Pi enter
Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke
tu k
Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere
LEERJAAR 3
Eddy Magits
Ontdek het onlineleerplatform: diddit. Vooraan in dit boek vind je de toegangscode, zodat je volop kunt oefenen op je tablet of computer. Activeer snel je account op www.diddit.be en maak er een geweldig schooljaar van! Ontdek beeld- en geluidsfragmenten en andere leuke extra’s bij de les.
2 3 4
Opdrachten op maat, speciaal voor jou klaargezet door je leraar. Want die weet precies in welke lesonderdelen jij nog beter wilt worden. Genoeg geoefend. Tijd voor het echte werk! Hoe scoor je op een toets? En ook belangrijk: hoe schat je jezelf in? Benieuwd hoe ver je al staat? Een helder overzicht toont je meteen welke inspanningen je tot nu toe geleverd hebt en wat je resultaten zijn. Om trots op te zijn … of om nog nét iets te verbeteren!
5 6 7
ld ho
vo or
Oefen in jouw tempo en op jouw niveau, zoveel je maar wilt. Heb je de leerstof nog niet volledig onder de knie? Dan krijg je handige tips om het volgende keer wél goed te doen.
be e
3 D/A
Leer zoals je bent
of ds
LEERJAAR 3
Pi enter
1
Pienter 3 D/A
ISBN 978-90-306-9988-0 597594
8
9 789030
699880
vanin.be
vo
uk
st
oo fd
dh
el
be
or
uk st
Leerjaar 3
vo
or
be
el
dh
oo fd
Pienter 3 D/A
Philippe De Crock Christophe Gryson Dirk Taecke Tom Van der Auwera Stephan Wellecomme MET MEDEWERKING VAN Etienne Goemaere Eddy Magits
vo
uk
st
oo fd
dh
el
be
or
Inhoudsopgave Hoe werk je met Pienter?
4
Hoofdstuk 1
7
De stelling van Pythagoras
47
Hoofdstuk 3 Driehoeksmeting van een rechthoekige driehoek
81
Hoofdstuk 4 Rekenen met reële getallen
uk
Hoofdstuk 2 De reële getallen
121 151
st
Hoofdstuk 5 Beschrijvende statistiek Hoofdstuk 6 Gelijkvormigheid
201 239
Hoofdstuk 8 Vectoren
267
vo
or
be
el
dh
oo fd
Hoofdstuk 7 Eerstegraadsvergelijkingen en formules omvormen
Hoe werk je met Pienter? Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
oo fd
st
uk
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.
dh
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.
Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.
be
el
Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen: eenvoudige toepassingen
REEKS B
basisniveau
REEKS C
verdiepingsniveau
or
REEKS A
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.
vo
Op diddit vind je extra oefeningen. In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.
ICT
Wijst op uitleg over werken met de grafische rekenmachine. Duidt aan wanneer je andere ICT-hulpmiddelen inzet, bv. Excel, GeoGebra of Python. Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
R
Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is. Verder kun je in een hoofdstuk twee soorten QR-codes tegenkomen. Scan de code om een instructiefilmpje van de leerstof te bekijken of om een toepassing in GeoGebra te zien. instructiefilmpje
GeoGebra
st
uk
Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
oo fd
Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een gekleurde band. Afhankelijk van je studierichting moet je die wel of niet kennen. Je leerkracht zal aangeven wat voor jou geldt. STEM
COMPUTATIONEEL DENKEN
VERDIEPING
vo
or
be
el
dh
Tot slot vind je achteraan in het boek een blad met een cartoon. Dat kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of afgedrukte bladen voor Pienter remediëren.
het onlineleerplatform bij Pienter Leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
oo fd
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
st
uk
Je kunt vrij oefenen en de leerkracht kan ook voor jou oefeningen klaarzetten.
Hier kan de leerkracht toetsen en taken voor jou klaarzetten. Benieuwd hoe ver je al staat met oefenen en opdrachten? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.
vo
or
be
el
dh
Hier vind je het lesmateriaal per hoofdstuk (o.a. een digitale versie van je boek en instructiefilmpjes).
uk
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.1 De stelling van Pythagoras formuleren
8
1.2 Meetkundige voorstellingen
14
1.3 Rekenen met Pythagoras
19 29
1.5 Pythagoras in de ruimte
40
Studiewijzer
45
oo fd
st
1.4 Afstand tussen twee punten
46
vo
or
be
el
dh
Pienter problemen oplossen
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
7
1.1
De stelling van Pythagoras formuleren
1.1.1 Op onderzoek Vul de tabel verder in. b 1
b
c
uk
a
4
c
b
c
c
a
a
a
5
3
oo fd
2
c
st
a
b
b
GeoGebra
driehoek
a (mm)
b (mm)
c (mm)
1
48
39
84
2
16
12
20
3
32
24
40
40
96
104
32
61
dh
el
be
4 5
a 2
40
b 2
a 2 + b 2
c 2
or
Wat stel je vast als je de laatste twee kolommen vergelijkt?
vo
1
2 3
4 5 6 7
1.1.2 Benamingen in een rechthoekige driehoek Een rechthoekige driehoek bestaat uit • twee rechthoekszijden (vormen een rechte hoek)
: en
c a
• een schuine zijde of hypothenusa :
8
8 HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
GeoGebra
b
1.1.3 De stelling van Pythagoras Stelling
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. In symbolen: a 2 + b 2 = c 2 waarbij a en b de rechthoekszijden zijn en c de schuine zijde is
a
b
st
Stelling
uk
Drie natuurlijke getallen a, b en c, elk verschillend van 0, die aan de voorwaarde a 2 + b 2 = c 2 voldoen, noem je Pythagorische drietallen. Het eenvoudigste Pythagorisch drietal is 3, 4 en 5.
De stelling van Pythagoras geldt ook omgekeerd.
oo fd
Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig. De 3-4-5-regel
c
GeoGebra
Pythagorische drietallen worden gebruikt om een rechte hoek te bepalen.
be
el
dh
• B ind op gelijke afstand knopen in een touw. Zo verkrijg je gelijke knoopafstanden. • V orm met het touw een driehoek waarvan een zijde drie knoopafstanden heeft; een zijde vier knoopafstanden heeft; een zijde vijf knoopafstanden heeft. • Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek en kun je een rechte hoek uitzetten.
Pythagoras is geboren op het Griekse eiland Samos, vermoedelijk in 569 v.Chr.
or
In 518 vestigde hij in Zuid-Italië een filosofische school. De leerlingen van die school werden ‘mathematikoi’ of ‘Pythagoreeërs’ genoemd en moesten strenge leefregels volgen. Zo moesten ze vegetarisch leven en zweren dat ze geloofden dat alles met getallen te vatten is.
vo
De Pythagoreeërs hebben veel verdiensten: ze konden vergelijkingen meetkundig oplossen, ontdekten de irrationale getallen (zie het volgende hoofdstuk) en bestudeerden met succes regelmatige veelvlakken. De ‘stelling van Pythagoras’ is in elk geval niet door hemzelf of door een van zijn volgelingen bedacht.
De Babyloniërs gebruikten de eigenschap al meer dan 1 000 jaar eerder om de hoogte van muren te bepalen. De Plimpton-kleitablet, uit 1800 voor Christus, bevat kwadraten die te schrijven zijn als de som van twee andere kwadraten. Die kleitablet is de eerste wiskundige tekst uit de geschiedenis van de mensheid. Ook in het oude Egypte kende men de 3-4-5-regel al.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
9
Oefeningen REEKS A Formuleer bij de driehoeken, indien mogelijk, de stelling van Pythagoras. a)
d)
k
c
b
j a
e)
e
d
m
oo fd
b)
l
st
uk
1
o
n
f
dh
c)
f)
g
r
h
el
q
p
be
i
Kleur het vak met de passende lengte van de schuine zijde c, zodat de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is.
or
2
a
b
a)
3 cm
4 cm
5 cm
6 cm
7 cm
b)
5 dm
12 dm
15 dm
14 dm
13 dm
c)
60 mm
80 mm
90 mm
100 mm
110 mm
d)
20 m
21 m
27 m
29 m
31 m
e)
9 cm
12 cm
15 cm
18 cm
21 cm
vo 1
2 3
4 5
c
6 7 8
10
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS B
4
Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje. b
c
rechthoekig
niet rechthoekig
a)
6 cm
8 cm
10 cm
r
r
b)
5 cm
12 cm
13 cm
r
r
c)
9 mm
13 mm
15 mm
r
r
d)
20 cm
48 cm
54 cm
r
r
e)
18 m
24 m
30 m
r
r
st
uk
a
oo fd
3
Bereken de zijden van de rechthoekige driehoeken. Gebruik een touw met een aantal knopen op gelijke knoopafstand.
a) rechthoekszijde: rechthoekszijde:
2 cm
4 stukken van
2 cm
stukken van
2 cm
3 stukken van
5 cm
stukken van
5 cm
5 stukken van
5 cm
3 stukken van
15 mm
4 stukken van
15 mm
be
b) rechthoekszijde: rechthoekszijde:
or
schuine zijde:
vo
c) rechthoekszijde:
rechthoekszijde:
lengte van de zijden
3 stukken van
el
schuine zijde:
dh
knoopafstand
schuine zijde:
stukken van
15 mm
d) rechthoekszijde:
stukken van
7 cm
rechthoekszijde:
4 stukken van
7 cm
schuine zijde:
5 stukken van
7 cm
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
11
a
b
c
rechthoekig
niet rechthoekig
a)
2 mm
2,1 mm
2,9 mm
r
r
b)
4 cm
7,5 cm
8,5 cm
r
r
c)
0,12 m
0,35 m
0,37 m
r
r
d)
2,1 cm
2,8 cm
3,4 cm
r
r
e)
1,4 cm
4,8 cm
5 cm
r
r
Onderzoek of ABC rechthoekig is. Zet een vinkje.
16 m
34 m
b)
4,5 cm
7,5 cm
c)
2,7 dm
3,6 dm
d)
18 cm
32 cm
e)
78 m
30 m
Los op.
r
r
6 cm
r
r
4,8 dm
r
r
24 cm
r
r
72 m
r
r
be
el
a) Om in het park een voetbalpleintje af te bakenen, stapt Stijn twintig passen af in de breedte en zestig in de lengte. Pedro vertrouwt het niet helemaal en vraagt Stijn eens diagonaal over het veld te stappen. Stijn telt 67 passen. Is hun voetbalplein rechthoekig?
or
Antwoord:
b) Pa wil een tuinhuis achter in de tuin. Hij graaft een rechthoekige kuil van 3,6 m bij 4,8 m voor de grondplaat. Om te controleren of zijn put wel rechthoekig is, meet hij de diagonaal. Die is zes meter. Is de kuil rechthoekig?
vo 1
2 3
4
5
6
Antwoord:
7 8
12
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
niet rechthoekig
30 m
dh
7
a)
rechthoekig
oo fd
zijden
uk
6
Onderzoek of de driehoek met zijden a, b en c rechthoekig is. Zet een vinkje.
st
5
REEKS C Toon aan zonder te meten. a) Parallellogram PLAK is een rechthoek.
P
b) Parallellogram KLAP is een ruit. D = 16 cm d = 12 cm
L
K 10 cm
17 m
8m
P 15 m
K
A
uk
8
L
oo fd
Toon zonder geodriehoek aan dat a ^ b. Gebruik de 3-4-5-regel.
dh
9
st
A
el
a
or
be
b
10
Bereken de schuine zijde met de 3-4-5-regel.
vo
a) rechthoekszijde: 60 cm = 3 ? 20 cm
c) rechthoekszijde: 12 dm =
rechthoekszijde: 80 cm = 4 ? 20 cm
rechthoekszijde: 16 dm =
schuine zijde:
schuine zijde:
b) rechthoekszijde: 15 m =
d) rechthoekszijde: 90 mm =
rechthoekszijde: 20 m =
rechthoekszijde: 120 mm =
schuine zijde:
schuine zijde:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
13
1.2
Meetkundige voorstellingen
1.2.1 De stelling van Pythagoras Neem een driehoek ABC, rechthoekig in C.
st
c
b
B
a
oo fd
C
uk
A
el
dh
Je plaatst op elke zijde een vierkant, waarvan de zijde gelijk is aan die zijde van de driehoek. Je verdeelt de vierkanten in gelijke vierkantjes van 1 cm2.
c2
be
A
b
c a
C
B
instructiefilmpje
a2
vo
or
b2
1
2 3
GeoGebra
4 5
De vierkanten hebben een oppervlakte van a 2 = cm2, b 2 = cm2 en c 2 = cm2.
6
De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is
7 8
14
In symbolen: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
.
1.2.2 De Pythagorasboom
5 4
4 3
3
oo fd
2
5
st
5
5
uk
1) Teken een willekeurig vierkant. 2) Construeer op dat vierkant een gelijkbenige rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde gelijk is aan de zijde van het vierkant. 3) Construeer daarna een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. 4) Op de zijden van die vierkanten kun je opnieuw een gelijkbenige rechthoekige driehoek tekenen met een schuine zijde gelijk aan de zijde van het vierkant. 5) Elke rechthoekszijde van die nieuwe driehoeken is de zijde van een nieuw vierkant.
dh
1
or
be
el
Als je dezelfde bewerkingen telkens opnieuw uitvoert, verkrijg je de boom van Pythagoras.
vo
De boom van Pythagoras noem je een fractaal. Het woord ‘fractaal’ is afgeleid van het Latijnse woord fractus, dat ‘gebroken’ betekent. Een fractaal is een meetkundige figuur met bijzondere eigenschappen: • zelfgelijkvormigheid: Binnen een fractaal herhalen bepaalde structuren of patronen zichzelf. Als je een klein detail van een fractaal sterk uitvergroot, zie je steeds dezelfde vorm terug; • oneindige herhaling van eenzelfde systeem of bewerking.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
15
Oefeningen REEKS A Bepaal de ontbrekende oppervlakte. a)
c)
uk
11
____ m2
st
21 m2
9 m2
oo fd
____ m2
14 m2
16 m2
dh
el
d)
98 m2
____ m2
or
be
b)
25 m2
vo
37 m2
1
36 m2
____ m2
2 3
4 5 6 7 8
16
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS B 12
Bepaal de lengte van de zijde. a)
c)
xm
xm
st
144 m2
uk
2 809 m2
2 025 m2
oo fd
256 m2
dh
d)
be
el
b)
vo
or
324 m2
11 236 m2
xm
3 136 m2 xm
576 m2
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
17
REEKS C Teken een Pythagorasboom tot je op de tekening 16 gelijke vierkanten verkrijgt.
vo
or
be
el
dh
oo fd
st
uk
13
1
2 3
4 5 6 7 8
18
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
1.3
Rekenen met Pythagoras
1.3.1 Inleiding Vader bouwt zelf een tuinhuisje achter in de tuin. Hij wil balken bestellen om het dakgebinte te maken. Daarvoor moet hij weten hoe lang die balken minstens moeten zijn. Om die lengte te berekenen, moet je de stelling van Pythagoras omvormen. Om in een rechthoekige driehoek een zijde te berekenen, gebruik je de stelling van Pythagoras.
80 cm 150 cm
uk
x cm
st
oo fd
200 cm
300 cm
Zo kun je ook een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en de andere rechthoekszijde gegeven zijn.
be
el
dh
1.3.2 Algemeen
c
GeoGebra
b
De schuine zijde berekenen als de rechthoekszijden gegeven zijn. c = a + b fi c = a + b 2
or
2
2
2
a
Een rechthoekszijde berekenen als de schuine zijde en een rechthoekszijde gegeven zijn. a 2 = c 2 – b 2 fi a = c 2 – b 2
2
b 2 =
fi b =
vo
1.3.3 Voorbeelden
In een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden 4 cm en 5 cm lang. Hoe lang is de schuine zijde? (op 0,1 nauwkeurig)
In een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 8 cm lang. Een van de rechthoekszijden is 6 cm. Hoe lang is de andere rechthoekszijde? (op 0,1 nauwkeurig)
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
19
COMPUTATIONEEL DENKEN
1.3.4 De stelling van Pythagoras met ICT
Is de schuine zijde gegeven?
a2 + b 2 = c
dh
a2 – b 2 = c
c
nee
oo fd
ja
st
a, b
uk
De werkwijze om de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als er twee zijden gegeven zijn, kun je als volgt samenvatten: • Je voert de lengtes van de gegeven zijden in. • Je kijkt of twee rechthoekszijden of één rechthoekszijde en de schuine zijde gegeven zijn. • Je kiest de passende formule om de derde zijde te berekenen. Dat kun je grafisch voorstellen in een organogram.
c
el
Waarom wordt links in de formule gebruikgemaakt van de absolute waarde en rechts niet?
be
or
vo
REKENMACHINE
1
2 3
4 5
actie
Open de programma-editor. Kies voor een nieuw programma en geef een programmanaam in.
6 7 8
20
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
knoppen draw
C
prgm
entry solve 2
enter
scherm
COMPUTATIONEEL DENKEN
Ruwweg kun je een programma onderverdelen in drie onderdelen: • invoer van de gegevens, • verwerking van de gegevens (formules), • uitvoer van de resultaten. Daarvoor beschik je in de programma-editor over twee menu’s met commando’s: • programmabesturingscommando’s (CTL),
actie
knoppen
Kies het menu met commando’s voor programmabesturing.
draw
scherm
C
oo fd
st
prgm
draw
C
prgm
el
dh
Kies het menu met commando’s voor in- of uitvoer.
uk
• in- en uitvoercommando’s (I/O).
Om gegevens in te voeren, gebruik je hoofdzakelijk 1:Input en 2:Prompt. Resultaten tonen doe je hoofdzakelijk met 3:Disp en 6:Output.
be
Hieronder vind je een programma om de lengte van de derde zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen als de lengtes van de andere twee zijden gegeven zijn. Zo start je altijd met een leeg scherm.
: Prompt A,B
Geef de gegeven lengtes in.
: Input “SZ GEGEVEN ( J OF N )?”,H
Is de schuine zijde gegeven, ja of nee?
: If H=J
Als het antwoord J(a) is,
: Then
dan
:
bereken je de lengte van de rechthoekszijde
vo
or
: WisHome
(abs(A2 – B2)) Æ R
: Disp R
en toon je die.
: Else
Anders
:
bereken je de lengte van de schuine zijde
(A2 + B2) Æ S
: Disp S
en toon je die.
GEOGEBRA EN PYTHON
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
21
Oefeningen REEKS A Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de schuine zijde in een rechthoekige driehoek. rechthoekszijde rechthoekszijde c=
b) a = 2 dm
b = 5 dm
c=
c) a = 16 m
b = 11 m
c=
d) a = 1,2 dm
b = 0,8 dm
c=
c=
e) a = 2,3 mm
b = 3,7 mm
c=
c=
f)
b = 8,7 cm
c=
c=
c=
oo fd
c=
dh
a = 12 cm
c=
uk
b = 7 cm
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de rechthoekszijde in een rechthoekige driehoek. rechthoekszijde
schuine zijde
bewerkingen
rechthoekszijde
c = 4 cm
a=
a=
b) b = 5 dm
c = 7 dm
a=
a=
c = 21 mm
a=
a=
d) b = 4,2 m
c=8m
a=
a=
e) b = 1,5 dm
c = 2,7 dm
a=
a=
f)
c = 4,9 cm
a=
a=
c = 9,4 m
a=
a=
or
be
a) b = 3 cm
vo
c) b = 12 mm
1
schuine zijde
a) a = 4 cm
el
15
bewerkingen
st
14
2 3
4 5
b = 4,7 cm
6 7
g) b = 6,3 m
8
22
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
16
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de zijde x in de rechthoekige driehoeken. a)
d)
x
x
2
25,5 5
st
oo fd
uk
5
b)
e)
40
15
25
9
x
be
el
dh
x
or
c)
vo
x
f)
12 x
25
15 55
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
23
REEKS B Bereken, op 0,01 nauwkeurig, x in de rechthoeken. a)
b)
35
x
55
oo fd
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de ontbrekende zijde in een rechthoekige driehoek met schuine zijde c.
dh
18
a 5
b)
15
b
9
be 19,30
7
or
d) e)
vo
c)
f)
c
el
a)
23,41
8
27
41,60
26
78,22
128
1
2 3
g)
6,50
h)
315,10
4
426,90
130,08
4 5
i)
89,23
6 7
j)
4,32
7,18
8
24
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
28
uk
x
40
st
17
berekeningen
19
Een ladder van 5 meter lang staat tegen een muur. De ladder steunt tegen de muur op een hoogte van 4,80 meter. Hoe ver staat de onderkant van de ladder van de muur? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
uk
st
20
oo fd
Antwoord:
Een rechthoek heeft een lengte van 10 cm en een breedte van 4 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de diagonalen van die rechthoek.
dh
el
be
Antwoord:
Een boom is op een hoogte van 2,30 m afgeknakt door de bliksem. De top van de kruin bevindt zich op 4,85 m afstand van wat er van de stam overgebleven is. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de oorspronkelijke hoogte van de boom.
or
21
vo
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
25
22
Aan de ene kant is een 50 m lang zwembad 1 m diep. Die diepte neemt geleidelijk aan toe tot 3,5 m aan de andere kant van het zwembad. Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de lengte van de bodem van dat zwembad.
uk
Op een terrein staan, op 10 m van elkaar, twee palen met een respectievelijke lengte van 8 m en van 6 m. Je wilt een kabel spannen tussen de toppen van beide palen. Hoe lang moet die kabel minimaal zijn? Bepaal je antwoord op 0,01 m nauwkeurig.
oo fd
23
st
Antwoord:
be
el
Antwoord:
dh
or
De Babyloniërs hadden een origineel idee om de hoogte van een muur te meten. Ze namen een stok, waarvan de lengte gekend was en die zeker langer was dan de hoogte van de muur, en plaatsten die schuin tot tegen de bovenrand van de muur. Het volstond dan de afstand van de muur tot het onderste punt van de stok te meten.
Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de hoogte van de muur, als het onderste punt van een stok van 25 m zich op 10,15 m afstand van de voet van de muur bevindt.
vo
24
1
2
3
4 5 6
7 8
26
Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
25
De schuine zijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek is 5 cm. Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de lengte van de rechthoekszijden.
uk
Antwoord:
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm.
st
26
oo fd
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de zijden van een ruit waarvan de diagonalen 9 cm en 5 cm lang zijn.
be
el
27
dh
Antwoord:
or
vo
Antwoord:
28
Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een vierkant met diagonalen van 3 cm. Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
27
REEKS C 29
Bereken, op 0,01 cm2 nauwkeurig, de oppervlakte van een ruit met zijde 10 cm en een diagonaal van 15 cm.
uk
st
30
oo fd
Antwoord:
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde 15 cm is en de ene rechthoekszijde driemaal zo lang is als de andere rechthoekszijde.
dh
el
be
Antwoord:
31
Bereken, op 0,01 m nauwkeurig, de omtrek van de cirkel omgeschreven aan een vierkant met een zijde van 4 m.
or
vo
1
2 3
4 5 6 7 8
28
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
4m
1.4
Afstand tussen twee punten
1.4.1 Afstand van een punt tot de oorsprong Het punt A is aangeduid op de tekening.
co(B) = (−5, 4)
co(A) = ( , )
Stel B voor in het assenstelsel.
Meet de afstand van A tot de oorsprong O.
Meet de afstand van B tot de oorsprong O.
| OA | =
| OB | =
uk
y
st
4
GeoGebra
A
oo fd
3 2 1
S
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
3
4
x 5
6
7
dh
–1
Bereken | OB |.
Je construeert het punt S, het snijpunt van een verticale rechte door A en de x-as.
Zo verkrijg je een rechthoekige driehoek.
| OS | = | de x-coördinaat van A | =
| AS | = | de y-coördinaat van A | =
be
el
Je kunt | OA | ook berekenen.
2
2
2
or
| OA | = | OS | + | AS | 2
| OA | =
2
| OA | =
vo
| OA | = +
Werkwijze
De afstand van een punt tot de oorsprong verkrijg je door • de som te berekenen van de kwadraten van de coördinaatgetallen van dat punt en • de vierkantswortel van die som te bepalen. co(A) = (xA , yA) fi | OA | = x A2 + y A2
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
29
1.4.2 Afstand tussen twee punten Voorbeeld In een assenstelsel zijn twee punten gegeven: A met co(A) = ( , ) en B met co(B) = ( , )
y B
8–2
oo fd
st
8
uk
Je kunt de afstand tussen die twee punten meten: | AB | = cm.
dh
2
S
A
1
1
2
3
7
8
7–3
be
el
O
x
Je kunt de afstand tussen de twee punten ook berekenen.
or
Je construeert het punt S, dat je verkrijgt als het snijpunt van een horizontale rechte door A en een verticale rechte door B.
vo
| AS | = want (verschil van de x-coördinaten)
1
| BS | = want (verschil van de y-coördinaten)
2
Bereken, op 0,01 nauwkeurig, de lengte van de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ABS.
3
4
2
2
2
| AB | = | AS | + | BS | 2
5
| AB | =
6
| AB | = 42 + 62
7
2
| AS | + | BS |
| AB | = =
8
30
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
Algemeen y
In een assenstelsel zijn twee punten gegeven:
yB
A met co(A) = (xA , yA) en
B
B met co(B) = (xB , yB).
| AC | = | xB − xA |
yA A
2
2
2
| AB | = | AC | + | CB | 2
2
1
2
| AB | = (x B – x A ) +(y B –y A )
oo fd
| AB | = |AC | + |CB |
C
st
Je neemt van beide verschillen de absolute waarde omdat afstanden altijd positief zijn.
uk
yB – yA
| CB | = | yB − yA | en
xA
2
xB
x
1
O
xB – xA
Formule
Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: 2
2
dh
| AB | = (x B – x A ) + (y B – y A )
Voorbeeld 1
| AB | =
be
=
el
Bereken | AB | op 0,01 nauwkeurig, als co(A) = (–2, 4) en co(B) = (3, –5).
Voorbeeld 2
or
y
3
Bereken | CD | op 0,01 nauwkeurig.
C
co(C) = co(D) =
vo
2
| CD | =
1
= x
O
1
2
3
4
5
–1 –2 –3
D
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
31
Bijzondere gevallen Afstand van een punt tot de oorsprong y
co(O) = (0, 0) co(A) = (5, −2)
1
| OA | = (5 – 0) + (–2 – 0)
2
2
= 5 + (–2)
x
O
1
2
3
4
5
uk
= 29 = 5,39
A
st
Algemeen
2
= 25 + 4
–1 –2
2
oo fd
Als co(A)= (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 .
Afstand tussen twee punten met dezelfde x-coördinaat
co(A)= (2, 1) co(B)= (2, −2)
y A
1
2
| AB | = (2 – 2) + (–2 – 1) 2
= 0 + (–2 – 1)
1
dh
x
O
2
3
–1
4
5
= (–2 – 1)
2
2
2
= |–2 – 1| = |–3| = 3
–2
el
B
be
Algemeen
Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is | AB | = | yB − yA |.
vo
or
Afstand tussen twee punten met dezelfde y-coördinaat
1
A
y
co(A) = (−2, 1) co(B) = (3, 1)
2
| AB | =
(3 – (–2))
2
+ (1 – 1)
=
(3 – (–2))
2
+0
=
(3 – (–2))
2
B
1
2 3
x –2
–1
O
1
2
3
6
Algemeen
Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is | AB | = | xB − xA |.
7 8
32
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
2
= |3 – (–2)| = |3 + 2| = 5
4 5
2
Oefeningen REEKS A 32
Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,1 nauwkeurig. a) A en B met co(A) = (2, 5) en co(B) = (5, 7)
I CD I = c) E en F met co(E) = (4, 7) en co(F) = (6, 3)
33
oo fd
I EF I =
st
b) C en D met co(C) = (4, 12) en co(D) = (3, 5)
uk
I AB I =
Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig.
I AB I =
dh
a) [AB] met co(A) = (−4, −2) en co(B) = (9, −2)
b) [OC] met co(O) = (0, 0) en co(C) = (2, 7)
el
I OC I =
c) [DE] met co(D) = (12, −4) en co(E) = (7, 1)
be
I DE I =
d) [FO] met co(F) = (−8, 4) en co(O) = (0, 0)
or
I FO I =
e) [GH] met co(G) = (−2, −6) en co(H) = (−4, 0)
vo
I GH I =
f) [IJ] met co(I) = (7, −3) en co(J) = (−7, 3) I IJ I = g) [OK] met co(O) = (0, 0) en co(K) = (0, −6) I OK I =
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
33
34
Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)
c)
y
y
B E
uk
A
F
1
st
1 x 1
–1
| EF | =
dh
| AB | = b)
d)
y
y
x
–1
el
O
–1
vo 2 3
4 5
D
G
| CD | =
| GH | =
6 7 8
34
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
H
–1
or
be
C
x
1
O
1
x O
oo fd
O
Bereken de afstand tussen de gegeven punten op 0,01 nauwkeurig. Controleer op de figuur. a)
c) y
y
E
B
1
1 x
A
x
1
| EF | =
b)
dh
| AB | =
d)
y
O
y
x
H
vo
G
1
D
x O
or
be
–1
1
el
C
1
st
O
oo fd
O
F
uk
35
| CD | =
| GH | =
1
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
35
REEKS B 36
Bereken de lengte van de lijnstukken op 0,01 nauwkeurig. Schat eerst het resultaat. Controleer op de figuur. y 5 B
4
uk
A
3
1
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
3
4
5
oo fd
–6
st
2
6
7
–1 –2 –3
C
dh
–4
–5
b) | AC | =
c) | OA | =
or
be
a) | AB | =
el
schatten
e) | CO | =
f) | AD | =
g) | CB | =
h) | DO | =
vo
d) | BD | =
1
2 3
4 5 6 7 8
36
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
berekenen
D
x
37
Teken de driehoeken en bereken de omtrek op 0,01 nauwkeurig. y 6 5 4
2 1
uk
3
x
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
–1 –2
4
5
6
7
8
9
oo fd
–3
3
st
–9
–4 –5
dh
–6
a) LAT met co(L) = (4, −2), co(A) = (2, 5) en co(T) = (6, 5)
be
el
or
b) PEN met co(P) = (−6, 5), co(E) = (−6, −4) en co(N) = (1, −4)
vo
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
37
38
De steden Agem, Begem en Cegem worden verbonden door een spoorlijn. Alle trajecten zijn recht. De steden hebben in een assenstelsel met ijk 1 km de volgende coördinaatgetallen: co(A) = (1, 2) co(B) = (6, 3) co(C) = (4, 11) Hoeveel km spoorlijn, op 0,001 km nauwkeurig, is er nodig?
uk
st
39
oo fd
Antwoord:
Vanuit de oorsprong bekijk je de punten X, Y en Z met de volgende coördinaatgetallen: co(X) = (5, 4) co(Y) = (−6, 2) co(Z) = (−4, −3) Welk punt ligt het dichtst bij de oorsprong?
dh
be
el
Antwoord:
Een computerscherm heeft een resolutie van 1 280 bij 1 024 pixels. Een pixel beweegt van positie (50, 50) naar positie (650, 800). Bereken de afgelegde weg op een gehele pixel nauwkeurig.
vo
or
40
1
2 3
4
5 6 7 8
38
Antwoord: HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
REEKS C 41
Een driehoek wordt gevormd door de punten D, E en F met de volgende coördinaatgetallen: co(D) = (1, 3) co(E) = (2, −1) co(F) = (−2, 1) Onderzoek of de driehoek DEF gelijkbenig en/of rechthoekig is.
uk
st
42
oo fd
Antwoord:
De vierkantjes op de figuur hebben een zijde van 12,5 km. Niels logeert aan de kust. Hoe ver bevindt hij zich van Gent? Hoe ver van Brussel? y
Niels bevindt zich hier
O
1
Turnhout
Antwerpen
dh
Brugge
1
Roeselare
Gent
x
Mechelen
Aalst
Hasselt
el
Brussel
Charleroi
Namur Marche-en-Famenne
Arlon
vo
or
be
Mons
Liège
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
39
1.5
Pythagoras in de ruimte
1.5.1 Modeloefening 1: diagonaal van een kubus gegeven B
C
een kubus met ribbe 4 cm gevraagd a) Bereken de lengte van [AC] op 0,01 nauwkeurig. b) Bereken de ruimtediagonaal op 0,01 nauwkeurig.
D
uk
A
oplossing G
st
F
oo fd
H
E
antwoord
a) De lengte van [AC] is
dh
b) De ruimtediagonaal is
instructiefilmpje
be
el
1.5.2 Modeloefening 2: hoogte van een piramide gegeven
een piramide met vierkant grondvlak Elke ribbe is 4 cm. gevraagd a) Bereken de lengte van [BD] op 0,01 nauwkeurig. b) Bereken de hoogte EH op 0,01 nauwkeurig. oplossing
vo
or
E
C
B
1
A
5
antwoord
6
a) De lengte van [BD] is
7
40
D
4
8
H
2 3
GeoGebra HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
b) De hoogte is
Oefeningen REEKS A 43
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven
A
een balk met l = 3 cm, b = 2 cm en h = 6 cm gevraagd
D
a) | FH | b) | DF | oplossing
h
oo fd
uk
C
st
B
F
G
b E
H
l
antwoord
b) | DF | =
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.
be
el
44
dh
a) | FH | =
een piramide met vierkant grondvlak met z = 3 cm en h = 5 cm gevraagd a) | AC | b) | AE |
E
oplossing
or vo
gegeven
B
C
F A
D
antwoord a) | AC | =
b) | AE | = HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
41
REEKS B 45
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig. gegeven een balk met l = 3 cm, b = 3 cm en h = 5 cm M is het midden van [AE ]. N is het midden van [FG ].
B
C
gevraagd
D
uk
| MN |
A
oplossing
st
M
F
oo fd
G
N
H
E
antwoord
el
Bereken op 0,1 cm nauwkeurig.
be
46
dh
| MN | =
een kubus met ribbe 3 cm gevraagd
or
B
vo
A
C
oplossing
F
2
G
3
E
5
H
6
antwoord
7
De omtrek van CEG is
8
42
de omtrek van CEG
D
1
4
gegeven
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
47
Bereken, op 0,1 cm nauwkeurig, de hoogte van een piramide met een vierkant grondvlak met zijde 7 cm en opstaande ribbe 11 cm.
uk
st
48
oo fd
Antwoord:
Een vrachtwagen heeft een laadruimte met lengte 5,5 m, breedte 3 m en hoogte 2,5 m. Kan een vlaggenmast van 7 m in die laadruimte?
dh
be
el
Antwoord:
Van een piramidevormige tent hebben alle ribben een lengte van 2,5 m. Milan is 1,82 m groot. Kan Milan rechtop staan in die tent?
or
49
vo
Antwoord:
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
43
REEKS C 50
Bereken op 0,01 cm2 nauwkeurig. gegeven een kubus met ribbe 3 cm gevraagd de oppervlakte van BGE C
A
oplossing
uk
B
D
F
G
st
E
oo fd
H
antwoord
Bewijs.
el
51
dh
De oppervlakte van BGE is
be
B
vo
een balk met ribben l, b en h
C
te bewijzen 2
2
2
2
2
| DF | = l + b + h
D
bewijs
or
A
gegeven
h
1
2
F
3
G b
4 5
E
l
6
44
besluit 2
| DF | = l + b + h
7 8
H
2
2
2
In een balk is het kwadraat van de lengte van een ruimtediagonaal gelijk aan l + b + h . HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
STUDIEWIJZER De stelling van Pythagoras voor de leerling
1.1 De stelling van Pythagoras formuleren KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Als in een driehoek de som van de kwadraten van de twee kortste zijden gelijk is aan het kwadraat van de langste zijde, dan is de driehoek rechthoekig.
– + – +
uk
KUNNEN De stelling van Pythagoras formuleren.
1.2 Meetkundige voorstellingen
– + – +
st
KUNNEN
Het verband tussen de stelling van Pythagoras en de oppervlakte van de vierkanten op de zijden van een rechthoekige driehoek verduidelijken.
1.3 Rekenen met Pythagoras
oo fd
De Pythagorasboom, als meetkundige voorstelling van de stelling van Pythagoras, tekenen en toelichten.
KUNNEN
– + – +
Een onbekende zijde in een rechthoekige driehoek berekenen.
Een algoritme ontwerpen om een zijde in een rechthoekige driehoek te berekenen.
dh
De stelling van Pythagoras toepassen om vlakke problemen op te lossen.
1.4 Afstand tussen twee punten
KENNEN
– + – + 2
2
el
Voor A en B met co(A) = (xA , yA) en co(B) = (xB , yB) geldt: |AB| = (x B – x A ) + (y B – y A ) . Afstand van een punt tot de oorsprong.
be
Als co(A) = (xA , yA), dan is |OA| = x A2 + y A2 .
Als de rechte AB verticaal is (xA = xB), dan is |AB| = |yB – yA|.
or
Als de rechte AB horizontaal is (yA = yB), dan is |AB| = |xB – xA|.
KUNNEN
– + – +
De afstand tussen twee punten, gegeven met hun coördinaten, berekenen in het vlak.
vo
1.5 Pythagoras in de ruimte KUNNEN
– + – +
De stelling van Pythagoras toepassen om ruimtelijke problemen op te lossen.
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
45
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
st
uk
❑ concreet materiaal
oo fd
tallen in de piramide, 1. Plaats natuurlijke ge staande vakjes elke twee naast elkaar in len tal ge de n va m zodat de so vakje erboven. het gemeenschappelijke in tal ge t he n aa is lijk ge 145
25
dh
42
5 3
be
el
12
vo
or
2. Plaats natuurlijke ge tallen in de piramide, zodat het product van de getallen in elke twee na ast elkaar staande vakje gelijk is aan het getal in s het gemeenschappelijke vakje erboven. 36 000
1
2 3
4 5 6 7 8
46
HOOFDSTUK 1 I DE STELLING VAN PYTHAGORAS
24
15
2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen 2.2 Vierkantswortels
48 54
st
2.3 De reële getallen
uk
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
58 63
2.5 Reële getallen ordenen
67
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal
74
Studiewijzer
78
Pienter problemen oplossen
80
vo
or
be
el
dh
oo fd
2.4 Irrationale getallen benaderen
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
47
1
2.1
Decimale voorstelling van rationale getallen
2.1.1 Inleiding b)
=
=
euro
=
euro euro
d)
= =
euro
euro
=
=
euro
euro
st
=
euro
c)
uk
a)
De waarde is een rationaal getal. Elk rationaal getal kan op twee manieren worden geschreven: Voorbeelden:
oo fd
• •
Voorbeelden:
2.1.2 Een breuk omvormen naar de decimale schrijfwijze
dh
Om een breuk om te vormen naar de decimale schrijfwijze, deel je de teller van de breuk door de noemer. 24 = 25
31 = 250
17 = 8
el
2.1.3 Soorten decimale voorstellingen van rationale getallen
be
decimaal getal
or
29 = 20
vo
Een decimaal getal is een begrensd kommagetal.
decimale vorm
zuiver repeterend
5 = 11
17 = 6
Een zuiver repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij de periode onmiddellijk na de komma begint.
Een gemengd repeterende decimale vorm is een onbegrensd kommagetal waarbij tussen de komma en de periode een niet-repeterend deel voorkomt.
1
• De periode van een decimale vorm is de cijfergroep na de komma die telkens herhaald wordt. Voorbeeld: 12,767 6... periode = 76
2 3
• Het niet-repeterend deel van een gemengd repeterende decimale vorm is de cijfergroep tussen de komma en de periode. Voorbeeld: 13,845 210 210... periode = 210 niet-repeterend deel = 845
4 5 6 7 8
gemengd repeterend
Afspraken
• Noteer de periode twee keer, gevolgd door drie puntjes. • Begin de periode zo vroeg mogelijk. • Houd de periode zo kort mogelijk. GeoGebra
48
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2.1.4 Een decimale schrijfwijze omvormen naar een breuk Decimale getallen voorbeeld
werkwijze
Zuiver repeterende decimale vormen met 0 voor de komma voorbeeld
werkwijze
• Stap 1: Noteer het kommagetal als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.
5 11
REKENMACHINE
oo fd
=
st
0,454 5... 45 = 99
instructiefilmpje
uk
• Stap 1: Noteer het getal als een breuk: ■ de teller is het getal zonder komma; ■ de noemer is een macht van 10 met zoveel nullen als er cijfers na de komma zijn. • Stap 2: Vereenvoudig, indien mogelijk.
1,65 165 = 100 33 = 20
instructiefilmpje
Breuken invoeren en vereenvoudigen actie 1 785 in. 825
a-lock
stat plot f1
L1
1
y=
alpha
L1
Y u
O v
1
7
v
P L2
el
8
8
be or
. Y
U
5
entry solve
enter
knoppen : L6
1 L1
U
5
2
Y i
L1
P L5
Z L5
actie
Zet het decimaal getal 1,65 om naar een breuk.
scherm
Y
dh
Voer de breuk
knoppen
scherm
V L5
6
U
5
test
A
math
entry solve
1
enter Y i
L1
: L6
.
1 a-lock
6
stat plot f1
L4
U
5 Τ
4
y=
alpha
V L5
entry solve
enter
actie
Zet de decimale vorm 0,454 5... om naar een breuk.
knoppen catalog
[
vo
Om met de rekenmachine de omzetting naar een breuk te verkrijgen, moet je de periode soms tot zes keer herhalen.
i
: L4
0 L5
. U L4
5 L4
L1
U L4
5 U L4
5 U L4
5 Y
1
Τ L5
Τ L5
4
Τ L5
4
4
scherm
Τ L5
4 Τ L5
4
Τ
4
U
5
U
5 test
A
math
entry solve
enter
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
49
Zuiver repeterende decimale vormen met een ander getal dan 0 voor de komma voorbeeld
werkwijze
2,33... • Stap 1: Noteer het getal als de som van een aantal gehelen en een getal tussen 0 en 1.
= 2 + 0,33... 3 9
=2+
1 3
• Stap 2: Noteer het getal tussen 0 en 1 als een breuk: ■ de teller is de periode; ■ de noemer is een getal met zoveel negens als er cijfers in de periode zijn.
6 1 + 3 3
=
7 3
• Stap 4: Maak de breuk en het geheel getal gelijknamig.
oo fd
=
st
• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.
uk
=2+
• Stap 5: Bepaal de som van de breuken.
instructiefilmpje
voorbeeld 2,161 212... 1 100
werkwijze
• Stap 1: Schuif de komma op naar rechts, zodat die juist voor de periode komt te staan, en deel door de passende macht van 10 om de gelijkheid te bewaren.
be
el
= 216,121 2... ?
dh
Gemengd repeterende decimale vormen
= (216 + 0,121 2...) ?
• Stap 2: Noteer het zuiver repeterend kommagetal dat je daardoor vindt als een onvereenvoudigbare breuk.
1 12 ? 99 100
or
= 216 +
1 100
vo
= 216 +
1
=
1 7 128 4 + ? 33 33 100
=
1 7 132 ? 33 100
2 3
4 5
=
7 132 3 300
=
1 783 825
6 7
1 4 ? 33 100
8
50
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
instructiefilmpje
• Stap 3: Vereenvoudig, indien mogelijk.
GeoGebra
Oefeningen REEKS A Duid het soort decimale schrijfwijze van de rationale getallen aan. zuiver repeterende decimale vorm
gemengd repeterende decimale vorm
a) 0,845
❒
❒
❒
b) 0,88...
❒
❒
c) 1,141 4
❒
❒
d) 3,243 624 36...
❒
❒
e) 8,254 4...
❒
g) 8,07 h) 781,787 8... i) 0,478 925 925...
a)
3 5
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
b)
1 8
c)
f)
19 12
=
k)
210 111
=
=
g)
14 37
=
l)
17 15
=
2 3
=
h)
892 45
=
m)
45 33
=
d)
80 33
=
i)
508 125
=
n)
309 125
=
e)
14 15
=
j)
25 12
=
o)
85 72
=
be
el
=
or
❒
Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze.
vo 3
❒
❒
dh
j) 18,145 656
2
❒
oo fd
f) 16,232 322...
uk
decimaal getal
st
1
Vorm de breuken om naar de decimale schrijfwijze en bepaal telkens de periode. decimale schrijfwijze
periode
a)
8 21
b)
7 13
c)
625 7
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
51
REEKS B
e) 0,325
=
b) 0,4
=
f) 1,18
=
c) 2,7
=
g) 0,036
=
d) 1,25
=
h) 4,064
=
uk
=
st
a) 0,29
a) 0,77...
=
b) 0,151 5...
=
c) 0,090 9...
=
d) 0,117 117...
=
e) 0,030 030...
=
f) 1,55...
=
oo fd
Schrijf de zuiver repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.
el
5
Schrijf de decimale getallen als een onvereenvoudigbare breuk.
dh
4
=
be
g) 2,181 8...
h) 4,531 531...
Schrijf de gemengd repeterende decimale vormen als een onvereenvoudigbare breuk.
or
6
vo
a) 0,144...
1
2 3
4
=
b) 1,257 878...
c) 18,733...
5 6 7 8
52
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Noteer de rationale getallen in decimale schrijfwijze als een onvereenvoudigbare breuk. a) 2,131 3...
d) 72,727 2...
be or
c) 17,400...
h) 50,505 5...
el
vo
dh
oo fd
e) −0,212 312 3...
uk
b) −1,02
g) −0,123 44...
st
7
f) 2,757 5...
i) −2,969 6...
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
53
2.2
Vierkantswortels
2.2.1 Inleiding Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 1 600 cm2. Bereken de lengte van een zijde van een tegel.
uk
st
2.2.2 Definitie Vierkantswortel van een positief getal
Definitie
oo fd
Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal. In symbolen
b is een vierkantswortel van a ¤ b 2 = a Opmerking
dh
Waarom kun je de vierkantswortel van een negatief getal niet bepalen?
el
2.2.3 Positieve en negatieve vierkantswortel van een getal
be
positieve vierkantswortel
• Bepaal een positief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81. 2
or
( ) = 81
negatieve vierkantswortel • Bepaal een negatief getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 81. 2
( ) = 81 • Besluit:
noem je de positieve vierkantswortel van 81.
noem je de negatieve vierkantswortel van 81.
1
• Notatie:
• Notatie:
2
vo
• Besluit:
81 =
81 = –
3
4
Besluit
• Elk positief getal a, verschillend van 0, heeft twee vierkantswortels die tegengesteld zijn:
5 ■
de positieve vierkantswortel of kortweg de vierkantswortel van a is a
■
de negatieve vierkantswortel van a is − a
6 7 8
54
• 0 heeft juist één vierkantswortel, namelijk 0 zelf. • Elk negatief getal a, verschillend van 0, heeft geen vierkantswortels. HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS A
144
=
b) – – 100
=
g)
0,25
=
c)
=
h) – – 6 400
=
d) – – 1
=
i)
0,81
=
e) – – 625
=
j)
0,04
=
98 741
=
169
st
f)
Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig. a)
=
5
b) – – 3
=
c)
=
490
d) – – 2 1 258
g) – – 158
=
h) – – 965
=
i)
147,2
=
=
j) – – 954,26
=
be
e)
=
f)
dh
9
=
25
oo fd
a)
uk
Bereken zonder rekenmachine.
el
8
or
REEKS B
Bepaal zonder rekenmachine de twee gehele getallen waartussen het resultaat van de vierkantswortels ligt. Controleer achteraf het resultaat met de rekenmachine.
vo
10
ligt tussen de gehele getallen ...
verklaring
a)
32
en
b)
250
en
c) – – 12
en
d) – – 184
en
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
55
Bepaal de gevraagde lengten op 0,001 cm nauwkeurig. c) de straal van een cirkel met een oppervlakte van 120 cm2
b) de rechthoekszijde van een gelijkbenige rechthoekige driehoek met een oppervlakte van 414 cm2
d) de diameter van een cirkel met een oppervlakte van 845 cm2
oo fd
dh
12
uk
a) de zijde van een vierkant waarvan de oppervlakte 278 cm2 bedraagt
st
11
Los de vergelijkingen op.
d) 5x 2 = 180
el
a) x 2 – 25 = 0
x = 25 of x = – 25
x = 5
be
x 2 = 25
of x = –5
e) 3x 2 – 63 = 300
vo
or
b) x2 + 7 = 71
1
2 3
4 5 6 7
c)
x2 = 28 7
x2 + 14 = 62 3
8
56
f)
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
REEKS C
13
oo fd
st
uk
De Body Mass Index wordt ook wel eens de queteletindex genoemd, naar de Belgische wiskundige en astronoom Adolphe Quetelet (1796-1874). Quetelet wordt beschouwd als een van de grondleggers van de moderne sociale statistiek, die zich bezighoudt met het organiseren van volkstellingen en het schetsen van de ‘modale’ mens. Hij was ook heel bedrijvig als sterrenkundige en is de stichter van de Sterrenwacht van Brussel, de voorloper van het Koninklijk Meteorologisch Instituut. m De Body Mass Index (BMI) van een persoon is het getal BMI = 2 . l Daarbij is m de massa in kilogram en l de lengte in meter. De ‘ideale’ BMI ligt tussen 18,5 en 25. Wie minder dan 18,5 scoort, is te mager. Wie een BMI hoger dan 25 heeft, is te zwaar. Een BMI hoger dan 30 levert het etiket ‘zwaarlijvig’ op.
Bepaal de lengte van een persoon aan de hand van de BMI en de massa van de persoon. Bepaal je antwoord op 0,01 m. a) BMI = 24
m = 78 kg
c) BMI = 28
m = 94 kg
m = 50 kg
be
el
d) BMI = 18
m = 60 kg
dh
b) BMI = 20
or
Een klassiek probleem van de oude Grieken: ‘Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel.’ Dat probleem is gekend als de kwadratuur van een cirkel.
vo
Stel: r is de straal van de cirkel. x is de zijde van het vierkant. Dan: x 2 = ? r 2
14
Bereken de zijde van een vierkant dat dezelfde oppervlakte heeft als een cirkel met een straal van 5 cm. Bepaal je antwoord op 0,001 cm nauwkeurig.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
57
2.3
De reële getallen
2.3.1 Getallen die je al kent Geheel getal
Rationaal getal
Een natuurlijk getal is een getal dat je verkrijgt bij het tellen van aantallen.
Een geheel getal is een getal dat je verkrijgt bij het aftrekken van twee natuurlijke getallen.
Een rationaal getal is een getal dat je verkrijgt bij de deling van twee gehele getallen waarbij het tweede getal niet 0 is.
5 is een natuurlijk getal.
−3 is een geheel getal.
Notatie: 5 ΠN
Notatie: −3 Œ Z
Lees: 5 is element van N.
Lees: −3 is element van Z.
2.3.2 Uitbreiding getallen Irrationale lengten
uk
Natuurlijk getal
st
3 is een rationaal getal. 4 3 Notatie: ΠT 4 3 Lees: is element van T. 4
oo fd
Definitie
Om een tuinhek te verstevigen, plaats je vier diagonale balken. Bereken de lengte van een diagonale balk aan de hand van de afmetingen op de tekening.
dh
el
Duid aan welk soort getal het resultaat voor de lengte van de diagonale balk zeker niet is.
❒ natuurlijk getal
❒ geheel getal
❒ rationaal getal
be
De rekenmachine is ontoereikend om na te gaan of het verkregen resultaat een rationaal getal voorstelt. Ook met de computer, die heel wat meer decimalen kan berekenen, kun je het einde van het getal niet ontdekken (decimaal getal?) en ook geen periode (decimale vorm?). Irrationale getallen
vo
or
Er bestaan getallen met oneindig veel cijfers na de komma en zonder periode. Die getallen kun je niet als breuk schrijven en het zijn bijgevolg geen rationale getallen. Je noemt ze irrationale getallen.
1
2 3
Voorbeelden:
• 2 = 1,414 213 562 3... • 0,123 456 789... • p = 3,141 592 653 589 793 238 46...
4 5
2 met de computer berekend tot op 200 decimalen:
6
2 = 1, 414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735 013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935 831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 47...
7 8
58
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2.3.3 Rationale en irrationale vierkantswortels irrationale vierkantswortels
•
121
=
•
32
=
•
1 4
=
•
5 4
=
•
6,25
=
•
10,02
=
uk
rationale vierkantswortels
Besluit Een vierkantswortel van een rationaal getal heeft ofwel
st
• een rationaal getal als uitkomst. Voorbeelden:
Voorbeelden: GEOGEBRA EN PYTHON
2.3.4 Reële getallen
oo fd
• een irrationaal getal als uitkomst.
Definitie
Reëel getal
dh
De rationale en de irrationale getallen samen noem je de reële getallen.
Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.
el
De verzameling van de reële getallen noteer je als R.
R N
Z
T
vo
or
be
2 is een reëel getal. Notatie: 2 Œ R Lees: 2 is element van R Plaats de getallen in het venndiagram. 7,25
37
–2,4
2,345…
– 7
0,22…
–6
3
12 3
1 3
–
Enkele bijzondere deelverzamelingen van R: R0 : de reële getallen zonder 0 +
R : de positieve reële getallen –
R : de negatieve reële getallen De irrationale getallen bevinden zich in R, maar niet in T:
GeoGebra HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
59
2.3.5 Absolute waarde van een reëel getal Definitie
Absolute waarde De absolute waarde van een reëel getal is gelijk aan het getal zonder toestandsteken (plus of min). Voorbeelden: – 3 = 0,123 45... = – =
Definitie
uk
2.3.6 Tegengestelde van een reëel getal Tegengestelde
st
Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken.
oo fd
Voorbeelden: –(– 2 ) = –(+p) = –(–1,246...) =
2.3.7 Omgekeerde van een reëel getal Definitie
Omgekeerde –1
–1
= (p) = (– 17 ) = –1
el
Voorbeelden:
1 2
dh
Het omgekeerde van een reëel getal is gelijk aan 1 gedeeld door dat getal (verschillend van nul).
vo
or
be
• Er bestaat een ‘wetenschap’ die zich bezighoudt met technieken om de cijfers van p te onthouden: de Piphilologie. Het bekendste geheugensteuntje komt van de schrijver en biochemicus Isaac Asimov (1920-1992): 'How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!' In die zin staat het aantal letters van elk woord voor de opeenvolgende cijfers van het getal p : 3,141 592 653 589 79. Wie liever een Nederlandstalig zinnetje onthoudt, kan volgens hetzelfde systeem de eerste dertien cijfers van het getal p onthouden: 'Ook u kunt u zeker vergissen, uw zwakke brein kan immer verkeerd beslissen.'
1
2 3
4 5 6 7
• In 1897 werd in het parlement van de Amerikaanse staat Indiana een wet aangenomen waarin stond dat het getal p gelijkgesteld moest worden aan 3,2. Edwin J. Goodwin, een amateurwiskundige, was de opsteller van die wet. Naast een ‘praktische’ reden had Goodwin er ook financieel belang bij. Door de ‘uitvinding’ van p = 3,2 kon hij een patent verkrijgen en zo royalty’s ontvangen. De wet werd nadien door de Senaat verworpen dankzij de toevallige aanwezigheid van een wiskundige die de fouten kon aanwijzen die Goodwin gemaakt had om tot p = 3,2 te komen.
8
60
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS B Plaats de getallen in het venndiagram. a) –12
c) 1,5
b) 0
d)
3 4
g) –
f) – 5
h) –1,232 3...
j) 5,024 6...
l) –5
12
R
st
oo fd
b) 0,23
Œ
c) 4 585
Œ
f) 1,232 3...
Œ
k) p
Œ
g) −1,5
Œ
l) 0,047 47...
Œ
3 7
Œ
m) −8,113
Œ
6
Œ
n) – 2
Œ
j) 99
Œ
o)
1 3
Œ
dh
Œ
h) –
el
a) −5
i)
Œ
be 1 6
or
e)
Œ
Zijn de gegeven getallen rationaal of irrationaal? rationaal
irrationaal
a) 1,233...
❒
❒
b) 1,234 5...
❒
❒
h)
c) p
❒
❒
i)
d)
❒
❒
e) 7 890
❒
f) –8,5
❒
vo
k)
Noteer de meest passende getallenverzameling. Kies uit N, Z, T of R.
d) 0,135 79...
17
i) 154
T
Z
N
16
1 3
e) 0,33...
uk
15
100
rationaal
irrationaal
g) – 7
❒
❒
1 5
❒
❒
❒
❒
j) –473
❒
❒
❒
k)
625
❒
❒
❒
l) –
2 3
❒
❒
2
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
61
20
– 0,25
– 5
0,166...
p+1
1 2
4 25
Œ
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
N
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
Z
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
T
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
❒
0,44...
❒
❒
❒
25
zijde rationaal
a)
81
❒
b)
348
❒
c)
8 792
❒
d)
3 136
❒
zijde rationaal
zijde irrationaal
e)
3 487
❒
❒
❒
f)
144
❒
❒
❒
g)
99
❒
❒
❒
h)
11 025
❒
❒
=
e) – 1,233...
=
3 7
=
f) – –
=
=
c) –(p)
=
e) –(+1,455...) =
=
d) –(– 11 )
=
f) – –
c) – 3
=
d) – –
or
Schrijf zo eenvoudig mogelijk.
vo
a) –(–8)
b) –( 2 )
1
A (m2)
❒
=
be
b) 0,85
21
zijde irrationaal
Schrijf zonder absolutewaardeteken. a) –7
5 2
=
2 3
4 5 6 7 8
62
22
Bepaal het omgekeerde van de reële getallen. Bepaal indien nodig je antwoord op 0,001 nauwkeurig. a)
–1
4 7
–1
b) (–2)
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
(
R
❒
oo fd
A (m2)
❒
st
Is de zijde van het vierkant, waarvan de oppervlakte A gegeven is, een rationale of een irrationale lengte? Zet een vinkje.
uk
3
0,44
dh
19
Duid met een vinkje aan tot welke verzameling(en) het gegeven getal behoort.
el
18
–1
2)
=
c)
=
1 d) – 4
–1
=
e) 1,33...
=
f) 12
–1
–1
= =
2.4 Irrationale getallen benaderen 2.4.1 Inleiding Bereken 5 . Rond af op het gegeven aantal decimalen.
Controleer de afgeronde waarde aan de hand van de definitie van een vierkantswortel. 2
• 0,01
:
fi (
) =
• 0,001
:
fi (
) =
• 0,000 1 :
fi (
• 0,000 01 :
fi (
uk
2 2
) = 2
) =
st
Een irrationaal getal kan nooit exact worden geschreven als decimale vorm. De decimale vorm is enkel een benaderde waarde van dat irrationaal getal.
oo fd
2.4.2 Afronden
Het afronden van een irrationaal getal gebeurt in functie van de toepassing. Voorbeeld:
Koenraad berekent de lengte van het diagonale tussenschot van de afgebeelde tuinomheining. Hij zal de berekende waarde controleren door de meting uit te voeren met een vouwmeter.
dh
60 cm
60 cm
x cm
el
2.4.3 Wortelvormen
be
Omdat je een irrationale vierkantswortel toch niet exact kunt weergeven door een decimale vorm, kun je als eindresultaat van een opgave de vierkantswortel of een veelvoud ervan noteren.
Definitie
Wortelvorm
or
Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.
Opmerking
vo
• Bij een wortelvorm noteer je het rationaal gedeelte altijd vooraan. • Bij een wortelvorm mag je het vermenigvuldigingsteken weglaten. Voorbeelden 3 2 , –7 145 ,
1 3
15 ,
Benaderingen van p
op 2 decimalen nauwkeurig
op 6 decimalen nauwkeurig
op 20 decimalen nauwkeurig
22 7
355 113
428 224 593 349 304 136 308 121 570 117 HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
63
2.4.4 Irrationale getallen benaderen met intervallen Interval Tijdens een stralende zomerdag rust Fatima tussen 14u en 14u30 uit op een bank in het park. De tijd tussen 14u en 14u30 noem je een tijdsinterval.
Definitie
uk
Interval in R Interval in R
st
Een interval in R is een ononderbroken verzameling van reële getallen.
oo fd
Soorten intervallen omschrijving
in woorden
notatie
gesloten interval
−1 £ x £ 6
alle getallen tussen −1 en 6, −1 en 6 inbegrepen
[−1, 6]
open interval
−1 < x < 6
alle getallen tussen −1 en 6, −1 en 6 niet inbegrepen
]−1, 6[
halfopen interval
−1 < x £ 6
alle getallen tussen −1 en 6, −1 niet inbegrepen, 6 inbegrepen
]−1, 6]
alle getallen tussen −1 en 6, −1 inbegrepen, 6 niet inbegrepen
[−1, 6[
halfgesloten interval
dh
interval
−1 £ x < 6
el
Irrationale getallen benaderen
be
Je kunt een irrationaal getal benaderen door aan te duiden tot welk interval, begrensd door twee rationale getallen, dat irrationaal getal behoort. GeoGebra
Opmerkingen
or
• Het aantal decimalen van de grenzen van het interval bepaalt de breedte van het interval. • Om irrationale getallen te benaderen, gebruik je open intervallen. Voorbeeld
vo
35 = 5,916 079 783
1
intervalbreedte
omschrijving
intervalnotatie
2
1
5 < 35 < 6
]5, 6[
0,1
5,9 < 35 < 6,0
]5,9; 6,0[
3
4 5 6
0,01
5,91 < 35 <
]5,91; [
0,001
< 35 <
] ; [
0,000 1
< 35 <
] ; [
7 8
64
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Oefeningen REEKS B Schrijf de gegeven uitdrukkingen als een wortelvorm. a)
3 2
=
f) – 33 (–14)
=
b)
17 0,5
=
g)
=
=
h) –0,12 (– 12,8 ) =
24
1 (–4) 7
=
i)
e) –
3 7 4
=
j) –
1 8
– 11 15
5 7
=
–
7 8
=
Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek bij het huisnummer 4. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.
afronding voor de controlemeting:
el
3,2 cm
dh
meettoestel
or
be
2,6 cm
afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
Een ring heeft een omtrek van 20 cm. Bereken de diameter van de ring. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.
vo
25
uk
d)
st
c) – 2 8
29 (–4)
oo fd
23
afronding voor de controlemeting: meettoestel
afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
65
Vul de tabel in. omschrijving
intervalnotatie
a)
3 £ x £ 11
b)
–4 < x < 8
c)
–1,5 £ x < –0,75
]4 , 16[
e)
[1,7 ; 8,5]
– 3,
uk
d)
f)
In welk open interval met gegeven breedte liggen de volgende irrationale getallen? irrationaal getal a)
7,123 456...
b)
8
oo fd
27
soort interval
st
26
intervalbreedte 0,1
0,01
1
– 21
d)
148
10
e)
−4,010 020 003...
0,000 1
0,001
el – 1 214
be
f)
dh
c)
interval
REEKS C
Bereken de opening van de steeksleutel die je moet gebruiken om de moer los te draaien.
vo
or
28
1
2 3
4
7,5 mm
5
6 7
8
66
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
2.5 Reële getallen ordenen 2.5.1 Inleiding <
£
>
≥
–141
7 8
–114
0,850
19
3 2
–p
– 10
st
Voorbeelden
uk
Symbolen
oo fd
2.5.2 Abscis van een punt op de getallenas
De reële getallen kun je voorstellen op een rechte, die je de reële rechte noemt. Je doorloopt die rechte van links naar rechts. Dat noem je de oriëntering van de getallenas en stel je voor met een pijl naar rechts. Hoe meer je naar rechts gaat, hoe groter de getallen worden.
dh
Op de getallenas kies je twee willekeurige punten, die je de waarde 0 en 1 geeft. Dat noem je de ijk. De afstand tussen die punten is niet noodzakelijk 1 cm. Als je die ijk verder naar rechts afpast, vind je de volgende natuurlijke getallen. Plaats de gegeven reële getallen bij de correcte stip op de getallenas. 2
–
4
1 3
0,75
–1
el
p
1
R
be
0
Definitie
Abscis van een punt
or
De abscis van een punt van de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.
vo
Notatie: ab(A) = 0,5
A 0
0,5
R
1
Met de rationale getallen kun je nog niet aan elk punt van de getallenas een abscis toekennen. Met de irrationale getallen erbij is dat wel mogelijk.
Besluit
Elk punt van de getallenas komt overeen met één reëel getal. Elk reëel getal komt overeen met één punt van de getallenas.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
67
2.5.3 Irrationale getallen voorstellen op een getallenas Door een natuurlijk getal n te schrijven als een som van kwadraten, kun je n met een aantal rechthoekige driehoeken exact construeren. Stap 1: Schrijf het getal n als een som van een kwadraat van een natuurlijk getal en een tweede natuurlijk getal. Neem het kwadraat dat het dichtst bij het getal n ligt en kleiner is dan het getal n.
GeoGebra
uk
Stap 2: Splits dat tweede getal als een somvan een kwadraat van een natuurlijk getal en een derde natuurlijk getal. Stap 3: Doe dat verder tot alle termen kwadraten van een natuurlijk getal zijn. Stap 4: Teken de nodige rechthoekige driehoeken.
st
Stap 5: Pas de verkregen lengte n af en plaats het irrationaal getal op de getallenas. Voorbeeld
b = 27 27 = 25 + 2 = 25 + 1 + 1 2 2 2 = 5 +1 +1 a
oo fd
Construeer een lijnstuk met een lengte gelijk aan 27 en stel voor op de getallenas.
b
1
27
a
1
5
2
2
dh
b
0
R
1
el
2.5.4 Intervallen voorstellen op een getallenas
be
Voor het voorstellen van intervallen op een getallenas gelden de volgende richtlijnen: • De breedte van het interval wordt voorgesteld met een groene of een vetgedrukte lijn.
[1, 3] 0
vo
or
• De grenzen van het interval worden voorgesteld met een stip:
1
2 3
4 5 6 7
gesloten
●
of
open
●
of
]–1, 2[ 0
1
R
0
1
R
[–2, 0[
[–1, + •[
• Bijzondere intervallen: [–1 , +∞[
+∞: plus oneindig
]–∞ , 2[
−∞: min oneindig
Opmerking Het interval is altijd open bij –∞ en +∞.
8
68
●
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
R
1
0
1
R
1
R
]– •, 2[ 0
Oefeningen REEKS B
a)
1 024
1 042
k)
−79,14
b)
−98
−89
l)
3,002 345...
c)
3,24
3,240
m)
– 459
−21,424 2...
d)
−0,001
0,000 1
n)
2,99...
3
e)
1,22...
1,234 5...
o)
79,13
f)
−4 897 324
−4 987 243
p)
g)
23
24
q)
h)
p
10
r)
i)
1 2
0,25
s)
j)
−7
49
t)
st
uk
3,002 343 4...
35,185
1 238
oo fd
3 7
– 48 –
15 19 10 12
3 2
dh
30
Vul in met <, > of =.
3 8
–4 3 −0,789 5 6 2 3
n werd met een aantal rechthoekige driehoeken geconstrueerd. Bepaal n. a)
el
29
c)
1
be
1
2
1
or
3
5
n=
n=
vo
b)
d)
1 1
1 1
3
1 5
n=
7
n= HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
69
31
Stel de irrationale getallen voor op de getallenas. Maak daarvoor de nodige constructies met rechthoekige driehoeken. a)
c) – 15
8 =
15 =
=
=
=
=
b) – 22
dh
oo fd
st
uk
8
d)
el
22 =
33 33 = =
=
=
vo
or
be
=
1
2 3
4 5 6
R
7
0
8
70
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
1
32
Benoem de punten van de getallenas aan de hand van de gegeven abscis. ab(A) = 2
ab(C) = – 3
ab(B) = −1,5
ab(D) =
ab(E) = 2,8
3 4
ab(F) = –
ab(I) = 9
ab(G) = 7
7 3
ab(H) = –
9 5
ab(J) = 2 5
R
33
1
Bepaal de abscis van de benoemde punten van de getallenas.
ab(A) =
0
1
ab(B) =
b) G
ab(G) =
1
ab(H) =
ab(D) =
I
ab(I) =
ab(E) =
R H
ab(J) =
Stel de intervallen voor op de getallenas.
be
a) [1, 4]
or
b) ]−2, 2[
vo
c) ]0, 5]
d) [3, +∞[
e) [−3, −1[
f) ]−∞, 4[
F
0
R
B
ab(C) =
el
34
J
D
dh
ab(F) =
A
oo fd
E C
st
a)
uk
0
R 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
R
R
R
R
R
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
71
Geef de intervalnotatie. R
a)
1
0
1
0
1
be
el
]−2, 3]
1
voorstelling
dh
interval
0
1
0
1
0
1
d)
0
1
0
1
0
1
0
1
h)
0
1
i)
0
1
or
R
R
omschrijving
R
c)
]−∞, 0[
oo fd
0
Vul de tabel in.
vo
uk
0
R
f)
e)
R
e)
1
1
R
d)
b)
0
R
c)
a)
1
R
b)
36
0
st
35
R
R
0£x<2
R
f)
–1 < x < 3
2 3
g)
[−1, 4]
R
4 5 6 7 8
72
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
R
R
–1 £ x £ 2
REEKS C Construeer een lijnstuk van 38 cm op twee verschillende manieren met twee rechthoekige driehoeken. 38 =
38 =
=
=
=
=
A
P
dh
Verbind je de middens van de zijden van een vierkant, dan verkrijg je een vierkant zoals het groene vierkant op de tekening. De oppervlakte van het grote vierkant bedraagt 4 m2. Bereken de zijde van het kleine vierkant. Bepaal je antwoord op 0,001 m nauwkeurig. B
el
38
oo fd
st
uk
37
be
or
S
D
R
Q
C
vo
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
73
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal 2.6.1 Inleiding
Om de nodige componenten in de kubusvormige bluetooth speaker te kunnen stoppen, is een volume van 216 cm3 nodig. Bepaal de ribbe r van de bluetooth speaker. V = r 3 = 216 cm3
V = = 216 cm3
Om de zijde van de kubus te bepalen aan de hand van het volume, bereken je de derdemachtswortel van het volume.
st
uk
2.6.2 Definitie
oo fd
Derdemachtswortel van een reëel getal
Definitie
De derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal. In symbolen
b is de derdemachtswortel van a ¤ b3 = a 3
REKENMACHINE
dh
Notatie: a
actie
test
A
el
Bereken de derdemachtswortel van een getal.
knoppen
math
L4
Τ
4
Voer het getal in.
or
be
entry solve
enter
2.6.3 Voorbeelden 3
8
=
want 3 = 8
•
3
3,375
=
want
•
3
8 27
=
want
3
–64
=
want
3
0
=
want
vo
•
1
2 3
4
•
5 6
•
7 8
Vaststelling
74
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
Elk reëel getal heeft juist één derdemachtswortel.
scherm
Oefeningen REEKS A
=
d)
3
0
=
b)
3
64
=
e)
3
–8
=
c)
3
–1
=
f)
3
125
=
3
216
=
b)
3
15,625
=
c)
3
–1 331
=
oo fd
Bereken met de rekenmachine. a)
uk
27
st
3
27 4 096
d)
3
–
e)
3
91 125
=
f)
3
–0,001
=
e)
3
0,036
=
f)
3
–81
=
=
=
Bereken met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig. a)
3
7
b)
3
2,458
= =
be
41
a)
dh
40
Bereken zonder rekenmachine.
el
39
3
d)
3
–845
=
g)
3
5 4
=
h)
3
or
c)
–
8 15
=
vo
REEKS B
42
Bepaal de ribbe van de kubus waarvan het volume gegeven is. a) V = 21,952 m3
b) V = 4 913 cm3
c) V = 39,304 dm3
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
75
43
Een kubus uit plexiglas heeft een volume van 2 750 cm3. Bereken de ribbe van de kubus op 0,01 cm nauwkeurig.
Een kubusvormige koelkast heeft een inhoud van 100 l. De wanden hebben een dikte van 3 cm. Bereken de zijde van de koelkast op 0,01 cm nauwkeurig.
st
44
uk
oo fd
Bereken de zijde van een dobbelsteen met een volume van 2,4 cm3. Rond af naargelang het gebruikte meettoestel voor de controlemeting.
dh
45
el
vo
or
be
afronding voor de controlemeting: meettoestel
afronding
meetlat op 1 mm
schuifmaat op 0,02 mm
1
2 3
46
Kun je met 343 gelijke kubusjes een volledig gevulde grote kubus bouwen? Verklaar je antwoord.
4
5 6
7
8
76
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
47
De kubus van Rubik, met vlakken van 3 bij 3, heeft een volume van 166 cm3. Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de ribbe van een klein kubusje waaruit de vlakken zijn opgebouwd.
Los de vergelijkingen op. a) x3 + 5 = 2 749
c) 5x3 − 7 = 196 513
oo fd
b) 3x3 = 648
d) 2x3 + 63 = 9
dh
Een kubusvormig zitkussen heeft een massadichtheid van 80 kg/m3 en een massa van 17 kg. m Bepaal de zijde van het zitkussen op 1 mm nauwkeurig. Gebruik de formule V = . r
be
49
el
REEKS C
st
48
uk
vo
or
50
Een voetbal heeft een inhoud van 5,5 liter. Bereken de straal van de voetbal op 1 mm nauwkeurig.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
77
STUDIEWIJZER De reële getallen voor de leerling
2.1 Decimale voorstelling van rationale getallen KUNNEN
voor de leerkracht
– + – +
Decimale getallen, zuiver repeterende en gemengd repeterende decimale vormen van elkaar onderscheiden. De periode en het niet-repeterend deel van een decimale vorm aanduiden. Decimale schrijfwijze omvormen naar breuk.
uk
Breuk omvormen naar decimale schrijfwijze.
2.2 Vierkantswortels
– + – +
st
KENNEN Een vierkantswortel van een positief getal is een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan dat positief getal.
oo fd
KUNNEN
– + – +
De vierkantswortels van een positief getal berekenen.
2.3 De reële getallen
KENNEN
– + – +
Een reëel getal is een getal dat rationaal of irrationaal is.
dh
De absolute waarde van een reëel getal is dat getal zonder toestandsteken.
Het tegengestelde van een reëel getal is het reëel getal met dezelfde absolute waarde, maar met een verschillend toestandsteken. Het omgekeerde van een reëel getal is 1 gedeeld door dat reëel getal.
el
KUNNEN
– + – +
Getallen voorstellen in een venndiagram.
De absolute waarde van een reëel getal bepalen.
be
Het tegengestelde van een reëel getal bepalen. Het omgekeerde van een reëel getal bepalen.
or
2.4 Irrationale getallen benaderen KENNEN
– + – +
Een wortelvorm is een product van een irrationale vierkantswortel en een rationaal getal.
vo
Een interval in R is een verzameling van opeenvolgende reële getallen.
1
2 3
Werken met intervallen. Irrationale getallen afronden in betekenisvolle situaties. Irrationale getallen benaderen met intervallen.
4 5 6 7 8
78
KUNNEN
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
– + – +
voor de leerling
2.5 Reële getallen ordenen KENNEN
voor de leerkracht
– + – +
Een abscis van een punt op de getallenas is het reëel getal dat overeenkomt met dat punt van de getallenas.
KUNNEN
– + – +
Reële getallen ordenen.
De abscis van een punt op de getallenas bepalen. Intervallen voorstellen op een getallenas.
2.6 Derdemachtswortel van een reëel getal KENNEN
st
Reële getallen voorstellen op een getallenas.
uk
Irrationale lengten tekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.
– + – +
oo fd
Een derdemachtswortel van een reëel getal is een getal waarvan de derde macht gelijk is aan dat reëel getal.
KUNNEN
– + – +
De derdemachtswortel van een reëel getal berekenen.
vo
or
be
el
dh
Vraagstukken waarbij gebruikgemaakt wordt van derdemachtswortels, oplossen.
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
79
Pienter problemen oplossen Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
❑ filter
❑ schets
❑ patroon
❑ schema/tabel
❑ kennis
❑ vereenvoudig
❑ logisch nadenken
❑ gok verstandig
❑ ...
vo
st
or
be
el
dh
oo fd
Als gelijke afbeeldingen eenzelfde getal voorstellen, welke waarde moet dan onder de vierde kolom staan?
uk
❑ concreet materiaal
1
185
2 3
4 5 6 7 8
80
HOOFDSTUK 2 I DE REËLE GETALLEN
195
145
