Newton 4 vwo - hele boek

4

Newt n

Newt n

Newt n Natuurkunde voor de bovenbouw

4 vwo

VANAF EXAME N MEI 202 5

4

vwo

Naam Klas

9789006911718_TMH_NW OMSLAG 4 VWO.indd All Pages

11/04/2022 09:50

4 vwo

Newt A n Natuurkunde voor de bovenbouw

Beste leerling, Dit boek van Newton kun je samen met de digitale leeromgeving gebruiken in de les. Het is van jou persoonlijk, dus je mag er aantekeningen in maken. Na dit schooljaar mag je het boek houden. Dat is makkelijk als je volgend jaar iets wilt opzoeken, of iets moet leren voor een toets. Wij wensen je veel succes en plezier met het vak natuurkunde. Team Newton

Auteurs Jan Flokstra, Aart Groenewold, Kees Hooyman, Carolien Kootwijk, Koos Kortland, Mark Bosman, Torsten van Goolen, Michel Philippens, Hein Vink Eindredactie Jan Flokstra, Aart Groenewold met medewerking van Eus Wijnhoven Eindredactie digitaal Evert-Jan Nijhof Bureauredactie Easy Writer, Maurik Opmaak Crius Group Ontwerp en beeldresearch Michelangela, Utrecht Tekeningen Jaap Wolters, Amersfoort

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content, leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, ervaring en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt. Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl ISBN 978 90 06 91171 8 Vijfde druk, eerste oplage, 2022 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2022 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd. Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

Inhoud 1

Werken met Newton

4

Elektriciteit

6

4 Sport en verkeer

Elektrische schakelingen en energieverbruik

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

2

Introductie Energie en vermogen Spanning en stroomsterkte Weerstand Schakelingen in huis Verdieping Afsluiting Leerdoelen en begrippen

Sport en verkeer

7 9 14 20 29 38 42 45

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

5

3

Introductie Kracht verandert snelheid Versnellen en vertragen Afstand en beweging Vallen Verdieping Afsluiting Leerdoelen en begrippen

Materialen

48

Straling en gezondheid 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

49 51 59 65 75 83 86 90

6 92

Eigenschappen en

135 137 148 155 162 165 168

170

Introductie Röntgenstraling Kernstraling Radioactief verval Stralingsbelasting Beeldvorming Verdieping Afsluiting Leerdoelen en begrippen

Vaardigheden

171 173 181 190 200 209 220 223 228

233

Rekenen, onderzoeken, ­ontwerpen en modelleren

deeltjesmodellen

3.1 Introductie 3.2 Deeltjesmodel 3.3 Energie en warmtetransport 3.4 Sterkte en vervormbaarheid van materialen 3.5 Verdieping 3.6 Afsluiting Leerdoelen en begrippen

Introductie Soorten krachten Krachten samenstellen Schuine krachten Verdieping Afsluiting Leerdoelen en begrippen

Ioniserende straling

Bewegingen

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

134

Krachten

93 97 106 118 124 128 131

6.1 6.2 6.3 6.4

Rekenvaardigheden Onderzoeksvaardigheden Videometen en modelleren Technisch ontwerpen Leerdoelen en begrippen

Antwoorden op rekenvragen Register

234 248 258 266 272 276 280

4

Werken met Newton

W3 Energie in de toekomst Experiment 2: Het rendement van een ­ledlamp en een gloeilamp

WERKEN MET NEWTON Samen met je klasgenoten ga je ontdekken en onderzoeken hoe natuurkunde in theorie en in de praktijk werkt. Op deze manier kun je je goed voorbereiden op het eindexamen. Op deze pagina zie je hoe je werkt met de boeken en met de online omgeving van Newton. Boek en digitaal

Figuur 1 Voorbeeld verwijzing naar experimenten en werkbladen

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online. Figuur 2 Voorbeeld verwijzing naar digitaal materiaal B

In de gele kaders zie je samengevatte leerstof.

Alle leerstof die je nodig hebt voor je examen vind je in dit boek. Vanuit dit boek vind je verwijzingen naar onderdelen die de docent verspreidt (zoals werkbladen en experimenten). Als deze beschikbaar zijn, zie je in de kantlijn een blauw vlak. Zie figuur 1. Als je een ziet, is er ook digitaal oefenmateriaal beschikbaar (zie figuur 2). Dit zijn opdrachten die je digitaal kunt maken en waarbij je feedback krijgt op jouw ­antwoorden. In je online leeromgeving is je boek als compleet digitaal bladerboek beschikbaar. Handig als je een keer je boek vergeten bent of snel iets wilt opzoeken.

Hoofdstukindeling Introductie

In de paarse kaders zie je formules die je moet kennen en kunnen gebruiken.

P R A K T I J K VO O R B E E L D E N In de paarse blokken vind je praktijkvoorbeelden. De informatie in deze blokken behoort niet tot de oefenstof voor het eindexamen, maar zullen je wel helpen met het krijgen van meer inzicht. Figuur 3

VO O R B E E L D O P G AV E 1 Een stofzuiger met een vermogen van 2200 W staat 10,0 minuten aan. Vraag: Bereken het energieverbruik van de stofzuiger in J en in kWh. Antwoord: Voor de energie in joule reken je om: 10 minuten = 600 s. E = P ∙ t = 2200 W × 600 s = 1,32 ∙ 106 J Voor de energie in kWh: 10 min = 0,167 uur en 2200 W = 2,200 kW. E = P ∙ t = 2,200 kW × 0,167 uur = 0,367 kWh Je kunt ook de omrekenfactor gebruiken: 1 kWh = 3,6 MJ, dus 0,367 kWh = 1,32 ∙ 106 J Figuur 4

Elk hoofdstuk begint met een introductieparagraaf. Je maakt kennis met het onderwerp vanuit de praktijk. Dan zie je de hoofdstukvraag, zodat je weet wat je gaat leren in het hoofdstuk. Je frist je kennis uit de onderbouw op en je kunt hier een paar opgaven over maken. In overleg met je docent ga je aan de slag met de opgaven en werkbladen uit je boek, of de digitale Startvragen. Paragraaf Elke paragraaf heeft dezelfde opbouw: E Ontdekken: Middels experimenten, opgaven en ontdekactiviteiten op werkbladen ontdek je hoe natuurkunde werkt. Je docent bepaalt met welk van deze activiteiten je aan de slag gaat. De paragraafvraag is het leerdoel van deze paragraaf. E Begrijpen: Alle belangrijke leerstof wordt hier in begrijpelijke taal aan je uitgelegd. Belangrijke begrippen zijn weergegeven als paarse woorden. Deze vind je ook in het register achterin het boek. Samenvattingen van de uitleg vind je in aparte gele kaders direct onder de leerstof. De opgaven in je boek of in de online leeromgeving zijn erop gericht om je de leerstof goed te laten begrijpen. Tekenopgaven zijn weergegeven met een T. Je kunt ze meestal in je boek maken. Soms is een tekenblad handiger. Tekenbladen vind je onder Bronnen in je online materiaal. E Beheersen: In het onderdeel Beheersen wordt de leerstof van Begrijpen verder uitgebreid, zodat je ermee kunt redeneren en rekenen. De formules zie je in aparte paarse kaders (figuur 3). Naast een formule vind je in de marge vaak een of meer blauwe kaders met voorbeeldopgaven. In de voorbeeldopgaven wordt voorgedaan hoe je een opdracht aanpakt (figuur 4). Dit zijn voorbeelden van opgaven die je moet kunnen maken op het examen.

5

Werken met Newton

Verdieping In elk hoofdstuk is een paragraaf Verdieping opgenomen. Deze paragraaf bevat extra leerstof en opgaven. Dit is geen examenstof. 42

Elektriciteit

1.7

Afsluiting Aan het eind van elk hoofdstuk blik je nog een keer terug opBegrippenkaart de hoofdstukvraag Ga of je van elk begrip goed weet wat (zie figuur 5). Kun je deze nu beantwoorden? Je maakt aan de na hand van vragen het betekent. zelf een samenvatting. Dit kun je doen op basis van de korte samenvattingen in de Formules, grootheden en eenheden paragrafen. Daarnaast kun je je docent vragen om een complete samenvatting en om Noteer bij elk symbool in de formule de een begrippenkaart. naam van de grootheid en de eenheid. in welke situatie(s) de formule Met de eindopgaven en digitale zelftoetsen test je jezelf op Vermeld examenniveau: ben je gebruikt wordt. klaar voor het echte werk? Samenvatting In de keuzeopdrachten leer je tenslotte hoe theorie uit het hoofdstuk wordt toegepast Bestudeer de samenvatting. in praktijksituaties. Leerdoelen en begrippen

HOOFDSTUKVRAAG EN SAMENVATTING 80 De hoofdstukvraag is: Hoeveel elektrische energie verbruiken elektrische apparaten en waar hangt dat vanaf? Geef een uitgebreid en compleet antwoord op deze vraag.

81 Maak Figuur 5 een samenvatting van dit hoofdstuk door antwoord te geven op de

volgende vragen. a Wat is het verband tussen elektrische energie en vermogen? b Hoe reken je energie in kWh om naar energie in joule? c Wat is het rendement van een elektrisch apparaat? d Welke energieomzettingen vinden plaats in een generator? e Wat beweegt er in een stroomdraad als er stroom loopt? f Hoe verandert het vermogen als de stroomsterkte tweemaal zo groot wordt (bij gelijkblijvende spanning)? g Hoe verandert het vermogen als de spanning tweemaal zo groot wordt (bij gelijkblijvende stroomsterkte)? h Hoe verandert de stroomsterkte als de hoeveelheid lading die per seconde door een stroomdraad gaat tweemaal zo groot wordt? i Een schakeling bevat een spanningsbron, een lamp, een voltmeter en een ampèremeter. Teken het schakelschema waarbij je de spanning over de lamp en de stroom door de lamp kunt meten. j Hoe heet een weerstand waarbij de stroomsterkte door de weerstand evenredig is met de spanning over de weerstand? k Hoe verandert de weerstand van een PTC en van een NTC als de temperatuur stijgt? l Hoe verandert de weerstand van een LDR als er meer licht op valt? m Schets het I,U-diagram van een diode. n Wat is het verband tussen weerstand, spanning en stroomsterkte? o Hoe hangt het vermogen van een huishoudelijk apparaat af van de weerstandswaarde? p Waardoor wordt de weerstand van een stroomdraad bepaald? q Wat zijn de eenheden van respectievelijk weerstand en soortelijke weerstand? r Wat geldt voor de spanning over twee parallel geschakelde apparaten? s Hoe bereken je de totale weerstand van twee parallel geschakelde apparaten? t Wat geldt voor de stroomsterkte door twee in serie geschakelde apparaten? u Hoe bereken je de totale weerstand van twee in serie geschakelde apparaten? v Hoe pas je de wetten voor behoud van stroomsterkte en spanning toe?

Zelftoets Test je kennis over dit hoofdstuk.

Elk hoofdstuk wordt afgesloten met een lijst met leerdoelen en begrippen (figuur 6). De leerdoelen geven je een kort overzicht van wat je moet beheersen voor het einden begrippen Elektriciteit examen. De lijst is als een checklist opgesteld, zodatLeerdoelen je zelf kunt aangeven wat je al kent. Daarnaast kun je hier opschrijven wat je nog moet doen om het leerdoel te beheersen. PA R AG R A A F 1 .3 S PA N N I N G E N S T RO O M S T E R K T E Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: vrij elektron, ion, spanning, gesloten stroomkring, stroomsterkte, lading, accu, batterij, capaciteit, schakelschema.

beschrijven wanneer ladingen elkaar aantrekken of afstoten.

bepalen in welke richting de elektrische stroom en de elektronenstroom in een stroomkring lopen.

elektrische schakelingen tekenen met behulp van de symbolen van elektrische componenten.

berekeningen maken en redeneren met de formule

Figuur 6

Afsluiting

Q

voor stroomsterkte: I = __ Vaardigheden t.

maken en redeneren met de formule Inberekeningen het hoofdstuk Vaardigheden ga je aan de slag met onderwerpen als rekenen, voor elektrisch vermogen: P = U ∙ I. onderzoeken, modelleren en ontwerpen. Deze vaardigheden moet je vaak in meerdere hoofdstukken toepassen.

PA R AG R A A F 1 .4 W E E R S TA N D

Ik kan: Antwoorden op rekenvragen de volgende begrippen beschrijven en toepassen:

Acties:

Achterin dit boek vind je de eindantwoorden op de rekenvragen (figuur 7). Je kunt weerstand, soortelijke weerstand, I,U-diagram, ohmse weerstand, NTC-weerstand, daarmee controleren of jePTC-weerstand, een vraag goed hebt beantwoord. Daarnaast kun je je gloeidraad, LDR, diode, wet van Ohm. docent vragen om een uitgebreidere uitwerking van alle opgaven. uitleggen van welke factoren de weerstand van een stroomdraad afhangt.

in een I,U-diagram schetsen welk verband er is tussen de spanning over en de stroomsterkte door een ohmse weerstand.

uit een I,U-diagram bepalen hoe groot de weerstand van een stroomdraad of apparaat is.

aan een I,U-diagram herkennen of dit bij een diode, LDR, NTC-, PTC- of ohmse weerstand hoort. een schakelschema aanvullen met een spanningsen stroommeter voor het meten van de spanning over en de stroomsterkte door een component van de schakeling (zoals een lamp).

berekeningen maken en redeneren met de wet van Ohm: U = I ∙ R.

berekeningen maken en redeneren met de formule R ∙ A. voor de soortelijke weerstand: ρ = ___

l

Antwoorden op rekenvragen Hoofdstuk 1 a 9,0 · 104 J b 0,45 kWh 11 a 8,3 W b 60 kJ c 10 h 13 a 50% Figuur 7W c 3,0 d 1,5 W 14 a 40 kWh = 1,4 · 108 J b 15 kWh; € 6,72 c € 26,86 15 0,53 kWh; € 0,25 16 b 2,1 GJ c 7,18 TWh; 25,9 PJ 17 b € 1,61 27 36 J/s 28 a 12 V b 2,9 · 1019 c 0,24 A 32 a 8,1 · 102 C b 35 W c € 8,69 6

77 a b 78 a c 79 a c 82 c 83 a c 84 d 85 a b

5,1 · 109 20 jaar en 4,0 V 1,0 Ω 3,0 V 2,3 V tot 9 1,1 · 102 h 2,0 V; 2,0 V 1,4 · 102 Ω; 3,0 · 102 Ω 3,7% 2,9% dus k

Hoofdstuk 2 2

a b a b c

12,6 km/h 3,51 m/s; 3 3 30 km/h; 2 36 min 60 min 11 36,4 s 12 a 1,3 m/s2 b 4,0 m/s2

1

Elektriciteit Elektrische schakelingen en energieverbruik

1.1

Introductie

7

1.2

Energie en vermogen

9

1.3

Spanning en stroomsterkte

14

1.4

Weerstand

20

1.5

Schakelingen in huis

29

1.6

Verdieping

38

1.7

Afsluiting

42

Leerdoelen en begrippen

45

7

Elektriciteit

1.1

Introductie

Elektrische apparaten zoals computers, smartphones, koelkasten en wasmachines zijn niet meer weg te denken uit ons dagelijks leven. Al deze apparaten verbruiken elektri­ sche energie. Maar waar hangt dat energieverbruik vanaf? En waar komt die energie vandaan? Hoe kunnen elektrische apparaten worden geschakeld? Deze vragen staan centraal in dit hoofdstuk.

h O O F D s T U K V r A AG

Start Maak de vragen bij Start.

W1 Sluipverbruik van elektrische apparaten W2 Spanningsbronnen

Hoeveel elektrische energie verbruiken elektrische apparaten en waar hangt dat vanaf?

In dit hoofdstuk zoek je naar antwoorden op de volgende vragen: E Hoe bepaal je hoeveel energie een elektrisch apparaat verbruikt? (paragraaf 1.2) E Hoe hangt het vermogen van een apparaat samen met de spanning en de stroomsterkte? (paragraaf 1.3) E Hoe hangt de stroomsterkte af van de weerstand en waardoor wordt die weer­ stand bepaald? (paragraaf 1.4) E Hoe zijn elektrische apparaten in huis geschakeld en hoe is de huisinstallatie beveiligd? (paragraaf 1.5)

inLEiDinG Een stroomkring moet ‘gesloten’ zijn om een aangesloten elektrisch apparaat te laten werken. Je kunt weliswaar niets zien stromen, maar uit de eigenschappen van een stroomkring kun je beredeneren dat er wel iets stroomt: elektrische lading. Figuur 1 Statisch geladen haar

Elektrische lading Elektriciteit heeft te maken met al of niet bewegende elektrisch geladen deeltjes. Er bestaan twee soorten elektrische lading: positieve lading en negatieve lading. Twee voorwerpen met dezelfde soort lading stoten elkaar af. Twee voorwerpen met ver­ schillende soorten lading trekken elkaar aan. Bij neutrale voorwerpen is de positieve lading even groot als de negatieve lading. Dan merk je niets van de ladingen, ze hef­ fen elkaars werking op. Als voorwerpen wel zijn geladen, oefenen ze een kracht op elkaar uit. Die kracht kun je ook voelen of zien, bijvoorbeeld als je haren statisch geladen zijn. Een ballon die statisch is geladen, kan aan de muur blijven kleven door de elektrische kracht. Bij blik­ sem zie je het effect van elektrische lading die door de lucht beweegt. Bliksem ont­ staat doordat wolken elektrisch geladen kunnen zijn. Als die lading groot genoeg is, gaat er even een zeer sterke stroom van de ene wolk naar de andere of naar de grond. Daardoor wordt de lucht plotseling heel sterk verhit en gaat licht uitzenden. De snelle verhitting van de lucht geeft een snelle uitzetting en dat veroorzaakt de donder.

Experiment 1: Statische elektriciteit

Figuur 2 Kunstmatige bliksem

8

1.1 Introductie Elektriciteit

Elektrische stroom Materialen die elektrische stroom doorlaten, noemen we geleiders. Isolatoren laten geen stroom door. In een metalen geleider, bijvoorbeeld een elektriciteitsdraad, kun­ nen alleen negatief geladen elektronen bewegen. De positieve lading zit vast in de kernen van de atomen en de atomen zitten aan elkaar vast. In een gesloten stroom­ kring loopt de elektrische stroom van de pluspool van de spanningsbron door het aangesloten apparaat naar de minpool van de spanningsbron. De stroom wordt in beweging gehouden door de spanning van de spanningsbron, die bij de pluspool elektronen aantrekt en bij de minpool elektronen wegduwt. De spanningsbron is bij­ voorbeeld een batterij, een accu, een dynamo of een stopcontact.

Figuur 3 Links een digitale multimeter, waarmee je zowel stroomsterkte als spanning kunt meten en rechts een analoge stroommeter.

De grootte van de elektrische stroom meet je met een stroommeter (ampèremeter). De elektrische stroom moet door de meter heen, dus moet de meter in serie worden geschakeld met het apparaat waardoor je de stroomsterkte wilt meten (zie figuur 4). De eenheid van stroomsterkte is ampère (A). De spanning over een elektrisch apparaat meet je met een spanningsmeter (voltme­ ter). Een voltmeter moet parallel worden geschakeld aan het apparaat waarover je de spanning wilt meten (zie figuur 4). De eenheid van spanning is volt (V).

1

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a Elektronen zijn negatief geladen en trekken elkaar aan. b Als je de stroomsterkte door een apparaat wilt meten, moet je een stroom­ meter in serie schakelen met dat apparaat. c De eenheid van stroomsterkte is volt. d Door een apparaat loopt alleen stroom als het apparaat is opgenomen in een gesloten stroomkring.

2

In figuur 5 staan vier situaties getekend met een batterij en/of een lamp.

A

V

Figuur 4 Meting van stroom door en spanning over een lamp

A

B

C

D

Figuur 5

Vul de volgende zinnen aan: Het lampje geeft licht in situatie(s) …… B Er is sprake van een elektrische stroom in situatie(s) …… B Er is sprake van een spanning in situatie(s) …… B

3

A

Figuur 6 Symbolen van spanningsbron, lamp en stroommeter

In figuur 6 zie je de symbolen van een spanningsbron, een lamp en een stroommeter. a Verbind de aansluitpunten in figuur 6 zó, dat de lamp brandt en je de stroom door de lamp kunt meten. b Leg uit of de lamp ook brandt als je de spanningsbron andersom aansluit. c Teken in de schakeling een spanningsmeter die de spanning van de spanningsbron meet.

9

Elektriciteit

1.2

Energie en vermogen

OnTDEKKEn De meeste elektrische energie in ons land wordt in centrales opgewekt door verbranding van fossiele brandstoffen, zoals kolen of gas. Die energiebronnen zijn eindig en raken dus een keer op. Bovendien treedt bij verbranding luchtverontreiniging op en stijgt het CO2­gehalte van de atmosfeer, waardoor het ‘broeikaseffect’ voor opwarming van het klimaat op aarde zorgt. Er wordt daarom steeds meer ‘groene stroom’ geproduceerd uit ‘duurzame’ (onuitputtelijke en schone) energiebronnen zoals windturbines en zonne­ cellen. Besparen op elektrische energie door zuinigere apparaten te gebruiken helpt natuurlijk ook. Maar hoe bepaal je het energieverbruik van een elektrisch apparaat eigenlijk?

W3 Energie in de toekomst Experiment 2: Het rendement van een ledlamp en een gloeilamp Experiment 3: Energieverbruik van een lamp

QR-code met extra informatie Energieklasse A t/m G

PA r AG r A A F V r A AG Hoe bepaal je hoeveel energie een elektrisch apparaat verbruikt?

BEGrijPEn

66 kWh/annum

Jaarverbruik (kWh)

Energie en vermogen

Volume (L)

Een lampenfabrikant kan niet van tevoren zeggen hoeveel energie een lamp per jaar zal verbruiken, want die hoeveelheid energie hangt ook af van de tijd die de lamp aan staat. De fabrikant kan wel zeggen hoeveel elektrische energie, in joule (J), de lamp per seconde verbruikt als de lamp aan staat. Dat wordt het elektrisch vermogen genoemd, met als eenheid watt (W) (1 W = 1 J/s).

Geluidsniveau (dB)

Hoeveel elektrische energie een apparaat verbruikt hangt af van het vermogen en de tijd dat het apparaat gebruikt wordt. Op een energielabel, zoals in figuur 7, staat hoe­ veel kWh het apparaat per jaar verbruikt. Dat is een gemiddelde, want het werkelijke energieverbruik hangt af van de tijd dat het apparaat gebruikt wordt. Het energielabel geeft ook aan hoe zuinig een elektrisch apparaat is ten opzichte van vergelijkbare apparaten (energieklasse A t/m G). De afkorting kWh staat voor kilowattuur. Dat is de eenheid die het energiebedrijf gebruikt voor elektrische energie. Voor het omrekenen geldt altijd: 1 kilowattuur = 3,6 miljoen joule (1 kWh = 3,6 MJ). B

B

B

Het elektrisch vermogen van een apparaat (in W) is de hoeveelheid elektrische energie die het apparaat per seconde verbruikt (in J/s). Het energieverbruik van een elektrisch apparaat hangt af van het vermogen van dat apparaat en van de tijd die het aanstaat. Het energiebedrijf gebuikt de eenheid kilowattuur voor energie. 1 kWh = 3,6 MJ.

rendement Een elektrisch apparaat zet elektrische energie om in andere energiesoorten. Een gloeilamp zet elektrische energie om in licht (= stralingsenergie) en in warmte. Een mixer zet elektrische energie om in bewegingsenergie en in warmte. Een elektrisch fornuis zet elektrische energie om in warmte. In het energiestroomdiagram van de gloeilamp in figuur 8 kun je zien dat het rendement ervan laag is, omdat de meeste elektrische energie wordt omgezet in warmte. Het rendement van een spaarlamp is

160L

38dB ABCD

Figuur 7 Energielabel van een koelkast

VERMOGEN EN ENERGIE Een spaarlamp van 9 W verbruikt elke seconde 9 J energie. Een koffiezetapparaat heeft een vermogen van ongeveer 2,4 kW en zet dus elke seconde 2,4 kJ energie om. De Eemshaven­ centrale (uit 2015) heeft een maximaal vermo­ gen van 1560 MW en kan dus in één seconde 1,56 · 109 J elektrische energie opwekken.

stralingsenergie warmte

bewegingsenergie warmte (motor) warmte (snoer)

warmte (kookplaat) warmte (snoer)

Figuur 8 Energiestroomdiagrammen van een gloeilamp, een mixer en een elektrisch fornuis

10

BEGrijPEn 1.2 Energie en vermogen Elektriciteit

hoger en van een ledlamp nog hoger. Een mixer heeft een hoog rendement. Die zet het grootste deel van de ingaande energie om in nuttige bewegingsenergie. B

B

Elektrische apparaten zetten elektrische energie om in andere vormen van ener­ gie, waaronder altijd ook warmte. Het rendement van een apparaat is het percentage van de ingaande energie dat wordt omgezet in nuttige energie.

net

ketel

stoom turbine

water

generator

koeltoren

Figuur 9 Gloeilamp, spaarlamp en ledlamp

pomp

ELEKTRICITEITSOPWEKKING

Figuur 10 Schematische weergave van de werking van een conventionele elektriciteitscentrale

In Nederland wordt de meeste elektrische energie opgewekt in conventionele centrales, waarin fossiele brandstoffen (aardgas, aardolie of steenkool) worden verbrand. Daarmee wordt water verwarmd tot hete stoom waarmee een stoom­ turbine aan het draaien wordt gebracht (zie figuur 10). De stoomturbine drijft een generator (een grote dynamo) aan waarmee elektriciteit wordt opgewekt. Het rendement van een conventionele centrale is 40­60%. In kerncentrales wordt kernenergie uit uranium in warmte omgezet. Net als in conventionele centrales wordt daarmee een generator aangedreven. Ook wind­ turbines en waterkrachtcentrales wekken elektriciteit op met een generator. Bij zonnecellen wordt stralingsenergie van het zonlicht direct omgezet in elektrische energie.

VOORBEELD: RENDEMENT CENTRALES De Eemshavencentrale bij Delfzijl draait op steenkool en biomassa. De centrale heeft een maximaal elektrisch vermogen van 1560 MW, bij een rendement van 46%. Moderne stoom­ en gascentrales (STEG­centrales) halen een rendement van 60%.

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

4

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. Het elektrisch vermogen is de hoeveelheid elektrische energie die per seconde wordt omgezet. b Apparaten met een hoog vermogen hebben een groot energieverbruik per jaar. c Een windmolen zet bewegingsenergie volledig om in elektrische energie. d Een 25 W ledlamp geeft minder licht dan een 60 W gloeilamp. e Een apparaat dat veel elektrische energie verbruikt, heeft een hoog rende­ ment. f In conventionele centrales wordt elektriciteit geproduceerd met een soort stoommachine. g Elektriciteit kan alleen met een dynamo of generator gemaakt worden. a

11

Elektriciteit 1.2 Energie en vermogen Beheersen

5

Leg uit dat het jaarlijkse energieverbruik van een jacuzzi van 10 kW lager kan zijn dan dat van een tv van 150 W.

6

Een televisie heeft een vermogen van 0,15 kW. a Hoeveel joule verbruikt de televisie in 10 minuten? b Hoeveel kilowattuur verbruikt de televisie in 3 uur?

7

Op een gloeilamp staat ‘25 W’, op een autolamp ‘40 W’. a Welke lamp verbruikt per seconde meer energie, de gloeilamp of de auto­ lamp? b Leg in je eigen woorden uit wat het verschil is tussen energie en vermogen.

8

Vul in: Gloeilampen worden vervangen door spaarlampen, want spaarlampen hebben een ……, terwijl ze evenveel licht produceren. Kies uit: lagere energie – lager rendement – lagere spanning – lager vermogen. Licht je keuze kort toe.

9

Een spaarlamp heeft een rendement van 35%. a Teken voor deze lamp het energiestroomdiagram. b Teken voor een ander elektrisch apparaat naar keuze het energiestroom­ diagram.

B E H E E RS E N Het energieverbruik berekenen Het verband tussen energie en vermogen is:

E=P∙t In deze formule is E de energie (in J), P het vermogen (in W of J/s) en t de tijd (in s). Je kunt het vermogen ook in kilowatt invullen en de tijd in uur. De energie is dan in kWh. Het energiebedrijf meet het energieverbruik in kilowattuur. Voor het berekenen van het aantal kilowattuur gebruik je dezelfde formule: E = P ∙ t. Je noteert het vermogen dan in kilowatt en de tijd in uur. Voor de eenheden van energie en vermogen geldt: • joule = watt × seconde (J = W × s) • kilowattuur = kilowatt × uur (kWh = kW × h) • 1 kWh = 3,6 MJ

Rekenen met rendement Het rendement geeft aan hoeveel procent van de ingaande energie wordt omgezet in nuttige energie. Bij apparaten die elektriciteit verbruiken, is de elektrische energie de ingaande energie Ein. Bij apparaten die elektriciteit produceren, zoals een generator of een brandstofcel, is de elektrische energie de nuttige energie Enuttig.

VO O R B E E L D O P G AV E 1 Een stofzuiger met een vermogen van 2200 W staat 10,0 minuten aan. Vraag: Bereken het energieverbruik van de stofzuiger in J en in kWh. Antwoord: Voor de energie in joule: 10 minuten = 600 s. E = P ∙ t = 2200 W × 600 s = 1,32 ∙ 106 J Voor de energie in kWh: 10 min = 0,167 uur en 2200 W = 2,2 kW. E = P ∙ t = 2,200 kW × 0,167 uur = 0,367 kWh Je kunt ook de omrekenfactor gebruiken: 1 kWh = 3,6 MJ, dus 0,367 kWh = 1,32 ∙ 106 J

12

VO O R B E E L D O P G AV E 2 Een lamp produceert in een uur tijd 2,4 kJ aan zichtbaar licht. De lamp verbruikt in deze tijd 7,2 kJ elektrische energie. Vraag: Bereken het rendement van de lamp. Antwoord: Met de tabel: de elektrische ener­ gie is gelijk aan 100%. Het licht is de nuttige energie. Noteer deze getallen in een verhoudingstabel:

Ein

Enuttig

2,4 kJ

Bereken Enuttig met de vermenigvuldigings­ 2,4

factor: ___ ​​  7,2 ​ = 0,33​.

Dat geeft ​0,33 × 100 = 33%​. Met de formule: ​E​  nuttig​​

Bij berekeningen met procenten kun je een verhoudingstabel of een formule gebruiken. Bij een verhoudingstabel stel je de ingaande energie gelijk aan 100% (zie voorbeeld­ opgave 2). Als je een formule gebruikt, kun je het rendement noteren als een percentage of als een vermenigvuldigingsfactor. Bij een rendement van 25% is die factor 0,25. Je kunt het rendement ook berekenen met behulp van het ingaande en het nuttige vermogen: ​E​  nuttig ​​

​P​  nuttig ​​

_ _ η ​ = ​  ​E​   ​​​ × 100% = ​  ​P​   ​​​ × 100%​ in

​E​  nuttig ​​

in

​P​  nuttig ​​

_ _​ η ​ = ​  ​E​  in  ​​​ = ​  ​P​  in  ​ ​​

In deze formules is η (èta) het rendement, Ein en Enuttig de ingaande en nuttige energie (beide in J of kWh) en Pin en Pnuttig het ingaande en nuttige vermogen (beide in W).

100% 7,2 kJ

Beheersen 1.2 Energie en vermogen Elektriciteit

2,4

als factor ​η = _____ ​  ​E​   ​​​ = ​ ___  ​ = 0,33​. 7,2 in

Gebruik bij alle vragen, als dat nodig is, de prijs van 1 kWh is € 0,46.

10 De paragraafvraag is: Hoe bepaal je hoeveel energie een elektrisch apparaat verbruikt? Wat is het antwoord op deze vraag?

11 Een spaarlamp verbruikt in 1,0 uur 30 kJ elektrische energie.

In procenten:

a

​E​  nuttig​​ 2,4  ​ × 100 % = 33%​. ​ = _____ η ​  ​E​   ​​​ × 100 % = ​ ___ 7,2 in

b

Het rendement is dus 0,33 of 3 ​ 3%​.

c

Bereken het vermogen van de spaarlamp. Bereken hoeveel energie de spaarlamp in 2,0 uur verbruikt. Bereken in hoeveel tijd de lamp 0,30 MJ verbruikt.

12 In een advertentie worden twee lampen met elkaar vergeleken. Lamp A kan 20 uur branden op 1,0 kWh, lamp B kan 50 uur branden op 1,0 kWh. a Bij welke lamp is het vermogen het grootst? Hoeveel keer zo groot? b Kun je nu ook zeggen welke lamp het hoogste rendement heeft? Leg uit.

13 Een ledlamp verbruikt in een minuut 180 J elektrische energie, waarvan 90 J wordt omgezet in licht. a Bereken het rendement van de ledlamp. b Bereken het elektrisch vermogen van deze lamp. c Bereken het lichtvermogen van de lamp.

14 Een 8,0 W-spaarlamp heeft een verwachte levensduur van 5000 branduren. De lamp brandt per dag gemiddeld 5,0 uur. a Bereken hoeveel elektrische energie de spaarlamp tijdens de levensduur omzet. Geef het antwoord in kWh en J. b Bereken het jaarverbruik van de lamp, uitgedrukt in kWh en in euro. Een gloeilamp van 40 W geeft ongeveer evenveel licht als een spaarlamp van 8,0 W. c Bereken hoeveel duurder de gloeilamp per jaar is, vergeleken met de spaar­ lamp.

13

Elektriciteit 1.2 Energie en vermogen Beheersen

15 Bij een thuisnetwerk zijn er vaak onderdelen met sluipverbruik zoals een router (7,5 W), modem (6,8 W), printer (3,3 W), computer met beeldscherm (2,9 W) en een set luidsprekers (1,7 W). Bereken hoeveel dit sluipverbruik per dag kost. Geef het antwoord in kWh en in euro.

16 In een steenkolencentrale wordt elektriciteit geproduceerd met een rende­ ment van 40%. De centrale levert een elektrisch vermogen van 820 MW. a Vul in: 820 MW = ………… kW = ………… W. b Bereken hoeveel warmte per seconde geproduceerd wordt door de ver­ branding van steenkool. Noteer het antwoord in GJ (gigajoule). 1 GJ = 1 · 109 J. c Bereken hoeveel elektrische energie de centrale in een jaar kan produceren. Noteer het antwoord in TWh (terawattuur) en in PJ (petajoule). 1 TWh = 1 ∙ 109 kWh en 1 PJ = 1 ∙ 1015 J.

17 Een wasmachine heeft een maximaal elektrisch vermogen van 3,0 kW. Tijdens een wasprogramma op 60 °C is het gemiddelde vermogen 2,1 kW. Het pro­ gramma duurt 100 minuten. a Leg uit waardoor het gemiddelde vermogen tijdens een wasprogramma lager is dan het maximale vermogen. b Bereken de elektriciteitskosten van het wasprogramma van 60 °C.

18 In een huishouden zijn alle gloeilampen vervangen door ledlampen die even­ veel licht geven. De gloeilampen hadden een rendement van 5%, de led­ lampen hebben een rendement van 50%. a Een ledlamp en een gloeilamp geven evenveel licht. Hoe kun je aan de ­ledlamp voelen dat hij veel minder energie verbruikt? In het verleden werd in dit huishouden jaarlijks 2,0 GJ elektrische energie verbruikt voor verlichting. b Laat zien dat de besparing per jaar 1,8 GJ is. c Leg uit dat in de winter nu wel iets meer energie voor verwarming van het huis nodig is.

Figuur 11 Wasmachines hebben steeds meer energiebesparende programma’s.

14

Elektriciteit

1.3 Experiment 4: Vermogen en stroomsterkte Experiment 5: Het vermogen van lampjes

Spanning en stroomsterkte

OnTDEKKEn Als je een lamp aansluit op een variabele spanningsbron en de spanning groter maakt, gaat de lamp feller branden. Het vermogen neemt toe als de spanning groter wordt. Maar ook bij een lage spanning kan het elektrisch vermogen van een apparaat groot zijn. Dat heeft te maken met de stroomsterkte. Hoe zit dat precies?

PA r AG r A A F V r A AG +

Hoe hangt het vermogen van een apparaat samen met de spanning en de stroomsterkte?

- -

Figuur 12 Atomen hebben een positief geladen kern waar negatief geladen elektronen omheen bewegen.

BEGrijPEn Wat beweegt er als er stroom loopt? Elektrische stroom bestaat uit bewegende geladen deeltjes. In een metaal bewegen alleen vrije elektronen. Dat zijn elektronen die niet gebonden zijn aan een atoom en daardoor vrij door het metaal kunnen bewegen. De atomen zelf kunnen niet bewegen in een vaste stof.

-

baan van een vrij elektron

Figuur 13 Beweging van een vrij elektron tussen vastzittende metaalionen

Ook sommige vloeistoffen, zoals zout water, geleiden stroom. In zo’n geleidende vloei­ stof zijn er positief en negatief geladen ionen. In een vloeistof bestaat de elektrische stroom dus uit ionen en niet uit elektronen. B B

In een metaal bestaat de elektrische stroom uit bewegende vrije elektronen. In een vloeistof bestaat de elektrische stroom uit bewegende ionen.

spanning en stroomsterkte Elektronen gaan niet uit zichzelf door een draad stromen. De spanningsbron ‘duwt’ elektrische lading door de kring. Elektronen worden afgestoten door de negatieve pool van de spanningsbron en aangetrokken door de positieve pool. De spanning geeft aan hoe hard er ‘geduwd’ wordt. De elektronen kunnen pas gaan stromen als er een gesloten stroomkring is tussen de negatieve en de positieve pool.

Figuur 14 Een gesloten stroomkring –

+

elektrische stroom

De elektrische stroomsterkte door een apparaat geeft aan hoeveel lading Q er per seconde door dat apparaat gaat. Elektrische lading wordt gemeten in coulomb (C). Een stroom van 1 ampère betekent dus dat per seconde 1 coulomb lading door het apparaat beweegt (1 A = 1 C/s). Als de stroomsterkte twee keer zo groot is, stroomt er per seconde twee keer zo veel lading doorheen.

elektronenstroom

Figuur 15 Een gesloten stroomkring met een lamp

Omdat het niet altijd elektronen zijn die bewegen, is de volgende afspraak gemaakt: de richting van de elektrische stroom is van de pluspool naar de minpool (terwijl de elektronen van de minpool naar de pluspool bewegen).

Elektriciteit 1.3 Spanning en stroomsterkte Begrijpen

B B B B

De spanning is de oorzaak van de beweging van de geladen deeltjes. Een grotere spanning zorgt voor een grotere kracht op de geladen deeltjes. Er loopt alleen een elektrische stroom als de stroomkring gesloten is. De elektrische stroomsterkte is de hoeveelheid lading die per seconde door een apparaat gaat.

Vermogen, stroomsterkte en spanning In een stroomkring wordt elektrische energie van de bron naar een aangesloten appa­ raat getransporteerd door vrije elektronen. Alle elektronen krijgen bij de bron even­ veel elektrische energie mee, die bepaald wordt door de spanning van de bron. De spanning (in volt) geeft aan hoeveel elektrische energie de bron meegeeft per ­coulomb elektrische lading. Er geldt dus: 1 V = 1 J/C. De vrije elektronen geven die energie in de kring weer af aan het aangesloten elektrische apparaat. De spanning over het aangesloten apparaat is dus gelijk aan de hoeveelheid elektrische energie die per coulomb in dat apparaat wordt omgezet. Als de spanning van de bron twee keer zo groot is, krijgt elk elektron twee keer zoveel elektrische energie mee en zet in het apparaat van de kring ook twee keer zoveel energie om. We zeggen dat het vermogen evenredig is met de spanning. Bij een gro­ tere stroomsterkte gaan er elke seconde meer elektronen door het apparaat. Het elek­ trisch vermogen van een apparaat is dus ook evenredig met de stroomsterkte. B B

B

De elektrische spanning is de energie die per coulomb lading wordt omgezet. Het elektrisch vermogen van een apparaat is evenredig met de energie die elk elektron afgeeft, dus evenredig met de spanning. Het elektrisch vermogen van een apparaat is ook evenredig met het aantal elek­ tronen dat per seconde door het apparaat stroomt, dus met de stroomsterkte.

GELIJKSPANNING EN WISSELSPANNING De pluspool van een batterij is altijd positief en de minpool altijd negatief. Je zegt daarom dat een batterij een gelijkspanning geeft. De stroom gaat dus altijd de­ zelfde kant op. Ook accu’s en zonnecellen leveren gelijkspanning. De twee polen van een dynamo wisselen voortdurend van teken. Een dynamo geeft een wisselspanning. Ook de spanning op het stopcontact is een wisselspan­ ning. Op één van beide draden, de spanningsdraad, staat een spanning die 50 keer per seconde wisselt tussen min en plus. Op de andere draad, de nuldraad, staat geen spanning. De vrije elektronen in het snoer naar een elektrisch apparaat ­bewegen daardoor voortdurend heen en weer.

15

16

Begrijpen 1.3 Spanning en stroomsterkte Elektriciteit

19 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken.

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

a b c d e f

Vrije elektronen bewegen in een gesloten stroomkring van de minpool naar de pluspool. Door een elektrisch apparaat met een groot vermogen loopt een grote stroom. Als de stroomsterkte twee keer zo groot wordt, bewegen er per seconde twee keer zoveel elektronen door het apparaat. Wordt de spanning twee keer zo groot, dan wordt de energie die de elek­ tronen in het apparaat afgeven twee keer zo groot. Een apparaat dat werkt op een lage spanning, bijvoorbeeld 12 V, heeft altijd een klein vermogen. Als er per seconde veel elektronen door een apparaat stromen en elk elek­ tron veel energie afgeeft, is het vermogen van dat apparaat groot.

20 Een elektrische stroomkring bestaat uit een spanningsbron, een apparaat en aansluitdraden. a Waardoor loopt er alleen stroom als er een spanningsbron in de kring zit? b In welke richting bewegen vrije elektronen? c In welke richting loopt de elektrische stroom? d Wat gebeurt er met de vrije elektronen als de spanning groter wordt gemaakt? e Wat gebeurt er met de vrije elektronen als de stroomsterkte groter wordt?

21 Welke van de volgende spanningsbronnen leveren wisselspanning: stopcontact – batterij – accu – dynamo – zonnecel?

22 De achterruitverwarming van een auto werkt op 12 V en heeft een even groot vermogen als een verwarmingselement in huis dat op 230 V werkt. a In welk apparaat geeft één elektron de meeste energie af? b In welk apparaat stromen per seconde de meeste elektronen door het apparaat? c In welk apparaat wordt per seconde de meeste energie omgezet?

23 In de schakeling van figuur 16 is een lamp aangesloten op een spanningsbron. A2

Figuur 16

A1

De stroomsterkte door de schakeling wordt op twee punten gemeten met stroommeters. Leg uit welke uitspraak juist of onjuist is. A De stroom door meter A2 is groter dan die door meter A1. B De stroom door meter A2 is even groot als die door meter A1. C De stroom door meter A2 is kleiner dan die door meter A1. D Door meter A2 loopt geen stroom.

24 Beantwoord de volgende vragen: a b

Waardoor geleidt zuiver water geen elektrische stroom? Hoe kun je ervoor zorgen dat water wel stroom geleidt?

17

Elektriciteit 1.3 Spanning en stroomsterkte Beheersen

25 Een gloeilampje brandt een bepaalde tijd op een batterij van 4,5 V. Van welke twee grootheden hangt de totale lading Q af die door het lampje gestroomd is? Hoe zou je met die twee grootheden de totale lading kunnen uitrekenen? Van welke grootheden hangt de totale energie af die door het lampje is ­verbruikt? Hoe zou je met die grootheden de energie kunnen uitrekenen?

a b c d

B E H E E RS E N Vermogen, spanning en stroomsterkte Het vermogen van een apparaat is evenredig met de spanning en met de stroom­ sterkte. Het verband tussen het elektrisch vermogen, de spanning en de stroom­ sterkte wordt gegeven door:

P=U·I

VO O R B E E L D O P G AV E 3 Een spaarlamp van 12 W is aangesloten op het lichtnet. Vraag: Bereken de stroomsterkte door de lamp. Antwoord: De netspanning is 230 V. Invullen in P = U · I geeft:

12 = 230 × I

De stroomsterkte is dus: 12 I​ =  ​ ___  ​ = 0,052 A​ 230

In deze formule is P het vermogen (in W), U de spanning (in V) en I de stroomsterkte (in A).

Stroom en lading Elektrische stroom bestaat uit bewegende lading. De stroomsterkte is gelijk aan de hoeveelheid lading die per seconde door bijvoorbeeld een apparaat beweegt. Er geldt: Q

I = ​​ _t ​​ In deze formule is I de stroomsterkte (in A), Q de lading (in C) en t de tijd (in s). Elk elektron heeft een elektrische lading van 1,60 · 10−19 C. Het is de kleinst mogelijke lading en wordt daarom de elementaire lading e genoemd. Elke hoeveelheid lading is altijd een geheel veelvoud van de elementaire lading. Dat de lading van een enkel elektron zo klein is, betekent dat door een huishoudelijk elektrisch apparaat elke seconde heel veel elektronen stromen.

Spanning en energie Spanning is de oorzaak van de elektrische stroom. De spanning zorgt voor een kracht op geladen deeltjes, die daardoor gaan bewegen. Door die kracht wordt energie omgezet. Een grotere spanning betekent dat elk elektron meer energie ‘meekrijgt’ van de spanningsbron, en ‘afgeeft’ bij de apparaten. De spanning van een spanningsbron of over een elektrisch apparaat is elektrische energie per coulomb lading: ​U = _ ​  ΔE ​​ Q

In deze formule is ΔE de omgezette elektrische energie (in J), U de spanning (in V of J/C) en Q de lading (in C).

VO O R B E E L D O P G AV E 4 Een spaarlamp is aangesloten op het lichtnet. De stroomsterkte door de lamp is 0,052 A. Vraag: a Bereken hoeveel elektronen er in een minuut door de lamp gaan. b Bereken hoeveel energie één elektron in de lamp afgeeft. Antwoord: a Bereken de lading Q.

Q = I · t = 0,052 × 60 = 3,12 C

De lading van een elektron is 1,60 · 10−19 C. Dat zijn per minuut: 3,12 _________ ​​   ​ = 2,0 ⋅ ​10​​  19​  elektronen ​ 1,60 · ​10​​  −19​

b Bereken de omgezette energie ΔE. ΔE = U · Q = 230 × 1,60 ∙ 10−19 = 3,68 ∙ 10−17 J

18

Beheersen 1.3 Spanning en stroomsterkte Elektriciteit

Spanning, stroomsterkte en vermogen De formules voor spanning en stroomsterkte zijn definities. De formule voor het ver­ mogen is daarvan afgeleid. Die afleiding gaat als volgt. De spanning is hoeveel ener­ gie één coulomb lading omzet, de stroomsterkte is hoeveel coulomb lading in één Q ΔE seconde door een apparaat stroomt. Combineren geeft: U ​ ∙ I = ___ ​  ΔQE ​× __ ​ t ​ = ___ ​  t ​​. Dat is de energie die in één seconde in het apparaat wordt omgezet. Dat is dus het vermogen.

LADING UIT EEN BATTERIJ Symbolen +

–

spanningsbron (gelijkspanning) spanningsbron (wisselspanning)

V

spanningsmeter

A

stroommeter

verbindingsdraad

weerstand

schakelaar

regelbare weerstand

lamp regelbare spanningsbron

led aarde

Figuur 17 Symbolen van elektrische componenten

Experiment 6: Licht versus warmte van een gloeilamp

Experiment 7: Het rendement van een elektromotor

Op een batterij staat bijvoorbeeld ‘1200 mAh’. De eenheid mAh betekent mA × uur (h). Het getal voor de eenheid mAh geeft aan hoeveel lading de batterij kan leveren. Daarbij maakt het niet uit of de stroomsterkte groot of klein is. Bij een stroom van 1 mA is de batterij pas na 1200 uur leeg, bij een stroom van 100 mA al na 12 uur. De totale lading bereken je met de formule:

Q = I · t = 1 mA × 1200 uur = 0,001 A × 1200 × 3600 s = 4,3 · 103 A · s = 4320 C Als je 100 mA en 12 uur in de formule invult, geeft dat hetzelfde resultaat.

Symbolen en schakelschema’s Figuur 14 is een foto van een schakeling. In figuur 15 is dezelfde schakeling afgebeeld in een schakelschema. Dit soort schema’s worden vanwege de overzichtelijkheid veel gebruikt. Ze bevatten internationaal afgesproken symbolen. Enkele veelgebruikte symbolen staan in figuur 17.

26 De paragraafvraag is: Hoe hangt het vermogen van een apparaat samen met de spanning en de stroomsterkte? Wat is het antwoord op deze vraag?

27 Een accu van 12 V levert 4,5 uur lang een stroomsterkte van 3,0 A. Bereken hoeveel joule de accu per seconde levert.

28 Een autolamp met een vermogen van 55 W is aangesloten op een accu. De stroomsterkte door de lamp is 4,6 A. Bereken de spanning van de accu. b Bereken het aantal elektronen dat per seconde door de autolamp stroomt. Een kamerlamp van 55 W is aangesloten op de netspanning van 230 V. c Bereken de stroomsterkte door deze lamp. a

29 Elektronen bewegen heel langzaam door een stroomdraad. De gemiddelde snelheid waarmee de elektronen zich verplaatsen, is ongeveer 0,1 mm/s. Toch gaat een lamp onmiddellijk aan als de schakelaar wordt omgezet, terwijl de afstand tussen de schakelaar en de lamp minstens 1 m is. Leg uit hoe het kan dat de lamp onmiddellijk aan gaat.

19

Elektriciteit 1.3 Spanning en stroomsterkte BEhEErsEn

30 Hieronder staat een beschrijving van drie verschillende stroomkringen. Teken van elke stroomkring het schakelschema. a Een stroomkring met een regelbare spanningsbron, een schakelaar en een lamp. b Een stroomkring met een wisselspanningsbron, een regelbare weerstand en een lamp. De regelbare weerstand en de lamp zijn in serie geschakeld. Een spanningsmeter meet de spanning over de lamp. c Fietsverlichting met een dynamo, een koplamp, een achterlicht en een stroommeter. De lampen zijn parallel geschakeld. De stroommeter meet de stroomsterkte door de koplamp.

31 In figuur 18 zie je vijf schakelingen met een batterij en een lampje. a b c

Leg uit in welke schakeling(en) het lampje brandt. Leg uit in welke schakeling(en) de batterij stroom levert. Leg uit welke batterij(en) snel leeg zijn.

Figuur 18

32 Het opladen van je smartphone gaat via een adapter. De adapter is aange­ sloten op 230 V en de stroomsterkte is dan 0,15 A. De gemiddelde dagelijkse oplaadtijd is 90 minuten. a Bereken hoeveel lading er rondgegaan is bij het opladen. b Bereken het vermogen waarmee de smartphone wordt opgeladen. c Bereken hoeveel geld het opladen van je smartphone per jaar kost. Ga ervan uit dat 1 kWh € 0,46 kost.

33 Bij een bliksemontlading verplaatst zich −0,64 C lading in 10 ms van een wolk naar de aarde. De spanning tussen wolk en aarde is gemiddeld 80 MV. a Bereken de gemiddelde stroomsterkte van deze bliksemschicht. b Bereken de energie die is vrijgekomen bij de bliksemontlading. c Bereken het vermogen tijdens de bliksemontlading.

34 Op een oplaadbare batterij van 1,2 V staat de tekst: ‘2100 mAh’. a b

Leg uit dat 2100 mAh niet de stroomsterkte, de laadduur of de spanning van de batterij aangeeft, maar het product van ………… keer ………… Bereken hoeveel uur deze batterij een stroomsterkte van 150 mA kan leveren.

Oefenen A Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 1.2 en 1.3 begrepen hebt.

20

Elektriciteit

1.4 Experiment 8: Stroom,spanning-­ diagrammen

Experiment 9: De weerstand van een stroomdraad

Experiment 10: De weerstand van een diode

Weerstand

ONTDEKKEN Alle apparaten in huis zijn aangesloten op dezelfde spanningsbron: het lichtnet van 230 V. Toch kan het vermogen van apparaten verschillen, doordat de stroomsterktes niet gelijk hoeven te zijn. Want elk apparaat heeft een bepaalde weerstand. Hoe hangt de stroomsterkte door een apparaat eigenlijk af van de weerstand van dat apparaat?

PA R AG R A A F V R A AG Hoe hangt de stroomsterkte af van de weerstand en waardoor wordt die weerstand bepaald?

B E G RIJ P E N Weerstand

Figuur 19 Een waterkoker heeft een groter elektrisch vermogen en dus een grotere stroomsterkte dan een broodrooster.

Apparaten in huis werken allemaal op dezelfde spanning, maar de stroomsterkte is verschillend. Apparaten met een groter vermogen verbruiken meer stroom, om meer energie naar dat apparaat te vervoeren. Veel waterkokers hebben bijvoorbeeld een vermogen van ongeveer 2,3 kW. Daarvoor is een stroomsterkte van 10 A nodig. Bij een broodrooster van 700 W is de stroomsterkte kleiner, ongeveer 3 A. De waterkoker laat dus meer stroom door. Huishoudelijke apparaten die veel stroom verbruiken, hebben een kleine weerstand. Ze laten dan makkelijk de stroom door. Bij apparaten die weinig stroom verbruiken, is de weerstand juist groot. B

De weerstand bepaalt hoeveel stroom er loopt bij een bepaalde spanning.

De weerstand van een stroomdraad Het verwarmingselement van een broodrooster bestaat uit een dunne, lange, meta­ len stroomdraad. Hoe langer de draad is, des te meer weerstand ondervinden de elek­ tronen als ze door de draad bewegen. De weerstand van een stroomdraad hangt ook af van de dikte van de draad. Een dikkere draad laat makkelijker elektronen door. Een dikkere draad heeft dus een kleinere weerstand. De weerstand van een draad hangt bovendien af van het materiaal. Koper laat mak­ kelijker stroom door dan bijvoorbeeld ijzer. Hoe goed of slecht een materiaal geleidt, geven we aan met de soortelijke weerstand. Ten slotte hangt de weerstand van een stroomdraad bij veel materialen nog af van de temperatuur. Of bij toenemende temperatuur de weerstand groter of kleiner wordt, of gelijk blijft, hangt af van het materiaal waarvan de draad gemaakt is.

21

Elektriciteit 1.4 Weerstand BEGrijPEn

l

dwarsdoorsnede

r

A

oppervlakte: A = π · r2

Figuur 20

De weerstand is vaak constant De stroomsterkte door een draad hangt af van de spanning over de draad. In veel gevallen is de stroomsterkte evenredig met de spanning. Het I,U­diagram is dan een rechte lijn door de oorsprong (zie figuur 22 boven). In dat geval is de weerstand con­ stant en spreek je van een ohmse weerstand. In de praktijk is de weerstand alleen con­ stant als de temperatuur vrijwel constant is of als de draad van een bepaald materiaal is gemaakt, bijvoorbeeld van constantaan. Het I,U­diagram van een gloeilamp is geen rechte lijn door de oorsprong (zie figuur 22 onder). Hier is de toename van de stroomsterkte minder dan evenredig. Dat komt doordat de temperatuur van de draad stijgt als er meer stroom doorheen loopt. Bij stijgende temperatuur gaan de metaalionen harder om hun vaste plaats trillen en kunnen de vrije elektronen er moeilijker langs. De weerstand wordt groter. B

Figuur 21 Georg Simon Ohm (1789–1854)

0

0

spanning U

0

spanning U

Bij een ohmse weerstand is de weerstand constant. De stroomsterkte is dan evenredig met de spanning.

halfgeleiders Halfgeleiders zijn materialen die in zuivere vorm de stroom maar een klein beetje geleiden. Ze hebben maar weinig vrije elektronen. Maar door toevoeging van een kleine concentratie andere atomen kan het aantal vrije elektronen groter of juist kleiner worden gemaakt. Daarmee kan de weerstand en dus de stroomsterkte door het materiaal worden beïnvloed. Een voorbeeld is de diode, een heel dun plakje halfgeleidend materiaal dat aan de boven­ en onderkant een andere toevoeging heeft ondergaan. In een diode neemt daardoor het aantal vrije elektronen sterk toe als er in de voorwaartse richting (lood­ recht op het plakje) een spanning over wordt gezet die groter is dan de zogenoemde doorlaatspanning. Boven die doorlaatspanning wordt de weerstand heel klein en kan de stroomsterkte groot worden. Onder de doorlaatspanning gaat er vrijwel geen stroom door de diode. Bij een negatieve spanning, of andersom aangesloten, loopt er helemaal geen stroom. Dit zie je in het I,U­diagram van de diode in figuur 23.

0

Figuur 22 Het I,U-diagram van een constantaandraad (boven) en van een gloeilamp (onder)

stroomsterkte I (A)

B

stroomsterkte I

B

De weerstand van een stroomdraad is groter als de draad langer is, en kleiner als de draad dikker is. De soortelijke weerstand geeft aan hoe goed of slecht een materiaal geleidt. De weerstand van een stroomdraad hangt bij veel materialen af van de tempera­ tuur.

stroomsterkte I

B

5 4 3 2 1

-1,0

0

-0,5 -1

0,5 1,0 spanning U (V)

Figuur 23 Het I,U-diagram van een diode met een doorlaatspanning van ongeveer 0,6 V

22

Begrijpen 1.4 Weerstand Elektriciteit

Een diode laat dus slechts in één richting stroom door, de zogenoemde doorlaat­ richting. De driehoek in het symbool van een diode geeft de doorlaatrichting van de stroom aan (zie figuur 24).

voorwaartse stroomrichting

EEN DIODE ALS GELIJKRICHTER

Figuur 24 Symbool van een diode

C 







A D

B

0

spanning UCD

tijd t

0

spanning UCD

spanning UAB

Figuur 25 Graetzschakeling voor gelijkrichting

Een accu van een laptop of smartphone wordt opgeladen met een gelijkspanning van 5,0 V. Maar de elektrische huisinstallatie levert een wisselspanning van 230 V. In een adapter moet de netspanning dus omlaag getransformeerd worden en daarna omgezet in een gelijkspanning. Dat ‘gelijkrichten’ van de stroom door een aange­ sloten apparaat kan met diodes. De schakeling in figuur 25 is een gelijkrichter met vier diodes. Deze graetz­schakeling (of brugschakeling) maakt van de wisselspanning UAB een pulserende gelijkspan­ ning UCD over de aangesloten weerstand, zoals in figuur 26. Pulseren betekent regel­matig af- en weer toenemen. De stroom loopt dus steeds in dezelfde richting door de weerstand. Om van de pulserende gelijkspanning een meer constante spanning te maken kan nog een extra onderdeel in de schakeling worden opgeno­ men: een condensator, die parallel wordt geschakeld aan de weerstand. De pulse­ rende gelijkspanning UCD over de weerstand wordt dan door de condensator ‘afge­ vlakt’ tot een meer constante gelijkspanning. Om bijvoorbeeld een accu op te laden, wordt de accu op de plaats van de weer­ stand in de schakeling opgenomen.

0

tijd t

tijd t

Figuur 26 Het verloop van de spanning UAB van de wisselspanningsbron (boven), de spanning UCD over de weerstand (midden) en de spanning UCD met een condensator parallel aan de weerstand (onder).

Een andere manier om in halfgeleidend materiaal het aantal vrije elektronen en dus de weerstand te verkleinen, is door energie toe te voeren. Dit kan bijvoorbeeld door de halfgeleider te verwarmen of door er licht op te laten schijnen. Een lichtgevoelige weerstand van halfgeleidermateriaal wordt een LDR genoemd, een light dependent resistor. Als er licht op de LDR valt, neemt het aantal vrije elektronen toe, de weerstand neemt af. Een LDR kun je gebruiken om de lichtsterkte te meten, bijvoorbeeld bij straatverlichting of in de lichtmeter van een fototoestel.

Figuur 27 Lichtgevoelige weerstanden (links) worden onder andere toegepast in straatverlichting (rechts).

De lichtgevoeligheid van halfgeleidermateriaal wordt ook benut in zonnecellen. Zonnecellen worden meestal gemaakt van de halfgeleider silicium. Heel dunne plak­ ken silicium ondergaan aan de boven- en onderkant verschillende bewerkingen, waardoor het platte lichtgevoelige diodes worden. Als er licht op valt, werken ze als bron van gelijkspanning. Zonnepanelen bestaan uit in serie geschakelde zonnecellen en zetten zo stralingsenergie van de zon om in elektrische energie.

23

Elektriciteit 1.4 Weerstand BEGrijPEn

Figuur 28 Een zonnepaneel bestaat uit vele zonnecellen die in serie zijn geschakeld. Elke zonnecel is een diode met één contact aan de voorkant en één aan de achterkant.

Het aantal vrije elektronen in een halfgeleider kan ook vergroot worden met warmte. Bij hogere temperatuur neemt het aantal vrije elektronen in een halfgeleider toe, waardoor de weerstand kleiner wordt. In NTC-weerstanden (Negative Temperature Coefficient) wordt hier gebruik van gemaakt. NTC’s worden onder andere toegepast in digitale thermometers en in elektrische schakelingen van bijvoorbeeld thermostaten.

0

weerstand R

weerstand R

Weerstanden waarvan de weerstandswaarde juist stijgt met de temperatuur, zoge­ naamde PTC-weerstanden (Positive Temperature Coefficient), worden niet van halfgelei­ dermateriaal gemaakt, maar van metaal, kunststof of keramiek. De gloeidraad in een gloeilamp en de verwarmingsspiraal in bijvoorbeeld een broodrooster of een was­ machine, zijn voorbeelden van PTC’s.

0

0 temperatuur T

0

temperatuur T

Figuur 29 R,T-diagram van een NTC-weerstand (links) en een PTC-weerstand (rechts) B

B B B B

Het aantal vrije elektronen in een halfgeleider kan door een bewerking verande­ ren, waardoor de weerstand van de halfgeleider verandert. Een diode laat de stroom slechts in één richting door. De weerstand van een LDR neemt af als er meer licht op valt. De weerstand van een NTC neemt af als de temperatuur stijgt. De weerstand van een PTC neemt toe als de temperatuur stijgt.

24

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

Begrijpen 1.4 Weerstand Elektriciteit

35 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g h i j k

Hoe groter de weerstand, des te kleiner de stroomsterkte. Huishoudelijke apparaten met een groot vermogen hebben een grote weerstand. Hoe langer een metaaldraad, hoe groter de weerstand. Hoe dikker de draad, des te groter de weerstand. Bij een NTC wordt de weerstand groter als de temperatuur stijgt De soortelijke weerstand van koper is kleiner dan die van een halfgeleider. Bij een LDR wordt de weerstand groter als de lichtsterkte afneemt. De gloeidraad van een lamp is een PTC. De weerstand van een elektrisch apparaat is groter dan die van de toevoer­ draden. Als het aantal vrije elektronen in een halfgeleider toeneemt, wordt de weer­ stand groter. De weerstand van een ohmse weerstand verandert niet als de temperatuur stijgt.

36 Apparaten thuis zijn meestal aangesloten op dezelfde spanning. Toch loopt niet door elk apparaat een even grote stroom. a Welk apparaat heeft het grootste vermogen: een apparaat met een grote stroomsterkte of een apparaat met een kleine stroomsterkte? b Welk apparaat heeft de grootste weerstand: een apparaat met een grote stroomsterkte of een apparaat met een kleine stroomsterkte? c Beschrijf hoe je de weerstand van een apparaat kunt bepalen met een meting. Teken het schakelschema van de schakeling die voor zo’n weerstandsmeting nodig is.

37 Een waterkoker en een broodrooster hebben beide een verwarmingselement dat van hetzelfde metaal gemaakt is. De waterkoker heeft een groter vermo­ gen dan het broodrooster. a Welk verwarmingselement heeft de grootste weerstand? b Stel dat de draden van de twee verwarmingselementen even lang zijn, welke draad is dan het dikst? c Stel dat de draden van de twee verwarmingselementen even dik zijn, welke draad is dan het langst?

38 De stroomsterkte door een gloeilamp is direct na het inschakelen gedurende een korte tijd iets groter dan normaal. a Is de weerstand van de gloeidraad direct na het inschakelen iets groter of kleiner dan normaal? b Leg uit dat de stroomsterkte na het inschakelen een beetje afneemt, door­ dat de gloeidraad een PTC is.

39 LDR’s en NTC’s worden van halfgeleidermateriaal gemaakt. a b c d

Wordt het aantal vrije elektronen in een LDR groter of kleiner als er meer licht op de LDR valt? Wordt de weerstand van de LDR dan groter of kleiner? Wordt het aantal vrije elektronen in een NTC groter of kleiner als de tempe­ ratuur stijgt? Wordt de weerstand van de NTC dan groter of kleiner?

25

Elektriciteit 1.4 Weerstand Begrijpen

40 Een diode laat alleen elektrische stroom door als de (gelijk)spanning op de juiste manier wordt aangesloten. a Hoe kun je in een I,U-diagram de spanning aflezen die minimaal nodig is om een diode te laten geleiden? b In figuur 30 zie je drie schakelingen. Leg voor elke schakeling uit of het lampje brandt. Geef ook aan in welke schakeling het lampje het felst brandt.

6,0 V

A

6,0 V

C

6,0 V 

B



C

Figuur 30





A

spanning (zie bovenste figuur 32). In deel I van het UAB,t-diagram in figuur 32 is UAB groter dan nul. Aansluitpunt A heeft dan een positieve spanning ten opzichte van punt B. In deel II is dat juist andersom. a Geef voor elke diode in de graetzschakeling van figuur 31 aan of er stroom door loopt als de spanning UAB groter dan nul is. b Doe hetzelfde voor de situatie waarin de spanning UAB kleiner dan nul is. c Teken de graetzschakeling na. Geef voor zowel deel I als deel II het pad aan dat de stroom volgt. d Leg aan de hand van je antwoord bij c uit waardoor de spanning UCD nooit kleiner dan nul is.

Figuur 31 Graetzschakeling voor gelijkrichting

Experiment 11: Een schakeling ­waarmee je de lichtsterkte kunt meten

Experiment 12: Een elektronische ­thermometer

spanning UAB

41 De spanningsbron in de graetzschakeling van figuur 31 levert een wissel­

D

B

spanning UCD

In een moderne zaklantaarn zit geen gloeilampje meer zoals vroeger, maar een led (light emitting diode). Een batterijtje van 1,5 V zorgt voor de elektrische energie. c Leg uit waarom je de batterij op de juiste manier in de lantaarn moet doen. In een moderne fietslamp zit ook een led, maar een fietsdynamo geeft wisselspanning. Om ervoor te zorgen dat de stroom steeds de goede kant op door de led gaat, wordt de wisselspanning gelijkgericht met een graetzschakeling, zie figuur 31. d Leg uit dat een moderne fietslamp aangesloten op een dynamo ook licht geeft als er geen graetzschakeling in is gebruikt. e Leg uit dat een moderne fietslamp aangesloten op een dynamo meer licht geeft als er wel een graetzschakeling in is gebruikt.

0 tijd t

0 tijd t

I

II

Figuur 32 Het verloop van de spanning UAB van de wisselspanningsbron (boven) en de spanning UCD over de weerstand (onder).

26

BEhEErsEn 1.4 Weerstand Elektriciteit

VO O r B E E L D O P G AV E 5 Door een constantaandraad loopt bij een spanning van 3,0 V een stroom van 0,25 A. Vraag: Bereken de weerstand van de draad. Antwoord: De weerstand is: 3,0

R = _UI_ = ____ = 12 Ω 0,25

BEhEErsEn De wet van Ohm Bij een ohmse weerstand is de weerstand constant. De grafiek in het I,U­diagram is dan een rechte lijn door de oorsprong: de stroomsterkte is evenredig met de span­ ning. De formule daarbij is de wet van Ohm:

U=I·R In deze formule is U de spanning (in V), I de stroomsterkte (in A) en R de weerstand (in Ω).

De weerstand van een stroomdraad De weerstand van een stroomdraad is groter als de draad langer is, en kleiner als de draad dikker is. De weerstand R is evenredig met de lengte l van de draad, en omgekeerd evenredig met de oppervlakte A van de dwarsdoorsnede van de draad (zie figuur 33). Is die oppervlakte twee keer zo groot, dan is de weerstand twee keer 1. zo klein. Voor de weerstand geldt dan de formule: R = ρ ∙ _ A

In deze formule is de evenredigheidsconstante ρ (spreek uit als rho) de soortelijke weerstand van het materiaal van de stroomdraad. Zie de tabel in figuur 34 of Binas tabel 8, 9 en 10. De formule voor de weerstand van een stroomdraad is in Binas omgeschreven naar een formule voor de soortelijke weerstand: R∙A ρ=_ l

In deze formule is ρ de soortelijke weerstand (in Ω ∙ m), R de weerstand (in Ω), l de lengte van de draad (in m) en A de oppervlakte van de doorsnede (in m²). l

VO O r B E E L D O P G AV E 6 De lengte van de nichroomdraad in een ver­ warmingselement is 4,2 m. De diameter van de draad is 0,36 mm. Vraag: Bereken de weerstand van de draad. Antwoord: De straal van de draad is:

r = 0,18 mm = 0,00018 m De oppervlakte van de doorsnede is dan:

A = π · r2 = π × 0,000182 = 1,02 · 10−7 m2 De soortelijke weerstand van nichroom staat in de tabel: ρ = 1,1 · 10−6 Ω · m. R·A Invullen in de formule ρ = ___ geeft:

1,1 ∙ 10

−6

R × 1,02 ∙ 10 −7 = ____________ → 4,2

Of met de formule voor de weerstand van een draad: 4,2 R = ρ ∙ __l = 1,1 ∙ 10 −6 × ________ −7 = 45 Ω A

r

1,02 ∙ 10

A

oppervlakte: A = π · r2

Figuur 33

In figuur 34 is de soortelijke weerstand van verschillende stoffen weergegeven. In Binas is een uitgebreider overzicht opgenomen. metaal

l

R × 1,02 ∙ 10 −7 = 4,2 × 1,1 ∙ 10 −6 → R = 45 Ω

dwarsdoorsnede

aluminium chroom goud ijzer koper zilver

soortelijke legering weerstand (× 10−9 Ω ∙ m) 27 130 22 105 17 16

brons constantaan messing nichroom soldeer roestvrij staal

soortelijke stof weerstand (× 10−6 Ω ∙ m) 0,30 0,45 0,07 1,10 0,15 0,72

Figuur 34 Soortelijke weerstand van enkele materialen

gewoon glas vurenhout papier zuiver silicium teflon

soortelijke weerstand (Ω ∙ m) 1012 1012 1010 625 1020

27

Elektriciteit 1.4 Weerstand BEhEErsEn

42 De paragraafvraag is: Hoe hangt de stroomsterkte af van de weerstand en waardoor wordt die weerstand bepaald? Wat is het antwoord op die vraag?

43 Bij een ohmse weerstand R is het verband tussen U en I evenredig. a b c

Vul de zin aan: als de spanning over een ohmse weerstand drie keer zo groot wordt, wordt de stroomsterkte …… Beschrijf welke vorm het I,U­diagram van een ohmse weerstand heeft. Geef aan hoe het I,U­diagram verandert als de weerstand drie keer zo groot is.

44 Een ohmse weerstand wordt aangesloten op een variabele spanningsbron. Bij 6,0 V is de stroomsterkte 0,12 A. a Bereken de weerstand. b Bereken de stroomsterkte bij 10,0 V. c Bereken de spanning waarbij de stroomsterkte 0,17 A is.

45 Een waterkoker heeft een vermogen van 1,5 kW. Een broodrooster heeft een vermogen van 500 W. Beide zijn aangesloten op een spanning van 230 V. a Leg uit welk apparaat de grootste weerstand heeft. b Bereken de weerstand van de waterkoker. c Beredeneer met verhoudingen hoe groot de weerstand van het brood­ rooster is.

stroom van 0,50 A. Door het parallel geschakelde achterlichtje loopt een stroom van 50 mA. a Laat met een berekening zien dat voor het achterlicht geldt: R = 120 Ω. b Beredeneer hoe groot de weerstand van de koplamp is. c Bereken het vermogen dat de dynamo levert aan de lampjes samen.

47 Bij twee metaaldraden is het verband tussen de spanning U en de stroom­

sterkte I gemeten. Zie figuur 35. a Welke bewering(en) is/zijn juist? A De twee draden zijn ohmse weerstanden. B Draad 1 heeft een twee keer zo grote weerstand als draad 2. C De weerstand van draad 1 is twee keer zo klein als de weerstand van draad 2. D De twee draden kunnen niet van hetzelfde materiaal gemaakt zijn. De draden zijn even dik, maar draad 1 is twee keer zo lang als draad 2. b Leg uit dat de soortelijke weerstand van draad 2 het grootst is. c Beredeneer hoeveel keer zo groot de soortelijke weerstand van draad 2 is.

stroomsterkte I (mA)

46 Een fietsdynamo levert een spanning van 6,0 V. Door de koplamp loopt een

120 100 1 80 60 40 2 20 0

Figuur 35

0

2

4

6

8 10 12 spanning U (V)

28

Beheersen 1.4 Weerstand Elektriciteit

48 In de schakeling in figuur 36 is een lamp aangesloten op een regelbare

Figuur 36

spanningsbron. De lamp brandt zachtjes. Nu wordt de spanning van de spanningsbron ingesteld op een tweemaal zo grote waarde. a De stroomsterkte door de lamp wordt daardoor: A meer dan tweemaal zo groot B tweemaal zo groot C groter, maar iets minder dan tweemaal. b Het vermogen van de lamp wordt daardoor: A meer dan tweemaal zo groot. B tweemaal zo groot. C groter, maar iets minder dan tweemaal zo groot.

49 Een koperdraad van 10 m lengte wordt dubbel gevouwen, waardoor een kortere en dikkere draad ontstaat. a Bereken hoeveel keer zo groot de oppervlakte A van de doorsnede is geworden. b Is de weerstand van de dubbelgevouwen draad nu groter of kleiner geworden? c Beredeneer hoeveel keer zo groot/klein de weerstand geworden is.

50 Een metaaldraad met een lengte van 80 cm en een dwarsdoorsnede van 1,5 mm2 heeft een weerstand van 9,1 mΩ. a Bereken de soortelijke weerstand van het metaal. b Geef aan van welk metaal deze draad is gemaakt.

51 Het roestvrijstalen verwarmingselement in een strijkijzer is rond en 12,4 cm lang. Op het strijkijzer staat 230 V; 1200 W. a Laat met een berekening zien dat de stroomsterkte door het verwarmings­ element 5,22 A is. b Bereken de weerstand van het verwarmingselement. c Bereken de diameter van het verwarmingselement.

29

Elektriciteit

1.5

Schakelingen in huis

OnTDEKKEn In huis zijn vaak meerdere apparaten aangesloten op hetzelfde stopcontact. Toch kun je die apparaten onafhankelijk van elkaar aan­ en uitzetten. Gebruik van elektriciteit moet veilig zijn. Er mag geen brandgevaar zijn en je mag niet ‘onder stroom’ komen te staan. Hoe is de schakeling thuis ontworpen om aan deze eisen te voldoen?

Experiment 13: Parallelschakeling Experiment 14: Serieschakeling

PA r AG r A A F V r A AG Hoe zijn elektrische apparaten in huis geschakeld en hoe is de huisinstallatie beveiligd?

BEGrijPEn

Figuur 37 In een parallelschakeling zijn alle apparaten rechtstreeks aangesloten op de spanningsbron.

Apparaten zijn parallel geschakeld Elk huishoudelijk apparaat is gemaakt voor een spanning van 230 V. Om ervoor te zorgen dat de spanning over een apparaat inderdaad 230 V is, moet het rechtstreeks op de polen van de spanningsbron aangesloten worden. De aansluitpunten van alle stopcontacten in huis zijn dan ook direct verbonden met de meterkast, waar de elektriciteitskabel het huis binnenkomt. Een schakeling waarbij alle apparaten rechtstreeks op de spanningsbron zijn aange­ sloten is een parallelschakeling (figuur 37 en 38). Daarin heeft elk apparaat zijn ‘eigen’ stroomkring. De stroom door bijvoorbeeld de stofzuiger verandert niet als er een lamp gaat branden. Doordat de totale stroomsterkte groter wordt als er meer appara­ ten worden aangesloten, is de stroom door de spanningsbron niet constant. De totale stroomsterkte is gelijk aan alle stroomsterktes in de aangesloten apparaten bij elkaar opgeteld. We spreken van stroomdeling. Daarbij is de stroom het grootst door het apparaat met de kleinste weerstand. B B B

In een parallelschakeling is de spanning over elk apparaat hetzelfde. In een parallelschakeling heeft elke apparaat een eigen stroomkring. In een parallelschakeling is de totale stroomsterkte gelijk aan de som van de stroomsterktes door de apparaten.

I1 = 0,3 A

I2 = 3,0 A

230 V I = 3,3 A Figuur 38

Figuur 39 Schakelschema van een serieschakeling van twee weerstanden

serieschakeling Een serieschakeling is een schakeling waarbij alle componenten achter elkaar gescha­ keld zijn (figuur 39). Zo’n schakeling wordt bijvoorbeeld gebruikt bij feestverlichting (figuur 40) en in elektronicaschakelingen. Doordat er maar één stroomkring is, loopt door elk lampje dezelfde stroom. De spanningsbron moet de stroom nu door alle lampjes duwen. Daar is een veel grotere spanning voor nodig dan voor één lampje, doordat elk lampje weerstand biedt. Bij een spanning van 230 V en 20 identieke lamp­ jes staat er over elk lampje 11,5 V. We spreken bij een serieschakeling dan ook van spanningsdeling.

Figuur 40 Lampjes van feestverlichting

30

BEGrijPEn 1.5 Schakelingen in huis Elektriciteit

Spanningsdeling betekent ook dat de energie verdeeld wordt. Spanning is immers een maat voor energie (per ladingseenheid). In elk lampje geeft de stroom een deel van de energie (spanning) af. Daarbij is de spanning het grootst over de component met de grootste weerstand. B B

In een serieschakeling is de stroomsterkte door elke component hetzelfde. In een serieschakeling wordt de spanning over de componenten verdeeld.

DE ELEKTRISCHE HUISINSTALLATIE De elektrische huisinstallatie bestaat uit een spanningsbron, verbindingsdraden en apparaten. De spanningsbron is de aansluiting in de meterkast. Deze is met kabels en via transformators uiteindelijk verbonden met de elektriciteitscentrale. In de meter­ kast wordt het elektrische energieverbruik gemeten met een kWh­meter en wordt de elektriciteit verdeeld in groepen. Vanuit de meterkast lopen voor elke groep elektriciteitsdraden naar de stopcontacten en de vaste aansluitpunten, zoals lampen. In de meterkast vind je ook de aardlekschakelaar(s), zekeringen en groepschakelaars.

stopcontact kWh-meter

schakelaar

groepschakelaar spanningsdraad nuldraad aardlekschakelaar

zekering

Figuur 41 Stroomkringen in de elektrische huisinstallatie

Als de stroom te groot wordt Elektriciteitsdraden in huis zijn meestal gemaakt voor een maximale stroomsterkte van 16 A. Bij een grotere stroomsterkte kan een draad zo warm worden dat er kans op brand bestaat. Dit kan gebeuren als te veel apparaten worden aangesloten op het­ zelfde stopcontact. Je spreekt dan van overbelasting. Om toch alle apparaten aan te kunnen sluiten, is de elektrische installatie gesplitst in een aantal groepen. Elke groep heeft eigen elektriciteitsdraden, en elke groep kan in totaal 16 A gebruiken. Bij kortsluiting ontstaan heel grote stroomsterktes. Kortsluiting treedt op als twee elektriciteitsdraden elkaar raken, bijvoorbeeld doordat de isolatie van de draden kapot is. De stroom gaat dan niet door een apparaat, maar direct terug naar de spanningsbron (de kortste weg), waardoor er maar heel weinig weerstand is in die kring. Dan wordt de stroom veel te groot. Elke groep is beveiligd met automatische zekeringen die de elektriciteit uitschakelen zodra de stroom te groot wordt. Zodra het probleem verholpen is, kun je de schakelaar van de automatische zekering weer omzetten (figuur 42 op de volgende bladzijde). Sommige apparaten bevatten een smeltveiligheid om het apparaat te beschermen. B

De huisinstallatie is met zekeringen beveiligd tegen een te grote stroom bij overbelasting of kortsluiting.

31

Elektriciteit 1.5 Schakelingen in huis BEGrijPEn

Figuur 42 Automatische zekering (links), smeltzekering voor de meterkast (midden) en smeltveiligheid van een apparaat (rechts)

stroom door je lichaam Een ander gevaar in huis is dat er stroom door je lichaam gaat als je een elektriciteits­ draad aanraakt. Een stroom van 0,1 A kan al dodelijk zijn, maar gelukkig is de span­ ning in huis zo gekozen dat de stroomsterkte door je lichaam niet te groot wordt en je meestal alleen een flinke schok krijgt. Het gevaar wordt groter als je bijvoorbeeld natte handen hebt. Dan is de weerstand van je huid veel kleiner, waardoor de stroom­ sterkte groot kan zijn. Een zekering biedt geen bescherming tegen stroom door je lichaam, want die scha­ kelt pas uit bij een veel grotere stroomsterkte. De aardlekschakelaar (zie figuur 43) beschermt wel tegen een te grote stroom door je lichaam. Een aardlekschakelaar meet voortdurend of de ingaande stroom even groot is als de uitgaande. Zodra het verschil tussen beide stromen groter is dan 30 mA, schakelt de aardlekschakelaar de elektriciteit uit. In figuur 44 zie je twee situaties: de normale situatie (links) en de onveilige situatie (rechts). In de normale situatie is de stroomsterkte door beide draden in de aardlek­ schakelaar even groot. Maar bij het aanraken van een spanningsdraad loopt er een kleine stroom door je lichaam via de muren en de vloeren terug naar de aarde bij de huisaansluiting (linksonder in figuur 41). Er ‘lekt’ stroom weg naar de aarde, die niet meer door de aardlekschakelaar gaat. De grond met het grondwater wordt ‘de aarde’ genoemd. B

Door de aardlekschakelaar ben je beveiligd tegen stroom door je lichaam.

aardlekschakelaar

Figuur 44 De aardlekschakelaar schakelt de stroom uit als er een lekstroom is.

Figuur 43 Aardlekschakelaar

32

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

Begrijpen 1.5 Schakelingen in huis Elektriciteit

52 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g h i

Als je thuis meer lampen aan doet, wordt de stroom door elke lamp kleiner. In een parallelschakeling is elk apparaat rechtstreeks aangesloten op dezelfde spanningsbron. Elk stopcontact in huis heeft een eigen zekering. In een serieschakeling wordt de stroom verdeeld over alle apparaten. In een parallelschakeling is de spanning over elk apparaat hetzelfde. Bij kortsluiting en bij overbelasting is sprake van een te grote stroomsterkte door de elektriciteitsdraden. Een zekering beveiligt ook tegen stroom door je lichaam. Een aardlekschakelaar beveiligt tegen brand in huis. Elke groep heeft zijn eigen zekering.

53 In figuur 45 zie je twee schakelingen. De spanning van beide spannings­

Figuur 45

bronnen is gelijk. De vier lampen zijn identiek. Welke bewering is juist? A In schakeling 1 geeft elk lampje meer licht dan in schakeling 2. B De lampjes in schakeling 1 geven evenveel licht als de lampjes in schake­ ling 2. C De stroomsterkte door de spanningsbron is in schakeling 1 even groot als die in schakeling 2.

54 In schakeling 1 van figuur 45 wordt een derde lampje aangesloten, parallel aan de twee andere lampjes. De spanning blijft gelijk. a Branden de twee andere lampjes nu feller dan, zwakker dan of even fel als eerst? Licht je antwoord toe. b Wat is er nu veranderd voor de spanningsbron? c Is nu de weerstand van de hele schakeling groter of kleiner geworden?

55 In schakeling 2 van figuur 45 wordt een derde lampje aangesloten, in serie met de twee andere lampjes. De spanning van de bron blijft gelijk. a Branden de twee andere lampjes nu feller dan, zwakker dan of even fel als eerst? Licht je antwoord toe. De spanning wordt nu zó veranderd dat de drie lampjes normaal branden. b Leg uit waardoor je bij drie lampjes in serie een andere spanning van de bron nodig hebt dan bij één lampje. c Hoeveel keer zo groot/klein moet de spanning van de bron worden? d Is de stroomsterkte door drie lampjes in serie die normaal branden groter dan, kleiner dan of even groot als door één lampje dat normaal brandt? e Is nu de weerstand van de hele schakeling groter of kleiner geworden? f Is er bij deze schakeling sprake van spanningsdeling of stroomdeling?

33

Elektriciteit 1.5 Schakelingen in huis Begrijpen

56 Jaap en Els krijgen allebei de opdracht een schakeling te maken met een bat­ terij, een lampje en een schakelaar. De opdracht is simpel: zorg dat je met de schakelaar het lampje aan en uit kunt doen. Els maakt schakeling A en Jaap maakt schakeling B. Beide schakelingen blijken te voldoen aan de opdracht. Zie figuur 46 en 47. Toch krijgen Jaap en Els niet allebei een 10 voor hun uitwerking. a Leg uit welke schakeling minder goed is. b Leg uit waarom die minder goede schakeling eigenlijk erg slecht is.

Figuur 46 Schakeling van Els

57 De aardlekschakelaar beschermt je tegen een schok als je per ongeluk contact maakt met de spanningsdraad (zie figuur 41 en 44). a Als je echter een spanningsdraad en ook een nuldraad aanraakt, krijg je een schok die niet verhinderd wordt door de aardlekschakelaar. Leg dit uit. b Als je met één hand per ongeluk zowel een spanningsdraad als een nul­ draad aanraakt, krijg je een flinke schok en misschien brandwonden. Maar als je met de ene hand een spanningsdraad aanraakt en met de andere hand een nuldraad, dan is dat dodelijk. Leg dit uit.

58 De elektrische huisinstallatie is beveiligd met zekeringen en een aardlek­ schakelaar. a Leg uit tegen welk gevaar de huisinstallatie is beveiligd met een zekering. b Leg uit tegen welk gevaar de huisinstallatie is beveiligd met een aardlek­ schakelaar. c Beschrijf kort hoe een aardlekschakelaar werkt.

59 Om te voorkomen dat de metalen buitenkant van bijvoorbeeld een brood­ rooster of wasmachine onder spanning kan komen te staan als in het apparaat iets stuk gaat, moet zo’n apparaat voorzien zijn van een snoer en steker met ‘randaarde’. Dat is een derde (groengele) draad in het snoer die via metalen beugeltjes in de steker verbonden is met een ‘aardedraad’ van de huisinstallatie. De metalen buitenkant van het apparaat is zo direct verbonden met ‘aarde’. a Leg uit hoe de huisinstallatie reageert als er in de wasmachine iets stuk gaat, waardoor de buitenkant ‘onder stroom’ zou komen te staan. Het komt nogal eens voor dat een aardlekschakelaar afslaat zonder dat er iets stuk gaat of iemand een schok krijgt. Vaak blijkt een koffiezetapparaat de boosdoener. b Leg uit waardoor een koffiezetapparaat de oorzaak kan zijn dat een aard­ lekschakelaar afslaat.

60 In een parallelschakeling van twee weerstanden heeft elke weerstand een eigen stroomkring. a Leg uit dat dan geldt: Itot = I1 + I2 . b c

Leid daarmee af dat: ___ ​​ ​RU​  ​​ = ___ ​  ​RU​  ​​ + ___ ​  ​RU​  ​​​. Schrijf dit als: ___ ​​ ​R1​  ​​ = …​

tot

1

2

tot

In een serieschakeling van twee weerstanden verdeelt de spanning van de spanningsbron zich over beide weerstanden. d Leg uit dat dan geldt: Utot = U1 + U2 . e Leid daarmee af dat: Rtot = R1 + R2 .

Figuur 47 Schakeling van Jaap

34

Beheersen 1.5 Schakelingen in huis Elektriciteit

Utot

B E H E E RS E N I1

R1

Itot

I2 R2 Figuur 48 Parallelschakeling van twee weerstanden

VO O R B E E L D O P G AV E 7 Twee apparaten met weerstanden van 20 Ω en 40 Ω zijn parallel aangesloten op een spanningsbron van 6,0 V. Vraag: Bereken de totale stroomsterkte en de totale weerstand. Antwoord: De stroom door de weerstand van 20 Ω: ​U​  ​​

6,0

​​I​  1​​ = _ ​  ​R​  1 ​​​ = _ ​  20 ​ = 0,30 A​

Eigenschappen van een parallelschakeling In een parallelschakeling, zoals in figuur 48, zijn alle componenten (hier weerstanden) rechtstreeks aangesloten op de spanningsbron. De spanning over elke weerstand is dus gelijk aan de spanning van de spanningsbron. Elke component heeft een eigen stroomkring, dus als er een extra component parallel wordt aangesloten, neemt de stroom die de bron levert toe. De stroomsterkte die de spanningsbron levert, wordt verdeeld over de apparaten. Bij meer componenten in de parallelschakeling neemt de totale stroomsterkte toe; de weerstand van de parallelschakeling wordt kleiner. Deze drie eigenschappen van een parallelschakeling kun je beschrijven met:

Utot = U1 = U2 = … Itot = I1 + I2 + … ___ ​​  ​R1​   ​​​ = __ ​  ​R1​   ​​​ + __ ​  ​R1​   ​​​ + …​ tot 1 2

1

De stroom door de weerstand van 40 Ω: ​U​  ​​

6,0

​  ​R​  2 ​​​ = _ ​  40 ​ = 0,15 A​ ​​I​  2​​ = _ 2

De totale stroomsterkte is dus: Itot = I1 + I2 = 0,30 + 0,15 = 0,45 A Voor de totale weerstand geldt: 1 ​​ ___  ​ = ___ ​  1  ​ + ___ ​  1  ​ = __ ​  1  ​ + __ ​  1  ​ = 0,075 Ω ​ ​​  −1​​ ​R​  tot​​ ​R​  1​​ ​R​  2​​ 20 40 1 ​  0,075  ​ = 13,3 Ω​ Dat geeft: ​​R​  tot​​ = _____ ​U​  tot​​ ____ 6,0 ___ Of: ​​R​  tot​​ = ​  ​I​   ​​​ = ​  0,45 ​ = 13,3 Ω​ tot

Utot

U1

U2

R1

R2

Itot

Figuur 49 Serieschakeling van twee weerstanden

VO O R B E E L D O P G AV E 8 Twee weerstanden, met waarden van 50 Ω en 70 Ω, zijn in serie geschakeld en aangesloten op een spanningsbron. Door de weerstanden loopt een stroom van 25 mA. Vraag: Bereken de spanning over de beide weerstanden samen. Antwoord: De totale weerstand is:

Rtot = R1 + R2 = 50 + 70 = 1,2 · 102 Ω De spanning over de beide weerstanden samen is dus:

Utot = Itot · Rtot = 0,025 × 1,2 · 102 = 3,0 V

In deze formules zijn Utot en Itot de spanning en de stroomsterkte die de spannings­ bron levert (in V en A), U1 en U2 de spanningen (in V) over de weerstanden R1 en R2 (in Ω) en I1 en I2 de stroomsterktes (in A) door de weerstanden R1 en R2 (in Ω). Rtot is de weerstand van de gehele schakeling.

Eigenschappen van een serieschakeling In een serieschakeling, zoals in figuur 49, is de stroomsterkte door elk apparaat het­ zelfde. Er is namelijk maar één stroomkring. Als er meer lampjes in serie worden geschakeld, moet de spanning van de bron toenemen om de stroomsterkte gelijk te houden. De totale spanning is gelijk aan de som van de spanningen over de lampjes. Bij meer componenten in serie ondervindt de stroom meer weerstand. De totale weer­ stand is gelijk aan de som van de weerstanden. Deze drie eigenschappen van een serieschakeling kun je beschrijven met:

Itot = I1 = I2 = … Utot = U1 + U2 + … Rtot = R1 + R2 + … In deze formules zijn Utot en Itot de spanning en de stroomsterkte die de spannings­ bron levert (in V en A), U1 en U2 de spanningen (in V) over de weerstanden R1 en R2 (in Ω) en I1 en I2 de stroomsterktes (in A) door de weerstanden R1 en R2 (in Ω). Rtot is de weerstand van de gehele schakeling.

35

Elektriciteit 1.5 Schakelingen in huis Beheersen

Gemengde schakelingen Een gemengde schakeling is een combinatie van een serie- en een parallelschakeling. In figuur 50 zie je een voorbeeld van een gemengde schakeling. Bij zo’n schakeling combineer je de eigenschappen van serie- en parallelschakelingen. De eigenschap­ pen voor stroomsterkte en spanning zijn afgeleid van de definities van spanning (energie per coulomb) en stroomsterkte (coulomb per seconde). Voor energie en lading gelden behoudswetten: E Behoud van lading (stroomsterkte): bij een splitsing van de elektrische stroom blijft de totale stroom even groot. E Behoud van energie (spanning): de energie die bij de bron wordt meegegeven aan elk elektron is gelijk aan de totale energie (spanning) die langs een route wordt afgegeven door een elektron. Deze behoudswetten worden ook wel de wetten van Kirchhoff genoemd. Behoud van spanning geldt voor elke route die de stroom volgt. Voor de schakeling van figuur 50 betekent dit bijvoorbeeld dat Ubron = U1 + U3 (langs de onderste route) maar ook dat U3 = U2 (langs beide routes wordt evenveel spanning afgegeven). Voor het berekenen van de totale weerstand van een schakeling combineer je de ­formules voor de weerstand van een serieschakeling (Rtot = R1 + R2 + …) en van een parallelschakeling (​___ ​  ​R1​   ​​​ = ___ ​  ​R1​   ​​​ + ___ ​  ​R1​   ​​​ + …​). Of je berekent de totale weerstand met de wet van tot

1

2

Ohm. Die wet geldt namelijk ook voor de totale weerstand van een schakeling:

Utot = Itot · Rtot

U1 = 8,7 V

U2 = 7,4 V

I2 = 370 mA P

I1 = 580 mA

I3

Figuur 50 Bij een gemengde schakeling gebruik je de wetten van behoud van stroomsterkte en spanning.

VO O R B E E L D O P G AV E 9 Bekijk de gemengde schakeling in figuur 50. Vraag: a Bereken de stroomsterkte I3. b Bereken de bronspanning. c Bereken de weerstand R3. Antwoord: Gebruik de wetten van behoud van stroomsterkte en spanning. a In punt P splitst de stroom zich. Dan is I3 = I1 – I2 = 210 mA. b Op de route door R1 en R2 wordt 8,7 + 7,4 = 16,1 V afgegeven. Dan is de bronspanning ook 16,1 V. c Op de route door R1 en R3 wordt ook 16,1 V afgegeven. Dan is U3 = U2 = 7,4 V. Bereken de ​U​  ​​

61 De paragraafvraag is: Hoe zijn elektrische apparaten in huis geschakeld en hoe is de huisinstallatie beveiligd? Wat is het antwoord op deze vraag?

62 Beantwoord de volgende vragen: a b c d

Leg uit wat er met de stroomsterkte door de andere brandende lampen gebeurt als één lampje in een parallelschakeling doorbrandt. Leg uit wat er met de lichtsterkte van elke lamp in een parallelschakeling gebeurt als er meer lampen aan de parallelschakeling worden toegevoegd. In een parallelschakeling van drie lampen staat over één van de lampen een spanning van 6 V. Geef aan wat de spanning over de andere lampen is. In een parallelschakeling van twee lampen is de stroomsterkte door één van de lampen 2 A. De weerstand van de andere lamp is tweemaal zo groot. Bereken de stroomsterkte die de spanningsbron levert.

63 Beantwoord de volgende vragen: a b c d

Leg uit wat er met de stroomsterkte door de andere brandende lampen gebeurt als één lampje in een serieschakeling doorbrandt. Leg uit wat er met de lichtsterkte van elke lamp in een serieschakeling gebeurt als er meer lampen aan de serieschakeling worden toegevoegd. In een serieschakeling van twee lampen is de stroomsterkte door één van de lampen 1 A. Geef aan hoe groot de stroomsterkte door de andere lamp is. Een serieschakeling van twee lampen is aangesloten op een spanningsbron van 6 V. Over één van de lampen staat een spanning van 2 V. Geef aan wat de spanning over de andere lamp is.

7,4

weerstand R3 met ​R ​ ​  3​​ = ___ ​  ​I​  3 ​​​ = ​ _____  ​ = 35 Ω​. 0,210 3

36

Beheersen 1.5 Schakelingen in huis Elektriciteit

64 Op de lampjes van een fiets staat 6,0 V; 0,50 A (koplamp) en 6,0 V; 0,050 A (achterlicht). a Leg uit of de schakeling van deze fiets een serie- of parallelschakeling is. Teken de schakeling. b Bereken hoeveel stroom de dynamo levert als beide lampjes op 6,0 V ­branden. c Bereken de totale weerstand van de schakeling op de fiets. Je sluit beide fietslampjes in serie aan op een variabele spanningsbron. d Leg uit waardoor de twee lampjes niet allebei goed kunnen branden in een serieschakeling. e Leg uit wat je ziet als de spanning langzaam vergroot wordt vanaf 0 V. f Bereken bij welke spanning van de bron één van beide lampjes wel goed brandt.

65 Een kerstboomverlichting bestaat uit 50 identieke lampjes in serie en wordt aangesloten op het lichtnet (230 V). De stroomsterkte is dan 0,20 A. a Leg uit dat de spanning over één lampje 4,6 V is. b Bereken het vermogen van een lampje. Als een lampje stuk gaat, worden in het lampje de beide draadjes aan weerszijden van het gloeidraadje door een optredend vonkje aan elkaar gesmolten. Het kapotte lampje brandt dan niet meer, maar de andere lampjes blijven wel doorbranden. c Leg uit dat bij het doorbranden van een gloeidraadje de spanning over dat gloeidraadje ineens 230 V wordt, waardoor het vonkje kan ontstaan dat de toevoerdraadjes in dat lampje aan elkaar smelt. d Bereken hoeveel lampjes er kapot zijn gegaan als de stroomsterkte is opgelopen tot 0,28 A.

66 Teken een schakeling met een spanningsbron van 6 V en twee lampjes van 6 V, die elk onafhankelijk van elkaar door een schakelaar aan- en uitgezet kunnen worden. Teken ook een voltmeter die de spanning van de spanningsbron meet en een ampèremeter die de stroomsterkte meet die de bron levert.

67 Drie gelijke lampjes zijn aangesloten op een spanningsbron (zie figuur 51). Eerst branden alleen de lampjes 1 en 2. Vervolgens wordt de schakelaar gesloten. Leg uit wat er gebeurt zodra de schakelaar gesloten wordt met: a de helderheid van lampje 1. b de helderheid van lampje 2. c de stroomsterkte door de spanningsbron.

37

Elektriciteit 1.5 Schakelingen in huis Beheersen

68 De drie lampjes in de schakeling in figuur 51 zijn identiek. De schakelaar is open. Leg uit dat geldt: Ubron = U1 + U2 . b Leg uit dat lampje 1 en 2 dan even fel branden. Vervolgens wordt de schakelaar gesloten. c Leg uit dat lampje 1 dan feller gaat branden. d Leg uit dat lampje 2 dan minder fel gaat branden. e Leg uit dat lampje 2 en 3 dan even fel branden.

3

a

2 1

Figuur 51

69 Op 10 m van de meterkast ontstaat kortsluiting. De twee draden maken daar elektrisch contact. De draden vanaf de kast bestaan uit koper met een door­ snede van 2,5 mm2. a Laat met een berekening zien dat de weerstand van één koperdraad tussen de meterkast en de plaats van de kortsluiting 0,068 Ω is. b Bereken de stroomsterkte die door de kortsluiting ontstaat als er geen zekering zou zijn.

70 De zolder wordt verlicht door twee spaarlampen die met één schakelaar op de overloop worden bediend. a Teken de schakeling. De zolder is afgesloten door een luik. Om te kunnen zien of het licht brandt, wil je een verklikkerlampje bij de schakelaar plaatsen. b Teken in het schema ook het verklikkerlampje. De stroomsterkte door de twee lampen samen is 0,10 A. Voor het verklikkerlampje kun je kiezen uit vier typen lampjes. c Welk lampje kies je? Licht je keuze toe. A 2,0 V; 5 mA C 230 V; 5 mA B 2,0 V; 100 mA D 230 V; 100 mA

12 V R1

R2

20 Ω

30 Ω R3

50 Ω Figuur 52

71 In figuur 52 zie je twee in serie geschakelde weerstanden R1 en R2 die samen parallel geschakeld zijn aan een derde weerstand R3. a Leg uit welke twee weerstanden je kunt vervangen door één weerstand, zodat er een parallelschakeling ontstaat. b Laat met een berekening zien dat geldt: Rtot = 25 Ω. c Bereken daarmee de stroomsterkte die de bron levert. d Bereken de stroomsterkte door R3. e Bereken de spanning over R1 en over R2 .

72 In figuur 53 zie je twee parallel geschakelde weerstanden R1 en R2 die samen in serie geschakeld zijn met een derde weerstand R3. Door R1 loopt een stroom van 90 mA. a Leg uit of bereken dat de stroomsterkte door R2 gelijk is aan 60 mA. b Bereken de spanning over en de stroomsterkte door R3. c Bereken de waarde van R3.

, V R1  Ω

R3

R2  Ω Figuur 53

Oefenen B Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 1.2 t/m 1.5 begrepen hebt.

38

Elektriciteit

1.6

Verdieping

Elektrische auto’s Hybride auto’s hebben zowel een verbrandingsmotor als een elektromotor. Ook komen er steeds meer auto’s met alleen een elektromotor. Voor een elektromotor is een grote accu nodig.

Figuur 54 Er komen steeds meer oplaadpunten voor elektrische auto’s in Nederland.

De voordelen van elektrische auto’s zijn: E Ze stoten geen schadelijke stoffen uit. E Ze zijn stiller dan auto’s met een verbrandingsmotor. E Ze kunnen opgeladen worden uit duurzame energie, zoals zonne- of windenergie. E Ze trekken sneller op. E Bij afremmen op de motor wordt de accu bijgeladen. E Het rendement van een elektromotor (circa 90%) is groter dan het rendement van een verbrandingsmotor (circa 30%). Maar er zijn ook nadelen: De elektrische energie die bij het opladen van de accu ‘getankt’ wordt, kan afkomstig zijn van een vervuilende, niet-duurzame conventionele centrale. E Het opladen van de accu duurt vaak lang. E De actieradius met volgeladen accu’s is beperkt. E Er zijn nog niet overal oplaadpunten. E

Gebruik bij alle vragen, als dat nodig is: de prijs van 1 kWh is € 0,46.

73 Nissan heeft in 2010 de Nissan Leaf geïntroduceerd, een elektrische auto met een pakket accu’s. De accu’s kunnen 24 kWh energie bevatten. a Leg uit dat de totale CO2-uitstoot bij gebruik van een Nissan Leaf niet klei­ ner hoeft te zijn dan bij gebruik van een auto met een benzinemotor. Als het pakket accu’s wordt opgeladen door het te koppelen aan de netspanning van 230 V, is het vermogen waarmee de accu’s worden opgeladen 3,0 · 103 W. b Bereken de tijd die het opladen van de accu’s kost. De actieradius van de Leaf is bijna gelijk aan de actieradius van elektrische auto’s die honderd jaar geleden werden gebruikt. Toch bevatten de accu’s van de Leaf veel meer energie. c Waardoor was volgens jou de actieradius van de auto’s van honderd jaar geleden even groot als de actieradius van de Leaf?

74 De Hyundai ix35 FCEV heeft een elektromotor, waterstofcellen en een tank

Figuur 55 Auto met waterstofcellen

met 5,6 kg waterstof. Dit is voldoende voor een actieradius van ongeveer 600 km. De opgeslagen energie van 1 kg waterstof is 120 MJ. Bij de verbranding van 1 L benzine komt 33 MJ vrij. a Bereken hoeveel liter benzine evenveel chemische energie bevat als 5,6 kg waterstof. b Leg uit waarom de tank van een benzineauto met een actieradius van 600 km een grotere inhoud moet hebben dan het volume dat je bij vraag a hebt uitgerekend.

39

Elektriciteit 1.6 Verdieping

Transistors Transistors zijn de belangrijkste bouwsteentjes in geïntegreerde schakelingen, die in bijvoorbeeld computers en mobieltjes worden toegepast. Zie figuur 56. Transistors zijn microscopisch klein, in een geheugenstick bijvoorbeeld zitten vele miljarden tran­ sistors. Ze zijn, net als diodes en NTC’s, gemaakt van halfgeleidermateriaal. Een veelgebruikt type transistor is de MOSFET, zie figuur 57. Een MOSFET heeft twee metalen contacten, de source (bron) en de drain (afvoer). De stroom kan vanuit de source naar de drain lopen via het kanaal. Het kanaal is een gebiedje in het silicium dat zo bewerkt is, dat de stroom er alleen daar door kan en niet door de rest van het sili­ cium. Boven het kanaal is een derde contact aangebracht, de gate (poort). Een isole­ rend laagje scheidt de gate van het kanaal. Er kan dus geen stroom lopen van de gate naar de source of de drain, of andersom. De spanning op de gate heeft wel invloed op het kanaal. Bij een negatieve gate-spanning worden elektronen uit het kanaal weggeduwd. Als de negatieve spanning op de gate hoog genoeg is, zijn er geen vrije elektronen meer over en is de weerstand van het kanaal hoog. Bij een positieve spanning op de gate worden er juist elektronen uit het silicium het kanaal ingetrokken. Dan is de weerstand daar laag. De gate-spanning regelt dus de weerstand van het kanaal en daarmee de stroomsterkte tussen de source en de drain. De gate-spanning werkt voor de elektrische stroom net zo als de kraan in een waterleiding.

75 Je wilt een lamp schakelen met een MOSFET. Stap voor stap ga je het beno­ digde schakelschema ontwerpen. a Teken een schakelschema bestaande uit een spanningsbron en een lampje. Neem in het schakelschema een MOSFET op. Zorg ervoor dat source en drain deel uitmaken van de stroomkring van de lamp. b Sluit de ene kant van een variabele spanningsbron aan op de gate. c Verbind de andere kant van de variabele spanningsbron met de source. d Leg uit of de lamp wel of niet brandt als er een grote positieve spanning op de gate staat. e Leg uit of de lamp wel of niet brandt als er een grote negatieve spanning op de gate staat.

Figuur 56 Geïntegreerde schakelingen (de zwarte componenten)

source

gate

drain

isolator kanaal silicium

Figuur 57 Doorsnede van een MOSFET

Experiment 15: Hoe werkt een transistor? Experiment 16: Proefjes met een transistor

D G S

Figuur 58 Vereenvoudigd symbool van een MOSFET: S, D en G geven source, drain en gate aan.

spanningsbron. In figuur 59 is het verband weergegeven tussen de sourcedrain-stroom ISD en de source-drain-spanning USD. Elke curve hoort bij een andere gate­spanning. Leg uit of de bovenste of de onderste curve hoort bij de meest positieve gate­ spanning.

77 Fabrikanten van geïntegreerde schakelingen proberen transistors zo klein mogelijk te maken. De kosten per transistor zijn dan namelijk lager en kleine transistors zijn sneller. Bovendien passen er dan meer transistors in kleine toe­ passingen, zoals smartphones. Hierdoor kunnen smartphones meer geavan­ ceerde software draaien. In 2017 was de kleinste afmeting van een transistor ongeveer 14 nm. a Bereken het aantal transistors op een chip van 1,0 mm2. Ga ervan uit dat een transistor 14 bij 14 nm is.

stroomsterkte ISD (mA)

76 De source en drain van een MOSFET zijn aangesloten op een variabele 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

0

1

2

3

4

5

6

7 9 8 10 spanning USD (V)

Figuur 59 ISD,USD-diagram van een MOSFET: elke curve hoort bij een andere gate-spanning.

40

1.6 Verdieping Elektriciteit

glijcontact

isolatie

De ervaring leert dat het aantal transistors op een chip elke twee jaar verdubbelt. 2 b Bereken in welk jaar een chip van 1,0 mm duizend keer zo weinig transis­ tors als in 2017 bevatte. weerstand

Een schuifweerstand als spanningsregelaar draad

Figuur 60 Schuifweerstand als variabele weerstand

Figuur 61 Spanningsregeling met een variabele weerstand

In een elektrische schakeling komt het vaak voor dat de spanning op een bepaalde waarde moet worden ingesteld om de schakeling goed te laten werken. Hoe laat je bijvoorbeeld een 6 V-lampje branden op een 9 V-batterij? In zo’n situatie is de schuif­ weerstand van figuur 60 bruikbaar. Dit is een lange metaaldraad die om een koker is gewikkeld en waarover een glijcontact heen en weer geschoven of gedraaid kan wor­ den. Met het glijcontact kun je de stroom door een groter of kleiner deel van de weer­ stand laten gaan. In figuur 60 is de schuifweerstand geschakeld als variabele weerstand, met de ene draad aangesloten op de weerstand en de andere draad op het glijcontact. Slechts het linkerdeel van de weerstand tot aan het glijcontact is ingeschakeld. Zo kun je deze variabele weerstand instellen op alle weerstandswaarden tussen nul (glijcontact uiterst links) en maximaal (glijcontact uiterst rechts). In de schakeling van figuur 61 is een variabele weerstand opgenomen voor het rege­ len van de stroomsterkte door een lamp. De variabele weerstand en de lamp zijn in serie geschakeld. De spanning van de spanningsbron verdeelt zich dus over deze twee weerstanden. Hoe de spanning zich verdeelt, hangt af van de grootte van beide weerstanden, dus van de stand van het glijcontact. Schuif- en draaiweerstanden worden veel gebruikt in geluids- en beeldapparatuur voor het regelen van het volume (de geluidssterkte), de toonhoogte, enzovoort.

Figuur 62 Gebruik van schuifweerstanden bij geluidsapparatuur in een opnamestudio

41

Elektriciteit 1.6 Verdieping

78 In figuur 61 is de lamp een projectielamp van 24 V ; 12 A. De spanningsbron levert een spanning van 36 V. Als de projector niet gebruikt wordt, wil je er met een schuifweerstand van 16 Ω voor zorgen dat de lamp geen licht uitzendt. a Bereken de spanning over de lamp als de schuifweerstand geheel ingescha­ keld staat. Ga er vanuit dat de lamp zich als ohmse weerstand gedraagt. b Leg uit dat de lamp geen licht uitzendt, ook al staat er wel een spanning over. c Bereken op welke waarde de schuifweerstand moet worden ingesteld om ervoor te zorgen dat de lamp normaal brandt.

Experiment 17: De werking van een schuifweerstand en een spanningsdeler

79 De schakeling van figuur 63 is een serieschakeling van een weerstand van 10 kΩ en een variabele weerstand. De spanning tussen de punten P en Q noemen we de uitgangsspanning van deze schakeling. a De variabele weerstand is ingesteld op een waarde van 20 kΩ. Bereken hoe groot dan de uitgangsspanning UPQ is. b Bereken hoe de uitgangsspanning zal veranderen als de variabele weer­ stand op een grotere waarde wordt ingesteld. c De variabele weerstand heeft een maximale waarde van 30 kΩ. Bereken tussen welke waarden je de uitgangsspanning in deze schakeling kunt instellen.

P

9,0 V 10 kΩ Q

Figuur 63

42

Elektriciteit

1.7 Begrippenkaart Ga na of je van elk begrip goed weet wat het betekent. Formules, grootheden en eenheden Noteer bij elk symbool in de formule de naam van de grootheid en de eenheid. Vermeld in welke situatie(s) de formule gebruikt wordt. Samenvatting Bestudeer de samenvatting.

Zelftoets Test je kennis over dit hoofdstuk.

Afsluiting

HOOFDSTUKVRAAG EN SAMENVATTING 80 De hoofdstukvraag is: Hoeveel elektrische energie verbruiken elektrische apparaten en waar hangt dat vanaf? Geef een uitgebreid en compleet antwoord op deze vraag.

81 Maak een samenvatting van dit hoofdstuk door antwoord te geven op de volgende vragen. a Wat is het verband tussen elektrische energie en vermogen? b Hoe reken je energie in kWh om naar energie in joule? c Wat is het rendement van een elektrisch apparaat? d Welke energieomzettingen vinden plaats in een generator? e Wat beweegt er in een stroomdraad als er stroom loopt? f Hoe verandert het vermogen als de stroomsterkte tweemaal zo groot wordt (bij gelijkblijvende spanning)? g Hoe verandert het vermogen als de spanning tweemaal zo groot wordt (bij gelijkblijvende stroomsterkte)? h Hoe verandert de stroomsterkte als de hoeveelheid lading die per seconde door een stroomdraad gaat tweemaal zo groot wordt? i Een schakeling bevat een spanningsbron, een lamp, een voltmeter en een ampèremeter. Teken het schakelschema waarbij je de spanning over de lamp en de stroom door de lamp kunt meten. j Hoe heet een weerstand waarbij de stroomsterkte door de weerstand even­ redig is met de spanning over de weerstand? k Hoe verandert de weerstand van een PTC en van een NTC als de tempera­ tuur stijgt? l Hoe verandert de weerstand van een LDR als er meer licht op valt? m Schets het I,U-diagram van een diode. n Wat is het verband tussen weerstand, spanning en stroomsterkte? o Hoe hangt het vermogen van een huishoudelijk apparaat af van de weerstandswaarde? p Waardoor wordt de weerstand van een stroomdraad bepaald? q Wat zijn de eenheden van respectievelijk weerstand en soortelijke weer­ stand? r Wat geldt voor de spanning over twee parallel geschakelde apparaten? s Hoe bereken je de totale weerstand van twee parallel geschakelde apparaten? t Wat geldt voor de stroomsterkte door twee in serie geschakelde apparaten? u Hoe bereken je de totale weerstand van twee in serie geschakelde apparaten? v Hoe pas je de wetten voor behoud van stroomsterkte en spanning toe?

43

Elektriciteit 1.7 Afsluiting

EINDOPGAVEN 82 In een koplamp van een fiets zitten drie parallel geschakelde lampjes, die ieder op een spanning van 4,5 V branden. Deze spanning wordt geleverd door een spanningsbron bestaande uit drie batterijen, die ieder een spanning leveren van 1,5 V. In figuur 64 zijn de batterijen en de lampjes schematisch getekend. De drie batterijen moeten zó met elkaar verbonden worden dat de spanning tussen de pluspool en de minpool van de spanningsbron (de punten P en Q) 4,5 V is. a Teken in figuur 64 de verbindingsdraden tussen de batterijen. b Teken in dezelfde figuur hoe de drie lampjes op de punten P en Q van de spanningsbron zijn aangesloten. Drie volle batterijen kunnen in totaal 50 kJ elektrische energie leveren. Als de drie lampjes branden, gaat er door de spanningsbron een stroom van 0,028 A. c Bereken hoeveel uur de koplamp kan branden. Eén van de lampjes gaat kapot. d Beredeneer of de stroom door de spanningsbron dan kleiner of groter wordt of gelijk blijft.

Keuzeonderwerpen 1 Bron- en klemspanning 2 Elektriciteit uit zonnecellen 3 Elektriciteit uit batterijen 4 Wisselspanning van een dynamo

P + –

+ –

+ –

Q

Figuur 64

A

83 In figuur 65 zie je een schakeling met twee identieke ohmse weerstanden R1

en R2 en twee identieke LDR’s. Tussen B en C is een elektromotor geplaatst die linksom en rechtsom kan draaien (afhankelijk van de stroomrichting). Op een bepaald moment worden de twee LDR’s even fel beschenen. De spanningsbron levert dan een stroomsterkte van 80 mA. a Bereken de spanning over R1 en over R2 . b Leg uit dat er dan geen stroom door de motor loopt. c Bereken in die situatie de weerstand van elke LDR. Even later wordt LDR2 minder fel beschenen dan LDR1. d Beredeneer in welke richting de stroom nu door de motor loopt.

84 T Pierre en Khadija maken tijdens een practicum een waarschuwingssysteem, waarbij een led gaat branden als de temperatuur 20 °C of hoger is. Op de practicumtafel staan de volgende spullen klaar (zie figuur 66): B een driepoot met brander en een glas gevuld met water en ijs; B een NTC en een thermometer die zich in het water bevinden; B een regelbare spanningsbron, een volt- en een ampèremeter. Pierre en Khadija willen eerst een grafiek maken van de weerstand van de NTC tegen de temperatuur. Daarvoor moet nog een aantal elektrische verbindingen in de practicumopstelling van figuur 66 gemaakt worden. P en Q zijn de aansluitpunten van de NTC. a Teken in de kopie van figuur 66 op het tekenblad de draden die nodig zijn om de metingen voor deze grafiek te kunnen uitvoeren. In figuur 67 zie je de grafiek die Khadija en Pierre hebben gemaakt. Voor het waarschuwingssysteem beschikken zij verder nog over een variabele weerstand en een led. In figuur 68 staat het I,U-diagram van de led. Khadija en Pierre bouwen de schakeling van figuur 69.

R1 = 50Ω

U = 7,5V

+

-

B

M

LDR1

D Figuur 65

P Q

NTC

Figuur 66

R2 = 50Ω

C LDR2

44

weerstand RNTC (kΩ)

1.7 Afsluiting Elektriciteit

1,2

b

Leg aan de hand van de figuren 67, 68 en 69 dat de led niet brandt bij een lage temperatuur en wel brandt bij een hoge temperatuur. Voor deze schakeling geldt: IR = INTC − Iled en UR = Ubron − UNTC . c Leg dit uit met de wetten van behoud van spanning en stroomsterkte. De variabele weerstand wordt zo ingesteld dat de led licht geeft bij een temperatuur van 20 °C en hoger. De spanning over de led is dan 1,5 V. De spanning van de bron is 5,0 V. d Bepaal de waarde waarop de variabele weerstand wordt ingesteld.

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

0

20

100 60 80 temperatuur T (°C)

40

stroomsterkte I (mA)

Figuur 67 5 4 3 2 1 0

0,0

0,5

1,0

1,5 2,0 spanning U (V)

Figuur 68 +

–

85 Een elektrische trein neemt stroom af van de bovenleiding die bestaat uit een koperen draad met een dwarsdoorsnede van 3,1 cm2. De stroom loopt van de spanningsbron via de bovenleiding door de motor van de trein naar de rails. Via de rails loopt de stroom terug naar de spanningsbron. In figuur 70 is dit schematisch weergegeven. De trein rijdt van A naar B, een afstand van 4,5 km. In figuur 70 passeert de trein het punt P op een afstand van 2,6 km van A. Op dat moment heeft de trein een zodanige snelheid dat de stroomsterkte door de treinmotor 300 A is. a Bereken hoeveel procent van het vermogen dat de spanningsbron levert, in deze situatie verloren gaat in de vorm van warmteontwikkeling in de bovenleiding en de rails gezamenlijk. In deze situatie kan het vermogensverlies worden beperkt. Men schakelt dan op een dubbelspoortraject de bovenleiding van het andere spoor (voor treinen van B naar A) parallel aan de bovenleiding van de trein die van A naar B rijdt. Deze situatie is weergegeven in figuur 71. De trein passeert weer het punt P met een zodanige snelheid dat de stroomsterkte door de treinmotor 300 A is. b Ga met een berekening na of het vermogensverlies door warmte­ ontwikkeling in de bovenleiding en de rails gezamenlijk in deze situatie inderdaad kleiner is dan in de situatie van figuur 70. A

Ubron

P

B bovenleiding

300 A NTC

1500 V –

M

R 0,044 Ω led

Figuur 69

treinmotor

0,033 Ω

rails

A

P

B

A

P

B

Figuur 70 parallelbovenleiding bovenleiding

300 A 1500 V

M

0,044 Ω A

Figuur 71

treinmotor

0,033 Ω P

rails B

45

Elektriciteit Leerdoelen en begrippen

Leerdoelen en begrippen Ga voor jezelf na of je de leerdoelen al hebt bereikt. Vink de leerdoelen die je hebt bereikt af en geef aan wat je gaat doen met de uitleg en opdrachten waarmee je nog moeite hebt.

PA R AG R A A F 1.2 E N E RG I E E N V E R M O G E N Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: elektrische energie, elektrisch vermogen, energieomzetting, kilowattuur (of kWh), nuttige energie, rendement.

beschrijven welke energieomzetting er plaatsvindt in een elektrisch apparaat.

een hoeveelheid energie omrekenen van kilowattuur (kWh) naar joule (J) en omgekeerd.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor energie en vermogen: ​E = P ∙ t​.

berekeningen maken en redeneren met de formule ​E​  nuttig​​

​P​  nuttig​​

voor rendement: η ​ = _____ ​  ​E​   ​​​ = _____ ​  ​P​   ​ ​. ​​ in

in

PA R AG R A A F 1.3 S PA NNIN G E N S T RO O M S T E R K T E Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: vrij elektron, ion, spanning, gesloten stroomkring, stroomsterkte, lading, elementaire lading, schakelschema.

beschrijven wanneer ladingen elkaar aantrekken of afstoten.

bepalen in welke richting de elektrische stroom en de elektronenstroom in een stroomkring lopen.

met de definities van stroomsterkte en spanning uitleggen dat 1 A = 1 C · s−1 en 1 V = 1 J · C−1.

uitleggen waardoor het door een apparaat omgezette vermogen evenredig is met de spanning over en de stroomsterkte door het apparaat. elektrische schakelingen tekenen met behulp van de symbolen van elektrische componenten.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor elektrisch vermogen: ​P = U ∙ I​.

berekeningen maken en redeneren met de definitie Q van stroomsterkte: ​I = __ ​ t ​​. berekeningen maken en redeneren met de definitie van spanning: ​U = ___ ​ Δ E ​​. Q

46

Leerdoelen en begrippen Elektriciteit

PA R AG R A A F 1.4 W E E RS TA N D Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: weerstand, soortelijke weerstand, ​I,U​-diagram, ohmse weerstand, NTC- en PTC-weerstand gloeidraad, LDR, diode, zonnecel, wet van Ohm.

uitleggen van welke factoren de weerstand van een stroomdraad afhangt.

in een ​I,U​-diagram schetsen welk verband er is tussen de spanning over en de stroomsterkte door een ohmse weerstand.

uit een I​ ,U​-diagram bepalen hoe groot de weerstand van een stroomdraad of apparaat is.

aan een I​ ,U​-diagram herkennen of dit bij een diode, LDR, NTC-, PTC- of ohmse weerstand hoort. een schakelschema aanvullen met een spanningsen stroommeter voor het meten van de spanning over en de stroomsterkte door een component van de schakeling (zoals een lamp).

berekeningen maken en redeneren met de wet van Ohm: ​U = I ∙ R.​

berekeningen maken en redeneren met de formule A voor de (soortelijke) weerstand: ​ρ = _____ ​ R ·  ​ ​.

l

PA R AG R A A F 1.5 S C H A K E L IN G E N IN H U IS Ik kan: de volgende begrippen beschrijven en toepassen: parallelschakeling, stroomdeling, serieschakeling, spanningsdeling, overbelasting, kortsluiting, zekering, aardlekschakelaar.

Acties:

het schakelschema tekenen van een serieschakeling en parallelschakeling van twee of meer weerstanden. uitleggen waarom alle stopcontacten en lampen in een elektrische huisinstallatie parallel zijn aangesloten op de meterkast.

uitleggen hoe de zekeringen en de aardlekschakelaar het gebruik van elektriciteit in huis veilig maken.

beschrijven welke kenmerken een parallelschakeling heeft wat spanning, stroomsterkte en totale weerstand betreft.

47

Elektriciteit Leerdoelen en begrippen

berekeningen maken en redeneren met de formules voor een parallelschakeling: ​ ​  tot​​ = ​U​  1​​ = ​U​  2​​  =​ … ​U ​​I​  tot​​ = ​I​  1​​  + ​I​  2​​+​ …

beschrijven welke kenmerken een serieschakeling heeft wat spanning, stroomsterkte en totale weerstand betreft.

berekeningen maken en redeneren met de formules voor een serieschakeling: ​​U​  tot​​ = ​U​  1​​  + ​U​  2​​+​ … ​​I​  tot​​ = ​I​  1​​ = ​I​  2​​  =​ … ​ ​  tot​​ = ​R​  1​​  + ​R​  2​​+​ … ​R

bij een gemengde schakeling de kenmerken van een parallel- en serieschakeling toepassen, en berekeningen maken en redeneren met de formules voor deze twee soorten schakelingen.

schakelingen analyseren, berekeningen maken en redeneren met de wetten voor stroombehoud en spanningsbehoud.

1 1 ___ ​​  ​R1​   ​​​ = ​ ___  ​  + ​ ___  ​ +​ … ​R​  1​​ ​R​  2​​ tot

2

Sport en verkeer Bewegingen

2.1

Introductie

49

2.2

Kracht verandert snelheid

51

2.3

Versnellen en vertragen

59

2.4 Afstand en beweging

65

2.5

Vallen

75

2.6

Verdieping

83

2.7

Afsluiting

86

Leerdoelen en begrippen

90

49

Sport en verkeer

2.1

Introductie

Bij de meeste sporten beweeg je veel en gebruik je spierkracht. In het verkeer, op je fiets, heb je spierkracht nodig en op een scooter motorkracht. Wat is bewegen? Wat is de invloed van kracht(en) op een beweging? Deze vragen staan centraal in dit hoofdstuk over kracht en beweging.

h O O F D s T U K V R A AG Welke invloed hebben krachten op bewegingen?

In dit hoofdstuk kijk je naar krachten op een voorwerp die langs de bewegingsrichting naar voren of naar achteren werken. Die krachten hebben invloed, doordat ze de snelheid van een voorwerp kunnen veranderen. Als er meerdere krachten op een voorwerp werken, resulteert één kracht: de nettokracht. Je zoekt naar antwoorden op de volgende vragen: Welke invloed heeft een nettokracht op de snelheid? (paragraaf 2.2) E Waardoor wordt de versnelling of vertraging van een voorwerp bepaald? (paragraaf 2.3) E Hoe bepaal je de snelheid en de afstand bij een eenparig versnelde of eenparig vertraagde beweging? (paragraaf 2.4) E Wat voor soort beweging voert een vallend voorwerp uit? Vallen alle voorwerpen op dezelfde manier? (paragraaf 2.5) E

InLEIDInG In de onderbouw heb je kennis gemaakt met snelheid en afstand van een beweging waarbij de snelheid niet verandert. Zo’n beweging heet een eenparige beweging. Als de snelheid van een voorwerp wel verandert, werkt er een nettokracht op het voorwerp. Is die nettokracht constant, dan kun je rekenen met een gemiddelde snelheid.

snelheid en afstand Voor een eenparige beweging geldt:

s=v·t In deze formule is s de afstand (in m), v de constante snelheid (in m/s) en t de tijd (in s) gerekend vanaf het begin van de beweging. Is de snelheid niet constant, dan rekenen we vaak met de gemiddelde snelheid vgem:

s = vgem · t In deze formules passen de eenheden bij elkaar. De standaardeenheden zijn meter, seconde en meter per seconde. Reken je met de snelheid in km/h, dan hoort daar een tijd bij in uren en een afstand in kilometer.

Figuur 1 Voor het gooien van een bal is kracht nodig.

Start Maak de vragen bij Start.

Experiment 1: Autootje op een helling

50

2.1 Introductie Sport en verkeer

VO O R B E E L D O P G AV E 1 Vraag: Je fietst met een constante snelheid van 18 km/h. Bereken in hoeveel seconden je een afstand van 900 m aflegt. Antwoord: Reken eerst 18 km/h om naar m/s: 1,0 m/s 3,6 km/h

18 km/h

÷ 3,6

dus v = 5,0 m/s s = v ∙ t geeft 900 = 5,0 × t 900 t = ___ ​ ​5,0 ​= 1,8 · 10² s

Figuur 2 Transport van de romp van de Airbus A380

Voor het omrekenen van km/h naar m/s en omgekeerd, kun je gebruikmaken van de volgende regel: als je wandelt met 1,0 m/s (elke seconde een stap van een meter) loop je in een uur 3600 m, ofwel 3,6 km. De omrekenregel is dus: 1 m/s is hetzelfde als 3,6 km/h.

Eigenschappen van krachten Er zijn verschillende soorten krachten: E krachten die op afstand werken, zoals de zwaartekracht, de elektrische kracht en de magnetische kracht; E krachten die alleen kunnen werken als er contact is, zoals spankracht, veerkracht en wrijvingskracht. Krachten hebben de volgende eigenschappen: E Elke kracht heeft een richting. E Elke kracht grijpt aan in een bepaald punt, bijvoorbeeld het contactpunt of het zwaartepunt. E Elke kracht heeft een grootte die wordt uitgedrukt in newton (N).

1

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a De standaardeenheid van snelheid is km/h. b Als de nettokracht naar achteren is gericht, vertraag je. c 100 km/h = 36 m/s d Een kracht heeft een grootte en een richting.

2

De romp van de Airbus A380 wordt over de weg getransporteerd in drie achtereenvolgende nachten. In de eerste twee etappes wordt gereden van 22.00 uur tot 06.00 uur. De eerste etappe is 101 km lang, de tweede 90 km en de derde en laatste 33 km. De derde etappe wordt in 3,0 uur afgelegd. a Bereken op welk traject de gemiddelde snelheid het grootst is. b Reken voor elk traject de snelheid uit in m/s. c Zou je dit transport hardlopend of fietsend bij kunnen houden?

3

Je maakt een fietstocht van een uur. Het eerste halfuur leg je 15 km af en het tweede halfuur 10 km. a Bereken de gemiddelde snelheid over elk van beide halve uren en ook over de hele tocht. Daarna bezoek je op de fiets een klasgenoot. De afstand is 15 km. Je fietst er heen met een stevige rugwind en een snelheid van 25 km/h. Op de terugreis heb je tegenwind, waardoor je snelheid maar 15 km/h is. b Bereken hoeveel minuten je over de heenreis doet. c En over de terugreis? d Controleer met een berekening dat voor de hele tocht de gemiddelde snelheid 18,8 km/h is. e Leg uit hoe het komt dat de gemiddelde snelheid bij deze rit lager is dan het gemiddelde van 15 en 25 km/h.

51

Sport en verkeer

2.2

Kracht verandert snelheid

OnTDEKKEn In een rijdende trein voel je vaak niet dat je beweegt. Je kunt ook rustig door het gangpad lopen en tegelijk met hoge snelheid over de rails razen. Maar remt de trein plotseling, dan lijkt het alsof je naar voren geduwd wordt. Hoe zit dat met kracht en snelheid?

W1 Tijdrit op de maan Experiment 2: Luchtkussenbaan

PA R AG R A A F V R A AG Welke invloed heeft een nettokracht op de snelheid?

BEGRIJPEn Kracht en beweging Krachten hebben alles te maken met bewegen. Zonder kracht kun je immers niet in beweging komen en ook niet afremmen. Als op hetzelfde voorwerp meerdere krachten werken die elkaar opheffen, is de nettokracht nul en verandert de beweging niet. Als de nettokracht niet nul is, zal het voorwerp versnellen of vertragen. In de figuren 3 tot en met 6 zie je vier voorbeelden van verschillende bewegingen met één of meer krachten. Hierna staat beschreven welke krachten er werken en welke invloed ze hebben op die beweging. Figuur 3: Zodra de curlingsteen is losgelaten, werkt alleen de wrijvingskracht. Die werkt tegen de beweging in, waardoor de snelheid afneemt. Figuur 4: Op de halter met gewichten werken twee krachten: de zwaartekracht en de spierkracht van de gewichtheffer. Als de gewichtheffer het gewicht boven zijn hoofd stil houdt, zijn deze twee krachten even groot en tegengesteld gericht. Beide krachten heffen elkaar op, de nettokracht is nul. Figuur 5: Op een raket werken drie krachten: de zwaartekracht, de stuwkracht van de ontbrandingsmotor en de luchtweerstandskracht of kortweg de luchtweerstand. De raket komt alleen in beweging als de stuwkracht groter is dan de zwaartekracht en de luchtweerstand samen. De nettokracht is dan naar boven gericht, waardoor de raket steeds sneller gaat. Figuur 6: Een parachutist daalt met constante snelheid, hangend aan een geopende parachute. Hier werken twee krachten: de zwaartekracht en de luchtweerstand. De snelheid is constant, doordat de luchtweerstand even groot is als de zwaartekracht. De nettokracht is nul.

Figuur 3

Figuur 4

De nettokracht is nul Als de nettokracht op een voorwerp nul is, verandert de snelheid van het voorwerp niet. Dit heet een eenparige beweging. Het omgekeerde geldt ook: bij een eenparige beweging is de nettokracht nul. De nettokracht wordt ook wel de resulterende kracht Fres genoemd. In de praktijk lijkt het wel eens anders te zijn. Op de fiets bijvoorbeeld, zou je misschien denken dat je iets harder moet trappen dan de tegenwerkende kracht om dezelfde (constante) snelheid te houden. Toch is dat niet zo. Bij een constante snelheid is de voorwaartse kracht precies even groot als de tegenwerkende kracht. Als je harder trapt dan de tegenwerkende kracht, is er een nettokracht naar voren en neemt de snelheid

6, Figuur 5

Figuur 6

52

BEGRIJPEn 2.2 Kracht verandert snelheid Sport en verkeer

toe. Alleen als de nettokracht nul is, verandert de snelheid niet. De nettokracht is uiteraard ook nul als je stil blijft staan met je fiets. Dit is de Eerste wet van Newton. B

Is de resulterende kracht nul, dan is de snelheid constant of het voorwerp blijft stilstaan. Dit geldt ook omgekeerd.

nettokracht en versnelling Voor het veranderen van snelheid is een nettokracht nodig die niet nul is. Dat merk je bijvoorbeeld als je bij een verkeerslicht wegfietst, en zeker als je iemand achterop hebt. Je moet dan flink hard trappen om op gang te komen, terwijl er nog nauwelijks luchtweerstand is. Ook als je wilt remmen, heb je een nettokracht nodig die niet nul is. Een nettokracht die niet nul is, zorgt er dus voor dat de snelheid van een voorwerp groter of kleiner wordt. Bij sjoelen neemt de snelheid van een schijf geleidelijk af, zodra hij is losgelaten. Figuur 7 is een stroboscopische opname van een schijf in een sjoelbak. Een stroboscoop geeft lichtflitsen met gelijke tussenpozen. Je ziet dat de afstand tussen de posities steeds kleiner wordt. De oorzaak hiervan is een tegenwerkende nettokracht, in dit geval de wrijvingskracht.

Figuur 7 Een sjoelschijf remt geleidelijk af. De afstand tussen de posities wordt gelijkmatig kleiner. De kracht (rode pijl) is constant en de snelheid (blauwe pijl) neemt af.

Als de nettokracht constant is, zoals bij de sjoelschijf in figuur 7, verandert de snelheid gelijkmatig. De afname van de snelheid is dan elke seconde even groot. Een beweging waarbij de snelheid gelijkmatig toeneemt of afneemt heet een eenparig versnelde beweging. Daarbij wordt een vertraging gerekend als negatieve versnelling.

snelheid v (m/s)

Bij een grotere constante nettokracht op een voorwerp is de snelheidsverandering per seconde groter, zoals je ziet in figuur 8.

10

Figuur 8 Versneld autootje 5

0

Als de nettokracht niet constant is, verandert de snelheid niet gelijkmatig. Als je bijvoorbeeld vanuit stilstand op de fiets wegsprint, neemt je snelheid steeds minder snel toe, doordat de luchtweerstand toeneemt. Zie figuur 9. B

0

10

Figuur 9 Wegsprintende fietser

20

30 tijd t (s)

B

B

Is de nettokracht op een voorwerp niet nul, dan versnelt of vertraagt het voorwerp. Is de nettokracht constant (maar niet nul), dan neemt de snelheid gelijkmatig toe of af. Er is dan sprake van een eenparig versnelde beweging. Bij een grotere nettokracht op een voorwerp neemt de snelheid sneller toe (of af).

53

Sport en verkeer 2.2 Kracht verandert snelheid BEGRIJPEn

4

Begrijpen

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a Als er helemaal geen krachten werken, gaat een beweging oneindig lang door. b Bij een vertraagde beweging is de voorwaartse kracht kleiner dan de tegenwerkende kracht. c Bij een eenparige beweging is de snelheid constant. d Bij een eenparige beweging is er een constante nettokracht naar voren. e Als de nettokracht nul is, staat het voorwerp stil. f Is de nettokracht klein, dan wordt de eindsnelheid nooit groot.

5

Een constante nettokracht heeft invloed op de snelheid van een voorwerp. a Wat gebeurt er met de snelheid als er een constante nettokracht naar voren is? b Wat gebeurt er met de snelheid als er een constante nettokracht naar achteren is? c Iemand beweert: ‘Om met een constante snelheid te fietsen moet je een kracht leveren die net iets groter is dan de tegenwerkende krachten samen, anders kom je niet vooruit.’ Leg uit wat er fout is aan deze bewering.

6

Een schaatser opent de 500 m met een tijd van 10,1 s over de eerste 100 m. Dan versnelt de schaatser nog steeds. De topsnelheid wordt na ongeveer 20 s bereikt. Daarna neemt de snelheid langzaam af. a Leg uit op welk moment in de race de nettokracht op de schaatser het grootst is: direct na de start, na 10 s, na 20 s of vlak voor de finish. b Leg uit op welk moment in de race de tegenwerkende kracht het grootst is: direct na de start, na 5 s, of na 20 s. c Beredeneer in welke richting de nettokracht in de laatste 100 m werkt.

7

In figuur 10 zie je stroboscoopfoto’s van een bewegend voorwerp. Bij zo’n foto is de tijd tussen twee opvolgende lichtflitsen constant. Op beide foto’s beweegt het voorwerp naar rechts. a Leg uit bij welke foto de snelheid constant is. b Hoe bepaal je in deze foto de snelheid? Leg uit wat je daarvoor moet weten en/of meten. c Licht toe bij welke foto de nettokracht nul is. d Leg uit in welke richting de nettokracht op de andere foto werkt, waarbij de nettokracht niet nul is. e Beredeneer of de beweging op foto A versneld of vertraagd is.

Maak de opgaven in je boek of online.

A

B

Figuur 10

54

v

BEhEERsEn 2.2 Kracht verandert snelheid Sport en verkeer

A

In figuur 11 zie je het v,t-diagram (het snelheid,tijd-diagram) van vier verschillende bewegingen van een fiets. a Leg uit welk diagram bij een eenparige beweging hoort. b Leg uit welk(e) diagram(men) horen bij een constante nettokracht. c Licht toe bij welk diagram de beweging eerst versneld en daarna eenparig is. d Beredeneer hoe de nettokracht verandert bij beweging C.

9

In figuur 12 zijn de vier bewegingen van figuur 11 weergegeven als stroboscoopfoto’s. Bij zulke foto’s is de tijd tussen twee opvolgende lichtflitsen constant.

t

0

v

0

8

B

1

t

0

2

v

0

C 3

4

Figuur 12

t

0

a

v

0

b

D

c

0

BEhEERsEn

t

0

snelheid v (km/h)

Figuur 11

Een grafiek van de snelheid

70

De grafiek van figuur 13 geeft weer hoe de snelheid van een schaatser verandert tijdens een rit over 1500 m. Zo’n diagram noem je een snelheid,tijd-diagram, ofwel een v,t-diagram.

60 50 40 30 20 10 0

Welk diagram hoort bij tekening 1? Waaraan zie je dat? Welk diagram hoort bij tekening 2? En bij tekening 4? Waaraan zie je dat? Leg uit hoe je ziet dat diagram D bij tekening 3 hoort.

0

20

40

60

80

100 120 tijd t (s)

Figuur 13 Snelheid tijdens een schaatswedstrijd

In het eerste deel van de rit, direct na het startschot, neemt de snelheid sterk toe. Daarvoor is een grote nettokracht nodig. De snelheid neemt echter niet gelijkmatig toe. De nettokracht is blijkbaar in die eerste fase niet constant. Tijdens het tweede deel van de rit is de snelheid een korte tijd constant. De kracht die de schaatser dan levert, is precies even groot als de tegenwerkende kracht (de som van de wrijvingskrachten). De nettokracht is nul. Maar dit houdt hij kennelijk niet vol, want in het derde deel neemt de snelheid langzaam en gelijkmatig af. De nettokracht is dan naar achteren gericht én constant, omdat de snelheid gelijkmatig afneemt. De beweging is eenparig vertraagd. In een v,t-diagram kun je goed zien of het versnellen of vertragen constant gaat. De snelheid neemt dan gelijkmatig toe of af. De grafiek in het v,t-diagram is dan een rechte lijn. Elke seconde is de toe- of afname van de snelheid even groot. Hoe groter de nettokracht is, des te steiler is de grafiek en des te meer versnelt of vertraagt het voorwerp.

55

Sport en verkeer 2.2 Kracht verandert snelheid BEhEERsEn

B

B

B

Is de nettokracht constant, dan is de grafiek in het v,t-diagram een stijgende of dalende rechte lijn. De beweging is eenparig versneld of vertraagd. Is de nettokracht nul, dan is de grafiek in het v,t-diagram horizontaal. De beweging is eenparig, de snelheid is constant. Hoe groter de nettokracht op een voorwerp is, des te steiler loopt de grafiek in het v,t-diagram.

De versnelling bepalen uit het v,t–diagram De versnelling van een voorwerp is de snelheidsverandering per seconde. In figuur 14 neemt de snelheid eerst elke seconde toe met 4,0 m/s. De versnelling is dan dus 4,0 m/s2. In het tweede deel is de versnelling nul, de grafiek loopt horizontaal. In het derde deel daalt de grafiek elke seconde met 2,5 m/s. De versnelling is dan −2,5 m/s2. Bij een constante versnelling is de grafiek in het v,t-diagram een rechte lijn. De versnelling is dan de steilheid of het hellingsgetal van de lijn. Zie figuur 14. De formule om de versnelling te berekenen is: Δv a = __ Δt

25

a = 0 m/s2

20

a = –2,5 m/s2

snelheid v (m/s)

snelheid v (m/s)

In deze formule is a de versnelling (in m/s2), Δv de snelheidsverandering (in m/s) en Δt de tijdsduur (in s). 25 20

15

15

10

10

0

0

2

4

6

8

8,3

8,3

Δt = _ 1,5 = 5,6 s

Δv = 4,0 m/s 5

5

10

12

14 16 tijd t (s)

0

Δt = 1,0 s 0

2

4

6

8

10

12

14 16 tijd t (s)

Figuur 14 De versnelling is de steilheid (het hellingsgetal) van de grafiek in het v,t-diagram B B

Een auto rijdt 90 km/h en versnelt met 1,5 m/s2. Vraag: Bereken hoe lang het duurt voor de snelheid tot 120 km/h is toegenomen. Antwoord: De snelheidstoename Δv = 30 km/h = 8,3 m/s. Δv geeft: 1,5 = ___ dus Invullen in a = ___ Δt Δt

Δv = –2,5 m/s Δt = 1,0 s

a = 4,0 m/s2

VO O R B E E L D O P G AV E 2

De versnelling a is de snelheidsverandering per seconde (in m/s²). Bij een eenparig versnelde beweging is de versnelling gelijk aan de steilheid (of het hellingsgetal) van de rechte grafiek in het v,t-diagram.

De gemiddelde versnelling en de versnelling op een tijdstip Als de nettokracht niet constant is, is de versnelling ook niet constant. In het v,t-diagram is de grafiek niet recht maar krom, zoals in figuur 15 en 16. Bij een dergelijke beweging kun je zowel de gemiddelde versnelling over een bepaalde periode bepalen als de versnelling op een bepaald tijdstip.

56

snelheid v (m/s)

BEhEERsEn 2.2 Kracht verandert snelheid Sport en verkeer

De gemiddelde versnelling gedurende een periode bepaal je (net als bij een eenparig versnelde beweging) met het beginpunt en het eindpunt van de grafiek (zie figuur 15).

10 8

Δv a gem = ___ Δt

6

Δ v = 8,4 m/s

4 2 0

Om de versnelling op een bepaald tijdstip te bepalen, teken je eerst op dat tijdstip de raaklijn aan de grafiek. Daarna bepaal je het hellingsgetal van de raaklijn (figuur 16).

agem =

dv a = ___ = steilheid van de raaklijn dt

8,4 — = 0,34 m/s2 25

Δ t = 25 s

0

5

10

15

20

25 30 tijd t (s)

snelheid v (m/s)

Figuur 15 Gemiddelde versnelling in de eerste 25 s

In figuur 16 is met deze raaklijnmethode de versnelling bepaald op het tijdstip t = 8,0 s. De versnelling op dat tijdstip is 0,47 m/s2. B

B

10

De gemiddelde versnelling in een bepaalde periode bereken je met de beginsnelheid, de eindsnelheid en de tijdsduur. De versnelling op een bepaald tijdstip is in het v,t-diagram gelijk aan het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek op dat tijdstip.

8

10 De paragraafvraag is: Welke invloed heeft een nettokracht op de snelheid? Wat

6

is het antwoord op deze vraag?

Δ v = , m/s 4

— = , m/s a = , 

laatste 400 m rijdt hij met een gemiddelde snelheid van 54,8 km/h. Bereken de eindtijd van de schaatser.

Δ t =  s

2

0

11 Een schaatser opent de 500 m met een tijd van 10,1 s over de eerste 100 m. De

0

5

10

15

20

25

30 35 tijd t (s)

12 Rekenen met snelheid en versnelling. a

Figuur 16 Versnelling op een tijdstip b

snELhEID En VERsnELLInG Wiskundig gezien is de versnelling op een bepaald tijdstip (als functie van de tijd) de afgeleide van de snelheidsfunctie. De ‘afgeleide functie’ van een (wiskundige) functie geeft op elk moment het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek van die functie. De formele notatie die hier bijhoort, komt aan bod in hoofdstuk 11 (van deel 5 vwo).

c d

Een fietser versnelt gelijkmatig in 4,0 s vanuit stilstand tot 5,0 m/s. Bereken de versnelling. In 4,5 s neemt de snelheid van een auto toe van 0 tot 65 km/h. Bereken de gemiddelde versnelling in m/s2. Een fietser trekt vanuit stilstand op met een constante versnelling van 1,8 m/s2. Bereken de snelheid na 3,0 s. Een brommer trekt vanuit stilstand op met een constante versnelling van 2,5 m/s2. Bereken hoe lang het duurt tot de snelheid 12,5 m/s is geworden.

13 Een scooter rijdt vanuit stilstand weg met een constante versnelling van 2,0 m/s2. a b c d

Leg in je eigen woorden uit wat een versnelling van 2,0 m/s2 betekent. Bereken de snelheid na 3,0 s. Bereken hoe lang het duurt totdat de scooter een snelheid van 36 km/h heeft bereikt. In de praktijk blijft de versnelling bij het optrekken niet constant. Leg uit hoe je dat ziet aan het v,t-diagram.

14 Een auto heeft op t = 0 s een snelheid van 8,0 m/s. De snelheid neemt daarna gelijkmatig toe tot een snelheid van 20 m/s op t = 6,0 s. Schets het v,t-diagram van deze beweging. 2 b Leg uit dat de versnelling 2,0 m/s is. c Leg uit dat de gemiddelde snelheid bij deze beweging 14 m/s is. a

57

Sport en verkeer 2.2 Kracht verandert snelheid BEhEERsEn

15 In figuur 17 zie je drie v,t-diagrammen van bewegingen. a

Beschrijf de beweging van diagram A. Beschrijf de beweging van diagram B. Bereken de versnelling bij diagram B. Beschrijf de beweging bij diagram C. Bepaal de versnelling bij diagram C.

d

10

snelheid v (m/s)

snelheid v (m/s)

e

A

5

0

0

10

20

30 tijd t (s)

10 B

5

0

0

10

20

30 tijd t (s)

20 C

10

0

0

10

20

30 tijd t (s)

snelheid v (m/s)

c

snelheid v (m/s)

b

Figuur 17

b c

20 A

16 In figuur 18 is het v,t-diagram van twee auto’s A en B weergegeven. a

30

B

10

Bepaal de versnelling van auto B. Bepaal de gemiddelde versnelling van auto A van t = 0 tot t = 6 s. Beredeneer hoe groot de versnelling van auto A op t = 4,0 s is.

0

17 In figuur 19 zie je een remmende takelwagen op een aantal opeenvolgende tijdstippen. De auto start met remmen op het tijdstip t = 0. De schaalverdeling van de figuur is: elk hokje ≙ 1,0 m.

0

2

4

6 tijd t (s)

Figuur 18 Twee auto’s

Experiment 3: Sjoelcurling t= 5 s

t=4s

t=3s

t=2s

t=1s

t= 0 s

In de eerste seconde legt de takelwagen 11 m af (dat zijn 11 hokjes in de figuur). a Bepaal de afgelegde afstanden in de tweede en de derde seconde. b Leg uit hoe je, met behulp van de antwoorden op vraag a, kunt zien dat de snelheid van de takelwagen gelijkmatig afneemt. De beginsnelheid van de takelwagen is 12 m/s. Op t = 6,0 s staat de auto stil. c Leg uit waardoor de auto in de eerste seconde minder dan 12 m aflegt. d Teken het v,t-diagram van de remmende takelwagen. e Bereken de remvertraging van de takelwagen.

18 T In figuur 20 zie je het v,t-diagram van een optrekkende fietser. De fietser

levert tijdens het optrekken een constante voorwaartse kracht. Vanaf t = 25 s is de snelheid constant. a Leg uit waardoor de snelheid niet gelijkmatig toeneemt. b Beredeneer op welk tijdstip de nettokracht het grootst is. c Bepaal de gemiddelde versnelling tussen t = 0 en t = 25 s. d Bepaal de versnelling op t = 10 s. e Beredeneer hoe groot de versnelling na t = 25 s is.

snelheid v (m/s)

Figuur 19

10

5

0

0

10

Figuur 20 Optrekkende fietser

20

30 tijd t (s)

58

snelheid v (m/s)

BEhEERsEn 2.2 Kracht verandert snelheid Sport en verkeer

30

19 In figuur 21 zie je het v,t-diagram van twee remmende voertuigen A en B. De wettelijke minimale remvertraging van een personenauto is 5,2 m/s2. a Toon via een berekening aan dat auto A voldoet aan de eis voor de remvertraging. b Bereken binnen welke tijd auto B stil had moeten staan om te voldoen aan de eis. De wettelijke minimale remvertraging voor brommers is 3,9 m/s2. c Leg uit welk gevaar er bestaat als brommers binnen de bebouwde kom tussen de auto’s rijden.

20

10 B

A

0

0

2

4

Figuur 21

Figuur 22 Een sleeppush bij hockey

6 tijd t (s)

20 Bij een sleeppush bij hockey wordt de bal niet geslagen maar geduwd. De speler probeert dan over een zo groot mogelijke afstand kracht uit te oefenen. Bij een bepaalde push neemt de snelheid van de bal toe van 6,0 m/s tot 30 m/s. Daarbij legt de bal een afstand af van 1,80 m. Neem aan dat de nettokracht van de stick op de bal constant is. a Controleer door middel van een berekening dat de gemiddelde snelheid van de bal tijdens de sleeppush 18 m/s is. b Bereken daarmee hoe lang de sleeppush duurt. c Schets het v,t-diagram van de sleeppush. In werkelijkheid is de nettokracht op de bal aan het begin van de push groter dan aan het einde van de push. De begin- en eindsnelheid zijn wel 6,0 m/s en 30 m/s. De afstand is ook 1,80 m. d Leg uit dat de gemiddelde snelheid van de bal nu groter is dan 18 m/s. e Beredeneer of de push nu langer dan, korter dan of even lang als bij vraag b duurt. f Schets in hetzelfde v,t-diagram het verloop van de snelheid. Houd daarbij rekening met het afnemen van de kracht tijdens de push.

59

Sport en verkeer

2.3

Versnellen en vertragen

OnTDEKKEn Sprinters zijn meestal gespierde atleten, zeker als je ze vergelijkt met marathonlopers. De versnelling bij de start van een sprint hangt echter niet alleen af van de kracht, ook de massa van de atleet is van invloed. Welke atleet kan het beste versnellen? In het verkeer kan een lege vrachtauto sneller tot stilstand komen dan wanneer hij vol beladen is. Waardoor komt dat?

Experiment 4: Wedstrijd filmen Experiment 5: Videometing katapult

PA R AG R A A F V R A AG Waardoor wordt de versnelling of vertraging van een voorwerp bepaald?

BEGRIJPEn Figuur 23

nettokracht en versnelling Een grotere nettokracht op hetzelfde voorwerp heeft een grotere versnelling tot gevolg. Als je bijvoorbeeld met een skateboard op een steile helling begint, is je versnelling groter als de helling steiler is. Hetzelfde geldt voor vertraging: een grotere remkracht geeft een grotere vertraging. Er geldt: is de nettokracht bijvoorbeeld 3x zo groot, dan is de versnelling ook 3x zo groot. Er is dus een evenredig verband. B

Bij een versnelde (of vertraagde) beweging van een voorwerp is de versnelling (of vertraging) evenredig met de nettokracht.

Welke invloed heeft de massa op de versnelling? Fiets je met iemand achterop, dan valt het niet mee om bij het stoplicht snel weg te komen. Om een vrachtwagen dezelfde versnelling te geven als een personenwagen is een grotere motorkracht nodig. Een grotere massa laat zich niet zo gemakkelijk versnellen en vertragen. De versnelling van een voorwerp hangt dus niet alleen af van de nettokracht, maar ook van de massa van het voorwerp. Om een zwaar voorwerp dezelfde versnelling te geven als een licht voorwerp, is een grotere nettokracht nodig. Die benodigde nettokracht is evenredig met de massa. Bij een tien keer zo zwaar voorwerp is een tien keer zo grote nettokracht nodig voor dezelfde versnelling.

Figuur 24

In situaties waarin de nettokracht even groot is, is de versnelling kleiner als de massa groter is. Een kogel van 3 kg krijgt een grotere versnelling dan een kogel van 5 kg, bij dezelfde stootkracht. Als de massa dubbel zo groot is, is de versnelling of vertraging twee keer zo klein. We zeggen dat de versnelling omgekeerd evenredig is met de massa zolang de nettokracht constant is. B

De versnelling is omgekeerd evenredig met de massa bij gelijke nettokracht.

Figuur 25 Kogelstoten

60

BEGRIJPEn 2.3 Versnellen en vertragen Sport en verkeer

Traagheid Bij het begrip traagheid wordt vaak gedacht aan een beweging die heel langzaam verloopt, maar in de natuurkunde heeft het een andere betekenis. Met traagheid wordt bedoeld dat een voorwerp met massa moeilijk in beweging gebracht kan worden en dat het moeite kost om de snelheid van het voorwerp te veranderen. Traagheid is een eigenschap van massa: hoe groter de massa, des te groter de traagheid. Een voorwerp met een grote traagheid kan best een grote snelheid krijgen, als de nettokracht groot is of langdurig werkt. Traagheid herken je bijvoorbeeld in de truc met het tafelkleed (zie figuur 26). Als je het kleed maar snel genoeg wegtrekt, is de tijd te kort en de wrijving niet groot genoeg om het servies enige snelheid te geven. Figuur 26 Zal de truc met het tafelkleed ook werken met een motorfiets?

B

Een voorwerp met een grote massa heeft een grote traagheid. De snelheid van het voorwerp is dan moeilijk te veranderen.

21 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken.

Begrijpen

a

Maak de opgaven in je boek of online.

b c d e f

Bij een constante versnelling is de nettokracht constant. Bij een constante vertraging is de voorwaartse kracht gelijk aan de tegenwerkende krachten. De versnelling is evenredig met de massa. Als de massa en de nettokracht met dezelfde factor toenemen, blijft de versnelling gelijk. Als je door rul zand fietst, is je traagheid groter dan op asfalt. Een slak heeft een grotere traagheid dan een schildpad.

22 In figuur 27 is van drie auto’s de massa en de maximale voorwaartse kracht van de motor gegeven. a Leg uit welke auto het snelst kan optrekken. En welke het langzaamst. b Leg uit of je nu ook kunt zeggen welke auto de grootste topsnelheid haalt. c Leg uit of je met deze gegevens ook kunt zeggen welke van deze auto’s de grootste remvertraging heeft. d Beredeneer welke auto de grootste traagheid heeft. e Leg in je eigen woorden uit wat het begrip traagheid betekent in de natuurkunde.

massa auto: 800 kg motorkracht: 2,4 kN

massa auto: 1600 kg motorkracht: 5,4 kN

massa auto: 1200 kg motorkracht: 3,0 kN

Figuur 27

tijd t (s)

0

2,0

4,0

6,0

snelheid v (km/h)

0

18

36

54

Figuur 28

23 Een auto trekt op vanuit stilstand. In figuur 28 zie je hoe de snelheid van de auto gelijkmatig toeneemt. a Beschrijf welke vorm het v,t-diagram van deze auto heeft. b Is dit een eenparige beweging, een eenparig versnelde beweging of geen van beide? Licht je antwoord toe. c Leg uit dat tijdens de beweging de nettokracht constant is.

61

Sport en verkeer 2.3 Versnellen en vertragen BEhEERsEn

24 De wettelijke minimale remvertraging van een personenauto is 5,2 m/s2. Voor een vrachtwagen geldt dezelfde minimale remvertraging. a Is de remkracht van de vrachtwagen dan ook gelijk? Leg uit. b Beredeneer of de remweg van een vrachtwagen, bij dezelfde snelheid en remvertraging, groter dan, kleiner dan of even groot als de remweg van een personenauto is.

25 Een voorwerp met een grote massa heeft een grote traagheid. a

Beschrijf hoe je de traagheid van een voorwerp kunt veranderen. Leg uit hoe het komt dat je niets van je eigen traagheid merkt als je in een trein zit die met hoge snelheid rijdt. c Geef twee voorbeelden waarbij je zelf wel iets merkt van traagheid. Men zegt wel eens: ‘Massa heeft twee eigenschappen: gewicht en traagheid’. d Beschrijf wat men bedoelt met het gewicht. Waardoor wordt gewicht veroorzaakt? e Beschrijf wat je meet met een weegschaal: massa, gewicht of traagheid? b

26 In figuur 29 zie je twee trucs waarbij gebruikgemaakt wordt van traagheid: een hamer met een houten steel en een zware kogel met twee identieke touwtjes. a Beschrijf wat er gebeurt bij de hamer. b Leg uit waarom de truc met de hamer minder goed werkt bij een zachte ondergrond. Gebruik in je uitleg het begrip traagheid. c Leg uit welk touwtje bij de zware kogel zal breken als je een korte ruk geeft aan het onderste touwtje. d Beredeneer wat je moet doen om het andere touwtje als eerste te laten breken. Figuur 29

BEhEERsEn Rekenen met kracht, massa en versnelling De versnelling die een voorwerp krijgt, hangt af van de nettokracht op dat voorwerp en van de massa van dat voorwerp. De versnelling is evenredig met de nettokracht en omgekeerd evenredig met de massa. Er geldt:

F=m·a Deze formule wordt de tweede wet van Newton genoemd. Hierin is F de nettokracht (in N), m de massa (in kg) en a de versnelling (in m/s2). Deze formule laat ook zien waar de eenheid newton vandaan komt. Per definitie is 1 N de nettokracht die nodig is om een voorwerp van 1 kg een versnelling te geven van 1 m/s2. Voor de eenheid N geldt: N = kg · m/s2.

De eerste en tweede wet van newton Omdat Newton de eerste was die duidelijk omschreef en aantoonde wat een kracht is en wat kracht met een beweging doet, is de eenheid van kracht naar hem vernoemd.

F =m·a

F =m·a

Figuur 30 Bij gelijke kracht is de versnelling klein bij een grote massa en groot bij een kleine massa.

62

Beheersen 2.3 Versnellen en vertragen Sport en verkeer

De manier waarop hij de invloed van krachten beschreef wordt nog steeds ‘de wetten van Newton’ genoemd.

VO O R B E E L D O P G AV E 3 Bij de lancering van een vuurpijl van 80 g werkt gedurende 1,5 s een nettokracht van 2,4 N. Vraag: Bereken de snelheid die de pijl krijgt. Antwoord: Invullen in F = m · a geeft 2,4 = 0,080 × a ​→​a = 30 m/s2. Δv Invullen in a = __ ​​  Δv  ​​ ​ →​​30​ = ​​ ___ 1,5 ​  →​ Δv = 45 m/s. Δt De snelheid wordt dus 45 m/s.

De eerste wet van Newton: Een voorwerp waarop de nettokracht nul is, beweegt met constante snelheid in een rechte lijn of blijft stilstaan.

Fres = 0 ↔ v = constant of het voorwerp blijft stilstaan De tweede wet van Newton: Een nettokracht die niet nul is geeft een voorwerp een versnelling of een vertraging evenredig met de nettokracht en omgekeerd evenredig met de massa.

Fres = m · a

K R AC H T E N B I J B OT S I N G E N

Figuur 31 De kreukelzone vangt de grootste klap op.

Een botsing is in feite remmen met een heel korte remweg. Hoe korter de remtijd is, des te groter is de vertraging en des te groter zijn de krachten bij de botsing. De kreukelzone aan de voorzijde van de auto zorgt ervoor dat de botstijd bij de meeste snelheden toeneemt tot ongeveer 0,1 s. Dat lijkt kort, maar zonder kreukelzone zou de botstijd nog veel korter zijn en dan zou de ‘klap’ van de botsing veel harder aankomen. Hoe groter de remtijd des te kleiner de gemiddelde vertraging, en des te kleiner de remkracht. Dat kun je goed zien aan de twee formules F = m ∙ a en agem = __ ​​  Δv  ​​. Δt Een grotere Δt geeft een kleinere agem en een kleinere Fgem. Ook de airbag en de rolgordel maken de remtijd langer voor de passagiers. Bovendien wordt bij deze veiligheidsmaatregelen de kracht op de inzittenden verspreid over een grotere oppervlakte van het lichaam.

27 De paragraafvraag is: Waardoor wordt de versnelling of vertraging van een voorwerp bepaald? Wat is het antwoord op deze vraag?

28 Rekenen met snelheidsverandering, versnelling en kracht. a b c d

Een brommer trekt op met een versnelling van 2,5 m/s2. De totale massa is 140 kg. Bereken de nettokracht op de brommer. Op een voorwerp van 25 kg werkt een nettokracht van 150 N. Bereken hoe groot de versnelling is. In 2,5 s neemt de snelheid van een auto gelijkmatig af van 90 tot 65 km/h. De massa van de auto is 1,3 · 103 kg. Bereken de nettokracht. Een projectiel wordt horizontaal afgeschoten met een kracht van 40 N. De versnelling tijdens het afschieten is 55 m/s². Bereken de massa van het ­projectiel.

29 Bij de uittrap door een keeper krijgt de bal in 0,10 s een snelheid van 80 km/h. De bal heeft een massa van 450 g. a Laat met een berekening zien dat de gemiddelde versnelling tijdens de trap 2,2 · 10² m/s2 is. b Bereken de gemiddelde nettokracht op de bal tijdens de trap.

63

Op een ander moment geeft een speler een pass langs de grond. De bal heeft direct na de trap een snelheid van 13 m/s. Tijdens het uitrollen is de vertraging van de bal 3,0 m/s2. c Bereken de afremmende kracht op de bal. d De bal wordt niet aangeraakt. Bereken hoe lang het dan duurt tot de bal stilligt. e Stel dat de pass na 1,4 s onderschept wordt door een tegenstander. Bereken de snelheid die de bal op dat moment had.

30 In figuur 32 zie je het v,t-diagram van een optrekkende scooter. De motor van de scooter levert een constante voorwaartse kracht. In de figuur zijn raaklijnen getekend bij t = 0 en t = 15 s. De totale massa van scooter plus berijder is 2,4 · 10² kg. a Leg uit dat de versnelling bij de start 1,0 m/s² is. De tegenwerkende kracht is bij en vlak na de start nog nul en neemt toe met de snelheid. b Bereken de voorwaartse kracht die de motor levert. c Bereken de tegenwerkende kracht op t = 15 s. Bepaal daarvoor eerst de versnelling op dat tijdstip.

31 Bij een botsing kunnen zeer grote krachten optreden. a b c

Δv Beschrijf hoe je aan de formules F = m · a en a = __ kunt zien dat bij een Δt botsing grote krachten optreden. Door de kreukelzone neemt de botstijd toe van 0,2 naar 0,5 s. Beredeneer met welke factor de (gemiddelde) kracht op de auto daardoor afneemt. Leg uit hoe door twee andere veiligheidsmaatregelen de krachten op de inzittenden bij een botsing beperkt worden.

32 Bij een frontale botsing tegen een boom staat de auto stil na 80 ms (milliseconde). De totale massa van de auto is 1450 kg, de snelheid van de auto vlak voor de botsing was 90 km/h. a Bereken de gemiddelde vertraging tijdens de botsing. b Bereken de gemiddelde nettokracht op de auto tijdens de botsing. Door de veiligheidsgordel duurt het voor de bestuurder, een man van 75 kg, langer tot hij stilstaat. Zijn ‘afremtijd’ bedraagt 0,25 s. c Bereken de gemiddelde nettokracht op de man tijdens de botsing.

33 De wettelijke minimale remvertraging is 5,2 m/s2, maar veel auto’s kunnen onder goede omstandigheden een remvertraging van 8,0 m/s2 halen. a Bereken de kracht die nodig is om een persoon met een massa van 60 kg te vertragen met 8,0 m/s2. b Beredeneer of je zo’n kracht zelf kunt leveren als je je schrap zet tegen het dashboard. Bij een frontale botsing met een snelheid van (slechts) 18 km/h staat de auto in 0,10 s stil. c Bereken de kracht die nodig is om een persoon met een massa van 60 kg binnen 0,10 s af te remmen van 18 km/h naar nul. d Beredeneer of je zo’n kracht zelf kunt leveren als je je schrap zet tegen het dashboard.

snelheid v (m/s)

Sport en verkeer 2.3 Versnellen en vertragen BEhEERsEn

10 8

6

4

2

0

0

5

10

15

Figuur 32 Optrekkende scooter

20

25 tijd t (s)

64

BEhEERsEn 2.3 Versnellen en vertragen Sport en verkeer

34 Bij onderzoek naar de effecten van een valhelm laat men eerst een pop met

snelheid v (m/s)

het hoofd zonder helm tegen een muur klappen met een snelheid van 11 m/s. Men meet dat het hoofd in 4,0 ms volledig is afgeremd. De massa van een hoofd is ongeveer 5,0 kg. a Bereken de vertraging. b Bereken de gemiddelde nettokracht op het hoofd tijdens de klap. De proef wordt herhaald met een valhelm op het hoofd van de pop. De klap tegen het hoofd duurt daardoor vijf keer zo lang. c Leg uit met welke factor de kracht op het hoofd tijdens de botsing afneemt. Een valhelm vermindert de grootte van de resulterende kracht op het hoofd. d Noem nog een ander voordeel van een valhelm bij een botsing, waardoor de schade van de klap kleiner is.

35 T In figuur 33 staat het v,t-diagram van een atleet van 70 kg. Het startschot is

16

op t = 0,0 s. Bepaal de gemiddelde versnelling tussen t = 0 en t = 5,0 s. b Bepaal de nettokracht van de atleet op t = 1,0 s. Bepaal daartoe eerst de versnelling op dat moment met behulp van figuur 33 op het tekenblad. c Leg uit dat de voorwaartse kracht van de atleet op t = 1,0 s groter is dan de nettokracht. a

12

8

4

36 Met een auto is een testrit gemaakt op een horizontale weg. Figuur 34 is het v,t-diagram van deze rit.

0

0

2

4

6

8

In de grafiek zitten drie dalende stukjes, dan schakelt de chauffeur. Na het schakelen versnelt de auto weer. a Leg uit hoe uit de grafiek blijkt dat de versnelling a ná het schakelen kleiner is dan vóór het schakelen. De auto heeft een massa van 1,2 · 10³ kg. Tijdens het schakelen is de motor ontkoppeld. Op de auto werkt dan alleen de wrijvingskracht. In figuur 35 is het gedeelte van het v,t-diagram tussen t = 5,0 s en t = 7,0 s vergroot weergegeven. b Bepaal met behulp van de figuur de grootte van de wrijvingskracht op de auto tijdens het schakelen.

10 tijd t (s)

snelheid v (m/s)

Figuur 33

16

15

snelheid v (m/s)

14

13

12 5,0

5,5

6,0

6,5

7,0 tijd t (s)

Figuur 35

30 25 20 15 10 5

Oefenen A Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 2.2 en 2.3 begrepen hebt.

0

0

5

Figuur 34 Optrekkende auto

10

15

20

25 tijd t (s)

65

Sport en verkeer

2.4

Afstand en beweging

OnTDEKKEn Bij een noodstop moet een scooter of auto binnen een zo kort mogelijke afstand stil kunnen staan. De remweg hangt af van de snelheid van de scooter of auto en van de remvertraging. Voor een korte remweg heb je een grote remvertraging nodig. Hoe hangt de afstand af van de versnelling en de tijd? Bij een supersprint op natuurijs gaat het erom wie de kortste tijd nodig heeft om 90 m af te leggen vanuit stilstand. Hoe hangt die tijd af van de versnelling?

PA R AG R A A F V R A AG Hoe bepaal je de snelheid en de afstand bij een versnelde of vertraagde beweging?

Figuur 36 Noodstop

Experiment 6: Versnellend karretje

BEGRIJPEn

Experiment 7: Knikkerbaan

Beweging in een plaats,tijd-diagram Een beweging langs een rechte lijn kan weergegeven worden in een diagram waarin op elk tijdstip t de positie x is getekend. Dat noemen we een plaats,tijd-diagram, ofwel x,t-diagram. Zo’n diagram lijkt sterk op een snelheid,tijd-diagram, ofwel v,t-diagram. Kijk dus altijd goed of het diagram de plaats of de snelheid weergeeft.

W2 Dragracer Experiment 8: Een eigen beweging W3 Wisselen op de estafette

100

80

80

60

60

40

160

plaats x (m)

100

120

plaats x (m)

120

plaats x (m)

plaats x (m)

In figuur 37 zie je x,t-diagrammen van vier verschillende bewegingen. 1 De eerste grafiek is een horizontale lijn. Het voorwerp blijft op dezelfde positie, doordat de snelheid nul is. Het voorwerp staat dus stil. 2 De tweede grafiek is een stijgende rechte lijn. De positie verandert gelijkmatig, dus de snelheid is constant. 3 De derde grafiek is een lijn die steeds steiler gaat lopen. De snelheid van het voorwerp neemt toe, dus het voorwerp versnelt. 4 De vierde grafiek is een lijn die steeds minder steil gaat lopen. De snelheid neemt af, het voorwerp vertraagt.

140 120

50 40

100 80

30

60

40

60

20

40 20 0

20

0

2

4

6

8

10

0

12

tijd t (s) 1

Figuur 37

0

2

4

6

8

10

0

12

tijd t (s) 2

10

20 0

2

4

6

8

10

0

12

tijd t (s) 3

0

2

4

6

8

10

12

tijd t (s) 4

66

plaats x (m)

BEGRIJPEn 2.4 Afstand en beweging Sport en verkeer

De voorbeelden in figuur 37 laten zien, dat je in het x,t-diagram kunt aflezen of de snelheid toeneemt, afneemt of constant blijft. Als de lijn van de grafiek in de diagrammen 3 en 4 een deel van een parabool is, is de versnelling of vertraging van het voorwerp constant. Maar of de lijn een paraboolvorm heeft, zie je niet met het blote oog.

120 100 80 1

Bij een grote snelheid verandert de plaats x snel en loopt de grafiek steil (lijn 1 in figuur 38). Bij kleinere snelheid is de afstand per seconde kleiner, en loopt de grafiek vlakker (lijn 2 in figuur 38). In het x,t-diagram van een versnelde beweging teken je eerst een raaklijn aan de grafiek om te zien hoe steil de grafiek daar is. De snelheid op dat moment is dan de steilheid (of het hellingsgetal) van die raaklijn. Zie figuur 39.

60 2

40 20 0

0

2

4

6

8

10 12 tijd t (s)

B

Figuur 38 Eenparige bewegingen

plaats x (m)

B B



B

 

Bij een constante snelheid is de grafiek in het x,t-diagram een rechte lijn en is de snelheid gelijk aan de steilheid (het hellingsgetal) van de grafiek. Hoe steiler de grafiek in het x,t-diagram loopt, des te groter is de snelheid. Bij een versnelling gaat de grafiek in het x,t-diagram steeds steiler lopen. Bij een versnelde beweging kun je de snelheid op een bepaald moment zien aan de steilheid (het hellingsgetal) van de raaklijn aan de grafiek in het x,t-diagram, op dat moment.



Gemiddelde snelheid en afstand



Het x,t-diagram en het v,t-diagram van een bepaalde beweging horen bij elkaar. In beide grafieken kun je de gemiddelde snelheid en de afstand aflezen. In figuur 40 zie je hoe dat werkt voor een uitrollende scooter.

 









Figuur 39 Versnelde beweging





 tijd t (s)

60

snelheid v (m/s)



plaats x (m)



50 40 30

10 8

vgem = , m/s

6

20

4 — vgem =  

10 0

12

0

2

4

6

= , m/s

8

2

10 12 tijd t (s)

0

0

2

4

6

8

10 12 tijd t (s)

Figuur 40 Diagrammen van een uitrollende scooter

In een x,t-diagram bepaal je de gemiddelde snelheid over een periode met de afstand Δx en de tijd Δt, zie figuur 40 links. In het v,t-diagram van de uitrollende scooter is de grafiek een rechte lijn en de gemiddelde snelheid het gemiddelde van de begin- en de eindsnelheid. B

B

In een x,t-diagram is de gemiddelde snelheid over een periode gelijk aan de steilheid van de rechte lijn tussen het begin- en het eindpunt. Is de grafiek in het v,t-diagram een rechte lijn, dan is de gemiddelde snelheid over een periode het gemiddelde van de begin- en de eindsnelheid.

67

Sport en verkeer 2.4 Afstand en beweging BEGRIJPEn

37 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e

Begrijpen

De grafiek in het x,t-diagram van een eenparige beweging is een rechte lijn. Bij een vertraagde beweging wordt de steilheid van de grafiek in het x,t-diagram steeds kleiner. Bij een constante snelheid is de grafiek in het x,t-diagram een horizontale lijn. Hoe groter de snelheid, hoe steiler de grafiek in het plaats,tijd-diagram. Bij een vertraagde beweging is de gemiddelde snelheid altijd het gemiddelde van de begin- en eindsnelheid.

Maak de opgaven in je boek of online.

38 Een fietser rijdt met een constante snelheid van 6,5 m/s. Op t = 0 is hij op positie x = 0. Bereken de plaats van de fietser op t = 4,0 s en op t = 10 s. b Teken het x,t-diagram voor de eerste 10 s van deze beweging. c Hoe groot is de steilheid van deze grafiek?

39 In figuur 41 zie je het x,t-diagram van een versnelde beweging. a b c d

Leg uit hoe je aan de grafiek in het diagram kunt zien dat de snelheid steeds groter wordt. Leg uit hoe je aan het diagram kunt zien dat de beginsnelheid nul is. Bepaal de gemiddelde snelheid tussen t = 0 en t = 25 s. Beredeneer of de snelheid op t = 25 s groter of kleiner is dan de gemiddelde snelheid.

plaats x (m)

a

41 T In figuur 43 zie je een remmende takelwagen op een aantal opeenvolgende tijdstippen. De wagen start met remmen op het tijdstip t = 0. De schaalverdeling van de figuur is: elk hokje ≙ 1,0 m. De gegevens van de eerste vier posities zijn weergegeven in een tabel en een x,t-diagram op het tekenblad. a Bepaal de posities op t = 4,0 s, t = 5,0 s en t = 6,0 s. b Teken de overige posities in het diagram op het tekenblad in. c Teken een vloeiende lijn door de meetpunten. d Bepaal de gemiddelde snelheid tijdens het afremmen. De beginsnelheid van de takelwagen is 12 m/s. De remtijd bedraagt 6,0 s. e Schets het v,t-diagram van deze beweging. f Bepaal de remvertraging van de takelwagen.

t= 5 s

t=4s

Figuur 43

t=3s

t=2s

t=1s

t= 0 s

20

15

10

40 In figuur 42 zie je het x,t-diagram van een beweging. De beweging bestaat uit

5

0

0

5

10

15

20

25 tijd t (s)

Figuur 41

plaats x (m)

vier delen. In elk gedeelte is de snelheid óf de versnelling constant. a Beschrijf hoe je aan het x,t-diagram kunt zien of een voorwerp versnelt of vertraagt. b Leg uit in welke periode de plaats constant is. c Leg uit in welke periode de snelheid constant is. d Leg uit in welke perioden de versnelling constant is. e Bepaal de snelheid in het tweede gedeelte van de beweging. f Bepaal de gemiddelde snelheid van de beweging van t = 0 tot t = 7,0 s. g Schets het v,t-diagram van deze beweging.

25

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

Figuur 42

1

2

3

4

5

6 7 tijd t (s)

68

30

42 In figuur 44 zie je het v,t-diagram van een auto.

25

a

20

c

b

15

43 Een wielrenster start vanuit stilstand. Zij trapt de eerste 5,0 s met constante kracht, waardoor haar versnelling constant 1,8 m/s2 is. a Leg uit welke snelheid zij na 5,0 s heeft bereikt. b Leg uit welke afstand zij na 5,0 s heeft afgelegd.

10 5 0

0

1

2

3

4

44 In figuur 45 zie je vier verschillende x,t-diagrammen. De versnelling is in elk

5 6 tijd t (s)

diagram steeds constant. Leg bij elke vraag je antwoord uit. a Geef aan bij welk diagram de versnelling nul is. b Geef aan bij welk diagram de versnelling het grootst is. c Leg uit hoe je kunt zien dat de gemiddelde snelheid bij elke beweging gelijk is. d Beredeneer bij welk diagram de beginsnelheid nul is. e Beredeneer bij welk diagram de beginsnelheid het grootst is. f Beredeneer bij welk diagram de eindsnelheid het grootst is. g Beredeneer bij welk diagram de nettokracht naar achteren gericht is.

Figuur 44

100

120

plaats x (m)

plaats x (m)

120

plaats x (m)

Bepaal de gemiddelde snelheid van de auto. Bepaal de versnelling van de auto. Bepaal de afstand die de auto in 6,0 s heeft afgelegd.

100

120

plaats x (m)

snelheid v (m/s)

BEhEERsEn 2.4 Afstand en beweging Sport en verkeer

100

120 100

80

80

80

80

60

60

60

60

40

40

40

40

20

20

20

20

0

0

1

2

3

4

5

0

6

0

1

tijd t (s) 1

2

3

4

5

0

6

tijd t (s)

1

2

3

4

5

0

6

0

1

2

3

4

tijd t (s) 3

2

0

5

6

tijd t (s) 4

plaats x (m)

Figuur 45

BEhEERsEn

60 50

De gemiddelde snelheid en de snelheid op een tijdstip

40

In een x,t-diagram kun je zowel de gemiddelde snelheid bepalen alsook de snelheid op een bepaald moment. Wil je de gemiddelde snelheid over een bepaalde periode weten, dan deel je de afgelegde afstand door de tijdsduur. Dat is dus hetzelfde als de steilheid van de grafiek in het x,t-diagram van beginpunt naar eindpunt. In symbolen:

30 20 — = , m/s vgem =  

10 0

0

2

4

6

8

Δx v gem = __ Δt 10 12 tijd t (s)

Figuur 46 x,t-diagram en de gemiddelde snelheid van een uitrollende scooter

In figuur 46 zie je het x,t-diagram van een uitrollende scooter. De scooter staat na 10 s 50 stil en heeft dan 50 m afgelegd. De gemiddelde snelheid was dus __ 10 = 5,0 m/s.

69

Sport en verkeer 2.4 Afstand en beweging BEhEERsEn

dx v = __ dt

In figuur 47 zie je dat de steilheid van de getekende raaklijn 18 m/s is (144 m gedeeld door 8,0 s). De snelheid op t = 6,0 s is dus 18 m/s.

plaats x (m)

Wil je de snelheid op een bepaald moment weten, dan trek je eerst een raaklijn aan de grafiek in dat punt. De snelheid op dat moment is dan de steilheid van die raaklijn: 160 140 120 100 80

VO O R B E E L D O P G AV E 4

B

De gemiddelde snelheid over een periode is gelijk aan de steilheid van de rechte Δx lijn in het x,t-diagram van het beginpunt tot het eindpunt: v gem = __ Δt

B

De snelheid op een tijdstip is gelijk aan de steilheid van de raaklijn aan de dx grafiek in het x,t-diagram, op dat moment: v = ___ dt

Δ s =  m

40

Δ t = , s

20 0

0

2

4

6

8

10 12 tijd t (s)

Figuur 47

60

snelheid v (m/s)

(55 - 25)

v = ______ = 3,0 m/s (10 - 0)

60

plaats x (m)

In figuur 48 zie je het x,t-diagram van een uitrollende scooter. Je ziet dat de scooter na 50 m stilstaat. Vraag: Bereken met welke snelheid de scooter het punt 5,0 m voor het eind passeert. Antwoord: De raaklijn aan de grafiek in het punt bij x = 45 m, gaat op t = 0 door x = 25 m en op t = 10 s door x = 55 m. Voor de snelheid bij x = 45 m geldt dan:

50 40

12 10 8

30

6

De afstand bepalen

20

4

Bij een eenparige beweging kun je de afgelegde afstand eenvoudig berekenen met de constante snelheid:

10

s=v·t In deze formule is s de afstand (in m), v de constante snelheid (in m/s) en t de tijd (in s) gerekend vanaf het begin.

0

— = , m/s vgem =  

0

2

4

6

8

2

10 12 tijd t (s)

Figuur 48 x,t-diagram van een uitrollende scooter

Als de snelheid niet constant is, kun je de afgelegde afstand berekenen met de gemiddelde snelheid: Δx v gem = __ → Δx = v gem · Δt Δt

In deze formule is Δx de totale afstand (in m), vgem de gemiddelde snelheid over het traject (in m/s) en Δt de tijdsduur (in s). Is de grafiek in het v,t-diagram een rechte lijn, dan is de gemiddelde snelheid gelijk aan het gemiddelde van begin- en eindsnelheid. Daarmee kun je dan tevens de afstand berekenen.

s n E L h E I D E n P L A AT s Wiskundig gezien is de snelheid op een bepaald tijdstip de afgeleide van de plaatsfunctie. De ‘afgeleide functie’ van een (wiskundige) functie geeft op elk moment het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek van die functie. De formele notatie die hier bijhoort komt aan bod in hoofdstuk 11.

0

0

snelheid v (km/h)

70

BEhEERsEn 2.4 Afstand en beweging Sport en verkeer

VO O R B E E L D O P G AV E 5

90 80

Een auto versnelt eenparig in 12 s van 20 km/h naar 80 km/h (zie figuur 49). Vraag: Bereken de afstand die de auto aflegt in die 12 s. Antwoord: De snelheid loopt gelijkmatig op van 20 naar 80 km/h. De gemiddelde snelheid is dus:

70 60 50

vgem = 50 km/h

40 30

20 + 80 v gem = ________ = 50 km/h = 13,9 m/s 2 (

)

En de afstand: Δx = v gem · Δt = 13,9 × 12 = 1,7 · 10 2 m = 0,17 km

20

2

4

6

8

10

12 14 tijd t (s)

Figuur 49 Diagram van een optrekkende auto

VO O R B E E L D O P G AV E 6

25

35

25 20 15

10

10

5 0

45 40

30

20 15

5 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0

3,0 3,5 tijd t (s)

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0 3,5 tijd t (s)

Figuur 50

De afstand in het v,t-diagram bepalen met de oppervlaktemethode De auto van het diagram in figuur 51 versnelt eenparig van 20 tot 80 km/h en heeft dus een gemiddelde snelheid van 50 km/h. Dat betekent dat hij met een constante snelheid van 50 km/h dezelfde afstand zou hebben afgelegd in dezelfde periode.

snelheid v (km/h)

In sommige situaties kun je het x,t-diagram combineren met het v,t-diagram. Bekijk het volgende voorbeeld. Een automobilist ziet plotseling een autoband op de weg voor hem liggen. Zijn snelheid is 90 km/h = 25 m/s. Hij kan niet uitwijken, dus hij remt voluit met een vertraging van 8,0 m/s2. Op het moment dat hij begint met remmen is hij nog 30 m van de band verwijderd. De diagrammen voor deze beweging zijn in figuur 50 weergegeven. In het x,t-diagram zie je dat hij niet op tijd tot stilstand komt. Vraag: Bepaal met welke snelheid hij de band raakt. Antwoord: De auto botst na 30 m. In het x,tdiagram lees je af dat dit gebeurt op t = 1,6 s. Op dat tijdstip is de snelheid 12 m/s, af te lezen in het v,t-diagram. Met behulp van beide diagrammen kun je dus de botssnelheid bepalen.

30

plaats x (m)

0

90

snelheid v (km/h)

0

snelheid v (m/s)

10

80 70 60 50

vgem = 50 km/h

40

80 70 60 50

vgem = 50 km/h

40 30

30

oppervlakte rechthoek = 50 km/h × 2 minuten

20 10 0

90

0

20

40

60

80

100

oppervlakte rechthoek = 50 km/h × 2 minuten

20 10 120 140 tijd t (s)

0

0

20

40

60

80

100

120 140 tijd t (s)

Figuur 51 a en b

In figuur 51a zie je dat die afgelegde afstand Δx = v gem · Δt even groot is als de oppervlakte van de grijze rechthoek in het v,t-diagram. (De oppervlakte van een hokje in een v,t-diagram is niet in m2 maar in m, vanwege de grootheden en eenheden langs

71

de assen.) En de blauwe oppervlakte in figuur 51b is net zo groot als de grijze oppervlakte in figuur 51a, doordat de oppervlaktes van de gearceerde driehoeken A en B even groot zijn. Deze beredeneerde berekening kun je ook toepassen op elke willekeurig korte periode, en vervolgens alle korte stukjes optellen. Daardoor geldt dat in een v,t-diagram de oppervlakte onder de grafiek gelijk is aan de afstand die het voorwerp heeft afgelegd.

snelheid v (m/s)

Sport en verkeer 2.4 Afstand en beweging BEhEERsEn

45 40 35 30 25

40 m

20 15

Bestaat een v,t-diagram uit één of meerdere rechte lijnstukken zoals in figuur 52, dan kun je makkelijk de oppervlakte onder de grafiek berekenen.

5 0

VO O R B E E L D : s TO PA F s TA n D E n R E M W E G

0

1

2

3

4

5

6 7 tijd t (s)

Figuur 52

snelheid v (km/h)

Bij een noodstop duurt het altijd even voordat de bestuurder daadwerkelijk remt, dat is de reactietijd. Tijdens de reactietijd is de snelheid nog constant, tijdens het afremmen neemt de snelheid af. Daardoor bestaat de stopafstand uit de reactieafstand en de remweg van de auto. In figuur 52 zie je een voorbeeld van het v,t-diagram van een noodstop. Daarin zie je dat de reactieafstand 40 m is en de remweg 100 m. De stopafstand van deze noodstop is dus 40 m + 100 m = 140 m bij een beginsnelheid van 40 m/s.

1 – × basis × hoogte 2 1 = –2 × 5 × 40 = 100 m

10

90 80

B

70

vgem = 72 km/h = 20 m/s

A

60 50

Bij de beweging van figuur 53 is dat lastiger. Dan moet je hokjes tellen of een schatting maken hoe groot de gemiddelde snelheid is.

40 30

B

B

In een v,t-diagram is de oppervlakte onder de grafiek gelijk aan de afstand die het voorwerp heeft afgelegd. Als het door de vorm van de grafiek lastig is de oppervlakte onder de grafiek te bepalen, moet je hokjes tellen of een schatting maken van de gemiddelde snelheid.

45 De paragraafvraag is: Hoe bepaal je de snelheid en de afstand bij een ver-

afstand = 20 m/s × 120 s = 2,4 km

20 10 0

0

20

40

60

80

100

120 140 tijd t (s)

Figuur 53 De gemiddelde snelheid is hier zo gekozen dat de oppervlakte van A (ongeveer) even groot is als die van B.

snelde of vertraagde beweging? Wat is het antwoord op deze vraag?

a b

c d

In 2,5 s neemt de snelheid van een auto af van 90 tot 65 km/h. Bereken de gemiddelde snelheid en de afstand die de auto aflegt tijdens de vertraging. Een brommer trekt vanuit stilstand op met een constante versnelling. Na 5,0 s heeft de brommer een afstand van 50 m afgelegd. Leg uit dat op dat moment de snelheid 20 m/s is. Een auto versnelt eenparig van 54 km/h tot 90 km/h in 5,0 s. Bereken de afstand die de auto daarbij aflegt. Een auto remt in 4,0 s gelijkmatig af van 108 km/h tot stilstand. Bereken de remweg.

47 In figuur 54 zie je het v,t-diagram van een versnellende auto. a b c

Bepaal de afstand die de auto aflegt in de eerste drie seconden. Bepaal de afstand die de auto aflegt tussen t = 3,0 s en t = 6,0 s. Teken het x,t-diagram van deze auto.

snelheid v (m/s)

46 Enkele eenvoudige rekenvragen. 30 25 20 15 10 5 0

Figuur 54

0

1

2

3

4

5 6 tijd t (s)

72

BEhEERsEn 2.4 Afstand en beweging Sport en verkeer

afstand xrem (m)

0

10

20

30 32

48 In figuur 55 zie je een auto die op t = 0 begint met remmen. Na 4,0 s staat de

tijd trem(s) 0

1

2

auto stil. Tijdens het remmen is de nettokracht constant. Bepaal de gemiddelde snelheid van de auto. b Bereken hiermee de beginsnelheid van de auto. c Bereken nu de remvertraging van de auto.

3 4

a

Figuur 55

49 T In figuur 56 zie je het v,t-diagram en het x,t-diagram van een auto. a b c d

30

plaats x (m)

snelheid v (m/s)

e

Bepaal uit het v,t-diagram de remvertraging. Bepaal uit het v,t-diagram de afstand die halverwege het remmen is afgelegd. Controleer je antwoord met het x,t-diagram. Leg uit hoe je aan het x,t-diagram kunt zien dat de beginsnelheid 25 m/s is. Bepaal uit het x,t-diagram de gemiddelde snelheid. Controleer je antwoord met het v,t-diagram. Bepaal uit het x,t-diagram op het tekenblad de snelheid op t = 2,0 s. Controleer je antwoord met het v,t-diagram.

25

35 30

20

25

15

20 15

10

10

5 0

45 40

5 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0 3,5 tijd t (s)

0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0 3,5 tijd t (s)

snelheid v (m/s)

Figuur 56 50

50

40 30 20 10 0

0

2

4

6

8

10 tijd t (s)

Figuur 57

T In figuur 57 zie je het v,t-diagram van een remmende auto. De eerste seconde in dit diagram is de reactietijd. Dat is de tijd die de bestuurder nodig heeft om het rempedaal in te trappen. a Leg uit dat de reactieafstand die in de reactietijd wordt afgelegd 20 m is. b Leg uit dat de remweg van de auto 40 m is. Even later rijdt dezelfde auto twee keer zo snel: 40 m/s. De bestuurder remt met dezelfde reactietijd en remvertraging. c Schets in de figuur ook de grafiek van deze beweging. d Leg uit dat de reactieafstand nu twee keer zo groot is. e Beredeneer met welke factor de remweg van de auto is toegenomen.

51 Bij een snelheid van 30 km/h is de remweg van een bepaalde auto 5,0 m. a b

W4 Veilige remweg bij twee seconden afstand?

c

Toon met een berekening aan dat het remmen 1,2 s duurt. Bereken de remvertraging. Bereken de remweg bij een beginsnelheid van 60 km/h. Ga uit van dezelfde remvertraging.

73

52 Een auto met caravan heeft een langere remweg dan een auto zonder caravan. In figuur 58 is het v,t-diagram gegeven van een auto die met en zonder caravan afremt van 80 km/h tot stilstand. Bepaal het verschil in remweg bij deze twee situaties.

53 In figuur 59 zie je een gedeelte van het testrapport van een auto. Bij elke remproef voert de auto een eenparig vertraagde beweging uit. Het remmen begint steeds als de voorkant van de auto de lijn bij de afstand van 0 m passeert. a Bereken de gemiddelde snelheid (in m/s) bij het remmen vanaf 100 km/h. b Bepaal bij een koude voetrem eerst de remtijd en daarna de remvertraging. c De remweg bij de handrem is veel korter dan bij de voetrem. Leg uit of je nu mag concluderen dat de handrem voor een grotere remvertraging zorgt. d Leg uit of de vertraging bij de handrem groter of kleiner is dan bij de voetrem. Remweg vanaf 100 km/h

voetrem koud

voetrem warm

handrem vanaf 40 km/h

0

10

20

30

40

50

60 70 afstand xrem(in m)

Figuur 59

54 Twee auto’s rijden achter elkaar op de snelweg, beide met een snelheid van 125 km/h. De voorste auto heeft ABS, waardoor de maximale remvertraging 8,0 m/s2 is. Bij de achterste auto is de maximale remvertraging 6,0 m/s2. a Bereken voor beide auto’s de remtijd en de remweg. b Teken in een v,t-diagram de grafieken van beide auto’s, als zij op t = 0 maximaal beginnen te remmen. c De bestuurder van de achterste auto heeft een reactietijd van 0,8 s. Bereken wat voor hem een veilige afstand is, als hij ook rekening houdt met het verschil in remweg.

snelheid v (km/h)

Sport en verkeer 2.4 Afstand en beweging BEhEERsEn

80

60

40

20

met caravan zonder caravan

0

Figuur 58

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 tijd t (s)

74

plaats x (m)

BEhEERsEn 2.4 Afstand en beweging Sport en verkeer

25

55

Bepaal de gemiddelde snelheid over de hele periode. Bepaal met behulp van raaklijnen de snelheid op t = 12,5 s en op t = 25 s. Als je het netjes hebt gedaan, blijkt de snelheid halverwege gelijk te zijn aan de gemiddelde snelheid. c Beredeneer wat daaruit over de snelheid op t = 0 s volgt. d Schets het v,t-diagram van deze beweging. e Bepaal de versnelling van deze beweging.

20

b

15 10 5 0

56 De beweging van een stuiterende voetbal is onderzocht met behulp van 0

5

10

15

20

25 tijd t (s)

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5 3,0 tijd t (s)

0

0,5

1,0

1,5

2,0

3,0 2,5 tijd t (s)

hoogte h (m)

Figuur 60 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

snelheid v (m/s)

0

8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8

T In figuur 60 zie je het x,t-diagram van een beweging. a

Figuur 61 Diagrammen van een stuiterende bal

videometen. Het resultaat is een grafiek van de hoogte tegen de tijd en een grafiek van de snelheid tegen de tijd. Zie figuur 61. a Leg uit hoe je aan het v,t-diagram kunt zien dat de bal zich op t = 1,15 s in een hoogste punt bevindt. b Leg uit hoe je met behulp van het v,t-diagram kunt bepalen hoe hoog de bal komt na de eerste stuit. c Leg uit hoe je met behulp van het x,t-diagram kunt bepalen met welke snelheid de bal bij de tweede stuit de grond raakt. De luchtweerstand op de bal is te verwaarlozen. d Hoe blijkt dat uit het v,t-diagram? Licht je antwoord toe. De voetbal heeft een massa van 430 g. De contacttijd van de bal met de grond tijdens de eerste stuit is 6,9 · 10−3 s. e Bepaal de (gemiddelde) nettokracht op de bal tijdens de eerste stuit.

75

Sport en verkeer

2.5

Vallen

OnTDEKKEn Een blaadje valt veel langzamer naar beneden dan een appel. Soms lijkt het alsof elk voorwerp zijn eigen valsnelheid heeft. Wat voor soort beweging voert een vallend voorwerp eigenlijk uit? En vallen zware voorwerpen altijd sneller dan lichte? De Italiaanse wis- en natuurkundige Galileo Galileï (1564-1642) onderzocht als een van de eersten de valbeweging. Men zegt dat hij dat deed door twee kogels met verschillende massa te laten vallen vanaf de schuine toren van Pisa.

PA R AG R A A F V R A AG Wat voor soort beweging voert een vallend voorwerp uit? Vallen alle voorwerpen op dezelfde manier? Figuur 62

BEGRIJPEn Waardoor valt een veer langzamer dan een appel? Als je een veertje loslaat, werkt er eerst alleen de zwaartekracht op en nog geen luchtweerstand. Daardoor versnelt het veertje. Maar al heel snel wordt de luchtweerstand groter en daardoor de versnelling kleiner, totdat de luchtweerstand even groot is geworden als de zwaartekracht. Dan zijn de krachten in evenwicht en blijft de snelheid constant. Een licht voorwerp met een grote oppervlakte valt dus al snel met een constante daalsnelheid, die klein is.

W5 Hoe valt een kogeltje? Experiment 9: Horen vallen W6 Vallen in gedachten Experiment 10: Vallende kegeltjes

Een appel ondervindt ook zwaartekracht en luchtweerstand. De zwaartekracht is echter veel groter dan bij de veer, en daardoor langer groter dan de luchtweerstand. Pas bij hogere snelheid wordt de luchtweerstand van de appel even groot als de zwaartekracht. Daardoor is een appel in lucht veel sneller beneden dan een veer.

Vallen zonder luchtweerstand Om de valbeweging van een veer en van andere voorwerpen te kunnen begrijpen, denk je de luchtweerstand even weg. Dan is de zwaartekracht de enige kracht en die kracht is constant. Het vallende voorwerp krijgt daardoor een constante versnelling. Zo’n valbeweging zonder luchtweerstand is dus een eenparig versnelde beweging. In figuur 63 zie je dat in een luchtledige ruimte een veer en een appel precies gelijk vallen. Een valbeweging met alleen de zwaartekracht, dus zonder luchtweerstand, is voor alle voorwerpen gelijk en heet een vrije val. De versnelling van een vrije val heet de valversnelling (symbool: g). Uit metingen blijkt op aarde te gelden:

g = 9,81 m/s2 B B

Zonder luchtweerstand vallen alle voorwerpen met dezelfde (val)versnelling g. De valversnelling g is op aarde 9,81 m/s2.

Figuur 63 Een appel en een veer vallen precies gelijk. Dat kan alleen zonder luchtweerstand.

76

BEGRIJPEn 2.5 Vallen Sport en verkeer

De valversnelling en de zwaartekracht Als er geen luchtweerstand is, werkt alleen de zwaartekracht op een vallend voorwerp. Volgens de tweede wet van Newton geldt: Fz = m · a. In vrije val is de versnelling van alle voorwerpen op aarde g. Ingevuld levert dit op:

Fz = m · g

a

a=

F =m

F m

Figuur 64 De verhouding tussen massa en zwaartekracht is gelijk.

Figuur 65 De standaard-kilogram en de standaardmeter die bij Parijs bewaard worden.

met g = 9,81 m/s2

Elke kilogram massa ondervindt op aarde dus een zwaartekracht van 9,81 N. Op de maan is de zwaartekracht kleiner dan op aarde, de valversnelling is daar slechts 1,6 m/s2. Alle hemellichamen, zon, sterren, planeten en manen, hebben hun eigen valversnelling. Bij de zon bijvoorbeeld is de valversnelling 274 m/s2 en op Pluto 0,73 m/s2.

s TA n DA A R D E E n h E D E n Sinds Napoleon wordt massa gemeten in kilogram. De enige echte kilogram is de massa van een cilinder die bij Parijs wordt bewaard. Alle andere massa’s worden daar uiteindelijk mee vergeleken. Ook voor tijdmeting is er een standaardeenheid: de seconde, die tegenwoordig bepaald wordt met een speciale atoomklok. De standaardeenheid voor lengte wordt bepaald met de lichtsnelheid. Standaardeenheden zijn de eenheden die niet uit andere eenheden zijn af te leiden. Ze zijn gekozen en liggen vast volgens internationale afspraken. De eenheid van kracht is de newton, een afgeleide eenheid. Uit de formule F = m · a kun je afleiden: 1 N = 1 kg · m/s2. De afgeleide eenheid newton is dus ‘opgebouwd’ uit de standaardeenheden kilogram, meter en seconde.

VA R I AT I E s I n D E Z WA A RT E K R AC h T De valversnelling is niet overal op aarde precies even groot maar varieert tussen 9,78 en 9,83 m/s2. Met satellieten is het zwaartekrachtveld van de aarde nauwkeurig in kaart gebracht. Zie figuur 66.

Vallen met luchtweerstand Bij een val in de atmosfeer, zoals bij een sprong uit een vliegtuig, is er wel luchtweerstand, die toeneemt met de snelheid. De nettokracht neemt daardoor af. De versnelling is daardoor niet meer constant, maar neemt af naarmate de snelheid groter wordt.

Figuur 66 Zwaartekrachtsvariaties aan het aardoppervlak

77

snelheid v (m/s)

Sport en verkeer 2.5 Vallen BEGRIJPEn

40

30

20

Figuur 67 Op de skydiver werken twee krachten: de zwaartekracht en de luchtweerstand.

Als de val zonder geopende parachute lang genoeg duurt, bijvoorbeeld bij skydiven, wordt al gauw een grote eindsnelheid bereikt. De luchtweerstand is dan even groot geworden als de zwaartekracht, de versnelling is nul geworden. Zie figuur 67 en 68.

10

0

0

10

20

30

40

50 tijd t (s)

Figuur 68 v,t-diagram van parachutesprong

Op het moment dat de parachute zich opent neemt de luchtweerstand plotseling sterk toe, waardoor de beweging met een ruk sterk afgeremd wordt. Daarna daalt de parachutist met een, veel lagere, constante snelheid. Zie figuur 68.

57 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f

Alle voorwerpen op aarde vallen met dezelfde snelheid: de valsnelheid. Een vrije val is een eenparig versnelde beweging. Op de maan is de valversnelling nul. De zwaartekracht op een bepaald voorwerp is overal op aarde precies even groot. Bij elke val is de versnelling constant. De eenheid N/kg is hetzelfde als m/s2.

58 Bij een vrije val is de invloed van de lucht te verwaarlozen. a b c

Beschrijf wat er met de snelheid gebeurt tijdens een vrije val. Leg uit wat er bij een vrije val constant is: de versnelling, de snelheid en/of de nettokracht. Beschrijf wat er bij een valbeweging met de snelheid gebeurt als er wel luchtweerstand is.

59 Een appel en een veer worden op hetzelfde moment losgelaten. a b c

Leg uit waardoor de veer al vrij snel met constante snelheid daalt. Beredeneer of de appel dan ook een constante daalsnelheid heeft. Leg uit dat de appel en de veer nooit een constante snelheid krijgen als er geen luchtweerstand is.

60 Een loden kogel en een even grote houten kogel worden tegelijk van dezelfde grote hoogte losgelaten. a Leg uit of de versnelling van de houten kogel tijdens de val groter wordt, kleiner wordt of gelijk blijft. b Leg uit of de eindsnelheid van de loden kogel tijdens de val groter wordt dan die van de houten kogel. c Leg uit of beide kogels even snel op de grond zijn.

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

78

BEhEERsEn 2.5 Vallen Sport en verkeer

61 Bij een vrije val krijgt elk voorwerp dezelfde versnelling. a b c

Leg uit dat een voorwerp dat tien keer zo zwaar is toch dezelfde versnelling krijgt. Je gooit een voorwerp recht omhoog. De luchtweerstand is verwaarloosbaar. Hoe groot is de vertraging tijdens de beweging omhoog? Je gooit een voorwerp recht omlaag. De luchtweerstand is verwaarloosbaar. Hoe groot is de versnelling tijdens de beweging omlaag?

62 Met een parachute op je rug uit een vliegtuig springen is zo leuk, omdat je dan eerst een heel eind ‘vrij valt’, voordat je de parachute opentrekt. a Leg uit dat de vrije val van een parachutist volgens de natuurkunde helemaal geen vrije val is. Direct na de sprong uit het vliegtuig voelt de parachutist zich heel even ‘gewichtloos’. b Beschrijf hoe het komt dat de parachutist zich even later niet meer gewichtloos voelt.

63 Je hebt drie massieve bollen van piepschuim van verschillende grootte. a b

snelheid v (m/s)

120

64 Bij een vrije val is de versnelling constant.

100

a

Δ v =  -  =  m/s

80

b

60

c

Δ t =  - , = , s

40 20 0

 — = , m/s hellingsgetal = ,

0

2

4

6

8

10 12 tijd t (s)

snelheid v (m/s)

BEhEERsEn

De grafiek in het v,t-diagram van een vrije val is een rechte lijn door de oorsprong. Het hellingsgetal van de grafiek is gelijk aan de valversnelling, 9,81 m/s2 (figuur 69). De afgelegde valafstand kun je uit het v,t-diagram bepalen met de ‘oppervlaktemethode’. In figuur 70 zie je bijvoorbeeld dat na 8,0 s de snelheid van een vrije val 78 m/s is geworden. De oppervlakte van de driehoek onder de v,t-grafiek is dan: h = _12_ × 78 × 8,0 = 3,1 · 10² m

120 100

veind =  m/s

80 60

B

40 B

20

Δ t = , –  = , s 2

4

6

Schets de grafiek van het v,t-diagram en het x,t-diagram bij een vrije val. Beschrijf met welke methode je uit de grafiek in het x,t-diagram de snelheid op een willekeurig tijdstip kunt bepalen. Schets de grafieken van de snelheid en de afstand als er bij de val wel sprake is van luchtweerstand.

v,t-diagram van een vrije val

Figuur 69 v,t-diagram van vrije val

0

Leg uit dat alle bollen direct na het loslaten een even grote versnelling hebben. Leg uit welke bol uiteindelijk de grootste snelheid krijgt.

8

10 12 tijd t (s)

Figuur 70 Bepaling van de afgelegde afstand uit v,t-diagram van vrije val

In het v,t-diagram van een vrije val is de steilheid van de grafiek gelijk aan de valversnelling. De valafstand is gelijk aan de oppervlakte onder het v,t-diagram.

v,t-diagram van een parachutesprong Het v,t-diagram van een parachutesprong is weergegeven in figuur 71. De versnelling is in het allereerste begin 9,81 m/s2 doordat de luchtweerstand dan nog te verwaarlozen is. Al snel neemt de versnelling af, tot de snelheid met ongeopende parachute

79

Sport en verkeer 2.5 Vallen BEhEERsEn

constant is. De versnelling op een bepaald moment bepaal je met de raaklijn aan de grafiek, zie figuur 71.

40

snelheid v (m/s)

snelheid v (m/s)

Om de gevallen afstand te bepalen met het v,t-diagram kun je de oppervlaktemethode gebruiken. Tel het aantal hokjes onder de grafiek, of vereenvoudig de grafiek tot een rechthoek of een driehoek met dezelfde oppervlakte. In figuur 72 wordt de oppervlakte bepaald door het deel boven de stippellijn dat ‘weggesneden’ wordt, te compenseren door een ongeveer even groot gebied links dat ‘erbij gepakt’ wordt. De gevallen afstand is dan gelijk aan de rechthoekige oppervlakte.

Δv = 14 m/s 30

Δt = 10 s

30

20

20

10

10

0

0

0

10

20

30

40

50 tijd t (s)

Figuur 71 v,t-diagram van parachutesprong

VO O R B E E L D O P G AV E 7

40

0

10

20

30

40

50 tijd t (s)

Figuur 72 Bepaling van de afgelegde afstand uit v,t-diagram van parachutesprong

Gegeven is het v,t-diagram van de parachutesprong van figuur 72. Vraag: Bepaal de hoogte waarover de parachutist ‘vrij’ is gevallen, dat wil zeggen met ongeopende parachute. Antwoord: De gestippelde horizontale lijn is zo getrokken dat de oppervlakte eronder even groot is als die onder de grafiek tot het moment t = 27 s, als de parachute wordt geopend. Op de v-as lees je af dat de gemiddelde snelheid over die periode 34 m/s is. De gevallen afstand is dus 27 × 34 = 9,2 · 10 2 m.

x,t-diagrammen van vrije val en parachutesprong Het x,t-diagram van een vrije val is voor alle voorwerpen gelijk. De grafiek is een kromme lijn die steeds steiler loopt. De helling neemt per seconde toe met 9,81 m/s. 6,1

∆x ___ In figuur 73 is de helling van de raaklijn na 0,8 s: v = __ = = 7,6 m/s, hetgeen nageΔt 0,8

8

hoogte h (m)

plaats x (m)

noeg overeenkomt met 0,8 × 9,81 = 7,8 m/s.

7 6 5

VO O R B E E L D O P G AV E 8

1000 800 600

∆h1

4 400

3

Δ x = , m

2 1 0

Δ t = , s 0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 tijd t (s)

Figuur 73 x,t-diagram van de vrije val

∆t1

200 0

∆h2 0

10

∆t 2 20

30

40

50 tijd t (s)

Figuur 74 h,t-diagram van parachutesprong

In figuur 74 is het plaats,tijd-diagram weergegeven van de parachutesprong waarvan het v,t-diagram in figuur 71 staat. Alleen het allereerste deel van de val is versneld. Na enige tijd is de snelheid constant. Tijdens het openen van de parachute wordt de val sterk vertraagd. Dat kun je zien aan de knik in de grafiek. Daarna wordt de snelheid weer constant, totdat de parachutist de grond bereikt.

Gegeven is het h,t-diagram van de parachutesprong van figuur 74. Vraag 1: Bepaal uit dit diagram de maximale snelheid van de parachutist tijdens de ‘vrije’ val, dat wil zeggen met ongeopende parachute. Vraag 2: Bepaal de snelheid waarmee de parachutist op de grond komt. Antwoord 1: De maximale snelheid is tijdens het steilste stuk: (710 – 360)

dh ________ v = __ = = 35 m/s dt (20 – 10)

Antwoord 2: De snelheid gedurende het laatste deel is: (160 – 0)

dh ______ v = __ = = 4,4 m/s dt (46 – 10)

80

Beheersen 2.5 Vallen Sport en verkeer

Vallen met luchtweerstand Bij een val met luchtweerstand zijn de krachten niet constant. Direct na het loslaten is de versnelling gelijk aan de valversnelling 9,81 m/s2. Naarmate de snelheid toeneemt, wordt de luchtweerstand groter. De luchtweerstand is evenredig met het kwadraat van de snelheid.

Fw,l = k · v2 In deze formule is Fw,l de luchtweerstand (in N), v de snelheid (in m/s) en k een evenredigheidsconstante. De evenredigheidsconstante k hangt af van de luchtdichtheid, de stroomlijn en de frontale oppervlakte van de skydiver zonder en later met parachute. Na korte tijd ontstaat evenwicht. De luchtweerstand is dan even groot geworden als de zwaartekracht, de nettokracht is nul.

VO O R B E E L D O P G AV E 9 Voor een skydiver van 80 kg geldt voor de evenredigheidsconstante (zonder parachute!) k = 0,30. Vraag: Hoe groot is de maximale snelheid die deze skydiver kan bereiken? Antwoord: Bij de maximale snelheid geldt: Fz = Fw,l dus m·g = k · v2 Invullen geeft: 80 × 9,81 = 0,30 × v2 → v = 51 m/s (184 km/h)

Experiment 11: Videometen aan valbeweging

Fw,l = Fz dus k · v2 = m · g Bij skydiven blijft dan de snelheid constant, totdat de parachute geopend wordt. Bij het openen neemt de snelheid in zeer korte tijd sterk af. De skydiver voelt een harde ruk van de parachute, waardoor een grote vertraging optreedt. Gedurende het laatste deel van de sprong daalt de parachutist met een veel kleinere constante snelheid tot de landing. Dit kun je ook zien in het x,t-diagram van figuur 74. B

Bij een val met luchtweerstand ontstaat na enige tijd een constante snelheid. De nettokracht is dan nul en Fz = Fw,l.

65 De paragraafvraag is: Wat voor soort beweging voert een vallend voorwerp uit? Vallen alle voorwerpen op dezelfde manier? Wat is het antwoord op deze vraag?

66 Een voorwerp valt zonder luchtweerstand. De versnelling is 9,81 m/s2 en de valtijd is 1,1 s. a Bereken de eindsnelheid en de gemiddelde snelheid. b Bereken vanaf welke hoogte het voorwerp is gevallen. Bij een andere val zonder luchtweerstand komt het voorwerp met een snelheid van 28 m/s op de grond. c Bereken de valtijd en de gemiddelde snelheid. d Bereken de hoogte van waar het voorwerp gevallen is.

67 Een voorwerp voert een vrije val uit op een onbekende planeet zonder atmosfeer. Na 3,0 s bereikt het de grond met een snelheid van 54 m/s. a Bereken hoe groot de valversnelling is op die planeet. b Bereken hoe groot de gemiddelde snelheid tijdens de vrije val was. c Bereken vanaf welke hoogte het voorwerp gevallen is.

81

Sport en verkeer 2.5 Vallen BEhEERsEn

68

T In figuur 75 zie je het v,t-diagram van een vrije val op aarde. a

Bepaal in figuur 75 met de oppervlaktemethode de afstand na een vrije val van 6,0 s. Laat met een berekening zien dat na 12 s de afstand vier keer zo groot is als na 6,0 s. Leg uit dat op tijdstip t geldt: v(t) = g · t

b c

Leid de volgende formule af: x(t) = _12_ · g · t2

d

snelheid v (m/s)

snelheid v (m/s)

120

100 80 60

10

5

40 20 0

0

2

4

6

8

10 12 tijd t (s)

Figuur 75 v,t-diagram van vrije val

69

0

0

10

20

30 tijd t (s)

Figuur 76

T In figuur 76 zie je het v,t-diagram van een beweging met luchtweerstand. a b

Bepaal de versnelling op t = 0. Bepaal de gemiddelde snelheid tussen t = 0 en t = 25 s.

70 Op de maan is de valversnelling zes keer zo klein als die op aarde. Daardoor duurt een val op de maan langer en is de eindsnelheid lager. a Leg uit waardoor op de maan elke val een vrije val is. b Bereken welke snelheid een voorwerp heeft op de maan na 3,0 s vallen. c Bereken welke afstand het voorwerp dan heeft afgelegd.

71 In 1971 landde de Apollo 15 op de maan. Astronaut David Scott liet een zware

72

T In figuur 78 is het x,t-diagram van een val zonder luchtweerstand op een bepaalde planeet gegeven. In deze grafiek is een raaklijn getekend op het tijdstip t = 2,0 s. a Bepaal met behulp van de raaklijn de snelheid op het tijdstip t = 2,0 s. b Teken het v,t-diagram van t = 0 tot t = 4,0 s. c Bepaal hoe groot de versnelling is tijdens deze val. d Deze vrije val is niet op aarde maar op een andere planeet. Bepaal met behulp van Binas op welke planeet dat is.

Figuur 77 Vallen op de maan

plaats s (m)

hamer en een veer tegelijkertijd van dezelfde hoogte vallen. De hamer en de veer bereikten op hetzelfde moment de grond. a Beschrijf wat met dit experiment werd bevestigd. De hamer en de veer vielen over een afstand van 1,5 m en bereikten na 1,36 s de grond. b Bereken de gemiddelde snelheid, de eindsnelheid en de valversnelling op de maan. c Controleer of de valversnelling overeenkomt met de waarde die in Binas staat.

30 25 20 15 10 5 0

Figuur 78

0

1

2

3

4 tijd t (s)

82

BEhEERsEn 2.5 Vallen Sport en verkeer

73 Om te zien hoe hard een botsing aan kan komen, wordt in figuur 79 het

1

gevolg van een botsing vergeleken met het vallen van een bepaalde hoogte. Zo komt een botsing met een snelheid van 40 km/h overeen met een val vanaf een hoogte van 6 m (twee verdiepingen!). a Laat met een berekening zien dat een vrije val vanaf 6,0 m hoogte 1,1 s duurt. b Bij 80 km/h is de eindsnelheid twee keer zo groot. Toch is de valhoogte veel meer dan twee keer zo groot. Leg uit hoe dat kan.

2

3

74 Van zeer grote hoogte wordt een tennisbal met een massa van 58 g losgelaten. >

Voor de luchtweerstand op de tennisbal geldt: Fw,l = 0,00050 · v 2 (met v in m/s) In korte tijd neemt de snelheid van de tennisbal toe tot 15 m/s. a Bereken hoe groot de luchtweerstand bij die snelheid is. b Bereken de nettokracht op de bal bij die snelheid. Na enige tijd bereikt de bal een constante snelheid. c Bereken de grootte van de eindsnelheid in km/h.

>

>

40 km/h = 6 m 80 km/h = 25 m 60 km/h = 14 m

hoogte h (m)

Figuur 79 5000 4000

75 3000 2000 1000 0

0

40

80

120

160

200

240

280 320 tijd t (s)

snelheid v (m/s)

Figuur 80 Twee parachutesprongen

76

50

T In figuur 80 zie je het h,t-diagram van twee parachutesprongen: één vanaf 5000 m hoogte en één vanaf 800 m. Bij beide sprongen ging de parachute open op een hoogte van 700 m. Het blijkt dat de parachutist bij beide sprongen met dezelfde snelheid op de grond landt. a Beschrijf hoe je dat in het diagram van figuur 80 ziet. b Bepaal de snelheid waarmee de parachutist landt. Bij de sprong vanaf 5000 m hoogte met ongeopende parachute is de snelheid gedurende lange tijd constant. c Bepaal hoe groot de constante snelheid tijdens deze ‘vrije val’ is. T In figuur 81 zie je het v,t-diagram van het begin van een parachutesprong.

Controleer dat op t = 0 de versnelling 9,81 m/s2 is. In de figuur is een raaklijn aan de grafiek getekend op tijdstip t = 4,0 s. De massa van de parachutespringer is 85 kg, inclusief kleding en bepakking. b Bepaal met behulp van figuur 81 de versnelling op t = 4,0 s. c Bepaal de nettokracht en de luchtweerstand op t = 4,0 s. d Bepaal de afstand die de parachutist na 4,0 s heeft afgelegd. a

40

30

20

10

0

0

1

2

3

4

5

6

7 8 tijd t (s)

Figuur 81 Snelheid bij een parachutesprong

Oefenen B Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 2.2 t/m 2.5 begrepen hebt.

83

Sport en verkeer

2.6

Verdieping

Omhoog gooien Als je een bal verticaal omhoog gooit, is de beweging eerst eenparig vertraagd omhoog en daarna versneld omlaag. Omdat het een beweging in twee richtingen is, geldt de volgende afspraak: bij de beweging omhoog is de snelheid positief en bij de beweging omlaag is de snelheid negatief.

30

plaats h (m)

snelheid v (m/s)

Als de luchtweerstand verwaarloosbaar is, dan is de grafiek in het v,t-diagram van een worp omhoog een rechte lijn die steeds naar beneden loopt, ook na het hoogste punt (zie figuur 82 links). De helling van de lijn is −9,81 m/s2. Daaruit blijkt dat de versnelling steeds negatief is. Dat komt doordat de zwaartekracht altijd naar beneden is gericht. De plaats is gelijk aan de hoogte boven de grond, dus steeds positief. De grafiek in het h,t-diagram is bij deze beweging (een deel van) een parabool (zie figuur 82 rechts).

20 10

35 30 25 20

0

0

1

2

3

4

5

-10

15 10

-20

5

-30

0 tijd t (s)

0

1

2

3

4

5 tijd t (s)

Figuur 82 Snelheid en hoogte bij een verticale worp

In de diagrammen zie je dat de snelheid nul wordt in het hoogste punt. De top van de parabool in het h,t-diagram ligt bij hetzelfde tijdstip als waar de grafiek in het v,t-diagram de horizontale as van v = 0 snijdt.

77 Op het hoogste punt van een verticale worp is de snelheid nul. a Leg uit dat de versnelling niet nul is op het hoogste punt. Op het hoogste punt keert de snelheid om van richting. b Leg uit dat de versnelling niet van richting verandert in het hoogste punt.

78 Een voorwerp wordt vanaf de grond recht naar boven geschoten met een beginsnelheid van 29,4 m/s. De invloed van de luchtweerstand is te verwaarlozen. a Hoe groot is de versnelling van het voorwerp tijdens de beweging omhoog? b Bereken na hoeveel seconden het voorwerp het hoogste punt heeft bereikt. c Bereken hoeveel seconden later het voorwerp op de grond valt. d Leg uit dat het voorwerp met dezelfde snelheid op de grond valt als waarmee het omhoog geschoten is.

Figuur 83

84

2.6 Verdieping Sport en verkeer

hoogte h (m)

79 Jaap staat op een hoge rots aan zee. Hij gooit een steen bijna recht omhoog met een snelheid van 50 km/h. De steen valt voor hem langs en plonst daarna in zee met een snelheid van 100 km/h. Luchtweerstand speelt geen rol. a Teken het v,t-diagram van de hele worp. b Bepaal hoe hoog Jaap boven de zeespiegel staat. Vervolgens slaat Jaap een badmintonshuttle met dezelfde beginsnelheid omhoog. Nu is er wel luchtweerstand en uiteindelijk valt de shuttle met een snelheid van 20 km/h in zee. c Schets in hetzelfde diagram de grafiek van de snelheid van de shuttle. Geef ook uitleg. 2 d Beredeneer op welk stuk de steilheid van de grafiek ongeveer −9,8 m/s is.

25

80 In figuur 84 zie je het h,t-diagram van een worp recht omhoog.

20

a

15 10 5 0

0

1

2

3

4

5 tijd t (s)

Hoe kun je aan de vorm van de grafiek zien dat de luchtweerstand te verwaarlozen is? De vergelijking bij deze grafiek is: h = −4,9 · t2 + 19,6 · t b Reken met de vergelijking na dat het voorwerp op t = 4,0 s op de grond valt. De snelheidsfunctie is de afgeleide van de plaatsfunctie. c Leg uit dat de vergelijking voor de snelheid wordt: v = −9,8 ∙ t + 19,6 d Bereken of bepaal hoe groot de snelheid op tijdstip t = 0 was. e Leg uit hoe je aan de vergelijking van v kunt zien dat de versnelling −9,8 m/s2 is.

Figuur 84

De kracht bij een klap Bij balsporten zoals golf, tennis, hockey en honkbal is bij een slag de gemiddelde nettokracht op de bal heel groot en de tijd heel kort. In zo’n situatie wordt vaak een Δv combinatie van de formules F = m · a en a = __ gebruikt: Δt Δv F = m ∙ a = m ∙ __ Δt

In deze formule is F de kracht tijdens de klap (in N), m de massa van het voorwerp (in kg), Δv de snelheidsverandering van het voorwerp (in m/s) en Δt de duur van de klap (in s).

Figuur 85 De golfbal wordt bij de klap vervormd en er ontstaat veerkracht.

Bij een klap tegen bijvoorbeeld een golfbal geldt deze formule zowel voor de golfbal als voor de golfclub. Want de klap is een wisselwerking tussen de golfbal en de golfclub. De golfclub versnelt de bal naar voren en de bal vertraagt de golfclub door een kracht achterwaarts. De kracht tijdens de klap duurt voor beide even kort en de kracht is voor beide even groot, maar de massa’s zijn verschillend. Omdat de massa van de bal veel kleiner is dan die van de club, zal de snelheidsverandering van de bal veel groter zijn. De tijdsduur Δt van de klap is heel klein, maar niet nul. Met slowmotioncamera’s is goed te zien dat de golfbal tijdens de klap een beetje indeukt.

85

Sport en verkeer 2.6 Verdieping

81 Bij een klap met een golfclub krijgt het balletje een heel grote versnelling. Uit een heel snelle filmopname wordt gemeten dat de tijdsduur van een klap 0,50 ms is en dat het balletje met 70 m/s wegvliegt. De massa van een golfbal is 46 g. a Bereken de gemiddelde kracht gedurende de klap. Uit nadere analyse blijkt dat de kracht het balletje tijdens de klap vervormt en dat de club gedurende korte tijd contact houdt met het balletje. b Laat met een berekening zien dat de afstand waarover de club de bal duwt, maar een paar cm is. De golfclub vertraagt tijdens de botsing een klein beetje. De kracht op de golfclub tijdens de klap is precies even groot als de kracht op de bal. c Leg uit waardoor de snelheidsverandering Δv van de club veel kleiner is dan de snelheidsverandering van de bal. d Laat met behulp van de formule zien dat bij elke botsing de verhouding van de snelheidsveranderingen van de twee voorwerpen omgekeerd evenredig is met de verhouding van hun massa’s.

82 Bij tennis werkt er zowel op de bal als op het racket een kracht tijdens de slag. a Beschrijf waardoor de snelheid van het racket tijdens de slag afneemt. De kracht op het racket is precies even groot als de kracht op de bal, alleen tegengesteld van richting. b Leg uit dat tijdens de slag de tijdsduur Δt voor de bal even groot moet zijn als voor het racket. c Leg met behulp van de formule ​F = m ∙ a = m ∙ __ ​  Δv  ​​ uit dat het zwaarste Δt voorwerp de kleinste snelheidsverandering krijgt. De massa van het racket is vijf keer zo groot als de massa van de bal. Tijdens de slag remt het racket af van 60 km/h tot 30 km/h. d Bereken de snelheidsverandering van de tennisbal. e De tennisbal kwam vóór de slag met een (horizontale) snelheid van 60 km/h naar de speler toe. Bereken de (horizontale) snelheid direct na de slag.

Experiment 12: Je eigen sprongkracht

86

Sport en verkeer

2.7 Begrippenkaart Ga na of je van elk begrip goed weet wat het betekent.

HOOFDSTUKVRAAG EN SAMENVATTING 83 De hoofdstukvraag is: Welke invloed hebben krachten op bewegingen? a

Formules, grootheden en eenheden Noteer bij elk symbool in de formule de naam van de grootheid en de eenheid. Vermeld in welke situatie(s) de formule gebruikt wordt. Samenvatting Bestudeer de samenvatting.

Zelftoets Test je kennis over dit hoofdstuk.

Afsluiting

b c

Geef een uitgebreid en compleet antwoord op deze vraag. Welke soort bewegingen kun je met deze theorie verklaren? Welke soort bewegingen kun je met deze theorie nog niet verklaren?

84 Maak een samenvatting van dit hoofdstuk door antwoord te geven op de volgende vragen: a Hoe verandert de snelheid van een voorwerp als er een constante nettokracht in de bewegingsrichting op werkt? b Hoe heet de beweging waarbij de snelheid elke seconde evenveel afneemt? c Hoe groot is de nettokracht als de snelheid constant is? d Wat is een eenparige rechtlijnige beweging? e Wat versta je onder de gemiddelde snelheid? f Wat wordt bedoeld met het begrip versnelling? g Wat is een eenparig versnelde of vertraagde beweging? h Wat kun je zeggen over de kracht(en) bij elk van de twee bewegingen van d en g ? i Schets voor elk van de drie bewegingen van vraag b, d en g het x,t-diagram en het v,t-diagram. j Wat is de formule voor de versnelling en wat betekenen de verschillende symbolen? k Beschrijf de eerste en de tweede wet van Newton. l Leg uit wat het begrip traagheid te maken heeft met de wetten van ­Newton. m Leg uit hoe je de wetten van Newton kunt gebruiken bij botsingen. n Leg uit wat het begrip gewicht te maken heeft met de wetten van Newton. o Hoe verandert de versnelling als de resulterende kracht op een voorwerp tweemaal zo groot wordt bij gelijkblijvende massa? p Hoe verandert de versnelling als de massa van het voorwerp tweemaal zo groot wordt en de nettokracht gelijk blijft? q Wat kun je zeggen over de toename van de snelheid per seconde van twee voorwerpen met verschillende massa’s die in vacuüm vallen? r Leg uit hoe je met een v,t-diagram de gemiddelde versnelling en de versnelling op een bepaald tijdstip kunt bepalen. s Leg uit hoe je met een v,t-diagram de afstand kunt bepalen die in een bepaalde periode is afgelegd. t Leg uit hoe je met een v,t-diagram de gemiddelde snelheid kunt bepalen. u Leg uit hoe je met een x,t-diagram de gemiddelde snelheid en de snelheid op een bepaald tijdstip kunt bepalen. v Beschrijf de verschillen tussen een vrije val en een valbeweging met luchtweerstand.

87

Sport en verkeer 2.7 Afsluiting

EInDOPGAVEn 85 Jeannette meet met een gps haar snelheid tijdens een fietstocht. Ze trekt op

10 8

snelheid v (m/s)

snelheid v (m/s)

vanuit stilstand, rijdt even met constante snelheid en laat zich vervolgens uitrijden zonder te trappen of te remmen. In figuur 86 zie je het v,t-diagram van haar fietstocht. Het diagram bevat vier karakteristieke delen: A, B, C en D. a Leg uit hoe je kunt zien dat Jeannette vertrekt vanuit stilstand. b Leg uit hoe je kunt zien dat in deel A de snelheid gelijkmatig toeneemt. c Leg uit welke kracht in deel A constant is: de trapkracht, de tegenwerkende kracht of de nettokracht. d Leg uit welke kracht(en) constant zijn op deel C: de trapkracht, de tegenwerkende kracht of de nettokracht. e Leg uit waardoor de snelheid tijdens het uitrollen niet gelijkmatig afneemt. f Leg uit of je de afstand die in deel D wordt afgelegd, mag uitrekenen met het gemiddelde van de begin- en eindsnelheid.

C B

6

Keuzeonderwerpen 1 Remmen 2 Remsystemen 3 Reactietijd 4 Botsen

30

20

4 D 2

10

0 0

B

A

A

20

40

60

80 100 120 140 160 180 tijd t (s)

Figuur 86 De snelheid tijdens een fietstocht

0

0

2

4

6 tijd t (s)

Figuur 87

86 In figuur 87 zie je het v,t-diagram van twee verschillende remmende voertuigen. a b c

Leg uit welk voertuig de grootste remvertraging heeft. Leg uit welk voertuig de grootste remweg heeft. Bepaal het verschil in remweg.

87 Bij het afschieten van een waterraket wordt het water met grote kracht uit de fles geperst door de lucht die in de fles gepompt is. De raket komt het hoogst als de fles voor ongeveer 30% gevuld is met water. a Tijdens de lancering neemt de stuwkracht af, maar de versnelling neemt toe. Leg uit hoe dat kan. b Leg uit waardoor de fles minder hoog komt als die voor 70% gevuld is met water. c Leg uit waardoor de fles minder hoog komt als die voor 10% gevuld is met water.

W7 Lancering van een waterraket

88

snelheid v (m/s)

2.7 Afsluiting Sport en verkeer

2,5

88 Figuur 88 toont het v,t-diagram van een zwemmer die de schoolslag doet. Een

2,0 II 1,5 I III

1,0 0,5 0,0

0,0 0,2

0,4

0,6 0,8

1,0

1,2

1,4

1,6 1,8 tijd t (s)

snelheid v (m/s)

Figuur 88

volledige zwembeweging blijkt uit drie delen te bestaan: I het wegduwen van het water met armen en benen, de afzet; II het uitdrijven; III het intrekken van de benen en vooruitsteken van de armen. a Bepaal uit het diagram de versnelling tijdens de afzet. b De zwemmer heeft een massa van 78 kg. Bepaal de weerstand van het water tijdens het uitdrijven. In periode III trekt de zwemmer zijn benen in en steekt hij zijn armen vooruit als voorbereiding op de volgende slag. c Leg uit of de weerstand van het water tijdens periode III groter dan, kleiner dan of gelijk is aan de weerstand tijdens het uitdrijven. In één volledige zwembeweging legt de zwemmer 1,2 m af. De zwemmer legt op deze manier een afstand van 100 m af. d Bepaal hoe lang hij daarover doet.

89 In figuur 89 zie je het v,t-diagram van een maximaal remmende auto. De auto

30

heeft een massa van 800 kg. Op het tijdstip t = 0 ziet de bestuurder dat er geremd moet worden. a Bepaal de reactietijd en de vertraging tijdens het remmen. b Bepaal de totale afstand die de auto aflegt. c Bereken de maximale remkracht van de auto. Aan deze auto wordt een aanhangwagen (massa 400 kg) zonder eigen rem gekoppeld. Daardoor wordt de remweg langer. d Bereken hoeveel langer de remweg van de auto met aanhangwagen is.

25 20 15 10 5 0

Figuur 89

Figuur 90

90 Tijdens een formule 1-race rijdt coureur Max met een snelheid van 90,0 m/s de 0

1

2

3

4

5 tijd t (s)

pitstraat in om de banden te laten verwisselen. In figuur 91 is het v,t-diagram van de auto van Max vereenvoudigd weergegeven. Tussen t = 2,0 s en t = 4,0 s remt hij krachtig af. De massa van de raceauto inclusief bestuurder is 600 kg. a Bepaal de resulterende kracht op de auto in die periode. Tussen t = 2,0 s en t = 24,0 s bevindt Max zich in de pitstraat. 2 b Toon met behulp van figuur 91 aan dat de pitstraat 5,5 · 10 m lang is. Toen Max de pitstraat inreed (op t = 2,0 s), reed coureur Raikkonen met dezelfde snelheid naast hem. Op t = 24,0 s rijdt Max weer de racebaan op. Neem aan dat Raikkonen steeds met 90 m/s heeft kunnen doorrijden. c Bereken hoeveel meter Raikkonen nu voorligt.

89

snelheid v (m/s)

Sport en verkeer 2.7 Afsluiting

100

80

60

40

20

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24 26 tijd t (s)

Figuur 91 Pitstop van coureur Max Verstappen

gen. Direct na de klap is de snelheid van de shuttle 25 m/s. In figuur 92 zie je hoe de snelheid van de shuttle verandert. a Bepaal hoe hoog de shuttle komt. Tussen t = 0 en t = 0,50 s neemt de steilheid van de grafiek snel af. b Leg uit of de resulterende kracht in die periode groter is dan, kleiner is dan of even groot is als de zwaartekracht. Tussen t = 0,50 s en t = 0,90 s is de grafiek vrijwel een rechte lijn. c Laat met behulp van een berekening zien dat de steilheid (hellingsgetal) van de grafiek tussen t = 0,50 s en t = 0,90 s ongeveer 10 is. d Leg uit waardoor de steilheid die waarde heeft. Vanaf t = 0,90 s neemt de steilheid van de lijn opnieuw af. e Leg uit of de resulterende kracht dan groter of kleiner is dan de zwaartekracht.

snelheid v (m/s)

91 Een badmintonshuttle wordt vanaf een hoogte van 1,2 m recht omhoog gesla-

30 25 20 15 10 5 0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2

-5 tijd t (s)

Figuur 92 v,t-diagram van een shuttle

90

Leerdoelen en begrippen Sport en verkeer

Leerdoelen en begrippen Ga voor jezelf na of je de leerdoelen al hebt bereikt. Vink de leerdoelen die je hebt bereikt af en geef aan wat je gaat doen met de uitleg en opdrachten waarmee je nog moeite hebt.

PA R AG R A A F 2 .2 K R AC H T V E R A N D E RT SN E L H E I D Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: nettokracht (of resulterende kracht), eenparige beweging, eerste wet van Newton, eenparig versnelde beweging, stroboscoop, ​v,t​-diagram, versnelling, vertraging, steilheid (of hellingsgetal), gemiddelde versnelling, versnelling op een tijdstip, raaklijnmethode.

toepassen dat de nettokracht op een voorwerp nul is als de snelheid constant is.

uitleggen welke richting de nettokracht op een voorwerp heeft bij een versnelde beweging en vertraagde beweging.

het ​v,t​-diagram schetsen van een eenparige beweging en van een eenparig versnelde of vertraagde beweging.

het ​v,t​-diagram schetsen van een optrekkend voertuig met luchtweerstand.

uit een ​v,t​-diagram bepalen hoe groot de (gemiddelde) versnelling is.

uit een ​v,t​-diagram met de raaklijnmethode bepalen hoe groot de versnelling op een bepaald tijdstip. berekeningen maken en redeneren met de formules voor de (gemiddelde) versnelling en de versnelling op een bepaald tijdstip: Δv Δv ​a​  gem​​ = ​ ___  ​​en a ​ =( ​​ ​ ___  ​ ​​  Δt Δt )

​​​  .

raaklijn

PA R AG R A A F 2 .3 V E R SN E L L E N E N V E RT R AG E N Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: traagheid, tweede wet van Newton.

beschrijven welk verband er is tussen de nettokracht op een voorwerp en de versnelling en massa van het voorwerp.

berekeningen maken en redeneren met de tweede wet van Newton: ​F​  res​​ = m ∙ a​.

91

Sport en verkeer Leerdoelen en begrippen

PA R AG R A A F 2.4 A F S TA N D E N B E W E G I N G Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: ​x,t​-diagram, oppervlaktemethode, afstand.

het ​x,t​-diagram van een eenparige beweging en van een eenparig versnelde of vertraagde beweging schetsen.

uit een x ​ ,t​-diagram bepalen hoe groot de (gemiddelde) snelheid is.

uit een ​x,t​-diagram met de raaklijnmethode bepalen hoe groot de snelheid op een bepaald tijdstip is. uit een v​ ,t​-diagram met de oppervlaktemethode bepalen hoe groot de afgelegde afstand is.

berekeningen maken en redeneren met de formules voor de (gemiddelde) snelheid en de snelheid op een bepaald tijdstip: Δx Δx ​v​  gem​​ = ​ ___  ​​en v​ = ( ​​ ​ ___  ​ ​​  ​​​. Δt Δt )

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de afgelegde afstand bij een eenparige beweging: ​s = v ∙ t​.

raaklijn

PA R AG R A A F 2.5 VA L L E N Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: vrije val, valversnelling, zwaartekracht, luchtweerstand.

het ​v,t​-diagram en x ​ ,t​-diagram van een vrije val schetsen.

beschrijven van welke factoren de luchtweerstand afhangt.

het v​ ,t​-diagram schetsen van een valbeweging met luchtweerstand, en uitleggen waardoor de valsnelheid na verloop van tijd constant wordt.

uit het ​v,t​-diagram met de oppervlaktemethode de afgelegde afstand bepalen.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de zwaartekracht: ​F​  z​​ = m ∙ g​(met g​ ​= 9,81 m/s2).

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de luchtweerstand: ​F​  w,l​​ = k ∙ ​v​​  2​​.

de maximale snelheid bij een valbeweging met luchtweerstand berekenen (met ​F​  z​​ = ​F​  w,l​​​).

3

Materialen Eigenschappen en deeltjesmodellen

3.1

Introductie

93

3.2

Deeltjesmodel

97

3.3

Energie en warmtetransport

3.4 Sterkte en vervormbaarheid

106

van materialen

118

3.5

Verdieping

124

3.6

Afsluiting

128

Leerdoelen en begrippen

131

93

Materialen

3.1

Introductie

Altijd al hebben mensen geprobeerd verschijnselen in de natuur te verklaren. Waaruit bestaat lucht? Wat gebeurt er als water verdampt? Wat is bliksem? Dat vraagt iedereen zich wel eens af. In de geschiedenis van de natuurkunde zie je steeds hetzelfde patroon. Eerst worden mensen zich bewust van verschijnselen die je kunt waarnemen in de natuur of bij experimenten, zoals breking van licht aan een wateroppervlak of elektrische stroom door een geleider. Vervolgens proberen wetenschappers deze verschijnselen te beschrijven in de sin _i vorm van wetten en formules. Bijvoorbeeld de brekingswet met de formule ___ =n sin r en de wet van Ohm met de formule U = I · R. En ten slotte tracht men deze verschijnselen en wetten te verklaren. Daarvoor moet een theorie worden bedacht.

Start Maak de vragen bij Start.

Experiment 1: Model met knikkers

Voor zover we nu weten, komt in het oude Griekenland voor het eerst het idee op dat alle materie uit onzichtbaar kleine deeltjes bestaat. Veel later ontwikkelt dit idee zich verder tot een complete deeltjestheorie over de bouw van de materie.

H O O F D s T U K V R A AG Hoe ziet het deeltjesmodel eruit en welke verklaring geeft een dergelijk model voor verschillende verschijnselen en wetten in de natuurkunde? In dit hoofdstuk kijk je naar eigenschappen van gassen, vloeistoffen en vaste stoffen die te maken hebben met druk, warmte, temperatuur, sterkte en massa. Je gaat na hoe deze eigenschappen verklaard kunnen worden met het deeltjesmodel en zoekt naar antwoorden op de volgende vragen: E Welke verbanden zijn er tussen druk, temperatuur en volume van een afgesloten hoeveelheid gas en hoe kun je die verklaren met het deeltjesmodel van een gas? (paragraaf 3.2) E Hoe kun je verwarmen, verdampen, condenseren en warmtetransport verklaren met het deeltjesmodel? (paragraaf 3.3) E Hoe kun je enkele mechanische eigenschappen van materialen verklaren met het deeltjesmodel? (paragraaf 3.4)

INLEIDING stoffen en moleculen Om een vast voorwerp te vervormen is kracht nodig. Een vloeistof vervorm je moeiteloos en een gas vult vanzelf de hele ruimte. Deze verschillen kun je verklaren, door aan te nemen dat alle stoffen uit moleculen bestaan, die meer of minder aan elkaar vast zitten. Er bestaan heel veel verschillende stoffen, dus zijn er ook heel veel verschillende moleculen. Moleculen kun je met een gewone microscoop niet zien, daarvoor zijn ze veel te klein. Een elektronenmicroscoop kan wel afzonderlijke moleculen registreren en in beeld brengen.

Figuur 1 Getekende schets van materie als deeltjes

94

3.1 Introductie Materialen

De drie vormen vast, vloeibaar en gasvormig waarin een stof kan voorkomen, heten fasen en de overgangen tussen deze drie fasen zijn faseovergangen. Er zijn zes faseovergangen: smelten en stollen, verdampen en condenseren, rijpen en sublimeren. Zie figuur 2. sublimeren

smelten

verdampen

vloeibaar

vast

stollen

gasvormig

condenseren rijpen

Figuur 2 Drie fasen en zes faseovergangen

Als bijvoorbeeld water bevriest, lijkt het een andere stof te worden. En als water verdampt, lijkt het te verdwijnen. Toch komt het water weer terug, wanneer het ijs smelt of de waterdamp condenseert. Kennelijk bestaan ijs, water en waterdamp uit dezelfde moleculen. In ijs zitten de (water)moleculen stevig vast aan elkaar en trillen om een vaste positie. In vloeibaar water zitten ze niet vast aan elkaar maar blijven wel bij elkaar, doordat ze een beetje aan elkaar ‘plakken’. De onderling aantrekkende kracht tussen de watermoleculen is sterk genoeg om ze bij elkaar te houden. Wel kunnen de moleculen in de vloeistof langs elkaar heen bewegen. In de dampfase bewegen de watermoleculen vrij in de ruimte tussen alle andere moleculen. De gemiddelde afstand tussen de moleculen is dan relatief heel groot. B B

B

Iedere stof bestaat uit onzichtbare kleine deeltjes: moleculen. In de verschillende fasen (vast, vloeibaar en gasvormig) bestaat een stof uit dezelfde moleculen. Er zijn zes faseovergangen: smelten en stollen, verdampen en condenseren, rijpen en sublimeren.

Moleculen en atomen Moleculen bestaan uit atomen. Er zijn ruim 100 verschillende soorten atomen: de elementen (van het periodiek systeem). Een watermolecuul (H2O) bestaat uit één zuurstofatoom en twee waterstofatomen. Een molecuul aspirine bestaat uit negen koolstofatomen, acht waterstofatomen en vier zuurstofatomen. Sommige stoffen, zoals zuivere metalen, bestaan uit één soort atomen. Er bestaan dus wel ijzeratomen, maar geen ijzermoleculen. Figuur 3 Model van een aspirine-molecuul (links) en een watermolecuul (rechts)

Atomen zijn opgebouwd uit een relatief kleine en zware kern met daaromheen bewegend elektronen met een zeer kleine massa. De massa van het atoom wordt daardoor bepaald door de massa van de kern. In het periodiek systeem zijn de elementen gerangschikt volgens de massa van het atoom. Deze atomaire massa wordt aangegeven met het massagetal, zie de tabel van figuur 5. B B

Moleculen zijn opgebouwd uit atomen (van het periodiek systeem). Atomen hebben een zware en kleine kern, met daaromheen bewegende lichte elektronen.

95

Materialen 3.1 Introductie

Zware en lichte stoffen IJzer is een zwaarder metaal dan aluminium en lood is nog zwaarder. Maar een klein stuk ijzer kan wel lichter zijn dan een groot stuk aluminium. Om stoffen te vergelijken wat betreft hun ‘zwaarte’, kijk je daarom naar de massa van een even groot volume van die stoffen. Je vergelijkt dan de dichtheid, het aantal kilogram per kubieke meter (of gram per kubieke centimeter). Het verband tussen dichtheid, massa en volume is: _ ρ = _m V

In deze formule is ρ de dichtheid (in kg/m3), m de massa (in kg) en V het volume (in m3). In de tabel van figuur 5 zie je dat bij metalen de dichtheid toeneemt met de atomaire massa. Dat betekent dat de atomen van bijvoorbeeld een 2× zo zwaar element niet een 2× zo groot volume hebben, want dan zou de dichtheid gelijk zijn. Een grotere atoomkern ‘trekt’ kennelijk harder aan het grotere aantal elektronen eromheen, waardoor het atoom als geheel niet veel groter is. Daardoor zitten in een kubieke meter metaal steeds ongeveer evenveel metaalatomen. B B B

De dichtheid van een stof is het aantal kilogram per m3. Atomen met een grotere atomaire massa hebben een zwaardere kern. De dichtheid van metalen wordt vooral bepaald door de massa’s van de atomen.

Figuur 4 Een kubieke meter

metaal

massagetal

dichtheid (×10³ kg/m3)

aluminium

27,0

2,70

Gasdruk

titanium

47,9

4,51

De lucht in een fietsband ‘draagt’ de fiets met berijder. De kracht verandert niet als je de band harder oppompt, want de massa van de fiets plus berijder verandert niet. Maar bij het rijden is het contactoppervlak van de band met het wegdek wel kleiner bij een harder opgepompte band. De veerkracht per cm2 van de lucht in je band neemt toe, als je meer lucht in je band pompt. De grootheid die aangeeft hoe hard je band is opgepompt, is niet een kracht F (in N) maar de druk p in Pascal (Pa = N/m2). De druk van een gas (of een vloeistof ) geeft de kracht aan die het gas (of de vloeistof ) op een oppervlakte van 1 m2 uitoefent:

ijzer

55,8

7,87

nikkel

58,7

8,90

koper

63,5

8,96

zink

65,4

7,13

zilver

107,9

10,5

lood

207,2

11,3

goud

197,0

19,3

F p = __ A

Hierin is p de druk (in N/m2 of Pa), F de kracht (in N) en A de oppervlakte (in m2).

Figuur 5

VO O R B E E L D O P G AV E 1 Vraag: Bereken de massa van 5,0 cm3 koper. Antwoord: De dichtheid van koper is 8,96 · 103 kg/m3 (Binas). Er geldt m = ρ · V dus: m = 8,96 · 103 × 5,0 · 10−6 = 45 · 10−3 kg.

– +

Figuur 7 Op de gele schaal lees je de overdruk in de fietsband af in de eenheid bar, waarbij 1 bar = 1 atm = 1 · 105 Pa = gemiddelde luchtdruk op zeeniveau.

– +

Figuur 6 Lichte atomen hebben een kleine en lichte kern. Zware atomen hebben een zware en grote kern.

96

3.1 Introductie Materialen

1

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a Zelfs grote moleculen kun je niet zien met een lichtmicroscoop. b De dichtheid van een stof is het volume van een kilogram van die stof. c In een opgepompte band zijn de moleculen harder dan in de buitenlucht. d Tussen de moleculen van een gas zit lucht.

2

Alle stoffen bestaan uit atomen en moleculen. a Leg het verschil uit tussen atomen en moleculen. b Leg uit waardoor er veel meer verschillende moleculen zijn dan atomen.

3

De meeste stoffen kunnen in drie fasen voorkomen. a Noem de drie fasen. b Geef aan welke twee fasen je bij wolken ziet. c Noem drie voorbeelden uit de natuur waarbij water in vaste toestand aanwezig is.

4

De eenheid van dichtheid is kg/m³. a Leg in je eigen woorden uit wat die eenheid betekent. b Je weegt een liter water met een weegschaal. Leg uit hoe je daarmee de dichtheid van water (in kg/m³) kunt berekenen. c Iemand beweert: ‘Bij een stof met een grote dichtheid zitten de atomen dichter op elkaar dan bij een stof met kleinere dichtheid.’ Leg uit of die uitspraak klopt. De dichtheid van lucht is op zeeniveau 1,2 kg/m³. d Schat de afmetingen van je klaslokaal, bereken het volume van het lokaal en bereken daarmee de massa van de lucht in het lokaal. De atmosferische luchtdruk op zeeniveau wordt veroorzaakt doordat de lucht hier samengeperst is door het gewicht van alle lucht er boven. e Bereken hoeveel groter de druk van de lucht op de vloer van het lokaal is dan op het plafond.

5

In een bus Pringles zit 200 g chips. Het volume van de koker is 928 cm³. De dichtheid van chips is 600 kg/m³. a Bereken hoeveel cm³ chips er in de verpakking zit. b Bereken hoeveel procent van de ruimte in de koker uit lucht bestaat. Een grote zak chips heeft een volume van 5,0 · 10³ cm³ en bevat 300 g chips. c Bereken hoeveel procent lucht er in de zak zit. d Verklaar de verschillen tussen de Pringles en de gewone chips.

6

Metalen met een grote atoommassa hebben een grote dichtheid. De atomaire massa van goud is 197 en die van aluminium 27. a Zoek in Binas de dichtheid op van aluminium en goud. b Laat met een berekening zien dat in dit voorbeeld de dichtheid evenredig is met de atoommassa. 3 c Leg met behulp van verhoudingen uit dat 1 cm goud ongeveer evenveel 3 atomen bevat als 1 cm aluminium.

97

Materialen

3.2

Deeltjesmodel

ONTDEKKEN Meestal voel je lucht niet. Wel als je hard fietst, dan voel je luchtweerstand. En ook als het waait voel je de kracht van de lucht. Luchtdruk, de kracht per m2 die de lucht uitoefent op een oppervlak, kun je beschrijven en verklaren met een deeltjesmodel van een gas.

Experiment 2: Afmeting bepalen van moleculen

W1 Brownse beweging

Als er geen lucht in je fietsbanden zit, hobbel je op de metalen velgen over straat. Een lege fietsband heeft geen veerkracht, een opgepompte wel. De luchtdruk in de fietsband neemt verder toe als je er nog meer lucht in pompt. Dit kun je verklaren met het deeltjesmodel van een gas. Als een heel hard opgepompte fietsband lange tijd in de zon staat, kan de druk in de band zo groot worden dat de band spontaan klapt. Dat de luchtdruk toeneemt met de temperatuur kun je ook verklaren met het deeltjesmodel.

PA R AG R A A F V R A AG Welke verbanden zijn er tussen druk, temperatuur en volume van een afgesloten hoeveelheid gas en hoe kun je die verklaren met het deeltjesmodel van een gas?

BEGRIJPEN Eigenschappen van gassen Hoe meer lucht je in je fietsband pompt, hoe groter de druk wordt en hoe meer kracht het kost om de band verder op te pompen. Ook als je de zuiger van een spuit met een afgesloten tuit indrukt, kost het steeds meer kracht naarmate je hem verder indrukt. De druk in de spuit wordt nu niet groter doordat er meer lucht in de spuit komt maar doordat het volume van de opgesloten lucht kleiner wordt. In beide gevallen neemt de druk toe doordat de dichtheid, de massa per cm3, van de opgesloten lucht toeneemt. Een luchtbed blaas je net zo hard of zacht op, dat je er lekker op kunt liggen. Ligt het luchtbed daarna een uur in de zon, dan merk je dat het harder is geworden. Er is dus ook een verband tussen de druk van een afgesloten hoeveelheid gas en de temperatuur. B

De druk van een afgesloten hoeveelheid lucht neemt toe met de dichtheid en met de temperatuur van de lucht.

WA A R N E M I N G E N T H E O R I E De druk p, het volume V en de temperatuur T van een afgesloten hoeveelheid gas zijn macroscopische grootheden. Die kun je met eenvoudige apparaten meten. De relaties tussen deze grootheden waren, ook in formulevorm, al bekend voordat deeltjesmodellen bedacht werden. De theorie van een gas bestaande uit deeltjes moest dus met hun microscopische eigenschappen als massa en snelheid, de reeds bekende wetten en formules kunnen verklaren. En ook moesten met die theorie de uitkomsten van metingen vooraf berekend kunnen worden. Aan beide vereisten voldoet het deeltjesmodel van een gas, dat al meer dan een eeuw oud is.

Figuur 8 Afgesloten injectiespuit met alleen lucht

98

BEGRIJPEN 3.2 Deeltjesmodel Materialen

Deeltjesmodel van een gas

wand

wand

v deeltje

v deeltje

De verbanden tussen de grootheden druk, volume en temperatuur kun je verklaren met een deeltjesmodel van een gas. Een model is een vereenvoudigde voorstelling van de werkelijkheid. In het deeltjesmodel bestaat een afgesloten hoeveelheid gas uit een grote verzameling heel kleine deeltjes. De beschrijving van het gasmodel is als volgt: E Het overgrote deel van het volume is leeg. De gasdeeltjes zelf zijn zo klein dat ze een verwaarloosbaar klein deel van de ruimte innemen. E De gasdeeltjes bewegen kriskras door de ruimte en botsen volkomen veerkrachtig tegen elkaar en tegen de wanden. E De gasdeeltjes bewegen door alle onderlinge botsingen met wisselende snelheid rond een bepaalde gemiddelde snelheid. E Het gemiddelde van de snelheden van alle deeltjes van de afgesloten hoeveelheid gas is een maat voor de macroscopische grootheid temperatuur. Hoe hoger de temperatuur van het gas, des te groter de gemiddelde snelheid van de deeltjes.

Figuur 9 Botsing van een deeltje tegen een wand B

Een gas bestaat uit heel kleine afzonderlijke deeltjes. De temperatuur van het gas is een maat voor de gemiddelde snelheid van de gasdeeltjes.

Gasdruk en het deeltjesmodel Met het deeltjesmodel van een gas kun je verklaren dat een gas druk uitoefent. Dat is de kracht die het gas uitoefent per m2 van een wand van de ruimte waarin het gas zich bevindt. Want volgens het model bewegen de deeltjes kriskras door de ruimte en botsen daarbij niet alleen tegen elkaar maar ook tegen de wanden. Bij iedere botsing wordt daardoor heel even een kracht op de wand uitgeoefend. De gemiddelde totale kracht van alle botsingen per m2 van de wand is de druk van het gas. Doordat het aantal gasdeeltjes en het aantal botsingen per s tegen elke cm2 zo ontstellend groot is, is de druk van een afgesloten hoeveelheid gas nagenoeg constant in de tijd. Figuur 10 Metaalbarometer

B

B

Onder de druk van een gas (of een vloeistof ) wordt verstaan de kracht (in N) die het gas (of de vloeistof ) per m2 op een wand uitoefent. De eenheid van druk is N/m2 en heet pascal (Pa). De druk van een gas kun je met het model van een gas verklaren door alle botsingen van de deeltjes van het gas tegen een wand.

Gasdruk meten holle buis

vast draaipunt

gas

Figuur 11 Metaalmanometer

Experiment 3: Hoe hard kun je blazen?

Je kunt de druk van een gas op verschillende manieren meten. Bijvoorbeeld met een metaalbarometer, die je in de ruimte zet waarin je de gasdruk wilt meten. Vaak is dat de luchtdruk in de open lucht, de atmosferische luchtdruk. De barometer van figuur 10 bestaat uit een dun, geribbeld metalen doosje. Het doosje is luchtledig. Het deksel wordt naar binnen geduwd door de druk van de lucht aan de buitenkant. Maar het wordt ook door een veer naar buiten getrokken. Met een hefboompje wordt de evenwichtspositie van het deksel overgebracht naar een wijzer. De druk van een afgesloten hoeveelheid gas, bijvoorbeeld in een fietsband, kun je meten met een metaalmanometer, een dunne gebogen buis met een wijzer en een schaalverdeling. Het open uiteinde van de buis wordt aangesloten op de ruimte met het gas waarin de druk moet worden gemeten. Het andere uiteinde van de buis is gesloten.

99

Materialen 3.2 Deeltjesmodel Begrijpen

Verschilt de druk van een afgesloten hoeveelheid gas niet veel van de druk van de buitenlucht, dan kun je die gasdruk meten met een open vloeistofmanometer. Dit is een U-vormige buis met vloeistof (zie figuur 12). Het linker uiteinde van de buis is aangesloten op de ruimte waarin zich het gas bevindt. Het andere uiteinde staat in open verbinding met de buitenlucht. Als de druk van het gas groter is dan de druk van de buitenlucht, zal het gas de vloeistof naar beneden drukken totdat er evenwicht is: gasdruk = luchtdruk + vloeistofdruk. Hierbij is de vloeistofdruk gelijk aan het gewicht per m2 van de bovenliggende vloeistof. B B

B

Met een metaalbarometer meet je de druk van de buitenlucht. Met een metaalmanometer meet je het drukverschil van een afgesloten hoeveel­heid gas en de buitenlucht. Met een vloeistofmanometer meet je het (kleine) drukverschil van een afgesloten hoeveelheid gas en de buitenlucht.

Verband tussen druk en hoeveelheid gas Dat de druk in een fietsband toeneemt bij het oppompen, kun je met het model van een gas als volgt verklaren. De druk van het gas wordt veroorzaakt door de botsingen van alle luchtmoleculen tegen de binnenkant van de band. Meer lucht in de band pompen, betekent meer moleculen erin brengen, waardoor er per seconde meer luchtmoleculen tegen de binnenkant van de band botsen. Wordt in hetzelfde volume het aantal deeltjes bijvoorbeeld 2× zo groot, dan wordt tegen een wand het aantal botsingen per seconde ook 2× zo groot en dus de druk van het gas.

p buiten

gas

h pgas

p vloeistof

Figuur 12 Open vloeistofmanometer

druk p (Pa)

Bij toenemende druk van het gas in de kromme buis strekt deze iets. Via een tandwielmechanisme wordt die beweging overgebracht naar een wijzer, zodat je de druk kunt aflezen. Met een metaalmanometer meet je het drukverschil, bijvoorbeeld tussen de luchtdruk in de band en buiten de band. Is de druk in de fietsband even groot als de luchtdruk buiten, dan is de band plat en heeft hij geen veerkracht.

0

0

volume V (m3)

Figuur 13 Het omgekeerd evenredig verband tussen druk en volume wordt ‘de wet van Boyle’ genoemd.

Experiment 4: De wet van Boyle

Verband tussen druk en volume Dat de druk van een afgesloten hoeveelheid gas toeneemt bij samenpersen, zoals bij de spuit van figuur 8, kun je op dezelfde manier verklaren met het model. Door het volume bijvoorbeeld 2× zo klein te maken, wordt het aantal deeltjes per m3 (de dichtheid) 2× zo groot en dus wordt ook de druk van het gas 2× zo groot. De druk van het gas is dus omgekeerd evenredig met het volume. Zie figuur 13. B

B

De druk van een gas in een afgesloten ruimte is evenredig met het aantal deeltjes per kubieke meter. Dat bij samenpersen van een gas de druk toeneemt, verklaart het deeltjesmodel doordat er meer en vaker deeltjes tegen de wanden botsen. Figuur 14 In het experiment met de Maagdenburger halve bollen liet Von Guericke (1602-1686) zien dat er atmosferische luchtdruk is en dat die enorm groot is. Nadat de lucht uit de bol is weggepompt, zijn zestien paarden niet in staat om de twee halve bollen van elkaar los te trekken.

100

Begrijpen 3.2 Deeltjesmodel Materialen

Verband tussen druk en temperatuur Dat de druk in het luchtbed toeneemt als het warmer wordt, verklaren we door in het model op te nemen dat bij een hogere temperatuur van het gas de gemiddelde snelheden van de deeltjes groter zijn. In een afgesloten ruimte, zoals het luchtbed in de zon, botsen de deeltjes dan harder en vaker tegen de wanden. Daardoor is de druk van het gas groter bij een hogere temperatuur. B

Begrijpen

7

De grotere druk van een gas bij hogere temperatuur verklaart het deeltjesmodel van een gas, doordat de deeltjes van het gas dan vaker en harder tegen de wand botsen.

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. Als het gas in temperatuur stijgt, gaan de gasdeeltjes sneller bewegen. b Als een gas wordt samengeperst, worden de deeltjes van het gas kleiner. c Met een barometer kun je de druk in een fietsband meten. d Met een manometer meet je hoeveel de druk in de band verschilt met die van de buitenlucht. e Als de temperatuur stijgt, worden de deeltjes van een gas warmer. f Als er meer luchtdeeltjes in een liter zitten, is de druk van de lucht groter. g Een gas in een afgesloten ruimte oefent alleen druk uit op de wanden van die ruimte, in het midden is er geen druk. a

Maak de opgaven in je boek of online.

8

Hieronder staan drie verschijnselen. Verklaar elk van deze verschijnselen met het deeltjesmodel van een gas. a Een vacuümverpakt pak koffie wordt zacht als je het openknipt. b Een fietsband wordt hard als je hem oppompt. c Een lege en afgesloten plastic fles deukt in als je hem in het vriesvak legt.

9

In figuur 12 is een open vloeistofmanometer getekend, bestaande uit een ­glazen ballon en een gebogen U-buis met vloeistof. Om het verschil in druk van het gas in de ballon en de buitenlucht te kunnen bepalen, moet je weten welke vloeistof in de buis zit. a Leg uit van welke grootheid van die vloeistof je de waarde moet weten. b Beredeneer hoe je met die grootheid het drukverschil kunt berekenen. c Leg uit dat de diameter van de buis er niet toe doet.

10 In het laadruim van een vliegtuig is tijdens de vlucht de luchtdruk veel lager dan die op de grond. Als je een fiets meeneemt in een vliegtuig, moet je daarom de banden half leeg laten lopen. a Beschrijf het risico als je fiets met hard opgepompte banden tijdens de vlucht in het laadruim staat. b De temperatuur in het laadruim is tijdens de vliegreis veel lager dan die op de grond. Leg uit of dit het risico vergroot of verkleint. Figuur 15

Experiment 5: Het verband tussen druk en temperatuur van een gas

11 Een heteluchtballon dreigt tegen een hoge boom te vliegen. Om dit te voorkomen doet de piloot korte tijd de brander aan. Hierdoor wordt de lucht in de ballon warmer, stijgt de ballon en kan hij veilig over de bomen vliegen. Beredeneer of de hoeveelheid lucht (massa of aantal deeltjes) in de ballon tijdens het verwarmen toeneemt of afneemt.

101

Materialen 3.2 Deeltjesmodel Beheersen

12 Je hebt een gewone feestballon. a

druk p (Pa)

Leg uit waardoor een hard opgeblazen ballon iets kleiner wordt als je er ’s winters vanuit de huiskamer mee naar buiten gaat. Als je de ballon onder een stolp legt en de lucht onder de stolp wegzuigt, wordt de ballon groter. b Leg uit waardoor de ballon groter wordt. c Leg uit of de druk in de ballon toe- of afneemt.

13 Je hebt een theeglas heet afgewassen en zet het omgekeerd op een nat aanrecht. Je ziet dan af en toe een luchtbelletje onder het glas door bubbelen. Geef aan of het luchtbelletje naar binnen of naar buiten bubbelt en verklaar dit verschijnsel.

0 temperatuur T (°C)

BEHEERSEN

Omdat de druk van een gas wel evenredig is met de temperatuur als je rekent vanaf het absolute nulpunt, heeft Lord Kelvin een nieuwe temperatuurschaal bedacht: de absolute temperatuur met als eenheid de kelvin (K). De kelvin is even ‘lang’ als de °C maar rekent vanaf het absolute nulpunt. Er geldt dus:

druk p (Pa)

Wordt het volume van een afgesloten hoeveelheid gas gelijk gehouden, dan blijkt de druk lineair toe te nemen met de temperatuur. Zie figuur 17. Maar de grafiek gaat niet door de oorsprong als je °C als eenheid gebruikt. Trek je de grafiek door naar links, dan is er in theorie een minimumtemperatuur waarbij de druk 0 wordt. Die minimumtemperatuur blijkt dezelfde te zijn voor alle doorgetrokken grafieken van metingen aan gassen: −273 °C. En dit geldt voor elk gas en elke concentratie. Deze laagst mogelijke temperatuur heet dan ook het absolute nulpunt.

–273

druk p (Pa)

Druk en (absolute) temperatuur van een afgesloten hoeveelheid gas

Figuur 16 p,T-diagram van een afgesloten hoeveelheid gas bij constant volume, voor drie verschillende dichtheden

0 temperatuur T (°C)

0

273 temperatuur T (K)

Figuur 17 p,T-diagram van een gas, links met Celsiusschaal en rechts met kelvin-schaal

T (K) = T (°C) + 273 Het evenredige verband tussen de gasdruk en de absolute temperatuur van een afgesloten hoeveelheid gas in een gelijkblijvend volume, heet de drukwet van Gay-Lussac: p __ ​​   ​​ = c T

Hierin is p de druk (in N/m2 of Pa), T de absolute temperatuur (in K) en c een constante, die afhankelijk is van de dichtheid van het gas.

K

°C

373

100

310 293 273

37 20 0

195

–78

77

–196

0

–273

Figuur 18 Temperatuur in kelvin en in graden Celsius

102

Beheersen 3.2 Deeltjesmodel Materialen

Absolute temperatuur en het deeltjesmodel van een gas In het deeltjesmodel van een gas neemt de snelheid van alle deeltjes steeds verder af als de temperatuur van het gas (het geheel) afneemt. Bij het absolute nulpunt zouden de deeltjes zelfs helemaal niet meer bewegen. Ze zouden dan ook niet meer botsen en dus zou het gas ook geen druk meer uitoefenen. Maar exact 0 K is niet te realiseren, al kan het in laboratoria wel heel dicht benaderd worden. Ook in een vaste stof en in een vloeistof zouden de moleculen niet meer bewegen bij 0 K. B

Volgens het deeltjesmodel van materie bewegen de deeltjes niet meer als de temperatuur van de materie 0 K is.

Algemene gaswet Wordt het volume van een afgesloten hoeveelheid gas 2× zo klein, dan wordt de druk 2× zo groot. Deze omgekeerd evenredigheid tussen druk en volume van een afgesloten hoeveelheid gas heet de wet van Boyle en luidt in formulevorm:

p·V = c Figuur 19 Robert Boyle (1627-1691) was een Iers filosoof en scheikundige/alchemist. Hij heeft de naar hem genoemde wet ontdekt.

Hierin is p de druk (in N/m2 of Pa), V het volume (in m3) en c een constante die afhangt van de temperatuur en van de hoeveelheid gas. Gecombineerd met de drukwet van Gay Lussac kom je tot één algemene gaswet voor een afgesloten hoeveelheid gas:

VO O R B E E L D O P G AV E 2 In een heliumballon van 30 cm3 is p = 1,3 bar. Vraag: Bereken hoeveel mol helium zich in deze ballon bevindt bij 20 °C. Antwoord: De absolute temperatuur is 293 K. Het volume is 3,0 · 10−5 m3. p·V 1,3 · 105 × 3,0 · 10–5 ____ ​​  T ​​ = n · R → _____________ ​​     ​​ = n × 8,31 → 293

n = 1,6 · 10−3 mol

p∙V ____ ​​   ​​ = n · R T

Hierin is p de druk van het gas (in Pa), V het volume van het gas (in m3), T de absolute temperatuur van het gas (in K), n het aantal mol gas en R de gasconstante, die voor alle gassen hetzelfde is: 8,31 J/(mol · K). Het aantal mol n geeft aan ‘hoeveel’ gas er is, niet in kg maar in aantal deeltjes: 1 mol is de hoeveelheid stof die 6,02 · 1023 moleculen bevat. Bij luchtdruk wordt vaak de eenheid bar of mbar (millibar) gebruikt: 1 bar = 1 · 105 Pa.

VO O R B E E L D O P G AV E 3 Het gas in een afgesloten cilinder van 2,4 cm3 wordt verwarmd van 20 °C tot 60 °C. De druk van het gas is in het begin 3,6 bar. Vraag: Bereken hoe groot de druk in de cilinder wordt na het verwarmen. Antwoord: Gebruik de algemene gaswet: p1 · V1

p2 · V2

​​ = _____ ​​ _____ ​​  T · n ​​. T ·n 1

1

2

2

Hierbij blijven het aantal deeltjes en het volume constant. De vergelijking wordt dus:

p1 p2 p2 3,6 __ ​​  T ​​= __ ​​  T ​​ → ___ ​​  293 ​​ = ___ ​​  333 ​​  dus 1 2

p2 = 4,1 bar.

De algemene gaswet kun je ook als vergelijking schrijven, door te kijken naar de veranderingen. Als een afgesloten hoeveelheid gas vanuit toestand 1 met een druk p1, volume V1, aantal deeltjes n1 en temperatuur T1 naar toestand 2 gaat, met een druk p2, volume V2, aantal deeltjes n2 en temperatuur T2, geldt: p ·V p2 · V2 _____ ​​ ​​  T1 · n1 ​​ = ​​ _____ T2 · n2 1 1

In deze vergelijking moet je de druk vóór en ná de veranderingen in dezelfde eenheid opgeven, maar welke eenheid is niet van belang. Hetzelfde geldt voor het volume. De temperatuur moet echter altijd in de eenheid kelvin.

Materialen 3.2 Deeltjesmodel Beheersen

B B

B B

De algemene gaswet geldt alleen met de temperatuur in kelvin. In de algemene gaswet als vergelijking moet je de grootheden links en rechts in dezelfde eenheid invullen maar de temperatuur altijd in kelvin. De gasconstante R is voor alle stoffen gelijk. Het aantal deeltjes in 1 mol stof bedraagt 6,02 · 1023 moleculen.

I D E A L E G ASS E N Met het deeltjesmodel zijn de eigenschappen van gassen niet alleen kwalitatief maar ook kwantitatief te verklaren. Nauwkeurige metingen laten echter zien dat een gas zich niet altijd precies volgens de gaswetten gedraagt. Johannes van der Waals (1837-1923) toonde aan dat de wet van Boyle alleen geldig is voor een verdund gas. Ook mogen de moleculen elkaar niet aantrekken. Zo’n gas noem je een ideaal gas. De wet van Boyle en de andere gaswetten gelden eigenlijk alleen voor zo’n ideaal gas. In de praktijk is een gas nooit echt ideaal. De deeltjes hebben een bepaalde grootte en oefenen een onderlinge aantrekkingskracht op elkaar uit. Deze vanderwaalskracht is afhankelijk van de afstand tussen de moleculen. Hoe groter de onderlinge afstand, des te kleiner is de vanderwaalskracht. Dat de gaswetten toch meestal prima gebruikt kunnen worden, komt doordat ­bijvoorbeeld in lucht de afstand tussen de moleculen gemiddeld heel groot is. In de meteorologie worden dan ook de gaswetten gebruikt.

14 De paragraafvraag is: Welke verbanden zijn er tussen druk, temperatuur en volume van een afgesloten hoeveelheid gas en hoe verklaar je die met het deeltjesmodel van een gas? Wat is het antwoord op deze vraag?

15 Controleer de volgende beweringen aan de hand van de algemene gaswet. a b c

De druk van een afgesloten hoeveelheid gas in een vast volume wordt tweemaal zo groot als de absolute temperatuur van het gas wordt verdubbeld. De absolute temperatuur van een gas wordt tweemaal zo klein als, bij constante druk, door afkoeling het volume van het gas wordt gehalveerd. De druk van een vast volume gas is niet veranderd als door verwarming de absolute temperatuur is verdubbeld en de helft van het gas (massa of aantal mol) is uitgestroomd.

16 Een racefietsband bevat ongeveer 2,5 L lucht. De druk in de band is 6,5 bar hoger dan de buitendruk. De luchttemperatuur is 20 °C. De massa van 1 mol lucht is 29 g. a Bereken hoeveel mol lucht er in de band zit. De racefietser pompt zijn band op tot een drukverschil van 8,5 bar met de buitendruk. b Bereken hoeveel gram extra lucht er in de band wordt gepompt. Tijdens het fietsen in de zon stijgt de temperatuur in de band van 20 °C tot 40 °C. c Bereken tot hoeveel bar de druk in de band daardoor stijgt.

103

104

W E E R B A L LO N N E N Twee keer per dag wordt bij het KNMI een weerballon opgelaten met daaraan een sonde. De sonde bereikt doorgaans een hoogte tussen 20 en 30 km. Tijdens de vlucht, die één tot twee uur duurt, worden de metingen van temperatuur, luchtvochtigheid en luchtdruk doorgeseind. Met radar wordt de sonde gevolgd en worden zo windrichting en windsnelheid berekend. Als de weerballon omhoog gaat, komt hij in steeds ijlere lucht. De (rubber) ballon zal dus groter en groter worden en ten slotte knappen. De radiosonde komt dan aan een parachute naar beneden.

Beheersen 3.2 Deeltjesmodel Materialen

17 Een weerballon is een met helium gevulde en dichtgeknoopte ballon die makkelijk groter kan worden. Het gas heeft op de grond een temperatuur van 12 °C en een druk van 1,02 · 105 Pa. Het volume van de ballon is dan 8,0 m3. Op grote hoogte is de temperatuur in de ballon gedaald tot −23 °C en de druk tot 0,50 · 105 Pa. Bereken het volume van de weerballon op die hoogte.

18 In een fietsband zit 170 g lucht met een druk van 3,2 · 105 Pa en een temperatuur van 24 °C. Doordat de fiets in de zon staat, stijgt de temperatuur van de lucht in de band tot 48 °C. Hierdoor stijgt de druk van de lucht in de band. Je laat nu lucht uit de band ontsnappen tot de druk weer gedaald is tot 3,20 · 105 Pa. De massa van 1 mol lucht is 29 g. a Bereken hoe groot het volume van de band is. b Bereken hoe groot de druk was, voordat je lucht uit de band liet ontsnappen. c Bereken de massa van de lucht die je uit de band hebt laten ontsnappen.

19 Een airbag in een auto wordt bij een botsing zeer snel opgeblazen met stikstofgas. Dit gas ontstaat door het ontsteken van een chemische reactie. De airbag wordt daardoor in een tijdsduur van 25 ms tot een druk van 1,3 · 105 Pa opgeblazen. Het volume van de opgeblazen airbag is 30 L. De temperatuur van het stikstofgas is na het opblazen 15 °C. De massa van 1 mol stikstofgas is 28 g. Bereken de massa van het gas die gemiddeld per milliseconde moet ontstaan om de airbag in de gewenste tijd de juiste druk te geven.

20 De zuiger van een spuit met afgesloten tuit kan wrijvingsloos bewegen. Zie

Figuur 20 Een weerballon wordt opgelaten.

figuur 21. De spuit is van boven open, waardoor de druk in de spuit constant is. Onder de zuiger bevindt zich 7,0 cm3 droge lucht met een temperatuur van 20 °C. De spuit wordt in water van 50 °C geplaatst. a Leg uit waardoor het volume dan toeneemt. b Bereken het nieuwe volume van de lucht in de spuit. De spuit wordt nu achtereenvolgens in water van verschillende temperaturen gedaan waarna steeds het volume wordt afgelezen. c Teken het bijbehorende V,T-diagram inclusief de oorsprong, waarbij de temperatuur in K is.

21 Het meten van de bandenspanning moet gebeuren in ‘koude’ toestand. Een automobilist controleert voor een autorit zijn bandenspanning: Het drukverschil van de druk in de band en de buitendruk is 2,1 bar bij een temperatuur van 18 °C. Na een rit over de snelweg is de temperatuur opgelopen tot 60 °C. Het volume van de lucht in de band is daarbij 2,4% toegenomen. a Bereken het drukverschil dat de automobilist direct na de rit meet. b Leg uit waarom het meten van de bandenspanning in ‘warme’ toestand niet zo zinvol is.

Figuur 21

105

Materialen 3.2 Deeltjesmodel BEHEERsEN

22 In figuur 22 is een dwarsdoorsnede van een plantenspuit schematisch getekend. De inhoud van de tank is 6,50 L. Op een bepaald moment bevat de tank 3,00 L water en 3,50 L lucht met een temperatuur van 17 °C. De druk in de tank bedraagt 2,00 · 105 Pa, de druk van de buitenlucht is 1,00 · 105 Pa. Door het handvat in verticale richting heen en weer te bewegen, kan er extra lucht in de tank gepompt worden. Het ventiel zorgt ervoor dat de lucht niet terugstroomt. Per pompslag wordt er 150 mL buitenlucht van 17 °C en 1,00 · 105 Pa toegevoegd aan de lucht in de tank. Hierdoor stijgt de druk in de tank. Neem aan dat de temperatuur van de lucht tijdens het pompen gelijk blijft. De toegevoerde lucht zorgt ervoor dat de druk wordt opgevoerd tot 2,00 · 105 Pa. a Bereken het aantal pompslagen dat hiervoor minimaal nodig is. In de tank zit nu lucht van 17 °C en 2,00 · 105 Pa. De kraan van het spuitstuk wordt geopend. Er spuit 15 mL water per seconde uit de tank gedurende 100 s. Neem aan dat de temperatuur van de lucht in de tank niet verandert. b Maak een tabel en een diagram van de druk van de lucht in de tank tegen de tijd van 0 tot 100 seconden. In werkelijkheid daalt de temperatuur van de lucht in de tank een klein beetje. c Leg uit of je hierdoor meer of minder vaak moet pompen.

spuitstuk

handvat

zuiger

lucht ventiel

water

Figuur 22 Schematisch model van een plantenspuit

23 In figuur 23 staan vier identieke cilinders met zuigers die wrijvingsloos kunnen

A

B

C

D

druk

bewegen. Eerst is de druk in alle cilinders 2,3 bar en de temperatuur van het gas in de cilinders 20 °C. Vervolgens worden er extra massa’s op de zuigers geplaatst en worden de gassen verwarmd tot de in de figuur aangegeven temperaturen. a Zet de vier cilinders op volgorde van het volume van het gas na het verwarmen en het bijplaatsen van de massa’s. b Leg uit hoe je tot deze volgorde bent gekomen.

A

3p 0

C

2p 0

m = 300 g T = 290 K

m = 200 g T = 290 K

m = 300 g T = 350 K

m = 200 g T = 350 K

Figuur 23

24 In figuur 24 staan vijf situaties, A t/m E, van steeds 1 mol ideaal gas weergegeven. a b

D

p

0

Rangschik de vijf situaties naar temperatuur. Begin bij de hoogste temperatuur. Leg uit hoe je tot deze volgorde bent gekomen. Figuur 24

B

0

V0

E

2V0

3V0

4V0 volume

106

Materialen

3.3 Experiment 6: Warmtegeleiding

Energie en warmtetransport

ONTDEKKEN Uit een open pan is een laagje water na verloop van tijd helemaal verdampt. Is de pan goed afgesloten, dan gebeurt dat niet. Er ontstaat dan evenwicht tussen verdamping en condensatie. Dit kun je met het deeltjesmodel van een ideaal gas niet verklaren, maar wel als je dat model uitbreidt met onderling aantrekkende krachten tussen de deeltjes. Sommige stoffen voelen warmer of koeler aan dan andere, terwijl ze toch dezelfde temperatuur hebben. Het verschil heeft te maken met warmtegeleiding in de betreffende stof. Als je bijvoorbeeld een metalen lepel in een pan met hete soep laat staan, wordt deze lepel helemaal heet, terwijl je met een houten lepel gewoon kunt blijven roeren. Dit verschil kun je verklaren met een deeltjesmodel, als in dat model de krachten tussen de deeltjes van de verschillende vaste stoffen verschillen. Om de temperatuur van bijvoorbeeld een pan water te verhogen moet je warmte toevoeren. Maar een deeltje heeft geen temperatuur en warmte komt in een deeltjesmodel ook niet voor. Temperatuur en warmte zijn dus geen grootheden van individuele deeltjes, maar van een grote verzameling deeltjes.

PA R AG R A A F V R A AG Hoe kun je verwarmen, verdampen, condenseren en warmtetransport verklaren met het deeltjesmodel?

Figuur 25 De metalen pan wordt te heet om met blote handen aan te raken, maar de steel van de houten lepel kun je na een tijdje nog steeds vastpakken.

BEGRIJPEN Deeltjesmodellen van vloeistof, gas en vaste stof Hoewel de eigenschappen van bijvoorbeeld ijs, water en waterdamp heel erg verschillend zijn, bestaan de drie fasen van een stof (in dit geval water) uit dezelfde moleculen. Kennelijk hebben die verschillende eigenschappen te maken met de verschillende onderlinge wisselwerkingen tussen de moleculen in de verschillende fasen. In het deeltjesmodel van een (ideaal) gas botsen de deeltjes alleen volkomen veerkrachtig tegen elkaar, ze ‘plakken’ niet en ‘houden niet vast’. Daarom is het deeltjesmodel voor de vaste en vloeibare fase van een stof uitgebreid met onderling aantrekkende krachten tussen de deeltjes. Bij het verwarmen van een vaste stof gaan de deeltjes van die stof heftiger trillen om hun vaste posities. Daarbij kunnen ze hun ‘buren’ aanstoten en zo trillingsenergie doorgeven. Ook bij het verwarmen van een vloeistof gaan de deeltjes heftiger trillen en kan extra ‘trillingsenergie’ worden doorgegeven aan naburige deeltjes. Hierdoor hebben de deeltjes niet steeds dezelfde snelheid, maar wisselt die voortdurend om een gemiddelde waarde. Ook kan een verzameling deeltjes in de vloeistoffase van een warmere omgeving naar een koelere stromen en zo extra energie transporteren.

107

Materialen 3.3 Energie en warmtetransport BEGRIJPEN

Verdampen en condenseren

Bij hogere temperatuur van de vloeistof is er aan het vloeistofoppervlak dus pas evenwicht tussen verdamping en condensatie bij een grotere dampconcentratie.

B

Bij verdamping ontsnappen toevallig extra snelle deeltjes aan de aantrekkende krachten van de andere deeltjes. Bij hogere temperatuur van de vloeistof ontsnappen er per seconde meer: de verdamping is dan groter. Condensatie van damp vindt plaats aan het vloeistofoppervlak. Alle deeltjes die het vloeistofoppervlak raken worden ‘gevangen’. Hoeveel damp er per seconde en per m2 condenseert is alleen afhankelijk van de dampconcentratie bij het vloeistofoppervlak.

R E L AT I E V E VO C H T I G H E I D

Figuur 26 Verdampen en condenseren

waterdampdichtheid ρdamp (g/m3)

ve r

Volgens het deeltjesmodel ontsnappen er bij verdamping voortdurend watermoleculen uit de vloeistof. Die verdamping(stroom) is groter naarmate de temperatuur van het water hoger is. De verklaring is dat het in warmere vloeistof vaker voorkomt dat deeltjes aan het oppervlak snel genoeg bewegen om aan de aantrekkende krachten van de omringende deeltjes te ontsnappen. Maar er condenseert ook waterdamp aan dat vloeistofoppervlak. Die condensatie(stroom) is niet afhankelijk van de temperatuur van de damp of de vloeistof maar alleen van de concentratie (g/cm3) van de damp bij het vloeistofoppervlak. De verklaring volgens het deeltjesmodel is dat elk dampdeeltje ‘gegrepen’ wordt als het tegen deeltjes in het vloeistofoppervlak botst. De snelheid van het dampdeeltje is niet van invloed op het al of niet ‘vangen’.

B

20° C

condensatie

d a mping

Zet je een schoteltje met water in de huiskamer, dan zal het na verloop van tijd droog H2O-molecuul B 20° C C 20° C staan. Hoe lang dat duurt hangt af van de temperatuur van het water en van de ‘vochtigheid’ in de kamer. Zet je een emmer water in een geheel afgesloten kleine ruimte, dan verandert het vloeistofniveau na verloop van tijd niet meer. Er condenseert dan aan het vloeistofoppervlak per seconde net zo veel damp als er water uit de vloeistof verdampt. De ruimte is dan ‘verzadigd’ met waterdamp, de relatieve vochtigheid is 100%.

60 50 40 30 20 10 0

-20

-10

0

10

20 30 40 temperatuur T (°C)

Figuur 27 Waterdampconcentratie bij verzadiging

Is de verdamping uit het oppervlak van een vloeistof even groot als de condensatie op dat oppervlak, dan heet de damp boven de vloeistof verzadigd. Er treedt dan geen netto-verdamping meer op, de hoeveelheid vloeistof blijft gelijk. Bij welke concentratie van de damp verzadiging optreedt, hangt af van de temperatuur van de vloeistof. Zie figuur 27. Is de damp niet verzadigd, dan is er netto-verdamping aan een vloeistofoppervlak. De verhouding tussen de aanwezige dampconcentratie en de concentratie bij verzadiging heet de relatieve vochtigheid en wordt uitgedrukt in procenten. Op een hygrometer kun je de relatieve vochtigheid aflezen. Is de relatieve vochtigheid 100% dan breekt je het klamme zweet uit, doordat je niets meer verdampt. En is de relatieve luchtvochtigheid 5%, dan drogen je longen, ogen, neus en blote huid gevaarlijk uit.

Figuur 28 Hygrometer

108

Begrijpen 3.3 Energie en warmtetransport Materialen

Warmte en temperatuur Hoe hoger de temperatuur van een stof, des te sneller bewegen de deeltjes waaruit de stof bestaat. Hoe sneller een deeltje beweegt, des te groter is zijn bewegingsenergie. De temperatuur van een materiaal is volgens het deeltjesmodel een maat voor de gemiddelde bewegingsenergie per deeltje van dat materiaal. Dat geldt voor alle drie de fasen en is voor elk materiaal gelijk. De warmte is de hoeveelheid energie die aan een voorwerp wordt toegevoerd, bijvoorbeeld door een verwarmingselement, of die door het voorwerp wordt afgegeven. Bij een bepaalde temperatuur van een materiaal hebben alle deeltjes in dat materiaal gemiddeld evenveel bewegingsenergie. In een goed gemengd gas bewegen zware moleculen zoals CO2 daardoor gemiddeld langzamer dan lichte moleculen zoals H2O. Maar de temperatuur van een stof zegt niet alles over hoe warm een stof aanvoelt. Een ijzeren brugleuning voelt op een koude nacht veel kouder aan dan een leuning van kunststof. Pak je in de vrieskou het metaal van je fietsstuur met je blote hand vast, dan vries je bijna vast, terwijl de kunststof handvatten geen problemen geven. Hoe koud een materiaal aanvoelt, heeft te maken met hoe snel de warmte van jouw lichaam wordt afgevoerd naar dat voorwerp. B

B

De temperatuur van een materiaal is volgens het deeltjesmodel een maat voor de gemiddelde bewegingsenergie per deeltje van dat materiaal. Hoe sneller de deeltjes van het materiaal bewegen, des te groter is hun bewegingsenergie en des te hoger is de temperatuur van dat materiaal. Alle deeltjes van elk materiaal hebben bij een bepaalde temperatuur van het materiaal gemiddeld evenveel bewegingsenergie.

Transport van warmte Wanneer een kat het warm heeft, rekt hij zich helemaal uit. Wanneer hij het koud heeft, rolt hij zich op tot een bolletje. Op deze manier regelt hij zijn warmteafgifte. Mensen doen in de winter een dikke winterjas aan om warm te blijven. Als we meer warmte verliezen dan we zelf produceren, krijgen we het koud. Bij het verwarmen van een voorwerp moet je energie toevoeren. Als een voorwerp afkoelt, verliest het energie. Zo werkt het ook bij mensen. In je lichaam produceer je warmte. Hoeveel warmte je verliest hangt onder andere af van je isolatie: de dikte en het materiaal van je kleren of je dekbed.

Geleiding In vaste stoffen is warmtetransport het doorgeven van de trillingsenergie van deeltje op deeltje. Bij een temperatuurverschil over een vast voorwerp trillen de deeltjes aan de warmere kant heftiger dan aan de koudere kant, zodat er door onderlinge botsingen netto-transport van energie plaatsvindt. Dat heet geleiding van warmte. Hoe groter het temperatuurverschil over een voorwerp, des te meer trillingsenergie wordt er per tijdseenheid doorgegeven.

109

Materialen 3.3 Energie en warmtetransport BEGRIJPEN

Bij sommige stoffen, zoals bijvoorbeeld rubber, zijn de onderlinge krachten tussen de deeltjes zwak. Extra trillingsenergie van deeltjes wordt dan slecht doorgegeven. Daardoor zijn deze stoffen goede isolatoren, ze geven de warmte slecht door. Het omgekeerde geldt voor diamant, een kristal van koolstofatomen. Die deeltjes zitten zo stevig aan elkaar vast dat extra trillingsenergie snel wordt doorgegeven. Diamant is daardoor een zeer goede warmtegeleider. Metalen zijn behalve goede geleiders voor elektriciteit ook goede warmtegeleiders. Dat is te verklaren met de uitbreiding van het deeltjesmodel die je al in hoofdstuk 1 hebt gezien. In een metaal is van elk atoom één of meer elektronen ‘vrij’ om door het metaal te bewegen. Zowel de elektrische lading als de extra bewegingsenergie kunnen de vrije elektronen makkelijk door het metaal heen transporteren.

stroming en straling In vloeistoffen en gassen gaat warmtetransport op een andere manier. Een verzameling deeltjes kan extra bewegingsenergie meenemen naar een koelere omgeving, dit heet stroming van warmte. Een voorbeeld is de centrale verwarming. In de ketel wordt water verwarmd, dat dan met behulp van een pomp door het hele huis circuleert. In een metalen radiator geeft het water zijn warmte af aan de binnenkant van de radiator en door warmtegeleiding wordt dan de buitenkant warm. Ten slotte kan lucht door stroming de warmte van de radiator naar andere plaatsen in de kamer brengen.

geleiding

stroming straling

Een derde vorm van warmtetransport is straling. De warmte van de zon komt naar de aarde door straling. De warmte van een vuurtje wordt overgebracht door straling. Een gloeilamp geeft de meeste energie af in de vorm van (warmte)straling. Bij straling is geen tussenstof nodig om de warmte te transporteren. Transport van energie door straling kan niet verklaard worden door het deeltjesmodel van dit hoofdstuk. Uitleg over elektromagnetische uitstraling komt pas in hoofdstuk 13 aan de orde. B B

B

B B

B

De drie vormen van warmtetransport zijn: geleiding, stroming en straling. Warmtegeleiding kun je in het deeltjesmodel van een vaste stof verklaren doordat de deeltjes op hun vaste posities elkaar kunnen aanstoten en zo extra trillingsenergie kunnen doorgeven. Dat bij een groter temperatuurverschil de warmtegeleiding groter is, verklaart het deeltjesmodel doordat de deeltjes heftiger trillen en harder tegen nabije deeltjes botsen naarmate de temperatuur van de stof hoger is. Bij metalen vindt warmtegeleiding eveneens plaats door vrije elektronen. Bij warmtetransport door stroming bewegen de deeltjes met extra energie gezamenlijk naar een koelere omgeving. Bij warmtetransport door straling is geen materie betrokken.

Figuur 29 De drie vormen van warmtetransport: geleiding, stroming en straling

110

Begrijpen 3.3 Energie en warmtetransport Materialen

Figuur 30 De warme lucht stroomt omhoog, de straling houdt je warm.

CO N V E C T I E De lucht boven een verwarming stijgt op en gaat rondstromen door de kamer, zonder dat er een pomp of ventilator aan te pas komt. Dat deze verwarmde lucht gaat stromen kun je met het deeltjesmodel goed verklaren. De luchtmoleculen krijgen, in contact met het metaal van de verwarming, extra bewegingsenergie. Daardoor botsen ze vaker en harder tegen elkaar en zal de lucht daar uitzetten. Hierdoor wordt de dichtheid van die warmere lucht kleiner en wordt ze opgetild door de koelere en dichtere lucht ernaast. De warme lucht gaat dus naar boven bewegen. Deze vorm van stroming heet convectie. Hetzelfde gebeurt in vloeistoffen die van onder­af verwarmd worden, zoals je kunt zien in de pan van figuur 29. Als warmtebron voor de mensen heeft een open vuur, zoals in figuur 30, maar een laag rendement. De meeste chemische energie in het hout gaat 'verloren' als warmte die met de rookgassen door convectie omhoog gaat en niet bij de mensen komt. Bovendien is de warmtestraling gering door de relatief lage temperatuur van het gloeiende hout.

Opwarmen van stoffen Voor het verwarmen van een voorwerp is energie nodig. De hoeveelheid energie die per kg nodig is om die stof 1 °C warmer te maken is de soortelijke warmte van die stof. De eenheid van soortelijke warmte is joule per kilogram en per kelvin (J/(kg · K)). Alle deeltjes van elk materiaal hebben bij een bepaalde temperatuur van het materiaal gemiddeld evenveel bewegingsenergie. Als een voorwerp uit veel deeltjes bestaat, heb je dus veel energie nodig om de temperatuur van het voorwerp een graad te laten stijgen. Doordat 1 kg van een lichte stof uit meer deeltjes bestaat dan 1 kg van een zware stof hebben lichte stoffen, zoals water, dan ook een grote soortelijke warmte. B

B

De soortelijke warmte van een stof is de hoeveelheid energie die per kg en per graad temperatuurstijging nodig is om de stof te verwarmen. Omgekeerd is de soortelijke warmte ook de hoeveelheid energie die per kg en per graad temperatuurdaling vrijkomt als de stof afkoelt.

111

Materialen 3.3 Energie en warmtetransport Begrijpen

25 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g

Warmte is de bewegingsenergie van ieder deeltje van de stof. De eenheid van soortelijke warmte is joule per kelvin. Bij warmtetransport door straling verplaatsen zich geen atomen of moleculen. Bij metalen zijn het onder andere de elektronen die voor warmtegeleiding zorgen. Stoffen die opgebouwd zijn uit lichte atomen hebben een kleine dichtheid en een grote soortelijke warmte. Door verdamping neemt de gemiddelde snelheid af van de deeltjes in de stof die achterblijft. Een voorwerp wordt kouder, doordat je koude toevoert.

26 Bij vaste stoffen is geleiding de belangrijkste vorm van warmtetransport. Bij gassen en vloeistoffen speelt stroming de belangrijkste rol. a Leg uit waardoor bij een vaste stof stroming geen rol kan spelen in warmtetransport. b Leg uit waardoor geleiding geen rol speelt bij warmtetransport door de lucht in bijvoorbeeld een klaslokaal.

27 Bij faseovergangen speelt energie een belangrijke rol. a b c d

Noem een voorbeeld waaruit blijkt dat voor smelten energie nodig is. Noem een voorbeeld waaruit blijkt dat voor verdampen energie nodig is. Noem een voorbeeld waaruit blijkt dat bij condenseren energie vrijkomt. Noem een voorbeeld waaruit blijkt dat bij stollen energie vrijkomt.

28 Voor een temperatuurstijging van een voorwerp is toevoer van energie nodig. a b c

Leg uit dat voor temperatuurdaling van een voorwerp afvoer van energie nodig is. Leg uit waardoor er een laagste temperatuur is: het absolute nulpunt van 0 K. De temperatuur van een materiaal is evenredig met de gemiddelde ­bewegingsenergie van de deeltjes. Leg uit wat daarmee bedoeld wordt.

29 De soortelijke warmte van water is 4180 J/(kg · K). a Leg uit wat dit betekent. Je hebt een bekerglas met 0,5 L water, een verwarmingselement met een vermogen van 300 J/s, een stopwatch en een thermometer. Daarmee wil je de soortelijke warmte van water bepalen. b Beschrijf hoe je dit experiment zou kunnen uitvoeren. c Beschrijf hoe je uit je metingen de soortelijke warmte van water kunt bepalen.

30 In een koelbox moeten de etenswaren voor de picknick koel blijven. Een dekbed is bedoeld om je warm te houden. a Leg uit of het materiaal van de koelbox een goede of een slechte warmtegeleider is. b Leg uit of het materiaal van het dekbed een goede of een slechte warmtegeleider is. c In beide materialen zit veel lucht. Beschrijf de functie van die lucht. d Leg uit of je deze materialen het best kunt vergelijken met de vacht van een ijsbeer of met de speklaag van een zeehond.

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

112

Beheersen 3.3 Energie en warmtetransport Materialen

31 Als het vriest, moet je niet aan een ijzeren brugleuning likken, want dan kan je tong vastvriezen. a Leg uit of je tong vastvriest door de grote dichtheid van ijzer, de grote warmtegeleidingscoëfficiënt van ijzer of de grote soortelijke warmte van ijzer. b Leg uit waarom je tong niet snel aan een stenen brugleuning zal vastvriezen.

32 In de keuken worden verschillende technieken gebruikt om voedsel te verwarmen. Geef bij elk van die technieken aan welke vorm van warmtetransport daarbij het belangrijkst is. a een heteluchtoven b een magnetron c een broodrooster d een pan met een dikke aluminium bodem

33 In figuur 31 zie je een koperen ‘heat sink’ die op de processor van een computer is geplaatst. De heat sink zorgt ervoor dat de processor niet te heet wordt. a Leg uit waarom de heat sink van koper is gemaakt. b Leg uit dat er bij deze vorm van warmtetransport sprake is van geleiding en van stroming. c Speelt straling ook een rol bij deze koeling? Licht je antwoord toe. Figuur 31

BEHEERSEN

Experiment 7: De soortelijke warmte van een onbekende vloeistof

Soortelijke warmte en energie

Experiment 8: De soortelijke warmte

De soortelijke warmte c van een stof geeft aan hoeveel energie nodig is om 1 kg van die stof 1 K (of 1 °C) te verwarmen. Om te berekenen hoeveel energie nodig is om een massa m van een stof ΔT graden te verwarmen, gebruik je dus:

van ijzer

ρ

λ −3

−1

Q = c · m · ∆T

c −1

−1

−1

materiaal (kg · dm ) (W · K · m ) (J · kg · K ) lucht 0,0012 0,024 1000 kurk 0,28 0,08 1760 hout 1 0,4 1880 water 1,0 0,60 4180 polystyreen 1,06 1,06 1300 zand 1,6 1 800 baksteen 1,7 0,6 750 gips 2,32 1,3 950 glas 2,5 0,93 800 graniet 2,7 3,5 820 marmer 2,7 3 880 aluminium 2,70 237 880 zink 7,2 116 386 ijzer 7,87 80,4 406 koper 8,96 390 387 zilver 10,5 429 240 goud 19,3 318 129 Figuur 32

In deze formule is Q de warmte (energie) (in J), c de soortelijke warmte (in J · kg−1 · K−1), m de massa (in kg) en ΔT de temperatuurstijging (in K of °C).

Dichtheid en soortelijke warmte In de tabel van figuur 32 is van enkele stoffen onder andere de dichtheid ρ en de soortelijke warmte c gegeven. De soortelijke warmte is ongeveer omgekeerd evenredig met de dichtheid. Dat komt doordat stoffen met een grote dichtheid zware deeltjes hebben. Als de temperatuur stijgt, neemt de gemiddelde energie van elk deeltje evenveel toe. Dat betekent dat voor een klein aantal (zware) deeltjes minder energie nodig is dan voor een groot aantal (lichte) deeltjes. Water is één van de lichtste stoffen in de tabel. Voor het verwarmen van water is dus relatief veel energie nodig. In warm water zit daardoor veel energie, die je weer terug kunt krijgen als de omgeving kouder wordt. Overtollige warmte in de zomer wordt wel opgeslagen in water dat diep onder de grond zit. In de winter wordt die energie dan weer gebruikt om huizen, gebouwen of zelfs woonwijken te verwarmen door het warme water weer op te pompen.

113

Materialen 3.3 Energie en warmtetransport BEHEERsEN

Als je alleen naar de laatste kolom in de tabel kijkt, lijkt het aardig wat warmte te kosten om lucht te verwarmen. Toch is lucht geen geschikt opslagmedium voor warmte. Zie voorbeeldopgave 1. B

B

Vaste stoffen en vloeistoffen met ‘zware’ deeltjes hebben een grote dichtheid en een relatief kleine soortelijke warmte. Voor veel vaste stoffen en vloeistoffen geldt: hoe groter de dichtheid, des te kleiner de soortelijke warmte.

Isolatie en warmtegeleiding Materialen zoals glaswol en piepschuim zijn isolatoren: ‘ze houden de warmte goed vast’. Zulke materialen worden gebruikt om woningen te isoleren, doordat ze de warmte slecht doorgeven. De deeltjes zitten losjes aan elkaar met veel lucht ertussen en ‘stoten’ elkaar daardoor weinig aan. Ook de dieren in figuur 33 zijn goed geïsoleerd door hun speklaag en vacht.

VO O R B E E L D O P G AV E 4 Een huiskamer meet 10 m x 5 m x 3 m. Vraag: Bereken hoeveel energie het kost om in deze kamer de luchttemperatuur 1 graad te verhogen. Antwoord: De dichtheid van lucht op zeeniveau is 1,2 kg/m3, het volume van de kamerlucht is 150 m3 en de soortelijke warmte van lucht is 1000 J · kg−1 · K−1. Elke graad temperatuurverhoging van de lucht in de kamer kost dus 150 x 1,2 x 1000 = 1,8 · 105 J. Vraag: Hoeveel water kun je met diezelfde hoeveelheid energie 1 graad verwarmen? Antwoord: De soortelijke warmte van water is 4180 J · kg−1 · K−1. 1,8 · 105 Met 1,8 · 105 J kun je dus ______ = 43 kg, ofwel 4180 43 liter 1 graad verwarmen.

T binnen

warmtestroom

T buiten

Figuur 33 Een speklaag en een vacht geleiden de warmte slecht. oppervlakte A

Toch verdwijnt er bij mensen en warmbloedige dieren altijd wel energie naar buiten als de temperatuur van binnen hoger is dan buiten. De hoeveelheid energie die per seconde naar buiten verdwijnt, de warmtestroom P, is evenredig met de totale oppervlakte A van de huid, omgekeerd evenredig met de dikte d van de isolatielaag, evenredig met het temperatuurverschil ∆T tussen het lichaam van binnen en de buitenlucht en hangt af van de soort isolatielaag. De warmtegeleidingscoëfficiënt λ van een soort stof geeft aan hoe groot de warmtestroom P is door een oppervlakte van 1 m2 met een dikte van 1 m bij een temperatuurverschil van 1 K (zie figuur 34).

dikte d

Figuur 34 Warmtestroom door een wand

+ ,°

+ ,°

Voor de warmtestroom P door een bepaalde wand (of laag) geldt: ∆T P = λ · A · ___ d + ,°

In deze formule is P de warmtestroom (in W = J/s), λ de warmtegeleidingscoëfficiënt (in W/(K · m)), A de oppervlakte van de wand (in m2), ΔT het temperatuurverschil (in K of °C) tussen binnen en buiten en d de dikte van de wand (in m). – ,°

M U U R I s O L AT I E E N LU C H T L A AG J E s Bij het verlies van warmte door muren en ramen speelt ook de luchtlaag langs de wanden een rol. In figuur 35 is het binnen 20 °C en buiten −10 °C. Het temperatuurverschil over de wand zelf is echter slechts 20 °C, vooral door een laagje minder warme lucht tegen de binnenkant van de binnenmuur.

– ,° – ,°

Figuur 35 Temperatuurverloop bij een spouwmuur

114

VO O R B E E L D O P G AV E 5 In figuur 35 is de buitenste muur van baksteen gemaakt. Dit deel is 10,5 cm dik en de steensoort heeft een warmtegeleidingscoëfficiënt λ = 1,3 W/(m · K). Bij een niet-geïsoleerde spouw is het temperatuurverschil over de buitenste laag 5,2 °C. Vraag: Bereken de warmtestroom door geleiding door de muur. Antwoord: Invullen in de formule P = λ · A · ___ ​​  ∆T ​​ d 5,2 geeft: P = 1,3 × A × _____ ​​  0,105 ​​ = 64 · A. Dat betekent dat door elke m2 van de buitenmuur een warmtestroom van 64 J/s gaat.

Beheersen 3.3 Energie en warmtetransport Materialen

In de tabel van figuur 32 is van enkele stoffen ook de warmtegeleidingscoëfficiënt gegeven. Bij goede isolatoren zoals kurk en polystyreen is de warmtegeleiding gering. Materialen die goed de warmte doorgeven zijn geschikt voor bijvoorbeeld het verwarmen van eten op een fornuis. B

Bij warmtetransport door een wand hangt de hoeveelheid energie die per seconde door die wand gaat, de warmtestroom, af van de oppervlakte, de dikte en het materiaal van de wand en het temperatuurverschil tussen beide kanten van de wand.

Isolatie en warmtestroming Warmte in huis gaat niet alleen verloren door geleiding, ook stroming speelt een rol. Als het in een huis tocht, gaat de warme lucht ergens naar buiten en komt er koude lucht het huis binnen. Maar ook in een huis zonder tocht kan stroming een rol spelen in spouwmuren of bij voorzetramen. In de lege spouw van een muur of tussen twee ruiten van een raam kan de lucht gaan stromen. Hierdoor wordt de warmte door stroming van lucht van de warmere naar de koudere wand getransporteerd. Dit warmteverlies wordt beperkt door ervoor te zorgen dat er niets kan stromen in de spouw. Daartoe is de spouw van een muur meestal gevuld met isolatiemateriaal, dat veel opgesloten en dus stilstaande lucht bevat. En de ruimte tussen twee glasruiten is heel smal, zodat het gas daar nauwelijks kan rondstromen.

Isolatie en warmtestraling Een groot deel van het warmtelies bij huizen is te wijten aan uitstraling. Ieder voorwerp dat warmer is dan het absolute nulpunt, straalt energie uit. Hoe hoger de temperatuur van een voorwerp is, des te meer energie het uitstraalt. Warmtestraling is een vorm van elektromagnetische straling, die je niet kunt verklaren met het uitgebreide deeltjesmodel. Infrarode warmtestraling kunnen mensen niet zien, maar sommige nachtdieren wel. Met behulp van apparatuur kan warmtestraling zichtbaar gemaakt worden voor mensen (zie figuur 36).

STRALINGSTHERMOMETER Figuur 36 De infrarode warmtestraling van een geïsoleerd en een niet-geïsoleerd huis. Rood betekent veel warmteverlies en blauw juist weinig.

Doordat de infrarode uitstraling van een voorwerp toeneemt met de temperatuur, kun je temperatuur op afstand meten. Je meet dan de temperatuur van het oppervlak van een voorwerp. Dat kan een muur of een raam zijn, maar ook je huid. Als je een huis isoleert, is het belangrijk ook de uitstraling van het huis te beperken. Hout en stenen absorberen warmtestraling goed en stralen gemakkelijk warmte uit. Metalen reflecteren straling tot tien keer meer en stralen ook minder zelf uit. De eenvoudigste manier om te isoleren is door aluminiumfolie aan de binnenkant van de buitenmuur te hangen. Aluminiumfolie weerkaatst tot wel 97% van de warmtestraling.

Figuur 37 Temperatuur van een buitenmuur aan de binnen- en buitenkant

115

Materialen 3.3 Energie en warmtetransport Beheersen

34 De paragraafvraag is: Hoe kun je verwarmen, verdampen, condenseren en warmtetransport verklaren met het deeltjesmodel? Wat is het antwoord op deze vraag?

35 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e

f

Bij stoffen met een grote soortelijke warmte kost het veel energie om deze op te warmen. De soortelijke warmte geeft aan hoeveel energie je nodig hebt om de temperatuur van een voorwerp 1 °C te verhogen. Een stof met een grote dichtheid heeft meestal ook een grote soortelijke warmte. Stoffen met een kleine soortelijke warmte kun je goed gebruiken als isolator in bijvoorbeeld een thermosfles. De warmtegeleidingscoëfficiënt geeft aan hoeveel energie er per seconde door een vierkante meter van die stof wordt getransporteerd als het temperatuurverschil tussen beide kanten van die stof 1 K is. Het maakt niet uit of je een temperatuurverschil noteert in graden Celsius of in kelvin.

36 Een comfortdouche levert per minuut 15 L water met een temperatuur van 38 °C. a

Bereken hoeveel warmte nodig is om 15 L water te verwarmen van 20 °C tot 38 °C. Een gezin gebruikt de douche in totaal gemiddeld 3,0 h per week. Bij de verbranding van 1 m3 Gronings aardgas komt 32 · 106 J vrij. Het gas kost € 2,20 per kubieke meter. b Bereken hoeveel geld het gezin per jaar kan besparen als het een energiezuinige douche (4,0 L/min) gebruikt.

37 Je brengt 1,8 L water in een stalen pan aan de kook. Als je begint met verwarmen is de temperatuur van de pan en het water 20 °C. De pan heeft een massa van 0,80 kg. Het staal heeft een soortelijke warmte van 0,50 kJ · kg−1 · K−1. a Bereken hoeveel warmte nodig is om het staal te verwarmen tot 100 °C. b Bereken hoeveel warmte nodig is om het water aan de kook te brengen. Neem aan dat tijdens het verwarmen alle energie in de pan en het water terechtkomt. c Bereken hoeveel procent van de geleverde warmte in het staal is gaan zitten. d Leg uit waardoor de aanname van c niet erg realistisch is. e Leg uit waardoor het zuiniger is een deksel op de pan te doen.

38 Als je een druppel water op een gloeiende ijzeren plaat laat vallen, daalt de temperatuur van de plaat een klein beetje. Om een druppel water te laten verdampen is 113 J nodig. Het water onttrekt die warmte aan het ijzer. Het plaatje ijzer heeft een volume van 10 cm3. a Bereken de massa van dit plaatje ijzer. b Bereken hoeveel °C het plaatje in temperatuur zal dalen.

VO O R B E E L D O P G AV E 6 Bij een woning wordt 50 m2 spouwmuur geïsoleerd. Daardoor neemt de gemiddelde warmtestroom per m2 tijdens de zes wintermaanden af van 40 W/m2 naar 8,0 W/m2. Verwarmen met aardgas kost ongeveer € 0,04 per MJ. Vraag: Bereken hoeveel euro er per winter bespaard wordt. Antwoord: Het verschil is (40 − 8,0) × 50 = 1600 W. In 180 dagen zitten 1,55 · 107 s, dat geeft 1600 × 1,55 · 107 = 25 GJ. Dat scheelt € 1000.

116

Beheersen 3.3 Energie en warmtetransport Materialen

39 Warmte en temperatuur zijn niet hetzelfde. a

Leg uit wat kouder aanvoelt als je het vastpakt: een voorwerp van 10 °C van een stof met een grote soortelijke warmte en kleine warmte­geleidingscoëfficiënt of een even zwaar en koud voorwerp van een stof met kleine soortelijke warmte en een grote warmtegeleidingscoëfficiënt. In een warmwaterkruik sla je warmte op die je gedurende de nacht terugkrijgt. Vroeger was een kruik een metalen waterfles en tegenwoordig is het een rubberen waterzak. b Leg uit waardoor rubber zo'n geschikt materiaal is voor het omhulsel. De warmteafgifte van een warmwaterkruik met een begintemperatuur van 45 °C neemt af in de loop van de nacht c Leg uit waardoor de warmteafgifte (de warmtestroom) afneemt.

40 Een bakstenen buitenmuur heeft een dikte van 12 cm en een oppervlakte van 8,5 m2. Het temperatuurverschil tussen binnen- en buitenkant bedraagt 14 °C. a Bereken de warmtestroom door deze muur. De muur wordt aan de binnenzijde geïsoleerd. Daardoor neemt de dikte toe met 6,0 cm. De warmtestroom neemt af tot 140 W. b Bereken de warmtegeleidingscoëfficiënt van de constructie (muur + isolatie).

41 Stel dat uit een kamer de warmte vooral verdwijnt door het enkelglas van één raam. Het glas is 4,0 mm dik. De breedte is 2,5 m, de hoogte is 1,0 m. De temperatuur van de lucht in het laagje aan de binnenkant van de ruit is 15 °C, aan de buitenkant 12 °C. Je hebt in deze kamer een straalkacheltje dat een vermogen van 1,0 kW levert. a Bereken de warmtestroom door het raam. b Is het vermogen van het kacheltje voldoende om deze ruimte op dezelfde temperatuur te houden? Licht je antwoord toe. Je vervangt nu het enkelglas door dubbelglas met een luchtlaag van 1,0 cm ertussen. Dit isoleert beter. Het temperatuurverschil is bij deze luchtlaag 6 °C. c Bereken de warmtestroom door de luchtlaag. d Leg uit waardoor de dikte van de glasplaten, wat isolatie betreft, nu niet erg belangrijk meer is. e Beredeneer of het straalkacheltje de kamer nu wel op dezelfde temperatuur kan houden.

42 In een warmwaterkruik wordt ’s winters warmte opgeslagen, waarvan je in bed nog uren kunt genieten. a Leg uit waardoor water een geschikte stof is om warmte in op te slaan. Twee eeuwen geleden werden nog geen warmwaterkruiken gebruikt, maar werd er voor het slapengaan een verwarmde steen in bed gelegd of een beddenstoof, dat is een koperen pan waarin gloeiende steenkooltjes liggen. b Leg uit welke voordelen en nadelen een beddensteen en een beddenstoof kunnen hebben vergeleken met een warmwaterkruik. Bij ongelukken in de kou is één van de eerste dingen die hulpverleners doen, zorgen dat de patiënt niet onderkoeld raakt. Tegenwoordig worden daarvoor geen dikke dekens maar superdun aluminium folie gebruikt. c Leg uit hoe zo’n dun laagje toch isolerend kan werken.

117

Materialen 3.3 Energie en warmtetransport Beheersen

43 Je wilt 1,5 L water van 20 °C aan de kook brengen. Je gebruikt een ijzeren pan met een diameter van 23 cm. De bodem van de pan is 4,5 mm dik. De pan wordt verwarmd op een elektrische kookplaat met een diameter van 25 cm en een elektrisch vermogen van 1,5 kW. a Bereken hoeveel energie je nodig hebt om 1,5 L water van 20 °C aan de kook te brengen. b Bereken hoe lang het minimaal duurt voordat het water in de pan kookt. In werkelijkheid duurt het 8,5 min voor het water kookt. c Bereken de gemiddelde warmtestroom door de bodem van de pan. d Bereken het maximale temperatuurverschil over de bodem van de pan. e Leg uit of het aan de kook brengen van 1,5 L water in een waterkoker van 1,5 kW sneller, even snel of minder snel gaat dan in de pan op de kookplaat.

Figuur 38 In de spouw zitten platen glaswol met metaalfolie.

44 Door een niet-geïsoleerde spouwmuur van een oud huis is het warmteverlies veel groter dan door een spouwmuur die volgespoten is met korrels piepschuim. Toch is de spouw in beide gevallen vooral gevuld met lucht. a Leg uit waardoor dit verschil veroorzaakt wordt. Tegenwoordig worden bij nieuwbouw platen glaswol met metaalfolie tegen de binnenmuur aangebracht, voordat de buitenmuur wordt geplaatst. b Leg uit waardoor deze vorm van isoleren beter is dan de spouwmuur naderhand vullen met korrels isolatiemateriaal.

45 In Portugal staat een huis met dikke muren van graniet. De muren zijn 50 cm dik, veel dikker dan de bakstenen muren in Nederland. a Leg uit of muren van graniet heel dik moeten zijn, of dat ze juist dunner kunnen zijn dan muren van baksteen, als je dezelfde warmte-isolatie wilt hebben als bij een huis van baksteen. b Ga door een berekening na wat beter isoleert: een granieten muur met een dikte van 0,50 m of een houten muur met een dikte van 1,0 dm. De muren houden het huis in de zomer koel. c Leg uit dat een dikke granieten muur het huis beter koel houdt dan een dunne bakstenen muur. Gebruik in je uitleg de begrippen soortelijke warmte en dichtheid.

Figuur 39 Een huis met dikke muren van graniet

Oefenen A Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 3.2 en 3.3 begrepen hebt.

118

3.4

Materialen

Sterkte en vervormbaarheid van materialen

ONTDEKKEN In constructies zoals de verkeersbrug van figuur 40, worden de kabels op ‘trek’ belast en de verticale kolommen op ‘druk’. De kabels moeten dus sterk ziin in de richting waarin ze uitrekken en de kolommen mogen juist niet bezwijken onder de kracht die ze in elkaar drukt. Het brugdek moet niet te zwaar zijn, wel sterk en onder zware belasting elastisch kunnen vervormen. Welke materialen zijn hiervoor geschikt? En hoe verklaar je de ‘mechanische’ eigenschappen van die materialen met een deeltjesmodel?

Figuur 40 Aan de draden wordt getrokken en de kolommen worden in elkaar geduwd. Het brugdek moet licht zijn en elastisch.

PA R AG R A A F V R A AG Hoe kun je enkele mechanische eigenschappen van materialen verklaren met het deeltjesmodel?

BEGRIJPEN Elasticiteit en vervorming De mate waarin materialen bestand zijn tegen vervorming of stuktrekken wordt bepaald door de grootte van de onderlinge krachten tussen de deeltjes. Zonder uitwendige kracht op een voorwerp is de nettokracht van alle ‘buurmoleculen’ op een deeltje nul. De onderlinge afstotende krachten zijn dan even groot als de onderlinge aantrekkende krachten. Veel vaste stoffen zijn, tot een bepaalde waarde, veerkrachtig. Na indrukken of uitrekken veert de stof terug. In het deeltjesmodel van een vaste stof lijken de onderlinge krachten tussen de deeltjes dan ook een beetje op veertjes (zie figuur 41).

Figuur 41 In het deeltjesmodel van een vaste stof zitten de deeltjes met een soort veerkrachtige binding aan elkaar.

Trek je aan een voorwerp, dan worden in de trekrichting de onderlinge afstanden tussen de deeltjes van dat voorwerp iets groter, waardoor de onderlinge kracht in die richting netto aantrekkend wordt. Dat rubber rekbaarder is dan staal, kun je met het deeltjesmodel verklaren door aan te nemen dat de aantrekkende kracht tussen deeltjes in rubber minder snel toeneemt met de onderlinge afstand dan in staal. Val je op een stoeptegel, dan kan dat flink zeer doen doordat stoeptegels niet erg vervormbaar zijn. Val je uit een klimrek op rubbertegels, dan komt dat minder hard aan doordat rubber een beetje ‘meegeeft’. In een deeltjesmodel van rubber zal de afstotende kracht tussen naburige deeltjes dus minder snel toenemen met de indrukking dan bij beton of natuursteen. De ‘veertjes’ tussen de deeltjes van beton zijn veel ‘stugger’ dan die tussen de deeltjes van rubber. Trek je aan een metaaldraad of een elastiekje, dan vervormt het materiaal een beetje tot er evenwicht is tussen de opgewekte inwendige veerkracht en jouw trekkracht. De trekkracht wordt verdeeld over de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de draad. Deze kracht per oppervlakte-eenheid wordt de spanning in de draad genoemd.

119

Materialen 3.4 Sterkte en vervormbaarheid van materialen Begrijpen

Veert het materiaal helemaal terug als de trekkracht opgeheven wordt, dan is sprake van elastische vervorming. Voorbij een bepaalde kritische waarde van de uitgeoefende kracht treedt blijvende of plastische vervorming van het materiaal op. Het materiaal breekt niet maar rekt zo ver uit dat het vervormt. Groepen van deeltjes verschuiven nu zodanig ten opzichte van elkaar, dat het voor die groepjes onmogelijk is terug te keren naar hun oorspronkelijke plaats, als de uitwendige kracht wordt opgeheven. Er is dan sprake van blijvende veranderingen in de structuur van het materiaal. B

B

B

B

De spanning in een draad of stang is de uitgeoefende trekkracht per oppervlakteeenheid van de dwarsdoorsnede. Bij elastische vervorming krijgt het materiaal de oorspronkelijke vorm terug, als er geen uitwendige kracht meer op werkt. Bij plastische vervorming is de vervorming blijvend. In een ‘rekbare’ stof als rubber neemt de aantrekkende kracht tussen de deeltjes minder snel toe met hun onderlinge afstand dan in bijvoorbeeld staal. In een ‘onsamendrukbare’ stof als beton, neemt de afstotende kracht tussen de deeltjes sneller toe bij afname van hun onderlinge afstand dan in bijvoorbeeld rubber.

Uitzetting Bij bruggen zie je een spleet tussen het brugdek en het landhoofd, vaak met een soort haaientanden, zodat je er makkelijk overheen kunt rijden. Als je goed oplet, zie je dat deze spleet in de winter groter is dan in de zomer. Dit komt doordat een stof uitzet als deze warmer wordt. Het brugdek is dus langer in de zomer. Bij het verwarmen van een stof neemt de gemiddelde snelheid van de deeltjes van de stof toe. Ze trillen ook verder om hun evenwichtsstand heen en weer en de onderlinge afstand wordt gemiddeld iets groter. De stof zet dus uit.

46 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g h

Alleen bij een vaste stof gaan de deeltjes sneller bewegen als de temperatuur stijgt. Bij stugge materialen is de aantrekkende kracht tussen de deeltjes zeer groot. Bij elastische materialen is de aantrekkende kracht tussen de deeltjes heel klein. Beton zet niet uit. Viaducten liggen vaak op ‘rollers’ zodat ze kunnen krimpen en uitzetten. De werking van een alcoholhermometer berust op de uitzetting van alcohol. Als je een lepel krom buigt, vervormt deze plastisch. Tijdens het uitrekken van een elastiekje wordt de dwarsdoorsnede kleiner.

47 Het deeltjesmodel voor een vaste stof is uitgebreider dan het deeltjesmodel voor een ideaal gas. a Leg uit er anders is bij het deeltjesmodel van een vaste stof vergeleken met het deeltjesmodel van een ideaal gas. b Wat kun je met het deeltjesmodel van een ideaal gas niet verklaren bij een vaste stof?

Figuur 42

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

120

BEHEERsEN 3.4 Sterkte en vervormbaarheid van materialen Materialen

48 Als je een stuk rubber wilt uitrekken, moet je aan twee kanten aan het rubber trekken. a Leg met het deeltjesmodel uit waardoor er een kracht nodig is om het rubber uit te rekken. b Beschrijf wat er gebeurt met de nettokracht tussen de rubbermoleculen als je het rubber uitrekt. c Licht met het deeltjesmodel toe dat je een grotere kracht nodig hebt als je een dikker stuk rubber even ver wilt uitrekken. d Heb je ook een grotere kracht nodig om een langer stuk rubber even ver uit te rekken? Licht je antwoord toe.

49 Je trekt even hard aan een stuk elastiek van rubber als aan een even dik stuk touw. a

Leg uit of de aantrekkende krachten tussen de rubbermoleculen dan groter of kleiner zijn dan die tussen de deeltjes van het touw. Leg uit of spanning in het rubber groter, kleiner of even groot is als bij het touw. Leg uit of de aantrekkende kracht tussen de deeltjes van het touw sneller of minder snel toeneemt met de uitrekking dan bij de rubbermoleculen.

b c

oppervlakte A = π · r 2

BEHEERsEN trekkracht F

Relatieve rek Als je aan een elastiekje trekt, rekt het uit. Een stalen kabel rekt ook iets uit, alleen zie je dat niet zo goed. De uitrekking Δl wordt vergeleken met de beginlengte l0. Deze verhouding wordt de relatieve rek (symbool: ε) genoemd. Bij materialen wordt de relatieve rek uitgedrukt in procenten of een factor:

Figuur 43 Spanning in een draad

VO O R B E E L D O P G AV E 7 Aan een touw met een diameter van 8,0 mm hangt een voorwerp van 20 kg. Vraag: Bereken de spanning in het touw. Antwoord: De kracht F = 20 × 9,81 = 196 N. A = π · r2 = π × 0,0042 = 5,0 · 10−5 m2 F _______ σ = __ = 196 –5 = 3,9 · 106 Pa A 5,0 · 10

∆l ε = __ l 0

Hierin is ε (epsilon) de relatieve rek (zonder eenheid), Δl de uitrekking en l0 de beginlengte (beide in dezelfde eenheid). Bij een elastiekje dat uitgerekt wordt tot het twee keer zo lang is geworden, is de ∆l relatieve rek dus 100% : ε = __ = 1 ≙ 100%. l0

spanning σ (belasting per oppervlakte-eenheid)

zacht ongelegeerd staal B

maximale spanning = treksterkte elasticiteitsgrens

breuk beginpunt insnoering

De relatieve rek ε is de verhouding tussen de uitrekking en de beginlengte.

spanning De spanning σ (sigma) in een draad is de trekkracht per oppervlakte-eenheid: F σ = __ A

In deze formule is σ de spanning (in Pa of N/m²), F de kracht (in N) en A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede (in m²). rek ε (verlenging per lengte-eenheid) B

Figuur 44 Spanning,rek-diagram van een zacht metaal

De spanning σ in het materiaal is de kracht per oppervlakte-eenheid van de dwarsdoorsnede, uitgedrukt in N/m² of Pa.

121

Materialen 3.4 Sterkte en vervormbaarheid van materialen BEHEERsEN

spanning,rek-diagram Het uitrekken en vervormen van materialen is een ingewikkeld proces, dat niet altijd op dezelfde manier verloopt. In figuur 44 zie je een spanning,rek-diagram van een zachte metaalsoort. Het uitrekken en uiteindelijk breken gaat in stappen. Tot aan de elasticiteitsgrens is de vervorming elastisch. Bij grotere spanning is de vervorming plastisch, het metaal vervormt dan blijvend. De maximale spanning heet de treksterkte van het metaal. Bij verder uitrekken neemt de spanning af, vindt er insnoering plaats, en breekt uiteindelijk het materiaal (zie figuur 45). In figuur 46 staan de treksterkten van enkele veelgebruikte materialen. elasticiteitsmodulus (×109 Pa)

Dyneema®

3,1

98

glasfiber

0,6

70

haar

0,1

hout (in de richting van de nerf )

0,04

9 – 16

hout (dwars op de nerf ) nylon

0,0005 0,075

0,6 – 1,0 2–4

rubber

0,015

0,01 – 0,1

staal

0,4

200

beton

0,0042

26,0 – 38,5

koolstof nanobuis

63

1200

Figuur 46

Het spanning,rek-diagram van nylon en rubber is eenvoudiger dan dat van een zachte metaalsoort. In figuur 47 zie je dat bij nylon de maximale spanning optreedt als het ongeveer 6% (ε = 0,06) uitgerekt wordt. Bij rubber (figuur 48) is het materiaal bij de maximale spanning meer dan 400% (ε = 4,0) uitgerekt. B

B

In een spanning,rek-diagram is de spanning in een materiaal uitgezet tegen de (relatieve) rek. De treksterkte van een materiaal is in het spanning,rek-diagram de maximale spanning in het materiaal.

Elasticiteitsmodulus Bij veel materialen is de spanning evenredig met de relatieve rek. Bij elke procent uitrekking neemt de spanning dan met hetzelfde bedrag toe. Je herkent dit verband in een spanning,rek-diagram aan een rechte lijn. Het verband tussen spanning en relatieve rek van materialen wordt dan aangegeven met de elasticiteitsmodulus E, dat is (in theorie) de spanning in het materiaal bij een uitrekking van 100%. De eenheid van elasticiteitsmodulus is pascal (Pa). Je kunt de elasticiteitsmodulus van een materiaal vergelijken met de veerconstante van een voorwerp. De veerconstante is de kracht per meter uitrekking, de elasticiteitsmodulus is de spanning per 100% uitrekking. Stoffen zoals rubber die gemakkelijk uitrekken, hebben een kleine elasticiteitsmodulus, stoffen die moeilijk uitrekken hebben een grote elasticiteitsmodulus (zie de tabel van figuur 46).

Figuur 45 Insnoering en breuk van een draad

spanning σ (MPa)

treksterkte (×109 Pa)



nylon





rek ε

0,2 (20%)

Figuur 47 Spanning,rek-diagram van nylon

spanning σ (MPa)

naam



rubber





belasten ontlasten

1 (100%)

2

3

4

rek ε

Figuur 48 Spanning,rek-diagram van rubber

Experiment 9: Verband tussen de lengte van een nylondraad en de trekkracht Experiment 10: Het spanning,rekdiagram van een elastiekje bepalen

122

Beheersen 3.4 Sterkte en vervormbaarheid van materialen Materialen

Het verband tussen spanning, elasticiteitsmodulus en relatieve rek is:

E = __ ​​  σε ​​ In deze formule is E de elasticiteitsmodulus (in Pa = N/m²), σ de spanning (in Pa = N/m²) en ε de relatieve rek (zonder eenheid).

VO O R B E E L D O P G AV E 8 Een stalen kabel heeft bij een spanning van 400 MPa een relatieve rek van 0,20%. Vraag: Bereken de elasticiteitsmodulus. · 106 Antwoord: E = _______ ​​  400  ​​ = 2,0 · 1011 Pa 0,002

Deze formule geldt alleen in het gebied waar de spanning (bij benadering) evenredig is met de relatieve rek. De grafiek is dan een rechte lijn door de oorsprong en de elasticiteitsmodulus is het hellingsgetal van de grafiek. In dat gebied is sprake van elastische vervorming. B

B

Bij veel materialen is in het gebied van elastische vervorming de spanning ­evenredig met de relatieve rek. De elasticiteitsmodulus is de verhouding tussen spanning en rek in het ­elastische gebied.

50 De paragraafvraag is: Hoe kun je enkele mechanische eigenschappen van materialen verklaren met het deeltjesmodel? Wat is het antwoord op deze vraag?

51 De grootheden druk, spanning, treksterkte en elasticiteitsmodulus hebben dezelfde eenheid. a Noem deze eenheid. b Leg uit wat het verschil is tussen trekkracht en treksterkte.

52 Je wilt de treksterkte van een wollen draadje meten. Daarvoor meet je de trekkracht waarbij het draadje breekt. a Geef aan wat je nog meer moet meten om de treksterkte te kunnen berekenen. b Beschrijf hoe je uit de metingen de treksterkte (in Pa) berekent.

53 Een normaal elastiekje met een lengte van 10 cm wordt uitgerekt tot het breekt bij een lengte van 52 cm. Daarvoor is een kracht nodig van 30 N. a Bereken de relatieve rek. b De treksterkte van rubber is 15 MPa. Bereken de oppervlakte van de doorsnede van het elastiekje vlak voordat het breekt. Een identiek elastiekje wordt opengeknipt en een klein eindje uitgerekt. c Leg uit dat de elasticiteitsmodulus van een opengeknipt elastiekje even groot is als die van een normaal elastiekje. d Leg uit bij welke kracht het elastiekje breekt als je het helemaal uitrekt. Hoe lang is het dan?

54 Een nylon vislijn heeft een lengte van 3,0 m en een diameter van 0,30 mm. De treksterkte van nylon is 0,075 · 109 Pa. Een visser vangt met deze vislijn een vis met een gewicht van 3,0 N. a Ga door berekening na dat de vislijn hierdoor niet zal breken. Even later vangt de visser een grotere vis, maar de lijn breekt. b Bereken hoe groot die trekkracht minstens geweest moet zijn.

123

Materialen 3.4 Sterkte en vervormbaarheid van materialen BEHEERsEN

55 Bij bungeejumpen worden koorden met verschillende diktes gebruikt. Het materiaal en de lengte van de koorden is wel steeds hetzelfde. Twee even zware personen hangen aan twee koorden met verschillende dikte. a Beredeneer of de spanning bij het dikke koord groter dan, kleiner dan of even groot is als bij het dunnere koord. b Beredeneer of de relatieve rek bij het dikke koord groter dan, kleiner dan of even groot is als bij het dunnere koord. c Leg uit of de elasticiteitsmodulus bij het lange dikke koord groter dan, kleiner dan of even groot is als bij het korte dunnere koord.

56 Een nylon draad rekt 2,0 cm uit als er met 10 N aan wordt getrokken.

57 In figuur 47 en 48 zie je de spanning,rek-diagrammen van nylon en rubber. In

Figuur 49 Verschillende koorden voor bungeejumpen boven een rivier

spanning σ

Op dat moment is de spanning in de draad 15 MPa en de relatieve rek 0,5%. a Bereken de elasticiteitsmodulus van het nylon. b Bereken de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van de draad. c Bereken de lengte van de draad.

de tabel van figuur 46 staan de treksterktes van beide stoffen. a Beschrijf hoe je aan de diagrammen kunt zien dat rubber veel rekbaarder is. b Leg aan de hand van de vorm van de grafiek uit dat nylon op een andere manier breekt dan rubber. c Een elastiekje is 10 cm lang. Bepaal bij welke lengte het elastiekje breekt.

58 T In figuur 50 zie je een spanning,rek-diagram van een metaal. a b c

Schrijf bij de grafiek op de juiste plaats de woorden elastische vervorming en plastische vervorming. Geef in het diagram de treksterkte van het materiaal aan. Geef aan in welk gebied de formule voor de elasticiteitsmodulus geldig is. Leg ook uit waarom.

relatieve rek ε

Figuur 50 Spanning,rek-diagram

59 Je draait de snaar van een basgitaar strakker. Om deze snaar een klein stukje uit te rekken heb je veel kracht nodig. a Heeft dit te maken met de elasticiteitsmodulus van het materiaal van de snaar, of met de treksterkte? Licht je antwoord toe b Nu knapt de snaar. Heeft dit te maken met de elasticiteitsmodulus van het materiaal van de snaar, of met de treksterkte? Licht je antwoord toe.

60 Koolstof nanobuisjes hebben een treksterkte van 63 GPa (= 63 · 109 Pa) en een elasticiteitsmodulus van 1,22 · 103 GPa. a Leg uit of koolstof nanobuisjes gemakkelijker of moeilijker kapot te trekken zijn dan staal. b Leg uit of koolstof nanobuisjes gemakkelijker of moeilijker uitrekken dan staal. c Laat door een berekening zien of een koolstof nanobuisje breekt als het 0,1% wordt uitgerekt. d Bereken bij welke uitrekking een koolstof nanobuisje breekt.

Figuur 51 Koolstof nanobuisje

Oefenen B

61 T Bepaal de elasticiteitsmodulus van nylon door gebruik te maken van het spanning, rek-diagram van nylon op het tekenblad.

Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 3.2 t/m 3.4 begrepen hebt.

124

Materialen

3.5

Verdieping

Uitzetting F

De spleet met haaientanden tussen het brugdek en het landhoofd bij de brug van figuur 42 is in de winter groter dan in de zomer. Het brugdek is ’s zomers langer dan ’s winters, doordat een stof uit kan zetten bij verhitting. Om dezelfde reden liggen viaducten vaak op rollers zodat ze kunnen uitzetten en inkrimpen.

afstotend r

A

rA

aantrekkend

Figuur 52a De onderlinge kracht tussen twee deeltjes van een vaste stof uitgezet tegen hun onderlinge afstand

F

r aantrekkend

Figuur 52b Rondom de evenwichtspositie is de grafiek een beetje hol.

C

De verklaring van het uitzetten van een vaste stof met het deeltjesmodel berust erop dat de onderlinge krachten tussen de deeltjes maar ten dele vergelijkbaar zijn met die van veertjes. Zoals geschetst in figuur 52 is voor twee deeltjes op grotere onderlinge afstand dan bij A de kracht aantrekkend en op kleinere afstand dan bij punt A afstotend. Maar de grafiek is geen rechte lijn, zoals bij veertjes wel het geval is. Zie figuur 52a en het uitvergrote detail in figuur 52b. Als de deeltjes niet zouden bewegen, zou de onderlinge afstand rA zijn, want dat is een evenwichtspositie. Op die onderlinge afstand is de afstotende kracht even groot als de aantrekkende. Maar de deeltjes trillen om de evenwichtsposities. Een verhoging van de temperatuur van de vaste stof betekent een toename van de gemiddelde snelheid van de deeltjes. Daarbij dringen de deeltjes als het ware naar alle kanten telkens iets verder door in elkaars buurt. Doordat de grafiek van de onderlinge kracht een beetje hol is in de buurt van punt A (zie figuur 52b), is de gemiddelde afstand tussen naburige deeltjes iets groter als de deeltjes verder om hun evenwichtsposities heen trillen. Deze situatie kun je vergelijken met een bal die heen en weer rolt in een asymmetrische kuil, zoals getekend in figuur 53. In rust ligt de bal in het evenwichtspunt A. Laat je de bal los in punt B, dan gaat hij heen en weer rollen om punt A. De uitwijking naar rechts en terug duurt langer dan naar links en terug. Zijn gemiddelde horizontale positie ligt nu rechts van punt A. Laat je de bal los in punt C, dan komt de gemiddelde horizontale positie nog verder van A af te liggen.

62 In figuur 53 zie je een schets van een asymmetrische kuil waarin een bal heen

B

A

Figuur 53 Een bal in een asymmetrische kuil

en weer kan rollen. a Leg uit waardoor de bal langer rechts van punt A is dan links, als hij heen en weer rolt. b Leg uit dat de gemiddelde horizontale positie van de bal verder naar rechts komt te liggen, naarmate je hem hoger loslaat. c Leg uit wat de analogie (vergelijking) van de bal in de asymmetrische kuil te maken heeft met het uitzetten van een metaal bij verhitting.

Materialen 3.5 Verdieping

125

Uitzettingscoëfficiënt Je kunt de uitzetting van een metaal berekenen met: ∆l = α · l0 · ∆T Hierin is ∆l de lengteverandering (in m), α de lineaire uitzettingscoëfficiënt (in K−1), l0 de beginlengte (in m) en ∆T de temperatuursverandering (in K).

63 Op een oud spoor met houten bielzen (dwarsliggers onder de rails) maakt een trein tijdens het rijden het karakteristieke ‘kedeng, kedeng’-geluid. Dit komt doordat de stalen rails niet perfect aansluiten. Er zit een smalle spleet tussen de opeenvolgende spoorstaven. a Beschrijf welk probleem je ’s zomers zou kunnen krijgen als de spoorstaven wel aan elkaar vastgemaakt zijn. Een spoorstaaf is 30 m lang, α van spoorstaal is 12 · 10−6 K−1 en bij 60 °C raken de staven elkaar. b Bereken hoe groot de spleet tussen de twee spoorstaven is bij 0 °C.

64 In Binas vind je de waarden van de lineaire uitzettingscoëfficiënt voor veel vaste stoffen. Bij vloeistoffen vind je geen lineaire uitzettingscoëfficiënt, maar een kubieke uitzettingscoëfficiënt γ met ook de eenheid K−1. a Leg uit waarom in Binas bij vloeistoffen geen lineaire uitzettingscoëfficiënt staat. b Leg uit welke formule bij vloeistoffen gebruikt wordt voor de uitzetting. Metalen zetten uiteraard ook niet alleen lineair uit. Toch vind je in Binas voor metalen geen kubieke uitzettingscoëfficiënt. c Leg uit dat geldt: γ = 3α

Verdampings- en condensatie-energie Om te verklaren waardoor het veel energie kost om water te verdampen en er omgekeerd veel energie vrijkomt als waterdamp condenseert, kijk je naar de onderlinge kracht tussen de deeltjes. In water zorgen de aantrekkende krachten tussen de watermoleculen er voor dat een druppel bij elkaar blijft. In de vloeistof kunnen de deeltjes makkelijk bewegen doordat de nettokracht van alle buren nul is. De deeltjes aan het oppervlak worden echter netto ‘vastgehouden’ door de deeltjes in de vloeistof. Zie figuur 54. Als water verdampt, ontsnappen er moleculen aan het oppervlak. Dat zijn de moleculen die door onderlinge wisselwerkingen met andere moleculen bij het oppervlak toevallig voldoende snelheid hebben gekregen om aan de netto aantrekkende kracht te ontsnappen. Hoe hoger de temperatuur van de vloeistof, des te groter is de gemiddelde snelheid van de vloeistofmoleculen. Bij een hogere temperatuur van de vloeistof ontsnappen er daardoor vaker deeltjes uit de vloeistof. De verdamping is dan groter. Doordat het de oppervlaktemoleculen met meer dan de gemiddelde energie zijn die verdwijnen, neemt de gemiddelde bewegingsenergie van de moleculen in de vloeistof af: de vloeistof koelt af. Om de temperatuur van de vloeistof gelijk te houden moet er dus energie toegevoerd worden, de zogenaamde verdampingswarmte.

Figuur 54 Aan het vloeistofoppervlak worden de moleculen netto naar binnen getrokken, maar binnen de vloeistof is er geen netto aantrekkende kracht op een deeltje.

126

3.5 Verdieping Materialen

Bij condensatie van waterdamp worden dampmoleculen die toevallig bij het vloeistofoppervlak in de buurt komen, aangetrokken naar het vloeistofoppervlak en ‘gegrepen’. Daarbij neemt de snelheid van de ingevangen dampmoleculen af en wordt die bewegingsenergie verdeeld over alle vloeistofmoleculen: de vloeistof warmt op door condensatie. Als netto-condensatie plaatsvindt doordat de vloeistof afkoelt en de verdamping dientengevolge kleiner wordt, dan vertraagt de condensatie dus de afkoeling.

Z E E K L I M A AT I N W E s T - E U RO PA Zeewater wordt opgewarmd door de zonnestraling en koelt af door eigen uitstraling en ook door verdamping. In de tropen en subtropen is meer instraling door de zon dan bij ons en dus is het zeewater daar warmer. In de Atlantische Oceaan is de stroming van het warme oppervlaktewater vooral naar het noordoosten. Voortdurend verdampt er (warm) zeewater op de oceaan. Als die waterdamp dan weer condenseert tot wolken, komt daarbij energie vrij, die de lucht opwarmt. Dat condenseren kan heel ergens anders gebeuren dan waar het zeewater verdampt is. In West-Europa is de luchtstroming overwegend uit het westen. De wolken boven Nederland ontstaan vooral door condensatie van waterdamp die op de Atlantische Oceaan uit zeewater is verdampt. Zo wordt er voortdurend warmte vanuit de subtropen naar ons gebracht. In IJsland en Noorwegen profiteren de mensen hier nog meer van doordat de Warme Golfstroom daar langs loopt.

4

arctische wervel 6

4

5

3

2

7

8 10

subarctische wervel

lf Go

s t ro

16 15

om

11

14

subtropische wervel 27

26

25

12 13 17 18 19 20 21

26 28

24

9

23

20

22

Figuur 55 De temperatuurverdeling van het Atlantische oppervlaktewater: de pijlen geven de zeestromingen weer. Voor West-Europa is de subtropische wervel van groot belang.

Materialen 3.5 Verdieping

65 Satellieten die cirkelen om de aarde bevatten vaak meetinstrumenten die gekoeld moeten worden. Dat koelen gebeurt door verdamping van vloeibaar helium. In een satelliet wordt het instrument constant op 5,0 K gehouden en daarvoor is een koelend vermogen van 60 mW nodig. a Hoe groot is de verdampingswarmte van helium? (zie Binas) b Bereken hoeveel helium nodig is om het instrument gedurende twee jaar op die temperatuur te houden.

66 De tropische cyclonen die regelmatig de eilanden in het Caribisch gebied teisteren, zijn bij Afrika begonnen als depressie en de warme Atlantische Oceaan overgestoken. Tijdens die overtocht is er voortdurend oceaanwater verdampt, mee omhoog gevoerd naar waar het koud is, en daar weer gecondenseerd. a Leg uit dat bij dat condenseren de koude lucht verwarmd wordt. b Leg uit waardoor wij in Nederland niet bang hoeven te zijn dat een storm die over de Noordzee naar ons toe komt, ons net zo hard treft als bijvoorbeeld Sint Maarten in 2017. Florida in de VS krijgt ook regelmatig een tropische cycloon te verduren. Maar staten verder in het binnenland in de VS niet. c Leg uit dat een tropische cycloon van zijn ‘energiebron’ wordt afgesneden op het land.

127

128

Materialen

3.6 Begrippenkaart Ga na of je van elk begrip goed weet wat het betekent. Formules, grootheden en eenheden Noteer bij elk symbool in de formule de naam van de grootheid en de eenheid. Vermeld in welke situatie(s) de formule gebruikt wordt. Samenvatting Bestudeer de samenvatting.

Zelftoets Test je kennis over dit hoofdstuk.

Afsluiting

HOOFDSTUKVRAAG EN SAMENVATTING 67 De hoofdstukvraag is: Hoe ziet het deeltjesmodel eruit en welke verklaring geeft een dergelijk model voor verschillende verschijnselen en wetten in de natuurkunde? a Geef een uitgebreid en compleet antwoord op deze vraag. b Welke andere eigenschappen van materialen kun je nog niet verklaren met het deeltjesmodel van deze paragraaf?

68 Maak een samenvatting van dit hoofdstuk door antwoord te geven op de volgende vragen. a Waardoor zet een hoeveelheid gas uit bij verwarming? b Waardoor neemt de druk van een afgesloten hoeveelheid gas af als de temperatuur daalt? c Wat moet je toevoegen aan het model van bewegende gasdeeltjes om het gedrag van vloeistoffen en vaste stoffen te kunnen verklaren? d Wat kun je zeggen over de deeltjes van een materiaal als de temperatuur van het materiaal in de buurt van het absolute nulpunt komt? e Waaruit zijn stoffen opgebouwd? f Wat bepaalt de massa van een atoom? g Wat is het verschil tussen elastische en plastische vervorming? h Waardoor wordt de treksterkte van een materiaal bepaald? i Wat is de relatie tussen de treksterkte van een materiaal en de maximale trekkracht van een kabel van dat materiaal? j Waardoor hebben materialen met een grote treksterkte een hoog smelt- en kookpunt? k Wat is het verschil tussen massa en dichtheid? l Wat betekent een relatieve rek van 100%? m Hoe verandert de spanning in een kabel, als je de kabet twee keer zo dik zou maken, terwijl er net zo hard aan de kabel wordt getrokken? n Hoe luidt de formule voor de elasticiteitsmodulus en wat betekenen de symbolen? o Hoe reken je een temperatuur in graden Celsius om naar kelvin? p Wat kun je zeggen over de deeltjes van een stof als de temperatuur van de stof stijgt? q Hoe luidt de formule voor soortelijke warmte en wat betekenen de symbolen? r Welke drie vormen van warmtetransport zijn er? s Waardoor gaat een vloeistof stromen als je deze plaatselijk verwarmt? t Waardoor geleiden stoffen met vrije elektronen elektriciteit én warmte goed? u Hoe heten de zes faseovergangen? v Hoe luidt de formule voor warmtestroom en wat betekenen de symbolen? w Welk verband is er tussen dichtheid en soortelijke warmte bij vloeistoffen en vaste stoffen? x Hoe luidt de algemene gaswet en wat betekenen de gebruikte symbolen?

129

Materialen 3.6 Afsluiting

EINDOPGAVEN 69 Een wielrenner gaat op de eerste zomerse dag in het voorjaar een rondje fietsen. Het is die dag 23 °C. Voordat hij weggaat, verhoogt hij de druk in de banden van zijn racefiets met behulp van een stikstofpatroon tot 8,0 bar. De wielen van de racefietser hebben een diameter van 28 inch en de banden hebben een straal van 2,0 cm (de doorsnede van de band is een cirkel). Op de zijkant van de band staat: max 120 PSI. De inhoud van een fietsband kun je berekenen met: V = 2 · π2 · r2 · R. Hierbij is R de straal van het wiel (in m) en r de straal van de band (in m). a Licht met een berekening toe of de racefietser zich aan het voorschrift voor de maximale banddruk houdt. Zoek in Binas op hoe je PSI omrekent naar Pa. b Bereken de massa van de lucht in de band. Als de fietser (85 kg) op de fiets (12 kg) gaat zitten, neemt de druk in de band toe tot precies het maximum van 120 PSI. c Bereken hoe groot dan de contactoppervlakte is van de band met de grond. Bij 150 PSI scheurt de binnenband open. d Beredeneer met behulp van een berekening of de fietser moet opletten of zijn band niet te veel opwarmt door het remmen in een afdaling.

70 Een groot cruiseschip wordt door een sleepboot de haven in gesleept. De sleepboot gebruikt voor het slepen een stalen kabel met een diameter van 20 cm. Deze kabel van 50 m rekt tijdens het trekken 12 cm uit. a Bereken hoe groot de spanning is die op deze kabel komt te staan. b Bereken de kracht waarmee het cruiseschip wordt voortgetrokken. Als na het slepen de bemanning de kabel weer oprolt, merken ze dat de kabel iets langer is geworden. c Licht met een berekening toe of de sleepboot een groter cruiseschip had kunnen trekken. d Bereken de massa van de kabel. De sleper koopt nieuwe kabels van Dyneema in plaats van staal. Deze kabels zijn niet alleen veel lichter, ze kunnen ook grotere krachten aan. e Leg uit waardoor de Dyneema-kabel meer kracht kan verdragen, ondanks dat de elasticiteitsmodulus kleiner is dan die van staal.

71 IJsberen zijn groter dan bruine beren en hebben een dikkere vetlaag om het energieverlies door de warmtestroom zo klein mogelijk te houden. a Leg met behulp van de formule van de warmtestroom uit waardoor het voor een ijsbeer voordelig is om groot te zijn. b Leg uit aan de hand van de warmtegeleidingscoëfficiënt van water en lucht of een ijsbeer die het warm heeft, moet gaan zwemmen of niet.

Keuzeonderwerpen 1 2 3 4 5

Model van het afkoelen van een mens Hoe hoog komt een heliumballon? Verdampingswarmte Composietmaterialen Koken van water

temperatuur T (°C)

130

3.6 Afsluiting Materialen

72 Omar doet onderzoek aan een frituurpan. De friteuse heeft een vermogen

180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

Figuur 56

0

200

400

600

800

1000 1200 tijd t (s)

van 1800 W en bestaat uit een metalen binnenpan en wanden van warmteisolerend materiaal. De binnenpan is gevuld met 2,00 kg vloeibaar frituurvet. De thermostaat van de friteuse is ingesteld op 170 °C. Hij zet de friteuse 20 minuten aan en meet met een temperatuursensor de temperatuur van het frituurvet. Zie figuur 56. Tijdens het verwarmen blijft het deksel gesloten. De temperatuur van de binnenpan is altijd gelijk aan de temperatuur van het vet. De warmtecapaciteit van de lege binnenpan plus verwarmingselement is 1,6 · 103 J/K. Dit betekent dat het 1,6 · 103 J kost om de binnenpan met verwarmingselement 1 °C op te warmen. De warmte die tijdens de eerste 200 s door de binnenpan wordt afgestaan aan de omgeving is verwaarloosbaar. a Bepaal met behulp van figuur 56 de soortelijke warmte van het frituurvet. Enige tijd na het aanzetten van de friteuse is de warmte die wordt afgestaan aan de omgeving niet meer verwaarloosbaar. b Leg uit hoe Omar met behulp van figuur 56 het gemiddelde warmteverlies per seconde kan bepalen na t = 500 s. (Je hoeft de bepaling niet uit te voeren.)

73 Een tropisch aquarium van 1,0 m lang, 50 cm breed en 40 cm hoog is geheel gevuld met water. De wanden en bovenkant van dit aquarium zijn van 4,0 cm dik glas. De bodem is perfect geïsoleerd. Om het water warm te houden zit er in het aquarium een verwarmingselement van 800 W. a Licht met een berekening toe dat het vermogen van dit verwarmingselement voldoende is om het aquarium met water op 25 °C te houden in een kamer waar het 20 °C is. Je vult het aquarium eerst met kraanwater van 5,0 °C. b Bereken hoeveel energie het kost om dit water tot 25 °C op te warmen. c Bereken hoe lang het opwarmen duurt.

74 In oktober 2000 zonk de Russische kernonderzeeër Kursk en kwam op 108 m diepte op een modderige bodem terecht. Naderhand werden de Nederlandse bedrijven Smit en Mammoet uitgekozen om de onderzeeër te bergen. Eerst zaagden ze de kop er af, met daarin mogelijk nog torpedo’s. In totaal woog de Kursk toen nog 8,5 · 103 ton en takelden ze hem met 26 stalen hijskabels omhoog. Vanwege de modderbodem moest er rekening gehouden worden met minimaal 2,5 · 103 ton extra benodigde hijskracht. Bereken hoe dik de hijskabels minimaal moesten zijn.

75 Tijdens de verbouwing van een huis is het mogelijk al het enkelglas te vervangen door HR++ glas. Per vierkante meter kost het HR++ glas € 82 meer dan enkel glas, maar daar staat een besparing op stookkosten tegenover. Vervanging is rendabel als de extra kosten binnen 10 jaar worden terugverdiend. Voor de warmtestroom door het glas geldt: P = k · A · ΔT. De k-waarde van enkelglas is 5,7 W/(m2 · K), voor HR++ glas geldt: k = 1,2 W/(m2 · K). In huis wordt de thermostaat op gemiddeld 21 °C gezet. De gemiddelde buitentemperatuur in Nederland is op jaarbasis 10,1 °C. De energiekosten bedragen 3,8 eurocent per MJ. Laat door een berekening zien of plaatsing van HR++ glas kostentechnisch rendabel is. Gebruik in je berekeningen een raam met A = 1,0 m2.

131

Materialen Leerdoelen en begrippen

Leerdoelen en begrippen Ga voor jezelf na of je de leerdoelen al hebt bereikt. Vink de leerdoelen die je hebt bereikt af en geef aan wat je gaat doen met de uitleg en opdrachten waarmee je nog moeite hebt.

PA R AG R A A F 3.2 D E E LT J E S M O D E L Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: deeltjesmodel van een gas (of gasmodel), druk, atmosferische luchtdruk, absolute nulpunt, absolute temperatuur, algemene gaswet, gasconstante.

met het deeltjesmodel uitleggen waardoor een gas in een afgesloten vat druk uitoefent op de wanden van het vat.

met het deeltjesmodel uitleggen waardoor de druk van een gas in een afgesloten vat afhangt van de hoeveelheid, de temperatuur en het volume van het gas.

met het deeltjesmodel uitleggen waardoor de temperatuur niet lager kan zijn dan het absolute nulpunt.

de temperatuur (in °C) van het kookpunt van water, het smeltpunt van ijs en het absolute nulpunt benoemen.

berekeningen maken en redeneren met de formule F voor de druk: ​p = __ ​ A  ​​.

een temperatuur of temperatuurverschil omrekenen van graden celsius (°C) naar kelvin (K) en omgekeerd: ​T ​(K)​ = T (°C) + 273​ en Δ ​​ T (°C) = ΔT ​(​​K)​ ​​​​.

berekeningen maken en redeneren met de p∙V algemene gaswet: ____ ​​  T ​= n ∙ R​.

uit de algemene gaswet afleiden welk verband er is tussen druk en volume van een afgesloten hoeveelheid gas bij constante temperatuur (de wet van Boyle).

uit de algemene gaswet afleiden welk verband er is tussen druk en temperatuur van een afgesloten hoeveelheid gas bij constant volume (de drukwet van Gay-Lussac).

bij een toestandsverandering van een gas berekeningen maken en redeneren met de

​p​  ​​ ∙ ​V​  ​​

​p​  ​​ ∙ ​V​  ​​

1 1 algemene gaswet in de vorm ​​ _____  ​ = _____ ​  2 2 ​​, en deze ​T​  ​​ ∙ ​n​  ​​ ​T​  ​​ ∙ ​n​  ​​ 1

1

2

2

​ ,T​-diagram toestandsverandering in een ​p,V​- en p weergeven.

132

Leerdoelen en begrippen Materialen

PA R AG R A A F 3.3 E N E RG I E E N WA R M T E T R A N S P O RT Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: trillingsenergie, verdampen, condenseren, bewegingsenergie, temperatuur, warmte, warmtetransport, geleiding, stroming, straling, soortelijke warmte, dichtheid, warmte-isolatie, warmtestroom, warmtegeleidingscoëfficiënt.

de drie fasen van een stof beschrijven met het deeltjesmodel.

met het deeltjesmodel uitleggen waardoor de faseovergangen verdampen en condenseren optreden, en van welke factoren de verdamping(stroom) en condensatie(stroom) afhangen.

met het deeltjesmodel uitleggen waardoor warmtetransport door geleiding en stroming optreedt.

uitleggen waardoor goede elektriciteitsgeleiders ook goede warmtegeleiders zijn.

met het deeltjesmodel uitleggen welk verband er is tussen de massa van de deeltjes en de dichtheid en soortelijke warmte van vaste stoffen en vloeistoffen. beschrijven van welke factoren de warmtestroom door een wand of raam afhangt.

voorbeelden geven van isolatiematerialen en uitleggen waardoor deze materialen de warmtestroom door de wanden en ramen van een woning kleiner maken.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de dichtheid van een stof: ​ρ = __ ​ m  ​​. V

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de warmte die een stof opneemt of afgeeft: ​Q = c ∙ m ∙ ΔT​

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de warmtestroom door een wand: ​P = λ ∙ A ∙ ___ ​ ΔT ​​.

d

133

Materialen Leerdoelen en begrippen

PA R AG R A A F 3.4 S T E R K T E E N V E RVO R M B A A R H E I D VA N M AT E R I A L E N Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: spanning, elastische vervorming, plastische vervorming, uitzetting, relatieve rek (of rek), spanning,rek-diagram, treksterkte, insnoering, elasticiteitsgrens, elasticiteitsmodulus.

met het deeltjesmodel uitleggen waardoor elastische en plastische vervorming optreden bij het uitrekken van een materiaal.

met het deeltjesmodel uitleggen waardoor een stof uitzet bij temperatuurstijging.

uitleggen hoe de sterkte van een kabel, draad of stang afhangt van de oppervlakte van de dwarsdoorsnede.

het spanning,rek-diagram van een materiaal schetsen, en daarin de elasticiteitsgrens en de treksterkte aangeven.

uit een spanning,rek-diagram bepalen hoe groot de treksterkte en de elasticiteitsmodulus van een materiaal zijn.

berekeningen maken en redeneren met de formules voor de rek, de spanning en de

F elasticiteitsmodulus: ​ε = __ ​ Δl ​​, σ​ = __ ​ A  ​​en E ​ = __ ​ σε ​​. ​l​  0​​

4

Sport en verkeer Krachten

4.1

Introductie

135

4.2 Soorten krachten

137

4.3 Krachten samenstellen

148

4.4 Schuine krachten

155

4.5

162

Verdieping

4.6 Afsluiting Leerdoelen en begrippen

165 168

135

Sport en verkeer

4.1

Introductie

Om vooruit te komen op de fiets, moet je kracht zetten op de trappers. Bij het sporten heb je kracht nodig om iets op te tillen of in beweging te brengen of om zelf te bewegen. Eigenlijk spelen in bijna elke situatie meerdere krachten een rol, of je nu stil zit of beweegt. Deze krachten werken vaak in verschillende richtingen. Hoe vind je de nettokracht als op hetzelfde voorwerp meerdere krachten werken?

h O O F D S T U K V r A Ag Hoe werken krachten samen en hoe bepaal je de richting en grootte van de nettokracht? Dit hoofdstuk gaat over verschillende soorten krachten en over de effecten ervan. Er wordt gekeken naar situaties waarbij er meerdere krachten werken in verschillende richtingen en ook naar situaties waarbij de krachten niet in hetzelfde punt aangrijpen. Daarbij staan de volgende vragen centraal: E Welke eigenschappen hebben de verschillende soorten krachten? (paragraaf 4.2) E Hoe vind je de resulterende kracht of nettokracht als er op een voorwerp meer­ dere krachten in verschillende richtingen werken? (paragraaf 4.3) E Hoe bepaal je de effecten van een kracht die schuin staat op de (mogelijke) bewegingsrichting van het voorwerp? (paragraaf 4.4)

Figuur 1 Krachten zijn nodig om bijvoorbeeld iets op te tillen of in beweging te brengen.

Start Maak de vragen bij Start.

W1 Wat weet je nog over krachten?

inLeiDing Je kent al een aantal krachten, bijvoorbeeld zwaartekracht, spierkracht, wrijvings­ kracht, veerkracht en magnetische kracht. En je weet al het een en ander over de gevolgen van krachten. De zwaartekracht kan een voorwerp laten vallen, de veer­ kracht van het racket versnelt de tennisbal en de luchtweerstand remt de fietser af als hij niet trapt. Sommige krachten, zoals zwaartekracht en magnetische kracht, werken op afstand. Andere krachten werken alleen als er contact is tussen twee voorwerpen. Een kracht wordt altijd door het ene voorwerp uitgeoefend op het andere voorwerp. De aarde trekt aan het voorwerp, het tennisracket slaat tegen de bal en als je hard fietst voel je de tegenwerkende kracht van de lucht. Als er meerdere krachten op een voorwerp werken, vind je de nettokracht door constructie. Deze nettokracht is de resulterende kracht van de verschillende krachten op het voorwerp. Fw, lucht

VO O r B e e L D : K r AC h T e n O p e e n F i e T S Fiets je op een rechte horizontale weg, dan werken er in verschillende richtingen verschillende krachten op jou en je fiets. De zwaartekracht en de ondersteunende kracht van de grond werken in verticale richting, de weerstandskrachten en de voorwaartse kracht zijn horizontaal gericht. Bij de fiets met zijn berijder zijn de ondersteunende krachten Fn samen precies even groot als de zwaartekracht Fz (zie figuur 2). Er is in verticale richting even­ wicht van krachten, de nettokracht in verticale richting is nul. De horizontale krachten hoeven samen niet nul te zijn. Een resulterende of netto­ kracht in de horizontale richting zorgt voor een versnelling of een vertraging van de fiets.

Fn

Fn

Fz Fw, rol Fvoorwaarts Figuur 2 Krachten op een fiets

Fw, rol

136

4.1 Introductie Sport en verkeer

1

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a De luchtweerstand is altijd tegengesteld aan de bewegingsrichting. b Bij een eenparige beweging heeft de nettokracht een constante waarde ongelijk aan nul. c Voor een kracht op een voorwerp is altijd contact met dat voorwerp nodig. d Een nettokracht is de oorzaak van een toename van de snelheid.

2

Een turner hangt aan de ringen. a Geef aan welke krachten op de turner werken. De turner laat de ringen los. b Geef aan welke kracht(en) er nu op de turner werken. c Is de valsnelheid van de turner constant? Leg uit.

3

In de tabel zie je enkele situaties waarin krachten werken. Bekijk het onder­ streepte voorwerp en beantwoord de volgende vragen: a Is de nettokracht op het voorwerp nul? b Geef aan wat het resultaat van de kracht(en) op het voorwerp is. situatie

Figuur 3

4

nettokracht nul? resultaat

1 Een auto botst tegen een boom.

ja / nee

2 Met een honkbalknuppel wordt een bal weggeslagen.

ja / nee

3 Een voetballer gaat op de bal zitten.

ja / nee

In de tabel bij opgave 3 zijn bij elke situatie steeds twee voorwerpen betrok­ ken bij de kracht. a Ga bij elke situatie na of er ook een kracht werkt op het voorwerp dat niet onderstreept is. Zo ja, hoe kun je merken dat die kracht bestaat? b Wat kun je zeggen over de richting van de kracht op het andere voorwerp, in vergelijking met de kracht op het onderstreepte voorwerp? c Wat kun je zeggen over de grootte van de kracht op het andere voorwerp, in vergelijking met de kracht op het onderstreepte voorwerp?

137

Sport en verkeer

4.2

Soorten krachten

OnTDeKKen Er zijn veel soorten krachten. Bij fitness kun je trainen met veren of gewichten. Met je spierkracht overwin je dan de veerkracht van de veren of de zwaartekracht op de gewichten. Bij parasailing trekt de spankracht van het touw je naar voren, maar ook naar beneden. De lucht in de parachute zorgt voor een kracht schuin omhoog naar achteren. Als je op de grond staat, zorgt de grond voor een kracht omhoog. Wat zijn de eigenschappen van al deze krachten?

pA r Ag r A A F V r A Ag Welke eigenschappen hebben de verschillende soorten krachten?

Begrijpen eigenschappen van een kracht Als je tegen een voetbal trapt, oefent je voet een kracht uit op de bal. Het gevolg daar­ van is dat de bal wegschiet. Bovendien voel je een kracht op je voet, doordat de bal je voet afremt. Een kracht is altijd een wisselwerking tussen twee voorwerpen, in dit geval de bal en de voet.

Figuur 4 Parasailing

Experiment 1: Een ‘zwaar’ voorwerp ver­ plaatsen

Experiment 2: Uitrekken van een elas­ tiek en een veer

De grootte en de richting van de versnelling die de bal krijgt, hangen af van de grootte en de richting van de nettokracht op de bal, en van het aangrijpingspunt. Dat zijn de eigenschappen van een kracht. Omdat een kracht een grootte en een richting heeft, is kracht een vectorgrootheid. Eigenlijk moet er daarom altijd een klein pijltje getekend worden boven het symbool → van kracht: F . Maar in de praktijk laat je dit meestal weg. Je tekent een kracht als een pijl. De lengte van de pijl geeft de grootte van de kracht aan, en de richting van de pijl geeft de richting van de kracht aan. Die pijl begint met een bolletje in het aangrij­ pingspunt van de kracht. Bij een trap tegen de bal is dat het punt waar de voet de bal raakt, zoals bij de trap tegen een bal in figuur 6. De grootte van de kracht F wordt uit­ gedrukt in de eenheid newton (N). B B

Een kracht heeft een grootte, een richting en een aangrijpingspunt. De eenheid van kracht F is de newton (N).

Figuur 5 Bij het nemen van een strafschop wordt de baan van de bal bepaald door de grootte (en de duur), de richting en het aangrijpingspunt van de kracht.

Soorten krachten Er zijn veel soorten krachten, zoals de zwaartekracht Fz , de veerkracht Fv , de spankracht Fs , de normaalkracht Fn , de weerstandskracht Fw en de spierkracht Fspier. Deze krachten kom je tegen in verschillende situaties, bijvoorbeeld bij bungeejumpen, gewichtheffen of fietsen.

F bal op schoen

Veerkracht Een elastiek of veer rek je uit door er met jouw spierkracht Fspier aan te trekken. Het elastiek of de veer trekt dan ook aan jouw hand, dat is de veerkracht Fv. Hoe verder je een elastiek of veer uitrekt, des te groter wordt de veerkracht. Daarvoor moet de spier­

Figuur 6 Kracht als vectorgrootheid

Fschoen op bal

138

Begrijpen 4.2 Soorten krachten Sport en verkeer

kracht ook (net zoveel) groter zijn geworden. Als je een veer twee keer zo ver uitrekt, wordt de veerkracht ook twee keer zo groot. B

De veerkracht Fv van een veer is evenredig met de uitrekking u.

Spankracht Hang je met wandklimmen of abseilen aan een touw, dan is het touw een beetje uitgerekt, net als een elastiek of een veer. Doordat het touw een beetje is uitgerekt, oefent het op jou een kracht uit naar boven, de spankracht Fs. De kracht wordt als het ware doorgegeven van het ene uiteinde naar het andere en is dus overal in het touw even groot. Als je stil hangt, is de spankracht van het touw naar boven even groot als de zwaartekracht (zie figuur 7). Bij een zwaarder persoon rekt het touw iets meer uit, waardoor de spankracht ook groter is. Figuur 7 Abseilen

B

De spankracht Fs werkt altijd in de richting van het touw, net als de veerkracht van een elastiek of een veer.

Zwaartekracht De aarde trekt aan elk voorwerp met de zwaartekracht Fz. In feite trekt de aarde aan alle afzonderlijke moleculen van het voorwerp. Het effect is echter hetzelfde als je rekent met één enkele kracht die aangrijpt in het zwaartepunt. Dan doe je net alsof alle massa in dat ene punt zit. De zwaartekracht is altijd naar beneden gericht, naar het middelpunt van de aarde. De grootte van de zwaartekracht is evenredig met de massa m. Per kilogram is de zwaar­ tekracht 9,81 N. B

De zwaartekracht Fz is evenredig met de massa m en grijpt aan in het zwaarte­ punt van het voorwerp.

gewicht en normaalkracht

Fz

Fn

Fgewicht Figuur 8 Je gewicht is een kracht door jou (op de grond) en de normaalkracht is een kracht op jou.

Als je op de grond staat, draagt de grond jou met een kracht omhoog. Doordat de zwaartekracht jou naar beneden trekt, druk jij de grond een beetje in met je gewicht Fgewicht. Net als een veer duwt de grond terug als deze wordt ingedrukt. De kracht van de grond op jou omhoog heet de normaalkracht Fn. Het woord ‘normaal’ betekent dat de kracht loodrecht op het oppervlak staat. De oorzaak van de normaalkracht op jou is dus jouw gewicht, de kracht waarmee jij tegen de grond duwt. Je gewicht heet daarom een actiekracht en de normaalkracht van de grond op jou een reactiekracht. Zo is in figuur 7 de spankracht in het touw de reactiekracht bij de actiekracht waarmee het meisje aan het touw hangt. (Dat is dus haar gewicht(skracht) en niet de getekende zwaartekracht.) Als je op een horizontale ondergrond stilstaat, is er evenwicht en is de zwaartekracht even groot als de normaalkracht (zie figuur 8). Spring je omhoog, dan zet je je met spierkracht af tegen de grond, waardoor de normaalkracht tijdens de afzet groter is dan de zwaartekracht. Ben je los van de grond, dan is er geen contact met de onder­ grond en dus zijn je gewicht en de normaalkracht beide nul. De normaalkracht past zich steeds aan. Op een horizontale ondergrond is Fn altijd even groot als het gewicht en precies tegengesteld gericht.

139

Sport en verkeer 4.2 Soorten krachten Begrijpen

Bij een schuine ondergrond is de richting van de normaalkracht ook loodrecht op het oppervlak. De normaalkracht en de zwaartekracht kunnen elkaar dan dus niet ophef­ fen (zie figuur 9). Zonder voldoende wrijving met de ondergrond glij je naar beneden. B

B

Fn

De normaalkracht Fn op een voorwerp werkt altijd in de richting loodrecht op de ondergrond. De normaalkracht van een ondergrond op een voorwerp is een reactiekracht die ontstaat doordat het voorwerp met een (actie)kracht tegen de ondergrond duwt.

α

Fz

Figuur 9

Weerstandskrachten Bij vrijwel alle bewegingen zijn er weerstandskrachten. Bij snelheidssporten zoals wiel­ rennen en skaten zijn ze de grootste ‘tegenstanders’. Maar weerstandskrachten kunnen ook nodig zijn, zoals bij het remmen. Op glad ijs bijvoorbeeld kun je op de fiets heel slecht vaart maken of afremmen, want dan is de weerstand tussen het ijs en je fiets­ band heel klein. Er zijn drie soorten weerstandskracht: schuifwrijving, rolweerstand en luchtweerstand.

Schuifwrijving Bij het sjoelen neemt de snelheid van de glijdende sjoelschijf af door de wrijving tussen de schijf en de sjoelbak. Deze schuifwrijvingskracht Fw,s, of kortweg schuif­ wrijving, werkt tijdens het bewegen over de ondergrond tegen de bewegingsrichting in. De grootte van die schuifwrijving hangt af van het gewicht van de sjoelschijf en hoe glad de sjoelbak en de sjoelschijf zijn. Als de massa van de schijf groter is, duwt de schijf harder tegen de bak en is de schuifwrijving groter.

Maximale schuifwrijvingskracht Glijdt een voorwerp over een ondergrond, dan is er schuifwrijving. Maar ook de weer­ stand die een voorwerp van de ondergrond ondervindt als het (nog) niet beweegt ten opzichte van de ondergrond, heet schuifwrijving. Duw je bijvoorbeeld met te kleine kracht horizontaal tegen een boek op tafel, dan blijft dat boek stil liggen. De reactiekracht schuifwrijving is dan even groot als de actiekracht van jouw spieren. De schuifwrijving past zich aan de uitwendige kracht aan. Echter niet verder dan tot de maximale schuifwrijvingskracht Fw,s,max. Om het boek te verschuiven is dus eerst een minimale uitwendige kracht nodig die gelijk is aan de maximale schuifwrijving.

VO O r B e e L D : pAS O p VO O r g L A D D e V LO e r e n ! Om bij het lopen je voorste voet bij het neerkomen af te remmen en tegen te houden, is de schuifwrijvingskracht naar achteren nodig. Is de Fw,s,max tussen je schoenzool en de vloer te klein, dan ga je onderuit. Zie figuur 10.

B

De maximale schuifwrijvingskracht Fw,s,max op een voorwerp door een onder­ grond is de maximale weerstand die het voorwerp op die ondergrond onder­ vindt zonder te gaan glijden.

Figuur 10 Waarschuwing voor natte gladde vloer

140

Begrijpen 4.2 Soorten krachten Sport en verkeer

Rolweerstand Bij het fietsen of autorijden rollen de banden over het wegdek. Ze zijn bij het contact met de weg iets ingedeukt en vervormd. Op de banden wordt daardoor een tegen­ werkende kracht uitgeoefend, de rolweerstandskracht Fw,r of kortweg rolweerstand. De grootte van de rolweerstand neemt toe als de vervorming van de banden gro­ ter wordt (zie figuur 11). Daardoor is bij een volgeladen vrachtauto de rolweerstand groter dan bij een lege. De rolweerstand is ook groter als de banden niet goed opge­ pompt zijn.

Luchtweerstand Figuur 11 Meer rolweerstand door meer vervorming

Figuur 12

Als je op een motor of fiets rijdt, moet je ‘door de lucht’ heen. De kracht die de lucht dan op je uitoefent, heet de luchtweerstandskracht Fw,l of kortweg luchtweerstand. De grootte van de luchtweerstand hangt onder andere af van de snelheid. Hoe groter de snelheid des te groter is de luchtweerstand. Ook hangt de luchtweerstand af van de frontale oppervlakte, dat is de totale oppervlakte als je van voren kijkt. Een wiel­ renner heeft daardoor minder last van luchtweerstand dan een normale fietser. Zie figuur 12. Ook de stroomlijn van een voertuig is van (grote) invloed op de luchtweerstand. Voor matige snelheid is de vorm van een stompe druppel gunstig en voor hogere snelheid een puntige. Zie ook figuur 13.

S U PER Z U INIGE AU TO Studenten van de TU Delft hebben in 2021 de Eco-marathon gewonnen met hun EcoXI, een superzuinige waterstofauto. Op het equivalent van 1 kg waterstof ­legden ze op een testcircuit een afstand af van 3396 km. Kosten: 10 euro aan brandstof. Dat de eenpersoonsauto zo zuinig was, komt doordat de weerstand zo gering was. Eenmaal op snelheid was er nauwelijks voortstuwing meer nodig. De rolweerstand hadden ze geminimaliseerd door heel lichte materialen te ­gebruiken en de drie wielen te voorzien van dunne banden die hard opgepompt waren. De luchtweerstand was heel gering doordat de auto lang, smal en laag was in een gestroomlijnde vorm zonder uitsteeksels of oneffenheden. En doordat ze niet snel reden.

Figuur 13 Ligfiets en waterstofauto Ecorunner V

Ten slotte is de luchtweerstand ook nog afhankelijk van de dichtheid van de lucht: hoe ijler de lucht, des te kleiner is de luchtweerstand. B

De luchtweerstand Fw,l hangt af van de snelheid, de frontale oppervlakte, de stroomlijn en de dichtheid van de lucht.

141

snelheid v (m/s)

Sport en verkeer 4.2 Soorten krachten Begrijpen

VO O r B e e L D O p g AV e 1 Een sjoelschijf heeft een harde zet gekregen en glijdt uit op een heel lange baan. In figuur 14 is in een diagram de snelheid weergegeven tegen de tijd. Vraag: a Geef aan door welke krachten de schijf afremt. b Leg uit waardoor de snelheid in het begin sneller afneemt dan op het eind. Antwoord: a Door de luchtweerstand en de schuifwrijving. b De snelheid van de sjoelschijf neemt in het begin sneller af dan op het eind, doordat de luchtweerstand afneemt als de snelheid afneemt.

5

6

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a Voor een kracht zijn altijd twee voorwerpen nodig. b Schuifwrijving ondervindt een voorwerp alleen als het beweegt over de ondergrond. c De normaalkracht is altijd even groot als de zwaartekracht. d De veerkracht is evenredig met de lengte van de veer. e Gewicht is een ander woord voor zwaartekracht. f De spankracht in een touw is overal in het touw even groot als de kracht waarmee aan het touw getrokken wordt. g De rolweerstand wordt groter als je de banden harder oppompt. h De luchtweerstand wordt minder als je harder gaat rijden.

Figuur 14

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

B

A

Als je een elastiek uitrekt, is er sprake van veerkracht. a Geef aan of deze veerkracht de kracht van de hand op het elastiek is of de kracht van het elastiek op de hand. b Geef aan of de spankracht alleen op het uiteinde of in het hele elastiek werkt. c Leg uit welke kracht de actiekracht is en welke de reactiekracht als je een elastiek uitrekt.

7

In figuur 15 zie je een bal die omhoog wordt gegooid en dan naar beneden valt. In de figuur zijn drie punten aangegeven: A, B en C. a Geef aan in welke punten er sprake is van luchtweerstand. b Geef aan in welke punten er zwaartekracht werkt op de bal. c In welk punt is de nettokracht het grootst? Leg uit.

8

Massa, zwaartekracht en gewicht zijn verschillende grootheden. a Geef aan welke twee van deze grootheden als eenheid N hebben. b Geef aan wat de eenheid van de andere grootheid is. c Beschrijf een situatie waarin het gewicht even groot is als de zwaartekracht. d Beschrijf een situatie waarin het gewicht nul is.

9

tijd t (s)

C

Figuur 15

T In figuur 16 zie je een slee die langs een helling naar beneden glijdt. a b c

Teken in de figuur de richting van de normaalkracht en de richting van de zwaartekracht. In het begin versnelt de slee. Teken de richting van de nettokracht. De helling is overal even steil, toch wordt de snelheid na een tijdje constant. Leg uit hoe dat kan. Figuur 16

142

BeheerSen 4.2 Soorten krachten Sport en verkeer

10 Bij het fietsen heb je te maken met drie soorten weerstandskrachten. a b c

Geef aan welke weerstandskracht je gebruikt als je remt. Geef aan welke weerstandskracht groter wordt als je sneller fietst. Geef aan welke weerstandskracht verandert als je de banden harder oppompt.

11 Treinrails zijn van ijzer en treinwielen ook. Daardoor zijn de rolweerstand en de maximale schuifwrijving veel kleiner dan bij autobanden op asfalt. a Leg uit waardoor de rolweerstand van ijzeren wielen kleiner is dan die van rubber banden. b Leg uit waardoor de maximale schuifwrijving op het spoor kleiner is dan die op de weg. c Beschrijf de remweg van een goederentrein vergeleken met die van een vrachtauto.

12 In een snelle lift voel je je soms lichter of zwaarder. a

b c d

Experiment 3: Bungeejumpen

Beschrijf wat je ervaart als de lift met grote constante snelheid omhoog gaat. Is dan je gewicht groter dan, kleiner dan of even groot als je normale gewicht? Leg uit. Noem twee bewegingen van de lift waarbij je gewicht groter is dan normaal. Noem twee bewegingen van de lift waarbij je gewicht kleiner is dan normaal. Vul de volgende zinnen aan: Als de snelheid ………… is, dan is je gewicht even groot als de zwaartekracht. Maar als je ………… of …………, dan is jouw gewicht groter of kleiner dan de zwaartekracht.

BeheerSen Krachten tekenen Je tekent een kracht(vector) als een pijl. De lengte van de pijl geeft de grootte van de kracht aan, en de richting van de pijl de richting van de kracht. Die pijl begint in het aangrijpingspunt van de kracht. Bij een trap tegen de bal is dat het punt waar de voet de bal raakt (zie figuur 17).

F = 300 N ^ 100 N) (1 cm =

De grootte van de kracht F wordt uitgedrukt in de eenheid newton (N). Bij het teke­ nen van een kracht, zoals in figuur 17, heb je een krachtenschaal nodig, bijvoorbeeld 1 cm ≙ 100 N.

Figuur 17 Kracht als vectorgrootheid

B

Een kracht teken je als een pijl. De lengte van de pijl geeft, door middel van een krachtenschaal, de grootte van de kracht aan in newton.

Zwaartekracht Fv

Doordat elke kilogram massa een even grote zwaartekracht ondervindt, is de valversnelling voor alle voorwerpen gelijk. In Nederland is de valversnelling 9,81 m/s2, dichter bij de Noord­ en Zuidpool is de valversnelling iets groter en dichter bij de evenaar iets kleiner. In formule:

Fv

Fz = m · g met g = 9,81 N/kg = 9,81 m/s2

Figuur 18

Figuur 19

Hierin is Fz de zwaartekracht (in N), m de massa van het voorwerp (in kg) en g de val­ versnelling (in m/s2 of N/kg).

143

Sport en verkeer 4.2 Soorten krachten BeheerSen

De veerkracht van een veer hangt af van de uitrekking u. Bij veren die ingedrukt wor­ den, is u de indrukking van de veer. Als de uitrekking u tweemaal zo groot wordt, wordt ook de veerkracht tweemaal zo groot. De veerkracht is dus evenredig met de uitrekking u. Daardoor kun je een veer goed gebruiken als krachtmeter in bijvoor­ beeld een weegschaal of een veerunster. Bij een weegschaal geeft de schaalverde­ ling het aantal kilogrammen aan, maar in feite meet de weegschaal een kracht. Bij een veerunster lees je meestal wel af in newton (zie figuur 20).

N

veerkracht Fv (N)

Veerkracht

0

Fv = C · u Hierin is Fv de veerkracht (in N), u de uitrekking of indrukking (in m) en C de veer­ constante (in N/m). De grafiek van de veerkracht tegen de uitrekking van een veer is dus een rechte lijn door de oorsprong (zie figuur 21). B

De veerconstante C is groter bij een stuggere veer.

Maximale schuifwrijving De maximale schuifwrijving tussen twee oppervlakken hangt af van de kracht waar­ mee die oppervlakken op elkaar gedrukt worden en van de ruwheid van de opper­ vlakken. Bij een auto bijvoorbeeld zorgt een groter gewicht voor een grotere normaal­ kracht en daardoor voor een grotere maximale schuifwrijving. De formule voor de maximale schuifwrijving Fw,s,max is:

Fw, s, max = f · Fn Hierbij is Fw,s,max de maximale schuifwrijving (in N), f de wrijvingscoëfficiënt die afhangt van de ruwheid van de band en van de weg en Fn de normaalkracht (in N). De wrijvingscoëfficiënt is een factor en heeft geen eenheid. B

De maximale schuifwrijving Fw,s,max is evenredig met de normaalkracht Fn. De wrijvingscoëfficiënt f hangt af van de ruwheid van de contactoppervlakken.

5 4

0,05 0,1

3

0,15 0,2

2

0,25 0,3

De veerkracht hangt ook af van de ‘sterkte’ van de veer. Een stugge veer levert bij dezelfde uitrekking een grotere kracht dan een slappe veer. De stugheid wordt uitge­ drukt in de veerconstante C met als eenheid N/m. Een stuggere veer heeft een gro­ tere veerconstante en levert bij dezelfde uitrekking een grotere kracht dan een slappe veer. In formule:

6

1 0

0

5

10

15 20 25 uitrekking u (cm)

Figuur 20

Figuur 21

VO O r B e e L D O p g AV e 2 Aan een veer van 20 cm wordt een voorwerp van 800 g, gehangen waardoor de lengte 23 cm wordt. Vervolgens wordt er ook nog met een onbekende kracht aan getrokken, waardoor de veer 27 cm lang wordt. Vraag: Bereken de onbekende kracht. Antwoord: De zwaartekracht op de massa is Fz = m · g = 0,800 × 9,81 = 7,85 N omlaag. De veerkracht is dus 7,85 N omhoog als de massa stil hangt. De veer is dan 3,0 cm uitge­ 7,85 rekt en de veerconstante is dus C = _uF_ = ____ 0,030 = 262 N/m. De onbekende kracht rekt de veer 4,0 cm verder uit en heeft dus een grootte van Fv = C · u = 262 × 0,040 = 10,5 N.

VO O r B e e L D O p g AV e 3 Bij een gewone auto van 1200 kg is de maxi­ male remkracht op asfalt 10,6 kN. Vraag: Bereken de wrijvingscoëfficiënt. Antwoord: Fn = Fz = 9,81 × 1200 = 11,8 kN. De maximale remkracht is gelijk aan de maximale schuifwrijving. Invullen in Fw,s,max = f · Fn geeft: F

10,6

w,s,max f = ______ = ____ = 0,90 11,8 F n

SpOiLerS Bij een raceauto zorgen de spoilers voor een extra kracht omlaag, waardoor de raceauto harder op de grond wordt geduwd. De normaalkracht van het wegdek op de auto is dan groter en daardoor ook de maximale schuifwrijving. Er is dan minder kans op slippen bij het optrekken of afremmen. Figuur 22

144

Beheersen 4.2 Soorten krachten Sport en verkeer

RE M M EN EN NE T NIE T S L IPPEN Als je remt, gebruik je de schuifwrijving tussen de banden en het wegdek. H ­ arder remmen leidt tot een grotere voorwaartse kracht van de banden op de weg ­(actiekracht) en daardoor een grotere schuifwrijving (reactiekracht). Rem je te hard, dan gaan de banden slippen en is de schuifwrijving kleiner dan de maximale. De maximale remvertraging van een auto is dus evenredig met de wrijvingscoëfficiënt f tussen de banden en het wegdek. In de tabel staan de waarden van f voor rubber banden op verschillende soorten wegdek. wegdek

weer

f

beton

droog

0,90

nat

0,75

droog

0,85

nat

0,65

droog

0,80

nat

0,40

sneeuw

0,20

ijs

0,10

asfalt klinkers

Om slippen te voorkomen is in veel auto’s een anti-blokkeer-systeem (ABS) inge­ bouwd. Sensoren regelen daarbij de remkracht, zodra de banden dreigen te gaan slippen.

Luchtweerstand De luchtweerstand is evenredig met het kwadraat van de snelheid v. Bij een twee keer zo grote snelheid is de luchtweerstand dus vier keer zo groot. Ook is de lucht­ weerstand evenredig met de frontale oppervlakte A, de dichtheid van de lucht ρ en de stroomlijn van het voertuig. In formule: ​Fw,l = __ ​  12 ​ · cw · A · ρ · v​ ​​  2​ Hierin is Fw,l de luchtweerstand (in N), cw de stroomlijnfactor (geen eenheid), A de frontale oppervlakte (in m²), ρ de luchtdichtheid (in kg/m³) en v de snelheid (in m/s). Meestal veranderen de luchtdichtheid, de stroomlijn en de frontale oppervlakte niet en wordt de formule vereenvoudigd tot: ​Fw,l = k · v​ ​​  2​ Hierin is k de luchtweerstandscoëfficiënt, die afhangt van het voertuig (stroomlijn en frontale oppervlakte) en van de luchtdichtheid. De waarde van k is in veel gevallen constant, bijvoorbeeld bij een auto of een fietser die zijn houding niet verandert. B

De luchtweerstand(skracht) Fw,l is evenredig met v². De luchtweerstandscoëfficiënt k hangt af van de frontale oppervlakte, de stroomlijn en de dichtheid van de lucht.

145

Sport en verkeer 4.2 Soorten krachten BeheerSen

Actie- en reactiekracht en de derde wet van newton Kracht is altijd een wisselwerking tussen twee voorwerpen. Bij elke actiekracht is er een reactiekracht die tegengesteld gericht is. Bij het roeien bijvoorbeeld duwt het blad van de roeiriem tegen het water. Het water oefent daardoor een reactiekracht uit op het blad van de roeiriem. Als een voetballer een bal wegtrapt, is er een actie­ kracht van de voetbalschoen op de bal en daardoor een reactiekracht van de bal op de schoen. De twee krachten van een wisselwerking zijn altijd precies even groot en werken in tegengestelde richting. Is de kracht op de voetbal 20 N naar rechts, dan is de kracht op de voet 20 N naar links. De actie­ en reactiekracht kunnen elkaar natuurlijk niet ophef­ fen, ze werken immers op twee verschillende voorwerpen (in dit geval de bal respec­ tievelijk de voet).

F bal op schoen

Figuur 23

De eigenschappen van beide krachten van een wisselwerking worden ook wel de derde wet van Newton genoemd. In formule: ⟶

⟶

F AB = − F BA

⟶ ⟶ Hierin is F AB de kracht van voorwerp A op voorwerp B (in N) en F BA de kracht van voor­ werp B op voorwerp A (in N). De pijl boven de kracht geeft aan dat het een vector­ grootheid is, dat wil zeggen een grootheid met grootte en richting. Het minteken in de formule geeft aan dat de richtingen van de krachten tegengesteld zijn.

Drie wetten van newton De drie wetten van Newton kun je schrijven als de formules: 1ste wet F res = 0 ↔ v = constant of voorwerp blijft stilstaan ⟶ 2de wet F = m · → a res

⟶ ⟶ 3de wet F AB = − F BA

13 De paragraafvraag is: Welke eigenschappen hebben de verschillende soorten krachten? Wat is het antwoord op deze vraag?

14 In figuur 24 is een kracht getekend. De schaal is 1 cm ≙ 3 N. Bepaal de grootte van de kracht. Figuur 24

15 T In figuur 25 zie je een persoon op een plank staan die over een sloot is gelegd. In de figuur zijn drie krachten getekend. Geef aan welke kracht(en) op de persoon en welke kracht(en) op de plank werken. Noteer in de figuur de namen van de krachten bij de pijlen. b Leg uit welke twee krachten in de figuur een wisselwerking vormen. Geef ook aan welke kracht de actiekracht is en welke kracht de reactiekracht. c Leg uit welke twee krachten in de figuur elkaar opheffen. d Leg uit waardoor de drie krachten in de figuur even groot zijn. e Beschrijf welke krachten veranderen als de persoon op­en­neer beweegt op de plank. f Als de plank stil ligt en in evenwicht is, welke andere kracht of krachten werken er dan op de plank? a

Figuur 25

Fschoen op bal

146

BeheerSen 4.2 Soorten krachten Sport en verkeer

A

B

1,0 N 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

C

10 N

D

100 N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3N

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

16 De krachtmeters in figuur 26 geven verschillende waarden aan. De schaal­

E

5N 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

verdeling heeft bij elke krachtmeter een lengte van 10 cm. a Leg uit dat de veer in krachtmeter A een veerconstante heeft van 10 N/m. b Bereken de veerconstanten van de andere krachtmeters.

17 Geeke hangt een voorwerp van 320 g aan een veer. De veer rekt daardoor 4,2 cm uit. a Bereken de kracht van het voorwerp op de veer. b Bereken de veerconstante van deze veer.

18 Een astronaut op een onbekende planeet hangt een steen van 3,6 kg aan een krachtmeter. Deze rekt daardoor 3,7 cm uit. Op aarde rekte dezelfde kracht­ meter 5,1 cm uit als hij er een voorwerp van 7,9 kg aan hing. Bereken de valversnelling op die onbekende planeet.

Figuur 26

19 De drie wetten van Newton gaan ook over de begrippen traagheid (zie hoofd­ stuk 2), actie­ en reactiekrachten en evenwicht. a Omschrijf elk van deze begrippen in je eigen woorden. b Geef bij elk begrip aan welke wet van Newton daarbij hoort. c Leg uit waarom bij actie­ en reactiekrachten nooit sprake kan zijn van even­ wicht.

20 Je buigt door je knieën, zet krachtig af en springt recht omhoog. Even later kom je op dezelfde plek neer. a Leg uit in welk deel van de beweging je gewichtloos bent. b Leg uit dat tijdens de afzet de normaalkracht groter is dan de zwaarte­ kracht. c De normaalkracht is de ‘helft’ van een wisselwerking. Geef aan welke kracht de andere helft is. Welke kracht is hier de actiekracht? d Is tijdens de afzet je gewicht groter dan, kleiner dan of even groot als je ‘normale’ gewicht? Leg uit. e Is tijdens de landing je gewicht groter dan, kleiner dan of even groot als je ‘normale’ gewicht? Leg uit.

N

Figuur 27

Fveer (N)

21 Een auto van 1250 kg moet maximaal remmen om een botsing te vermijden.

,

De auto rijdt op nat asfalt. De banden slippen niet tijdens het remmen. a Bereken de normaalkracht. b Bereken de maximale remkracht.

,

22 Een boek met een massa van 300 g ligt stil op tafel. Met een krachtmeter trek

,

,

,

0

Figuur 28

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0 t(s)

je geleidelijk steeds harder aan het boek (zie figuur 27). Na 4 s glijdt het boek met constante snelheid over tafel. In figuur 28 is de horizontale trekkracht uit­ gezet tegen de tijd. a Leg uit wanneer het boek begint te bewegen. b Leg het verloop van de grafiek uit. c Bepaal de wrijvingscoëfficiënt f tussen het boek en de tafel.

147

Sport en verkeer 4.2 Soorten krachten Beheersen

cw

A (m2)

moderne auto

0,25

2

vrachtauto

0,7

6

nuna solar car

0,07

0,86

stadsfiets

1,0

0,6

racefiets

0,9

0,3

ligfiets

0,8

0,25

trein

2

12

23 In de tabel in figuur 29 zie je voor verschillende voertuigen de waarden voor cw en de grootte van de frontale oppervlakte A. Neem voor de luchtdichtheid ρ = 1,2 kg/m³. a

b

Nora rijdt op een stadsfiets met een snelheid van 5,0 m/s. De rolweerstand is 8,6 N. Laat met een berekening zien dat de totale tegenwerkende kracht 18 N is. Bereken bij welke snelheid (in km/h) Nora op een racefiets een even grote voorwaartse kracht moet leveren. De racefiets heeft de veel kleinere rol­ weerstand van 2,3 N.

24 Een parachutist van 95 kg springt uit een helikopter en valt verticaal naar beneden. a

Leg uit dat de luchtweerstand direct in het begin van de val verwaarloosd mag worden. Voor de luchtweerstandscoëfficiënt k geldt de waarde 0,25. b Bereken de maximale snelheid die de parachutist krijgt. Als de parachute na de vrije val open gaat, landt de parachutist uiteindelijk met een constante snelheid van 20 km/h. c Bereken hoe groot de luchtweerstandscoëfficiënt k is voor een geopende parachute. d Bepaal de eenheid van k. e Laat aan de hand van de formule voor de luchtweerstand zien dat de stroomlijnfactor cw geen eenheid heeft.

25 Een auto met een massa van 820 kg rijdt op een zonnige dag over een beton­ nen weg met een snelheid van 80,0 km/h. De rolweerstand is 150 N. De auto remt maximaal af tot stilstand. De remweg bedraagt 26 m. a Bereken de gemiddelde luchtweerstand. b De bandenspanning van deze auto wordt verlaagd. Beschrijf welke weer­ standskracht daardoor het meest verandert. Door extra passagiers neemt de totale massa toe tot 1020 kg. c Geef aan welke weerstandskrachten daardoor veranderen. d Leg uit of de remweg door de extra massa groter, kleiner of even groot is.

26 Een auto rijdt met een constante snelheid van 60 km/h over een horizontale weg. Voor deze auto geldt: cw = 0,26, A = 1,9 m2 en ρ = 1,2 kg/m3. a Bereken de waarde van k. b Bereken de luchtweerstand bij een snelheid van 60 km/h. c Beredeneer met verhoudingen hoe groot de luchtweerstand wordt bij een snelheid van 120 km/h. d Beschrijf welke van de bovenstaande factoren veranderen als er een cara­ van achter de auto wordt geplaatst.

27 Sander kan op een racefiets een maximale voorwaartse kracht leveren van 38 N. De totale massa van Sander met fiets is 80 kg. De frontale oppervlakte bedraagt 0,25 m2, cw = 0,80 en ρ = 1,2 kg/m3. De rolweerstand is 4,0 N. a Bereken de maximale snelheid die Sander kan halen. Als Sander rechtop gaat zitten, wordt A gelijk aan 0,52 m2. b Bereken welke maximale snelheid hij dan kan halen. c Leg uit waardoor je sneller kunt fietsen op een ligfiets.

Figuur 29

148

Sport en verkeer

4.3

Krachten samenstellen

OnTDeKKen

Experiment 4: Horizontaal lanceren Experiment 5: Tillen met twee touwen Experiment 6: Ringtrekken met drie krachtmeters

Als op een voorwerp twee krachten in dezelfde richting werken, mag je ze bij elkaar optellen om de nettokracht te vinden. Werken de krachten in tegengestelde richting, dan kijk je naar het verschil van de twee krachten. Maar hoe tel je krachten op die een hoek met elkaar maken? In figuur 30 zie je dat de drie krachten die op een kitesurfer werken, verschillende richtingen hebben. Hoe bepaal je de nettokracht in zo’n situatie? Hoe zie je of er evenwicht is?

pA r Ag r A A F V r A Ag



Hoe vind je de grootte en de richting van de nettokracht als er op een voorwerp meerdere krachten in verschillende richtingen werken?

 Begrijpen Schuine krachten optellen

 Figuur 30 Kitesurfen

In figuur 30 en 31 zie je twee situaties waarin drie krachten in verschillende richtingen werken. Bij de kitesurfer in figuur 30 zorgen de zwaartekracht (1) en de spankracht (2) van het touw van de kite samen voor een kracht die de surfplank tegen het water duwt. Als de snelheid van de kiter niet verandert, is de nettokracht nul. De (reactie) kracht van het water tegen de plank (3) maakt dan evenwicht met de zwaartekracht en de spankracht. Als de twee personen in figuur 31a de koffer opgetild houden, leveren ze samen een kracht die net zo groot is als de zwaartekracht op de koffer. In figuur 31b zie je hoe de twee spierkrachten samengesteld zijn tot één somkracht. Met de twee krachtpijlen als zijden wordt een parallellogram getekend. De diagonale krachtpijl van het parallel­ logram is de vectoriële somkracht, die even groot is als de zwaartekracht en tegenge­ steld gericht.

Figuur 31a

Fsom Fsom

parallellogramconstructie Twee krachten die niet in dezelfde richting werken kun je ‘optellen’ met behulp van een parallellogramconstructie. De diagonaal van het parallellogram is dan de som­ kracht, waarvan het effect hetzelfde is als het gezamenlijke effect van de twee aparte krachten. Bij een parallellogram zijn de overliggende zijden evenwijdig. Voor de con­ structie kun je dus een geodriehoek gebruiken, zie figuur 32. Als de hoek tussen de twee krachten 90° is, kun je de grootte van de somkracht berekenen met de stelling van Pythagoras. B

Figuur 31b

Twee krachten in verschillende richtingen kun je met een krachtenparallellogram op schaal tot één somkracht samenstellen. De diagonaal is dan de somkracht.

149

Sport en verkeer 4.3 Krachten samenstellen Begrijpen

Fsom 5

4

3

2

1

0

1

2

1

3

4

5

10

6 20

30 30

20

7

20

F2

F2

2

6

7

170

30

40 40

50

70

80

60

90

160

40

3

60

50

80

70

150

50

60

140 130 120

5

70

F1

10

10

F2

F1

F1

110

6

80

100

90

Figuur 32a Teken F1 en F2 op schaal vanuit hetzelfde punt en in de juiste richting.

Figuur 32b Teken een stippellijn evenwijdig aan

F1 door de pijlpunt van F2. Doe hetzelfde bij F2.

Krachten verschuiven Soms grijpen de krachten op een voorwerp niet in hetzelfde punt aan, zoals de krachten van de twee ploegen in figuur 33. Omdat de spankracht in een touw overal even groot is, maakt het niet uit op welke plaats in het touw de kracht getekend wordt. Het effect van een kracht blijft hetzelfde als je hem verschuift langs de lijn in het verlengde van de kracht. Dit heet de werklijn van de kracht. B

Als twee krachten niet op hetzelfde punt aangrijpen, verschuif je de krachten langs de eigen werklijnen tot ze in hetzelfde punt aangrijpen. Daarna kun je de parallellogramconstructie uitvoeren. Het effect van een kracht verandert niet als je hem langs zijn eigen werklijn verschuift.

Figuur 32c De somkracht is de diagonaal van het parallellogram.

VO O r B e e L D O p g AV e 4 Twee groepjes van de scouting trekken een zieke boom om. Elke groep trekt aan een lang touw. De hoek tussen de touwen is 60° en de twee groepen zijn niet even sterk, zie figuur 33. Vraag: Leg uit in welke richting de boom omgetrokken wordt. Antwoord: Verschuif beide krachten tot ze in hetzelfde punt aangrijpen. Teken daarmee een parallellogram op schaal. De somkracht geeft de richting aan waarin de boom omgetrokken wordt.

28 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f

Boom

Twee even grote krachten die niet precies in tegengestelde richting wer­ ken, kunnen elkaar niet opheffen. Bij een parallellogramconstructie is de somkracht altijd groter dan de groot­ ste van de twee krachten. Bij een parallellogramconstructie kan de somkracht kleiner zijn dan de kleinste van de twee krachten. Je mag een kracht verschuiven langs zijn werklijn, in het verlengde van de kracht. Door het verschuiven van een kracht langs zijn werklijn verandert het effect van de kracht. Je kunt de grootte van de somkracht ook altijd berekenen met de stelling van Pythagoras.

29 Op een voorwerp van 100 g werken twee verschillende krachten: één van 3,0 N en één van 5,8 N. De hoek tussen de richtingen van de krachten is 134°. Bepaal met een parallellogramconstructie de hoeken tussen de somkracht en de beide andere krachten.

60°

Ploeg A

Fsom

Ploeg B

Figuur 33

150

BEGRIJPEN 4.3 Krachten samenstellen Sport en verkeer

30 T In figuur 34 hangt een lamp aan twee snoeren. De snoeren maken allebei een hoek van 30° met de verticaal en in beide snoeren is de spankracht 50 N. a Teken in de figuur de beide spankrachten. Kies daartoe eerst een krachtenschaal. b Bepaal met behulp van het tekenblad de grootte van de somkracht van de twee spankrachten. c Bereken de massa van de lamp.

31 T Op een kitesurfer, zoals in figuur 35, werkt een zwaartekracht van 800 N. Figuur 34

Het middelste touw trekt aan de surfer, de andere twee touwen zijn om te sturen. De foto is van opzij genomen, het touw bevindt zich in het vlak van de tekening. De spankracht in het touw is 670 N, het touw maakt een hoek van 22° met de horizon. a Bepaal uit de figuur op het tekenblad de krachtenschaal. b Teken in die figuur met dezelfde krachtenschaal de zwaartekracht. c Bepaal met behulp van een parallellogram de somkracht. d Teken in dezelfde figuur de kracht die het water uitoefent op de kitesurfer. De surfer vaart met constante snelheid in een rechte lijn (loodrecht het papier uit). e Bepaal hoe groot de kracht is van het water op de kitesurfer.

32 T Twee kinderen hebben aan het strand een aangespoelde kist gevonden. Zie Figuur 35 Kitesurfer

figuur 36. Ze trekken er met twee touwen aan om hem op het droge te halen. Maar ze trekken niet in dezelfde richting. a Verschuif in de tekening op het tekenblad de trekkrachten van de kinderen tot ze in hetzelfde punt van de kist aangrijpen. b Teken met een parallellogramconstructie de somkracht op de kist. c De kist komt nog niet in beweging. Geef aan welke kracht voor evenwicht zorgt. Een tijd later staat het water hoger, doordat het vloed wordt. De kist drukt daardoor minder hard op het zand onder de kist. De kinderen proberen het nog eens met dezelfde krachten aan de touwen en nu komt de kist wel in beweging. d Leg uit in welke richting de kist dan gaat bewegen.

33 Twee sleepboten zijn bezig een booreiland naar de goede plek te slepen. De

Figuur 36

W2 Touwtrekken bij het water W3 Curling met zijn achten

ene sleepboot trekt met 500 kN pal naar het noorden en de andere sleepboot met 300 kN naar het westen. a Maak een krachtentekening op schaal. b Bepaal met een parallellogramconstructie hoe groot de nettokracht van de twee sleepboten op het booreiland is. Even later moeten de twee sleepboten samen een somkracht van 400 kN leveren in een richting die 25° westelijk is (ten opzichte van het noorden). De ene sleepboot trekt nog steeds pal naar het noorden, de andere naar het westen. c Bepaal met een constructie de trekkracht van elke boot. Leg uit hoe je dat hebt aangepakt.

151

Sport en verkeer 4.3 Krachten samenstellen BeheerSen

BeheerSen evenwicht van krachten Als drie krachten op een voorwerp werken, is er evenwicht als één van de krachten evenwicht maakt met de somkracht van de andere twee. Het maakt daarbij niet uit welke twee krachten je het eerst samenstelt. Zie figuur 37.

F2

F2

F2

F1 F3

F1 F3

F3

F2

Fsom 1,2

Fsom 2,3

F1

F1 F3

Fsom 1,3 Figuur 37 B

Als drie krachten op een voorwerp voor evenwicht zorgen, is de resultante van elk tweetal krachten even groot als de derde kracht maar tegengesteld gericht. Fsom

Omgekeerde parallellogramconstructie Als van twee krachten alleen de richtingen en de somkracht bekend zijn, kun je de groottes bepalen met de omgekeerde parallellogramconstructie.

45°

25°

VO O r B e e L D O p g AV e 5 Een meisje hangt aan de armen van haar vader en moeder, zoals getekend in figuur 38. Gegeven is dat de vader tilt met een kracht van 47 N. Vraag: Bereken de massa van het meisje. Antwoord: In het getekende krachtenparallellogram is de pijl van de somkracht 2,5 keer zo lang als de pijl van de tilkracht van de vader. De verticale somkracht is 118 dan 2,5 × 47 = 118 N en de massa van het meisje is dus m = ____ = 12 kg. 9,81

Figuur 38

VO O r B e e L D O p g AV e 6 m

Aan een 2,6 m lang touw hangt een grote kogel van 50 kg. Jaap heeft de kogel 1,3 m opzij geduwd en houdt hem daar. Hij duwt horizontaal (zie figuur 39). Vraag: Bereken hoe groot de duwkracht van Jaap in deze positie is. Antwoord: De zwaartekracht Fz van 490 N wordt gecompenseerd door FJaap en Ftouw. Hun somkracht is dus 490 N recht omhoog. In de figuur is Fsom net zo lang getekend als Fz. Het parallellogram met diagonaal Fsom heeft als zijden FJaap en Ftouw. In de tekening opmeten leert dat Fsom 1,9 keer zo lang is als FJaap. Dat geeft FJaap = 260 N = 0,26 kN.

 ,

Fsom

, m

FJaap Fz

B

Als van twee krachten alleen de richting en de somkracht bekend zijn, kun je de groottes bepalen met de omgekeerde parallellogramconstructie.

Figuur 39

Ftouw

152

BeheerSen 4.3 Krachten samenstellen Sport en verkeer

Versnellen of vertragen Als er geen evenwicht is, dus als de nettokracht niet nul is, versnelt of vertraagt een voorwerp. De richting van de versnelling (of vertraging) is in de richting van de nettokracht. De grootte van de nettokracht bepaalt hoe groot de versnelling (of ver­ traging) is. Het verband tussen de nettokracht, de massa en de versnelling wordt in een formule op de volgende manier genoteerd: →

→

F res = ∑ i F i = m · → a

De pijltjes boven de grootheden laten zien dat die een richting hebben, het zijn vectorgrootheden. Het grote sigmateken (Σ) betekent dat de krachten F1, F2, F3, enzovoort samengesteld moeten worden (met de parallellogrammethode). B

Bij een versnelde of vertraagde beweging werkt de versnelling in de richting van → de nettokracht. Daarbij geldt: F res = m · → a

VO O r B e e L D : O p S T i j g e n D V L i e g T U i g Op het opstijgende vliegtuig van figuur 40 werken drie krachten. De somkracht van de krachten 1 en 3 werkt tegen de bewegingsrichting in. De nettokracht is het verschil tussen de stuwkracht 2 en de somkracht van 1 en 3. 3

3

2

Fsom1,3 1

Fnetto

2

1

Figuur 40a en b Drie krachten samenstellen

34 De paragraafvraag is: Hoe vind je de grootte en de richting van de nettokracht als er op een voorwerp meerdere krachten in verschillende richtingen werken? Wat is het antwoord op deze vraag?

35 Een kracht van 80 N maakt een hoek van 90° met een kracht van 140 N. a b c

Teken een krachtenparallellogram. Bepaal de grootte en de richting van de somkracht met behulp van de tekening. Controleer de uitkomsten met behulp van de stelling van Pythagoras en de sinus, cosinus of tangens.

36 Op een voorwerp van 100 g werken twee verschillende krachten: één van 3,4 N en één van 5,8 N. De hoek tussen de richtingen van de krachten is 130°. Bepaal met behulp van een parallellogramconstructie hoe groot de versnelling van het voorwerp is.

153

Sport en verkeer 4.3 Krachten samenstellen BeheerSen

37 T Twee personen dragen een koffer van 12 kg, zie figuur 41. a b c

Construeer met de omgekeerde parallellogrammethode de spierkrachten van de twee personen. Bepaal de grootte van de spierkrachten. Laat met een schets in dezelfde figuur zien of de spierkracht van de perso­ nen groter of kleiner is als ze dichter bij elkaar gaan staan.

38 Bij een tuibrug is het brugdek in het midden opgehangen aan twee kabels. Elke kabel gaat over een pyloon (een soort mast) en is op het land stevig ver­ ankerd. De spankracht is in beide kabels even groot. Zie figuur 42. a Leg uit dat tussen de pylonen de somkracht van beide kabels op het brug­ dek recht omhoog is gericht. b Leg uit dat er met heel hoge pylonen minder sterke kabels nodig zijn dan bij lage pylonen. Licht je uitleg toe met twee schetsen van het brugdek, de pylonen, de kabels en de krachten.

Figuur 41 pyloon kabels

39 T Voordat schepen motoren of stoommachines hadden, voerden ze zeil, wer­ den geroeid of werden 'gejaagd'. De trekschuit werd getrokken door een paard of door mensen die op de kant over het jaagpad liepen. Met het roer hield de schipper de boot op koers. Helaas heeft de trekschuit van Jaap en Joop geen roer meer. Daarom lopen ze ieder op een oever aan het schip te trekken om het toch in het midden van het kanaal te houden. Jaap heeft een lang touw en loopt ver voor de boot, Joop heeft een korter touw en loopt dichter bij de boot. a Teken in de figuur de somkracht die Jaap en Joop samen via hun touwen op de boot uitoefenen. b Leg uit dat de somkracht die Jaap en Joop samen via hun touwen op de boot uitoefenen recht vooruit moet zijn gericht. c Leg uit dat Jaap harder moet trekken dan Joop. d Beschrijf wat er zal gebeuren als ze even hard trekken.

pijler

Figuur 42

Jaap

Joop

Figuur 43

40 T Hans duwt horizontaal tegen een kogel van 50 kg zoals getekend in figuur 44. a b c

Teken de zwaartekracht in de figuur. Kies zelf een schaal. Construeer in de figuur de spankracht in het touw. Bepaal door constructie en opmeten de grootte van de kracht waarmee Hans duwt. Figuur 44

154

Beheersen 4.3 Krachten samenstellen Sport en verkeer

T Bij het speerwerpen krijgt 600omhoog g een versnelling 20 m/s² zweefvliegtuig wordt aaneen eenspeer langevan kabel getrokkenvan door 41 Een

Figuur 45

in delier lengterichting van de speer. figuur 46. versnelt in een rechte lijn een die op de grond staat. HetZie zweefvliegtuig a Bereken grootte van devan nettokracht op de speer. omhoog in de lengterichting het vliegtuig (zie figuur 45). b Leg Teken zwaartekracht en de de speer in de figuur op het a uitde welke drie krachten op nettokracht het vliegtuigop werken. tekenblad. b Geef aan van welke twee krachten je de richting weet waarin ze werken. Construeer met een parallellogram dede kracht de hand op dezelfde c In welke richting werkt de kracht van luchtvan op het vliegtuig: recht schaal. loodrecht op de vleugels, schuin omhoog naar achteren of recht omhoog, d naar Bepaal de grootte van de kracht waarmee de speer geworpen wordt. achteren? De drie krachten op het vliegtuig zijn niet in evenwicht. d Geef aan in welke richting de nettokracht werkt. Uit de gemeten versnelling en de massa van het vliegtuig is de nettokracht te bepalen. e Maak een schets van de zwaartekracht, de spankracht en de nettokracht. Laat zien hoe je daaruit de kracht van de lucht op het vliegtuig kunt bepalen.

42 T Bij het speerwerpen krijgt een speer van 600 g een versnelling van 20 m/s² in de lengterichting van de speer. a Bereken de grootte van de nettokracht op de speer. b Teken de zwaartekracht en de nettokracht op de speer in de figuur op het tekenblad. c Construeer met een parallellogram de kracht van de hand op dezelfde schaal. d Bepaal de grootte van de kracht waarmee de speer geworpen wordt. Figuur 46

Oefenen A Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 4.2 en 4.3 begrepen hebt.

155

Sport en verkeer

4.4

Schuine krachten

OnTDeKKen Voor de snelheidsduivels die aan speedskiën doen, zijn de zwaartekracht en de lucht­ weerstand de belangrijkste krachten. De luchtweerstand is tegengesteld gericht aan de snelheid. De zwaartekracht op de skiër werkt recht naar beneden en niet in de bewegingsrichting. Een kracht schuin op de bewegingsrichting heeft een kleiner effect op de beweging dan wanneer diezelfde kracht in de bewegingsrichting zou werken.

Experiment 7: Karretje op de helling Experiment 8: Slingergewicht opzij trekken

Experiment 9: Kleiner gewicht op de helling

pA r Ag r A A F V r A Ag Fw,l

Hoe bepaal je het effect van een kracht die schuin staat op de (mogelijke) bewegingsrichting van het voorwerp?

Begrijpen een kracht ontbinden De zwaartekracht op de skiër van figuur 47 is verticaal naar beneden gericht, maar heeft ook effect in de bewegingsrichting. Dat zie je door de zwaartekracht samengesteld te denken uit twee aparte krachten. De zwaartekracht Fz wordt dan vervangen door de twee krachten Fz,x en Fz,y, waarbij Fz,x in de bewegingsrichting langs de helling is en Fz,y daar loodrecht op staat. Fz is dan de somkracht van Fz,x en Fz,y. Zie figuur 48. Je ziet dat de zwaartekracht hier twee verschillende effecten heeft: de skiër wordt langs de helling omlaag getrokken en de skiër wordt tegen de helling geduwd. De kracht langs de helling zorgt voor de voortstuwing. De kracht loodrecht op de helling wordt opgeheven door de normaalkracht. Een kracht splitsen in twee (denkbeeldige) aparte krachten heet het ontbinden van een kracht in twee componenten. Bij bewegingen ontbind je een schuine kracht meestal in twee loodrechte componenten: E Eén van de componenten werkt in de bewegingsrichting, zoals bij de skiër. Of in de richting tegengesteld aan de bewegingsrichting, zoals bij een fietser die tegen een heuvel op rijdt. E De andere component werkt loodrecht op de bewegingsrichting. Deze compo­ nent draagt niet bij aan de versnelling (of vertraging). De schuine kracht is dan de diagonaal van een krachtenrechthoek en de componen­ ten zijn de zijden (zie figuur 48).

Fz Figuur 47 Speedskiën

Fz,x

Fz,y Fz Figuur 48

Een ander voorbeeld van het ontbinden van een kracht zie je in figuur 49. Van de schuine trekkracht (1) werkt alleen de horizontale component (2) in de bewegings­ richting. De verticale component is niet getekend, want die werkt niet in de bewegingsrichting. De trekkracht via het touw werkt dus maar voor een deel in de bewegingsrichting. B B

1

2

Een kracht kun je ontbinden in twee krachtcomponenten. Van een schuine kracht vind je de component in de (mogelijke) bewegings­ richting met behulp van een krachtenrechthoek. Figuur 49

156

Begrijpen 4.4 Schuine krachten Sport en verkeer

Steilheid van een helling De grootte van de krachtcomponent langs de helling hangt af van de steilheid van de helling, dus van de hellingshoek α (in graden). Vaak wordt de steilheid van een hel­ ling aangegeven met het hellingspercentage (in %): de verhouding tussen de verticale afstand (hoogte) en de horizontale afstand van de helling.

Figuur 50 Waarschuwingsbord voor steile helling

Het bord van figuur 50 geeft aan dat je bij elke 10 m horizontale verplaatsing 2,2 m verticaal omhoog of omlaag gaat, als je over de helling rijdt. Omrekenen van hellings­ hoek naar hellingspercentage en omgekeerd gaat met behulp van de tangens. In dit 22 voorbeeld geldt: tan(α) = ___ → α = 12°. 100 B

Fz,x α

De kracht langs een helling De component van de zwaartekracht langs de helling bepaal je met een tekening van de helling en de krachten. In figuur 51 zijn de zwaartekracht Fz en de component langs de helling Fz,x getekend. De twee krachten vormen een rechthoekige (rode) driehoek die gelijkvormig is met de rechthoekige (zwarte) hellingsdriehoek omdat de drie hoeken van beide driehoeken hetzelfde zijn. Daardoor zijn ook alle verhoudingen in beide driehoeken gelijk. De verhouding tussen Fz,x en Fz is daarom even groot als de sinus van de hellingshoek α.

α Fz Figuur 51

Fn

B

Fw,l

De steilheid van een helling kun je weergeven met de hellingshoek α of met het hellingspercentage.

Fvw

Fw,r

De component van de zwaartekracht langs de helling verhoudt zich tot de zwaartekracht als de sinus van de hellingshoek.

Krachtcomponenten bij beweging Fiets je een helling op, dan werken de voorwaartse kracht, de rolweerstand en de luchtweerstand evenwijdig aan de bewegingsrichting. De normaalkracht staat lood­ recht op de helling en dus op de bewegingsrichting. Alleen de zwaartekracht staat schuin op de bewegingsrichting (zie figuur 52a). De zwaartekracht wordt daarom eerst ontbonden in twee componenten (zie figuur 52b). In de richting loodrecht op de beweging is de nettokracht nul, doordat de normaalkracht steeds even groot is als de component van Fz loodrecht op de helling. In de bewegingsrichting kan er wel een nettokracht zijn. In dit voorbeeld zijn er drie krachten naar achteren en één kracht naar voren (zie figuur 52c). De resulterende kracht bereken je dan met:

Fz Figuur 52a

Fz,x

Fz

Fnetto = Fvw − Fw,r − Fw,l − Fz,x Fz,y

Figuur 52b

Fw,l

Fw,r

Fz,x

Fvw

Het ontbinden van een kracht in twee componenten is dus een parallellogram­ constructie, maar dan in omgekeerde volgorde. De groottes van de componenten bepaal je door in een tekening de krachten op schaal op te meten en dan terug te rekenen met de schaalfactor. B

Figuur 52c

Bij een rechtlijnige beweging ontbind je alle krachten die schuin op de bewegingsrichting staan in componenten langs de bewegingsrichting en loodrecht daarop.

157

Sport en verkeer 4.4 Schuine krachten Begrijpen

43 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e

Bij een kracht die schuin op de bewegingsrichting staat, zijn beide lood­ rechte componenten kleiner dan de kracht zelf. Hoe steiler de helling, hoe groter de component van de zwaartekracht in de bewegingsrichting. Hoe steiler de helling, hoe groter de component van de zwaartekracht loodrecht op de bewegingsrichting. Loodrecht op de bewegingsrichting is de nettokracht altijd nul (bij een beweging in rechte lijn). De twee krachtcomponenten hebben samen hetzelfde effect als de ene oorspronkelijke kracht.

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

44 Een wielrenner is bezig met een afdaling van een berghelling met een ­ ellingshoek van 10°. Daarbij houdt hij zijn benen stil en hij remt ook niet, dus h hij oefent zelf geen kracht uit. De massa van de fiets met wielrenner is 80 kg. a Geef aan welke vier krachten er werken op de wielrenner. b Geef aan welke kracht schuin op de bewegingsrichting staat. c Geef aan welke krachtcomponent door de normaalkracht wordt opgeheven. d Met welke kracht(component)en kun je hier de nettokracht berekenen? Vul aan: Fnetto = …… e Leg uit welke kracht(componenten) je niet kunt berekenen met alleen bovenstaande gegevens.

45 Leg met twee tekeningen uit dat je harder moet trappen om tegen een steilere helling op te fietsen. Teken in de figuren de zwaartekracht en de component van de zwaartekracht langs de helling.

46 Op een afdalende skiër, zoals in figuur 47 en 48, werken behalve de zwaar­ tekracht nog drie krachten: de normaalkracht, de schuifwrijving en de lucht­ weerstand. a Leg in je eigen woorden uit waarom het handig is de zwaartekracht te ont­ binden in twee componenten: één in de bewegingsrichting en één lood­ recht daarop. b Geef aan welke component wordt opgeheven door de normaalkracht: Fz,x of Fz,y? α

47 T Nora schommelt. Haar broer heeft haar aangeduwd en nu zwaait ze heen en weer. Zie figuur 53. Samen met het schommelplankje heeft Nora een massa van 40 kg. Nora zwaait naar rechts. a Teken in de figuur de richting van de snelheid van Nora. b Teken in de figuur de zwaartekracht op Nora plus schommelplank. Kies zelf een krachtenschaal. c Teken met behulp van een rechthoek de twee krachtcomponenten van de zwaartekracht (in de bewegingsrichting en loodrecht daarop). d Teken (op schaal!) de spankracht in het schommeltouw. e Leg uit wat voor soort beweging Nora uitvoert op het moment van de figuur.

Figuur 53

158

BeheerSen 4.4 Schuine krachten Sport en verkeer

48 T De trekschuit van Jaap vaart rechtuit door het kanaal. Zie figuur 54. Joop loopt langs de kant en trekt met het touw de boot met constante snelheid voort. Jaap zit aan het roer en houdt de boot in het midden van het kanaal door van de kant af te blijven sturen. a Teken in deze figuur de kracht van het touw op de boot. b Leg uit waardoor Jaap van de kant af moet sturen om de boot in het mid­ den van het kanaal te houden. c Laat met behulp van je tekening zien dat Jaap minder hoeft bij te sturen als Joop een heel lang touw gebruikt.

Figuur 54

49 Bij een steile klim moet een fietser hard trappen. a b c d

Fz,x

Maak een tekening van een helling met een hellingshoek van 30° en ga met een rechthoekige driehoek na dat het hellingspercentage 58% is. Construeer in deze tekening de zwaartekracht op een fietser + fiets van 75 kg. Neem daarvoor een schaal van 1 cm ≙ 100 N. Construeer de component van de zwaartekracht langs de helling. Bepaal uit je tekening de grootte van de component van de zwaartekracht langs de helling.

BeheerSen Krachtcomponenten berekenen

α

De component van de zwaartekracht langs de helling bereken je met de zwaarte­ kracht en de sinus van de hellingshoek:

α

Fz, x

sin(α) = ___ → Fz, x = Fz · sin(α) Fz

Fz Figuur 55 De krachtcomponent langs de helling kun je berekenen met Fz en sin(α).

De component van de zwaartekracht loodrecht op de helling bereken je met de zwaartekracht en de cosinus van de hellingshoek: Fz, x cos(α) = ___ → Fz, x = Fz · cos(α) F z

Deze gelijkheden gelden niet alleen voor een helling. In elke situatie waarin een kracht kan worden ontbonden in twee loodrechte componenten kun je die twee com­ ponenten bepalen met behulp van sinus en cosinus. Als van een helling de hellings­ hoek of het hellingspercentage niet bekend is, kun je de twee componenten bepalen met een tekening van de krachten op schaal.

α α

Fz

Fz,y

Figuur 56 De krachtcomponent loodrecht op de helling kun je berekenen met Fz en cos(α).

Sport en verkeer 4.4 Schuine krachten Beheersen

VO O R B EE L D O PG AV E 7 Een skispringer van 70 kg glijdt van een schans met een helling van 55%. De glij­ weerstand tussen zijn ski’s en de schans is 30 N. Vraag: a Bereken de hellingshoek van de helling. b Bereken de zwaartekracht langs de helling. c Bereken de aanvankelijke versnelling van de skispringer. Antwoord: a tan(α) = 0,55 → α = 28,8° b Fz = m · g = 9,81 × 70 = 687 N en voor de krachtcomponent langs de helling Fz,x

​  F ​​ → Fz,x = Fz ·​ sin​(α)​= 687 × sin​(28,8°)​= 331 N​. Nog zonder geldt ​sin​(α)​ = ___ z

c

luchtweerstand: Fnetto = 331 – 30 = 301 N F  ​ = ___ Zonder luchtweerstand geldt dan: a = __ ​​  m ​ 301  ​​= 4,3 m/s2 70

VO O R B EE L D O PG AV E 8 Een skispringer ondervindt minder glijweerstand van de sneeuw naarmate de ­normaalkracht kleiner is. Vraag: Bereken de normaalkracht van een skiër van 70 kg op een helling met een hoek van 70°. Antwoord: De normaalkracht is even groot als de component van de zwaartekracht Fz,y

­loodrecht op de helling. Er geldt: ___ ​​  F ​ = cos​(70°)​ = 0,34​. De normaalkracht is dus z

34% van de zwaartekracht. Fn = 0,34 × 70 × 9,81 = 233 N.

50 De paragraafvraag is: Hoe bepaal je het effect van een kracht die schuin staat op de (mogelijke) bewegingsrichting van het voorwerp? Wat is het antwoord op deze vraag?

51 Een eenvoudige waslijn is niet zo heel erg sterk. Als je er te hard aan trekt, kan hij knappen. Leg uit dat het daarom beter is de waslijn niet strak te spannen, maar een beetje los te laten hangen. Maak in je uitleg ten minste gebruik van de volgende begrippen: zwaartekracht, spankracht in het touw en componen­ ten van een kracht. Geef je uitleg ook weer in twee schetsen (strakke waslijn en niet-strakke waslijn).

52 Klaas fietst op een vlakke weg met 20 km/h. Bij die snelheid is de totale tegen­ werkende kracht 15 N. Klaas heeft samen met zijn fiets een massa van 90 kg. Hij komt een helling tegen met een hellingshoek van 12° en wil met dezelfde snelheid naar boven rijden. a Bereken de zwaartekracht op Klaas plus fiets. b Bereken hoe groot de zwaartekracht langs de helling is. c Bereken de voorwaartse kracht die Klaas moet leveren, als hij met 20 km/h de helling van 12° op wil fietsen.

159

160

BeheerSen 4.4 Schuine krachten Sport en verkeer

53 T Een gewichtje aan een touw wordt opzij getrokken (zie figuur 57). Het α

N

d

Fz

gewicht van 2,5 N is in de figuur getekend. Op het punt waar het gewicht opzij wordt getrokken werken drie krachten: de zwaartekracht, de kracht opzij en de spankracht van het touw. a Teken in de figuur de twee andere krachten met een omgekeerde parallellogramconstructie. b Bepaal de kracht waarmee het touw opzij wordt getrokken. Het is mogelijk de spankracht te ontbinden in een horizontale en een verticale component. c Leg uit welke kracht even groot is als de verticale component van de span­ kracht.

Figuur 57

54 T In figuur 58b zie je een bovenaanzicht van de plank en het zeil van de plank­ zeiler van figuur 58a. De wind oefent via het zeil een kracht uit op de plank. De plankzeiler houdt het zeil vast. In figuur 58b is de uiteindelijke kracht op de zeilplank (van het zeil plus de zeiler) getekend. a Ontbind in de figuur de kracht in twee componenten (in de bewegings­ richting en loodrecht daarop). De component van de windkracht dwars op de bewegingsrichting is veel groter dan de component in de bewegingsrichting. Toch gaat de zeilplank vooral vooruit, omdat onder de plank een vin bevestigd is. b Leg uit hoe dat kan. Alle zeilboten ‘verlijeren’ een beetje. Dat betekent dat de boot niet precies rechtdoor vaart maar een kleine afwijking heeft naar de lijzijde (de kant van de boot waar de wind niet op staat). c Leg uit waardoor zeilboten verlijeren. Figuur 58a Zijaanzicht van plankzeiler

Figuur 58b Bovenaanzicht van plankzeiler met dwarswind

55 Speedskiërs suizen op lange ski’s en in supergestroomlijnde kleding van steile hellingen. Op een helling met een hellingshoek van 62° is een constante snel­ heid gehaald van wel 250 km/h. a Construeer een tekening met een hellingshoek van 62°. Teken de zwaarte­ kracht op een skiër van 80 kg met een schaal van 1 cm ≙ 100 N. b Bereken de maximale versnelling van de speedskiër op deze helling. c Leg uit waardoor de versnelling tijdens de afdaling afneemt. Voor de luchtweerstand op de skiër geldt Fw,l = k · v 2. Hierin is v de snelheid in m/s. De schuifwrijving wordt in deze opgave verwaarloosd. d Bereken de waarde van k voor de speedskiër. Door de gestroomlijnde kleding van de speedskiër is zijn luchtweerstand 40% kleiner dan die bij een normale skiër. e Bereken de constante snelheid die een normale skiër op deze helling haalt. Bereken daartoe eerst de waarde van k voor een normale skiër.

161

Sport en verkeer 4.4 Schuine krachten BeheerSen

56 T Tijdens het opstijgen beweegt een vliegtuig in een rechte lijn schuin omhoog. De hellingshoek bedraagt bij het opstijgen 18°. In figuur 59 is de stuwkracht van de motoren getekend. De totale stuwkracht van de motoren is 2,0 · 106 N. Verder werken er op het vliegtuig de zwaartekracht, de lucht­ weerstand en de liftkracht (loodrecht op de vleugel). De massa van het vlieg­ tuig is 4,0 · 105 kg. a Bepaal de krachtschaal in de figuur op het tekenblad. b Teken de zwaartekracht op het vliegtuig met hetzelfde aangrijpingspunt en op dezelfde schaal als de stuwkracht. c Ontbind in de figuur op het tekenblad de zwaartekracht in twee compo­ nenten (in de bewegingsrichting en loodrecht daarop). d Bepaal de grootte van Fz,x (de component in de bewegingsrichting). e Leg uit dat de liftkracht even groot is als de component van de zwaarte­ kracht loodrecht op de vliegrichting. Het vliegtuig ondervindt in de vliegrichting een luchtweerstand van 0,5 · 106 N. f Leg uit of het vliegtuig in deze situatie versnelt of al met constante snelheid vliegt.

Figuur 59

57 T Oversteken door langs een kabel naar beneden te glijden aan een katrol, heet tokkelen. Op het tekenblad staan tekeningen waarmee je de volgende vragen kunt beantwoorden. a Leg uit dat die kabel niet kaarsrecht gespannen kan blijven tijdens de over­ steek, maar dat er een knik in zit. b Leg uit dat de versnelling in het begin van de tocht het grootst is. c Leg uit dat het laatste deel van de tocht van A naar B vertraagd is.

Figuur 60 Tokkelen

Oefenen B Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 4.2 t/m 4.4 begrepen hebt.

A A P

Fz,x B

Fz

B

Fz,x Q

Fz Figuur 61 Tokkelen

162

Sport en verkeer

4.5

Verdieping

Luchtweerstand op de fiets Fiets je met windstil weer met snelheid v, dan ervaar je als luchtweerstand:

Fw,l = k · v2 Hierin is Fw,l de luchtweerstand (in N), k de luchtweerstandscoëfficiënt (in N · s2/m2) en v de snelheid (in m/s). De constante k in deze formule is voor een gemiddelde fietser op een gemiddelde fiets ongeveer 0,20 N · s2/m2. De v in de formule is de snelheid (in m/s) waarmee je door de lucht beweegt. Deze snelheid is hetzelfde als de snelheid van de fiets zolang het niet waait. Maar als het wel waait, houd je ook rekening met de windsnelheid.

VOOrBeeLD: pArALLeLOgrAMCOnSTrUCTie Een rivier is 180 m breed en het water stroomt overal in de rivier met 1,0 m/s (zie figuur 62). Een bootje met een snelheid van 1,8 m/s steekt vanuit punt A over, waarbij de stuurman de boot de hele tijd dwars op de stroom houdt. De oversteek duurt dan 100 s. In die tijd drijft de boot 100 m met het water in de rivier mee en komt in punt C aan de overkant. De boot heeft dan de afstand AC afgelegd in 100 s. Volgens de stelling van Pythagoras is de ___________ afstand AC = √ (1802 + 1002) = 206 m zodat de netto snelheid 2,06 m/s is. Die snelheid vnetto vind je ook als je een parallellogramconstructie uitvoert met de vaarsnelheid en de stroomsnelheid. In dit geval is het parallellogram een rechthoek en kun je de netto snelheid dus ook uitrekenen met ___________ Pythagoras: v = √ (1,802 + 1,002) = 2,06 m/s.

B

100 m

C

1,8 m/s vnetto

1,0 m/s

1,0 m/s A

Figuur 62

180 m

rijwind Rijwind is de wind die je voelt als het niet waait. Fiets je bij windstil weer met een snel­ heid van 4 m/s, dan beweeg jij door de lucht met 4 m/s. Dat voelt precies hetzelfde als wanneer jij stil staat en er tegenwind is van 4 m/s is. De rijwind is dus even groot als de rijsnelheid, maar tegengesteld gericht.

Wind mee of wind tegen Fiets je met een snelheid van 4 m/s en komt de wind van achteren met een wind­ snelheid van 3 m/s, dan beweeg je met een snelheid van 1 m/s door de lucht. Maar komt de wind van voren met een snelheid van 3 m/s, dan beweeg je met een snelheid van 7 m/s door de lucht.

Snelheden samenstellen. Voor het het samenstellen van snelheden in verschillende richtingen, kun je de parallelo­ gramconstructie gebruiken, precies zo als bij krachten. Zie het voorbeeld met figuur 62.

Dwarswind betekent tegenwind Je zou misschien denken dat je van dwarswind geen last hebt en ook geen voordeel. Maar dat klopt niet. Dwarswind werkt altijd een beetje tegen. Dat lijkt vreemd maar dat komt door het kwadraat van de snelheid in de formule van de luchtweerstand. Als de wind recht van opzij komt, lijkt tijdens het fietsen de wind schuin van voren te komen. De snelheid van de lucht ten opzichte van jou is de som van de twee snel­ heidsvectoren vdwarswind en vrijwind. De luchtsnelheid die je als fietser met dwarswind ondervindt, is de nettosnelheid van de rijwind en de windsnelheid. Als je bijvoorbeeld met 4 m/s fietst en er waait dwarswind loodrecht op de weg met een snelheid van 3 m/s, dan moet je die twee snelheden met een parallellogram samenstellen om de netto­luchtsnelheid van 5 m/s te vinden (zie figuur 63). Omdat de dwarswind lood­ recht op de bewegingsrichting staat, kun je de netto­luchtsnelheid ook met Pythago­ __________ ras uitrekenen: vlucht,netto = √ (3,02 + 4,02) = 5,0 m/s. De luchtweerstand Fw,l = k · (vlucht,netto)2 is de kracht die door de lucht uitgeoefend wordt. Die kracht werkt dus in de bewegingsrichting van de lucht en dat is de richting van vlucht,netto (zie figuur 64). De voortstuwende kracht op de fiets Ftrap is in de richting van de snelheid van de fiets. De derde kracht, die er moet zijn omdat er evenwicht is bij constante snelheid, wordt geleverd doordat je een beetje scheef hangt naar de wind toe. Daardoor krijgen de banden wrijving met de weg in de dwarsrichting: Fdwars. De kracht waarmee je moet trappen is dus even groot als de nettokracht van de luchtweerstand en de dwarskracht. Hieruit blijkt dat de benodigde voorwaartse kracht bij constante snelheid groter is met dwarswind dan zonder dwarswind.

163

Sport en verkeer 4.5 Verdieping

Ftrap

v fiets=  m/s v fiets

Fdwars

vdwarswind =  m/s

vdwarswind

α

vrijwind =  m/s

vrijwind

vlucht, netto =  m/s

V lucht, netto

Fw, l , achteruit Figuur 63

Fw, l

Figuur 64

VO O r B e e L D : T r A p p e n M e T DWA r SW i n D Situatie 1: Els fietst met een snelheid van 8,0 m/s en het waait niet. Dan geldt: Fw,l = 0,20 · (vlucht,netto)2 = 0,20 × 8,02 = 13 N Situatie 2: Els fietst met een snelheid van 8,0 m/s en er is dwarswind met een snelheid van _______ vdwarswind = 6,0 m/s. Dan is vlucht,netto = √ (8,02 + 6,02) = 10 m/s. Voor de luchtweerstand vind je dan: Fw,l = 0,20 · (vlucht,netto)2 = 0,20 × 102 = 20 N In figuur 64 zie je dat de verhouding tussen Fw,l,achteruit en Fw,l dezelfde is als de verhouding 8 tussen vrijwind en vlucht,netto. In dit voorbeeld is die verhouding __ en dus is in dit voorbeeld: 10 8 __ Fw,l,achteruit = 10 × 20 = 16 N Els moet nu met 16 N trappen. Dat is 3 N meer dan de 13 N die ze zonder dwarswind moet trappen (zie figuur 65).

58 Een wielerclub heeft zijn eigen clubrecordlijst. Het gaat om een recht traject van 10 km dat je zo snel mogelijk heen en terug moet fietsen. Er is in de club soms discussie over voor­ en nadeel van wind. a Een nieuw lid van de club beweert dat wind in de richting van het traject niet uit maakt. Je hebt dan immers de helft van het traject voordeel van wind mee en de andere helft nadeel van wind tegen. Leg uit waarom deze nieuweling geen gelijk heeft. b Een andere jongeling zegt dat wind in de richting van het traject dan mis­ schien altijd ongunstig is, maar dat wind dwars op het traject hem niet deert. De recordhouder zegt daarop dat hij zijn record alleen gaat verdedi­ gen als het windstil is. Leg uit waarom de recordhouder gelijk heeft.

α

Fw, l Fw, l , achteruit Figuur 65

164

4.5 Verdieping Sport en verkeer

59 Rik is een geoefende zwemmer. Hij kan tamelijk precies met een snelheid van

B

D

C

1,0 m/s

200 m

A

Figuur 66

1,5 m/s zwemmen. Hij staat nu op de oever van een rivier die 200 m breed is en die stroomt met een snelheid van 1,0 m/s. Rik duikt bij A in het water en zwemt naar de overkant (zie figuur 66). a Als Rik dwars op de stroomrichting blijft zwemmen, komt hij in C aan. Bereken hoe ver punt C van punt A af ligt. b Laat met een tekening op schaal en/of berekening zien dat de nettosnel­ heid van Rik ten opzichte van het land 1,8 m/s is, als hij van A naar C over­ steekt. Als Rik recht over wil zwemmen van A naar B, moet hij schuin tegen de stroom in zwemmen. c Laat met een tekening op schaal en/of een berekening zien dat Rik er 3,0 minuten over doet om van A naar B te zwemmen. d Rik zwemt dit keer dwars op de stroomrichting naar de overkant, zodat hij in C aankomt en vervolgens van C naar B zwemt. Bereken hoe lang Rik er nu over doet om van A naar B te komen. Punt D ligt 100 m stroomopwaarts van B. e Laat met een tekening op schaal zien dat Rik voor de rechtstreekse over­ tocht van A naar D ruim 5 minuten nodig heeft. (Tip: gebruik een passer en een geodriehoek.)

60 Klaas fietst twee keer zo hard als Els uit het voorbeeld. Verwaarloos hierbij de rolweerstand. a Bereken de trapkracht van Klaas als het niet waait. Verwaarloos de rol­ weerstand b Laat met een berekening zien dat Klaas 3,4 N harder moet trappen bij een dwarswind van 6,0 m/s. Bram fietst twee keer zo langzaam als Els. c Laat met een berekening zien dat Bram 2,6 N harder moet trappen bij een dwarswind van 6,0 m/s dan bij windstil weer. d Laat met een berekening zien dat zwakke fietsers relatief het meeste last hebben van dwarswind.

61 In racehouding heeft wielrenster Els samen met haar fiets voor k in de formule voor luchtweerstand een waarde van 0,15 N · s2/m2. Haar fiets heeft een rol­ weerstand van 3,0 N en de maximale trapkracht die Els een half uur vol kan houden is 18 N. a Bereken de maximale snelheid die Els een halfuur vol kan houden als het niet waait. b Bereken de maximale snelheid die Els een halfuur vol kan houden als ze wind mee heeft met een windsnelheid van 6,0 m/s. c Bereken de maximale snelheid die Els een halfuur vol kan houden als ze wind tegen heeft met een windsnelheid van 6,0 m/s. d Bereken de maximale snelheid die Els een halfuur vol kan houden als de wind loodrecht op de weg waait met een windsnelheid van 6,0 m/s. e Bereken de maximale snelheid die Els een halfuur vol kan houden als ze wind tegen heeft met een windsnelheid van 12 m/s.

165

Sport en verkeer

4.6

Afsluiting

HOOFDSTUKVRAAG EN SAMENVATTING 62 De hoofdstukvraag is: Hoe werken krachten samen en hoe bepaal je de rich­ ting en de grootte van de nettokracht? a Geef een uitgebreid en compleet antwoord op deze vraag. b Welke situaties van evenwicht van krachten kun je met deze theorie verklaren?

63 Maak een samenvatting van dit hoofdstuk door antwoord te geven op de vol­ gende vragen. a Welke verschillende soorten krachten ken je? Noem er minimaal vijf en geef ook beschrijvingen. b Hoe bereken je de zwaartekracht? c Hoe bereken je de luchtweerstand? d Hoe stel je twee of drie krachten samen? Teken een voorbeeld. e Wat is een nettokracht en waarom wil je die kunnen bepalen? f Wat zijn componenten van een kracht en waarom wil je die kunnen bepalen? g Wanneer en waarom splits je een schuine kracht in twee loodrechte com­ ponenten? h Wat is een parallellogramconstructie? Teken een voorbeeld. i Waarom teken je krachten op schaal? j Welk verband is er tussen de nettokracht en de beweging? Wat is de formule? k Hoe luiden de drie wetten van Newton? l Wat is het verschil tussen zwaartekracht en gewicht? m Wat wordt bedoeld met het begrip traagheid? n Wat wordt bedoeld met actie­ en reactiekrachten?

einDOpgAVen 64 T Een gewichtje aan een touw wordt opzij getrokken (zie figuur 67). De

Begrippenkaart Ga na of je van elk begrip goed weet wat het betekent. Formules, grootheden en eenheden Kies bij elk symbool in de formule de naam van de grootheid en de eenheid. Vermeld in welke situatie(s) de formule gebruikt wordt. Samenvatting Bestudeer de samenvatting.

Zelftoets Test je kennis over dit hoofdstuk.

Keuzeonderwerpen 1 Zweefvliegen 2 Rollen 3 Topspin 4 Gyroscoop en discuswerpen

zwaartekracht van 2,5 N is in de figuur getekend. Op het punt waar het gewicht opzij wordt getrokken, werken drie krachten: het gewicht, de kracht opzij en de spankracht van het touw. a Teken in de figuur met behulp van de omgekeerde parallellogrammethode de spankracht en de kracht naar opzij. b Bepaal de spankracht Fs in het touw en de kracht F1 waarmee het touw opzij wordt getrokken. c Bereken met behulp van Fs en F1 de hoek α tussen het touw en de verticaal.

65 Een atleet stoot een kogel van 6,0 kg weg onder een hoek van 43° met de grond. Uit een filmanalyse blijkt dat de kogel vlak voor het loslaten in een rechte lijn bewoog en een versnelling had van 11 m/s2. a Bereken hoe groot de nettokracht is geweest vlak voor het loslaten. b Maak een tekening op schaal van de nettokracht en de zwaartekracht. c Bepaal uit jouw tekening van vraag b de grootte en de richting van de spierkracht van de atleet vlak voor het loslaten. Figuur 67

166

4.6 Afsluiting Sport en verkeer

66 De wedstrijdbaan van een speedskiër heeft een helling van 70% en is zeer goed geprepareerd, zodat wrijving met de sneeuw verwaarloosbaar is. a Geef nog een andere oorzaak, behalve de sneeuwpreparatie, waardoor de wrijving met de sneeuw heel gering is. Het record van een man (80 kg inclusief pak, helm en ski’s) staat op 250 km/h. b Bereken de waarde van k voor deze speedskiër in de vereenvoudigde for­ mule voor de luchtweerstandskracht.

m1 47°

22°

m2 Figuur 68

67 Een hanglamp hangt aan twee draden. Elke draad loopt over een wrijvingsloze katrol en wordt op spanning gehouden door een ijzeren blok m. De massa van m1 = 3,0 kg en de massa van m2 = 2,2 kg. Zie figuur 68 voor de groottes van de hoeken. a Schets de twee spankrachten die op de lamp werken. Teken voor beide krachten de krachtcomponenten in horizontale en verticale richting. b Laat met een berekening met een sinus zien dat de hanglamp een massa heeft van 3,0 kg. c Laat met een berekening met een cosinus zien dat er horizontaal evenwicht is. De lamp wordt verzwaard door er 0,3 kg middenonder aan te hangen. d Leg uit dat de lamp een eindje zakt en dan weer in evenwicht komt te hangen.

68 Omdat de weg voor hen vrijgemaakt is, durven professionele wielrenners in de Tour de France met heel hoge snelheid steile bergwegen af te dalen. Ze doen dat door over hun stuur te gaan hangen, zodat hun frontale oppervlakte A zo klein mogelijk wordt. Gewone fietstoeristen kunnen dat natuurlijk beter niet doen en rechtop blijven zitten. Hoeveel zou het schelen in snelheid, als je over je stuur gaat hangen tijdens een afdaling van 8,0%? Neem als voorbeeld een fietstoerist met een massa van 75 kg, inclusief fiets. De cw­waarde is 0,80, de frontale oppervlakte is 0,30 m². Neem voor de rolweerstand een kracht van 3,0 N. a Bereken de component van de zwaartekracht langs de helling. b Bereken de luchtweerstand die een fietstoerist ondervindt als hij met con­ stante snelheid afdaalt. c Bereken de snelheid waarmee deze fietstoerist de helling af rijdt. Door over het stuur te gaan hangen vermindert de fietstoerist zijn frontale oppervlakte tot 0,24 m². De cw­waarde wordt 0,70. d Bereken de constante daalsnelheid van de fietstoerist in voorovergebogen houding.

167

Sport en verkeer 4.6 Afsluiting

69 T De Amerikaan Steve Fossett heeft in 2005 in een speciaal vliegtuig, de ­ lobalflyer (zie figuur 69), een vlucht rond de wereld gemaakt. Het bijzondere G aan deze vlucht was dat onderweg geen enkele keer werd bijgetankt. Op één tank werd de wereld rondgevlogen in 67 uur, 1 minuut en 46 seconde. Daarbij legde het vliegtuig een afstand van 19 880 zeemijl af. a Bereken de gemiddelde snelheid, in km/h, van de Globalflyer tijdens zijn vlucht rond de wereld. → Tijdens de vlucht werkten drie krachten op het vliegtuig: de zwaartekracht ​F ​z​, → → de stuwkracht van de motor ​F m ​ otor​ en de kracht ​​ F ​lucht​ die de lucht op het → → vliegtuig uitoefende. In figuur 70 zijn de krachten F ​ z​ ​ en F ​ m ​ otor​ als vectoren weergegeven op een moment dat het vliegtuig met constante snelheid op een constante hoogte vloog. → b Construeer in de figuur de kracht F ​ l​ucht​.

Figuur 69 Globalflyer

Fmotor

70 Bij de attractie Space Shot in Walibi zit je op een stoel in een shuttle die recht omhoog afgeschoten wordt. Na de lancering volgt een vrije val. Evrim en Teun meten tijdens de beweging de versnelling met een versnellingssensor. Uit hun metingen blijkt dat de versnelling waarmee de shuttle omhoog gaat, bij het begin van de lancering 29 m/s2 is. Tijdens het versnellen oefent de stoel waarop Teun zit een kracht omhoog uit. De massa van Teun is 70 kg. a Benoem de kracht omhoog. b Bereken de grootte van de kracht omhoog op Teun. c Bereken nu het gewicht van Teun. Geef het antwoord als percentage van de zwaartekracht op Teun. Tijdens de vrije val werkt alleen de zwaartekracht op Teun en de stoel. De luchtweerstand wordt verwaarloosd. d Bereken de versnelling die Evrim en Teun meten tijdens de vrije val. e Leg uit dat de versnelling tijdens het laatste deel van de beweging omhoog gelijk is aan de versnelling tijdens de vrije val. f Bereken het gewicht van Evrim tijdens de vrije val.

Fz Figuur 70

Figuur 71 Space Shot

168

Leerdoelen en begrippen Sport en verkeer

Leerdoelen en begrippen Ga voor jezelf na of je de leerdoelen al hebt bereikt. Vink de leerdoelen die je hebt bereikt af en geef aan wat je gaat doen met de uitleg en opdrachten waarmee je nog moeite hebt.

PA R AGR A A F 4 .2 S O O RT EN K R AC H T EN Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: kracht, wisselwerking, aangrijpingspunt, vectorgrootheid, krachtenschaal, spierkracht, veerkracht, veerconstante, spankracht, zwaartekracht, valversnelling, zwaartepunt, gewicht, normaalkracht, actiekracht, reactiekracht, (maximale) schuifwrijvingskracht, wrijvingscoëfficiënt, rolweerstand, luchtweerstand, luchtweerstandscoëfficiënt, derde wet van Newton.

de grootte van een in een tekening of foto weergegeven kracht bepalen met de krachtenschaal.

krachten tekenen in een constructietekening, rekening houdend met aangrijpingspunt, richting en krachtenschaal.

beschrijven van welke factoren de volgende krachten afhangen: veerkracht, zwaartekracht, schuifwrijvingskracht, rolweerstand en luchtweerstand.

uitleggen welke richting de spankracht, de normaalkracht en de schuifwrijvingskracht hebben.

uitleggen hoe gewicht, zwaartekracht en normaalkracht met elkaar samenhangen.

beschrijven hoe de krachten die twee voorwerpen bij een wisselwerking op elkaar uitoefenen met elkaar overeenkomen en van elkaar verschillen.

berekeningen maken en redeneren met de derde → → wet van Newton: ​F ​  ​AB = − ​ F ​BA​.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de zwaartekracht: ​ z = m ∙ g​(met g​ ​= 9,81 N/kg = 9,81 m/s2). F

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de veerkracht: ​Fv = C ∙ u.​

berekeningen maken met de formule voor de maximale schuifwrijvingskracht: F ​ w,s,max = f ∙ Fn​.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de luchtweerstand: ​Fw,l = _​  12 ​ ∙ cw ∙ A ∙ ρ ∙ ​v​​  2​ = k ∙ ​v​​  2​​.

169

Sport en verkeer Leerdoelen en begrippen

PA R AGR A A F 4.3 K R AC H T EN SA M EN S T E L L EN Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: samenstellen van krachten, somkracht, parallellogramconstructie, werklijn, omgekeerde parallellogramconstructie.

uitleggen wanneer het gevolg van een kracht niet verandert bij het verschuiven van de kracht.

met een parallellogramconstructie de nettokracht construeren bij twee of meer krachten met verschillende werklijnen.

met een parallellogramconstructie een of twee onbekende krachten construeren bij een krachtenevenwicht van drie krachten.

met een omgekeerde parallellogramconstructie de twee krachten construeren als de werklijnen en de somkracht bekend zijn.

de grootte en richting van de resulterende kracht berekenen met de stelling van Pythagoras en een goniometrische formule bij twee onderling loodrechte krachten.

berekeningen maken en redeneren met krachten in situaties waarin een voorwerp in rust is of met een → constante snelheid beweegt (dus: als ​​ F ​res = 0​) of waarin een voorwerp versneld of vertraagd beweegt → → (dus: als F ​ ​ ​res = ​∑ i​​  F a ​  ​​). ​  ​i​ = m ∙ →

PA R AGR A A F 4.4 S C H U INE K R AC H T EN Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: ontbinden van een kracht, krachtcomponenten, krachtenrechthoek, hellingshoek, hellingspercentage. de componenten van een schuine kracht in de (mogelijke) bewegingsrichting en in de richting loodrecht daarop construeren met een krachtenrechthoek.

de grootte van de krachtcomponenten in twee onderling loodrechte richtingen berekenen met goniometrische formules: Fx = F ∙ sin(α) en Fy = F ∙ cos(α).

5

Straling en gezondheid Ioniserende straling

5.1

Introductie

171

5.2

Röntgenstraling

173

5.3

Kernstraling

181

5.4

Radioactief verval

190

5.5

Stralingsbelasting

200

5.6

Beeldvorming

209

5.7

Verdieping

220

5.8

Afsluiting

223

Leerdoelen en begrippen

228

171

Straling en gezondheid

5.1

Introductie

Bij het woord ‘straling’ denk je waarschijnlijk aan röntgenstraling en straling van radioactieve stoffen (kernstraling), en misschien aan gevaar. Röntgen- en kernstraling worden uitgezonden door een stralingsbron en worden geabsorbeerd door een ontvanger (zie figuur 1). BRON

STRALING

Start Maak de vragen bij Start.

ONTVANGER levende cel

röntgenstraling

röntgenfotofilm

röntgenapparaat digitale röntgencamera

levende cel

α k

ng ernstrali

kernstra

radioactieve bron

telbuis

β

α

ling γ

β levende cel

gammacamera

Figuur 1 Bron, straling en ontvanger

In het ziekenhuis worden röntgen- en kernstraling bij diagnose gebruikt om in het lichaam te kunnen ‘kijken’. Röntgenstraling kan (gedeeltelijk) door het menselijk lichaam heen gaan en zo een (schaduw)beeld geven van het inwendige (zie figuur 2). Kernstraling van een radioactieve stof in het lichaam kan buiten het lichaam worden gedetecteerd. Röntgen- en kernstraling kunnen in het lichaam echter ook cellen beschadigen of doden. Daarom zijn er veiligheidsmaatregelen nodig voor patiënten en medewerkers om de hoeveelheid geabsorbeerde straling zo klein mogelijk te houden. Röntgen- en kernstraling worden ook therapeutisch toegepast. Dan maak je juist gebruik van de schadelijke effecten, bijvoorbeeld om de groei van kankercellen te stoppen of om ze te doden. In de industrie worden röntgen- en kernstraling onder andere gebruikt voor materiaalonderzoek, het steriliseren van instrumenten en het conserveren van voedsel.

h O O F D s T U K V r A Ag Welke eigenschappen maken röntgen- en kernstraling bruikbaar in de gezondheidszorg, en hoe kunnen de risico’s van die toepassingen zo klein mogelijk blijven?

Figuur 2 Bij een botbreuk wordt in het ziekenhuis een röntgenopname gemaakt om een diagnose te stellen.

172

5.1 Introductie Straling en gezondheid

Dit hoofdstuk gaat over de eigenschappen, toepassingen en risico’s van röntgen- en kernstraling: E Wat is röntgenstraling en waardoor is deze straling geschikt voor toepassingen zoals de diagnose van botbreuken en de controle van bagage op vliegvelden? (paragraaf 5.2) E Wat is kernstraling en waardoor is deze straling geschikt voor toepassingen zoals radiotherapie en het stellen van diagnoses? (paragraaf 5.3) E Hoe verandert een instabiele atoomkern bij het uitzenden van kernstraling? (paragraaf 5.4) E Wat zijn de risico’s van röntgen- en kernstraling en hoe kun je daartegen beschermd worden? (paragraaf 5.5) E Hoe werken de verschillende medische beeldvormingstechnieken en wat zijn hun voor- en nadelen? (paragraaf 5.6)

W1 Toepassingen en risico

inLeiDing W2 Atoombouw

uitgestoten elektron

straling

elektron

kern

Figuur 3 Ionisatie van een atoom door straling

Röntgen- en kernstraling worden uitgezonden door de atomen van een stof. Hieronder staan enkele belangrijke begrippen over atoombouw. E Een atoom bestaat uit een kern en elektronen die rond de kern bewegen. De kern bestaat uit protonen en neutronen. E De massa van het proton is vrijwel even groot als die van het neutron. De massa van het elektron is veel kleiner dan die van het proton en het neutron. E Het proton heeft een positieve elektrische lading en het elektron een negatieve. Deze ladingen zijn even groot. Het neutron heeft geen elektrische lading. Het aantal protonen in de kern is gelijk aan het aantal elektronen in het atoom. Daardoor is een atoom elektrisch neutraal. E Een atoom dat er één of meer elektronen bij krijgt of kwijtraakt, verandert in een negatief of positief geladen ion. E Straling met voldoende energie kan een atoom ioniseren: de straling stoot een elektron uit het atoom (zie figuur 3). Röntgen- en kernstraling zijn beide ioniserende straling, want ze hebben voldoende energie om atomen te ioniseren. Ioniserende straling is vanwege het nut en het risico regelmatig ‘in het nieuws’. Voorbeelden zijn de ongelukken met kerncentrales, waarbij radioactieve stoffen vrijkomen: Tsjernobyl in 1986 en Fukushima in 2011.

1

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. Een ion heeft altijd meer elektronen dan protonen in de kern. b Het aantal protonen in de kern is altijd gelijk aan het aantal neutronen. c Röntgenstraling kan een elektron uit een atoom verwijderen. d Alle elektronen hebben dezelfde baan om de kern. e Een ion is positief als het een elektron is kwijtgeraakt. a

2

In een ziekenhuis wordt ioniserende straling gebruikt voor diagnose en therapie. a Leg in eigen woorden uit wat bedoeld wordt met diagnostisch onderzoek. b Geef minstens één voorbeeld van een diagnostisch onderzoek met ioniserende straling. c Leg in eigen woorden uit wat bedoeld wordt met therapeutische toepassing. d Geef minstens één voorbeeld van een therapeutische toepassing van ioniserende straling.

173

Straling en gezondheid

5.2

Röntgenstraling

OnTDeKKen De bekendste toepassing van röntgenstraling is het maken van röntgenopnamen voor de diagnose van botbreuken. Maar röntgenstraling wordt onder andere ook gebruikt voor bagagecontrole op vliegvelden en voor controle van de lading van vrachtwagens en containers in havens.

pA r Ag r A A F V r A Ag Wat is röntgenstraling en waardoor is deze straling geschikt voor toepassingen zoals de diagnose van botbreuken en de controle van bagage op vliegvelden?

Figuur 4 Röntgenscanner voor containers in de haven van Rotterdam

W3 Beeldvorming met röntgenstraling

Begrijpen

Experiment 1: Stralingsintensiteit en

röntgenstraling

absorptie

In 1895 ontdekte Wilhelm Conrad Röntgen bij toeval een nieuwe soort straling, die dwars door verschillende soorten voorwerpen heen ging en fotografische films kon belichten. Hij noemde het ‘X-straling’, waarin X staat voor ‘onbekend’. In het Engels wordt die term nog steeds gebruikt: ‘X-rays’. Wij noemen dit nu röntgenstraling. Röntgenstraling lijkt op licht. Het is energie die met de lichtsnelheid wordt overgebracht. Net als licht bestaat röntgenstraling uit afzonderlijke energiepakketjes, die we fotonen noemen. Bij röntgenstraling hebben de fotonen meer energie dan bij zichtbaar licht, waardoor een groot deel van de fotonen dwars door je lichaam kan gaan. Je kunt je een foton voorstellen als een kort stukje golf (zie figuur 6): een korte elektromagnetische trilling die zich met de lichtsnelheid c van 3,0 · 108 m/s verplaatst. Hoe groter de frequentie f (het aantal trillingen per seconde), des te groter is de energie van het foton. De fotonenergie is evenredig met de frequentie. Röntgenstraling en licht zijn twee vormen van elektromagnetische straling. In figuur 7 staat een overzicht van het hele elektromagnetisch spectrum. AM

KG FM TV

radiogolven

10

0

10

3

microgolven IR

10

6

10

9

10

12

UV

10

15

röntgenstraling gammastraling

10

18

10

21

frequentie (Hz) zichtbaar licht

Figuur 7 Overzicht van het frequentiespectrum en de soorten elektromagnetische straling

Röntgenstraling gaat gemakkelijk door de huid en door zacht weefsel heen. Dat noemen we het doordringend vermogen van de straling. Botten laten röntgenstraling minder goed door, zodat daarachter schaduw ontstaat op een fotografische film die gevoelig is voor röntgenstraling. Tegenwoordig wordt fotografische film bijna niet meer gebruikt, maar zet een digitale röntgencamera de ontvangen röntgenstraling rechtstreeks om in een digitaal (schaduw)beeld.

Figuur 5 Eén van de eerste röntgenfoto’s: de hand (met trouwring) van de vrouw van Wilhelm Conrad Röntgen. Deze foto is een afdruk van Röntgens fotografische negatief.

Figuur 6 Een model van een foton

174

Begrijpen 5.2 Röntgenstraling Straling en gezondheid

Het nadeel van het maken van röntgenopnamen is dat de röntgenstraling die niet door het lichaam heen gaat, schade kan toebrengen aan het DNA in cellen in het lichaam. Die schade ontstaat doordat röntgenfotonen genoeg energie hebben om elektronen uit atomen te kunnen wegstoten en daardoor die atomen te ioniseren (zie figuur 3). Dat noemen we het ioniserend vermogen van de straling. Het doordringend en ioniserend vermogen zijn beide het gevolg van de relatief grote energie per foton van röntgenstraling. B B

B B

Röntgenstraling is een vorm van elektromagnetische straling. Elektromagnetische straling is energie die zich als een stroom fotonen met de lichtsnelheid voortplant. De energie per foton is evenredig met de frequentie van de straling. Door de grote energie van de fotonen kan röntgenstraling diep in een materiaal doordringen en ook atomen ioniseren.

stralingsabsorptie röntgenbuis

Op het negatief van een röntgenfoto zie je donkere en lichte gebieden. Bij de donkere gebieden is er veel straling door het lichaam heengegaan, bij de lichte gebieden is er veel straling niet doorgelaten. Het niet doorlaten van straling noemen we absorptie: de energie van de straling wordt opgenomen in het lichaam. Het doorlaten van straling heet transmissie. Bij de absorptie van röntgenstraling in een materiaal verdwijnt het foton, en wordt de fotonenergie gebruikt om een atoom te ioniseren. De fotonen worden elk apart geabsorbeerd door atomen van het materiaal, het ene foton eerder dan het andere. Daardoor is de absorptie van röntgenstraling nooit volledig, er zijn altijd wel fotonen die door het materiaal heen dringen. Hoe groter de absorptie van röntgenstraling door een materiaal, des te kleiner is de intensiteit van de doorgelaten straling. De intensiteit (symbool: I) van elektromagnetische straling is de hoeveelheid energie E (in J) die in 1 s een dwarsdoorsnede van 1 m2 passeert. De eenheid van intensiteit is dus J/(s · m2). Dit is hetzelfde als W/m2.

Figuur 8 Röntgenfoto maken van de borstkas met röntgenbuis en fotografische film

RÖNTGENOPNAME Bij het maken van een röntgenopname staat de patiënt tussen een röntgenbuis en een digitale röntgencamera. Doordat de botten röntgenstraling absorberen, wordt de stralingsdetector in de ‘schaduw’ van de botten niet of minder belicht. Op de röntgenopname zien de botten er dan wit of lichtgrijs uit. De zachte weefsels laten röntgenstraling voor het overgrote deel door en komen dan in donkergrijs of zwart op de röntgenopname.

Bij de toepassingen van röntgenstraling – zoals diagnose van botbreuken en bagagecontrole op het vliegveld – wordt gebruikgemaakt van de eigenschap dat verschillende materialen de röntgenstraling in verschillende mate doorlaten. De absorptie van röntgenstraling hangt af van het soort materiaal en de dikte van de laag absorberend materiaal. Materiaalsoort – Zacht weefsel laat meer röntgenstraling door dan botten, de absorptie in botten is groter. De absorptie van röntgenstraling is groter in materialen met een grotere dichtheid. In lood bijvoorbeeld is de absorptie groter dan in materialen als beton, aluminium en kunststoffen. Materiaaldikte – Hoe dikker de laag materiaal, des te groter is de absorptie van röntgenstraling en des te kleiner is de intensiteit van de doorgelaten straling (zie figuur 9).

175

Straling en gezondheid 5.2 Röntgenstraling Begrijpen

B

B

B

invallende straling

Röntgenfotonen kunnen in een materiaal geabsorbeerd worden. Daarbij wordt de fotonenergie gebruikt om een atoom van dat materiaal te ioniseren. De stralingsintensiteit I (in W/m2) is de hoeveelheid stralingsenergie die per seconde door een loodrechte oppervlakte van 1 m2 gaat. De absorptie van röntgenstraling in een laag materiaal is nooit volledig. Het doorgelaten percentage van de intensiteit van de invallende straling, de transmissie, hangt af van de materiaalsoort en van de dikte van de laag materiaal.

100%

lood

50%

d = 0,10 mm 100%

halveringsdikte De absorptie van röntgenstraling in een materiaal gaat geleidelijk. Hoe dikker de laag, des te minder straling er doorheen komt. Je kunt je dat voorstellen alsof het materiaal is opgebouwd uit ‘laagjes’. Elk laagje absorbeert bijvoorbeeld de helft van de straling en laat dus ook de helft van de straling door. Na het eerste laagje is er dan 50% van de straling over. Het tweede laagje laat daarvan weer de helft door, zodat er na twee laagjes nog 25% van de straling over is. En na drie laagjes is dat 12,5% (zie figuur 9). De dikte van een laagje dat de helft van de straling doorlaat wordt de halveringsdikte genoemd (symbool: d1/2). Bij materialen die veel straling absorberen is de halveringsdikte klein, bij materialen die veel straling doorlaten is de halveringsdikte groot. Het diagram van figuur 10 geldt voor alle materialen, omdat langs de horizontale as het aantal laagjes, en dus het aantal halveringsdiktes, is weergegeven. Aan deze doorlaatkromme zie je hoeveel straling er wordt doorgelaten.

doorgelaten straling

25%

d = 0,20 mm 100%

12,5%

d = 0,30 mm Figuur 9 De intensiteit van de doorgelaten röntgenstraling hangt af van de dikte van de laag absorberend materiaal.

De halveringsdikte van een materiaal hangt ook af van de energie van de röntgenfotonen: hoe groter de fotonenergie, des te groter de halveringsdikte. Want fotonen met veel energie dringen gemakkelijker door het materiaal heen. Daarom noemen we röntgenstraling met grote frequentie en dus energierijke fotonen wel ‘harde’ röntgenstraling en röntgenstraling met minder hoge frequentie en dus minder energie per foton ‘zachte’ straling. De röntgenstraling wordt harder gemaakt door de elektrische spanning over de röntgenbuis hoger in te stellen. B

B

De halveringsdikte is de dikte van een laag absorberend materiaal waarbij de helft van de röntgenstraling wordt doorgelaten. De halveringsdikte is voor elk soort materiaal verschillend, en hangt bovendien af van de energie per röntgenfoton. De doorlaatkromme laat zien dat de intensiteit van de doorgelaten röntgenstraling telkens gehalveerd is na elk ‘laagje’ met een dikte gelijk aan de halveringsdikte.

intensiteit I (%)

100

De halveringsdikte hangt af van het soort materiaal: lood heeft een kleinere halveringsdikte dan beton (zie figuur 11 en Binas). In het algemeen geldt: hoe groter de dichtheid van een materiaal, des te kleiner is de halveringsdikte. De kans op absorptie van röntgenstraling is namelijk groter naarmate het aantal elektronen in het absorberende materiaal groter is. En in een stof met een grotere dichtheid zijn de atomen zwaarder en is dus ook het aantal elektronen per atoom groter.

75

50

25

0

aantal laagjes 0

1

2

3 4 aantal laagjes

Figuur 10 Doorlaatkromme van een materiaal voor röntgenstraling: de dikte van elk ‘laagje’ is gelijk aan de halveringsdikte. invallende straling

doorgelaten straling

100%

50%

d½ = 0,1 mm lood

invallende straling

doorgelaten straling

100%

50%

d½ = 17 mm beton

Figuur 11 De halveringsdikte hangt af van het soort materiaal.

176

Begrijpen

Begrijpen 5.2 Röntgenstraling Straling en gezondheid

3

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a Röntgenstraling is een vorm van elektromagnetische straling. b Hoe groter de frequentie van elektromagnetische straling, des te groter de energie van de fotonen. c De fotonenergie van ultravioletstraling is groter dan de fotonenergie van röntgenstraling. d Röntgenstraling met een groot doordringend vermogen wordt gemakkelijk geabsorbeerd. e Röntgenstraling met een groot ioniserend vermogen richt veel schade aan in cellen. f Alle soorten elektromagnetische straling richten schade aan in levende cellen. g Hoe groter de absorptie van röntgenstraling door een materiaal, des te kleiner de intensiteit van de doorgelaten straling. h Een loodplaat met een dikte van tweemaal de halveringsdikte absorbeert alle röntgenstraling. i Hoe groter de dichtheid van een absorberend materiaal, des te kleiner de halveringsdikte voor röntgenstraling. j Hoe groter de fotonenergie van de röntgenstraling, des te groter de ­halveringsdikte van het absorberende materiaal voor röntgenstraling.

4

Als astronomen een supernova-explosie ergens in het heelal waarnemen, nemen ze op hetzelfde moment ook andere soorten elektromagnetische ­straling van die explosie waar. Leg uit wat dit zegt over de snelheid van de ­verschillende soorten elektromagnetische straling.

5

Van een massief aluminium blokje en een even groot maar hol aluminium blokje wordt een röntgenopname gemaakt. Maak een globale tekening van die opname.

6

Leg uit welk materiaal röntgenstraling sterker absorbeert: een materiaal met een grote halveringsdikte of een materiaal met een kleine halveringsdikte.

7

Leg uit welk materiaal de grootste halveringsdikte heeft: zacht weefsel of bot.

8

Een metalen plaat heeft een dikte die gelijk is aan tweemaal de halveringsdikte van dat metaal voor röntgenstraling. a Leg uit hoeveel procent van de invallende röntgenstraling wordt door­ gelaten. b Leg uit hoeveel procent van de invallende röntgenstraling wordt geabsorbeerd.

9

De halveringsdikte hangt onder andere af van de dichtheid van het materiaal en van de energie van de fotonen. a Leg uit waardoor stoffen met een grotere dichtheid een kleinere halveringsdikte voor röntgenstraling hebben. b Leg uit of de halveringsdikte toe- of afneemt als de fotonenergie groter wordt.

Maak de opgaven in je boek of online.

177

Straling en gezondheid 5.2 Röntgenstraling Beheersen

B EHEERSEN

VO O R B EE L D O PG AV E 1

Stralingsintensiteit en halveringsdikte De intensiteit van de doorgelaten röntgenstraling neemt af met de dikte van de laag absorberend materiaal. Na elke halveringsdikte is de intensiteit gehalveerd. Om te berekenen hoeveel procent van de invallende straling doorgelaten wordt, kun je figuur 12 gebruiken. In deze tabel is n het aantal ‘laagjes’ met elk een dikte gelijk aan de halveringsdikte. De waarde van n bereken je door na te gaan hoe vaak de halveringsdikte d1/2 van het absorberend materiaal past in de dikte d van de laag materiaal.

Lood heeft een halveringsdikte van 0,10 mm voor bepaalde röntgenstraling. Deze röntgenstraling valt met een intensiteit van 2,5 W/m2 op een loodplaat die 0,45 mm dik is . Vraag: Bereken de intensiteit achter de loodplaat. Antwoord: Bereken eerst het aantal halveringsdiktes n: 0,45

aantal halveringsdiktes n

0

1

2

3

4

5

…

intensiteit I in %

100

50

25

12,5

6,25

3,125

…

Figuur 12

​ = ___ n ​  ​dd​   ​​​ = ____ ​  0,10 ​ = 4,5​ 1/2

Bereken daarmee de intensiteit I: d/​d​  1/2​​

​I = ​I​  0​​ · ( ​​ __​  12 ​)​​​

4,5

​= 2,5 × ​​(__​  21 ​)​​​  ​ = 2,5 × 0,0442

I = 0,11 W / ​m​​  2​​

De afname van de intensiteit kun je ook in formulevorm schrijven. Noem de intensiteit van de invallende röntgenstraling I0. Na bijvoorbeeld drie laagjes geldt dan:

​​ __​  12 ​)​​​  ​. Voor de intensiteit I na n laagjes geldt dus: ​I = ​I​  0​​ · __​  12 ​ · __​  21 ​ · __​  12 ​ = ​I​  0​​ · ( 3

n

I​ = ​I​  0​​ · ( ​​ __​  12 ​)​​​  ​ In deze formule is I de intensiteit van de doorgelaten röntgenstraling en I0 de intensiteit van de invallende röntgenstraling. De stralingsintensiteit wordt meestal opgegeven in de eenheid W/m2, of in procenten zoals in de tabel van figuur 12. Het getal n in de formule is het aantal halveringsdiktes dat past in de dikte d van de laag van het absorberende materiaal. In de voorbeelden tot nu toe is n steeds een geheel getal, maar dat hoeft niet. Precies dezelfde redenering en berekening geldt ook voor het geval n niet een geheel getal is. ​n = ___ ​  d  ​​

VO O R B EE L D O PG AV E 2 Lood heeft een halveringsdikte van 0,10 mm voor bepaalde röntgenstraling. Deze röntgenstraling valt met een intensiteit van 2,5 W/m2 op een loodplaat. Achter de loodplaat is de intensiteit 0,25 W/m2. Vraag: Bereken de dikte van de loodplaat. Antwoord: Bereken eerst de waarde van n (zie bijvoorbeeld 'rekenen met de grafische rekenmachine’): n

n

I​ = ​I​  0​​ · ( ​​ __​  12 ​)​​​  ​→ 0,25 = 2,5 × ​​(__​  12 ​)​​​  ​→ n = 3,3​

Bereken daarmee de dikte d: ​d = n · ​d​  1/2​​ = 3,3 × 0,10 = 0,33 m ​ m

​d​  1/2​​

Algemeen geldt dus: d/​d​  1/2​​

​I = ​I​  0​​ · ( ​​ __​  12 ​)​​​

​

De halveringsdikte van verschillende materialen bij verschillende waarden van de fotonenergie kun je vinden in Binas.

REKENEN MET DE GRAFISCHE REKENMACHINE Bij voorbeeldopgave 2 kun je n berekenen met behulp van Calc → Intersect. De vergelijking n

die opgelost moet worden is: 2​ ,5 × ​​(__​  12 ​)​​​  ​= 0,25​.

Neem Y1 = 2,5*0,5^X en Y2 = 0,25. Je bepaalt

Fotonenergie De energie van een foton hangt af van de frequentie van de straling: hoe groter de ­frequentie, des te groter de fotonenergie. Er geldt:

Ef = h · f In deze formule is Ef de fotonenergie (in J) en f de frequentie van de straling (in Hz). De evenredigheidsconstante h is de zogenaamde constante van Planck, met een waarde van 6,626 · 10−34 J · s.

daarmee de waarde van X in het snijpunt van de functies Y1 en Y2. De gevonden waarde van X is het getal n = 3,3.

178

Beheersen 5.2 Röntgenstraling Straling en gezondheid

Afhankelijk van de ingestelde spanning van het röntgenapparaat kunnen röntgen­ fotonen een energie hebben tussen ongeveer 10−16 J en 10−13 J. Omdat deze hoeveelheden energie heel erg klein zijn, gebruik je vaak een veel kleinere energie-eenheid: de elektronvolt (afgekort: eV). Voor deze energie-eenheid geldt: 1 eV = 1,6 · 10−19 J. In de praktijk geef je de energie van röntgenfotonen op in kilo-elektronvolt (keV) of soms zelfs mega-elektronvolt (MeV): 1 keV = 1 · 103 eV en 1 MeV = 1 · 106 eV. Voor ­röntgenstraling ligt de fotonenergie dus tussen 1 keV en 1 MeV. B

De energie van röntgenfotonen geef je meestal op in de eenheid elektronvolt (eV), waarbij geldt: 1 eV = 1,6 · 10−19 J.

10 De paragraafvraag is: Wat is röntgenstraling en waardoor is deze straling geschikt voor toepassingen zoals de diagnose van botbreuken en de controle van bagage op vliegvelden? Wat is het antwoord op deze vraag?

11 Een metalen plaat laat 25% van de invallende röntgenstraling door. a

Beredeneer hoeveel halveringsdiktes er in de plaat passen. De metalen plaat is 16 cm dik. b Beredeneer hoe groot de halveringsdikte van het metaal voor deze straling is. Daarna wordt röntgenstraling gebruikt met een groter doordringend vermogen. c Beredeneer of de frequentie van die straling groter of kleiner is dan eerst. d Geef aan of de plaat nu meer of minder dan 25% van de straling doorlaat. e Leg uit of de halveringsdikte dan groter of kleiner is.

12 Van een bepaald type weefsel is de halveringsdikte voor bepaalde röntgenstraling 3,7 cm. Bij het maken van een röntgenopname blijkt 12,5% van deze straling door het weefsel te gaan. a Bereken de dikte van het weefsel. b Bereken hoeveel procent van de invallende straling wordt geabsorbeerd door een laag van 7,4 cm. c Bereken hoeveel procent van de invallende straling wordt doorgelaten door een laag van 22,2 cm van dit weefsel.

13 Een bepaalde loodplaat laat 80% van de invallende röntgenstraling door. De halveringsdikte van lood voor deze röntgenstraling is 1,34 cm. a Zoek in Binas de fotonenergie (in MeV) van deze röntgenstraling op. b Bereken de dikte van deze loodplaat. c Controleer de volgende uitspraak met een berekening: ‘Als de dikte van deze loodplaat tweemaal zo groot wordt gemaakt, is de intensiteit van de doorgelaten straling 40% van de intensiteit van de invallende straling.’

179

Straling en gezondheid 5.2 Röntgenstraling Beheersen

14 In figuur 13 zie je van zes verschillende metalen platen de dikte d en de

d = 3 cm

halveringsdikte d1/2 van dat metaal voor röntgenstraling. De intensiteit van de opvallende straling is voor alle platen hetzelfde. a Welke plaat laat de meeste straling door? Leg uit. b Leg uit dat plaat E deze röntgenstraling het best tegenhoudt. c Zet de platen in volgorde, van de plaat die het minst absorbeert tot de plaat die het meest absorbeert. Licht je antwoord toe.

C

d = 2 cm

d=1c

m

B A

15 De halveringsdikte van bot voor bepaalde röntgenstraling ongeveer 2 cm. Bij metingen blijkt dat er na 8,0 cm bot 7,0% van de invallende straling is doorgelaten. a Bereken hoeveel procent van de invallende röntgenstraling er na 8,0 cm bot over is als de halveringsdikte precies 2,0 cm is. b Bereken de werkelijke halveringsdikte van bot voor deze röntgenstraling.

d=3

cm

F d=2

cm E d=1

cm

D

Figuur 13

16 Een röntgenbuis zendt fotonen uit, elk met een energie Ef van 35 keV. a b

Bereken deze fotonenergie Ef in J. Bereken de frequentie f van deze röntgenstraling.

5,0 · 1018 Hz. a Bereken de energie Ef van deze fotonen in J. b Reken de fotonenergie om naar MeV. Het stralingsvermogen van deze röntgenbuis is 0,15 mW. c Bereken het aantal röntgenfotonen dat de buis per seconde uitzendt.

18 Op een fotografische röntgenopname zijn de botten van een menselijk lichaam goed zichtbaar. Figuur 14 geeft voor water en bot het verband tussen de halveringsdikte en de fotonenergie van de röntgenstraling. De halveringsdikte van zacht weefsel (spieren en vet) is gelijk aan de halveringsdikte van water. a Leg met behulp van figuur 14 uit of het doordringend vermogen van röntgenstraling in bot groter of kleiner is dan die in zacht weefsel. b Leg met je antwoord op vraag a uit waardoor de röntgenfoto op plaatsen waar zich bot bevindt witter is dan op plaatsen eromheen. c Het beenmerg is op een röntgenfoto te zien als een donkere strook in het bot. Leg uit waardoor dat komt. In figuur 15 is een doorsnede van een bovenbeen van een mens getekend. De fotografische plaat staat loodrecht op het papier en loodrecht op de richting van de röntgenstraling. Langs de lijn B’B gaat de röntgenstraling alleen door zacht weefsel heen. De röntgenfoto is gemaakt met röntgenstraling met een fotonenergie van 4,0 MeV. De tekening is op schaal: 1 cm in de tekening komt overeen met 3 cm in werkelijkheid. d Leg uit of langs de lijn B’B meer of minder dan 50% van de straling wordt doorgelaten. e Is de doorgelaten straling langs de lijn A’A meer of minder dan langs de lijn B’B? Leg uit.

halveringsdikte d ½ (cm)

17 Een bepaalde röntgenbuis zendt straling uit met een frequentie van



water

 bot 











   fotonenergie Ef (MeV)

Figuur 14 De halveringsdikte d1/2 van water (spieren en vet) en bot, afhankelijk van de fotonenergie Ef van de röntgenstraling

zacht weefsel

A' B' röntgenstraling

bot beenmerg

A B

Figuur 15 Doorsnede van een menselijk bovenbeen

180

intensiteit I (%)

Beheersen 5.2 Röntgenstraling Straling en gezondheid

100

19 Bij het maken van röntgenopnamen moet het medisch personeel beschermd

75

50

25

0

0

0,5

1,0

1,5 2,0 dikte d (cm)

Figuur 16 De intensiteit I afhankelijk van de halveringsdikte d

worden. Daarvoor wordt een loodschort gebruikt. In het schort is een hoeveelheid lood verwerkt die overeenkomt met een dikte van 0,055 cm. De röntgenstraling waarmee wordt gewerkt, heeft een fotonenergie van 0,10 MeV. a Hoe groot is volgens Binas de halveringsdikte van lood voor deze röntgenstraling? b Bereken hoeveel procent van de invallende röntgenstraling door het loodschort wordt doorgelaten. Voor röntgenstraling met een fotonenergie van 1,0 MeV is de halveringsdikte van lood veel groter. In het diagram van figuur 16 zie je de doorlaatkromme van lood voor röntgenstraling met een fotonenergie van 1,0 MeV. c Lees in het diagram de halveringsdikte af. d Bepaal uit de getekende doorlaatkromme hoeveel procent van de invallende röntgenstraling door het loodschort wordt tegengehouden. e Bereken hoe dik het loodschort zou moeten zijn om hetzelfde percentage röntgenstraling tegen te houden als in vraag b. f Leg uit waarom het medisch personeel zich achter een speciale muur terugtrekt bij het maken van een opname met deze röntgenstraling.

181

Straling en gezondheid

5.3

Kernstraling

OnTDeKKen

W4 Beeldvorming met kernstraling

Sommige stoffen zijn radioactief. Zulke stoffen zenden kernstraling uit. Kernstraling wordt in het ziekenhuis bij radiotherapie gebruikt om kankercellen te doden, maar ook diagnostisch om te zien of organen goed functioneren. Andere toepassingen van kernstraling zijn bijvoorbeeld het steriliseren van instrumenten en voedingsmiddelen, het meten en regelen van de dikte van papier en staalplaat tijdens het productieproces en het volgen van oliestromen door pijpleidingen.

pA r Ag r A A F V r A Ag Wat is kernstraling en waardoor is deze straling geschikt voor toepassingen zoals radiotherapie en het stellen van diagnoses?

Begrijpen Alfa-, bèta- en gammastraling Het verschijnsel radioactiviteit werd in 1896 ontdekt door Antoine Henri Becquerel. Brokken uraanzout bleken een fotografische film te ‘belichten’, dwars door de ondoorzichtige verpakking heen. Verdere experimenten toonden aan dat uranium drie verschillende soorten straling uitzendt. De drie soorten straling werden alfa-, bèta- en gammastraling genoemd, of korter: α-, β- en γ-straling. Pas tientallen jaren later werd duidelijk dat deze straling afkomstig is uit atoomkernen van radioactieve stoffen. We spreken daarom nu van kernstraling. alfastraling

gammastraling

bètastraling α

 protonen +  neutronen

β elektron of positron

γ foton

Figuur 17 De verschillende soorten straling worden uitgezonden door de atoomkernen van radioactieve stoffen.

Bij kernstraling komt er een deeltje en/of een foton uit de atoomkern (zie figuur 17). Bij α-straling bestaat dat deeltje uit twee protonen en twee neutronen. In feite breekt er een stukje van de kern af. Bij β-straling komt er een elektron of een positron uit de kern, hoewel deze deeltjes niet in de kern voorkomen. (In paragraaf 5.4 vind je hier meer uitleg over.) Bètadeeltjes zijn veel lichter en kleiner dan alfadeeltjes. Bij γ-straling komt uit de kern een gammafoton, een vorm van elektromagnetische straling. Gammafotonen hebben veel meer energie dan röntgenfotonen en heel veel meer dan fotonen van zichtbaar licht. Een radioactieve stof kan ook een combinatie van verschillende soorten kernstraling uitzenden. In Binas staat voor de meeste radioactieve stoffen welke soorten kernstraling dat zijn. B

De drie belangrijkste soorten kernstraling zijn: α-straling (deeltjes die bestaan uit twee protonen en twee neutronen), β-straling (elektronen of positronen) en γ-straling (hoogenergetische fotonen).

182

Begrijpen 5.3 Kernstraling Straling en gezondheid

papier perspex aluminium lood

alfastraling bètastraling gammastraling

Figuur 18 Het doordringend vermogen van de drie soorten kernstraling is verschillend.

eigenschappen van kernstraling Kernstraling heeft (net als röntgenstraling) een doordringend vermogen en een ioniserend vermogen. Daarmee wordt aangegeven hoe gemakkelijk de straling in een stof kan doordringen en hoe goed de straling atomen kan ioniseren. Alfastraling – Het doordringend vermogen van deze straling is klein. De α-straling dringt in lucht niet verder dan een paar centimeter door en wordt door een dik vel papier volledig geabsorbeerd. Wel heeft deze straling een groot ioniserend vermogen: α-straling kan over een korte afstand veel atomen ioniseren. De α-straling kan dus in een klein gebied veel schade aanrichten, maar je kunt α-straling ook gemakkelijk tegenhouden. Bètastraling – Het doordringend vermogen van deze straling is groter dan dat van α-straling: β-straling dringt in lucht ongeveer een meter door en wordt pas volledig geabsorbeerd door bijvoorbeeld een paar millimeter dik aluminium. Het ioniserend vermogen van β-straling is kleiner dan dat van α-straling. De β-straling richt meestal minder schade aan dan α-straling. Gammastraling – Deze straling gaat dwars door je lichaam heen. Het doordringend vermogen van γ-straling is zo groot dat zelfs een plaat lood van een paar centimeter dik niet alle γ-straling tegenhoudt. Het ioniserend vermogen van γ-straling is echter heel klein, nog kleiner dan dat van β-straling. soort straling

ioniserend vermogen

doordringend vermogen

α-straling

groot

klein

β-straling

matig

matig

γ-straling

klein

groot

röntgenstraling

klein

groot

Figuur 19 Overzicht van het ioniserend en doordringend vermogen van de drie soorten kernstraling en röntgenstraling B

B

Het doordringend vermogen van kernstraling geeft aan hoe ver de straling in een materiaal kan doordringen. Het doordringend vermogen is klein bij α-straling, groter bij β-straling en nog groter bij γ-straling (zie de tabel van figuur 19). Het ioniserend vermogen van kernstraling geeft aan hoeveel ionisaties per cm de straling kan veroorzaken in een materiaal. Het ioniserend vermogen is groot bij α-straling, kleiner bij β-straling en nog kleiner bij γ-straling (zie de tabel van figuur 19).

Activiteit Kernstraling wordt uitgezonden door instabiele atoomkernen van een radioactieve stof. Bij radioactief verval van een instabiele kern, dat op een willekeurig moment plaatsvindt, wordt een α-deeltje, een β-deeltje of een γ-foton uitgezonden. Dit uitzenden heet ook wel emissie. Radioactieve bronnen verschillen in sterkte: bij de ene bron vervallen er per seconde meer instabiele kernen dan bij een andere bron. Het aantal instabiele kernen dat per seconde vervalt, is de activiteit (symbool: A) van de bron en wordt opgegeven in de

183

Straling en gezondheid 5.3 Kernstraling Begrijpen

eenheid becquerel (afgekort: Bq). Een activiteit van 1 Bq betekent dus dat er gemiddeld per seconde één atoomkern vervalt. Een instabiele kern die vervalt, zendt een α-deeltje, β-deeltje of γ-foton uit. De activiteit van een radioactieve bron geeft dus ook aan hoeveel deeltjes of fotonen er per seconde worden uitgezonden. De activiteit van een radioactieve bron wordt geleidelijk kleiner, doordat er steeds minder instabiele kernen overblijven (zie figuur 21). Als de helft van de instabiele kernen is vervallen, is de activiteit twee keer zo klein geworden.

Toevalsproces Radioactief verval is een toevalsproces. Dat wil zeggen dat het niet mogelijk is te voorspellen wanneer een bepaalde instabiele kern vervalt. Volkomen identieke instabiele kernen kunnen dan ook op heel verschillende momenten vervallen. Alleen van een grote verzameling kernen van een bepaalde radioactieve isotoop is het gemiddelde verband bekend tussen de activiteit en het aantal kernen. De afname van het aantal instabiele atoomkernen zal daarom in de praktijk niet zo vloeiend verlopen als in figuur 21. De activiteit van de radioactieve stof ‘schommelt’ wat op en neer rond de in figuur 21 getekende ‘ideale’ lijn, zoals in figuur 22.

GEIGER-MÜLLERTELLER Voor het meten van de intensiteit van ioniserende straling wordt vaak een Geiger-Müllerteller (of korter: GM-teller) gebruikt. Deze teller is geschikt voor alfa- en bètastraling. Voor gammastraling wordt een ander soort detector gebruikt. De GM-teller bestaat uit een telbuis en een elektronische teller. Als er een α- of β-deeltje in de telbuis doordringt, verspringt de tellerstand en hoor je een tik. De GM-teller meet in counts per second (afgekort: cps) of een andere tijdseenheid.

activiteit A (MBq)

activiteit A (MBq)

De activiteit van een bron hangt ook af van hoe instabiel de radioactieve atoomsoort is. Hoe instabieler, des te groter het percentage instabiele kernen dat per seconde vervalt.

200

150

100

50

50

0

8

16

24

32 tijd t (dag)

Figuur 21 De activiteit A van radioactief jodium (I-131) neemt geleidelijk af in de loop van de tijd t.

B

B

B

B

150

100

0

B

200

0

Figuur 20 GM-teller

0

8

16

24

32 tijd t (dag)

Figuur 22 De gemeten activiteit laat zien dat radioactief verval een toevalsproces is.

In een radioactieve stof zijn de atoomkernen instabiel. Bij radioactief verval zendt een instabiele atoomkern kernstraling uit. De activiteit A van een radioactieve bron is het aantal vervallende instabiele atoomkernen per seconde. De eenheid van activiteit is becquerel (afgekort: Bq). Een activiteit van 1 Bq betekent gemiddeld één vervallende atoomkern per seconde. De activiteit geeft aan hoeveel deeltjes of fotonen de radioactieve bron per seconde uitzendt. De activiteit A van een radioactieve bron is evenredig met het aantal instabiele atoomkernen en neemt dus geleidelijk af in de loop van de tijd. De activiteit A van een radioactieve bron hangt af van hoe instabiel de kernen van de radioactieve atoomsoort zijn.

RADIOACTIEVE BRONNEN Sommige radioactieve bronnen zijn vrij zwak, zoals de lichtgevende wijzerplaat van een oude wekker. Die activiteit is maar een paar kBq (1 kBq = 1 · 103 Bq). Maar van bijvoorbeeld de stralingsbronnen in een ziekenhuis is de activiteit heel veel groter: zo’n honderdduizend MBq (1 MBq = 1 · 106 Bq) of meer.

184

Begrijpen 5.3 Kernstraling Straling en gezondheid

GROTE VERSCHILLEN IN HALVERINGSTIJD De halveringstijd verschilt per radioactieve stof en kan uiteenlopen van een fractie van een seconde tot een paar miljard jaar. Een voorbeeld van een stof met een vrij korte halveringstijd is radioactief jodium (I-128), dat een halveringstijd van ongeveer 25 minuten heeft. Voorbeelden van stoffen met een zeer lange halveringstijd zijn radioactief plutonium (Pu-240) en uranium (U-238), met halveringstijden van 24 duizend respectievelijk 4,5 miljard jaar.

aantal N (%)

De tijdsduur waarin de activiteit tweemaal zo klein wordt, heet de halveringstijd (symbool: t1/2) van de radioactieve stof. Een voorbeeld: in het diagram van figuur 21 zie je dat jodium-131 een halveringstijd t1/2 = 8 dagen heeft, elke 8 dagen halveert de activiteit: van 200 MBq tot 100 MBq tot 50 MBq, enzovoort. Na elke halveringstijd van een radioactieve bron is de activiteit tot de helft afgenomen, doordat de helft van de instabiele atoomkernen is vervallen. Op deze manier is van elke radioactieve bron de vervalkromme van figuur 23 te tekenen. In het diagram kun je aflezen hoeveel procent van de oorspronkelijke activiteit nog over is na n halveringstijden. B

B

100

75

50

De halveringstijd is de tijd waarin telkens de activiteit van een radioactieve bron tweemaal zo klein wordt. De halveringstijd is per radioactieve atoomsoort verschillend. Aan de vervalkromme zie je hoe de activiteit van een radioactieve bron in de loop van de tijd afneemt: na elke halveringstijd is de activiteit tweemaal zo klein geworden.

STRALING IN DE GEZONDHEIDSZORG Ioniserende straling wordt in de gezondheidszorg veel gebruikt om te weten te komen wat er met een patiënt aan de hand is. Deze toepassing van straling wordt radiodiagnostiek genoemd. Maar ioniserende straling wordt ook gebruikt voor de behandeling van een patiënt. Dan is er sprake van radiotherapie.

25

0

halveringstijd



t½

·t½

·t½

·t½ tijd t

Figuur 23 Vervalkromme van een radioactieve bron

Figuur 24 Gammacamera voor het opnemen van een scintigram na het toedienen van een radioactieve stof

Radiodiagnostiek – Bij de röntgenafdeling in een ziekenhuis wordt de patiënt ’doorgelicht’ met röntgenstraling. Zowel de stralingsbron als de ontvanger bevinden zich buiten het lichaam. Kernstraling wordt in een ziekenhuis alleen gebruikt in de afdeling nucleaire geneeskunde. Die afdeling is er speciaal op gebouwd en ingericht om veilig met radioactieve bronnen te kunnen werken. Om een orgaan van buitenaf te kunnen ‘bekijken’, krijgt de patiënt een radioactieve stof toegediend, een zogenaamde tracer (spoorzoeker) die zich dan dus in het lichaam bevindt. Hiervoor wordt een radioactieve atoomsoort gekozen die zoveel mogelijk door dat betreffende orgaan wordt opgenomen en niet ergens anders. Voor de schildklier is dit bijvoorbeeld radioactief jodium (I-123), dat γ-straling uitzendt. Die uitgezonden γ-straling wordt met een gammacamera buiten het lichaam gemeten en in beeld gebracht (zie figuur 24). Zo’n beeld heet een scintigram (zie figuur 25). Niet alle γ-fotonen komen naar buiten, een klein deel van de straling wordt in het lichaam geabsorbeerd en kan daar schade aanrichten. Ook nadat het onderzoek is afgelopen, kan zich nog radioactief materiaal in het lichaam bevinden. Daarom moet de toegediende tracer een korte halveringstijd hebben. Hoe korter de halveringstijd is, des te sneller is de activiteit van de radioactieve stof tot vrijwel nul afgenomen. Radioactieve bronnen die een andere soort kernstraling uitzenden zijn niet geschikt als tracer, doordat die straling in het lichaam al wordt geabsorbeerd. Buiten het lichaam is die straling daardoor niet te meten maar in het lichaam kan deze straling veel schade aanrichten.

185

Straling en gezondheid 5.3 Kernstraling Begrijpen

Radiotherapie – Kernstraling wordt ook gebruikt om tumoren te bestrijden. Door gerichte behandeling met γ- of β-bestraling wordt geprobeerd de cellen te vernietigen die zich te snel delen. De gezonde cellen in de omgeving van zo’n tumor moeten zo veel mogelijk gespaard blijven. Hierbij wordt geen α-straling gebruikt, omdat deze een te klein doordringend vermogen heeft en door het grote ionisatievermogen te veel gezonde cellen kan beschadigen. Bij uitwendige bestraling wordt een radioactieve bron buiten het lichaam gebruikt. Deze stralingsbron zendt γ-straling uit. De straling kan dan tot de tumor in het lichaam doordringen. Om schade aan tussenliggend weefsel te beperken, draait de stralingsbron langzaam om het lichaam heen, maar wel voortdurend gericht op de tumor. Bij inwendige bestraling wordt een kleine capsule met een radioactieve stof in het lichaam geplaatst, in of dicht bij het te bestralen weefsel. In dit geval is de radio­actieve stof een β-straler, omdat die straling een kleiner doordringend vermogen maar een groter ioniserend vermogen heeft dan γ-straling. De bestraling is dan effectiever, en blijft beperkt tot een klein gebied rond de bron. Bij gebruik van een γ-straler zou slechts een klein deel van de straling in de tumor worden geabsorbeerd.

Figuur 25 Scintigram van de handen van een reuma­patiënt. De toegediende radioactieve stof concentreert zich in de aangetaste gewrichten. De opname met de γ-camera is door de bijbehorende computer bewerkt met ‘valse kleuren’: blauw voor een kleine en rood voor een grote stralingsintensiteit.

Specifiek gerichte bestraling is bij sommige tumoren mogelijk door radioactieve atomen in te bouwen in eiwitten die specifiek in de tumorcellen worden opgenomen.

20 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g h

Uit de kern van een radioactief atoom komen vier soorten straling: α-straling, β-straling, γ-straling en röntgenstraling. Bij α ​ ​- en β ​ ​- verval stoot de atoomkern een radioactief deeltje uit. Een α-deeltje bestaat uit twee protonen en twee elektronen. Het doordringend vermogen van α ​ ​-straling is groter dan dat van β-straling en γ-straling. Het ioniserend vermogen van α ​ ​-straling is groter dan dat van β-straling en γ-straling. Een activiteit van 5 kBq betekent dat de radioactieve bron 5 · 103 instabiele atoomkernen bevat. De activiteit van een radioactieve bron hangt af van het aantal instabiele atoomkernen in de bron. Na twee halveringstijden is de activiteit van een radioactieve bron afgenomen tot nul.

21 Noteer bij elke beschrijving om welke soort straling het gaat. a b c d

Deze straling kan in een klein gebied veel schade aanrichten, maar kan ook makkelijk worden tegengehouden. Deze straling komt niet uit de kern van een atoom, maar wordt gemaakt in een apparaat. Deze kernstraling heeft geen massa en geen lading, ’reist’ met de licht­ snelheid en gaat zelfs gedeeltelijk door een plaat lood heen. Deze straling kan in lucht ongeveer een meter doordringen.

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

186

Begrijpen 5.3 Kernstraling Straling en gezondheid

22 Kernstraling heeft een doordringend en een ioniserend vermogen. a

Leg uit dat voor radiodiagnostiek straling gebruikt wordt met een groot doordringend vermogen. Welke soort straling is dat? b Leg uit dat β-straling het meest geschikt is voor inwendige bestraling van tumoren. Door het ioniseren van atomen raken α- en β-deeltjes bij elke botsing een klein deel van hun energie kwijt. c Beschrijf wat er gebeurt met de snelheid van de α- of β-deeltjes bij zo’n botsing. d Leg uit waardoor α- of β-straling met een groot ioniserend vermogen niet ver in een materiaal doordringt.

23 Leg bij elk van de volgende toepassingen van ioniserende straling in de gezondheidszorg uit welke soort straling daarvoor het meest geschikt is. Controle op borstkanker. b Onderzoek naar het functioneren van organen met behulp van een tracer. c Bestraling van een tumor in een orgaan door een radioactieve bron in dat orgaan. d Bestraling van een tumor in een orgaan door een radioactieve bron buiten het lichaam. e Bestraling van een huidtumor door een radioactieve bron buiten het lichaam. f Steriliseren van in plastic verpakte injectiespuiten.

activiteit A (MBq)

a

4

3

24 De vervalkromme van figuur 26 geeft de activiteit A van een bron met radio-

2

actief jodium (I-131) in de loop van de tijd t. Leg uit hoeveel instabiele atoomkernen er per seconde vervallen op het tijdstip t = 0 s. b Bepaal de halveringstijd van deze radioactieve stof. c Bepaal hoeveel halveringstijden er na 32 dagen zijn verstreken. d Bereken het aantal overgebleven instabiele kernen na 32 dagen. a

1

0

0

8

16

24 32 tijd t (dag)

25 In de tabel van figuur 27 zie je hoe de activiteit A van een bron met radioactief

Figuur 26

jodium (I-128) verandert in de loop van de tijd t. Teken het vervaldiagram van deze radioactieve stof. b Lees uit het vervaldiagram de halveringstijd van deze radioactieve stof af. c Bereken na hoeveel minuten de activiteit vijf keer is gehalveerd. a

t (min)

A (MBq)

0 10 20 30 40 50 60 70 80

75,8 57,4 43,5 33,0 25,0 19,0 14,4 10,9 8,3

Figuur 27

26 In de aardkorst bevinden zich radioactieve stoffen, zoals uranium (U-238), thorium (Th-232) en kalium (K-40). Informatie over deze radioactieve stoffen staat in Binas. a Noteer bij elk van deze radioactieve stoffen welke soort straling uitgezonden wordt. b Noteer bij elk van deze radioactieve stoffen de halveringstijd. c Leg uit waarom zich in de aardkorst voornamelijk radioactieve stoffen met een zeer lange halveringstijd bevinden.

187

Straling en gezondheid 5.3 Kernstraling Beheersen

B EHEERSEN

ACTIVITEIT EN TIJD BEREKENEN

Activiteit en halveringstijd Om te berekenen hoeveel procent van de oorspronkelijke activiteit nog over is, kun je de tabel van figuur 28 gebruiken. In deze tabel is n het aantal halveringstijden dat is verstreken. De waarde van n bereken je door te kijken hoe vaak de halveringstijd in de verstreken tijd past. aantal halveringstijden n activiteit A in %

0

1

2

3

4

5

…

100

50

25

12,5

6,25

3,125

…

Figuur 28

De tabel van figuur 28 kun je ook in formulevorm schrijven. Noem de activiteit in het begin A0 (op het tijdstip t = 0) . Na elke halveringstijd is de activiteit A gehalveerd. Na 3 bijvoorbeeld drie halveringstijden geldt dan: ​A = ​A​  0​​ · __​  21 ​ · __​  21 ​ · __​  12 ​= A ​ ​  0​​ · ( ​​ __​  12 ​)​​​  ​​. Voor de activiteit A na n halveringstijden geldt dus: n

​A = ​A​  0​​ · ( ​​ __​  12 ​)​​​  ​ In deze formule is A de activiteit (in Bq) op het tijdstip t en A0 de activiteit (in Bq) op het tijdstip t = 0. Het getal n in de formule is het aantal halveringstijden dat verstreken is:

​n = ___ ​ ​t​  t  ​​​​ 1/2

In deze formule is t het tijdstip en t1/2 de halveringstijd, beide in dezelfde eenheid. In de voorbeelden tot nu toe is n steeds een geheel getal. Precies dezelfde redenering en berekening geldt ook voor het geval n niet een geheel getal is. Algemeen geldt: t/​t​  1/2​​

​A = ​A​  0​​ · ( ​​ __​  12 ​)​​​  ​​

27 De paragraafvraag is: Wat is kernstraling en waardoor is deze straling geschikt voor toepassingen zoals radiotherapie en het stellen van diagnoses? Wat is het antwoord op deze vraag?

28 Een radioactieve bron heeft op het tijdstip t = 0 een activiteit A van 180 kBq. De radioactieve stof in de bron heeft een halveringstijd t1/2 van 30 jaar. Bereken de activiteit na 150 jaar met behulp van een tabel. b Bereken de activiteit na 150 jaar met behulp van de formule. c Leg uit hoe lang het duurt voordat de activiteit van deze bron is afgenomen tot minder dan 0,1% van de oorspronkelijke activiteit. a

29 Een radioactieve bron met een halveringstijd van 5,3 jaar had een begin­ activiteit van 40 kBq. De huidige activiteit van deze bron is 3,0 kBq. Bereken de ouderdom van deze bron.

De formule voor de activiteit A van een radioactieve bron heeft dezelfde vorm als de formule voor de intensiteit I van de doorgelaten röntgenstraling. Je berekent de activiteit A of de tijd t dus op dezelfde manier als de intensiteit I of de dikte d in de voorbeeldopgaven van paragraaf 5.2.

188

Beheersen 5.3 Kernstraling Straling en gezondheid

30 Een radioactieve bron heeft een activiteit van 160 kBq. De activiteit is 8,0 uur later afgenomen tot 15 kBq. a Bereken de activiteit van deze bron na 15 uur. b Bereken hoeveel uur het duurt totdat de activiteit van de bron is gedaald tot 0,11 kBq.

31 Twee bronnen A en B bevatten dezelfde radioactieve stof, maar de activiteit van bron A is op het tijdstip t = 0 tweemaal zo groot als de activiteit van bron B. a Wat betekent dat voor het aantal instabiele kernen van bron A ten opzichte van B, op t = 0? Licht je antwoord toe. b Leg uit dat de activiteit van bron A op elk willekeurig tijdstip t tweemaal zo groot is als de activiteit van bron B.

32 Twee bronnen A en B bevatten een verschillende radioactieve stof. De activiteit van bron A op het tijdstip t = 0 is acht keer zo groot als de activiteit van bron B. De halveringstijd van de radioactieve stof in bron A is 8,0 uur, van bron B is dat 16 uur. a Leg uit bij welke bron de activiteit het snelst afneemt. b Beredeneer op welk tijdstip de activiteit van beide bronnen even groot is.

33 Radioactief radon (Rn-219) heeft een halveringstijd van 4,0 s. Op het tijdstip t = 0 heeft een bron met deze radioactieve stof een activiteit A van 2,0 MBq. a Bereken hoe groot de activiteit van deze bron op t = 10 s is. b Leg uit hoe je kunt bepalen hoeveel kernen er zijn vervallen tussen t = 0 en t = 10 s. c Maak een beredeneerde schatting van dat aantal kernen dat tussen t = 0 en t = 10 s is vervallen.

34 In figuur 29 staan zes radioactieve bronnen met hun beginactiviteit A0 en hun A

B

A0 = 10 kBq t ½ = 120 s

A0 = 10 kBq t ½ = 200 s

D

E

A0 = 5 kBq t ½ = 120 s

A0 = 20 kBq A0 = 40 kBq t ½ = 200 s t ½ = 60 s

Figuur 29

C

A0 = 10 kBq t ½ = 60 s F

halveringstijd t1/2. Zet de bronnen op volgorde op basis van de tijd waarin de activiteit is afgenomen tot 1,25 Bq, te beginnen met de langste tijd. Leg uit hoe je de volgorde hebt bepaald.

35 Op de afdeling nucleaire geneeskunde van een ziekenhuis worden onder andere de volgende radioactieve stoffen gebruikt: kobalt (Co-60), technetium (Tc-99m) en jodium (I-131). Informatie over deze radioactieve stoffen staat in Binas. a Noteer bij elke radioactieve stof welke soort straling uitgezonden wordt. b Noteer bij elke radioactieve stof de halveringstijd. c Hieronder staan drie toepassingen van radioactieve stoffen op de afdeling nucleaire geneeskunde. Geef bij elke toepassing aan welke radioactieve stof (Co-60, Tc-99m of I-131) voor die toepassing het meest geschikt is, en waarom. 1 Het stellen van een diagnose met behulp van een radioactieve stof als tracer in het lichaam. 2 Het bestralen van een tumor door een radioactieve bron buiten het lichaam (uitwendige bestraling). 3 Het bestralen van een tumor door een radioactieve bron in het lichaam (inwendige bestraling).

189

Straling en gezondheid 5.3 Kernstraling Beheersen

men in de schildklier. Voor onderzoek van de schildklier wordt in het ziekenhuis daarom radioactief I-123 gebruikt. Na toediening van deze stof aan de patiënt verzamelt het zich in dit orgaan. Bij het verval van I-123 (halveringstijd van 13,2 h) komt γ-straling vrij. Buiten het lichaam van de patiënt wordt met een gammacamera gemeten hoe de radioactieve stof zich in de schildklier heeft verspreid. a Leg uit waardoor men dit onderzoek alleen kan doen met een stof die γ-straling uitzendt. Aanmaak van I-123 gebeurt in maar een paar centra in Nederland. Het kost dus enige tijd om het preparaat naar het betreffende ziekenhuis te transporteren en intussen neemt de activiteit af. Daarom wordt er een grotere hoeveelheid gemaakt dan bij de toediening aan de patiënt nodig is. b Bereken de tijd die maximaal mag verstrijken tussen aanmaak en gebruik, zodat de activiteit bij gebruik hoogstens zes keer zo klein is als bij aanmaak.

37 T Lees eerst het artikel Behandeling van te snel werkende schildklier met radioactief jodium hiernaast. De in de tekst genoemde ‘radioactieve slok’ bevat de jodiumisotoop I-131. a Welke twee soorten straling zendt I-131 uit? b Welke halveringstijd heeft I-131? In de tekst staat dat de straling de schildkliercellen beschadigt die het snelst werken. c Leg uit welke van de twee soorten straling die I-131 uitzendt vooral verantwoordelijk is voor die beschadiging. Figuur 30 geeft de activiteit van de schildklier van een behandelde patiënt in de loop van de tijd. d Teken in de figuur op het tekenblad de vervalkromme van I-131. Neem daarbij de activiteit op het tijdstip t = 0 in figuur 30 als beginpunt. Bij vraag d blijkt dat de activiteit van het I-131 in de schildklier sneller afneemt dan verwacht. Dit komt doordat het radioactieve jodium ook langs biologische weg langzaam uit de schildklier verdwijnt. De tijd waarin de activiteit van radioactief materiaal in het lichaam (in dit geval in de schildklier) tot de helft is afgenomen, noemen we de effectieve halveringstijd. e Leg uit waardoor de effectieve halveringstijd van I-131 kleiner is dan de halveringstijd van I-131 die in Binas staat. f Bepaal uit de figuur op het tekenblad de effectieve halveringstijd van I-131.

Behandeling van te snel werkende schildklier met radioactief jodium

Mensen met een te snel werkende schildklier hebben problemen met hun stofwisseling. Deze ziekte van Graves wordt behandeld door de patiënt radioactief jodium (jood) in te laten nemen: de zogenoemde ‘radioactieve slok’. Het zijn vooral de te snel werkende schildkliercellen die het jodium opnemen. Deze cellen worden beschadigd door de straling die ze dan absorberen. Daardoor gaat de schildklier na enige tijd weer normaal functioneren. Deze methode wordt al dertig jaar als een veilige behandeling toegepast. De patiënten kunnen meestal dezelfde dag weer naar huis. Wel moet men enkele voorzorgsmaatregelen in acht nemen, zoals: de eerste dagen twee keer achter elkaar de wc doortrekken en gedurende enkele weken geen baby’s op schoot nemen. Bron: de Volkskrant.

activitieit A (MBq)

36 Het element jodium (I) wordt in het menselijk lichaam voornamelijk opgeno-

250 200 150 100 50 0

0

2

4

6

8

10

12

14 16 18 tijd t (dag)

Figuur 30 De activiteit A van de schildklier van een behandelde patiënt in de loop van de tijd t

190

Straling en gezondheid

5.4

Radioactief verval

OnTDeKKen

Experiment 2: Radioactief verval

Kernstraling bestaat uit α-deeltjes, β-deeltjes of γ-fotonen die uit de kern schieten. De α- en β-deeltjes hebben elektrische lading en massa. De γ-fotonen hebben geen lading en geen massa, het zijn pakketjes elektromagnetische stralingsenergie. Bij het uitstoten van een α-deeltje raakt de instabiele kern twee protonen en twee neutronen kwijt. De achtergebleven kern is dan niet meer van dezelfde atoomsoort. Een β-deeltje is een elektron of een positron. Dat lijkt vreemd, want een atoomkern bevat alleen protonen en neutronen, geen elektronen of positronen. Hoe kan een instabiele kern dan een elektron of een positron uitzenden en hoe verandert daardoor die instabiele atoomkern? En wat gebeurt er met een instabiele atoomkern bij het uitzenden van een γ-foton?

pA r Ag r A A F V r A Ag Hoe verandert een instabiele atoomkern bij het uitzenden van kernstraling?

elektron proton neutron kern atoom

Figuur 31 Model van het atoom, opgebouwd uit drie elementaire deeltjes: protonen, neutronen en elektronen

Begrijpen Atoomkernen In de atomen van een radioactieve stof zijn de atoomkernen instabiel, bijvoorbeeld doordat de kern te groot is om alle kerndeeltjes bij elkaar te houden of doordat de verhouding van het aantal protonen en neutronen te groot of te klein is. Op een onbepaald moment zendt een instabiele atoomkern dan kernstraling uit. Als het weggeschoten deeltje massa en/of lading heeft, verandert de massa en/of de lading van de atoomkern en verandert de atoomkern in een kern van een andere atoomsoort. Om te beschrijven hoe een atoomkern verandert bij het uitzenden van kernstraling is het handig om de samenstelling van die kern weer te geven met twee getallen: het atoomnummer en het massagetal. Het atoomnummer (symbool: Z) is bekend uit het periodiek systeem en gelijk aan het aantal protonen in de kern. Het atoomnummer geeft daarmee ook de lading van de kern aan. Het massagetal (symbool: A) is het aantal kerndeeltjes dat in de kern zit: het aantal protonen en neutronen samen. Het massagetal zegt dus iets over de massa van de kern. Bij radioactief verval verdwijnt of ontstaat geen massa en geen elektrische lading. Altijd gelden de volgende twee behoudswetten: behoud van massa(getal) en behoud van elektrische lading.

kern

neutron: ongeladen proton: positief geladen elektronenwolk

elektron: negatief geladen

zeven kerndeeltjes

 3 Li

Lithium

drie protonen

Figuur 32 De atoomsoort lithium (symbool: Li) heeft een kern met drie protonen en vier neutronen. Het atoomnummer is dus 3, en het massagetal 7.

191

Straling en gezondheid 5.4 Radioactief verval Begrijpen

Met het atoomnummer en het massagetal wordt een waterstofkern weergegeven als 1 H en een heliumkern als 42 He. Daarbij staat het massagetal linksboven en het atoom1 nummer linksonder vóór het symbool van het element. Omdat zowel het symbool als het atoomnummer aangeven met welk element je te maken hebt, kun je het atoomnummer ook wel weglaten. Een waterstofkern geef je dan weer als H-1 en een heliumkern als He-4. Daarbij staat het massagetal achter het symbool van het element. B B B

Een atoomkern bestaat uit protonen en neutronen. Het atoomnummer Z is het aantal protonen in de kern. Het massagetal A is het aantal kerndeeltjes (protonen en neutronen) in de kern.

isotopen De kern van bijna alle waterstofatomen bestaat uit één proton. Maar er zijn ook waterstofatomen met één proton en één neutron en ook met één proton en twee neutronen in de kern. Atomen van dezelfde atoomsoort maar met een verschillend aantal neutronen in hun kern heten isotopen. Het atoomnummer van de drie waterstofisotopen is hetzelfde, want ze hebben alle drie één proton in de kern. Alleen het massagetal van de isotopen is verschillend. In de tabel van figuur 34 zie je hoe je deze drie waterstofisotopen kunt noteren. De twee ‘zware’ waterstofisotopen hebben ook een eigen naam: deuterium en tritium. Ook van andere atoomsoorten bestaan verschillende isotopen. Een voorbeeld is uranium, met isotopen als U-235 en U-238. De verschillende isotopen van een stof zijn van dezelfde atoomsoort en niet chemisch te scheiden. Dat komt doordat de verschillende kernen dezelfde lading hebben en de neutrale atomen van de verschillende isotopen ook evenveel elektronen in hun schil(len) hebben. isotoop

symbool

samenstelling kern aantal protonen aantal neutronen

waterstof

H-1

1 H 1

1

0

deuterium

H-2

2 H 1

1

1

tritium

H-3

3 H 1

1

2

Figuur 34 Symbolen van de atoomkern van de drie waterstofisotopen B

Isotopen zijn atomen van dezelfde atoomsoort met een verschillend aantal neutronen in hun kern. De kernen van de isotopen hebben hetzelfde atoomnummer maar een verschillend massagetal.

Vervalvergelijking Hoe een instabiele atoomkern verandert bij radioactief verval, kun je met symbolen beschrijven in een vervalvergelijking. In zo’n vergelijking moet altijd het totale aantal kerndeeltjes en de totale elektrische lading vóór en ná het verval gelijk zijn. Alfaverval – Een α-deeltje bestaat uit twee protonen en twee neutronen en heeft 4 daarmee atoomnummer 2 en massagetal 4. Je schrijft het als 2 α. Een α-deeltje is dus 4 een heliumkern en kun je ook schrijven als 2 He.

deuterium

tritium

n p

n n p

Figuur 33 Deuterium en tritium zijn isotopen van waterstof.

192

Begrijpen 5.4 Radioactief verval Straling en gezondheid

Een voorbeeld van een stof die α-straling uitzendt, is de radiumisotoop v

²²6Ra 88

4He 2 (α-deeltje)

²²²Rn 86

Figuur 35 Model van het radioactief verval van een atoomkern door het uitzenden van een α-deeltje

v ₀¹ n   I

¹₁ p

-e

Figuur 36a Model van het radioactief verval van een atoomkern door het uitzenden van een β−-deeltje

v ¹₁ p

₀¹ n

figuur 35). Bij het uitstoten van een α-deeltje neemt het massagetal af met 4 en het atoomnummer met 2. Er blijft een atoomkern met massagetal 222 en atoomnummer 222 86 over. Bij dit atoomnummer hoort (zie Binas tabel 25) de radonisotoop 86 Rn. Dit radioactief verval geef je weer met de volgende vervalvergelijking: 226 Ra → 222 Rn + 42 He 86 88

behoud van massagetal behoud van lading

Hier geldt massabehoud want links van de pijl is het aantal kerndeeltjes 226 en rechts 222 + 4. Ook blijft de totale elektrische lading behouden: 88 = 86 + 2. Bètaverval – Er zijn twee soorten β-verval. Bij β−-verval komt er een elektron uit de kern en bij β+-verval een positron.

 Xe

F

226 Ra (zie 88

 e

O

Figuur 36b Model van het radioactief verval van een atoomkern door het uitzenden van β+-deeltje

Het positron is een deeltje met dezelfde massa en lading als het elektron, maar bij een positron is die lading positief in plaats van negatief. Het positron is het zogenaamde antideeltje van het elektron. Losse positronen bestaan meestal maar heel kort, want bij een treffen tussen een positron en een elektron vernietigen deze deeltjes elkaar, en ontstaan er twee in tegengestelde richting uitgestraalde γ-fotonen. Dit proces van vernietiging van materie en antimaterie noemen we annihilatie. Omgekeerd kunnen een deeltje en zijn antideeltje ontstaan uit een γ-foton met voldoende energie. Dit proces van ontstaan van materie en antimaterie noem je paarvorming of creatie. In een atoomkern zitten geen elektronen en ook geen positronen, ze ontstaan bij bètaverval van een instabiele atoomkern. Bij een instabiele isotoop met te veel neutronen in de kern treedt β−-verval op: 1 n → 11 p + − 10 e 0

En bij een instabiele isotoop met te weinig neutronen in de kern treedt β+-verval op: 1 p → 10 n + 01 e 1

deeltje

symbool

proton (waterstofkern)

1 p of 11 H 1

neutron

1 n 0

α-deeltje (heliumkern) β−-deeltje (elektron) +

β -deeltje (positron)

4 α of 42 He 2 0 β of −01 e −1 0 β of + 10 e +1

Figuur 37 Het symbool van de twee kerndeeltjes (proton en neutron) en het α- en β-deeltje

131

Een voorbeeld van β−-verval is de jodiumisotoop 53 I: behoud van massagetal 131 I → 131 Xe + − 10 e 54 53 behoud van lading

Het gevormde proton blijft in de kern en het gevormde elektron wordt uitgestoten. Het jodium is dus een andere atoomsoort geworden. Bij β−-verval van de jodium131

isotoop 53 I ontstaat een atoomkern met massagetal 131 en atoomnummer 54: de 131 xenonisotoop 54 Xe. 18

Een voorbeeld van β+-verval is de fluorisotoop 9 F: 18 F → 18 O + 01 e 9 8

Het gevormde neutron blijft in de kern en het gevormde positron wordt uitgestoten.

193

Straling en gezondheid 5.4 Radioactief verval Begrijpen

Het β-deeltje is een elektron of een positron, waarvan de massa heel veel kleiner is dan de massa van een proton of een neutron. Het elektron en het positron krijgen daarom het massagetal 0. De lading van het elektron is even groot als de lading van het proton, maar dan negatief. Het elektron krijgt daarom het atoomnummer −1. De lading van het positron is even groot als die van het proton. Het symbool van het elektron is dus

0 e of − 10 β en van het positron + 10 e of + 10 β . −1

Ook voor een los proton en een los neutron is er een symbool. Een overzicht staat in de tabel van figuur 37. Losse neutronen zijn niet stabiel en vervallen met een halveringstijd van 10 min in een proton en een elektron. Gammastraling – Bij het uitzenden van een α- of β-deeltje heeft de overblijvende atoomkern vaak nog te veel energie, die het dan kwijtraakt door het uitzenden van een γ-foton (zie figuur 38). Bij radioactief verval van een instabiele atoomkern wordt dus vaak een combinatie van α- en γ-straling of een combinatie van β- en γ-straling uitgezonden. Door het uitzenden van een γ-foton (heeft geen massa en lading) verandert de samenstelling van de atoomkern niet, zodat het opstellen van een tweede vervalvergelijking niet nodig is. Als voorbeeld de volgende vervalvergelijking:

γ-foton

Figuur 38 Model van het uitzenden van γ-straling door een atoomkern

MASSA EN ENERGIE Bij de creatie van een elektron en een positron wordt energie omgezet in massa, en bij de annihilatie van deze twee deeltjes wordt massa omgezet in energie. Dit is een voorbeeld van de equivalentie van massa en energie uit de relativiteitstheorie van Albert Einstein: als er massa verdwijnt, komt er energie vrij, en omgekeerd. Volgens deze theorie is een massa m equivalent met een hoeveelheid energie volgens E = m · c2. Hierin is c de lichtsnelheid.

behoud van massagetal 16 N → 16 O + − 10 e + 00 γ 7 8 behoud van lading

ring van γ-detectors

De twee nullen voor het gammafoton worden altijd weggelaten. γ B

B

B

B

B

B

Met een vervalvergelijking kun je weergeven hoe een instabiele atoomkern vervalt. Het totale aantal kerndeeltjes en de totale elektrische lading blijven bij het verval behouden (behoudswetten).

β+ γ

Bij α-verval (uitzending van 2 α of 2 He) verdwijnen er twee protonen en twee neutronen uit de atoomkern. 4

4

Bij β−-verval (uitzending van β of e) vervalt in de atoomkern een neutron −1 −1 in een proton en een elektron en stoot de atoomkern het elektron uit. 0

0

Bij β+-verval (uitzending van +01 β of +01 e) vervalt in de atoomkern een proton in een neutron en een positron en stoot de kern het positron uit. Als bij radioactief verval een kern een γ-foton uitzendt, verandert de samenstelling van de kern niet. Een positron is het antideeltje van een elektron. Als het uitgestoten positron op een elektron botst, vindt annihilatie plaats: beide deeltjes worden omgezet in twee in tegengestelde richting uitgestraalde γ-fotonen.

Kernreacties Als een stabiele atoomkern wordt getroffen door bijvoorbeeld een α-deeltje, kan in sommige gevallen een kernreactie optreden waarbij bijvoorbeeld een proton of een neutron vrijkomt. Wat er met zo’n stabiele atoomkern gebeurt bij een kernreactie kun je – net als bij radioactief verval – beschrijven met een reactievergelijking. Ook daarbij geldt behoud van het totale aantal kerndeeltjes en de totale elektrische lading.

Figuur 39 Een PET-scan wordt gemaakt door detectie van γ–fotonen die ontstaan bij annihilatie van een positron en een elektron.

PET-SCAN In het ziekenhuis worden β+-tracers gebruikt bij een zogenaamde PET-scan (PET = positron emission tomography). Bij verval treft het uitgezonden positron dan op zeer korte afstand een elektron. De PET-scan wordt gemaakt door buiten het lichaam de beide γ–fotonen te meten die ontstaan bij de annihilatie van het positron met een elektron. De computer berekent hieruit een beeld van elke gewenste doorsnede van het gebied van het menselijk lichaam waar de tracer zich bevindt.

194

Begrijpen 5.4 Radioactief verval Straling en gezondheid

14

NEUTRONENACTIVERING Door bestraling met neutronen, uit een kernreactor, kunnen de meeste stabiele isotopen worden omgezet in radioactieve isotopen. De ontstane radioactieve isotopen kunnen worden geïdentificeerd aan de hand van de kernstraling die ze uitzenden. Op deze manier kan de aanwezigheid van een groot aantal stoffen worden aangetoond. Deze analysemethode wordt neutronenactivering genoemd. Een voorbeeld is de activering van de stabiele arsenicumisotoop As-75. Als deze isotoop een neutron invangt in de kern, ontstaat de instabiele arsenicumisotoop As-76, die onder het uitzenden van β- en γ-straling vervalt tot de stabiele seleniumisotoop Se-76. Uit de te meten halveringstijd van het verval en de frequentie van de uitgezonden γ-straling kan dan worden afgeleid dat de geactiveerde isotoop arsenicum is. Op deze manier kan worden achterhaald of een monster – bijvoorbeeld een menselijke haar – arsenicum bevat en is het zelfs mogelijk het arsenicumgehalte in het monster te bepalen.

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

Protonenstraling – Wordt bijvoorbeeld de kern van de stabiele stikstofisotoop ​​ 7 ​​  N​ door een α-deeltje getroffen, dan kan er een proton vrijkomen: 4

14

17

1

​7 ​​  N + ​2​​  He → ​8 ​​  O + ​1​​  p​ Deze kernreactie was de aanleiding tot de ontdekking van het proton als kerndeeltje door Ernest Rutherford in 1919. Neutronenstraling – Wordt bijvoorbeeld de kern van de stabiele berylliumisotoop ​9​4​  ​  Be​​​​ getroffen door een α-deeltje, dan kan er een neutron vrijkomen: 9 ​​4​​  Be + 4​2​​  He → 12 ​6 ​​  C + 1​0​​  n​

Deze kernreactie was de aanleiding tot de ontdekking van het neutron als kerndeeltje door James Chadwick in 1932. Een ander voorbeeld van het ontstaan van neutronenstraling is de splijting van de uraniumisotoop ​​ 235 ​  U​​​​ in een kernreactor. Als zo’n uraniumkern wordt getroffen door 92 een neutron, valt de kern uiteen in twee brokstukken en twee tot drie neutronen. De vrijkomende neutronen vormen de n-straling, die bijvoorbeeld in Petten gebruikt wordt om radioactieve medische isotopen te maken. B

Met een reactievergelijking kun je weergeven wat er gebeurt als een atoomkern getroffen wordt door bijvoorbeeld een proton, een α-deeltje of een neutron. Het totale aantal kerndeeltjes en de totale elektrische lading blijven bij elke kern­ reactie behouden.

38 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g h i

In een radioactieve bron zijn alle atoomkernen instabiel. Bij radioactief verval ontstaat een atoomkern van een andere atoomsoort. Het atoomnummer geeft het aantal neutronen in een atoomkern weer. Het massagetal geeft het aantal protonen en neutronen in een atoomkern weer. Isotopen zijn atomen met hetzelfde aantal neutronen in de kern en een verschillend aantal protonen. De atoomkern van de koolstofisotoop C-13 bestaat uit zes protonen en zeven neutronen. Bij kernreacties geldt behoud van massagetal en lading. Het aantal neutronen in een kern is het verschil tussen het massagetal A en het atoomnummer Z van de kern. De radioactieve waterstofisotoop H-3 zendt bij verval een α-deeltje uit.

39 In de tabel van figuur 37 zie je de symbolen waarmee het proton, het neutron, het β–-deeltje, het β+-deeltje en het α-deeltje genoteerd worden. Leg voor elk van de vijf deeltjes deze notatie uit met de begrippen ‘atoomnummer’ en ‘massagetal’.

195

Straling en gezondheid 5.4 Radioactief verval Begrijpen

40 In de tabel van figuur 40 staan drie radioactieve isotopen P, Q en R met hun atoomnummer Z en hun aantal neutronen N of hun massagetal A. Geef voor elk van deze radioactieve isotopen antwoord op de volgende vijf vragen. a Wat is de naam van de isotoop? b Welke soort straling zendt de isotoop uit bij radioactief verval? c Welke isotoop is na het radioactief verval ontstaan? d Geef de vervalvergelijking van dit radioactief verval. e Is de na het radioactief verval ontstane isotoop wel of niet radioactief?

41 In de tabel van figuur 41 staan vier radioactieve isotopen. Geef voor elk van deze radioactieve isotopen antwoord op de volgende vier vragen. a Welke soort straling zendt de isotoop uit bij radioactief verval? b Welke isotoop is na het radioactief verval ontstaan? c Geef de vervalvergelijking van dit radioactief verval. d Is de na het radioactief verval ontstane isotoop wel of niet radioactief?

42 Bij radiodiagnostiek wordt onder andere de technetiumisotoop Tc-99m gebruikt. Deze isotoop ontstaat door het verval van de molybdeenisotoop Mo-99. De letter ‘m’ in Tc-99m geeft aan dat de atoomkern instabiel is, doordat de kern te veel energie heeft. Bij dit verval komt alleen een γ-foton vrij. a Geef de vergelijking van het verval van Mo-99 (en dus het ontstaan van ­Tc-99m). b Geef de vergelijking van het verval van Tc-99m. De molybdeenisotoop Mo-99 wordt geproduceerd door het in de natuur voorkomende Mo-100 te beschieten met protonen. Als een kern van Mo-100 wordt getroffen door een proton, ontstaat een kern van Mo-99 en komen er een proton en een neutron vrij. c Geef de reactievergelijking van de productie van Mo-99 uit Mo-100.

43 Bij β-verval komt er een elektron of een positron uit de kern. In beide gevallen gaat daar een ander proces aan vooraf: een neutron wordt omgezet in een proton en een elektron of een proton wordt omgezet in een neutron en een positron. a Noteer voor beide processen de reactievergelijking. In tabel 25B in Binas zie je de stabiele atoomkernen als een lijn zwarte blokjes in het midden weergegeven. − b Leg uit waardoor β -verval optreedt bij instabiele kernen rechts van de zwarte isotopen. Kijk daarvoor naar de grootheid langs de horizontale as. + c Leg uit waardoor β -verval optreedt bij instabiele kernen links van de zwarte isotopen.

44 Thallium (Tl) is vooral bekend als rattengif. Kleine hoeveelheden thallium zijn aan te tonen met de methode van neutronenactivering. Door het stabiele Tl-203 te bestralen met neutronen ontstaat het radioactieve Tl-204. a Geef de reactievergelijking van het ontstaan van Tl-204 uit Tl-203. b Geef de vervalvergelijking van Tl-204.

isotoop

Z

N

P Q R

29 7 6

35

Figuur 40

atoomsoort

isotoop

waterstof stikstof strontium plutonium

H-3 N-12 Sr-90 Pu-240

Figuur 41

A 16 11

196

Beheersen 5.4 Radioactief verval Straling en gezondheid

Beheersen

aantal N (%)

100

halveringstijd

75

50

25

0

·t½

t½



·t½

·t½ tijd t

Figuur 42 In een radioactieve bron neemt het aantal instabiele kernen N af volgens dezelfde vervalkromme als de activiteit.

Je kunt niet voorspellen op welk moment een instabiele kern vervalt. Het verval kan op elk moment plaatsvinden, daar is van te voren helemaal niets over bekend. Ook niet zoiets als ‘de kans op verval binnen 15 s na nu is 50%’. Het begrip kans heeft alleen betekenis voor een grote verzameling radioactieve kernen. Pas bij een groot aantal instabiele kernen ontstaat een duidelijke regelmaat: in een telkens ongeveer gelijke tijdsduur vervalt steeds de helft van de instabiele kernen. Die tijdsduur ken je al: de halveringstijd t1/2. Hoe groter het aantal instabiele kernen in een bron, des te constanter de halveringstijd van de bron. Het aantal instabiele kernen dat per seconde vervalt, de activiteit van de radioactieve bron, hangt af van de halveringstijd van de instabiele isotoop en van het aantal nog aanwezige instabiele kernen. Als het aantal instabiele kernen door radioactief verval tweemaal zo klein is geworden, is ook de activiteit tweemaal zo klein geworden. De afname van het aantal instabiele kernen in de loop van de tijd verloopt dus op precies dezelfde manier als de afname van de activiteit van een radioactieve bron (zie figuur 42). B

Het aantal instabiele atoomkernen N in een radioactieve bron en de activiteit A van die bron nemen op dezelfde manier af in de loop van de tijd t.

aantal N (× 10 6)

Aantal instabiele atoomkernen en halveringstijd Voor het aantal instabiele atoomkernen N na n halveringstijden geldt dus eenzelfde formule als voor de activiteit (zie paragraaf 5.3):

4,5 4,0 3,5

n

N = N 0 · (_12_)

3,0 2,5

In deze formule is N het aantal instabiele atoomkernen op het tijdstip t, N 0 het aantal op t = 0 en het getal n het aantal halveringstijden dat verstreken is:

2,0 1,5

0,5 0

t n = ___ t

ΔN = –2,8·10 6

1,0

1/2

Δt = 6,0 uur 0

2

4

6

8

10

12 14 tijd t (uur)

Figuur 43 De steilheid van de raaklijn geeft aan hoe snel het aantal kernen per seconde afneemt, in dit geval op het tijdstip t = 3,0 uur.

VO O r B e e L D O p g AV e 3 Vraag: Bereken op t = 3,0 uur de activiteit van de bron in figuur 43. Antwoord: In de grafiek van figuur 43 geldt voor de helling van de raaklijn op het tijdstip t = 3,0 uur dat ∆t = 6,0 uur en ∆N = −2,8 · 106 kernen. Voor de activiteit A op dat tijdstip geldt: 2,8 10 6 ∆N A = − (___ = _________ = 1,3 · 10 2 Bq 6,0 × 3600 ∆ t ) raaklijn

In deze formule is t het tijdstip en t1/2 de halveringstijd, beide in dezelfde eenheid. Net als bij halveringsdikte en bij activiteit hoeft n geen geheel getal te zijn en geldt: t/t 1/2

N = N 0 ·(_12_)

Aantal instabiele atoomkernen en activiteit De activiteit van een radioactieve bron is het aantal instabiele atoomkernen dat per seconde vervalt. In een N,t-diagram kun je de activiteit A op een tijdstip t dus bepalen met een raaklijn aan de grafiek, zoals in figuur 43 en in voorbeeldopgave 3. Voor de activiteit A van een radioactieve bron op een tijdstip t geldt dus: ∆N A = − (___ ∆ t ) raaklijn

In deze formule is ∆N de verandering van het aantal instabiele atoomkernen. De waarde van ∆N is negatief, want bij radioactief verval neemt het aantal instabiele atoomkernen af. Door het minteken in de formule is de activiteit van de radioactieve bron positief.

197

Straling en gezondheid 5.4 Radioactief verval Beheersen

dN ∆N Het hellingsgetal (___ wordt vaak verkort geschreven als ___ , de zogeheten ∆ t ) raaklijn t/t 1/2

afgeleide. In de wiskunde is dit de afgeleide van N = N 0 ∙ (_12 )

dt

naar de tijd t.

De formule voor de activiteit A op een tijdstip t is daarom ook te schrijven als: dN A = −_ dt

De gemiddelde activiteit van een radioactieve bron over een langere periode is te berekenen met de totale afname van het aantal instabiele atoomkernen in die periode: ∆N A gem = − _ ∆t

100

aantal N (%)

aantal N (%)

In het N,t-diagram van figuur 44 is op drie tijdstippen de raaklijn aan de grafiek getekend. Dat de activiteit A afneemt naarmate er minder radioactieve kernen over zijn, is te zien aan de afname van de steilheid van de raaklijn.

75

100

75

50

50

25

25

0

0

0,5

1,0

1,5

2,0

Figuur 44 Het N,t-diagram van een radioactieve stof

2,5 3,0 tijd t (uur)

0

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5 3,0 tijd t (uur)

Figuur 45 Het N,t-diagram van een radioactieve stof met een kleinere halveringstijd

Het N,t-diagram van figuur 45 hoort bij een radioactieve stof met een kleinere halveringstijd. Ook in dit diagram is op drie tijdstippen de raaklijn getekend. Op die drie tijdstippen is het aantal instabiele atoomkernen gelijk aan die in figuur 44. Maar op elk van die drie tijdstippen is de steilheid van de raaklijn in figuur 45 groter dan die in figuur 44. Dus: hoe kleiner de halveringstijd t1/2 is, des te groter is de activiteit A (bij hetzelfde aantal instabiele atoomkernen N). De activiteit A van een radioactieve bron is dus groter naarmate het aantal instabiele atoomkernen N groter is en naarmate de halveringstijd t1/2 van de radioactieve stof kleiner is. Het precieze verband tussen deze drie grootheden is wiskundig af te leiden (zie werkblad W5): 0,693

ln 2 ____ · N A = ____ t ·N= t 1/2

W5 Activiteit en halveringstijd

1/2

In deze formule is A de activiteit (in Bq), t1/2 de halveringstijd (in s) en N het aantal instabiele atoomkernen.

TRACERS Bij radiodiagnostiek worden tracers gebruikt met een relatief kleine halveringstijd. Hoe kleiner de halveringstijd t1/2, des te groter is, bij gelijk aantal radioactieve kernen, de activiteit A. ln2 Dat zie je ook aan de formule A = ______ t · N. 1/2

Van een tracer met kortere halveringstijd zijn er minder instabiele atoomkernen N nodig om een activiteit A te leveren die groot genoeg is om een opname te maken met de γ-camera. Dus: hoe kleiner de halveringstijd van de tracer is, hoe minder je nodig hebt van de tracer, en des te lager is de stralingsbelasting van de patiënt. Maar de halveringstijd moet natuurlijk wel lang genoeg zijn om het onderzoek te kunnen doen (toediening van de stof met de tracer, verspreiding of concentratie in het lichaam en daarna nog de metingen).

198

Beheersen 5.4 Radioactief verval Straling en gezondheid

De ‘ln 2’ in de formule is de natuurlijke logaritme van 2. Met je rekenmachine kun je berekenen dat daar 0,693 uitkomt. Aan de formule zie je ook dat de activiteit A van een radioactieve bron recht evenredig is met het aantal instabiele atoomkernen N, en omgekeerd evenredig met de halveringstijd t1/2 van de radioactieve stof.

Atomaire massa-eenheid

VO O r B e e L D O p g AV e 4

t/t 1/2

Een radioactieve bron bevat 5,00 g van de lithiumisotoop Li-8. Vraag: Bereken het aantal instabiele Li-8 atoomkernen. Antwoord: De atoommassa van Li-8 is 8,02 · u (zie Binas). Voor de massa ma van één atoom Li-8 geldt dan:

ma = 8,02 × 1,66 · 10–27 = 1,33 · 10–26 kg Het aantal atomen is nu de totale massa gedeeld door de atoommassa: 5,00 10 −3 m ________ 23 N = ___ m a = 1,33 10 −26 = 3,76 · 10

De radioactieve bron bevat dus 3,76 · 1023 instabiele atoomkernen.

Om de formule N = N 0 · (_12_) te kunnen gebruiken, moet het aantal instabiele atoomkernen N0 op het tijdstip t = 0 bekend zijn. Vaak is echter alleen de totale massa van de radioactieve isotoop in de bron bekend, zoals in voorbeeldopgave 4. Het aantal instabiele kernen bereken je dan met de in Binas tabel 25 voor elke isotoop gegeven atoommassa. Dat is de massa van één enkel atoom, uitgedrukt in de atomaire massa-eenheid (symbool: u). Deze atomaire massa-eenheid heeft de grootte: u = 1,66 · 10−27 kg. De massa van een atoom is dan gelijk aan zijn atoommassa maal de atomaire massa-eenheid. B

De atoommassa is de massa van een enkel atoom, uitgedrukt in de atomaire massa-eenheid u.

45 De paragraafvraag is: Hoe verandert een instabiele atoomkern bij het uitzenden van kernstraling? Wat is het antwoord op deze vraag?

46 Twee radioactieve bronnen A en B hebben op t = 0 evenveel instabiele atoomkernen, maar de halveringstijd van bron A is 64 uur en die van bron B 8,0 uur. Leg aan de hand van een formule uit hoeveel keer zo groot of klein de activiteit van bron B is vergeleken met de activiteit van bron A op t = 0.

47 Een radioactieve bron bevat op het tijdstip t = 0 een groot aantal instabiele atoomkernen. Hoe is het aantal instabiele atoomkernen veranderd na drie halveringstijden? b Beredeneer hoe de activiteit van de bron is veranderd na drie halveringstijden. c Leg uit dat de massa van deze bron niet achtmaal zo klein is geworden. d Wat heb je nodig om de massa van de bron te berekenen? En hoe bereken je hiermee de massa? a

aantal N (× 10 6)

48 Een radioactieve bron met de poloniumisotoop Po-210 bevat 40 · 108 instabiele atoomkernen op het tijdstip t = 0. Deze poloniumisotoop vervalt tot de loodisotoop Pb-206. De kernen van Pb-206 zijn stabiel. a Leg uit welke soort kernstraling Po-210 uitzendt bij verval. b Bereken de totale massa van de kernen Po-210 op t = 0. c Leg uit hoeveel kernen Po-210 de radioactieve bron bevat na drie halveringstijden. d Leg uit hoeveel kernen Pb-206 de radioactieve bron bevat na drie halveringstijden.

7 6 5 4 3 2

49 T In figuur 46 is het vervaldiagram van een radioactieve bron weergegeven.

1 0

0

Figuur 46

20

40

60

80

100 120 tijd t (uur)

Deze figuur staat ook op het tekenblad. Lees in dit diagram de halveringstijd van de radioactieve stof af. b Bepaal met behulp van een raaklijn de activiteit op het tijdstip t = 30 uur. a

199

Straling en gezondheid 5.4 Radioactief verval Beheersen

c d e

f g

Bepaal de activiteit op het tijdstip t = 90 uur. Leg uit dat de activiteit op t = 90 uur viermaal zo klein is als die op t = 30 uur. Bereken de activiteit A op t = 30 uur met de formule ​A = ____ ​ ln​t​ 2 ​​ · N ​en laat 1/2

zien dat het antwoord overeenkomt met je antwoord bij vraag b. Bereken ook de activiteit van deze bron op t = 0. Beschrijf hoe je het antwoord op f kunt controleren met behulp van het diagram.

50 Van een radioactieve bron met de poloniumisotoop Po-210 vervallen ­gedurende een uur 8,2 · 105 instabiele atoomkernen. a Controleer met een berekening dat de (gemiddelde) activiteit van de bron in die periode 0,23 kBq is. b De activiteit van de radioactieve bron is in dat uur (vrijwel) constant. L ­ icht dit toe. c Bereken de massa in kilogram van Po-210 in deze bron.

51 De radioactieve radonisotoop Rn-222 wordt in de aardkorst gevormd door het verval van de radiumisotoop Ra-226. a Geef de vergelijking van het verval van Ra-226. b Geef de vergelijking van het verval van Rn-222. Het Rn-222 is gasvormig, en komt vanuit de aardkorst in de buitenlucht. In Nederland is de activiteit van Rn-222 in een kubieke meter buitenlucht gemiddeld 3,0 Bq. c Bereken het gemiddelde aantal atoomkernen Rn-222 in een kubieke meter buitenlucht. 3 d Bereken de massa van de isotoop Rn-222 per m buitenlucht.

52 Neutronenactivering is een onderzoeksmethode waarbij zeer kleine hoeveelheden van een bepaalde stof kunnen worden aangetoond door ‘bestraling’ met neutronen. Neutronen komen niet vrij bij verval van een instabiele kern, en je kunt ze ook niet versnellen om er mee te ‘schieten’, maar bij kernsplijting in een kernreactor worden wel snelle neutronen uitgestraald. Dit soort onderzoek wordt dan ook gedaan in een laboratorium zoals in Petten bij een onderzoeksreactor. Men vermoedt dat iemand aan een arsenicum­vergiftiging is overleden. Een haar van deze persoon wordt met de genoemde methode onderzocht op de aanwezigheid van arsenicum (arseen). Als de arseenisotoop As-75 aanwezig is, wordt die door de bestraling met neutronen omgezet in As-76. De arseenisotoop As-76 is radioactief en vervalt onder uitzending van β- en γ-straling. a Geef de vergelijking van het ontstaan en van het verval van As-76. Om arseen aan te tonen wordt zijn halveringstijd gebruikt. Eerst wordt met een GM-teller de intensiteit van de (constante) achtergrondstraling gemeten: 24 cpm (counts per minute). Vervolgens wordt de stralingsintensiteit gemeten van de verdachte mensenhaar die met neutronen is bestraald: 164 cpm. Na 53,6 uur wordt deze meting herhaald, met 59 cpm als resultaat. Neem aan dat door de neutronenbestraling één stof radioactief is geworden. b Leg met behulp van een berekening uit of men uit deze metingen de conclusie kan trekken dat deze stof arseen zou kunnen zijn. Bij onderzoek aan een met arseen besmette haar heeft men gemeten dat de activiteit van het arseen in de haar 12 Bq is. c Bereken de massa (in kg) van de arseenisotoop As-76 in de haar bij deze meting.

Oefenen A Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 5.2 t/m 5.4 begrepen hebt.

200

Straling en gezondheid

5.5 W6 Stralingsschade en bescherming Experiment 3: Stralingsintensiteit en afstand

Stralingsbelasting

OnTDeKKen De absorptie van röntgen- of kernstraling in het lichaam kan schadelijke gevolgen hebben. Voor de patiënt in het ziekenhuis moet het nut van het onderzoek of de therapie opwegen tegen het risico dat verbonden is aan het gebruik van ioniserende straling. Voor het personeel moet de hoeveelheid straling zo laag mogelijk blijven.

pA r Ag r A A F V r A Ag Wat zijn de risico’s van röntgen- en kernstraling en hoe kun je daartegen beschermd worden?

Begrijpen Elektromagnetische straling De verschillende soorten straling uit het elektromagnetisch spectrum (zie figuur 47) hebben verschillende effecten op het menselijk lichaam. Van straling die geen ioniserende werking heeft (radio- en microgolven, IR-straling en licht), is alleen bekend dat een hoge stralingsintensiteit een opwarmend effect heeft. De fotonenergie van deze soorten straling is te klein om cellen te beschadigen. Absorptie van UV-straling met lagere frequenties geeft bruining of verbranding van de huid. UV-straling met hogere frequenties, röntgenstraling en gammastraling kunnen door hun ioniserend vermogen wel schadelijk zijn voor het lichaam. Datzelfde geldt voor de α- en β-straling die niet tot het elektromagnetisch spectrum behoren. AM

KG FM TV

radiogolven

10

0

10

3

microgolven IR

10

6

10

9

10

12

UV

10

15

röntgenstraling gammastraling

10

18

10

21

frequentie (Hz) zichtbaar licht

Figuur 47 Overzicht van het frequentiespectrum en de soorten elektromagnetische straling

UV-STRALING De UV-straling in het elektromagnetisch spectrum is ioniserende straling. Dat betekent dat de energie van de fotonen groot genoeg is om schade aan het lichaam te veroorzaken. De straling van de zon bestaat voor een deel uit UV-straling. Deze UV-straling wordt ingedeeld in drie soorten UV-A, UV-B en UV-C. Bij UV-A is de fotonenergie het kleinst, bij UV-C het grootst. De UV-straling die het aardoppervlak bereikt, bestaat voor 98,7% uit UV-A. Deze soort UV-straling veroorzaakt veroudering van de huid: de huid wordt dunner en er ontstaan rimpels. Andere mogelijke effecten zijn het ontstaan van de oogziekte staar en van melanomen, de dodelijkste vorm van huidkanker. UV-B vormt 1,3% van de UV-straling die het aardoppervlak bereikt. Deze soort UV-straling heeft als effect het verbranden en bruin worden van de huid, en kan op termijn andere, minder agressieve vormen van huidkanker veroorzaken. Een positief effect is de aanmaak van vitamine D door de huid. UV-C straling wordt volledig door de atmosfeer van de aarde tegengehouden. Deze soort UV-straling is dodelijk voor huidcellen, en veroorzaakt binnen korte tijd zenuwbeschadigingen.

201

Straling en gezondheid 5.5 Stralingsbelasting Begrijpen

Stralingsenergie en (equivalente) dosis

medische toepassing

H (mSv)

De absorptie van ioniserende straling in het lichaam komt neer op de absorptie van stralingsenergie. Er wordt geen straling in het lichaam opgeslagen en het lichaam wordt ook niet radioactief. De totale hoeveelheid geabsorbeerde stralingsenergie is bovendien veel te gering om het lichaam op te warmen. De energie per foton of per deeltje is echter wel groot genoeg om door ionisatie weefsels en het DNA in cellen te beschadigen, met op langere termijn kans op het ontstaan van tumoren.

röntgenfoto gebit röntgenfoto longen scintigram schildklier met I-131 scintigram skelet met Tc-99m CT-scan

0,01 0,1 4 6 10

Een maat voor de geabsorbeerde hoeveelheid stralingsenergie bij röntgen- en kernstraling is de dosis (symbool: D). De dosis geeft de geabsorbeerde stralingsenergie per kg van het bestraalde lichaamsdeel of voorwerp aan. De eenheid van de dosis D is de gray (afgekort Gy). Een dosis van 1 Gy betekent een stralingsabsorptie van 1 J/kg. De mogelijk aangerichte schade in het lichaam hangt af van de dosis en van de soort straling: de ene soort straling kan meer schade aanrichten dan de andere. Een goede maat voor de mogelijke schade in het lichaam is de equivalente dosis (symbool: H). Daarmee wordt rekening gehouden met de dosis en met het verschil in schadelijkheid van de verschillende soorten straling. De eenheid van de equivalente dosis H is de sievert (afgekort: Sv). Een stralingsdosis van 1 Sv is heel groot. In de praktijk wordt een equivalente dosis daarom meestal opgegeven in millisievert (mSv) of zelfs microsievert (μSv): 1 mSv = 1 · 10−3 Sv en 1 μSv = 1 · 10−6 Sv. B

B

B

Absorptie van röntgenstraling of kernstraling betekent absorptie van stralingsenergie. De dosis D met de eenheid gray (Gy) is een maat voor de hoeveelheid geabsorbeerde stralingsenergie per kilogram materiaal. De equivalente dosis H met de eenheid sievert (Sv) is een maat voor het mogelijke effect van ioniserende straling op het menselijk lichaam, rekening houdend met het soort straling.

Figuur 48 Voorbeelden van de equivalente dosis H (in mSv) die je oploopt bij medische toepassingen van ioniserende straling.

STRALINGSSCHADE Ioniserende straling kan het DNA in de celkern beschadigen, met ongecontroleerde celdeling als mogelijk gevolg en (dus) het ontstaan van een tumor. Vooral weefsels waarin vaak celdelingen optreden, zoals het beenmerg en het slijmvlies in de darmen, zijn hier gevoelig voor. Ook is ioniserende straling daardoor voor opgroeiende kinderen gevaarlijker dan voor volwassenen. De kans op het ontstaan van tumoren is groter naarmate de equivalente dosis groter is geweest. Bij een equivalente dosis onder de 100 mSv per jaar zijn tot nu toe geen effecten aangetoond, onder andere doordat moeilijk is vast te stellen wat de oorzaak van het ontstaan van een tumor is geweest.

Effecten Na een hoge equivalente dosis (meer dan 5 Sv) is het effect van ioniserende straling op het lichaam vrijwel direct merkbaar. Organen raken beschadigd of het lichaam als geheel wordt ziek. Er worden zoveel cellen beschadigd dat het weefsel zich niet meer kan herstellen. Er is in dit geval sprake van stralingsziekte met een dodelijke afloop. Na een lage equivalente dosis (minder dan 250 mSv) treden op korte termijn geen effecten op. Sommige beschadigingen repareren de cellen zelf. Dode cellen worden door het weefsel zelf vervangen. Er treedt echter een gevaarlijke situatie op als een cel het wél overleeft, maar het DNA in de celkern zó is beschadigd dat er geen controle over de celdeling meer is. Er ontstaat dan een tumor. In dat geval is sprake van een effect op langere termijn. B B

Het effect van een hoge equivalente dosis is stralingsziekte op korte termijn. Het effect van een lage equivalente dosis is een kans op tumorvorming op langere termijn.

Figuur 49 Straling kan het DNA in cellen beschadigen.

202

Begrijpen 5.5 Stralingsbelasting Straling en gezondheid

bron

H (mSv)

Achtergrondstraling

kosmische straling (op zeeniveau) bodem en woonomgeving voedsel, water en lucht

0,25 0,4 1,15

achtergrondstraling totaal

1,8

De aarde wordt van buitenaf voortdurend gebombardeerd door allerlei snelle deeltjes, röntgenstraling en γ-straling. Deze kosmische straling komt van de zon en andere sterren. Gelukkig absorbeert de atmosfeer deze straling grotendeels. Maar hoog in de bergen en op vlieghoogte is er nog maar weinig geabsorbeerd en ontvang je een grotere dosis kosmische straling. Ook komt er straling uit radioactieve stoffen in de grond, in de lucht en in bouwmaterialen.

Figuur 50 Schatting van de gemiddelde jaarlijkse equivalente dosis in Nederland als gevolg van de achtergrondstraling

Sinds het ontstaan van de aarde zijn in de aardkorst radioactieve stoffen aanwezig. Daarvan zijn nu nog de radioactieve isotopen met heel lange halveringstijden over, zoals uranium (U-238), kalium (K-40) en thorium (Th-232). Deze isotopen kunnen ook voorkomen in bouwmaterialen zoals baksteen, beton en gips. In de lucht zitten de gasvormige radonisotopen Rn-222 en Rn-220, die ontstaan als vervalproduct in de bodem en in bouwmaterialen. In ons voedsel, in de lucht die we inademen en in het water dat we drinken zitten daardoor kleine hoeveelheden radioactieve stoffen. Die stoffen zorgen voor bestraling van ons lichaam, zowel van buitenaf als van binnenuit. Overal op aarde is dus sprake van straling. We noemen dat de achtergrondstraling. In Nederland is de equivalente dosis hiervan ongeveer 2 mSv per jaar. Maar er zijn gebieden op aarde waar dit 10 mSv per jaar is door een andere ­samenstelling van de bodem. B

De achtergrondstraling bestaat uit kosmische straling en straling afkomstig van radioactieve stoffen op aarde, in de lucht en in bouwmaterialen.

Bestraling en besmetting De meeste stralingsbronnen bevinden zich buiten het lichaam. Deze zorgen voor ­uitwendige bestraling van het lichaam. Maar radioactieve stoffen kunnen zich ook in of op het lichaam bevinden. Er is dan sprake van besmetting met radioactieve stoffen. In het lichaam zorgen zulke bronnen voor inwendige bestraling van het lichaam. Voor het risico dat je bij blootstelling aan straling loopt, maakt het uit om welk soort straling het gaat. Bovendien maakt het uit of de stralingsbron zich buiten of binnen het lichaam bevindt. Alfa- en bètastraling – Bij absorptie van α- en β-straling botsen deze deeltjes tegen atomen, waarbij telkens een klein deel van hun energie wordt gebruikt om die atomen te ioniseren. De snelheid neemt bij elke botsing af tot de deeltjes uiteindelijk stil staan en in het materiaal zijn opgenomen. De afstand die α- en β-deeltjes afleggen in het materiaal wordt de dracht van α- en β-straling genoemd. Als het materiaal dik genoeg is, wordt dus alle α- en β-straling geabsorbeerd. De dracht van α- en β-straling hangt af van de energie van de deeltjes en van het soort absorberend materiaal. In de tabel van figuur 52 staan enkele voorbeelden. Figuur 51 Sporen van α-deeltjes in lucht. De dracht is de afstand die de deeltjes afleggen totdat ze stilstaan. Wat je ziet zijn microscopisch kleine waterdruppeltjes die gecondenseerd zijn rond geïoniseerde luchtmoleculen.

soort straling

dracht in lucht

dracht in water

dracht in perspex

dracht in aluminium

α-straling β-straling

1 – 7 cm 0,2 – 1 m

20 – 80 µm 0,1 – 10 mm

< 9 mm

< 4 mm

Figuur 52 De dracht van α- en β-straling in een aantal materialen

203

Straling en gezondheid 5.5 Stralingsbelasting Begrijpen

Röntgen- en gammastraling – De fotonen van röntgen- en γ-straling kunnen niet worden afgeremd: ze bewegen altijd met de lichtsnelheid. Elk foton wordt apart geabsorbeerd door een atoom in het materiaal, het ene foton eerder dan het andere. Dat atoom wordt daarbij geïoniseerd. De absorptie van röntgen- en γ-straling is nooit volledig: er zijn altijd fotonen die door het materiaal heen dringen. De dikte van het materiaal waarbij de helft van het aantal fotonen wordt geabsorbeerd is de halveringsdikte. Uitwendige bestraling – Bij bestraling door bronnen buiten het lichaam is α-straling vrijwel ongevaarlijk. De α-deeltjes geven al hun energie af aan dode cellen in de hoornlaag van de opperhuid. De β-deeltjes dringen iets dieper door, maar het is de γ-straling die diep in het lichaam kan doordringen en daar ionisaties kan veroorzaken. Inwendige bestraling – Bij inwendige bestraling door radioactieve stoffen in het lichaam is α-straling veel gevaarlijker dan γ-straling, doordat α-deeltjes een groot aantal ionisaties in een klein gebied veroorzaken. Een gasvormige α-straler kan bij inademing in de longen grote schade aanrichten in de longblaasjes. De β-straling neemt een tussenpositie in. Het opnemen van radioactieve stoffen via voedsel of inademing is vooral gevaarlijk als het gaat om radioactieve isotopen van stoffen die van nature in het lichaam voorkomen. Een voorbeeld is jodium, dat van nature door het lichaam wordt opgenomen en zich concentreert in de schildklier. De β-straler I-131 kan daardoor een hoge dosis in de schildklier veroorzaken. B

B

B

De α- en β‒-deeltjes remmen in een materiaal geleidelijk af. De absorptie van α- en β-straling is volledig als het materiaal dikker is dan de dracht van de straling. De röntgen- en γ-fotonen worden in een materiaal niet afgeremd, maar ineens geabsorbeerd. De absorptie van röntgen- en γ-straling is nooit helemaal volledig. De door ioniserende straling aangerichte schade in het lichaam hangt af van de dosis en van de soort straling in combinatie met de manier van bestralen. Bij uitwendige bestraling is α-straling vrij ongevaarlijk, maar bij inwendige bestraling is het gevaar van α-straling juist groot.

stralingsbescherming Mensen die met stralingsbronnen werken, moeten beschermd worden. Bij uitwendige bestraling zijn er drie mogelijkheden voor stralingsbescherming. Blootstellingstijd – Hoe korter het lichaam aan straling wordt blootgesteld, des te kleiner is de opgelopen dosis. Afstand – Een radioactieve bron geeft geen evenwijdige bundel straling. De bundel ‘verdunt’ als het ware naarmate hij verder van de bron is (zie figuur 54). Bij grotere afstand tot de bron is daardoor de stralingsintensiteit kleiner, en dus ook de opgelopen dosis. Afscherming – De opgelopen dosis kun je beperken door absorberende materialen als beton en lood tussen de bron en het lichaam te plaatsen.

Figuur 53 In een ziekenhuis en in een kerncentrale draagt het personeel een dosimeter. Daarop is achteraf te zien hoe groot de dosis externe straling is geweest waaraan iemand is blootgesteld.

bron

r 2·r 3·r

Figuur 54 De intensiteit van de straling is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand tot de puntvormige bron.

204

FALL-OUT Bij een proefexplosie van een kernbom en bij een ongeluk in een kerncentrale kunnen radioactieve stoffen in het milieu terechtkomen. Dit wordt fall-out genoemd. Als deze fall-out ernstig is, wordt een groot gebied rond de stralingshaard ontruimd: evacuatie. De mensen mogen pas terugkomen als de activiteit van de verspreide radioactieve stoffen voldoende is afgenomen. Dat kan tientallen jaren duren. In een nog groter gebied rond de plaats van het ongeval kan dit leiden tot het advies om een aantal dagen binnen te blijven, met de ramen en deuren gesloten, en tot vernietiging van radioactief besmet voedsel.

Begrijpen Maak de opgaven in je boek of online.

Begrijpen 5.5 Stralingsbelasting Straling en gezondheid

Figuur 55 Bij het werken met radioactieve stoffen wordt in de praktijk vaak gebruik­ gemaakt van afstandsbediening en afscherming met loodglas.

Figuur 56 In een ziekenhuis kan het verplegend personeel zich tegen straling beschermen door het dragen van een (oranje) loodschort.

Besmetting met radioactieve stoffen op het lichaam is te bestrijden door grondig wassen. Ook besmette kleding moet worden gewassen of weggegooid en als radioactief afval worden verwerkt. Tegen besmetting met radioactieve stoffen in het lichaam door inademing kan een masker helpen. Tegen inwendige besmetting met radioactieve gassen dragen hulpverleners bij ongelukken gesloten maskers en zuurstofflessen. Bij ernstige besmetting waarbij de radioactieve stof in het lichaam γ​ ​-straling uitzendt, wordt de persoon, ter bescherming van de omgeving, geïsoleerd in een afgeschermde kamer totdat de activiteit voldoende is afgenomen. B

B

De veiligheidsmaatregelen tegen uitwendige bestraling zijn blootstellingstijd beperken, afstand houden en afschermen van de bron. De veiligheidsmaatregelen tegen besmetting door radioactieve stoffen zijn grondig wassen, isolatie en evacuatie.

53 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g

Als de dikte van een absorberend materiaal groter is dan de halveringsdikte, worden röntgen- en γ-straling volledig door het materiaal geabsorbeerd. Als een absorberend materiaal maar dik genoeg is, worden α- en β-straling volledig door het materiaal geabsorbeerd. Bij het berekenen van de equivalente dosis wordt rekening gehouden met het soort weefsel dat de straling absorbeert. Röntgen- en γ-straling geven hun energie geleidelijk af door botsingen met atomen. Daardoor neemt hun snelheid af. Bij het maken van een röntgenopname is sprake van uitwendige bestraling. Bij het gebruik van een radioactieve stof als tracer is sprake van besmetting. Bij uitwendige bestraling is vooral α-straling gevaarlijk.

54 Bij stralingsabsorptie heb je te maken met twee grootheden: dracht en halveringsdikte. a Beschrijf wat wordt bedoeld met de dracht van ioniserende straling. Bij welke s­ oorten straling speelt deze grootheid een rol? b Beschrijf wat wordt bedoeld met de halveringsdikte van een materiaal. Bij welke soorten straling speelt deze grootheid een rol?

Straling en gezondheid 5.5 Stralingsbelasting Begrijpen

55 In de Tour de France van 2010 kwam wielrenner Jens Voigt zwaar ten val na een klapband, met onder andere een gebroken rib als gevolg. Van die gebroken rib liet hij geen foto maken. Zijn argument daarvoor: ‘Ik ben tegen röntgenfoto’s, die zijn radioactief.’ a Geef commentaar op deze uitspraak. De schoonmakers op de röntgenafdeling van een ziekenhuis willen een loodschort dragen om zich te beschermen tegen straling. b Leg uit of deze veiligheidsmaatregel wel of niet nodig is.

56 Iedereen heeft te maken met achtergrondstraling. In Nederland is de gemiddelde equivalente dosis door achtergrondstraling 1,8 mSv per jaar. a Een deel van de achtergrondstraling komt uit je eigen lichaam. Leg uit hoe die radioactieve stoffen in je lichaam terecht zijn gekomen. b Hoeveel röntgenopnamen moet je van je gebit laten maken, voordat de equivalente dosis daardoor gelijk is aan de gemiddelde equivalente dosis door achtergrondstraling per jaar? c Hoeveel keer zo groot is de gemiddelde equivalente dosis door achtergrondstraling per jaar bij een CT-scan, vergeleken met de gemiddelde ­equivalente dosis door achtergrondstraling per jaar?

57 In het ziekenhuis wordt ioniserende straling voor verschillende toepassingen gebruikt. a Bij sommige toepassingen moet er veel stralingsenergie in een klein gebied afgegeven worden. Leg uit welke soorten straling daarvoor geschikt zijn. b Bij medische beeldvorming moet buiten het lichaam de straling van een bron binnen het lichaam gedetecteerd worden. Leg uit welke soorten ­straling daarvoor geschikt zijn. c Leg uit waarom er bij gebruik van röntgenstraling nooit sprake kan zijn van besmetting.

58 Na een ongeluk met een kerncentrale wordt het grootste gevaar voor de bevolking gevormd door inwendige bestraling ten gevolge van besmetting. a Leg uit wat het verschil is tussen bestraling en besmetting. b Welke maatregelen kun je nemen als sprake is van uitwendige besmetting? c Geef een voorbeeld van een radioactieve stof die inwendige besmetting veroorzaakt. Leg uit waardoor die stof een groot gevaar kan opleveren voor de bevolking.

59 Via voedsel en ademhaling komen vooral de volgende radioactieve isotopen in het lichaam terecht: C-14, K-40, Ra-226 en Rn-222. a Ga na of deze isotopen α-, β- of γ-stralers zijn. b Welke van deze isotopen zijn in het lichaam het gevaarlijkst, als je alleen kijkt naar de soort straling die ze uitzenden? Licht je antwoord toe.

60 Leg uit waarom een tumor die diep in het lichaam ligt, meestal vanuit een ­aantal verschillende richtingen wordt bestraald.

61 Bij de techniek van voedseldoorstraling wordt voedsel met röntgen- of γ-straling behandeld om bacteriën en schimmels te doden. Daardoor is het voedsel langer houdbaar. Doorstraling is dus een vorm van voedselconservering. a Leg uit waarom voor voedseldoorstraling geen α- of β-straling gebruikt wordt. b Leg uit dat voedsel door een behandeling met röntgen- of γ-straling niet zelf radioactief wordt.

205

206

Beheersen 5.5 Stralingsbelasting Straling en gezondheid

B EHEERSEN Dosis De dosis D geeft de hoeveelheid stralingsenergie aan die per kg van het bestraalde lichaam(sdeel) of voorwerp is geabsorbeerd: ​E​  ​​

​D = ___ ​  mstr ​​ In deze formule is D de dosis (in J/kg of Gy), Estr de geabsorbeerde stralingsenergie (in J) en m de massa van het voorwerp (in kg). soort straling

wR

Equivalente dosis

α-straling β-straling γ-straling

20 1 1 1

Een dosis van 1 Gy blijkt bij röntgen-, γ- en β-straling ongeveer hetzelfde biologische effect te hebben. Maar bij een even grote dosis α-straling is het biologische effect twintig maal zo groot, doordat α-deeltjes een relatief groot ioniserend vermogen hebben. Dit verschil in biologisch effect wordt ondervangen met de volgende formule:

röntgenstraling

Figuur 57 De stralingsweegfactor wR voor de verschillende soorten straling

H = wR · D In deze formule is H de equivalente dosis (in Sv), wR een stralingsweegfactor (zonder eenheid) en D de dosis (in Gy). De letter ‘R’ in wR staat voor ‘radiation’. De stralingsweegfactor wR is een getal dat afhangt van de soort straling (zie de tabel van figuur 57 en Binas).

Stralingsnormen

DOSIS, EQUIVALENTE DOSIS EN EFFECTIEVE TOTALE LICHAAMSDOSIS Als het gaat om het effect van straling op het menselijk lichaam, is de equivalente dosis belangrijker dan de dosis. Toch wordt in plaats van het woord equivalente dosis vaak het woord dosis gebruikt. Dat is niet correct maar wel korter en dus gemakkelijker. Aan de eenheid (Gy of Sv) kun je dan toch zien wat er wordt bedoeld: de dosis of de equivalente dosis. De effectieve totale lichaamsdosis is hetzelfde als de equivalente dosis bij bestraling van het lichaam als geheel, als geen rekening ­gehouden wordt met de speciale gevoeligheid van bijvoorbeeld de ogen of de geslachts­ organen.

Blootstelling aan ioniserende straling brengt altijd risico’s met zich mee. Daarom staan er in de Nederlandse wet stralingsbeschermingsnormen of dosislimieten voor ioniserende straling. Die geven aan hoe groot de equivalente dosis per jaar mag zijn voor ‘individuele leden van de bevolking’ en ook voor mensen die beroepsmatig met straling te maken hebben. In de wet heet deze equivalente dosis de effectieve totale lichaamsdosis (zie Binas). De dosislimieten gelden voor een opgelopen dosis bovenop de algemene achtergrondstraling in Nederland en afgezien van medische toepassingen. Een effectieve totale lichaamsdosis kleiner dan de stralingsnorm betekent niet dat die dosis veilig is. Er is dan echter sprake van een aanvaardbaar geacht risico voor de samenleving als geheel. B

De stralingsnormen of dosislimieten geven aan welke effectieve totale lichaamsdosis verschillende bevolkingsgroepen maximaal mogen oplopen, waarbij de achtergrondstraling en de straling bij medische toepassingen niet meetellen.

62 De paragraafvraag is: Wat zijn de risico’s van röntgen- en kernstraling en hoe kun je daartegen beschermd worden? Wat is het antwoord op deze vraag?

63 Voor de stralingsbelasting worden drie grootheden gebruikt: dosis, equivalente dosis en effectieve totale lichaamsdosis. a Beschrijf het verschil tussen deze drie grootheden. b Geef aan bij welke soort straling (α-, β-, γ- of röntgenstraling) de stralingsweeg­factor het grootst is.

207

Straling en gezondheid 5.5 Stralingsbelasting Beheersen

c

Geef aan bij welke soorten straling de dosis (in gray) even groot is als de equivalente dosis (in sievert). In Binas vind je stralingsbeschermingsnormen of dosislimieten. d Hoe groot mag volgens de wet de jaarlijkse stralingsbelasting voor jou zijn? e Leg uit waarom voor deze normen de effectieve totale lichaamsdosis gebruikt wordt. f Leg uit waarom de dosislimieten voor jongeren (16 – 18 jaar) in beroepsopleiding strenger zijn dan voor volwassenen vanaf 18 jaar.

64 Een medewerkster op de röntgenafdeling van een ziekenhuis wordt per ongeluk gedurende 25 s blootgesteld aan röntgenstraling met een vermogen van 0,15 μW. Van deze straling wordt 73% geabsorbeerd door het lichaam. De medewerkster heeft een massa van 70 kg. Bereken de effectieve totale lichaamsdosis (in µSv = microsievert) die de medewerkster oploopt.

65 Een menselijk lichaam bevat een hoeveelheid van de radioactieve kaliumisotoop K-40. Bij iemand is de activiteit hiervan 8,2 · 102 Bq. – a Geef de vergelijking voor het β -verval van K-40. b Bereken de energie (in J) die vrijkomt bij het verval van een kern K-40. Zie Binas en gebruik het gegeven dat 1 MeV = 1,60 · 10−13 J. c Leg uit waardoor de activiteit van K-40 gedurende een jaar vrijwel constant blijft. Kalium-40 is voornamelijk aanwezig in spierweefsel, bij deze persoon 28 kg. Neem aan dat alle energie uit het verval door het spierweefsel wordt geabsorbeerd. d Leg uit waarom dit een redelijke aanname is. e Bereken de equivalente dosis die het spierweefsel door dit verval in een jaar oploopt.

66 Een ‘hartfoto’ wordt gemaakt met een gammacamera. Enige tijd voordat de opname gemaakt wordt, spuit men bij de patiënt een oplossing van kaliumchloride in. Een deel van het kalium bestaat uit de isotoop K-43 dat als tracer dienst doet. Kalium, dus ook K-43, wordt beter opgenomen door goed werkende hartspieren dan door slecht werkende hartspieren. In figuur 58 zie je een opname van een goed werkende hartspier en van een slecht werkende. a Leg uit welke opname die van een slecht werkende hartspier is. In de tabel van figuur 59 staan gegevens van twee isotopen: kalium-43 en thallium-201. isotoop

soort straling en energie

halveringstijd (uur)

K-43

β (830 keV)

γ (619 keV)

22

Tl-201

–

γ (135 keV)

72

Figuur 59

Voor hartonderzoek gebruikt men ook wel de isotoop Tl-201. Deze isotoop wordt even goed door het hart opgenomen als K-43. b Noem één voordeel en één nadeel van het gebruik van de Tl-isotoop ten opzichte van de K-isotoop. Geef zowel bij het voordeel als bij het nadeel een toelichting.

Figuur 58 Scintigram van de hartspier van twee patiënten

208

Beheersen 5.5 Stralingsbelasting Straling en gezondheid

67 De radioactieve radonisotoop Rn-222 wordt in de aardkorst gevormd door het verval van andere radioactieve isotopen. Daardoor bevat de buitenlucht, en dus ook de longen van de mens, een kleine hoeveelheid radioactief radongas. Dit radongas geeft bij radioactief verval in de longen een stralingsvermogen van 5,3 · 10−14 W af. De massa van de longen is 1,0 kg. a Geef de vergelijking van het verval van Rn-222. b Bereken de energie (in J) die vrijkomt bij het verval van een kern Rn-222. Zie Binas voor de energie van het α-deeltje (in MeV), en gebruik het gegeven dat 1 MeV = 1,60 · 10−13 J. c Bereken de activiteit van het radongas in de longen. d Bereken de equivalente dosis die de longen door dit verval in een jaar oplopen. De gemiddelde jaarlijkse equivalente lichaamsdosis door de straling van radongas in Nederland is 0,8 mSv. Dat is veel meer dan de equivalente dosis zoals berekend in vraag d. e Geef een verklaring voor dit verschil.

68 Twee voorwerpen A en B worden bestraald: voorwerp A met α-straling en voorwerp B met β−-straling. Beide voorwerpen absorberen daarbij evenveel stralingsenergie. De massa van voorwerp A is tweemaal zo groot als die van voorwerp B. a Beredeneer bij welk voorwerp de dosis het grootst is. Hoeveel keer zo groot is deze dosis, vergeleken met de dosis van het andere voorwerp? b Beredeneer bij welk voorwerp de equivalente dosis het grootst is. Hoeveel keer zo groot is deze equivalente dosis, vergeleken met de equivalente dosis van het andere voorwerp?

dosis

69 Een nieuwe methode voor radiotherapie is bestraling met snelle protonen, γ-fotonen protonen

tumor indringdiepte

Figuur 60

die een grote versnelmachine kan leveren. Deze methode heeft voordelen ten opzichte van bestraling met γ-fotonen. In figuur 60 is zowel voor γ-fotonen als protonen de (geabsorbeerde) dosis weergegeven als functie van de indringdiepte. Ook is aangegeven op welke diepte zich de tumor bevindt. Kenmerkend voor protonen is de piek in de grafiek. De plaats waar deze piek optreedt, hangt af van de energie van de protonen. Die energie kan men instellen met de spanning van de versnelmachine. a Noem aan de hand van figuur 59 twee voordelen van bestraling met protonen ten opzichte van bestraling met γ-fotonen. Men wil een oogtumor met een massa van 4,2 mg met protonen bestralen. De protonenbundel die erop gericht wordt, bevat 7,8 · 103 protonen per seconde. De energie van elk proton is 70 MeV. De protonen geven 80% van hun energie af aan het weefsel van de tumor. De tumor moet een stralingsdosis opnemen van 60 Gy, verdeeld over 30 bestralingen. b Bereken hoe lang elke bestraling moet duren. Neem daarbij aan dat alle protonen de tumor treffen.

209

Straling en gezondheid

5.6

Beeldvorming

O N T D E K K EN

W7 Medische beeldvormingstechnieken

Er zijn verschillende technieken waarmee een arts in het lichaam van een patiënt kan ‘kijken’ zonder chirurgische ingrepen. Veelgebruikte technieken voor deze medische beeldvorming zijn röntgenfotografie, computertomografie (CT), nucleaire diagnostiek zoals positron emission tomography (PET) of single photon emission computed tomography (SPECT), echografie en magnetic resonance imaging (MRI). Zie Binas tabel 29. Welke van deze verschillende technieken wordt gebruikt, hangt af van hun mogelijkheden, risico’s en kosten.

PA R AGR A A F V R A AG Hoe werken de verschillende medische beeldvormingstechnieken en wat zijn hun voor- en nadelen?

B EGRIJPEN De overeenkomst tussen de technieken is dat er signalen met informatie uit het lichaam komen. Die informatie wordt verwerkt tot losse beelden of film van (een deel van) het inwendige van de patiënt.

Röntgenfotografie De röntgenfotografie ken je al uit paragraaf 5.2: het lichaam van de patiënt bevindt zich tussen een röntgenbuis en een digitale röntgendetector.

RÖNTGENDETECTOR Een digitale röntgendetector bestaat uit een groot aantal sensoren. Elke sensor levert het elektrisch signaal voor een pixel van het digitale beeld. De intensiteit van de röntgenstraling wordt vertaald naar een grijswaarde van de pixel. Zo worden de botten in het lichaam relatief wit of grijs tegen een zwarte achtergrond op het beeldscherm zichtbaar.

Toepassingen – Behalve bij het onderzoek van botbreuken, gebitscontrole en borstkankeronderzoek wordt röntgenfotografie bijvoorbeeld ook gebruikt bij angiografie. Daarbij maakt men bloedvaten op een röntgenopname zichtbaar met behulp van een contrastvloeistof (zie figuur 61). Voordelen – Röntgenapparaten zijn niet zo duur (ongeveer € 15.000), maar gaan bij intensief gebruik niet langer mee dan ongeveer acht maanden. De kosten per opname zijn vrij laag, zeker vergeleken met een CT-scan of een MRI-scan. Een opname is snel gemaakt, en het beeld is snel beschikbaar. Nadelen – Vaak zie je op een röntgenopname verschillende organen of delen van het lichaam door elkaar heen. Op een röntgenbeeld van de borstkas bijvoorbeeld, zijn de ribben en de ruggenwervels goed te zien maar het hart of de longen een stuk vager. Zachte weefsels zijn niet goed te herkennen, omdat ze allemaal dezelfde grijstint hebben. Door een röntgenopname loopt de patiënt een equivalente dosis op, maar die is relatief laag (zie paragraaf 5.5) en veel lager dan bij een CT-scan. B

Röntgenfotografie is een gemakkelijke, snelle en goedkope beeldvormings­ techniek. Details kun je niet zo goed zien en zachte weefsels kun je niet onderscheiden. Een röntgenopname levert een relatief lage equivalente dosis op.

Figuur 61 Bij angiografie worden bloedvaten zichtbaar door gebruik van een contrastvloeistof, die röntgenstraling absorbeert.

210

Begrijpen 5.6 Beeldvorming Straling en gezondheid

Computertomografie Een enkele röntgenopname levert een tweedimensionaal (schaduw)beeld. Daarop kun je bijvoorbeeld niet zien hoe diep een tumor zit. Ook kunnen delen van het lichaam zich in de ‘schaduw’ van andere delen bevinden. Met computertomografie (CT) kan wel een driedimensionaal beeld van het lichaam van de patiënt worden gemaakt.

Figuur 62 CT-scanner. De patiënt beweegt in horizontale richting door het apparaat.

Dan draaien de röntgenbuis en de tegenoverliggende detector samen om het lichaam van de liggende patiënt. Tijdens het ronddraaien beweegt de patiënt langzaam door de scanner en wordt een groot aantal digitale röntgenopnamen gemaakt (zie figuur 63 en 64). Uit deze reeks röntgenopnamen kan de computer dan driedimensionale beelden berekenen en ook van elke gewenste dwarsdoorsnede van het lichaam of deel van het lichaam (zie figuur 65).

ronddraaiende röntgenbuis

röntgenbuis

lichaam (doorsnede)

rö

nt

en

g

te

in

al

de

s tr

ct

or

g

-

Figuur 63 De röntgenbuis en de detector draaien in de ring van de CT-scanner rond het lichaam van de patiënt.

detector

Figuur 64 Bij het maken van een CT-scan verschuift de patiënt terwijl de röntgenbuis en de detector om hem heen draaien.

Toepassingen – Organen en weefsels als longen, botten en bloedvaten en ook tumoren kunnen gedetailleerd zichtbaar worden gemaakt. Voor een CT-scan van een orgaan is een contrastvloeistof nodig. Voordelen – Een belangrijk voordeel van de CT-scan is dat elke gewenste doorsnede van het lichaam zichtbaar kan worden gemaakt. Daarmee is bijvoorbeeld de locatie van een tumor goed te bepalen. Bovendien is in CT-beelden het contrast veel groter dan op een tweedimensionale röntgenopname.

Figuur 65 Een 3D CT-scan van een beenbreuk

Nadelen – Een CT-scan is veel duurder dan een enkele röntgenopname. Bovendien loopt de patiënt bij een CT-scan een equivalente dosis op die 10 tot 100 keer zo groot is als die bij een enkele röntgenopname. Een CT-scan van het hoofd belast de patiënt met 2 mSv en voor de borstkas is dat 10 mSv. B

Bij een CT-scan wordt een groot aantal digitale röntgenopnamen gemaakt. De door de computer daaruit berekende 3D beelden zijn gedetailleerd en contrastrijk. Een CT-scan is duur en zorgt voor een relatief hoge equivalente dosis.

Straling en gezondheid 5.6 Beeldvorming Begrijpen

211

Nucleaire diagnostiek De nucleaire diagnostiek ken je al uit paragraaf 5.3 (scintigram) en paragraaf 5.4 (PETscan): een radioactieve stof wordt als tracer in het lichaam van de patiënt gebracht en de uitgezonden γ-straling wordt buiten het lichaam gedetecteerd met één of meerdere γ-camera’s.

Scintigram Doordat er bij het γ-verval van een radioactieve kern maar een enkel gammafoton wordt uitgezonden, is niet de diepte te bepalen van de plaats waar de vervallen kern zich bevindt. Dat geeft een 2D beeld. Een tweedimensionale opname van de verspreiding van een γ-actieve tracer heet een scintigram (zie figuur 66). Toepassingen – Op een scintigram kun je zien of een orgaan normaal functioneert: hoe actief is de stofwisseling, hoe goed is de doorbloeding, is er sprake van een tumor? Door het gebruik van isotopen die selectief opgenomen worden door een bepaald orgaan, kunnen afwijkingen in dat orgaan worden opgespoord. Veelgebruikte tracers zijn de γ-stralers I-123 (schildklier), Sr-89 en Tc-99m (botten) en Cr-51 (rode bloedlichaampjes). De halveringstijd van deze isotopen is vrij kort, zodat ze na het onderzoek weinig schade meer kunnen aanrichten. Voordelen – Scintigrafie maakt de intensiteit van biologische en chemische processen in delen van het lichaam zichtbaar. Nadelen – De γ-camera is een kostbaar instrument. Bovendien moeten de radio­ actieve tracers gemaakt of gekocht worden. Bij nucleaire diagnostiek loopt de ­patiënt een equivalente dosis op van ongeveer 5 mSv. Dat is minder dan die bij de meeste ­CT-scans dankzij de korte halveringstijd van de gebruikte tracers. B

Bij scintigrafie wordt met een gammacamera buiten het lichaam de verspreiding van een γ-actieve tracer in het lichaam bekeken om te zien of bijvoorbeeld een orgaan normaal functioneert. Deze beeldvormingstechniek is vrij kostbaar. De equivalente dosis is iets lager dan die bij een CT-scan.

SPECT-scan Een 3D beeld kan worden verkregen door de gammacamera om het lichaam heen te laten draaien, net als bij de röntgenbuis en de röntgencamera bij de CT-scan. Ter onderscheid heet deze techniek met nucleaire gammabronnen: SPECT (single photon emission computed tomography). Toepassingen – SPECT laat het functioneren zien van een orgaan, zoals het hart of de lever. Deze methode wordt vaak gebruikt om de activiteit en de doorbloeding van de hartspier te onderzoeken. Een SPECT-scan wordt ook dikwijls gecombineerd met een CT-scan. Voordelen – Met een SPECT-scan kan de concentratie van de tracer bekeken worden in elke gewenste doorsnede van het orgaan. Zo kunnen in dat orgaan eventuele afwijkingen worden opgespoord die niet anders zichtbaar gemaakt kunnen worden. De gebruikte isotopen hebben halveringstijden van uren tot zelfs dagen en zijn daardoor makkelijker te verkrijgen dan de isotopen van de PET-scan.

Figuur 66 Een scintigram van het skelet, gemaakt met de tracer Tc-99m. Het radioactieve Tc-99m concentreert zich in de tumoren (de donkere plekken in het beeld).

212

Begrijpen 5.6 Beeldvorming Straling en gezondheid

Nadelen – De beelden zijn niet erg gedetailleerd, met een resolutie van 0,5 tot 1 cm. B

Bij een SPECT-scan wordt met een γ-tracer en een rond het lichaam draaiende gammacamera het functioneren van een orgaan zoals het hart bekeken. Ook deze onderzoeksmethode is kostbaar.

peT-scan Een andere techniek om een 3D beeld te maken van de verspreiding van een β+-actieve tracer is de eerder genoemde PET-scan (zie figuur 67). Voor een PET-scan (positron emission tomography) worden β+-stralers gebruikt als tracer. Bij het β+-verval zal het uitgezonden positron binnen de kortste keren annihileren met een elektron, waarbij twee γ-fotonen in precies tegengestelde richtingen worden uitgezonden. Vallen die richtingen (toevallig) binnen de ring van de γ-detectoren, dan wordt elk paar γ-fotonen buiten het lichaam gedetecteerd door twee tegenover elkaar liggende γ-detectoren (zie figuur 68). Uit het verschil in looptijd van beide gedetecteerde γ-fotonen wordt berekend vanaf welke plaats ze werden uitgezonden, dus waar de tracer zich in het lichaam bevindt. De computer kan zo elke gewenste doorsnede weergeven van het gebied van het menselijk lichaam waar de tracer zich bevindt (zie figuur 69). Figuur 67 PET-scanner. Met een masker wordt de positie en de stand van het hoofd gefixeerd.

ring van γ-detectors

γ

β+ γ

Figuur 68 Een PET-scan wordt gemaakt door detectie van γ -fotonen die ontstaan bij annihilatie van een positron en een elektron.

Figuur 69 Op deze PET-scan van de hersenen zijn de actieve hersengebieden te zien bij het uitvoeren van bepaalde taken.

Toepassingen – Afhankelijk van de toepassing wordt een bepaalde tracer gebruikt. Met een tracer die aan bloedcellen hecht, kan bijvoorbeeld de doorbloeding bij harten vaatziekten worden gezien. Ook zijn er geschikte tracers voor de opsporing van tumoren en uitzaaiingen en van hersenziektes zoals Alzheimer. Voordelen – De concentratie van de tracer kan zichtbaar gemaakt worden in elke gewenste doorsnede van het lichaam. Een PET-scan wordt vaak gecombineerd met een CT-scan om een grotere nauwkeurigheid van het beeld te krijgen. Nadelen – Voor veel onderzoeken zijn isotopen nodig met een korte halveringstijd. Deze moeten elders gekocht worden en zeer snel vervoerd of ter plekke gemaakt worden, bijvoorbeeld met dure versnellers. B

Bij een PET-scan kan met behulp van een β+-actieve tracer de intensiteit van verschillende processen in het lichaam zichtbaar gemaakt worden. Deze beeldvormingstechniek is zeer kostbaar. Een PET-scan wordt vaak gecombineerd met een CT-scan.

213

Straling en gezondheid 5.6 Beeldvorming Begrijpen

TECHNIEKEN EN BEELDEN COMBINEREN Nucleaire diagnostiek wordt vaak aangevuld met een CT-scan. Met de CT-scan is beter te zien waar de tracer zich in het lichaam van de patiënt bevindt. Uit de sterkte van de gemeten γ-straling is dan de concentratie van de tracer te bepalen.

CT

PET

PET/CT

CT 3D

Figuur 70 Beelden van een CT-scan, een PET-scan, een PET/CT-combinatie en een driedimensionale weergave van een CT-scan. De stralingsintensiteit van de tracer op de PET-scan is met valse kleuren weergegeven.

Een ander voorbeeld van het combineren van opnamen is digital subtraction angiography (DSA). Hierbij maakt men eerst een digitale röntgenopname zonder contrastvloeistof en daarna een opname met contrastvloeistof in het bloed. Op de door de computer berekende ‘verschilfoto’ zijn de bloedvaten dan duidelijk zichtbaar.

Figuur 71 Een DSA-opname van het hoofd: links de normale röntgenopname, in het midden de röntgenopname met contrastvloeistof, en rechts de ‘verschilfoto’.

214

Begrijpen 5.6 Beeldvorming Straling en gezondheid

echografie

Figuur 72 Onderzoek met echografie tijdens de zwangerschap

Echografie werkt niet met ioniserende straling, maar met geluidsgolven. Een zenderontvanger-combinatie (een transducer) zendt pulsen ultrasone geluidsgolven het lichaam in en vangt ze daarna weer op. De ontvanger bestaat uit een veld minuscule microfoontjes die samen een ‘geluidsbeeld’ te zien geven. Het (ultrasone) geluid heeft een heel hoge frequentie van 2,5 tot 10 MHz, die het menselijk oor niet kan horen. De geluidspulsen van de zender worden op de grensvlakken van verschillende weefsels in het lichaam voor een deel teruggekaatst. De ontvanger detecteert dus een aantal opeenvolgende echo’s. Uit het tijdsverschil kan de computer de ‘diepte’ van de grensvlakken berekenen. De computer construeert daarmee een echogram: een beeld van het inwendige van het lichaam (zie figuur 73). Toepassingen – Echografie is bekend vanwege onderzoek bij zwangerschap, maar wordt ook gebruikt bij onderzoek naar hart en bloedvaten en voor het opsporen van tumoren in de lever en de prostaat. Echografie werkt snel, zodat het maken van een film (zoals een kloppend hart of een embryo in de baarmoeder) mogelijk is. Voordelen – Met echografie zijn zachte weefsels in het lichaam veel beter zichtbaar te maken dan met röntgenfotografie. Bovendien loopt het lichaam bij echografie geen stralingsdosis op, want ultrasoon geluid is niet ioniserend. Er zijn geen schadelijke bijwerkingen. De apparatuur voor echografie is klein, gemakkelijk te verplaatsen en relatief goedkoop. Echografieapparatuur is dan ook in veel huisartsenpraktijken en verloskundigenpraktijken aanwezig.

Figuur 73 Een echogram van een baby in de baarmoeder

Nadelen – De beelden bij echografie zijn niet altijd duidelijk, en vragen ervaring om ze te beoordelen. Longen en botten kun je met ultrageluid niet onderzoeken. Het geluid kaatst op deze lichaamsdelen vrijwel volledig terug, zodat alles wat achter het long- of botoppervlak ligt niet zichtbaar is in het echogram. B

elektromagneten voor magnetisch veld antenne voor radiostraling

Figuur 74 Stroomspoelen en radioantennes in een MRI-scanner

Bij echografie wordt een beeld gemaakt van zachte weefsels met behulp van ultrageluid. Echografie is goedkoop en snel. Maar het beeld is niet erg gedetailleerd en longen en botten kun je er niet mee onderzoeken.

Magnetic resonance imaging Magnetic resonance imaging (MRI) werkt niet met ioniserende straling, maar met radiogolven. De patiënt ligt in een sterk magnetisch veld van een aantal grote stroomspoelen (zie figuur 74). Het sterke magnetisch veld heeft invloed op de kernen van de waterstofatomen in het lichaam. Want een waterstofkern is ook een soort klein magneetje dat in het magnetisch veld van de MRI-scanner gericht wordt, vergelijkbaar met een kompasnaald in het magnetisch veld van de aarde. Door absorptie van een puls radiogolven raken de magnetische richtingen van de waterstofkernen in trilling om hun evenwichtsstand: er treedt resonantie op. Na afloop van de korte zendpuls ‘vallen’ de waterstofkernen weer terug naar hun evenwichtsstand in het magnetisch veld en zenden dan per waterstofkern een foton radiostraling uit. De antennes in de MRIscanner vangen die radiogolven uit het lichaam op.

Straling en gezondheid 5.6 Beeldvorming Begrijpen

215

Het verschijnsel magnetische resonantie treedt alleen op als de frequentie van de radiozendpuls past bij de sterkte van het magneetveld. Door 3D variatie van de sterkte van het magneetveld en de bijbehorende variatie van de frequentie van de zendpuls is zo de plaats te bepalen waar in het lichaam het terugontvangen signaal uitgezonden is. De computer berekent een 3D beeld van het inwendige van het lichaam. Net als bij computertomografie met röntgenstraling kan een MRI-scan zo elke gewenste doorsnede van het lichaam op een beeldscherm weergeven. Het ‘terugvallen’ van de waterstofkernen naar hun evenwichtsstand wordt ­relaxatie genoemd. Dit is een toevalsproces: de ene waterstofkern valt eerder terug dan de andere. Kenmerkend voor dat proces is de relaxatietijd: de tijd waarin 63% van de waterstof­ kernen terugvalt naar hun evenwichtsstand. Deze relaxatietijd hangt af van hoe sterk de waterstofatomen gebonden zijn in de moleculen van het weefsel. Daardoor hangt de relaxatietijd af van het soort weefsel, zoals bloed, spierweefsel of vetweefsel en grijze of witte stof in de hersenen. Hoe groter de relaxatietijd is, des te langzamer verloopt het terugvallen van de waterstofkernen en des te lager is de intensiteit van de daarbij uitgezonden radiostraling. Daardoor ontstaat op de MRI-scan een goed contrast tussen de verschillende soorten weefsels. Toepassingen – Omdat het element waterstof bijna overal in het lichaam overvloedig aanwezig is, zijn alle soorten weefsel gedetailleerd zichtbaar te maken. Zelfs de kleinste scheurtjes in pezen, spieren en botten en de schade aan gewrichten komen duidelijk naar voren. Een MRI-scan wordt dan ook vaak gebruikt voor de diagnose van sportblessures. Maar een MRI-scan geeft ook zeer goede beelden van de hersenen, het hart, de longen en de bloedvaten. Voordelen – Met een MRI-scan zijn alle weefsels in het lichaam goed zichtbaar te maken. Bovendien loopt het lichaam bij een MRI-scan geen stralingsdosis op. Voor zover bekend heeft deze beeldvormingstechniek geen schadelijke bijwerkingen. Nadelen – De apparatuur is duur: een MRI-scanner kost al gauw € 1.000.000. Het onderzoek kan vrij lang duren: een halfuur tot twee uur. Bovendien maakt de ­MRI-scanner onaangenaam veel lawaai. Vanwege het sterke magneetveld is MRI niet geschikt voor patiënten met ijzer, kobalt of nikkel bevattende voorwerpen in hun lichaam, denk daarbij aan een pacemaker of een insulinepompje. B

B

Een MRI-scan met behulp van een sterk magnetisch veld en radiogolven levert een 3D beeld van het lichaam met een goed contrast tussen de verschillende soorten weefsels. Er zijn geen schadelijke effecten. Een MRI-scan is duur en niet voor iedereen geschikt.

Figuur 75 De grijstinten of valse kleuren in een MRIscan geven de verschillende soorten weefsels aan

216

Begrijpen 5.6 Beeldvorming Straling en gezondheid

70 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f

Op een röntgenopname kun je zachte weefsels niet goed zien. Een CT-scan bestaat in feite uit een groot aantal digitale röntgenopnamen. Bij nucleaire diagnostiek wordt met behulp van uitwendige bestraling onderzocht hoe organen functioneren. Bij een PET-scan ontstaan bij elke vervalreactie twee fotonen. Een echogram wordt gemaakt met behulp van het terugkaatsen van laserstralen. Bij een MRI-scan is de stralingsbelasting voor de patiënt zeer hoog.

71 Vergelijk een röntgenfoto met een CT-scan. a b c d

Noem een overeenkomst en een verschil tussen een röntgenopname en een CT-scan. Noem een voorbeeld waarbij een röntgenopname een geschikte beeld­ vormingstechniek is, en leg kort uit waarom. Noem een voorbeeld waarbij een CT-scan een geschiktebeeldvormingstechniek is, en leg kort uit waarom. Noem twee redenen waarom men in het ziekenhuis liever een röntgenopname maakt dan een CT-scan.

72 Bij echografie is het beeld niet erg gedetailleerd. a

Noem een voorbeeld waarbij een echogram toch een geschikte beeldvormingstechniek is. Een PET-scan is een voorbeeld van nucleaire diagnostiek. Daarbij wordt een radioactieve stof in het lichaam gespoten. b Beschrijf welk deeltje vrijkomt bij dit radioactief verval en wat er met dat deeltje gebeurt. c Beschrijf hoe bij een PET-scan een beeld wordt opgebouwd. Bij een SPECT-scan wordt een radioactieve stof ingespoten die bij verval alleen γ-straling uitzendt. De letters SP staan voor single photon. Bij een scan worden die fotonen met een gammacamera gedetecteerd en daarmee wordt een beeld opgebouwd. d Leg uit waardoor het beeld van een SPECT-scan minder nauwkeurig is dan dat van een PET-scan.

73 Een CT-scan en een MRI-scan leveren beide een gedetailleerd 3D beeld van zachtere weefsels en organen, zoals hersenen, spieren en pezen. a Leg uit welke van beide technieken bij voorkeur wordt gebruikt voor ­hersenonderzoek. b Een MRI-scan geeft bij sportblessures een beter beeld dan een CT-scan. Leg uit waarom men in het ziekenhuis toch vaak kiest voor het maken van een CT-scan in plaats van een MRI-scan. c Leg uit waarom een MRI-scan niet geschikt is voor patiënten met ijzer, kobalt of nikkel bevattende voorwerpen in hun lichaam, zoals een pace­ maker of een insulinepompje.

217

74 Bij het maken van een MRI-scan is de relaxatietijd van vetweefsel zo’n 80 ms en die van spierweefsel 45 ms. a Leg uit bij welk van deze weefsels het terugvallen van de waterstofkernen naar hun evenwichtsstand het snelst verloopt. b Leg uit hoe de intensiteit van de bij dat terugvallen uitgezonden radiostraling bij beide weefsels van elkaar verschilt.

75 T De relaxatie van waterstofatomen bij MRI is een toevalsproces, net als het radioactief verval van instabiele isotopen. Het relaxatiediagram van figuur 76 is daardoor vergelijkbaar met het vervaldiagram van een radioactieve isotoop. Op de verticale as staat het percentage nog niet teruggevallen waterstofatomen N, en op de horizontale as de tijd t. a Bepaal de halveringstijd van dit relaxatieproces. De relaxatietijd van de waterstofatomen bij MRI is gedefinieerd als de tijd waarin 63% van die atomen na het absorberen van radiostraling terugvalt naar hun evenwichtsstand in het magnetisch veld. Deze relaxatietijd is te bepalen door het tekenen van een raaklijn aan het startpunt van de kromme (​N​= 100% en t​ ​= 0). Het punt waar deze raaklijn de horizontale as snijdt is de relaxatietijd. Figuur 76 is ook weergegeven op het tekenblad. b Bepaal met de figuur de relaxatietijd van dit relaxatie­proces. c Bepaal met de figuur het percentage nog niet teruggevallen waterstof­ atomen bij deze relaxatietijd. d Laat zien dat dit percentage overeenkomt met de definitie van de relaxatietijd.

76 Het risico op schade aan het lichaam bij medische beeldvorming weegt meestal niet op tegen de voordelen. Maar sommige technieken kunnen wel stress veroorzaken bij patiënten. a Beschrijf welke omstandigheden stress bij de patiënt kunnen veroorzaken bij een MRI-scan, bij een CT-scan en bij nucleaire diagnostiek. b Wat is volgens jou de beste methode om die stress bij de patiënt te voorkomen?

N (%)

Straling en gezondheid 5.6 Beeldvorming Begrijpen

100

80

60

40

20

0 0

100

200

300

Figuur 76 Het relaxatiediagram van de waterstofatomen in hersenvocht bij MRI

400 t (ms)

218

Beheersen 5.6 Beeldvorming Straling en gezondheid

Beheersen Bij het stellen van een diagnose probeert de arts eerst de klachten van de patiënt te begrijpen. Daarna beslist hij of zij of er beelden van het inwendige van de patiënt nodig zijn. Zo ja, dan volgt een keuze voor de meest geschikte beeldvormingstechniek. Bij het maken van die keuze spelen de volgende vragen een rol: E Welke informatie is er nodig: een afbeelding van de botten, van een weefsel of van een proces in het lichaam van de patiënt? E Welke beeldvormingstechnieken zijn geschikt om die informatie te leveren? E Welke van de geschikte beeldvormingstechnieken levert het kleinste risico voor de gezondheid van de patiënt? Denk daarbij niet alleen aan zijn lichamelijke, maar ook aan zijn geestelijke gezondheid. E Welke van de geschikte beeldvormingstechnieken is het goedkoopst? Bij deze vragen is een overzicht van de verschillende beeldvormingstechnieken met hun voor- en nadelen handig. techniek

natuurkunde

toepassing

voordelen

nadelen

röntgenfoto

absorptie en transmissie van röntgenstraling

botten, gebit en (met contrastvloeistof ) darmkanaal en bloedvaten

snel, goedkoop

zachte weefsels niet goed zichtbaar, structuren over elkaar heen

CT-scan

absorptie en transmissie van röntgenstraling

onderzoek van zachtere weefsels, organen (met contrastvloeistof ), opsporen van tumoren

goed beeld, goed contrast, elke gewenste dwarsdoorsnede mogelijk

tamelijk hoge dosis: 10 tot 100 keer meer dan bij een röntgenopname

nucleaire diagnostiek: PET-scan

uitzenden van γ-fotonpaar uit annihilatie van positron en elektron na β+-verval

opsporen van tumoren, onderzoek naar stofwisselingsprocessen en transportprocessen

goed beeld van het functioneren van organen

dosis: groter dan bij röntgenopname maar kleiner dan bij CT-scan

SPECT-scan

γ-straling uit radioactief verval

echografie

terugkaatsing van ultrageluid

onderzoek bij zwangerschap, onderzoek van zachte weefsels, opsporen van tumoren

snel, goedkoop, geen stralingsbelasting, mobiel apparaat

beeld niet zo duidelijk, ongeschikt voor botten en longweefsel

MRI-scan

na resonantie uitzenden van radiogolven door waterstofkernen in een sterk magnetisch veld

onderzoek van gewrichten, hersenen en hart

goed beeld, veel toepassingen, elke gewenste dwarsdoorsnede mogelijk, geen stralingsbelasting

duur, maakt lawaai, patiënt moet lang stilliggen

Figuur 77 Overzicht van de verschillende medische beeldvormingstechnieken

beeld

219

Straling en gezondheid 5.6 Beeldvorming Beheersen

77 De paragraafvraag is: Hoe werken de verschillende medische beeldvormingstechnieken en wat zijn hun voor- en nadelen? Veelgebruikte technieken voor medische beeldvorming zijn röntgenfotografie en computertomografie (CT-scan), nucleaire diagnostiek (PET-scan en SPECTscan), echografie (echogram) en magnetic resonance imaging (MRI-scan). Bij elke techniek hoort een natuurkundige achtergrond. Noteer de volgende woorden bij de bijbehorende techniek: halveringsdikte van menselijke weefsels, magnetisch veld en resonantie, relaxatie en relaxatietijd, ultrasone geluidsgolf, geluidssnelheid in menselijke weefsels, absorptie, transmissie, terugkaatsing, tracer.

78 Vergelijk de technieken voor medische beeldvorming met elkaar door antwoord te geven op de volgende vragen. a Bij welke technieken wordt röntgenstraling gebruikt? b Bij welke technieken worden radioactieve stoffen gebruikt? c Bij welke technieken wordt geen ioniserende straling gebruikt? d Welke technieken brengen zachte weefsels (zoals organen) goed in beeld? e Welke technieken brengen harde weefsels (zoals botten) goed in beeld? f Met welke technieken kun je een driedimensionaal beeld maken? g Welke techniek is de duurste? h Welke techniek is het makkelijkst toepasbaar?

79 Hieronder staat een aantal situaties waarin een keuze voor een medische beeldvormingstechniek moet worden gemaakt. Leg voor elke situatie uit welke techniek het meest geschikt is. a Na een geslaagde operatie waarbij een tumor verwijderd is, wil men weten of er uitzaaiingen in het lichaam zijn. b Men wil bij een zwangere vrouw weten of de foetus goed ligt. c Men wil nagaan of er vocht in de longen van een patiënt zit. d Men wil onderzoeken of de doorbloeding van het hart goed is. e Men wil onderzoeken wat er aan de hand is bij iemand die na een sportblessure zijn knie niet kan buigen zonder vreselijke pijn. f Bij een patiënt wordt longkanker vermoed. Men wil onderzoeken of er een tumor is en waar die tumor dan zit. g Men wil weten of er sprake is van een uitstulping van de hersenslagader en waar die uitstulping dan zit. h Men wil onderzoeken of de schildklier van een patiënt niet te hard werkt. i Men wil controleren of de nieuwe kunstheup van een patiënt goed zit. j Men wil onderzoeken of de bijholten (sinussen) van een patiënt vol zitten.

Oefenen B Bekijk of je de belangrijkste onderwerpen van paragraaf 5.2 t/m 5.6 begrepen hebt.

220

Straling en gezondheid

5.7

Verdieping

Koolstofdatering Met de koolstofdateringsmethode kun je de ouderdom bepalen van dood plantaardig of dierlijk materiaal. Daartoe wordt bepaald hoe groot het percentage C-14 in bijvoorbeeld een opgegraven voorwerp nog is. Radioactief koolstof (C-14) ontstaat hoog in de atmosfeer van de aarde uit het stabiele isotoop C-12 onder invloed van kosmische straling. Het radioactieve C-14 verdwijnt weer door radioactief verval. Door het voortdurende ontstaan en verval van C-14 bevat de lucht een zeer klein, vrijwel constant percentage C-14 (1,0 · 10−10 %). Planten nemen koolstofdioxide (CO2) uit de lucht op en ontleden dit met behulp van licht in zuurstof en koolstof. De zuurstof wordt weer afgegeven aan de lucht, maar de koolstof blijft in de plant achter. Een klein percentage van die koolstof bestaat dan uit het radioactieve C-14. Dieren en mensen gebruiken planten als voedsel. Het lichaam neemt koolstof op en bij uitademen geeft het lichaam weer koolstofdioxide af aan de lucht. Daardoor bestaat niet alleen in planten, maar ook in het lichaam van dieren en mensen een klein, maar constant percentage van de koolstof uit radioactief C-14.

% C-14

1 · 10-10

0,5 · 10-10

0

0

5.000

10.000

t (jaar)

Figuur 78 Vervaldiagram van radioactief koolstof (C-14) in dood plantaardig of dierlijk materiaal.

Als een plant, dier of mens doodgaat, stopt de opname van koolstof. Door radioactief verval neemt het percentage C-14 in de dode plant of het dode lichaam daarna langzaam af. De halveringstijd van C-14 is 5730 jaar. Na 5730 jaar is het percentage C-14 dus gedaald tot 0,50 · 10−10 %. Het vervaldiagram van figuur 78 geeft de afname van het percentage C-14 in plantaardig of dierlijk materiaal in de loop van de tijd weer. Door meting van het percentage C-14 in dat materiaal is dan de ouderdom van het voorwerp te bepalen.

80 Bij opgravingen worden allerlei voorwerpen uit het verre verleden gevonden. Sommige van die voorwerpen zijn gemaakt van plantaardig of dierlijk materiaal. Het percentage C-14 in het linnen uit een oud-Egyptisch graf is op dit moment nog 0,55 · 10–10 %. Volgens de koolstofdateringsmethode is de ouderdom van dit linnen dan zo’n 4800 jaar. Controleer dit met behulp van het vervaldiagram van figuur 78. b Een bot van een uitgestorven diersoort blijkt nog slechts 1,0 % van de oorspronkelijk aanwezige hoeveelheid C-14 te bevatten. Hoe oud is dit bot? c Leg uit waardoor de koolstofdateringsmethode niet bruikbaar is voor het bepalen van de ouderdom van metalen sieraden, potscherven, kleitabletten en munten uit de oudheid. d Leg uit waardoor de koolstofdateringsmethode wel bruikbaar is voor het bepalen van de ouderdom van bijvoorbeeld Egyptische papyrusrollen. e Leg uit waardoor de koolstofdateringsmethode niet bruikbaar is voor het bepalen van de ouderdom van voorwerpen die meer dan 50 000 jaar oud zijn. a

Figuur 79 Voor bepaling van de ouderdom wordt een stukje uit een bot gehaald.

221

81 Bij de koolstofdateringsmethode wordt vaak aangenomen dat het percentage C-14 in de atmosfeer eeuwenlang dezelfde waarde heeft gehad. Deze aanname is echter niet juist. De resultaten van koolstofdatering kunnen vergeleken worden met ouderdomsbepalingen door het tellen van de jaarringen van (zeer oude) bomen. Aangenomen dat uit het tellen van jaarringen de juiste leeftijd volgt, kan het resultaat van de koolstofdatering gecorrigeerd worden. In het diagram van figuur 80 is aangegeven welke correctie op de bepaalde ouderdom moet worden toegepast. a In weefsel uit een Egyptisch graf is in het jaar 2000 een percentage C-14 van 0,50 · 10–10 % gemeten. Hoe oud is dit weefsel? b Men heeft ook het linnen van de Dode-Zee-rollen onderzocht. Daarbij werd een percentage C-14 van 0,77 · 10–10 % gevonden. Hoe oud zijn deze voorwerpen?

Computermodel van radioactief verval

ouderdomscorrectie (jaar)

Straling en gezondheid 5.7 Verdieping

1500

1000

500

0

-500

0

2.000

4.000

6.000

bepaalde ouderdom (jaartal v. Chr.)

Figuur 80 Correctie op de met koolstofdatering bepaalde ouderdom van dood plantaardig of dierlijk materiaal

Radioactief verval is een toevalsproces. Voor een groot aantal instabiele kernen ontstaat er een bepaalde regelmaat in het verval. Het aantal kernen dN dat per tijdseenheid dt vervalt rond het tijdstip t – ofwel de activiteit A op het tijdstip t – is dan recht evenredig met het aantal op dat moment nog aanwezige instabiele kernen N: dN A = - ____ =λ·N dt

In deze formule is de evenredigheidsconstante λ de vervalconstante. Deze constante zegt iets over de kans op verval van een instabiele atoomkern: hoe groter de vervalconstante, des te groter de kans op verval. De vervalconstante is te berekenen uit de bekende halveringstijd t1/2 van een radioactieve isotoop:

?

0,693

ln 2 ______ λ = ____ t = t 1/2

A

1/2

Door radioactief verval neemt het aantal instabiele kernen N af in de loop van de tijd t. Het verloop van dit proces kun je door de computer laten berekenen. Daarvoor is een computermodel handig: een aantal modelvergelijkingen waarmee de computer in een bepaalde volgorde de verschillende grootheden in een groot aantal opeenvolgende kleine tijdstappen berekent (zie ‘Dynamische modellen’ in hoofdstuk 6). Het uitgangspunt bij die berekeningen is een beginsituatie die door de startwaarden van een aantal grootheden is vastgelegd. In de figuren 81 en 82 zie je hetzelfde computermodel voor radioactief verval in twee verschillende vormen: een grafisch model en een tekstmodel, beide in Coach. De rekenregels in de computermodellen zijn afgeleid van de hierboven gegeven formule voor de activiteit A van een radioactieve bron. De startwaarden zijn in deze modellen nog niet volledig ingevuld. De computer slaat het resultaat van alle berekeningen in elk van de tijdstappen op in het geheugen. Daardoor is het resultaat zichtbaar te maken in de vorm van een N,tdiagram.

dN

N

? lambda

Figuur 81 Grafisch computermodel voor radioactief verval in Coach. De activiteit A wordt berekend met de formule A = λ · N. De uitstroom dN wordt berekend met de formule dN = A · dt, waarbij het computerprogramma de waarde van A automatisch vermenigvuldigt met dt.

Rekenregels

Startwaarden

1 t = t + dt

t=0

2 A=λ·N

dt = …

3 dN = A · dt

N=…

4 N = N − dN

λ=…

Figuur 82 Computermodel voor radioactief verval in Coach

222

5.7 Verdieping Straling en gezondheid

82 Bouw het computermodel van figuur 81 of 82. Plaats een (leeg) N,t-­diagram in het model. Sla het model op onder de naam verval_1. Voer de (zelf te kiezen) startwaarden in het model in. Laat het model lopen en controleer in het N,t-diagram of het model het radioactief verval juist weergeeft. Ga daarbij onder andere na of de halveringstijd t1/2 overeenstemt met de ingevoerde waarde van de vervalconstante λ. b Onderzoek met het model het effect van een grotere startwaarde van N. c Onderzoek met het model het effect van een grotere waarde van λ (of een kleinere waarde van t1/2). a

Computermodellen W8 Computermodellen

Het computermodel verval_1 van opdracht 82 kun je in W8 gebruiken voor een onderzoek naar de invloed van N en λ op de activiteit A van een radioactieve bron. Dit model is ook uit te breiden tot een model van de vorming en het verval van C-14 in de atmosfeer van de aarde (zie Koolstofdatering aan het begin van deze paragraaf ) en tot een model voor het moeder-dochterverval, als het vervalproduct (de ‘dochter’) van een radioactieve isotoop (de ‘moeder’) zelf ook weer radioactief is.

223

Straling en gezondheid

5.8

Afsluiting

HOOFDSTUKVRAAG EN SAMENVATTING 83 De hoofdstukvraag is: Welke eigenschappen maken röntgen- en kernstraling bruikbaar in de gezondheidszorg, en hoe kunnen de risico’s van die toepassingen zo klein mogelijk blijven? a Geef een uitgebreid en compleet antwoord op deze vraag. b Welke alternatieven zijn er voor het gebruik van ioniserende straling?

84 Maak een samenvatting van dit hoofdstuk door antwoord te geven op de volgende vragen. a Hoe hangt de fotonenergie van elektromagnetische straling af van de ­frequentie van deze straling? b Wat is röntgenstraling, en welke eigenschappen heeft deze soort straling? c Wat is kernstraling, en welke eigenschappen heeft deze soort straling? d Wat is radioactief verval? e Wat wordt bedoeld met de activiteit van een radioactieve stof? f Wat wordt bedoeld met de halveringstijd van een radioactieve stof? g Welke formule geeft de activiteit van een radioactieve stof in de loop van de tijd bij radioactief verval? h Wat wordt bedoeld met het atoomnummer en het massagetal van een atoomkern? i Wat zijn isotopen? j Hoe verandert een instabiele atoomkern bij het uitzenden van α-straling, β−-straling, β+-straling en γ-straling? k Hoe stel je de vergelijking op van het verval van een radioactieve isotoop? l Welke formule geeft het aantal instabiele atoomkernen in de loop van de tijd bij radioactief verval? m Hoe bepaal je de activiteit van een radioactieve stof op een bepaald tijdstip uit het diagram van het aantal instabiele atoomkernen als functie van de tijd? n Welke formule geeft het verband tussen de activiteit van een radioactieve stof en de afname van het aantal instabiele atoomkernen? o Welke formule geeft het verband tussen de activiteit van een radioactieve stof en het aantal instabiele atoomkernen? p Hoe bereken je het aantal instabiele atoomkernen van een radioactieve stof met behulp van de atoommassa en de atomaire massa-eenheid? q Wat wordt bedoeld met de dracht van α- en β-straling? r Wat wordt bedoeld met de halveringsdikte van een materiaal voor röntgenen γ-straling? s Welke formule geeft de intensiteit van de röntgen- of γ- straling die een absorberend materiaal doorlaat, afhankelijk van de dikte van de laag ­materiaal? t Wat zijn de effecten van de verschillende soorten elektromagnetische ­straling en kernstraling op het menselijk lichaam? u Wat wordt bedoeld met achtergrondstraling? v Wat is het verschil tussen bestraling en besmetting? w Hoe bereken je de dosis en de equivalente dosis bij blootstelling aan ­ioniserende straling? x Wat wordt bedoeld met effectieve totale lichaamsdosis?

Begrippenkaart Ga na of je van elk begrip goed weet wat het betekent. Formules, grootheden en eenheden Noteer bij elk symbool in de formule de naam van de grootheid en de eenheid. Vermeld in welke situatie(s) de formule gebruikt wordt. Samenvatting Bestudeer de samenvatting.

Zelftoets Test je kennis over dit hoofdstuk.

224

5.8 Afsluiting Straling en gezondheid

Keuzeonderwerpen

y

1

Ontdekking van röntgenstraling en radioactiviteit

2

Straling in de industrie

3

Productie van medische isotopen

4

Röntgen-computertomografie

5

Veiligheidsscanners op het vliegveld

6

Stralingsdetectie

7

Neutronenactivering

8

Kernsplijting en kernfusie

onderzoek. Om een scintigram van dit orgaan te maken, krijgt de patiënt een radioactieve jodiumisotoop toegediend. Dit jodium wordt opgenomen door de goed functionerende delen van de schildklier. Bij dit onderzoek van de schildklier ontvangt het lichaam een stralingsdosis die afhangt van de gebruikte jodiumisotoop: I-131 of I-123. In figuur 83 zie je het vervaldiagram van twee gelijke hoeveelheden I-131 en I-123. Op het tijdstip t = 0 is het aantal instabiele kernen voor beide isotopen gelijk. De activiteit van het jodium is van belang voor het maken van het scintigram. Er wordt zoveel jodium toegediend als nodig is voor het maken van het scintigram. Beargumenteer welke jodiumisotoop het meest geschikt is voor dit onderzoek: I-131 of I-123.

aantal N (x103)

400

300

0

86 Ziektekiemen in voedsel, zoals de salmonellabacterie, kunnen worden gedood

I-131

I-123

100

0

2

4

einDOpgAVen 85 Eén van de vele medische toepassingen van kernstraling is het schildklier-

W9 Risicoafweging

200

z

Op welke manieren kun je je tegen ioniserende straling beschermen? Hoe ontstaat een beeld van het inwendige van een patiënt bij röntgenfotografie, computertomografie (CT), echografie, nucleaire diagnostiek met γ- of β+-tracers, en magnetic resonance imaging (MRI), en welke voor- en nadelen hebben deze medische beeldvormingstechnieken?

6

8 10 tijd t (dag)

Figuur 83 Vervaldiagram van de radioactieve jodiumisotopen I-131 en I-123

door het voedsel bloot te stellen aan γ-straling. Dit wordt het ‘doorstralen van voedsel’ genoemd. Voor het doorstralen wordt vaak gebruikgemaakt van een bron met de kobaltisotoop Co-60. Een kobaltbron heeft bij plaatsing een activiteit van 1,1 · 1017 Bq. Als de activiteit is teruggelopen tot 6,9 · 1015 Bq moet de bron worden vervangen. a Bereken na hoeveel jaar de bron vervangen moet worden. De mensen die in het bedrijf werken waar voedsel wordt doorstraald, moeten beschermd worden tegen deze γ-straling. Daarom staat om de ruimte waarin het voedsel wordt doorstraald een betonnen muur met een dikte van 35 cm. Het beton absorbeert het grootste deel van de γ-straling die afkomstig is van de kobaltbron. De stralingsenergie van de γ-fotonen is (ongeveer) 1 MeV b Bereken hoeveel procent van de stralingsenergie wordt geabsorbeerd door de muur. Zoek daartoe eerst de halveringsdikte in Binas op. Uit metingen blijkt dat iemand achter de muur per seconde 2,54 · 10−9 J aan energie absorbeert. Om te weten of de mensen die in het bedrijf werken geen nadelige gevolgen ondervinden van de γ-straling, wordt gekeken naar de effectieve totale lichaamsdosis. Een inwoner van Nederland ontvangt per jaar gemiddeld een effectieve totale lichaamsdosis van zo’n 2 mSv aan achtergrondstraling. c Bereken hoe lang iemand met een massa van 70 kg achter de betonnen muur zou moeten staan om een effectieve totale lichaamsdosis van 2,0 mSv aan γ-straling, afkomstig van de kobaltbron, te absorberen.

225

Straling en gezondheid 5.8 Afsluiting

87 Medewerkers op de afdeling radiologie in een ziekenhuis hebben beroepshalve te maken met straling. Om te controleren of ze niet te veel straling ontvangen, dragen zij een badge op hun kleding (zie figuur 84). Een badge registreert de hoeveelheid ontvangen straling. Na een bepaalde periode wordt daaruit de dosis bepaald die de betreffende persoon in die periode heeft ontvangen. Er bestaan afzonderlijke badges voor het detecteren van β-straling, γ-straling en röntgenstraling. a Noem een overeenkomst en een verschil tussen γ-straling en röntgenstraling. Om te controleren of badges goed werken, worden ze van tijd tot tijd bestraald met straling van een bekende radioactieve stof. Voor de badges die gevoelig zijn voor β-straling wil men een keuze maken uit een van de volgende stoffen: Cs-137, Sr-90 en Po-209. b Geef de vervalreactie van Cs-137. c Leg uit welke van deze drie stoffen het best gebruikt kan worden om de badges te testen.

88 Brachytherapie is de naam voor een medische behandeling waarbij een hoeveelheid radioactieve stof die zich in een holle naald bevindt, enige tijd in ziek weefsel wordt gestoken. Deze methode werd voor het eerst toegepast rond 1900, toen men de beschikking had over voldoende radium. Het radium wordt op de plaats van het zieke weefsel gebracht en zorgt daar voor intensieve bestraling. Bij het verval van radiumisotopen ontstaat α-, β- en γ-straling. a Leg uit welke van deze drie soorten straling het zieke weefsel vlakbij het radium het meest aantast. Tegenwoordig wordt in plaats van radium vaak de radioactieve isotoop iridium-192 gebruikt. Deze isotoop vervalt voornamelijk onder uitzending van β−-deeltjes, waarbij als eindproduct een stabiele isotoop ontstaat. b Geef de vergelijking voor dit verval. Bij een bepaalde behandeling moet een stukje weefsel met een massa van 4,0 g een dosis van 2,0 Gy ontvangen. De behandeling duurt 3,5 uur. De gemiddelde energie van de uitgezonden β−-deeltjes is 9,6 · 10−14 J. Neem aan dat alle uitgezonden straling door het stukje weefsel wordt opgenomen. c Bereken de gemiddelde activiteit die het ingebrachte iridium moet hebben. De activiteit van het iridium-192 daalt in de loop van de tijd. Met hetzelfde iridiumpreparaat wordt de behandeling precies vier weken later herhaald. Men wil dan dezelfde dosis toedienen aan hetzelfde stukje weefsel. d Bereken hoe lang de behandeling dan moet duren.

Figuur 84 Stralingsbadges

226

massagetal

5.8 Afsluiting Straling en gezondheid

89 Om het functioneren van de nieren te onderzoeken, brengt men via het

 b a



c d



 (Mo)

(Tc)

(Ru) atoomnummer

90 T Radioactief afval van kerncentrales bevat een grote verscheidenheid aan

activiteit A (104 Bq)

Figuur 85 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Figuur 86

bloed de γ-straler Tc-99m in. Deze stof verspreidt zich door het hele lichaam en wordt via de nieren weer uitgescheiden. Een γ-camera registreert hoe het Tc-99m zich in de loop van de tijd door de nieren verspreidt. Bij een onderzoek wordt een hoeveelheid Tc-99m met een activiteit van 39 MBq bij een patiënt ingebracht. a Bereken de massa van het ingebrachte Tc-99m. Per kern Tc-99m die vervalt, komt 140 keV energie vrij in de vorm van γ-straling. De patiënt absorbeert 60% van de energie van de γ-straling. Bij het onderzoek vervallen er in totaal 8,0 · 1011 kernen Tc-99m in het lichaam. De massa van de patiënt is 70 kg. b Bereken de effectieve totale lichaamsdosis die de patiënt oploopt.

0

10

20

30

40

50

60

70 80 tijd t (s)

radioactieve stoffen. Eén van die stoffen is technetium-99 (Tc-99), dat een zeer lange halveringstijd heeft. a Bereken hoeveel procent van een bepaalde hoeveelheid Tc-99 over is na 1,1 miljoen jaar. Tegenwoordig onderzoekt men de mogelijkheid om een langlevende radioactieve stof als Tc-99 om te zetten in een stof die sneller vervalt. Daartoe bestraalt men het technetium met neutronen uit een reactor. Als een kern van Tc-99 een neutron invangt, ontstaat de technetiumisotoop Tc-100. b Hoeveel neutronen bevat een kern van Tc-100? Licht je antwoord toe. In figuur 85 zijn twaalf atoomkernen getekend. De middelste kolom bestaat uit isotopen van technetium. Vanuit Tc-100 zijn vier pijlen a, b, c en d getekend. Eén van die pijlen stelt het β-verval van Tc-100 voor. c Leg uit welke pijl dat is. In het diagram van figuur 86 zie je het verloop van de activiteit van een bepaalde hoeveelheid Tc-100. Deze figuur staat ook op het tekenblad. d Bepaal uit de figuur de halveringstijd van Tc-100. e Bepaal met behulp van de grafiek het aantal kernen op t = 0 en op t = 60 s. Hoewel het chemisch afscheiden van Tc-99 en het bestralen met neutronen kostbaar is, overweegt men sterk om dit te gaan uitvoeren. f Noem daarvoor twee argumenten. Kijk daartoe naar de halveringstijd en naar de atoomkern die na verval ontstaat.

227

91 Bij een MRI-scan wordt het contrast tussen de verschillende weefsels bepaald door verschillen in de relaxatietijd. In de tabel van figuur 87 staan de relaxatietijden van verschillende weefsels in het lichaam. a Leg uit bij welk weefsel de intensiteit van de door het lichaam uitgezonden radiostraling het laagst is. In figuur 88 is voor een bepaald soort weefsel de intensiteit ​I​van de door het lichaam uitgezonden radiostraling als functie van de tijd t​ ​ weergegeven. b Bepaal uit welk weefsel de radiostraling afkomstig is. weefsel vetweefsel

relaxatietijd (ms)

100

80

60

40

20

80

grijze stof in de hersenen

100

witte stof in de hersenen

90

hersenvocht

160

spierweefsel

45

Figuur 87

I (%)

Straling en gezondheid 5.8 Afsluiting

0 0

Figuur 88

50

100

150

200 t (ms)

228

Leerdoelen en begrippen Straling en gezondheid

Leerdoelen en begrippen Ga voor jezelf na of je de leerdoelen al hebt bereikt. Vink de leerdoelen die je hebt bereikt af en geef aan wat je gaat doen met de uitleg en opdrachten waarmee je nog moeite hebt.

PA R AGR A A F 5 .2 RÖ N TGENS T R A L ING Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: röntgenstraling, foton, elektromagnetische straling, elektromagnetisch spectrum, röntgenfoto, doordringend vermogen, ioniserend vermogen, absorptie, transmissie, intensiteit, halveringsdikte, doorlaatkromme, fotonenergie.

de verschillende soorten straling in het elektromagnetisch spectrum noemen, in volgorde van toenemende frequentie.

elektromagnetische straling beschrijven als een stroom van fotonen waarvan de energie afhangt van de frequentie.

fotonenergie omrekenen van joule (J) naar elektronvolt (eV) en omgekeerd.

beschrijven wat er in een materiaal gebeurt bij absorptie van röntgenstraling.

uitleggen van welke factoren de intensiteit van de doorgelaten röntgenstraling afhangt.

uit een I,d-diagram (of doorlaatkromme) bepalen hoe groot de halveringsdikte van het materiaal is.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de intensiteit van de doorgelaten straling:

n

​I = ​I​  0​​ ∙ ( ​​ _​  12 ​)​​​  ​met n ​ =_ ​  d  ​​. ​d​  1/2​​

berekeningen maken en redeneren met de formule voor fotonenergie: ​E​  f​​ = h ∙ f​.

PA R AGR A A F 5 .3 K ERNS T R A L ING Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: radioactiviteit, kernstraling, ​α​-straling, β ​ ​-straling, ​ γ​-straling, Geiger-Müllerteller (of GM-teller), radioactief verval, emissie, radioactieve bron, activiteit, halveringstijd, vervalkromme.

het doordringend en ioniserend vermogen van röntgenstraling en de drie soorten kernstraling beschrijven als groot, matig of klein, en uitleggen wat de oorzaak is van deze verschillen.

uitleggen van welke factoren de activiteit van een radioactieve bron afhangt.

229

Straling en gezondheid Leerdoelen en begrippen

uit een A,t-diagram (of vervalkromme) bepalen hoe groot de halveringstijd van een radioactieve stof is.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor de activiteit van een radioactieve stof: n ​ = ​A​  0​​ ∙  ​​(_​  12 ​)​​​  ​met n A ​ =_ ​  ​t​  t  ​​​ ​.

1/2

PA R AGR A A F 5.4 R A D I OAC T IE F V ERVA L Ik kan: de volgende begrippen beschrijven en toepassen: atoomkern, instabiele atoomkern, proton, neutron, atoomnummer, massagetal, isotoop, vervalvergelijking, behoud van massagetal, behoud van lading, ​​β​​  −​​-straling, ​β​​  +​​-straling, positron, antideeltje, annihilatie, paarvorming (of creatie), kernreactie, reactievergelijking, neutronenstraling, gemiddelde activiteit, activiteit op een tijdstip, afgeleide, atoommassa, atomaire massa-eenheid.

Acties:

de bouw van het atoom beschrijven, afhankelijk van het atoomnummer en het massagetal. de kern van een atoom van element X ​ ​ schematisch weergeven met behulp van het atoomnummer Z ​ ​ en het massagetal A ​ ​: A​ ​ Z​  X​.​​​

een α ​ ​-deeltje, ​β​​  −​​-deeltje, ​β​​  +​-deeltje en γ​ ​-foton schematisch weergeven met behulp van hun lading- en massagetal.

beschrijven wat er in een instabiele atoomkern gebeurt bij het uitzenden van α ​ ​-, ​β​​  −​​-, ​β​​  +​​- en γ​ ​-straling.

de vergelijking voor het ​α​-, ​β​​  −​- of ​β ​ ​​  +​-verval van een instabiele kern opstellen, met gebruik van behoud van massagetal en behoud van lading.

de vergelijking voor een kernreactie opstellen, met gebruik van behoud van massagetal en behoud van lading. uit een N,t-diagram (of vervalkromme) bepalen hoe groot de halveringstijd van een radioactieve isotoop is.

uit het N ​ ,t​-diagram van een radioactieve isotoop bepalen hoe groot de gemiddelde activiteit of de activiteit op een tijdstip is.

uitleggen hoe de activiteit van een radioactieve bron afhangt van het aantal instabiele kernen en de halveringstijd.

230

Leerdoelen en begrippen Straling en gezondheid

Ik kan:

Acties:

het aantal instabiele kernen in een radioactieve stof berekenen met behulp van de massa, de atoommassa en de atomaire massa-eenheid.

berekeningen maken en redeneren met de formule voor het aantal instabiele kernen dat op een bepaald tijdstip nog niet is vervallen:

n

​N = ​N​  0​​ ∙ ( ​​ _​  12 ​)​​​  ​met n ​ =_ ​  ​t​  t  ​​​ ​. 1/2

berekeningen maken en redeneren met de formules voor de gemiddelde activiteit van een radioactieve isotoop en de activiteit op een bepaald dN ∆N tijdstip: ​A​  gem​​ = − ​ _ ​en A ​ = − ​​(___ ​  ∆∆Nt ​)​​  raaklijn​​ = − ​ _ ​.​ ∆t dt

berekeningen maken en redeneren met het verband tussen de activiteit, de halveringstijd en het aantal instabiele kernen: ​A = _ ​  ln2 ​t​   ​​​ ∙ N​.

1/2

PA R AGR A A F 5 .5 S T R A L INGS B E L AS T ING Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: stralingsenergie, dosis, equivalente dosis, stralingsweegfactor, stralingsziekte, kosmische straling, achtergrondstraling, uitwendige bestraling, besmetting, inwendige bestraling, dracht, stralingsbescherming, dosimeter, stralingsbeschermingsnorm, effectieve totale lichaamsdosis.

uitleggen waardoor UV-, röntgen- en gammastraling een ioniserende werking hebben, en de andere soorten straling van het elektromagnetisch spectrum niet.

uitleggen wat de risico’s zijn van röntgenstraling en kernstraling, en met welke beschermingsmaatregelen die risico’s zo klein mogelijk blijven. de verschillende bronnen van de natuurlijke achtergrondstraling benoemen.

beschrijven wat er in een materiaal gebeurt bij de absorptie van ​α​- en β ​ ​-straling, en bij de absorptie van röntgen- en γ​ ​-straling.

uitleggen wat het verschil is tussen uitwendige en inwendige bestraling, en welke soorten ioniserende straling daarbij het meest en het minst gevaarlijk zijn. berekeningen maken en redeneren met de formules voor de stralingsdosis en de equivalente dosis: ​E​  ​​

​D = _ ​  mstr ​en H ​ = ​w​  R​​ ∙ D​

231

Straling en gezondheid Leerdoelen en begrippen

PA R AGR A A F 5.6 B EE L DVO R M ING Ik kan: de volgende begrippen beschrijven en toepassen: röntgenfotografie, computertomografie (of CT), nucleaire diagnostiek, tracer, gammacamera, scintigram, SPECT-scan, PET-scan, echografie, ultrasone geluidsgolf, echogram, magnetic resonance imaging (of MRI), resonantie, relaxatie, relaxatietijd.

Acties:

uitleggen hoe bij de volgende medische beeldvormingstechnieken een beeld van het inwendige van het lichaam ontstaat: röntgenfotografie, CT-scan, nucleaire diagnostiek (scintigrafie, SPECT-scan en PET-scan), echografie en MRI-scan. op grond van de eigenschappen en de vooren nadelen van de verschillende medische beeldvormingstechnieken een beargumenteerde keuze maken voor de toepassing van één van die technieken bij het stellen van een diagnose.

6

Vaardigheden Rekenen, onderzoeken, ontwerpen en modelleren

6.1

Rekenvaardigheden

233

6.2

Onderzoeksvaardigheden

248

6.3

Videometen en modelleren

258

6.4 Technisch ontwerpen Leerdoelen en begrippen

266 272

233

Vaardigheden

6.1

Rekenvaardigheden

Introductie Bij het vak natuurkunde moet je veel rekenen. Behalve met formules reken je soms ook met verhoudingen en procenten. Daarnaast moet je kunnen redeneren met evenredigheden, zowel in formules als bij diagrammen. In deze paragraaf bespreken we de verschillende rekenvaardigheden die je bij natuurkunde nodig hebt.

PA R AG R A A F V R A AG Hoe gebruik ik de rekenvaardigheden die belangrijk zijn bij natuurkunde?

VO O R B E E L D O P G AV E 1 Het rendement van een magnetron is 78%. Voor het opwarmen van een maaltijd is 340 kJ warmte nodig. Vraag: Bereken hoeveel elektrische energie de magnetron daarvoor gebruikt. Antwoord: Hier geldt 340 kJ = 78%, en de gevraagde elektrische energie is 100%. Noteer die getallen in de tabel. × 1,28 78% 340 kJ

Rekenen met procenten Bij het rekenen met procenten is een verhoudingstabel handig. In de bovenste rij noteer je dan de procenten. Vaak is één waarde gelijk aan 100%. In de onderste rij noteer je de bijbehorende grootheid. Noteer steeds de eenheden bij de getallen, dan zie je beter wat je aan het uitrekenen bent.

× 1,28 De vermenigvuldigingsfactor is hier: nieuw ___ _____ = 100 = 1,28 oud

Vervolgens bepaal je de vermenigvuldigingsfactor. Daarvoor gebruik je: nieuwe waarde vermenigvuldigingsfactor = ___________ oude waarde

100%

78

Bereken met die factor het antwoord: 340 × 1,28 = 4,4 · 102 kJ.

nieuwe waarde ___ In voorbeeldopgave 1 is de vermenigvuldigingsfactor: ___________ = 100 = 1,28. 78 oude waarde Met die factor kun je de ontbrekende waarde berekenen.

Bij de verhoudingstabel mag je het antwoord ook berekenen door terug te rekenen naar 1. Dan bereken je het antwoord in twee stappen. Zolang je ook de eenheden in de tabel erbij schrijft, maakt het niet uit hoe je het antwoord berekent.

Rekenen met een verhoudingstabel Een verhoudingstabel kun je ook gebruiken als het woordje ‘per’ in de eenheid staat, zoals bij joule per kilogram of liter per 100 km (het woordje ‘per’ betekent ‘bij elke’). In voorbeeldopgave 2 is het brandstofverbruik 2,4 liter per 100 km. Die twee getallen kun je dan onder elkaar in de verhoudingstabel plaatsen.

VO O R B E E L D O P G AV E 2 Het gemiddelde brandstofverbruik van een scooter bedraagt 2,4 liter per 100 km. Vraag: Bereken hoeveel kilometer de scooter kan rijden op een volle tank van 6,8 liter. Antwoord: Noteer de getallen in een verhoudingstabel. × 2,83

Vervolgens kun je bijvoorbeeld berekenen hoeveel km je met de auto kunt rijden op een volle tank van 60 L, of hoeveel benzine je nodig hebt voor 12 000 km. Plaats het getal in de juiste rij en bereken de ontbrekende waarde met de vermenigvuldigingsfactor. Noteer altijd de eenheden bij de getallen in de tabel. Dan zie je beter wat je aan het berekenen bent, en bij een toets telt dat als uitleg. B

B B

Een verhoudingstabel kun je gebruiken bij berekeningen met procenten en bij grootheden waarin ‘per’ staat. Noteer bij de getallen in een verhoudingstabel ook de eenheid. Bereken het antwoord met de vermenigvuldigingsfactor (of reken terug naar 1).

2,4 L 100 km

6,8 L

× 2,83 De vermenigvuldigingsfactor is: 6,8 nieuw ___ _____ = = 2,83 oud

2,4

Bereken met die factor het antwoord: 2,83 × 100 = 2,8 · 102 km.

234

6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

1,0 m/s 3,6 km/h

120 km/h

Figuur 1

1

Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a 50% van 250 is 500. b Als je van 80% naar 100% gaat, moet je vermenigvuldigen met 1,25. c Een afname van 80% betekent vermenigvuldigen met 0,80. d Een broek is 50% afgeprijsd en kost nu € 80. De oude prijs was dus € 120.

2

Noteer bij de volgende vragen ook de berekening. a Een hoeveelheid van 22 neemt toe met 27%. Bereken de nieuwe hoeveelheid. b Een artikel in de winkel is 35% afgeprijsd en kost nu € 3,73. Bereken de originele prijs. c Leg uit wat de vermenigvuldigingsfactor is bij een toename van 100%. d Van het aardoppervlak bestaat 362 miljoen km² uit water. Dat is 71% van de totale oppervlakte. Bereken de oppervlakte van het land. Gebruik een verhoudingstabel.

3

Gebruik bij de berekeningen steeds een verhoudingstabel. Bij een bepaalde auto is het gemiddeld brandstofverbruik 7,2 liter per 100 km. a Bereken de hoeveelheid brandstof (L) die nodig is voor een afstand van 750 km. De prijs van de brandstof is € 2,16 per liter. b Bereken hoeveel brandstof je kunt kopen met € 25,00. c Hoe hoog zijn de brandstofkosten per kilometer? Bereken het antwoord in centen en rond af op één decimaal. Per jaar rijdt de auto 24 000 km. d Hoeveel kost het brandstofverbruik per jaar? Rond af op honderden euro’s.

4

Bij het omrekenen van snelheden van m/s naar km/h of omgekeerd kun je een verhoudingstabel gebruiken. a Een wandelaar loopt met een snelheid van 1,0 m/s. Leg uit dat een snelheid van 1,0 m/s gelijk is aan 3,6 km/h. Evelien wil een verhoudingstabel gebruiken om een snelheid van 120 km/h om te rekenen naar m/s. In figuur 1 staat de tabel die zij heeft gemaakt. b Bereken het antwoord met de vermenigvuldigingsfactor. Omrekenen van m/s naar km/h en omgekeerd kan ook zonder verhoudingstabel. c Leg uit dat je voor omrekenen van km/h naar m/s kunt delen door 3,6.

Omtrek, oppervlakte en volume Van tweedimensionale figuren zoals een cirkel, een driehoek en een rechthoek moet je de omtrek en de oppervlakte kunnen berekenen (zie figuur 2). Daarvoor gelden de formules van figuur 3 (zie ook Binas). l

b

r hoogte basis

Figuur 2 Driehoek in een cirkel in een rechthoek

omtrek

oppervlakte

cirkel

2π · r

π · r2

driehoek

som van de zijden

1 × basis × hoogte _

rechthoek

2l + 2b

l·b

Figuur 3

2

235

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

Van driedimensionale figuren zoals een bol, een balk en een cilinder moet je het volume kunnen berekenen (zie figuur 4 en 5). Bij een bol moet je ook de oppervlakte kunnen berekenen (zie ook Binas). volume bol

_ ​​  4 ​π ∙ r​ ​​ 3​​

3

balk

l·b·h

cilinder

π · r2 · h

cilinder

r

h

h r

b

l

oppervlakte ​4π ∙ r​ ​​ 2​​

bol

balk

Figuur 4

Figuur 5

Driehoeken en gelijkvormigheid

C

Bij rechthoekige driehoeken bereken je zijden of hoeken met: s

overstaande rechthoekzijde

​sin (α ) = _ ​  os ​= __________________ ​      ​​ schuine zijde

overstaande rechthoekzijde

​tan (α ) = _ ​  ao ​= __________________ ​    ​​ aanliggende rechthoekzijde

s2 = a2 + o2 of schuine zijde2 = aanliggende zijde2 + overstaande zijde2 Twee driehoeken zijn gelijkvormig als alle hoeken gelijk zijn, zoals in figuur 7. Bij rechthoekige driehoeken is altijd een van de hoeken gelijk aan 90°. Als er dan nog een hoek gelijk is, moet de derde hoek ook gelijk zijn. De som van de drie hoeken is immers 180°. Gelijkvormigheid kun je gebruiken als je de component van de kracht langs de helling wilt berekenen. De driehoek gevormd door de krachten is dan gelijkvormig aan de driehoek van de helling. Zie voorbeeldopgave 3.

5

Berekeningen met diameter, omtrek, oppervlakte en volume. Een cirkel heeft een omtrek van 2,07 m. Bereken de oppervlakte van de cirkel. b Bij een rechthoekige driehoek is de diagonaal 5,8 m. Een van de twee rechthoekszijden is 4,5 m. Maak een schets van de driehoek en bereken de omtrek en de oppervlakte. c Een voetbal heeft een diameter van 28 cm. Bereken het volume en de oppervlakte van de bal. d Een cilindervormige regenton heeft een hoogte van 120 cm. De diameter van de bodem van de regenton is 60 cm. Bereken hoeveel liter water er in de regenton past. a

6

In figuur 7 zijn twee driehoeken getekend. Deze twee driehoeken zijn gelijkvormig. a Leg uit dat twee driehoeken gelijkvormig zijn als twee van de drie hoeken gelijk zijn. Beide driehoeken zijn rechthoekig. Een van de hoeken is 90°. b Leg uit dat de twee bovenste hoeken in de figuur gelijk zijn. Gebruik in je uitleg dat Fz verticaal is. c Leg uit dat daaruit volgt dat de twee hoeken α ​ ​gelijk zijn.

α

B

aanliggende rechthoekzijde

c​​ os(α) = _ ​  as ​= __________________ ​      ​​​ schuine zijde

o A

a

Figuur 6

VO O R B E E L D O P G AV E 3 In figuur 7 ligt een blok op een schuine helling. De afmetingen van de helling staan in de figuur. De zwaartekracht op het blok is: ​​F​z​= 50 N​. Vraag: a Bereken hoek α ​ ​. b Bereken de grootte van krachtcomponent F ​​ ​z,x​​​. Antwoord: 30 a Er geldt: s​ in(​ α)​= __ ​  os ​ = ___ ​  100  ​ = 0,30​. −1 Dan is ​α = s​ in​​ (​​ 0,30)​= 17°​ b De driehoeken zijn gelijkvormig, dus hoek α ​​ is gelijk. ​F​z,x​

Er geldt: s​ in​(α)​= __ ​  os ​ = ___ ​  ​F​  ​​​ en ​sin​(α)​= 0,30​. z

​F​z,x​

Dat geeft: ___ ​​  ​F​  ​​ = 0,30​. Dan is F ​​ ​z,x​​= 0,30 × F​z​= z

0,30 × 50 = 15 N​

Fz,x

α

100

α Fz

Figuur 7 Gelijkvormige driehoeken

30

236

6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

7

F2

FR α F1

1 cm =ˆ 1000 N Figuur 8

In figuur 8 zijn een auto en een sleepwagen weergegeven. De kracht FR die de kabel uitoefent op de auto is ontbonden in twee componenten F1 en F2 . a Er geldt: F1 = 1,5 kN en F2 = 1,0 kN. Bereken daarmee FR en hoek α. b In een andere situatie geldt: FR = 2,5 kN en hoek α = 30°. Bereken daarmee F1 en F2.

Afronden Bij natuurkunde moet je getallen vrijwel altijd afronden. Bij natuurkunde zijn getallen namelijk geen exacte gegevens, maar meetresultaten. Als een auto bijvoorbeeld 125 km rijdt in een uur en drie kwartier (1,75 uur), dan is de afstand niet exact 125 km. Dat kan best een paar honderd meter meer of minder zijn. En de tijd is ook niet exact 125 1,75 uur. Dan is de gemiddelde snelheid niet exact ___ = 71,42857 km/h maar afge1,75 rond 71 km/h of 71,4 km/h. Het zou gek zijn om de uitkomst wel heel nauwkeurig op te schrijven. Gelukkig wordt het meestal niet fout gerekend als je vergeet om een antwoord af te ronden. Soms wordt er bij de opgave wel expliciet gevraagd om het antwoord af te ronden. Dan is afronden natuurlijk wel belangrijk. Bij wiskunde staat er dan vaak bij: ‘Rond af op twee decimalen’. Zo’n vraag kun je bij natuurkunde ook krijgen, maar meestal zal er bij natuurkunde gevraagd worden ‘Rond af op twee significante cijfers’ of ‘Rond af op het juiste aantal significante cijfers’.

Significante cijfers Het aantal significante cijfers is het aantal cijfers waaruit het getal bestaat. Zo bestaan 125 km en 1,75 uur beide uit drie significante cijfers. Als je met die getallen vervolgens de gemiddelde snelheid berekent, moet je de uitkomst ook afronden op drie signifi125 cante cijfers. Dan is de gemiddelde snelheid dus ___ = 71,4 km/h. 1,75 Het aantal significante cijfers geeft aan hoe nauwkeurig iets is gemeten. Als de afstand niet 125 km is, maar 124,980 km dan is de afstand kennelijk tot op een meter nauwkeurig gemeten. Als de tijd dan ook nauwkeurig gemeten is, bijvoorbeeld 1,747 uur, dan moet het antwoord ook nauwkeuriger zijn. Kies bij afronden het aantal cijfers van het minst nauwkeurige getal. Hier is dat vier significante cijfers (de tijd is 1,747 uur). Het antwoord rond je dan ook af op vier signi124,980 ficante cijfers. Dan is de gemiddelde snelheid: ______ = 71,54 km/h. 1,747 Er is één uitzondering bij het tellen van het aantal significante cijfers: nullen aan de voorkant van een getal tellen niet mee. Een afstand van 80 meter kun je namelijk ook schrijven als 0,080 kilometer. Dat is hetzelfde getal, maar door de andere eenheid staan er opeens een paar nullen aan de voorkant bij. Toch zijn die twee getallen even nauwkeurig, en beide getallen hebben twee significante cijfers, want de nullen aan de voorkant van 0,080 tellen dus niet mee. Nullen aan de achterkant van een getal tellen wél mee bij het aantal significante cijfers. Deze afspraak over nullen aan de voor- en achterkant pas je ook toe bij het afronden van het antwoord. Als de uitkomst van een berekening bijvoorbeeld 0,042386 is, en je moet afronden op twee significante cijfers, dan wordt het antwoord 0,042. En als je 100 ___ = 4 moet afronden in het juiste aantal significante cijfers is het antwoord 4,0. 25

237

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

W E T E N S C H A P P E L I J K E N OTAT I E Bij grote en kleine getallen is het vaak handig om de wetenschappelijke notatie te gebruiken. Als het antwoord bijvoorbeeld 42 186 m is, en je moet afronden op drie significante cijfers, kun je het getal eerst schrijven als: 4,2186 · 104 m. Afgerond op drie significante cijfers wordt dat: 4,22 · 104 m. Een andere mogelijkheid is omrekenen naar een andere eenheid: 42 186 m = 42,186 km. Afgerond 42,2 km. Bij heel kleine getallen, zoals 0,0003482 m, is het ook handig om dat te schijven als 3,482 · 10−4. Of als 0,3482 mm. Vervolgens rond je af op het gevraagde aantal significante cijfers.

Bij afronden op het juiste aantal significante cijfers pas je het volgende toe: Noteer van elk gegeven dat je gebruikt bij de berekening het aantal significante cijfers. E Exacte getallen zoals π en aantallen tellen niet mee in deze afrondingsregels. E Rond het antwoord af in het kleinste aantal significante cijfers van de gegevens. E

Uitzondering: Alleen wanneer je twee getallen bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt, kijk je naar het aantal decimalen. Voorbeeld: de temperatuur stijgt van 293,2 K naar 298,7 K. Dan is de stijging gelijk aan 5,5 K. Als je met dit getal verder rekent, gebruik je dat dit gegeven is in twee significante cijfers. Bij optellen en aftrekken kijk je namelijk naar het aantal decimalen. Zo geldt bijvoorbeeld 3​ ,82 + 1,2 = 5,0​. B B

B

B

B

Bij berekeningen worden uitkomsten altijd afgerond. Het aantal significante cijfers is het aantal cijfers van een gegeven getal met uitzondering van de nullen aan de voorkant van het getal. Bij sommige opgaven wordt expliciet gevraagd om af te ronden in een aantal decimalen, in een aantal significante cijfers of in het juiste aantal significante ­cijfers. Het juiste aantal significante cijfers wordt bepaald door het minst nauwkeurige gegeven (met het kleinste aantal significante cijfers). Bij optellen en aftrekken kijk je naar het aantal decimalen.

VO O R B E E L D O P G AV E 4 Vraag: Noteer van de volgende getallen het aantal significante cijfers: 12,4  0,23  5000  0,0034  0,440 Antwoord: Alleen de nullen aan de voorkant van het getal tellen niet mee:

12,4 (3) 0,23 (2) 5000 (4) 0,0034 (2) 0,440 (3)

VO O R B E E L D O P G AV E 5 Vraag: Rond de uitkomst van de volgende berekeningen af op het juiste aantal significante cijfers.

1,8 × 2,34

0,0180 × 234,00

23, 40  ​​ 23,40 − 22,82 ​​ ____ 22, 8

​125 + 8,3​

Antwoord:

1,8 × 2,34 = 4,2 (twee significante cijfers) 0,0180 × 234,00 = 4,21 (drie significante cijfers) 23,40 − 22,82 = 0,58 (twee decimalen) 23,40 ____ ​​  22,8 ​​= 1,03 (drie significante cijfers) ​125 + 8,3 = 133​ (nul decimalen)

VO O R B E E L D O P G AV E 6 In figuur 9 zie je een rijdende auto. Door de snelheid waarmee de auto rijdt, is de afbeelding op de foto onscherp. De opname duurde 25 ms.

De uitkomst van een berekening schatten Een schatting maken van de uitkomst is meer dan gokken. Schatten betekent dat je een beredenering of berekening maakt met getallen die je niet precies kent. Die getallen moet je dan bepalen uit de gegeven situatie. Je mag er dan best iets naast zitten. Hoeveel je er naast mag zitten, hangt af van de situatie. Bij een schatting hoort ook altijd een toelichting. Zie voorbeeldopgave 6.

Figuur 9 Foto van een rijdende auto

Vraag: Schat de snelheid waarmee de auto reed. Licht je antwoord toe. Antwoord: Vergelijk de lengte van de ‘vegen’ op de foto met bijvoorbeeld de hoogte van de auto. De lengte van zo’n veeg is iets meer dan de helft van de hoogte, dus ongeveer 1 m. De auto legt dan 1 m af in 0,025 s. Dat komt overeen met 40 m/s.

238

6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

Figuur 10

VO O R B E E L D O P G AV E 7

veerkracht Fv (N)

In de grafiek in figuur 11 is het verband tussen de veerkracht en de uitrekking van een veer weergegeven. Vraag: a Hoe zie je aan de grafiek dat de uitrekking evenredig is met de kracht? b Stel de formule op bij de grafiek. Antwoord: a De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. b Bij deze lijn hoort de formule F v = C ∙ u. Kies een punt dat niet dicht bij de oorsprong ligt (bijvoorbeeld u = 25 cm en Fv = 5,0 N). InvulF v ___ 5,0 len geeft C = __ u = 25 = 0,20 N/cm. 6 5 4 3 2 1 0

0

Figuur 11

5

10

15 20 25 uitrekking u (cm)

8

Bij het afronden van berekeningen moet je letten op het aantal decimalen of het aantal significante cijfers van de gegevens. a Welke uitzondering is er bij het tellen van het aantal significante cijfers van een getal? b Welke uitzondering is er bij het bepalen van het juiste aantal significante cijfers van het antwoord? c Noteer van de volgende getallen het aantal significante cijfers. 1 315,2 2 20,0 3 0,027 4 0,810 d Rond de volgende berekeningen af op het juiste aantal significante cijfers. 0,18 1 141,5 × 3,48 = 4 125 × ___ = 4,30 2 0,0270 × 180,00 = 5 3125 × (8,82 - 8,27) = 6, 7 3 6,74 − 6,12 = 6 _ = 41, 2

9

Een springdrum is een muziekinstrument dat bestaat uit drie delen: een holle koker, een vel en een lange spiraalveer. Door de koker met de hand te schudden, geeft de springdrum geluid (zie figuur 10). Maak met behulp van figuur 10 een schatting van de lengte van de veer. Neem aan dat de koker ongeveer de grootte van een wc-rolletje heeft.

10 Lucht lijkt bijna niets te wegen, maar een kubieke meter lucht heeft een massa van ongeveer 1,2 kg. 3 a Maak een schatting van de inhoud van het klaslokaal in m . b Bereken daarmee de massa van de lucht in het lokaal. Rond het antwoord af op twee significante cijfers.

Formules en verbanden Een formule beschrijft bij natuurkunde het verband tussen twee of meer grootheden. Zo beschrijft de formule F = C ∙ u het verband tussen de veerkracht F en de uitrekking u. Die formule lijkt op de wiskundeformule y = a ∙ x. De grafiek bij zo’n formule is een rechte lijn door de oorsprong (zie figuur 11). Het is een evenredig verband. Als de uitrekking 4× zo groot is, is de kracht ook 4× zo groot. De constante in de formule (C of a) is de steilheid van de grafiek. Het is ook de evenredigheidsconstante. De waarde van die constante bepaal je met de steilheid van de lijn of door de coördinaten van een punt in te vullen in de formule. Zie voorbeeldopgave 7. Het ligt niet altijd vast wat de constante in een formule is. Zo beschrijft de formule U = I ∙ R hoe de stroom verandert als de spanning toeneemt. De weerstand is dan de constante, en de stroomsterkte is evenredig met de spanning. Maar in huis is de spanning constant, en elk apparaat heeft een andere weerstand. Dan hangt de stroomsterkte alleen af van de weerstand. Hoe groter de weerstand, hoe kleiner de stroomsterkte. Dat is een omgekeerd evenredig verband. Als de weerstand 4× zo groot is, is de stroomsterkte 4× zo klein Het kan dus van de situatie afhangen wat de constante in de formule is, en of de formule een evenredig of een omgekeerd evenredig verband beschrijft.

239

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

7,5

In figuur 12 zie je dat de formule v ∙ t = 7,5 ook geschreven kan worden als v = ___ t . Dat 1 _ _ lijkt op de wiskundige formule y = c ∙ x . Daaraan herken je een omgekeerd evenredig verband. Als x bijvoorbeeld 4× zo groot is, is y 4× zo klein. B

B

B

B

B

Bij een evenredig verband geldt: wordt de ene grootheid n keer zo groot, dan wordt de andere grootheid ook n keer zo groot. Bij een evenredig verband hoort een formule zoals y = a ∙ x. De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. De steilheid van de lijn is gelijk aan de constante a. Bij een omgekeerd evenredig verband geldt: wordt de ene grootheid n keer zo groot, dan wordt de andere grootheid n keer zo klein. Bij een omgekeerd evenredig verband hoort een formule zoals x ∙ y = c, waarbij c constant is. Die formule kan ook geschreven worden als y = c ∙ _x1_. De constante in een formule kun je bepalen door de coördinaten van een punt in te vullen.

Diagrammen In figuur 13 is de snelheid van een remmende auto weergegeven. In de eerste seconde is de snelheid constant, daarna daalt de snelheid van de auto tot nul. De steilheid van de lijn (of het hellingsgetal) is in dit diagram de versnelling van de auto. Dat kun je afleiden uit de grootheden langs de assen (snelheid en tijd). De steilverticaal snelheid _v_ heid van de lijn bereken je met: _________ . In dit diagram is de steilheid: _______ = t. horizontaal

tijd

∆v volgt dat dit de versnelling is. In de eerste seconde is de lijn Uit de formule a = ___ ∆t

horizontaal. Dan is de steilheid nul, dus de versnelling is nul. Daarna is de steil−20 m/s verticaal = ______ = −5,0 m/s 2. heid: _________ 4,0 s horizontaal

Je fietst een bepaalde afstand met constante snelheid. In figuur 12 is weergegeven hoe hard je moet fietsen om die afstand binnen een bepaalde tijd af te leggen. Vraag: a Controleer met een getallenvoorbeeld dat de tijd omgekeerd evenredig is met de snelheid. b Laat zien dat de twee formules in de grafiek juist zijn. Antwoord: a Vergelijk v = 30 km/h met v = 15 km/h. De snelheid wordt 2× zo klein, de tijd neemt toe van 0,25 naar 0,50 uur. De tijd is dan 2× zo groot. b Bij deze grafiek hoort de formule s = v ∙ t, en daarin is s constant. Kies een punt op de lijn (bijvoorbeeld v = 15 km/h en t = 0,50 uur). Invullen geeft 15 × 0,50 = 7,5 km. De formule is dus: v ∙ t = 7,5 km. Aan beide zijden delen door 7,5 t geeft v = ___ t . 35

v × t = 7,5 km

30

of: v = 7,5 — t

25 20 15 10 5 0

De dalende rechte lijn is een lineair verband. In voorbeeldopgave 9 zie je hoe je van een lineair verband een formule opstelt. De oppervlakte onder de grafiek is in dit diagram de afstand die de auto aflegt. Dat kun je afleiden uit de grootheden langs de assen (snelheid en tijd). De oppervlakte onder de lijn bereken je met horizontaal × verticaal. Hier is dat tijd × snelheid = afstand. In de eerste seconde is de oppervlakte: s = v ∙ t = 20 × 1,0 = 20 m. Tijdens het remmen is de oppervlakte: 1 × basis × hoogte = _ 1 × 4,0 × 20 = 40 m. _ 2 2 B

De betekenis van de steilheid van de lijn (of raaklijn) kun je afleiden uit de grootverticaal heden langs de assen: steilheid = _________ .

B

De betekenis van de oppervlakte onder een grafiek kun je afleiden uit de grootheden langs de assen: oppervlakte = horizontaal × verticaal. Bij een rechte lijn hoort een lineair verband: y = a ∙ x + b

horizontaal

B

VO O R B E E L D O P G AV E 8

snelheid v (km/h)

In figuur 12 zie je een ander voorbeeld van een omgekeerd evenredig verband, hier tussen de snelheid en de tijd. Als de snelheid 2× zo klein is, is de tijd over een bepaalde afstand 2× zo groot. Dat kun je ook schrijven als een formule: s = v ∙ t. In dit voorbeeld is de afstand s de constante, maar in andere situaties is de tijd t constant, of de snelheid v. Het kan dus van de situatie afhangen welke grootheid in de formule constant is.

v × t = 7,5 km 0

0,25

0,50

0,75

1,00 1,25 tijd t (h)

Figuur 12 Omgekeerd evenredig verband

240

6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

VO O R B E E L D O P G AV E 9

11 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken.

In figuur 13 is de snelheid van een remmende auto weergegeven. Vraag: Stel een formule op van de dalende lijn. Antwoord: Bij een lineair verband hoort y = a ∙ x + b. Hier wordt dat: v = a ∙ t + b. Daarbij is a de steilheid van de lijn:

e

verticaal _________

f

horizontaal

−20 = ___ = −5,0. 4,0 s

Invullen in de formule: a = −5,0 en een punt, bijvoorbeeld t = 1,0 en v = 20:

20 = −5,0 × 1,0 + b geeft b = 20 + 5,0 = 25.

b c d

g h i

x y

De formule is: v = −5,0 ∙ t + 25 snelheid v (m/s)

a

30

Bij een evenredig verband is de grafiek een rechte lijn door de oorsprong. Bij een evenredig verband is de formule y = a ∙ x + b. Bij een evenredig verband is de verhouding tussen de twee grootheden constant. y De formule __x = 3 is hetzelfde als x = 3y. Bij een omgekeerd evenredig verband is de formule y = _ax_. De grafiek van de formule y · x = 3 gaat door de oorsprong. Bij een omgekeerd evenredig verband is het product van de twee grootheden constant. 27 is hetzelfde als x · y = 27. De formule y = __ x Bij een omgekeerd evenredig verband is de formule y = _ax_. 12

18

4,2

36

42

6,3 12,6

35

Figuur 14 25

12 De tabel van figuur 14 hoort bij een evenredig verband.

20

a

Laat met een getallenvoorbeeld zien dat het een evenredig verband is. Bij deze getallen hoort de formule y = a ∙ x b Bepaal de waarde van de constante a. c Welke waarde heeft y als x = 42? Licht je antwoord toe. d Welke waarde heeft x als y = 35? Licht je antwoord toe.

15 10 5 0

0

1

2

3

4

5

6 tijd t (s)

Figuur 13 Diagram remmende auto

VO O R B E E L D O P G AV E 10 In figuur 13 is de snelheid van een remmende auto weergegeven. Vraag: Bepaal de afstand die de auto aflegt tussen t = 0 en t = 5,0 s. Antwoord: In een v,t-diagram is de afstand gelijk aan de oppervlakte onder de lijn. De oppervlakte in de eerste seconde is gearceerd. De afstand is: 20 m/s × 1,0 s = 20 m. In het tweede gedeelte is het oppervlak onder de lijn een driehoek. De afstand is dan: 1 ∙ b ∙ h = 0,5 × 4,0 × 20 = 40 m. _ 2 De totale afstand is dan: 20 + 40 = 60 m.

13 De tabel van figuur 15 hoort bij een omgekeerd evenredig verband. a

Laat met een getallenvoorbeeld zien dat het een omgekeerd evenredig verband is. Bij deze getallen hoort de formule y = c ∙ _x1_ b Bepaal de waarde van de constante c. c Welke waarde heeft y als x = 42? Licht je antwoord toe. d Welke waarde heeft x als y = 12? Licht je antwoord toe.

x y

12

18

36

315

210

105

42 12

Figuur 15

14 Geef bij elk van de volgende situaties aan of er sprake is van een evenredig verband of een omgekeerd evenredig verband. Geef ook een toelichting. a Piet deelt pepernoten uit. Hij verdeelt een grote zak eerlijk over al zijn vrienden. Is het aantal pepernoten dat elke vriend krijgt evenredig of omgekeerd evenredig met het aantal vrienden? b Je loopt een coopertest van 12 minuten. Is de afstand die je haalt evenredig of omgekeerd evenredig met de gemiddelde snelheid? c Je fietst je vaste route van school naar huis. Is de tijd die je over die afstand doet evenredig of omgekeerd evenredig met de gemiddelde snelheid? d Het brandstofverbruik van een scooter wordt genoteerd in liter benzine per 100 kilometer. Is de afstand die een scooter op een volle tank met 7,0 L benzine kan rijden evenredig of omgekeerd evenredig met het brandstofverbruik?

241

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

massa m (kg)

15 Bij bungeejumpen worden koorden gebruikt die zeer elastisch zijn en tot maximaal drie keer hun onbelaste lengte kunnen uitrekken. Aan een koord met een lengte van 12 m worden verschillende gewichten gehangen en de uitrekking wordt gemeten (zie de tabel in figuur 16). a Laat met een berekening zien dat de uitrekking van het koord met dezelfde factor groter wordt als de massa. b Vul de tabel verder in. u c Laat zien dat de verhouding __ m constant is. d Welke eenheid heeft deze constante? e Stel een formule op voor het verband tussen u en m.

16 In figuur 17 zie je vier grafieken met een dalende kromme. Twee van de vier

c d

Laat met een getallenvoorbeeld zien dat het verband in grafiek A omgekeerd evenredig is. Bepaal de constante in deze formule. Bij welk van de grafieken B, C en D is het verband ook omgekeerd evenredig? Stel de formule op bij dit verband.

Leg uit dat de grafiek bij een evenredig verband altijd een rechte lijn door de oorsprong is. b Bij welke grafiek is de formule y = 4,4 ∙ x? c Stel een formule op bij de andere grafiek. De lijn in het rechter diagram wordt evenwijdig omhoog geschoven, zodat de lijn door het punt (10,240) gaat. d Stel een formule op bij deze lijn.

300

y

y

Figuur 16 300 250

A

200 150

150

100

100

50

50

0

0

1

2

3

4

5

6

7

0

8

300

0

1

2

3

4

5

6

7

8

6

7

8

300 250

C

150

150 100

50

50 0

1

2

3

4

5

D

200

100

0

B

200

6

7

0

8

0

1

2

3

4

5

Figuur 17 Welke grafiek hoort bij een omgekeerd evenredig verband?

150

40

100

20

-20

25

200

60

-5

12

250

80

0

9,0

200

a

100

15

250

17 De twee grafieken van figuur 18 horen bij een evenredig verband.

350

8,0

250

x

120

1,2

50 0

5

10 x

15

20

25

-5

0 -50

0

5

10

15

20

25

x

Figuur 18 Twee grafieken van een evenredig verband

18 In figuur 19 is weergegeven hoe bij een parachutesprong de snelheid toeneemt tijdens de eerste acht seconden. Bij t = 4,0 s is een raaklijn getekend. a Welke betekenis heeft de steilheid van deze raaklijn? Leg uit. b Stel een formule op van de raaklijn. c Welke betekenis heeft de oppervlakte onder de grafiek? Leg uit. Het diagram heeft hokjes van 1,0 s breed en 10 m/s hoog. d Controleer dat de oppervlakte onder de grafiek ongeveer gelijk is aan 24 hokjes. e Bereken daarmee de afstand die de parachutespringer aflegt in de eerste acht seconden. Rond af op twee significante cijfers.

snelheid v (m/s)

b

2,0

300

grafieken horen bij een omgekeerd evenredig verband (y = c ∙ _1_).

a

uitrekking u (m)

50 40 30 20 10 0

Figuur 19

0

1

2

3

4

5

6

7 8 tijd t (s)

242

6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

19 Uit biologisch onderzoek blijkt dat vogels, vleermuizen en insecten op een vergelijkbare manier met hun vleugels bewegen als vissen met hun staartvin. Onderzoekers hebben ontdekt dat de vliegsnelheid en de zwemsnelheid evenredig zijn met de slagfrequentie (het aantal slagen per seconde van de vleugels of staartvin). Voor vogels en vissen geldt dus het volgende verband:

v=c∙f

In deze formule is f de slagfrequentie (het aantal slagen per seconde van de vleugels of de staartvin), v de vliegsnelheid of de zwemsnelheid (in meter per seconde) en c een constante die per diersoort verschilt. De kolibrie is een klein vogeltje dat vliegt met een hoge slagfrequentie. Voor een kolibrie geldt: c = 0,27. a Een kolibrie heeft een vliegsnelheid van 13,5 m/s. Bereken de slagfrequentie van deze kolibrie. b Bereken de snelheid van de kolibrie als het vogeltje 40 slagen per seconde maakt. De constante in de formule geeft aan hoeveel meter het dier bij één slag aflegt. De eenheid is dus meter (per slag). Een tuimelaar (een dolfijnensoort) legt per slag een grotere afstand af dan een kolibrie, daarbij hoort een grotere constante in de formule. c Stel dat de kolibrie en de tuimelaar evenveel slagen per seconde zouden maken, wie heeft dan de grootste snelheid? Leg dat uit met behulp van de formule. Een tuimelaar heeft bij een snelheid van 15 m/s een slagfrequentie van 0,8 slagen per seconde. d Leg uit wat bij een tuimelaar de formule voor de snelheid v en de slagfrequentie f is.

Figuur 20 Kolibrie

Kwadratische verbanden en wortelverbanden De remweg van een auto is evenredig met het kwadraat van de snelheid. Als een auto bijvoorbeeld 3× zo hard rijdt, is de remweg niet 3× zo groot maar 9×. In figuur 22 (op de volgende pagina) zie je dat de bijbehorende grafiek de vorm heeft van een halve (dal)parabool. De wiskundige formule bij zo’n parabool is: y = c ∙ x 2. Hier wordt dat: s rem = c ∙ v 2. De waarde van de constante c kun je bepalen door de coördinaten van een punt van de parabool in te vullen in de formule (zie voorbeeldopgave 11).

Figuur 21 Tuimelaar

Geluid klinkt minder hard als je verder van de geluidsbron staat. De intensiteit van het geluid is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. In figuur 23 zie je dat het geluid verspreid wordt over een 9× zo groot oppervlak als de afstand 3× zo groot is. Dan zal de intensiteit 32 = 9× zo klein worden. In figuur 24 zie je de bijbehorende 1 . Hier wordt dat: I = c ∙ _ 1 . De grafiek. De wiskundige formule bij zo’n lijn is: y = c ∙ _ x2 r2 waarde van de constante c kun je bepalen door de coördinaten van een punt van de parabool in te vullen in de formule (zie voorbeeldopgave 12).

s

r

2r

3r

Figuur 23 De intensiteit neemt af met het kwadraat van de afstand.

Bij een schommel is de slingertijd evenredig met de wortel van de lengte. Als de slin_ ger 2× zo lang wordt, is de slingertijd √2 × zo groot. In figuur 25 zie je een aantal _ metingen van de slingertijd. De wiskundige formule bij zo’n verband is: y = c ∙ √x . Hier _ wordt dat: T = c ∙ √l . De waarde van de constante c kun je bepalen door de coördinaten van een punt in te vullen (zie voorbeeldopgave 13).

243

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

B B B

Bij een kwadratisch verband is de formule van de vorm y = c ∙ x 2. 1 . Bij een omgekeerd kwadratisch verband is de formule van de vorm y = c ∙ _ x2 _ Bij een wortelverband is de formule van de vorm y = c ∙ √x . De waarde van de constante in een formule kun je bepalen door de coördinaten van een punt van de trendlijn in te vullen.

VO O R B E E L D O P G AV E 12

intensiteit I (mW/m2)

In figuur 24 is weergegeven hoe de intensiteit I afhangt van de afstand r. Vraag: a Controleer met een getallenvoorbeeld dat de intensiteit omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand. b Stel de formule op bij de grafiek. 300

VO O R B E E L D O P G AV E 1 1 In figuur 22 is weergegeven hoe de remweg van een auto afhangt van de snelheid vlak voor het remmen. Vraag: a Controleer met een getallenvoorbeeld dat de remweg evenredig is met het kwadraat van de snelheid. b Stel de formule op bij de grafiek. remweg S rem (m)

B

160

120

80

250 200

40 150 0

100 50

0

10

20

30

40

50 v (m/s)

Figuur 22 Grafiek van een kwadratisch verband

0 0

1

2

3

4

5

6 7 8 afstand r (m)

Figuur 24 Grafiek van een omgekeerd kwadratisch verband

Antwoord: a Vergelijk r = 1,0 m met r = 3,0 m. De afstand wordt 3× zo groot. Dan zou de intensiteit 3 2 = 9× zo klein moeten worden. De intensiteit daalt van 300 _ = 8,6× zo klein. Dat is ongeveer gelijk aan 9. naar 35. Dat is 300 35 1 , met c constant. Invullen van een punt b Bij deze grafiek hoort de formule I = c ∙ _ r2 1 → c = 3,0 ∙ 10 2. (bijvoorbeeld r = 1,0 m en I = 300 mW/m2) geeft 300 = c ∙ _ 1,0 2 1 De formule is: I = 3,0 ∙ 10 2 ∙ _ 2 r

VO O R B E E L D O P G AV E 13 In de tabel in figuur 25 staan metingen van de slingertijd van een slinger. Vraag: a Laat met een getallenvoorbeeld zien dat de slingertijd T evenredig is met de wortel van de lengte l. b Stel de formule op bij dit verband. lengte l (m) slingertijd T (s) ×2 × 1,25

2,0

2,8

3,0

3,4

4,0

4,0

5,0

4,5

_

× √2

_

× √ 1, 25

Figuur 25 Metingen van de slingertijd

4,0

Antwoord: a Bij 4,0 m is de lengte 2× zo groot. De slingertijd is _ = 1,43× maal zo 2,8 _ groot, en √2 = 1,41. De slingertijd is dus evenredig met de wortel van de lengte. _ _ b Bij een wortelverband past T = c ∙ √m . Invullen van een punt geeft: 4,0 = c ∙ √4,0 . _ 4,0 _ = 2,0. De formule is: T = 2,0 ∙ √m Dan is c = _ √4,0

Antwoord: a Vergelijk v = 20 m/s met v = 40 m/s. De snelheid wordt 2× zo groot, de remweg neemt toe van 32 naar 130 m. _ = 4,1× zo groot. De remweg is dan 130 32 Dat is ongeveer gelijk aan 2 2 = 4. b De formule hierbij is s rem = c ∙ v 2, met c constant. Een punt invullen (bijvoorbeeld v = 40 m/s en srem = 130 m) geeft 130 = c ∙ 40 2 130 → c=_ = 0,081. 1600 De formule is dus: s rem = 0,081 ∙ v 2

244

6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

Formules en vergelijkingen Soms kun je twee formules combineren tot een nieuwe formule. Zo zijn er bij elektriciteit de formules ​P = U ∙ I​en U ​ = I ∙ R​. Die kun je combineren tot een nieuwe formule voor P, U en R. Daarvoor moet je vaak eerst een formule omschrijven. De formule ​ _ U = I ∙ R​kun je bijvoorbeeld omschrijven naar I​ = U ​R ​ ​. Vervolgens kun je deze formule _ substitueren (invullen) in de formule ​P = U ∙ I​. Op de plaats van I​ ​noteer je dan U ​R ​.​ U ​U​​  2​ _ _ Dat geeft P ​ = U ∙ ​R ​. Ten slotte kun je die formule vereenvoudigen tot P ​ = ​R ​​. Je hebt nu een nieuwe formule gemaakt. Uit die formule blijkt dat in huis (waar de spanning altijd 230 V is) het vermogen P omgekeerd evenredig is met de ­weerstand R. En bij een proefje waar R constant is, is P evenredig met het kwadraat van U. Je moet ook kunnen rekenen met formules. Dat betekent dat je lineaire en ­kwadratische vergelijkingen moet kunnen oplossen, en dat je moet kunnen rekenen met machten. Zo hoort bij voorbeeldopgave 11 de formule ​s​  rem​​ = 0,081 ∙ ​v​​  2​. Dan moet je­­bijvoorbeeld kunnen uitrekenen bij welke snelheid de remweg 200 m is. Of bij voor1 ​, moet je kunnen berekenen op welke afstand de beeldopgave 12, met I​ = 3,0 ∙ ​10​​  2​  ∙ ​ _ ​r​​  2​ 2 intensiteit 500 mW/m bedraagt. B

B

Je kunt twee formules combineren door de ene formule om te schrijven en ­vervolgens te substitueren in de andere formule. Bij natuurkunde moet je lineaire en kwadratische vergelijkingen kunnen ­oplossen, en kunnen rekenen met machten.

20 De remweg van een fiets hangt af van de beginsnelheid (de snelheid op het

vb (m/s)

srem (m)

3,0

1,3

5,0

3,6

7,0

7,2

9,0

12

Figuur 26

tijdstip waarop je begint te remmen). Daarvoor geldt de formule: ​s​  rem​​ = c ∙ ​​v​  b​​​​  2​​. Hierin is srem de remweg (in m) en vb de beginsnelheid (in m/s). De constante c hangt af van de remkracht en de massa van de fiets. a Beschrijf welk type verband er volgens deze formule is tussen srem en vb? Noteer dat verband als . . . . . is evenredig met . . . . . b Leg uit hoe de constante c zal veranderen als de remkracht groter is. In de tabel van figuur 26 zie je hoe de remweg srem van een auto afhangt van de beginsnelheid vb. c Bepaal de waarde van de constante c in de formule. d Bereken hoe groot de remweg is bij een beginsnelheid van 12 m/s. e Bereken bij welke beginsnelheid de remweg 48 m is.

21 De intensiteit van het licht van een lamp hangt af van de afstand tot die lamp. r (m)

I (W/m2)

0,18

4,2

0,25

2,2

0,31

1,4

0,36

1,04

0,40

0,84

Figuur 27

1 ​. Hierin is I de intensiteit (in W/m2) en r de Daarvoor geldt de formule: ​I = c ∙ ​ _ ​r​​  2​ afstand (in m). De constante c hangt af van de lamp. a Beschrijf welk type verband er volgens deze formule is tussen I en r. b Leg uit hoe de constante c zal veranderen als de stroomsterkte door de lamp groter is. In de tabel van figuur 27 zie je de intensiteit I bij verschillende waardes van de afstand r. c Bepaal de waarde van de constante c in de formule. d Bereken hoe groot de intensiteit is op een afstand van 75 cm. e Bereken op welke afstand de intensiteit 2,5 W/m2 is.

245

22 In figuur 28 is de snelheid van een optrekkende auto weergegeven. a

Leg uit dat uit het diagram volgt dat de versnelling constant is. b Leg uit dat voor de snelheid op tijdstip t geldt: v(t) = a ∙ t. Omdat de beginsnelheid nul is, is de gemiddelde snelheid gelijk aan de helft van de snelheid op tijdstip t: v gem = _21 ∙ v(t) = 1_2 ∙ a ∙ t. Daaruit is af te leiden dat voor de afstand op tijdstip t geldt: s(t) = 1_2 ∙ a ∙ t 2. c Leid deze formule af. In een v,t-diagram is de afstand gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek. d Leg uit dat voor de oppervlakte onder de grafiek tot tijdstip t geldt: oppervlakte = 1_2 ∙ a ∙ t 2. Gebruik daarbij de formule voor de lijn v(t) = a ∙ t

23 Een gewichtje met massa m hangt aan een veer en kan op-en-neer trillen.

De trillingstijd T van zo’n massa-veersysteem is de tijd die nodig is om één volledige beweging op-en-neer te maken. In de tabel van figuur 30 zie je de trillingstijd bij verschillende waardes van de massa. _ Volgens de theorie is de trillingstijd T evenredig met √m . _ a Controleer met een rekenvoorbeeld dat T evenredig is met √m . _ b Ga na dat voor het verband geldt: T = 1,5 ∙ √m . c Bereken de trillingstijd bij een massa van 0,250 kg. d Bij welke massa is de trillingstijd 1,25 s? Geef een berekening.

Coördinatentransformatie Als je een bepaalde evenredigheid vermoedt (kwadratisch, omgekeerd kwadratisch of wortelverband), kun je dat aantonen met behulp van coördinatentransformatie. Daarbij worden de grootheden langs assen van het diagram zodanig aangepast (getransformeerd) dat een rechte grafiek door de oorsprong ontstaat. Als je vermoedt dat grootheid B evenredig is met het kwadraat van grootheid A, maak je een diagram met langs de ene as B en langs de andere as A2. Daarvoor moet eerst bij elke meting de waarde van A2 berekend worden. Als je vermoedt dat grootheid B omgekeerd evenredig is met het kwadraat van groot1 . Daarvoor heid A, maak je een diagram met langs de ene as B en langs de andere as _ A2 1 _ moet eerst bij elke meting de waarde van 2 berekend worden. A

van grootheid A, maak je Als je vermoedt dat grootheid B evenredig is met de wortel_ een diagram met langs de ene as B en langs de andere as √A . Daarvoor moet eerst bij _ elke meting de waarde van √A berekend worden.

snelheid v (m/s)

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

35 30 25 20 15 10 5 0

0

2

4

6

8

10 12 tijd t (s)

Figuur 28

m (kg)

T (s)

0,025

0,24

0,050

0,34

0,075

0,42

0,100

0,48

0,200

0,68

0,400

0,96

Figuur 29

snelheid v (km/h)

remweg s (m)

v2

10

0,5

100

20

2,0

400

30

4,5

900

40

8,0

1600

50

12,5

2500

Figuur 30 _

valtijd t (in s)

1 / √g

1,63

1,57

0,78

3,70

1,04

0,52

versnelling g (in m/s2)

0,64

0,32

26,0

9,81

0,39

0,20

22,9

0,42

0,21

Figuur 31 Valtijd op verschillende planeten

246

12,5

valtijd t (s)

remweg s (m)

6.1 Rekenvaardigheden Vaardigheden

s = 0,005 · v 2

10,0

1,8 1,6

– t = 2,01 · 1 ⁄ √ g

1,4 1,2

7,5

1,0 0,8

5,0

0,6 0,4

2,5

0,2 0,0

0

500

1000

1500

2000

2500 v2

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 – 1⁄√g

Figuur 32 Coördinatentransformatie

In figuur 32 zie je twee voorbeelden van coördinatentransformatie. In het ene diagram is de remweg s uitgezet tegen v2 (zie ook de tabel van figuur 30), in de andere _ is de valtijd t uitgezet tegen 1 / √g (zie ook de tabel van figuur 31). In beide voorbeelden liggen de punten nu vrijwel op een rechte lijn door de oorsprong. Daardoor kun je aan de grafiek zien dat er sprake is van een kwadratisch verband respectievelijk een omgekeerd wortelverband. Het hellingsgetal van de rechte lijn is ook hier de evenredigheidsconstante in de formule. Met coördinatentransformatie kun je dus ook de formule bij het verband vinden. B

B

vb (m/s)

srem (m)

3,0

1,3

5,0

3,6

7,0

7,2

9,0

12

11,0

17

Figuur 33

vb2

Bij coördinatentransformatie verander je de grootheid langs één van de assen in het diagram zodanig dat er een rechte grafiek door de oorsprong ontstaat. Als na een coördinatentransformatie de meetpunten ongeveer op een rechte lijn door de oorsprong liggen, heb je aangetoond dat het verband van die transformatie bij de metingen past.

24 De remweg van een fiets hangt af van de snelheid op het moment van remmen. In de tabel van figuur 33 zie je hoe de remweg srem afhangt van die snelheid vb, als verder alle omstandigheden gelijk blijven. a Uit de metingen kun je afleiden dat srem niet evenredig is met vb. Laat dat met een rekenvoorbeeld zien. Volgens de theorie is de remweg srem evenredig met het kwadraat van vb. b Vul de laatste kolom van de tabel in. c Laat met een rekenvoorbeeld zien dat srem inderdaad evenredig is met vb2. d Teken een diagram van srem tegen vb2. Wat leid je daaruit af? e Teken een trendlijn en stel de bijbehorende formule op. f Bereken de remweg bij een snelheid van 12 m/s. g Bereken bij welke snelheid de remweg 48 m is.

247

Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden

25 Een gewichtje met massa m hangt aan een veer en kan op-en-neer trillen. De

trillingstijd T van zo’n massa-veersysteem is de tijd die nodig is om één volledige beweging op-en-neer te maken. a Uit de metingen in de tabel van figuur 34 kun je afleiden dat T niet evenredig is met m. Laat dat met een rekenvoorbeeld zien. _ Volgens de theorie is de trillingstijd T evenredig met ​√m .​ b Vul de laatste kolom van de tabel in. _ c Laat met een rekenvoorbeeld zien dat T inderdaad evenredig is met ​√m .​ _ d Teken een diagram van T tegen ​√m ​. Wat leid je daaruit af? e Teken een trendlijn en stel de bijbehorende formule op. f Bereken de trillingstijd bij een massa van 0,250 kg. g Bij welke massa is de trillingstijd 1,25 s? Geef een berekening.

26 Een leerling onderzoekt hoe de weerstand R van een ronde koperdraad

afhangt van de diameter d van de draad. Hij voert het onderzoek uit met meerdere draden van hetzelfde metaal met telkens dezelfde lengte, maar met verschillende diktes. De resultaten zijn weergegeven in de tabel van figuur 35. a Uit de metingen kun je afleiden dat de weerstand afneemt met de diameter. R is echter niet omgekeerd evenredig met d. Laat dat met een rekenvoorbeeld zien. Volgens de theorie is de weerstand R omgekeerd evenredig met d2. b Laat met een rekenvoorbeeld zien dat R inderdaad omgekeerd evenredig is met d2. c Bereken de weerstand als de diameter 0,50 mm is. d Bereken bij welke diameter de weerstand 9,9 Ω is. e Maak met behulp van de tabel een diagram, zodat een rechte grafiek door de oorsprong ontstaat. Welke grootheid zet je uit op de horizontale as? f Stel met behulp van het diagram een formule op voor het verband tussen R en d. g Bereken opnieuw de antwoorden bij vraag c en d, maar nu met de formule.

m (kg)

T (s)

0,025

0,24

0,050

0,34

0,075

0,42

0,100

0,48

0,200

0,68

0,400

0,84

√m

Figuur 34

d (mm)

R (Ω)

0,18

4,5

0,25

2,2

0,31

1,4

0,36

1,1

0,40

0,84

Figuur 35

248

Vaardigheden

6.2 W1 Een diagram tekenen met Excel W2 Een verband zoeken met de tabel­ methode W3 Een verband zoeken met functiefit W4 Een verband bij een serie metingen zoeken

W5 Oefenen met een onderzoeksplan W6 Oefenen met videometen W7 Zelf een onderzoeksplan schrijven W8 Onderzoek videometen

Onderzoeksvaardigheden

Introductie Bij natuurkunde voer je regelmatig experimenten en onderzoeken uit. Dat begint met eenvoudige proefjes, maar uiteindelijk moet je zelf een onderzoek kunnen bedenken, uitvoeren en presenteren. Om dat goed te kunnen doen, heb je enkele onderzoeksvaardigheden nodig.

PA R AG R A A F V R A AG Hoe zet je een onderzoek op en hoe werk je het uit? De werkbladen bij deze paragraaf vormen een leerlijn onderzoeksvaardigheden. Je hoeft deze vaardigheden niet allemaal te beheersen. Wel kun je instructies vinden voor de vaardigheden die je nodig hebt voor eigen onderzoek.

De onderzoeksvraag formuleren Bij een onderzoek over fietsen kun je bijvoorbeeld onderzoeken wat de invloed is van de snelheid op de remweg, of hoe de luchtweerstand afhangt van de snelheid. Het onderzoek begint dan met een onderzoeksvraag: E Wat is de invloed van de snelheid op de remweg van de fiets? E Hoe hangt de luchtweerstand af van de snelheid? De onderzoeksvraag staat centraal bij het opzetten en uitvoeren van een onderzoek. Bij natuurkunde gaat de onderzoeksvraag vaak over de invloed van een grootheid op een andere grootheid, dus het verband tussen twee grootheden. Andere voorbeelden van onderzoeksvragen zijn: E Wat is het verband tussen de massa van een parachutist en de constante snelheid waarmee hij daalt? E Hoe hangt de toonhoogte van een gitaarsnaar af van de spankracht in de snaar? Bij het onderzoek naar de remweg van een fiets gaat het om het verband tussen een oorzaak (grotere snelheid) en het gevolg (grotere remweg). Hier hangt de remweg af van de snelheid. De remweg is dan de afhankelijke grootheid (het gevolg). De grootheid die de oorzaak is, wordt de onafhankelijke grootheid genoemd. B

B

Figuur 36

In een onderzoek staat de onderzoeksvraag centraal. Bij natuurkunde gaat het vaak om het verband tussen twee (of meer) grootheden. De afhankelijke grootheid is het gevolg, de onafhankelijke grootheid is de oorzaak van de verandering.

Hypothese Bij een onderzoeksvraag hoort een hypothese. Dat is een van tevoren beredeneerde verwachting van de uitkomst van het onderzoek. In het voorbeeld is dat een verwachting over het verband tussen de remweg en de snelheid (vlak voor het remmen). Een verwachting is nooit zomaar een gok. De hypothese moet gebaseerd zijn op een stuk(je) theorie. In het voorbeeld van de remweg kan dat de volgende redenering zijn: ‘Voor de remweg geldt: s​ = ​v​  gem​​  ∙ t​. Als de snelheid vlak voor het remmen 2× zo groot is, dan is de gemiddelde snelheid tijdens het remmen ook 2× zo groot. Bovendien duurt het remmen 2× zo lang, dan is t ook 2× zo groot. Dus zal de remweg 2 × 2 = 4× zo groot worden. De hypothese is dus: de remweg is evenredig met het kwadraat van de snelheid (vlak voor het remmen).’

249

Je kunt de hypothese ook als een grafiek schetsen. Het gaat dan vooral om de vorm van de grafiek: stijgend of dalend, krom of recht, wel of niet door de oorsprong. Voor de remweg is de hypothese geen rechte lijn, maar een halve parabool. Geef naast de grafiek ook een toelichting op jouw hypothese als je die weergeeft als een grafiek. B

remweg

Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden

Een hypothese is een beredeneerde verwachting van de uitkomst van het experiment, in de vorm van een verband en/of een grafiek.

Metingen doen Meetresultaten van een onderzoek zet je altijd in een tabel, waarbij meestal de oorzaak in de eerste kolom staat en het gevolg in de tweede kolom. Bovenaan de kolom noteer je de grootheid en de eenheid waarin je gemeten hebt. Denk ook aan de significantie van de metingen.

snelheid

Figuur 37 Een grafiek als hypothese: het gaat om de vorm van de lijn.

In het onderzoek van de remweg van de fiets gebruik je veel verschillende snelheden, van langzaam tot snel. Dat heet het meetbereik bij een onderzoek. Het meetbereik moet zo groot mogelijk zijn, dus bijvoorbeeld van 3,0 km/h tot 30 km/h. Voor een goed onderzoek zijn minstens vijf tot zeven metingen nodig. Bovendien is het belangrijk dat de meetpunten goed gespreid zijn over het meetbereik. In figuur 38 zie je een voorbeeld van een goede spreiding van meetpunten. Metingen zijn meestal niet exact, en de uitkomst van een onderzoek dus ook niet. Door metingen te herhalen worden de metingen nauwkeuriger. Vaak is het handig om eerst wat proefmetingen te doen, waarin je uitprobeert hoe groot het meetbereik kan zijn en hoe vaak je elke meting moet herhalen om een betrouwbaar gemiddelde per meting te krijgen. In veel onderzoeken hebben ook andere grootheden invloed op de uitkomsten van de metingen. Naast je tabel geef je aan welke grootheden niet mogen veranderen tijdens de metingen, en indien bekend de waarde van die grootheden. In figuur 38 zie je dat de remkracht en de massa bij alle metingen hetzelfde zijn. Ook omgevingsfactoren, zoals het weer en het wegdek, moeten tijdens het gehele onderzoek hetzelfde te zijn B

B

B

Het meetbereik is het gebied tussen de kleinste en de grootste waarde van de grootheid die de oorzaak is. De nauwkeurigheid van een onderzoek verbeter je door een groot meetbereik, een goede spreiding over het meetbereik, veel metingen en herhaalde metingen. De invloed van andere grootheden moet tijdens het onderzoek constant zijn. Die andere grootheden geef je ook aan in de tabel.

massa fiets + berijder = 80 kg handremmen maximaal aangetrokken droog asfalt, geen wind

snelheid (m/s)

remweg (m)

0,5 1,0 2,0 3,0 5,0 7,0 10

Figuur 38 Metingen noteer je in een tabel.

250

6.2 Onderzoeksvaardigheden Vaardigheden

Een onderzoeksplan opstellen Bij de voorbereiding van een onderzoek schrijf je meestal een onderzoeksplan. Het schrijven van een onderzoeksplan is bedoeld om vooraf te bedenken waar bij de uitvoering allemaal op gelet moet worden. Meestal bestaat een onderzoeksplan uit de volgende onderdelen: Inleiding

Beschrijf hoe de onderzoeksvraag tot stand is gekomen.

Onderzoeksvraag

Wat is het doel van het onderzoek?

Hypothese

Verwerking

Geef een verwachting van de uitkomst van het onderzoek, met daarbij een onderbouwing. Maak een schets van de meetopstelling en een lijst van de benodigde materialen. Beschrijf de manier waarop je het onderzoek gaat uitvoeren en hoe je de te bepalen grootheden gaat meten. Geef aan welke tabellen en grafieken je gaat gebruiken.

Bronnen

Noem de eventuele bronnen die je gebruikt hebt.

Meetopstelling Uitvoering

B

In een onderzoeksplan schrijf je op wat je wilt gaan onderzoeken, hoe je het onderzoek gaat uitvoeren en welke uitkomst je verwacht.

27 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g h i

Bij het opstellen van een hypothese hoort een beredenering. De hypothese is hetzelfde als de onderzoeksvraag. Bij het onderzoeken van een verband tussen twee grootheden kan de hypothese ook gegeven worden in de vorm van een grafiek. Meestal zijn drie metingen voldoende om een betrouwbare conclusie te trekken. Bij een evenredig verband moeten de metingen precies op een rechte lijn door de oorsprong liggen. De nauwkeurigheid van een experiment wordt groter als je meer metingen doet met een goede spreiding. Door metingen te herhalen verhoog je de nauwkeurigheid en de betrouwbaarheid van je metingen. Een onderzoeksplan bestaat uit een onderzoeksvraag en een hypothese. De onafhankelijke grootheid is de grootheid die de oorzaak is van de verandering.

28 Drie voorbeelden van onderzoeksvragen zijn: * Welke invloed heeft de snelheid op de remweg van een fiets? * Wat is het verband tussen de oppervlakte van een parachute en de constante snelheid waarmee de parachutist daalt? * Hoe hangt de toonhoogte van een gitaarsnaar af van de spankracht in de snaar? a Geef bij elke onderzoeksvraag aan wat de oorzaak is en wat het gevolg. b Noem een ander voorbeeld van een onderzoeksvraag en geef daarbij aan welke grootheid de oorzaak is en welke grootheid het gevolg. c Formuleer zelf een onderzoeksvraag op bij de volgende voorwerpen: 1 een vallende steen; 3 een scooter; 2 een panfluit; 4 een zweefmolen.

Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden

29 Bij het onderzoeken van een verband tussen twee grootheden is het van belang om een groot meetbereik te kiezen. a Leg uit of het meetbereik bij de oorzaak of bij het gevolg hoort. b Leg uit waarom het belangrijk is om een groot meetbereik te kiezen. Twee leerlingen meten hoe de lichtintensiteit van een lamp afhangt van de afstand. De ene leerling doet die metingen bij achtereenvolgens 5, 10, 20, 40 en 80 cm. De andere leerling doet metingen bij 40, 60, 80, 100 en 120 cm. c Welke leerling heeft het meetbereik het best gekozen? Licht je antwoord toe. d Elke leerling mag nog één extra meting doen om het meetbereik uit te breiden. Geef bij elke leerling aan bij welke afstand jij die meting zou doen. Leg uit waarom je juist die extra afstanden kiest. e Leg uit wat je nog meer kunt doen om de betrouwbaarheid van de metingen te vergroten.

30 Bij een onderzoek hoort een hypothese. a b c

Leg in je eigen woorden uit wat een hypothese is. Leg uit waarom bij het onderzoeken van een verband tussen twee groot­ heden de hypothese een grafiek kan zijn. Stel bij elk van de volgende onderzoeksvragen een hypothese op in de vorm van een beschrijving of een grafiek. Geef daarbij een toelichting. 1 Welke invloed heeft de lengte van een schommel op de slingertijd? 2 Wat is het verband tussen de lengte van een buisje en de toon die je krijgt als je er overheen blaast? 3 Wat is het verband tussen de uitrekking van een elastiekje en de trekkracht op het elastiekje? 4 Wat is het verband tussen de remkracht van een auto en de remweg?

31 Twee leerlingen doen onderzoek naar de remweg van een fiets. Ze gebruiken een fiets met handremmen en een digitale snelheidsmeter. Bij de eerste serie metingen doen ze telkens één meting van de remweg, bij verschillende snelheden. Er wordt alleen geremd met de achterrem. a Wat is bij deze serie metingen de onderzoeksvraag? b Stel een hypothese (in woorden) op bij deze onderzoeksvraag. Geef ook een beredenering. c Noem twee grootheden die bij deze metingen constant moeten blijven. d Leg uit hoe ze de meting bij één snelheid, bijvoorbeeld 15 km/h, nauw­ keuriger kunnen maken. e Noem nog twee andere manieren waarop ze de nauwkeurigheid van het onderzoek kunnen verbeteren. f Schets hoe het diagram van deze leerlingen er uit zal zien.

32 Bij een onderzoek wordt vaak een onderzoeksplan geschreven. a b c

Leg uit waarom het belangrijk is een onderzoeksplan te schrijven. Geef aan uit welke onderdelen een onderzoeksplan bestaat. Op welke manieren kun je een hypothese in het plan opnemen als je het verband tussen twee grootheden onderzoekt?

251

252

6.2 Onderzoeksvaardigheden Vaardigheden

Metingen weergeven in een diagram

Fout

Fout

Figuur 39 De lijn hoeft niet precies door de meetpunten te gaan.

Teken nooit een kniklijn die van meetpunt naar meetpunt loopt, het gaat immers om het verband en dat is nooit ‘hakkelig’. Zie figuur 39. Een diagram kun je met de hand tekenen of op de computer met een programma zoals Excel.

6

trillingstijd T (s)

Bij een onderzoek naar het verband tussen twee grootheden geef je de meetresultaten weer in een diagram. Bij het tekenen van een diagram let je op de volgende afspraken: E Langs de horizontale as staat meestal de grootheid die de oorzaak is en langs de verticale as de grootheid die het gevolg is. Noteer de namen van de grootheden langs de assen met de eenheden. E Kies een geschikte schaalverdeling voor beide assen. Bij voorkeur zó dat 1 cm overeen komt met 1, 2, 5, 10 of 20, enzovoort eenheden. E Teken al je meetpunten duidelijk met een dikke stip of een kruisje. E Teken een globale trendlijn (recht of vloeiend). De lijn hoeft niet precies door de meetpunten te gaan.

5 B

4

Bij het tekenen van diagrammen gelden afspraken voor assen, schaalverdeling, meetpunten en de lijn bij de meetpunten.

3 2

De formule van een trendlijn

8 × 3 = 24

1 0

y = 24x–1

30 × 0,8 = 24 0

10

20

30

40

50

60 70 80 afstand d (cm)

trillingstijd T (s)

Figuur 40 Omgekeerd evenredig verband

6 5

y = 24x

4 3

Bij een serie metingen hoort een trendlijn. Dat is een vloeiende of rechte lijn die globaal het verband tussen de twee grootheden weergeeft. E Bij een evenredig verband is de grafiek een rechte lijn door de oorsprong. Daarbij hoort de formule y = a ∙ x. E Bij een lineair verband is de grafiek een rechte lijn die niet door de oorsprong gaat. Daarbij hoort de formule y = a ∙ x + b. In voorbeeldopgave 14 en 15 zie je hoe je de vergelijking van een rechte lijn opstelt. E Bij de andere verbanden (omgekeerd evenredig, kwadratisch en omgekeerd kwadratisch) teken je een trendlijn met behulp van software zoals Excel. Deze verbanden zijn machtsfuncties, met als formule: y = c ∙ x n. E De formule kun je ook bepalen met behulp van coördinatentransformatie. E De exponent in deze formule geeft het type verband aan: n = 1 (evenredig), n = 2 (kwadratisch), n = ½ (wortelverband), n = –1 (omgekeerd evenredig) of n = –2 (omgekeerd kwadratisch).

2 1 0

0

0,05

0,10

0,15

0,20 0,25 1⁄d(cm–1)

Figuur 41 Resultaat coördinatentransformatie

In figuur 40 is de formule van de trendlijn weergegeven: y = 24 ∙ x −1. De grootheid langs de y-as is de trillingstijd T. De grootheid langs de x-as is de afstand d. Dan is de formule: T = 24 ∙ d −1 = 24 ∙ _1 . Dit is een omgekeerd evenredig verband. d In figuur 41 is het resultaat van een coördinatentransformatie weergegeven. De grootheid langs de x-as is nu _1 . De vergelijking van de rechte lijn is y = 24 ∙ x. De formule d wordt dan: T = 24 ∙ _1 . d

B

B B B

De grafiek van een evenredig verband is een rechte lijn door de oorsprong. Daarbij hoort de formule y = a ∙ x. De grafiek van een lineair verband is een rechte lijn, met formule y = a ∙ x + b. verticaal De constante a is de steilheid: a = _ . horizontaal De constante b bepaal je door een punt in te vullen of door het snijpunt met de verticaal af te lezen.

253

Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden

VO O R B E E L D O P G AV E 14

stroomsterkte I (mA)

In figuur 42 is het verband weergegeven tussen het vermogen P en de stroomsterkte I. Vraag: Stel de formule op bij de trendlijn. 500

a

400 300 200 100 0

0

20

40

60

100 120 80 vermogen P (Watt)

Figuur 42 Evenredig verband

Antwoord: De trendlijn gaat door de oorsprong. Bij dit evenredige verband hoort de formule I = a ∙ P , met a constant. Invullen van een punt op de trendlijn (bijvoor_ = 4,5. beeld P = 80 W en I = 360 mA) geeft 360 = a ∙ 80 → a = 360 80 De formule is: I = 4,5 ∙ P

VO O R B E E L D O P G AV E 15

lengte l (cm)

In figuur 43 is het verband weergegeven tussen de lengte l en de massa m. Vraag: Stel de formule op bij de trendlijn. 60

b

50 40 30 20 10 0

0

20

40

60

80

100 120 massa m (g)

Figuur 43 Lineair verband

Antwoord: De trendlijn gaat niet door de oorsprong. Bij dit lineaire verband hoort de formule l = a ∙ m + b, met a en b constant. verticaal Bepaal de steilheid a met a = _ . Kies twee punten op de trendlijn (bijvoorhorizontaal

36 − 24 12 _ = _ = 0,20. beeld (20,24) en (80,36). Dat geeft a = 80 − 20 60

De formule is dan: l = 0,20 ∙ m + b. Vul een punt zoals (80,36) in: 36 = 0,20 × 80 + b → b = 36 − 16 = 20. De vergelijking van de trendlijn is: l = 0,20 ∙ m + 20.

254

6.2 Onderzoeksvaardigheden Vaardigheden

Resultaten presenteren De presentatie van de uitkomsten van een onderzoek kan bijvoorbeeld in de vorm van een schriftelijk verslag. De opbouw van het verslag lijkt sterk op het onderzoeksplan. Inleiding

Beschrijf hoe de onderzoeksvraag tot stand is gekomen.

Onderzoeksvraag

Wat is het doel van het onderzoek?

Hypothese

Uitvoering

Geef een verwachting van de uitkomst van het onderzoek, met daarbij een onderbouwing. Maak een schets van de meetopstellingen en een lijst van de gebruikte materialen. Beschrijf de manier waarop je het onderzoek hebt uitgevoerd.

Metingen

Noteer alle metingen overzichtelijk in tabellen en grafieken.

Verwerking

Noteer alle berekeningen en maak indien nodig nieuwe grafieken.

Conclusie

Geef een antwoord op de onderzoeksvraag en vergelijk dat met de hypothese. Is alles goed gegaan? Zo niet: Vertel wat er niet goed gegaan is en waardoor. Ook kun je hierin suggesties doen voor verbetering of uitbreiding. Noem de bronnen die je gebruikt hebt.

Meetopstelling

Evaluatie

Bronnen

Bij een presentatie voor de klas gaat het niet alleen om het beschrijven van de onderdelen van het onderzoek. De presentatie moet ook interessant en goed te volgen zijn voor de andere leerlingen die dit onderzoek niet gedaan hebben. Bij een klein experiment hoef je soms geen compleet verslag in te leveren maar wel een meetrapport. Zo’n meetrapport bestaat alleen uit de onderzoeksvraag, de metingen, de grafieken en de conclusie. Een meetrapport is dus een beknopte versie van een verslag. B

In een verslag schrijf je op wat je hebt onderzocht en waarom, hoe je het onderzoek hebt uitgevoerd, wat de meetresultaten zijn en wat jouw conclusie is. Ook evalueer je (kort) je hele onderzoek.

33 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d

Bij het tekenen van een diagram teken je een vloeiende lijn die door alle meetpunten moet gaan. De grafiek van een evenredig verband gaat door de oorsprong. Een omgekeerd evenredig verband kun je schrijven als een machtsfunctie: ​ y = c ∙ ​x​​  −1​​. Bij een functiefit moeten de meetpunten precies op de lijn liggen.

34 Een voordeel van een grafiek is dat je in één keer een beeld ziet van alle metingen. a Leg uit waarom het handig is om bij het onderzoeken van een verband een grafiek te tekenen. b Leg uit waarom de trendlijn niet van punt naar punt getekend wordt. c Beschrijf hoe je aan de grafiek een evenredig verband herkent. d Beschrijf hoe je aan de grafiek een kwadratisch verband herkent.

255

Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden

35 Van vijf voorwerpen die van hetzelfde materiaal zijn gemaakt, heeft Jorinde het volume V en de massa m gemeten. Zie figuur 44. a Leg uit waarom de massa evenredig is met het volume. b Controleer met een getallenvoorbeeld of dat klopt. c Wat voor soort grafiek bij deze metingen? Jorinde heeft de metingen in een diagram geplaatst. Daarbij heeft ze een trendlijn getekend die door de oorsprong en het punt (V,m) = (11,90) gaat. d Leg uit waarom de trendlijn door de oorsprong moet gaan. e Schrijf het verband als een formule: m = …… · V. f Welke betekenis heeft het getal in de formule? g Zoek in Binas op welk metaal Jorinde heeft onderzocht.

36 Bij een auto die gelijkmatig afremt is op verschillende tijdstippen de snelheid gemeten. De meetresultaten staan in de tabel van figuur 45. a Leg uit waarom bij deze metingen een lineair verband past: v = a ∙ t + b. b Welke waarde heeft b? Leg uit. c Bereken de steilheid van de lijn. d Schrijf het verband als een formule: v = …… e Bereken met de formule op welk tijdstip de auto stilstaat.

37 Baqir heeft een fietscomputer gekregen en gaat samen met Carla onderzoeken of deze goed werkt. Carla fietst tussen twee lantaarnpalen met een constante snelheid. Baqir meet steeds de tijd die zij over die afstand doet. De meetresultaten staan in de tabel van figuur 46. In het diagram van figuur 47 staat de formule bij de trendlijn: y = 177 · x-1. a Hoe kun je aan de formule zien dat het een omgekeerd evenredig verband is? b Is bij de functiefit gekozen voor een lineair verband of voor een machtsfunctie? c Schrijf dit verband als een formule: ∆ t = …… d Controleer de waarde van de constante met een getallenvoorbeeld. Door coördinatentransformatie toe te passen ontstaat een rechte lijn door de oorsprong. e Welke grootheid is daarbij langs de x-as uitgezet?

Figuur 47

V (cm³)

m (g)

2,1

17,4

5,9

48,3

3,8

31,8

8,3

68,9

10,8

88,5

Figuur 44 Massa en volume

t (s)

v (km/h)

0

98

2

76

4

54

6

32

8

10

Figuur 45

v (km/h)

Δt (s)

6,0

29,7

13,2

14,3

17,5

10,1

22,3

7,9

28,6

6,5

Figuur 46 Tijd en snelheidd

256

6.2 Onderzoeksvaardigheden Vaardigheden

T (s)

0,025

0,24

0,050

0,34

0,075

0,42

0,100

0,48

0,125

0,57

Figuur 48 Massa en trillingstijd

38 Een gewichtje met massa m dat aan een veer hangt, kan op-en-neer trillen. In

de tabel van figuur 48 zie je hoe de trillingstijd T afhangt van de massa m. Bij een functiefit met een machtsfunctie blijkt: y = 1,6 · x0,5. a Wat voor soort verband is dit? b Schrijf dit verband als een formule: T = …… c Controleer de waarde van de constante met een getallenvoorbeeld. Door coördinatentransformatie toe te passen ontstaat een rechte lijn door de oorsprong. d Welke grootheid moet daarbij langs de x-as uitgezet worden? e Bereken bij elke meting de waarde van deze nieuwe grootheid. Maak daarna het nieuwe diagram waarbij een rechte grafiek ontstaat. f Bepaal de evenredigheidsconstante en schrijf daarna de formule op die het verband tussen beide grootheden weergeeft.

39 Bij een experiment wordt de geluidsintensiteit I gemeten in watt per m²

(W/m²) als functie van de afstand r tot de geluidsbron (in m). Zie de tabel in figuur 49. In figuur 50 zijn de meetwaarden in een diagram weergegeven, met daarbij het resultaat van de functiefit: y = 3,22 · x-2. a Hoe kun je aan de formule zien dat het een omgekeerd kwadratisch verband is? b Controleer met een getallenvoorbeeld dat het een omgekeerd kwadratisch verband is. c Is bij de functiefit gekozen voor een lineair verband of voor een machtsfunctie? d Controleer de waarde van de constante met een getallenvoorbeeld. Door coördinatentransformatie toe te passen ontstaat een rechte lijn door de oorsprong. e Welke grootheid moet daarbij langs de x-as uitgezet worden?

r (m)

I (W/m²)

geluidsintensiteit I (W/m2)

m (kg)

4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5

1,0

3,0

1,6

1,4

2,2

0,64

0,5

2,8

0,45

0

3,4

0,25

Figuur 49 Afstand en intensiteit

y = 3,22x–2

1,0

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0 3,5 4,0 afstand r (m)

Figuur 50 Verband tussen geluidsintensiteit en afstand

257

Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden

40 In een windtunnel worden metingen gedaan aan de stroomlijn van een

v (m/s)

Fw,l (N)

luchtweerstand Fw,l (N)

auto (zie figuur 51). Bij verschillende snelheden van de lucht wordt de luchtweerstand Fw,l op het voertuig gemeten. De meetwaarden staan in de tabel van figuur 52. In figuur 53 zie je de meetwaarden in een diagram. Volgens de theorie is de luchtweerstand evenredig met het kwadraat van de snelheid. a Leg uit hoe je aan de vorm van de trendlijn kunt zien dat het een kwadratisch verband is. b Controleer met een getallenvoorbeeld dat Fw,l evenredig is met v2. De formule bij dit verband is: F w,l = k ∙ v 2. c Bepaal de waarde van de constante k. 700 600 500 400 300

10

55

17

160

22

260

100

28

420

0

33

590

Figuur 52

200

0

Figuur 53

5

10

15

20

25 30 35 snelheid v (m/s)

Figuur 51

258

Vaardigheden

6.3

Videometen en modelleren

Introductie Bij het onderzoeken van bewegingen kun je videometingen gebruiken. Bijvoorbeeld om snelheden en versnellingen te meten. Hoe werkt videometen? Ook kun je bewegingen nabootsen met een computermodel om de uitkomsten van een experiment te testen aan de theorie. Hoe werkt modelleren met de computer?

PA R AG R A A F V R A AG Hoe kun je een proces analyseren met een videometing en hoe kun je een proces nabootsen met een computermodel?

Een beweging in stapjes Bewegingen gaan vaak te snel om goed te kunnen zien wat er gebeurt. Met behulp van videometingen kun je de beweging wel nauwkeurig analyseren. Bij videometen wordt de beweging beeldje voor beeldje geanalyseerd. Op elk beeldje wordt de positie van het bewegende voorwerp vastgelegd. Uit die posities kun je vervolgens berekenen hoe groot de snelheid was. Daarmee maakt het programma een x,t-diagram en een v,t-diagram. Een dynamisch model voor bewegingen rekent ook in kleine stapjes. Bij elk stapje wordt eerst berekend hoeveel de snelheid toe- of afneemt, en met die snelheid wordt vervolgens berekend wat de nieuwe positie wordt. Zo maakt het programma een voorspelling van het v,t-diagram en het x,t-diagram. Zowel voor videometen als voor modelleren geldt: hoe kleiner de stapjes zijn, des te nauwkeuriger wordt de beweging beschreven. B

B

Met een videometing wordt een gefilmde beweging in stapjes geanalyseerd en weergegeven in een x,t-diagram en een v,t-diagram. Een dynamisch model berekent in stapjes de snelheid en de positie. Het resultaat wordt weergegeven in een x,t-diagram en een v,t-diagram.

Bewegingen analyseren met videometen Met videometen wordt een beweging geanalyseerd. Het resultaat wordt weergegeven in een x,t-diagram en een v,t-diagram. Alle programma’s voor videometen, zoals Coach en LoggerPro, werken ongeveer op dezelfde manier: E Op elk beeldje wordt de positie van een bewegend voorwerp vastgelegd. De ­achtereenvolgende posities vormen een meetspoor. E Door een assenstelsel toe te voegen krijgt elke positie een x- en een y-coördinaat (in pixels op het beeldscherm). E Zowel voor de x-richting als voor de y-richting kan het programma diagrammen maken van de positie en de snelheid.

259

Vaardigheden 6.3 Videometen en modelleren

B

Bij videometen wordt beeldje voor beeldje de positie van een voorwerp bepaald. Daarmee kun je een x,t-diagram en een v,t-diagram laten maken.





















Figuur 54 Bij videometen geeft elk beeldje een positie van het voorwerp. Zo ontstaat een meetspoor.

VIDEOMETEN BIJ BASKETBAL In figuur 55 zie je een voorbeeld van videometen. De baan van een basketbal is gefilmd en geanalyseerd. Het resultaat van de videometing bestaat uit: E een meetspoor dat de beweging van de bal laat zien; E een tabel met coördinaten van de positie en de snelheden; E diagrammen van de positie en de snelheid van de bal.

vx (m/s)

Elk meetpunt heeft twee coördinaten. Daardoor zie je in de diagrammen twee lijnen, één van de x-richting (rood) en één van de y-richting. Dat geldt zowel voor de positie als voor de snelheid. In figuur 56 zie je dat de snelheid in de x-richting constant is voor en na de stuit. De snelheid in de y-richting verandert gelijkmatig als gevolg van de valversnelling.

8 6

■

■ ■

■

■ ■

■

■

■

■

■

▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ■ ▲ ■ ▲ ■ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲

▲ ▲

■

■

■

■

■

■ ■

▲

■

■

■

▲ ▲ ▲ ▲

▲ ▲ ▲▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ■ ▲ ■ ▲ ▲ ■

▲■ ■▲

2

■

■ ■

4

■

■

■

■

■

■

■

-2

■

■

■

■

■

■

■

■

■

■

■

■

0

■

■

■

■

■

■

■

■ ■

■

■

-4

■

■

■ ■

■ ■ ■

-6

■ ■ ■

■ ■

-8

■

-10 0,0

0,5 ▲

Figuur 55 Video met meetspoor, tabel met meetwaarden en een grafiek van de x- en y-positie van de basketbal

1,0

■

E

vy (m/s)

E

Bij bewegingen langs een schuine lijn kun je het assenstelsel draaien. In het voorbeeld van figuur 54 is de x-as langs de helling (de bewegingsrichting) gekozen. De y-as staat daar loodrecht op. Via een schaalverdeling worden de coördinaten omgerekend naar afstanden. De liniaal in figuur 54 wordt gebruikt om de schaalverdeling in te stellen. Om vertekening door perspectief te voorkomen, moet die liniaal op dezelfde afstand van de camera geplaatst worden als de beweging.

▲

E

1,5

2,0

2,5 tijd t (s)

Figuur 56 De snelheid van de basketbal, gesplitst in een horizontale (rood) en een verticale component (blauw)

260

6.3 Videometen en modelleren Vaardigheden

41 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d

Bij videometen meet je de tijd met een stopwatch, terwijl de video in slow motion afgespeeld wordt. Bij videometen levert elk beeldje een meetpunt op. Bij videometen bestaat elk meetpunt uit twee coördinaten en een tijdstip. Met videometen worden diagrammen van de plaats en de snelheid gemaakt.

42 Bij videometen moet de schaalverdeling ingesteld worden. Daarvoor wordt meestal in beeld een liniaal neergelegd, of een ander voorwerp waarvan de afmetingen bekend zijn. a Leg uit waarom er een liniaal in beeld wordt gelegd. b Moet er voor zowel de verticale schaalverdeling als de horizontale schaalverdeling een liniaal in beeld zijn? Licht je antwoord toe. c Leg uit waarom de camera loodrecht op het vlak waarin de beweging plaatsvindt gericht moet zijn. Gebruik in je uitleg het begrip ‘perspectief’. d Leg uit waarom de liniaal op dezelfde afstand van de camera moet liggen als de beweging.

43 Bij videometen is de positie van de camera belangrijk om een goede meting te krijgen. a Leg uit waarom de camera niet met het voorwerp mee mag bewegen. b Noem nog een reden waarom de camera meestal op een statief wordt geplaatst. c Leg uit waarom de gefilmde beweging steeds loodrecht op de ‘kijkrichting’ van de camera moet liggen.

44 Bij een videocamera kun je de opnamesnelheid instellen op 10 fps, 30 fps of 210 fps (fps betekent frames (beeldjes) per seconde). a Welke instelling hoort bij een high-speed-opname? b Leg uit waarom 10 fps niet voldoende is om de beweging te analyseren van een voorwerp dat vanaf de tafel op de grond valt. c Welke instelling zou jij kiezen als je de versnelling wilt meten van een afgeschoten vuurpijl? d Leg uit waarom het belangrijk is dat de opnamesnelheid niet te hoog en ook niet te laag is. e Leg uit dat je met de camera ver weg moet staan om de versnelling van een vuurpijl te kunnen meten met videometing.

Een dynamisch model voor bewegingen Een dynamisch model voor bewegingen houdt rekening met alle krachten die invloed hebben op die beweging. Die krachten kunnen constant zijn, zoals de zwaartekracht, of berekend worden met een formule. In een dynamisch model worden de krachten bij iedere stap opnieuw berekend. Vervolgens berekent het model bij elke tijdsstap de resulterende kracht Fres, en daarmee ook de versnelling a. Met die versnelling kan het model berekenen hoeveel de snelheid in de volgende tijdstap zal toe- of afnemen. Met de nieuwe snelheid kan het model ook berekenen hoeveel de positie verandert in die tijdstap. Dat gaat als volgt:

261

Vaardigheden 6.3 Videometen en modelleren

E

E E E E

De resulterende kracht is de som van de krachten, bijvoorbeeld: F res = F motor + F rol + F lucht. Meestal worden krachten die naar achteren werken negatief genoteerd: F rol = −50 N. F res De versnelling berekent het model met de formule Fres = m·a. Dat geeft a = ___ m. De nieuwe waarde van de snelheid berekent het model met: v = v + a · Δt. De nieuwe waarde van de positie berekent het model met: x = x + v · Δt. En het bijbehorende tijdstip met: t = t + Δt.

De drie laatste rekenregels lees je als volgt: de nieuwe waarde (van de snelheid, de positie of de tijd) is de oude waarde plus de toe- of afname. Die toe- of afname wordt Δx Δv berekend uit de formules v = ___ en a = ___ . Dat geeft Δx = v · Δt en Δv = a · Δt. Het Δt Δt model berekent daarmee de positie en de snelheid aan het einde van de tijdstap, en noteert ook het bijbehorende tijdstip. Daarbij wordt aangenomen dat de kracht en de versnelling gedurende de tijdstap constant blijven. Het model berekent daardoor slechts een benadering van de werkelijkheid. De keuze voor de grootte van de tijdstap Δt is belangrijk voor de nauwkeurigheid van het model. De uitkomsten van het model zijn namelijk een benadering van de werkelijkheid. Dat komt door de aanname dat tijdens een tijdstap alle grootheden constant zijn. Dat is in werkelijkheid niet zo. Een kleine tijdstap betekent kleinere ‘foutjes’ en een grotere nauwkeurigheid, maar het kost ook meer rekentijd en het genereert meer data (zie figuur 57). B B

B

Een dynamisch model berekent in stapjes hoe een proces in de tijd verloopt. Een dynamisch model voor bewegingen berekent bij elke tijdstap de resulterende kracht, de versnelling, de verandering van de snelheid en de verplaatsing. Een kleinere tijdstap levert een nauwkeuriger resultaat en meer data.

Modelgrootheden bij een dynamisch model Een dynamisch model kent drie soorten grootheden: E Constante grootheid – een grootheid met een constante waarde. E Formulegrootheid – een grootheid die steeds met een formule wordt berekend. E Groeigrootheid – een grootheid waarvan de verandering wordt berekend. Bij een model voor bewegingen is de massa vaak een constante grootheid, en de zwaartekracht ook. De luchtweerstand is een formulegrootheid, want met één formule kun je steeds de nieuwe waarde berekenen. Dat geldt ook voor de versnelling en de resulterende kracht. De snelheid en de positie zijn groeigrootheden, omdat de nieuwe waarde steeds wordt berekend uit de oude waarde plus de groei (zie kader Groeigrootheden). Bij een groeigrootheid moet in het model altijd een startwaarde opgegeven worden. Dat is de waarde van die grootheid op tijdstip t = 0. Daarmee berekent het model de eerstvolgende nieuwe waarde. De constante grootheden worden meestal ook als een startwaarde genoteerd, omdat die niet bij elke stap opnieuw berekend hoeven te worden (zie figuur 46).

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5

alpha (rad)

..

.

. .2 . ..

.4

. .. . . 6

.

. .8 . .

.. .. . . . 10

12

. . 14 . ..

.

.. .. . 16

18

.

t (s)

.. .20

Figuur 57 Een lange slinger gemodelleerd: model met tijdstap 0,5 s (grijs) en 1,5 s (blauw)

G RO E I G RO OT H E D E N Groeigrootheden herken je aan de manier waarop het model de waarde berekent. Zo wordt de waarde van de positie, de snelheid en de tijd berekend met:

x = x + v ∙ dt v = v + a ∙ dt t = t + dt Deze rekenregels lees je als: de nieuwe waarde van x, v en t is gelijk aan de oude waarde plus de toe- of afname. Daaraan kun je zien dat x, v en t groeigrootheden zijn. Bij elke tijdstap wordt de groei (of afname) opgeteld bij de oude waarde.

262

6.3 Videometen en modelleren Vaardigheden

DY N A M I S C H M O D E L VO O R E E N K ATA P U LT Met een katapult wordt een steentje horizontaal weggeschoten. De resulterende kracht (van het elastiek) en de versnelling kun je met een formule berekenen. De massa van het steentje en de veerconstante zijn constant. De snelheid, de positie en de tijd zijn groeigrootheden.

Figuur 58 De snelheid verandert.

rekenregels

startwaarden

F ​ = − C ∙ x​ F ​​ ​ =_ a ​  m ​v = v + a ∙ dt​ ​x = x + v ∙ dt​ t​ = t + dt​

​ = 0,050​ m ​C = 20​ x​ = − 0,15​ ​v = 0​ t​ = 0​ d​ t = 0,01​

Als (x > 0) dan Stop

Figuur 59 Model van een katapult

P RO G R A M M E E RTA A L Bij het opstellen van rekenregels worden de volgende notaties gebruikt: Als..Dan..(Anders..)EindAls, EN, OF, Stop, Teken(), Abs(); Voorbeelden: Als v​ > 0​ Dan F ​​ ​w,l​= − k ∙ ​v​​ 2​​ Anders ​​F​w,l​= k ∙ ​v​​ 2​​ Eindals Hierdoor is de luchtweerstand negatief (naar achteren) als de snelheid positief is (naar voren), en positief als v negatief is. Als x ​ < 0​OF t​ > 10​ Dan Stop Eindals Hierdoor stopt het programma als x negatief is, maar ook als t groter is dan 10. Het commando Teken(v) heeft de waarde +1 als v positief is, en −1 als v negatief is. Het commando Abs(v) geeft de absolute waarde van v.

Het model van een katapult kent zeven grootheden: constante grootheden: massa steentje m veerconstante elastiek C formulegrootheden: kracht F (met F = C ∙ u) F  ​​) versnelling a (met a = __ ​​  m groeigrootheden: positie x (met x = x + v ∙ Δt) snelheid v (met v = v + a ∙ Δt) tijd t (met t = t + Δt) Het model bestaat uit vijf rekenregels. De drie groeigrootheden x, v en t moeten een startwaarde hebben. De constante grootheden m, C en Δt worden ook genoteerd als startwaarde (omdat die niet bij elke stap opnieuw berekend hoeven te worden). In dit model is de veerkracht nul bij x = 0 (zie figuur 59). Dat is de evenwichtsstand van de katapult. Het model start bij een uitrekking naar achteren: x = −0,15 m. Door de regel F = −C ∙ x is de nettokracht bij de start positief (naar voren gericht). De laatste rekenregel zorgt ervoor dat het model stopt zodra het steentje de evenwichtsstand gepasseerd is.

De volgorde van de rekenregels is belangrijk, omdat anders de berekening kan vast­ lopen. Zo wordt in het model van de katapult eerst de kracht uitgerekend en daarna de versnelling. Als die twee regels omgedraaid zouden worden, kan de versnelling niet berekend worden, omdat de kracht dan nog niet berekend is. B

B

Een dynamisch model kent drie soorten variabelen: constante grootheden, ­formulegrootheden en groeigrootheden. Een groeigrootheid heeft altijd een startwaarde. Constante grootheden worden vaak ook als startwaarde genoteerd in het model.

Een grafisch model voor een beweging Er zijn ook programma’s die het model grafisch weergeven, zie figuur 60. Dat is vaak een makkelijke en overzichtelijke manier om een model te bouwen. In zulke modellen is de groeigrootheid een blokje. De stroompijl die naar het blokje wijst geeft de verandering van die groeigrootheid aan. Bij bewegingen is de snelheid de stroompijl bij de plaats, en de versnelling de stroompijl bij de snelheid. Formulegrootheden zijn aangegeven met een cirkel. De dunne pijlen laten zien welke grootheden daarop invloed hebben. De formules zelf zijn niet zichtbaar in de tekening. Een grafisch modelleerprogramma rekent met dezelfde rekenregels en startwaarden, alleen zie je die niet in het plaatje. B

Een grafisch rekenmodel geeft de relaties tussen de grootheden met pijlen weer.

263

Vaardigheden 6.3 Videometen en modelleren

?

45 Waar of niet waar? Verbeter de onjuiste uitspraken. a b c d e f g

Met een dynamisch model kun je de exacte uitkomst van een proces ­berekenen. De waarde van een formulegrootheid verandert tijdens het proces niet. Elke groeigrootheid moet een startwaarde hebben. Van een groeigrootheid wordt de waarde berekend door steeds de ­veranderingen bij te houden. Een groeigrootheid kan ook in waarde dalen. Bij een kleinere tijdstap werkt het model nauwkeuriger en sneller. De volgorde van de rekenregels is niet belangrijk.

46 In figuur 60 zie je het model van een katapult (in Coach). In dit model staat de

plaats (m) ? snelheid (m/s)

versnelling (m/s^2)

?

?

?

massa (kg)

F1 (N)

F2 (N)

Figuur 60 Grafisch model voor beweging in Coach

rekenregel ​v = v + a ∙ dt​. a Beschrijf in je eigen woorden welke berekening het model uitvoert met deze rekenregel. b Leg uit hoe deze regel afgeleid kan worden uit a ​ = ___ ​  Δv  ​​. Δt c Leg uit waarom de variabele v een startwaarde moet hebben. d Leg uit waarom de variabelen a en Fres geen startwaarde hebben. e Geef aan van welke formule de rekenregel x ​ = x + v ∙ dt​is afgeleid.

47 Een skydiver springt op 2,0 km hoogte uit een vliegtuig. In figuur 61 zie je een model voor een valbeweging waarbij de beginhoogte van de skydiver al is ingevuld. a Welke drie grootheden in dit model zijn groeigrootheden? b Welke drie grootheden in dit model zijn formulegrootheden? c Welke twee grootheden in dit model zijn constante grootheden? d Vul de rekenregels voor de snelheid en de hoogte aan. Bij een valbeweging is de snelheid naar beneden gericht (negatief ). e Leg met behulp van de modelregels uit dat de snelheid inderdaad negatief wordt. f Leg uit waarom in dit model de luchtweerstand positief is. g Voeg een regel toe waardoor het model stopt als de skydiver minder dan 100 m boven de grond is.

48 In figuur 62 is een grafisch model voor een valbeweging weergegeven. a b c

Welk symbool wordt in een grafisch model gebruikt voor een formule­ grootheid? En voor een groeigrootheid? Welke drie grootheden hebben invloed op de versnelling? Welke rekenregel hoort daarbij? plaats (m)

snelheid (m/s)

versnelling (m/s^2) luchtweerstand (N) massa (kg)

zwaartekracht (N)

Figuur 62 Grafisch model voor een valbeweging

valbeweging

startwaarden

F ​​ ​z​= − 9,8 ∙ m​ ​​F​w,l​= 0,4 ∙ v​ ​​ 2​​

​ = 80​ m ​ = 2000​ h ​v = 0​ t​ = 0​ d​ t = 0,01​

​F​z​+ F ​ ​w,l​

​  m ​​ ​a = _ v​ = v+​… ​h = h+ ​… ​t = t + dt​

Figuur 61 Model valbeweging

264

6.3 Videometen en modelleren Vaardigheden

49 In figuur 63 zie je grafieken van de hoogte en de snelheid van een vallend

4,0

snelheid v (m/s)

hoogte h (m)

voorwerp, berekend met het model voor de valbeweging. a Hoe groot was in dit model de startwaarde van de hoogte? b Hoe zie je aan de grafieken dat de versnelling steeds kleiner wordt? c Leg met behulp van de rekenregels van het model uit waardoor de versnelling steeds kleiner wordt. De massa van het vallend voorwerp is 37 g. d Controleer met een berekening dat de evenwichtssnelheid 2,7 m/s is.

3,5

0

-0,5

3,0

-1,0

2,5

-1,5

2,0

-2,0

1,5

-2,5

1,0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 1,2 tijd t (s)

-3,0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 1,2 tijd t (s)

Figuur 63 Hoogte en snelheid van een vallend voorwerp, berekend met een model

hoogte h (m)

50 Een voetbal wordt recht omhoog getrapt. Twee leerlingen passen het model van de valbeweging (zie figuur 48) aan voor een beweging omhoog en omlaag. Voor de luchtweerstand op de bal geldt: F w,l = 0,03 ∙ v 2 a Leg uit of de startwaarde voor de snelheid bij de voetbal nul, positief of negatief is. En de snelheid waarmee de bal op de grond valt? b Leg uit of de luchtweerstand bij de beweging omhoog positief of negatief is. En de zwaartekracht? In het model moet de regel voor de luchtweerstand aangepast worden. De regel voor de luchtweerstand wordt veranderd in: Als v > 0 Dan F w,l = −0,03 ∙ v 2 Anders F w,l = 0,03 ∙ v 2 Eindals c Leg deze rekenregels uit. De leerlingen willen onderzoeken hoe hoog de voetbal komt. Daarvoor moet het model stoppen als de voetbal in het hoogste punt is. Daartoe wordt een regel aan het model toegevoegd: Als …… Dan Stop. d Noteer wat er op de open plek ingevuld moet worden.

18 16 14 12 10 8 6

51 In figuur 64 zie je een grafiek die met het model uit opgave 50 gemaakt is.

4

a

2 0

0

Figuur 64

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5 4,0 tijd t (s)

b

Beschrijf hoe je aan de grafiek kunt zien dat het model rekening houdt met de luchtweerstand. Beschrijf hoe je aan de hand van de grafiek kunt bepalen hoe groot de beginsnelheid van de voetbal was.

265

Vaardigheden 6.3 Videometen en modelleren

d

Beschrijf hoe je aan de grafiek kunt zien dat vlak voor het neerkomen de voetbal nog steeds versnelt. Leg uit wanneer de versnelling van de voetbal het grootst is: direct na het wegtrappen of bij het neerkomen?

52 Het volgende voorbeeld laat zien hoe een model rekent en wat de invloed van de stapgrootte is. Een auto remt vanaf een beginsnelheid van 20 m/s tot stilstand met een remvertraging van 5 m/s². Een model voor deze beweging is: 1 a = −5 2 v = v + a · dt 3 x = x + v · dt 4 t = t + dt De startwaarden zijn weergegeven in de tabel van figuur 65. De tijdstap dt = 1 s. a Vul de tabel verder in door de rekenregels één voor één uit te voeren. Herhaal dit totdat de snelheid nul is geworden. b Teken op ruitjespapier het x,t-diagram. c Na hoeveel seconden is de snelheid in het model nul geworden? Klopt dat met de werkelijkheid? In werkelijkheid is de remweg 40 m (omdat vgem = 10 m/s en t = 4,0 s). d Leg uit waardoor het model een lagere uitkomst geeft voor de remweg. e Wissel de rekenregels voor v en x om. Bereken opnieuw alle waarden voor v, x en t. Teken de grafiek van x in hetzelfde diagram. f Leg uit waardoor het model nu een hogere uitkomst geeft voor de remweg. g Leg uit of laat via een grafische voorstelling zien dat een kleinere tijdstap het model nauwkeuriger maakt.

53 Twee leerlingen bouwen een model voor een driepunter bij basketbal. Daarvoor bouwen ze het model voor een valbeweging zonder luchtweerstand om tot een beweging in twee dimensies (horizontaal en verticaal). Zie figuur 66. De positie van de bal wordt weergegeven met de coördinaten x en y, de snelheid met vx en vy. a Leg uit waarom er geen rekenregel nodig is voor v x. b Noteer de rekenregel voor x. Bij basketbal is de afstand van de driepuntlijn tot de ring 6,25 m. De ring hangt op een hoogte van 3,05 m. Bij het schot wordt de bal vanaf een hoogte van ongeveer 2 m losgelaten. c De startwaarde voor x is 0. Hoe groot is de startwaarde voor y? In figuur 54 zie je de uitkomst van het model als een stroboscooptekening. Bij dit model zijn de startwaarden: y = 2, vy = 5 en vx = 5. Het schot in figuur 54 is mis. De bal komt na 6,6 m op de grond. d Gaat de bal over de ring heen of onder de ring door? e Benoem de modelvariabele(n) waarvan de leerlingen de startwaarde kunnen aanpassen om te zorgen dat de bal wel door de ring gaat. Leg uit of die variabele(n) daarvoor groter of kleiner gekozen moeten worden.

a

v

x

t

−5

20

0

0

−5

15

−5

Figuur 65

basketbal driepunter startwaarden

m = 0,65 y=… v y = ….. x=0 v x = ….. t=0 dt = 0,01

F z = −9,8 ∙ m F

z a=_ m v y = v y + a ∙ dt

y = y + v y ∙ dt x = x+ … t = t + dt

Figuur 66 Model basketbalworp

W9 Werken met een model voor bewegingen W10 Doorglijden bij schaatsen

y (m)

c

3 2 1 0

0

1

2

3

4

5

Figuur 67

W11 Keuzeopdrachten over modelleren

6

x (m)

266

Vaardigheden

6.4

Technisch ontwerpen

Introductie Bij een ontwerpopdracht ga je een voorwerp of product bedenken en maken. Het product moet aan een aantal eisen voldoen. Tijdens het ontwerpen volg je een stappenplan, de ontwerpcyclus. Die vaste volgorde van de stappen wordt in deze paragraaf behandeld.

PA R AG R A A F V R A AG Hoe ontwerp je een product?

Wat is technisch ontwerpen? Technisch ontwerpen is het bedenken en maken van een product. Het gaat om een product dat bepaalde eigenschappen en functies heeft en/of bepaalde taken kan uitvoeren. In veel gevallen gaat het om een product dat nog niet bestaat. Bij zo’n ontwerpopdracht gebruik je technologische kennis om tot een goed product te komen. Ontwerpers bedenken en maken een prototype van een nieuw product dat zo goed mogelijk voldoet aan de wensen van de opdrachtgever en/of de consument. Voorbeelden van producten zijn: een mp4-speler, een koffiezetapparaat, een speciale verpakking, een fiets en een kantoorgebouw. Producten worden ontworpen omdat mensen er behoefte aan hebben of omdat ontwerpers of investeerders denken dat mensen er behoefte aan kunnen hebben.

Een product maken Een praktische opdracht kan bestaan uit het maken van een product of een voorwerp. Een dergelijke opdracht wordt een ontwerpopdracht genoemd. Het product dat je gaat maken kan vrij eenvoudig zijn, bijvoorbeeld een waterraket, een stoel van papier, een brug van spaghetti, een ski voor iemand die maar één been heeft of een zonne­ paneel dat zich automatisch naar de zon richt.

Figuur 68 Bouwen met spaghetti

Bij een ontwerpopdracht wordt er omschreven waar het eindproduct aan zal moeten voldoen. Dat staat in het programma van eisen. Bovendien wordt er bij de beoordeling gekeken naar wat je allemaal gedaan hebt om tot een zo goed mogelijk product te komen. Dat is het ontwerpproces. Daarbij kun je denken aan kleine onderzoeken vooraf, het testen van materialen en het maken, testen en evalueren van een proefmodel.

Programma van eisen In het programma van eisen staan ook alle voorwaarden die vooraf worden gesteld. Die voorwaarden worden door de opdrachtgever, de docent of door jou opgesteld. Ze kunnen gaan over het soort materiaal dat je mag gebruiken, de totale kosten, hoe groot het voorwerp mag of moet zijn en natuurlijk hoe goed het voorwerp functioneert. Het programma van eisen is tegelijk een afbakening van je opdracht.

267

Vaardigheden 6.4 Technisch ontwerpen

Bij de opdracht om een stoel van papier (zie figuur 69) te maken kan het programma van eisen bijvoorbeeld gaan over: E Hoeveel papier mag er gebruikt worden? E Welke lijmsoorten mogen er gebruikt worden? E Welke afmetingen moet de stoel minimaal/maximaal hebben? E Welk gewicht moet de stoel kunnen dragen? E Moet de stoel bestand zijn tegen dwarskrachten (bijvoorbeeld op twee poten wippen)? E Is de vormgeving van de stoel belangrijk? Vaak zit in één van de eisen een competitie-element. Bij het bouwen van een stoel van papier kan dat bijvoorbeeld het maximale of minimale draaggewicht zijn. Dan is het de uitdaging om binnen de randvoorwaarden een stoel te bouwen die een zo groot mogelijk gewicht kan dragen. Professionele ontwerpers moeten vaak rekening houden met zeer uiteenlopende eisen, bijvoorbeeld op het gebied van kosten, veiligheid, milieu, vormgeving en productiemogelijkheden. Bovendien hebben ze vaak te maken met een vorm van competitie om een opdracht binnen te halen. Ze maken de uiteindelijke producten meestal niet zelf, maar besteden dat uit aan de productieafdeling van het bedrijf. B

Bij een ontwerpopdracht hoort een programma van eisen. Daarin staan alle voorwaarden waaraan het product moet voldoen.

Figuur 69 Papieren stoel

Ontwerpproces Bij het ontwerpen van een product als leeropdracht gaat het niet alleen om het eindproduct, maar is ook het ontwerpproces belangrijk (zie figuur 70). Als je een stoel van papier gaat bouwen, begin je niet direct met knippen en plakken. Eerst denk je na over de eisen die aan de stoel gesteld worden en de eigenschappen die de stoel moet hebben. Daarna inventariseer je de mogelijkheden die je hebt en kijk je naar verschillende soorten bestaande stoelen. Wellicht de belangrijkste fase in het ontwerpproces is de inventarisatie van alle mogelijkheden voor (deel)oplossingen. In die fase moet je zo breed mogelijk denken om zo veel mogelijk verschillende oplossingen te kunnen krijgen. Dat wordt ook wel divergent denken genoemd.

E

E

E

E

E

technisch ontwerpen is gericht op verandering van de wereld bij technisch ontwerpen speelt techniek de hoofdrol bij ontwerpen staat divergent denken en creativiteit centraal ontwerpen richt zich op de totaliteit en op alle details ontwerpen is gericht op de tevredenheid van de opdrachtgever

Figuur 70

Na de inventarisatie werk je toe naar een ontwerp. In die fase moet je keuzes maken en (on)mogelijkheden schrappen. Dat wordt convergent denken genoemd. Om in deze fase goede keuzes te kunnen maken moet je wellicht enkele kleine onderzoeken uitvoeren, bijvoorbeeld de treksterkte van papier meten. Daarna bouw je proefmodellen of onderdelen van de stoel. Daarmee kun je de verschillende opties testen en vergelijken. B

Bij het maken van een product is zowel het ontwerpproces als het eindproduct belangrijk voor de ontwerper en de opdrachtgever.

268

6.4 Technisch ontwerpen Vaardigheden

Ontwerpcyclus Ontwerpprobleem analyseren en beschrijven

Ontwerp testen en evalueren

Ontwerp realiseren

Figuur 71 Ontwerpcyclus

Programma van eisen opstellen

(Deel)uitwerkingen bedenken

Ontwerpvoorstel formuleren

Elk product is anders, en dus elk ontwerpproces ook. Toch verloopt het ontwerpproces steeds op ongeveer dezelfde manier, dat wordt de ontwerpcyclus genoemd. Het bedenken en maken van een product is vaak een cyclisch proces (zie figuur 71). Na het bedenken, bouwen en testen van een deel van het product moet je weer terug naar het programma van eisen. Dan lijkt het alsof je opnieuw begint, maar in feite begin je aan de volgende ronde van de cyclus. In elke ronde kom je een stukje verder. Dat levert niet alleen een beter eindproduct op, je leert er ook van. De cyclus zorgt ook voor een beter en sneller ontwerpproces. 1 Ontwerpprobleem analyseren en beschrijven Een opdrachtgever komt met een probleem of een idee voor een nieuw product. Je stelt de opdrachtgever en jezelf vragen om erachter te komen wat het probleem precies is of waarvoor het nieuwe product bestemd is. Bijvoorbeeld: Wie hebben dit probleem? Waar wordt het probleem door veroorzaakt? Zijn er problemen en oplossingen die hierop lijken? In deze fase van brainstormen gebruik je vaak een woordweb om de verschillende aspecten van het probleem overzichtelijk op te schrijven. 2 Programma van eisen opstellen Een programma van eisen (PvE) is een lijst met alle voorwaarden waaraan het product moet voldoen. Daarbij staan de wensen en eisen van de opdrachtgever voorop. 3 Deeluitwerkingen bedenken Een deeluitwerking is een voorstel om te kunnen voldoen aan een deel van de eisen. Als in het programma van eisen bijvoorbeeld staat dat het voorwerp licht moet zijn, kun je als deeluitwerking voor deze eis noemen dat het voorwerp van karton gemaakt moet worden, dat het materiaal uitgehold moet worden, enzovoort. Bij elke taak of eigenschap hoort een aantal mogelijke deeluitwerkingen die je verzamelt in een ideeëntabel. In deze tabel noteer je voor elke taak en eigenschap enkele ideeën. 4 Ontwerpvoorstel formuleren Een ontwerpvoorstel formuleren betekent dat je met behulp van tekeningen en tekst laat zien hoe het product er uit komt te zien, waar het van gemaakt gaat worden, enzovoort. Het is in feite een beschrijving van het prototype. In deze fase combineer je de verschillende deeloplossingen tot een ontwerp. 5 Ontwerp realiseren Een prototype is een eerste versie van het product, dat vaak met de hand gemaakt wordt. Het is een soort proefproduct. In deze fase wordt het ontwerp dus echt uitgevoerd (gerealiseerd), maar nog niet perfect afgewerkt. 6 Ontwerp testen en evalueren Als het prototype klaar is, kun je het testen. Bij het evalueren van de testresultaten bekijk je in hoeverre het product voldoet aan de gestelde eisen. Op basis daarvan doe je verbetervoorstellen. B

Bij een ontwerpproces gebruik je vaak een ontwerpcyclus die je soms meerdere malen doorloopt.

269

Vaardigheden 6.4 Technisch ontwerpen

Voorbeeld van een ontwerpcyclus: ballonautowedstrijd 1 Opdracht Ontwerp en bouw een autootje dat vooruit beweegt door middel van een opgeblazen ballon. Het autootje dat het verst komt wint. 2 Programma van eisen Alle denkbare materialen mogen gebruikt worden, maar geen kant-en-klare onderdelen zoals wielen en assen. 3 Deeluitwerkingen Het autootje wordt voortgedreven door een ballon aan een dun buisje. deeltaken

uitwerkingen

1 stuwkracht

ballon + buisje

dun/dik buisje

schuin of recht

2 voortbeweging

wielen + assen

glijden

zweven op lucht

3 frame auto

stevig

bevestiging buisje

bevestiging assen

eigenschappen

uitwerkingen

4 licht

papier

karton

piepschuim

5 w einig weerstand

ronde voorkant

assen smeren

harde wielen

6 rechtdoor rijden

brede auto

grote wielen

Figuur 72

4 Ontwerpvoorstel Op basis van de ideeëntabel is het eerste voorstel: een driehoekig frame van piepschuim, met vooraan één wiel en achteraan twee wielen. De wielen worden gemaakt van karton en vastgemaakt aan een satéprikker. De satéprikker wordt door het piepschuim gestoken en gesmeerd met een beetje olie. Het buisje met de ballon wordt zó naar achteren geplaatst dat de hoek veranderd kan worden. 5 Ontwerp realiseren Je maakt een prototype op basis van het ontwerpvoorstel. 6 Testen en evalueren Bij het testen wordt het volgende onderzocht: E Is een dun of een dik buisje het best? E Moet het buisje schuin of recht geplaatst worden? E Maakt het uit of de wielen groot of klein zijn? Op basis van de testresultaten wordt de volgende stap in de cyclus gezet.

270

6.4 Technisch ontwerpen Vaardigheden

54 Bij een opdracht voor een technisch ontwerp volg je meestal de ontwerpcyclus. Enkele onderdelen van de ontwerpcyclus zijn: ontwerp testen, deeluitwerkingen bedenken, ontwerpvoorstel formuleren en programma van eisen samenstellen. a Zet deze onderdelen in de juiste volgorde. b Leg uit waarom voor ontwerpers een programma van eisen belangrijk is. c Wat voor soort tabel gebruik je bij het bedenken van deeluitwerkingen? d Het bedenken van deeluitwerkingen noemen we ook wel een divergent proces. Beschrijf wat daarmee bedoeld wordt. e Het schrijven van een ontwerpplan noemen we een convergent proces. Beschrijf wat daarmee bedoeld wordt. f Wat is de volgende stap na het testen van het ontwerp? Licht je antwoord toe.

55 De TU Delft organiseert elk jaar een Spaghetti Bruggenbouwwedstrijd. Op internet kun je zien welke eisen gesteld worden. a Leg uit wat het probleem is bij het bouwen van een spaghettibrug. b Noem twee eisen die in het programma van eisen zouden kunnen staan. c Bedenk bij elk van de twee eisen een deeloplossing. d Teken twee verschillende soorten bruggen die je zou kunnen bouwen. e Beschrijf een deelonderzoek of test die je zou kunnen uitvoeren.

56 Jouw school organiseert een wedstrijd om een stoel van papier te bouwen. a b c d e

Formuleer de spelregels die jij op zou stellen om de winnaar aan te kunnen wijzen. Noem twee eisen die in het programma van eisen zouden kunnen staan. Bedenk bij elk van de twee eisen een deeloplossing. Teken twee verschillende soorten stoelen die je zou kunnen bouwen. Beschrijf een deelonderzoek of test die je zou kunnen uitvoeren.

57 In de wijk is een nieuwe speeltuin gebouwd. Er ontbreekt alleen nog een waterspeeltoestel. De buurtvereniging organiseert een wedstrijd voor het beste waterspeeltoestel (zie figuur 73). a Formuleer de spelregels die jij op zou stellen om de winnaar aan te kunnen wijzen. b Noem twee eisen die in het programma van eisen zouden kunnen staan. c Teken twee onderdelen die je in het waterspeeltoestel zou kunnen opnemen. d Beschrijf een deelonderzoek of test die je zou kunnen uitvoeren. Figuur 73 Waterspeeltoestel

271

Vaardigheden 6.4 Technisch ontwerpen

58 In figuur 74 zie je een voorbeeld van een gedeeltelijk ingevulde ideeëntabel voor het ontwerp van een inbraakbeveiliging. Bij dit voorbeeld zoek je uitwerkingen voor de vragen ‘Hoe kun je deuren en ramen beveiligen?’ en ‘Hoe kun je een inbreker registreren?’ Deeltaken 1 beveiligen deuren 2 beveiligen ramen 3 registreren inbreker

Uitwerkingen sloten dievenklauwen bewegingsalarm

Eigenschappen 4 stevig 5 gebruiksvriendelijk

Uitwerkingen glad en rond

klemmen sloten camera's

hard plastic gebruik van hefbomen

dik hout

Figuur 74 a b

Bedenk bij elke deeltaak nog een mogelijke uitwerking. Neem de tabel over en plaats jouw uitwerkingen erin. Leg uit waarom het belangrijk is bij elke deeltaak zo veel mogelijk uitwerkingen op te schrijven.

59 De bloementasvaas is een mooi voorbeeld van een technisch ontwerp (zie het kader Van idee tot eindproduct). a Noem een probleem dat opgelost wordt met de bloementasvaas. b Formuleer tenminste twee eisen die bij dit ontwerp gesteld zijn. c Waarom is het belangrijk dat op een technisch ontwerp een octrooi kan worden aangevraagd?

60 De bloementasvaas is een oplossing voor een herkenbaar probleem, net zoals de stormparaplu. a Noem een probleem(pje) dat je zelf ooit eens bent tegengekomen, bijvoorbeeld dat de accu van je mobieltje zo snel leeg is. b Verzamel alle problemen die in de klas zijn genoemd. c Kies één van deze problemen uit en formuleer daarbij één of twee eisen die aan het product gesteld kunnen of moeten worden. d Bedenk bij elke eis één of twee deeloplossingen en noteer die in een ideeëntabel.

VA N I D E E TOT E I N D P RO D U C T Janneke Verhagen presenteerde in 2004 haar beste idee: de bloementasvaas. Toen slechts een goed idee, nu een uniek eindproduct! De bloementasvaas wordt plat aangeleverd en is hierna in één beweging op te zetten. Water erbij, bloemetje erin en klaar! De klant kan de bloementasvaas met bloemen en water zonder zorgen vervoeren. Zelfs op de fiets of in de auto is dat geen probleem. Op de bestemming aangekomen kan de bloementasvaas met bloemen zonder omkijken op tafel worden gezet.

61 Veel producten zijn ontwikkeld zonder dat er een programma van eisen is opgesteld. Je kunt echter ook achteraf opschrijven aan welke eisen het product voldoet. a Kies één van de onderstaande voorwerpen en stel bij dat voorwerp een programma van eisen op. Kurkentrekker Fietspomp Kunstkerstboom Beschuit met inkeping Vuilniscontainer Kinderpleister Mobiele telefoon Pizzasnijder b Bedenk bij dit voorwerp een extra eis, waardoor er een beter product ontwikkeld zou kunnen worden.

Figuur 75 Bloementasvaas

W12 Eigenschappen analyseren van producten

272

Leerdoelen en begrippen Vaardigheden

Leerdoelen en begrippen Ga voor jezelf na of je de leerdoelen al hebt bereikt. Vink de leerdoelen die je hebt bereikt af en geef aan wat je gaat doen met de uitleg en opdrachten waarmee je nog moeite hebt.

PA R AG R A A F 6 .1 R E K E N VA A R D I G H E D E N Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: gelijkvormigheid, verhoudingstabel, significante cijfers, evenredig, evenredigheidsconstante, omgekeerd evenredig, evenredig met het kwadraat, omgekeerd evenredig met het kwadraat, trendlijn, steilheid, lineair verband, wetenschappelijke notatie. berekeningen maken met verhoudingen, procenten, breuken, machten, wortels.

bij driehoeken gebruikmaken van gelijkvormigheid en rekenen met sinus, cosinus, tangens en de stelling van Pythagoras.

het aantal significante cijfers en het aantal cijfers achter de komma in een getal bepalen.

de uitkomst van berekeningen weergeven in het juiste aantal significante cijfers.

vooraf de orde van grootte van een grootheid of uitkomst inschatten en achteraf beoordelen in hoeverre het resultaat juist kan zijn.

berekeningen maken en redeneren met de formules voor de omtrek van een cirkel, een driehoek en een rechthoek, voor de oppervlakte van een cirkel, een driehoek, een rechthoek en een bol, en voor het volume van een balk, een cilinder en een bol.

lineaire en tweedegraads vergelijkingen oplossen en x ​​ ​​ n​​ toepassen.

de vergelijking van een lijn opstellen.

het hellingsgetal van een rechte lijn of van een raaklijn aan een kromme in een diagram bepalen.

de oppervlakte onder de grafiek in een diagram bepalen.

de betekenis van de oppervlakte onder een grafiek en de betekenis van de steilheid van de grafiek afleiden uit de grootheden langs de assen.

redeneren met evenredigheden (evenredig, omgekeerd evenredig, kwadratisch, omgekeerd kwadratisch en wortel).

een formule afleiden uit bekende formules.

eenheden afleiden en controleren.

een grafiek tekenen met behulp van coördinatentransformatie.

273

Vaardigheden Leerdoelen en begrippen

PA R AG R A A F 6.2 O N D E R ZO E K SVA A R D I G H E D E N Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: onderzoeksvraag, oorzaak en gevolg, afhankelijke grootheid, onafhankelijke grootheid, hypothese, onderzoeksplan, meetbereik, spreiding, nauwkeurigheid, lineair verband, verslag, meetrapport.

meetresultaten als meetpunten weergeven in een diagram en het verband tussen de twee grootheden tekenen met een rechte of vloeiend gekromde grafieklijn.

in een diagram de bij elkaar horende waarden van de twee grootheden aflezen, waar nodig door interpoleren of extrapoleren.

aan de hand van de vorm van de grafiek bepalen of de metingen passen bij een lineair, evenredig, omgekeerd evenredig, kwadratisch, omgekeerd kwadratisch of een wortel verband.

een verband onderzoeken met behulp van coördinatentransformatie, en daarmee een formule opstellen bij het verband.

bij een serie metingen een trendlijn tekenen en de formule van een lineaire trendlijn opstellen.

afhankelijk van de situatie onderscheid maken tussen afhankelijke variabelen, onafhankelijke variabelen en constanten.

een onderzoeksplan opstellen en een onderzoek uitvoeren aan de hand van een onderzoeksplan.

PA R AG R A A F 6.3 V I D E O M E T E N E N M O D E L L E R E N Ik kan: de volgende begrippen beschrijven en toepassen: videometen, dynamisch model, tijdstap, rekenregel, constante grootheid, formulegrootheid, groeigrootheid, startwaarde, grafisch model.

Acties:

met videometen beeld voor beeld de positie van een bewegend voorwerp bepalen en met het x ​ , t​-diagram en het ​v, t​-diagram de beweging analyseren. bij een natuurwetenschappelijk probleem een geschikt dynamisch model selecteren, en daarbij modelgrootheden en verbanden tussen deze grootheden beschrijven.

verschillende soorten grootheden in een dynamisch model herkennen en gebruiken (constante grootheid, formulegrootheid, groeigrootheid).

274

Leerdoelen en begrippen Vaardigheden

een incompleet dynamisch model aanvullen, en daarbij waarden van modelparameters bepalen.

de uitkomsten van een dynamisch model voorspellen en evalueren.

PA R AG R A A F 6 .4 T E C H N I S C H O N T W E R P E N Ik kan:

Acties:

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: ontwerpopdracht, programma van eisen, ontwerpproces, ontwerpcyclus.

een product ontwerpen aan de hand van een stappenplan (de ontwerpcyclus).

276

Antwoorden op rekenvragen

Antwoorden op rekenvragen Hoofdstuk 1 6

a b 11 a b c 13 a c d 14 a b c 15 16 b c 17 b 27 28 a b c 32 a b c 33 a b c 34 b 44 a b c 45 b c 46 c 50 a 51 b c 64 b c f 65 b d 69 b 71 c d e 72 b c 73 b 74 a

9,0 · 104 J 0,45 kWh 8,3 W 60 kJ 10 h 50% 3,0 W 1,5 W 40 kWh = 1,4 · 108 J 15 kWh; € 6,72 € 26,86 0,53 kWh; € 0,25 2,1 GJ 7,18 TWh; 25,9 PJ € 1,61 36 J/s 12 V 2,9 · 1019 0,24 A 8,1 · 102 C 35 W € 8,69 64 A 51 MJ 5,1 GW 14,0 h 50 Ω 0,20 A 8,5 V 35 Ω 1, 1 · 102 Ω 3,3 W 1,7 · 10−8 Ω · m 44,1 Ω 0,051 mm 0,55 A 11 Ω 6,6 V 0,92 W 14 1,9 kA 0,48 A 0,24 A 4,8 V; 7,2 V 7,2 V; 150 mA 48 Ω 8,0 h 20 L

77 a b 78 a c 79 a c 82 c 83 a c 84 d 85 a b

5,1 · 109 20 jaar en eerder 4,0 V 1,0 Ω 3,0 V 2,3 V tot 9,0 V 1,1 · 102 h 2,0 V; 2,0 V 1,4 · 102 Ω; 1,4 · 102 Ω 3,0 · 102 Ω 3,7% 2,9% dus kleiner

Hoofdstuk 2 2

a b 3 a b c 11 12 a b c d 13 b c 16 a b 17 e 18 c d 19 b 20 b 28 a b c d 29 b c d e 30 b c 32 a b c 33 a c

12,6 km/h; 11 km/h; 11 km/h 3,51 m/s; 3,1 m/s; 3,1 m/s 30 km/h; 20 km/h; 25 km/h 36 min 60 min 36,4 s 1,3 m/s2 4,0 m/s2 5,4 m/s 5,0 s 6,0 m/s 5,0 s 2,9 m/s2 2,5 m/s2 2,0 m/s2 0,34 m/s2 0,38 m/s2 2,9 s 0,10 s 3,5 · 102 N 6,0 m/s2 3,6 · 103 N 0,73 kg 1,0 · 102 N 1,4 N 4,3 s 8,8 m/s 2,4 · 102 N 1,9 · 102 N 3,1 · 102 m/s2 4,5 · 105 N 7,5 kN 4,8 · 102 N 3,0 · 103 N

277

Antwoorden op rekenvragen

34 a 2,8 · 103 m/s2 b 1,4 · 104 N 35 a 2,2 m/s2 b 2,3 · 102 N 36 b 3,4 · 102 N 38 a 26 m; 65 m 39 c 1,0 m/s 40 e 20 m/s f 11 m/s 41 d 6,0 m/s f 2,0 m/s2 42 a 17 m/s b 3,0 m/s2 c 1,0 · 102 m 46 a 21,5 m/s; 54 m c 1,0 · 102 m d 60 m 47 a 38 m b 65 m 48 a 8,0 m/s b 16 m/s c 4,0 m/s2 49 a 8,1 m/s2 b 29 m d x,t-diagram: 12,6 m/s v,t-diagram: 12,5 m/s e x,t-diagram: 8,6 m/s v,t-diagram: 9,0 m/s 51 b 6,9 m/s2 c 20 m 52 33 m 53 a 13,9 m/s b 3,6 s; 7,7 m/s2 54 a 4,3 s; 75 m; 5,8 s; 1,0 · 102 m c 53 m 55 a 1,0 m/s b 1,0 m/s; 2,0 m/s e 0,080 m/s2 56 e 6,9 · 102 N 66 a 11 m/s; 5,4 m/s b 5,9 m c 2,9 s; 14 m/s d 40 m 67 a 18 m/s2 b 27 m/s c 81 m 68 a 1,8 · 102 m 69 a 1,0 m/s2 b 6,0 m/s

70 b c 71 b 72 a c 74 a b c 75 b c 76 b c d 78 b c 79 b 80 d 81 a 82 d e 86 c 88 a b d 89 a b c d 90 a c 91 a

4,9 m/s 7,4 m 1,1 m/s; 2,2 m/s; 1,6 m/s2 7,3 m/s 3,7 m/s2 0,11 N 0,46 N 1,2 · 102 km/h −3,80 m/s −71 m/s 4,4 m/s2 3,7 · 102 N; 4,6 · 102 N 76 m 3,00 s 3,00 s 29 m 19,6 m/s 6,4 · 103 N 1,5 · 102 km/h 90 km/h van de speler af 15 m 10 m/s2 1,0 · 102 N 75 s 1,0 s; 7,5 m/s2 47 m 6,0 · 103 N 13 m 21 kN 1,4 · 103 m 4,0 m

Hoofdstuk 3 5

a b c 16 a b c 17 18 a b c 19 20 b 21 a 22 a

333 cm3 64,1% 90% 0,77 mol 6,0 g 10 bar 14 m3 0,045 m3 3,5 · 105 Pa 13 g 1,8 g per ms 7,7 cm3 2,5 bar 24

278

36 a b 37 a b c 38 a b 40 a b 41 a c 43 a b c d 53 a b 54 b 56 a b c 60 d 61 63 b 65 b 69 b c 70 a b d 72 a 73 b c 74

1,1 · 106 J € 533 32 kJ 6,0 · 105 J 5,1% 79 g 3,1 °C 6 · 102 W 0,21 W/(K · m) 2 kW 4 · 101 W 0,50 MJ 5,6 min 0,98 kW 1,3 °C 4,2 · 102% 2,0 · 10−6 m2 5,3 N 3,0 GPa 6,7 · 10−7 m2 4,0 m 5,2% 2,5 · 103 GPa 2,2 cm 1,8 · 102 kg 26 g 12 cm2 4,8 · 108 Pa 1,5 · 107 N 1,2 · 104 kg 1,9 · 103 J · kg−1 · K−1 25 MJ 8,7 h 11 cm

Antwoorden op rekenvragen

24 b c 25 a 26 a b 27 a b 30 c 35 c 42 a 52 a b c 55 b d e 59 a d 60 a 61 a b c d 64 c 65 a 66 b 68 a b c d 69 a 70 b c

61 m/s 30 4,0 · 102 N 0,30 N · s2/m2 82 N 17 m/s of 61 km/h 12 m/s of 42 km/h 8,7 kg 1,6 · 102 N; 30° 12 N 8,8 · 102 N 1,8 · 102 N 2,0 · 102 N 8,7 m/s2 0,14 55 m/s 1,3 · 102 m 6,7 min 51 N 10 m/s 16 m/s 4 m/s 9,1 m/s 35° 66 N 0,093 59 N 56 N 20 m/s 24 m/s 549,3 km/h 2,7 · 103 N 396%

Hoofdstuk 5 Hoofdstuk 4 16 b B 0,1 kN/m C 1 kN/m D 30 N/m E 50 N/m 17 a 3,14 N b 75 N/m 18 16 m/s2 21 a 1,23 · 104 N b 8,0 · 103 N 22 c 0,21 23 b 35 km/h

11 a b 12 a b c 13 b 15 a b 16 a b 17 a b c

2 8 cm 11 cm 75% 1,6% 0,431 cm 6,3 % 2,1 cm 5,6 · 10−15 J 8,5 · 1018 Hz 3,3 · 10−15 J 0,021 MeV 4,5 · 1010

279

Antwoorden op rekenvragen

19 b d e 24 a b c d 25 c 28 a b c 29 30 a b 33 a 36 b 48 b c d 49 e f 50 c 51 c d 52 c 56 b c 64 65 b e 67 b c d 69 b 80 b 81 a b 86 a b c 88 c d 89 a b 90 a b d e

2,7% 5% 4,5 cm 4,0 · 106 8d 4 6% 125 minuten 5,6 kBq 5,6 kBq 3,0 · 102 y 20 y 1,9 kBq 24 h 0,35 MBq 34 h 1,4 · 10−15 kg 5,0 · 108 35 · 108 19 Bq 39 Bq 1,4 · 10−15 kg 1,4 · 106 5,3 · 10−19 kg 2,0 · 10−19 kg 180 5,6× 0,039 μSv 2,13 · 10−13 J 0,20 mSv 8,78 · 10−13 J 6,0 · 10−2 Bq 0,033 mSv 2,0 min 3,8 · 104 y ongeveer 7,0 · 103 y ongeveer 2,2 · 103 y 21 y 0,51% 1,7 y 6,6 MBq 4,5 h 2,0 · 10−13 kg 0,15 mSv 2,6% 57 15 s 3,5 · 106 ; 2,2 · 105

Hoofdstuk 6 2

a 28 b € 5,74 c 2 d 148 miljoen km2 3 a 54 L b 11,6 L c 15,6 eurocent d € 37 · 102 4 b 33,3 m/s 5 a 0,341 m2 b 14,0 m; 8,2 m2 c 0,011 m3; 0,25 m2 d 339 L 7 a 34° b 1,25 kN; 2,17 kN 8 c 1 = vier, 2 = drie, 3 = twee, 4 = drie d 1 492 4 5,2 2 4,85 5 1,7 · 103 3 0,62 6 0,16 12 b 0,35 c 15 d 1, 0 · 102 13 b 3, 8 · 103 c 90 d 3, 2 · 102 18 e 2,4 · 102 m 19 a 50 Hz b 11 m/s 20 c 0,15 d 21 m e 18 m/s 21 c 0,13 d 0,24 W/m2 e 0,23 m 23 c 0,75 s d 0,69 kg 24 f 22 m g 18 m/s 25 f 0,76 s g 0,68 kg 26 c 0,55 Ω d 0,12 mm g 0,56 Ω; 0,12 mm 36 c −11 (km/h)/s e 8,9 s 40 c 0,54

280

Register

Register A α-straling α-verval aangrijpingspunt aardlekschakelaar absolute nulpunt absolute temperatuur T (K) absorptie (van straling) achtergrondstraling actiekracht activiteit A (van een radioactieve bron) afgeleide afhankelijke grootheid afronden (van getallen) afstand s of x algemene gaswet ampère (A) ampèremeter angiografie annihilatie antideeltje (van elektron) atmosferische luchtdruk atomaire massa atomaire massa-eenheid u atoom atoommassa ma atoomnummer Z

181, 182 191 137 31 101 101, 102 174 202 138, 145 182, 187, 196, 197 56, 69, 197 248 236 49, 66, 69 102 8 8 209 192, 193 192 98 94 198 94 198 190, 191

B

β-straling β-verval bar batterij becquerel (Bq) behoudswetten besmetting bewegingsenergie Celsius (graad) (°C) kelvin (K)

181, 182 192 102 18 183 190 202, 204 108 106 101

C γ-straling componenten (van een kracht) computermodel computertomografie (CT) condenseren constante grootheid constante van Planck h constructie (van krachten)

181, 182 155, 156, 158 220, 221 210 107 261 177 135

convectie conventionele centrale coördinatentransformatie coulomb (C) creatie CT-scan

110 10 245, 246 14 192, 193 211, 213, 218

D deeltjesmodel derde wet van Newton diagram dichtheid ρ diode doordringend vermogen doorlaatkromme dosis D dosislimiet dracht drukwet van Gay-Lussac dwarswind dynamisch model

97, 98, 102, 106 145 239, 252 95, 112 21, 22 173 175 201, 206 206 202 101 162, 163 258, 260, 261, 262

E echografie echogram eenparig versnelde beweging eenparige beweging eerste wet van Newton effectieve totale lichaamsdosis elasticiteitsmodulus E elastische vervorming elektriciteitsopwekking elektrisch vermogen Pel elektrische auto elektrische energie Eel elektrische lading Q elektromagnetisch spectrum elektromagnetische straling elektronvolt (eV) emissie energielabel energieverbruik equivalente dosis H evenredig met de wortel evenredig met het kwadraat evenredig verband evenredigheidsconstante

214, 218 214 52 49 52, 62, 145 206 121, 122 119 10 9, 15, 17, 18 38 9, 17 7, 17 173 173, 200 178 182 9, 11 11 201, 206 242 242 15, 26, 59, 238, 252 80, 221, 238

281

Register

F fall-out fase (van een stof ) faseovergangen formulegrootheid foton fotonenergie Ef

204 94 94 261 173 177

ioniserend vermogen ioniserende straling isolatie isolator isotoop

174 172 113, 114 8 191

J joule (J)

9

G gas gasconstante R gasdruk p gasmodel gastemperatuur T gasvolume V geleider geleiding (van warmte) gelijkrichter gelijkspanning gelijkvormige driehoek geluidspuls gemengde schakeling gemiddelde snelheid vgem gemiddelde versnelling agem generator gesloten stroomkring gevolg gewicht Fgewicht grafisch model (voor een beweging) gray (Gy) groeigrootheid grootte (van een kracht)

97 102 95, 98, 99, 101 98 100, 101 99 8 108, 109, 113 22 15 235 214 35 66, 68, 69 55, 56 10 14 248 138 262 201 261 137

K kerncentrale kernreactie kernstraling kilowattuur (kWh) koolstofdatering kortsluiting kosmische straling kracht F krachtenevenwicht kwadratische vergelijking

10 193 171, 172, 181 9 220 30 202 50, 61 135, 138, 148, 151, 152 244

L LDR lineair verband lineaire uitzettingscoëfficiënt lineaire vergelijking luchtdruk p luchtweerstand(skracht) Fw,l luchtweerstandscoëfficiënt k machtsfunctie macroscopische grootheid magnetic resonance imaging (MRI) magnetische resonantie

22 239, 252 125 244 102 76, 77, 80, 140, 144, 162 144 252 97 214 214, 215

H halfgeleidend materiaal halfgeleider halveringsdikte d½ halveringstijd t½ helling(sgetal) hellingshoek α hellingspercentage hypothese

21 21 175, 177 184, 187, 196 55 156 156 248

M massa m massagetal A maximale schuifwrijving(skracht) Fw,s,max medische beeldvorming meetbereik meetrapport meewind metaalbarometer metaalmanometer microscopische grootheid millibar (mbar) mol molecuul MRI-scan

59, 60, 61 94, 190, 191 139, 143 209 249 254 162 98 98, 99 97 102 102 93, 94 214, 218

I

I,U-diagram ideaal gas instabiele atoomkern inwendige bestraling ion

21 103 190, 196 185, 202 14

282

Register

N nauwkeurigheid (van metingen) negatieve lading nettokracht Fres neutronenactivering neutronenstraling normaalkracht Fn NTC nucleaire diagnostiek nucleaire geneeskunde

249 7 49, 51, 52, 59, 135, 152 194 194 138 23 211 184

O ohmse weerstand omgekeerd evenredig met het kwadraat omgekeerd evenredig verband omgekeerde parallellogramconstructie omschrijven van een formule omtrek onafhankelijke grootheid onderzoeksplan onderzoeksvraag ontbinden (van een kracht) ontwerpcyclus ontwerpopdracht ontwerpproces oorzaak oppervlakte oppervlaktemethode overbelasting

21 242 26, 59, 238 151 244 234 248 250 248 155 267, 268, 269 266 266, 267 248 234, 235 70, 71, 78, 239 30

P paarvorming parachutesprong parallellogramconstructie parallelschakeling PET-scan plaats,tijd-diagram plastische vervorming positieve lading positron presentatie (van een onderzoek) programma van eisen programmeertaal PTC

192 78, 79 148 29, 34 193, 212, 218 65, 66, 79 119 7 192 254 266, 267 262 23

R raaklijn(methode) radioactief jodium radioactief verval

56 189 182, 190, 220

radioactiviteit radiodiagnostiek radiotherapie reactieafstand reactiekracht reactievergelijking relatieve rek ε relatieve vochtigheid relaxatie relaxatietijd remweg rendement η resulterende kracht Fres richting (van een kracht) rijwind rolweerstand(skracht) Fw,r röntgenfotografie röntgenstraling

181 184 184, 185 71 138, 145 193 120, 122 107 215 215 62, 71, 242 9 51, 135 137 162 140 209, 218 171, 172, 173

S schakelschema schatten (uitkomst van berekening) schuifweerstand schuifwrijving(skracht) Fw,s scintigram serieschakeling sievert (Sv) significante cijfers snelheid op een bepaald tijdstip v snelheid v snelheid,tijd-diagram somkracht soortelijke warmte c soortelijke weerstand ρ spankracht Fs spanning (elektrisch) U spanning σ spanning,rek-diagram spanningsbron spanningsdeling spanningsmeter SPECT-scan spierkracht Fspier spoiler spreiding (van meetpunten) standaardeenheden startwaarde steilheid (van een lijn) stopafstand

18 237 40 139 184, 211 29, 34 201 236, 237 69 49, 56 54, 78, 79 148 110, 112 20, 26 138 8, 14, 15, 17, 18 118, 120, 122 121 8 29 8 211, 218 137 143 249 76 261 55, 239 71

283

Register

straling (van warmte) stralingsbelasting stralingsbescherming stralingsbeschermingsnorm stralingsenergie Estr stralingsintensiteit I stralingsschade stralingsthermometer stralingsweegfactor wR stroboscoop stroming (van warmte) stroom,spanning-diagram stroomdeling stroomdraad stroommeter stroomsterkte I substitueren van een formule superzuinige auto

109, 114 200 203 206 201 174, 177 201 114 206 52 109, 114 21 29 20 8 8, 14, 15, 17, 18 244 140

T technisch ontwerp tegenwind terugkaatsing (van geluidspulsen) tijdstap Δt toevalsproces traagheid tracer transistor transmissie (van straling) treksterkte trendlijn trillingsenergie tweede wet van Newton

266 162 214 261 183 60 184, 197 39 174 121 252 106 62, 145

U uitwendige bestraling uitzetting (van materialen) ultrasone geluidsgolf uv-straling

185, 202 119, 124 214 200

V v,t-diagram valversnelling g vectorgrootheid veerconstante C veerkracht Fv verdampen verdampingswarmte verhoudingstabel

54, 78, 79 75, 76, 142 137 143 137, 143 107 125 233

vermenigvuldigingsfactor verslag (schriftelijk) versnelling a versnelling op een bepaald tijdstip a vervalkromme vervalvergelijking videometen vloeistofmanometer volt (V) voltmeter volume vrije elektronen vrije val

233 254 52, 55, 56, 59, 61, 152 56 184 191 258, 259 99 8 8 234, 235 14 75, 78, 79

W warmte Q warmtegeleidingscoëfficiënt λ warmtestroom P warmtetransport waterkrachtcentrale watt (W) weerballon weerstand R werklijn (van een kracht) wet van Ohm wetenschappelijke notatie windturbine wisselspanning elementaire lading e wisselwerking (tussen voorwerpen) wrijvingscoëfficiënt f

108, 112 113 113 106, 108, 109, 114 10 9 104 20 149 26 237 10 15 17 137 143, 144

X x,t-diagram

65, 66, 79

Z zeeklimaat zekering zonnecellen zwaartekracht Fz zwaartepunt

126 30 10, 22 76, 77, 138, 142 138

284

Illustratieverantwoording

Illustratieverantwoording Omslag: Getty Images / Photodisc / Alex Treadway A. Groenewold pag. 95, 97, 104 (o), 106, 114 (o), 119, 183 ANP / AFP pag. 48 Bettman Archive / Getty Images pag. 173 (o) Brendaicm pag. 184 Can Nguyen / REX / Shutterstock / Hollandse Hoogte pag. 38 (o) Clive Brunskill / Staf / Getty Images pag. 58 CNRI / Science Photo Library / ANP pag. 185 David Rozing/Hollandse Hoogte pag. 38 (b) Dosimeter Corporation of America pag. 203 Dr. Arthur Tucker / Science Photo Library /ANP pag. 114 (b) Drazen Vukelic / iStock / Getty Images pa. 51 (rb) Gert van de Kamp pag. 8 (l + r), 14 Getty Images / iStock / suravikin pag. 6 Grafica Co pag. 204 (r) Hollandse Hoogte / World History Archive pag. 102 Images ©Daimler AG pag. 257 IQ Images pag. 75, 84 iStockphoto pag. 77, 232, 237 iStockphoto / RaifCanci pag. 7 (b) Janneke Verhagen pag. 271 Jeroen Wand pag. 267 Joyce van Belkom / Hollandse Hoogte pag. 270 Kees Hooijman pag. 259 Lévignac pag. 50 Mischa Keijser / Hollandse Hoogte pag. 104 (m) Otto von Guericke Universität, Magdeburg pag. 99 Peter Menzel / Science Photo Library pag. 7 (o) René Oltshoorn / Nationale Beeldbank pag. 173 (b) Roger Ressmeyer / Corbis / Getty Images pag. 212 (ro) Roger Ressmeyer / Corbis / VCG / Getty Images pag. 212 (lm) Science Photo Library / ANP pag. 201, 211, 218 Science Source / Getty Images pag. 209 Shutterstock pag. 10 (r), 49, 214, 218 Shutterstock / Eric Gevaert pag. 118 Shutterstock / 3777190317 pag. 143 Shutterstock / aleksander hunta pag. 156 Shutterstock / anweber pag. 23 Shutterstock / Awe Inspiring Images pag. 22 (l) Shutterstock / balipadma pag. 135 Shutterstock / Bildagentur Zoonar GmbH pag. 117 (b) Shutterstock / CandyBox Images pag. 110 Shutterstock / clearviewstock pag. 39 Shutterstock / Corepics pag. 51 (lb) Shutterstock / Danshutter pag. 51 (ro) Shutterstock / domjaves pag. 112 Shutterstock / fotografos pag. 20 (r) Shutterstock / Francesc Juan pag. 137 (b)

Shutterstock / Galina Barskaya pag. 136 Shutterstock / Imfoto pag. 140 (lb) Shutterstock / Incredible Arctic pag. 113 (r) Shutterstock / Jose Gil pag. 10 (m) Shutterstock / Kikostock pag. 88 Shutterstock / Martin Bangemann pag. 10 (l) Shutterstock / Mayuree Moonhirun pag. 262 Shutterstock / Modfos pag. 140 (lo) Shutterstock / Paul Fleet pag. 123 Shutterstock / Peter Barrett pag. 51 (lo) Shutterstock / Peter Bernik pag. 59 (b) Shutterstock / Petr Malyshev pag. 20 (l) Shutterstock / ra3rn pag. 31 (l) Shutterstock / Robert Spriggs pag. 242 (o) Shutterstock / Roman Zaiets pag. 170 Shutterstock / Shahjehan pag. 59 (o) Shutterstock / Sinisa Botas pag. 31 (m) Shutterstock / Steve Byland pag. 242 (b) Shutterstock / Steve Collender pag. 29 Shutterstock / Stewie74 pag. 148, 150 Shutterstock / Studio 37 pag. 31 (r) Shutterstock / Take Photo pag. 22 (r) Shutterstock / TravelMediaProductions pag. 113 (l) Shutterstock / visuall2 pag. 117 (o) Shutterstock / Vitezslav Valka pag. 139 Shutterstock / Vladimir Koletic pag. 40 Shutterstock / Wollertz pag. 161 Uhb Trust / Getty Images pag. 215, 218 Valerie Kuypers / ANP pag. 266 Wavebreakmedia / Getty Images / iStock pag. 13 Wikipedia pag. 202 Zorg in beeld pag. 221 Bronvermelding opgaven Examen HAVO 1995-I: opgave 86 pag. 224 Examen HAVO 2001-I: opgave 66 pag. 207 Examen HAVO 2002-II: opgave 85 pag. 86, opgave 87 pag. 225 Examen HAVO 2006-II: opgave 71 pag. 81, opgave 69 pag. 167, opgave 90 pag. 226 Examen HAVO 2007-I: opgave 36 pag. 64 Examen HAVO 2007-II: opgave 90 pag. 88, opgave 37 pag. 189 Examen HAVO 2008-II: opgave 56 pag. 74, opgave 88 pag. 88 Examen VWO 2002-I: opgave 75 pag. 82 Examen VWO 2004-II: opgave 88 pag. 225 Examen VWO 2008-II: opgave 72 pag. 130 Examen VWO 2009-I: opgave 22 pag. 105 Examen VWO 2009-II: opgave 18 pag. 179 Examen VWO 2010-II: opgave 84 pag. 43, opgave 69 pag. 208 Examen VWO 2017-I: opgave 83 pag. 43

Aantekeningen

285

286

Aantekeningen

Aantekeningen

287

288

Aantekeningen

4

Newt n

Newt n

Newt n Natuurkunde voor de bovenbouw

4 vwo

VANAF EXAME N MEI 202 5

4

vwo

Naam Klas

9789006911718_TMH_NW OMSLAG 4 VWO.indd All Pages

11/04/2022 09:50