Matemáticas

LECCIÓN 3

TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE MATEMÁTICO

‣

Por costumbre, las

primeras letras del alfabeto se

determinan por regla general como constantes, pero esto puede variar.

‣

Casi siempre se utilizan a las letras x, y, z como las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica, pero no existe problema de cambiar esto,

Las matemáticas son como cualquier otro idioma con el

ya que el problema o ecuación no cambiará.

que nos podemos comunicar.

El lenguaje algebraico es la traducción del lenguaje común al lenguaje matemático.

ALGUNOS EJEMPLOS BÁSICOS

La principal función del lenguaje algebraico es estructurar

a = un número cualquiera.

un idioma que ayude a generalizar las diferentes

x = un número cualquiera.

operaciones desarrolladas dentro de la aritmética. La aritmética, en lugar de utilizar solo números (casos

p = un número cualquiera… todas las letras del alfabeto.

particulares), hace uso de símbolos y variables (casos generales): puede describir fenómenos físicos, químicos, biológicos, sociales.

Es muy importante saber que en el lenguaje algebraico:

‣

q + p = la suma de dos números cualesquiera. x + y = la suma de dos números cualesquiera.

Es posible usar todas las letras del alfabeto que conoces (literales) a, b, c, d, e…

a - b = la resta de dos números cualesquiera. m - n = la resta de dos números cualesquiera.

página 3

‣

Un número cualquiera.

otro número cualquiera.

‣

El doble de mi edad.

x + y - z = la suma de dos números cualesquiera menos

‣

La mitad del dinero que gasto.

‣

Mi edad es igual al triple de la edad de mi tío más

a + b - c = la suma de dos números cualesquiera menos

otro número cualquiera.

cinco años. ab = el producto de dos números cualesquiera.

‣

Mi ahorro anual es igual a…

pq = el producto de dos números cualesquiera.

‣

El crecimiento poblacional es…

‣

La cantidad de medicina que se suministra…

a / b = el cociente de dos números cualesquiera. j / k = el cociente de dos números cualesquiera.

( a + b ) / 2 = la semisuma de dos números cualesquiera. ( i + j ) / 2 = la semisuma de dos números cualesquiera. ( a b ) / 2 = el semiproducto de dos números cualesquiera.

Para realizar una traducción del lenguaje común al lenguaje matemático es necesario ser consientes que, dentro de nuestra vida cotidiana, muchas veces vamos repitiendo frases sencillas sin saber que muchas de ellas pueden tener una traducción en el lenguaje algebraico.

Algunas de estas frases serían:

página 4

LECCIÓN 4

Todas estas ecuaciones son ecuaciones de primer

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

grado con una variable.

7(x+8)=x+2

360i+.5(360i+1)=0

A+5=15

3.5t+7=0

34000k+600=32880 9.8 m+ ½

Veamos por qué son ecuaciones de primer grado con una incógnita.

FORMA Y PLANTEAMIENTO DE UNA ECUACIÓN

Cumple con ser una ecuación porque

Es muy importante darnos cuenta que en diversas

un número desconocido, llamado incógnita o variable.

situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de

hay un signo de

igualdad entre dos expresiones, donde por lo menos hay

la

También es lineal o de primer grado porque sus

vida, donde intervienen ciencias como la biología, la

incógnitas o incógnita tienen exponente igual a 1 (elevadas

química y en otras disciplinas como la economía, finanzas

a uno, que no se escribe).

etc.

En seguida se estudiarán métodos, procedimientos y Las relaciones de ecuaciones lineales se dan por la

ejemplos de cómo resolver ecuaciones lineales de una sola

presencia de cantidades que varían una en función de otra;

variable.

podemos encontrarlas a través de relatos, tablas o expresiones algebraicas.

Por lo común, una ecuación lineal está dada por la siguiente forma, la cual debes de saber identificar: En su forma simplificada y = ax + b (a un número real diferente de cero)

página 7

MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Como procedimiento general para resolver ecuaciones de

Ejemplo 1

3x-[2x-(x+3)]= -2(x+1) -3x

3x-[2x-x-3]= -2x-2 -3x

Debemos realizar las operaciones para simplificar: primero debemos quitar los paréntesis, que es lo que se muestra en esta fila.

3x-[x-3]= -5x-2

Seguimos reduciendo, para eso unimos términos semejantes.

primer grado con una incógnita, se deben seguir los siguientes pasos: 1. Tienes que reducir la ecuación, si es posible, realizando operaciones posteriores al despeje y uniendo términos

3x-x+3=-5x-2

semejantes.

2x+3=-5x-2

2.

Se tiene la ecuación.

Ahora quitamos los corchetes cuadrados, observando las operaciones o signos que se utilizan.

Unimos términos semejantes en cada miembro de la igualdad.

Se realizan las operaciones inversas, se hace la Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

transposición de términos (aplicando inverso aditivo o

Nota: Los pasos de realizar la misma operación en ambos lados de la igualdad para ir simplificando no es muy utilizada en este nivel.

multiplicativo). Los que contengan a la incógnita comúnmente se ubican en el miembro izquierdo de la

Por tanto, siguen utilizándose más el pasar al otro lado del igual los términos con operaciones inversas.

igualdad, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen nuevamente términos semejantes, hasta

2x+5x=-2-3

Que comúnmente o en la práctica se dice Si está sumando, del otro lado del igual pasa restando.

donde es posible.

Si está restando del otro lado del igual pasa sumando

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso

Si está multiplicando del otro lado del igual pasa dividiendo

multiplicativo), en caso de que esta sea igual a 1 y se

Si está dividiendo del otro lado del igual pasa multiplicando

simplifica.

7x= -5

-5 5 X= --- = - --- = -.71428 7 7

Nuevamente reducimos términos semejantes.

Despejamos x pasando a dividir a 7, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de los signos en la división o también se puede dejar indicado el resultado como fracción.

página 8

Ejemplo 2

Ejemplo 3

5m+15=m+43

5m-m=43-15

4m=28

28 m= ---- = 7 4

Se tiene la ecuación.

9p+18=0

Se tiene la ecuación.

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

Nota: Los pasos de realizar la misma operación en ambos lados de la igualdad para ir simplificando no es muy utilizada en este nivel.

Nota: Los pasos de realizar la misma operación en ambos lados de la igualdad para ir simplificando no es muy utilizada en este nivel.

Por tanto sigue utilizándose más el pasar al otro lado del igual los términos con operaciones inversas.

Por tanto sigue utilizándose más el pasar al otro lado del igual los términos con operaciones inversas.

Que comúnmente o en la práctica se dice

9p=-18

Que comúnmente o en la práctica se dice

Si está sumando, del otro lado del igual pasa restando.

Si está sumando, del otro lado del igual pasa restando.

Si está restando del otro lado del igual pasa sumando

Si está restando, del otro lado del igual pasa sumando

Si está multiplicando del otro lado del igual pasa dividiendo

Si está multiplicando, del otro lado del igual pasa dividiendo

Si está dividiendo del otro lado del igual pasa multiplicando

Si está dividiendo, del otro lado del igual pasa multiplicando

Reducimos uniendo términos semejantes.

Despejamos m pasando a dividir a 4, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de los signos en la división y al realizar la división de 28/4 da un resultado entero, entonces este ya no quedará indicado por la fracción, sino por el número entero positivo 7.

-18 p= ---- = -2 9

Despejamos m pasando a dividir a 9, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de los signos en la división y, al realizar la división de -18/9, da un resultado entero; entonces este ya no quedará indicado por la fracción, s no por el número entero negativo -2.

página 9

Ejemplo 4 Se tiene la ecuación lineal de dos variables, pero se da a conocer que 5c+17k+2(5k+8)=301 Sabiendo que k=3c+1

k=3c+1, lo que quiere decir que k está dada en relación a la otra variable que se encuentra en la ecuación “ c”; por tanto, al sustituir el valor de k en la ecuación, esta quedará respecto a una única variable (toda la ecuación solamente tendrá como variable a c).

5c+17k+10k+16=301

5c+17(3c+1)+10(3c+1)+16=301

Primero debemos realizar las operaciones para simplificar. Lo primero que debemos hacer es quitar los paréntesis, lo que se muestra en esta fila, al multiplicar el 2 por (5k+8).

En este paso se sustituye en la ecuación el valor de k, el cual es igual a 3c+1 (en donde aparecía k escribimos 3c+1).

5c+51c+17+30c+10+16=301

86c+43=301

86c=301-43

Ahora quitamos los paréntesis, haciendo las operaciones de multiplicar 17 por (3c+1) y 10 por (3c+1).

Unimos términos semejantes en cada miembro de la igualdad: sumamos (5c+51c+30c) y (17+10+16).

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

El 43 que está sumando pasará restando.

86c=258

258 c= ---- , c=3 86

Nuevamente reducimos términos semejantes, restando 301-43.

Despejamos c pasando a dividir a 86, luego simplificamos, haciendo uso de las leyes de los signos en la división dando como resultado c=3

página 10

Un problema aplicado.

Andrea es administradora de una pastelería muy grande y sabe que sus ganancias por mes son igual al quíntuple de la cantidad de pastel vendido más mil ochocientos pesos. Si en total ganó 3600 pesos, ¿cuántos pasteles logró vender al mes? a)

Se forma la ecuación de acuerdo a la información que se da 5p+1800=3600

b)

Despejas la incógnita como ya se mostró en los ejemplos anteriores 5p+1800=3600 5 p= 3600-1800 5 p=1800 p=1800/5 p=360

c)

Contesta lo que se te pide:

R= La cantidad de pasteles vendidos al mes que generaron 3600 pesos de ganancia fueron 360.

página 11

TABULACIÓN Y GRAFICADO DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE. Al tener una ecuación de la forma debemos hacer es despejar a la

y

resultado la siguiente ecuación simplificada con respecto a la variable

x:

Ax+By+C=0 lo que para así tener una

y = 2x+4 ya que se tiene la ecuación simplificada,

ecuación simplificada con respecto a una sola variable, para

pasaremos a la tabulación (calcular los valores parciales de

poder tabular.

la ecuación a través de la sustitución de datos).

Ejemplo.

Formamos la tabla, dando valores a la x, ya que la ecuación está dada respecto a esta variable.

-4x+2y-8=0 Al despejar o realizar las operaciones inversas: Tenemos la

y

X

2y=4x+8 (todo término con diferente variable a

-­‐2

-­‐1

0

1

2

Y

la pasamos del otro lado del igual con operaciones Sustituimos los valores

inversas: si el -4x está restando, pasa sumando como 4x;

de la x en la ecuación para así

obtener los valores de y.

el -8 que está restando, pasa sumando como 8).

Aún no tenemos totalmente despejada a la variable

y, ya

que tiene consigo el coeficiente igual a 2.

Este coeficiente está multiplicando a la literal, por tanto, bajo la operación inversa pasa dividiendo, dando como

página 12

(Reemplazar la x en la ecuación, por los valores dados en la tabla). y =2x+4 y1=2(-2)+4=0 y2=2(-1)+4=2 y3=2(0)+4=4 y4=2(1)+4=6 y5=2(2)+4=8 Llenamos la tabla: X

-­‐2

-­‐1

0

1

2

Y

0

2

4

6

8

Al llenar esta tabla tenemos la finalidad de encontrar los pares ordenados. (x, y) que representan los puntos en el plano cartesiano para poder trazar la gráfica correspondiente a la ecuación y=2x+4.

Formando el plano cartesiano, recordamos que el eje x corresponde al eje de las abscisas, y que el eje y corresponde al eje de las ordenadas.

página 13

LECCIÓN 5

particularmente simple para

SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

técnicas básicas del álgebra.

su resolución, empleando

El planteamiento general de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que es determinado y compatible, está dado por:

FORMA Y PLANTEAMIENTO DE UN SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.

ax + by =c dx + ey =f

Antes de hablar de sistema de ecuaciones, debemos

Donde a, b, c , d, f pertenecen a los números reales.

comenzar por saber el significado de la palabra sistema.

Resolver el sistema de ecuaciones consiste en encontrar

Se dice que un sistema es un grupo de elementos con una

los valores de x y de y que logran satisfacer

relación, interacción y organización llevada bajo

ecuaciones simultáneamente.

las dos

reglamento a un fin común. Entonces, al escuchar la frase de “Sistemas de ecuaciones” podemos intuir que es un grupo formado por dos o más ecuaciones relacionadas entre sí que admiten un tratamiento lógico para la obtención de su solución.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones bien determinado y compatible, ya que está formado por solo dos ecuaciones con dos incógnitas, admitiendo un tratamiento

página 16

CASOS DE SISTEMAS LINEALES DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.

Veamos a que se refiere cada caso.

En seguida se muestran los posibles casos de sistemas de

representación gráfica consiste en dos rectas que se

dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

cortan en un punto; los valores de “x” e “y” de ese punto

Compatible determinado: Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas forman un sistema

compatible

determinado, si este solo tendrá una solución. Su

son la solución al sistema. Comúnmente se dice que el sistema tiene solución única.

Este tipo de sistema cumple que

Dado que el sistema está dado por la forma general:

página 17

Ejemplo.

2x+5y=4 3x+y=10 De donde se tiene que a=2,

b=5,

d=3 y e=1

verificamos

que se cumple que

( ≠ Signo que denota diferencia).

Lo que es lo mismo al hacer las divisiones, vemos que .4 si es diferente a 3 Su gráfica estará representada por dos rectas que se cortan en un solo punto; por tanto, el sistema tiene solución única.

página 18

Ejemplo.

2x+3y=12 4x+6y=24 De donde se tiene que a=2,

b=3, d=4, e=6, c=12

y f=24 verificamos que se cumple

lo mismo que ,

al efectuar las divisiones .5 = .5 = .5

Por tanto se cumple que el sistema es consistente indeterminado y su grรกfica serรก representada por dos rectas que coinciden en todos los puntos (dos rectas sobrepuestas).

pรกgina 19

SISTEMA INCOMPATIBLE El sistema no tiene

solución. En este caso, su

representación gráfica son dos rectas paralelas; esto es, no se cortan en ningún punto. Si se cumple de una de las ecuaciones, obligatoriamente se incumpliría la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución.

Este tipo de sistema cumple que

Ejemplo 2x+3y=12 2x+3y=24 De donde se tiene que a=2,

b=3, d=2, e=3, c=12 y

f=24 verificamos que se cumple , lo mismo que

al efectuar

las divisiones Por tanto, el sistema es incompatible y su gráfica está representada por dos rectas paralelas indicando que no existe solución.

página 20

Método de reducción.

MÉTODO DE SOLUCIÓN Los métodos básicos más utilizados para la solución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas son: reducción, igualación y sustitución. Estos métodos son utilizados en sistemas compatibles determinados; en caso de no ser así, estos tres métodos no conducirían a la solución.

consiste en

multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales pero con signo contrario.

Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, consiguiendo así una ecuación con una incógnita. Esta se

Para la solución de indeterminados

Este método es uno de los más simples y

sistemas

no

compatibles

resuelve haciendo las operaciones necesarias, como las

encontramos métodos más avanzados

que ya has aprendido en la solución de ecuaciones lineales

como lo son Regla de Cramer, Eliminación de Gauss-

de una variable. Una vez ya encontrado el valor de

Jordan, y mediante la Matriz invertible, entre otros; estos

una de las incógnitas, se sustituye en una de las

métodos son más sofisticados que los básicos y son

ecuaciones originales y

necesarios conocimientos de Álgebra lineal; es por eso

calculamos rápidamente la

que en nivel bachillerato solo se estudia hasta el método

segunda incógnita. Veamos

de la regla de Cramer de sistemas, máximo de tres

el siguiente ejemplo:

ecuaciones con tres incógnitas.

página 21

2x+y=5 3x+3y=12

-3(2x+y=5) 2(3x+3y=12)

Sistema de dos ecuaciones lineales de dos incógnitas; a este tipo de sistemas se les llama sistemas de 2x2.

En este ejemplo la variable que queremos eliminar es la x, por tanto, a la primera ecuación la multiplicamos por el coeficiente 3, que es el que acompaña a la variable

x en la segunda ecuación. A la segunda ecuación la multiplicamos por el coeficiente 2, que es el coeficiente que acompaña a la x en la primera ecuación (invertimos los coeficientes) y elegimos tomar uno de los números negativo para más adelante hacer la eliminación de la variable x; en este caso se tomó al 3 como negativo (-3).

-6x-3y=-15 Multiplicamos la primera ecuación término a término por el -3.

6x+6y=24 Multiplicamos la segunda ecuación término a término por el 2.

Observamos que utilizamos bien los signos, porque los términos de x son iguales pero con signo contrario -6x y 6x.

-6x-3y=-15 6x+6y=24

Sumamos las ecuaciones -6x-3y=-15 y 6x+6y=24 donde la parte en x se elimina ya que -6x+6x=0.

3y=9

Obteniendo entonces como resultado una ecuación lineal de una variable la cual es 3y=9.

y=9/3

Despejamos la incógnita; el 3 que estaba multiplicando pasará del otro lado dividiendo, operamos y obtenemos que y=3.

y=3 2x+y=5 ecuación 1 Sustituimos y

Ya que encontramos el valor de una de las incógnitas podemos sustituirla en cualquiera de las ecuaciones; en este caso se tomó la primera 2x+y=5.

2x+3=5 2x+3=5 2x=5-3

Despejamos la incógnita x

2x=2 x=2/2 y=3 , x=1

Finalmente, tenemos los resultados de “x , y” que eran las incógnitas de mi sistema.

página 22

Método de reducción.

El método de igualación para dar solución a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar

x+3 y = 14 2x+2y =12

Se tiene el sistema

una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Por tanto, podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que se puede resolver fácilmente. Una vez obtenido el valor de una de las dos incógnitas, lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya despejadas y calculamos la segunda incógnita.

1 despeje x+3y=14 x = 14-3y

Despejamos una de las variables (la de nuestra preferencia). Es necesario despejar la misma variable en ambas ecuaciones.

2 despeje 2 x = 12 - 2y x= = 6 – y x = 6-y

Como x=x entonces 14-3y=6-y

-3y+y=6-14 - 2y=-8 y=-8/-2 y=4

x=6-y sustituimos el valor de y=4 x=6-4 x=2

y=4 , x=2

Igualamos las ecuaciones.

Llevamos las “y” al primer miembro de la ecuación y los números al segundo miembro de la ecuación, haciendo uso de las operaciones inversas en un despeje. Unimos términos semejantes y respetamos leyes de los signos; recordamos que la división de un número negativo entre otro número negativo da como resultado un número positivo.

Ya que tenemos el valor de una de las incógnitas, las sustituimos en una de las ecuaciones iniciales ya despejadas, la que te resulte más sencilla; en este caso elegimos x=6-y donde solo se debía de hacer la resta, dando como resultado que x=2.

Da por terminado este ejemplo, ya que hemos logrado encontrar el valor de las variables o las incógnitas.

página 23

Método de sustitución

Método de graficacion

El método de sustitución consiste en despejar una de las

Este método

incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituirlo en la

ambas ecuaciones; esto usando sistemas con variables

otra, convirtiendo a una ecuación con una incógnita, la cual

x,y.

se resuelve de manera sencilla como ya lo has estudiado.

Ya realizado esto, sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita.

consiste en

despejar

la incógnita “y” en

Se construye, para cada una de las dos ecuaciones ya d e s p e j a d a s , l a t a b u l a c i ó n c o r re s p o n d i e n t e p a r a representar gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados (mismo plano cartesiano).

x+y=5 -x+2y=1

El sistema

Al graficar las ecuaciones existen las siguientes posibilidades de solución:

x=5-y

Despejamos la variable x, en la primera ecuación.

-x+2y=1

Sustituimos x=5-y en la segunda ecuación.

-(5-y)+2y=1

-5+y+2y=1 -5+3y=1 3y=1+5 3y=6 y=6/3 y=2 x=5-y x=5-(2) x=3 y=2, x=3

a.

Si ambas rectas se cortan en un punto, entonces el

sistema tiene solución única. Esto sucede cuando el sistema es compatible determinado.

Hacemos operaciones para simplificar la ecuación.

b.

Unimos términos semejantes.

infinitas soluciones. Esto cuando el sistema es compatible

Despejamos la variable y, como tú ya lo sabes hacer.

indeterminado. c.

Tomamos la primera ecuación ya despejada y sustituimos el valor de y=2 en ella; resolvemos haciendo las operaciones y obtenemos el valor de la segunda incógnita x=3.

Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene

Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene

solución. Esto cuando el sistema es incompatible.

Veamos un ejemplo compatible determinado:

Se tiene ya el resultado final.

página 24

Método de la Regla de Cramer La Regla de Cramer es un método de orígenes en el estudio del álgebra lineal con la utilidad de resolver sistemas de ecuaciones. Este método utiliza cálculos de los determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa matemática sencilla y fácil de recordar, siempre y cuando el sistema sea 2x2.

Veamos un ejemplo 2x+5y=24 3x+y=10

Se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo mismo que decir: se tiene un sistema 2x2

Está formada por los coeficientes de cada una de las variables que conforman al sistema.

La columna uno está formada por los coeficientes de x La columna dos está formada por los coeficientes de y = (2*1)-(5*3)= 2-15= -13

Se forman las matrices del sistema y se obtienen sus determinantes

Se multiplican cruzados los valores de la matriz y se restan (2x1) –(5x3) En ∆x la columna uno está formada por el resultado de la primera y la segunda ecuación que conforma el sistema.

La columna dos está formada por los coeficientes que acompañan a la y en ambas ecuaciones del sistema.

∆ determinante general ∆x del sistema con respecto a la variable x ∆y del sistema con respecto a la variable y

= (24*1)-(5*10)= 24-50=-26 En ∆x la columna 1 está formada por los coeficientes de la variable x.

Y la columna dos está formada por el resultado de la primera y la segunda ecuación. = (2*10)-(24*3)=20-72=-52

página 26

2x+5y=24 3x+y=10

Se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo mismo que decir: se tiene un sistema 2x2

Para obtener el valor de x se dividió ∆x/∆ Para obtener el valor de y se dividió ∆y/∆

La solución del sistema es x=2, y=4

página 27

4-y-z +3y+3z=8

LECCIÓN 6

4+2y+2z=8

MÉTODO ALGEBRAICO DE IGUALACIÓN

2y+2z=8-4

Ahora sustituimos la expresión del despeje de x en la tercera ecuación; agrupamos términos para simplificar.

2y+2z=4 -3y+2z=9 -3y=9-2z y= (9-2z) / (-3)

PARA SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES CON TRES INCÓGNITAS.

2y+2z=4

Despejamos y de las ecuaciones resultantes anteriores.

2y=4-2z y= (4-2z) / 2 y=2-z

Este es un ejemplo de cómo llevar a cabo el método algebraico de igualación paso a paso.

y=y 2-z= (9-2z) / (-3) -3(2-z)=9-2z -6+3z=9-2z

x+y+z=4 x-2y+3z=13

Se tiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

x+3y+3z=8

x+y+z=4 x=4-y-z

3z+2z=9+6

Igualamos los dos despejes de y.

Realizamos operaciones y despejamos z obteniendo su valor.

5z=15 z=3

Se despeja una variable de una de las ecuaciones, si es posible una que tenga coeficiente unidad para evitar denominadores. Despejamos la x de la primera ecuación.

y=2-z y=2-3

Sustituimos el valor de z en la ecuación

y= -1

y=2-z obteniendo así a y

4-y-z -2y+3z=13 4-3y+2z=13 -3y+2z=13-4 -3y+2z=9

Sustituimos la expresión en la segunda ecuación; agrupamos términos para simplificar.

x=4-y-z x=4-(-1)-3 x=5-3 x=2

Sustituimos el valor de z , y en la ecuación x=4-y-z obteniendo así a x y se termina el proceso al encontrar los valores de las tres incógnitas.

página 30

La segunda matriz de la que obtenemos ∆x (delta x ) determinante de x.

MÉTODO DE ÁLGEBRA LINEAL POR DETERMINANTES

Se construye de la siguiente manera: *La primer columna está formada por los miembros del resultado de las ecuaciones del sistema.

2x+3y-z=4 x-2y+z=-7 x+y+2z=3

* La segunda columna está formadas por los coeficientes de la variable y de las ecuaciones del sistema inicial.

Se tiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

* La tercera columna está formada por los coeficientes de la variable z de las ecuaciones del sistema inicial.

La primera matriz que se forma es para obtener el determinante general ∆ (delta); esta matriz se compone por los coeficientes del sistema en general, sin tomar en cuenta los miembros que forman los resultados de las ecuaciones del sistema. La matriz se debe de completar para obtener diagonales completas, agregando al final nuevamente las dos primeras filas.

Esta matriz, al igual que la primera, se debe de completar con las dos primeras filas.

Para obtener ∆x se realiza exactamente el mismo proceso que en ∆ y ∆x.

Para obtener ∆ determinante general: 1.- se multiplican los elementos que forman las tres diagonales (ejemplo de la primera diagonal 2x-2x2=-8) de izquierda a derecha (las tres marcadas en color rojo), dando así tres resultados que posteriormente se sumarán dando en este caso -6.

∆ = - 6 - (10) = -6 – 10 = -16

2.- se multiplican los elementos que forman las tres diagonales (ejemplo de la primera diagonal 1x2x1=2) de derecha a izquierda (las tres marcadas en color azul), dando así tres resultados que posteriormente se sumarán dando en este caso 10.

3.- Por último, al resultado de la suma de las diagonales de izquierda a derecha se restará el resultado de la suma de las diagonales de derecha a izquierda -6-10 obteniendo a ∆=-16.

∆x = -0 - (-32) = 0 + 32 = 32 La tercera matriz de la que obtenemos ∆y determinante de y.

Se construye de la siguiente manera: *La primer columna está formada por los coeficientes en el sistema de la variable x. *La segunda columna está formada por los miembros del resultado de las ecuaciones del sistema. * La tercera columna está formada por los coeficientes de la variable z de las ecuaciones del sistema inicial.

Esta matriz, al igual que las anteriores, se debe de completar con las dos primeras filas.

página 31

LECCIÓN 7

Luis, un alumno de la preparatoria, trabaja,

PRODUCTO INTEGRADOR

durante las vacaciones de verano, en una industria donde se elaboran forros para tabletas electrónicas y cajas para los cargadores de tabletas. Su trabajo consta de saber las medidas exactas para realizar los

Forro de tableta

forros y el total de material que se utiliza en la elaboración de los productos.

LO ÚNICO QUE ÉL CONOCE ES: - El material para elaborar cada forro de tableta es un pliego de goma.

- El volumen del forro de la tableta debe de ser de 1000 cm3

página 35

- Para formar el forro, primero se deben cortar, de cada esquina, cuadrados de medida igual

- El material para elaborar cada caja de cargador es un pliego de cart贸n.

a dos cm por lado y doblar hacia arriba los lados para obtenerlo.

- El volumen de la caja debe ser igual a 48cm3 - El largo del forro de la tableta es 5cm mayor al ancho del forro.

- Para formar la caja, primero se deben cortar, de cada esquina, cuadrados de medida Caja del cargador

igual a tres cm por lado y doblar hacia arriba los lados para obtenerla.

- La base de la caja es cuadrada.

p谩gina 36

1.-ELABORACION DEL FORRO DE LA TABLETA

- Para formar el forro, primero se deben cortar,

Recordando lo Ăşnico que conoce acerca del

a dos cm por lado y doblar hacia arriba los

forro de la tableta

lados para obtenerlo.

de cada esquina, cuadrados de medida igual

- El largo del forro de la tableta es 5cm mayor Forro de tableta

al ancho del forro.

Realiza un esbozo de lo que Luis debe marcar en los pliegos de goma para elaborar el forro de la tableta.

- El material para elaborar cada forro de tableta es un pliego de goma.

- El volumen del forro de la tableta debe de ser de 1000 cm3

pĂĄgina 37

¿Cuáles son las medidas de la altura, Forro de tableta

ancho y largo del forro de la tableta?

Explica cómo las encontraste.

¿Cuál es la expresión algebraica que

¿Qué tamaño debe tener el pliego de goma

determina el volumen del forro de la

para que el forro tenga un volumen de

tableta?

1000cm3?

página 38

¿Cuál es la expresión algebraica que determina el área total del pliego de goma, para elaborar el forro de la tableta?

Elabora de cartulina o foamy el forro para la tableta. Es necesario tomar fotos a cada proceso que realizaste para lograr armarlo; es muy importante que, en una de las fotos, muestres cómo las medidas coinciden con las obtenidas.

2.- ELABORACIÓN DE LA CAJA DEL CARGADOR

¿A qué tipo de producto notable

Recordando lo único que conoce de la caja

corresponde la expresión matemática

del cargador

anterior?

- El material para elaborar cada caja de cargador es un pliego de cartón.

- El volumen de la caja debe ser igual a 48cm3 - Para formar la caja, primero se deben cortar, de cada esquina, cuadrados de medida igual

página 39

a tres cm por lado y doblar hacia arriba los lados para obtenerla.

- La base de la caja es cuadrada.

¿Cuál es la expresión algebraica que determina el volumen de la caja del cargador?

Realiza un esbozo de lo que Luis debe marcar en los pliegos de cartulina para elaborar la caja del cargador.

Caja del cargador

¿Cuáles son las medidas de la altura, ancho y largo de la caja del cargador?

Explica cómo las encontraste.

página 40

¿Qué tamaño debe tener el pliego de

¿A qué tipo de producto notable

cartulina para que la caja tenga un volumen

corresponde la expresión matemática

de 48 cm3?

anterior?

¿Cuál es la expresión algebraica que determina el área total del pliego de

Elabora, de cartulina, la caja para el

cartulina para elaborar la caja del

cargador. Es necesario tomar fotos a cada

cargador?

proceso que realizaste para lograr armarla; es muy importante que, en una de las fotos, muestres cómo las medidas coinciden con las obtenidas.

página 41

LECCIÓN 11

FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS

La factorización de una diferencia de cubos, a3 – b3 , es el producto de un

binomio y un

trinomio.

a3 – b3 = (a – b ) ( a2 + ab + b2 )

El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término de la diferencia de cubos.

El trinomio no es un trinomio cuadrado perfecto, ya que el término cruzado (a+b) no está multiplicado por dos.

¿Qué proceso sigo para factorizar una diferencia de cubos?

Vamos a descubrirlo a través de la observación de un ejemplo (observa cuidadosamente cada parte del proceso para llegar a la factorización de una diferencia de cubos).

página 45

pรกgina 47

LECCIÓN 11

Primero tenemos qué recordar lo que es un trinomio

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma: a2+2ab+b2 ¿Cómo podemos determinar que un trinomio es cuadrado perfecto?

1.- Identifica los dos términos (1° y 3°) que son cuadrados per fectos, obteniéndoles su raíz cuadrada.

2.- Verificar que el segundo término corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los dos términos cuadrados perfectos.

La regla de factorización de un trinomio cuadrado perfecto es: a2+2ab+b2=(a+b)2

página 48

BLOQUE II

LECCIÓN 12 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO NO PERFECTO

Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c con a ≠ 0 y a = 1 Para factorizar un trinomio de la forma: x2+bx+c

1. Se obtiene la raíz cuadrada del término que se encuentra elevado al cuadrado: x2 = x

2.- Se buscan dos números tales que su suma sea igual al coeficiente b: p+q=b y su producto sea igual a c:

(p)(q)=c

Se forman los factores:

(x+p)(x+q)

página 51

Ejemplo ¿Dos términos que al multiplicarlos den como Factorizar:

resultado x2?

x2+13x+40 Esto es (x)(x)=x2 Buscamos dos números p y q tales que: p+q=13

O se

8+ 5=13

cuadrada de x2 que es igual

obtiene la raíz

ax

(p)(q)=40 (8)(5)=-40

Formando así la factorización: Son el segundo elemento de cada factor: (

+ 8) (

x2 + bx + c = (x + p) (x + q)

+5) x2 + 13x + 40 = (x+8)(x+5)

Para encontrar el primer elemento de cada factor: Teniendo en cuenta que el primer elemento de la ecuación cuadrática es x2 , nos preguntamos,

página 52

Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c (método1).

4. La factorización del trinomio es: ax2 + bx + c =(dx + f)(ex + g)

Para factorizar un trinomio de la forma: ax2 +bx+c

1. Se eligen dos números d y e que multiplicados den como resultado “a”: (d)(e)=a

Factorizar 25x2 + 30x + 8

Se eligen dos números d y e que multiplicados den como resultado “a”: (d)(e)=a (5)(5)=25

2. Se eligen dos números f y g que multiplicados den como resultado “c”: (f)(g)=c

Se eligen dos números f y g que multiplicados den como resultado “c”:

3. El coeficiente b es igual a la suma de los productos (ef) y (dg) como se indica:

(f)(g)=c (4)(2)=8

ax2 + bx + c

página 53

El coeficiente b es igual a la suma de los productos (ef) y (dg) como se indica:

Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c (método2).

( e)(f)=(5)(4)=20 Ejemplo.

Se tiene la ecuación: (d)(g)=(5)(2)=10 25x2+30x+8 = 0 Sumando 20+10=30, que es igual al coeficiente “b”.

La factorización del trinomio es:

Para realizar su factorización:

ax2 + bx + c =(dx + f)(ex + g) 25x2 + 30x + 8 (5x + 2)

= (5x + 4)

Debemos multiplicar el coeficiente principal por el término independiente:

( 25 )x2+30x+8

Esto es 8*25 =200

página 54

LECCIÓN 15

Una fracción algebraica, que incluye monomios, es una expresión fraccionaria donde el denominador y

SIMPLIFICACIÓN numerador son monomios; por ejemplo:

La simplificación de fracciones, que incluyen monomios, es semejante a la simplificación de fracciones numéricas: se tiene que dividir el numerador y denominador por factores comunes; por lo tanto, la clave es obtener el factor común.

Se puede decir que la simplificación, de una fracción algebraica que incluye monomios, consiste en transformar la fracción a otra equivalente, cuya característica principal es que es irreductible.

Pasos para simplificar fracciones que incluyen monomios.

página 59

Paso 1.

Se simplifican los coeficientes del numerador y del denominador de la fracción. Para simplificarlos, se debe encontrar el factor común entre ellos. Encontrar el factor

divida a ambos. Por el momento, las variables se mantienen igual.

Paso 2.

Luego de simplificar los coeficientes del numerador y denominador de la fracción, se deben simplificar las variables de la siguiente manera: Cuando una variable aparece en el numerador y denominador de la fracción algebraica con distinto exponente, para simplificarla se resta el exponente que tenga en el numerador, menos el exponente que tenga en el denominador; ese resultado de la resta será el valor del exponente que tenga la variable. Si el exponente resulta positivo, la variable se escribe en el numerador de la fracción algebraica, ya simplificada, y cuando el exponente resulte negativo, la variable se escribirá en el denominador de la fracción, ya simplificada. común es hallar un número que divida, tanto al coeficiente del numerador como al coeficiente del Si una variable aparece, tanto en el numerador y denominador con el mismo exponente, esa variable se denominador, hasta que ya no exista un número que

Cuando una variable aparece solamente en el numerador de la fracción algebraica, pasará exactamente igual al numerador de la fracción simplificada.

página 60

Cuando una variable aparece solamente en el denominador de la fracción algebraica, pasará exactamente igual al denominador de la fracción simplificada.

Si una variable aparece, tanto en el numerador y denominador con el exponente, esa variable se

coeficientes de numerador y del denominador. El coeficiente del numerador es 8 y el coeficiente del denominador es 6. Para simplificarlos debemos encontrar el factor común entre 8 y 6.

mismo

Ejemplo 1. Simplificar la fracción algebraica:

Encontrar el factor común es hallar un número que divida tanto al número 8 como al número 6; ese factor común es el 2. Así que dividamos el 8 y el 6 entre dos; por el momento las variables se mantienen igual.

Lo primero que se hace es simplificar los

página 61

Ahora continuemos simplificando las variables, restando los exponentes de los coeficientes de las variables del numerador con los exponentes de los coeficientes de las variables semejantes del denominador

Quedando la fracción simplificada como:

Paso 1.

Simplificar los coeficientes del numerador y denominador. El coeficiente del numerador es 3 y el coeficiente del denominador es 9. Encontremos un número que divida tanto al 3 como al 9, es decir, un factor común; ese número es 3. Las variables se mantienen igual.

Nota: Siempre se menos el de

resta el exponente de arriba abajo.

Ejemplo 2.

Simplificar

la fracción algebraica: página 62

Paso 2.

Ahora continuemos simplificando las variables, restando los exponentes de los coeficientes de las variables del numerador con los exponentes de los coeficientes de las variables semejantes del denominador.

Quedando la fracci贸n simplificada como:

Ejemplo 3.Simplificar la fracci贸n algebraica:

p谩gina 63

Paso 1.

Simplificar los coeficientes del numerador y denominador de la fracción. El coeficiente del numerador es 4 y el coeficiente del denominador es 7.

Como no existe un número que divida tanto al número 4 como al número 7, no tienen un factor común; por lo tanto, no se pueden simplificar y pasan exactamente igual a la fracción simplificada.

Paso 2.

Simplifiquemos ahora las variables, restando los exponentes de los coeficientes de las variables del numerador con los exponentes de los coeficientes de las variables semejantes del denominador.

página 64

LECCIÓN 16

El producto de dos fracciones algebraicas, que incluyen

PRODUCTO

monomios, es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. El producto de fracciones algebraicas se puede denotar por o por un

Ejemplo 1: Multiplicar las fracciones algebraicas

y x

página 67

Ejemplo 1.

Sumar las fracciones algebraicas

Nota: Los tĂŠrminos semejantes tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes, sin importar sus coeficientes.

page 72

4

6

2

Si al menos un número de los que están colocados en el segundo renglón puede dividirse

2

3

2

todavía entre dos, se realiza la división. Como los números del segundo renglón son los

1

3

números 2 y 3, solamente el 2 puede dividirse entre 2; así que solamente se realizará esta división; el 3 pasará igual al siguiente renglón.

Tenemos que , por lo tanto este resultado se coloca en el tercer renglón de la tabla junto con el 3 que no se dividió.

Nota: Si los números que están en el segundo renglón ya no se pueden dividir entre 2, se tratan de dividir entre el siguiente número primo que es 3.

4

6

2

2 1

3 3

2 3

1

1

Como en el tercer renglón ya no quedaron números divisibles entre 2, ahora seguiremos dividiendo entre el siguiente número primo que es 3. Los números que se encuentran en el tercer renglón son el número 1 y el número 3; de esos dos números, solo se puede dividir entre 3 el número 3; el número 1 pasará igual al siguiente renglón.

4

6

2

2

3

2

Cuando tengamos solamente

1

3

3

números uno, paramos de hacer divisiones.

1

1

page 76

Sacar el mínimo común múltiplo de los coeficientes de los monomios; en nuestro ejemplo, el coeficiente del primer monomio es 6 y el coeficiente del segundo monomio es 8; por lo tanto, se debe sacar el mínimo común múltiplo entre 6 y 8.

Para obtener el múltiplo de 6 y 8 se realiza una tabla como la siguiente: En la parte superior de la 6

8

tabla, se colocan los números a los que se les va a obtener el m.c.m

Ahora, los números se van a descomponer en factores primos, siempre empezando a dividirlos, si es posible, entre 2.

Tenemos que y ; estos resultados se colocan en el segundo renglón de 6

8

3

4

2

la tabla.

Nota: Si no fuera posible dividirlos entre 2, se trata de dividirlos entre el siguiente número primo que es 3; si tampoco fuera posible, se trata de dividirlos entre el siguiente número, 5, y así sucesivamente.

Ojo: La división solo se hace con números primos.

page 78

6

8

3

4

3

2

2 2

Si al menos un número de los que están colocados en el segundo renglón puede dividirse todavía entre dos, se realiza la división. Como los números del segundo renglón son los números 3 y 4, solamente el 4 puede dividirse entre 2; así que solamente se realizará esta división; el 3 pasará igual al siguiente renglón.

Tenemos que ; por lo tanto, este resultado se coloca en el tercer renglón de la tabla junto con el 3 que no se dividió.

Nota: Si los números que están en el segundo renglón ya no se pueden dividir entre 2, se tratan de dividir entre el siguiente número primo que es 3.

6

8

3

4

2

3

2

2

3

1

3

1

Como los números del cuarto renglón ya no se

2

pueden dividir entre 2, se prosigue a dividir entre 3.

Cuando tengamos solamente números uno, paramos de hacer divisiones.

1

Por último, se van a multiplicar los números que se encuentran a la derecha de la tabla para obtener

6

8

3 3

4 2

3

1

1

1

2 2

el mínimo común múltiplo.

Tenemos que 2x2x2x3 = 24

2 3

page 79

Ahora, factoricemos el denominador.

Denominador: Ejemplo 2 Observa que el denominador se puede factorizar con factor común, el cual es

2x.

Simplificar la fracción algebraica

La factorización del denominador es la siguiente:

Numerador de la fracción a simplificar:

Reescribiendo la fracción a simplificar, con las respectivas factorizaciones del numerador y denominador, se tiene:

Denominador de la fracción a simplificar:

Lo primero que se hace para simplificar la fracción, es factorizar tanto numerador como denominador.

Luego se eliminan los factores comunes, que son aquellos que aparecen tanto en el denominador como en el numerador. Como

(x + 1)

Numerador:

aparece en el numerador y en el denominador de la

fracción, se simplifica a 1 y ya no se escribe en la fracción resultante.

Por lo tanto, la simplificación es:

página 86

Primera Fracción 2

LECCIÓN 18

Numerador = X -6X + 5= (X - 1) (X - 5) 2

PRODUCTO

Denominador= X - 15x + 56 = (x - 7)(x - 8)

Segunda Fracción 2

Numerador = X - 5x - 24 = (x - 8) (x + 3) 2

Denominador= X + 2x - 35 (x + 7) (x - 5)

Reescribiendo la multiplicación con las factorizaciones que se hicieron, tenemos que: Para efectuar la multiplicación entre dos fracciones algebraicas, que incluyen polinomios, se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. Para facilitar las multiplicaciones, se factorizan los numeradores y denominadores de las fracciones que se van a multiplicar.

Ejemplo 1.

Multiplicar las fracciones algebraicas

Vamos a multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Para facilitar las operaciones, se factorizan los numeradores y denominadores de las fracciones:

página 91

LECCIÓN 17

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción

DIVISIÓN

algebraica donde: •

El numerador es igual al producto del numerador de

la primera fracción a dividir por el denominador de la segunda fracción a dividir.

•

El denominador es igual al producto del denominador

de la primera fracción a dividir por el numerador de la segunda fracción a dividir.

Para facilitar las multiplicaciones que se deben realizar para dividir las fracciones algebraicas, se factorizan los numeradores y denominadores de las fracciones que se van a dividir.

Ejemplo 1.

Dividir la fracción algebraica

página 93

LECCIÓN 19

La suma y resta de fracciones algebraicas con el mismo

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS QUE INCLUYEN MONOMIOS CON DENOMINADOR IGUAL.

denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo denominador es la suma o resta, según sea el caso, de los numeradores de las fracciones a sumar o restar.

Ejemplo 1.

Sumar las fracciones algebraicas

página 98

Quitando paréntesis y simplificando al máximo el numerador (reduciendo términos semejantes), tenemos:

Suma y resta de fracciones algebraicas que incluyen monomios con denominador igual.

Para sumar o restar fracciones algebraicas con distinto denominador, se reducen las fracciones a un común El resultado de la suma:

denominador, el cual será el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones a sumar o restar, y, a continuación, se obtiene el nuevo denominador mediante la división del mínimo común múltiplo, primero entre el denominador de la primera fracción a sumar o restar y el resultado se multiplica por el numerador. Lo mismo con la

Ejemplo 2.

Restar la fracción algebraica

segunda fracción. Y luego se trabaja con el numerador para llegar a la mínima expresión; es decir, simplificar todos los términos semejantes que existan.

página 99

La suma y la resta de fracciones algebraicas con diferente

comunes y no comunes de mayor exponente y se expresan

denominador se resume en los siguientes pasos.

como producto.

Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de los polinomios Los polinomios se encuentran ya factorizados.

Escogemos los factores comunes y no comunes de mayor exponente.

Los factores comunes son (x - 3) y (x + 2) y el factor no común es (x - 4) . Como debemos escoger los de mayor exponente, el mínimo común múltiplo de los polinomios es:

Ejemplo: Calcular el mínimo común múltiplo de los polinomios x2 - 5x + 6 Y x2 - 7x + 12

A continuación se te presentará el proceso para obtener el mínimo común múltiplo entre polinomios.

Cálculo del mínimo común múltiplo de polinomios.

Lo primero que se debe tener son los polinomios

Escogemos los factores comunes y no comunes de mayor

factorizados; si no se tienen, lo primero que se debe hacer

exponente.

es factorizarlos. Después, se escogen los factores

página 100

El factor común es (x - 3) y los factores no comunes son

Como el denominador de la segunda fracción es una

(x - 2) y (x - 4) . Como debemos escoger los de mayor

diferencia de cuadrados, se factoriza:

exponente, el mínimo común múltiplo de los polinomios es: (x - 3) (x - 2) (x - 4) Ahora que ya conoces cómo obtener el mínimo común múltiplo de dos polinomios, puedes efectuar sumas y restas de polinomios.

b2 - 4 = (b + 2) (b - 2) Luego, escogemos los factores comunes y no comunes de mayor exponente de los denominadores.

El factor común es (b - 2) y los factores no comunes son (b + 2) y 4 Como debemos escoger los de mayor exponente,

A continuación se te presenta un ejemplo de cómo sumar

pero todos tienen exponente 1, el mínimo común múltiplo

dos fracciones algebraicas que incluyen polinomios.

de los denominadores es: 4(b - 2) (b + 2)

Ejemplo 1.

Sumar las fracciones algebraicas

Reescribiendo la suma con los denominadores factorizados, tenemos que:

Denominador de la primera fracción: 4b - 8 Denominador de la segunda fracción: b2 - 4 Lo primero que debemos hacer es factorizar, si no lo están,

Paso 2. Ahora sí, efectuar la suma.

los denominadores.

El mínimo común múltiplo será el denominador de la Factorizando el denominador de la primera fracción con factor común 4: 4b - 8 = 4(b - 2)

fracción resultante de la suma. A continuación, se obtiene el nuevo denominador mediante la división del mínimo común múltiplo, primero entre el denominador de la

página 101

primera fracción a sumar y el resultado se multiplica por el

El resultado de la suma es:

numerador. Lo mismo con la segunda fracción.

Ejemplo 2.

Restar la fracción algebraica

Y luego se trabaja con el numerador para llegar a la mínima expresión; es decir, quitar paréntesis y simplificar todos los términos semejantes que existan.

Paso 1. Obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Denominador de la primera fracción: x2 + x - 6 Denominador de la segunda fracción: x2 - 9x + 14 Lo primero que debemos hacer es factorizar, si no lo están, los denominadores.

página 102

Factorizando el denominador de la primera fracción: x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2) Factorizando el denominador de la segunda fracción:

el nuevo denominador mediante la división del mínimo común múltiplo, primero entre el denominador de la primera fracción de la resta y el resultado se multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción.

x2 - 9x + 14 = (x - 7) (x - 2) Luego, escogemos los factores comunes y no comunes de mayor exponente de los denominadores.

El factor común es (x - 2) y los factores no comunes son (x + 3) y (x - 7) Como debemos escoger los de mayor exponente, pero todos tienen exponente 1, el mínimo común múltiplo de los denominadores es: (x - 2) (x + 3) (x - 7)

Reescribiendo la suma con los denominadores factorizados, tenemos que: Quitando paréntesis:

Paso 2. Ahora sí, efectuar la suma.

El mínimo común múltiplo será el denominador de la fracción resultante de la suma. A continuación, se obtiene

página 103

LECCIÓN 23

Al proceso de elevar un número o una variable a

CONCEPTO DE EXPONENTE

cualquier exponente se le llama potenciación.

página 106

LECCIÓN 23

Los exponentes fraccionarios también son llamados radicales. Todas las leyes vistas en el subtema

LEY DE LOS EXPONENTES FRACCIONARIOS

anterior son válidas también para los exponentes fraccionarios.

Ahora empecemos preguntando, ¿qué es x1/2 ?

Y la respuesta es

x

Te preguntarás por qué la respuesta es

x

y la

razón es la siguiente: Porque si calculas el cuadrado de x1/2 tienes que: (x 1/2 ) 2 = x, aplicando la quinta ley de los exponentes vista en el subtema anterior.

A continuación, te presentaremos la ley del exponente fraccionario.

Ley del exponente fraccionario:

Donde x es

ede ser un número o

cualquier variable) y m/n es el exponente fraccionario al cual está elevada la base.

página 108

LECCIÓN 24

Ahora que ya sabemos qué es un radical, podemos presentarte las leyes o propiedades de los

LEYES DE LOS RADICALES

radicales. En la siguiente tabla aparecen las leyes de los radicales y dos ejemplos de cada una de ellas.

página 114

pรกgina 115

LECCIÓN 24

Aplicando correctamente las leyes anteriores de los radicales y, cuando sea necesario, las leyes de los

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES

exponentes, podemos simplificar diversas expresiones. Veamos los siguientes ejemplos.

página 117

LECCIÓN 25

El producto de expresiones con radicales con el mismo índice, es igual a otra expresión con radical

PRODUCTO DE EXPRESIONES CON RADICALES

cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, a los productos de los coeficientes y radicandos de las expresiones a multiplicar.

página 121

n

a

n

n

x .b

y

= (a . b)

x.y

Para multiplicar esas dos expresiones, tenemos que:

Dicho de otra manera, los coeficientes y los radicandos se multiplican y se mantiene el índice de las expresiones a multiplicar.

Por ejemplo: Multipliquemos 4

3

p

y 5

4

q

Estas dos expresiones sí se pueden multiplicar porque tienen el mismo índice, que es 4.

La expresión tiene como coeficiente 3 y radicando

Otro ejemplo: multipliquemos las expresiones -2

3

x2

y 6

3

z6 ; como ambas tienen el mismo

índice 3 en la raíz, sí se pueden multiplicar.

p .4 3

La expresión -2

4

La expresión

3

p

tienen como coeficiente 3 y

radicando p.

tiene como coeficiente -2 y

z6

tiene como coeficiente 6 y

radicando x2.

3

La expresión 6

4

La expresión

x2

5

q

tienen como coeficiente 3

radicando .

y radicando q.

página 122

Para multiplicar esas dos expresiones, tenemos que:

9

Un ejemplo más: multiplicar las expresiones y 6

9

6

5

3

es posible, porque tienen el mismo

índice en la raíz, que es 9.

9

La expresión

5

3

tiene como coeficiente 5 y

radicando 3.

9

La expresión 6 6 tiene como coeficiente 6 y radicando 6.

Para multiplicar esas dos expresiones, tenemos que:

página 123

LECCIÓN 25

El cociente de dos expresiones con radicales con el mismo índice, es igual a otra expresión con radical

DIVISIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES

cuyo coeficiente y radicando son iguales, respectivamente, al cociente de los coeficientes y radicandos de las expresiones a dividir.

página 125

Otro ejemplo: dividir las expresiones 5

10

5

a3

y5

b6

y ; sí es posible, ya que tienen el mismo índice que es 5.

4

Por ejemplo: dividir las expresiones 3

5

4

y5

9

; como tienen el mismo índice, que en este caso es 4, sí podemos seguir el procedimiento anterior.

4

La expresión 3

5 tiene como coeficiente 3 y

5

a3 tiene como coeficiente 10 y

radicando .

La expresión 5

5

b6 tiene como coeficiente 5 y

radicando .

Para dividir esas dos expresiones, tenemos que:

radicando 5.

La expresión 5

La expresión 10

4

9 tiene como coeficiente 5 y

radicando 9.

Para dividir esas dos expresiones, tenemos que:

página 126

LECCIÓN 25

Cuando una fracción tiene en su denominador alguna expresión con radical, conviene obtener

RACIONALIZACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES

fracciones equivalentes que no tengan expresiones con radicales en el denominador. A este proceso se le llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de expresión con radical que aparece en el denominador de la fracción, el proceso es diferente.

•

Cuando el denominador es un monomio.

Es cuando el denominador contiene una sola expresión con índice y radicando cualesquiera.

Donde x e y son variables o números cualesquiera, m es el exponente del radicando y es el índice del radical.

Lo que se hace para racionalizar es lo siguiente: se multiplica tanto numerador como denominador por

página 132

En el recuadro anterior tenemos una fracción con una expresión radical en el denominador; por lo tanto, se racionaliza la fracción en los pasos 1, 2, 3 y 4.

En el paso número 1, se multiplica numerador y denominador por

.

En el paso número 2, se aplica la ley de raíz de un producto de los radicales en el denominador.

En el paso número 3, se aplica la primera ley de los exponentes al radicando del denominador.

En el paso número 4, se aplica la ley de conversión de un radical a exponente fraccionario.

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•

Cuando el denominador es un polinomio.

Es cuando el denominador contiene más de una expresión en el denominador y al menos una de ellas es una expresión con radical. Por ejemplo:

Ahora te preguntarás, ¿por qué hay que multiplicar por el conjugado del denominador?

El objetivo de racionalizar es quitar la raíz del denominador y si, nosotros, multiplicamos el

En este caso debemos tomar en cuenta dos aspectos importantes: conocer lo que es una

denominador de la fracción por su conjugado, observa lo que pasa:

expresión conjugada y productos notables.

El denominador de la fracción es:

Para racionalizar el primer ejemplo: siempre que

Su conjugado es:

aparezca una raíz cuadrada en el denominador, se

Multipliquemos el denominador por su conjugado:

multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. En este caso, el denominador es un binomio y el conjugado de un

¿Esta multiplicación te parece familiar? Recuerda la

binomio es igual al binomio con el signo central

lección de productos notables y, efectivamente,

cambiado.

esta multiplicación recibe el nombre de: producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

Algunos ejemplos de binomios y sus conjugados.

Por lo tanto el resultado es:

a + b → Su conjugado es a - b - z - y → Su conjugado es - z + y

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Y ya logramos quitar las raíces del denominador.

Tomando este producto notable:

Regresando a la fracción a racionalizar:

es fácil quitar las raíces cúbicas del denominador; así que multipliquemos numerador y denominador Siempre que observes en el denominador de una

de la fracción por el segundo factor

fracción un binomio con al menos una raíz cuadrada, multiplica el denominador por su conjugado para racionalizarla.

Pasemos ahora a racionalizar el segundo ejemplo.

Como pue

ar, en el denominador de la

fracción ya no aparecen raíces cuadradas, sino raíces cúbicas, ¿cómo quitaremos las raíces del denominador? ¿Ahora por quien multiplicaremos el numerador y denominador de la fracción para

Y así logramos racionalizar la fracción. Como te has dado cuenta, los productos notables son de mucha utilidad para racionalizar fracciones.

Veamos otro ejemplo.

Observa la siguiente fracción:

poder racionalizarla? Vuelve a recordar tus lecciones de productos notables.

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Tenemos que racionalizarla, porque en el denominador aparece al menos una expresi贸n con radical Lo que debes hacer es multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El Denominador es: Por lo tanto el conjugado del denominador es:

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