Area Polígono Regular

AREAS DE POLÍGONOS REGULARES Isalia María Medina Cardona Agosto - 2009

EL CUADRADO l l

P  l l l l A  l l A  l2

• Es un cuadrilátero • Es un paralelogramo, es decir, tiene dos pares de lados paralelos • Los cuatro lados son congruentes • Dos pares de lados paralelos • Cuatro ángulos rectos • Dos diagonales • Las diagonales se bisecan

EL

RECTÁNGULO • Es un cuadrilátero

b c

c b

P  2a  2b

A  bh b es la base h=c es la altura

• Es un paralelogramo • Dos pares de lados paralelos • Lados opuestos congruentes • Cuatro ángulos rectos • Dos diagonales iguales • Las diagonales se bisecan mutuamente

EL PARALELOGRAMO b a

a h b

P  2a  2b

A  bh b es la base h es la altura

• Es un cuadrilátero • Es un paralelogramo • Tiene dos pares de lados paralelos • Tiene lados opuestos congruentes • Los ángulos opuestos son congruentes • Los ángulos consecutivos son suplementarios es igual a 360° • La suma de los ángulos interiores • Tiene dos diagonales • Las diagonales se bisecan mutuamente

La altura es el segmento que sele de un vértice y cae en forma perpendicular sobre el lado opuesto al vértice.

EL TRIÁNGULO Si a un cuadrilátero se le traza una diagonal, este queda dividido en dos triángulos congruentes. Por lo tanto, el área de un triángulo es igual a la mitad del área del cuadrilátero que lo originó. b b d

b

b b

P  bbd 2

b A 2

d

h d

h

b

c

P bcd bh A 2

b

P bhd bh A 2

h

EL TRAPECIO El trapecio es un cuadrilรกtero que tiene un par de lados paralelos.

Trapecio isรณsceles, los lados no paralelos son congruentes

Trapecio escaleno, todos los lados tienen diferente medida.

Trapecio rectรกngulo, uno de los lados es perpendicular a los lados paralelos.

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DEL ÁREA DEL TRAPECIO D

A

A

E

( B  b) h  2

C

B

• La diagonal DB divide el trapecio en dos triángulos DIFERENTES. • Los dos triángulos tienen la misma altura DE (h).

• El área del trapecio es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos.

• AB es la base mayor (B) • DC es la base menor (b)

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DEL TRAPECIO A  AADB  ADCB AB  DE DC  DE   2 2 ( AB  DC)  DE  2 Reemplazamos AB por B, DC por b y DE por h y nos queda:

A

( B  b) h  2

EL ROMBO

B

• Es A

C

O

D

A  Dd 2

un cuadrilátero • Es un paralelogramo • Los ángulos opuestos son congruentes • AC es la diagonal menor (d) • BD es la diagonal mayor(D) • Las diagonales son perpendiculares • Las diagonales se bisecan mutuamente, es decir, O es punto medio de BD y de AC

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA B DEL ÁREA DELROMBO A O

D

•El área del rombo es igual al área del triángulo ABC más el área del triángulo ADC •La altura del triángulo ABC es OB •La altura del triángulo ADC es OD •OB + OD = BD

C

A  AABC  ACDA AC  OB AC  DO  2 2 AC  (OB  DO)  2 

si reemplazo OB + OD = BD obtengo:

A

AC  BD  2

UN POLÍGONO REGULAR •Se puede inscribir en una circunferencia •Todos sus lados tienen la misma medida, es decir son congruentes •Tiene todos los ángulos interiores congruentes

Para ejercitarse en la construcción de polígonos regulares se puede ungresar a las siguientes páginas, basta con hacer clik en cualquiera de los vínculos.

UN POLÍGONO REGULAR En un polígono regular se pueden diferenciar los siguientes elementos: •L: Lado. Cada uno de los segmentos que forma el polígono.

•V: Vértice. Punto de intersección de dos lados consecutivos del polígono.

•d: Diagonal. Segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono.

•C: Centro. Punto equidistante de todos los vértices del polígono.

•r: Radio. Segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.

•a: Apotema. Segmento que une el centro del polígono con el punto medio de uno de sus lados.

Es perpendicular al lado.

LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO

 :Ángulo central. Todos los ángulos

centrales de un polígono son congruentes y su medida se halla al dividir 360° entre el número de lados del polígono

 : Ángulo interior. Para hallar la

360  n

medida de un ángulo interior   180  uso la siguiente formula:

n  2 n

 : Ángulo exterior En un polígono regular un ángulo exterior y un ángulo central miden lo mismo

DEDUCCIÓN DEL ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR •Todo polígono regular se puede dividir en triángulos isósceles, al unir el centro del polígono con cada uno de los vértices.

•La base de cada triángulo es un lado del polígono •La altura de cada triángulo es l apotema del polígono

F

E

O

A

D

•El área del polígono ABCDEF es igual a la suma de las áreas de los 6 triángulos B

C

P  AB  BC  CD  DE  EF  FA

Pa A 2

F

DEDUCCIÓN DEL ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

O

A

A  AAOB  AAOB  AAOB  AAOB  AAOB  AAOB

E

B

AB  a BC  a CD  a DE  a EF  a FA  a       2 2 2 2 2 2 a   AB  BC  CD  DE  EF  FA  2 Reemplazo

AB  BC  CD  DE  EF  FA

Pa A 2

por

P

y queda:

D

C

EL CÍRCULO r

r

P  2   r El perímetro de la circunferencia es la longitud de la circunferencia.

A   r2 El área de un circulo, es la medida de la superficie limitada por la circunferencia perimetral del círculo dado.

 el número de veces que la circunferencia contiene su propio diámetro.

DEDUCCIÓN DEL ÁREA DEL CIRCULO A medida que se aumenta el número de lados del polígono inscrito, aumenta su perímetro, y se acerca cada vez más al de la circunferencia donde esta inscrito.

El apotema del polígono también aumenta y su medida se va pareciendo cada vez más a la medida del radio de la circunferencia que lo inscribe.

P  a L  r 2    r   r A     r2 2 2 2

ACTIVIDADES INTERACTIVAS SOBRE Ă REAS Si quieres profundizar sobre este tema ingresa visita las siguientes paginas

http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Per%C3%ADmetros_y_%C3%A1reas

http://www.educacionplastica.net/poligonos.htm http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/poli3.htm http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/geoweb/area7.htm