Mathematics 53
Exercise Set 5
I. Evaluate the following limits. ln x 1−x √ 1. lim + x→1 x − 1 1− x 2.
6. lim+ sinh−1 z
3. lim
x→∞
x→∞
x
8.
x→0
II. Find
9. lim
x→0+
−x
cschx −
10.
lim
x→ 12 +
lim (tanh x + 1) √ x
x→∞
tan πx +
14. lim− x→1
sin 3πx cot πx
cschx
x→−∞
13. lim 1 x
x3
cosh x 1 1 + ex − e 1 − x
15. lim+ (cosh t − 1)
sinh t
x→0
dy . dx √
1. y =
2π
cosh x
√
+ (cosh x)
e
2. y = (πx) − (1 − cos x) 3. y = sinh−1 e + tan−1
√ 3
2π
12. y =
5
6. ln x + 1
y
+ tanh
3
13. y = √ √ 4 x coth 2x − cosh−1 x2
y x
−1
7. sinh−1 (ex+y ) + 3tan
x
−1
= coth √
= log
√ 15. y = ln cos tanh−1 (xy)
sech−1 x
Z 3. Z
√ 3
20. y =
Z 5.
1 + ln y cot (ln y) dy y ln y
6.
dν 1 + e2ν
7.
2
z e
z 3 +ez
3
dz
x3
x2 + 1 tan3 ex 18. y = sin (3 − 2x) √ p 19. y = (log3 x) cot−1 x csch−1 x + 2e2x
0
2.
sin−1 3−2x
√ 3
ecosh ex sinh πx − cosh πx
11. y = tan−1 (ln sinh x) + ln tan−1 (sinh x)
Z
√x
r √ 5 cos ln3 x 16. y = 3 tan−1 17. y = xx
9. 3x2 y + cosh2 (5x) = 2y
III. Evaluate the following integrals. Z 1. tan x sec (ln sec x) dx
sec−1 (2x) log3 (tanh x3 )
14. ln x2 + y 2 = sinh e−4x − 52y x3
2x + 1 x 8. y = ln 4 x−2
10. y =
2 x 3 ln cos x + esin(3 −x ) − tan 5x 4
x
p √ ln (cschx) − sin−1 x 4. y = sech−1 ln x √ √ log y 3 3 2 5 5. 7 7 − (csc x) = eπ + 3x y
4.
12.
2x+1
e − e − 2x x − sin x
5. lim
lim
x→+∞
2x − 3 2x + 5
x3 3 x +4
cot x
x→0
sin 3x2 4. lim x→0 ln cos (2x2 − x) x
11. lim
7. lim+ (cos x + 2 sin x)
lim (sec x − tan x) x 1+x
z→0
− x→ π 2
tan z
8.
ln 2
√ x3 + cos x + 23x · log e − x2 − 1 √2 xex2 + π e tan 5x
q
2e dq −q e 3−eq
Z
2 − πt dt eπt
Z
2 tanh2 2w + esinh 2w dw sech2w
Z
27u du 3u − 3