ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Σε σύστηµα µάζας - ελατηρίου, εκτός από την ελαστική δύναµη επαναφοράς, ενεργούν δύναµη αντίστασης F =-bυ και περιοδική δύναµη F = F0 ηµωt µε ω που µπορεί να µεταβάλλεται. Τότε: i) το σύστηµα ταλαντώνεται µε την ιδιοσυχνότητά του f0 . ii) το πλάτος ταλάντωσης είναι ανεξάρτητο της κυκλικής συχνότητας ω. iii) η συχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος είναι ίση µε τη συχνότητα της περιοδικής δύναµης. iv) όταν αυξάνεται η συχνότητα της περιοδικής δύναµης, το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνει πάντοτε.
Α2 ∆ίνεται η γραφική παράσταση φ = f(t) απλής αρµονικής ταλάντωσης, που έχει πλάτος αποµάκρυνσης Α = 2 cm. i) Για t=0 η ταχύτητα του σώµατος είναι µέγιστη. ii) Η περίοδος ταλάντωσης είναι 1s. iii) Για t=0,5s το σώµα περνά από τη θέση ισορροπίας.
0
1
t(s)
iv) Για t=0,5s το σώµα έχει µέγιστη επιτάχυνση.
Α3 Το διπλανό διάγραµµα δίνει την αποµάκρυνση σε συνάρτηση µε το χρόνο σε µια φθίνουσα ταλάντωση. Ποιο από τα επόµενα διαγράµµατα δίνει της δύναµη απόσβεσης σε συνάρτηση µε το χρόνο;
Το ∆.
Α4 Σε µια φθίνουσα αρµονική µηχανική ταλάντωση, i) η αποµάκρυνση από τη Θ.Ι. δίνεται από τη σχέση x = Aηµωt ii) η σταθερά απόσβεσης b εξαρτάται µόνο από τη φύση του µέσου µέσα στο οποίο ταλαντώνεται το σύστηµα iii) µε την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται το πλάτος, η µέγιστη ταχύτητα και η ιδιοπερίοδος iv) ο ρυθµός µε τον οποίο µειώνεται το πλάτος αυξάνεται µε τη σταθερά απόσβεσης
Α5 Ένα σώµα µάζας 1kg εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, η αποµάκρυνση του οποίου, σε συνάρτηση µε το χρόνο, µεταβάλλεται όπως
x (m) 0,2
στο διάγραµµα. Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος:
0
i) Η περίοδος ταλάντωσης είναι ίση µε 10s. Λ.
t1
t2
10t (s)
ii) Τη χρονική στιγµή t1=Τ/8 το σώµα έχει αρνητική ταχύτητα. Σ. iii) Τη χρονική στιγµή t1 το σώµα έχει αρνητική επιτάχυνση. Σ. iv) Τη χρονική στιγµή t2 το σώµα έχει µέγιστη κατά µέτρο ταχύτητα. Λ. v) Το χρονικό διάστηµα t2- t1 είναι ίσο µε 4s. Λ.
ΘΕΜΑ Β Β1 Το πλάτος µιας φθίνουσας µηχανικής ταλάντωσης µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο σύµφωνα µε την εξίσωση Α=Α0 e-Λt. Για t=0 η ενέργεια ταλάντωσης είναι E 0. Η ενέργεια που έχει χάσει το σύστηµα µέχρι τη χρονική στιγµή t=In2/Λ είναι ίση µε: α.E 0/ 2
β. E 0/4
γ. 3E 0/4
δ. E 0/16
Β2 Στο διπλανό σχήµα έχουν σχεδιαστεί οι δυνάµεις που ασκούνται στη σφαίρα σε µια τυχαία θέση που απέχει κατά y από τη θέση ισορροπίας. i) Θεωρώντας θετική την προς τα κάτω κατεύθυνση παίρνουµε για τη σφαίρα Σ: w-Τ=m·α ή mg – Τ= m·(-ω2· y) ή Τ= mg +m·ω2·y (1) Αλλά k=(Μ+m)·ω2, οπότε η (1) γίνεται:
T = mg +
m k⋅y M +m
Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτει ότι η τάση του νήµατος γίνεται ελάχιστη στην θέση y=-A= - d.
Tmin = mg +
m k ⋅ (− d ) (2) M +m
Αλλά στη θέση ισορροπίας για το σύστηµα ΣF=0 ή wολ=Fελ ή (Μ+m)g = k·2d ή d = αντικατάσταση στην (2) παίρνουµε:
Tmin = mg −
M +m m 1 k⋅ g = mg Σωστή η πρόταση α). M +m 2k 2
M +m g και µε 2k
ii) Η µέγιστη κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι στη θέση ισορροπίας: 2 = Κmαx= ½ m υmax
1 k 1 m( Aω ) 2 = md 2 ⋅ ή 2 2 M +m
K max =
1 m kd 2 2 M +m
Σωστή η πρόταση
γ ).
Β3 β
+Q C -Q
i=0
(+) L (-)
(+)
q=0 2C
i=+I
(t=0)
Τη χρονική στιγµή t=
(t =
L (-)
3T ) 4
3T 3T 3π ⋅ το φορτίο του πυκνωτή είναι q=Qσυνω ⇒ q=Qσυν ⇒ q=0. 4 4 2
Άρα, η αρχική (µέγιστη) ενέργεια του πυκνωτή που UCmax = (µέγιστη) µαγνητικού πεδίου στο πηνίο, ULmax =
1 Q2 έχει µετατραπεί πλήρως σε ενέργεια 2 C
1 2 LI . Ο διπλασιασµός της χωρητικότητας του πυκνωτή 2
προκαλεί αλλαγή της αρχικής τιµής της γωνιακής συχνότητας της ηλεκτρικής ταλάντωσης από ω=
1
(1) σε ω΄ =
LC
1
(1),(2)
(2) . Από ⇒ ω΄ =
2LC
ω
(3).
2
Τη χρονική στιγµή που αλλάζει η χωρητικότητα του πυκνωτή (t=
i=-Iηµω
3T ) το ρεύµα που διαρρέει το πηνίο είναι 4
3T 3π ⇒ i=-Iηµω ⇒ i=+Ι, δηλαδή έχει µέγιστη ένταση και δεν µεταβάλλεται λόγω φαινοµένου 4 2
αυτεπαγωγής στο πηνίο. Άρα, Ι=Qω(4), αλλά και Ι= Q′ω′ (5), όπου Q′ =το πλάτος του φορτίου στη νέα ηλεκτρική ταλάντωση που θα εκτελέσει το κύκλωµα µετά το διπλασιασµό της χωρητικότητας του πυκνωτή. Από (4) και (5) προκύπτει: Q' =
Qω (3) ⇒ Q′ = Q 2 . ω'
ΘΕΜΑ Γ Γ1
,
Γ2.1
=
= 5000 rad/s και Τ = 2π/ω =
Άπα
Γ2.2 Η ένηαζη ηος πεύμαηορ μηδενίζεηαι ζε σπόνο Δt = Τ/4 =
Γ2.3 Ι = ωQ
. Όμωρ
οπόηε
Γ2.4 Η σπονική ζηιγμή t = 3π·10-4 s ανηιζηοισεί ζε σπόνο t = 3T/4 οπόηε ανηικαθιζηώνηαρ ζηην εξίζωζη
έσοςμε
δηλαδή ο οπλιζμόρ πος
ηην t = 0 θοπηίζονηαν θεηικά ηώπα είναι απνηηικά θοπηιζμένορ. Όμωρ ηην t = 0 θοπηίζονηαν θεηικά ο δεξιόρ οπλιζμόρ ηος πςκνωηή άπα ο δεξιόρ οπλιζμόρ ηος πςκνωηή ηην t = 3π·10-4 s είναι απνηηικά θοπηιζμένορ.
ΘΕΜΑ Δ Δ1 Το σώµα Σ1 θα αποκτήσει για πρώτη φορά µέγιστη ταχύτητα, τη στιγµή που θα φτάσει στη θέση ισορροπίας του (θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου). Αυτό θα γίνει σε χρόνο:
m1 π 1 1 1 = s=π s t = T = 2π 20 2 100 k1 4 4 Και η ταχύτητά του τη στιγµή αυτή θα έχει µέτρο: υ=ω·Α1=
k1 ⋅ A1 = 5m / s m1
Δ2 Η ενέργεια ταλάντωσης παραµένει σταθερή, οπότε για τη θέση ελάχιστα πριν την κρούση µε το Σ2 θα ισχύει: ½ m1·υ12 + ½ k1·x12 = ½ k1·Α12 όπου x1=d=0,4m, οπότε παίρνουµε:
υ1 =
100 k1 2 ( A1 − x12 ) = (0,25 − 0,16) m / s = 3m / s 1 m1
Δ3 Στο διπλανό σχήµα, φαίνεται το σώµα στη θέση ισορροπίας και έστω x1 η επιµήκυνση του ελατηρίου σταθερά k1 και x2 η αντίστοιχη του δεύτερου. Στη θέση ισορροπίας: ΣF=0 ή F1=F2 ή k1·x1=k2·x2 ή x1=3 x2 Αλλά x1+x2=d → 4x2=d → x2=0,1m και x1=0,3m
Δ4 Έστω το σώµα σε µια τυχαία θέση η οποία απέχει κατά x από τη θέση ισορροπίας: ΣFx= - F2-F1= - k2·(x-x2) – k1·(x1+x) = - k2·x+k2·x2-k1·x1-k1x = - (k1+k2)·x Συνεπώς το συσσωµάτωµα θα εκτελέσει ΑΑΤ, γύρω από τη θέση ισορροπίας η οποία απέχει κατά 0,3m από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου k1, µε σταθερά επαναφοράς D=k1+k2. Για την πλαστική κρούση των δύο σωµάτων ισχύει η Α.∆.Ο. οπότε:
Pπριν = Pµετ ή m1·υ1=(m1+m2)·υκ ή υκ=m1·υ1/(m1+m2) = 1·3/3 m/s= 1m/s
Εφαρµόζοντας την ∆Εταλ. για το συσσωµάτωµα αµέσως µετά την κρούση παίρνουµε: Κ+U=Ετ ή ½ (m1+m2)·υκ2 + ½ D·x22 = ½ D·Α22 ή
A2 =
m1 + m2 2 7 7 3 υκ + x22 = m= m 1 + 0,12 m = D 400 20 400
Άρα η µέγιστη τιµή του µέτρου της δύναµης επαναφοράς είναι: |Fmax|=D·Α2= 400 /m·
Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης Φυσικής ζητήματα
7 m = 20 7 N 20