NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
Título del Recurso: Nociones de probabilidad. Propósito: Conocer y comprender las nociones generales de la probabilidad y su aplicabilidad en la función policial. Dirigido a: Discentes de la Universidad Nacional Experimental de la Seguridad (UNES) (Siempre se muestra así) Palabras Claves: Estadística, probabilidad, conjuntos. Tabla de Contenido:
* * * * * * * *
Introducción Probabilidad Espacio muestra Evento Conjuntos Probabilidad en conjuntos Teorema de Bayes Distribución de probabilidad
Duración de la Navegación: Cuarenta y cinco (45) minutos, aproximadamente.
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
Autor: Universidad Nacional Experimental de la Seguridad (UNES) Diseñadora Instruccional: Marcos Vásquez. Edición y Montaje: Carleidys Landaeta - carlelandaeta@gmail.com Experto en Contenido: Marcos Vásquez y Migdalys Marcano Fecha de creación: Noviembre del 2011
NOCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA INFERENCIA
En
la
vida
cotidiana
aparecen
las
los
situaciones
en
observados
son
que
diferentes
muchas resultados
aunque
las
condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras
veces
cruz.
Estos
fenómenos,
denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre. En
el
lenguaje
habitual,
frases
como
"probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre. La teoría de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las técnicas estadísticas a la recogida, análisis e interpretación de los datos, la teoría de la probabilidad proporciona una base para evaluar la fiabilidad de las conclusiones alcanzadas y las inferencias realizadas.
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PROBABILIDAD La probabilidad es la posibilidad numérica de que ocurra un evento. La probabilidad de un evento es medida por valores comprendidos entre 0 y 1. Entre mayor sea la probabilidad de que ocurra un evento, su probabilidad asigna estará más próxima a 1. La probabilidad de certeza es 1. La probabilidad de una imposibilidad es 0. Esto se podría expresar así:
Por tanto, en donde
es algún evento.
La probabilidad de que el sol salga mañana es muy alta – muy cercana a 1. La probabilidad de que se aumento el sueldo en un 50% o más, estando en el otro extremo, está muy cerca de cero. El proceso que produce un evento en denominado experimento. Un experimento es toda acción bien definida que conlleva a un resultado único bien definido. Lanzar un dado (mitad de un par de dados) es un experimento. Un resultado bien definido en un número de 1 a 6. Un experimento puede consistir en revisar un producto para determinar si cumple con ciertas especificaciones de fabricación. El resultado es o (1) defectuoso o (2) no defectuoso. El conjunto de todos los posibles resultados para un experimento es el espacio muestral. El espacio muestral para lanzar un dado es:
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mientras que el espacio muestral para el experimento de lanzar una moneda al aire es:
La probabilidad de que al menos uno de los eventos que están en el espacio muestral ocurra es igual a 1. Si se lanza un dado, el resultado debe ser un número entre 1 y 6. Debido a que esto es una certeza puede decirse que:
De manera informal o clásica podemos calcular la probabilidad de un experimento A de la siguiente forma:
Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor a 3 al lanzar un dado?; que caiga un número menor a 3 significa un 1 o un 2 y como la cantidad de resultados posibles es 6 (El número de lados de un dado), entonces el nuestra probabilidad seria:
No siempre se conoce la cantidad total de resultados posibles de un experimento o la cantidad de resultados contenidos del mismo, es por ello que podemos definir la probabilidad a partir de un número de experimentos seguidos realizados de la siguiente forma (llamada empírica o por frecuencias relativas):
Por ejemplo: Si se quiere tener una idea de cuál es la probabilidad de que eligiendo un o una discente de la universidad al azar, éste o ésta tenga ojos claros, se puede tomar a 50 discentes al azar y contar cuántos o cuántas tienen ojos claros. Luego si 13 de esos 50 tienen ojos claros, estimaremos que:
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Si en vez de examinar a 50 discentes hubiéramos examinado a 200, la exactitud esperable sería mayor. Por ejemplo quizás entre los 200 discentes habría 53 con ojos claros, y entonces:
ESPACIO MUESTRAL El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral. Algunos ejemplos de espacio muestral son: 1) Si el experimento consiste en arrojar un dado y observar el número que sale, el espacio muestral es:
Vemos que el espacio muestral se denota con la letra E. 2) Si el experimento consiste en tomar una lapicera y medirla, el espacio muestral es:
Vemos que el espacio muestral no tiene por qué ser un conjunto finito. Como en este caso el resultado puede ser cualquier número real positivo, E tiene infinitos elementos. 3) Si el experimento consiste en tomar un libro al azar de la biblioteca y ver con qué letra empieza el título, el espacio muestral es:
Vemos que los resultados posibles del experimento, es decir, los elementos del espacio muestral, no tienen necesariamente por qué ser números. En este caso son letras.
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4) Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el espacio muestral es:
Aunque
también
podríamos
haber
respondido
si
consideráramos como un resultado posible el caso en que la moneda caiga de canto. Vemos que el conjunto de resultados posibles para un experimento
es
subjetivo.
Generalmente
adecuamos el espacio muestral a lo que consideramos posible o no posible, y a los fines del experimento. Por ejemplo, en este caso
una
solución
posible
es
definir
y determinar que si cae de canto, se tira nuevamente.
EVENTO Un evento (también llamado suceso) del espacio muestral es un subconjunto de éste. Algunos ejemplos pueden ser: 1) En el experimento de arrojar un dado y ver qué sale, el espacio muestral es:
Cualquier subconjunto de E es un evento, por lo tanto ejemplos de eventos de este experimento pueden ser:
{1}
{6}
{3, 4}
{4, 5, 6}
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{1, 3, 5}
{2, 4, 6}
También podemos expresar estos subconjuntos por comprensión:
"que salga un número par"
"que salga un número impar"
"que salga un número mayor que 3"
Y no olvidemos los siguientes subconjuntos:
{}
Dicho evento es conocido como "evento nulo", " evento falso" o " evento imposible". Además de la notación {} se puede usar la alternativa .
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
Este subconjunto del espacio muestral es exactamente el espacio muestral (recordemos que un conjunto siempre es subconjunto de sí mismo). Dicho suceso es conocido como " evento verdadero", " evento forzoso" o " evento cierto". 2) En el experimento de tomar una lapicera y medir su longitud en cm.:
Ejemplos de eventos (es decir, subconjuntos de E) pueden ser:
{15}
{14.2}
{17.3333333...} 3) Si el suceso A consiste en obtener cara al tirar una moneda, entonces podríamos definir:
El experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale.
El espacio muestral es
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El evento A es
Vemos que
. Como dijimos antes, un
suceso es un subconjunto del espacio muestral.
CONJUNTOS Como los eventos son conjuntos, operar con eventos es operar con conjuntos. 1) Intersección de conjuntos Dados A y B dos conjuntos,
es el conjunto que ocurre cuando suceden
simultáneamente A y B. Se puede llamar "A intersección B" o bien "A y B".
Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los eventos: A: que salga menos de 4 B: que salga más de 2 Con lo cual queda:
2) conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes
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Son los conjuntos cuya intersección es nula. Dados los conjuntos A y B, son disjuntos
Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los sucesos: A: que salga 1 ó 2 B: que salga más de 4 Con lo cual queda:
Como A y B tienen intersección nula, no pueden suceder simultáneamente. 3) Unión de conjuntos Dados A y B dos conjuntos,
es el conjunto que resulta cuando ocurre A, B,
o los dos simultáneamente. Se puede llamar "A unión B" o bien "A ó B".
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Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los sucesos: A: que salga menos de 4 B: que salga 2 ó 6 Con lo cual queda:
4) Complemento de los conjuntos Dado un conjunto A, su "complemento" es el conjunto que contiene los elementos que no están en A. El complemento de A se escribe "complemento de A", "A negado" o bien "no A".
o bien
y se llama
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Ejemplo: Si arrojo un dado, y el conjunto A es que salga un 4, entonces el conjunto
es
que no salga un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 ó 6. Expresados como conjuntos quedan:
Observamos que:
Así como A es un subconjunto de E,
también es un subconjunto de E.
, es decir, la unión de A y
forma E. Esto es lógico: O llueve o
no llueve. No hay ninguna otra posibilidad.
. Un suceso y su complemento son disjuntos, porque no pueden ocurrir al mismo tiempo. No puede "llover" y "no llover" al mismo tiempo.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Con frecuencia se desea determinar la probabilidad de algún evento, dado que antes otro evento ya hay ocurrido. Lógicamente, esta es llamada probabilidad condicional. Se denota como
y se lee la “probabilidad de A dado B”.
Esta es la fórmula general para la probabilidad condicional del evento A, dado que se conoce que el evento B ya ha ocurrido:
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PROBABILIDAD CONDICIONAL Antes de ver algunas probabilidades para conjuntos definamos de forma axiomática la función de probabilidad. Sea E un espacio muestral, y A un evento cualquiera. Se llama función de probabilidad sobre el espacio muestral E a P(A) si satisface los siguientes axiomas:
Si A y B son subconjuntos de E y
(Los eventos son disjuntos)
entonces Ahora veamos algunas propiedades de la probabilidad en conjuntos: a) Probabilidad de la unión de conjuntos: Dados dos conjuntos A y B contenidos en el espacio E, entonces:
Véase que si los conjuntos son disjuntos (
) entonces la expresión
queda como el tercer axioma. b) Probabilidad de la intersección de conjuntos: Para esta probabilidad vamos a usar la definición de probabilidad condicional:
I.
Observación II. III.
Experimentación
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IV.
Teoría
TEOREMA DE BAYES
En el año 1763, dos años después
de
la
muerte
del
reverendo Thomas Bayes (17021761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido
ser
(Probabilidad
observados condicional).
El
cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes. El teorema dice lo siguiente: Si B1, B2,…, Bn son eventos mutuamente excluyentes, de los cuales uno debe ocurrir, es decir
, entonces
Veamos un ejemplo: Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre el fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro médico, de todos los fumadores de quienes de quienes se sospecha que tenían cáncer pulmonar, el 90% (P=0.9) lo tenía mientras que únicamente
el 5%
(P=0.05) de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0.45, ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador? Sean B1 y B2 los eventos “el paciente es fumador” y “el paciente no es fumador”. Se suponen que las probabilidades para estas dos alternativas son 0.45 y 0.55
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respectivamente. Si un paciente tiene o no cáncer pulmonar puede estar afectado por cualquiera de las dos alternativas y que constituyen la evidencia experimental. Se sabe que
y
. Se desea determinar la probabilidad
de seleccionar un fumador, puesto que el paciente tiene cáncer, o
.
Así por el teorema de Bayes tenemos:
Así, la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado aleatoriamente sea fumador, es de 0.9364. VARIABLES ALEATORIAS
Vamos a llamar variable aleatoria a una variable cuyo valor sería el resultado de un determinado experimento, si lo hiciéramos. Por ejemplo, si el experimento consiste en arrojar un dado, podemos definir la variable aleatoria X cuyo valor será el número que salga en el dado. El conjunto de valores posibles de X es el espacio muestral. Y en general nos interesará cuál es la probabilidad de que X asuma cada valor. Usaremos variables porque nos permiten operar y mostrar determinadas conclusiones. Para el caso del dado, podemos escribir "la probabilidad de que al tirar el dado salga un número mayor que 3" simplemente como P(X > 3), habiendo antes definido X como el número que saldría si tiráramos el dado.
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Para designar a las variables aleatorias se utilizan letras mayúsculas. Para designar a uno de sus valores posibles, se usan las letras minúsculas. Por ejemplo, si X es la variable aleatoria asociada a lo que sale al tirar un dado, podemos decir que
El cálculo combinatorio es una herramienta matemática que, dada una determinada cantidad de elementos, permite calcular de cuántas formas posibles podemos tomar una parte de ellos y/u ordenarlos. Por ejemplo, si tenemos un mazo de 52 cartas, y un jugador recibe 5 cartas de ese mazo, nos puede interesar calcular cuántas manos distintas podría recibir. Es decir, cuántas "combinaciones" se pueden formar con 5 cartas tomadas de entre 52. Veamos cada modelo de calcular las combinatorias: PERMUTACIÓN
Se tienen n elementos, y se desea ver de cuántas formas se los puede ordenar. Es decir, los elementos son siempre los mismos, y cada forma posible sólo difiere de las demás en el orden en que se toman los elementos. Fórmula: donde n es la cantidad de elementos a ordenar Ejemplo:
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¿De cuántas formas se pueden ordenar los elementos {a,b,c}? abc, acb, bac, bca, cab, cba (6 formas)
VARIACIÓN
Es como la permutación, pero no se usan los n elementos sino que se usan solamente k de ellos. Entonces habrá que tener en cuenta no solamente el orden, sino cuáles de los n elementos se eligen (naturaleza). Fórmula:
donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad de elementos que se eligen. Se lee: "variaciones de n elementos tomados de a k". Ejemplo: Se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿De cuántas formas se puede tomar 2 de ellos, sin repetir ninguno, y teniendo en cuenta el orden? Comencemos por aclarar que: 1) tener en cuenta el orden significa que "ab" ¹ "ba" 2) tener en cuenta la naturaleza significa que elegir al a y al b no es lo mismo que elegir al a y al c. Entonces las variaciones en este caso son: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc
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VARIACIÓN
Consiste en tomar k elementos entre n que hay en total, sin importar en qué orden. Es decir, importa la naturaleza ("cuáles") pero no importa el orden. Observamos que esto es como las variaciones, pero olvidándonos del orden; las variaciones distinguen "ab" de "ba", en cambio para las combinaciones "ab" = "ba", y sólo importa el hecho de que fueron "a" y "b" los elementos elegidos. Fórmula:
donde n es la cantidad total de elementos, y k es la cantidad que se toman. Ejemplo: Se tienen los elementos {a,b,c,d}. ¿Cuántas formas posibles hay de elegir 2? Comencemos por aclarar que como son combinaciones, no tenemos en cuenta el orden, con lo cual "ab" = "ba". Además recordamos que por tratarse de combinación simple, no se puede elegir 2 veces el mismo elemento. Entonces en este caso las combinaciones son: ab, ac, ad, bc, bd, cd.
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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS
Comparemos
ahora
el
ejemplo del dado con este otro:
haremos
el
experimento de elegir una naranja al azar en una verdulería, y llamaremos Y al peso de la naranja elegida. Si pensamos en los valores posibles que puede tomar la variable aleatoria Y, veremos que no solamente son infinitos sino que además dado un valor posible no hay un "siguiente" porque entre cualquier valor y aquel al que consideráramos su "siguiente" hay infinitos valores posibles. La variable aleatoria X es discreta. La variable aleatoria Y es continua. En principio definiremos las variables aleatorias discretas y continuas así:
Variable aleatoria discreta: aquella tal que la cantidad de valores posibles que puede tomar es finita, o infinita pero numerable. En otras palabras, aquella cuyos valores posibles son todos puntos aislados del conjunto de valores posibles. Dicho incluso de una tercera forma: aquella tal que si tomamos dos cualesquiera de sus valores posibles, hay entre ellos una cantidad finita de valores posibles.
Variable aleatoria continua: aquella que no es discreta, es decir, aquella tal que la cantidad de valores posibles es infinita y no numerable.
¿A qué nos referimos con infinito numerable y no numerable?
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Por ejemplo, el conjunto de los números naturales tiene una cantidad finita pero numerable de elementos, porque sus elementos se pueden enumerar. En cambio, el conjunto de los números reales tiene una cantidad infinita no numerable de elementos, porque sus elementos no se pueden enumerar. Veamos un problema: 1) Indique para cada una de las siguientes variables aleatorias si son discretas o continuas. Haga las aclaraciones que considere necesarias. a) El número que sale al tirar un dado. b) La cantidad de caras que salen al tirar 5 monedas. c) La cantidad de accidentes por mes. d) Peso de una naranja. e) Diámetro de una arandela. f) El país donde nació una persona. g) La edad de una persona. Resolución: a)
Discreta. La cantidad de resultados es finita.
b)
Discreta. La cantidad de resultados es finita.
c)
Discreta. Aunque la cantidad de resultados es infinita, porque no hay un valor máximo posible, es numerable, porque los resultados se pueden
enumerar. Otra forma de ver que es discreta: todos los resultados son puntos aislados. d)
d) Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no podemos enumerar todos los resultados). Otra forma de ver que es
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continua: los resultados no son puntos aislados, sino que forman un continuo (por ejemplo, un segmento de recta). e)
Continua. La cantidad de resultados es infinita y no numerable (no podemos enumerar todos los resultados).
f)
Discreta. La cantidad de resultados es finita. Observemos que las variables que no son numéricas por lo general son discretas.
g)
Puede ser discreta o continua. Si tomamos la edad como la cantidad entera de años que ha vivido la persona, entonces es discreta. Si tomamos la
edad como un número real de años que ha vivido la persona (ejemplo: 5,37 años) entonces es continua. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Una variable aleatoria tal que todos sus valores posibles son caso
equiprobables muy
es
un
particular.
En
general, cada uno de los valores posibles puede tener distinta probabilidad. Por eso nos interesa estudiar cómo se
distribuyen
las
probabilidades en los distintos valores posibles de la variable. Al conjunto de valores posibles, y la relación entre ellos y sus respectivas probabilidades, se lo conoce como distribución de probabilidad. Notemos que: 1) la probabilidad de un determinado valor no puede ser menor que cero.
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2) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1, porque al hacer el experimento siempre sale uno de los resultados posibles. La distribución de probabilidad se puede expresar de diversas formas. Generalmente se usa la función de densidad de probabilidad. FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Esta función le asigna a cada valor posible de la variable aleatoria un número real que consiste en la probabilidad de que ocurra, y por supuesto debe cumplir con las 2 condiciones que enunciamos antes: a) no puede ser negativa en ningún punto b) la suma de las probabilidades de todos los valores da 1. Puede pensarse que la condición "a" es insuficiente, porque la probabilidad no solamente no puede ser menor que cero, sino tampoco mayor que uno. Pero agregar esa condición sería redundante, porque la condición "b" garantiza que eso no puede ocurrir, ya que si la probabilidad para un valor fuera mayor que 1, como ninguna probabilidad puede ser negativa entonces la suma daría necesariamente mayor a 1. En variables aleatorias discretas la función de densidad se define así: es una función que a cada valor posible le asigna su probabilidad. es una función de densidad de probabilidad discreta si y solo si cumple con: 1) 2) Veamos algunas funciones de distribución comunes:
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BERNOULLI Es un experimento que puede arrojar 2 resultados posibles. A uno de los resultados se lo denomina arbitrariamente "éxito" y al otro "fracaso". El experimento de Bernoulli lleva asociada una probabilidad (la probabilidad de "éxito"). Distribución: "¿Cuál es la probabilidad de obtener x éxitos en n intentos?" Si es decir: X es una variable binomial con parámetros n y p es decir: X es la variable que representa la cantidad de éxitos obtenidos en n experimentos de Bernoulli independientes cada uno con probabilidad de éxito p.
POISSON "¿Cuál es la probabilidad de obtener x eventos en el intervalo estudiado?" Si bien el proceso de Poisson trabaja con los parámetros y
(longitud del intervalo)
(intensidad), la distribución de Poisson usa solamente el parámetro
Como
es la longitud del intervalo, y
es la cantidad esperada de eventos por
unidad de tiempo, entonces m resulta ser la media. Es decir que esta distribución tiene la característica de que su media resulta valer directamente lo mismo que valga el parámetro . Si
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es decir: X es una variable Poisson con media . es decir: X es la variable que representa la cantidad de eventos obtenidos en un intervalo de longitud
e intensidad . Entonces:
NORMAL Cuando la función de densidad es la siguiente:
la distribución se llama "Normal" (o de "Gauss"). La gráfica de esta función de densidad se conoce con el nombre de "campana de
Gauss" A primera vista podemos observar: A diferencia de todas las distribuciones que vimos anteriormente, es no-nula para todos los números reales.
Tiene 2 parámetros,
El parámetro distribución.
y .
puede ser cualquier número real, y es, directamente, la media de la
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El parámetro
puede ser cualquier número real positivo, y es, directamente, el
desvío estándar de la distribución. La notación
significa que la variable aleatoria
normal con parámetros
y
tiene una distribución
, o dicho de otra forma, que la variable aleatoria
tiene una distribución normal, cuya media es , y cuya varianza es Cuando
y
demostrar que si aleatoria
.
, la distribución se llama normal estándar. Se puede es cualquier variable aleatoria normal, y tomamos la variable
, entonces
resulta ser una variable aleatoria normal estándar.
Es decir:
Lo cual puede ser demostrado mediante
un simple cambio de variables. Esto nos permite, dada cualquier variable aleatoria normal, encontrar una variable aleatoria normal estándar, que es la que encontraremos en las tablas. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
Si
es el promedio de una muestra de tamaño n de una población con media
desviación estándar
, entonces la variable aleatoria
y
tiene una
distribución aproximadamente normal estándar, bajo las siguientes condiciones:
Si
, la distribución de
es aproximadamente normal estándar
sin importar la distribución de las .
Si
, la distribución de
si la distribución de las
es aproximadamente normal solamente
no difiere mucho de la distribución normal
(por ejemplo: si es simétrica).
Si la distribución de las importar el valor de n.
es normal, la distribución de
es normal sin
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REFERENCIAS
Spiegel, M (2006). Probabilidad y estadística. México. Editorial McGrawHill.
Devore, J (2008). Probabilidad y estadística. México. Editorial Cengage learning Editores.
Mayer, P (1992). Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México. Editorial Alhambra Mexicana.
Zylberberg, A (2005). Probabilidad y estadística. Buenos Aires – Argentina. Editorial Nueva Librería.