Σχολική χρονιά 2012 – 2013
Φυσική κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΟ 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ (ΚΥΜΑΤΑ) (2012 – 2013) (2) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. α. Α2. α. Α3. β. Α4. β. Α5. Σ Λ Λ Λ Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού αρμονικά επιφανειακά κύματα μήκους κύματος λ και πλάτους Α. Ένα σημείο Μ της Π1Π2 ανήκει στην 1η υπερβολή απόσβεσης δεξιά της μεσοκαθέτου. Ένα άλλο σημείο Ν της Π1Π2 απέχει από το Μ απόσταση (ΜΝ)=1,25λ. Το πλάτος ταλάντωσης του Ν είναι : α. ΑΝ=2Α β. ΑΝ=0 γ. ΑΝ=Α Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. k=0
Π1
k=3
Μ
Ν 1,25λ
Μεσοκάθετος
Π2
Για το Μ αφού ανήκει στην 1η υπερβολή απόσβεσης μετά την μεσοκάθετο ισχύει: ΜΠ1 – ΜΠ2 = (2k+1)λ/2 με k=0 ΜΠ1 – ΜΠ2 = λ/2 (1) Για το Ν: 2·ΝΜ = 2·1,25·λ (ΝΠ1 – ΜΠ1) + (ΜΠ2 - ΝΠ2) = 2,5·λ
η
1 υπερβολή απόσβεσης k=0
(1) (ΝΠ1 – ΝΠ2) - (ΜΠ1 – ΜΠ2) = 2,5·λ
ΝΠ1 – ΝΠ2 – 0,5·λ =2,5·λ ΝΠ1 – ΝΠ2 = 3λ= kλ με k = 3.
Άρα το Ν ανήκει στην 3η υπερβολή ενισχυτικής συμβολής δεξιά της μεσοκαθέτου (για k=0 έχω τη μεσοκάθετο). Άρα ΑΝ=2Α. Διαφορετικά θα μπορούσαμε να πάρουμε τη σχέση του πλάτους ΑΝ = 2Ασυν2π
ΑΝ = 2Ασυν2π
r1 - r2 ή 2λ
ΝΠ1 - ΝΠ 2 3λ ή ΑΝ = 2Ασυν2π ή ΑΝ = 2Ασυν3π = 2Α 2λ 2λ
Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός
http://vmarousis.blogspot.com
Σχολική χρονιά 2012 – 2013
Φυσική κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου
Β2. Σε μια χορδή με ελεύθερο το ένα μόνο άκρο της, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, με κοιλία στο ελεύθερο άκρο Ο(x=0) και με δύο διαδοχικούς δεσμούς να απέχουν Δx = 6cm. Τότε: Α. το μήκος της χορδής μπορεί να είναι: α. 90cm β. 120cm γ. 123cm Β. το πλήθος των δεσμών στη χορδή μπορεί να είναι: α. 19 δεσμοί β. 20 δεσμοί γ. 21 δεσμοί Σε κάθε περίπτωση να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Α. Η απόσταση δύο διαδοχικών δεσμών είναι Δx =
λ
= 6 cm άρα λ=12cm. 2 Σε μια χορδή μήκους L με ελεύθερο το ένα άκρο (κοιλία) και δεμένο το άλλο (δεσμός) θέτουμε ως αρχή συντεταγμένων Ο(x=0) στην αρχή που είναι κοιλία. Για να δημιουργηθούν στάσιμα κύματα πρέπει η θέση του τελευταίου δεσμού (x=L) να συμπίπτει με το δεμένο σημείο της χορδής λ L και να ισχύει xδ = (2κ +1) = L και επειδή λ=12cm έχουμε L = (2κ +1)3 ή (2κ +1)= και 3 4 προφανώς πρέπει 2κ+1= περιττός και Z δηλαδή κ = 0, 1, 2, …… Για L=90cm, (2κ +1)=
L 90 = = 30 άρα κ = 14,5 Ζ + απορρίπτεται. 3 3
L 120 = = 40 άρα κ = 19,5 Ζ + απορρίπτεται. 3 3 L 123 = 41 άρα κ = 20 Ζ + δεκτή . Για L=123cm (2κ +1)= = 3 3 Για L=120cm (2κ +1)=
Άρα η σωστή τιμή του μήκους της χορδής είναι L=123 cm. Β. Αφού η μέγιστη τιμή του κ είναι κ = 20 κ = 0, 1, 2, 3, … , 20 άρα έχουμε 21 δεσμούς.
Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός
με
κ = 0, 1, 2, … το κ παίρνει 21 τιμές
http://vmarousis.blogspot.com
Σχολική χρονιά 2012 – 2013
Φυσική κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου
Β3. φ( rad)
Α. Από το διάγραμμα έχω:
6π
2 t 2 x t t1 , x 0 2 t1 6 t1 3T (1) 6 T T
Άρα το κύμα τη χρονική στιγμή t1 έχει διαδοθεί σε απόσταση:
t1
0,4
x1 = υ·t1 = 3·υ·Τ x1 = 3λ 0,4 = 3λ (2)
Άρα το Κ βρίσκεται στη θέση xK 0,2
χ(m)
Ο(0,0)
0,4 (2) 3 xK 2 2
3 3 3 2 (3) Επομένως το Κ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή tK 2 2 xK
(1) tταλάντωσης,K = 3T – 3T/2 Όμως t1 = tK + tταλάντωσης,K tταλάντωσης,,K = t1 – tK (3)
tταλάντωσης,K = T + T/2 Άρα την t1 το σημείο Κ περνά από τη θέση ισορροπίας με αρνητική ταχύτητα. Σωστό το β. Β. t2 = t1 + T = 3T + T t2 = 4T (4) Tο Λ βρίσκεται στη θέση x 0,1
0,4 (2) 3 x 4 4
3 3 3 4 (5) Επομένως το Λ ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t 4 4 x
(4) tταλάντωσης,Λ = 4T – 3T/4 Όμως t2 = tΛ + tταλάντωσης,Λ tταλάντωσης,,Λ = t2 – tΛ (5)
tταλάντωσης,Λ = 13Τ/4 άρα φΛ = ω·tταλάντωσης,Λ
Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός
2 13 13 rad. Σωστό το γ. 4 2
http://vmarousis.blogspot.com
Σχολική χρονιά 2012 – 2013
Φυσική κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου
ΘΕΜΑ Γ Γ1.
χ=0 χ’
Λ
χορδή (2)
Ο
Κ
χορδή (1)
χ
Το σημείο Ο αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ με εξίσωση y=0,2ημ10πt (SI). Άρα Α=0,2 m και ω = 10π rad/s επομένως Τ=2π/ω=0,2 s, και f = 5 Hz. Τα δύο κύματα που δημιουργούνται έχουν ίδια συχνότητα, όμως διαφορετικές ταχύτητες διάδοσης και επομένως διαφορετικά μήκη κύματος, αφού διαδίδονται σε διαφορετικά μέσα. Επομένως υ2= 4m/s λ2f = 4 λ2 ·5 = 4 λ2 = 0,8 m ή λ2 = 4/5 m. Αφού μεταξύ των Κ και Λ σχηματίζονται συνολικά 10 κύματα, 4 στη χορδή (1) και 6 στη χορδή (2), αφότου και τα δύο σημεία έχουν αρχίσει να ταλαντώνονται έχω: xK =
4λ1 = 6λ2 λ1 = 1,5·λ2 = 1,5·0,8 λ1 = 1,2 m ή λ1 = 6/5 m.
Άρα υ1 = λ1f = 1,2·5 υ1 = 6 m/s . Γ2. t x Tο κύμα στη χορδή (1) έχει εξίσωση y1 = Aημ2π ή y1 = 0,2ημ2π(5t – 5x/6) x 1 t x Tο κύμα στη χορδή (2) έχει εξίσωση y2 = Aημ2π ή y2 = 0,2ημ2π(5t + 5x/4) x 2
0 S.I. 0 S.I.
Γ3. Έχω xK = 4λ1 = 4·1,2 = 4,8 m. To σημείο Μ με xΜ = - 4,5 m ξεκινά αατ την tΜ = t x Όμως υK = ωΑσυν2π για t 1
/υ2 = 4,5/ 4 = 1,125 s.
xK/υ1 υK = 2πσυν2π(5t – 5x/6) με t
0,8 s (1) .
Άρα το Κ την tΜ = 1,125 s έχει ταλαντωθεί για χρόνο t = tΜ - 0,8 = 1,125 – 0,8 = 0,325 s. Οπότε αντικαθιστώντας στην (1) έχω υΚ = 2πσυν(10·π·0,325 – 2π·5·4,8/6) = 2πσυν(3,25π – 8π) υΚ = 2πσυν(-4,75π) = 2πσυν(4π+3π/4) = 2πσυν(3π/4) = 2π(-
Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός
) υΚ = - π 2 m/s.
http://vmarousis.blogspot.com
Σχολική χρονιά 2012 – 2013
Φυσική κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου
Γ4. Tη χρονική στιγμή t2 = 0,5s το κύμα στη χορδή (1) φτάνει στη θέση χ1 = υ1· t2 = 6·0,5 = 3 m.
x1
1
3 10 x1 10 1 ή x1 2,5 1 0,3 4
4 Tη χρονική στιγμή t2 = 0,5s το κύμα στη χορδή (2) φτάνει στη θέση χ2 = - υ2· t2 = -4·0,5 = -2 m.
x2
2
2 10 x2 10 2 ή x2 2,5 2 0,2 4
4 Επίσης για t2 = 0,5s και χ = 0 m από τις εξισώσεις των δύο κυμάτων προκύπτει yΟ = 0. Άρα το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2 φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
y (m)
t2 = 0,5 s
0,2
- 0,4 χ’
-2
Ο
0,6
3
χ (m)
- 0,2
Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός
http://vmarousis.blogspot.com
Σχολική χρονιά 2012 – 2013
Φυσική κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. t = 0 s Έναρξη της συμβολής y (cm) Α
B
Ο
A
χ’
χ (cm)
-Α σχήμα (1)
Τη χρονική στιγμή t=0s αρχίζουν να συμβάλλουν τα δύο αντίθετα διαδιδόμενα κύματα, στο σημείο Μ που ταυτίζεται με την αρχή Ο(χ=0) του άξονα χ’χ και το στάσιμο κύμα θα δημιουργείται από εδώ και πέρα. Τυχαία t όπου έχει δημιουργηθεί το στάσιμο y (cm)
2η 2Α -4
2
Ο
A 1η
B -2Α
3η
-4
-2
Ο
2
4
A
1η
2η
3η
B
4
σχήμα (2)
χ (cm)
χ (cm)
σχήμα (3)
Έστω μια τυχαία χρονική στιγμή t όπου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα μεταξύ των Α (χ= - 4cm) και Β (χ = 4cm), όπως φαίνεται στο παραπάνω τυχαίο στιγμιότυπο, όπου η κοιλία στο Ο είναι σε απομάκρυνση y = 2A. Από τα δεδομένα έχουμε: 4Α=20cm A=5cm. (Α= το πλάτος των τρεχόντων κυμάτων). AB=8cm και επειδή τα Α, Β είναι κοιλίες, επίσης το Ο είναι κοιλία και επειδή μεταξύ των Α και Β υπάρχουν 3 κοιλίες 4λ/2=8cm λ=4cm.(βλέπε σχήμα (2) ή σχήμα (3)). Ο χρόνος που χρειάζεται για να κινηθεί το σημείο μιας κοιλίας από το ένα πλάτος στο άλλο είναι Τ/2= 1s Τ=2s ή f=0,5Hz ή ω=π rad/s. Οπότε υ=λf υ=4·cm·0,5·s-1 υ=2 cm/s.
Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός
http://vmarousis.blogspot.com
Σχολική χρονιά 2012 – 2013
Φυσική κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου
Δ2. Το τρέχον κύμα προς τα δεξιά έχει εξίσωση: t x t x y A 2 y 5 2 x, y σε cm και t σε s με t και T 2 4 Το τρέχον κύμα προς τα αριστερά έχει εξίσωση: t x t x y A 2 y 5 2 x, y σε cm και t σε s με t και T 2 4 Το στάσιμο κύμα αφού την t=0 το χ=0 έχει y=0, υταλ >0 και δημιουργείται κοιλία, έχει εξίσωση: x t x t y 2 A 2 2 y 10 2 2 T 4 2 x y 10 t με x, y σε cm και t σε s με t και 2 Δ3. Το σημείο Σ με χΣ=2 cm =λ/2 (με κ=1) είναι η πρώτη κοιλία δεξιά της χ=0 - όπως προκύπτει και από το σχήμα (2) η 3η . Το σημείο αυτό για ταλαντώνεται μόνο λόγω του προς τα αριστερά διαδιδόμενου κύματος, ενώ το προς τα δεξιά κύμα φτάνει σε αυτό την t1 = xΣ/υ = 2cm/2cm·s-1 t1 = 1s, οπότε πλέον και τα δύο κύματα συμβάλλουν σε αυτό και δημιουργείται στάσιμο κύμα. Άρα η εξίσωση ταλάντωσης του Σ για t είναι:
t x y 5 2 x, y σε cm και t σε s με t 2 4 x y 10 t x, y σε cm και t σε s με t 2 Για χΣ=2 cm οι εξισώσεις αυτές γίνονται: y 5 ( t ) y 5 ( t ) x, y σε cm και t σε s με y 10 t y 10 ( t ) x, y σε cm και t σε s με
t t
Επομένως η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του Σ από 0 – 3 sec είναι η παρακάτω: y (cm)
χΣ = 2 cm
10 5 1
Ο
2
3 t (s)
-5 -10
Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός
http://vmarousis.blogspot.com
Σχολική χρονιά 2012 – 2013
Φυσική κατεύθυνσης Γ’ Λυκείου
Δ5.
λ’/2
λ’/4 -4
A
1η Γ
λ’/4 2η
4
Δ
δεσμός κοιλία
Μαρούσης Βαγγέλης – Φυσικός
B
χ (cm)
σχήμα (4)
Αφού θέλουμε τα Α και Β να είναι δεσμοί και μεταξύ τους να υπήρχαν δύο κοιλίες, από το σχήμα του διπλανού σχήματος έχουμε: 2΄ ΄ 8 (ΑΒ) = ΄ = 8 cm f΄ 4 2 2cm / s f ' 0,25Hz f ' 8cm
http://vmarousis.blogspot.com