DAN CRYAN, SHARRON SHATIL & BILL MAYBLIN
EIN SACHCOMIC
Was ist Logik? Nichts gehört natürlicher zu einem Gespräch als Argumente. Wir ver suchen die Person, mit der wir diskutieren, davon zu überzeugen, dass wir Recht haben, dass unser Schluss aus etwas folgt, das sie akzeptieren. Das wäre zwecklos, wenn wir nicht erklären könnten, wann eine Sache aus einer anderen folgt. Vieles was im Gespräch als Argument durchgeht, erfüllt diese Bedingung nicht. Eigentum ist Diebstahl. Deswegen ist Diebstahl Eigentum.
Also gehören diese Perlen mir.
Das ist natürlich Unsinn, weil es nichts gibt, was die Wahrheit der Konklusion mit der Wahrheit der zugrunde liegenden Annahmen verbindet. Was wir sicherstellen müssen ist, dass die Wahrheit der zugrunde gelegten Annahmen durch das Argument hindurch erhalten bleibt. Logik ist die Untersuchung solcher wahrheitserhaltender Argumente. 3
Die Untersuchung von Sätzen Der griechische Philosoph Aristoteles (384-322 v. Chr.) brachte uns als Erster auf die Idee eines Werkzeugs (organon) zur Bildung überzeugender Argumente. Seine Untersuchung schließt die Grammatik, die Rhetorik und eine Theorie der Interpretation ebenso ein, wie die Logik. Als erstes diskutiert Aristoteles Sätze: Es gibt 3 Arten von Sätzen
1. Singular: Sokrates ist ein Mensch. 2. Universalie: Alle Menschen sind sterblich. 3. Partikular: Einige Menschen sind sterblich.
Mit jedem dieser Satztypen sagen wir, dass etwas oder einige Dinge von einer bestimmten Art sind.
Die Gegenstände über die wir sprechen (z.B. Nomen wie Sokrates und Tische, abstrakten Nomen, wie Laufen, und Pronomen wie einige und jeder) bezeichnet Aristoteles als Subjekt des Satzes. Was wir über das Subjekt des Satzes aussagen (z.B. Verben wie isst, ist gefallen; Adjektiven wie ist schwierig; und Nomen wie Mensch in Dingen wie „Sokrates ist ein Mensch“) bezeichnet Aristoteles als Prädikat. 4
Das logische Quadrat Aristoteles beobachtete, dass die Wahrheit einiger Subjekt-Prädikat-Sätze Auswirkungen auf die Wahrheit anderer Subjekt-Prädikat-Sätze hat.
Die folgenden Sätze stehen in ganz bestimmten Beziehungen zueinander. Ich bezeichne diese als logisches Quadrat.
Die Sätze 1 und 2 können nicht beide zugleich wahr sein. Die diagonal verbundenen Äußerungen 1 und 4 nennt man Kontradiktionen. Solange es Menschen gibt, muss eine von beiden wahr sein, es können aber niemals beide wahr sein- die Wahrheit der einen garantiert die Falschheit der anderen. Dasselbe gilt für die Äußerungen 2 und 3. Die Sätze 1 und 3 können nicht zugleich falsch, aber zugleich wahr sein. Wenn 1 wahr ist, ist auch 3 wahr, aber nicht umgekehrt. Genauso verhält es sich mit 2 und 4. Dieselbe Beziehung besteht auch zwischen „Alle Menschen sind sterblich“ und „Sokrates ist sterblich“. 5
Der Syllogismus Beim Gebrauch des logischen Quadrats beobachtete Aristoteles eine rätselhafte Tatsache. Nehmen wir einen Satz wie „Sokrates ist ein Mensch“. Wenn ein Argument aus drei Äußerungen gebildet wird, wobei das Subjekt der ersten Äußerung Prädikat der zweiten ist (diese nennt man Prämissen) und die dritte Äußerung sich aus den übrigen Ausdrücken zusammensetzt (diese nennt man Konklusion), dann wird die Wahrheit der Konklusion durch die Wahrheit der Prämissen garantiert. Dieses Schema bezeichne ich als einen Syllogismus. Man kann es verwenden, um herauszufinden, warum ein Argument wahr und ein anderes falsch ist.
1. Alle Menschen sind sterblich. 2. Sokrates ist ein Mensch. 3. Sokrates ist sterblich.
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1. Jede Seite dieses Buches ist mit schwarzer Tinte bedruckt. 2. Manche Seiten sind nicht mit schwarzer Tinte bedruckt. 3. Das sind keine Seiten aus diesem Buch.
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1. Ich unterstütze Arsenal. 2. Arsenal ist in London. 3. Arsenal wird den Pokal holen.
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Aristoteles ließ konditionale Äußerungen unberücksichtigt, die mehr als ein Prädikat enthalten, wie z.B. „Wenn Sokrates ein Mensch ist, dann ist Sokrates sterblich“ 6
Es gibt nun zwei Gründe, aus denen das Argument „Arsenal ist in London, also wird Arsenal den Pokal holen“ falsch ist. Der erste ergibt sich aus dem, was tatsächlich gesagt wird. Die Tatsachen, dass ich Arsenal unter stütze und dass Arsenal in London ist, können in keiner Weise garantieren, dass Arsenal den Pokal holen wird. Hinzu kommt der formale Grund, dass das Prädikat der ersten Prämisse nicht das Subjekt der zweiten ist. Ja, aber das ist gültig...
1. Wenn ich Arsenal unterstütze, werden sie den Pokal holen. 2. Ich unterstütze Arsenal, also... 3. Arsenal wird den Pokal holen. Das Argument ist immer noch falsch, weil die Gültigkeit des Arguments die Wahrheit der Konklusion nur dann garantiert, wenn die Prämissen wahr sind. In deinem Beispiel sind die Prämissen falsch und daher bleibt auch die Konklusion falsch. Und was nützt uns diese Formalisierung?
Du wirst sehen. 7
Junktorenlogik Über hundert Jahre später lenkte Chrysippus von Soli (ca. 280-260 v.Chr.) den Fokus von einfachen Subjekt-Prädikat-Sätzen auf komplexe Sätze, wie: „Sokrates ist ein Mensch und Zeno ist ein Mensch“. Das war ein Meisterwerk. Man sagte: „Wenn die Götter Logik benutzten, dann war es die Logik des Chrysippus.“ Wie wir sehen werden, gilt dasselbe für uns Menschen, aber es wird noch einige Jahrtausende dauern, bis wir das begreifen.
Durch Wörtern wie “und”, “oder” und “wenn... dann...”, können unterschiedliche ÄuSSerungen miteinander verbunden werden, wobei die Wahrheit des Ganzen ausschlieSSlich von der Wahrheit der Teile abhängen wird.
Jeder dieser Junktoren setzt die Wahrheit der Teile auf seine eigene Art zur Wahrheit des Ganzen zusammen. 8
So kann beispielsweise der Junktor „oder“ und nur der „oder“-Junktor auf folgende Weise verwendet werden.
Entweder wird Mohammed zu dem Berg gehen, oder Mohammed ist ging nicht zu dem Berg, also kam der Berg zu Mohammed. Unter Verwendung meiner Definitionen für die Junktoren kann ich zeigen, wie man unterschiedliche Aussagen herleiten kann, deren Wahrheit stets durch die Wahrheit der zugrunde liegenden Aussagen garantiert wird.
Chrysippus hatte zumindest für die nächsten 1500 Jahre keinen wirklichen Einfluss auf die Geschichte der Logik, nicht zuletzt, weil seine Schriften verloren gingen und seine Ideen nur aus zweiter Hand überliefert sind, aber auch, weil Aristoteles zum Liebling der katholischen Kirche wurde.
Leibniz’ Gesetz Die nächsten 200 Jahre dachten sich die Logiker eine ständig wachsende Anzahl von Syllogismen aus, von denen manche mehr als zwei Prämissen einschlossen. Der Logiker wurde zu einer Art Alchemist, der mit Begriffen experimentiert, um gültige Argumente zu erhalten. Schließlich wurde von Gottfried Leibniz (1646-1716) eine Methode in diesem Wahnsinn entdeckt. Leibniz hatte die Idee, Äußerungen wie Gleichungen in der Algebra zu behandeln. In Gleichungen wird das Gleichheitszeichen „=“ benutzt, um auszudrücken, dass zwei Seiten denselben numerischen Wert haben müssen, z.B.
x2 + y2 = z2
Leibniz führte das Gleichheitszeichen in die Logik ein, um auszudrücken, dass „a“ identisch ist mit „b“. Wenn du über zwei Dinge genau dasselbe aussagen kannst, dann sind diese identisch.
Zwei Dinge sind identisch, wenn alles, was über das eine gesagt werden kann, auch über das anderen gesagt werden kann.
Das ist seitdem als Leibniz’ Gesetz bekannt. Er unterteilte es in zwei untrennbare Behauptungen, „a ist b“ und „b ist a“, die er verwendet, um auszudrücken, dass „alle as bs sind“ und „alle bs as sind“, z.B. „Alle Junggesellen sind unverheiratete Männer und alle unverheirateten Männer sind Junggesellen.“ 10
Wenn a identisch ist mit b, dann können wir offensichtlich das Symbol „a“ in jeder Äußerung durch das Symbol „b“ ersetzen, wobei der Wahr heitswert der Äußerung erhalten bleibt. Zum Beispiel: „Sokrates ist ein unverheirateter Mann, ein unverheirateter Mann ist dasselbe wie ein Junggeselle, also ist Sokrates ein Junggeselle.“ Das ist wichtig, weil es uns erlaubt, den Wahrheitswert einer potenziell unendlichen Anzahl von Sätzen festzustellen, indem wir eine überschau bare Menge von Schritten durchführen. Bei Leibniz sind es vier: 1. „a = a” z.B. „Sokrates ist Sokrates” 2. Wenn „a ist b“ und „b ist c“, dann „a ist c“ z.B. „Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist ein Mensch, also ist Sokrates sterblich.“
Zu sagen „a ist b“ ist dasselbe wie zu sagen, dass „alle as b sind“. Genau so sah wie mein erster Syllogismus aus. Ja, aber da sind noch Schritt 3 und 4 ...
3. „a = nicht (nicht a)“ z.B. “Wenn Sokrates sterblich ist, dann ist Sokrates nicht unsterblich” 4. „’a ist b’ = ‚nicht-b ist nicht-a’“ z.B. „Sokrates ist ein Mensch bedeutet, dass du nicht Sokrates bist, wenn du kein Mensch bist.“ Mittels dieser einfachen Gesetze konnte Leibniz jeden möglichen Syllogismus beweisen. Leibniz ersetzte Aristoteles logisches Quadrat durch die erste richtige Wahrheitstheorie – Konklusionen werden aus vorher eingeführten Gesetzen abgeleitet, indem bedeutungsgleiche Symbole (Synonyme) durch einander ersetzt werden. 11
Die Reductio ad absurdum Leibniz’s bevorzugte Beweismethode ist ein ungeheuer wichtiges Instru ment, das seither vor allem von Logikern und Philosophen sehr geschätzt wurde. Er nannte es reductio ad absurdum. Die „reductio“ ist ein sehr simples und dennoch erstaunlich mächtiges Instrument. Sie wurde, seit Leibniz sie erfunden hat, ausgiebig genutzt. Man kann sie hervorragend durch folgendes Beispiel illustrieren: Also, wo warst du in der Nacht auf den 25.?
Ist vielleicht wahr. Schauen wir mal, ob es wahr sein könnte.
Ich war es nicht, ich habe Basketball gespielt.
Hey, Doc. Kann unser Verdächtiger am 25. Basketball gespielt haben ? Unmöglich, er hat am Tag vorher seinen Arm gebrochen. Mit dem Arm konntest du nicht Basketball spielen. Deine Geschichte führt in einen Widerspruch, Kumpel.
Du hattest doch in dieser Nacht einen gebrochenen Arm.
Du Lügst.
Und? 12
Bei der reductio-Methode nehmen wir an, dass eine Äußerung wahr ist und überlegen dann, welche Schlussfolgerungen wir daraus ziehen können. Wenn wir, während wir diese Schlussfolgerungen ziehen, in einen Widerspruch geraten, wissen wir, dass die zugrunde gelegte Äußerung falsch ist, weil Widersprüche stets falsch sind. Manche Leute lehnen mein groSSartiges neues Verfahren ab, weil es voraussetzt, dass jeder Satz entweder wahr oder falsch ist, aber keinen Beweis für diese Prämisse liefert.
wahrfalsch
Der große Vorteil der reductio-Methode liegt darin, dass sie es uns erlaubt, auch dann festzustellen, ob eine Äußerung wahr ist, wenn wir keinen Beweis dafür anführen können. Wir können feststel len, dass eine Äußerung wahr ist, indem wir zeigen, dass ihre Negation in einen Widerspruch führt. 13
Ein „Neues Organon“ „Da meine Erfindung die Vernunft in ihrer Ganzheit nutzt und überdies, eine Richterin im Meinungsstreit, eine Deuterin von Begriffen, eine Waage der Möglichkeiten, ein Kompass der uns über den Ozean der Erfahrungen leiten wird, ein Inventar von Dingen, eine Tafel voller Gedanken, ein Mikroskop zur genauen Prüfung, ein Teleskop zur Vorher sage ferner Ereignisse, ein allgemeiner Kalkül, eine unschuldige Magie, eine nicht-chimärische Kabale, ein Skript, dass alle in ihrer eigenen Sprache lesen werden und das überall den Weg für die wahre Religion aufzeigen wird, ist.“ (Brief von Leibniz an den Herzog von Hannover, 1679) Das ist revolutionär. Aristoteles altes Organon ist tot, dafür gebe ich euch ein „Neues Organon“. Es ist eine neue Art, über die Welt und die Logik nachzudenken. Die Logik ist nicht länger ein Instrument zur Bildung überzeugender Argumente, sondern ein System der Regeln des Denkens, woraus folgt, dass selbst die Gedanken Gottes notwendigerweise logisch sind. Selbst er konnte keine Welt schaffen, in welcher e ine Kontradiktion wahr ist.
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Es überrascht vielleicht nicht, dass die Kirche Leibniz als Ketzer bezichtigte. Die Idee notweniger Regeln des Denkens hatte jedoch erwiesenermaßen einen nachhaltingen Einfluss auf abendländische Philosophen, wie Kant, Hegel, Marx und Russell. Wir haben alle versucht zu erklären, worum es sich bei dieser grundlegenden Logik des Denkens handeln könnte.
Es sollte jedoch festgehalten werden, dass es sich bei Leibniz System keinesfalls um ein Organon (Werkzeug) handelt. Es handelt sich um einen Kanon oder Kodex von Gesetzen, die zwar im Denken ihren Ursprung haben, in der Welt aber dennoch notwendig gültig sind.
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Frege’s Quantoren Allgemein sagt man, dass die moderne Logik 1879, mit der Publikation von Gottlob Freges Begriffsschrift, ihren Anfang nahm. Er begründet darin eine Aussagenlogik, die Leibniz’ Beweistheorie mit einer Beschreibung logischer Junktoren verbindet. Damit sind wir endgültig wieder bei Chrysippus angelangt. Die signifikanteste Freges neuer Erfindungen war jedoch die des Quantors. Quantoren sind Wörter wie „alle“, „einige“, „viele“ und „die meisten“. Sie erlauben es uns, Dinge über Gruppen von Gegen ständen auszusagen, z.B. „Einige Menschen sind kahlköpfig.“ Aristoteles behandelte diese als Subjekte, über die in einer Äußerung etwas prädiziert wird, was zu absurden Ergebnissen, wie dem in Lewis Carrolls Alice im Wunderland, führen kann...
„Ich sehe niemanden auf der Straße“, sagte Alice. „Ich wollte, ich hätte solche Augen“, bemerkte der König verdrießlich. „Niemanden sehen können! Und auf eine solche Entfernung! Warum kann ich gerade mal Leute, die es wirklich gibt, erkennen …“
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Frege umgeht dieses Problem, indem er die Quantoren als logisch unab hängige Entitäten betrachtet. Er benutzte zwei Quantoren: „Alle“ und „Es gibt mindestens einen“. Das erlaubt es ihm
„Ich sehe niemanden auf der Straße“ in
„Für alle Leute gilt, dass ich sie nicht auf der Straße sehen kann“ oder in
„Es gibt nicht mindestens eine Person, für die gilt, dass ich sie auf der Straße sehen kann“ Obwohl das keine besonders hübsche Lösung ist, ermöglicht sie es uns, Absurditäten im Wunderland-Stil zu vermeiden.
Es zeigt uns, warum „Ich sehe niemanden auf der StraSSe“ vollkommen verschieden ist von „Ich sehe einen Boten auf der StraSSe“.
Das Wort „niemand“ muss nicht auf einen Gegenstand referieren.
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Das Kontextprinzip Frege verwies auf das “Kontextprinzip”, das besagt, dass die kleinste Einheit, die wir logisch analysieren können, Subjekt-Prädikat-Sätze oder Propositionen sind und dass wir die Bedeutung der einzelnen Wörter einer Proposition nur aufgrund des Gesamtkontextes kennen, in dem diese steht. Nehmen wir den Satz „Mir ist kalt“. Dieser Satz kann von verschiedenen Leuten zu verschiedenen Zeiten geäußert werden. Die gleichen Worte „Mir ist kalt“ können, abhängig davon, unter welchen Umständen sie benutzt werden, ganz verschiedene Propositionen ausdrücken.
Proposition 1
Proposition 2
Mir ist kalt!
Mir ist kalt!
Der Satz besagt etwas ganz anderes, wenn er von Sokrates geäuSSert wird, nachdem er den Schierlingsbecher getrunken hat, als wenn er von einem kleinen Kind geäuSSert wird.
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Aussagenlogik Da die Propositionen (Aussagen) elementarer Bestandteil von Freges Logik sind, ist diese als Aussagenlogik bekannt. Mit ihrer Hilfe können wir den Wahrheitswert komplexer Propositionen feststellen, die von Junktoren Gebrauch machen. Darüber hinaus hat Frege gezeigt, dass die Junktoren selbst wahrheitsfähig sind. Eine Proposition, die einen Junktor, beispielsweise “wenn..., dann...”, enthält, kann in eine Äußerung umge wandelt werden, die an dessen Stelle die Junktoren „und“ und „nicht“ enthält, ohne dass sich dadurch der Wahrheitswert der komplexen Äußerung ändert.
„Wenn du ein Vogel bist, hast du Flügel.“… …kann umformuliert werden in…
Freges Logik kombiniert die Vorzüge von Chrysippus (sie erlaubt es, Sätze als logisch verbundene einfachen Einheiten zu analysieren) und Leibniz (sie schließt die Fähigkeit ein, eine Äußerung mithilfe einer anderen zu belegen, indem man Synonyme durcheinander ersetzt), und öffnet den Weg, diese Ideen so zu erweitern, dass sie die Äquivalenz unterschiedlicher Junktoren einschließen. Freges große Leidenschaft galt jedoch dem Versuch, die Mathematik aus der Logik abzuleiten. 19
… „Du kannst nicht ein Vogel sein und keine Flügel haben.“
Cantors Mengenlehre Gottlob Frege (1848-1925) lebte in einer Zeit großartiger mathemati scher und naturwissenschaftlicher Erfindungen. Zwischen den neuen und zusammenhanglosen Teilgebieten der Mathematik zeichneten sich Muster ab. Das führte zu dem Versuch, die gesamte Mathematik auf ein Regelwerk zurückzuführen, aus dem jede einzelne Aussage abgeleitet werden kann. Frege dachte, dass seine Aussagenlogik diesen Anforderungen gerecht werde, aber dabei fehlten die Mittel, um Zahlen auszudrü cken – ohne welche man bei mathematischen Formulierungen nicht weit kommt. Freges Quantoren „alle“ und „es gibt mindestens einen“ konnten das nicht leisten. Eine scheinbare Lösung lieferte eines der neuen Teilgebiete der Mathematik: Die Mengenlehre, entwickelt von Georg Cantor (1845-1918), einem Zeitgenossen Freges. Mengen sind die elementarsten vorstellbaren mathematischen Gegenstände.
Es handelt sich bei ihnen im Grunde um Ansammlungen von Elementen, die nichts gemeinsam haben müssen. Jede Ansammlung besteht aus einer bestimmte Anzahl von Elementen, die mit der Anzahl der Elemente in anderen Mengen verglichen werden kann.
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Zunächst können wir über die gemeinsamen Elemente der Mengen a und b sprechen.
Das ähnelt dem, wie wir das Wort „und“ verwenden.
Des Weiteren haben wir jedes Element, das a oder b angehört.
Das ähnelt dem, wie wir das Wort „oder“ verwenden.
Schließlich können wir uns auf alles beziehen, dass a nicht angehört.
Das entspricht klar dem wie wir das Wort „nicht“ verwenden.