6b glykeiou

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. c

Α2. d Α3. c Α4. c Α5. Σ, Λ, Σ, Σ, Λ

ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Γνωρίζουμε (σχολικό βιβλίο, σελ. 113) ότι ένα ελεύθερο σώμα με την επίδραση ροπής δύναμης, (το οποίο εκτελεί ταυτόχρονα μεταφορική και περιστροφική κίνηση) στρέφεται ως προς το νοητό άξονα, που διέρχεται απ’ το κέντρο μάζας του. Έτσι η ελεύθερη ράβδος (1), κατά τη στροφική κίνηση ως προς το κέντρο μάζας της Κ, δέχεται ροπή:

, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς το κέντρο μάζας της είναι: Εφαρμόζοντας τώρα το Θεμελιώδη Νόμο της Στροφικής Κίνησης προκύπτει για τη γωνιακή της

επιτάχυνση:

(1).

Η ράβδος (2) στρέφεται ως προς το σταθερό άκρο Α. Η ροπή, που δέχεται είναι: Θεώρημα Steiner είναι ίση με:

και η ροπή αδράνειάς της ως προς το άκρο Α, με βάση το

. Εφαρμόζοντας πάλι το Θεμελιώδη Νόμο της Στροφικής Κίνησης προκύπτει για τη γωνιακή της επιτάχυνση:

(2). Συγκρίνοντας τις (1) και (2) προκύπτει ότι:

Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης

.

Φυσικής ζητήματα

Β2. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Εφόσον στον κύβο οι δυνάμεις που παράγουν έργο είναι συντηρητικές (βάρος) ισχύει το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Θ.Δ.Μ.Ε.): Ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας επιλέγουμε αυτό που περνάει από την βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

(1) Στο δίσκο οι δυνάμεις που παράγουν έργο είναι συντηρητικές (βάρος). Η στατική τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της (ασκείται συνεχώς σε σημείο που έχει ταχύτητα μηδέν), άρα για τη σύνθετη κίνηση συνολικά δεν παράγει έργο. Επομένως ισχύει και εδώ το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Θ.Δ.Μ.Ε.). Ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας επιλέγουμε αυτό που περνάει από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

(2) Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις (2) και (1):

Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης

Φυσικής ζητήματα

Β3. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Το μέτρο της στροφορμής δίνεται από τον τύπο ισχύει:

, οπότε για τις χρονικές στιγμές

και

(1)

Η κινητική ενέργεια (λόγω περιστροφής) δίνεται από τον τύπο στιγμές

και

, οπότε για τις χρονικές

ισχύει:

(2)

Το έργο της δύναμης ενέργειας:

για το χρονικό διάστημα

θα υπολογιστεί από το θεώρημα έργου –

(3)

Το έργο της δύναμης έργου - ενέργειας:

για το χρονικό διάστημα

Με αντικατάσταση

Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης

θα υπολογιστεί ομοίως από το θεώρημα

προκύπτει:

Φυσικής ζητήματα

ΘΕΜΑ Γ Γ1. Η ροπή αδράνειας του συσσωματώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας της ράβδου

και του σφαιριδίου

ως προς τον ίδιο άξονα:

. Με αντικατάσταση, έχουμε:

Γ2. (βλ. σελίδα 124 του Σχολικού Βιβλίου) Στη θέση Α οι φορείς τόσο του βάρους του σφαιριδίου όσο και του βάρους της ράβδου διέρχονται από τον άξονα περιστροφής άρα έχουν μηδενική ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο. Άρα η στροφορμή διατηρείται. Με αντικατάσταση, στη μαθηματική σχέση της διατήρησης της στροφορμής έχουμε:

Γ3. Η μείωση της μηχανικής ενέργειας οφείλεται μόνο στην μείωση της κινητικής ενέργειας του συστήματος

Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης

Φυσικής ζητήματα

Γ4. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος ράβδος- σφαιρίδιο με τη συνολική ροπή που δέχεται το συσσωμάτωμα στην ίδια θέση:

Από το ορθογώνιο τρίγωνο

στη θέση ΟΒ ισούται

έχουμε:

Επίσης, από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΛΚ:

Με αντικατάσταση στη σχέση

Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης

έχουμε:

Φυσικής ζητήματα

ΘΕΜΑ Δ Δ1. Η δοκός ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήµα 1. Άρα Στ ( Α ) = 0 ή Ν 2 (Α∆) − w(AM) − N1 (AΓ) + Ν3 ⋅ 0 = 0 ή Ν 2

N3

N′1 O w1

Α

Γ N1

3ℓ ℓ ℓ = w + N1 (1) 4 2 4

Σχήµα 1

N2 ∆

Μ

Υ

w

Β

Από την ισορροπία του κυλίνδρου έχουµε ότι N′1 + w1 = 0 ή N1′ = w1 (2) όπου N′1 η δύναµη που δέχεται ο κύλινδρος από τη δοκό. Αλλά N1′ = N1 (3) επειδή έχουν σχέση δράσης - αντίδρασης , οπότε από την (1) µε βάση τις (2) , (3) έχουµε 2w + w1  2M + m  ή N2 =   g = 260N (4) και φορά όπως φαίνεται στο σχήµα 1.

3 3  

Εξ άλλου πρέπει N 3 + N1 + w + N 2 = 0 ή N 3 = w1 + w − N 2 και µε βάση την (4) και τα δεδοµέναότι N2 =

Ν3 = 220Ν και φορά όπως φαίνεται στο σχήµα 1.

Δ2. Αφού ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, δέχεται και στατική τριβή J , η οποία έστω έχει φορά προς τα δεξιά όπως φαίνεται στο σχήµα 2.

Η τάση του νήµατος T1 που ασκείται στον κύλινδρο, είναι ίση µε τη δύναµη F , επειδή το νήµα είναι αβαρές. Έτσι για τη στροφική κίνηση του κυλίνδρου έχουµε ότι

(T − J) R = 1

1 1 mR 2 α γων ή F − J = mRα γων (5) 2 2

Όµως επειδή η κύλιση γίνεται χωρίς ολίσθηση ισχύει ότι α cm = α γων ⋅ R οπότε η (5) γράφεται έτσι

F−J =

1 mα cm (6) 2

Για την µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου έχουµε ότι

J = mα cm (7) Από την (6) µε βάση την (7) έχουµε ότι F − J =

J 3J 2F ή F= ή J= = 12N > 0 (8) άρα σωστά 2 2 3

σχεδιάσαµε την στατική τριβή προς τα δεξιά. Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης

Φυσικής ζητήματα

Επειδή η µόνη δύναµη που ασκείται στον κύλινδρο στη οριζόντια διεύθυνση είναι η στατική τριβή , ο κύλινδρος θα κινηθεί πάνω στη δοκό κατά τη φορά της, δηλαδή προς το σηµείο Β.

Δ3. Επειδή το συνολικό έργο της στατικής τριβής είναι ίσο µε µηδέν , µε βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας µεταξύ των σηµείων Γ και ∆ έχουµε

1 1 1 1 1 2 2 Icm ω2 + mυcm = WF ή ⋅ mR 2 ω2 + mυcm = F ⋅ R ⋅ ∆θ 2 2 2 2 2 και επειδή δεν υπάρχει ολίσθηση (Γ∆) = R ⋅ ∆θ άρα

F Κ

T2

Σχήµα 2

T1

T1

N′1 Ο w1

Α

υcm Ο

J

Γ

J

∆ Υ

ℓ/2

Β

2Fℓ m 1 1 1 ℓ 2 ⋅ mR 2 ω2 + mυcm = F ⋅ (Γ∆) = F ή υcm = =2 2 (9) 2 2 2 2 3m s

Δ4. Ο ρυθµός που προσφέρεται ενέργεια στον κύλινδρο, ισούται µε την ισχύ της δύναµης F δηλαδή PF = FRω , και επειδή δεν έχουµε ολίσθηση PF = F ⋅ υcm . Οπότε στο σηµείο ∆ µε βάση την (9) PF = 18N ⋅ 2 2

m = 36 2 j/ s . s

Δ5. α. Η µεταβολή της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής είναι

∆Κ περιστρ = WΣτ( Ο) = ( F − J ) R ⋅ ∆θ ή ∆Κ περιστρ = ( F − J ) d και µε βάση την (8) 2F  F F ℓ  ∆Κ περιστρ =  F −  d = d = ⋅ = 9 j (10) 3  3 3 8  Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης

Φυσικής ζητήματα

β. Η ενέργεια που προσφέρεται µέσω του έργου της δύναµης F είναι ℓ ∆E προσφ = WF = F ⋅ R ⋅ ∆θ = F ⋅ d ή ∆E προσφ = F ⋅ = 27 j (11) 8 Με βάση την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουµε ότι ∆Ε προσφ = ∆Κ περιστρ + ∆Κ µεταφ ή ∆Κ µεταφ = ∆Ε προσφ − ∆Κ περιστρ και µε βάση τις (10) και (11) ∆Κ µεταφ = 18j Άρα από το σύνολο της ενέργειας που προσφέρθηκε κατά την µετατόπιση από το Κ µέχρι το Λ µετατράπηκε σε κινητική ενέργεια λόγω µεταφορικής κίνησης ποσοστό

π1 =

∆Κ µεταφ ∆Ε προσφ

⋅100% =

18 200 ⋅100% = % 27 3

και σε κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης π2 =

∆Κ περιστρ ∆Ε προσφ

⋅100% =

9 100 ⋅100% = % 27 3

Δ6. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του κυλίνδρου καθώς αυτός κινείται πάνω στη δοκό, είναι

dL dL = τ ολ (Ο) ή = ( F − J ) R και µε βάση την (8) και τα δεδοµένα dt dt

dL dL 2 2 = 9Kgm / s , µε διεύθυνση τον άξονα του κυλίνδρου και φορά ⊗. dt dt

Επιμέλεια: Μαρούσης Βαγγέλης

Φυσικής ζητήματα