que ella denomina “mente absorbente y consciente”), por lo mismo, su lucha fue insaciable al momento de demostrar que todo alumno tenía posibilidad de aprender, como una habilidad inherente a su esencia misma de niño. Montessori fue inspectora gubernamental de escuelas para Italia, su método se comenzó a expandir por todo el mundo a pocos años de haber sido implementado en su entorno más cercano. El interés por su filosofía va creciendo progresivamente y sus ideas coinciden con la teorización de pedagogos contemporáneos e intelectuales de la educación. El sueño de María Montessori está más vigente que nunca, a pesar de que, para su época, fue rupturista y visionario. Se resaltan los siguientes puntos: • • • •

•

La metodología Montessori comenzó en Italia, y es tanto un método como una filosofía de la educación. Fue desarrollada por la Doctora María Montessori a partir de sus experiencias con niños en riesgo social. Basó sus ideas en el respeto hacia los niños y en su impresionante capacidad para aprender. Los consideraba la esperanza de la humanidad, por lo que, dándoles la oportunidad de utilizar la libertad a partir de los primeros años de desarrollo, el niño llegaría a ser un adulto con capacidad para hacer frente a los problemas de la vida. El material didáctico que diseñó es de especial ayuda en el período de formación preescolar. 302

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•

• • •

• • • •

•

En las escuelas Montessori la libertad es ciertamente muy importante, pero para conquistarla los niños tienen que trabajar de forma independiente y respetuosa. Los niños participan de manera activa en su proceso de desarrollo y aprendizaje y pueden autodirigirse con inteligencia y elegir con libertad. En un ambiente Montessori el orden, el silencio y la concentración son la constante. Los maestros imparten las lecciones individualmente o en pequeños grupos abordando una amplia variedad de temas de acuerdo con los intereses del alumno. Los ejercicios pueden repetirse infinidad de veces al ser programados de manera individual permitiendo la comprensión mediante la repetición. Existen reglas y límites que no pueden ser traspasados de ninguna manera y son explicados clara y lógicamente a los pequeños. La guía permanece en el fondo observando, ayudando, presentando al niño los nuevos materiales que a él le han interesado o que piensa le puedan interesar, interfiriendo en las relaciones entre los niños solamente cuando es absolutamente necesario. Existen "círculos" en donde todos los niños juntos observan temas de interés general. El respeto es mutuo en todo momento y no se aplican castigos sino consecuencias lógicas. El propósito básico de este método es liberar el potencial de cada niño para que se autodesarrolle en un ambiente estructurado. El método nació de la idea de ayudar al niño a obtener un desarrollo integral, para lograr un máximo grado en sus capacidades intelectuales, físicas y espirituales, trabajando sobre bases científicas en relación con el desarrollo físico y psíquico del niño. María Montessori basó su método en el trabajo del niño y en la colaboración adulto - niño. Así, la escuela no es un lugar donde el maestro transmite conocimientos, sino un lugar donde la inteligencia y la parte psíquica del niño se desarrollará a través de un trabajo libre con material didáctico especializado. Todo el material utilizado en Montessori proporciona conocimiento al niño de una manera sistemática, en forma que el orden se hace evidente y se ayuda al niño a analizar el mecanismo y funcionamiento de su trabajo.

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13.2 Biografía de María Montessori María Montessori (1870-1952). Conocida como la primera médica italiana. Nació en la región de Chiaravalle, el 31 de agosto de 1870. Estudió Medicina en la Universidad de Roma tras luchar contra los prejuicios de finales del siglo XIX hacia las mujeres y contra la oposición de su padre a hacerse médico, ya que la única carrera abierta a las mujeres de entonces era la de docente. Empezó trabajando como ayudante en el Hospital de San Giovanni, tratando con mujeres y niños. Más tarde, en 1897, se hizo ayudante voluntaria en la clínica psiquiátrica de la Universidad de Roma, donde se encontró con los llamados “niños idiotas”. Éstos eran colocados en manicomios entre los locos al ser incapaces de funcionar en la escuela y con sus familias. Interesada en la reforma social y en pediatría se sensibilizó especialmente con las condiciones en que se encontraban estos niños, encerrados y sin ningún tipo de estimulación sensorial más que las migajas que se les caían cuando comían. Estaba convencida de que esta falta de estimulación era la causa de su comportamiento; así pues, empezó a trabajar con ellos, proporcionándoles objetos para manipular con sus manos, la vía a través de la cual podemos conocer el mundo que nos rodea. María Montessori consideraba la mano como el instrumento del ojo. Les ofreció materiales de madera, creados por ella misma y poco a poco, los niños empezaron a responder a sus esfuerzos. Algunos de los niños a los que enseñó, etiquetados como “ineducables”, aprendieron a leer y escribir, e incluso se presentaron a los exámenes oficiales de enseñanza primaria aprobando con notas más altas que los llamados niños “normales”. De un desafortunado romance con Giuseppe Montesano, psiquiatra, profesor suyo y compañero de trabajo, nació su hijo Mario. La profunda desilusión que le causó el abandono del médico llevó a María Montessori a afiliarse al movimiento feminista, del que fue representante a nivel nacional e internacional, y representó a Italia en los Congresos de Berlín (1896) y de Londres (1899). Más adelante comenzó a estudiar pedagogía, psicología experimental y antropología. Dictó varias conferencias sobre cómo enseñar a los menores con enfermedades mentales. Hasta el año de 1900 fue directora de la Escuela Ortofrénica, para después pasar a impartir la cátedra de antropología pedagógica en la Universidad de Roma, puesto que ocupó hasta 1907. Posteriormente fue invitada a organizar instituciones educativas para niños por todo Roma. 304

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El tradicional Método Montessori fue puesto en práctica en la primera Casa dei Bambini, ubicada en el barrio San Lorenzo e inaugurada en 1907. Para 1911, Montessori abandonó la consultoría médica y se dedicó de lleno a la pedagogía. Después, en 1913 y 1915 visitó Estados Unidos, generando un profundo interés por su trabajo. En 1917, fue invitada por el gobierno español para inaugurar un instituto de investigación en el país. Posteriormente, en 1919, viajó a Londres e impartió cursos sobre aprendizaje a varios profesores. Tres años más tarde fue comisionada por el gobierno italiano para inspeccionar todas las escuelas del país. Cuando Mussolini llegó al poder, Montessori declaró en público que los fascistas tenían la intención de formar a la juventud de acuerdo con sus moldes brutales, convirtiéndolos en pequeños soldados. Se exilió a Barcelona. Para entonces, su método pedagógico ya era conocido en varios países. Cuando la Guerra Civil llegó a España, la pedagoga italiana fue rescatada por un crucero británico en 1936. Dos años después inauguró en Holanda el Training Centre y en 1939 ofreció varios cursos en la India. Más tarde vuelve a Inglaterra reavivando el interés por el movimiento. En 1947, fundó en Londres el Centro Montessori y fue nominada para recibir el Premio Nobel en 1949, 1950 y 1951. Tras catorce años de exilio, regresó a Italia en 1951 para reorganizar las escuelas e impartir cátedra en la Universidad de Roma. Murió un año después, el 6 de mayo de 1952, en Noordwijk, Holanda. Influencias. Buscando información sobre el tratamiento de los niños deficientes mentales, se encontró con las obras de dos famosos doctores franceses: Jean Itard y Edouard Seguin. Itard realizó un estudio notable sobre los sordomudos, pero es más conocido por intento de educar y socializar al niño salvaje de Aveyron. Su enfoque concreto consistió en estimular sistemáticamente la mente del niño a través de los sentidos. Seguin fue alumno de Itard y fundó posteriormente su propia escuela en París. Trazaba una secuencia de ejercicios musculares para provocar un cambio en la conducta y así educar al niño por un método que él describía como psicológico. Gracias a sus obras, María Montessori adoptó las ideas principales de “educación de los sentidos” y “educación del movimiento” y las adaptó a su propio método. Orientó sus intereses hacia el estudio de la educación y leyó todas las obras principales que pudo encontrar sobre la teoría de la educación, escritas en los doscientos años anteriores. Sintetizó algunas de las ideas e intuiciones de pensadores y reformadores de la educación, como Rousseau, Pestalozzi y Froebel.

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13.3 Principios del método de educación Montessori Para comprender los principios del método educativo Montessori es necesario definir algunos de los conceptos clave, acuñados por la propia María Montessori, que son aquellos que sustentan el método en sí mismo. En primer lugar, Montessori estaba convencida de la habilidad innata de un niño de aprender por la absorción inconsciente (y, posteriormente, consciente) de la realidad por el individuo. Para la doctora, a partir de sus diversos estudios de observación en niños en sus diferentes etapas del desarrollo, los individuos tienen características universales de la infancia y define este periodo como una entidad en sí misma, no como una mera preparación para la edad adulta. Desde estas ideas, Montessori definió la mente de los niños como una “mente absorbente”, que es el primer concepto necesario de revisar más en profundidad. La mente absorbente y la mente consciente: la mente del niño es capaz de absorber inconscientemente información en sus primeros tres años de vida, para luego pasar a ser una mente absorbente consciente. Por lo mismo, las primeras experiencias de vida de los niños son tan importantes en su desarrollo posterior, en que se puede afirmar que aprendizajes como el caminar y hablar no requieren de una instrucción esquematizada de los adultos para ser logrados. Es decir, el niño, por necesidad, interés e imitación, aprende a hacer cosas, y este principio es sostenible a través de todos sus años de desarrollo, hasta llegar a la adultez (alrededor de los 18 años). Los niños tienen sed de conocimiento, es por esto, que no necesariamente necesitan de un adulto que les diga qué aprender y qué no, ya que, desde su propia libertad, con la estimulación y motivación pertinente, el alumno será capaz de reconocer cuáles son las cosas que quiere aprender. Así como la libertad es fundamental a la hora de aprender para un niño, su participación activa es igualmente importante para desarrollar su potencial. La educación individualizada: A partir de la concepción de que cada niño es una individualidad única, tiene formas únicas de aprender, intereses y formas de trabajar. Así como tantos niños existen, existen tantas capacidades cognoscitivas que el maestro y los padres deben saber atender. Desde esta mirada, es fundamental que, tanto en la escuela como en el hogar, los niños tengan la facilidad de aprender a sus ritmos, a la vez que aprenden colectivamente en un ambiente de respeto y colaboración.

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El desarrollo social es, sin duda, parte importante del desarrollo integral de todo niño, sin embargo, es básico que primero el individuo trabaje el autoconocimiento, autocontrol y autodisciplina. De esta forma, la autorregulación de su aprendizaje también será mucho más consciente. La individualidad de la enseñanza es, por lo tanto, un principio básico en el método Montessori, que será la guía de cualquier lección. Libertad y autodisciplina favorecidos por el ambiente preparado: Los principios mencionados anteriormente no podrían ser exitosos si no existiese un medio adecuadamente preparado para el aprendizaje del niño. El aula debe ser un lugar estructurado, pensado para los niños y con materiales adaptados para favorecer el aprendizaje de estos. Se debe conocer y respetar el ambiente, así como también abogar por un clima social amoroso, para que “la casa de los niños” sea verdaderamente un estímulo para el proceso de enseñanza-aprendizaje. Las bases del Método Montessori son: • • • • •

Respeto a la autonomía del alumno y a la iniciativa personal. Autodisciplina del alumno. Ejercicio constante de exploración y búsqueda de conocimientos. Adquisición básica de los grandes aprendizajes y conocimientos. La idea de Montessori es que al niño hay que transmitirle el sentimiento de ser capaz de actuar sin depender constantemente del adulto, para que con el tiempo aprenda a pensar y actuar por sí mismo.

Es importante resaltar los siguientes principios básicos de la Pedagogía Montessori: “Los chicos deben ser tratados y respetados como individuos y debe prestarse suficiente atención a sus necesidades. En esto consiste la función del maestro y en guiarlos en su natural propensión al conocimiento.” En suma, las características del método Montessori son: • • • • • • •

Respeto al ritmo individual de cada niño Libertad de elección (tanto de la actividad a escoger como de la duración) Libertad de movimiento Aprendizaje por medio de la experiencia Autocorrección Fomento de la autonomía y la independencia tanto física como psíquica Preparación del adulto y del ambiente 307

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A. Educación individualizada. Cada niño es diferente en su capacidad cognoscitiva, sus intereses y su forma de trabajar y aprender. • • •

•

La escuela debe brindarle al niño la oportunidad de desarrollarse a su propio ritmo, en un ambiente de cooperación y respeto. La competencia ha de ser consigo mismo, no con los demás. María Montessori opinaba que para que un individuo pudiera desarrollar conciencia social, primero debía desarrollar las capacidades de autoconocimiento, autocontrol y autodisciplina. Cada inteligencia evoluciona de distinta manera y de acuerdo con un ritmo particular, por lo que las etapas del desarrollo no evolucionan al mismo tiempo en todos los niños de una misma edad.

B. En el sistema educativo Montessori las lecciones, principalmente individuales, pero también las colectivas, son voluntarias, breves, simples y adaptables en cada caso. •

De esta manera convierte el principio de la individualidad de la enseñanza en uno de los fundamentos de su pedagogía.

C. La mente absorbente. Montessori observó una sensibilidad especial del niño para observar y absorber todo cuanto le rodea en su ambiente inmediato y la denominó “la mente absorbente”. • • •

Ésta es la capacidad única de cada niño de tomar su ambiente y aprender cómo adaptarse a él. Durante sus primeros años, las sensibilidades del niño conducen a una vinculación innata con el ambiente. Por lo que la capacidad del niño de adaptarse por sí mismo al entorno con éxito depende de las impresiones de ese momento; si son sanas y positivas, se adaptará de una manera sana y positiva.

D. Libertad y autodisciplina. “Ayúdame a hacerlo sin tu ayuda” •

•

Cuando el aula ofrece un ambiente bien estructurado, estimula al alumno a trabajar y a disfrutar con su trabajo, facilita la concentración individual y crea un clima social armonioso. El respeto a este ambiente requiere reglas claras y límites bien definidos que todos los niños deben conocer y respetar. 308

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Fig. # 101. Principios del Método Montessori.

13.4 Los periodos sensibles y etapas del desarrollo Montessori se dio cuenta de que los niños parecen pasar por fases en las que repiten una actividad una y otra vez, sin ninguna razón aparente. Se ven totalmente absortos por lo que están haciendo y, durante esa época, es la única cosa en la que están interesados. Con ello muestra su predisposición a desarrollar nuevos conocimientos y habilidades. Necesita explorarlo todo, pues es así como aprende. Una vez que ha adquirido el suficiente conocimiento del mundo, pasa la fase y desaparece ese deseo incontrolable; pero si se ponen muchas restricciones al niño y se obstaculizan sus instintos naturales puede tener una rabieta para demostrarte que tiene una necesidad de aprender insatisfecha. Un periodo sensible, en términos de Montessori, ocurre cuando el niño tiene una predisposición a desarrollar nuevos conocimientos y habilidades a través de sus sentidos. Una vez que ha adquirido suficiente conocimiento del mundo pasa a la siguiente fase. Montessori identificó seis periodos sensibles:

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Periodo Sensible del Orden (De 0-6 años) Periodo Sensible del Lenguaje (De 0 a 7 años) Periodo Sensible de los Objetos Pequeños (De 1 a 6-7 años) •

•

Periodo Sensible del Movimiento (Desde el nacimiento hasta los 5-6 años) Periodo Sensible de la perfección de los Sentidos (De los 0 a los 6 años) Periodo Sensible de la Vida Social (Desde antes de nacer haciendo un pico en los 6 años)

Sensibilidad al orden: aparece en el primer año y continúa hasta el segundo. Aquí se lucha por clasificar y categorizar sus experiencias y se hace más fácil si hay cierto orden en la vida del niño. Le gusta en cierto modo, que se le dirija y hay una necesidad de consistencia y familiaridad para poder orientarse y construir el cuadro mental del mundo. Debido a lo anterior puede que se desconcierte por los cambios. En esta etapa el niño se da cuenta de que es capaz de manipular el mundo. Sensibilidad al lenguaje: la capacidad del lenguaje tiene un rol vital en el crecimiento intelectual del ser humano. Comienza desde el nacimiento, al oír y ver hablar a la madre. Sin ninguna enseñanza directa, a los seis años ha conseguido una extraordinaria cantidad de vocabulario. Dependiendo del grado de privación, podría limitarse su crecimiento intelectual. Montessori recomienda hablar mucho con los niños para darles la oportunidad de aprender nuevas palabras. Sensibilidad para caminar: ocurre aproximadamente entre los doce a quince meses de edad, donde se aprecia la necesidad de practicar y perfeccionar esta habilidad. El niño camina por el propio placer de hacerlo. Se recomienda dejar que lo haga a su propio ritmo sin forzarlos. En su libro “Niño. El secreto de la infancia” da ejemplos de niños de dos y tres años que caminan kilómetros, trepan y bajan escaleras con el único propósito de perfeccionar sus movimientos. Hay una gran diferencia entre ir a pasear con un niño y llevar a un niño a pasear. Sensibilidad a los aspectos sociales de la vida: a la edad de dos años y medio a tres, el niño ya sabe que forma parte de un grupo. Puede mostrar interés por otros niños de su edad y comienza de a poco a jugar con ellos de forma cooperativa. Según Montessori, esto se da de forma espontánea y está dirigido por impulsos internos. En esta etapa se modela la conducta social adulta y poco a poco van adquiriendo las normas sociales de su grupo. Sensibilidad por los pequeños objetos: alrededor del año, el niño tiene mayor movilidad por lo que el entorno de exploración es mayor y se ve atraído por pequeños objetos, como piedras, insectos, hierbas, etc. Lo más probable es que tienda a tocarlos y metérselos en la boca. El impulso a prestar atención al detalle forma parte de su esfuerzo por construir una comprensión del mundo. 310

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

•

Sensibilidad para aprender a través de los sentidos: desde el nacimiento, el bebé percibe todo a través de sus cinco sentidos. Al principio, por la vista y el oído; a medida que se desarrolla el movimiento desempeña su papel el sentido del tacto, seguido del gusto. Es importante que permanezcan cerca de adultos para que vean y oigan lo que sucede a su alrededor. En cuanto comienza a constantemente que no, su aprendizaje podría verse inhibido.

13.5 Etapas de desarrollo Para Montessori existen cuatro etapas claras desde el nacimiento hasta los 24 años. Varían de un niño a otro, pero cada etapa sigue a la anterior, se apoya firmemente en ella y no se pueden omitir. “En los primeros años de su vida es cuando el niño prepara, gracias a su mente absorbente, todas las características del individuo, aunque sea inconsciente de ello. Además, a esta edad se aporta la ayuda educativa gracias al medio. Esta es, pues, la edad en la que el ser humano trabaja sin fatiga y asimila el conocimiento como un alimento vivificante”. Montessori. El método de la pedagogía científica

Estas etapas son:

Primera infancia: 0 a 6 años. Adolescencia: 12 a 18 años. •

Infancia: 6 a 12 años. Madurez: 18 a 24 años.

Primera etapa: desde el nacimiento hasta los 6 años. Es la edad de la conciencia y el período más importante. o De 0 a 3 años el niño tiene lo que denominó la mente absorbente, aprende por impresiones que absorbe del entorno sin ser consciente del proceso. o De 3 a 6 años el niño desarrolla una mente consciente, aunque todavía absorbe información del entorno, ahora ha desarrollado una memoria y una voluntad. Adquiere también el lenguaje de una forma rápida.

•

Segunda etapa: desde los 6 a los 12 años. Es la edad moral. Montessori denominó este período como el de la adquisición de la cultura.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

•

Tercera etapa: de los 12 a los 18 años. Es la edad social. Es el período de adquisición de la independencia. Montessori creía que durante este tiempo tienen lugar tantos cambios que el niño necesita tanto cuidado y atención como cuando tiene menos de 6 años. El programa para los adolescentes está centrado en la participación activa en la sociedad. A esta edad es importante que el adolescente tome real consciencia de su sitio en el mundo. En esta etapa todo el aprendizaje se basa a través de un proyecto común como trabajar en una granja o una empresa pequeña, dándole de esta manera la oportunidad de explorar y entender cómo la sociedad funciona y tener en cuenta el valor real del dinero.

•

Cuarta etapa: de los 18 a los 24 años. Es la edad política. En este periodo es cuando la persona se especializa, logra su independencia moral y económica. Es capaz de ayudar a otros.

“Nosotros, los adultos, adquirimos los conocimientos con nuestra inteligencia, mientras que el niño los absorbe con su vida psíquica”. Montessori, la mente absorbente

a años

1 años

años

1 años

rimera infancia

nfancia

Adolescencia

3 años

años

1 años

Edad de la conciencia

Edad pol tica

Mente uman stica

Mente especiali ada

Mente ra onadora

Ay dame a acerlo yo solo ( a 1 años)

Ay dame a pensar por m mismo

ndependencia f sica y biológica

1 años

Edad social

Mente absorbente consciente (3 a )

ómo se ace

Madure

Edad moral

Mente absorbente consciente (3 a )

ómo se ace

años

or ué cómo ndependencia mental

Ay dame a vivir con los demás

uién soy ndependencia social

Ay dame a mantenerme solo ué puedo acer por ti ndependencia moral y económica

esarrollo del ombre

Formación del ombre

Cuadro # 28. Los cuatro planos del desarrollo Montessori. 312

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Fig. # 102. El niño aprende explorando, descubriendo. En el libro cómo educar niños maravillosos con el Método Montessori de Tim Seldin se describen otros periodos sensibles, complementarios a los ya citados: • • • • • •

Periodo Sensible de la Escritura (De los 3 a los 4 años) Periodo Sensible de la Lectura (De los 3 a los 5 años) Periodo Sensible de la Cortesía y los buenos modales (De los 2 a los 6 años) Periodo Sensible de la Música (De los 2 a los 6 años) Periodo Sensible de las Relaciones Espaciales (De los 4 a los 6 años) Periodo Sensible de las Matemáticas (De los 4 a los 6 años)

“Si el niño no ha podido obedecer las directrices de su periodo sensible, se ha perdido la ocasión de una conquista natural, se ha perdido para siempre” Montessori. El secreto de la infancia

Periodos sensibles según María Montessori 0 años 1 año

2 años

3 años

4 años 5 años

orden movimiento lenguaje sentidos objetos pequeños vida social escritura lectura cortesía música Relaciones espaciales matemáticas Cuadro. # 29. Periodos sensibles de Montessori. 313

6 años 7 años

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13.6 Comparación del método Montessori con el tradicional. Los niños Montessori son usualmente adaptables. Han aprendido a trabajar independientemente o en grupos. Debido a que desde una corta edad se les ha motivado a tomar decisiones, pueden resolver problemas, escoger alternativas apropiadas y manejar bien su tiempo con mayor fluidez. Ellos han sido incentivados a intercambiar ideas y a discutir sus trabajos libremente con otros. Sus buenas destrezas comunicativas suavizan el camino en ambientes nuevos. Investigaciones han mostrado que las mejores predicciones del éxito futuro se dan cuando se tiene un sentido positivo de la autoestima. El programa Montessori, basado en la propia dirección y actividades no competitivas, ayuda al niño al desarrollo de la propia imagen y a la confianza para enfrentar retos y cambios con optimismo. Éstas son algunas de las características propias de cada método: Montessori Énfasis en: estructuras cognoscitivas y desarrollo social. La maestra desempeña un papel sin obstáculos en la actividad del salón. El alumno es un participante activo en el proceso enseñanza aprendizaje. El ambiente y el método Montessori alientan la autodisciplina interna. La enseñanza individualizada y en grupo se adapta a cada estilo de aprendizaje según el alumno. Grupos con distintas edades. Los niños son motivados a enseñar, colaborar y ayudarse mutuamente El niño escoge su propio trabajo de acuerdo con su interés y habilidad. El niño formula sus propios conceptos del material autodidacta. El niño trabaja por el tiempo que quiera en los proyectos o materiales escogidos El niño marca su propio paso o velocidad para aprender y hacer de él la información adquirida

Tradicional Énfasis en: conocimiento memorizado y desarrollo social. La maestra desempeña un papel dominante y activo en la actividad del salón. El alumno es un participante pasivo en el proceso enseñanza aprendizaje La maestra actúa con una fuerza principal de la disciplina externa. La enseñanza en grupo es de acuerdo al estilo de enseñanza para adultos. Grupos de la misma edad. La enseñanza la hace la maestra y la colaboración no se le motiva La estructura curricular para el niño está hecha con poco enfoque hacia el interés del niño. El niño es guiado hacia los conceptos por la maestra. Al niño se le da un tiempo específico, limitando su trabajo. El paso de la instrucción es usualmente fijado por la norma del grupo o por la profesora.

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El niño descubre sus propios errores a través de la retroalimentación del material. El aprendizaje es reforzado internamente a través de la repetición de una actividad e internamente el niño recibe el sentimiento del éxito. Material multisensorial para la exploración física Programa organizado para aprendizaje del cuidado propio y del ambiente (limpiar zapatos, fregar, etc.). El niño puede trabajar donde se sienta confortable, donde se mueva libremente y hable de secreto sin molestar a los compañeros. El trabajo en grupos es voluntario Organizar el programa para los padres, entender la filosofía Montessori y participar en el proceso de aprendizaje.

Si el trabajo es corregido, los errores son usualmente señalados por la profesora. El aprendizaje es reforzado externamente por el aprendizaje de memoria, repetición y recompensa o el desaliento. Pocos materiales para el desarrollo sensorial y la concreta manipulación Menos énfasis sobre las instrucciones del cuidado propio y el mantenimiento del aula. Al niño usualmente se le asignan sus propias sillas estimulando que se sienten quietos y oigan, durante las sesiones en grupos. Los padres voluntarios se envuelven solamente para recaudar dinero o fondos. No participan los padres en el entendimiento del proceso de aprendizaje.

Cuadro # 30 Comparación del método tradicional con el Montessori.

13.7 Aprendizaje a través del juego Los niños tienen una motivación innata para aprender. Ellos aprenden desde el nacimiento y los procesos fundamentales de aprender comienzan tempranamente. Lo primero que se genera es el juego. Este juego espontáneo se inicia como respuesta a las necesidades de desarrollo. De acuerdo con Montessori, “los niños aprenden por medio de la participación activa, implicándose de manera práctica y tratando de hacer algo por sí mismo, especialmente utilizando las manos”. El juego es una actividad voluntaria, agradable, con una finalidad y espontáneamente elegida. Es también creativa, implicando solución de problemas, aprendizajes de nuevas habilidades sociales, nuevo lenguaje y nuevas habilidades físicas. Ayuda a aprender nuevas ideas y a ponerlas en práctica, a adaptarse socialmente y a superar problemas emocionales. El juego es el trabajo del niño porque es el medio por el cual aprende.

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Actividad # 56

¿Cuántos hay? Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: noción de cantidad

Instrucciones. Señala los objetos que se preguntan y di cuántos hay.

Fig. # 103. ¿Cuántos hay?

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13.8 Rol del educador En el método Montessori se tiene una visión del niño como “un explorador innato”, se plantea que: “el niño es como un salvaje a quién de repente hubieran introducido en un país civilizado, donde a cada instante ve objetos y costumbres extrañas e ignora sus nombres, sus fines y sus relaciones”. Es decir, lo que es completamente común para nosotros (los adultos), se transforma en extraordinario para los niños. Es por esta razón, la maravilla de encontrar algo extraordinario, que el niño no pierde el gusto por explorar, experimentar y descubrir. Pero, hay que aclarar que este espíritu de exploración no es mera curiosidad, sino que es una necesidad imperante del intelecto humano de encontrar la causa o las relaciones de las cosas para así poder entender lo que nos rodea. Sin embargo, a pesar de este gusto del niño por explorar, se ha observado que el alumno al estar en la clase pierde esta actitud ansiosa de búsqueda y se transforma en una actitud apática de aburrimiento. Esto se debe sencillamente a que en la escuela de métodos anticuados no se deja al niño hacer sus propios descubrimientos, el maestro es el que imparte al alumno la exploración ya hecha. Esto se vuelve tedioso para el niño, ya que: “no hay nada más fastidioso que salir a pasear y que una persona entrometida nos señale diligentemente las cosas que uno preferiría ver y descubrir por uno mismo, a nuestro ritmo y manera”. Bajo estas circunstancias el niño se ve obligado a apaciguar la actividad espontánea de su intelecto. En contraste, en los ambientes Montessori, la participación del alumno es activa y el maestro actúa como un guía del aprendizaje. Ante esto, la Dra. Montessori aclara que el rol del educador debe ser alguien que guía al niño por las rutas del descubrimiento, porque una cosa es que alguien estimule el interés del niño a seguir el camino, y otra muy distinta es tener a alguien cerca que esté dirigiéndolo constantemente y de manera forzada. • • • • • •

La guía debe transmitir un fuerte deseo de aprender con respeto. Sus palabras deben ser precisas, su entonación correcta y sin palabras innecesarias. Es muy importante el tipo de comunicación, y es necesario recurrir en muchas ocasiones al lenguaje escrito. No es necesario premiar a los niños, pues se les ha de enseñar que el premio es el aprendizaje en sí mismo. A través de la observación, la maestra puede atender las necesidades de cada niño respetando el ritmo personal de desarrollo. Nunca levantará la voz, pues desconcentraría la actividad de los niños. 317

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• • • •

El reposo del niño también es importante. Un niño que observa el trabajo de sus compañeros es un niño que aprende. Tampoco señalará sus errores, pues son ellos mismos los que se dan cuenta sin les dejamos el tiempo suficiente. Es a través de la repetición y del control de errores que se podrá corregir sin dañar su sentimiento de autoestima.

En este rol, del educador como guía, Montessori indica que: "es importante que el maestro dé al niño la suficiente información para estimular su interés y para que pueda utilizar el material, pero, al mismo tiempo, es igualmente importante que sólo le dé el mínimo necesario de manera que quede el mayor campo posible para la investigación individual propia del niño. Todo esto es sólo otra manera de decir que el método Montessori es uno de autoeducación. Este último punto es el fundamental pilar del método Montessori y es el que define hasta dónde llega la intervención del educador. Si bien se plantea que el método es de autoeducación, en ningún caso se debería permitir que un niño utilice el material didáctico sin antes haber recibido una instrucción previa acerca de cómo se usa y cuál es su finalidad, ya que el niño al usar el material de forma adecuada está formando las conexiones de lo conocido a lo desconocido. El material es la herramienta que se le ofrece al niño para ordenar e internalizar (por medio de la repetición del uso del material) y luego dominar las nuevas impresiones que su intelecto encuentra. La guía Montessori debe instruir al niño en el uso correcto del material, le corresponde proveer que el ambiente que rodea al niño debe mantener un orden escrupuloso, con zonas de trabajo definidas y con los materiales a disposición de los niños, pero ordenados. Esto entraría a reforzar la idea que antes hemos mencionado de que el niño necesita regirse por ciertas normas de instrucción y de orden, para así lograr hacer las conexiones del conocimiento previo con el conocimiento nuevo. Como se menciona antes, una de las funciones más importantes del profesor es que actúa de manera indirecta. El maestro está ayudando al niño provisionándole el ambiente preparado para que desarrolle sus funciones de manera autónoma y también hay una función más directa que es la introducción inicial hacia el material. Frente a cómo el educador puede ayudar al niño en su proceso de maduración, el método Montessori distingue distintas etapas en las cuales el desarrollo de la personalidad del infante es único.

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Desde esa base, el docente debe ayudarle a desenvolverse emocional y socialmente como un sujeto feliz y físicamente fuerte. Finalmente, el profesor debe ayudarlo a que desarrolle su capacidad intelectual, como objetivo transversal del aprendizaje. El desarrollo de la personalidad se refiere a que cada niño como ser activo con su entorno se desarrolle y alcance su propia realización. El método Montessori se refiere a varias etapas dentro de este desarrollo del niño. • • •

La primera etapa, en la infancia, debes hacer sentir seguro al niño, atender sus necesidades físicas y así cree una relación satisfactoria con el educador. En la segunda etapa, los niños desarrollan la independencia, pero siempre teniendo al educador cerca. Y en la tercera etapa apunta a que desde los 3-6 años los niños están en una fase absorbente y consciente, en la cual todavía su personalidad es maleable como para normalizarla.

Tras identificar estas etapas en el desarrollo de la personalidad del niño, el educador tiene que ver cómo ayudarlo a que ésta se desarrolle y para ello, el método Montessori señala tres reglas de oro: • • •

La primera es darles libertad, pero siempre dentro de límites. La segunda es respetar al niño como ser individual. La tercera es no imponer la propia personalidad al hijo.

El siguiente objetivo, ayuda al ajuste social y emocional, se refiere a una etapa del niño en la cual aprende ciertas aptitudes de buen comportamiento social en la cual desarrollan, el respeto hacia otras personas, cooperación con sus pares y normas de grupo. Es por lo que debe equipar bien al niño para enfrentar nuevas situaciones. En este objetivo es muy importante que el educador logre ayudar al niño para ser obediente y así alcanzar la autodisciplina, y para esto Montessori identifica tres etapas de la obediencia que con llevan a la autodisciplina: •

La primera, desde que nace hasta los 18 años, se trata con sensibilidad al infante y se atienden sus necesidades con cariño creando una relación cooperadora.

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•

La segunda etapa, desde los 18 meses a los 4 años, es un período de transición, en el cual, se crea un ambiente seguro para que el niño explore su libertad. También el educador debe tomarse el tiempo de explicar las cosas, para que el niño comprenda las cosas y no haga pataletas. La tercera y última etapa es desde los 4 a los 6 años, período en el cual aumenta su comprensión y comienzan a realizar lo que le dicen para complacer, en esta etapa es sumamente importante que se le otorgue al niño el tiempo estimado para que este logre hacer las cosas y experimente la satisfacción de terminar lo comenzado, la disciplina en esta etapa se desarrolla el autocontrol. Debe aceptarse al niño tal como es, no se debe esperar que sea perfecto, uno debe adaptarse a ellos con un enfoque positivo, proponiéndole normas justas explicándole lo que se espera de él y el porqué.

La actitud del educador en este objetivo: No debe ser de carácter posesivo o sobreprotector, no plantear demandas excesivas de afecto, no imponer normas de forma autoritaria y no ser demasiado benevolente. Por último, el rol del educador en el desarrollo de la capacidad intelectual del niño supone potenciarlo. Para lograr el objetivo mencionado el educador debe permitir que el niño sea activo, dejando que explore sensorialmente. Permitir que perfeccione una actividad por medio de la repetición y, finalmente, se reconoce la importancia de la motivación y de cómo afecta en el aprendizaje. Un buen profesor debe hacer un esfuerzo para encontrar formas de volver a motivar a un niño desmotivado o frustrado. No debe imponer su voluntad sobre el niño, permitir que ellos experimenten por sí mismos y sus propias búsquedas, pero acompañándolos en este proceso. Estimular el aprendizaje independiente del niño, en el aula Montessori se disponen materiales didácticos con cierto control de error, es decir que entregue un indicio sobre la forma correcta de realizar la actividad. El educador también debe tener conciencia del modelado, los niños aprenden imitando por lo que se debe ser cuidadoso con las formas de actuar. El educador también debe ayudar al niño a aprender paso a paso las cosas, dejar que aprendan bien las lecciones dándoles el tiempo necesario para terminar lo que empezaron. Se debe ayudar al niño a desarrollar la concentración, proponiendo actividades conforme a sus capacidades y su edad, se debe estimular la actitud positiva hacia el aprendizaje, teniendo una actitud optimista hacia él y estimulando que aprenda cosas nuevas. 320

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También se debe ayudar al niño a desarrollar habilidades de memoria teniendo actividades para todas ellas (memoria mecánica, visual, auditiva y para el movimiento). Y finalmente un buen educador estimula el desarrollo del lenguaje, se debe otorgar tiempo para actividades en donde se establezcan conversaciones, se dé instrucciones, se les cuente cuentos y se les escuche. Crear un ambiente seguro y de cariño para que el niño logre establecer relaciones significativas con otras personas. Frente a lo mencionado anteriormente el profesor cada vez se vuelve más pasivo. El niño al progresar cada vez va a necesitar menos al profesor o guía, y este debe ir apartándose y dejando que ellos se las arreglen por sí solos a medida que puedan. También el profesor debe respetar el ritmo interno del niño dándole el tiempo necesario para que él mismo desarrolle y finalice una actividad.

13.9 Aula Montessori 13.9.1 El ambiente Montessori afirmaba que para los niños un ambiente hostil constituía una barrera para el cultivo de sus habilidades y el desarrollo de sus capacidades. El mundo a la medida de los adultos es un obstáculo, por lo que había que adaptarlo y reformularlo para los menores, por eso es necesario considerar lo que afirma en su libro el secreto de la infancia: “En el aula los materiales se disponen ordenados al alcance de los niños, evitando así la confusión y facilitando la concentración, el interés y creando el sentido del orden en el niño”.

• •

•

Muebles: transformarlos en forma, tamaño y peso, de acuerdo con las medidas de quienes hacen uso de ellos. Espacios: rediseñarlos para un aprovechamiento más racional, funcional y libre: ventanales hasta el piso, estantes a la altura conveniente, herramientas en miniatura y pequeños sanitarios pasaron a ser parte del ámbito cotidiano. Ambiente: favorezca la concentración de los niños en su trabajo, respetarse entre sí y cuidar por sí solos los materiales didácticos.

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•

• • •

•

Disposición de las aulas: se organizan de izquierda a derecha ya que es la forma natural de nuestra escritura: se empieza por lo más básico, la vida práctica y la sensorial, y se continúa con las matemáticas, la lengua y la educación cósmica. Diseño: el mobiliario consiste en estanterías blancas donde se colocan los distintos materiales de abajo hacia arriba según el grado de complejidad. El cristal es el otro material empleado, junto con la madera, en esta pedagogía. Áreas verdes: para destacar su fragilidad y la necesidad de cuidado en su uso, es habitual colocar plantas o flores entre ellos pues la sensibilización que le produce al niño tirar un ser vivo al suelo no es la misma que tirar un objeto y esto le permite concienciarse de que todo merece un cuidado. Sensibilización: es en la vida práctica donde se requiere un especial cuidado por la abundancia de materiales de cristal. Orden: también llega a los materiales plásticos. Todos los lápices, ceras y rotuladores se organizan en botes por colores del color correspondiente. Pizarrones y frisos: con papel continuo son muy útiles para, al finalizar el día, la semana, o el mes, ver qué es lo que se ha trabajado. El papel continuo también se utiliza como mural a lo largo de la pared a modo de calendario, en el que cada día se señalan las cosas importantes. También se indican los diferentes meses del año y las respectivas estaciones, para adquirir un mayor conocimiento y control sobre el espacio-tiempo. Almuerzo. Lo realizan en el aula, cada uno en su lugar y antes de salir al recreo. Se le asigna a un niño traer almuerzo para todos, rotando esto en el alumnado que asiste en cada ambiente.

Fig. # 104. Ambiente de aprendizaje Montessori. 322

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13.10 Ambiente Preparado Un ambiente preparado responde a las condiciones básicas para que niños puedan aprender de mejor manera a través de un ambiente en armonía con sus expectativas personales y necesidades educativas, y así, lograr alcanzar un aprendizaje significativo. La preparación del ambiente tiene una dimensión física importante donde, el ambiente es proporcionado a la medida de los niños, con estanterías bajas y distintas medidas de mesas y sillas en las que se sientan los niños individualmente o en grupos. El aula está subdividida en áreas temáticas donde se exponen los materiales y la bibliografía correspondientes y permite una gran libertad de movimiento. Los niños pueden trabajar en grupos o individualmente, respetando, de este modo, su propio estilo y ritmo. La construcción de espacios en el aula es un ambiente preparado, donde cada elemento presente está intencionado a responder ante una necesidad educativa. Tanto las ventanas, las puertas, escaleras y mobiliario, están diseñados a la medida de los niños, con el fin de logar un ambiente más amigable en el que puedan desplazarse y desenvolverse a voluntad. Las características indispensables del aula Montessori son: • •

• •

Debe ser un espacio limpio y ordenado, y embellecido estéticamente; Los materiales deben estar al alcance de los niños y no en estanterías altas y muebles cerrados; el espacio debe proveer capacidad de movimiento para desarrollar diversas actividades y dinámicas Debe proveer la independencia y libertad a través de espacios de trabajo individual. Debe permitir el desarrollo social, intelectual y emocional de cada niño.

Lo que se busca con esta preparación, es crear un ambiente dinámico que responda a la formación individual y colectiva de los niños, entregando espacios para su desarrollo según las necesidades de cada uno. El método Montessori trabaja desde lo individual a lo colectivo, por lo que crear espacios de trabajo individual por un lado y otros de trabajo colectivo, permite desarrollar las actividades desde estas dos perspectivas según lo requiera el momento. 323

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Esta preparación del ambiente también está diseñada para desarrollar la construcción social del conocimiento. Cada estante, mobiliario, alfombra de trabajo, materiales etc., está destinado a un uso determinado y bajo reglas de convivencia conocidas por cada niño, compartir un espacio significa interactuar con el resto, respetar los límites y acuerdos, estableciendo dinámicas propias del curso en el uso de los espacios en el desarrollo de las actividades que se han propuesto. Al respecto es importante el rol del docente en su capacidad de impulsar o crear los vínculos existentes entre los niños, el trabajo y el ambiente en el que se desenvuelven.

Fig. # 105. Paseos numéricos.

13.10 Recursos Montessori Junto al ambiente preparado, la selección de los recursos didácticos de aprendizaje son claves en la implementación del Método Montessori. Fueron diseñados en un contexto experimental dentro del aula y enfocados en los intereses de los niños según su etapa de desarrollo.

Material Montessori Experimentación manipulativa, sensorial y concreta

Abstracción

Cuadro # 31. Material Montessori. 324

Adquisición del concepto

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Montessori toma como punto de partida esta idea: “A los niños se les enseña”. Esta verdad inspiró a Montessori a la búsqueda de una reforma educativa basada en fomentar que es uno mismo quien construye su propio aprendizaje, por lo que cada ejercicio, cada método desarrollado, fue basado en lo que ella observó, en lo que los niños hacían naturalmente, es decir, relacionados con la capacidad de los niños, para absorber conocimiento de sus alrededores, así como el interés que estos tenían por materiales que pudieran manipular por sí mismos, sin ayuda de los adultos (Campos y Silvia, 2003). El material didáctico en el método Montessori no es un simple pasatiempo, ni una sencilla fuente de información, es más que eso, es material didáctico para enseñar. Están ideados a fin de captar la curiosidad del niño, guiarlo por el deseo de aprender. Para conseguir esta meta han de presentarse agrupados, según su función, de acuerdo con las necesidades innatas de cada alumno (Martínez y Salanova, 2003).

Fig. # 106. Material Montessori de distintas áreas.

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Los materiales didácticos pueden ser utilizados individualmente o en grupos para participar en conversaciones, discusiones, esfuerzos de trabajo cooperativo, canto, juegos al aire libre y actividades lúdicas libres. De esta forma asegura la comunicación, el intercambio de ideas, el aprendizaje de la cultura, la ética y la moral. Otra característica de los materiales Montessori es la autocorrección, de manera que ninguna tarea puede completarse incorrectamente sin que el niño se dé cuenta de ello por sí mismo. En una tarea realizada incorrectamente encontrará espacios vacíos o piezas que le sobren. Los colores, la pintura, papeles de diferentes texturas, objetos multiformes y las figuras geométricas de tres dimensiones las incitan a la expresión creativa. Enrique Martínez y Salanova Sánchez en su artículo María Montessori, La Pedagogía de la Responsabilidad y la Autoformación, mencionan que los materiales están agrupados por cada sentido: •

•

• •

El gusto y el olfato. Las plantas y los perfumes proporcionan la gama de los olores. Aquí el material está constituido naturalmente por productos culinarios, con el complemento de una serie de botes con sustancias olorosas, otra serie idéntica ha de ser clasificada por comparación, de manera que se pueda asegurar el reconocimiento exacto de los olores. El tacto. Tiene en cuenta el material Montessori en sentido táctil, en todas sus formas (tablillas y rugosidades), así como el sentido térmico (botellas con agua a diferentes temperaturas), la percepción de las formas, etc. La vista. Percepción diferencial de las dimensiones, colores, volúmenes y formas. El oído. Discernimiento de los sonidos con cajas metálicas, campanillas, silbatos y xilófonos.

Fig. # 107. Caja de permanencia.

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13.10.1 Características de los materiales Montessori • • • • • • • • •

Son materiales científicamente elaborados: fruto de una larga observación con las experiencias de los niños. Aíslan las cualidades: las actividades que brindan presentan un solo concepto a la vez y, por tanto, una única dificultad. Son sensoriales y manipulativos: permiten al niño manipularlos ejercitando sus sentidos, proporcionándole la experiencia de sentir el concepto de forma concreta antes de pasar a la abstracción. Esta manipulación sensorial del objeto permite una adquisición del concepto de una forma más profunda basada en la propia experiencia. Están adaptados a la fuerza y tamaño del niño: son fáciles de manipular eliminando las barreras que constantemente se encuentran por ser pequeños. De gran belleza: atraen al niño para que los use. Están dispuestos en un orden muy atractivo, invitándole tanto a cogerlos como a dejarlos posteriormente en su lugar. Responden a un código de color que permite al niño asociar los diferentes conceptos a determinados colores. Son autocorrectivos: permiten al niño autoevaluarse y corregirse por sí mismo, así puede saber si se ha equivocado y puede rectificar sin sentirse sometido a la evaluación constante del adulto. De esta forma el error estimula la acción del niño que no realiza el ejercicio buscando nuestra aprobación sino para su propio progreso y autoconstrucción.

13.10.2 Confección de los materiales Montessori • • •

•

La investigación y exploración individual e independiente del niño. Posibilitan la repetición, lo que promueve la concentración. Tienen la cualidad de aislar las dificultades, es decir, cada uno introduce una única variable, un solo concepto nuevo, aislándolo y dejando los demás conceptos sin modificar. Los materiales tienen control de error: es el mismo material que le mostrará al niño si lo usó correctamente. De este modo los niños saben que el error forma parte del proceso de aprendizaje, logran establecer frente a él una actitud positiva, se hacen responsables de su propio aprendizaje, y desarrollan confianza en sí mismos. Cada material está pensado para un ejercicio en particular, cuyas instrucciones se basan en sesiones introductorias breves para mostrar al niño lo que debe hacer. 327

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

•

Los errores podrán ser identificados y corregidos en el acto por los niños, lo que evita la intervención y corrección constante de parte del profesor.

13.10.3 Tipos de materiales Montessori Existen diversos tipos de materiales, los cuales se dividen en grupos o áreas, destacando: •

•

Materiales sensoriales: Aquellos que incentivan a través de los sentidos con la intención de ayudar a los niños a desarrollarlos. Estos son: la vista, olfato, tacto, esterognóstico, propioceptivo, kinestésico y bárico. Este trabajo sensorial, nace de la idea de que el mundo que nos rodea es percibido a través de los sentidos, estimulando el desarrollo de nuestro cerebro y permite al niño clasificar sus experiencias sensoriales de manera organizada y ordenada. Materiales para el lenguaje: Son aquellos centrados en el desarrollo del vocabulario, pronunciación e iniciación y desarrollo de la escritura y lectura. Se espera dotar al niño de un lenguaje abundante, preciso y rico en vocabulario. Materiales de matemáticas: Son el área de trabajo más desarrollado en el método, dada la importancia que se le da a su dominio, considerado difícil para los niños. Parten desde el trabajo con situaciones de la vida práctica y cotidiana, desarrollando las secuencias lógicas de patrones de pensamiento. Se utiliza el trabajo indirecto con el fin de lograr un aprendizaje natural acorde a su edad. Materiales de ciencias: Relacionados con las matemáticas y el lenguaje, dado al uso de un lenguaje científico. Su objetivo es conocer los fenómenos naturales a través de la observación y descripción del mundo que los rodea. También se busca el respeto a la naturaleza, conocer la geografía y la flora y fauna que los rodea, y los fenómenos naturales en general. Materiales de expresión artísticas: Responden a la necesidad del niño a expresarse, utilizando diversas técnicas y posibilidades, impulsando el genio creador y particular de cada niño.

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13.10.4 Presentación de los materiales Como se ha dicho, en las escuelas Montessori los materiales están clasificados por áreas. Están dispuestos en las estanterías por grado de dificultad y se presentan en bandejas, cajas, cestas… de forma que les resulten a los niños fáciles de transportar hacía el lugar de realización de la actividad. •

• • • • • •

Vida Práctica: con actividades de aseo personal como peinarse, actividades del cuidado de entorno como limpiar el suelo, actividades de cocina como preparar un snack o poner la mesa, actividades de control de movimiento como transportar una silla de forma silenciosa… Sensorial: reconocer y emparejar olores, emparejar telas, asociar colores con objetos… Lenguaje: contar historias y cuentos, jugar al veo-veo de sonidos, hacer rimas, trazar letras en la arena, reconocer y recomponer su nombre en letras móviles… Matemáticas: clasificar objetos y contarlos, asociar cifras con su cantidad correspondiente… Geografía: hacer puzles de mapas, clasificar animales por continentes, coleccionar monedas y billetes de distintos países del mundo… Ciencia: hacer experimentos manipulativos para comprender la realidad como juegos con imanes, hacer flotar objetos y observar los que se hunden… Botánica y Zoología: salir a la naturaleza y recoger hojas, observar insectos con una lupa, buscar fósiles…

La guía Montessori realiza la presentación de cada uno de los materiales de forma detallada y normalmente de manera individual o sólo con un pequeño grupo. Ella es la encargada de hacer el modelaje, cuya demostración debe ser completa y sin interrupción. • •

•

Se lleva a cabo el proceso desde que se coge el material de la estantería hasta que se le devuelve a su sitio. Los materiales se presentan con dulzura, palabras precisas y muy lentamente para que el niño fije su concentración y entienda todo el proceso con igual importancia. El inicio de todos los ejercicios consiste en la colocación del tapete, generalmente de color oscuro para resaltar el material de trabajo. El tapete tiene también como función la protección del material, ya que es de madera, y facilitar la concentración y el orden. Si el material se compone de varias piezas, el niño irá a por su tapete e irá acercando al mismo las piezas de una en una. 329

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13.10.5 Los tres niveles de aprendizaje Para enseñar nuevos conceptos se siguen los diferentes niveles: 1. Nombrar. “Éste es el color azul” 2. Reconocer. “Dame el color azul” 3. Pronunciar de la palabra. “¿Cuál es el azul?” En el caso de que el niño no comprenda, se intentará al día siguiente o cuando vuelva a mostrar interés por dicho material.

13.10.6 Ejemplos Recursos Montessori A continuación, se revisarán diez ejemplos de recursos que los docentes emplean en las aulas Montessori, como partes fundamentales de su metodología de enseñanza-aprendizaje. Cada uno de ellos cumple una función específica, y si bien existen más de diez, se mostrarán algunos para ilustrar qué tipo de elementos son.

La torre (rosa) Son diez cubos, exactamente iguales, que disminuyen gradualmente su tamaño. La escalera (marrón) Son diez prismas de madera de color uniforme que se diferencian en grosor. Juego de cilindros: cuatro tarugos con agujeros en los que se pueden encajar diez cilindros de distintos diámetros.

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Tablillas de colores Es una caja con tres pares de tablas de madera, cada par cubierto de seda azul, amarilla o roja. Sólidos geométricos: grupo de sólidos del mismo color, textura y medida, pero diferenciados en forma. Sólidos geométricos Grupo de sólidos del mismo color, textura y medida, pero diferenciados en forma.

Gabinete geométrico Seis cajones con figuras de madera que representan diversas formas y sus tamaños, tipos, etc. Cada una con una pequeña perilla en el centro. Triángulos constructores Triángulos de madera en colores brillantes que el niño forma como un rompecabezas. Cada uno tiene en uno dos o tres lados una línea negra.

Alfabeto móvil El docente, en una bolsa, pone juguetes que representan palabras sencillas para que el niño escriba con estas letras de qué objeto se trata.

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Tablas de Seguin Nueve tablas que tienen impresas el número diez, y que se complementan con otras que tienen impresos números del 1 al 9.

Relieves geográficos Para formar relieves con greda o plastilina en moldes pintados de azul.

Barras numéricas 10 varillas de madera que varían de 10 cm a 1 m de longitud para contar y colocar el número correspondiente en la barra que se está contando.

Listones o bastones rojos Nociones de longitud: largo, corto… Preparan para contar. Son 10 barras de madera que van de los 10 cm a un metro.

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Cilindros con botón y sin botón

Fig. # 108. Ejemplos de materiales Montessori.

Visita estos portales: • Creciendo con Montessori https://www.creciendoconmontessori.com/imprimibles • Mumuchu. https://www.mumuchu.com/blog/el-metodo-montessori-que-es/

13.10.7 Áreas de trabajo 13.10.7.1 Nidos para 0 a 3 años • • •

Montessori comienza con ambientes especiales, llamados nidos, para bebés desde los 4 a los 6 meses, hasta los 3 años. Son espacios abiertos con materiales que facilitan el libre movimiento de forma segura. Predominan materiales como alfombras, camas bajas, estantería accesible para ellos y móviles.

Ejemplos de materiales  Móvil Munari: en blanco y negro. A partir de las dos semanas hasta la 5/6.  Móvil de Octaedros: en colores primarios. A partir de la 5/6 semana.  Móvil Gobbi: un mismo color en diferentes tonalidades. A partir de las 8 semanas a los 4 meses.  Móvil de Bailarines: movimiento visual. A los 35 meses.  Cajas de permanencia: para aprender que el objeto permanece, aunque desaparezca de la vista.  Encajables de formas geométricas: para el reconocimiento visual.  Bandejas de clasificación: fichas de diferentes colores. 333

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Movil Munari

Móvil Gobbi

Móvil bailarines

Caja de permanencia

Encajables geométricos

Clasificación

Fig. # 109. Material para los nidos.

13.10.7.2 Vida práctica • • • •

• • •

Son actividades relacionadas con la vida diaria para desarrollar el autocontrol de los movimientos. Se usan objetos de uso cotidiano. Coordinar movimientos practicando la psicomotricidad fina y la coordinación ojo-mano sino los movimientos gruesos de todo su cuerpo. Todos los ejercicios de la vida práctica se realizan sobre bandeja, con todo lo necesario y preferiblemente de un solo color para favorecer la concentración. Con ella el niño aprende a controlar sus propios movimientos, a coordinar todo su cuerpo, a focalizar su atención y, a través de la repetición, perfecciona el modo de manipular los objetos de una forma cada vez más precisa. Ejercicios: traspasar objetos de un recipiente a otro, trasladar sillas o cajas, abrir y cerrar puertas, abrir y cerrar botellas... Aprender a cuidar de sí mismo le dará una mayor independencia y al mismo tiempo, desarrollará su autoestima. Por ejemplo: sonarse, limpiarse la boca, lavarse las manos, ir al baño... El cuidado hacia su entorno implicará responsabilidades. Abrochar y desabrochar botones/ cremalleras, limpiar los platos, vaciar la basura, regar las plantar, alimentar a los animales... Respecto a la socialización, el niño ha de aprender las normas sociales para poder interactuar en sociedad de una forma respetuosa: saber preguntar por algo, esperar su turno, llamar a una puerta...

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Fig. # 110. Material de la vida práctica

Ejemplos de materiales:  Pinzas (suaves).  Juegos de agua: traspaso de un bol a otro. Empezar con cuchara, gotero o similar.  Utensilios de limpieza: trapos, escobas, cubos, jabón…  Recipientes con garbanzos, cuentas… Concentración, coordinación óculomanual, orden, fuerza en los dedos. Los más pequeños empiezan utilizando sus dedos para traspasar los garbanzos; más tarde, la cuchara y después con la pinza.  Cubiteras o pastilleros con esponjas. A partir de 1 año y medio.  Abrir y cerrar diferentes frascos, botes, botellas...  De la pinza a la ventosa. Principio de las matemáticas: lleno, vacío, falta uno... A partir de 2 años.  Pinchos y gomas. Coordinación óculomanual, creatividad, formas geométricas, ampliar vocabulario sobre las formas realizadas... A partir de 2 años.  Rallador de queso.  Bastidores con botones, velcro, cremalleras, corchetes, lazos… Para aprender a usar distintos tipos de broches de diferentes prendas de vestir y accesorios. 335

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Fig. # 111. Bastidores.

13.10.7.3 Sensorial • • • • • • • • • • • • •

Permite el desarrollo de los sentidos: observar, tocar, comparar, organizar… Favorece el paso de lo concreto a lo abstracto, preparándolos para el lenguaje y las matemáticas. Danza del huevo. Motricidad fina y capacidad de reacción. Tienda Haba. La torre rosa. Conceptos grande- pequeño; creatividad; matemáticas; equilibrio; concentración; orientación espacial; precisión… jaisaeducativos.com Escalera marrón. Conceptos grueso- delgado. Cilindros con botón. Memoria corta; sentido estereognóstico; concentración; preparación para la escritura; coordinación y orden. A partir de 1 año. Cilindros (sin botón) Orden; sentido estereognóstico y creatividad. 2 años. Listones largos/rojos. Conceptos largo- corto, altobajo; psicomotricidad; juego simbólico; preparación para las matemáticas (secuencias, números…); comparativos y superlativos. 2 años y medio. Bolsa misteriosa. Con formas geométricas, objetos familiares Triángulos constructivos. Orden; psicoaritmética; psicogeometría; superficies y diámetros; Pitágoras… A partir de 3 años. Gabinete de formas geométricas. Geometría; creatividad. Figuras/ Bloques. Sentido estereognóstico; creatividad; geometría; orientación espacial. Hacer rodar sobre bandeja de harina, arena... Descomposición de figuras geométricas. 336

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Fig. # 112. Material sensorial.

Otros materiales:  Caja de telas. Retales de diferentes texturas.  Tablillas térmicas: ladrillo, mármol, piedra, madera, vidrio, metal… Unir con la pareja. De 1 a 5 años.  Tablillas/ Posavasos de lija. Áspero-suave  Tablillas báricas. Unir con pareja de igual peso.  Tablillas de color. Seguir los tres períodos de aprendizaje: nombrar color (éste es el azul); reconocimiento (dame el azul); pronunciación de la palabra (¿cuál es éste?). A continuación, buscar un objeto azul. La pinza, concentración.  Caja de matices para emparejar.  Botellas de degustación.  Cilindros/botellas de olores.  Cilindros de presión.  Cilindros de sonido.  Campanas Montessori. Sentido estereognóstico: (Hoffmann, 1885). Facultad de reconocer por el tacto la forma de los objetos y otras propiedades físicas como consistencia, temperatura, peso, etc. No es un sentido sino una asociación de diversos modos de sensibilidad elemental que provienen de la sensibilidad superficial y de la sensibilidad profunda.

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Fig. # 113. Estantería para el área sensorial.

Fig. # 114. Memoria táctil.

13.10.7.4 Matemáticas Las matemáticas se realizan sobre tapete verde. • • • • • • • • • •

Listones rojos y azules. Coger por los extremos, excepto si los niños son muy pequeños. Siempre del más grande al más pequeño. Números de lija/ terciopelo (tablillas). Variaciones para aprender los números: jugar dibujando con los pies, haciendo las formas con el cuerpo, pintando sobre el vaho... También se pueden combinar los listones con las tablillas Caja de los husos. Cajones compartimentados y numerados de 0 a 9. Comprensión del cero. (Juego de los cero besos) Atar cada conjunto de husos con una goma o similar. Números. Colgador de perlas. Tablas de Seguin. Comprender el concepto de las decenas (11 no son dos unos, sino una decena más uno) Perlas para las unidades. Perlas para las decenas. Comprensión de la decena como unidad. Perlas para las centenas. Cadena del 100. Comprensión de la centena. Enseñar 10 decenas y comparar con la centena como unidad. (10 centenas= 1000 perlas= 1 cubo- concepción de las tres dimensiones) 338

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• • • • • • • • • • • • • •

Cadena del 1000. Cubo de 1000 perlas. Pinchos para entender la raíz cuadrada, “raíz de cuadrado” Explicar con las raíces de un árbol (la base del árbol). Cubo del binomio. El control de error es la tapa. Cubo del trinomio. Juego del banco. Serpiente. Se necesitan las flechas para calcular. Perlas blancas y negras. Para restar Listones pequeños. Sumar y restar. Tabla de sumas/ Tabla de restas. Tablero de multiplicar. Tablero de dividir. Tablillas de unidades, decenas, centenar y millares. Se pueden combinar con las tablas de Seguin a la hora de operar. Stamp Game. Fichas: unidades, decenas, centenas, millares. Suma y resta; llevadas.

Fig.# 115. Estantería de matemáticas.

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Fig. # 116. Números rojos.

Caja de husos Para asociar los números con su cantidad

Barras numéricas rojas y azules pequeñas Para relacionar la cantidad con el número

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Perlas Montessori Con sus colgadores se puede visualizar de forma manipulativa la asociación de cantidad. Están los colgadores del 1 al 9 y del 11 al 20. Para hacer el decanomio de perlas, se dispone de 55 barras de perlas de cada uno de los números.

Cuadros de perlas Para representar los cuadros de los números del 1 al 10.

Tablas de Seguin Para trabajar diferentes decenas.

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Tablero de Pitágoras Para practicar la multiplicación y sus propiedades. Es un tablero rojo de doble entrada con números del 1 al 10, tanto horizontal como vertical. Se ordenan los números en el tablero para luego proceder a la multiplicación múltiplos, entre otros. Tienen los números blancos y los transparentes además de dos reglas. La tabla de Pitágoras es una de las presentaciones más mágicas: con ella se puede ver relaciones entre los números y, más concretamente, entre las tablas de multiplicar. Es una buena idea combinarla con las perlas.

Peones fraccionados Para un acercamiento inicial a las fracciones y para la presentación de conceptos de operaciones con fracciones a nivel avanzado.

Fracciones metálicas Permiten experimentar con diferentes tipos de fracciones circulares viendo las equivalencias que hay entre ellas, realizar operaciones, dibujarlas al tomarlas como plantilla, entre otras actividades. Tablero de fracciones con geometría Se trabajan las fracciones, los grados y cuenta con un geoplano para dibujar formas geométricas con ligas en la parte posterior.

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Tablero de ajedrez Se utiliza para la multiplicación. Junto con las perlas, se pueden llevar a cabo operaciones de varios dígitos y la comprensión visual de cómo funcionan el algoritmo. Tablero de 100 Se trabaja la numeración del 1 hasta el 100. Este tablero permite ver con claridad la estructura en las diferentes decenas, y organizar juegos de series numéricas.

Fig. # 117. Material para matemáticas.

13.10.7.5 Lenguaje Se utiliza un tapete o trapo de color blanco para resaltar el azul y el rojo de las letras. Este material consta de libros, secuencias temporales, juegos de sonidos, trazados de letras, órdenes, símbolos y cajas gramaticales… Un primer contacto con las letras es empezar con los sonidos. •

• • • • • • • •

Letras de lija. Se enseñan de tres en tres, 2 consonantes y una vocal (lo más diferentes posible). Primero las de sonido largo para aprender la pronunciación. Al día siguiente se enseñarían dos nuevas y una del día anterior. Si no lo comprende, recoger el material y volver a intentarlo en otro momento. Variaciones para aprender las letras: con el cuerpo, dibujando sobre arena, con agua, en la espalda... Letras con hendidura. Abecedario movible. Vocales azules y consonantes rojas. Tarjeta con dibujo al que se asocia la palabra por letras individuales. Caja de cerillas con dibujo y letras dentro. Tapas de toallitas (palabra fuera, dibujo dentro). Ruedas de palabras y dibujos con pinzas (control de error por detrás) Cajones o cajas con muñecos y palabras para asociar. Cajas con cajones (dibujo, palabra entera, letras individuales) 343

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• • • • • • • • • • •

• •

•

• •

Sobres de palabras. En la cara del sobre hay dibujos y dentro del sobre están las palabras para asociar a los dibujos. Cajas de colores. Diferenciación de fonemas: verde (v, b/ c, s/ h / ch), rosa (fácil), azul (más complicado: cu, qu / gue, gu...) Rompecabezas frases. Con dibujo, ejemplo: V A C A. Separado en cuatro partes, arriba una letra y abajo una parte del dibujo; números en cada parte de la vaca) Tarjetas palabras cortas. Tarjetas de adjetivos. Tarjetas variables. Arriba un dibujo, debajo la sílaba por la que empieza, después varias palabras que empiecen igual. Aprender palabras homónimas. Tarjetas para fonética. Tarjetas para los fonemas. Tarjetas de frases. Tiras con dibujo y frases cortas, sin mayúsculas ni verbo. Más adelante se introduce el verbo manteniendo el dibujo y al final se quita la imagen. Cajita de los secretos. Tapete blanco. Se cosen dos líneas rojas entre las que irán las letras; así aprenden una buena caligrafía. Los espacios entre palabras se marcan poniendo la mano. Luego pueden copiar en su cuaderno lo que han escrito con el abecedario movible sobre la tela. Plantilla de lectura. Cartulina plastificada con un agujero rectangular para facilitar la fluidez en la lectura. Inserciones de metal. El objetivo principal es desarrollar la motricidad fina. Sobre papel se pinta un círculo de color amarillo con el resaque (de derecha a izquierda); con la plantilla se pinta uno con el color azul: cambia de color y ven que es lo mismo trazar el círculo con el resaque que con la plantilla. Luego lo pintan en rojo sin ayuda de plantilla. Después pueden rellenarlo, los más pequeños suelen pintarlo a la italiana (relleno); la forma irlandesa es a rayas (conceptos dentro-fuera, principio-fin); la americana consiste en rellenarlo pintando rayas que van y vuelven, lo que favorece la escritura de las minúsculas. Cajas de gramática. Para infantil. Cajas separadas por verbos (acción), adjetivos, sustantivos... Para primaria se hace a través de símbolos porque cada figura geométrica corresponde a una función de las palabras. El verbo es una esfera porque representa movimiento, acción; los sustantivos y adjetivos son pirámides de diferente altura... Símbolos gramática. Juego Cadáver exquisito.

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Fig. # 118. Estantería lenguaje.

Sonidos iniciales Se utilizan miniaturas para trabajar sonidos iniciales y llevar a cabo diferentes actividades y juegos.

Caja de sonidos Cada cajón está destinado a un sonido o fonema del idioma español, facilitando su identificación de forma ordenada y visual

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Bandeja de arena La escritura se inicia con la bandeja de arena, pues se puede repetir el movimiento experimentado con las letras de lija pudiendo repetir el orden del trazo de manera visual; además de borrar y repetir las letras las veces que se quiera. Alfabeto móvil Se trabaja después de que se ha aprendido a identificar los sonidos y se ha tenido experiencia sensorial con las letras de lija a través de la vista, el oído y el tacto. No se pronuncian las letras sino su sonido. Se dice el fonema para combinarlas con facilidad. El código es vocales azules y consonantes rojas. Fig. # 119. Material de lenguaje.

13.10.7.6 Educación Cósmica Esta área recoge la cultura general, es decir, engloba la geografía, historia, biología, música, religión, arte… Permite al orientado darse cuenta de que es único en el universo, que todo está interconectado y que forma parte de ello. Comprende la etapa de taller (primaria, de 6 a 12 años) y el aprendizaje es maravilloso. Se trabajan cinco grandes lecciones: 1ª Desarrollo del Universo y de la Tierra. El dios sin manos. 2ª Desarrollo de la vida. 3ª Desarrollo de seres humanos. 4ª La historia de la escritura. 5ª La historia de los números. •

Historia. María Montessori educaba para la paz mundial, por lo que no profundizaba a la hora de explicar las guerras. Si surgía el interés por parte de algún niño, contaba pequeñas anécdotas y algunas de las causas que desembocaron en ellas, pero prefería desviar la atención hacia los aspectos positivos acontecidos en los mismos años.

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•

Geografía. El objetivo de estos materiales es conocer el mundo en el que habitamos desde el sitio en el que vivimos a los lugares más lejanos, conocer las diferentes culturas, las banderas…

Fig. # 120. Estantería Cósmica.

La tierra y los continentes El objetivo es conocer el planeta empezando por el lugar donde el niño vive e ir avanzando hasta llegar a los lugares más lejanos: familiarizarse con distintas culturas, costumbres, formas de alimentarse, vestirse, agricultura, entre muchas otras cosas. Bandejas de las formas de la tierra y el agua Para relacionar las formas inversas en la tierra y en el agua, experimentar con agua de colores vegetales y trabajar con miniaturas de animales situándolos en las bandejas, según sean acuáticos, de aire o terrestres.

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Banderas Para identificar los distintos países, sus capitales, su localización en los mapas. Se pueden aprovechar los mapas de lija para apoyarse del tacto.

Fig. # 121. Material para Geografía.

Botánica y zoología Con estos materiales, los niños pueden conocer en detalle diferentes aspectos de la naturaleza. • • • •

Gabinete botánico de hojas y la lámina de control: para aprender los nombres de los diferentes tipos de hojas, sentir su forma con los dedos, compararlas con las reales que se puedan recoger en los paseos por el campo… Tarjetas de hojas: facilitan la abstracción del concepto. Tarjetas de nomenclatura de los tipos de hojas: permiten realizar ejercicios de lectura y memorización de forma autocorrectiva. Rompecabezas de la hoja y su plantilla: para aprender los nombres de cada una de las partes de la hoja.

¿Cuáles son los beneficios del área cósmica? Entre sus principales beneficios están: • • • • •

Aprendizaje de astronomía, física, química, geología, geometría, biología, botánica, matemáticas, idiomas, lectura, escritura, meteorología… Conocimiento de los acontecimientos históricos. Conocimiento de las diferentes civilizaciones y culturas. Aprendizaje del lugar que ocupamos en el universo. Algunas actividades de ejemplo de esta área son el globo tierra-agua, mapas, rompecabezas, ciclo de la vida…

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Fig. # 122. Estantería de botánica y zoología.

Fig. # 123. Material de botánica y zoología.

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La música La música aporta numerosos beneficios al cerebro del niño y es algo que María Montessori tuvo en cuenta en sus aulas. Los materiales de música en este método desarrollan el sentido de los sonidos a nivel sensorial y manipulativo.

Fig. # 124. Estantería para el área de música.

Fig. # 125. Canasta de tesoros de sonidos. 350

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Fig. # 126. Campanas y botellas musicales. Con las campanas Montessori los niños pueden hacer numerosos ejercicios como emparejar los sonidos, experimentar con la escalera musical, emparejar los sonidos de los dos pares de campanas, tocar sus primeras canciones. La dulzura del sonido de las campanas hace que sean un instrumento muy atractivo. En “La autoeducación en la escuela elemental” (1916), María Montessori comenta respecto de la música: 351

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“Hoy se busca la forma de poner a la mano del pueblo la música con conciertos en plazas públicas, acercándola a las masas sociales; sin embargo, es la educación la que debe realizar este proceso: sin la educación musical adecuada, tendremos un pueblo de sordos quienes les es negada la posibilidad del regocijo musical” Desarrollo de la personalidad. Montessori consideraba a cada persona como un todo integrado y creía que un niño construye o crea su personalidad por medio de la participación con el entorno a medida que lucha por su propia realización.

2y3 años

4y5 años

6y7 años

8y9 años

10 y 12 años y más 11 años

Comer y beber solo Limpiar su mesita Regar alguna plantita Guardar sus juguetes Guardar sus cuentos Meter ropa en lavadora Doblar los trapos Poner y quitar la mesa

Alimentar mascotas Limpiar los derrames Recoger sus juguetes Hacer la cama Recoger su habitación Ordenar los cubiertos Ayudar a recoger vajilla Doblar ropa sencilla

Recoger la basura Doblar las toallas Trapear el suelo Vaciar el lavavajillas Doblar los calcetines Quitar la mala hierba Recoger hojas secas Pelar papas y verduras

Cargar el lavavajillas Cambiar focos Poner la lavadora Doblar/colgar ropa limpia Limpiar el polvo Limpiar el patio Guardar la compra Hacer huevos revueltos

Limpiar los baños Aspirar las alfombras Sacudir los muebles Limpiar la cocina Cocinar algo sencillo Cortar el césped Recoger el correo Coser botón, dobladillo…

Tirar cosas a la basura Llevar leña a la chimenea Ir por la toalla y pañales Ayudar a sacudir Comenzar a vestirse solo Aprender a peinarse Entretenerse solo Compartir con amigo Ropa sucia en el cesto

Doblar su servilleta Arreglar una plantita Ayudar en la cocina Ayudar a limpiar casa Tender la ropa Vestirse solo y desvestirse Secarse solo al bañarse Peinarse sin ayuda Preparar su ropa

Hacer una ensalada Poner papel de baño Poner jabón y pasta dental Ordenar su recámara Coser cosas sencillas Secarse el cabello Organizar su escritorio Preparar su mochila Guardar su ropa

Hornear galletas Pasear al perro Barrer los pasillos Limpiar la mesa Pagar algo en la tienda Aspirar la casa Encargarse de algo Bañarse sin ayuda Preparar un platillo fácil

Barrer la cochera Ayudar a limpiar casa Regar el jardín Ayudar a planchar Encargarse de su cuarto Encargarse de la alacena Separar ropa para lavar Avisar lo que se acaba Hacer su tarea diaria

Cuadro # 32. Tabla de tareas en el hogar por edades. 352

Fregar el suelo Cambiar foco del techo Aspirar y lavar el coche Podar las plantas Pintar alguna pared Ir a comprar comida Hornear un pastel o pay Reparar cosas simples Limpiar los cristales Planchar su ropa Vigilar a sus hermanitos Hacer comida completa Organizar algo familiar Pequeñas reparaciones Organizar su clóset Colaborar en casa Atender a la mascota

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1 . reparación para el aprendi aje de las matemáticas 14.1 La Teoría del desarrollo cognoscitivo de Jean Piaget Antes de entrar en materia, hagamos un repaso de la teoría cognoscitiva de Jean Piaget (1896-1980), revisando las nociones de adaptación, por asimilación y acomodación en circularidad, además de las etapas de desarrollo cognoscitivo según este autor en vista de que las matemáticas tienen una relación directa con ellas y se requiere tener presente cuál es la evolución del pensamiento en el niño y, probablemente, es la teoría más citada y conocida sobre desarrollo cognoscitivo en niños. Jean Piaget contribuyó enormemente al entendimiento del desarrollo de la inteligencia. Su visión naturalista y biológica surge de observar la interacción del niño con su medio ambiente y de la comprensión de los procesos internos de organización y adaptación que le permiten dar un nuevo sentido al mundo que le rodea. Entre los principales aportes de Piaget está haber cambiado el paradigma niño, de un ser que recibe y acumula conocimiento con base a estímulos y refuerzos externos al estilo conductista, a un sujeto activo que construye su conocimiento desde adentro, gracias a la continua exploración del medio que le rodea, a través de los procesos de asimilación y acomodación, que le permiten avanzar hacia esquemas mentales más complejos. Cuando las experiencias de un niño sobre su entorno no encajan en su estructura mental se produce en él una situación de desequilibrio y/o confusión. En un primer plano, se produce una asimilación del estímulo sin que esto constituya un cambio en la estructura mental; pero posteriormente, dentro de un proceso de acomodación, se modifica la estructura para incorporar los nuevos elementos, lográndose así un estado de equilibrio. Por ejemplo: un niño que inicialmente confundía a un pavo con una gallina, pero que posteriormente supo diferenciar ambos animales.

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Según Piaget existe un mecanismo por el cual se produce el desarrollo de la inteligencia en el niño, éste posee esquemas mentales que corresponden a su nivel de desarrollo biológico y a su fondo de experiencias adquiridas a través de su interacción con el medio. Uno de los primeros esquemas mentales que desarrolla el bebé de cuatro a ocho meses es el del objeto permanente, esquema que le permite responder, por ejemplo, a una pelota, aun cuando ésta no esté a la vista. Piaget concibe a la inteligencia como la capacidad que tiene cada individuo de adaptarse al medio que le rodea, adaptación que requiere del equilibrio entre los mecanismos de acomodación y asimilación. La adaptación consiste en la construcción de nuevas estructuras cognoscitivas que son producidas a partir de los procesos simultáneos y complementarios de asimilación y acomodación, en los cuales la directa interacción con el medio es necesaria. La organización, al igual que la adaptación, es una función intelectual, pero a diferencia de ésta no se origina a partir de una interacción con el entorno, sino como resultado de la reacomodación e integración de los esquemas mentales existentes. Es decir, la combinación de esquemas mentales da paso al desarrollo de estructuras mentales ordenadas, integradas e interdependientes, que en su conjunto forman el sistema mental global. Jean Piaget vio a la organización como una función vital del desarrollo de la inteligencia, pues gracias a ella se forman estructuras mentales, las que lejos de ser pasivas, interactúan entre sí. Complementando lo anterior, el desarrollo intelectual requiere de la interacción de cuatro procesos: 1. Maduración del área física, motriz y perceptiva. 2. Experiencia física, dada por el contacto del niño con objetos, y el uso que haga de ellos. 3. Interacción social, dada por la relación que el niño tenga con otras personas. 4. Equilibrio dado por los procesos de acomodación que emerjan de los tres aspectos anteriores.

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Es decir, el niño crecerá y ampliará su capacidad perceptiva, sensorial, de lenguaje y de motricidad; desarrollará sus aspectos físicos ampliando así su nivel de contacto con objetos del medio; interaccionará socialmente con adultos y con otros niños; y con base en los aspectos anteriores, experimentará continuos procesos de asimilación, acomodación, adaptación y equilibrio. La noción de estadio es fundamental en epistemología genética y reposa sobre los siguientes principios: • •

• • •

Los estadios se caracterizan por un orden de sucesión invariable. Cada estadio tiene un carácter integrativo, es decir, que las estructuras construidas en una edad determinada pasan a ser parte integrante de las estructuras de la edad siguiente. Un estadio es una estructura de conjunto no reducible a la yuxtaposición de las subunidades que la componen. Un estadio comporta a la vez un nivel de preparación y un nivel de acabado. En toda sucesión de estadios es necesario distinguir los procesos de formación, de génesis y las formas de equilibrio final.

Estas definiciones de estadio son sensiblemente diferentes de las halladas en las teorías psicoanalíticas. En particular, el acceso a un nuevo estadio se traduce por una forma radicalmente nueva de organización del estadio precedente. Otra contribución de Piaget fue haber explicado los procesos y funciones responsables de los cambios cognoscitivos en la identificación de estadios de desarrollo a través de los cuales las estructuras mentales se transforman.

14.2 Procesos en la evolución y adaptación del psiquismo humano Según Piaget, la capacidad cognoscitiva y la inteligencia se encuentran estrechamente ligadas al medio social y físico. Consideró dos procesos en la evolución y adaptación del psiquismo humano: la asimilación y la acomodación. Ambas son capacidades innatas que, por factores genéticos, se van desplegando ante determinados estímulos en muy determinadas etapas o estadios del desarrollo, en muy precisos periodos en edades sucesivas.

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a) Asimilación. Este proceso consiste en la interiorización o internalización de un objeto o un evento a una estructura de comportamiento y cognoscitiva preestablecida. Por ejemplo, el niño utiliza un objeto para efectuar una actividad que preexiste en su repertorio motor o para decodificar un nuevo evento basándose en experiencias y elementos que ya le eran conocidos (por ejemplo, un bebé se aferra al objeto nuevo y lo lleva a la boca –el aferrar y llevárselo a la boca son actividades prácticamente innatas que ahora son utilizadas para un nuevo objetivo. En suma, es el acto de cambiar los procesos mentales cuando un nuevo objeto o idea no encaja en los conceptos de uno. b) Acomodación. Consiste en la modificación de la estructura cognoscitiva o del esquema de comportamiento para acoger nuevos objetos y eventos que hasta el momento eran desconocidos para el niño (si le es difícil de aferrarse al objeto, el bebé deberá modificar los modos de aprehensión). c) Equilibrio. Ambos procesos, el de asimilación y acomodación, se alternan dialécticamente en la constante búsqueda del equilibrio u homeostasis para intentar el control del mundo externo con el fin primario de sobrevivir. Esta unidad de organización permite la construcción del sistema intelectual y del conocimiento, regula las interacciones del sujeto con la realidad al servirle como marco de asimilación mediante el cual la nueva información se incorpora en la persona. Cuando una nueva información no resulta inmediatamente interpretable basándose en los esquemas preexistentes, el sujeto entra en un momento de crisis y busca encontrar nuevamente el equilibrio, por eso Piaget lo consideró como un equilibrio fluctuante, necesario para producir modificaciones en los esquemas cognoscitivos del niño con el fin de que pueda incorporar las nuevas experiencias. El proceso de equilibración entre asimilación y acomodación se establece en tres niveles sucesivamente más complejos: 1) El equilibrio se establece entre los esquemas del sujeto y los acontecimientos externos. 2) El equilibrio se establece entre los propios esquemas del sujeto. 3) El equilibrio se traduce en una integración jerárquica de esquemas diferenciados.

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14.3 Los periodos de desarrollo cognoscitivo Piaget descartó la idea de que la evaluación del pensamiento y el desarrollo cognoscitivo fuesen un proceso continuo o simplemente lineal, describiendo en cambio periodos o estadios en que se configuran determinados esquemas característicos y en los que se generan las condiciones para que se produzca el salto al próximo estadio, caracterizado de una nueva manera y por nuevos esquemas. En algunos estadios prevalece la asimilación y en otros la acomodación. Definió esencialmente una secuencia de cuatro grandes estadios o periodos, que a su vez los dividió en subestadios. Los estadios se suceden de tal modo que en cada uno de ellos se generan las condiciones cognoscitivas a nivel del pensamiento para que pueda aparecer el estadio siguiente: Piaget distingue cuatro períodos en el desarrollo de las estructuras del conocimiento, íntimamente unidos al desarrollo del cariño – amabilidad y de la socialización del niño. Habla en varias ocasiones de las relaciones reciprocas de estos aspectos del desarrollo psíquico. Estas etapas se desarrollan en un orden fijo en todos los niños, y en todos los países. No obstante, la edad puede variar ligeramente de un niño a otro. Las etapas son las siguientes: Estadio

Sensoriomotor

Edad aproximada

Características

de 0 a 2 años

Conducta esencialmente motora, sin representación interna de los acontecimientos externos, ni se piensa mediante conceptos. Se caracteriza por conductas reflejas, conceptos de permanencia del objeto, manipulación de objetos. Egocentrismo. • Mecanismos reflejos congénitos (0 a 1 mes). • Reacciones circulares primarias (1 a 4 meses). • Reacciones circulares secundarias (4 a 8 meses). • Coordinación de esquemas de conducta previos (8 a 12 meses). • Nuevos descubrimientos por experimentación (12 a 18 meses). • Nuevas representaciones mentales (18 a 24 meses). 357

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Preoperacional

de 2 a 7 años

Operaciones concretas

de 7 a 11 años

Operaciones formales

de 11 a 15 años (Toda la vida adulta)

Aparece del pensamiento conceptual y del lenguaje, gradúan su capacidad para pensar simbólicamente. Imita objetos de conducta, juegos simbólicos, dibujos e imágenes mentales. Desarrollo del lenguaje hablado. Influjo de percepciones inmediatas y de la intuición. Lenguaje egocéntrico y gradual evolución hacia la socialización. Avance en la solución de problemas. • Estadio preconceptual (2 a 4 años) • Estadio intuitivo (4 a 7 años). Actividades mentales con apoyos concretos. Manifestaciones de categorías conceptuales y jerárquicas, seriación. Progreso en la socialización. Los procesos de razonamiento se vuelven lógicos y pueden aplicarse a problemas concretos o reales. Se convierte en un ser social, aparecen los esquemas lógicos de seriación, ordenamiento mental de conjuntos y clasificación de los conceptos de causalidad, espacio, tiempo y velocidad. Actividades mentales con abstracción e hipótesis. Lógica combinatoria. Solución de problemas a través del racionamiento proposicional. Se logra la abstracción sobre conocimientos concretos observados que permiten emplear el razonamiento lógico inductivo y deductivo. Desarrollo de sentimientos idealistas y formación continua de la personalidad, desarrollo de conceptos morales.

Cuadro # 33. Los estadios y sus características.

A. Periodo sensoriomotor Esta etapa tiene lugar entre el nacimiento y los dos años, conforme los niños comienzan a entender la información que perciben sus sentidos y su capacidad de interactuar con el mundo. Durante este periodo, los niños aprenden a manipular objetos, aunque no pueden entender la permanencia de ellos si no están dentro del alcance de sus sentidos. Es decir, una vez que un objeto desaparece de su vista, no puede entender que todavía existe ese objeto (o persona). Por este motivo les resulta tan atrayente y sorprendente el juego de esconder su cara tras un objeto, como un cojín, y luego volver a “aparecer”. 358

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Es un juego que contribuye al aprendizaje de la permanencia del objeto, siendo uno de los mayores logros de esta etapa: la capacidad de entender que estos objetos continúan existiendo, aunque no pueda verlos. Esto incluye la capacidad para entender que cuando la madre sale de la habitación, regresará, lo cual aumenta su sensación de seguridad. Esta capacidad suelen adquirirla hacia el final de esta etapa y representa la habilidad para mantener una imagen mental del objeto (o persona) sin percibirlo. En suma, los bebés entienden el mundo a través de su interacción con él. Sus acciones motoras reflejan los esquemas sensoriomotores: patrones generalizados, acciones para entender el mundo, como el reflejo de succión. Gradualmente, los esquemas se van diferenciando entre si e integrando en otros esquemas, hasta que al final de este periodo los bebés ya pueden formar representaciones mentales de la realidad externa. En suma, este estadio es el de la inteligencia sensorio-motriz, anterior al lenguaje y al pensamiento propiamente dicho. El punto de partida para adquirir nuevos modos de obrar. Sensaciones, percepciones y movimientos propios del niño se organizan en lo que Piaget denomina "esquema de acción". A partir de los 5 o 6 meses se multiplican y diferencian los comportamientos del estadio anterior. El niño incorpora los nuevos objetos percibidos a unos esquemas de acción ya formados (asimilación), es decir aprende cosas comprendiéndolas, pero también los esquemas de acción se transforman (acomodación), proceso en que se producen cambios entre las relaciones entre individuos o grupo de individuos en función de la asimilación. Se subdivide en seis subestadios: • •

•

Uso de reflejos (0 – 1 mes). Egocentrismo total, los reflejos neonatales se fijan y perfeccionan. Reacciones circulares primarias (1 – 4 meses). Primeros hábitos. Se producen nuevas respuestas mediante la coordinación de los reflejos primitivos aplicados al cuerpo del niño. Reacciones circulares secundarias (4 – 8 meses). Respuestas nuevas aplicadas a objetos externos a él, que se repiten intencionalmente con el propósito de mantener efectos interesantes. Coordinación de esquemas secundarios (8 – 12 meses). Coordinación de esquemas secundarios, intencionalidad para conseguir una meta subordinando los medios a los fines, conductas anticipatorias.

359

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•

Reacciones circulares terciarias (12 – 18 meses). Una acción se repite pero para conseguir efectos nuevos: “experimentación” que lleva al descubrimiento de nuevos medios, por su propia acción. Combinaciones mentales (18 – 24 meses). Inicio de la interiorización de la acción, de la representación simbólica, que le permite encontrar solución a un problema mentalmente.

Al coordinarse los movimientos y percepciones se forman nuevos esquemas de mayor amplitud. El niño incorpora cosas procedentes del mundo exterior a sus esquemas de asimilación donde el niño como que comprende si el objeto que tiene a la mano es, por ejemplo, "para chupar", "para palpar", "para golpear", etc. Durante el período sensorio-motriz todo lo sentido y percibido se asimilará a la actividad infantil. El mismo cuerpo infantil no está disociado del mundo exterior, razón por la cual Piaget habla de un egocentrismo integral, es decir de ser el centro de atención de todos.

B. Periodo preoperacional Comienza cuando se ha comprendido la permanencia de objeto, y se extiende desde los dos hasta los siete años. Durante esta etapa, los niños aprenden cómo interactuar con su ambiente de una manera más compleja mediante el uso de palabras y de imágenes mentales. Esta etapa está marcada por el egocentrismo, o la creencia de que todas las personas ven el mundo de la misma manera que él o ella. También creen que los objetos inanimados tienen las mismas percepciones que ellos, y pueden ver, sentir, escuchar, etc. Un segundo factor importante en esta etapa es la Conservación, que es la capacidad para entender que la cantidad no cambia cuando la forma cambia. Es decir, si el agua contenida en un vaso corto y ancho se vierte en un vaso alto y fino, los niños en esta etapa creerán que el vaso más alto contiene más agua debido solamente a su altura. Esto es debido a la incapacidad de los niños de entender la reversibilidad y debido a que se centran en sólo un aspecto del estímulo, por ejemplo: la altura, sin tener en cuenta otros aspectos como la anchura. Los niños pueden utilizar representaciones (imágenes mentales, dibujos, palabras, gestos) además de las acciones motoras para pensar sobre los objetos y los acontecimientos. El pensamiento es ahora más rápido, más flexible y eficiente, y más compartido socialmente.

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El pensamiento está limitado por el egocentrismo, la focalización de los estados perceptivos, el apoyo en las experiencias más que en las realidades subyacentes, y por la rigidez (falta de reversibilidad). En el período preoperatorio, junto a la posibilidad de representaciones elementales (acciones y percepciones coordinadas interiormente) y gracias al lenguaje, hay un gran progreso tanto en el pensamiento del niño como en su comportamiento. Al cumplir los 18 meses empieza a imitar las cosas con algunas partes del cuerpo que no percibe directamente (por ejemplo: fruncir la frente o mover la boca), incluso sin tener delante el modelo y entonces hace una imitación diferida. Pero a medida que se desarrollan la imitación y representación, el niño puede realizar los llamados actos "simbólicos", actos de signos o imágenes. Piaget habla entonces del inicio del simbolismo (una piedra, por ejemplo, se convierte en una almohada y el niño imita la acción de dormir apoyando en ella su cabeza). El niño todavía no puede despegarse de su acción para pasar a representársela; con los gestos y ademanes o representación, simbólicamente, ejecuta la acción que anticipa. La función simbólica tiene un gran desarrollo entre los 3 y los 7 años. Por una parte, se realiza en forma de actividades lúdicas o juegos simbólicos en las que el niño toma conciencia del mundo, aunque deformada, es decir todavía no es completa. Por lo demás, al reproducir situaciones vividas las asimila a sus esquemas de acción y deseos de cariño, transformando todo lo que en la realidad pudo ser penoso y haciéndolo soportable e incluso agradable. Para el niño el juego simbólico es un medio de adaptación tanto intelectual como de cariño. El lenguaje es lo que en gran parte permitirá al niño adquirir una progresiva interiorización mediante el empleo de signos verbales, sociales y transmisibles oralmente. Inicialmente, el pensamiento del niño es plenamente subjetivo, es decir que tiene relación con la manera de pensar o sentir y no con el objeto en sí mismo. El niño entonces presta atención a lo que ve y oye a medida que se efectúa la acción, es decir, solo presta atención cuando pasa algo sino no.

C. Periodo de las operaciones concretas Esta etapa tiene lugar entre los siete y once años aproximadamente y está marcada por una disminución gradual del pensamiento egocéntrico y por la capacidad creciente de centrarse en más de un aspecto de un estímulo.

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Pueden entender el concepto de agrupar, sabiendo que un perro pequeño y un perro grande siguen siendo ambos perros, o que los diversos tipos de monedas y los billetes forman parte del concepto más amplio de dinero. Sólo pueden aplicar esta nueva comprensión a los objetos concretos: aquellos que han experimentado con sus sentidos. Es decir, los objetos imaginados o los que no han visto, oído, o tocado, continúan siendo algo místico para estos niños, y el pensamiento abstracto tiene todavía que desarrollarse. Los niños adquieren operaciones – sistemas de acciones mentales internas que subyacen al pensamiento lógico. Estas operaciones reversibles y organizadas permiten a los niños superar las limitaciones del pensamiento preoperacional. Se adquieren en este periodo conceptos como el de conservación, inclusión, adopción de perspectiva. Las operaciones pueden aplicarse en objetos concretos presentes o mentalmente representados. Este período señala un gran avance en cuanto a socialización y objetivación del pensamiento. El niño concibe los sucesivos estados de un fenómeno, de una transformación, como "modificaciones", que pueden compensarse entre sí, o bajo el aspecto de "invariante", que implica volver a un estado anterior. El niño no es capaz de distinguir aún de forma satisfactoria lo probable de lo indispensable. Solo razona sobre lo realmente dado, no sobre lo virtual. Así que, en sus anticipaciones de cosas que van a ocurrir es limitado. En esta edad, el niño no sólo es objeto receptivo de transmisión de la información del lenguaje y la cultura en sentido único. Surgen nuevas relaciones entre niños y adultos, y especialmente entre los mismos niños. Los niños son capaces de una auténtica colaboración en grupo, pasando la actividad individual aislada a ser una conducta de cooperación. También los intercambios de palabras señalan la capacidad de descentralización. El niño tiene en cuenta las reacciones de quienes le rodean, el tipo de conservación "consigo mismo", que al estar en grupo (monólogo colectivo) se transforma en diálogo o en una auténtica discusión. La moral que está sometida a un poder externo infantil, unilateralmente adoptada, da paso a la independencia del medio que lo rodea del final de este período.

D. Periodo de las operaciones formales. En la etapa final del desarrollo cognoscitivo (desde los once o doce años en adelante), los niños comienzan a desarrollar una visión más abstracta del mundo y a utilizar la lógica formal. Pueden aplicar la reversibilidad y la conservación a las situaciones, tanto reales como imaginadas. 362

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También desarrollan una mayor comprensión del mundo y de la idea de causa y efecto. Esta etapa se caracteriza por la capacidad para formular hipótesis y ponerlas a prueba para encontrar la solución a un problema. Otra característica del individuo en esta etapa es su capacidad para razonar sobre los hechos, es decir, si le dan una afirmación y le piden que la utilice como la base de una discusión, es capaz de realizar la tarea. Por ejemplo, pueden razonar sobre la siguiente pregunta: ¿Qué pasaría si el cielo fuese rojo? Esto significa que las operaciones mentales pueden aplicarse a lo posible e hipotético además de lo real, al presente, así como al futuro, y a afirmaciones o proposiciones puramente verbales o lógicas. Los adolescentes adquieren el pensamiento científico, con su razonamiento hipotéticodeductivo, y el razonamiento lógico con su razonamiento interproposicional. Pueden entender ya conceptos muy abstractos. En oposición a la mayor parte de los psicólogos que han estudiado la psicología de la adolescencia, Piaget atribuye la máxima importancia, en este periodo, al desarrollo de los procesos cognitivos y a las nuevas relaciones sociales que éstos hacen posibles. Aquí se da la aparición del pensamiento formal por el que se hace posible una coordinación de operaciones que anteriormente no existía. Esto hace posible su integración en un sistema de grupo y red. La principal característica del pensamiento a este nivel es la capacidad de prescindir del contenido concreto para situar lo actual en un más amplio esquema de posibilidades. La forma de insertarse en la sociedad adulta es un proceso lento que se realiza en diversos momentos según el tipo de sociedad o según como es la gente que rodea al individuo, su entorno. Aquí ya se siente al nivel de un adulto en la preadolescencia, comenzado a considerarse como un igual (independientemente del sistema educativo). De la moral de la dependencia y heteronomía, el adolescente pasa a la moral de unos con los otros, a la auténtica cooperación y a la independencia. La adolescencia es una etapa difícil debido a que el muchacho todavía es incapaz de tener en cuenta las contradicciones de la vida humana, personal y social, donde hay muchos cambios tanto físicos como emocionales, razón por la que su plan de vida personal, su programa de vida y de reforma, suele ser utópico e ingenuo o que actúa sin malicia o no tiene picardía. La confrontación de sus ideas con la realidad suele ser una causa de grandes conflictos y pasajeras perturbaciones afectivas, (crisis religiosa, ruptura brusca de sus relaciones afectivas con los padres, desilusiones, etc.).

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14.4 Procesos cognoscitivos básicos Por la materia que nos ocupa, es importante considerar los procesos cognoscitivos básicos: sensación, percepción, atención y concentración, memoria. • • •

•

Sensación: es el efecto inmediato de los estímulos en el organismo (recepción del estímulo) y está constituida por procesos fisiológicos simples. Percepción: toda percepción apunta a un óptimo de configuración significativa de sensaciones. Atención y concentración: la atención es la capacidad de seleccionar la información sensorial y de dirigir los procesos mentales. La concentración es el aumento de la atención sobre un estímulo en un espacio de tiempo determinado, por lo tanto, no son procesos diferentes. Memoria: es la facultad que permite traer el pasado al presente, dándole significado, posibilitando la trascendencia de la experiencia actual, y proveyéndolo de expectativas para el futuro.

Permanencia del objeto Edad de aparición 0-4 meses

4- 8 mese

8-12 meses

12-18 meses

Permanencia del objeto No existe

El niño busca objetos parcialmente escondidos. El niño busca el objeto en primer lugar donde fue escondido. El niño busca el objeto escondido en distintos lugares.

Imitación El niño presenta una habilidad rudimentaria para imitar a un adulto que lo está imitando El niño imita el comportamiento de un modelo, pero solo si está dentro de su repertorio. El niño imita comportamientos ligeramente diferentes de aquellos que usualmente realizaba. El niño imita comportamientos no familiares realizados por un modelo.

Cuadro # 374 Permanencia del objeto.

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14.5 El concepto de número El conocimiento lógico-matemático no existe por sí mismo en la realidad de los objetos. La fuente de este razonamiento está en el sujeto y se construye por abstracción reflexiva. De hecho, se deriva de la coordinación de las acciones que el sujeto realiza con los objetos. En otras palabras, la fuente del conocimiento físico son los objetos del mundo externo; pelota, carro, tren, leche, etc. En contraste, si hay tres objetos frente a uno, en ningún lado se ve el “tres”, esta noción es más bien producto de una abstracción de la interacción del sujeto en donde se encuentran tres objetos. Esto significa que este tipo de conocimiento se construye al relacionar las experiencias obtenidas con la manipulación de objetos y no sólo de la observación, como al tocar y comparar se diferencia una textura áspera de otra lisa. Antes de llegar a las operaciones lógico-matemáticas, el niño necesita construir estructuras internas y manejar ciertas nociones adquiridas a través de su interacción con el medio y la relación con los objetos y personas para que pueda aprender a clasificar, seriar y adquirir la noción de número.

1. Conservación a) Percepción y manipulación de los objetos:

azul

rojo

azul

b) Alineamiento: de los objetos, continuos o discontinuos. Los elementos que escoge son heterogéneos. amarillo

amarillo

rojo

azul

c) Objetos colectivos: colecciones de dos o tres dimensiones, formadas por elementos semejantes y que constituyen una unidad geométrica. Azul Rojo Azul

Azul

rojo

rojo 365

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d) Objetos complejos: iguales caracteres de la colectiva, pero con elementos heterogéneos. De variedades: formas geométricas y figuras representativas de la realidad. •

Forma colecciones de parejas y tríos: al comienzo de esta sub-etapa el niño todavía mantiene la alternancia de criterios, más adelante mantiene un criterio fijo.

Triángulos •

cuadrados

Colecciones con subcriterios: forma agrupaciones que abarcan más y que pueden a su vez dividirse en subcolecciones.

Triángulos

triángulos rojos

triángulos amarillos

triángulos azules

2. Clasificación Constituye una serie de relaciones mentales en función de las cuales los objetos se reúnen por semejanzas, se separan por diferencias, se define la presencia del objeto a una clase y se incluyen en ella subclases. En conclusión, las relaciones que se establecen son las semejanzas, diferencias, pertenencias (relación entre un elemento y la clase a la que pertenece) e inclusiones (relación entre una subclase y la clase de la que forma parte). La clasificación en el niño pasa por varias etapas: •

Transitividad: Consiste en poder establecer deductivamente la relación existente entre dos elementos que no han sido comparados efectivamente a partir de otras relaciones que si han sido establecidas perceptivamente.

366

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•

Reversibilidad: Es la posibilidad de concebir simultáneamente dos relaciones inversas, es decir, considerar a cada elemento como mayor que los siguientes y menor que los anteriores.

3. Seriación La seriación es una operación lógica que, a partir de un sistema de referencias, permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, ya sea en forma decreciente o creciente. Pasa por las siguientes etapas: •

Primera etapa: Parejas y Tríos (formar parejas de elementos, colocando uno pequeño y el otro grande) y Escaleras y Techo (el niño construye una escalera, centrándose en el extremo superior y descuidando la línea de base). A los 5 años: sin conservación de la cantidad, ausencia de correspondencia término a término.

•

Segunda etapa: Serie por ensayo y error (el niño logra la serie, con dificultad para ordenarlas completamente). Entre los 5 y 6 años: Establecimiento de la correspondencia término a término, pero sin equivalencia durable.

367

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•

Tercera etapa: el niño realiza la seriación sistemática y se da la conservación del número.

Según Piaget, saber contar no significa entender el concepto de número, pues requiere entender dos ideas: la correspondencia uno a uno y la conservación. La correspondencia uno a uno permite establecer que dos conjuntos cualesquiera son equivalentes en número si a cada objeto de un conjunto le corresponde otro objeto en el segundo conjunto.

La conservación se refiere al hecho de que, si dos conjuntos son iguales en el número, sin importar cómo acomode los objetos en cada uno, por ejemplo, apilándolos en el primero y esparciéndolos en el segundo, habrá siempre el mismo número de objetos en ambos. Esto es, el número se conserva y no se altera porque sea diferente la configuración perceptiva.

14.6 Cómo se logra el conocimiento cognoscitivo Ningún conocimiento es una copia de lo real, porque incluye, forzosamente, un proceso de asimilación de estructuras anteriores; es decir, una integración de estructuras previas. De esta forma, la asimilación maneja dos elementos: lo que se acaba de conocer y lo que significa dentro del contexto del ser humano que lo aprendió. Por esta razón, conocer no es copiar lo real, sino actuar en la realidad y transformarla. 368

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La lógica, por ejemplo, no es simplemente un sistema de notaciones inherentes al lenguaje, sino que consiste en un sistema de operaciones como clasificar, seriar, poner en correspondencia, etc. Es decir, se pone en acción la teoría asimilada. Conocer un objeto, para Piaget, implica incorporarlo a los sistemas de acción y esto es válido tanto para las conductas sensoriomotoras como las combinaciones lógicas-matemáticas. Los esquemas más elementales que se asimilan son reflejos o instintos, en otras palabras, información hereditaria. A partir de la conformación genética se responde al medio al que se pertenece; pero a medida que se incrementan los estímulos y conocimientos, se amplía la capacidad de respuesta; ya que se asimilan nuevas experiencias que influyen en la percepción y en la forma de responder al entorno. Las conductas adquiridas llevan consigo procesos autorreguladores, que indican cómo se deben percibir y aplicar. El conjunto de las operaciones del pensamiento, en especial las operaciones lógico-matemáticas, son un vasto sistema autorregulador, que garantiza al pensamiento su autonomía y coherencia. Dentro de la regulación está el número que es un concepto lógico por naturaleza, distinto al conocimiento físico o social, ya que no se extraer directamente de las propiedades físicas de los objetos ni de las convenciones sociales, sino que se construye a través de un proceso de abstracción reflexiva de las relaciones entre los conjuntos que expresan número. Según Piaget, la formación del concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas como la clasificación y la seriación; por ejemplo, al contar, se tiende a agrupar determinado número de objetos o se ordena en serie. Las operaciones mentales sólo pueden tener lugar cuando se logra la noción de la conservación de la cantidad y la equivalencia término a término. Consta de las siguientes etapas: • •

Regulaciones orgánicas, que tienen que ver con las hormonas, ciclos, metabolismo, información genética y sistema nervioso. Regulaciones cognoscitivas, tienen su origen en los conocimientos adquiridos previamente por los individuos.

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14.7 Consideraciones generales de la teoría cognoscitiva De manera general se puede decir que el desarrollo cognoscitivo ocurre con la reorganización de las estructuras cognoscitivas como consecuencia de procesos adaptativos al medio, a partir de la asimilación de experiencias y acomodación de estas de acuerdo con el equipaje previo de las estructuras cognoscitivas de los aprendices. Si la experiencia física o social entra en conflicto con los conocimientos previos, las estructuras cognoscitivas se reacomodan para incorporar la nueva experiencia y es lo que se considera como aprendizaje. El contenido del aprendizaje se organiza en esquemas de conocimiento que presentan diferentes niveles de complejidad. La experiencia escolar, por tanto, debe promover el conflicto cognoscitivo en el aprendiz mediante diferentes actividades, tales como las preguntas desafiantes de su saber previo, las situaciones desestabilizadoras, las propuestas o proyectos retadores, etc. La teoría de Piaget ha sido denominada epistemología genética porque estudia el origen y el desarrollo de las capacidades cognoscitivas desde su base orgánica, biológica, genética, encontrando que cada individuo se desarrolla a su propio ritmo. Describe el curso del desarrollo cognoscitivo desde la fase del recién nacido, donde predominan los mecanismos reflejos, hasta la etapa adulta caracterizada por procesos conscientes de comportamiento regulado.

En el desarrollo genético del individuo se identifican y diferencian periodos del desarrollo intelectual, tales como el sensorio-motriz, el de operaciones concretas y el de las operaciones formales. Piaget considera al pensamiento y a la inteligencia como procesos cognoscitivos que tienen su base en un substrato orgánicobiológico determinado que va desarrollándose en forma paralela con la maduración y el crecimiento biológico. En la base de este proceso se encuentran dos funciones denominadas asimilación y acomodación, que son fundamentales para la adaptación del organismo a su ambiente. Esta adaptación se entiende como un esfuerzo cognoscitivo del individuo para encontrar un equilibrio entre él mismo y su ambiente. Mediante la asimilación el organismo incorpora información al interior de las estructuras cognoscitivas a fin de ajustar mejor el conocimiento previo que posee. Es decir, el individuo adapta el ambiente a sí mismo y lo utiliza según lo concibe.

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La segunda parte de la adaptación denominada acomodación como ajuste del organismo a las circunstancias exigentes, es un comportamiento inteligente que necesita incorporar la experiencia de las acciones para lograr su cabal desarrollo. Estos mecanismos de asimilación y acomodación conforman unidades de estructuras cognoscitivas que Piaget denomina esquemas. Estos esquemas son representaciones interiorizadas de cierta clase de acciones o ejecuciones, como cuando se realiza algo mentalmente sin realizar la acción. Puede decirse que el esquema constituye un plan cognoscitivo que establece la secuencia de pasos que conducen a la solución de un problema. Para Piaget el desarrollo cognoscitivo se lleva a cabo de dos maneras: la primera, la más amplia, corresponde al propio desarrollo cognoscitivo, como un proceso adaptativo de asimilación y acomodación, el cual incluye la maduración biológica, la experiencia, la transmisión social y el equilibrio cognoscitivo. La segunda forma de desarrollo cognoscitivo se limita a la adquisición de nuevas respuestas para situaciones específicas o a la adquisición de nuevas estructuras para determinadas operaciones mentales específicas. En el caso del salón de clases, Piaget considera que los factores motivacionales de la situación del desarrollo cognoscitivo son inherentes al estudiante y no son, por lo tanto, manipulables directamente por el profesor. La motivación del estudiante se deriva de la existencia de un desequilibrio conceptual y de la necesidad del estudiante de restablecer su equilibrio. La enseñanza debe ser planeada para permitir que el estudiante manipule los objetos de su ambiente, transformándolos, encontrándoles sentido, disociándolos, introduciéndoles variaciones en sus diversos aspectos, hasta estar en condiciones de hacer inferencias lógicas y desarrollar nuevos esquemas y nuevas estructuras mentales. El desarrollo cognoscitivo, en resumen, ocurre a partir de la reestructuración de las estructuras cognoscitivas internas del aprendiz, de sus esquemas y de sus estructuras mentales, de tal forma que al final de un proceso de aprendizaje deben aparecer nuevos esquemas y estructuras como una nueva forma de equilibrio.

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Actividad # 57

Atributos de los bloques lógicos Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: bloques lógicos

Instrucciones. Pon en cada espacio la figura que indica la tarjeta con base en los atributos que se señalan

Fig. # 127. Tarjetas para los atributos de los bloques lógicos. 372

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Fig. # 128. Varillas de tamaños.

Fig. # 129. Tarjetas de diseños parea el tangram.

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15. Ejercicios preparatorios para el cálculo mental Los ejercicios preparatorios se enmarcan en el eje programático. Los números, sus relaciones y sus operaciones. Estos ejercicios responden a dos propósitos muy claros: preparar a los estudiantes para el conocimiento del método mediante la presentación de situaciones matemáticas que puedan ser ilustradas en su totalidad en un gráfico, y ofrecer a los educandos estrategias alternativas para promover el cálculo mental.

15.1 Conversión de cantidades continuas y discontinuas Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo, es decir, si no presenta puntos de discontinuidad, saltaos o interrupciones. A. Función Discontinua Las gráficas que presentan algún punto aislado, saltos o interrupciones, es decir, que no están hechas de un sólo trazo en un intervalo determinado, son llamadas funciones discontinuas. Una función es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequeña variación de la variable independiente produce un salto o interrupciones en los valores de la variable dependiente. Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos: • •

Puntos en los que la función no está definida, los puntos que no pertenecen al dominio de la función. Puntos en los que la gráfica presenta un salto, gráfica.

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15.2 Números finitos ordinales y cardinales. Los números ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los números naturales 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son isomorfos en cuanto al orden. Los números cardinales son aquellos números ordinales que no tienen la misma cardinalidad que cualquier ordinal menor. Por ejemplo, todos los números ordinales finitos (vistos como conjuntos) son a su vez números cardinales. Esta noción es por lo tanto distinta del ordinal, que caracteriza el lugar de un elemento en una sucesión. Cinco difiere de quinto, aunque obviamente existe una relación entre ambos. Se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una biyección entre ellos. Contrariamente a los ordinales, esta biyección no tiene que respetar el orden (además los conjuntos no tienen que ser ordenados).

15.3 Cuantificadores Los cuantificadores sirven para comprender los cálculos matemáticos que vinculan una serie de variables. Los cuantificadores determinar un valor como verdadero y falso, valido o invalido. Hay dos tipos de cuantificadores: a) El cuantificador universal donde puede declararse como: para todo “X”, es verdad que “P” existe por lo menos un y tal que “Q” es verdad, a partir de la simbología correspondiente. b) El cuantificador existencial, es empleado para identificar que por lo menos un elemento de un conjunto, “X”, está acorde con una propiedad. Los cuantificadores sirven para enseñar a los niños los conceptos numéricos de muchos y pocos, arriba y abajo, todos o ninguno. El buen uso de los cuantificadores, en cuanto a expresión del juicio lógico, favorecerá en el niño la noción de conservación, la construcción de la noción de clase y la coordinación de su extensión.

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15.4. Función y expresión verbal y simbólica Las funciones de la expresión verbal en los orientados emiten a los juicios de valor de sus expresiones verbales cotidianas, cuando ellos afirman que un objeto tiene o no ciertas características que lo distinguen de los demás. Los aprendices son muy evidentes en su aptitud lógica, ya que hacen público sí reconocen lo falso y verdadero de los objetos ante sus propiedades. Otra manera de detectar su razonamiento lógico es cuando centran su atención en algún objeto en específico y se preocupan por buscar elementos en común y diferencias entre otros objetos. Los niveles de madurez cognoscitiva los van adquiriendo en su expresión verbal, la cual puede ser reforzada mediante más experiencias que le permitan seguir ampliando su aprendizaje.

15.5. Noción de consecución y clase El intervalo es un subconjunto de la recta real y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos. Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real. Los intervalos de números correspondientes a segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos correspondientes a semirrectas y a la recta real son intervalos infinitos. a) Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos. b) Intervalo cerrado. Es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos. [a, b] = { x / a £ x £ b} c) Intervalo abierto. Es el conjunto de los números reales comprendidos entre a y b. (a, b) = {x / a < x < b} 376

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d) Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha). Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b. (a, b] = {x / a < x £ b} e) Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda) Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b.

[a, b) = { x / a £ x < b}

15.6 Conceptos numéricos Para que le niño pueda comprender el número es necesario que lo conceptualice, es decir, necesita de dos condiciones psicológicas para la elaboración de este concepto: La conservación del todo: el todo es un conjunto de partes que se puede distribuir como se quiera. Tiene que haber reversibilidad del pensamiento para que haya conservación. La seriación de los elementos. el número se construye en la medida que los elementos de la serie son concebidos a la vez como equivalentes y no equivalentes.

15.6.1. Conceptos formales y naturales El niño debe adquirir una serie de conceptos básicos como son: poco, mucho, demasiado, suficiente; una vez que esto se ha adquirido el niño está listo para contar y con esto entender el sistema métrico decimal, captar el concepto de número, su uso y su sentido, los diferentes órdenes de unidades y el valor posicional en números de varias cifras. Los niños adquieren parte de estos aprendizajes a través de las experiencias informales y otros en sus experiencias escolares; los niños con Dificultades de Aprendizaje de las Matemáticas (DAM) suelen tardar más tiempo y necesitar más situaciones estimulantes que el resto de los niños para realizar estos aprendizajes. 377

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Contar implica una serie de subhabilidades, los niños pueden contar objetos cuando han dominado cinco principios: •

•

Correspondencia uno a uno o correspondencia biunívoca entre los números y los objetos: a cada objeto de una colección le corresponde un solo número; los niños dominan este principio desde los 2 años. Orden estable: los nombres de los números siguen un orden estable y fijo, la asignación del número a los objetos que se cuentan debe realizarse en ese orden. Esto no se consigue hasta los 3-4 años. Cardinalidad: el último número de una secuencia numérica es el cardenal de ese conjunto, el que indica el número de objetos que hay en el conjunto; este principio se consigue en torno a los 5 años. Abstracción: permite saber cuáles son los objetos que son enumerables y que los principios se aplican a diferentes grupos de objetos, independientemente de sus características o cualidades físicas; hacia los 3 años ya han adquirido la abstracción. Irrelevancia del orden: la posición del objeto en una secuencia no es importante, los niños se dan cuenta de esto alrededor de los 4 años.

15.6.2. Fundamentos y propuestas metodológicas Dentro de las propuestas se deben realizar actividades para el desarrollo del esquema corporal y la lateralidad, presentando especial atención a las coordenadas espaciales arriba-abajo, delante-detrás, derecha-izquierda en relación con el propio cuerpo

Ejercicios de coordinación motriz. Desarrollo de las etapas homolateral, contralateral y lateral. Actividades que aumenten la coordinación viso-motriz, y proporcionen un sentido del ritmo y del equilibrio. Al mismo tiempo que se fortalece en el niño la capacidad de secuenciar lo establecido, es decir, saber ubicar el pasado, el presente y el futuro en un cierto esquema establecido, así también puede identificar el valor numérico en determinadas situaciones, ejemplo: 4 < 9 y 8 > 2, con este conocimiento previo podrá sortear retos como son la resolución de secuencias entre otras. 378

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15.6.3. Formas geométricas elementales Son conocidas como figuras elementales: el cuadrado, el rectángulo, el círculo y el triángulo.

Fig. # 130. Figuras elementales. Una vez que el niño se encuentra en una edad apta para trabajar con este tipo de figuras, ya sea en forma de juego o pequeñas labores estaremos trabajando las destrezas básicas del pensamiento matemático: observación, comparación, clasificación, y seriación; con el uso constante estaremos reforzando el pensamiento lógico. Como material de apoyo podemos encontrar entre otros el uso del tangram y de los bloques lógicos de Dienes.

15.6.4. Concepto de número y comparación numérica Número: Propiedad de un todo que indica una cantidad total. Para la comparación numérica es necesario que el concepto de número este bien entendido, de este modo y haciendo uso de un lenguaje especifico el niño será capaz de diferenciar las características que encierra el número, es decir mediante la experiencia previa el niño es capaz de determinar que 8 es mayor a 3, pues ya lo ha integrado en un esquema alfanumérico, en un principio se tuvo que apoyar por objetos contados uno a uno.

Fig. #131. Comparación de conjuntos. 379

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Actividad # 58

Mayor, menor o igual que Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: comparación

Instrucciones. Decir la relación que hay entre los números: si es mayor que, menor que o igual que. En la siguiente parte, poner el signo.

Fig. # 132. Mayor que, menor que o igual que. De este modo llega a la conclusión de que un número está conformado por unidades que en un momento representan un todo además le es posible comprender que la adicción de objetos a un todo representa un nuevo concepto numérico. 380

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15.6.5. Conversión de números decimales a fracciones. Para convertir un número decimal a facción se debe de tomar en cuenta las siguientes indicaciones: • •

•

Se escribe el número decimal y se divide por 1. Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número. (ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100 y si hay tres se utiliza 1000 y así sucesivamente.) Se simplifica la fracción.

Ejemplo: 0.75 como fracción se escribe: 0.75 1 Multiplica el número de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma): × 100

0.75 1

75 100

× 100 El número de arriba se convierte en entero. Simplifica la fracción: ÷ 25

3 =

100

÷ 25 El resultado es ¾ esto es una fracción común y 75/100 es una fracción decimal. 381

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Actividad # 59

Fracciones Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: fracciones

Instrucciones. Elige la opción que represente cada uno de los dibujos.

Instrucciones. Escribe cuál es la fracción de cada círculo.

Fig. # 133. Tarjetas de fracciones. 382

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

16. Didáctica de las relaciones lógico-matemáticas y cuantificación El contenido de este trabajo hace referencia a un programa que se ha elaborado para atender las dificultades de aprendizaje en matemáticas bajo el paradigma de la discalculia. El objetivo es que el lector analice este programa y haga las adaptaciones que considere pertinentes para que sea adecuado a la población que atiende.

16.1 Discalculia Se hace un breve repaso sobre el tema, el cual ha sido tratado ampliamente en el manual de esta serie y en otros números. ¿A qué hace referencia el término discalculia? El término discalculia hace referencia a un amplio rango de problemas relacionados con el aprendizaje de las habilidades matemáticas. No existe una forma única de estas alteraciones. Las dificultades que se presentan varían de una persona a otra, les afecta de manera diferente y también depende del momento en el ciclo vital que se encuentren. ¿Cómo se define la discalculia? Aunque hay muchas definiciones, quizá la más práctica y adecuada sea, la inhabilidad o dificultad para aprender a realizar operaciones aritméticas, a pesar de recibir toda instrucción convencional, en contraste con una capacidad intelectual normal del alumno.

¿Qué impacto tiene la discalculia en quien lo padece? Si no se trata precozmente, puede arrastrar un importante retraso educativo. En los niños esta dificultad causa mucho sufrimiento, especialmente en los primeros años escolares en los que el dominio de las "bases conceptuales" es de gran importancia, pues el aprendizaje de la matemática es de tipo "acumulativo", por ejemplo, no es posible entender la multiplicación sino se entiende la suma. Los efectos que tienen estas dificultades de aprendizaje en las matemáticas son diferentes en cada persona. 383

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Algunas de ellas, por ejemplo, pueden estar asociados con el procesamiento verbal, por lo tanto, los desafíos serán diferentes a quienes presentan dificultades en las relaciones visoespaciales. Otras personas pueden tener problemas para recordar y mantener una secuencia adecuada, en fin, hay muchas variantes.

¿Cómo se enseña generalmente las matemáticas? En el sistema tradicional de enseñanza se ha perdido la conexión con la raíz de las matemáticas, enseñando al alumno a memorizar y manejar símbolos, olvidando que estos son sólo representaciones de algo concreto, y a memorizar procedimientos y formulas sin saber lo que está haciendo: generalmente cuando se le pregunta al orientado qué está haciendo cuando está sumando con llevadas y ¿cuál es la razón por la que se lleva una?, suele responder. “porque así me dijo mi maestra”. La clave está en "como hacer la transición desde el material concreto, hasta el papel y lápiz". Mediante la integración de patrones numéricos para llegar a la abstracción del dígito.

¿Cómo proceder? En vista de que cada caso es único, sólo se pueden sugerir algunos lineamientos comunes a considerar en las distintas etapas del desarrollo. Aquí se comentará brevemente: primera infancia, edad escolar, adolescentes y adultos. a) Primera infancia. Construir una base sólida sobre distintas habilidades que les permita comprender el significado de los números; la agrupación de objetos con base en su forma, tamaño, color o textura; reconocer grupos y patrones; comparar opuestos utilizando conceptos contrastantes, como grande-chico, altobajo, por ejemplo. Aprender a contar, reconocer números y emparejar números con determinadas cantidades. b) Edad escolar. Atender el procesamiento verbal, pues generalmente les cuesta trabajo comprender el lenguaje matemático; ayudarlos a dominar las cuatro operaciones básicas: adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones. Los temas que generalmente se les dificultan son: • •

Recordar hechos matemáticos básicos: tablas, unidades de medida, valor posicional de los números, sistema decimal. Resolver problemas matemáticos: comprender cómo se plantean, qué se está preguntando, valorar sus respuestas.

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•

Fallas en las habilidades visoespaciales: como cuando si entiende los hechos matemáticos, pero se le dificulta ponerlos y organizarlos en el papel, les cuesta trabajo entender lo que está escrito en el pizarrón o en un libro.

c) Adolescentes y adultos: Si no han dominado las habilidades matemáticas básicas, entonces habrá complicaciones en aplicaciones más avanzadas: en el procesamiento verbal por no comprender la terminología matemática, les falta vocabulario suficiente para construir el conocimiento matemático y para realizar tareas multipaso: no visualizan patrones diferentes en los problemas ni identifican la información necesaria para resolver una ecuación o problemas más complejos.

¿Cuáles son las características del orientado con discalculia? El orientado que empieza a tener problemas en aritmética suele manifestar: a) Dificultades en la organización del espacio. Problemas para organizar los números en columnas o para seguir la direccionalidad apropiada del procedimiento. b) Dificultades de procedimiento. Omisión o adición de un paso del procedimiento aritmético; aplicación de una regla aprendida para un procedimiento a otro diferente, como sumar cuando hay que restar. c) Dificultades de juicio y razonamiento. Errores tales como que el resultado de una resta es mayor a los números sustraídos y no hacer la conexión de que esto no puede ser. d) Dificultades con la memoria mecánica. Tropiezos para recordar las tablas de multiplicar y para recordar algún paso de la división... este problema se incrementa conforme el material es más complejo. e) Especial dificultad con los problemas razonados. Particularmente los que involucran multipasos (como cuando hay que sumar y luego restar para encontrar la respuesta). f) Poco dominio de conceptos como clasificación, medición y secuenciación especial interés por ver y entender lo que se le pide en un problema. Se les dificulta seguir procedimientos sin saber el cómo y porqué ¿Cuáles son las señales de alerta? Son muy diversos, por eso se requiere una evaluación neuropsicológica para obtener un diagnóstico diferencial que permita identificar la naturaleza exacta de su problemática con el fin de poder programar los pasos más adecuados en cada caso. Es recomendable considerar lo siguiente: 385

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• • • • • • •

• • •

Nivel de desarrollo del lenguaje, lectura y escritura en contraste con su dificultad para aprender a contar y a resolver problemas matemáticos. Memoria para las palabras escritas en contraste con su habilidad para leer números y/o recordar secuencias numéricas. Comprensión de conceptos matemáticos generales y nivel de frustración al realizar cálculos específicos. Dificultad para ordenar cronológicamente conceptos, para recordar hechos agendados, estimación de tamaños, longitud, volumen, peso, entre otros. Noción derecha-izquierda, direccionalidad y lateralidad. Sentido de orientación, efecto en los cambios de su rutina. Memoria a corto, mediano y largo plazo. Si presenta alteraciones al realizar funciones matemáticas: un día lo hace bien, pero después es incapaz de recordarla. Pobre capacidad para estimar a grandes rasgos costos, tamaños, distancias temporales, por ejemplo. Dificultad con juegos estratégicos, como el ajedrez, damas, barajas, o juegos electrónicos. Dificultad para seguir las puntuaciones en los juegos.

¿Cómo prevenir y/o corregir la discalculia? La discalculia suele presentarse en una etapa muy temprana, siendo el primer síntoma la dificultad en el aprendizaje de los dígitos. Ello se debe a que el orientado no entiende la correspondencia entre el dígito y la cantidad, y comienza a ver que las matemáticas son complicadas. La correspondencia entre lo concreto (la cantidad) y lo abstracto (el símbolo), es un paso que quien padece discalculia, no llega a comprenderla. Se utilizan patrones (que sirven para hacer la transición) y plastilina (que sirven para que aprendan el concepto), que están basados en la forma en que los antiguos comprendían las matemáticas, ya que trabajaban con materiales concretos (semillas, barras de arcilla, cuerdas con nudos…). El ábaco es un intento bastante bueno para acercar a los niños a lo concreto; sin embargo, en los colegios enseguida se pasa al papel y lápiz. La metodología ha de basarse en una correcta transición de lo concreto a lo abstracto a través de una serie de actividades donde el orientado aprenda de forma más rápida y eficiente, entendiendo el cómo y por qué de las cosas.

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Este método se aplica tanto a niños visuales (niños con un estilo diferente de aprender y percibir debido a que piensan con imágenes y no con palabras), como a los no visuales, a partir de 7 años. El método consiste en realizar actividades y representaciones en material concreto (principalmente, aunque no limitado, en plastilina) junto con el estudiante, quién va descubriendo paso a paso cómo pasar del material concreto al cuaderno, gracias a un diseño especial en el que se aprenden las cantidades mediante unos "patrones". Héctor Linares explica que la idea de "patrones" la tomó del sistema numérico de los mayas. Aunque en un principio el método fue creado pensando en ayudar específicamente a niños con discalculia, el método beneficia a todos en general.

16.2 Didáctica de las relaciones lógico-matemáticas ¿Cuál sería el punto de partida para la didáctica de las relaciones lógicomatemáticas y cuantificación? Según la UNICEF, si se toma como punto de partida que las matemáticas no es el arte de calcular sino el arte de comprender, que hay aprendizaje cuando la experiencia presenta desafíos interesantes para los orientados, cuando tienen la oportunidad de jugar con las respuestas antes de escoger una de ellas, cuando expresan diferentes alternativas antes de llegar a una conclusión definitiva y donde puedan compartir, dialogar, observar y también experimentar. En síntesis, se busca que los orientados desarrollen habilidades matemáticas que posibiliten, en forma autónoma, la búsqueda de posibles soluciones a problemáticas que surgen de la vida cotidiana, que confronten las soluciones encontradas, que busquen diferentes caminos de solución, que formulen nuevos problemas, que comprendan que equivocarse es parte del aprendizaje, es decir, asumir un rol de un investigador que busca permanentemente caminos para resolver situaciones.

¿Cómo está organizado este contenido? El contenido de esta sección está ordenado de la siguiente manera: lenguaje matemático, concepto de número, conocimiento del espacio, orientación temporal, medidas y sus magnitudes, resolución de problemas y diferentes formas de registro.

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Se pone especial atención al carácter lúdico de cada una de las experiencias, pues son un medio privilegiado para favorecer los aprendizajes, las habilidades y los valores esenciales. Los juegos colaborativos surgen como una valiosa oportunidad para desafiar, contar con una mayor organización, definición de reglas del juego, compromiso a respetar y cumplir dichas reglas, ayudarse mutuamente, aceptar las diferentes opiniones, construir en grupo, además refuerza los valores solidarios como compartir y respetar a los demás, etc.

¿Cómo se adquieren las nociones matemáticas? Las nociones matemáticas se adquieren a través de un largo proceso de construcción continuo y permanente que abarca toda la vida de las personas. En este sentido, los educadores cumplen un papel primordial en la transmisión y producción de los saberes, entre ellos el saber matemático. La integración de este núcleo a partir de la más temprana edad obedece a la necesidad de contar con instrumentos, habilidades y conceptos matemáticos que le permitan: interactuar, comprender y modificar el medio, dado que favorece la integración activa al entorno social y tecnológico. El aprendizaje de los conceptos matemáticos contribuye al desarrollo de la capacidad de interpretación y creación simbólica.

¿Cuál es el objetivo del aprendizaje de las habilidades matemáticas? El aprendizaje de las habilidades matemáticas ha de llevar al alumno a ser capaz de organizar mentalmente sus impresiones referidas a las cosas en sí mismas (números), sus atributos (cantidad, forma, características) y las relaciones que existen o podrían existir entre ellas (comparación, correspondencia, posición espacial, etc.). Cada uno de estos aspectos va a sentar las bases o estructuras cognoscitivas requeridas para enfrentar las operaciones formales en la Educación Básica.

¿Cómo enseñar las matemáticas? El modelo clásico de la enseñanza de las matemáticas estuvo centrado mayoritariamente en la transmisión de los contenidos, es decir, el educador introduce algunas nociones, presenta los ejercicios y los alumnos tienen que ejercitarlos una y otra vez. 388

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Hoy, luego de haber superado este modelo, cambia el enfoque y propone una enseñanza centrada en la actividad de los orientados, utilizando métodos activos en los cuales cobran importancia sus aprendizajes, sus intereses, las motivaciones, y sus necesidades. Tanto el educador como el niño tienen un papel activo, el primero en relación con la generación de estrategias que garanticen la apropiación de los conceptos matemáticos y los niños como constructores de sus saberes.

¿Cómo debe proceder el educador? En síntesis, el educador: • • • • • •

•

Escucha, responde a sus intereses, le ayuda a buscar diferentes fuentes de información. Selecciona los aprendizajes esperados que desea proporcionar. Crea experiencias de aprendizaje que estén relacionadas con los intereses y situaciones de la vida cotidiana. Acompaña y facilita el proceso de aprendizaje para que los alumnos construyan sus saberes. Propone problemas o situaciones de aprendizaje que sean significativos para los orientados. Crea espacios para que puedan interaccionar y participar en trabajos cooperativos, lo que permite que éstos busquen soluciones, intercambien puntos de vista, favoreciendo de esta manera, la reflexión sobre su propio pensamiento y la construcción en conjunto de diversas posibilidades de solución. Favorece la autonomía, pues el desarrollo del pensamiento lógico matemático requiere de parte de los alumnos una construcción que surge desde adentro, es decir, algo que únicamente el niño puede hacer con la ayuda de otros. Reconoce que los alumnos traen un bagaje de experiencias previas y concepciones diversas respecto al pensamiento lógico matemáticas como: concepto de número, unidades de medida, nociones espaciales, geométricas, etc. Explora las potencialidades informales de los alumnos para que en la enseñanza formal (escuela) sea significativa e interesante; por ejemplo, las primeras concepciones informales de la adición (en tanto que añadir más) y la de sustracción (en cuanto a quitar algo), guiando sus intentos para construir procedimientos aritméticos informales.

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¿Cómo deben ser las experiencias de aprendizaje? Cada experiencia de aprendizaje debe tener una fuerte intencionalidad o finalidad, es decir, experiencias que desafíen a los alumnos buscar y encontrar posibles soluciones a los problemas planteados. A través de estas acciones se va adquiriendo sentido en el conocimiento matemático.

¿Cómo debe ser el aprendizaje conceptual? Cualquier aprendizaje conceptual que se desee alcanzar, ha de surgir a partir de la acción concreta sobre los objetos, por ejemplo, seriación es un concepto y una operación. La estrategia didáctica para que efectivamente se produzca la conexión entre concepto y operación es el lenguaje, es decir, permitir que los alumnos verbalicen constantemente la propia acción, estimularlos para que hablen sobre lo que han hecho, cómo lo han hecho o lo que piensan hacer. Al respecto, la siguiente expresión refuerza lo anteriormente expuesto "... si el objeto de conocimiento está demasiado alejado de las posibilidades de comprensión del alumno, no se produciría desequilibrio alguno en los esquemas de asimilación o bien el desequilibrio provocado sería de una magnitud tal que el cambio quedaría bloqueado. Si, por el contrario, el objeto de conocimiento se deja asimilar totalmente por los esquemas ya disponibles, no habría razón alguna para modificarlos y el aprendizaje sería igualmente imposible. En consecuencia, la intervención pedagógica debe concebirse en términos de diseño de situaciones que permitan un grado óptimo de desequilibrio, es decir, que superen el nivel de comprensión del alumno pero que no lo superen tanto que no puedan ser asimilados o que resulte imposible restablecer el equilibrio...".

¿Cuáles serían las estrategias para el trabajo pedagógico? Las estrategias para el trabajo pedagógico serían: •

•

Las situaciones de aprendizaje que propone el educador para ir construyendo los conceptos lógico-matemáticos, han de considerar permanentemente una intencionalidad pedagógica, que le permita al educador, partiendo de los saberes y de los intereses de los niños, plantear situaciones problemáticas que involucren los aprendizajes esperados seleccionados, sin perder el aspecto lúdico. El juego al ser una actividad espontánea favorece la creatividad, el cumplimiento de normas, la búsqueda de estrategias, la autonomía, conocimientos, etc. Este acto involucra al niño en los diferentes ámbitos de su ser, afectivo, cognitivo, social, cultural. 390

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•

Se pueden proponer diferentes tipos de juegos, algunos que resultan interesantes son aquellos que pueden ser reglados, tanto por el educador como por los orientados. Generalmente estos juegos pueden fomentar aspectos como la autonomía, respeto por los acuerdos tanto a nivel individual como grupal.

¿Qué tipo de juegos se pueden proponer? En este sentido Constance Kamii y Rheta Devries (1985) plantean algunos juegos colectivos que presentan las siguientes características: • • •

Deben proponer algo interesante y estimulante para que los niños piensen en cómo hacerlo. Deben posibilitar que los propios niños evalúen el éxito. Deben permitir que todos los jugadores participen activamente durante todo el juego.

¿Cómo poner situaciones de aprendizaje interesantes y estimulantes? Cuando se habla de proponer situaciones de aprendizaje interesantes y estimulantes, se refiere fundamentalmente a cómo el juego va asociado o unido a un obstáculo a resolver, para ello existen una serie de materiales (dados, tableros) donde el educador analiza junto con los niños quiénes avanzaron más, quiénes menos, por qué, si les gustó o no, cómo podrían mejorar el juego, qué cambiarían, etc.

¿Cuáles serían algunas actividades para realizar todos los días? Algunas actividades que se realizan diariamente como son: •

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El registro de asistencia (cuántos niños asistieron, cuántos faltaron) y meteorológico (cuantos días a la semana llovió, hubo sol, estuvo nublado), préstamo de cuentos, revistas u otros de la biblioteca de aula podrían utilizarse como un interesante y significativo momento para que los niños comparen cantidades, establezcan relaciones de causa y efecto, investiguen, planteen hipótesis, etc., además con la guía del educador podrían graficar los resultados. El reparto de los materiales de trabajo puede convertirse en una situación problema factible de solucionar por los propios niños: ¿qué hacer si los materiales para pintar y/o dibujar no alcanzan para todos los grupos?, ¿qué

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•

hacer para que todos los materiales estén permanentemente ordenados?, ¿cómo los podemos organizar?, ¿dónde ubicar un nuevo material didáctico?, ¿por qué ha de ubicarse en un área y no en otra?, etc. Una experiencia puede ser más desafiante o interesante para los niños en la medida que el educador plantee un problema a resolver (plantea el qué), y el niño busca los diferentes caminos para resolverlo (el cómo). Decidir o seleccionar el tipo de organización de las actividades o situaciones pedagógicas. El conocimiento matemático, en tanto saber cultural y social, se construye en interacción con otros. Por tanto, es importante promover las relaciones entre los niños, educador-niño, para así contribuir a los saberes. Esta organización puede darse en pequeños grupos, lo que favorece la comunicación entre ellos, intercambio de ideas, procedimientos, confrontación de los saberes, búsqueda de posibles soluciones. Además del trabajo grupal, el trabajo individual ha de permitir al educador, considerar otros aspectos puntuales que requiere observar y fortalecer en forma particular.

16.3 Desarrollo del lenguaje matemático ¿Por qué se requiere el aprendizaje del lenguaje matemático? Las matemáticas son una expresión simbólica de ideas que posibilita la comunicación y, por ende, el desarrollo del pensamiento. A través de su lenguaje es posible establecer un puente con la realidad, conceptualizarla, establecer relaciones, explicarse situaciones y construir nuevos conocimientos. Por ello, es importante, que al iniciar el proceso de enseñanza de las matemáticas se incorpore la terminología correspondiente que implica, no sólo el manejo del nombre de los números, sino además la capacidad para explicarse la realidad, comunicar las diferentes relaciones que se establecen entre diferentes situaciones, comunicar nuevos descubrimientos, etc.

¿Cuáles son los propósitos del lenguaje matemático? El lenguaje matemático cumple tres propósitos fundamentales: lúdicos, comunicativos y representativos. a) Función lúdica: se expresa principalmente a través de los juegos reglados donde se ponen en práctica conocimientos matemáticos que requieren del cálculo, estrategias espaciales, anticipación, etc. 392

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Al respecto el educador ha de crear experiencias que desafíen a los niños a resolver pequeñas dificultades, que impliquen efectivamente un reto atractivo y, considerando los espacios suficientes para que exprese verbalmente cómo lo hizo, qué más le costó resolver y qué aprendió con la experiencia. b) Función representativa: implica la utilización de signos para representar cantidades o relaciones, figuras geométricas y otras formas conocidas, etc. Durante los primeros años los niños se irán acercando a los signos convencionales del lenguaje escrito de las matemáticas, a través de experiencias que surgen de la vida cotidiana; por ejemplo: en lugar de dibujar cinco objetos podrá escribir el signo que represente esa cantidad. Para llegar a conocer y utilizar un lenguaje matemático objetivo y universal (los signos en numeración obedecen a convenciones rigurosas que permiten una sola interpretación) es necesario previamente ofrecer experiencias significativas donde puedan una y otra vez contar, seleccionar, agrupar, etc. c) Función comunicativa: permite informar, dar a conocer la realidad, explicar y cuantificar la realidad; por ejemplo: frente a la pregunta: ¿Dónde ven los números y para qué sirven?, podríamos tener las siguientes respuestas " en los autos para saber de quién es, en los buses para saber dónde ir, en los canales de TV para saber qué canal es, etc.”. En cada uno de estos ejemplos los números no representan cantidad ni orden, se han utilizado combinaciones de números para informar. Es a través de estas situaciones simples que los niños construirán sus ideas previas sobre la numeración.

16.4 Concepto de número ¿Qué es el número? El número es el símbolo matemático por excelencia y éste no se construye en su totalidad durante los primeros años en la educación infantil. El primer uso que hacen los niños del número es para cuantificar una serie de objetos o de hechos relacionados con sus acciones, por ejemplo, la cantidad de dulces o bolitas que tienen en un bolsillo. Por lo general, lo que hacen es recitar la serie numérica atribuyendo una palabra número a cada objeto o acción, pero sin tener sentido de la cantidad.

¿Qué implica la numeración? La numeración implica fundamentalmente: 393

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• • •

Saber los números (no conceptualmente, sino verbalmente), se repiten una y otra vez con distintas presentaciones (aspecto cardinal). Reconocer la cantidad de las cosas en términos globales; por ejemplo: nada, muchos, pocos (uso de cuantificadores). Diferenciar el lugar que ocupa un objeto dentro de una serie; por ejemplo, en un estante de libros el niño puede pedir el que está en el primer lugar o al final (aspecto ordinal). Para identificar, por ejemplo, el número de la casa, número de hermanos, el dinero para comprar dulces, el teléfono. Para medir (peso, capacidad, tiempo y longitud); Para repartir, por ejemplo, ¿una torta mediana nos alcanza para que todos los niños del grupo puedan comer?

¿Por qué se necesitan distintos materiales? Los alumnos utilizan los números permanentemente a través de experiencias de la vida cotidiana, integradas en su contexto y que dan sentido a su aprendizaje. Es importante, por tanto, disponer de variedad de materiales como, por ejemplo, dados, dominós, cartas, con el propósito de clasificar, ordenar, etc. Éstos podrán servir de base para contar, además facilitar la comprensión del concepto de número en su aspecto cardinal (percibir el número como cantidad) y en su aspecto ordinal, al compararlos y ordenarlos físicamente.

¿Cómo trabajar la numeración? Para trabajar la numeración se sugiere comenzar con experiencias de tipo oral, las que pueden realizarse en forma individual o en pequeños grupos. El conteo es vital en el proceso de construcción del concepto de número y los alumnos la pueden utilizar para investigar aspectos cuantitativos de elementos que se encuentran en su entorno. Para aprender la secuencia numérica, se puede realizar la siguiente experiencia: contar ellos el número de mesas que tiene el salón, la cantidad de sillas en cada mesa, la cantidad de sillas y mesas que habría que integrar si llegaran cinco compañeros, el tiempo que tardan, por ejemplo, ordenar sus materiales, colgar la mochila, guardar sus libros, colocarse el delantal, jugar al escondite contando hasta 10, cantar canciones donde van apareciendo los números sucesivamente ("un elefante se balanceaba ..."), canciones; juegos como "Corre, corre la patita...", para ver quién empieza una actividad, o bien otras como: "En un café, se rifa un pez, al que le toca el número 10, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y 10, En un café, se rifa un gato, al que le toque el número cuatro, 1,2,3,4. 394

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¿En dónde están los números? Los números están en todas partes, pues dan información y se recibe, transmiten diversos mensajes de acuerdo con el contexto al cual hacen referencia; por ejemplo, el significado del número 13 es diferente de acuerdo con la situación a que se haga referencia. Puede significar: el número del colectivo para regresar a casa, el número del anexo del teléfono, los $ 13 pesos que faltan para el pasaje, las 13 fotos del último paseo, etc. Se puede señalar que en el número trece hay 1 decena y 3 unidades, que el 12 es anterior al 13 y el 14 es posterior, que es número non, etc.

16.5 El concepto de número a través de materiales concretos ¿Por qué son importantes los materiales concretos? Los materiales concretos son muy importantes para la asimilación del concepto de número. De ahí, que sea necesario disponer en el salón de actividades que utilicen materiales continuos y discontinuos. •

•

Materiales continuos: aquellos materiales no divisibles en elementos, por ejemplo: el agua, la arena, arroz, plastilina, barro, peso, etc., pero que pueden trasvasijarse de un recipiente a otro: el trabajo con estos materiales favorece la consolidación de la idea de cantidad y la asimilación de su conservación. Materiales discontinuos: están formados por unidades singulares, por ejemplo: palillos, lápices, pelotas, conchitas, piedras, camiones, etc., y se relacionan más con el trabajo de los números y las correspondencias.

¿Por qué es necesario trabajar el concepto de número a través de la actividad lúdica? Para comprender las matemáticas con base en la realidad, es decir, enmarcarla en el entorno en que se vive y actuar sobre él. Los nuevos enfoques de la enseñanza de las matemáticas pretenden potenciar este carácter funcional.

¿Por qué razón los juegos cobran un importante rol? Los juegos son clave debido a que:

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• •

• • • •

El juego está vinculado a la vida de los niños, su vida es jugar, por lo tanto, le da un sentido fundamental. Generalmente los juegos poseen elementos matemáticos, no sólo porque se cuantifica la realidad, sino también por la posición que ocupan los elementos en el espacio. El juego es una excelente estrategia para aprender, pues ayuda y motiva a al niño a pensar. Presta atención a la diversidad, todos los niños se integran al juego de acuerdo con sus intereses, necesidades y ritmos particulares. El juego abre permanentemente posibilidades para la imaginación, el gozo, la creatividad y la libertad. Todos los niños, sin excepción, saben jugar.

¿Cuáles serían algunos juegos que favorecen el concepto de número? Algunos juegos que favorecen el concepto de número en sus aspectos cardinales y ordinales:

Juegos de competencia: a) Cartas (naipes) de números del 1 al 10. Dos jugadores. Se reparten las cartas entre dos jugadores, las cartas se dejan boca abajo. Dan la vuelta una a una del montón, la comparan y el que tiene la mayor se lleva las dos. Así con todas. Gana el que ha conseguido más cartas.

Actividad # 60

Comparación de números Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: competencia

Instrucciones. Elige el signo correcto en cada tarjeta y ponlo en el círculo. Gana quien vaya llenando las tarjetas lo más rápido posible.

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Fig. # 134. Comparación de números. b) Adivinar un número: se trata de descubrir el número que ha pensado o escrito un niño. Los demás dirán uno, sí aciertan, se les dirá sí; si no aciertan, se les darán las pistas sobre si es mayor o menor.

Fig. # 135. ¿Cuál es el que falta? c) Elaborar una caja de lógica matemática: puede ser confeccionada con la familia. Consiste en una caja con diferentes divisiones y variedad de materiales que permitan a los niños trabajar el número y la serie numérica, el espacio (geometría), medidas, magnitudes, etc. 398

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d) Los materiales que la integran pueden ser los siguientes: cartas pequeñas del 1 al 10, palos de diferentes tamaño y grosor, plastilina, cintas de diferentes colores y largos, botones diferentes formas, tamaño y colores, una cinta para medir, semillas variadas, monedas de diferentes valores y tamaños, recipientes de diferentes tamaños, etc. El material debe permitir trabajar al interior y al exterior del salón, en conexión con situaciones concretas, reales que surgen de su vida cotidiana. El educador puede salir a un parque para investigar el entorno y decidir con los niños qué elementos se pueden ocupar, por ejemplo, para saber cuál de los tallos de las plantas es más largo, qué elementos se pueden utilizar para clasificar las hojas recogidas, la cantidad que agua que necesitan algunas plantas de acuerdo con el macetero donde estén, etc.

¿Con qué se continúa una vez que se ha trabajado la numeración en forma oral? Una vez que se han trabajado experiencias de numeración de forma oral, se pueden iniciar experiencias en cifras de acuerdo a un ordenamiento lógico. Los niños conocen los números y los diferencian perfectamente de las letras; por tanto, es necesario crear situaciones que les permita usarlos, tanto para representar como para interpretar la realidad.

¿Cómo comenzar el contacto con los números escritos? Los números sirven para cuantificar, medir el tiempo, la estatura, el peso, para ordenar, etc., y permiten el acercamiento paulatino al mundo de los números escritos, por tanto, es importante integrar en el salón diferentes elementos, como: el calendario, la recta numérica, los números de la lista, fecha, mes y año, escritos en el pizarrón, el friso, etc. Estos materiales han de estar ubicados en un lugar visible y accesible para que sirvan de consulta y manipulación.

¿Cómo qué tipo de materiales se sugieren? Los materiales que se sugieren son los siguientes: •

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Una recta numérica colocada o pintada en la pared a la altura de los niños, con tantas divisiones y números como niños haya en el salón. La separación entre cada número puede ser de 10 cm y el tamaño de los números de 2 x 6 cm. Una recta numérica pintada en el suelo, para trabajar actividades que requieran desplazamientos. 399

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Huellas de pisadas pegadas en el piso, con el número escrito en el centro de la huella en forma correlativa. Un formato de calendario en blanco para ir construyéndolo cada día. Lista por orden alfabético con el número de orden delante. Números escritos en cartulina con una cinta para realizar juegos.

¿Cómo se podría jugar con estos materiales? Los orientados se ubican en el centro del y se les va dando instrucciones simples como: quienes tengan el número cuatro, párense en el círculo rojo, los que tengan el número tres en el círculo amarillo... o bien, mostrarles cifras simples (12) para que ellos formen el número, o bien que se ordenen en forma correlativa, etc.

15.4 Orientación en el espacio y geometría ¿Por qué preocuparse del conocimiento espacial en los primeros años? El conocimiento del espacio requiere ser trabajado en forma intencional en los primeros años, pues permite su familiarización con su espacio más próximo y vital, para así adaptarse al mundo tridimensional, y comprender las distintas formas y expresiones espaciales que presenta su entorno más cercano.

¿Cómo se adquiere la noción del espacio? Desde los primeros meses de vida se van elaborando poco a poco la noción de espacio, producto de la actividad constructiva que el propio niño ejerce en su espacio más próximo como, por ejemplo: su cuna, sus juguetes, el biberón, etc., y con las relaciones espaciales entre los objetos y las personas; todo esto le permite estructurar el espacio en forma espontánea desde que nace.

¿Entonces por qué es necesario enseñarlo? Estas nociones van sufriendo cambios a medida que se van adquiriendo otras habilidades como las motoras: el desplazamiento permite establecer otro tipo de relación entre él y los espacios; más adelante será capaz transformar los espacios (cambiar elementos de un lugar a otro, esconder objetos, ordenar materiales) y, posteriormente, representar los espacios, como dibujar un garabato y decir que es 400

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su perro jugando en el patio. Por tanto, se le debe promover y proporcionar las herramientas necesarias para dominar sus relaciones con el espacio, representarlo, describirlo, comunicar las posiciones de los objetos y de las personas, así como su desplazamiento.

¿Qué se necesita para lograr esto? Para que esto suceda es necesario manejar un lenguaje que permita comunicar posiciones, describir e identificar objetos, indicar oralmente movimientos, etc. Las relaciones espaciales consideran las relaciones en el objeto, entre los objetos y los desplazamientos. Las relaciones espaciales en los desplazamientos permiten comprender que los movimientos y los objetos provocan modificaciones en las relaciones espaciales.

¿Cuáles serían los desafíos para el educador? Esto trae como consecuencia los siguientes desafíos para el educador: • •

Crear situaciones de aprendizaje que permitan una acción directa sobre los objetos y situaciones, así como la reflexión de estas. La búsqueda permanente de situaciones problemáticas de la vida cotidiana para encontrar soluciones que permitan el dominio del espacio circundante, pasar del espacio concreto al de las representaciones.

¿Cómo utilizar el espacio con los cuerpos geométricos? Respecto a los cuerpos geométricos, se han de incluir tanto las relaciones espaciales como el reconocimiento de las nociones, las propiedades y los atributos geométricos en los cuerpos y las figuras geométricas en dos dimensiones, en objetos, dibujos y construcciones. Para el trabajo con los cuerpos geométricos y figuras, se sugiere manipular diferentes cuerpos de distintos tamaños (grande, pequeño), grosor, observarlas, experimentar con ellas; hasta llegar a la descripción.

¿Por qué distinguir los cuerpos de las figuras geométricas al trabajar? Al trabajar con las figuras geométricas es importante tener presente la diferencia que existe entre cuerpos y figuras. Los cuerpos ocupan un lugar en el espacio, en cambio las figuras son representaciones que se plasman en un plano, por ejemplo, un dibujo en un papel. 401

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¿Qué comprende las relaciones espaciales en el objeto? Las relaciones espaciales en el objeto, comprende el reconocimiento de algunos atributos geométricos como: caras, vértices, lados, rectas, curvas, en los cuerpos y en las figuras. Esto permite percibir la posición que adquieren los objetos en el espacio y su relación con otros objetos y con el sujeto. Es importante ofrecer experiencias para darse cuenta que un mismo objeto no se ve de igual forma cuando está en distintas posiciones.

¿Cuáles serían algunas experiencias de aprendizaje? Algunas experiencias de aprendizaje serían: •

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Conociendo y recorriendo diferentes caminos: dibujar en el patio líneas rectas, curvas, en zigzag para recorrerlas tomando el tiempo (reloj de arena) y determinar en cuánto tiempo se demora uno al recorrer cada una. Comparar. Mencionar que un trozo de una recta se llama segmento. Curvas: buscar en el medio circundante o naturaleza líneas curvas (arco iris), los arcos en las construcciones (conocer y reconocer diferentes construcciones, dibujarlas y compararlas entre sí y con diferentes construcciones a lo largo de la historia; por ejemplo, los castillos, iglesias, casas, edificios, etc.). Al trabajar sobre las líneas curvas plantear que aquellas que están cerradas (como las ruedas de la bicicleta) distan lo mismo desde todos sus puntos al centro y esto se llama circunferencia. Paralelas: buscar en el espacio circundante cómo se relacionan las rectas, aquellas que nunca se tocan, por ejemplo, las líneas del tren (rectas paralelas), investigar dónde se pueden encontrar (vías del tren, mapa de las calles principales donde se encuentran su casa y el colegio), recorrido que hacen los autos en una carretera, etc. Figuras simétricas: aquellas que tienen una mitad igual que la otra y cuyas líneas, por donde se doblan para que coincidan, se llaman eje de simetría. Se recomienda buscar alrededor figuras y cosas simétricas; por ejemplo: el cuerpo (la parte derecha del cuerpo es simétrica con relación a la parte izquierda). Plantear preguntas como: ¿Una hoja de árbol es simétrica? ¿En qué se parece un libro a una pelota? Permitir el descubrimiento de los cuerpos geométricos en tres dimensiones (largo, ancho y alto), en cay compararlo con las figuras geométricas en dos dimensiones.

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•

• •

•

Investigar cómo se construyeron los monumentos: de la antigüedad (templos, pirámides, castillos) y modernos (pirámide de vidrio, llamada Pirámide del Louvre). Introducir el concepto de esferas observando, por ejemplo, catedrales, la tierra, etc. Construir a partir de conos (de hilo) diferentes objetos como: sombreros, personajes para después elaborar sus propias historias. ¿Sirve la geometría para pintar?: visitar museos, iglesias que posean en sus ventanas mosaicos decorativos que estén llenos de rectas y curvas; murales (arabescos); alfombras, etc. La geometría en la naturaleza: buscar y seleccionar piedras de diferentes tamaños, formas y colores (piedras preciosas); tirar piedras en un lago (al caer se forman circunferencias); observarlas como material de construcción, en la casa, la escuela, la calle. Tierra y los planetas: utilizar un microscopio y observar pequeñas partículas, describir, dibujar y buscar su relación con las figuras geométricas, etc.

15.5 Orientación temporal ¿Cómo formar las nociones de tiempo? Las nociones de tiempo son básicas para las relaciones lógico-matemáticas y de cuantificación en diversas situaciones cotidianas, por lo tanto, es necesario trabajar las secuencias: antes-después; mañana y tarde; día y noche; ayer hoy y mañana; semanas, meses; estaciones del año; la duración: más, menos; y velocidad: rápido, lento.

¿Cuáles serían algunas de las actividades a realizar en relación con la orientación temporal? Entre las actividades para la orientación temporal se sugieren: •

• • •

Elaborar su historia personal: con la cooperación de la familia, hacer un álbum con recortes, dibujos, recuerdos, etc., de los diferentes momentos de su vida, peguen fotos y los padres escriban sus impresiones y las de sus hijos. Investigar algunas noticias: de impacto y hacer una secuencia a través de fotos. Se sugiere que los propios niños anoten la fecha de los acontecimientos. Anotar las fechas más importantes: cumpleaños, santos, día de la amistad, de los abuelos, etc. Ordenar hechos y situaciones en el tiempo: mañana, tarde-noche. 403

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15.6 Las medidas y sus magnitudes ¿Por qué son importantes las medidas? A diario las personas se ven obligadas a realizar diversos tipos de mediciones para resolver situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, calcular cuántos pliegos de cartulina se necesitan para hacer una decoración en la sala, pesarse para saber cuántos kilos han subido después de las vacaciones, calcular la cantidad de cintas que se necesitan para envolver 10 regalos, etc.

¿Qué tipo de medidas se usaban en la antigüedad? En épocas pasadas las personas utilizaban medidas antropométricas (uso partes de su cuerpo), el brazo, la mano, el codo, los pies. Otros objetos como las ramas y piedras. Para medir la capacidad utilizaban vasijas de formas y tamaños diferentes. Para el peso confeccionaron balanzas y pesas de distintos materiales. A partir del año 1791, en Francia, se acuerda el uso de un sistema de medición métrico decimal. (Sistema Métrico: su base es el metro y decimal, pues sigue el principio de la numeración de base 10). Pero ¿qué significa en términos cotidianos medir? Esto implica calcular cuántas veces entra la unidad elegida en el objeto que se desea medir.

¿Cómo cuantificar en el aula? Para cuantificar una situación de la realidad se tiene dos posibilidades: contar y medir. Si desea contar por ejemplo la cantidad de puzles, cuentos, juegos que hay en la sala, se contarán (cantidad discontinua); la unidad que se utiliza es el número. Si se desea saber cuántos litros de jugo se necesitan para 30 niños o el recorrido que deberá hacerse para salir al museo en un determinado tiempo, hace referencia a las cantidades continuas, pues estas situaciones requieren ser medidas.

¿Cómo trabajar la medida con los niños? Los aprendizajes esperados de la medida se trabajan en forma intencionada, pues se sabe que desde muy pequeños los alumnos tienen experiencias con situaciones de medida de manera cotidiana. Por ejemplo: cuando lo llevaban al pediatra lo pesan y miden, sabe cuándo es la hora de comer y dormir.

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Es a través, de la interacción con el medio como se van construyendo estas nociones, pero a pesar de ello no es suficiente, se requiere de un trabajo intencionado de parte del educador. Se pueden plantear diversas situaciones problemas que surgen de la vida cotidiana para que los niños experimenten y apliquen. Por ejemplo: plantear preguntas dentro de un contexto temático (proyectos): ¿cuántas cartulinas se necesitarán para pegar los trabajos realizados? ¿Cuántas cajas se necesitarán para guardar los libros de cuentos?, etc. Se debe dar oportunidad para resolver sus problemas, plantar su hipótesis y verificarla, explorarla, observar, experimentar, etc.

¿Con qué se mide? No todos los objetos y elementos se cuantifican de la misma manera. En la vida cotidiana hay situaciones que, al no poder ser contadas, necesitan para su cuantificación del uso de unidades específicas que permitan medirlas. Estas unidades pueden ser: el kilo, minutos, litro, metro. A continuación, se presentan algunas experiencias que lo ejemplifican: •

•

Longitud: la unidad de medida es el metro. Se sugiere utilizar diferentes metros: metro de madera, plegadizo que utilizan los carpinteros, el que utilizan las modistas, cinta métrica de metal (automática), regla de plástico. Las situaciones de aprendizaje han de motivar la observación y la experimentación con diferentes tipos de metros; estimen la longitud y su verificación, ordenen objetos según su longitud, se midan (utilizando medidas con el cuerpo, pies, manos, dedos, etc.) y lo comparen con otros niños y, posteriormente, lo registre (yo mido 8 pies y tres dedos). Peso: la unidad es el kilo. El instrumento que se utiliza para medir la masa de un cuerpo es la balanza. Contar con diferentes tipos de balanzas y sus respectivos usos (electrónicas, farmacia, frutería, joyería, etc.). Se sugiere iniciar estas experiencias pesando su propio cuerpo: manos, pies, espalda, observen y experimenten con diferentes balanzas, exploren las balanzas de platillos (equilibrio y desequilibrio), comparen objetos que tengan: igual forma y diferente peso, diferente forma e igual peso. Capacidad: la unidad de medida es el litro. Matemáticamente hablando la capacidad consiste en la facultad de los envases huecos para alojar algo, sea líquido o sólido continuo, por ejemplo, arena. Por lo tanto, la capacidad de un recipiente es el volumen de líquido o del sólido que puede contenerlo.

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•

El instrumento que se utiliza para medir la capacidad de un recipiente es el vaso graduado; para ello se pueden comprar diferentes vasos que traen sus medidas indicadas, así como vasos de probetas de laboratorio. Sugerir actividades con un problema que surja en el salón para experimentar con diferentes recipientes (tamaño, forma), estimar las capacidades (hipótesis) y verificar, etc. Tiempo: el instrumento que se utiliza para medir el tiempo es el reloj. Se mide a través de las horas, minutos y segundos. Poner actividades donde se pueda comparar la duración de varias situaciones, tiempos para jugar, ordenar, comer, leer cuentos, etc., estimar la duración de las canciones, bailes, los calendarios, almanaques, el ordenar la jornada diaria, la duración de algunos juegos, ubicar las manecillas del reloj durante el tiempo que están en casa (ver TV, comer, jugar, lavarse y dormir, horas de descanso), etc.

15.7 Resolución de problemas ¿Cómo entender un problema? El problema se ha de entender como una situación que se plantea al alumno sin que conozcan las estrategias para resolverlo, o bien como un conjunto de datos o informaciones de su entorno para que determinen el tipo de preguntas que pueden responder, o los datos que necesitan para responder a tales preguntas, o los diferentes caminos que se pueden seguir para llegar a la meta, o las posibles interpretaciones que se les pueden dar a los resultados obtenidos, a través, de la aplicación de las operaciones matemáticas, como la adición y la sustracción. Lo importante es encontrar diferentes alternativas para resolver una situación dada, y comprender que ante un mismo problema se pueden entregar varias soluciones.

¿Para qué se trabajan los problemas? Uno de los propósitos de trabajar los problemas es ejercitar habilidades de pensamiento y no sólo el resultado final. Para lograrlo hay que dar oportunidades a los alumnos de analizar la situación, se imaginen las cantidades, aprendan a explicar lo que han pensado y, sí hace falta, realicen el cálculo. En suma, es necesario plantear problemas abiertos donde se puedan ofrecer más de una solución, fomente una diversidad de respuestas, aquellas que verdaderamente hacen pensar.

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¿Dónde enfatizar en las operaciones de adición y sustracción? En las operaciones de adición y sustracción es importante enfatizar su significado, en vez de la operatoria. Para ello, se pueden utilizar situaciones de la vida cotidiana significativas, como las siguientes: • •

•

Describir situaciones en las que se agrega o quitan elementos de un conjunto dado y relacionarlas con las operaciones matemáticas de adición y sustracción. Dada cierta información determinar qué preguntas pueden responder; qué datos se necesitan para responder una pregunta; qué información se puede obtener a partir de una operación de adición o sustracción. Resolver problemas matemáticos simples involucrando las operaciones de adición y sustracción.

¿Cómo registrar? Hay dos distinciones para hacer el registro, esto es, en las cantidades discontinuas: se cuenta y se utilizan los números y en las cantidades continuas se mide, por tanto, se requiere seleccionar una unidad y contar las veces en que estaría incluida en el objeto a medir. Esto implica que el registro debe indicar un número y una unidad. Por ejemplo: una botella de dos litros tiene que ser llenada con jugo utilizando para ello un vaso chico (100cc) y otro grande (250 cc). Frente a esta situación los alumnos pueden: •

• • •

Registrar la cantidad de vasos que se necesitan para llenar la botella utilizando el número (6 vasos) pero sin especificar la unidad de medida (vaso de 100 cc o 250 cc). Representar (dibujar) la cantidad de vasos (vaso de 100 cc o 250 cc) y su tamaño para indicar las veces en que se usó cada uno de ellos. Representar la cantidad de vasos y el tamaño. Utilizar el número para representar la cantidad y del dibujo del vaso para indicar la unidad seleccionada.

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¿Estas sugerencias son válidas para la atención de las DAM? Justifica tu respuesta

Actividad # 59

Los cohetes Nombre:

Exp. No.:

Fecha de aplicación:

Tema: operaciones

Instrucciones. Realiza las operaciones de cada cohete con la mayor velocidad posible.

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Fig. # 136. Cohetes

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Apéndice # 1. Vocabulario matemático básico (Frances Schoning, 1990:176) abajo adelante algo alguno (a) al lado alrededor alto a medio camino ancho anchura añadir a partir de arriba atrás bajo banda bastante bien cada cada uno cada vez menos cambio camino casi central centro cerca cerca de cerrado cerrar cima cociente columna comparar correcto corto cuando cumbre curvo de debajo delante delgadez

demasiado dentro derecho desde después detrás diferencia disminuir dividir dos dos veces dualidad elevado encima enfrente de enorme entero entre espalda esquina estrecho exacto fin final fondo fracaso gemela gemelo grande grosor grueso grupo hora hueco igual izquierda joven junto justo lado largo lejos (de) lento

longitud lleno más más abajo más pequeño más que medio mejor menor menos mitad muchedumbre mucho multiplicar muy nada ninguno no nuevo nulo número par (es) parada pareja parte pequeño pesado peso poco por debajo por detrás por encima por último precio primero probablemente producto profundo programar progresivo próximo quinto quitar 410

raro rebaño recto reducir respuesta resta restar resto segundo semejante siempre simple sin sobre solamente suma suprimir sus tal vez tamaño tanto tarde tiempo todavía todo toma (lo) tropa único unidad último uno uno y otro vacío varios venta verdad verificar vez viejo zurdo

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Apéndice # 2. Nombres de las figuras geométricas

Fig. # 137. Nombres de las figuras geométricas.

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3 lados = Triángulo 4 lados = Cuadrilátero 5 lados= Pentágono 6 lados = Hexágono 7 lados= Heptágono 8 lados= Octágono 9 lados= Nonágono o Eneágono

10 lados= Decágono 11 lados= Endecágono o Undecágono 12 lados= Dodecágono 13 lados= Tridecágono 14 lados = Cuatorsiavilono 15 lados= Pentadecágono 20 lados= Icoságono

Glosario Acalculia Término acuñado por Henschen, para designar un trastorno adquirido de la habilidad de cálculo. En neuropsicología, la acalculia engloba una serie de trastornos que van desde la inhabilidad para reconocer un número hasta la dificultad para efectuar operaciones aritméticas. Implica hablar de una serie de habilidades cognoscitivas. Su habilidad está influida por factores socioculturales, con lo cual la habilidad propiamente dicha se encuentra en líneas generales en toda la población con unos niveles de eficiencia muy variables, lo que provoca, sin duda, dificultades a la hora de poder baremar y validar tareas dirigidas a su evaluación neuropsicológica. Acalculia (tipos) Aunque la clasificación puede variar según el autor, se reconocen los siguientes tipos de acalculia: a) Alexia y agrafía numérica. Algunos autores la denominan Acalculia afásica, pero la afasia no es la condición necesaria ni suficiente para la aparición de este déficit. Básicamente habría tres tipos de alexia agrafía numérica que se pueden combinar entre sí. 1. Incapacidad de leer- escribir dígitos individuales. 2. Incapacidad de leer-escribir correctamente cifras de varios dígitos, asignando a cada uno su valor de acuerdo con el lugar que ocupan en la cifra, según las normas del sistema arabigodecimal (errores gramaticales 50 por 500, secuenciales como 3.004 por 4.003). 3. 3. Incapacidad de leer-escribir comprender signos aritméticos (x,+,-, <, >, etc.).

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b) Acalculia espacial. Consiste en la incorrecta alineación de los números en la cifra, en las fases iniciales del proceso computacional, bien en la inadecuada colocación en el espacio de los resultados parciales de las multiplicaciones por más de un dígito, de los restos de las divisiones, etc. Los déficits asociados a este tipo son alteraciones visoconstructivas, confusión direccional, trastornos óculomotores, agnosia espacial unilateral y global, apraxia del vestido y deterioro cognitivo global. c) Anaritmética. De acuerdo con Hecaen, se excluye la alexia-agrafia numérica y la Acalculia espacial, pero se asocian otros déficits de tipo neurológico y neuropsicológico como afasia, alteración visoconstructiva, alexia verbal, déficit cognitivo global, confusión direccional, déficit visual, trastornos óculomotores y déficit somatosensitivos. Se describen casos con incapacidad selectiva para recordar valores tabulados de operaciones aritméticas simples, pero conservando el concepto de la operación matemática concreta, casos con déficit selectivos de determinadas operaciones matemáticas, con conservación de otras y casos con desproporcionada alteración en funciones que se les llama “ejecutivas” en el cálculo (como llevar un número y sumar el número llevado), por un problema atencional al ser estas tareas duales, problema en secuenciación de operaciones matemáticas simples en el contexto de una operación compleja en el que intervendría la memoria de trabajo con la capacidad de planificación. Algoritmo En matemáticas lógica, un algoritmo es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas, ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad. Dados un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Es un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Método y notación en las distintas fórmulas del cálculo. Esto significa que el algoritmo constituye un método para resolver un problema mediante una secuencia de pasos a seguir. Dicha secuencia puede ser expresada en forma de diagrama de flujo con el fin de seguirlo de una forma más sencilla. Discalculia • Trastorno que proviene de dificultades específicas en el aprendizaje del cálculo, con independencia del nivel mental, de los procederes pedagógicos, de la asiduidad escolar y de trastornos afectivos. 413

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•

Según madame Borell, la discalculia aparece frecuentemente unida a trastornos de lenguaje. Otros autores encuentran tres tipos distintos de discalculia: a) Dificultad para el aprendizaje de los signos numéricos, que suele presentarse asociado a problemas de lenguajes oral y escrito. b) Dificultad para adquirir los automatismos necesarios para realizar las operaciones aritméticas, que también acompaña a alteraciones de lenguaje; c) Dificultad para ordenar los números, de acuerdo con una estructura espacial. Se asocia con desorientación espaciotemporal. Se pueden establecer dos grupos con características diferenciales: a) Verbal, que determina la dificultad de simbolización (aprendizaje de los símbolos matemáticos) y su relación con la noción de cantidad; b) Espacial, que determina la dificultad de ordenación de cifras y colocación de cantidades.

Discalculia (tipos) • Discalculia primaria. Trastorno específico y exclusivo del cálculo, unido a lesión cerebral. • Discalculia secundaria. Mala utilización de símbolos numéricos y mala realización de operaciones, especialmente las inversas. Va asociada a otros trastornos como dificultades del lenguaje, desorientación espaciotemporal y baja capacidad de razonamiento. • Disaritmética. Gran dificultad para comprender el mecanismo de la numeración, retener el vocabulario, concebir la idea de las cuatro operaciones básicas, contar mentalmente y utilizar sus adquisiciones en la resolución de problemas. • Discalculia espacial. Dificultad para ordenar los números según una estructura espacial. Suele ir acompañada de apraxia constructiva y desorientación espacio temporal.

Áreas de las matemáticas • Aritmética. Se encarga de estudiar las estructuras numéricas elementales, así como las propiedades de las operaciones y los números en sí mismos en su concepto más profundo, construyendo lo que se conoce como teoría de números. • Álgebra. Estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). El álgebra elemental es la forma más básica del álgebra- A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). 414

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•

• •

Trigonometría. Es la subdivisión de las matemáticas que se encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para esto se dedica a estudiar las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. Geometría. Trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros, estudia las propiedades del espacio, que se emplean para representar con exactitud las figuras y los cuerpos geométricos. Estadística. Se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar inferencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones. Puede ser Descriptiva, es decir, sólo importa el conjunto de datos e Inferencial cuando se busca derivar conclusiones de un conjunto de datos más amplio. Cálculo diferencial e integral. Es una herramienta que surge en el siglo XVII para resolver algunos problemas de geometría y física. El problema de hallar una recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado y la necesidad de explicar racionalmente los fenómenos de la astronomía o la relación entre distancia, tiempo, velocidad y aceleración, estimularon la invención y el desarrollo de los métodos del Cálculo. Mientras el Cálculo Diferencial busca descomponer los elementos, el Cálculo Integral va integrar los elementos que se encuentran aislados.

Cálculo aritmético El cálculo aritmético es el que se realiza con números enteros o racionales; puede realizarse de cabeza (exacto, aproximado o estimado), por escrito o con la ayuda de materiales manipulativos como el ábaco o electrónicos como la calculadora. El cálculo estimado se realiza con datos que proceden de un juicio o valoración, suelen ser números redondos acabados en cero. El cálculo aproximado se realiza con datos que proceden de la medición, están condicionados por la inexactitud de los instrumentos de medida, lo que hace que a menudo números con cifras decimales, siendo un tipo de cálculo del que se puede conocer el margen de error.

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Capacidad Conjunto de recursos y aptitudes que tiene un individuo para desempeñar una determinada tarea. En este sentido, esta noción se vincula con la de educación, siendo esta última un proceso de incorporación de nuevas herramientas para desenvolverse en el mundo. El término capacidad también puede hacer referencia a posibilidades positivas de cualquier elemento. En general, cada individuo tiene variadas capacidades de la que no es plenamente consciente. Así, se enfrenta a distintas tareas que le propone su existencia sin reparar especialmente en los recursos que emplea. Esta circunstancia se debe al proceso mediante el cual se adquieren y utilizan estas aptitudes. En un comienzo, una persona puede ser incompetente para una determinada actividad y desconocer esta circunstancia; luego, puede comprender su falta de capacidad; el paso siguiente es adquirir y hacer uso de recursos de modo consciente; finalmente, la aptitud se torna inconsciente, esto es, la persona puede desempeñarse en una tarea sin poner atención a lo que hace. Un ejemplo claro puede ofrecerlo el deporte: un atleta utiliza técnicas sin pensar en ellas. Esto se debe a que ha alcanzado un nivel en el cual su capacidad se ha interiorizado profundamente. No obstante, no todas las capacidades del hombre son adquiridas. Muchas de ellas son innatas.

Capacidades superiores Son aquellas que se caracterizan por su alto grado de complejidad y sintetizan intencionalidades educativas. Son las que permiten desarrollar el pensamiento crítico, pensamiento creativo, resolución de problemas y toma de decisiones. Las capacidades superiores son interpretación, análisis, evaluación, inferencia, explicación, autorregulación, producción, construcción, síntesis, asociación, relajación, creación, diseño, investigación.

Coeficiente intelectual El coeficiente intelectual, también conocido como cociente intelectual, es un número que resulta de la realización de una evaluación estandarizada para medir las habilidades cognitivas de una persona en relación con su grupo de edad. Este resultado se abrevia como CI o IQ, por el concepto inglés de intelligence quotient. Como estándar, se considera que el CI medio en un grupo de edad es 100. Esto quiere decir que una persona con un CI de 110 está por sobre la media entre las personas de su edad. Lo más normal es que la desviación típica de los resultados sea de 15 o 16 puntos, ya que las pruebas se diseñan de tal forma que la distribución de los resultados sea aproximadamente una distribución normal. Se considera como sobresalientes a aquellos que se sitúan por encima del 98% de la gente. 416

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Habilidad Matemática Es aquella en que eres capaz de comprender conceptos, proponer y efectuar algoritmos y desarrollar aplicaciones a través de la resolución de problemas. En estas se consideran tres aspectos: •

•

En Aritmética, operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) con números enteros y racionales, cálculos de porcentajes, proporciones y promedios, series numéricas y comparación de cantidades. En Álgebra, operaciones fundamentales con literales, simplificaciones de expresiones algebraicas, simbolización de expresiones, operaciones con potencias y raíces, factorización, ecuaciones y funciones lineales y cuadráticas. En Geometría, perímetros y áreas de figuras geométricas, propiedades de los triángulos (principales teoremas), propiedades de rectas paralelas y perpendiculares y Teorema de Pitágoras.

Incapacidad De acuerdo con la OMS es toda restricción o pérdida (causada por un defecto) de la capacidad para llevar a cabo una actividad del modo o en la medida que se consideran normales en un ser humano. Es la consecuencia de una anomalía en el funcionamiento del organismo que obstaculiza el normal desempeño de las actividades habituales de los individuos.

Inteligencia. Existen muchas definiciones de inteligencia. •

La American Psychological Association la define como: “Los individuos difieren unos de otros en su habilidad de comprender ideas complejas, de adaptarse eficazmente al entorno, así como aprender de la experiencia, en encontrar varias formas de razonar y de superar obstáculos mediante la reflexión. A pesar de que estas diferencias individuales puedan ser sustanciales, éstas nunca son completamente consistentes: las características intelectuales de una persona variarán en diferentes ocasiones, en diferentes dominios, y con diferentes criterios. El concepto de "inteligencia" es una tentativa de aclarar y organizar este conjunto complejo de fenómenos”.

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•

Una segunda definición de inteligencia viene del Mainstream Science on Intelligence", que fue firmada por 52 investigadores de la inteligencia en 1994: Una muy general capacidad mental que, entre otras cosas, implica la habilidad de razonar, planear, resolver problemas, pensar de manera abstracta, comprender ideas complejas, aprender rápidamente y aprender de la experiencia. No es un mero aprendizaje de los libros, una habilidad estrictamente académica, ni un talento para superar pruebas. La inteligencia para Howard Gardner es la capacidad para resolver problemas cotidianos, generar nuevos problemas para resolver y crear productos u ofrecer servicios valiosos dentro del propio ámbito cultural.

Lógica matemática La Lógica estudia la forma del razonamiento. La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la Lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida.

Matemáticas Ciencia que trata de la cantidad, sea en abstracto (matemáticas puras), sea con relación a objetos o fenómenos determinados (matemáticas mixtas o aplicadas). La historia de la matemática se inicia con el descubrimiento que el hombre realiza en su propio cuerpo del primer módulo para medir y contar (codo, pie, brazo, etc.). La noción de notación por posición, del valor relativo de las unidades según su posición se alcanzó en la India en el s. IX, junto con la de fijación de los signos actuales para las nueve primeras cifras y la invención del 0. Los momentos de actividad matemática se corresponden con las fases de invención o de renovación. Los pueblos orientales (caldeos y egipcios) descubrieron el número y sus notaciones. En la Edad Media, los árabes, que se ponen en contacto con la vieja ciencia caldea, asiria, griega e hindú, son los representantes de la actividad matemática de los siglos medios y en el s. IX dan el paso decisivo hacia la generalización, es decir hacia la verdadera ciencia matemática al introducir el álgebra. Las matemáticas modernas no se limitan a la magnitud, el número y el espacio intuitivos; los elementos con los cuales razonan son estructuras lógicas. 418

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El desarrollo de las matemáticas modernas proviene de la formalización y sistematización de la lógica. Cada teoría matemática parte de un sistema de axiomas o de definiciones primeras a los que se aplica el instrumental lógico para obtener nuevas verdades lógico-matemáticas. Son la ciencia de las estructuras, es decir, un conjunto de relaciones abstractas que comprenden y permiten el estudio de los números, de las formas, del movimiento, del razonamiento lógico, del azar, de la posición, de la simetría o de la proximidad. Estas estructuras pueden ser reales o imaginarias, visuales o mentales, estáticas o dinámicas, cualitativas o cuantitativas, útiles o sólo con un interés recreativo. Pueden tener su origen en el mundo que nos rodea, en las profundidades del espacio y del tiempo o provenir exclusivamente de la actividad de la mente humana. Las matemáticas son la única ciencia no empírica, es decir, no dependen de demostraciones experimentales. Y se deben tomar en cuenta que sus áreas son interdependientes y su estructura es jerárquica.

Niveles lógicos del pensamiento El concepto de niveles lógicos de aprendizaje y cambio fue formulado inicialmente por el antropólogo Gregory Bateson, identifica cuatro niveles básicos de aprendizaje y cambio que abarcan y organizan cada uno de los elementos del nivel situado por debajo de él, y ejercen un grado de impacto progresivamente creciente sobre el individuo, el organismo o el sistema. El término de “niveles lógicos” se refiere a la jerarquía de niveles de procesos (mentales) en el individuo o del grupo. La función de cada nivel consiste en sintetizar, organizar, dirigir, las interacciones en el nivel inmediatamente inferior. Cambiar algo en un nivel superior “irradiará” necesariamente hacia abajo, precipitando el cambio en los niveles inferiores. Sin embargo, cambiar algo en un nivel inferior no tiene por qué afectar necesariamente a los niveles superiores.

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Niveles lógicos del pensamiento (clasificación) Los diferentes niveles de pensamiento o estratos de la mente son, de forma ascendente: •

•

• • •

Espiritual que es el nivel de trascendencia, donde yo soy parte de algo más, de un sistema más vasto y donde estoy consciente que lo que haga o deje de hacer, afecta a todos los que me rodean, aun cuando ya no esté en este mundo. Identidad donde según el concepto que tengo de mí mismo voy a desarrollar una "misión" en mi vida y va a desarrollar mis creencias para poder lograrlo. Tiene que ver con el verbo ser. Creencias o valores, yo creo que soy o no soy capaz de lograr algo en mi vida y según esto voy a desarrollar, o no, mis capacidades. Tiene que ver con el verbo creer Capacidades, son mis aptitudes o la falta de ellas, y según esto yo me conduzco en mi contexto. Tiene que ver con el verbo poder. Conductas, es lo que hago o dejo de hacer y es cómo me conduzco en mi contexto. Tiene que ver con el verbo hacer. Medio ambiente, es mi contexto, y la manera en que éste me afecta.

Operadores aritméticos. Los operadores aritméticos nos permiten, básicamente, hacer cualquier operación aritmética, que necesitemos (ejemplo: suma, resta, multiplicación, etc.). En la siguiente tabla se muestran los operadores de los que disponemos en C y su función asociada. Operador Resta Suma Multiplicación División Módulo

Acción x=5 3 x=2 3 x=2 3 x=6 2 x=5%2

Ejemplo //x vale 2 // x vale 5 // x vale 6 // x vale 3 // x vale 1

Decremento Incremento

x = 1; x x = 1; x

// x vale 0 // x vale 2

Cuadro # 35. Operadores aritméticos.

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Razonamiento matemático Sirve para medir habilidades para aplicar las matemáticas en situaciones nuevas y diferentes, esto es de gran importancia para el éxito en cualquier trabajo práctico. Las preguntas miden tu habilidad para procesar, analizar y utilizar información en la Aritmética, el Álgebra y la Geometría, es evidente que estas habilidades se relacionan también con el éxito en las materias que se estudian en el nivel universitario.

Receptor matemático Un receptor también es el conductor en el que la energía eléctrica produce un efecto energético diferente del efecto Joule, y que, en consecuencia, está dotado de fuerza contra electromotriz. Aparato utilizado para recibir señales eléctricas, telegráficas, telefónicas u ondas electromagnéticas. Todo elemento o dispositivo que realiza la recepción como, por ejemplo, el aparato que recoge las ondas del radiotransmisor. En las transmisiones hidráulicas, dispositivo sobre el que actúa el fluido, y que transforma la energía comunicada en un par que aplica a un árbol o eje de transmisión.

Símbolos básicos de comparación

Símbolo = ≠

Palabras Igual a No igual a

Ejemplos de uso 1+1=2 1+1≠1

> <

Mayor que Menor que

5>2 97 <

Cuadro # 36. Símbolos básicos de comparación.

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Bibliografía • • • • • • • • • • • • • •

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Juegos • • • • • • •

75 juegos matemáticos conteo números y operaciones básicas. https://www.imageneseducativas.com/75-nuevos-juegos-matematicos-conteonumeros-operaciones-basicas-etc/ Actitudes. Material educativo accesible y gratuito. https://www.actiludis.com/ Childtopia. Materiales educativos. https://didactalia.net/comunidad/materialeducativo/recurso/childtopia-juegoseducativos/91631928-e927-4195-acc0-844193956586 Dos príncipes aprenden Montessori. http://dosprinceses.blogspot.com/2014/04/barras-numericas-ii-aritmetica.html Figuras geométricas divertidas. https://www.slideshare.net/epapadi/httpsblogsschgrsfairastideuterahttpblogsschgrgoma-httpblogsschgrepapadi-191997667 Mash up Math. https://www.mashupmath.com/freemathpuzzles/ Material Montessori. https://montessoriprintshopusa.com/products/sensorialextensions-bundle

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Índice de cuadros 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

Pictogramas. Material básico. Índice de actividades para la primera sesión. Organización de los módulos. Acertijos matemáticos. Respuestas a los acertijos matemáticos. Comparación de quehaceres de los dos hemisferios. Características principales de los dos hemisferios. Desarrollo de la imaginación. Tipos de números. Esquema de evaluación inicial. Tabla de conversión para la capacidad de comprensión. Tabla de puntajes y tiempos correspondientes para los cubos. Tabla de equivalencias EM para los cubos. Errores frecuentes en las operaciones básicas. Terminología de las operaciones básicas. Efectos de las dificultades en DAM. Campos del conocimiento matemático. Problemas de cambio. Fases de resolución de problemas y conocimiento implicado Fallos en la resta. Componentes en la resolución de problemas. Estrategias cognoscitivas y metacognoscitivas. Pruebas psicológicas. Pruebas pedagógicas. Áreas básicas de la aritmética. Habilidades de monitorización. Los cuatro planos del desarrollo Montessori. Períodos sensibles según Montessori. Comparación del método tradicional con el método Montessori. Material Montessori. Tabla de tareas en el hogar por edades, según Montessori. Los estadios y sus características. Permanencia del objeto. Operadores aritméticos. Símbolos básicos de comparación.

430

4 5 5 20 36 37 44 45 58 92 130 139 143 144 155 160 203 258 261 262 265 273 280 283 285 290 293 312 313 315 324 352 358 364 420 421

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Índice de actividades 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37 38. 39. 40. 41. 42.

Experiencia personal. ¿De quién es la responsabilidad? Acertijos matemáticos. Lectura de colores. Discusión en pequeños grupos. Lectura rítmica. Los cuadrantes. Objetos con formas geométricas. ¿Cuál es la figura? Integra y desintegra. Figuras geométricas con abatelenguas. Cuestionario para opinar. Medir y comparar. Figuras geométricas planas. Jugando con figuras geométricas. Diciendo los números. Juego de memoria. Cajas de cerillos. Policubos. Trazo de números. Ordena los números. Laberintos. Buscando números. Agilidad operatoria. Magia cuadriculada. Percepción visual: discernimiento de figuras. Caminos numéricos. Discernimiento de figuras. Diez varillas. Cálculo mental. Cálculo mental con operaciones básicas. Aprender a contar. Banda numérica. Números y dados. Identificación de ruidos y sonidos. Memoria y percepción visual. Ritmo y seriación. El cuento. Ordenar por tamaños. Descripción de objetos. Adivina qué es. Las partes del cuerpo. 431

26 27 36 39 40 46 62 66 67 67 68 69 71 74 76 91 113 125 126 152 153 157 161 163 172 179 184 187 199 201 204 215 222 223 224 225 227 227 228 229 230 231

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43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.

Armando muñecos. Noción derecha-izquierda. Atención y concentración. Correspondencia número-objeto. Maduración prenumérica. Numeración y seriación. Tabla de doble entrada. Multiplicación. Iniciar la construcción. Identificar unidades y decenas. Encuentra el valor de cada objeto. Cuento geométrico. La ropa. ¿Cuántos hay? Atributos de los bloques lógicos Mayor que, menor que o igual que. Fracciones Comparación de números. Los cohetes.

231 232 234 234 236 238 240 241 246 247 263 294 300 316 372 380 382 396 408

Índice de figuras 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

Dificultades de aprendizaje en matemáticas. Punto de partida. Identificación de figuras geométricas. Vista exterior del cerebro del lado izquierdo. Juego de colores. Funciones de los hemisferios cerebrales. Lectura rítmica. Comparación de cantidades y de peso. Jugando con estrellas. Jugando con lápices. Jugando con objetos. Los cuadros de los cuadrantes. Variantes de los cuadrantes. El laboratorio interno y los cuadrantes. Bloques lógicos. Las formas geométricas de los objetos. ¿Cuál es la figura? Figuras geométricas graciosas. Figuras geométricas con abatelenguas. Noción de cantidad del 1 al 5. 432

2 8 13 38 39 41 46 50 55 55 56 62 63 64 65 66 67 68 68 72

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64.

¿Cuál es el nombre de estas figuras planas? Figura de un perrito. Recta numérica. Los números. Tres materias. Juego de memoria. Cajas de cerillos. Policubos. Diseños para la prueba de cubos de Kohs. Jugando con los números. Noción de cantidad. Números y objetos. Laberintos Buscando números. Magia cuadriculada. Percepción visual: discernimiento de figuras. Caminos numéricos. Discernimiento de figuras. Los signos. Diez varillas. Juego de varillas. Cálculo mental. Cálculo mental con operaciones básicas. La resta. Ruedas y pinzas numéricas. Banda numérica. Números y dados. Identificación de ruidos y sonidos. Agrupar objetos por colores. ¿Qué números faltan? Ordena los coches. Camina y detente. Ricitos de oro y los tres ositos. Pinos. Ordenar por tamaños. Escucha lo que se dice. Adivina qué es. Partes del cuerpo. Muñecos articulados. Direccionalidad y noción derecha – izquierda. Serie numérica. Ejercicios de ritmo. Correspondencia número – objeto. Poner y quitar números en los vagones.

433

75 76 83 91 95 113 126 126 146 152 153 154 157 162 172 179 184 187 197 198 199 202 204 213 215 222 223 224 226 226 226 227 228 228 229 230 230 231 232 233 234 234 235 236

María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108.

Muchos – pocos. ¿Cuál pesa más?, ¿cuál pesa menos? Sigue la numeración. Sigue la serie. Cuenta y colorea. Números básicos. Cuadro geométrico. Tabla pitagórica de la multiplicación. Los animalitos y las tablas de multiplicar. Fases de la suma. Tabla de sumar para trabajarla con el orientado. Unidades y decenas. Inicio de la construcción de la tabla de sumar. Identificar unidades y decenas. Los números maya. ¿Cuántos objetos hay en cada modelo? Colorear el número de dulces de cada cifra y seguir la serie. Juegos matemáticos con operaciones básicas. Correspondencia objeto – número. Número de ángulos igual a la cantidad. Juegos de razonamiento lógico. Calcular el valor de cada número con sumas. Calcular el valor de cada número con multiplicación y resta. Calcular el valor de cada número con multiplicación y suma. Calcular los valores de la tabla de multiplicar Calcular los valores de los colores. Lenguaje algebraico. Estrategias para resolver problemas matemáticos. Cuerpos geométricos. Cuadros de doble entrada. Tiras de fracciones. Percepción visual: formas y colores. Áreas parietales. Láminas de la prueba TGV de Bender. Cuento geométrico con Tangram. La ropa. Principios del método Montessori. El niño aprende explorando, descubriendo. ¿Cuántos hay? Ambiente de aprendizaje Montessori. Paseos numéricos. Material de distintas áreas. Caja de permanencia. Ejemplos de materiales Montessori.

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María Teresa Alicia Silva y Ortiz. Manual de dificultades de aprendizaje en matemáticas

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Material para los nidos. Material de la vida práctica. Bastidores. Material sensorial. Estantería para el área sensorial. Memoria táctil. Estantería de matemáticas Números rojos. Material para matemáticas. Estantería de lenguaje. Material de lenguaje. Estantería cósmica. Material para geografía. Estantería de botánica y zoología. Material de botánica y zoología. Estantería para el área de música. Canasta de tesoros de sonidos. Campanas y botellas musicales. Tarjetas para los atributos de los bloques lógicos. Varillas de tamaños. Tarjetas de diseños para el tangram. Figuras elementales. Comparación de conjuntos. Mayor que, menor que o igual que. Tarjetas de fracciones. Comparación de números. ¿Cuál es el que falta? Cohetes. Nombres de las figuras geométricas.

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