PRUEBAS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA INFERENCIA
Título del Recurso: Pruebas de hipótesis. Propósito: Conocer la construcción de hipótesis y desarrollar las pruebas de validación de las mismas. Dirigido a: Discentes de la Universidad Nacional Experimental de la Seguridad (UNES) Palabras Claves: Estadística, pruebas, hipótesis. Tabla de Contenido: * * * *
Pruebas de Hipótesis Ejemplos de hipótesis Objetivo de la prueba de hipótesis Conceptos Básicos - Hipótesis Nula (H0) - Hipótesis Alternativa (H1) Tipos de pruebas: a) Pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales b) Pruebas de hipótesis de un extremo o unilateral * Metodología * Región de Rechazo * Tipos de errores a) Error tipo I (α) b) Error tipo II (β) * Tipos de pruebas a) Pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales b) Pruebas de hipótesis de 1 extremo o unilaterales b.1) Prueba de extremo inferior b.2) Prueba de extremo superior * Pasos Generales * Fórmulas
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PRUEBAS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA INFERENCIA
Autor: Universidad Nacional Experimental de la Seguridad (UNES) Diseñadora Instruccional: Marcos Vásquez. Edición y Montaje: Carleidys Landaeta - carlelandaeta@gmail.com Experto en Contenido: Marcos Vásquez y Migdalys Marcano Fecha de creación: Noviembre del 2011
PRUEBAS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA INFERENCIA
Nuestro objetivo al tomar una muestra es extraer alguna conclusión o inferencia sobre una población. En nuestro interés es conocer acerca de los parámetros que caracterizan la población en estudio. El único motivo para examinar muestras es que las poblaciones suelen ser demasiado grandes y costosas de estudiar. La prueba de hipótesis es un procedimiento estadístico que comienza con una suposición que se hace con respecto a un parámetro de población, luego se recolectan datos de muestra, se producen estadísticas de muestra y se usa esta información para decidir qué tan probable es que sean correctas nuestras suposiciones acerca del parámetro de población en estudio.
Ejemplos de hipótesis pueden ser: Se desea a) Probar si la media de robos en el municipio durante un fin de semana ha disminuido con respecto al anterior. b) Probar si el promedio de denuncias por alteraciones de orden público ha disminuido los en los últimos fines de semana.
OBJETIVO DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS
Decidir, basado en una muestra de una población, cuál de dos hipótesis complementarias es cierta. Las dos hipótesis complementarias se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa.
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HIPÓTESIS NULA (H0) Representa la hipótesis
que
HIPÓTESIS ALTERNATIVA (H1) Hipótesis que se acepta cuando los
mantendremos cierta a no ser que los
datos no respaldan la hipótesis nula.
datos indiquen su falsedad. Esta
Tipos de pruebas
hipótesis
a)
nunca
se
considera
Pruebas
de
hipótesis
de
2
aceptada, en realidad lo que se
extremos o bilaterales. Estas pruebas
quiere decir es que no hay suficiente
son del tipo:
evidencia estadística para rechazarla
H_0: ϑ=ϑ_0
H_1: ϑ=ϑ_1
por lo que aceptar H0 no garantiza
b) Pruebas de
hipótesis de
que H0 sea cierta.
extremo o unilateral. b.1) H_0: ϑ≥ϑ_0
H_1: ϑ<ϑ_1
b.2) H_0: ϑ≤ϑ_0
H_1: ϑ>ϑ_1
un
METODOLOGÍA: La lógica de una prueba de hipótesis es similar a la de un juicio penal, donde debe decidirse si el acusado es inocente o culpable y el juicio consiste en aportar evidencia para rechazar la hipótesis de inocencia más allá de cualquier duda razonable. Por su parte una prueba de hipótesis analiza si los datos observados permitan rechazar la hipótesis nula, comprobando si éstos tienen una probabilidad de aparecer lo suficientemente pequeña cuando es cierta la hipótesis nula.
Las etapas de una prueba de hipótesis son:
a) Definir la hipótesis nula a contrastar.
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c) Decidir qué discrepancia consideramos inadmisibles con H_0, es decir, a partir de qué valor de d, la discrepancia es muy grande como para atribuirse al azar y considerar que H_0 pueda ser cierta. Para ello debemos entonces:
Tomar la muestra. C Calcular la medida de discrepancia d. T “
: ”
“ z
ñ ”
_0
_1
Es por ello que necesitamos establecer una Regla de Decisión mediante la cual sea especificada:
a) La medida de discrepancia. U
z
“
”
Veamos entonces:
A) MEDIDAS DE DISCREPANCIAS:
Es natural considerar medidas de discrepancias del tipo: |(ϑ_0- ϑ /σ_ϑ de las que será posible conocer su distribución de probabilidad. Si las hipótesis son bilaterales el signo de la desviación entre ϑ_0- ϑ
no es
importante, sin embargo cuando la hipótesis es unilateral el signo de la discrepancia sí lo es. b) Calculo de un valor mínimo d_c para la discrepancia para la aceptación de H_0. Para ello definamos:
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NIVEL DE SIGNIFICANCIA.
Para realizar una prueba de hipótesis
dividiremos
el
rango de discrepancias que puede H_0
observarse es
regiones:
cierta una
cuando en
dos
región
de
aceptación de H_0 y otra de rechazo. Se consideran discrepancias “
”
ñ
_0
es cierta. A este valor lo llamamos nivel de significación: generalmente tomamos valores de 0.1, 0.05, 0.01 o 0,005. El nivel de significación a puede interpretarse también como la probabilidad que estamos dispuestos a asumir de rechazar H_0 cuando esta es cierta. Cabe destacar que mientras más alto sea el nivel de significancia que se utiliza para robar una hipótesis, mayor será la probabilidad de rechazar una hipótesis nula cuando es cierta.
REGIÓN DE RECHAZO: U
z
z _0
elegiremos d_c de manera que discrepancias mayores de d_ctengan probabilidad _0
de ocurrir m L d_c
z
> _
z
:
≤
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Si la discrepancia observada cae en la región de rechazo se dice que se ha producido una diferencia significativa y se rechaza la hipótesis nula H_0.
TIPOS DE ERRORES
Cuando se decide sobre el rechazo de una hipótesis se pueden cometer dos equivocaciones.
Error tipo I PE
:
z
I =
.
Error tipo II β : U
z
β
ñ
E
β
ú β
β A II
disminuirá a medida que aumente el tamaño muestral. Existe un equilibrio entre los dos tipos de errores, la probabilidad de cometer un tipo de error puede reducirse sólo si deseamos incrementar la probabilidad de cometer el otro.
TIPOS DE PRUEBAS
a)
Pruebas de hipótesis de 2 extremos o bilaterales: Es una prueba en la que H_0 se rechaza si el valor de la muestra es significativamente mayor o
menor que el valor hipotetizado del parámetro de población. Esta prueba involucra dos regiones de rechazo.
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b)
Pruebas de hipótesis de 1 extremo o unilaterales: Es una prueba en la que sólo hay una región de rechazo, es decir, sólo nos interesa si el valor
observado se desvía del valor hipotetizado en una dirección. Pueden ser: b.1) Prueba de extremo inferior: Es una prueba en la que si hay un valor de muestra que se encuentra significativamente por debajo del valor de la población hipotetizado, nos llevará a rechazar la hipótesis nula. Gráficamente:
b. 2)
Prueba de extremo superior: Es una prueba en la que si hay un valor de muestra que se encuentra significativamente por encima del valor de la
población hipotetizado, nos llevará a rechazar la hipótesis nula. Gráficamente:
PASOS GENERALES 1) Identificar si el parámetro de
4) Buscar el valor del percentil, en
interés es ϑ_0= _0
ϑ_0= P_0
dependencia
2)
las
encontrada en 3.
Establecer
correspondientes
y
hipótesis
el
nivel
de
de
la
distribución
5) Compare los valores, tomar la
significancia.
decisión e interpretar los resultados.
3) Calcular la medida de discrepancia o estadístico de muestra.
FÓRMULAS a) Pruebas de hipótesis para medias: σ
_
=
- _0 / σ⁄√
σ (muestras pequeñas, n<30, y aproximadamente normal la población, t) ≥30 z _
=
_
=
- _0 / ⁄√
- _0 / ⁄√
b) Pruebas de hipótesis para proporciones (muestras gran σ_ =√
_0 1-p_0))/n)
≥5
1- ≥5 :
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_
=
- _0 /σ_
VEAMOS UN EJEMPLO: El peso en libras de una muestra aleatoria de bebés de seis meses siguen una distribución normal con una desviación de 1.21 libras. Según se ha establecido, en promedio un bebé de esta edad debe pesar alrededor de 14 libras. Un pediatra sin embargo considera que ahora los bebés han variado su peso y para ello ha considerado el peso de 100 bebés de esta edad obteniendo un peso medio de 14.3 libras. Con un nivel de confianza del 5%, pruebe si el pediatra tiene razón en lo planteado..
SOLUCIÓN: 1. Datos: z
En este _0 = 14
= 14 3
= 100
σ= 1 21 = 0 05
2. Hipótesis: _0:
= 14
_1 ∶ ≠ 14
3. Estadístico de Prueba: z=
- _0 / σ⁄√ = 14 3-14 / 1 21/√100 =2 5
4 .Percentil: t_(0.975 ,99)=1.98 o como n > 30 z_0.975=1.96
5. Justificación y decisión: 2.5>1.96 por lo tanto se rechaza H_0 y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que el peso promedio de todos los bebés de seis meses ha variado según las pruebas disponibles.
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•
Álvarez, G (2005). Guías de estadística. Universidad Simón Bolívar.
Ensayo. •
Devore, J (2008). Probabilidad y estadística. México. Editorial Cengage
learning Editores. • Hill.
Spiegel, M (2006). Probabilidad y estadística. México. Editorial McGraw-