Actimath à l'infini 3 - Manuel by VAN IN

3 t % 14 7 SA x y 0 7 6

= 9 0 3

MANUEL

Manuel ACtimath à l’infini - 2 e édition

1 2 4 + f 3 % 5x S

42 0 0 5 7 cos 8

8+ %

Ph. Ancia M. Bams M. Chevalier M. Colin P. Dewaele F. Huin J.-L. Lozet A. Want

a2 % 0

0 t 1% f 6

sin

% 0 4 9 7 5

: 1 f8 %

+ 3

2 e édition

[AB] f : 5 [AB] a a [AB] AOC 2 = 2 2 3 f+ f 4 8 2 1 0 ≤ 3 =a 5 8 2 + AOC [AB] 6 8 [AB] 23 f a [AB] [AB] 2 3 AOC f + f 3 4 2 5 8 2 4 0 1+ cos 3 9 % 0 8 8 0 3 [AB] 0

125

ISBN 978-90-306-9725-1 595282

9 789030

www.vanin.be

0 9 + 5 ≤ 4 8

689331

Sd 75x 8 [AB]

9 4 2 3 125

3 Philippe Ancia Maryse Bams Michaël Chevalier Marlène Colin Pascal Dewaele Fabrice Huin Jean-Luc Lozet Aline Want

MANUEL 2 e édition

Udiddit, la plateforme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants La plateforme Udiddit te donne, par exemple*, accès à : - des exercices en ligne pour t’entrainer, - un aperçu de tes progrès et de tes résultats, - du matériel de cours, - des jeux captivants, - et bien plus encore... * En fonction de la méthode

Crée-toi un compte sur www.udiddit.be et accède à ton contenu à l’aide du code d’activation ci-dessous : CODE ÉLÈVE

VI5282J3YWYEX42PQ Cette licence est valable pendant 1 an à partir de la date d’activation.

Composition d’Actimath à l’infini 3 Pour l’élève

Manuel (+ accès Udiddit aux exercices numériques)

Pour le professeur Guide méthodologique (+ accès Udiddit au matériel de cours) Manuel numérique Actimath à l’infini 3 – Manuel Auteurs :

Maryse Bams, Michaël Chevalier, Marlène Colin, Pascal Dewaele, Fabrice Huin, Jean-Luc Lozet et Aline Want sous la direction de et avec Philippe Ancia

Couverture : Mise en page :

acg Atelier Création Graphique Alinea Graphics

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2021 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

2e édition : 2021 ISBN 978-90-306-9725-1 D/2021/0078/138 Art. 595282/01

Introduction Dans sa conception et sa structure, le manuel Actimath à l'infini 3 s'insère parfaitement dans la continuité de ses prédécesseurs (Actimath à l'infini 1 et Actimath à l'infini 2). Dans ce manuel, aucune place n'est prévue pour la notation des réponses; il est donc déconseillé d'écrire dans ce livre. Tu devras disposer d'un classeur dans lequel tu rédigeras les solutions des différentes activités proposées et des exercices complémentaires éventuels que ton professeur te demandera de résoudre. Ce sera l'occasion de t'habituer à rédiger un document avec soin, à présenter une démonstration de manière structurée, à construire des figures précises et claires. À travers ce manuel, tu pourras : • consolider l'usage des outils mis en place durant le premier degré ; • construire de nouveaux outils à partir de situations concrètes et te permettre d'appliquer ces connaissances nouvelles ; • développer non seulement tes capacités de raisonnement si importantes pour aborder la 4e année, mais aussi encourager ta participation active et éveiller ton esprit critique. Tels sont donc les objectifs qui ont motivé notre travail. Tout au long de ce manuel, nous avons alterné les travaux géométriques et les travaux algébriques en utilisant simultanément, chaque fois que cela était possible, les techniques indispensables des uns et des autres. Ce manuel comporte de nombreux exercices complémentaires afin de te permettre de t'entraîner seul à la maison et de consolider tes apprentissages. Si tu éprouves des difficultés à en résoudre certains, relis les activités et la théorie s'y rapportant et si cela n'est pas suffisant, demande conseil à ton professeur qui te fournira des pistes pour mener à bien ton travail. Un index figurant à la fin du livre (p. 205) t'aidera à retrouver les mots importants. Une table des principaux symboles (p. 203) rencontrés au premier degré et en 3e année te permettra de retrouver un symbole utile. Bon travail avec Actimath à l'infini 3 ! Les auteurs

Mode d’emploi Ton livre, Actimath à l'infini 3, est divisé en quatorze chapitres, facilement repérables grâce aux indications situées sur le bord extérieur mentionnant le numéro du chapitre. Ces chapitres sont eux-mêmes divisés en activités. Ton professeur choisira celles qui te permettront d'atteindre les objectifs fixés et il te donnera des conseils pour mener à bien leur déroulement. Tu noteras les solutions de ces différentes activités et des exercices qui s'y rapportent dans un classeur ; tu le feras en n'oubliant pas d'indiquer une référence sur les feuilles de celui-ci. À la fin de chaque chapitre, tu trouveras la théorie qui y correspond. En effet, chaque fois qu'une nouvelle notion théorique sera mise en place, ton professeur te renverra à cette partie du manuel. Tu remarqueras très vite que deux logos apparaissent régulièrement au fil des pages. Ils ont évidemment une signification particulière. Pendant une activité, si une notion peut (doit) être précisée ou formulée, ce logo t'indique la référence permettant de la retrouver dans la théorie. Ce logo signale que des exercices de ton livre sont animés et se trouvent sur la plateforme Udiddit. Cela te permettra de l'exercer à domicile. Chaque chapitre se termine par quelques feuilles légèrement colorées contenant une série d'exercices complémentaires classés selon les trois catégories habituelles. • CONNAÎTRE Selon les cas, tu devras illustrer un énoncé par un exemple ou un dessin, justifier certaines étapes d'un calcul, … • APPLIQUER Ces exercices te permettront d'utiliser, d'appliquer de manière réfléchie les savoirs acquis. • TRANSFERER Tu seras confronté(e) à des situations nouvelles et inédites qui s'inscrivent toutefois dans le prolongement de celles exploitées lors des apprentissages. Le moment venu, ton professeur te dira quels exercices résoudre. Ton livre se termine par quelques pages d'exercices destinés à vérifier que tu maîtrises les compétences développées. Pour les résoudre, tu devras mettre en œuvre, en les organisant, des savoirs, des savoirfaire et des attitudes. Ton professeur utilisera peut-être en classe le manuel numérique de ton Actimath à l'infini 3 et il pourra également t'y donner accès. Tous les exercices animés que tu rencontreras sont disponibles sur la plateforme Udiddit. Tu y trouveras également des exercices interactifs auxquels tu pourras t'adonner librement et pour lesquels tu disposeras d'un feedback personnalisé. Le code d'accès à ton compte se trouve sur la page 2. Toutes les vidéos sont accessibles directement via ton smartphone ou ta tablette ! 1. Télécharge l'application Sésame des Éditions VAN IN.

2. Scanne le QR code sur la page : tu auras directement accès aux vidéos ! Bon travail avec Actimath à l’inﬁni 3 !

Table des matières Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mode d’emploi

..............................................................................................................................

Table des matières

........................................................................................................................

4 5

Chapitre 1 • Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Activité 1 Angle inscrit et angle au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Activité 2 Triangle et demi-cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Activité 3 Constructions d’angles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Activité 4 Recherche d’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Activité 5 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Théorie

......................................................................................................................

Th1

Chapitre 2 • Puissances à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Activité 1 Puissances de 10 et notation scientiﬁque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Activité 2 Puissances à exposants entiers : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Activité 3 Transformations d’écritures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Activité 4 Propriétés des puissances à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Activité 5 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Théorie

......................................................................................................................

Th7

Chapitre 3 • Pythagore et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Activité 1 Nouveaux nombres : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Activité 2 Théorème de Pythagore : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Activité 3 Théorème de Pythagore : problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Activité 4 Théorème de Pythagore : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Activité 5 Réciproque du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Activité 6 Relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Activité 7 Simpliﬁcation de racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Activité 8 Opérations sur les racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Théorie

......................................................................................................................

Th9

TABLE DES MATIÈRES Chapitre 4 • Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Activité 1 Problèmes et polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Activité 2 Valeur numérique d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Activité 3 Vocabulaire spéciﬁque aux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Activité 4 Somme de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Activité 5 Produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Activité 6 Produits particuliers de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Activité 7 Quotient d’un polynôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Activité 8 Quotient d’un polynôme par un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Activité 9 Quotient d’un polynôme par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . 54 Activité 10 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Théorie

......................................................................................................................

Th19

Chapitre 5 • Figures isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Activité 1 Recherche d’isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Activité 2 Reproduction d’une ﬁgure donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Activité 3 Cas d’isométrie des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Activité 4 Utilisation des cas d’isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Activité 5 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Théorie

......................................................................................................................

Th29

Chapitre 6 • Approche graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Activité 1 Notions de relation et de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Activité 2 Domaine et ensemble image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Activité 3 Zéros et ordonnée à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Activité 4 Signe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Activité 5 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Activité 6 Analyse graphique d’une fonction : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Activité 7 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Théorie

......................................................................................................................

Th31

Chapitre 7 • Factorisation et équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Activité 1 Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Activité 2 Produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Activité 3 Division par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Activité 4 Techniques de factorisation : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Activité 5 Équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Activité 6 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Théorie

......................................................................................................................

Th41

TABLE DES MATIÈRES Chapitre 8 • Figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Figures semblables : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Calcul de longueurs dans les ﬁgures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Périmètre, aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Construction de ﬁgures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Utilisation des cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 8 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 108 109 111 112 112 113 114 115

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Théorie

......................................................................................................................

Chapitre 9 • Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Notion de fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Condition d’existence d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Simpliﬁcation de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Produit et quotient de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Somme de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Priorités des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Équations fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th47

123 124 124 125 126 126 127 127

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Théorie

......................................................................................................................

Chapitre 10 • Fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Reconnaissance des fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Taux d’accroissement d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Représentation du graphique d’une fonction du premier degré . . . . Activité 4 Caractéristiques des fonctions dont les graphiques dont des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Expressions analytiques de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Signe d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th53

133 134 135 139 139 140 142 142

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Théorie

......................................................................................................................

Chapitre 11 • Thalès et les proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Première formulation du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Propriétés des proportions et deuxième formulation du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Thalès pour calculer des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Thalès ou triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Thalès pour construire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Réciproque du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Thalès pour démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 8 Thalès pour résoudre des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th57

151 152 153 153 154 155 155 156 157

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Théorie

......................................................................................................................

Th65

TABLE DES MATIÈRES Chapitre 12 • Systèmes de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Méthode de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Systèmes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Méthode de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Méthode des combinaisons (Méthode de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Systèmes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Choix de la méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 164 164 165 166 166 167 168

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Théorie

......................................................................................................................

Chapitre 13 • Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Problèmes d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Inéquations et fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Propriétés des inégalités et des inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Résolutions d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th69

173 174 175 175 177 179

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Théorie

......................................................................................................................

Chapitre 14 • Trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Tangente d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Sinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Cosinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Sinus, cosinus et tangente : exercices de reconnaissance . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Recherche de longueurs et d’amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Formules et valeurs trigonométriques particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th77

185 186 187 188 188 189 190 191

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Théorie

......................................................................................................................

Exercices de compétences

......................................................................................................

197

..................................................................................................................

203

..........................................................................................................................................

205

Table des symboles Index

Th83

Chapitre 10

Fonctions du premier degré Compétences à développer C 4-1

Reconnaître une situation qui se modélise par une fonction du premier degré.

C 4-2

Traiter un problème qui utilise des fonctions du premier degré.

Processus Connaître S 4-1

Associer tableau de nombres – graphique – expression analytique.

S 4-2

Identiﬁer les paramètres m et p dans un tableau de nombres, sur un graphique ou à partir d’une expression analytique.

Appliquer A 4-1

Tracer le graphique d’une fonction du premier degré et d’une fonction constante.

A 4-2

Déterminer les paramètres m et p d’une fonction répondant à certaines conditions.

A 4-3

Déterminer l’image d’un réel par une fonction du premier degré ou par une fonction constante.

A 4-4

Vériﬁer l’appartenance d’un point du plan au graphique d’une fonction du premier degré ou d’une fonction constante.

A 4-5

Déterminer algébriquement et graphiquement le point d’intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré et/ou constantes.

Transférer T 3-1

Résoudre un problème nécessitant la recherche d’éléments caractéristiques du graphique d’une fonction.

T 4-1

Traduire une situation contextualisée par une fonction, une équation ou une inéquation du premier degré.

T 4-2

Résoudre un problème qui nécessite l’utilisation de fonctions, d’équations ou d’inéquations du premier degré.

133

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Activité 1 Reconnaissance des fonctions du premier degré 1

Voici les expressions analytiques de quatre fonctions. f1 : x Æ y = 3x

f2 : x Æ y = x2 – 1

f3 : x Æ y = 3

f4 : x Æ y = 2x + 1

a) Pour chaque fonction, établis un tableau de valeurs dans lequel la variable x prend successivement les valeurs –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 et 4. b) Associe chaque fonction à un des graphiques ci-dessous. y

(1)

(2)

1 0

(3)

(4)

1 0

c) Quel lien peux-tu établir entre l'allure du graphique de la fonction et son expression analytique ?

d) Pour chacune des deux fonctions du premier degré, (1) donne l'accroissement de f(x) lorsque l'accroissement de x est égal à 1; p.57 A

(2) fais apparaître sur leur graphique ces accroissements à l'aide de triangles rectangles. 2

Voici des tableaux de valeurs de fonctions. x f1(x)

–2 5

–1 2

0 1

1 2

2 5

x f2(x)

–2 –6

–1 –3

0 0

1 3

2 6

x f3(x)

–2 –4

–1 –4

0 –4

1 –4

2 –4

x f4(x)

–2 5

–1 3

0 1

1 –1

2 –3

Sans dessiner les graphiques des fonctions, détermine celles qui sont du premier degré. Justifie. 134

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Voici les expressions analytiques de quatre fonctions. Leurs graphiques sont représentés, dans le désordre, dans quatre repères sans graduations. f1 : x Æ y = –2x

f2 : x Æ y = 3x – 6

f3 : x Æ y = 2x

f4 : x Æ y = 2

Associe chaque fonction à son graphique.

Activité 2 Taux d'accroissement d'une fonction du premier degré 1

À la Côte belge, un loueur de VTT propose les tarifs suivants. Tarif 1 : 5 € par heure de location pour un VTT de type « Loisir » Tarif 2 : 20 € à la réservation, puis 10 € par heure pour un VTT de type « Pro » muni de son kit de dépannage et assuré a) En associant la fonction f(x) au tarif 1 et la fonction g(x) au tarif 2, établis, pour chaque fonction, un tableau de valeurs dans lequel x prend successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 6 et 10. b) Pour chaque fonction et pour les valeurs de x variant de 0 à 4, indique, sur les tableaux de valeurs, les différents accroissements. c) Pour le premier tableau, détermine les accroissements de x et de f(x) quand x passe de 4 à 6, puis quand x passe de 6 à 10. Indique ceux-ci sur le tableau de valeurs.

Calcule les rapports des accroissements de f(x) et x. Que constates-tu ? Vérifie cette constatation pour le second tableau. d) Dans un même repère cartésien, représente le prix à payer pour chaque tarif en fonction du nombre d'heures. Axe x (temps de location en h) : 1 cm Æ 1 h Axe y (prix à payer en €) : 1 cm Æ 10 € e) Pour chaque tarif, écris l'expression analytique de la fonction qui exprime le prix à payer en fonction du nombre d'heures de location. f) Pour chaque paire de points dont les coordonnées sont les couples consécutifs du tableau de valeurs de la fonction f, construis un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit représentent les différents accroissements. Ces triangles sont-ils semblables ? Justifie. Quelle conclusion peux-tu tirer de cette similitude concernant le rapport des f(x) accroissements ? x Fais de même sur le graphique de la fonction g.

135

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

f(x) d'une fonction du premier degré, appelé taux d'accroissement de x cette fonction, correspond à la pente de son graphique.

g) Le rapport

Donne la pente des graphiques des fonctions f et g. p.58 B1-2

Tire une conclusion en comparant les pentes trouvées avec les expressions analytiques des fonctions. 2

À la fin de l'été, le papa de Benoît décide de vider sa piscine à l'aide d'une pompe. Le graphique de la fonction f ci-dessous représente l'évolution du nombre de m3 restant dans la piscine en fonction de la durée de vidage. y Quan té d'eau dans la piscine (m3)

f 0

x Temps (h)

a) Établis un tableau de valeurs donnant la quantité d'eau (m3) dans la piscine après 0, 1, 3, 7 et 12 heures de vidage. b) En observant le tableau de valeurs, donne le taux d'accroissement de la fonction.

c) À l'aide de triangles rectangles, fais apparaître sur le graphique de la fonction f, les accroissements de x et de f(x) qui t'ont permis de calculer le taux d'accroissement de f. d) Parmi les fonctions suivantes, retrouve celle qui correspond à cette situation.

136

f1 : x Æ y = 20 + 120x

f2 : x Æ y = 120 – 10x

f3 : x Æ y = 120 + 10x

f4 : x Æ y = 120 – 20x

Voici les tableaux de valeurs de deux fonctions f et g. Vérifie qu'il s'agit de fonctions du premier degré et détermine la pente de leur graphique. x

–2

–1

f(x)

–5

g(x)

–1

–3

–5

–9

–15

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

a) Les droites a, b, c et d sont les graphiques de quatre fonctions. Trois d'entre elles sont des fonctions du premier degré dont les expressions analytiques sont données.

f1 : x Æ y = –2x + 4 f2 : x Æ y = –2x f3 : x Æ y = 2x + 4

Restitue à chaque fonction son graphique et détermine l'expression analytique de la fonction f4 illustrée par la 4e droite.

d b c b) Explique la démarche qui permet d'associer les expressions analytiques des fonctions f1 et f2 aux droites c et d.

p.59 B4

c) Quelle transformation du plan relie les points de même abscisse des droites c et d ? d) Complète le tableau en notant une croix dans les cases adéquates. Droite oblique … …passant par (0 ; 0)

…ne passant pas par (0 ; 0)

Fonction linéaire

Fonction aﬃne

Droite horizontale

f1 f2 f3 p.59

Fonction constante

Voici des droites, graphiques de fonctions du premier degré. Restitue à chaque fonction son graphique. d

b 1 0

f1 : x Æ y = 2x f2 : x Æ y = –0,5x f3 : x Æ y = –2x f4 : x Æ y = 0,5x

137

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

a) Détermine la pente des graphiques des fonctions du premier degré en utilisant des points de coordonnées entières. y

1 0

f4 1 0

x 1 0

b) Établis le lien entre le signe de la pente du graphique et la croissance de la fonction. 7

a) Dans chaque cas, calcule la pente du graphique de la fonction f du premier degré passant par les points ... A (3 ; 1) et B (6 ; 7) C (0 ; 2) et D (5 ; –4) E (3 ; –1) et F (6 ; –5). b) Calcule la pente du graphique des fonctions f et g à partir de leur tableau de valeurs.

138

–2

–9

f(x)

–9

–5

–3

g(x)

–3

–5

p.58 B3

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Activité 3 Représentation du graphique d'une fonction du premier degré 1

Un magasin de bricolage propose trois types de parquet : Type « Linea » 10 € le m2 et livraison gratuite Type « Mathix » 12 € le m2 et 50 € de frais de livraison Type « Graphox » 8 € le m2 et 30 € de frais de livraison a) Si on appelle f, g et h les fonctions associées respectivement à chaque type de parquet, écris leur expression analytique qui exprime le prix à payer (en €) en fonction de la surface commandée (en m2). b) Dans un même repère cartésien, trace le graphique des trois fonctions avec la plus grande précision et en utilisant un minimum de points.

p.59 D

Axe x (surface en m2) : 0,5 cm Æ 10 m2 2

Axe y (prix à payer en €) : 1 cm Æ 100 €

Construis le graphique de chaque fonction en utilisant le repère cartésien proposé. Axe x : 0,5 cm Æ 1 Axe y : 0,5 cm Æ 1 f1 : x Æ y = 3x

f2 : x Æ y = 2x – 4

1 f4 : x Æ y = x 3

f5 : x Æ y = 2 –

x 2

f3 : x Æ y = –3 – x 2 f6 : x Æ y = x + 1 3

Activité 4 Caractéristiques des fonctions dont les graphiques sont des droites 1

a) Après avoir lu la légende, complète le tableau. Type de fonction A : 1er degré affine L : 1er degré linéaire C : constante Croissance de la fonction : croissante : décroissante C : constante Expression analytique

Type de fonction

Pente du Croissance de graphique la fonction

Zéro

Ordonnée à l'origine

f1 : x Æ y = 2x – 3 1 f2 : x Æ y = x 3 –3 f3 : x Æ y = x + 1 2 f4 : x Æ y = 2 f5 : x Æ y = –3x p.60

f6 : x Æ y = 4 + 2x b) Parmi ces fonctions, retrouve la (les) paire(s) de fonctions dont les graphiques sont des droites parallèles. Justifie. 139

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

c) En te rappelant que Gf désigne le graphique de la fonction f, complète par Œou œ. Justifie algébriquement. 1 –3 f3 : x Æ y = x + 1 f2 : x Æ y = x f1 : x Æ y = 2x – 3 3 2 f4 : x Æ y = 2 f5 : x Æ y = –3x f6 : x Æ y = 4 + 2x (–1 ; 2) ... Gf – 2

1 5 ; – ... Gf5 2 2

1 ; 1 ... Gf 3 3

(0 ; 0) ... Gf

(0 ; 1) ... Gf

(–1 ; 2) ... Gf

(3 ; 1) ... Gf

1 5 ; – ... Gf 1 4 2

En utilisant le graphique des cinq fonctions, complète le tableau. Fonction

Zéro

Ordonnée à l'origine

Pente du graphique

f1 f2

3 1

–1 2 1

1 0

0,5

–1

Activité 5 Expressions analytiques de fonctions 1

Pour calculer le prix d’une course, un taxi tient compte d’un montant fixe correspondant à la prise en charge et d'un montant variable lié à la distance parcourue en kilomètres. Ayant fait appel à un taxi pour se rendre à l’aéroport de Bruxelles Sud - Charleroi distant de 25 km de son domicile, Jonathan a payé 10 €. Son ami Julien, qui a eu recours au même taxi, a payé 17,50 € pour un trajet de 50 km. a) Détermine graphiquement le montant de la prise en charge et le prix au km. Choix des unités du repère : axe x : 1 cm Æ 10 km axe y : 1 cm Æ 5 € b) Utilise les solutions de la question a) pour vérifier les montants payés par les deux amis. c) Écris une expression analytique de la fonction f exprimant le montant à payer en fonction du nombre de kilomètres parcourus. d) Utilise cette expression pour déterminer … (1) le prix d'un déplacement de 72 km ; (2) le nombre de km parcourus pour un montant de 21,70 €.

140

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Si cela est possible, détermine l'expression analytique de chaque fonction à partir de son graphique. y

y f5

1 1 0

1 1

En utilisant la forme générale de l'expression analytique d'une fonction du premier degré, soit f : x Æ y = mx + p, détermine celle de la fonction f6 dont le graphique passe par les points A (–1 ; –2) et B (2 ; 0). Pour cela, suis la démarche ci-dessous. a) Détermine la pente du graphique. b) Dans la forme générale de l'expression analytique de la fonction, remplace m par sa valeur. c) Détermine la valeur de p en utilisant le fait que le graphique de la fonction passe par un point donné : (1) le point A (2) le point B. d) Écris l'expression analytique finale de la fonction.

4 p.61

Détermine les expressions analytiques des fonctions répondant aux conditions données. a) Le graphique de la fonction f coupe l'axe x en (2 ; 0) et l'axe y en (0 ; –3). b) La fonction f est telle que f(2) = 1 et f(4) = 5 c) Les points A (–6 ; 4) et B (–2 ; 1) appartiennent au graphique de la fonction f. d) Les points C (–1 ; 2) et D (2 ; –4) appartiennent au graphique de la fonction f. e) La fonction f est une fonction linéaire dont le graphique est parallèle à celui de la fonction g : x Æ y = 3x + 5. f) Le graphique de la fonction f passe par le point A (–1 ; –2) et il est parallèle à celui de la fonction g : x Æ y = –2x + 1.

Détermine les expressions analytiques des fonctions du premier degré dont on donne un tableau de valeurs. x f(x)

–3 0

0 1

3 2

x g(x)

–2 2

2 –10

4 –16

Vériﬁe si les points A, B et C sont alignés : A (2 ; –1) B (–2 ; –7) et C (5 ; 4)

141

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Activité 6 Signe d'une fonction du premier degré 1

Pour chaque fonction dresse un tableau de signes et détermine la pente de son graphique. 1 1 b) f2 : x Æ y = – x + 2 a) f1 : x Æ y = x – 1 2 2 y

1 0

y 1

x p.63 G

Quel lien peux-tu établir entre le signe de cette pente et celui de la fonction ? 2

Dresse le tableau des signes de chaque fonction. a) f1 : x Æ y = 2x + 6

b) f2 : x Æ y = –4x + 8

1 c) f3 : x Æ y = – x 3

Activité 7 Intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré 1

Voici les expressions analytiques de trois fonctions du premier degré. 2 h:xÆy= x+1 f : x Æ y = –x + 3 g : x Æ y = 2x – 3 3 a) Si possible, détermine graphiquement les coordonnées du point d'intersection des graphiques des fonctions f et g, nomme-le P ; g et h, nomme-le Q et f et h, nomme-le R.

b) Au chapitre 6, tu as découvert que l'abscisse du point R, intersection des graphiques des fonctions f et h, était solution de l'équation f(x) = h(x). (1) Écris et résous cette équation pour déterminer l'abscisse du point R. (2) Utilise l'abscisse du point R pour calculer son ordonnée. (3) Vérifie algébriquement les coordonnées des points P et Q. 2

Alicia et Nino ont décroché un job de vacances dans une entreprise de vente par correspondance durant un mois. Alicia est chargée de réceptionner et préparer les commandes. Elle reçoit une rémunération fixe de 750 € et une commission de 3 € par commande. Nino doit emballer et expédier ces commandes. Sa rémunération fixe s'élève à 550 € et sa commission par commande est de 5 €. Détermine le nombre de commandes traitées et le salaire perçu par Alicia et Nino sachant qu'ils ont reçu chacun la même somme d'argent à la fin du mois.

142

p.64 H

ACTIVITÉS

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

La maman d'Anaïs souhaite s'inscrire à un club d'aquagym pour une année. Le club propose deux formules tarifaires. Une formule 1 (f1) qui consiste à payer 12 € la séance. Une formule 2 (f2) qui combine un abonnement annuel de 60 € auquel s'ajoute le prix de 8 € la séance. Détermine le nombre de séances pour lequel le prix à payer est le même pour les deux formules. Quel est ce prix ?

À midi, Freddy et Germain partent respectivement de Beaumont et de Silenrieux, localités distantes de 14 km, pour se rendre à Givet par le même chemin. Freddy court à une vitesse uniforme de 10 km/h et Germain marche à une vitesse constante de 4 km/h. Détermine l'heure à laquelle Freddy rattrapera Germain et la distance parcourue par chacun à ce moment. Beaumont

Silenrieux Givet

La figure ci-contre est une vue de la surface du sol de la bibliothèque d'une école. Cette bibliothèque dont la forme est un trapèze rectangle (|AB|= 9 m, |BC|= 8 m et |EC|= 15 m) doit être réaménagée en deux salles séparées par une cloison : une salle pour la lecture et l'autre pour le rangement des livres.

Salle de Salle des lecture livres

E F C La bibliothécaire souhaite que l'aire de la salle des livres soit égale à celle de la salle de lecture. Pour cela, elle se demande à quelle distance du point A devra se trouver la cloison [PF], perpendiculaire au mur [AB]. Aide-la dans sa recherche pour déterminer la distance |AP| ainsi que l'aire de chaque salle.

143

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Connaître 1

Après avoir lu la légende, complète le tableau. Type de fonction Croissance de la fonction Expression analytique

A : 1er degré aﬃne : croissante Type de fonction

Pente du graphique

L : 1er degré linéaire : décroissante Croissance de la fonction

C : constante C : constante

Zéro

Ordonnée à l'origine

f1 : x Æ y = –3x + 6 f2 : x Æ y = –2 f3 : x Æ y = –x f4 : x Æ = –3 + 5x f5 : x Æ y = 2x f6 : x Æ y = 7 f7 : x Æ y = –3x f8 : x Æ y = 5 + 2x f9 : x Æ y =

x 4

2 f10 : x Æ y = x – 2 3 2

144

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Lorsque la proposition est fausse, corrige la partie soulignée de la phrase. a) La pente du graphique de la fonction f : x Æ y = 5 – 3x est 3. b) Le graphique de la fonction f : x Æ y = 3 a une pente nulle. c) Le point (–1 ; 0) appartient au graphique de la fonction f : x Æ y = x – 1. d) Le graphique de la fonction passant par les points (1 ; 1) et (3 : 3) a une pente nulle. e) Le graphique de la fonction f : x Æ y = –2x passe par (0 ; 0). f) Les graphiques des fonctions f : x Æ y = 3x + 1 et g : x Æ y = 5 + 3x sont des droites parallèles. g) La croissance d'une fonction du premier degré f : x Æ y = mx + p dépend du signe de p. –m . h) Le zéro d'une fonction du premier degré f : x Æ y = mx + p est le rapport p i) L'ordonnée à l'origine de la fonction f : x Æ y = 2x – 1 est –1. Dx . j) Le taux d'accroissement d'une fonction f du premier degré se calcule par la formule D f(x)

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

b y

Voici les graphiques de fonctions du premier degré dont l'expression analytique est donnée. Restitue chaque fonction à son graphique.

f1 : x Æ y = 2x

f2 : x Æ y = 2x + 4

f3 : x Æ y = –2x + 4

f4 : x Æ y = –0,5x

1 0

f5 : x Æ y = 4 4

Voici les tableaux de signes de quatre fonctions du premier degré et leurs expressions analytiques. x

–2

f1(x)

–

f2(x)

f3(x)

–

f. . . . : x Æ y = 2x + 4

–

–2

f4(x)

f. . . . : x Æ y = –3x – 6

–

f. . . . : x Æ y = 3x

f. . . . : x Æ y = –x + 2

Recopie les expressions analytiques en y ajoutant les indices. 5

Explique comment vériﬁer qu’un point appartient au graphique d’une fonction. Applique ce procédé pour vériﬁer si les points A (2 ; 1) et B (–3 ; –1) appartiennent au graphique de la fonction f : x Æ y = –2x + 5.

Voici trois tableaux de nombres. Pour chacun d'eux, indique s'il peut correspondre à une fonction du premier degré. Justiﬁe. x f(x)

–2 –6

0 0

1 3

3 9

x f(x)

1 –2

2 –4

3 –6

4 –8

x f(x)

1 1

3 9

5 25

a) Donne la formule permettant de déterminer rapidement le zéro d'une fonction du premier degré f : x Æ y = mx + p. 2 b) Parmi ces quatre fonctions, quelles sont celles qui ont le nombre comme zéro ? 3 f : x Æ y = 9x – 6 g : x Æ y = 3x + 2 h : x Æ y = 6 + 4x k : x Æ y = 6x – 4

Sachant que le graphique d'une fonction du premier degré passe par les points (–3 ; –2) et (1 ; 6), détermine, parmi les quotients proposés, ceux qui permettent de calculer la pente du graphique. 6–2 a) 1–3

1+3 c) 6+2

–2 – 6 b) –3 – 1

6+2 d) 1+3

Complète le tableau aﬁn d'associer chaque graphique de fonction à sa pente. Pente Fonction

–1

1 2

2 3

8 64

6+3 e) 1+2 y

f3 f2

–3 2

1 0

145

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Appliquer 1

Voici une série de points.

1 3 ; –4 D (0 ; –2) E 5 ; F (–1 ; –2) G (–2 ; 5) 2 2 Ces points appartiennent aux graphiques de certaines des fonctions ci-dessous. Lesquelles ? –2 11 x –5x f7 : x Æ y = f1 : x Æ y = x + f5 : x Æ y = – 1 f3 : x Æ y = –2 3 3 2 2

A (0 ; 0)

B (4 ; 1)

f2 : x Æ y = x – 2 2

f4 : x Æ y = 2x

f6 : x Æ y = –4x – 2

f8 : x Æ y = 3x + 1

Détermine graphiquement la pente du graphique de chaque fonction. a) y

b) y

c) y f2

1 0

g) y

f) y

d) y

h) y

1 0

1 1

1 0

Calcule la pente du graphique de la fonction f du premier degré ou de la fonction constante passant par les points A et B. a) A (2 ; 5) et B (4 ; 9) e) A (–1 ; 2) et B (3 ; 5) b) A (1 ; 8) et B (3 ; 5) f) A (–3 ; 5) et B (–1 ; 2) c) A (0 ; 3) et B (2 ; 1) g) A (1 ; 2) et B (–3 ; –5) d) A (3 ; 5) et B (–1 ; 5) h) A (–4 ; 1) et B (1 ; –4)

Dans un même repère cartésien, construis le graphique de chaque série de fonctions.

146

a) f1 : x Æ y = –3x

f2 : x Æ y = x + 3

f3 : x Æ y = 3

1 f4 : x Æ y = x 3

b) f1 : x Æ y = x + 2

f2 : x Æ y = x – 2

f3 : x Æ y = –x

f4 : x Æ y = –x + 2

Voici deux tableaux de valeurs incomplets, chacun étant associé à une fonction du premier degré. – Pour chaque fonction, détermine son taux d'accroissement, son ordonnée à l'origine, son expression analytique et les valeurs de a et de b. – Ensuite, représente chacune d'elles dans un repère cartésien.

f(x)

–6

g(x)

–6

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Sans les représenter, détermine si les graphiques des fonctions f et g sont des droites parallèles. a) f : x → y = –2x + 3 g : x → y = 2x – 3

b) f : x → y = 5x – 2 g : x → y = 2 + 5x

c) f : x → y = –2 g : x → y = –2x

3 d) f : x → y = x 5 3 g:x→y= +x 5

4 e) f : x → y = x – 4 3

2 f) f : x → y = x 3

g) f : x → y = –2x – 2 (2 ; 1), (4 ; 5) ŒGg

h) f : x → y = –4 (2 ; 3), (–5 ; 3) ŒGg

(2 ; 1), (–1 ; –3) ŒGg

(2 ; –2), (–4 ; 2) ŒGg i) (1 ; –2), (3 ; 7) ŒGf (2 ; 8), (0 ; –1) ŒGg

Détermine les expressions analytiques des fonctions du premier degré représentées ci-dessous. a)

b) y

f2 f3

1 0

x f4

1 0

Détermine les expressions analytiques des fonctions du premier degré et des fonctions constantes répondant aux conditions données. a) Le graphique de la fonction f coupe l'axe x en (–3 ; 0) et l'axe y en (0 ; 5). b) La fonction f est telle que f(1) = 3 et f(2) = –1. c) La fonction f est une fonction linéaire dont le graphique est parallèle à celui de la fonction g : x Æ y = 1 – 3x. d) Le graphique de la fonction f passe par le point A (–1 ; 4) et il est parallèle à celui de la fonction g : x Æ y = –2x + 3. e) Le graphique de la fonction f est parallèle à l'axe x et passe par le point A (5 ; –2). 2 f) Le graphique de la fonction f est parallèle à celui de la fonction g : x Æ y = –2 – x et passe par 3 le point A (–6 ; 2). g) L'ordonnée à l'origine de la fonction f est 3 et son graphique passe par le point (–1 ; –1). h) Le graphique de la fonction f passe par le point (–1 ; 4) et sa pente est nulle. i) Le zéro de la fonction f est 4 et la pente de son graphique vaut –2. j) La fonction f est linéaire et son graphique est parallèle à celui de la fonction g passant par les points A (3 ; –2 et B (5 ; 2). Détermine les expressions analytiques des fonctions du premier degré dont le graphique passe par les points A et B. a) A (–2 ; –3) et B (4 ; 3)

b) A (2 ; 4) et B (–3 ; 2)

c) A (–2 ; 4) et B (4 ; –2)

d) A (6 ; 8) et B (3 ; 4)

e) A (1 ; –2) et B (–3 ; 4)

f) A (1 ; 4) et B (–2 ; 0)

147

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

10 Détermine les expressions analytiques des fonctions du premier degré dont on donne un tableau

de valeurs. x

–4

–3

f(x)

g(x)

–4

–8

h(x)

–5

–11

11 Dresse le tableau de signes de chaque fonction.

a) f1 : x Æ y = 3x – 9 1 d) f4 : x Æ y = x 2 g) f7 : x Æ y = –3x + 2

b) f2 : x Æ y = –2x + 4 1 e) f5 : x Æ y = – x – 3 4 h) f8 : x Æ y = 5x + 1

c) f3 : x Æ y = –x – 5 3x f) f6 : x Æ y = 6 + 2 i) f9 : x Æ y = –4x

12 Vériﬁe si les points A, B et C sont alignés.

a) A (0 ; 1) B (2 ; –3) C (–1 ; 4)

c) A 2 ;

5 2

B –1 ;

–1 2

b) A (4 ; 1) B (–2 ; 4) C (6 ; 0)

d) A 1 ;

5 2

B –2 ;

5 2

1 ;1 2

C 4;

3 2

13 L’expression analytique f : x Æ y = 2x + p est celle d'une famille de fonctions du premier degré.

a) Détermine la fonction de cette famille dont le graphique comprend le point (2 ; 1). b) Détermine la fonction de cette famille dont –1 est le zéro. 14 L’expression analytique f : x Æ y = mx – 2 est celle d'une famille de fonctions du premier degré.

a) Détermine la fonction de cette famille dont le point (4 ; –4) appartient à son graphique. b) Détermine la fonction de cette famille dont 4 est le zéro.

Transférer 1

Un automobiliste s’arrête dans une station service pour faire le plein.

Le graphique ci-contre représente l’évolution de la quantité d’essence se trouvant dans le réservoir au cours du remplissage en fonction du temps.

a) Utilise ce graphique pour déterminer une approximation … (1) de la quantité d’essence se trouvant dans le réservoir après 18 secondes de remplissage. (2) du temps nécessaire pour remplir le réservoir d’une capacité de 45 litres.

b) Détermine la valeur exacte des réponses obtenues au a). 2

148

Trois jeunes décident de passer une semaine de vacances à la Côte belge et de louer un VTT. Ils se renseignent pour connaître les diﬀérentes possibilités de location. Voici les trois tarifs proposés par un loueur de VTT. Tarif 1 : un forfait de 120 € le premier jour de location permet d’emporter le VTT durant toute la semaine. Tarif 2 : 8 € par heure de location permet de louer un VTT quelconque. Tarif 3 : 36 € à la réservation, puis 4 € par heure de location permet de réserver un VTT aux mesures du cycliste en le laissant chez le loueur et en l’empruntant à sa convenance.

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Jean envisage de rouler 24 heures durant la semaine de vacances, alors que Nicolas prévoit de rouler seulement 8 heures. Quant à Mélanie, elle projette de rouler 2 heures par jour du lundi au samedi inclus. a) Dans un même repère cartésien, représente le prix à payer pour chaque tarif en fonction du nombre d’heures d’utilisation. b) Utilise ces graphiques pour déterminer ... (1) le tarif le plus avantageux pour chaque jeune. (2) le tarif le plus avantageux suivant le nombre d’heures de location. 3

Le résultat obtenu par un élève à une dictée dépend du système de cotation du professeur. Voici trois manières diﬀérentes de coter une dictée sur un maximum de 20 points. Cotation 1 : retrait d’un point par faute commise. Cotation 2 : retrait d’un demi-point par faute commise. Cotation 3 : retrait d’un point par faute commise pour les cinq premières fautes, puis d’un demi-point pour les fautes suivantes. Pour chaque méthode de cotation … a) écris l'expression analytique de la fonction traduisant l'évolution de la cote de l'élève en fonction de son nombre de fautes; b) détermine le résultat des élèves qui commettent 3 fautes, 10 fautes et 17 fautes; c) détermine le nombre de fautes des élèves qui ont obtenu 10/20, 16/20 et 7/20.

Au matin du 1er mars 2021, une entreprise possède un stock de 24 500 pièces identiques. Chaque jour, l’entreprise utilise 700 de ces pièces et, pour éviter la rupture de stock, elle passe commande lorsque celui-ci atteint le seuil de 4200 pièces. a) Détermine l’expression analytique de la fonction montrant l’évolution du stock pendant le mois de mars. b) Calcule le stock après 5 jours, 10 jours et 20 jours de travail. c) À quelle date, l’entreprise devra-t-elle commander de nouvelles pièces ? d) Sachant que la commande de 10 000 nouvelles pièces est livrée 5 jours après celle-ci, détermine l’expression analytique de la fonction montrant l’évolution du stock jusqu’à épuisement si l’entreprise ne passe plus de nouvelle commande.

Un automobiliste se trouve dans une station-service. Le réservoir de sa voiture contient encore 7,5 litres d'essence au moment où le remplissage commence à la pompe. Après 10 secondes de remplissage, le réservoir contient 22,5 litres de carburant. a) Dans un repère cartésien, représente la fonction f exprimant la quantité d'essence (en litres) se trouvant dans le réservoir en fonction du temps de remplissage t (en secondes). On suppose que le débit de la pompe est constant et que l'instant t = 0 correspond au début du remplissage. b) Calcule le taux d'accroissement de cette fonction. Concrètement, que représente cette valeur dans ce contexte ? c) Détermine l'expression analytique de la fonction f. d) Combien de temps faudra-t-il pour remplir le réservoir si sa capacité est de 50 litres ?

Le salaire mensuel d'un vendeur est composé d'un ﬁxe de 970 € et d'une commission égale à 4 % du montant des ventes réalisées dans le mois. Quel montant des ventes ne peut-il pas dépasser sachant que si son salaire double, le taux de taxation sera plus élevé ?

149

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Les Dupont et Dupond décident de se séparer et de déménager chacun vers leur nouvelle maison. Lors de leur déménagement, ils se sont chacun adressés à des transporteurs diﬀérents dont voici les tarifs. Transporteur de Dupont : 375 € au départ et 4,5 € par kilomètre Transporteur de Dupond : 1000 € au départ et 2 € par kilomètre Sachant que Dupont et Dupond ont payé respectivement 1050 € et 1400 € pour leur déménagement, détermine à quelle distance se trouve leur nouvelle maison.

On considère un carré ABCD de 6 cm de côté et un point M du segment [AB] tel que | AM | = x. a) Exprime, en fonction de x, l’aire f(x) du quadrilatère AMCD. b) Pour quelles valeurs de x la fonction f est-elle déﬁnie ? c) Pour quelle valeur de x l’aire du quadrilatère AMCD est-elle égale à 30 cm2 ? d) Quelle peut être la valeur maximale de l’aire de AMCD ? Dans ce cas, quelle est la nature de ce quadrilatère ? e) Quelle peut être la valeur minimale de l’aire de AMCD ? Dans ce cas, quelle est la nature de ce quadrilatère ?

Voici un trapèze rectangle ABCD et un triangle EFG de hauteur [EH]. x A B E G

6 cm

9 cm

3 cm

H 6x

a) Exprime, en fonction de x, l'aire f(x) du trapèze ABCD et l'aire g(x) du triangle EFG. b) Écris une fonction h qui exprime la diﬀérence entre l'aire du trapèze et celle du triangle. c) Dresse un tableau de signes de la fonction h et utilise-le pour déterminer à partir de quelle valeur de x l'aire du trapèze est inférieure à celle du triangle.

150

CHAPITRE 10 FONCTIONS DU PREMIER DEGRÉ

A Fonction du premier degré 1. Déﬁnition Une fonction f du premier degré est une fonction dont l'expression analytique est de la forme f : x Æ y = mx + p ou plus simplement f(x) = mx + p, où m est un réel non nul et p un réel. Exemples :

f : x → y = 2x + 4

f(x) = 2x + 4

g : x → y = 3x

g(x) = 3x

h : x → y = –0,5x + 3

h(x) = –0,5x + 3

2. Propriétés du graphique Le graphique d'une fonction du premier degré f : x Æ y = mx + p est une droite. Si p est non nul, alors la droite ne passe pas par l'origine du repère cartésien; la fonction est aﬃne. Si p est nul, alors la droite passe par l'origine du repère cartésien; la fonction est linéaire. Exemples f : x Æ y = 2x + 4

g : x Æ y = 3x

–3

–2

–1

f(x)

–2

g(x)

–3

10 1 0

1 0

Le graphique de la fonction f est une droite ne passant pas par (0 ; 0).

Le graphique de la fonction g est une droite passant par (0 ; 0).

TH 57

THÉORIE

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

B Taux d'accroissement et pente 1. Déﬁnition Le taux d'accroissement d'une fonction f du premier degré est le rapport entre l'accroissement en f(x), noté D f(x), et l'accroissement en x, noté D x, observés entre deux points quelconques de son graphique. D f(x) Taux d'accroissement d'une fonction f : Dx

2. Propriété Le taux d'accroissement d'une fonction du premier degré est constant. Il correspond à la pente (m) de la droite, graphique de la fonction. Exemples f : x Æ y = 2x + 4 y

g : x Æ y = –0,5x + 3

y Dx = 2 Dg(x) = –1

Df(x) = 2

Dx = 1

Dg(x) = –0,5

Df(x) = 4 1

Dx = 2 0 1

D f(x) 2 4 = = = ... = 2 1 2 Dx Taux d'accroissement de f : 2 Pente du graphique : m = 2

D g(x) –1 –0 ,5 = = = ... = –0,5 2 1 Dx Taux d'accroissement de g : –0,5 Pente du graphique : m = –0,5

3. Détermination de la pente du graphique d'une fonction du 1er degré connaissant les coordonnées de deux de ses points Si A (xA ; yA) et B (xB ; yB) sont deux points du graphique d'une fonction f du premier degré, alors la pente de son graphique (droite) se calcule par la formule D f(x) f(xB ) – f(x A ) yB – y A = = Dx xB – x A xB – x A Exemples

TH 58

A (3 ; 1), B (6 ; 7) ŒGf

Pente de Gf : m =

D f(x) 7 – 1 6 = = =2 Dx 6–3 3

A (0 ; –2), B (5 ; –4) ŒGf

Pente de Gf : m =

D f(x) –4 – (–2) –2 = = Dx 5–0 5

THÉORIE

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

4. Pente des graphiques de deux fonctions de même taux d'accroissement Propriété Si les graphiques de deux fonctions du premier degré sont des droites parallèles, alors ces fonctions ont le même taux d'accroissement.

Critère de parallélisme Si deux fonctions du premier degré ont le même taux d'accroissement, alors leurs graphiques sont des droites parallèles.

Conséquence Deux graphiques de fonctions du premier degré sont des droites parallèles si et seulement si ces fonctions ont le même taux d'accroissement. OU Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Exemple

1 1 f : x → y = x et g : x → y = x + 4 2 2 Les graphiques des fonctions f et g sont deux droites parallèles. 2 1 m f = mg = = 4 2

Dg(x) = 2 Dx = 4 4

Df(x) = 2 1

Le graphique de la fonction g est l'image de celui de la fonction f par une translation verticale de 4 unités vers le haut.

Dx = 4

C Fonction constante La fonction f : x Æ y = p est une fonction constante. Exemple :

f:xÆy=2

–1

f(x)

Le graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe x. Sa pente est nulle.

2 1 0

Une fonction constante n'est pas une fonction du premier degré.

D Représentation d'une fonction du premier degré Principe de construction Puisque le graphique d'une fonction du premier degré est une droite, pour le construire, il suﬃt de déterminer deux points quelconques de cette droite.

TH 59

THÉORIE

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

En pratique Pour construire le graphique d'une fonction du premier degré f : x Æ y = mx + p, on recherche souvent les points d'intersection de la droite avec les axes du repère; il s'agit des –p ; 0 p est l'ordonnée à l'origine de la fonction et points (0 ; p) et m –p en est le zéro m Exemple : f : x Æ y = 2x + 4

–2

f(x)

–p –4 = = –2 m 2

p=4 (0 ; 4) Œ Gf

(0 ; 4)

f(x) = 0 2x + 4 = 0 2x = –4 x = –2

(–2 ; 0)

(–2 ; 0) Œ Gf Pour construire le graphique d'une fonction linéaire du premier degré f : x Æ y = mx, on utilise l'origine du repère cartésien (0 ; 0) et on recherche un autre point facile à déterminer, par exemple le point (1 ; m). Exemple : f : x Æ y = 3x (0 ; 0) Œ Gf

f(x)

x=1 f(1) = 3 . 1 =3 (1 ; 3) Œ Gf

(1 ; 3) 1 0

E Croissance et décroissance La croissance d’une fonction du premier degré f : x Æ y = mx + p dépend du signe de m. m > 0 ¤ f est croissante. m < 0 ¤ f est décroissante. Exemples :

f : x Æ y = 2x

f : x Æ y = –3x + 2

1 0

TH 60

La fonction est croissante. m = 2 (positif)

La fonction est décroissante. m = –3 (négatif)

THÉORIE

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

F Recherche de l'expression analytique d'une fonction du premier degré Pour déterminer l'expression analytique d'une fonction du premier degré f : x Æ y = mx + p on détermine la valeur de m que l'on remplace dans l'expression générale afin d'obtenir une expression intermédiaire ; on détermine la valeur de p que l'on remplace dans l'expression intermédiaire afin d'obtenir l'expression finale. Plusieurs cas peuvent se présenter pour la détermination de m et de p. Détermination de m La valeur de m … – est donnée ;

D f(x) pour deux points du graphique ; Dx – est obtenue à l'aide d'une autre fonction dont le graphique est parallèle à celui de la fonction recherchée. – se calcule en utilisant la formule

Détermination de p La valeur de p … – est donnée par le point (0 ; p) du graphique ; – se calcule en remplaçant dans l'expression analytique intermédiaire, x et y par les coordonnées d'un point du graphique. Exemple 1 : expression analytique de la fonction f dont le graphique passe par les points (2 ; 1) et (4 ; –3) f : x Æ y = mx + p

Expression analytique générale

Recherche de m

(2 ; 1), (4 ; –3) ŒGf –3 – 1 –4 m= = = –2 4–2 2

p=5

f : x Æ y = –2x + p

Expression analytique intermédiaire 1

Recherche de p (2 ; 1) ŒGf

(4 ; –3) ŒGf

fi 1 = –2 . 2 + p

fi –3 = –2 . 4 + p

1 = –4 + p

–3 = –8 + p

5=p f : x Æ y = –2x + 5

(2 ; 1)

Dx = 2

Df(x) = –4 (4 ; –3)

5=p Expression analytique ﬁnale

TH 61

THÉORIE

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

Exemple 2 : expression analytique de la fonction f dont le graphique est parallèle à celui de la fonction g : x Æ y = –3x – 4 et passe par le point (1 ; 2). f : x Æ y = mx + p

Expression analytique générale

f y

Recherche de m p=5

Les graphiques de f et de g sont des droites parallèles. fi m = mg

(1 ; 2)

Or, mg = –3 fi m = –3 f : x Æ y = –3x + p

Expression analytique intermédiaire

Recherche de p

(1 ; 2) ŒGf fi 2 = –3 . 1 + p 2 = –3 + p 5=p f : x Æ y = –3x + 5

Expression analytique ﬁnale

Exemple 3 : expression analytique de la fonction f dont le graphique passe par les points (4 ; 5) et (0 ; –3) f : x Æ y = mx + p

Expression analytique générale

Recherche de m

(4 ; 5)

(4 ; 5), (0 ; –3) ŒGf –3 – 5 –8 m= = =2 –4 0–4 f : x Æ y = 2x + p

Expression analytique intermédiaire

Recherche de p (0 ; –3) ŒGf fi p = –3 f : x Æ y = 2x – 3

TH 62

Expression analytique ﬁnale

Df(x) = 8

1 0 p = –3

Dx = 4

THÉORIE

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

G Signe d'une fonction du premier degré Pour déterminer le signe d’une fonction du premier degré f : x Æ y = mx + p : –p a) on détermine le zéro de la fonction f : ; m b) on établit un tableau de signes : –p si x > , alors la fonction f et le coeﬃcient m ont le même signe; m –p si x < , alors la fonction f et le coeﬃcient m ont des signes opposés. m Si m > 0

Si m < 0 –p m

x f(x)

–

–p m

signe opposé du signe de m

f(x)

signe opposé du signe de m

signe de m

– signe de m

Exemples f : x Æ y = 2x – 2 y

f : x Æ y = –2x + 6 y f

1 0

10 zéro de f : 1

zéro de f : 3

m = 2 (positif)

m = –2 (négatif)

f(x)

–

signe opposé du signe de m

x + signe de m

f(x)

signe opposé du signe de m

– signe de m

TH 63

THÉORIE

Chapitre 10 Fonctions du premier degré

H Intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré f et g : on recherche l'abscisse du point en résolvant l'équation f(x) = g(x) ; on calcule l'ordonnée du point en remplaçant, dans une des deux expressions analytiques des fonctions, x par l'abscisse trouvée. Exemple : f : x Æ y = 2x + 1 et g : x Æ y = –x + 3 g

7 3

f S

1 0

21 3

Les graphiques de f et de g se coupent au point S. Abscisse de S f(x) = g(x) 2x + 1 = –x + 3 3x = 2 2 x= 3

Ordonnée de S 2 2 2 2 f = 2 . + 1 ou g =– +3 3 3 3 3 4 3 2 9 = + =– + 3 3 3 3 7 7 = = 3 3

Les graphiques de f et de g se coupent au point SS

TH 64

2 7 ; . 3 3

Chapitre 11

Thalès et les proportions Compétences à développer C 1-1

Mobiliser des propriétés de triangles isométriques, de triangles semblables.

C 1-2

Exploiter des conﬁgurations de Thalès.

C 1-3

Démontrer des propriétés.

Processus Connaître S 1-3

Reconnaitre et justiﬁer une conﬁguration de Thalès; en déduire des égalités de rapports.

S 1-5

Tirer une conclusion sur des ﬁgures géométriques à partir d’une égalité de rapports.

Appliquer A 1-2

Calculer une longueur d’un segment à partir d’égalités de rapports.

A 1-3

Construire une ﬁgure à partir d’égalités de rapports.

Transférer T 1-5

Résoudre un problème faisant appel aux triangles semblables.

151

ACTIVITÉS

Chapitre 11 Thalès et les proportions

Activité 1 Première formulation du théorème de Thalès 1

Sophie désire aménager un parterre en forme de parallélogramme. Elle dresse un plan reprenant les dimensions du parterre et celles des largeurs des différentes zones parallèles. Pour délimiter ces zones sur le terrain, elle décide d’utiliser des cordes attachées à deux piquets plantés sur chacun des côtés [AB] et [DC]. a) Aide-la à déterminer les distances des piquets P1 et P2 par rapport au point A. Représentation à l’échelle 1 : 20

C 42 cm

105 cm

12 cm

36 cm

160 cm

b) (1) Détermine les distances |AP1|, |P1P2| et |P2B|. (2) Compare les longueurs des segments [AP1], [P1P2] et [P2B] avec celles de leurs segments homologues déterminés sur la hauteur du parallélogramme issue de A. Tires-en une conclusion. 2

Chaque situation représente-t-elle une configuration de Thalès. Si oui, écris les proportions qui en découlent. Sinon, justifie. a) a // b // c

b) a // b R

c P

11 c

M d

N e

152

R O

a T

B C

f) b

X Y

b A

e) a // b

S a

d) a // b et c // d // e

p.65 A

c) a // b a

A V W

X Y

P d

p.65 B1-3

ACTIVITÉS

Chapitre 11 Thalès et les proportions

Activité 2 Propriétés des proportions et deuxième formulation du théorème de Thalès 1

a) Afin d’obtenir une configuration de Thalès, projette les segments [AB] et [BC] sur la droite d parallèlement à la droite AX. Tu obtiens les segments [XY] et [YZ], dont les longueurs respectives sont 10 et 15 mm.

B 21

b) (1) Complète de deux manières différentes chaque proportion et vérifie chacune d’elles à l’aide des mesures proposées.

p.68

AB ... = ... YZ

... BC = XZ ...

(2) Énonce les nouvelles propriétés des proportions que tu viens de découvrir. (3) Deux des quatre proportions correspondent à la formulation connue du théorème de Thalès. Les deux autres, à une seconde formulation : énonce-la.

p.65 B2-3

a) Complète, si possible, chaque égalité avec une formulation différente du théorème de Thalès. AB ... ... = = AX ... ...

AB ... ... = = AC ... ...

AB ... ... = = BC ... ...

B X

C Y

AC ... ... = = BC ... ...

b) Quelle conclusion peux-tu tirer de cet exercice ?

Activité 3 Thalès pour calculer des longueurs 1 Dans les conﬁgurations de Thalès ci-dessous, détermine rapidement la valeur de x. a)

c 10

p.67 D1

a c)

4 4

b c

e c

153

ACTIVITÉS

Chapitre 11 Thalès et les proportions

Dans les conﬁgurations de Thalès ci-dessous, détermine la valeur de x. x b) c) a) C A B 3 C 4 M 4 B

3 Dans les conﬁgurations de Thalès ci-dessous, détermine les valeurs de x et de y. a) A

P R

| PR | = 3,9 | AB | = 2,6 | BZ | = x

| RS | = 4,5 | ZV | = 2 | ST | = y

| AB | = 5,1 | BC | = 4,8 | GB | = x

| BE | = 3,2 | BF | = 5,2 | AD | = y

V b) A F

E B

Activité 4 Thalès ou triangles semblables 1 Dans les réseaux de droites ci-dessous, quelles sont les situations où tu peux utiliser le théorème de Thalès et/ou les cas de similitude des triangles ? Énonce les conditions sur les positions relatives des droites.

A B

E A

e) A

B C

154

B D

C E

3 t % 14 7 SA x y 0 7 6

= 9 0 3

MANUEL

Manuel ACtimath à l’infini - 2 e édition

1 2 4 + f 3 % 5x S

42 0 0 5 7 cos 8

8+ %

Ph. Ancia M. Bams M. Chevalier M. Colin P. Dewaele F. Huin J.-L. Lozet A. Want

a2 % 0

0 t 1% f 6

sin

% 0 4 9 7 5

: 1 f8 %

+ 3

2 e édition

[AB] f : 5 [AB] a a [AB] AOC 2 = 2 2 3 f+ f 4 8 2 1 0 ≤ 3 =a 5 8 2 + AOC [AB] 6 8 [AB] 23 f a [AB] [AB] 2 3 AOC f + f 3 4 2 5 8 2 4 0 1+ cos 3 9 % 0 8 8 0 3 [AB] 0

125

ISBN 978-90-306-9725-1 595282

9 789030

www.vanin.be

0 9 + 5 ≤ 4 8

689331

Sd 75x 8 [AB]

9 4 2 3 125