Gebroken getallen

123

Reken-wiskundedidactiek

Dit boek maakt deel uit van de serie Reken-wiskundedidactiek voor de pabo. Deze serie bestaat uit vier delen: • Hele getallen

• Gebroken getallen

• Verhoudingen en procenten • Meten en meetkunde

Met behulp van de boeken en de website www.paborekenen.nl kun je op verschillende manieren werken aan de ontwikkeling van je vakspecifieke competenties voor rekenen-wiskunde.

Je leert op gevarieerde wijze de mogelijkheden die de reken-

wiskundedidactiek biedt om kinderen vooruit te helpen in hun ontwikkeling.

Door middel van veel aandacht voor reflectie ondersteunt deze

serie alle leerprocessen die de student doorloopt; van gecijferdheid tot vakdidactische kennis en het leren en toepassen in

de praktijk. Alle vier de titels kennen dezelfde opbouw en zijn

zo geschreven dat je het boek niet van voor tot achter hoeft te lezen, maar juist makkelijk doorbladert op zoek naar informatie die aansluit bij jouw behoefte.

Petra van den Brom - Snijders (redactie) Marc van Zanten (redactie) Jos van den Bergh

Gebroken getallen

Gebroken getallen

Gebroken getallen

Reken-wiskundedidactiek

Reken- wiskundedidactiek

Gebroken getallen

Petra van den Brom - Snijders (redactie) Marc van Zanten (redactie) Jos van den Bergh Resi Meijer

Adrie Vrolijk

Website In dit boek zie je regelmatig een verwijzing naar de website www. paborekenen.nl. Om je eigen account aan te maken voor deze website, heb je de code nodig die je op het omslag kunt vinden. Let op: deze code is slechts éénmaal te gebruiken. redactie Sarah Lips, Utrecht beeldredactie Twin Design, Culemborg omslag ontwerp En/Of Ontwerpers, Utrecht ontwerp binnenwerk En/Of Ontwerpers, Utrecht en Bite Grafische Vormgeving, Amsterdam opmaak binnenwerk TwinDesign, Culemborg fotografie omslag Martin Hogeboom, Epe

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff is dé educatieve mediaspecialist en levert educatieve oplossingen voor het Primair Onderwijs, Voortgezet Onderwijs, Middelbaar Beroepsonderwijs en Hoger Onderwijs. Deze oplossingen worden ontwikkeld in nauwe samenwerking met de onderwijsmarkt en dragen bij aan verbeterde leeropbrengsten en individuele talentontwikkeling.

ThiemeMeulenhoff haalt het beste uit élke leerling.

Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze educatieve oplossingen: www. thiememeulenhoff.nl of via de Klantenservice 088 800 20 16 ISBN 90 06 95504 0 Eerste druk, vierde oplage, 2013 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2006 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro. nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www. auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw voor het gebruikte papier op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

8 Inhoud Voorwoord VI Activiteitendeel 1 1 Kinderen leren rekenen/wiskunde 2 1.1 Met kinderen in gesprek 3 1.1.1

Interview 3

1.1.2 Zelf opgaven maken en analyseren 4

1.1.3 Wat kunnen en begrijpen kinderen? 5

1.2 Dagelijks leven en gebroken getallen 7

1.2.1 Breuken en kommagetallen in het dagelijks leven 7

1.3 Schooltaal en gebroken getallen 9 1.3.1 Leuk en leerzaam 9

1.3.2 De methode 11

1.3.3 Opgaven nader bekeken 15

2 Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs 18 2.1 Methodelessen 19

2.1.1 Observeren van methodeles 19

2.1.2 Met de methode lesgeven 20

2.2 Even buiten de methode 27

2.2.1 Gebroken getallen in het dagelijks leven 27

2.2.2 Boeken weg! Boeken weg? 28 2.2.3 Breukenspel ontwerpen 30

3 Zorgverbreding rekenen-wiskunde 33 3.1 Signaleren en diagnosticeren 34

3.1.1 Analyseren van opgaven en oplossingen 34

3.1.2 Diagnostisch gesprek voorbereiden 36

3.2 Van diagnosticeren naar remediĂŤren 39 3.2.1 Kommagetallen 39 3.2.2 Breuken 40

Bronnendeel 41 1 Een getal apart: didactiek bij breuken 42

1.1 Ontwikkelingen in de didactiek bij breuken 43 1.1.1

Kritiek op mechanistische aanpakken 43

1.1.2 Naar een realistische aanpak 45

1.2 Contextgebonden handelen en redeneren 48 1.2.1 Breuken in het echt 49

1.2.2 Deel, veel en eerlijk delen 53

1.2.3 Meten met breuken 59

1.3 Van contextgebonden naar modelondersteund handelen en redeneren 62

1.3.1 Gelijkwaardigheid en gelijknamigheid 62

1.3.2 Stukjes chocolade als ‘bemiddelende grootheid’ 66

1.3.3 Modellen: mogelijkheden en beperkingen 68

1.4 Richting formeel handelen en redeneren 74

1.4.1 De basisbewerkingen optellen en aftrekken 75

1.4.2 De basisbewerkingen vermenigvuldigen en delen 78

2 Relaties en samenhang, breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten 85

2.1 Relaties en samenhang 86

2.2 Verhoudingen als onderliggende verschijningsvorm van breuken en procenten 87

2.2.1 Relatie-weetjes 91

2.3 Breuken en kommagetallen 92

3 Over komma’s en getallen. Didactiek bij kommagetallen 94 3.1 Ontwikkelingen in de didactiek bij kommagetallen 95 3.1.1 Kernmoeilijkheden 95

3.1.2 Kritiek op mechanistische aanpakken 95 3.1.3 Een realistische aanpak 97

3.2 Contextgebonden en modelondersteund handelen en redeneren 100

3.2.1 Kommagetallen in het echt 101

3.2.2 Kommagetallen op de getallenlijn 102 3.2.3 De nul en andere moeilijkheden 109

3.3 Richting formeel handelen en redeneren 113 3.3.1 Schattend rekenen 114

3.3.2 De basisbewerkingen optellen en aftrekken 117

3.3.3 De basisbewerkingen vermenigvuldigen en delen 121

4 Meer weten over… 128

4.1 Suggesties gericht op praktijk en stage 128

4.2 Boeken en brochures 130

4.3 Achtergronden op meer theoretisch niveau 131

4.4 Gecijferdheid 131

4.5 Zorgverbreding 131

Gevorderde gecijferdheid 133 1 De Winkel 135

Boodschappen doen 135

Rekenen zonder context 139

2 In de klas 142

Eindeloze reeksen 142

_1 7 en andere repeterende breuken 144

3 Danswedstrijd 148 Dansparen 148

Misverstanden 150 Kwestie 1 151

Kwestie 2 153 Kwestie 3 155

Kwestie 4 156

4 Spelletjes met gebroken getallen 157 Puzzelen 157

Fouten met de rekenmachine 159 Uit je hoofd 161

Meer hersengymnastiek 163 Uitdaging 165

5 Werk in de krant 167 Overwerk 168

Nauwkeurigheid (of schijnnauwkeurigheid) 170 Uitsmijter 173

Index 175 Literatuurlijst 178 Bronvermelding 180 Illustratieverantwoording 182

8 Voorwoord Voor studenten Rekenen-wiskunde is een belangrijk vakgebied, waar jij als (toekomstig) leerkracht veel mee van doen hebt. Rekenen-wiskunde staat op de

basisschool immers alle dagen op het rooster. Maar bovendien kom je rekenen en wiskunde in het dagelijks leven overal tegen; bij het

boodschappen doen, het plannen van een vakantiereis, het lezen van de krant of als je iemand de weg wijst. Allerlei zaken uit de realiteit worden betrokken bij het leren van rekenen-wiskunde op school.

In de realistische reken-wiskundedidactiek wordt aangesloten bij de eigen oplossingsstrategieën van kinderen, wordt gebruik gemaakt van allerlei

modellen die het denken van kinderen ondersteunen en nemen interactie en reflectie een belangrijke plek in.

Voor de leerkracht betekent dit, dat zij1 verschillende vakspecifieke competenties op het gebied van rekenen-wiskunde bezit, zoals:

• zicht hebben op de rekenwiskundige ontwikkeling van kinderen;

• weet hebben van de verschillende leerlijnen die op de basisschool aan bod komen;

• de mogelijkheden die de reken-wiskundedidactiek biedt om kinderen vooruit te helpen in hun ontwikkeling kennen en benutten; • een professioneel niveau van gecijferdheid hebben.

Een en ander betekent dat jouw leerproces als aankomend leerkracht verschillende aspecten heeft, en dat een belangrijk deel van jouw ontwikkeling zich afspeelt in je stagepraktijk.

Met behulp van de boeken Reken-wiskundedidactiek kan je op verschillende manieren werken aan de ontwikkeling van je vakspecifieke competenties voor rekenen-wiskunde. Dit komt tot uitdrukking in de opbouw en

structuur van de boeken. Elk boek bestaat uit een Activiteiten, een Bronnen en een geCijferdheidsdeel. Er zijn vier boeken: Hele getallen, Gebroken

getallen, Verhoudingen en procenten, Meten en meetkunde. Daarnaast hoort

er bij deze serie en bij de uitgave RekenWijzer (dat is gericht op rekenvaardigheid en elementaire gecijferdheid) de website www.paborekenen.nl.

In het Activiteitendeel staan allerlei ideeën om zelf mee aan het werk te gaan. Zo vind je er lesactiviteiten en onderzoeksopdrachten om in je

stagepraktijk uit te voeren, maar ook opdrachten waardoor je inzicht krijgt in bijvoorbeeld leerlijnen of een methode. Je vindt er drie invalshoeken: • Kinderen leren rekenen/wiskunde

• Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs

• Zorgverbreding rekenen/wiskunde

De icoontjes [+--], [++-] en [-++] geven een inschatting van de

moeilijkheidsgraad. [+--] staat voor opdrachten op het niveau

opleidingsbekwaam (de propedeuse), [++-] staat voor werkplekbekwaam (de hoofdfase) en [-++] staat voor startbekwaam (LIO). Hanteer deze aanduidingen niet te star, het zijn slechts indicaties.

Het Bronnendeel geeft informatie over vakdidactiek en leertheorie bij gebroken getallen. Je vindt hier antwoorden op vragen als:

• wat zijn specifieke moeilijkheden voor kinderen bij bijvoorbeeld kommagetallen?

• welke opbouw kan je aanbrengen?

• welke contexten en modellen zijn specifiek bruikbaar voor bijvoorbeeld breuken en hoe dan?

Ook vind je hier korte omschrijvingen van en verwijzingen naar allerlei

boeken, tijdschriften en materialen waar je goed gebruik van kunt maken.

Met het geCijferdheidsdeel kan je je eigen gecijferdheid verder ontwikkelen.

Hierin tref je allerlei uitdagende opgaven en problemen rondom gebroken getallen aan. Na elke opdracht lees je steeds verschillende aanpakken van pabostudenten. Hierop volgt dan meestal een reflectie van juf Marleen,

rekencoördinator op een basisschool. Dit deel is zeer geschikt om samen

met medestudenten door te werken, zowel in werkcolleges als daarbuiten.

Maar je kunt er natuurlijk ook individueel mee aan de slag.

Zonodig kan je bij het werken in deel C gebruik maken van het domein gebroken getallen uit het boek RekenWijzer.

In het boek wordt regelmatig verwezen naar de website www.paborekenen. nl. Hier vind je aanvullende zaken, zoals achtergronden van realistisch

reken-wiskundeonderwijs, informatie over de zorgverbredingscyclus bij

rekenen/wiskunde en instructie om te werken met MILE (de Multimediale

Interactieve LEeromgeving rekenen-wiskunde voor aanstaande leerkrachten basisonderwijs).

Rekenen/wiskunde is een mooi vakgebied en kinderen volgen en begeleiden in hun rekenwiskundige ontwikkeling is enorm fascinerend werk. We wensen je dan ook veel plezier toe bij het werken met dit boek!

De auteurs

1 Of hij, natuurlijk.

Voor docenten De studentgestuurde en competentiegerichte curricula, die veel pabo’s

kennen, maken de uitdaging om met studenten te werken aan rekenen-

wiskunde en didactiek alleen maar groter. In de serie Reken-wiskundedidactiek proberen we het goede van de actuele ontwikkelingen te combineren met het sterke van de opleidingsdidactiek in rekenen-wiskunde.

Het uitgangspunt ligt bij de student

Door de indeling in een Activiteiten, Bronnen en geCijferdheidsdeel is het

mogelijk vanuit verschillende ingangen te werk te gaan. De praktijkgerichte student kan starten vanuit het A-deel. Hierin zijn verwijzingen opgenomen naar het Bronnendeel, zodat de student toegang heeft tot benodigde

theoretische invalshoeken. Praktijk en theorie gaan zo hand in hand. Er zijn werk- en onderzoeksopdrachten opgenomen op verschillende niveaus:

opleidings-, werkplek- en startbekwaam. Studenten kunnen ook starten

vanuit theorie (B-deel) of gecijferdheid (C-deel). Het B-deel is zo geschreven dat de student toegang krijgt tot specifieke theoretische inzichten, maar is niet uitputtend. De docent als expert blijft onmisbaar.

Studenten kunnen zelfstandig (samen-)werken aan het C-deel, maar

problemen die hierin zijn opgenomen zijn ook geschikt voor mathematisch-

didactische practica. In het C-deel wordt waar nodig verwezen naar het A- en B-deel. Alle drie de delen zijn zo geschreven dat de student niet van voor tot achter hoeft te lezen, maar juist kris-kras door het boek kan bewegen. Deze flexibele structuur maakt het boek geschikt voor zowel meer studentgestuurde als meer aanbodgestuurde curricula.

Gecijferdheid en didactiek zijn onlosmakelijk verbonden

Reken-wiskundedidactiek, zeker bij een domein als gebroken getallen, kan niet zonder een behoorlijk niveau van gecijferdheid van de student. Met behulp van het boek RekenWijzer kan de student werken aan de eigen vaardigheid en elementaire gecijferdheid. In de delen Reken-

wiskundedidactiek gaan we een stap verder; hier mikken we op een

beduidend hoger niveau van gecijferdheid, mede in het licht van de didactiek.

Om dit te realiseren is gekozen voor de opbouw: 1. opdracht

2. aanpakken van studenten

3. reflectie door ‘juf Marleen’

Juf Marleen zorgt voor de broodnodige reflectie en koppeling met de

didactiek. Dankzij de tussenstap ‘studentenwerk’ worden studenten zonodig

ondersteund om tot dit niveau te kunnen komen. De rijke verzameling

problemen uit het C-deel kan overigens ook worden benut ten behoeve van instapproblemen voor colleges.

De verbinding met de didactiek komt verder tot uiting doordat in het B-deel velerlei voorbeelden en opgaven uit reken-wiskundemethodes zijn

opgenomen. Ook het A-deel bevat verschillende opdrachten met een

didactische inslag. Hier worden studenten aangespoord hun gecijferdheid in te zetten ten behoeve van hun stagepraktijk, bijvoorbeeld door eerst samen

verschillende oplossingsstrategieĂŤn op een rij te zetten als onderdeel van hun voorbereiding van een lesactiviteit.

Reflectie

Reflectie is onmisbaar bij rekenen-wiskunde, dat geldt zowel op de

basisschool als op de pabo. Reflectie ondersteunt alle leerprocessen die de

student doorloopt; van gecijferdheid via vakdidactische kennis tot het leren toepassen in de praktijk. In de uitgaven Reken-wiskundedidactiek wordt

reflectie ingezet op handelingsniveau – bijvoorbeeld bij het zelf oplossen van

reken-wiskundige problemen, maar ook op conceptueel niveau – bijvoorbeeld bij het evalueren van reken-wiskundeonderwijs.

Op de website www.paborekenen.nl vindt u een gedetailleerde verantwoording van onze keuzes.

Petra van den Brom-Snijders, Marc van Zanten en Jos van den Bergh

A Activiteiten-  deel

1 Kinderen leren rekenen/wiskunde Kinderen kunnen je soms enorm verrassen, met originele maar logische vondsten.

8 Voorbeeld Schrijf een getal op

groter dan 3,9 maar kleiner dan 4

3,10

•••••••

groter dan 6 maar kleiner dan 6,1

6,​​_1​​

• • •2 ••••••

groter dan 8,9 maar kleiner dan 8,15

8,10

•••••••

M.A. van Zanten, Over komma’s en getallen, 1994

Zoals je ziet wordt op de vraag ‘Schrijf een getal op groter dan 6 maar kleiner dan 6,1’ door een leerling het antwoord 6, _21 gegeven. Een erg logische

gedachte, als je iets weet van breuken, maar nog niet thuis bent in het systeem van decimale breuken.

2

8 1.1

Met kinderen in gesprek

Laat je verrassen door de creatieve vondsten van kinderen door met ze in

A1

gesprek te gaan. De volgende activiteiten geven daar enkele suggesties voor.

1.1.1 Interview

Wat zijn breuken voor kinderen? Denken ze meteen aan getallen? In de huidige didactiek van breuken en kommagetallen staat begripsvorming centraal.

Hierover vind je meer in B 1.1, B 1,2 en B 3.1.2.

Om erachter te komen wat breuken voor kinderen betekenen kun je de vraag

Kinderen leren rekenen / wiskunde

Geniet van de mooie opmerkingen!

‘Wat zijn breuken?’ aan ze stellen. Een vervolgvraag kan zijn: ‘Kun je een breuk opschrijven?’ Vervolgens zou je ze een eenvoudige breuk kunnen

voorleggen, bijvoorbeeld _21 , en vragen wat dat betekent. Misschien kunnen ze ook een breuk voor je tekenen. Hoeveel krijg je als je een taart met vier 25

_ 2 personen deelt? Wat betekent _21 liter? Is __ 4 ook een breuk? En 3 3 ?

Je kunt ook een gesprek aangaan over kommagetallen. Wat stellen ze zich daarbij voor? Laat ze eens een kommagetal opschrijven. Waar komen ze

deze getallen tegen? Is € 1,20 ook een kommagetal? Welk getal komt er na conceptueel niveau

1,8? En na 2,9?

Kortom, ga op conceptueel niveau met kinderen in gesprek over breuken en kommagetallen. ‘Op conceptueel niveau’ wil zeggen dat je op onderzoek

uitgaat naar de betekenis die kinderen toekennen aan het begrip breuken en kommagetallen. Vandaar de vragen: ‘Wat zijn breuken?’, ‘Kun je een

breuk opschrijven?’ enzovoort. Het gesprek kun je houden met kinderen uit groep 5 en 6, maar ook met kinderen uit groep 7.

Wanneer je dit gesprek aangaat met kinderen van verschillende leeftijden, maar ook wanneer je dit doet met kinderen van dezelfde leeftijd, zul je

merken dat je uiteenlopende antwoorden krijgt. Kinderen construeren een

eigen betekenis bij een begrip. Als ze eenmaal een betekenis aan een begrip hebben toegekend zullen ze die regelmatig bijstellen en zo op een hoger niveau brengen.

Het is ook aardig om zo’n gesprek aan te gaan met een groepje kinderen.

Laat ze dan vooral op elkaar reageren. Door de interactie die ontstaat zul je merken dat kinderen ook van elkaar kunnen leren en samen op nieuwe ideeën kunnen komen.

3

1.1.2 Zelf opgaven maken en analyseren

Breukenopgaven en opgaven met kommagetallen worden door kinderen

regelmatig als lastig ervaren. In deze paragraaf zul je aan de slag gaan met zaken als: Wat zijn de moeilijke stappen? Hoe kijken wij daar tegenaan en hoe kijken de kinderen daar tegenaan?

Diverse breukenopgaven

PPON 13, Alles Telt, leerlingenboek, groep 7

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 3

PPON 13,

PPON 13,

Balans van het reken-wiskundeonderwijs Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 3

aan het einde van de basisschool 3

Hoe pak jij deze opgaven aan? Tip: maak deze opgaven ook even echt op papier, met je denkstappen erbij.

Hoe zouden kinderen het doen? Tegen welke moeilijkheden zouden zij kunnen aanlopen? Als je erachter wilt komen hoe kinderen het daadwerkelijk doen kun je ze de opgave voorleggen. Deze eerste opgave is bedoeld voor kinderen die in groep 7 zitten, in de eerste helft van het jaar, dus probeer

hem maar eens bij hen uit. Het is ook leuk om de opgave voor te leggen aan kinderen in groep 8, dan kun je hun aanpak vergelijken met de aanpak van de kinderen uit groep 7.

De andere opgaven komen uit een peilingsonderzoek om het rekenniveau aan het eind van de basisschool vast te stellen. Die opgaven zijn dus

bedoeld voor kinderen in groep 8. Maar natuurlijk kun je ze ook voorleggen informele strategieën 4

aan kinderen in groep 7, om te kijken hoe zij deze opgaven aanpakken; wellicht passen zij informele strategieën toe.

Deelopgaven met kommagetallen

Hoe maak jij de opgave € 2,80 : 4? En de opgave 2,8 liter : 4? En 2,8 : 4?

Mogelijk heb je een verschil in aanpak opgemerkt. Hoe zouden kinderen dit doen? Je kunt deze opgaven voorleggen aan kinderen uit groep 7 en 8. Om

A1

te voorkomen dat de eerste oplossing de strategie bij het oplossen van de

lende dagen, of op verschillende plekken op een werkblad aanbieden, waarbij ook nog wat andere opgaven staan. Laat de kinderen hardop vertellen

hoe ze de opgaven aanpakken, dan ben jij goed in staat om hun oplossingsmanier te volgen.

Kun je het verschil in aanpak tussen de opgave € 2,80 : 4 en 2,8 : 4 verklaren?

In B 3.3 vind je hierover meer.

1.1.3 Wat kunnen en begrijpen kinderen?

Een experiment, één opgave of drie opgaven? context

model

Kinderen leren rekenen / wiskunde

andere opgaven beïnvloedt kun je de opgaven verspreiden over verschil-

De opgave 3 : _21 kun je op verschillende niveaus van abstractie tegenkomen.

Wanneer je de opgave in een context plaatst kun je denken aan: ‘Vader

heeft 3 liter limonade aangemaakt. Hij wil het meenemen voor de picknick in flesjes van _21 liter. Hoeveel flesjes kan vader vullen met limonade?’.

A ls je een model gebruikt, bijvoorbeeld het strookmodel, kun je denken aan de volgende opgave:

Hoeveel halve stroken kun je knippen?

Ook zou je de getallenlijn als model kunnen gebruiken. Je krijgt dan bijvoor-

beeld de opgave: Hoe vaak past _21 in 3?

1 2

0

1

2

3

Meer informatie over diverse modellen die bij het rekenen met breuken gebruikt worden kun je lezen in B 1.3.

formeel

Natuurlijk kun je de opgave ook formeel tegenkomen, dus 3 : _21 =

5

Onderzoek eens de reactie van kinderen bij deze opgaven, die van elkaar lijken te verschillen, maar wiskundig gezien hetzelfde zijn. Je kunt ze eerst de

formele opgave voorleggen, daarna het model en tot slot de contextsituatie.

Maar je kunt daarin natuurlijk ook variëren. Je legt dan bijvoorbeeld bij het ene kind eerst de formele opgave voor, maar bij het andere kind eerst de

contextopgave enzovoort. Je kunt de opgaven voorleggen aan goede reke-

naars, maar ook aan een zwakke en een ‘gemiddelde’ rekenaar. (Gemiddeld

staat hier tussen aanhalingstekens, omdat de gemiddelde leerling natuurlijk niet bestaat).

In reken-wiskundemethodes komen eveneens opgaven op verschillende abstractieniveaus

niveaus van abstractie voor. Ga eens op zoek naar opgaven met dezelfde

wiskundige inhoud, maar van verschillende abstractieniveaus. Leg ook deze

voor aan verschillende kinderen.

Wat valt je op? Welke consequenties hebben de geconstateerde verschillen voor je onderwijs?

Informatie over contexten en modellen bij breuken en kommagetallen kun je lezen in met name B 1.3 (breuken) en B 3.3 (kommagetallen).

Diverse links naar methodesites kun je vinden op www.paborekenen.nl.

Een toets maken

Toetsen geven je onder meer een beeld van wat kinderen begrijpen en kunnen.

Om te onderzoeken wat kinderen begrijpen op het gebied van breuken

nodigen we je uit om een toetsje samen te stellen en die aan een aantal kinderen voor te leggen. breukbegrip

Een mogelijke werkwijze is om eerst in het bronnendeel te lezen wat

precies met breukbegrip wordt bedoeld, en dan zelf een aantal opgaven te bedenken.

Informatie over breukbegrip kun je vinden in B 1.1 en 1.2.

Je kunt ook kijken in methodes en op websites van methodes. Vraag je, aan

de hand van de informatie, die je in het bronnendeel over breukbegrip vindt af welke opgaven breukbegrip toetsen. Op basis daarvan kies je een aantal opgaven, of pas je opgaven aan. Je kunt dit natuurlijk ook aanvullen met eigen opgaven.

Het doel is dat je uiteindelijk een toets hebt waarmee je een beeld krijgt van het breukbegrip van kinderen. Het wordt nog interessanter wanneer je dit

toetsje voorlegt aan kinderen van uiteenlopende niveaus of uit verschillende groepen (groep 6 tot en met 8).

8 1.2

Dagelijks leven en gebroken getallen 1.2.1 Breuken en kommagetallen in het dagelijks leven

Verzameling van gebroken getallen

Als je een reclamefolder openslaat zie je allemaal prijzen van artikelen. Op

het journaal hoor je dat de regering voor 1,2 miljard euro moet bezuinigen.

Dit zijn voorbeelden van kommagetallen in het dagelijks leven.

verschijningsvormen Om greep te krijgen op de verschijningsvormen van breuken en kommagetallen ga je op ontdekkingstocht naar breuken en kommagetallen in je leven

van alledag. Verschillen en overeenkomsten tussen breuken en kommage-

Kinderen leren rekenen / wiskunde

A1

tallen zullen niet onopgemerkt aan je voorbij gaan.

Bedenk eens waar je kommagetallen en breuken tegenkomt. Noteer dit voor jezelf.

Ga vervolgens op onderzoek uit. Een werkwijze is om in een bepaalde peri-

ode (bijvoorbeeld een week) alles te noteren wat je tegenkomt aan kommagetallen en breuken. Wees alert wanneer je de krant leest, op de fiets zit,

met de trein gaat, in de kroeg zit… Je kunt zelfs een verzameling aanleggen met concreet materiaal.

Wat valt je op als je de opbrengst van je onderzoek bekijkt? Welke overeenkomsten zie je tussen de verschijningsvormen van breuken en de verschij-

ningsvormen van kommagetallen in het dagelijks leven? En welke verschillen?

Bekijk nu één of meerdere reken-wiskundemethodes. Wat zie je van je ontdekkingstocht terug in de methodes?

Deze activiteit kun je natuurlijk ook met kinderen in de praktijk uitvoeren, zie A 2.2.1 ‘Muurkrant’.

Informatie over verschijningsvormen van breuken en kommagetallen kun je lezen in B 1.2 (breuken) en B 3.2 (kommagetallen).

In de krant

Breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten worden in het dagelijks leven door elkaar gehanteerd, bijvoorbeeld in artikelen op internet en in de krant. Vaak worden ze gebruikt om getalsmatige gegevens weer te

7

geven. Maar er zitten regelmatig haken en ogen aan de interpretaties van die getalsmatige gegevens.

Op www.paborekenen.nl vind je een artikel van Sormani (2005) getiteld ‘Procenten op het spoor’. In dit artikel laat Sormani naar aanleiding van krantenberichten zien dat ze bij de NS graag rekenen met percentages.

Zoek eens een krantenbericht waarin getallen voorkomen. Arceer de getallen, of noteer ze op een blaadje. Wat valt je op als je naar de getallen kijkt? Zijn

het grote getallen, gaat het om verhoudingen, om breuken, om procenten?

Zijn het precieze getallen, of schattingen?

Vervolgens kun je de getallen wat specifieker analyseren. In welke situatie is er gekozen voor een mooi rond getal (afgerond) en wanneer is er gekozen voor een precies getal (wellicht met cijfers achter de komma)? Maakt het iets uit of de journalist een afgerond getal gebruikt of een precies getal?

Gaat het om absolute of relatieve aantallen? In welke situatie is er gekozen voor een breuk, en wanneer voor een percentage of een verhouding? Is de keuze van de journalist een willekeurige, of maakt het hier uit of je een breuk gebruikt in plaats van een percentage of andersom?

Het gebeurt regelmatig dat er op basis van de getallen in een krantenbe-

richt door een journalist een verkeerde conclusie getrokken wordt. Kun je de journalist van het door jou gekozen artikel daarop betrappen of is zijn conclusie correct?

Deze activiteit kun je natuurlijk ook heel goed met kinderen in groep 7 of

groep 8 uitvoeren. Zorg dan dat je vooraf helder voor ogen hebt welk aspect

je in ieder geval wilt behandelen, want er valt heel veel te rekenen naar aanleiding van een krantenbericht.

In B 2.2 wordt onder andere ingegaan op verhoudingen als onderliggende verschijningsvorm van breuken en procenten, het absolute en relatieve karakter van getallen en gegevens, en hoe je kinderen daarop greep kunt laten krijgen (welke modellen daarvoor geschikt zijn enzovoort).

8

8 1.3

Schooltaal en gebroken getallen

A1

1.3.1 Leuk en leerzaam

kencirkels tot minipizza’s’ van Rijkje Dekker te lezen. Hier volgt een deel uit

dat artikel.

(…)

Minipizza’s in de bovenbouw

‘Dit is véél leuker dan werken’, zegt Clara enthousiast, terwijl ze met de

schaar uit een gele, kartonnen namaakpizza heel precies een kwart knipt en aan mij geeft. We zijn met z’n vieren bezig drie minipizza’s eerlijk te verdelen. Clara, Koen en Daniël hebben elk een hele pizza genomen en

geven mij nu een kwart. Dan hebben we ieder driekwart pizza. ‘Maar dit

Kinderen leren rekenen / wiskunde

In Willem Bartjens (2003) jaargang 22, nummer 4 is het artikel ‘Van breu-

is toch ook werken?’ protesteer ik. ‘Ja, maar bij werken in de klas moet je stil zijn en nu mag je praten en knippen, legt Clara uit.

Op woensdagochtend ben ik als rekenouder met telkens drie andere zesdegroepers uit de bovenbouwklassen bezig de breuken op een speelse manier inzichtelijk te maken. (…) (…)

De leeropbrengst

Drie verschillende manieren om 3 pizza’s eerlijk over 4 personen te verdelen. Drie manieren die uitgedrukt kunnen worden in drie verschillende 3

breukensommetjes, waar aldoor –4 uitkomt. Het is frappant om te zien

hoe de kinderen al doende en in discussie met elkaar, aangestuurd door

de gespeelde situaties, zelf de verschillende verdelingen voorstellen en in

sommetjes weten uit te drukken. (…) En Clara geeft maar liefst alle verdelingen in haar tekening weer en telt tot slot ook nog alles bij elkaar op.

Weer een nieuw breukensommetje!

En verder

Enerverend, zo’n opdracht, en mooi om te zien hoe enthousiast de leerlingen overleggen en echt werk van hun werkstuk maken. Ik bundel ze voor het groepje tot een boekje om mee naar huis te nemen. Dan kunnen ze daar ook nog levensecht met de ouders oefenen. Ik geef ze het idee om

thuis eens uit te zoeken hoe je twee pizza’s eerlijk met drie personen kunt verdelen. (…)

In bovenstaande activiteit worden drie pizza’s eerlijk verdeeld over vier personen. De leerlingen vinden drie manieren. Kun jij er ook drie bedenken?

Probeer of je deze manieren kunt tekenen (zoals ook Clara gedaan heeft).

Welke breukensommen horen daarbij?

Tot slot krijgen de leerlingen een opdracht mee naar huis waarmee ze met hun ouders aan de slag kunnen. Welke manieren kun jij vinden om twee pizza’s met drie personen eerlijk te verdelen?

Enthousiast geworden? Veel plezier in de praktijk om rekenen leuk te maken!

Het artikel ‘Van breukencirkels tot minipizza’s’ is te vinden op www.paborekenen.nl.

In A 2 kun je nog diverse activiteiten vinden gericht op het verzorgen van een rekenles over breuken of kommagetallen, met of zonder een methode.

Informatie over het gebruik van contexten en modellen bij breuken kun je met name vinden in B 1.3.

Het artikel ‘Van breukencirkels tot minipizza’s’ beschrijft een rekenactiviteit van een ouder die enthousiast is over het realistisch reken-wiskundeonderwijs. De school waar deze activiteit plaatsvindt is een Montessorischool. zie www.paborekenen.nl

Welke principes van het realistisch rekenen herken jij in dit artikel? Wat is het probleem dat deze ouder ervaart in relatie tot de manier van werken in het Montessorionderwijs?

De uitgangspunten van realistisch reken-wiskundeonderwijs kun je vinden op www.paborekenen.nl.

Informatie over Maria Montessori en de Montessorimethode en -materialen kun je onder andere vinden op www.montessori.nl.

In JSW, jaargang 90, nummer 2, oktober 2005 wordt in het kader van een serie over onderwijsconcepten het Montessorionderwijs besproken in het artikel ‘Zelfstandigheid en vrijheid binnen kaders’.

10

1.3.2 De methode Een methode nader bekeken

Er zijn heel wat methodes op het gebied van rekenen-wiskunde in gebruik, zoals Alles telt, Pluspunt, Rekenrijk, Talrijk, Wereld in Getallen en Wis en

A1

reken.

Bekijk eens een methode. Het is handig om de methode van je stageschool te kiezen, zodat je daar wat meer in thuis raakt. Kijk gericht naar de opdrachten met breuken en kommagetallen. Wat valt je op als je de boekjes van groep 6 bekijkt? Vergelijk dat eens met de boekjes van groep 8.

Je kunt ook gericht kijken naar het gebruik van materialen, contexten en

modellen. Welke materialen en contexten worden gebruikt bij de breukenopgaven? En bij de opgaven met kommagetallen? Het is handig om twee lijstjes aan te leggen, zodat je goed de overeenkomende en verschillende materialen en contexten kunt zien.

Hoe ondersteunt de context de leerlingen bij het oplossen van de breukenopgaven? En bij het oplossen van de opgaven met kommagetallen?

Kinderen leren rekenen / wiskunde

Naast materialen en contexten zie je ook veel modellen in methodes.

Maak een lijstje van modellen die je tegenkomt bij breukenopgaven en maak ook zo’n lijstje voor kommagetallen. Heeft elk model hetzelfde effect?

Informatie over contexten en modellen bij breuken en kommagetallen kun je lezen in met name B 1.3 (breuken) en B 3.3 (kommagetallen).

Software

Diverse methodes hebben bijbehorende software. Soms is er zelfs software gemaakt waarmee kinderen thuis aan de slag kunnen met rekenen, en die tevens past bij de methode op school. Daarnaast bestaat er methodeonafhankelijke software. Je kunt daarbij denken aan de spelletjes die je in de boekhandel en speelgoedwinkel vindt, maar ook aan websites, zoals het rekenweb.

www.rekenweb.nl

Probeer software te vinden met (een aantal) oefeningen speciaal voor breuken. Je kunt natuurlijk in de mediatheek op zoek gaan naar cd-roms, maar ook op internet zijn diverse interactieve spelletjes te vinden.

11

Een paar gerichte tips: Oefeningen met breuken kun je onder andere vinden op www.rekenweb.nl, bijvoorbeeld de spelletjes ‘eerlijk verdelen’, ‘rekenen met stroken’, ‘blauwe machine’.

Verder kun je de software bij de diverse reken-wiskundemethodes bekijken. De website www.allestelt.nl bij de methode ‘Alles telt’ heeft ook diverse oefeningen met breuken als onderwerp.

Eerlijk verdelen.

Als je software gevonden hebt, is het goed om daar kritisch naar te kijken.

Kun je de oefeningen met betrekking tot breuken inzetten voor speciale

rekenproblemen met breuken? Of is het een automatiseringsoefening, als

variant op alle schriftelijke oefeningen? Kijk eens naar de steun die leerlin-

gen krijgen van de contexten en door het gebruik van modellen. Welke software of welk onderdeel zou je willen inzetten in je onderwijs en waarom?

Hoe je nu in de praktijk aan de slag gaat met een methode, kun je vinden in A 2.

Daar vind je activiteiten die te maken hebben met het observeren en geven van methodelessen.

Kerndoelen, leerlijnen, leergangen en tussendoelen

De woorden ‘kerndoelen’, ‘leerlijnen’, ‘leergangen’ … je hoort ze vaak, maar

kerndoelen leerlijnen

leergangen

wat houden ze nu precies in? In het kort wordt het volgende onder deze

begrippen verstaan. Kerndoelen geven richting aan het onderwijs. Ze geven globaal aan wat een leerling moet kennen en kunnen aan het eind van de

basisschool. Leerlijnen geven een overzicht van het leerproces zodanig dat

de kerndoelen bereikt kunnen worden. ‘Leerlijnenbeschrijvingen geven niet alleen aan waarnaar gestreefd moet worden, maar beschrijven ook het

12

tussendoelen

proces ernaartoe en de markeringspunten die hierbij te onderscheiden zijn’ ( Van den Heuvel – Panhuizen e.a., 2001). Tussendoelen zijn cruciale

leerstappen die leerlingen maken op zo’n leerlijn. ‘Ze vormen een verdere

uitwerking van en aanvulling op de al eerder vastgestelde kerndoelen voor

A1

het vak rekenen-wiskunde. Essentieel voor de beschrijving van de

op de weg naar een kerndoel, ‘die gekoppeld zijn aan verschillende niveaus van denken en handelen’ (Van den Heuvel-Panhuizen e.a., 2001). Bij het

ontwikkelen van een methode maken de methodemakers diverse keuzes leergang

met betrekking tot hoe je kinderen kunt stimuleren in hun ontwikkeling om de leerlijn te realiseren. Hiermee ontstaat een leergang.

Wat zijn de kerndoelen voor het reken-wiskundeonderwijs? Wat moeten de

leerlingen aan het eind van de basisschool kennen en kunnen op het gebied van breuken en kommagetallen? www.minocw.nl/kerndoelen

Kinderen leren rekenen / wiskunde

tussendoelen is dat deze zijn ingebed in een leerlijn’. Het zijn markeringen

Leerlingen verschillen in hun ontwikkeling. Ook op het gebied van rekenenwiskunde. Hoe gaat je mentor daarmee om in het licht van de kerndoelen?

Hoe zou jij daarmee om willen gaan? Wat vindt de overheid?

In de handleiding van een methode staat vaak dat de kerndoelen erin verwerkt zijn.

De wereld in getallen, handleiding, groep 4

13

Bekijk eens een methode, bijvoorbeeld de reken-wiskundemethode die op je stageschool gebruikt wordt. Kijk gericht naar de lessen en opdrachten over

breuken en kommagetallen. Welke kerndoelen van de door jou bestudeerde methode sluiten hierbij aan? In de illustratie hieronder zie je een voorbeeld uit het gebruikersbulletin (nummer 5) bij de methode Pluspunt. In dit gebruikersbulletin is weergegeven hoe de kerndoelen in de methode Pluspunt terugkomen.

Pluspunt Gebruikersbulletin, nr 5

14

Kies een methode en bekijk daarvan de handleidingen van groep 6, 7 en 8, of de groepsmap. Bekijk de leergang van breuken of kommagetallen die is uitgezet. Probeer in je eigen woorden te beschrijven welke stappen er genomen worden. Wat valt je op als je dit vergelijkt met hoe je zelf hebt leren

A1

rekenen met breuken of kommagetallen? concreet niveau

genomen worden van concreet niveau via modelondersteund niveau

niveau

waarin een essentiële leerstap wordt gezet.

modelondersteund-

formeel niveau

naar formeel niveau. Zoek ook voorbeelden van opgaven in deze methode

Vergelijk de leergangen van breuken en van kommagetallen die zijn

uitgezet. Waar zitten overeenkomsten en waar zitten verschillen? Welke

consequenties heeft dit voor je onderwijs? Welke rekenvaardigheden heb je nodig om met breuken en kommagetallen aan de slag te gaan? Zie je al voorwerk in de onderbouw?

Tip: ga eens bij groep 1-2 kijken of je daar al iets van breuken en

kommagetallen tegenkomt. Datzelfde kun je doen in groep 3 en 4.

Welke principes van de realistische reken-wiskundedidactiek herken je in de

Kinderen leren rekenen / wiskunde

Analyseer de leergang die is uitgezet. Beschrijf in detail de stappen die

leerlijnen? Geef een concreet voorbeeld. Waar begint de leerlijn procenten?

Welk inzicht en begrip van breuken heeft een kind nodig om hiermee te

starten? En welke rol spelen kommagetallen in de leerlijn procenten? Hoe zit dat met de leerlijn verhoudingen? Op welk moment begint de

kennismaking hiermee? Welk inzicht en begrip van breuken speelt een rol bij het begrip van verhoudingen?

Informatie over essentiële stappen in de leerlijn breuken kun je vinden in B 1.

Informatie over essentiële stappen in de leerlijn kommagetallen kun je vinden in B 3.

Informatie over de principes van de realistische reken-wiskundedidactiek kun je vinden op www.paborekenen.nl.

1.3.3 Opgaven nader bekeken

Opgaven uit verschillende methodes vergelijken

Een opgave die je veel in methodes tegenkomt is: Wat is meer? In de onderbouw wordt dan bijvoorbeeld gevraagd: Wat is meer, 89 of 98? Maar ook in de bovenbouw vind je deze vraag terug, zeker als het gaat om breuken en kommagetallen.

Alles telt, leerlingenboek, groep 7

15

Alles telt, leerlingenboek, groep 7

Rekenrijk, leerlingenboek, groep 7

Rekenrijk, leerlingenboek, groep 6

Wis en Reken, leerlingenboek, groep 8

Rekenrijk, leerlingenboek, groep 6

1

Rekenrijk, leerlingenboek, groep 7

A1 Alles telt, leerlingenboek, groep 6

dezelfde opgaven. Er wordt een vraag gesteld die steeds neerkomt op: Wat is meer? Om de opgave op te lossen moeten, wiskundig gezien, eerst de breuken gelijknamig gemaakt worden. Maar kinderen zullen de opgaven niet

altijd op dit formele niveau oplossen. Hoe kunnen ze deze opgaven dan aanpakken?

Welke oplossingsmanieren verwacht je hierbij van leerlingen in groep 6 en

7? Welke contexten en modellen helpen hen hierbij? Probeer te verwoorden

hoe de context of het model de strategieontwikkeling van de leerlingen kan ondersteunen. Welke verschillende verschijningsvormen van breuken herken je in de opgaven?

Kinderen leren rekenen / wiskunde

Bekijk bovenstaande opgaven. Op het eerste gezicht zijn het allemaal

Kun je nu zeggen welke opgave vooral contextgebonden handelen en redeneren uitlokt en welke opgaven vooral modelondersteund handelen en redeneren uitlokken?

Bij welke opgaven worden de leerlingen alleen aangesproken op formeel niveau? Welk model of welke modellen zou je leerlingen aanreiken als ze

deze opgaven op formeel niveau niet kunnen oplossen? Probeer te verwoorden hoe je tot de keuze van een bepaald model bent gekomen.

In B 1.1.2 kun je opzoeken welke verschijningsvormen van breuken gebruikt worden om het breukbegrip inhoud te geven.

In B 1.2 vind je informatie over contextgebonden handelen en redeneren bij breuken en in B 1.3 kun je verder lezen over modelondersteund handelen en redeneren bij breuken. Formeel handelen en redeneren komt terug in B 1.4.

In de Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) wordt ééns in de vijf jaar gekeken hoe kinderen halverwege en aan het eind van de basis-

school rekenen. Op die manier kun je goed vergelijken welke opgaven kinderen kunnen oplossen en hoe dat samenhangt met het onderwijs. Deze

opgaven kun je natuurlijk heel mooi analyseren: wat zijn verwachte knelpunten in de opgaven, en hoe lossen kinderen ze daadwerkelijk op?

In A 3.1.1 vind je een activiteit die gaat over het analyseren van opgaven en oplossingen gebaseerd op opgaven uit PPON 1997.

17

2 Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs Breuken ’k Heb de pest aan breuken, zie je, ’t zal de associatie zijn met fataal alpineskiën en zeer kwetsbaar porselein.

Breuken krijg je van het tillen en ik moet in elk geval moeite doen om niet te gillen bij een breuk in een getal. ’t Is de schuld van meester Jansen.

Die vindt breuken reuzenfijn.

Die gaat juichen, joelen, dansen, als ze repeterend zijn.

En dat enthousiasme zit me Soms tot hier. Zoals die dag toen hij weer dat algoritme van Euclides voor zich zag.

Met dat trucje vind je sneller een getal, dat is het punt, waar je noemer en ook teller allebei door delen kunt.

Toen die deler was gevonden, deed hij zo gestoord, ojee, zo verhit en opgewonden, ‘k belde snel de g.g.d.!

Drs. P & Marjolein Kool, Wis- en natuurlyriek, Nijgh & Van Ditmar, 2004

18

8 2.1 Methodelessen 2.1.1 Observeren van methodeles

Op www.paborekenen.nl vind je een videofragment van 86 x 42 schatten van

ook op www.paborekenen.nl te vinden.

Neem de handleiding en de taak uit ‘De wereld in getallen’ erbij. Sta even stil bij hoe jij deze les zou willen geven. Denk daarbij aan de volgende vragen: Hoe ga je de opdrachten introduceren? Op welk moment zijn de kinderen zelfstandig aan het werk? Wanneer bespreek je opgaven? Welke opgaven

kies je dan voor een bespreking? Hoe denk je dat de leerlingen ze oplossen?

En welke knelpunten verwacht je?

En dan de praktijk. Bekijk fragment 1. Dit is het moment waarop de leer-

kracht begint met de bekers die hij op het bord heeft staan. Hij vraagt aan

de leerlingen wat het zijn en hoeveel erin zit. Stop het fragment na de introductie (bij tijdstip 24.02). Welke verschijningsvorm van breuken wordt hier gebruikt?

Wil je meer weten over verschijningsvormen bij breuken, kijk dan in B 1.2.

Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs

een les die gegeven is in groep 8, met behulp van de methode ‘De wereld in getallen’. De bijhorende taak van die methode, inclusief de handleiding, is

A2

Wat denk je dat de formele opgave is die de leerlingen eigenlijk moeten uitrekenen? Welke oplossingen verwacht je van de leerlingen?

Je bent in de gelegenheid om het leerkrachtgedrag heel precies te observeren. Wat zijn aspecten die je graag van deze leerkracht zou willen overnemen uit het stukje dat je nu bekeken hebt?

Ben je nieuwsgierig geworden naar hoe de leerlingen deze opgave oplossen? Kijk dan fragment 2; in dit stuk wordt de opgave besproken. Welke

oplossingen van de leerlingen zie je? Komt dat overeen met wat je vooraf bedacht had? Welke formele opgaven zijn er gemaakt?

Als je dit stukje van de les moet typeren met een niveau, is er dan met name sprake van contextgebonden handelen en redeneren, modelondersteund

handelen en redeneren of formeel handelen en redeneren? Beargumenteer je keuze.

Je kunt hiervoor gebruik maken van de theorie die beschreven staat in B 1.2 tot en met B 1.4.

19

handelingsrepertoire

Welk handelen van de leerkracht zou je willen toevoegen aan je eigen

handelingsrepertoire? En wat zou je anders doen? Geef aan hoe jij het dan zou willen aanpakken.

Een onderdeel dat je vaak terugziet in een les is dat leerlingen zelfstandig

de stof aan het verwerken zijn, terwijl de leerkracht een rondje door de klas loopt en hulp biedt aan de leerlingen die dat nodig hebben. Ook dit

onderdeel is te vinden in het videofragment. Bekijk fragment 3. Je ziet een

stukje waarin de leerkracht een leerling gaat helpen. Wat heeft de leerling

van deze hulp geleerd? Stel dat je in de gelegenheid bent om de leerkracht feedback te geven, welke feedback zou je dan geven? Onderbouw dit met

argumenten, waarbij je gebruik maakt van de theorie van realistisch rekenwiskundeonderwijs en / of de theorie van de breukendidactiek.

In B 1 vind je informatie over de breukendidactiek.

Op www.paborekenen.nl vind je de uitgangspunten van realistisch rekenwiskundeonderwijs.

2.1.2 Met de methode lesgeven Een methodeles geven

Kies een les uit een methode over breuken of kommagetallen die je van plan bent in de praktijk te geven (bijvoorbeeld omdat die les op het programma staat, je begeleider heeft gevraagd of je die les wilt geven, of omdat die les je aanspreekt). Bekijk de les grondig, door zowel het leerlingenboek als de

handleiding te bestuderen. Om echt te doorgronden welke stappen van de leerlingen verwacht worden, moet je eigenlijk de opgaven zelf ook even

maken en kijken naar de voorgaande lessen over dit onderwerp. Hieronder zie je enkele vragen die je kunnen helpen bij je voorbereidingen.

• Wat kunnen de leerlingen leren in deze les?

• Gaat het om begripsvorming, om ordenen en vergelijken en / of om de

hoofdbewerkingen?

• Welke moeilijkheden verwacht je?

Om de moeilijkheden goed in te schatten kun je meer lezen over begripsvorming in B 1.2 (breuken) en B 3.2.1 (kommagetallen). Over ordenen en vergelijken kun je met name informatie vinden in B 1.3 (breuken) en B 3.2.2 (kommagetallen). Tot slot, over de hoofdbewerkingen kun je meer uitleg vinden in B 1.4 (breuken) en B 3.3 (kommagetallen).

20

• Hoe denk je dat de leerlingen de opgaven zullen aanpakken?

• Welk materiaal ga je bij deze les gebruiken?

• Is het materiaal er vooral op gericht het aantrekkelijk te maken voor de leerlingen of helpt het ze ook bij het oplossen van de opgaven?

A2

• Welke contexten en / of modellen worden gebruikt? Hoe kun je deze con-

Ben je met een les breuken bezig dan kun je meer informatie vinden over de stap van contextgebonden naar modelondersteund handelen in B 1.3. Als je les gaat over kommagetallen dan kun je in B 3.2 meer informatie vinden.

• Hoe ga je na of je doel van de les behaald is?

Probeer zoveel mogelijk vragen te beantwoorden. Daarnaast heb je waar-

schijnlijk ook nog eigen aandachtspunten. Met deze grondige voorbereiding kom je goed beslagen ten ijs. Maar wees niet verbaasd als je les toch anders loopt dan gepland. Kinderen kunnen je immers enorm verrassen met hun reacties.

Als je de les gegeven hebt is het handig om die na te bespreken met je begeleider. Dit kun je doen aan de hand van de vragen die je hebt gebruikt bij je

Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs

texten en / of modellen inzetten?

voorbereiding. Probeer aan te geven wat het geven van deze les, inclusief de reflectie

voorbereiding, je aan kennis, vaardigheden en inzichten heeft opgeleverd

(reflectie op het kunnen verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs).

Reflecteren reflecteren

Reflecteren ontstaat doordat je stil staat bij je eigen aanpak, je eigen keuzes, en je eigen handelingsrepertoire. Dit kan komen doordat je aan het denken gezet wordt door het commentaar van anderen, doordat je een andere benadering hoort van een ander, doordat je een discussie hebt

met anderen, of doordat je jezelf een aantal kritische vragen stelt over je eigen handelen.

Door jezelf als het ware een spiegel voor te houden, krijg je inzicht in je

kwaliteiten en beperkingen. Reflectie leidt vaak tot een herziene, of aan-

gescherpte aanpak van handelen, of tot het formuleren van je eigen leervragen. Op basis van die leervragen kun je gericht werken aan je eigen ontwikkelingsproces.

21

Methodeles breuken Op de website www.paborekenen.nl zijn twee lessen uit de methode ‘Alles telt’ over breuken te vinden. Een leerkrachtgebonden les en een zelfstandig-werkles.

stambreuken veelvouden

Het zijn lessen waarin volgens de handleiding aandacht besteed wordt aan stambreuken en veelvouden. Stambreuken zijn breuken met een teller

__ 1 2 die gelijk is aan 1, zoals _21 en __41 , maar ook __ 20 . Met veelvouden wordt bedoeld 4 , 6 6 of _25 . Zo is __ een veelvoud van __1 . Ook wordt er ingegaan op het maar ook __ 8

8

vergelijken van breuken (ordenen).

8

Alles telt, leerlingenboek, groep 7

Stel dat je les 11, de leerkrachtgebonden les, zou geven. Bestudeer de handleiding, het leerlingenboek en het werkschrift. Welke opgaven zijn interessant voor de betere leerlingen? Welke opgaven moeten de zwakkere leerlingen

zeker maken? Hoe ondersteun je de opgaven voor de zwakkere leerlingen; wat heb je achter de hand?

Het gebeurt natuurlijk regelmatig dat er leerlingen eerder klaar zijn. Waar vind je aanvullend materiaal of opgaven voor hen? Zoek naar opgaven en materialen die aansluiten bij de inhoud van deze les. Je kunt daarvoor op

www.rekenweb.nl kijken, de website www.allestelt.nl raadplegen of eens speuren in diverse methodes en vaktijdschriften.

Een hulpmiddel hierbij kan het bronnenoverzicht zijn dat je kunt vinden in B 4.

22

De methode ‘Alles telt’ heeft een ‘Maatschrift’ voor de allerzwakste leerlingen die stuctureel uitvallen. Deze leerlingen volgen een zogeheten ‘speciaal pro-

gramma’. Op de website www.paborekenen.nl is te vinden wat deze leerlingen in hun maatschriftje hebben staan. Vergelijk dit eens met het leerlingenboek. Wat valt je op? Welke overeenkomsten en verschillen zie je?

Wat is in deze les de essentie die de methodemakers ook voor deze leerlingen overeind wilden houden?

Vanaf groep biedt ‘Alles telt’ drie leerwegen die inhoudelijk en organisatorisch volledig op elkaar zijn afgestemd. De leerlingen volgen allemaal hetzelfde lesritme. Na de gezamenlijke, interactieve les verwerkt iedere leerling op eigen niveau de stof; eventueel in een speciaal hiervoor bestemd werkschrift: het Maatschrift.

Standaardprogramma

Voor leerlingen die het programma goed kunnen volgen en zonder grote

problemen alles uit de leerlingenboeken en werkschriften kunnen maken.

Minimumprogramma

Voor leerlingen voor wie de nieuwe stof van groep te hoog gegrepen is.

Deze leerlingen krijgen alle stof aangeboden, maar hoeven wat beheer-

sing betreft niet aan alle eisen te voldoen. In de handleiding wordt aangegeven welke opgaven tot het minimumprogramma behoren. Alle leerdomeinen komen zo aan bod, maar niet in de volle complexiteit.

Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs

A2

Speciaal programma

Voor de zwakste rekenaars. Zij werken met speciale werkschriften: de

Maatschriften. In deze schriften wordt nieuwe stof op een heel eenvoudige manier aangeboden. De extra oefenstof is een herhaling van de

basisstof. Zo krijgen leerlingen meer tijd om zich de stof eigen te maken.

Er zijn aparte toetsen voor kinderen die dit speciale programma volgen.

De overstap naar het Maatschrift wordt gemaakt wanneer de leerling al

langere tijd problemen heeft. De beslissing is gebaseerd op de observaties van de leerkracht, eerdere toetsresultaten en andere gegevens, zoals bij-

voorbeeld het resultaat op de CITO-toets Rekenen-Wiskunde. Ook voor de zwakste rekenaars in groep 5 zijn er Maatschriften. Er is dan nog geen

sprake van verschillende leerwegen, maar de Maatschriften kunnen in

deze groep ingezet worden om de voorgaande stof nog eens te verwerken.

Zie voor meer informatie hierover www.allestelt.nl. Veelgestelde vragen als: ‘Wat is het eindniveau van de kinderen die tot en met groep 8 met het Maatschrift werken?’ worden daar beantwoord.

23

Knelpunten in de methode en dan …?

In de praktijk loop je tijdens het werken met een methode regelmatig tegen

knelpunten aan. Een knelpunt kan bijvoorbeeld zijn dat een bepaalde essentiële stap in een leerlijn voor de leerlingen in jouw groep te snel blijkt te

worden gemaakt. Het gevolg is dan vaak dat er over dat onderdeel vragen blijven komen, of dat de toets slechter wordt gemaakt dan gewoonlijk.

Het onderwerp is wel aan bod geweest, maar een groot deel van de groep

blijft er problemen mee houden. Zie het als een uitdaging om daarmee aan de slag te gaan!

(…) Soms kan het nodig zijn om bij een rekenprobleem in groep 8 even

volledig terug te keren naar de basis om het begrip in korte tijd, van infor-

meel naar formeel, helemaal opnieuw op te bouwen. Twee Pabostudenten doorliepen in hun groep 8 dit traject voor het onderwerp ‘kommagetallen’en zetten aldus verschillende leerlingen weer op het goede spoor. (…)

Komma – worstelen

Welkom in onze klas op het moment dat onze leerlingen ontzettend worstelen met een opgave waarin een getal moet worden afgerond op honderdsten. Tijdens de nabespreking blijkt dat er heel wat fouten zijn

gemaakt. Verschillende leerlingen hebben het getal niet op honderdsten, maar op duizendsten, tienden of eenheden afgerond. Een van de leerlingen heeft het zelfs afgerond op ronde getallen: het getal 325,96 wordt 300. Het is duidelijk dat heel wat leerlingen geen idee hebben van de

waarde van de cijferposities voor en na de komma. Ook de regels met

betrekking tot afronden zijn voor de meeste leerlingen niet duidelijk. Bij

een opgave waarbij rapportcijfers moeten worden berekend en er op eenheden moet worden afgerond, maakt een leerling van een 6,45 eerst een

6,5 en vervolgens een 7. Dit zijn zulke cruciale fouten, die kunnen we niet over onze kant laten gaan. Wat staat ons te doen?

Stappenplan

Het probleem met de kommagetallen blijkt voor een aantal leerlingen

behoorlijk groot te zijn. De leerlingen goochelen met cijfers en begrijpen weinig tot niets van de plaatswaarden van een getal. Om het probleem grondig aan te pakken besluiten we…

‘Maling aan decimalen’. Uit: Willem Bartjens, jaargang 23 nummer 5, 2004.

In bovenstaande situatie gaan de schrijvers van het artikel zelf een les ont-

werpen. Dit is een vaardigheid die je als leerkracht in diverse situaties goed van pas kan komen. Hoe zou een door jou ontworpen les eruit zien? Hierbij

is het de bedoeling dat kommagetallen geïntroduceerd worden als meetge24

tallen in meerdere realistische contexten. Houd daarbij de volgende vragen in gedachten:

Voor welke groep is je les geschikt?

Wat is de doelstelling van de les?

Welke contexten kies je en waarom vind je die geschikt?

Welke materialen en modellen komen aan bod in je les?

Na al je inspanningen zou het natuurlijk erg leuk zijn om je ‘eigen les’ uit te

Stel dat jij groep 8 uit het bovenstaande voorbeeld zou hebben. Wat zou jouw

proberen in de praktijk. Hopelijk heb je daar gelegenheid voor.

stappenplan zijn? Hoe ga je werken aan verdere begripsvorming op het

gebied van kommagetallen? Welke contexten en modellen ga je gebruiken?

Bedenk ook argumenten waarom jij juist voor die contexten en modellen

kiest. Hoe verloopt de overgang van contextgebonden rekenen naar modelmatig rekenen en hoe verloopt de overgang van modelmatig rekenen naar

formeel rekenen? Hoe houd je rekening met de verschillen tussen de leerlingen?

Hier kun je zowel organisatorisch als inhoudelijk naar kijken. Hoe organiinstructietafel

A2

seer je het werken met leerlingen, rekening houdend met hun onderlinge verschillen? Zet je bijvoorbeeld een instructietafel in? Wanneer mogen

kinderen daar naartoe komen? Op welk moment mogen kinderen vragen

Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs

• • • •

stellen, enzovoort. Dit zijn allemaal vragen van organisatorische aard, waar

je goed over na moet denken. En dan het inhoudelijke aspect. Wat bied je de

diverse leerlingen aan; geef je ze allemaal hetzelfde of maak je onderscheid?

Welke keuzes maak je dan? Denk bijvoorbeeld aan de volgende vragen:

• Welke materialen en of modellen bied je de zwakkere leerlingen aan, en welke de middenmoot, en welke de betere leerlingen?

• Maak je onderscheid in niveau van handelen en redeneren (contextgebonden, modelondersteund, formeel) en zo ja, hoe?

• Enzovoort.

Informatie over de didactiek van kommagetallen kun je vinden in B 3.

Op www.paborekenen.nl vind je het hele artikel ‘Maling aan decimalen’.

Reflecteer op het artikel met jouw stappenplan en de door jou gemaakte keuzes in je achterhoofd. Wat vind je van het stappenplan van de auteurs?

Welke aspecten hebben jou aan het denken gezet? Welke zaken zou je willen overnemen van de auteurs en wat zou je anders doen? Besteed bij je

reflectie aandacht aan jouw visie op reken-wiskundeonderwijs, en in het 25

bijzonder die op de didactiek van kommagetallen. Hoe verhoudt jouw visie zich tot die van de auteurs?

Kies een onderdeel van breuken of kommagetallen waar een groot deel van

je stagegroep problemen mee heeft. Verdiep je vervolgens in de leerinhoud.

In de literatuur kun je zoeken naar manieren waarop anderen dit onderdeel hebben aangepakt.

In B 4 vind je een bronnenoverzicht, waarin je kunt vinden welke literatuur je kunt raadplegen.

Daarbij kun je zowel op de didactiek als op de organisatie letten. Bestudeer in de handleiding van de methode ook de essentiële stappen. Wat moeten de leerlingen met name leren begrijpen?

ontwerpen

Wanneer je je genoeg in het onderwerp verdiept hebt, kun je beginnen met het ontwerpen van je les of lessen. Een aantal tips hierbij:

• Bedenk in welke volgorde je de leerstof gaat aanbieden. Let er daarbij op dat jij niet alles uitlegt (voorzegt) en dat de kinderen je vervolgens na gaan

doen, maar dat je de uitgangspunten van de realistische reken-wiskundedidactiek hanteert (denk met name aan het zelf construeren van kennis).

Voor de principes van het realistisch reken-wiskundeonderwijs, zie www.paborekenen.nl.

• Met welk type opgaven begin je? Kun je die uit de rekenmethode halen,

en biedt de methode voldoende opgaven? Zo niet, dan kun je ze zelf maken of verzamelen uit andere methodes, het rekenweb enzovoort.

• Welke materialen heb je nodig? Zijn die aanwezig of moeten die gemaakt worden?

• Welke vragen ga je stellen, opdat de leerlingen de gelegenheid krijgen hun eigen oplossingen te verwoorden?

• Bedenk ook waar precies de moeilijkheden liggen en welke problemen je kunt verwachten. Hoe zou je die problemen kunnen voorkomen?

• Er zijn natuurlijk altijd leerlingen die het snel door hebben… hoe ga je differentiëren tijdens de instructie en tijdens de verwerking? Je kunt daarbij denken aan differentiëren naar oplossingswijze (mate van abstractie) of

aan een getalsmatige opbouw in moeilijkheid (oplossingsstrategie en verkortingen). Oftewel, hoe houd je rekening met zowel de goede, de gemiddelde als de zwakkere leerlingen.

2

Voor informatie zie B 1 (breuken) en B 3 (kommagetallen).

Na deze grondige voorbereiding is het erg leuk om gericht feedback te krij-

A2

gen van je begeleider naar aanleiding van de uitvoering. Je kunt een lijstje

op de punten waar jij tijdens je voorbereiding zo goed over hebt nagedacht.

8 2.2

Even buiten de methode

2.2.1 Gebroken getallen in het dagelijks leven Muurkrant

Je kunt met de kinderen in je klas op ontdekkingstocht gaan naar kommagetallen en breuken in het dagelijks leven.

Zie voor een theoretische achtergrond B 1.2 (breuken in het echt) en B 3.2 (kommagetallen in het echt).

Ga met de kinderen in je klas (groep 6, 7 of 8) op zoek naar kommagetallen en

Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs

met gerichte observatiepunten geven, zodat je in ieder geval feedback krijgt

breuken zoals we die dagelijks om ons heen tegenkomen. Laat ze gedurende een week allerlei materialen en stukjes uit de krant en van internet verza-

melen. Misschien heb je een digitale camera tot je beschikking. Laat ze dan rond de school fotograferen waar ze kommagetallen en breuken tegenkomuurkrant

men of fotografeer de materialen die ze meebrengen. Van alle opbrengsten kun je ze een muurkrant laten maken.

Je kunt er ook voor kiezen om een groepje kinderen uit je klas dit onderzoek te laten doen, en hen aan het eind van de week hun muurkrant te laten presenteren aan de rest van de klas.

Wat leren kinderen van dit onderzoek? Wat heb jij geleerd van dit onderzoek?

Zie ook ‘Verzameling van gebroken getallen’ in A 1.2.1 van dit deel, waar je zelf op zoek gaat naar breuken en kommagetallen in het dagelijks leven.

In het artikel ‘Groep 7 doet onderzoek, een rekenproject’ (van Galen en Oosterwaal, 2002) staat onder andere beschreven hoe leerlingen ten behoeve van een klassengesprek een poster maken van hun onderzoek. Sowieso is het erg inspirerend

27

en doe je hierdoor wellicht ideeën op voor het opstarten van andere onderzoeken in je klas.

In het artikel ‘Rekenkast - Breuken’ (Klabbers, 2005) wordt ‘een schilderij’ als werkvorm beschreven. Een leeg schilderij wordt gaandeweg gevuld met allerlei dingen die te maken hebben met breuken.

2.2.2 Boeken weg! Boeken weg?

Een goede les zonder een specifieke methode geven, helemaal zoals jij dat wilt, op maat gemaakt voor jouw klas, en uiteraard uitgaand van de bele-

vingswereld van jouw leerlingen… een ongrijpbaar ideaal of kun je iets van die droom in de praktijk brengen?

Ontwerp zelf een les, zonder werkbladen, die aansluit op de begripsvorming rondom het vergelijken van breuken.

Een aantal aandachtspunten:

• Wat is je lesdoel?

• Hoe ga je de les openen, en waarom op die manier?

• Welke context(en) ga je gebruiken en hoe ga je die inzetten?

• Welke materialen en modellen ga je gebruiken en hoe ga je die inzetten?

In B 1.2 vind je informatie over contextgebonden handelen en redeneren bij breuken en in B 1.3 vind je informatie over de overgang van contextgebonden naar modelondersteund handelen en redeneren.

• Welke inbreng van de leerlingen verwacht je? En hoe lok je die inbreng uit?

• Welke knelpunten verwacht je?

• Hoe sluit je de les af?

Het zou natuurlijk geweldig zijn als je je zelf ontworpen les daadwerkelijk kunt geven. Vraag je dan na afloop af wat het resultaat van deze les was vergeleken met de lessen die je doorgaans met de methode geeft.

Griffioen en van Herpen (2003) hebben een klein experiment gedaan

waarin zij het resultaat van een zelf ontworpen les vergelijken met dat van

een les gegeven volgens de methode. Beide lessen gaan over het vergelijken van breuken.

Op www.paborekenen.nl vind je het artikel ‘Je kunt het gewoon tellen’.

28

Griffioen (2003) ‘Je moet, wanneer je leerlingen iets wilt leren, beginnen bij wat hen interesseert.’

A2

Gedachten van een student hierbij:

werkt vanuit de interesse van het kind het leerresultaat beter is, want ze

zijn actiever betrokken bij de les en nieuwsgieriger naar uitkomsten. Terwijl het aan de andere kant ook moeilijk is om vanuit de interesse van 25/30

kinderen te werken; de interesses zullen verschillend zijn, daarom moet je ze ook verschillende dingen aanbieden zodat iedereen aan bod komt.’

De auteur (Griffioen) doet behoorlijk verstrekkende uitspraken, over het afschaffen van reken-wiskundemethodes, waarover hij aan het eind van het artikel

opmerkt dat hij de conclusies geheel voor eigen rekening neemt. Popel je om

te reageren, wellicht op basis van je eigen ervaringen? Schrijf een reactie aan de auteur. Ga hierbij in ieder geval in op de rol van contexten tijdens een

reken-wiskundeles, uitgaand van de realistische didactiek, en zet uiteen hoe jij daaraan vorm wilt geven (al dan niet met behulp van een methode).

Op www.paborekenen.nl vind je de uitgangspunten van de realistische reken-

Verzorgen van realistisch reken-wiskundeonderwijs

‘De uitspraak van Jaap Griffioen pakt me omdat ik ook geloof dat als je

wiskundedidactiek.

Wil je meer informatie over contextgebonden handelen en redeneren bij breuken dan kun je die vinden in B 1.2.

Reflectie van een student op het artikel van Griffioen (2003): ‘Hoe is het dan mogelijk dat de invoering van het realistisch rekenen hier nog weinig verandering in gebracht lijkt te hebben? Niet de methoden

maar de manier waarop leerkrachten omgaan met betekenisvol onder-

wijs lijkt een belangrijke factor. In een experiment rond een les breuken worden een betekenisvolle realistische les en een formele methodeles

naast elkaar gelegd en het blijkt niets uit te maken. Mijn conclusie is dan ook dat de manier waarop de leerkracht betekenisvol onderwijs oppikt

cruciaal is. Eigen gecijferdheid en eigen vaardigheid leggen veel gewicht in de schaal en vormen een belangrijke voorwaarde voor betekenisvol

rekenonderwijs.’ (…) ‘In navolging van het bronnenonderzoek merk ik ook dat wanneer ik de methode loslaat en bijvoorbeeld bezig ga met zo’n folder, het makkelijker is om betekenisvol bezig te zijn. We zijn eigenlijk

helemaal niet bezig met rekenen, ik zou het liever onderzoek willen noemen. Wel meer organiseren, meer anticiperen, maar eigenlijk is dat heel leuk. Met betekenisvol onderwijs kun je je nog eens laten verrassen!’

2

Op www.paborekenen.nl vind je een artikel van een les, dit keer over grafieken, waarin het volgende fragment staat: ‘Boeken weg!

Boeken weg?

Ja, gooi ze maar weg ... eh... doe ze maar in je la’ (Sluitman, 2001).

Nieuwsgierig geworden? Ga dan naar het artikel ‘Wat gaan we doen, mees?’.

2.2.3 Breukenspel ontwerpen

‘Getallenbingo’, ‘tafelbingo’ en ‘raad mijn getal’ zijn drie bekende spelletjes Getallenbingo

en raadsels met getallen.

Bij ‘Getallenbingo’ laat de leerkracht de kinderen in een veldje een aantal

getallen opschrijven die zij mogen kiezen uit een bepaald getallen gebied (bijvoorbeeld 16 getallen in een vierkantje van vier bij vier, de getallen

moeten liggen tussen 0 en 100). De leerkracht noemt een getal, en als je het op je kaart hebt staan mag je het wegstrepen. Wie als eerste een rij vol

heeft, of de hele kaart, mag ‘bingo’ roepen, en heeft -als het allemaal goed is- gewonnen. Bij deze variant gaat het erom dat leerlingen de uitspraak

van de getallen kunnen koppelen aan het symbool. Klank-teken koppeling Tafelbingo

wordt dat genoemd.

‘Tafelbingo’ is hier een variant op. De leerkracht laat de kinderen nu antwoorden van tafelopgaven opschrijven, bijvoorbeeld uit de

vermenigvuldigtafels van 1 tot en met 10. Vervolgens noemt de leerkracht de vermenigvuldiging, en heb je het antwoord op je kaart staan, dan mag je

het wegstrepen. Ook nu gaat het er weer om wie het eerste ‘bingo’ heeft. De keuze van de getallen op je kaart bepaalt al voor een deel hoe groot de kans is dat je gaat winnen. Wie bijvoorbeeld 9 opschrijft, kan dit getal alleen

wegstrepen bij de sommen 1 x 9, 9 x 1 of 3 x 3. Het getal 12 is al iets gunstiger (2 x 6, 6 x 2, 3 x 4, 4 x 3). Hoeveel spelletjes zou het duren voordat ze dat doorhebben?

30