R Rekenen
Deel 2
R Rekenen
Rekenen: een hele opgave
Rekenen is een menselijke activiteit die niet los staat van de realiteit. Daarom bieden wij in deze methode Rekenen, een hele opgave rekenactiviteiten aan die betrekking hebben op verschijnselen in de wereld om ons heen.
In dit tweede deel komen moeilijker zaken aan de orde: grotere getallen (boven de 100), breuken, procenten en verhoudingen worden aangeboden in een realistische context. Dat geldt ook voor het metriek stelsel en begrippen als decameter, hectogram, kiloliter. Daarnaast is er aandacht voor het begrip dyscalculie, dat een steeds belangrijkere rol in het onderwijs zal gaan spelen. Op de website www.thiememeulenhoff.nl zijn toetsen en strategiekaarten opgenomen, waar in de het boek naar verwezen wordt.
Deel 2
Dit boek is uitermate geschikt voor leerkrachten (in opleiding), remedial teachers en anderen die kinderen in hun rekenontwikkeling willen ondersteunen. Maar ook voor de groep rekenspecialisten en docenten in het voortgezet onderwijs is dit boek een verrijking.
Deel 2
Rekenen: een hele opgave
In het eerste deel maakt de student kennis met rekenkundige begrippen, structuren en denkbeelden in relatie tot verschijnselen waaruit ze ontwikkeld zijn, of waarop je ze toepast.
Rekenen: een hele opgave
Joep van Vugt Anneke Wรถsten
Rekenen: een hele opgave Deel 2
Joep van Vugt Anneke Wรถsten
12065_Rekenen een hele opgave.indd I
08-04-11 13:28
COLOFON
art direction Ineke de Graaff, Amsterdam
ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor: Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie, en Hoger Beroepsonderwijs. Voor meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulenhoff.nl
opmaak binnenwerk Studio Imago, Amersfoort
ISBN 978 90 55 74642 2 Eerste druk, eerste oplage
ontwerp omslag en binnenwerk Studio Fraaj, Rotterdam
© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2011
redactie Bataille Tekst Etc., Utrecht
beeld omslag Studio Fraaj, Rotterdam
Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 jo het Besluit van 20 juni 1974, Stb. 351, zoals gewijzigd bij het Besluit van 23 augustus 1985, Stb. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.cedar.nl/pro). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.
Deze uitgave is voorzien van het FSCkeurmerk. Dit betekent dat de bosbouw voor het gebruikte papier op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.
12065_Rekenen een hele opgave.indd II
08-04-11 13:28
Woord vooraf Het in november 2010 verschenen Protocol Ernstige Reken- en Wiskundeproblemen en Dyscalculie (ERWD) zal het onderwijs de komende jaren bezighouden. Het brengt rekenen weer terug op de kaart en zal het nodige werk met zich meebrengen voor scholen en leerkrachten. Het protocol geeft richtlijnen en handvatten voor het ontwikkelen van een zo optimaal mogelijk reken- en wiskundeonderwijs voor kinderen van vier tot en met veertien jaar. Het bevat observatieschema’s om het reken- en wiskundeonderwijs te kunnen volgen, biedt analysemodellen om rekenproblemen te herkennen en ontrafelen en een didactisch model voor het begeleiden van kinderen met reken- en wiskundeproblemen. Met als doel de juiste en geëigende leerstappen te kunnen zetten en problemen al vroegtijdig te onderkennen. Basis voor dit alles vormt de handelingstheorie, die het mogelijk moet maken om kinderen op het juiste handelingsniveau te kunnen helpen. Dit boek sluit nauw aan bij deze handelingstheorie. Het is een voortzetting van de publicatie Rekenen: een hele opgave uit 2004 en maakt duidelijk dat rekenen inderdaad nog steeds een hele opgave is. De doelgroep waarvoor het boek geschreven is, is niet veranderd: leerkrachten (in opleiding), remedial teachers, opleiders en anderen die kinderen ondersteunen in hun rekenontwikkeling. De inhoud daarentegen richt zich vooral op de bovenbouw van de basisschool en de eerste leerjaren van het vmbo. Het gaat in dit boek vooral om het rekenen en minder om het leggen van een theoretische basis (die is te vinden in deel 1). Na de inleiding in hoofdstuk 1 ‘Rekenonderwijs: stand van zaken’ geven we in hoofdstuk 2 ‘Rekendiagnostiek en algemene richtlijnen voor handelen’ leerlijnen en leerdoelen, beschrijven we leerkrachtvaardigheden, geven we aanwijzingen voor het signaleren en analyseren van de problemen, beschrijven we de diagnostiek en geven we aanwijzingen voor het bieden van hulp. In de hoofdstukken 3 ‘Optellen en aftellen tot duizend en hoger’ en 4 ‘Vermenigvuldigen en delen tot duizend en hoger’ komen de basisbewerkingen optellen, aftellen, vermenigvuldigen en delen tot duizend (en hoger) aan de orde. Hoofdstuk 5 ‘Breuken, kommagetallen en procenten’ gaat over breuken, kommagetallen en procenten, met daarin onder meer het gebruik van een verhoudingstabel. We besteden in dit hoofdstuk ook uitgebreid aandacht aan de leerkrachtvaardigheden, vanuit de visie dat werken met breuken ‘vroeger’ op de basisschool niet het eenvoudigste onderdeel was en vaak geïnspireerd was op een vooral mechanistische werkwijze, waarin wellicht minder aandacht was voor het begrijpen van wat je deed. Hoofdstuk 6 ‘Rekenen met maten, geld en tijd’ gaat over rekenen met maten, geld en tijd. In dit hoofdstuk ontbreekt een instaptoets (behalve voor klokkijken), maar geven we wel aan welke toets je daarvoor kunt gebruiken, evenals de te
III
12065_Rekenen een hele opgave.indd III
08-04-11 13:28
bieden hulp. We verwijzen hier naar bestaande hulpmiddelen, omdat deze voldoende ondersteuning bieden en een goede opbouw kennen. Het laatste hoofdstuk 7 ‘Dyscalculie’ gaat over dyscalculie en bevat de definiëring van het begrip, geeft richtlijnen voor de herkenning ervan en gaat ook in op het bieden van hulp. We willen niet voor de processie (het protocol ERWD) uitlopen en beperken ons hierin tot wat algemene zaken. Deel 2 van Rekenen: een hele opgave wil vooral de dagelijkse onderwijspraktijk ondersteunen en biedt met name pragmatische, maar vaak ook praktische onderwerpen aan die een leerkracht in kan zetten in zijn didactisch handelen. We danken allen die ons met raad en daad bijstonden en ons in de soms moeilijke (en nachtelijke) uren ondersteunden bij het schrijven en uitwerken van het manuscript. Ons project zit erop, we rekenen nu op jou! Joep van Vugt Anneke Wösten Huizen / Utrecht, voorjaar 2011
IV
12065_Rekenen een hele opgave.indd IV
08-04-11 13:28
Inhoud Woord vooraf
III
Leeswijzer: toetsen en strategiekaarten 7 1 Rekenonderwijs: stand van zaken 9 1.1 1.2 1.3 1.4
Rekenen in het publieke debat 9 Referentieniveaus commissie Meijerink 12 Leerlijnen 14 Inhoud van dit boek 19
2 Rekendiagnostiek en algemene richtlijnen voor handelen 21 2.1 2.2 2.3
Rekenproblemen 21 Diagnostisch gesprek 22 Algemene richtlijnen bij handelen 26
3 Optellen en aftellen tot duizend en hoger 29 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Optellen en aftellen in de bovenbouw 29 Leerlijnen en leerdoelen voor optellen en aftellen tot duizend en hoger 32 Herkennen van problemen met optellen en aftellen 35 Diagnostiek van optellen en aftellen tot duizend 37 Hulp bieden bij optellen en aftellen 43
4 Vermenigvuldigen en delen tot duizend en hoger 47 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
Vermenigvuldigen en delen in de bovenbouw 47 Leerlijnen en leerdoelen voor vermenigvuldigen en delen tot duizend en hoger 55 Herkennen van problemen bij vermenigvuldigen en delen 58 Diagnostiek van vermenigvuldigen en delen tot duizend 60 Hulp bieden bij vermenigvuldigen en delen 65
5 Breuken, kommagetallen en procenten 69 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
Rekenen met breuken 69 Leerlijnen en leerdoelen voor leren van breuken 71 Herkennen van problemen bij het leren van breuken 74 Diagnostiek van het leren van breuken 75 Leerlijnen en leerdoelen voor het leren van kommagetallen 80 Herkennen van problemen bij het leren van kommagetallen 83 Diagnostiek van het leren van kommagetallen 83 Leerlijnen en leerdoelen voor het leren van procenten 85 Herkennen van problemen bij het leren van procenten 88
V
12065_Rekenen een hele opgave.indd V
08-04-11 13:28
5.10 Diagnostiek van het leren van procenten 88 5.11 Hulp bieden bij breuken, kommagetallen en procenten 91 5.12 RemediĂŤrende materialen 112
6 Rekenen met maten, geld en tijd 117 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Meten 117 Leerlijnen en leerdoelen voor meten, geld en tijd 119 Herkennen van problemen bij meten, geld en tijd 129 Diagnostiek van meten, geld en tijd 135 Hulp bieden bij rekenen met maten, geld en tijd 139
7 Dyscalculie 148 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
Wat is dyscalculie? 148 Wanneer is sprake van dyscalculie? 150 Hoe herken je dyscalculieproblemen? 152 Diagnostiek van dyscalculie 158 Hulp bieden bij dyscalculie 162
VI
12065_Rekenen een hele opgave.indd VI
08-04-11 13:28
Leeswijzer: toetsen en strategiekaarten
T S
Bij deel 2 van Rekenen: een hele opgave bieden we via internet toetsen en strategiekaarten (of hulpkaarten) aan. Aan het eind van deze leeswijzer staat beschreven hoe je deze kunt downloaden. In het boek zijn expliciete verwijzingen naar de toetsen en strategiekaarten opgenomen door middel van de volgende icoontjes: Toets Strategiekaart.
Toetsen De toetsen die op de website staan, kan een leerkracht afnemen bij kinderen op de basisschool. Ze gaan over de inhoudelijke thema’s in: ❍ hoofdstuk 3 (optellen en aftrekken); ❍ hoofdstuk 4 (vermenigvuldigen en delen); ❍ hoofdstuk 5 (breuken, kommagetallen en procenten); ❍ hoofdstuk 6 (klokkijken).
Strategiekaarten De strategiekaarten op de website zijn bedoeld voor leerlingen op de basisschool en passen in de trend van het gebruik van opzoek- of spiekboekjes. Het gaat om voorbeelden van strategiekaarten die wij samen met kinderen hebben gemaakt en gebruikt. ❍ In paragraaf 2.3.2 ‘Opzoek- en strategiekaarten’ vind je een korte uitleg over het gebruik van dit soort kaarten. ❍ Bij de hoofdstukken 3 tot en met 6 hebben we enkele strategiekaarten opgenomen. Deze dienen als voorbeeld en inspiratie om samen met het kind in zijn eigen woorden strategiekaarten te maken voor dát deel van de leerstof waar hij het voor nodig heeft. Deze kaarten vind je ook op de website.
Website De toetsen en de strategiekaarten die wij bij deze uitgave aanbieden, kun je vinden op de website www.thiememeulenhoff.nl, waar ze bij de titel Rekenen: een hele opgave, deel 2 als downloadable pdf’s zijn opgenomen. Je kunt dit op twee manieren bereiken, zie volgende pagina.
7
12065_Rekenen een hele opgave.indd 7
08-04-11 13:28
1 Ga naar www.thiememeulenhoff.nl. Typ in het zoekscherm dat verschijnt de titel Rekenen: een hele opgave, deel 2. De titel verschijnt op scherm (dit kan even duren). Rechts vind je de te downloaden pdf’s. 2 Ga naar www.thiememeulenhoff.nl. Klik op de tab: HBO. Klik op: Hoger Pedagogisch Onderwijs. Klik op: Rekenen Klik op de titel van het boek: Rekenen: een hele opgave, deel 2. De titel verschijnt op scherm (dit kan even duren). Rechts vind je de te downloaden pdf’s. ❍
❍
❍
❍
❍
8
12065_Rekenen een hele opgave.indd 8
08-04-11 13:28
1
Rekenonderwijs: stand van zaken
In dit eerste hoofdstuk gaan we in op recente ontwikkelingen in het rekenonderwijs en proberen we duidelijkheid te geven over de ontwikkeling van leerlijnen en het belang ervan voor de invulling van de dagelijkse rekenpraktijk. Het theoretisch kader voor dit boek hebben we in het eerste deel beschreven (Van Vugt en WĂśsten, 2004). In dit vervolg besteden we vooral aandacht aan het verwerven van de vaardigheden, zoals cijferen, breuken, kommagetallen en procenten, meten en meetkunde. Ook gaat het om een uitbreiding met nieuwe onderwerpen, zoals dyscalculie, en om een verdieping van de basisvaardigheden.
1.1 Rekenen in het publieke debat ‘Rekenen op basisschool dramatisch.’ Zo luidde in april 2006 een kop in de Volkskrant boven een artikel (Gerrits, 2006) met daarin de conclusies uit de Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau door het Cito onder ruim drieduizend kinderen van groep 8 (Janssen e.a., 2005). De kinderen beheersten alleen getallen en getalsrelaties veel beter dan in de vorige peiling van 1997. Ook in schattend rekenen, hoofdrekenen en werken met de rekenmachine waren ze de laatste jaren vooruitgegaan, maar die verbetering had zich al
9
12065_Rekenen een hele opgave.indd 9
08-04-11 13:28
grotendeels ingezet voor 1997. Maar een correcte op- of aftelsom maken, zat er nauwelijks in. In 1997 haalde hiervoor nog 41 procent een voldoende, in 2004 was dat nog maar 27 procent. Met vermenigvuldigen en delen ging het nog sneller bergafwaarts: slechts twaalf procent kon daar in 2004 voldoende mee uit de voeten, tegen 31 procent in 1997. De afgelopen jaren is er heel wat veranderd in het rekenonderwijs. Het traditionele cijferen kreeg veel minder aandacht, omdat werken met ‘kale’ rekensommen niet aan zou sluiten bij de eisen van de moderne tijd. Kinderen kregen hierdoor geen inzicht in de werkelijke waarde van de getallen. Wie het rekenregeltje goed hanteert, komt automatisch tot het goede antwoord, zonder dat je erover na hoeft te denken waarom je die stapjes neemt. Als je werkt volgens de principes van het realistisch rekenen, splits je een som op in deelsommen en behouden de getallen hun betekenis. Hoe reken je 7.849 gedeeld door 12 uit? Zo leren kinderen het nu: realistische oplossingswijze (een van de mogelijkheden). 7.849 100 x 1.200 – 6.649 500 x 6.000 – 649 50 x 600 – 49 4x 48 – 654 1
Zo leerde men het vroeger: traditionele staartdeling. 12 / 7.849 \ 654 72 64 60 49 48 1
Kinderen mogen zelf kiezen in hoeveel stappen ze het rekenvraagstuk oplossen: hoe beter ze zijn, des te groter de tussenstappen. Ook het ‘stampen’ van de tafels is niet meer nodig: als je weet dat 5 × 7 = 35 , kun je 6 × 7 makkelijk oplossen door er 1 × 7 bij op te tellen (Elzinga, 2006). Dat velen rekenen en wiskunde als een moeilijk vak zien, verbaast ons niet. En dat de een beter is in rekenen dan de ander ook niet. Wat ons wel verbaasde is de discussie die de afgelopen jaren - sinds het verschijnen van het eerste deel van Rekenen: een hele opgave oplaaide - over (de kwaliteit) van het huidige, realistische rekenonderwijs. Inmiddels lijken zich twee kampen af te tekenen die beide het gelijk aan hun zijde willen hebben en het de ‘gewone’ mensen moeilijk maken. In de pleidooien voor de eigen visie op de manier waarop kinderen rekenen aangeboden zouden moeten krijgen, lijkt
10
12065_Rekenen een hele opgave.indd 10
08-04-11 13:28
Inmiddels hebben allerlei wijze mannen en vrouwen zich over het rekenonderwijs gebogen, met name over de kwaliteit ervan. De KNAW beschrijft het dilemma op een bijna lyrische wijze: ‘Bezorgdheid over de rekenvaardigheid van kinderen heeft de laatste jaren geleid tot een publieke discussie over het rekenonderwijs in ons land’ (KNAW, 2009, p. 9). Uiteindelijk komt de onderzoekscommissie van de Akademie tot de conclusie dat (KNAW, 2009, p. 9): 1 De bezorgdheid over de rekenvaardigheid van basisschoolleerlingen op zijn plaats is. Nederland dreigt zijn sterke internationale positie te verliezen. Achteruitgang bij bewerkingen met grotere getallen en kommagetallen kun je niet rechtvaardigen door vooruitgang bij onderdelen als getalbegrip en schattend rekenen. Het rekenpeil kan en moet over de gehele linie omhoog. 2 Het publieke debat overdrijft de tegenstelling tussen de traditionele en de realistische rekendidactiek en gaat bovendien over het verkeerde onderwerp, namelijk een vermeend verschil in het effect van beide didactieken. Er is geen overtuigend verschil aangetoond. 3 De sleutel tot verbetering van de rekenvaardigheid ligt in het niveau van de leraar. De opleiding en nascholing van de leraar zijn in ernstige mate geërodeerd. Het Ministerie van OC&W dient de pabo-opleiding aan een grondig onderzoek te onderwerpen en nascholing in rekenvaardigheid en rekendidactiek krachtig te stimuleren.’
1 1 Rekenonderwijs:stand van zaken
alles te draaien om het al dan niet kunnen maken van een staartdeling. Gezien de vele reacties in tijdschriften en kranten gaat dit niet alleen mensen uit ‘Rekenland’ aan het hart. Robbert Dijkgraaf, president van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), verwoordt het in het Ten geleide bij het advies Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering als volgt: ‘De staartdeling is een regelmatige gast op de opiniepagina’ (KNAW, 2009, p. 5).
In het eerste deel van Rekenen: een hele opgave hebben wij geprobeerd de leerkracht voor de klas (en daarmee ook de pabostudent) meer inzicht te geven in zijn handelen. Ook in deel 2 doen we opnieuw een poging de leerkracht te ondersteunen en op weg te helpen bij de inrichting van het dagelijks rekenonderwijs. Het boek is echter geen haarlemmerolie en biedt geen oplossing voor alle rekenproblemen. Het wil voor de lezer een handreiking zijn voor de verbetering van zijn rekenonderwijs. We doen dit vanuit de praktijk van alledag, vanuit onze ervaring met het werken met kinderen en het plezier dat we beleven als ze weer op gang komen na een periode van ernstig ploeteren en twijfelen aan de eigen mogelijkheden en capaciteiten. Inmiddels is ook het Protocol Ernstige Reken- en Wiskundeproblemen en Dyscalculie (ERWD) verschenen (Van Groenestijn, 2010), en dat zal opnieuw aanleiding zijn het rekenonderwijs op de basisschool te onderwerpen aan zowel onderzoek als verbetering. We hopen met dit tweede deel van Rekenen: een hele opgave een bijdrage aan deze verbetering te kunnen leveren.
11
12065_Rekenen een hele opgave.indd 11
08-04-11 13:28
1.2 Referentieniveaus commissie
Meijerink In mei 2007 installeerde staatssecretaris Van Bijsterveldt van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (ook wel de commissie Meijerink genoemd). Deze groep moest de staatssecretaris adviseren over wat leerlingen op verschillende niveaus in hun schoolloopbaan moeten kennen en kunnen op het gebied van taal en rekenen. Tot dat moment was dit nog nergens goed en officieel vastgelegd, behalve rond het centraal eindexamen. Het in 2008 verschenen rapport van de commissie geeft aan wat leerlingen op belangrijke momenten in hun schoolloopbaan (de drempel/overgang tussen basisonderwijs, vmbo, mbo, vwo, hbo en universiteit) moeten kennen en kunnen (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008). Door het gemakkelijker kunnen nemen van deze drempels bezitten leerlingen een grotere kans op een optimale schoolloopbaan. De Expertgroep formuleert een viertal referentieniveaus waarmee deze drempels makkelijker te nemen zijn (afbeelding 1.1). Deze niveaus beschrijven de kennis en vaardigheden die de leerlingen op de drempelmomenten moeten beheersen en stellen daarmee een goede kennis van taal en rekenen veilig en zorgen ervoor dat deze kennis op niveau blijft. De niveaubeschrijvingen bieden bovendien houvast, omdat leerkrachten en docenten nu weten waar ze naartoe kunnen werken en op voort kunnen bouwen. Binnen de referentieniveaus onderscheidt de commissie een fundamentele en een streefkwaliteit. Deze kwaliteiten, acht in totaal, overlappen elkaar deels. De fundamentele kwaliteit (2F) is een kwaliteit die, bij beheersing ervan, een goede deelname aan het maatschappelijk functioneren mogelijk maakt en is een noodzakelijke voorwaarde voor het functioneren in de samenleving.
1.2.1 Eerste referentieniveau Het eerste referentieniveau (fundamentele kwaliteit niveau 1: 1F) betreft het primair onderwijs en heeft te maken met basiskennis en basisvaardigheden die alle kinderen moeten beheersen aan het einde van de basisschool. Voor een deel van de basisschoolleerlingen kan de lat wat hoger liggen (streefkwaliteit niveau 1: 1S). Het streefniveau is het niveau waar kinderen aan moeten voldoen om een goede aansluiting te krijgen op een hoger niveau. Als je bestaande leerlingvolgsystemen in het primair onderwijs afstemt op het referentiekader en als leerkrachten goed geschoold zijn in het gebruik van de gegevens uit deze systemen, ontstaat een goed en vroegtijdig zicht op eventuele tekortkomingen bij kinderen en kun je op basis hiervan remediĂŤrende maatregelen treffen.
12
12065_Rekenen een hele opgave.indd 12
08-04-11 13:28
1 1F eind basisonderwijs 1S
12 jaar 2
16 jaar 3
2F eind vmbo bb/kb mbo 1/2 3F eind havo mbo-4 3S
4F eind vwo 4S hbo wo
Algemeen maatschappelijk niveau
Drempels
Afbeelding 1.1 Referentieniveaus commissie Meijerink (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008)
1 1 Rekenonderwijs:stand van zaken
2S eind vmbo gl/tl
18 jaar
1.2.2 Tweede referentieniveau Het tweede referentieniveau (fundamentele kwaliteit niveau 2: 2F) is het perspectief voor leerlingen die deelnemen aan vmbo. Ook hier kan de lat voor een aantal leerlingen hoger liggen (streefkwaliteit niveau 2: 2S). De basisberoeps- en de kaderberoepsgerichte leerwegen van het vmbo bereiken de fundamentele kwaliteit van het tweede niveau. De gemengde en theoretische leerwegen bereiken de streefkwaliteit van het tweede niveau. Dit streefniveau overlapt het volgende fundamentele niveau grotendeels. De basiskennis en basisvaardigheden in het tweede referentieniveau (fundamentele kwaliteit) betreffen het niveau dat alle Nederlanders zouden moeten bereiken om goed in de samenleving te kunnen functioneren.
1.2.3 Derde referentieniveau Het derde referentieniveau (fundamentele kwaliteit niveau 3: 3F) bereiken leerlingen van de havo of het einde van mbo-4. Ook het derde referentieniveau kent een streefkwaliteit (streefkwaliteit niveau 3: S3). Deze streefkwaliteit overlapt deels het vierde referentieniveau.
1.2.4 Vierde referentieniveau Het vierde referentieniveau (fundamentele kwaliteit niveau 4: 4F) is bestemd voor leerlingen aan het einde van het vwo. Ook hier is sprake van een streefkwaliteit (streefkwaliteit niveau 4: 4S).
13
12065_Rekenen een hele opgave.indd 13
08-04-11 13:28
1.3 Leerlijnen Voor de leerlijnen betekent dit de volgende uitwerking op 1F-niveau, die als minimumdoelen richting kunnen geven aan het basisonderwijs (Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008, p. 53-59). Deze leerlijnen zullen na een grondige bediscussiĂŤring ervan, grote invloed hebben op de inrichting van het onderwijs, nieuwe methodes, enzovoort.
Getallen: notatie, taal en betekenis Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen. Symbolen, relaties en wiskundetaal gebruiken. Paraat hebben 5 is gelijk aan (evenveel als) 2 en 3. De relaties groter/kleiner dan. 0,45 is vijfenveertig honderdsten. Breuknotatie met horizontale streep, teller, noemer. Functioneel Uitspraak en schrijfwijze van gehele getallen, breuken, decimale getallen. gebruiken Getalbenamingen zoals driekwart, anderhalf miljoen. Weten waarom Orde van grootte van getallen beredeneren.
Getallen met elkaar in verband brengen Getallen en getalrelaties; structuur en samenhang. Paraat hebben Tienstructuur. Getallenlijn met gehele getallen en eenvoudige decimale getallen. Functioneel Getallenrij (aanvullen tot gevraagd getal). gebruiken
14
12065_Rekenen een hele opgave.indd 14
08-04-11 13:28
1 1 Rekenonderwijs:stand van zaken
Getallen gebruiken Memoriseren en automatiseren. Hoofdrekenen (noteren van tussenresultaten toegestaan). Hoofdbewerkingen (+, –, ×, :) op papier uitvoeren met gehele/decimale getallen en breuken. Berekeningen uitvoeren om problemen op te lossen. Rekenmachine op een verstandige manier inzetten. Paraat hebben Uit het hoofd splitsen, optellen en aftrekken onder 100, ook met eenvoudige decimale getallen: (12 = 7 + 5; 67 – 30 =; 1 – 0,25 =; 0,8 + 0,7 =). Producten uit de tafels van vermenigvuldiging (tot en met 10) uit het hoofd kennen: (3 * 5 =; 7 * 9 =). Delingen uit de tafels (tot en met 10) uitrekenen: (45/5 =; 32/8 =). Uit het hoofd optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met ‘nullen’, ook met eenvoudige decimale getallen (30 + 50 =; 1200 – 800 =; 65 * 10 =; 3600/100 =; 1000 * 2,5 =; 0,25 * 100 =). Efficiënt rekenen (+, – , *, /) gebruikmakend van de eigenschappen van getallen en bewerkingen, met e;envoudige getallen. Optellen en aftrekken (waaronder ook verschil bepalen) met gehele getallen en eenvoudige decimale getallen (235 + 349 =; 1268 – 385 =; € 2,50 + € 1,25 =). Vermenigvuldigen van een getal met één cijfer met een getal met twee of drie cijfers (7 * 165 =; 5 uur werken voor € 5,75 per uur). Vermenigvuldigen van een getal van twee cijfers met een getal van twee cijfers (35 * 67 =). Getallen met maximaal drie cijfers delen door een getal met maximaal drie cijfers, al dan niet met een rest: (132 / 16 =). Vergelijken en ordenen van de grootte van eenvoudige breuken en deze in betekenisvolle situaties op de getallenlijn plaatsen: 1/4 liter is minder dan 1 /2 liter. Omzetten van eenvoudige breuken in decimale getallen: 1 /2 = 0,5; 0,01 = 1/100. Optellen en aftrekken van veel voorkomende gelijknamige en ongelijknamige breuken binnen een betekenisvolle situatie: 1 /4 + 1/8 =; 1/2 + 3/4 =. In een betekenisvolle situatie een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal (deel van nemen): 1/3 deel van € 150. Functioneel Globaal (benaderend) rekenen (schatten) als de context zich daartoe leent gebruiken of als controle voor rekenen met de rekenmachine: Is € 10 genoeg? € 2,95 + € 3,98 + € 4,10 =; 1.589 – 203 is ongeveer 1.600 – 200. In contexten de “rest” (bij delen met rest) interpreteren of verwerken; Verstandige keuze maken tussen zelf uitrekenen of rekenmachine gebruiken (zowel kaal als in eenvoudige dagelijkse contexten zoals geld- en meetsituaties). Kritisch beoordelen van een uitkomst. Weten waarom Interpreteren van een uitkomst ‘met rest’ bij gebruik van een rekenmachine.
15
12065_Rekenen een hele opgave.indd 15
08-04-11 13:28
Verhoudingen: notatie, taal en betekenis Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen. Symbolen en relaties; wiskundetaal gebruiken. Paraat hebben Een vijfde deel van alle Nederlanders korter schrijven dan ‘1/5 deel van’. 3,5 is 3 en 5/10. ‘1 op de 4’ is 25 % of ‘een kwart van’. Geheel is 100 %. Functioneel Notatie van breuken (horizontale breukstreep/slash), decimale getallen gebruiken (kommagetal) en procenten ( %) herkennen. Taal van verhoudingen (per, op, van de). Verhoudingen herkennen in verschillende dagelijkse situaties (recepten, snelheid, vergroten/verkleinen, schaal, enzovoort).
Verhoudingen met elkaar in verband brengen Verhouding, procent, breuk, decimaal getal, deling, ‘deel van’ met elkaar in verband brengen. Paraat hebben Eenvoudige relaties herkennen, bijvoorbeeld dat 50 % nemen hetzelfde is als ‘de helft nemen’ of hetzelfde als ‘delen door 2’. Functioneel Beschrijven van een deel van een geheel met een breuk. gebruiken Breuken met noemer 2, 4, 10 omzetten in bijbehorende percentages. Eenvoudige verhoudingen in procenten omzetten; bijvoorbeeld 40 op de 400.
Verhoudingen gebruiken In context van verhoudingen berekeningen uitvoeren, ook met procenten/verhoudingen. Paraat hebben Rekenen met eenvoudige percentages (10 %, 50 %). Functioneel Eenvoudige verhoudingsproblemen (met mooie getallen) oplossen. gebruiken Problemen oplossen waarin de relatie niet direct te leggen is: 6 pakken voor € 18; voor 5 pakken betaal je dan ... Weten waarom Eenvoudige verhoudingen met elkaar vergelijken: 1 op de 3 kinderen gaat deze vakantie naar het buitenland. Is dat meer of minder dan de helft?
16
12065_Rekenen een hele opgave.indd 16
08-04-11 13:28
Meten en meetkunde: notatie, taal en betekenis Maten voor lengte, oppervlakte, inhoud en gewicht, temperatuur; tijd en geld. Meetinstrumenten en schrijfwijze en betekenis van meetkundige symbolen en relaties. Paraat hebben Uitspraak en notatie van: (euro)bedragen; tijd (analoog en digitaal); kalender, datum (11-08-2010); lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten; gewicht; temperatuur; omtrek, oppervlakte en inhoud; namen van enkele vlakke en ruimtelijke figuren, zoals rechthoek, vierkant, cirkel, kubus, bol; veelgebruikte meetkundige begrippen, zoals rond, recht, vierkant, midden, horizontaal, enzovoort. Functioneel Meetinstrumenten aflezen en uitkomst noteren: liniaal, maatbeker, gebruiken weegschaal, thermometer, enzovoort. Verschillende tijdseenheden (uur, minuut, seconde, eeuw, jaar, maand). Aantal standaard referentiematen gebruiken (‘een grote stap is ongeveer een meter’, in een standaard melkpak zit 1 liter). Eenvoudige routebeschrijving (linksaf, rechtsaf). Weten waarom Eigen referentiematen ontwikkelen, (‘in 1 kg appels zitten ongeveer 5 appels’). Een vierkante meter hoeft geen vierkant te zijn. Betekenis van voorvoegsels, zoals ‘kubieke’.
1
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
1 Rekenonderwijs:stand van zaken
❍
Meten en meetkunde: met elkaar in verband brengen. Meetinstrumenten gebruiken. Structuur en samenhang tussen maateenheden en verschillende representaties, 2D en 3D Paraat hebben 1 dm³ = 1 liter = 1.000 ml. 2D-representatie van een 3D-object, zoals foto, plattegrond, landkaart (inclusief legenda), patroontekening. Functioneel In betekenisvolle situaties samenhang tussen enkele (standaard)maten: km, m; gebruiken m, dm, cm, mm; l, dl, cl, ml; kg, g, mg. tijd (maanden, weken, dagen in een jaar, uren, minuten, seconden); afmetingen bepalen met behulp van afpassen, schaal, rekenen; maten vergelijken en ordenen. Weten waarom (Lengte)maten en geld in verband brengen met decimale getallen: 1,65 m is 1 meter en 65 centimeter; € 1,65 is 1 euro en 65 eurocent. ❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
17
12065_Rekenen een hele opgave.indd 17
08-04-11 13:28
Meten en meetkunde gebruiken Meten; rekenen in de meetkunde. Paraat hebben
❍
❍
❍
❍
Functioneel gebruiken
❍
❍
Schattingen maken over afmetingen en hoeveelheden. Oppervlakte benaderen via rooster. Omtrek en oppervlakte berekenen van rechthoekige figuren. Routes beschrijven en lezen op een kaart met behulp van een rooster. Veel voorkomende maateenheden omrekenen. Liniaal en andere veel voorkomende meetinstrumenten gebruiken.
Verbanden: notatie, taal en betekenis Analyseren/interpreteren van informatie uit tabellen/grafische voorstellingen en beschrijvingen. Veel Informatie uit veel voorkomende tabellen aflezen, zoals dienstregeling, voorkomende lesrooster. diagrammen en grafieken. Functioneel Eenvoudige globale grafieken en diagrammen (beschrijving van een situatie) gebruiken lezen en interpreteren. Eenvoudige legenda. Weten waarom Uit beschrijving in woorden eenvoudig patroon herkennen.
Verbanden leggen Verschillende voorstellingsvormen met elkaar in verband brengen. Gegevens verzamelen, ordenen en weergeven; patronen beschrijven. Paraat hebben Eenvoudige tabel gebruiken om informatie uit een situatiebeschrijving te ordenen. Functioneel Eenvoudige patronen (vanuit situatie) beschrijven in woorden, bijvoorbeeld: gebruiken vogels vliegen in V-vorm, ‘er komen er steeds 2 bij.’ Weten waarom Informatie op veel verschillende manieren ordenen en weergeven.
Verbanden gebruiken Tabellen, diagrammen en grafieken gebruiken bij het oplossen van problemen. Rekenvaardigheden gebruiken. Paraat hebben Eenvoudig staafdiagram maken op basis van gegevens. Functioneel Kwantitatieve informatie uit tabellen en grafieken gebruiken om eenvoudige gebruiken berekeningen uit te voeren en conclusies te trekken. Bijvoorbeeld: in welk jaar is het aantal auto’s verdubbeld ten opzichte van het jaar daarvoor?
18
12065_Rekenen een hele opgave.indd 18
08-04-11 13:28
1.4 Inhoud van dit boek
In dit boek houden we ons vooral bezig met de bovenbouw: met het voortgezet rekenen (rekenen tot en boven honderd). Doel is het verwerven van vaardigheden, zoals cijferen, breuken, kommagetallen en procenten, meten en meetkunde. We proberen aan te sluiten bij de werkwijze die we in deel 1 hanteerden. Het boek is ook nu bedoeld voor opleidingen, mensen uit de dagelijkse (reken)praktijk, beroepsbeoefenaars en andere geïnteresseerden.
1 1 Rekenonderwijs:stand van zaken
In dit boek gaan we niet meer in op onderwerpen die al in deel 1 aan de orde kwamen (realistisch rekenen, voorbereidend, aanvankelijk en voortgezet rekenen, rekentaal, anderstaligheid, rekenproblemen, rekenzorg, rekenhandelingen en rekeninstructie), maar gaan we verder waar we destijds stopten. Wel lichten we in hoofdstuk 2 ‘Rekendiagnostiek en algemene richtlijnen voor handelen’ het diagnostisch gesprek toe, omdat het voeren van een goed diagnostisch gesprek een vaardigheid is die van groot belang is bij het afstemmen van het onderwijs op de mogelijkheden van het kind.
In dit boek koppelen we de ideeën die we door het werken in de praktijk verworven hebben en de ideeën die de theorie ons leerde, aan de ontwikkeling van de reken- en wiskundekennis vanaf groep 4 in het basisonderwijs. Dit boek wil geen uitputtende handleiding zijn, maar ideeën aandragen, vragen opwerpen en discussie uitlokken die een verdere ontwikkeling van ieders persoonlijke (didactische) vaardigheden mogelijk maken.
De symbolen × en : In plaats van de symbolen × en : prefereren wij de symbolen * en /. Zoals in 8 * 7 = 56 en 54 / 9 = 6. Het is eigenlijk vreemd dat we bij rekenen × en : gebruiken, terwijl we in de toepassing de symbolen * en / gebruiken, zoals in programma’s als Excel, bij rekenmachines en op het (rechtergedeelte van het) toetsenbord. Het gebruik van / bij delen heeft verder als voordeel dat de relatie tussen delen en breuken meteen vanaf het begin aanwezig is. 6 / 2 = 3, zoals ook 6 halven samen 3 helen zijn. En bij 1 / 3 krijgt ieder een derde. Maar omdat het gebruik van de symbolen × en : in de rekenmethoden gangbaar is, sluiten we ons hier in dit boek bij aan. Beide notaties komen dan voor in het boek.
19
12065_Rekenen een hele opgave.indd 19
08-04-11 13:28
Geraadpleegde literatuur Elzinga, A., ‘Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool, vierde peiling in 2004’. In: J/M, juni 2006 Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, Over de drempels met taal en rekenen. Hoofdrapport van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. Enschede: Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2008 Gerrits, R., ‘Rekenen op basisschool dramatisch’. In: de Volkskrant, 3 april 2006 Groenestijn, M. van, Protocol Ernstige Reken- en Wiskundeproblemen en Dyscalculie. Utrecht: Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-WiskundeOnderwijs (NVORWO), 2010 Janssen, J., F. van der Schoot en B. Hemker, Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau. Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4. Arnhem: Cito, 2005 KNAW (Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen), Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: KNAW, 2009 Ruijssenaars, A. en M. van Groenestijn. ‘Het belang van een landelijk gedragen protocol ernstige rekenproblemen en dyscalculie’. In: Groenestijn, M. van en J. Vedder (red.), Dyscalculie in discussie. Deel 2. Assen: Van Gorcum, 2008 Vugt, J. van en A. Wösten, Rekenen: een hele opgave. Deel 1. Baarn: HB Uitgevers, 2004
20
12065_Rekenen een hele opgave.indd 20
08-04-11 13:28
2
Rekendiagnostiek en algemene richtlijnen voor handelen
Bij kinderen met rekenproblemen is het belangrijk om samen met het kind in kaart te brengen wat zijn vorderingen zijn, wat hij nog moet oefenen, welke strategieën hij kan inzetten en welke instructie hij nodig heeft. Het voeren van een diagnostisch gesprek is hierbij van groot belang. Daarom besteden we daar in dit hoofdstuk apart aandacht aan. Tevens geven we hier algemene richtlijnen voor het geven van hulp aan kinderen met rekenproblemen.
2.1 Rekenproblemen Rekenproblemen zijn vaak al snel zichtbaar. Kinderen hebben bijvoorbeeld al vroeg: ❍ problemen met het onthouden van feiten (moeite met tot 20 heen- en terugtellen, moeite met tellen met sprongen, de splitsingen tot 10 niet kunnen onthouden, enzovoort); ❍ moeite met werken met procedures (werken met dubbelen, werken met de 10– of 10+ strategie (29 + 8 = 30 + 8 – 1); ❍ moeite met het overzien van de taak waar ze mee bezig zijn (zich niet orienteren op een taak, moeilijk kunnen inschatten of een gegeven antwoord wel mogelijk is).
21
12065_Rekenen een hele opgave.indd 21
08-04-11 13:28
Deze problemen kun je vaak al op heel jonge leeftijd zien. De kinderen hebben dan moeite met het onthouden van wat of hoe ze iets moeten doen, en ‘vergeten’ wat ze ‘gisteren’ leerden. Het is normaal dat dit soort problemen voorkomen. Goed onderwijs kan ze voorkomen of de gevolgen ervan beperken. Het is belangrijk te voorkomen dat deze problemen steeds groter worden, verharden en lang voortbestaan, omdat ze dan steeds moeilijker zijn aan te pakken. In een klas of groep kom je regelmatig leerproblemen tegen. Het is steeds de vraag, hoe adequaat een individuele leerkracht hiermee omgaat of erop inspringt. Door vroegtijdige onderkenning van problemen en deskundig handelen kun je veel leed voorkomen. Vroegtijdige onderkenning vraagt om voortdurend en systematisch observeren en het vaststellen van drempels op basis waarvan je een achterstand kunt bepalen ten opzichte van de gewenste leerlijn of het programma waarmee je werkt. Zodra je ziet dat de ontwikkeling van een kind langzamer verloopt dan wenselijk is, of zelfs stagneert, moet je je didactiek aanpassen. Voor informatie over observeren, de opbouw van een les en het aanpassen van instructie voor zwakke rekenaars verwijzen we naar deel 1 van Rekenen: een hele opgave (Van Vugt en Wösten, 2004).
2.2 Diagnostisch gesprek Om de instructie aan te kunnen passen aan de mogelijkheden en de instructiebehoefte van het kind, moet je zicht hebben op zijn denkproces en op de beheersing van de (deel)vaardigheden die nodig zijn voor het oplossen van een vraagstuk. Om dit in kaart te brengen, kun je een diagnostisch gesprek voeren met het kind. Tijdens het diagnostisch onderzoek staan denk- en rekenwijze (het rekenproces) van het kind centraal. De vragen die je stelt, zijn handelingsgericht en sluiten aan bij de handelingen van kinderen. Niet alleen bij wat ze doen, maar vooral ook bij wat ze zeggen en denken. Om vast te stellen wat kinderen kennen en kunnen, ben je tijdens een diagnostisch gesprek alert op goede en foute antwoorden. Zowel goede als foute antwoorden kunnen op verschillende handelingen gebaseerd zijn. Alle handelingen kunnen in principe goed zijn en tot een goede uitkomst leiden, maar ze kunnen verschillen in kwaliteit. Sommige handelingen voer je op mentaal niveau uit (‘uit je hoofd’), andere op materieel niveau (zie ook paragraaf 1.8 ‘Handelingen’ van deel 1). Ook verschilt de opbouw, de samenhang tussen en de wijze van uitvoering van de handelingen. Door systematisch aandacht te besteden aan het handelen van kinderen kun je de verschillen tussen kinderen zichtbaar maken.
22
12065_Rekenen een hele opgave.indd 22
08-04-11 13:28
2.2.1 Taakanalyse
0 Theezetten STAP 0 Voer 1 uit en tegelijkertijd: voer 2 - 3 - 4 - 5 uit. Na vier of vijf minuten: voer 6 uit. 1 Water koken
2 Theepot leeggieten (als hij nog vol was)
3 Thee in pot doen
4 Water opgieten
5 Wachten
1.4 Wachten
1.5 Gas uitzetten
6 Thee inschenken
STAP 1 Bestaat uit 1.1 - 1.2 - 1.3 - 1.4. Als het water kookt: 1.5. 1.1 Ketel vullen
1.2 Gas aanzetten
1.3 Ketel op gas zetten
2 2 Rekendiagnostiek en algemene richtlijnen voor handelen
Een diagnostisch gesprek is opgebouwd op basis van een taakanalyse: een analyse van de wijze waarop mensen een taak uitvoeren en een beschrijving van de problemen die ze bij de uitvoering van de taak ondervinden. Een taakanalyse beschrijft wat iemand in termen van handelingen en/of cognitieve processen achtereenvolgens behoort te doen om zijn taak succesvol uit te voeren. Deze analyse leidt tot een stroomdiagram of stappenplan van het te doorlopen proces. Het is tegelijkertijd een draai- of spoorboek voor je onderzoek: je brengt de weg in kaart waarlangs je onderzoek verloopt en waarlangs je het diagnostisch gesprek voert. Elke vaardigheid of taak kun je opdelen in onderdelen. Deze onderdelen vormen de concrete afzonderlijke stappen die nodig zijn om de vaardigheid aan te leren en uit te voeren. Het is daarbij verstandig jezelf eerst een beeld te vormen van de volgorde waarin een kind de verschillende stappen van een vaardigheid het beste kan aanleren. Bijvoorbeeld met behulp van een leerlingenoverzicht of stappenplan. In afbeelding 2.1 zie je een voorbeeld van een taakanalyse van de vaardigheid ‘theezetten’.
Afbeelding 2.1 Taakanalyse theezetten Zo’n taakanalyse is niet altijd in afgeronde en kleine stapjes voorhanden. De leerlijnen in een methode zijn niet altijd even zichtbaar of beschikbaar. En als dat wel zo is, liggen de verschillende stappen soms zover uiteen dat ze zeker voor kinderen met rekenproblemen nauwelijks te bevatten zijn. Dit betekent dat je dan zelf aan het werk moet.
23
12065_Rekenen een hele opgave.indd 23
08-04-11 13:28
De eerste stap bestaat uit het uiteenleggen van de rekenopgave in deelstappen. Je vraagt je af welke opgaven je moet kennen of kunnen om deze opgave tot een goed eind te brengen (voorwaarden of bouwstenen). Deze brainstormronde leidt tot een aantal opgaven die om ordening of prioritering vragen. Je legt als het ware de vaardigheid als taak met behulp van bijvoorbeeld een taakschema uiteen in de kleinst mogelijke stappen, en brengt vervolgens de ordening in beeld. Om het voeren van een diagnostisch gesprek te vergemakkelijken, hebben we bij de volgende hoofdstukken toetsen opgesteld waarbij de taakanalyse al gemaakt is. Bij de basisbewerkingen optellen, aftellen, vermenigvuldigen en delen zijn hierbij naast de ordening in stappen ook de door kinderen en rekenmethoden meest gebruikte strategieën opgenomen.
2.2.2 Opbouw diagnostisch gesprek In het diagnostisch gesprek gebruik je een taakanalyse als onderzoeksleidraad en ga je na, hoe een kind de stappen achtereenvolgens uitvoerde om het probleem op te lossen. Je begint met de moeilijkste opgave (je einddoel). Van tevoren moet je helder hebben welk criterium je hanteert om te kunnen duiden of een kind een opgave beheerst of niet beheerst (bijvoorbeeld tachtig procent van de aangeboden reeks goed). Ook probeer je te achterhalen welke strategie het kind toepast en beoordeel je of dit een al dan niet gewenste (lees: te verkorten) strategie is. Je moet daarom verschillende opgaven aanbieden om je beeld te completeren. Bij gebruik van een slechts beperkt aantal opgaven kom je hooguit iets te weten over de manier waarop het kind opgaven oplost, maar niet: ❍ waarom het zo handelt (dit is van belang als je wilt weten of het om een niet-gewenste handeling gaat); ❍ of het over kennis beschikt waarmee het anders zou kunnen handelen (dit is belangrijk om te weten als je een kind wilt helpen). Het aanbieden van een reeks opgaven met allerlei gradaties in relatie tot de opgave waarmee je het diagnostisch gesprek begon, is een techniek waardoor je meer zicht krijgt op het actuele en feitelijke handelen bij opgaven, maar ook op het potentiële handelen bij dezelfde opgaven. Om de didactiek goed op het (zorg)kind af te stemmen, geven zowel de Kwantiwijzer voor leerkrachten (Van der Berg et al, 1992) als Van Luit (2002) een aantal technieken die helpen bij het in kaart brengen van het (mogelijk) handelen van het kind: ❍ observeren van taakaanpak (oriënteren en controle, onthouden van tussenstappen) en materiaalgebruik (bijvoorbeeld kralensnoer, vingers); ❍ bevragen van het denkproces (hardop verwoorden van de rekenstappen tijdens het maken van de opgave of achteraf verwoorden van het denkproces);
24
12065_Rekenen een hele opgave.indd 24
08-04-11 13:28
❍ bespiegelen op gemaakte opgaven (welke opgave was het moeilijkst of makkelijkst, wat is een prettige strategie, wat vind je van de strategie van een ander kind, klopt het als ik opschrijf dat jij … doet?).
Bij het aanleren van de strategie spreekt Van Luit (2002) in dit verband van modelleren. Van Luit (2002) geeft vijf stappen aan bij het modelleren die je al dan niet volledig kunt doorlopen, afhankelijk van de ‘leerbaarheid’ van het kind: 1 De leerkracht doet voor hoe het moet, terwijl hij ook uitspreekt wat hij aan het doen is. De kinderen kijken en luisteren. 2 De leerkracht en het kind voeren de taak tegelijkertijd uit, terwijl ze verwoorden wat ze aan het doen zijn. Door het samen te doen, ziet het kind wat het moet doen en kan het meteen de goede manier overnemen. Aanvankelijk zal de leerkracht het voortouw nemen, maar uiteindelijk zal het kind het voornamelijk zelf doen. Het handelen en verwoorden van de leerkracht hebben dan nog een controlerende functie. 3 Het kind handelt en verwoordt, terwijl de leerkracht alleen nog maar handelt. Wanneer het kind het niet meer weet, kan het even naar de handelingen van de leerkracht kijken.
2 2 Rekendiagnostiek en algemene richtlijnen voor handelen
Naast deze technieken mag je tijdens het diagnostisch gesprek hulp bieden als een kind vastloopt. Het bieden van hulp geeft veel informatie over de instructiebehoefte van het kind. De mate waarin je hulp biedt, hangt af van het kind. Wanneer de eerste stap niet aanslaat, bied je een tweede vorm van hulp aan. Door de hulp stapsgewijs aan te bieden, kun je precies in kaart brengen welk type hulp een kind nodig heeft om een bepaald type opgave zelfstandig op te leren lossen. Je vraagt je hierbij achtereenvolgens af: ❍ Lukt het wel wanneer ik een vergelijkbare opgave aanbied (met iets makkelijker getallen)? Kan het kind vervolgens ook de oorspronkelijke opgave oplossen omdat het nu weet welke stappen het moet nemen? (Het gebruik van een voorbeeld met kleine getallen is vooral belangrijk bij contextopgaven met grote getallen. Wanneer je de grote getallen vervangt door getallen tot 100, snappen veel kinderen wel hoe ze de opgave uit moeten rekenen en vervolgens weten ze ook de aanpak bij de opgave met grotere getallen.) ❍ Lukt het wanneer ik visualiseer met behulp van een geschikt model of geschikt materiaal? Kan het kind daarna ook een opgave maken zonder gebruik van het materiaal of zonder naar het materiaal te kijken? Een tussenstap hierbij kan zijn dat je de benodigde kennis ophaalt door iets te zeggen in de trant van: ‘Dat waren die sommen waarbij de juf het geld wisselde omdat ze anders het wisselgeld niet terug kon geven.’ ❍ Lukt het wanneer je samen met het kind mogelijke strategieën bespreekt (aanreikt) en je samen afspreekt welke voor hem geschikt is en waar hij op moet letten. Kan het kind deze strategie vervolgens zelfstandig en succesvol toepassen bij een vergelijkbare opgave? ❍ Lukt het wanneer je precies voordoet hoe het kind deze opgave aan moet pakken; wanneer je dus een strategie aanleert?
25
12065_Rekenen een hele opgave.indd 25
08-04-11 13:28
4 Het kind handelt en verwoordt zachtjes. Het verwoorden en handelen is ontdaan van overbodige stappen en verloopt steeds kernachtiger. 5 Het kind handelt grotendeels mentaal. Het kind begeleidt in het hoofd door het opsommen van de kernwoorden. Er is sprake van zelfinstructie.
2.3 Algemene richtlijnen bij handelen Wanneer je kinderen met rekenproblemen gaat helpen, is het in de eerste plaats van belang zo dicht mogelijk bij de methode te blijven. De huidige rekenmethoden bieden over het algemeen extra leerstof aan voor kinderen die meer herhaling nodig hebben. Dit materiaal is geschikt voor kinderen die de stof op zichzelf wel beheersen, maar herhaling nodig hebben om tot een vlottere uitwerking te kunnen komen. Bij deze kinderen is het herhalen van de voorwaarden ook vaak van belang.
2.3.1 Aangepaste instructie Alleen het maken van extra oefenstof is echter vaak niet genoeg voor de probleemkinderen. Zij hebben extra sturing nodig in de voor hen vaak ondoorzichtige brij van getallen, formules en modellen. Dit betekent dat je de instructie moet aanpassen. Voor algemene aanpassingen voor het onderwijs aan zwakke rekenaars verwijzen wij naar Rekenen: een hele opgave, deel 1. Didactische aanwijzingen voor het aanpassen van de instructie die zijn afgestemd op het individuele kind, vind je in de vorige paragraaf. Door de leerstof voor te bespreken (voorinstructie of pre-teaching) en nog eens te herhalen (extra instructie of re-teaching), geef je voor de zwakkere rekenaars de hoofdlijnen aan en herhaal je de belangrijkste strategieĂŤn nog eens extra. Veel basisscholen passen deze vormen van instructie al toe. Ze vereisen een zelfstandige werkhouding van de kinderen die niet aan deze extra instructie hoeven deel te nemen. Wanneer hiervan sprake is, is het goed mogelijk in kleine groepjes instructie te geven over de onderdelen waar die kinderen moeite mee hebben. Hiervoor kun je heel goed de reguliere rekenmethode gebruiken. Je moet daarvoor wel beschikken over kennis van de gebruikte leerlijnen. Je moet immers makkelijk kunnen teruggrijpen op dat wat eerder is aangeboden. Zwakke rekenaars vinden het leggen van verbanden tussen eerder geleerde kennis en aangeboden leerstof vaak erg moeilijk. Met de kennis van de leerlijnen kan de leerkracht samen met de kinderen bespreken welke vaardigheden ze nodig hebben bij het oplossen van de sommen, welke strategieĂŤn zij al beheersen en hoe zij de leerstof moeten aanpakken.
26
12065_Rekenen een hele opgave.indd 26
08-04-11 13:28
2.3.2 Opzoek- en strategiekaarten Om overzicht te houden over de mogelijke strategieën bij de verschillende bewerkingen en rekenonderdelen, kun je samen met een individueel kind opzoek- of strategiekaarten aanleggen en deze per onderdeel bewaren in een multomap van A5-formaat (21 × 15 cm). Per onderdeel maak je samen een keuze van de mogelijke strategie(ën). Hierbij is het belangrijk dat je samen met het kind de stappen verwoordt die híj moet nemen om tot een oplossing te komen, en bijvoorbeeld ook aangeeft hoe hij zijn beperkingen kan omzeilen (gebruik tafelkaart) en fouten kan voorkomen (bijvoorbeeld door een opmerking als: ‘Zet netjes onder elkaar’).
S
Op de website vind je voorbeelden van strategie- of opzoekkaarten zoals wij die gebruikt hebben bij individuele kinderen. Je kunt ze samen met het kind aanpassen naar eigen behoefte. We pretenderen hierbij niet volledig te zijn. De kaarten dienen vooral als voorbeeld en inspiratie om samen met het kind in eigen woorden strategiekaarten te maken.
2 Rekendiagnostiek en algemene richtlijnen voor handelen
De voordelen van een multomap boven de fotomapjes (13 × 15 cm) die je veel ziet bij kinderen die remediëring krijgen, zijn: ❍ A5-formaat geeft net wat meer ruimte om zelf de stappen te verwoorden en om op dezelfde pagina handige ‘weetjes’ op te schrijven. Het is daarbij klein genoeg om naast het schrift en het boek op de tafel van het kind te gebruiken. ❍ In een ringband kun je de verschillende onderdelen (+, – , ×, :, tijd, breuken, enzovoort) makkelijk ordenen met behulp van tabbladen. Dit vergemakkelijkt het opzoeken. ❍ In een ringband kun je gemakkelijk strategiekaarten toevoegen bij de verschillende onderdelen. Bij fotomapjes moet je alles doorschuiven om bij het desbetreffende onderdeel ruimte te maken. Tevens kun je de kaarten die het kind niet meer nodig heeft (omdat de handeling geautomatiseerd is) naar achteren verschuiven zonder dat ‘er gaten vallen’.
2
2.3.3 Alternatieve routes De meeste kinderen zullen met aangepaste instructie (op basis van het diagnostisch gesprek), beperkte verwerkingsstof (alleen de stof voor de in de methode gegeven minimumdoelen) en extra oefening van de basisvaardigheden met de groep mee kunnen doen. Het grote voordeel hiervan is dat er meer instructie mogelijk is (samen met enkele andere kinderen van de klas) en dat het kind kan leren van de handelingen van de andere kinderen. Kan een kind geen gelijke tred met de groep houden, dan moet je er als leerkracht zorg voor dragen dat het de leerdoelen in een eigen, wellicht langzamer tempo bereikt. Als de ontwikkeling van het kind vast dreigt te lopen, is het noodzakelijk je doelen bij te stellen en alternatieve routes uit te zetten. Daarvoor is kennis van leerlijnen nodig, alsmede kennis van de consequen-
27
12065_Rekenen een hele opgave.indd 27
08-04-11 13:28
ties die het volgen van een afwijkende leerlijn voor een kind met zich meebrengen. Door vroegtijdige onderkenning van problemen kun je alternatieve routes uitzetten, beginnende problemen ondervangen en wellicht erger voorkomen (Ruijssenaars en Van Groenestijn, 2008).
Geraadpleegde literatuur Berg, W. van der, D. van Eerde en S. Lit, Kwantiwijzer voor leerkrachten. Tilburg: Zwijsen, 1992 Luit, J.E.H. van, ‘Dyscalculie: stagnaties in het leren rekenen’. In: IJzendoorn, M.H. van en H. de Frankrijker (red.), Pedagogiek in beeld, pp 349-362. Houten: Bohn Stafleu Van Loghum, 2002 Ruijssenaars, A. en M. van Groenestijn. ‘Het belang van een landelijk gedragen protocol ernstige rekenproblemen en dyscalculie’. In: Groenestijn, M. van en J. Vedder (red.), Dyscalculie in discussie. Deel 2. Assen: Van Gorcum, 2008 Ruijssenaars, A., J. van Luit en E. van Lieshout, Rekenproblemen en dyscalculie. Theorie, onderzoek, diagnostiek en behandeling. Rotterdam: Lemniscaat, 2006 Vugt, J. van en A. Wösten, Rekenen: een hele opgave. Deel 1. Baarn: HB Uitgevers, 2004
28
12065_Rekenen een hele opgave.indd 28
08-04-11 13:28
3
Optellen en aftellen tot duizend en hoger
Optellen en aftellen in de bovenbouw bouwt voort op wat de kinderen in de middenbouw hebben geleerd. Het aantal strategieĂŤn om tot een goede oplossing te komen, neemt toe. Om het leerproces van de kinderen te kunnen begeleiden, is het van belang dat de leerkracht op de hoogte is van de leerlijnen en weet welke strategieĂŤn gewenst zijn. Dit hoofdstuk wil een houvast bieden bij het signaleren van problemen op het gebied van optellen en aftellen en het in kaart te brengen van handelingen van kinderen, zodat je de hulp aan het kind goed af kunt stemmen op zijn specifieke probleem.
3.1 Optellen en aftellen in de
bovenbouw Optellen en aftellen tot duizend is in feite niet veel anders dan optellen en aftellen tot honderd, ware het niet dat door de uitbreiding van het getalgebied ook het aantal mogelijke strategieĂŤn zich uitbreidt. Het is erg belangrijk dat de kinderen dit beseffen en zich niet door de grootte van de getallen laten afschrikken. Een belangrijk deel van de didactiek ligt dan ook in het leggen
29
12065_Rekenen een hele opgave.indd 29
08-04-11 13:28
van de relatie met de sommen tot honderd en het uitbreiden van het getalbegrip en de (hoofdreken)strategieën die de kinderen al beheersen. Een belangrijk verschil met rekenen tot honderd is dat er in de reguliere rekenmethoden bij rekenen tot duizend naast schattend rekenen en hoofdrekenen ook sprake is van cijferen en werken met de rekenmachine. Zoals bij rekenen tot honderd moeten de kinderen zich, voordat ze een opgave uitrekenen, eerst oriënteren op de opgave: moet ik optellen of aftellen? Dit is vooral bij contextsommen voor sommige kinderen erg moeilijk. Maar ook bij kale sommen kunnen kinderen in de problemen komen wanneer ze zich niet eerst oriënteren. Dit is te zien in het eerste rijtje van het voorbeeld in afbeelding 3.1, dat buitengewoon lastig is uit te rekenen wanneer je dit gaat optellen in plaats van aftellen.
Afbeelding 3.1
Oriënteren voordat je gaat uitrekenen
Afbeelding 3.1 laat ook zien dat het belangrijk is dat een kind zich afvraagt of het een bijzondere som is of niet. Hierbij moet het bedenken hóe hij die opgave het snelst kan oplossen. In dit voorbeeld gaat het in opgave 1 om wat we ook wel ‘bijna-verdwijn-sommen’ noemen. In dit geval kunnen de kinderen dit het snelst oplossen met behulp van ‘doortellen’ of ‘terugtellen’. Bij opgave 2 staat het woord ‘ongeveer’, wat betekent dat de kinderen kunnen volstaan met een snelle schatting. Met dit voorbeeld willen we het belang benadrukken van het bewust kunnen kiezen uit verschillende oplosmanieren. Realistisch rekenen heeft tot doel de kinderen gecijferd te maken. Flexibel om kunnen gaan met verschillende oplosmanieren is hier een van de belangrijkste onderdelen van. De verschillende oplosmanieren zijn onder andere handig rekenen, kolomsgewijs rekenen, schattend rekenen en cijferen.
3.1.1 Hoofdrekenen en schattend rekenen Hoofdrekenen en schattend rekenen zijn beide flexibele vormen van rekenen waarbij de opgave richting geeft aan de keuze van de oplosstrategie. Opgaven met getallen in de buurt van een honderdtal moeten bij de kinderen een
30
12065_Rekenen een hele opgave.indd 30
08-04-11 13:28