ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Α
1. β 2. β 3. α 4. γ 5. α.Σ
β.Σ
γ.Λ
δ.Σ
ε.Λ
ΘΕΜΑ Β
1. Σωστή είναι η απάντηση γ. Έχουμε ελαστική κρούση δύο σωμάτων από τα οποία το ένα αρχικά είναι ακίνητο, οπότε οι ταχύτητές τους μετά την κρούση δίνονται από τις σχέσεις: = υ'1
m1 - m2 υ1 m1 + m2
= υ'2
2m1 υ1 m1 + m2
Τα σώματα μετά την κρούση θα κινηθούν στην ίδια διεύθυνση, αλλά με αντίθετες φορές. Όπως προκύπτει από τις πιο πάνω σχέσεις το σώμα Σ2 θα έχει ίδια φορά με αυτή που είχε πριν την κρούση το Σ1. Συνεπώς για τα μέτρα των ταχυτήτων θα ισχύει: -υ'1 = υ'2 ⇒ -
m1 - m2 2m1 υ1 = υ1 m1 + m2 m1 + m2
Από όπου προκύπτει: -m1 + m2 = 2m1 ⇒ m2 = 3m1 ⇒ 2. Σωστή είναι η απάντηση α. Σελίδα 1 από 7
m1 1 = m2 3
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Αφού το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο, το σώμα τριπλάσιας μάζας κινείται σε αντίθετη κατεύθυνση. Επίσης, επειδή το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο, όλη η κινητική ενέργεια που είχαν τα σώματα πριν την κρούση μετατρέπεται σε θερμότητα. Q = Κ Α + ΚΒ
(1)
Από τη διατήρηση της ορμής προκύπτει: υ p πριν = p μετά ⇒ mυ1 + mυ 2 = 0 ⇒ mυ1 - 3mυ2 = 0 ⇒ υ2 = 1 3
Με αντικατάσταση στη σχέση (1)παίρνουμε: Q = Κ Α + Κ Β= Q= K+
K 3
υ 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 m1υ12 + m2υ22 ⇒ Q= mυ1 + 3m( 1 )2= mυ1 + mυ1 ⋅ ⇒ 2 2 2 2 3 2 2 3 4 ⇒ Q= K 3
3. Σωστή απάντηση είναι η β.
Στη διάρκεια της έκρηξης η ορμή διατηρείται,
pολ(πριν) = pολ(μετά)
Η pολ(πριν) έχει μέτρο mυ και κατεύθυνση οριζόντια. Για να είναι η pολ(μετά) οριζόντια θα
πρέπει η ταχύτητα του δεύτερου κομματιού να αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες ως εξής: -Μια συνιστώσα υ2y κάθετη στην αρχική διεύθυνση η οποία θα έχει τέτοιο μέτρο ώστε να αναιρεί την ορμή του πρώτου κομματιού. -Μια συνιστώσα υ2x παράλληλη στην αρχική διεύθυνση η οποία θα έχει τέτοιο μέτρο ώστε να δίνει ορμή ίση με την αρχική (mυ). Σελίδα 2 από 7
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
m υ , άρα για να 2 του δεύτερου κομματιού να έχει ίδιο
Τα δύο κομμάτια έχουν ίδια μάζα. Το πρώτο κομμάτι έχει ορμή αναιρείται η ορμή του πρέπει η συνιστώσα υ2y μέτρο ταχύτητας με το πρώτο κομμάτι, υ2y=υ.
Για να είναι η pολ(μετά) = mυ , πρέπει η συνιστώσα υ2x του δεύτερου κομματιού να έχει
μέτρο 2υ, έτσι
m ⋅ 2υ = mυ . Άρα υ2x=2υ. 2
4. Σωστή είναι η απάντηση β Η πηγή προς τον παρατηρητή Α εκπέμπει ήχο με μήκος κύματος υηχ 1 λ 39 λΑ = λ - υsTs = λ ⇒ λΑ = λ - ⇒ λΑ = λ 40 f s 40 40 Η πηγή προς τον παρατηρητή Β εκπέμπει ήχο με μήκος κύματος υηχ 1 λ 41 λB = λ+υsTs = λ+ ⇒ λB = λ+ ⇒ λB = λ 40 f s 40 40 Με διαίρεση κατά μέλη των δύο σχέσεων προκύπτει:
39 λ λΑ 40 λ 39 = ⇒ Α= 41 λB λB 41 λ 40 ΘΕΜΑ Γ
Σελίδα 3 από 7
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
α) Για την κρούση ισχύει η αρχή διατήρηση της ορμής mAυ A m 1kg ⋅10 m / s pαρχ = pτελ ⇒ mAυ A = (mA + mΒ )Vκ ⇒ Vκ = = ⇒ Vκ = 2 mA + mΒ s 1kg + 4kg β) Το έργο της δύναμης που άσκησε το σώμα Β στο σώμα Α στη διάρκεια της κρούσης, είναι ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος Α. Έτσι, εφαρμόζουμε για το σώμα Α το θεώρημα έργου-ενέργειας για τις θέσεις λίγο πριν και λίγο μετά την κρούση.
1 1 WF = ∆K =K A(τελ ) − K A(αρχ ) ⇒ WF = mAVκ2 − mAυ A2 ⇒ 2 2 1 1 1kg ⋅ (2m / s ) 2 − 1kg ⋅ (10m / s ) 2 ⇒ WF = WF = −48 J 2 2 γ)
1 1 (mA + mB )Vκ2 − mAυ A2 ⇒ 2 2 1 1 (1kg + 4kg ) ⋅ (2m / s ) 2 − 1kg ⋅ (10m / s ) 2 ⇒ ∆Eµηχ = = −40 J 2 2
∆Eµηχ = Eµηχ (τελ ) − Eµηχ (αρχ ) = ∆Eµηχ
Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι η μηχανική ενέργεια ελαττώθηκε. δ) Εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου-ενέργειας για το συσσωμάτωμα μεταξύ των θέσεων αμέσως μετά την κρούση και της τελικής, όταν αυτό σταματάει.
1 1 −T x ⇒ (mA + mB )Vκ2 = µ (mA + mB ) gx ⇒ Kτελ − Kαρχ = WΣF ⇒ 0 − (mA + mB )Vκ2 = 2 2 Vκ2 (2m / s ) 2 = = ⇒= x x 0, 4m 2 µ g 2 ⋅ 0,5 ⋅10 m / s 2 ε) Η συνολική θερμότητα είναι ίση με τo άθροισμα της θερμότητας που αναπτύχθηκε λόγω κρούσης και της θερμότητας που αναπτύχθηκε λόγω της τριβής ολίσθησης μετά την κρούση. Αφού το σύστημα των δύο σωμάτων τελικά σταματά, η συνολική θερμότητα που μεταφέρθηκε στο περιβάλλον είναι ίση και με την αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος, δηλαδή ίση με την κινητική ενέργεια του σώματος Α.
Qολ =
1 1 mAυ A2 = 1kg ⋅ (10m / s ) 2 ⇒ Qολ = 50 J 2 2
Σελίδα 4 από 7
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ Δ
α) Για τη σταθερά επαναφοράς του ταλαντούμενου συστήματος ισχύει:
900 N / m = ⇒ m1 =1kg (30rad / s ) 2 ω
D =k =m1ω 2 ⇒ m1 =
k
2
Το σώμα Σ1 έχει μέγιστη ταχύτητα όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του και είναι ίση με :
υmax =ω A =30
rad m ⋅ 0, 4m ⇒ υmax = 12 s s
β) Έχουμε κεντρική ελαστική κρούση με το σώμα μάζας m2 ακίνητο. To σώμα μάζας m1 m υ1 υ= 12 πριν την κρούση έχει ταχύτητα= max s Τα σώματα μετά την κρούση θα κινηθούν με ταχύτητες:
m − m2 m m 1kg − 3kg ⋅12 ⇒ υ1' = −6 υ1 = m1 + m2 s s 1kg + 3kg
υ1' =1 = υ2'
2m1 m m 2 ⋅1kg = ⋅12 ⇒= υ1 υ2' 6 m1 + m2 s s 1kg + 3kg Σελίδα 5 από 7
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Το πρόσημο (-) για το σώμα Σ1 σημαίνει ότι αυτό αλλάζει κατεύθυνση κίνησης, κινείται προς την αρνητική φορά του άξονα χ'χ. Το πρόσημο (+) για το σώμα Σ2 σημαίνει ότι κινείται προς τη θετική φορά του άξονα χ'χ. γ) Μετά την κρούση το σώμα Σ2 με την ηχητική πηγή απομακρύνεται με σταθερή m ταχύτητα υ2' = 6 , ενώ το σώμα Σ1 γυρνά πίσω ξεκινώντας νέα ταλάντωση που έχει ίδια s θέση ισορροπίας και ίδια περίοδο με την αρχική ταλάντωση. Η νέα ταλάντωση θα έχει m ' ' 6 = υ= μέγιστη ταχύτητα υmax 1 s Με εφαρμογή της διατήρησης της ενέργειας για τη νέα ταλάντωση βρίσκουμε την 11 ταχύτητα του σώματος όταν διέρχεται από τη θέση x1 = + 30 m
k 2 1 1 1 2 2 m1υmax x1 ⇒ =kx12 + m1υ12 ⇒ υ1 = ± υmax − m1 2 2 2 2
2 m m 900 N / m 11 m ⇒ υ1 = ± 6 − ⋅ ±5 υ1 = s 1kg s 30
Την 1η φορά που ο δέκτης διέρχεται από τη θέση x1 = +
11 m κινείται προς τα δεξιά, 30
κατευθυνόμενος προς την πηγή, άρα ανιχνεύει ήχο συχνότητας f1 , για την οποία ισχύει:
m
m
s
s
340 + 5 υηχ + υ1 s s ⇒ f= 690 Hz = 692 Hz ⋅ f1= f s 1 m m υηχ + υ s 340 + 6 Την 2η φορά που ο δέκτης διέρχεται από τη θέση x1 = +
11 m κινείται προς τα αριστερά 30
,απομακρυνόμενος από την πηγή, άρα ανιχνεύει ήχο συχνότητας f 2 , για την οποία ισχύει:
m
m
s
s
340 − 5 υηχ − υ1 s s ⇒ f= 670 Hz = 692 ⋅ f= f Hz 2 2 s m m υηχ + υ s 340 + 6 δ) Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται κάθε στιγμή από τη σχέση Σελίδα 6 από 7
ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 4o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ – ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
1 2 kx 2 Για τη συχνότητα f A που ανιχνεύεται από το δέκτη κάθε στιγμή ισχύει: υηχ + υ A 340 + υ A 680 692 ( SI )= = ⇒ = ⇒ υA 0 f A fs υηχ + υ s 340 + 6 U=
Άρα, το σώμα Σ1 βρίσκεται σε ακραία θέση, και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι ίση με το πλάτος της νέας ταλάντωσης. Η νέα ταλάντωση έχει m ' ' μέγιστη ταχύτητα υmax = υ= 6 , οπότε έχουμε: 1 s
υ 'max = ω A ' ⇒ A ' =
υ 'max 6m / s = ⇒ A ' = 0, 2m ω 30rad / s
Με αντικατάσταση στον τύπο της ενέργειας ταλάντωσης παίρνουμε: 1 1 N 2 U = kx 2 = ⋅ 900 ⋅ ( 0, 2m ) ⇒ U =18 J 2 2 m
Σελίδα 7 από 7