ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2012 Α1 δ, Α2 γ, Α3 γ (2ος Ν. Νεύτωνα ΣF = mα -Dx-bυ = mα για x=0 α = - bυ/m ), Α4 δ. Α5 Σ Λ Λ Λ Σ Β1, A) i) (1) t=0
ΤΘ
(2) t1
ΘΦΜ Fελ2
d
Fελ1
(1) ΘΙ2 ΘΙ1
(2)
→
F
d
Fελ0
x'
→
w
x
→
F
→
F
→
→
w
w
→
F
Από την t=0 μέχρι την t1 θα δείξουμε ότι το σώμα εκτελεί τμήμα ΑΑΤ, με την επίδραση της F με mg 3mg D=k, γύρω από τη ΘΙ1 για την οποία έχω: F+w=Fελ1 mg k (d x ' ) k (d x ' ) (1) 2 2 mg 3mg Στην ΤΘ με απομάκρυνση x: ΣF = w+ F-Fελ0 = mg k (d x' x) F k (d x ' ) kx 2 2 η οποία λόγω της σχέσης (1) γίνεται ΣF = - kx άρα πράγματι εκτελεί αατ με D = k. Από την t1 και μετά, όπου καταργείται η F, το σώμα εκτελεί 2η ΑΑΤ με D=k, γύρω από τη ΘΙ2 για την οποία έχω: Fελ2 = mg kd = mg (2). 3kd d Η (1) λόγω της (2) k (d x ' ) 3kd = 2kd+2kx’ 2kx’ = kd x ' (3). 2 2 Όμως η θέση (1) είναι η πάνω ακραία θέση της 1ης ταλάντωσης, αφού εκεί η ταχύτητα ήταν υ = 0. Επίσης, η θέση (2) που αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t1 όπου η F καταργείται, αφού και αυτή απέχει απόσταση x’’=d-x’=d-d/2=d/2 από τη ΘΙ1, είναι η κάτω ακραία θέση της. Αυτές οι θέσεις d απέχουν απόσταση d. Δηλαδή 2Α1 = d. Άρα το πλάτος της 1ης ταλάντωσης είναι A1 = x ' . 2 Μετά με την κατάργηση της F ακολουθεί η 2η ΑΑΤ από την ακραία θέση (2). Και οι δύο ταλαντώσεις έχουν περίοδο T 2
m αφού δεν αλλάζει η μάζα του ταλαντούμενου k
σώματος. Έτσι στην 1η ταλάντωση την t = 0, το σώμα ξεκίνησε από την πάνω ακραία θέση (1) και την t1 έφτασε στην κάτω ακραία θέση (2), άρα ταλαντώθηκε για Δt = T/2. Μαρούσης Βαγγέλης - Φυσικός
1
http://vmarousis.blogspot.com
B1, B) ii) 1ος Τρόπος: Η ενέργεια της ταλάντωσης που ακολουθεί μετά την κατάργηση της F είναι ίση με το έργο της F και έχει πλάτος Α. Δηλαδή ΕΤΑΛ2=WF. Όμως WF = Fd = ½ kA2
mg 1 d kA2 mgd = kA2. Λόγω της σχέσης (2) kd2=kA2 A= d. 2 2
2ος Τρόπος: Αφού όταν ξεκινά η 2η ταλάντωση με την κατάργηση της F στη θέση (2) υ=0, αυτή θα είναι και ακραία θέση της 2ης ταλάντωσης. Οπότε από το σχήμα προκύπτει Α = Θέση (2) ΘΙ2 = d. Β2, α α) Ισχύει: Α = Αοe –Λt άρα ΑΝ = Α0e- ΛΝΤ ΑΝ = Α0 (e- ΛΤ)Ν (1) ΑΝ = Α0λΝ Όμως
AN 1 A0e ( 1) e AN A0e
Το α Σωστό.
(2)
β) ΕΝ = ½ DAN2 = ½ D Α02 e- 2ΛΝΤ = E0e- 2ΛΝΤ = E0 (e- ΛΤ)2Ν = E0λ2Ν Το β Λάθος. Β3, β Από το σχήμα έχω: Τδ = 1,5 – 0,5 Τδ = 1s fδ = 1 Hz f1 - f2 = 1 (1) Επίσης από 0,5–1,5s, από το σχήμα, αν μετρήσω (σε χρόνο Τδ) εκτελούνται Ν=20 ταλαντώσεις, άρα 1 0, 05s fκιν = 20 Ηz. 20 Όμως
1 2 2
2 f
2 f1 2 f 2 f f f 1 2 f1+f2 =40 (2) 2 2
Από (1) και (2) εύκολα προκύπτει f1 = 20,5 Hz και f2 = 19,5 Hz. Σωστό το β. Β4, γ Δφ = φ02 – φ01 = π/6+π/6=π/3 rad. Άρα A '2 A2
A2 A 7 A2 2 A (1) 4 2 3 4
(1) Ε2 = Εολ = ½ D A '2 E2 = ½ D
E1 = E = ½ DA2 (3)
7 A2 7 E2 = DA2 (2) 4 8
7 DA2 E2 8 E 14 (2) E2 = 7/4 E E2 = 1,75 E. Άρα σωστό το γ. 2 (3) E 1 DA2 E 8 2
Μαρούσης Βαγγέλης - Φυσικός
2
http://vmarousis.blogspot.com
ΘΕΜΑ Γ α)
Ιο Ι1=Ι0
E 20 2 Α και ο πυκνωτής είναι R r 10 αφόρτιστος αφού η τάση στα άκρα του είναι VC = I0Rπην1 = 0 , αφού το πηνίο είναι ιδανικό.
Με τον δ κλειστό για μεγάλο χρονικό διάστημα, έχω I 0
Όταν ανοίξω τον δ στο L1 – C έχω ηλεκτρική ταλάντωση με αρχικές συνθήκες την t=0, Ι1 = +Ι0 = 2 Α και q=0, οπότε σύμφωνα με τη φορά του ρεύματος (συμβατική) θετικά θα φορτιστεί αμέσως μετά την t=0, o οπλισμός Β.
β) Για την ταλάντωση στο L1 – C:
1
1 5000 rad/s L1C
και Q1 = Ι1/ω1 = 2/5000 = 4·10-4 C και επειδή την t=0 οι αρχικές συνθήκες
είναι Ι1 = +Ι0 = 2 Α και q=0 θα έχω: q1 = Q1ημω1t και i1 = I1συνω1t άρα q1 = 4·10-4ημ5000t S.I. και VBA = q1/C ή VAB = - q1/C. Με αντικατάσταση εύκολα προκύπτει: VAB = - 40ημ(5000t) SI. Επίσης Τ = 2π/ω = 4π·10-4 s. Άρα η γραφική παράσταση είναι η παρακάτω: VAB ( V) 40 t (x10-4s)
0 2π
4π
-40
Μαρούσης Βαγγέλης - Φυσικός
3
http://vmarousis.blogspot.com
γ) UB = 3UE Με ΑΔΕΤ έχω 3UE+UE = E 4UE=E 4 q
Q1 2
1 q 2 1 Q12 απ’ όπου εύκολα υπολογίζω 2C 2 C
και επειδή είμαι στη πρώτη ημιπερίοδο q
Q1 . 2
Αντικαθιστώντας στην εξίσωση q1 = Q1ημω1t προκύπτει: ημω1t = ½ ημω1t = ημ(π/6) ω1t = 2kπ + π/6 t1
104
ω1t = 2kπ + 5π/6 t2 Άρα Δt = t2 – t1
3
s
ή
5 104 s 3
4 104 s. 3
δ) Όταν το ρεύμα στο κύκλωμα L1-C είναι i1=1,2 A και το φορτίο q1, ο μεταγωγός μ μεταφέρεται από το Γ στο Δ με αποτέλεσμα να αρχίσει ηλεκτρική ταλάντωση στο κύκλωμα L2 - C , που θα έχει μέγιστο φορτίο Q2 το φορτίο q1 που ήταν αποθηκευμένο στον πυκνωτή τη χρονική στιγμή που έγινε αυτή η μετακίνηση του μ και το οποίο θα υπολογίσουμε εφαρμόζοντας την ΑΔΕΤ για το κύκλωμα L1-C:
1 q12 1 2 1 2 L1i1 L1I1 q12 L1CI12 L1Ci12 q1 L1C ( I12 i12 ) 2C 2 2 Με αντικατάσταση προκύπτει q1=3,2·10-4C = Q2 . Πρέπει I2
L2C
0,8 ω2Q2
0,8 ω2
0,8 0,8 1 0,8 2 4 4 Q2 3, 2 10 L2C 3, 2 10
16 108 16 108 3, 2 104 L2C 4 104 L2C 16 108 L2 L2 0,8 C 105 L2
Μαρούσης Βαγγέλης - Φυσικός
16·10-3 H L2
4
16 mH.
http://vmarousis.blogspot.com
ΘΕΜΑ Δ α) (I)
(II)
Στη Θ.Ι. (Θέση I ή IV) Fελ0=w (1) k·Δl0=Mg Δl0=Mg/k=0,3 m.
(III) (IV)
ΘΦΜ
Δl0 ΘΙ
→
ΤΘ
(III)
Fελ0
Fελ1 F
y →
w
Στη θέση αυτή - θέση (Ι) - το σώμα αρχίζει να επιταχύνεται με την επίδραση της μεταβλητού μέτρου δύναμης F, που για y=0 έχει μέτρο F=15N, αφού η Fελ0 εξουδετερώνεται από το βάρος w [σχέση (1)].
→
w
y1
υ1
F
Αλλά και στην τυχαία θέση (ΤΘ) με απομάκρυνση y από τη ΘΙ, θέση (ΙΙ) έχω: ΣFy=F+w-Fελ1=15+100y+Mg-k(Δl0+y) (1) ΣFy=15+100y+Mg-kΔl0-100y ΣFy=15 Ν = σταθερή.
Δηλαδή για το χρονικό διάστημα Δt=0,2 s , το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη F 15 κίνηση με 5m / s 2 . M 3 Άρα όταν θα καταργηθεί η F στη θέση (ΙΙΙ), το σώμα αποκτά ταχύτητα 1 υ1=α·Δt=5·0,2=1 m/s και απομάκρυνση y1= α·Δt2=2,5·0,04=0,1m 2
και αρχίζει να εκτελεί αατ γύρω από τη ΘΙ, με πλάτος Α1 και D =k. Εφαρμόζοντας την ΑΔΕΤ για τη θέση (ΙΙΙ) όπου ξεκινά η αατ έχω: Κ+U=E ½ Μυ12+ ½ ky12 = ½ kA12 απ’ όπου με αντικατάσταση προκύπτει Α1= 0,2m.
Μαρούσης Βαγγέλης - Φυσικός
5
http://vmarousis.blogspot.com
(ΠΡΙΝ)
β)
(ΜΕΤΑ)
ΥΛΙΚΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΦΜ
Fελ1 Δl0
Fελ0
-Α2
ΑΘΙ
Mg
M m
Δy
d
Α1
y2
υ0 t=0
ΝΘΙ
0 +Α2
Vκ (M+m)g
(+)
y
Αμέσως μετά την κρούση, που γίνεται στην κάτω ακραία θέση της 1ης αατ, έχουμε μια νέα ταλάντωση γύρω από τη ΝΘΙ με ω’ και πλάτος Α2. Αφού η κινητική ενέργεια μετά την κρούση, μεγιστοποιείται κάθε 0,2π s, προκύπτει ότι
2 2 T' ' 5 rad / s. Όμως k=(m+M) '2 0, 2 T ' 0, 4 s ' ' 0,4 2 k 100 mm 3 m = 4 – 3 m = 1 Kg. 2 ' 25
Η κρούση πραγματοποιείται στην κάτω ακραία θέση της αρχικής αατ και επειδή είναι πλαστική θα αλλάξει η ΘΙ της νέας ταλάντωσης - (ΝΘΙ). Για τη ΝΘΙ έχω: ΣF=0 k(Δl0+Δy) = (M+m)g y
( M m) g l0 Δy = 0,1 m. k
Όπου Δy είναι η απόσταση της ΑΘΙ από τη ΝΘΙ. Επειδή αμέσως μετά την κρούση στη νέα ταλάντωση που ακολουθεί, το σώμα σταματά στιγμιαία (υ=0) μετά από απόσταση d=30cm=0,3 m, αυτή θα είναι η πάνω ακραία θέση της νέας ταλάντωσης (θέση –Α2 στο σχήμα). Όταν ξεκινά η 2η αατ αμέσως ΜΕΤΑ την κρούση (t=0), το συσσωμάτωμα έχει ταχύτητα Vκ και απομάκρυνση από τη ΝΘΙ: y2 = A1 – Δy y2 = 0,2 - 0,1 y2= 0,1m. (Δείτε το σχήμα) και από το σχήμα προκύπτει ότι Α2 = d – y2 = 0,3 – 0,1 Α2= 0,2 m.
γ) Εφαρμόζοντας την ΑΔΕΤ για τη θέση όπου ξεκινά η 2η αατ έχω: Κ+U=E ½ (Μ+m)Vκ2+ ½ ky22 = ½ kA22 απ’ όπου με αντικατάσταση προκύπτει Vκ= 0,5 3 m/s. Με ΑΔΟ για την κρούση έχουμε: pολ(ΠΡΙΝ) = pολ(ΜΕΤΑ) mυ0 = (Μ+m)Vκ υ0 = 4·0,5 3 υ0 = 2 3 m/s .
Μαρούσης Βαγγέλης - Φυσικός
6
http://vmarousis.blogspot.com
δ) Για την ταλάντωση του συσσωματώματος την t = 0 αυτό έχει απομάκρυνση y2= 0,1m. Άρα: t 0 y = A2ημ(ω’t + φ0) 0,1 = 0,2ημφ0 ημφ0 = ½ φ0 = 2κπ + π/6 ή φ0 = 2κπ + 5π/6 y 0,1
άρα φ0 = π/6 ή φ0 = 5π/6 όμως η Vκ < 0 άρα φ0 = 5π/6. Άρα y = 0,2ημ(5t+5π/6) S.I. (2) και υ = συν(5t+5π/6) S.I. (3) Για το στοιχειώδες έργο της Fελ αφού είναι συντηρητική δύναμη ισχύει: dWF dU Για το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου έχω: dU dWF F dx F (3) dt dt dt
Θεωρώντας το συσσωμάτωμα σε μια τυχαία θέση με απομάκρυνση y κάτω από τη ΝΘΙ, η οποία απέχει από τη ΘΦΜ απόσταση Δl2 = Δl0+Δy=0,3+0,1=0,4 και αντικαθιστώντας την Fελ της σχέσης (3) με την αλγεβρική της τιμή - με θετική φορά προς τα κάτω - η (3) δίνει: dU (2) [k ( l2 y )] k (l2 y ) (3) dt
dU 100[0,4 0,2 (5t 5 / 6)] (5t 5 / 6) dt dU 40 (5t 5 / 6) 10 2 (5t 5 / 6) (5t 5 / 6) dt στηριζόμενοι στην τριγωνομετρική ταυτότητα 2·ημφ·συνφ = ημ2φ η παραπάνω σχέση γράφεται:
dU 40 (5t 5 / 6) 10 (10t 5 / 3) SI dt όπου αντικαθιστώντας όπου t = 0 έχουμε :
dU dU 40 (5 / 6) 10 (5 / 3) 25 3 J / s. dt 0 dt 0
Μαρούσης Βαγγέλης - Φυσικός
7
http://vmarousis.blogspot.com