Modulo IV Fase III y IV

M贸dulo IV

L贸gica Proposicional Plataforma Virtual Moodle Castellanos & Le贸n

Fase III. Refuerza: Conocimientos Básicos Debemos recordar que cada proposición simple tiene un valor de verdad,

Unidad III.

es decir, es verdadera (V) o falsa (F).

Sin embargo, el valor de verdad de las proposiciones compuestas, depende del valor de verdad de las proposiciones simples que la componen y del conectivo que las une.

Si las variables proposicionales de una proposición compuesta son “p” y “q”, se nos presentan varias alternativas de verdad o falsedad, las cuales son:

Alternativa

p

q

Ambas son verdaderas

V

V

La primera verdadera y la segunda falsa.

V

F

La primera falsa y la segunda verdadera.

F

V

Ambas falsas

F

F

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Tablas de la Verdad o Certidumbre.

Si las variables proposicionales de una proposición compuesta son “p” y “q”, se nos presentan varias alternativas de verdad o falsedad, las cuales son:

Unidad III.

Alternativa

p

q

Ambas son verdaderas

V

V

La primera verdadera y la segunda falsa.

V

F

La primera falsa y la segunda verdadera.

F

V

Ambas falsas

F

F

Apoyados en el esquema anterior, se puede construir las tablas de verdad o certidumbre, las cuales nos permitirán conocer el valor veritativo de dichas proposiciones.

Existen tres clases de tablas de certidumbre: a)

Tablas de Certidumbre Fundamentales.

b)

Tablas de Certidumbre Completas o Derivadas.

c)

Tablas de Certidumbre Parciales.

Construcción General de la Matriz de las Tablas de Certidumbre.

Para construir la matriz de una tabla de certidumbre seguimos los siguientes pasos: 1. Se determina el número de variables que intervienen en la forma proposicional.

2. Se aplica la regla 2n (para determinar el número de filas de la tabla), donde: 

La base 2, representa el número de posibles valores veritativos de la variable, este es, verdadera (V) o falsa (F), y



El exponente “n” es el número de variables de la forma proposicional.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Tablas de Certidumbre Fundamentales.

Las tablas de certidumbre fundamentales, conocidas también con el nombre de matrices, son parámetros de verdad que se aplican en forma aislada o independiente a cada uno de los conectivos: la negación, la conjunción, la disyunción inclusiva, la disyunción exclusiva, el condicional y el bicondicional. Puesto que cada uno de ellos posee su propia función veritativa.

Unidad III.

1.

Matriz de la Negación (−).

Si “p” es una proposición atómica cualquiera, “−p” será su negación.

p

−p

Entonces, será verdadera si su oponente es falsa y será falsa si su

V

F

oponente es verdadera. Es decir, que cuando una proposición está

F

V

precedida por una negación, esta se niega: p

۸

q

V

V

V

Será verdadera cuando sus dos componentes sean

V

F

F

verdaderas.

F

F

V

F

F

F

2. Matriz de la Conjunción ( ۸ ).

3. Matriz de la Disyunción Inclusiva ( ۷ ).

Será falsa cuando sus dos componentes sean falsas.

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p

۷

q

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos p

⊻

q

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

p

→

q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

p

↔

q

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

−

( p

↔

q)

encuentra delante de una expresión encerrada entre

F

V

paréntesis, corchetes, llaves o barras, cambia el valor

V

V

de la función veritativa respectiva. Ejemplo: Se tiene

V

F

que − (p ↔ q):

F

F

4. Matriz de la Disyunción Exclusiva ( ⊻ ).

Será verdadera cuando sus dos componentes sean diferentes.

5. Matriz del Condicional (→).

Será falsa solamente si su antecedente es verdadero y su

Unidad III.

consecuente es falso.

6. Matriz del Bicondicional (↔).

Será verdadera cuando sus dos componentes sean iguales.

Es importante señalar, que cuando una negación se

V F F V

V F V F

Cambia la cualidad del juicio.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos

Tablas de Certidumbre Completas o Derivadas.

Se aplican en forma combinada con las tablas de certidumbre fundamentales para obtener el valor de verdad de una forma proposicional cualquiera. Estas tablas nos permiten determinar el tipo de forma proposicional.

Unidad III.

Tipos de Formas Proposicionales.

Hay que recordar que, el objeto principal de la l贸gica es determinar si una inferencia o razonamiento es v谩lido o no y para comprobar esa validez se construye la tabla completa de verdad o certidumbre. Al concluir la tabla completa de la verdad o certidumbre, se puede llegar a tres posibles resultados, que determinan si el razonamiento es v谩lido o no.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos a) Tautología: Una proposición tautológica es una proposición compuesta que resulta ser verdadera en todos sus casos, independientemente el valor de verdad y del contenido de las proposiciones simples que intervengan en ella. Cuando en la columna que corresponde al Conectivo Principal (C.P.) de la tabla de verdad existen solamente valores Verdaderos (V), se dice que es una tautología; entonces se puede afirmar que la forma proposicional es “válida”, o sea, está bien construida.

Unidad III.

b) Contradicción: Una proposición compuesta es contradictoria cuando es Falsa (F) en todos sus casos, independientemente del valor de verdad y del contenido de las proposiciones simples que intervengan en ella. Cuando se simboliza un argumento, se obtiene una forma proposicional, se busca su valor de verdad mediante una tabla de certidumbre derivada y en la columna que corresponde al Conectivo Principal (C.P.) de la tabla de verdad existen solamente valores Falsos (F), se dice que es una contradicción. La forma proposicional es “no válida”.

c) Contingencia: Llamada también indeterminación, es una proposición compuesta que en algunos casos es Verdadera (V) y en otros es Falsa (F) dependiendo del valor de verdad de las proposiciones simples que la componen. Cuando se simboliza un argumento, se obtiene una forma proposicional, se busca el valor de verdad mediante una tabla de certidumbre derivada y en la columna que corresponde al conectivo principal (C.P,) de la tabla de verdad existen valores Verdaderos (V) y Falsos (F), se dice que es una contingencia. La forma proposicional es “no válida”.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Tablas de Certidumbre Parciales.

Se aplican en forma similar a las tablas de certidumbre derivadas, pero con la particularidad, que se debe conocer el valor de certidumbre de cada una de las variables que intervienen en la forma proposicional y por lo tanto se determina para una sola fila.

Se sustituyen los valores de verdad suministrados en cada una de las variables y luego se realizan las operaciones determinadas por los conectivos, teniendo en cuenta que el primero se operan los paréntesis, luego los corchetes, seguido de las llaves y finalmen-

Unidad III.

te las barras. Ejemplo: [ ( −p

۷

q)

۷

(−p

۸

− r )] ↔ (p → −q )

Sabiendo que: p=F q=V r=F C.P. = Bicondicional (↔)

La forma proposicional es una: Tautología.

(F.P. Valida)

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Hasta el momento se han estudiado dos cosas: por un lado, los objetos matemáticos, llamados formas proposicionales y por el otro, los conectivos lógicos fundamentales sobre ellos [Negación (−), Conjunción (۸) , Disyunción inclusiva (۷), Disyunción Exclusiva (⊻), Condicional (→) y Bicondicional (↔)]. Para poder hacer matemática, se debe establecer dos cosas, las cuales con: a)

La Equivalencia Lógica.

b)

La implicación Lógica.

Unidad III.

Con ello se puede introducir la relación de igualdad y la relación de orden. Factores ineludibles en todo tratamiento matemático. Al margen de la teoría del conocimiento, el concepto de equivalencia lógica, no es más que tema de identidad, el profundo concepto de la igualdad; la implicación lógica es una relación entre los objetos lógicos, instrumento que permite el razonamiento deductivo.

Equiv

. alencia . ación

Implic

a.

Lógic

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos La Equivalencia Lógica.

Dos formulas o expresiones P (p, q,...) y Q (p, q,...) son equivalentes si sus funciones veritativas son idénticas entre ambas.

Nota: Dos expresiones son equivalentes cuando tienen los mismos valores distribuidos de forma igual.

Unidad III.

Para indicar la equivalencia entre proposiciones utilizaremos el símbolo “≡” entre ellas.

Se puede observar que “P ≡ Q”, sucede cuando y solamente cuando P ↔ Q es tautología. Así, la nueva notación “≡”, parecería redundante, pero la relación de equivalencia empleada en este estudio es para dar énfasis a la idea de equivalencia lógica. De allí, distinguir entre equivalencia lógica y operador bicondicional, es sumamente importante, ya que el operador bicondicional aparece en fórmulas y éstos pueden ser o no tautologías, por el contrario la equivalencia es una relación sobre formulas que establece que las expresiones equivalentes van a producir idénticos valores de verdad, independientemente de los valores asignados a sus proposiciones componentes.

Por lo tanto, la equivalencia lógica también puede representarse simbólicamente en términos de doble implicación, es decir, P ↔ Q.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Ejemplo: “p” es equivalente a “− (−p)”, esta afirmación se puede comprobar mediante una



tabla de verdad.

p V

−p F

F

V

− (−p) V F

Se niega a la negación de “p” tendremos los mismos valores de “p”. En este caso afirmamos que: “p” es equivalente tautológicamente a “− (−p)”.



En el siguiente ejemplo, donde la proposición: Llueve y no hace calor.

Unidad III.



Se identifican las proposiciones:

Se simboliza:

p = Llueve q = Hace calor.

p

۸

−q

Entonces: (p ۸ − q) ≡ [− (−p

۷ q)]

Se levanta la tabla de verdad: (p V V F F

۸ F V F F

− q)

↔

F

V

V

V

F

V

V

V

[− F V F F

( − p

۷

F

V

F

F

V

V

V

V

q)] V F V F

C.P. La prueba es contundente. Las columnas que corresponden al Conectivo Principal (C.P.) de las dos proposiciones, coinciden fila por fila. Por lo tanto se puede afirmar que tautológicamente son equivalentes, tal como lo confirma el resultado final.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos La Implicación Lógica.

Es necesario señalar que toda implicación es un condicional, pero no todo condicional es una implicación. En matemática nos interesan las “verdearas implicaciones” por ser la forma básica de la mayoría de los teoremas.

En implicaciones correctas, el principal concepto es que cuando la hipótesis es Verdadera (V), la conclusión también debe serlo. Por ello, nos referimos a al hipótesis como una condición suficiente para la conclusión, y la conclusión será una condición necesaria. Esto quiere decir que, cuando la hipótesis se cumple, tenemos informa-

Unidad III.

ción suficiente para saber que la conclusión se cumple.

Es necesario aclarar que la implicación lógica se forma únicamente cuando la condición tenga un valor de verdad verdadero. Para que lo anterior suceda, debe estar excluida la posibilidad lógica Verdadero (V) – Falso (F) del condicional.

Nota: La implicación lógica es una condición que nunca puede ser Falso (F) y que supone tautología.

Para hacer distinción entre condicional e implicación, emplearemos el siguiente símbolo, para decir que “P implica lógicamente Q”, “P  Q”. Es de advertir que, tanto “P” como “Q” pueden ser proposiciones atómicas o compuestas.

Nota: El condicional, admite en función veritativa (resultado) la falsedad; pero la implicación lógica siempre es Verdadera (V), esto quiere decir que no admite la falsedad en su función veritativa.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Si queremos comprobar que una formula condicional es una implicación lógica, basta con elaborar su tabla de verdad. Si el resultado obtenido es una tautología entonces se da la implicación lógica.

Probar que: [ p ۸ ( q ۷ r ) ]  [ ( p ۸ q ) ۷ (p ۸ r ) ]

Construiremos la tabla de la verdad

Unidad III.

para comprobar si el condicional está formado por “V”.

[p

۸

(q

۷

r )]



[(p

۸

q)

۷

(p

۸

r)]

V V

V V

V V

V V

V F

V V

V V

V V

V V

V V

V V

V F

V F

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

F

Resultado (Tautología).

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Calculo de Inferencias.

A medida que aumenta el número de premisas que constituyen un razonamiento se hace más difícil someter dicho razonamiento a una prueba de validez utilizando las tablas de verdad.

En este sentido, si el razonamiento está compuesto por cinco proposiciones entonces tendría que construirse una tabla que posea,

Unidad III.

Treinta y dos (32) columnas. En este caso, el método más eficiente y sencillo es deducir la conclusión de sus premisas mediante una sucesión de razonamientos elementales donde cada uno de los cuales se sabe que es válido.

Por lo tanto, con este objetivo se pretende demostrar la validez de los razonamientos a partir del conocimiento de una serie de premisas para llegar a la conclusión, con la utilización de las leyes y reglas lógicas.

Nota: En conclusión se puede afirmar que: Se denomina inferencia al proceso que permite deducir una conclusión partiendo de un conjunto de premisas mediante la utilización de las leyes y reglas lógicas.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Leyes de Inferencia.

Son expresiones formales o fórmulas proposicionales cuya función veritativa es una tautología que sirve para organizar un cálculo axiomático.

Unidad III.

Principios Lógicos Básicos.

En el cálculo de inferencias es necesario tener en cuenta los siguientes principios lógicos.

1. Identidad: Esta ley permite hacer equivalencia entre dos proposiciones de un mismo argumento.

p≡p

2. No Contradicción: Una proposición no puede ser simultáneamente Verdadera (V) y Falsa (F).

p ۸ −p

3. Tercer Excluido: Una proposición es Verdadera (V) o es Falsa (F). p ۷ −p 4. Doble Negación: Una proposición afirmativa equivale a la misma proposición negada dos (2) veces.

− (−p) ≡ p

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Leyes de Inferencia Existen nueve leyes de inferencia que corresponden a formas de razonamiento elementales cuya validez es fácil de demostrar:

1. Modus Ponendo Ponens (M.P.P.).

2. Modus Tollendo Tollens (M.T.T.).

3. Modus Tollendo Ponens (M.T.P.).

4. Silogismo Hipotético (S.H.).

5. Dilema Constructivo (D.C.).

6. Absorción (Asb.).

Unidad III.

7. Simplificación (Simpl.).

8. Conjunción (Conj.).

9. Adición (Adic.).

Pero existen muchos razonamientos cuya validez no puede demostrarse usando solamente las nueve reglas de inferencia anteriores y tenemos que recurrir a leyes de inferencia adicionales, las cuales son: 10. Teorema de Morgan (Morg.).

11. Conmutación (Conm.).

12. Asociación (Asoc.).

13. Distribución (Dist.).

14. Transposición (Transp.).

15. Condicional (Cond.).

16. Idempotencia (Idemp.).

17. Bicondicional (Bicond.).

Entre otras.

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Leyes y Principios Lógicos que se Utilizan en el Cálculo de Inferencias.

1. Ley del Modus Ponendo Ponens (M.P.P.). p→q

p → −q

−p → −q

p

p

−p

q

−q

−q

Unidad III.

2. Ley del Modus Tollendo Tollens (M.T.T.). p→q −q

−p → q −q

−p → −q q

−p

p

p

3. Ley del Modus Tollendo Ponens (M.T.P.). p

۷

q

p

۷

q

−p

۷

−q

−p

−q

−p

p

q

p

q

−q

−p

۷

−q

4. Silogismo Hipotético (S.H.). p→q q→r p→r 5. Ley del Dilema Constructivo (D.C.). p→q r→t p

۷

r

q

۷

t

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos 6. Leyes de Absorción (Asb.).

۸

(p

۷

q)

q

q

(p q

۷

۸

q)

q

7. Simplificación (Simpl.). p

۸

q

p

Unidad III.

8. Ley de Conjunción (Conj.).

La 7º

p q p

۸

۸

p

q

q No la 9º Mmm

q

9. Adición (Adic.). p p

۸

w

10. Morgan (Morg.). − (p −p 11. Leyes Conmutativas (Conm.). p

۸

q

۸

q p

p

۷

q

q

۷

p

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۸ ۷

q)

− (p

−q

−p

۷ ۸

q) −q

Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos 12. Asociación (Asoc.). (p p

۸ q) ۸ r ۸ (q ۸

(p r)

p

۷ q) ۷ r ۷ (q ۷ r)

13. Leyes Distributivas (Dist.). (p ۸

q)

۷ r

(p ۷

r)

۸ (q ۷

r)

(p ۷

q)

(p ۸

r)

۸

r

۷ (q ۸

r)

14. Leyes de Transposición (Transp.).

Unidad III.

a) (p → q) ≡ (−q → −p) b) (p ↔ q) ≡ (−q ↔ −p) c) (p ↔ q) ≡ (q ↔ p) d) (p ↔ q) ≡ (−p ↔ −q) 15. Condicional (Cond.) / Disyuntivo. / Conjuntivo. p→q −p

−p ۷ q p→q

۷q

p→q − (p

۸ − q)

16. Leyes de Idempotencia (Idemp.). p p 17. Ley del Bicondicional (Bicond.) p

(p → q)

↔ q

۸

(q → p)

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۸

p

q q

۷

q

Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos

18. Leyes de Complementación. a)

p

b)

p

۷ ۸

−p ≡ V

Ley del tercero excluido.

−p ≡ F

Ley de contradicción.

19. Leyes de Identidad. a) p

Unidad III.

b) p c) p d) p

۸ ۸ ۷ ۷

V ≡ p F ≡ F V≡ V F ≡ p

Leye

s

Princip

ios os .

Lógic

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Fase IV. Estimula: Nuevos Conocimientos Demostración de Teoremas Lógicos a Partir de Premisas Conocidas.

Se le conoce también con el nombre prueba de validez. Partiendo de un conjunto de premisas se llega a demostrar un teorema mediante la utilización de las leyes lógicas.

Para calcular la validez de una inferencia se utiliza el método general de la deducción, que consiste en combinar las premisas mediante el uso de las leyes y reglas lógicas para derivar conclusiones parciales sucesivas que conducen a la conclusión de la inferencia. La demostración de validez de la inferencia finaliza cuando se obtiene una derivación igual a la conclusión de la inferencia. Si no se puede lograr obtener dicha conclusión es porque la inferencia no es válida o porque hubo algún error durante el proceso.

Unidad III.

Al utilizar dicho método se siguen los siguientes pasos: 1.

Se detallan las premisas identificándolas con el número en su lado izquierdo y colocándolas en líneas sucesivas.

2.

Aplicando las leyes y reglas lógicas se van combinando las premisas, lo cual conduce a conclusiones parciales y a nuevas combinaciones que llevan a la conclusión final.

3.

A cada conclusión parcial se le coloca, en su lado derecho, las justificaciones de cada paso dado. Estas justificaciones no son mas que el nombre de la ley o regla utilizada y el numero de las premisas combinadas.

Ejemplos: Demostrar la validez justificando cada paso dado: Demostrar que: p, r

۸ −q

C:

p

۸

−q

1) p

۸

2) r 3) −q 4) p

−q Simplif. (2)

۸

−q

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Conjunción (1,3)