Actimath à l'infini - 1e edition - 4e - Algebre - Analyse - Sequence by VAN IN

f(x) d

v ∫ ) ( ⇔ α π AB rctan x (x) e α4 n i s f a 2 Manueli ∃ B ∑ u f ' ( x ) R ∉ B AAlgèbre f'( u v ∃ ⇔ log a AC CAnalyse f m o d ⇔ ∞ 1 ∞ − = α i u n i s v sin α e ∑ i a t c r a v . u 2 C tan α x AB 1 − = i 2π ⇔ arcsin x n a t 1 c − r a = α ⇔ i n i s R f(x) AB tan α u ⇔ m i l C f m o d ∃ dom f f' x x

i =1

Ingrid t’Kindt-Demulder Frédérique Gérard

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L’enseignant (via un formulaire de demande sur www.lesplusprofesseur.be) pourra activer l’accès à Udiddit pour sa classe à partir du moment où chaque élève dispose du livret d’exercices de la collection. La période de validité de Udiddit débute dès l’activation et s’achève au 30 septembre de l’année suivante. Les documents présents sur Udiddit le sont également sur digiportail. Attention, n’active pas ta licence de digiportail avant le 1er septembre : la période de validité débute dès l’activation et dure 365 jours.

Composition d’Actimath à l’infini 4 Pour l’élève

un manuel en deux volumes un livret d’exercices un accès aux activités multimédias – soit via Udiddit (www.udiddit.be) – soit via digiportail (www.digiportail.be)

Pour le professeur

un guide méthodologique un livre numérique des activités multimédias et des documents supplémentaires disponibles – soit sur Udiddit (www.udiddit.be) – soit sur digiportail (www.digiportail.be)

Actimath à l’infini 4 – Manuel (Algèbre – Analyse) Auteurs : Ingrid t’Kindt-Demulder et Frédérique Gérard Couverture : Compo-sition Mise en page : Michel Raj

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Louvain-la-Neuve – Wommelgem, 2015 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition : 2015 ISBN 976-90-306-6752-0

D/2015/0078/150 Art. 554891/01

Aux utilisateurs, élèves, professeurs... Comment se fait-il que les mathématiques, qui sont après tout un produit de la pensée humaine, indépendant de l’expérience, soient si admirablement adaptées aux objets de la réalité ?

Albert Einstein

Écrire un manuel scolaire est un défi… L’écrire en se référant uniquement aux compétences terminales et savoirs requis en mathématiques repris dans le nouveau Référentiel paru au Moniteur belge (avril 2014) est un challenge. De plus, le rendre utilisable dans tous les réseaux faisait également partie du projet. Il nous a paru opportun de travailler en ce sens étant donné les ruptures, les inconvénients, les incohérences qui apparaissent parfois dans le cursus mais aussi dans la perspective d’épreuves d’évaluation externe, qu’elles soient certificatives ou non.

Actimath à l’infini 4 se compose d’un manuel en deux parties, d’un livret de l’élève, d’un livret numérique et d’un guide du professeur.

Le manuel est divisé en deux volumes : � Algèbre-Analyse : les acquis, le deuxième degré et les fonctions de référence, � Statistique, Géométrie et Trigonométrie : la statistique, la géométrie dans l’espace, la trigonométrie et la géométrie plane. Le découpage du manuel correspond aux unités d’acquis d’apprentissage (UAA) du référentiel et laisse le professeur libre de choisir une progression adaptée à la classe. Nous avons choisi un ordre arbitraire pour présenter les UAA mais l’utilisateur est totalement libre de planifier son propre parcours. Il va de soi que certaines UAA sont préalables à l’installation d’autres, l’UAA concernant le deuxième degré a été scindée en deux sections ainsi que l’UAA de géométrie analytique plane en trois sections. Un code couleur a été utilisé pour chaque UAA permettant ainsi à l’utilisateur de retrouver facilement la matière qui l’intéresse. Toutes les mathématiques consistent à organiser une série d’outils venant en aide à l’imagination dans le processus du raisonnement.

John Whitehead

Construire un savoir caractérisé par ses aspects cumulatifs et spiralaires s’élabore à partir d’acquis antérieurs. Il nous a semblé utile, avant d’aborder les unités, d’insérer une section intitulée Les acquis où nous reprenons toute une série de rappels sur la matière vue en troisième. Enseigner les mathématiques hors contexte historique, c’est négliger tous les apports des diverses cultures au développement des mathématiques. Pour parfaire le bagage humaniste des élèves, nous avons parsemé le manuel de vignettes historiques sous forme, entre autres, de carte d’identité de quelques mathématiciens célèbres reprenant la période à laquelle ils ont vécu et leur contribution. Il est particulièrement aisé de parcourir Actimath à l’infini 4 grâce aux onglets dont les couleurs propres à chaque UAA reprennent outre les ressources à mobiliser et les compétences à mettre en œuvre, les différentes parties : Activités-Théorie-Synthèse-Exercices.

 Les activités Qu’elles soient de l’ordre du rappel, de la découverte ou de la mise en situation, les activités sont des outils essentiels à l’apprentissage et à la méthode Actimath. Leur rôle est de faire découvrir intuitivement et pas à pas l’ensemble des ressources abordées dans une unité d’acquis d’apprentissage.

 La théorie Elle est constituée de définitions, propriétés, propositions et théorèmes présentés de façon structurée et illustrés abondamment par des dessins ou des graphiques clairs avec des bulles explicatives. De nombreux exemples éclairent les différentes notions; ceux-ci offrent une utilisation bien pensée de l’outil informatique dans son sens large (calculatrice scientifique ou graphique, logiciel de géométrie dynamique, tableur) et permettent un cadre d’apprentissage, une limitation du temps consacré à des calculs trop techniques, une recherche et une vérification. Le langage mathématique 3 Actimath à l’infini 4

est exigeant comme l’est la langue française, tant en communication écrite qu’orale : termes exacts, connecteurs logiques, symboles, qualité de présentation, argumentation. Nous lui avons accordé une place légitime en tenant compte, bien évidemment, du public concerné. Des logos attirent l’attention du lecteur : indique une méthode, une astuce ou un « truc » intéressant. indique l’utilisation d’une calculatrice. Nous avons opté pour la scientifique CASIO FX92+ ou la graphique CASIO 35+USB, mais toute autre calculatrice peut convenir.

indique l’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique, d’un tableur, …

indique que le livret de l’élève, édité sous forme de consommable, propose une présentation pratique de l’exercice ou de l’activité, permettant un gain de temps et une facilité dans les démarches d’investigation. Il signale aussi l’utilisation du livret numérique permettant un dispositif de visualisation collective pour cet exercice ou cette activité. indique un dépassement par rapport aux processus afin de développer un niveau de compétence plus complexe.

 La synthèse Celle-ci reprend les notions abordées dans l’UAA et permet une approche aisée des exercices. Toutes les synthèses sont reprises dans le livret de l’élève, ainsi que les Tout savoir sur... liés aux Acquis. L’élève pourra de cette manière se constituer un référentiel des notions à connaître pour l’année suivante.

 Les exercices L’onglet Exercices est divisé en sous-onglets correspondants aux compétences :  Connaître et Expliciter : consiste à construire et expliciter les ressources,  Appliquer : consiste à mobiliser les acquis dans le traitement de situations entraînées,  Transférer et Modéliser : consiste à mobiliser les acquis dans le traitement de situations nouvelles. Les exercices ont été classés, selon la théorie, dans un ordre croissant de difficulté. Leur variété et quantité permettent au professeur de choisir selon ses affinités et aux élèves de s’exercer davantage. Dans certaines UAA, des exercices pour approfondir permettent au professeur ayant des élèves plus avertis ou curieux, d’aborder la matière afin d’élargir leur horizon. Le guide destiné aux professeurs fournit non seulement les solutions détaillées de toutes les activités, de tous les exercices (parfois selon plusieurs procédés), de toutes les fiches de travail du livret de l’élève (pouvant servir à des évaluations formatives) mais également des indications méthodologiques, des compléments de théorie et une proposition de planification d’année. Nous remercions toutes les personnes qui ont permis de réaliser ce travail : notre responsable des éditions VAN IN, Madame Sabrina Amengual, nos rédacteurs Gillian Delvigne et Vincent Damoiseaux, le metteur en page Michel Raj, les relectrices (enseignements secondaire et universitaire) qui ont pris le temps de relire et de donner leurs appréciations et leurs commentaires… Enfin, nous tenons à remercier nos conjoints et enfants pour leur soutien et leur patience inconditionnels dans la réalisation de ce projet.

4 Actimath à l’infini 4

Table des matières Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Les acquis Les acquis en Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 1 Racine carrée et cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Racine cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Les équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 2.1 Définitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Principes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2.3 Résolution d’équations – quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 2.3.1 Équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Lien entre équation et représentation graphique d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.3.2 Équations réductibles au premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.3.3 Équations se ramenant à un produit de facteurs du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 2.3.4 Équations contenant des valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2.3.5 Équations fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 2.3.6 2.4 Résolutions de systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 2.4.1 Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1 Définitions-Vocabulaire-Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 3.2 Principes d’équivalence des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 3.3 Principe d’équivalence d’un produit ou d’un quotient comparé à 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Inéquations particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.5 Ensemble solution d’une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 3.6 Signe d’un binôme du premier degré ax + b, a ≠ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 4 À propos des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 4.1 Union de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 4.3 Différence de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 5 Éléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.1 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 Les acquis en Analyse : Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1 Vocabulaire et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.1 Faire la distinction entre relation et fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.2 Relation entre deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 1.3 Fonction numérique d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 1.4 Caractérisation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 Un tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4.1 Une expression analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 1.4.2 Graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.3 1.5 Faire la distinction entre le domaine et l’image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 Graphiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 1.5.1 Algébriquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 1.5.2 Quelques conventions graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 1.5.3 Les acquis en Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Unité d’angles : le degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 3.3 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 La calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 5 Le théorème de Thalès et Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 5.1 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 5.2 Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Tout savoir sur les formes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tout savoir sur la factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Tout savoir sur le premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tout savoir sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Tout savoir sur les puissances et les racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tout savoir sur Thalès et le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Exercices Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Exercices Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exercices Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4UAA5 – Deuxième degré Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1 Équations du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.1 Équations particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.1.1 Équations binômes : ax2 + c = 0 (b = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 1.1.2 Équations ax2 + bx = 0 (a ≠ 0, c = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 1.1.3 Équations trinôme carré parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.2 Forme générale : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.3 Somme et produit des solutions d’une équation du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 1.3.1 Formules de la somme et du produit des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 1.4 Factorisation du trinôme du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5 Équations se ramenant à une équation du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.5.1 Équations se ramenant à un produit de facteurs du premier ou du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 1.5.2 Équations fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 1.5.3 Équations bicarrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

5 Actimath à l’infini 4

1.6

Résolution de problèmes du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6.1 Problème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.6.2 Problème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2 Fonction du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.2 Famille de fonctions f(x) = ax2 (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 2.2.1 La parabole d’équation y = –x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.2.2 La famille de fonctions pa (x) = ax2 (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 2.2.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.3 Famille de fonctions f(x) = ax2 + b (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 2.3.1 Un exemple f(x) = 2x2 – 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 2.3.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4 Famille de fonctions f(x) = a(x – α)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.4.1 Un exemple f(x) = 2(x – 3)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.4.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Famille de fonctions f(x) = a(x – α)2 + β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.5 2.5.1 Un exemple f(x) = –2(x – 4)2 + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.5.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.5.3 Comment reconnaître les équations des paraboles représentées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.6 Fonction du deuxième degré f(x) = ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.6.1 Formes canonique et développée d’une fonction du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.6.2 Rôles des paramètres a, b, c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.6.3 Différentes formes d’une fonction du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.6.4 Un exemple détaillé par forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.7 Signe d’une fonction du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.7.1 Étude graphique d’une fonction du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.7.2 Quelques exemples résolus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.8 Signe d’un produit ou d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.8.1 Signe d’un produit de binômes ou trinômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.8.2 Signe d’une expression rationnelle factorisée (quotient de binômes ou trinômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.9 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.9.1 Résolution graphique d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.9.2 Résolution algébrique d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.9.3 Inéquations aux valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.9.4 Systèmes d’inéquations à une inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.10 Mises en situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.10.1 Problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.10.2 Modélisation d’un phénomène par une fonction du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.10.3 Problèmes conduisant à la résolution d’une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Exercices pour expliciter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Exercices pour appliquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Exercices pour transférer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Exercices pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4UAA4 – Fonctions de référence Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1 Fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1.1 Fonction constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1.2 Fonction identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 1.3 Fonction « carré » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 1.4 Fonction « racine carrée » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 1.5 Fonction « cubique » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 1.6 Fonction « racine cubique » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 1.7 Fonction « inverse » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 1.8 Fonction « valeur absolue » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 2 Caractéristiques d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 2.1 Racine d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 2.2 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 2.2.1 Croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 2.2.2 Minimum et maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 2.2.3 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 2.3 Symétrie et parité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 2.3.1 Fonction paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 2.3.2 Fonction impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 3 Transformées de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 3.1 Opérations agissant sur les images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 3.2 Opérations agissant sur la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 3.3 Transformations particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 3.4 Combinaisons de transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 3.4.1 Exemple résolu : courbe représentative de la fonction g ( x ) = x + 3 − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 3.4.2 Exemple résolu : courbe représentative de la fonction g ( x ) = 1− 3 x − 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 3.5 Famille de fonctions g ( x ) = a x − α + β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

3.6 Famille de fonctions g ( x ) = + β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x. −. .α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Exercices pour expliciter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Exercices pour appliquer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Exercices pour transférer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Exercices pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Index des vignettes historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

6 Actimath à l’infini 4

Les acquis

Les acquis en AlgĂ¨bre Les acquis en Analyse Les acquis en TrigonomĂŠtrie

Liste (non exhaustive) des savoirs et savoir-faire En Algèbre «« Maîtriser les opérations avec les racines carrées et les racines cubiques. «« Calculer une valeur numérique d’un polynôme. «« Déterminer les conditions d’existence de fractions rationnelles et les simplifier. «« Modifier la forme d’une expression algébrique dans le but de résoudre une équation ou de simplifier une fraction (méthodes de factorisation). «« Reconnaître qu’un polynôme est divisible par (x – a) et effectuer la division. «« Résoudre des équations et inéquations du premier degré. «« Résoudre une équation contenant des fractions rationnelles. «« Résoudre un système de deux équations à deux inconnues (substitution et combinaisons linéaires).

En Analyse «« Tracer le graphique d’une fonction du premier degré et d’une fonction constante. «« Déterminer les paramètres m et p d’une fonction du premier degré répondant à certaines conditions. «« Déterminer l’image d’un réel par une fonction du premier degré ou par une fonction constante. «« Vérifier l’appartenance d’un point du plan au graphique d’une fonction du premier degré ou d’une fonction constante. «« Déterminer algébriquement et graphiquement le point d’intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré et/ou constantes.

À partir de graphiques de fonctions «« Distinguer relation et fonction. «« Rechercher le domaine, l’ensemble-image et les points d’intersection du graphique d’une fonction avec les axes. «« Rechercher les points d’intersection des graphiques de deux fonctions. «« Écrire les parties où une fonction est positive, négative ou nulle et construire le tableau de signe correspondant. «« Déterminer les parties où une fonction est croissante ou décroissante. «« Résoudre des équations et inéquations de type : f(x) = g(x), f(x) < g(x), f(x) > g(x) (y compris lorsque g est une fonction constante).

En Trigonométrie «« Calculer une longueur d’un segment à partir d’égalités de rapports (théorème de Thalès). «« Dégager des égalités de rapports à partir de triangles semblables. «« Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour vérifier qu’un triangle est rectangle. «« Utiliser les propriétés métriques du triangle rectangle dans des calculs (longueur de segments), des problèmes de construction. «« Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé. «« Construire un segment de longueur a avec a naturel. «« Calculer les nombres trigonométriques d’un angle aigu. «« Connaître les nombres trigonométriques de 30°,45°et 60°. «« Résoudre un problème (calcul d’une longueur, construction) en utilisant le théorème de Pythagore et les propriétés métriques du triangle rectangle.

Théorie

1 Racines carrée et cubique 1.1 Racine carrée Définition 1 La racine carrée d’un nombre réel positif a est le réel positif dont le carré est a a = x ⇔x2 = a

Tout savoir sur

Les acquis en Algèbre

Vocabulaire Dans a ,

est le signe radical et le réel positif a est appelé le radicand(1).

Exercices

x≥0

5 se lit « radical 5 »; c’est la racine carrée positive de 5. Configurer la calculatrice en mode Lw1et encoder L sS5l pour obtenir la valeur décimale,

La racine carrée est définie pour les nombres réels positifs. Son résultat est un nombre réel positif. Par conséquent, on a 9 = 3 (et pas 9 = −3 !). Par contre, il existe deux nombres réels dont le carré est égal à un nombre donné. Tout nombre réel strictement positif a admet deux racines carrées de signes opposés : «« La racine carrée positive de a est notée a , c’est le réel positif dont le carré est égal à a. «« La racine carrée négative de a est notée − a , c’est le réel négatif dont le carré est égal à a. Remarques

1 =1 «« 0 = 0 et «« L’expression a n’est pas toujours définie; elle n’existe que pour autant que a soit un nombre positif. Donc aucun nombre strictement négatif n’admet de racine carrée. Ainsi, l’écriture de a s’accompagne d’une condition d’existence : le radicand doit être positif. «« Lorsque a existe , cette expression est toujours positive. Propriété 1 ∀a ∈! + :

( a)

Propriété 2 La racine carrée du produit de deux nombres positifs est le produit des racines carrées de ces nombres. ∀a,b ∈! + : a . b = a . b (1) Le mot radicand vient du latin radicandum qui signifie « qui doit être extrait ». Le premier livre dans lequel on mentionne le signe serait de 1525. Il s’agit de la « chose » du mathématicien allemand Christian Rudolff : nombre inconnu qu’il faut trouver. Source : http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr

9 Actimath à l’infini 4 • Les acquis

4 = 2 et

9 =3

⎧⎪ 4 . 9 = 36 = 6 ⎨ ⎩⎪ 4 . 9 = 2 . 3 = 6

Tout savoir sur

Théorie

Exemple

Exercices

L sS20l

Pour effacer l’écran et insérer un nouveau calcul, taper O. Pour revenir à l’écran de calcul, taper w1 Vérifions des résultats : Mode VERIF : il s’agit de déterminer si une expression est égale, supérieure ou inférieure à une autre et de vérifier sa solution w5

L sS20$=2L sS5l

Remarque

a et b doivent être positifs pour pouvoir appliquer cette propriété. En effet, ( −2 )( −18 ) = 6 mais −2 et −18 n'existent pas! Propriété 3 La racine carrée du quotient de deux nombres strictement positifs est le quotient des racines carrées de ces nombres. a a ∀a ∈! + ,b ∈! +0 : = b b Exemple

36 = 6 et ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

9 =3

36 = 4 =2 9 36 6 = =2 9 3 w5aLdS36RLd9$$=Lda36R9V

10 Actimath à l’infini 4 • Les acquis

LsSa1R3$$+LsS3l

Il est bien souvent utile de pouvoir rendre rationnel le dénominateur d’une fraction. Pour cela, nous nous rappelons que a. a =a

(

Par conséquent,

a+ b

)(

Théorie

LsSa72R81l

Tout savoir sur

LsSa20R45l

Exercices

Quelques simplifications ou calculs :

)

a − b =a−b

«« si le dénominateur est de la forme a b , il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par b. «« si le dénominateur est de la forme a + b, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par le binôme conjugué a − b Exemples 1)

1 1 . 2 2 = = 2 2 2 2

(

a2R1-LdS3 l

)

(

)

2 1+ 3 2 1+ 3 2 = = = −1− 3 1− 3 1− 3 1− 3 1+ 3

(

)(

)

Propriété 4 a 2 = a = a si a ≥ 0 = −a si a < 0 Preuve 2 «« Si a est un nombre réel, alors a = a 2 «« Si a ≥ 0 , alors a = a et la proposition est clairement vérifiée. «« Si a < 0 , alors a = −a et donc a 2 = ( −a )2 = a 2 D’où, en prenant la racine carrée positive a = a 2 Exemples 1)

32 = 3

(−3)2 = −3 = −(−3) = 3

( x −1)2 = x −1 = ⎨

⎧⎪

x −1

− ( x −1) ⎩⎪

si x ≥ 1 si x <1

11 Actimath à l’infini 4 • Les acquis

Théorie

1.2 Racine cubique La racine cubique d’un nombre réel a est le réel dont le cube est a 3 a = x ⇔ x3 = a Vocabulaire Dans

est le signe radical d’indice 3 et a est appelé le radicand.

qDD8l

Exercices

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Définition 2

qDDz125l

Remarque

««3 0 = 0 et 3 1 = 1 «« Le cube d’un nombre est un nombre positif ou négatif, donc tout nombre réel admet une racine cubique unique. Il n’y a donc pas de conditions d’existence liées aux racines cubiques. Exemple 1)

8 = 2 car 23 = 8

−125 = −5 car (–5)3 = −125

Propriété 5 La racine cubique du produit de deux nombres est le produit des racines cubiques de ces nombres. ∀a,b ∈! : 3 ab = 3 a . 3 b Propriété 6 La racine cubique du quotient de deux nombres non nuls est le quotient des racines cubiques de ces nombres. a 3a ∀a ∈!,b ∈! 0 : 3 = 3 b b

« Il y a des racines de tout’ les formes Des pointues, des rond’ et des difformes Cell’ de la guimauve est angélique Et la mandragore est diabolique Il y a une Racin’ qu’est un classique Mêm’ s’il nous bassin’ on n’y peut plus rien Mais la racine que j’adore Et qu’on extrait sans effort La racine carrée c’est ma pré-fé-rée. » Boris Vian (1920-1959)

12 Actimath à l’infini 4 • Les acquis

Théorie

Dans son sens ancien, l’angle est une figure plane, portion de plan délimitée par deux demi-droites ayant même origine. Les deux demi-droites s’appellent les côtés de l’angle. L’origine commune des deux demi-droites s’appelle le sommet de l’angle. Un angle est une grandeur permettant de décrire l’amplitude d’une rotation. ! est déterminé par deux demi-droites de Un angle AOB même origine O. Les demi-droites [OA et [OB sont les côtés de l’angle, O est le sommet.

! ou BOA ! , la lettre désignant Cet angle peut être noté AOB le sommet de l’angle est toujours placée au milieu. Il peut aussi se noter en utilisant une lettre de l’alphabet grec : ici la lettre α.

A O

Tout savoir sur

1 Angles

Exercices

Les acquis en Trigonométrie

Définition 1 Un angle est déterminé par une paire de demi-droites issues d’un point. Un angle a un sommet et deux côtés. Si les demi-droites [OA et [OB sont opposées, la réunion des deux demi-droites [OA et [OB est la ! est un angle plat. droite AB et l’angle AOB B

! st l’angle nul. Si les demi-droites [OA et [OB sont superposées, nous avons [OA = [OB et l’angle AOB O

2 Unité d’angles : le degré Afin de résoudre des problèmes ayant trait à l’astronomie, les Babyloniens qui avaient un système de numérotation sexagésimal (base 60) ont divisé le cercle en 360 parties égales identifiant un degré(1). Ce système a pour origine le fait qu’une année, révolution complète de la Terre autour du Soleil, dure approximativement 360 jours. Ce choix se justifiait par le fait que 360 a un grand nombre de diviseurs. En effet, 360 est divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 et 180. De nos jours certaines grandeurs héritent toujours de ce système sexagésimal, c’est notamment le cas du temps : 1 heure = 60 minutes, 1 minute = 60 secondes. Définition 2 Un angle d’une amplitude d’un degré est un angle au centre qui intercepte un arc dont la longueur vaut un 360e de la longueur de la circonférence d’un cercle.

(1) La notation (°) est due à Jacques Pelletier (1517-1582).

41 Actimath à l’infini 4 • Les acquis

L’instrument le plus utilisé pour mesurer un angle est le rapporteur (demi-cercle subdivisé en 180 parties égales).

Théorie Exercices

Tout savoir sur

Sur une montre, tous les multiples de 30° apparaissent.

54°

Pour exprimer qu’un angle α a une amplitude de d degrés, nous écrivons α = d° « angle de d degrés » Les degrés sont divisés en «« degrés décimaux DD (le degré est divisé en dixièmes, centièmes, ...) ou «« degrés sexagésimaux DMS (le degré est divisé en 60 minutes (’) et la minute en 60 secondes (’’)). 1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° = 3600’’ Exemples

Exprimons 28°17’32’’ sous la forme décimale DD. Comme une minute, notée 1’, représente la soixantième partie d’un degré et qu’une seconde, notée 1’’, représente la soixantième partie d’une minute (donc la 3600e partie d’un degré), 17 32 nous avons : 28°17'32'' = 28° + + = 28,292° 60 3600 La calculatrice nous donne directement la forme souhaitée après avoir vérifié que celle-ci est configurée en mode degré (qw3):28x1fx32xVx 1)

xprimons 15,345° en DMS (degrés, minutes, secondes). E Nous devons d’abord convertir 0,345° en minutes : puisqu’une minute est la soixantième partie de un degré, il suffit de multiplier 0,345 par 60 pour obtenir 20,7’. Ainsi, 15,345° = 15°+20,7’.

De la même manière, convertissons 0,7’ en secondes en multipliant par 60 : Ce qui nous donne au final 15,345° = 15°20’ 42’’ La calculatrice nous donne directement la forme souhaitée : 15_345xV 42 Actimath à l’infini 4 • Les acquis

Théorie

3 Le triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit. Dans ce cas, le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse et les côtés de l’angle droit les cathètes. A

Dans un triangle rectangle, le carré de (la mesure de) l’hypoténuse est égal à la somme des carrés (des mesures) des côtés de l’angle droit.

AC = AB + BC α= 90°

β c

Exercices

ou a² = b² + c²

Tout savoir sur

3.1 Théorème de Pythagore

Réciproque du théorème de Pythagore : 2 2 2 Si les côtés d’un triangle ABC vérifient la relation AC = AB + BC , Alors ce triangle est rectangle en A.

3.2 Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle Dans un triangle rectangle, où β est un des deux angles aigus, nous avons les rapports suivants : Le sinus d’un angle non droit d’un triangle rectangle est le rapport de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse. b sin β = a

Le cosinus d’un angle non droit d’un triangle rectangle est le rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse. c cos β = a

La tangente d’un angle non droit d’un triangle rectangle est le rapport de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent. b tan β = c

3.3 Valeurs remarquables En troisième nous avons établi : 0°

30°

45°

60°

90°

sin α

1 2

2 2

3 2

cos α

3 2

2 2

1 2

tan α

3 3

n’existe pas

4 La calculatrice Pour déterminer un nombre trigonométrique d’un angle «« Vérifier l’unité d’angle choisie `w, ici 3 (le degré)

43 Actimath à l’infini 4 • Les acquis

Théorie Tout savoir sur Exercices

«« Appuyer sur la touche j,k,l selon le cas et entrer l’angle 3j44)V sin 44°= Pour déterminer un angle dont un nombre trigonométrique est donné : «« Vérifier l’unité d’angle choisie «« Appuyer sur les touches qj,qk,ql selon le cas «« Entrer le nombre trigonométrique connu : sin α =0,7 (en degrés), α = 44,427°=44°25’37’’ qw3qj0_f)Vx

5 Le théorème de Thalès et triangles semblables 5.1 Le théorème de Thalès Si les droites parallèles a, b, c coupent d’une part, la droite d respectivement en A, B, C d’autre part, la droite d’ respectivement en A’, B’, C’ Alors AB = BC = AC A'B' B'C ' A'C '

a A

5.2 Triangles semblables Si deux triangles sont semblables, Alors les angles de l’un ont la même amplitude que les angles de l’autre ; les côtés opposés à ces angles ont des longueurs proportionnelles.

!=D ! A

ABC DEF

A B E

!=E ! B

! = F! C

AB BC AC = = DE EF DF

Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont deux angles respectivement de même amplitude. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle de même amplitude compris entre des côtés de longueurs proportionnelles. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont trois côtés de longueurs proportionnelles. 44 Actimath à l’infini 4 • Les acquis

Deuxième degré

Parc de Cintadella, Barcelone, 2011

Équation du deuxième degré Résolution d’une équation du deuxième degré Produit et somme des solutions Factorisation des polynômes du deuxième degré : passage de la forme ax2 + bx + c à la forme a(x – x1 )(x – x2 ) Problèmes conduisant à une équation du deuxième degré Fonction et inéquation du deuxième degré Graphique de la fonction du deuxième degré f (x) = ax2, f (x) = ax2 + bx + c, f (x) = a(x – α)2 + β Signe de la fonction du deuxième degré < 0 Résolution graphique d’inéquations du type ax2 + bx + c > Problèmes d’optimisation à propos d’une fonction du deuxième degré, problèmes conduisant à une inéquation du deuxième degré

4UAA5

Connaître et Expliciter « Déduire du graphique donné de y = x 2 les graphiques des transformées 2 y = x 2 + k , y = kx 2 , y = ( x + k ) « Observer les familles de fonctions et leurs caractéristiques communes : 2 2 y = ax 2 , y = a ( x − α ) , y = x 2 + β et y = a ( x − α ) + β « Lier les diverses écritures de la fonction du deuxième degré : x → ax 2 + bx + c x → a(x − α )2 + β x → a(x − x1 )(x − x 2 ) En donner leurs caractéristiques et leurs avantages. « Décrire les caractéristiques générales d’une fonction du deuxième degré à partir de son graphique, en utilisant un vocabulaire précis. « Vérifier la plausibilité des solutions d’une équation ou d’une inéquation du deuxième degré et les interpréter graphiquement.

Appliquer « Résoudre algébriquement et graphiquement une équation du deuxième degré, une inéquation du deuxième degré. « Factoriser un polynôme du deuxième degré. « Passer d’une forme d’écriture à une autre et utiliser la forme la plus efficace suivant le contexte donné pour représenter une fonction du deuxième degré. « Utiliser les formules de la somme et du produit des solutions d’une équation du deuxième degré pour en vérifier le résultat. « Associer un ensemble de graphiques et un ensemble d’expressions analytiques du deuxième degré. « Déterminer les caractéristiques (tableau de variations, axe de symétrie, sommet, racines, signe, ordonnée à l’origine, concavité, symétrie) d’une fonction du deuxième degré à partir de son expression analytique. « Représenter une parabole en utilisant la méthode adéquate en fonction du contexte. « Déterminer l’expression analytique d’une fonction du deuxième degré répondant à des conditions données.

Transférer et Modéliser « Modéliser et résoudre un problème se ramenant à une équation du deuxième degré, un problème faisant appel à une fonction du deuxième degré par voie graphique et/ou algébrique, un problème d’optimisation du deuxième degré. « Modéliser un phénomène issu de situations divers par une fonction du deuxième degré.

Activités

Activité 3 – Résolution graphique d’une équation

0 -4 -3 -2 -1 0 -1

-2

-3

f (x ) = x 2 − 4 y

6 5 4 3 2

1 0 -2 -1 0 -1

-3

f (x ) = x 3 − 8

-4

-5

-9

-2

-1

-1 -2 -3

-2

c) y

0 -1

1 -3

-2

-1

0 -1

-2 -3

-1 0 -1

-4

-5

f ( x ) = ( x − 1)3 − 8

f (x ) = 3 − x 3

y 1

-2

-3

3 2

-5

-6 -7 -8 -9 -10

-4 0

0 -3 -2 -1 0 -1

f ( x ) = −2 x 2 − 3x

3 2

-8

-3

-7

f (x ) = 8x 3 + 1

-3

-1

-2

-6

-2

0 -2 -1 0 -1

-1 0 -1

-4

2 1

-2

-3 -2 -1 0 -1

f (x ) = 2x 2 − 3

-2

f ( x ) = ( x − 2)2

8 7

3 2

f (x ) =

Synthèse

f ( x ) = −2 x + 5 y

3. a)

f (x ) = − x − 3

0 -1 0 -1

2. a)

f (x ) = 2x − 3 y

Exercices

1. a)

Théorie

En observant les graphiques des fonctions suivantes, déterminer les abscisses des points d’intersection avec l’axe 0x. Vérifier ensuite algébriquement.

-2

-1

0 -1

-2

69 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

Deuxième degré

Exercices

Synthèse

Théorie

1 Équations du deuxième degré 1.1 Équations particulières Définition 1 Une équation du deuxième degré d’inconnue x dans  est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax 2 + bx + c = 0 dans laquelle a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. Les équations particulières sont celles qui sont soit incomplètes, b = 0 ou c = 0, soit des trinômes carrés parfaits. 1.1.1 Équations binômes : ax2 + c = 0

(b = 0)

Proposition 1 L’équation x2 = a où x est l’inconnue possède 0, 1 ou 2 solutions suivant le signe de a : a < 0 : pas de solution. a = 0 : 0 est l’unique solution. a > 0 : a et − a sont les deux solutions de l’équation. Preuve « a < 0 : un carré ne peut être négatif, l’équation n’a donc pas de solution. « a = 0 : l’équation devient x 2 = 0 x = 0 , l’équation a donc une solution unique 0. « a > 0 : x 2 = a

( a) ( x a )( x + a ) = 0

différence de deux carrés

x = a ou x = a

un produit A.B est nul ssi A = 0 ou B = 0

x2 =

a existe et

( a)

Un graphique illustre cette preuve : y

y x

À l’équation x 2 − a = 0 correspond la fonction f : x → x 2 − a . y a

y a

Celle-ci n’est pas une équation.

deux solutions

une solution

Si nous décidons d’introduire une inconnue y pour représenter f(x), alors la fonction est entièrement décrite par l’équation y = f ( x ) ou y = x 2 − a (ou y − x 2 + a = 0 ). Il y a donc une équation et une fonction qui se déterminent mutuellement.

y a a<

aucune solution

76 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Exemples

x2 = 9

⇔ ⇔

x= 9 x =3

ou ou

x=− 9 x = −3

x2 + 2 = 0

x 2 = 2

Activités Synthèse

S = {−3,3}

S= Proposition 2 −c Toute équation du type ax 2 + c = 0 avec a ≠ 0 est équivalente à x 2 = . a −c −c et − si a et c sont de signes opposés. Elle admet deux solutions opposées a a

Exercices

Théorie

Technique de résolution Si a est positif, x 2 = a ⇔ x = a ou x = − a Si a est strictement négatif, l’équation n’admet pas de solution.

Elle n’admet aucune solution réelle si a et c sont de même signe. Exemples 1)

2x 2 − 5 = 0

a = 2,

5 2 5 10 ⇔x= = ou 2 2

c = −5

⇔ x2 =

x=−

5 10 =− 2 2

⎧ − 10 10 ⎫ S=⎨ , ⎬ 2 ⎭ ⎩ 2 2)

7x 2 + 3 = 0 ⇔ x2 =

a = 7,

c=3

−3 7

Cette équation n’admet pas de solution réelle. S = ∅ 3)

( 2x + 3)2 = ( x − 4 )2 ⇔ 2x + 3 = x − 4 ⇔ x = −7

{ }

S = −7,

ou 2x + 3 = −x + 4 ou 3x = 1

1 3

A2 = B2

⇔ A2 − B2 = 0 ⇔

( A − B )( A + B ) = 0

 A = B ou A = −B 77 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

(a ≠ 0, c = 0)

1.1.2 Équations ax2 + bx = 0

Théorie

Technique de résolution Mise en évidence du facteur commun x. L’équation se transforme en x ( ax + b ) = 0 ⇔ x = 0 ou x =

−b . a

Exemple

Synthèse

3x 2 − 4x = 0 ⇔ x ( 3x − 4 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x =

{ }

Exercices

S = 0,

4 3

1.1.3 Équations trinôme carré parfait Technique de résolution Si ax 2 + bx + c est un trinôme carré parfait, l’équation ax 2 + bx + c = 0 se transforme en un carré d’un binôme en utilisant les formules des identités remarquables. Exemple

4x 2 −12x + 9 = 0 ⇔ ( 2x − 3) = 0 3 ⇔x= 2 2

{} 3 2

1.2 Forme générale : ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 Transformons l’équation du deuxième degré ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 de façon à pouvoir la résoudre par une technique connue. ax 2 + bx + c = 0 ⇔ ax 2 + bx = −c

Multiplions les deux membres par 4a, a ≠ 0

⇔ 4a 2 x 2 + 4abx = −4ac ⇔ 4a 2 x + 4abx + b 2 = −4ac + b 2

Ajoutons b2 aux deux membres

⇔ (2ax + b)2 = b 2 − 4ac

Le membre de gauche est un trinôme carré parfait ; c’est une équation binôme

 admet deux solutions si b 2 − 4ac est positif.  Cette équation  admet une solution unique si b 2 − 4ac est nul.  2  n'admet aucune solution réelle si b − 4ac est négatif. 78 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Ainsi, l’équation s’écrit

Théorie

Nous notons cette expression b 2 − 4ac par la lettre grecque D (delta)(6). (2ax + b)2 = Δ

« Si D > 0, nous obtenons

2ax + b = Δ ou 2ax + b = − Δ −b + Δ −b − Δ ou x = 2a 2a

Synthèse

⇔x= « Si D = 0, nous obtenons

Exercices

(2ax + b)2 = 0 b ⇔x=− 2a « Si D < 0, l’équation n’admet aucune solution dans . Une vision géométrique ∀a ∈ 0 ,b,c ∈

Activités

L’expression b 2 − 4ac joue donc un rôle discriminant(5) pour les équations du deuxième degré. Elle permet de déterminer a priori si l’équation va admettre deux solutions, une seule solution ou n’en avoir aucune.

ax 2 + bx + c = 0 b c⎞ ⎛ ⇔ a⎜ x 2 + x + ⎟ = 0 ⎝ a a⎠

−c b Puisque a ≠ 0 , cela revient à résoudre x 2 + x = a a Comme le problème est résolu de façon géométrique, x, a et b représentent des longueurs et sont donc strictement positifs, et c est négatif. Cette équation pourrait se traduire par la phrase « Un carré plus un multiple de son côté est égal à un nombre. » Géométriquement, nous avons un gnomon coloré dont l’aire est formée du carré rouge d’aire x2 des deux rectangles bleus d’aire 2  b  et du carré jaune d’aire  b  2  x    2a  2a La somme de toutes ces figures nous donne un grand carré d’aire 2 b  x +   2a 

b 2a

b x 2a

b 2a

b x 2a

⎛ b⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ 2a

−c b x = , il suffit d’ajouter a 2a 2  b  aux deux membres de l’égalité pour obtenir d’une part,   2a b l’aire du grand carré de côté  x +  et d’autre part,  2a 

En revenant à l’équation x 2 + 2

(5) Discriminant : qui établit une séparation, une discrimination (source : Petit Robert). (6) Remarque : l’expression b 2 − 4ac est aussi appelée réalisant et notée r (rhô).

79 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

c  b c b 2 −4ac + b 2 − +  = − + 2 = a  2a  a 4a 4a 2

Exercices

Synthèse

Théorie

b −4ac + b 2 On a  x +  =  2a  4a 2

Comme nous travaillons avec des aires, b 2 − 4ac est strictement positif

Nous résolvons une équation binôme b b 2 4ac x+ = 2a 2a

b + b 2 4ac 2a

b − b 2 − 4ac x+ = 2a 2a x=

b b 2 4ac 2a

Seule la solution positive sera acceptée dans ce cas-ci. De ce qui précède se dégage une méthode utilisée en pratique pour résoudre l’équation du deuxième degré ax 2 + bx + c = 0 . 1) Calculer le discriminant Δ = b 2 − 4ac 2) Écrire les solutions en fonction du signe de D Si D > 0

Si D = 0

−b + Δ −b − Δ ou x = 2a 2a

x=−

Si D < 0

b 2a

l’équation n’a pas de solution dans .

Fonction r et le calcul de ∆ Encoder la formule D = B2 – 4AC Q j (D) = a / (B) d p 4O a z (A) O a a (C)

Introduire via la touche r les valeurs de a V, b V et c V La calculatrice vous donne le résultat pour le discriminant delta de l’équation du deuxième degré, mémorisé dans D. Prenons comme équation 2x2 – 5x + 1 = 0

;

Pour calculer les solutions de l’équation, demander le calcul a p a B p L d a j (D) R2 O a z (A) V, vous obtenez la première solution.

80 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités Théorie

Pour la deuxième solution, utiliser le pavé des flèches $pour revenir au calcul précédent et changer le p, en se plaçant derrière ce signe, , en + devant S V

−b + Δ −b − Δ peuvent être utilisées également lorsque D = 0. ou x = 2a 2a b Elles sont alors toutes les deux égales à x = − 2a Cette solution est dite solution double ou racine double. Les solutions x =

Exercices

Exemples

Soit à résoudre x 2 − 3x − 10 = 0 a)

Déterminons les coefficients a, b, c.

a = 1, b = −3, c = −10

Calculons le discriminant.

Δ = (−3)2 − 4 × 1 × (−10) = 49

Précisons le cas rencontré (D > 0 , D = 0 , D < 0 ).

Deux solutions car D > 0

Déterminons la ou les solution(s) éventuelle(s).

x= ou x=

Déduisons l’ensemble des solutions.

Vérifions à l’aide d’un graphique(7).

Synthèse

Remarque

−(−3) − 49 3 − 7 = = −2 2 2 −(−3) + 49 3 + 7 = =5 2 2

S = {−2,5} racine

2 -4

0 -2 0 -2 -4 -6

racine

-8 -10 -12

(7) La fonction du deuxième degré sera détaillée et étudiée dans la seconde partie de ce chapitre.

81 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

Soit à résoudre x 2 − 3x + 10 = 0 a) Déterminons

Théorie

les coefficients a, b, c.

Calculons le discriminant.

Δ = (−3)2 − 4 × 1 × 10 = −31

Précisons le cas rencontré (D > 0 , D = 0 , D < 0 )

Pas de solution réelle car D < 0

Synthèse

a = 1, b = −3, c = 10

Déduisons l’ensemble des solutions. Vérifions à l’aide d’un graphique.

S=∅ 14

12 10 8

Exercices

6 4 2 0 -2 0 -2

3) Soit à résoudre

−x 2 + 4x − 4 = 0 a) Déterminons les coefficients a, b, c.

a = −1, b = 4, c = −4

Calculons le discriminant.

Δ = (4)2 − 4 × ( −1) × (−4) = 0

Précisons le cas rencontré (D > 0 , D = 0 , D < 0 ).

Une solution unique car Δ = 0

Déterminons la ou les solution(s) éventuelle(s).

Déduisons l’ensemble des solutions. Vérifions à l’aide d’un graphique.

−4 =2 2 × ( −1)

S = {2} 4

racine

2 -2

0 -2

-4 -6 -8

Remarques

« Si les coefficients a et c sont de signes opposés, alors l’équation admet toujours deux solutions. En effet, Δ = b 2 − 4ac est nécessairement positif. « Le calcul de D est inutile pour les équations particulières.

82 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

1.3 Somme et produit des solutions d’une équation du deuxième degré

Preuve Considérons l’équation du deuxième degré ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 dans le cas où Δ ≥ 0 −b + Δ −b − Δ Ses solutions sont x1 = (Celles-ci sont égales si D = 0) et x 2 = 2a 2a Calculons la somme et le produit de ces solutions. Somme des solutions S = x1 + x 2 =

−b + Δ −b − Δ + 2a 2a

−b + Δ −b − Δ × 2a 2a

−2b 2a

b2 − Δ 4a 2

−b a

Produit des solutions P = x1 . x 2

−b a

Synthèse

Lorsque l’équation ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 admet deux solutions distinctes ou confondues, −b leur somme S = x1 + x 2 = a c leur produit P = x1 . x 2 = a

Exercices

Proposition 3

Théorie

1.3.1 Formules de la somme et du produit des solutions

b 2 − (b 2 − 4ac ) 4a 2

4ac 4a 2

c a

Remarque

La condition Δ ≥ 0 peut se traduire par S 2 − 4P ≥ 0. En effet, S 2 − 4P =

b 2 4c b 2 − 4ac − = ≥0 a2 a2 a

Exemples 1)

Soit l’équation 2 x 2 − 3x − 7 = 0

a = 2, b = −3, c = −7,

−7 − ( −3) 3 = et P = 2 2 2

65 >0 4 Donc, l’équation admet deux solutions.

S2 − 4P =

83 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

Soit l’équation

Théorie

−1 2 x + 2x − 3 = 0 2

−2 −1 , b = 2, c = −3 S = −1 = 4 2 2

−3 =6 −1 2

S2 – 4P = –8 < 0

Synthèse

Donc, même si nous pouvons écrire les valeurs de S et de P, l'équation n'admet pas de solution.

1.3.2 Applications 1.3.2.1 Vérifier si deux nombres sont les solutions d’une équation du deuxième degré

Exercices

Exemple

Lorsque nous avons résolu l’équation x 2 − 3x − 10 = 0 , nous avons trouvé comme solutions, x = 5 ou x = −2 . −(−3) =3 1 −10 = −10 Le produit des solutions P = ( −2 ) × 5 = −10 correspond à P = 1 La somme des solutions S = −2 + 5 = 3 correspond à S =

1.3.2.2 Trouver les solutions d’une équation du deuxième degré(8) Exemple

Dans l’équation x 2 − 3x − 10 = 0 , la somme vaut S = 3 et le produit vaut P = −10 . La condition S 2 − 4 P = 49 > 0 est bien rencontrée, nous avons deux solutions. Or, le nombre –10 se décompose de plusieurs manières en un produit de deux nombres entiers x1 et x2 : x1

–1

–10

à rejeter

–5

–10

–3

à rejeter

–10

–9

à rejeter

–2

–10

Conclusion

solutions recherchées

Pour que la somme soit égale à 3, il faut prendre −2 et 5. Ce sont les solutions de notre équation.

(8) Souvent lorsque quand a = –1 ou a = 1. Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

1.3.2.3 Connaissant une des solutions d’une l’équation du deuxième degré, en déduire l’autre sans calculer D.

Déterminons la somme (ou le produit) des solutions pour déduire l’autre solution de l’équation :

Synthèse

3 est solution de l’équation 3x 2 − 4 x + 3 = 0 . 3 3 dans cette équation : Il suffit de remplacer x par 3 2  3 1 3 3 −4 + 3 = 3 −4 3 + 3=0  3 3 3  3  Vérifions que

Théorie

Exemple

soit

3 4 4 3 4 3 3 3 3 + x2 = ⇔ x2 = − = − = = 3 3 3 3 3 3 3 3

soit

3 3 3 . x2 = ⇔ x2 = = 3 3 3 3

Nous pouvons conclure que l’autre solution est

Exercices

Nous avons

1.3.2.4 Les deux nombres qui ont pour somme S et pour produit P sont les solutions de l’équation x2 – Sx + P = 0. En effet, soit deux nombres x1 et x2 dont la somme est S et le produit est P. Ces deux nombres sont solutions de l’équation ( x − x1 )( x − x 2 ) = 0

⇔ x 2 − x 2 x − x1 x + x1 x 2 = 0

⇔ x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0

⇔ x 2 − Sx + P = 0 L’intérêt de cette application est de générer facilement des équations à partir des solutions. Retenons

x 2 − Sx + P = 0

avec

S = x1 + x 2 et P = x1 . x 2

Exemple

Soit à trouver deux nombres a et b tels que a + b = 2 et ab = −4 « Ces deux nombres existent si S 2 4 P > 0 2 + 16 = 18 > 0 2 « Il suffit dès lors de résoudre l’équation x + 2 x − 4 = 0 En utilisant la méthode générale, nous trouvons D = 18

Les nombres cherchés sont donc a =

− 2 −3 2 − 2 +3 2 = −2 2 et b = = 2 2 2

85 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

1.4 Factorisation du trinôme du deuxième degré Considérons le trinôme du deuxième degré ax 2 + bx + c où a ≠ 0.

Synthèse

Théorie

Premier cas : D > 0 L’équation ax 2 + bx + c = 0 admet donc deux solutions x1 et x2, racines du trinôme. b c  ax 2 + bx + c = a  x 2 + x +   a a

Alors,

= a ( x 2 − Sx + P ) où S est la somme des racines et P le produit des racines.

ax 2 + bx + c = a ( x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 . x 2 )

Ainsi,

= a ( x 2 − x1x − x 2 x + x1 x 2 )

Exercices

= a ( x ( x − x1 ) − x 2 ( x − x1 ))

= a ( x − x1 )( x − x 2 ) Deuxième cas : D = 0

L’équation ax 2 + bx + c = 0 admet une solution unique x 0 , la racine double du trinôme. En exploitant le résultat du cas précédent avec x 0 = x1 = x 2 , nous obtenons ax 2 + bx + c = a ( x − x 0 )

Troisième cas : D < 0 L’équation ax 2 + bx + c = 0 n’admet pas de solution réelle. Le trinôme n’a donc pas de racine. Il est non factorisable. En résumé Si D > 0

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 )( x − x 2 )

Si D = 0

ax 2 + bx + c = a ( x − x 0 )

Si D < 0

ax 2 + bx + c est non factorisable.

Exemples 1)

Soit à factoriser 2 x 2 + 5 x − 7 D = 81

Les racines sont 1 et

−7   2 x 2 + 5 x − 7 = 2 ( x − 1)  x −   2

−7 2

= ( x − 1)( 2 x + 7 )

Soit à factoriser −8 x 2 + 8 x − 2 D=0 La racine est 1 2 2 1  −8 x 2 + 8 x − 2 = −8  x −   2 = −2( 2 x − 1)

86 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

1.5 Équations se ramenant à une équation du deuxième degré

Technique de résolution En utilisant les méthodes de factorisation ou les identités remarquables et les principes d’équivalence, l’équation se transforme en une équation de type produit nul dont les facteurs sont du premier et/ou du deuxième degré. Exemples 1)

x 4 + 32 x 2 = 12 x 3

⇔ x 2 ( x 2 −12x + 32 ) = 0

Mise en évidence du facteur commun

⇔ x 2 = 0 ou x 2 −12x + 32 = 0

Règle du produit nul

⇔x =0

D = 16

ou x = 8 ou x = 4

S = { 0,4,8 }

Exercices

⇔ x 4 −12x 3 + 32x 2 = 0

Synthèse

Pour résoudre des équations d’un degré supérieur à 2, l’idée fondamentale est la suivante : réduire le degré supérieur à 2 à un produit d’expressions du premier ou(9) du deuxième degré. Cette technique de réduction utilisant la factorisation nous permettra de résoudre l’équation du départ en nous basant sur un théorème important de l’algèbre, celui du produit nul.

Théorie

1.5.1 Équations se ramenant à un produit de facteurs du premier ou du deuxième degré

x 3 − 2 x 2 + x − 12 = 0

Cherchons une racine évidente du polynôme P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x − 12 parmi les diviseurs du terme indépendant : div(−12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. P (1) = 1 − 2 + 1 − 12 ≠ 0 P ( 2 ) = 8 − 8 + 2 − 12 ≠ 0 P ( 3) = 27 − 18 + 3 − 12 = 0 Donc 3 est racine du polynôme et donc solution de l’équation. Poursuivons la résolution en utilisant le schéma de Hörner : 1 3 1

−2 3 1

1 3 4

−12 12 0

Un graphique illustre ce résultat :

Nous pouvons en déduire que P ( x ) = ( x − 3) ( x 2 + x + 4 ) Il reste à déterminer les solutions de l’équation.

( x − 3 )( x 2 + x + 4 ) = 0

⇔ x =3

-4

-2

y 3 0

-2 -4

racine

-6

x 3 − 2x 2 + x −12 = 0 ⇔

-8

x2 + x + 4 = 0

-10

Δ = −15

-12

pas de solution

-14

S = {3}

-16

En mathématique, le « ou » inclusif, a le sens de « et/ou ».

(9)

87 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités Théorie Synthèse Exercices

1.5.2 Équations fractionnaires Technique de résolution 1. Écrire les conditions d’existence (CE) : une fraction existe si et seulement si son dénominateur ne s’annule pas. 2. Mettre toutes les fractions sur un dénominateur commun (le plus petit commun multiple). 3. Ramener l’équation à une équation plus simple en appliquant les principes d’équivalence. 4. Vérifier si les solutions sont compatibles avec les conditions d’existence. 5. Écrire l’ensemble des solutions. Exemples 1)

x + 3 x − 3 2 x + 30 + = x − 3 x + 3 x2 − 9

x − 3 ≠ 0  CE:  x + 3 ≠ 0  2 x − 9 ≠ 0

2x + 30 ( x + 3)2 ( x − 3)2 ⇔ + = ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)

x ≠ 3   x ≠ −3 ( x − 3)( x + 3) ≠ 0 

Réduction au dénominateur commun

⇔ ( x + 3) + ( x − 3) = 2x + 30

En tenant compte des conditions d’existence et par le principe d’équivalence (voir Les acquis en algèbre, 2.2, p. 14)

⇔ x 2 + 6x + 9 + x 2 − 6x + 9 = 2x + 30

Distributivité

⇔ 2x 2 − 2x −12 = 0

Réduction des termes

⇔ x2 − x − 6 = 0

D = 25

x1 = 3 ou x 2 = −2

Nous constatons que la solution x1 = 3 est rejetée dans les conditions d’existence

Donc, S = {−2} 2)

x ≠ 3   x ≠ −3

x 2 − 4x + 2 =2 x 2 − 4x + 3

CE : x2 – 4x + 3 ≠ 0 D = 4, x ≠ 3 et x ≠ 1

⇔ x 2 − 4x + 2 = 2( x 2 − 4x + 3)

Produit des moyens = produit des extrêmes

⇔ −x 2 + 4x − 4 = 0

Simplification

⇔ −( x − 2) = 0

Identité remarquable

⇔x=2 La solution n’est pas rejetée dans les conditions d’existence, donc S = {2}.

88 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

1.5.3 Équations bicarrées

Technique de résolution En posant t = x 2 , c’est-à-dire en effectuant un changement de variable, l’équation se transforme en at 2 + bt + c = 0 , t ≥ 0. C’est une équation du deuxième degré en l’inconnue t que nous pouvons résoudre avec les méthodes habituelles en n’oubliant pas d’écrire les solutions finales pour l’inconnue x.

Synthèse

Une équation bicarrée est une équation du type ax 4 + bx 2 + c = 0 , où a, b, c sont des nombres réels et a ≠ 0.

Théorie

Définition 2

Soit à résoudre 2 x 4 − 7 x 2 − 4 = 0 . « En posant t = x 2 (t ≥ 0 ) , nous obtenons l’équation du deuxième degré en t : 2t 2 − 7t − 4 = 0 −1 dont les solutions sont t = ou t = 4 . 2 « Revenons à l’inconnue x, nous avons à résoudre deux équations binômes :

Exercices

Exemple

−1 équation impossible (la solution négative pour t est à écarter ) 2 b) t = x 2 = 4 ⇔ x = 2 ou x = −2

a) t = x 2 =

« L’ensemble des solutions est S = {−2,2}.

1.6 Résolution de problèmes du deuxième degré 1.6.1 Problème 1 Reprenons le problème 2 de la partie III de l’activité 1 : Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse surpasse un des côtés de l’angle droit de 2 cm et l’autre côté de 1 cm. Déterminer les dimensions de ce triangle. « Choix de l’inconnue : Soit x la mesure de l’hypoténuse. x > 0 x

es côtés de l’angle droit mesurent donc respectivement L x − 2 et x − 1 Ces mesures étant strictement positives, x > 2.

x–2 x–1

« Mise en équation : x 2 = (x − 2)2 + (x −1)2

Pythagore

⇔ x 2 = x 2 − 4x + 4 + x 2 − 2x +1 ⇔ x 2 − 6x + 5 = 0 « Résolution de l’équation : = 16 x = 5 ou x = 1 « Conclusion : Les mesures des côtés du triangle sont 5 cm, 3 cm et 4 cm. (L’autre valeur trouvée pour x doit être rejetée car x doit être strictement supérieur à 2). 89 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités

1.6.2 Problème 2 Reprenons le problème 3 de la partie III de l’activité 1 :

« Choix de l’inconnue : soit x le côté du petit carré. x > 0 « Mise en équation : En observant que l’aire de la bordure est égale à l’aire du grand carré moins l’aire du petit carré, nous pouvons écrire :

4 − x 2 = x 2 ⇔ 2x 2 = 4 ⇔ x 2 = 2

Exercices

Synthèse

Théorie

Un jardinier désire planter des tulipes et des narcisses dans un parterre carré dont le côté mesure 2 mètres, il trace au centre, un carré plus petit de façon à ce que l’aire centrale soit la même que l’aire de la bordure. Quelle est la largeur de la bordure ?

« Résolution de l’équation : 2m

x = − 2 ou x = 2

« Conclusion : Comme x doit être positif, la mesure du côté du petit carré est Nous en déduisons que la largeur de la bordure vaut

2 m.

2− 2  2 m. = 1− 2 2  

90 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités Théorie Synthèse Exercices

Exercices pour expliciter 1 Équation du deuxième degré Exercice 1 Parmi les équations suivantes, cocher celles qui peuvent être résolues sans utiliser le discriminant D. Série B

Série A ☐☐ ☐☐ ☐☐ ☐☐ ☐☐ ☐☐ ☐☐

2x 2 − 3 = 0 ( 2 x − 3)( x + 1) = 0 2x 2 + 3 = 0 2x 2 − 9x + 9 = 0 −2 x 2 + 4 x = 96 −2 x 2 + 4 x = 0

☐☐ ☐☐ ☐☐ ☐☐ ☐☐ ☐☐ ☐☐

x 2 + 2x = 0

−5 x 2 − 4 x = −270 2x 2 + 9 = 0 x 2 + 6x + 9 = 0 x ( x + 3) = 0 2 x 2 − 13x + 15 = 0 ( 2x − 5)( x 2 − 7 x + 11) = 0 −5 x 2 − 4 x + 1 = 0

Exercice 2 Pour chacune des équations suivantes, calculer le discriminant D et en déduire le nombre de solutions. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

10 x 2 + x − 3 = 0 ( x − 4 )2 = −5 x 2 − 2x + 3 x 2 − x − 2 = ( 9 x + 1)( x + 7 ) 8x 2 + x − 1 = 0 2 − 10 x 2 − 3x = 0 −9 x 2 − 5 x + 9 = 0

7. 8. 9. 10. 11. 12.

6 + 2x − 2x 2 = 0 x + 6x 2 − 4 = 0 7x 2 − 7x − 6 = 0 −8 x 2 + 8 x − 7 = 5 x + 6 ( x + 3)2 = −8x 2 − x − 9 x 2 − 9 x + 3 = ( 6 x + 7 )( x + 7 )

Exercice 3 En utilisant les formules du produit et de la somme des solutions de l’équation du deuxième degré, déduire celles-ci. 1. x 2 − 5 x + 6 = 0

6. x 2 + 6 x + 8 = 0

2. x 2 − 5 x + 4 = 0

7. x 2 − x − 6 = 0

3. x 2 − 4 x − 21 = 0

8. x 2 − 2 x − 8 = 0

4. x 2 − 2 x − 15 = 0

9. − x 2 + 4 x − 4 = 0

5. 2 x 2 − 8 x − 10 = 0

10. −3x 2 − 12 x + 15 = 0

Exercice 4 Déterminer si possible deux réels dont la somme est S et le produit P lorsque : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

S = 1 S = 11 S = 7 S = 12 S = –1 S = 20 S = 2a + 1

et et et et et et et

P = −6 P = 28 P = –18 P = 35 P = –42 P = 91 P = a2 + a − 2

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

S = 3 3 et S = –3 et S = 9 et S = 0 et S = 4 et S = –13 et S = a + b −1 et

138 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

P=6 P = –18 P = 14 P = –25 P = –45 P=0 P = ab − b

Sélectionner les propositions vraies : Deux réels dont on donne la somme S et le produit P sont solutions de l’équation : 1. x 2 + Sx + P = 0 2. x 2 − Sx + P = 0 3. x 2 − Sx − P = 0 4. ( x − S )( x − P ) = 0 5. 2 x 2 − 2Sx + 2 P = 0 Exercice 7 Pour les équations ax 2 + bx + c = 0 , les signes de D, de la somme et du produit des solutions peuvent donner des informations sur le nombre de solutions ainsi que leur signe. Tirer une conclusion sur les solutions dans les cas suivants. 1. D > 0 , P < 0 , S > 0

6. D = 0 , P < 0 , S < 0

2. D > 0 , P = 0 , S < 0

7. D > 0 , P < 0 , S = 0

3. D = 0 , P > 0 , S < 0

8. D > 0 , P = 0 , S = 0

4. D > 0 , P < 0 , S < 0

9. D = 0 , P = 0 , S = 0

Activités Théorie Synthèse

Exercice 6

Exercices

Paul prétend que le trinôme 5 x 2 − 2 x − 1 − 5 admet deux racines distinctes de signes opposés. Comment pouvez-vous vérifier cette affirmation sans calculer les racines ?

Exercice 5

5. D > 0 , P > 0 , S > 0 Exercice 8 Remplacer les « ? ». 2 1. x − ? + 2 = ( x − 1)( x ? ? )

1 2. 4 x − 4 x + 1 = ?  ?−   2 2

? 1   3. ? + 5 x − 1 = −6  x −   x −   2  ? 2 4. 2 x + x − ? = ?( x − 1)( ? x + 3)

9 5. x 2 + x + 2 = ( x + ? )( x + ? ) 2 6. ? x 2 − ? x + 4 = ( 3x − ? )

139 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités Théorie Synthèse Exercices

Exercice 9 En s’aidant de la représentation graphique (incomplète) associée à chaque polynôme, factoriser les expressions suivantes : 1. p ( x ) = − x 3 + 4 x 2 − 22 x − 68 50 y 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -1 -5 0 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 -50 -55 -60 -65 -70

-2

2. p ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 + 1 y 4

x 2

0 0

3. p ( x ) = x 3 − 4 x 2 − 7 x + 10

4. p ( x ) = − x 3 + 8 x 2 − 21x + 18

8 4

7 6

5 4

3 2

0 -2

-1

0 -1 -2

0 -1

-1

140 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

1. 3x 2 − x = 0

11. x 2 − 25 = 0

2. 2 x 2 − 1 = 0

12. 4 x 2 + 3 = 0

3x 2 − 3 2 x = 0

13.

(

)

2 +1 x 2 −

(

)

2 −1 x = 0

1 4.  x + 1 = 4 2  3 5. 2 x − 4 x 2 + 2 x = 0

15. x 3 + x 2 − 4 x − 4 = 0

6. ( x 2 − 4 ) − x 2 + 4 x − 4 = 0

16. ( 2 x + 3)( x − 1) = (1 − x )( 4 x − 5 )

7. ( 3x − 1)2 + 9 = 0

17. 3( x − 2 )2 = 2 ( x − 2 )

8. 4 z 3 + 9z = 12z 2

18. ( 3x + 1) + 17 = 0

14. 9 ( x − 1) = 4 2

9. 4 ( 3 p − 1) = 9 (1 − 2 p ) 2

10. x 2 − 16 − 3( x + 4 ) = 0

19. 2 x 2 + x − ( 2 x + 1) = 0 2

Activités Théorie

Résoudre les équations suivantes en utilisant les techniques de factorisation.

Synthèse

Exercice 35

Exercices

1 Équation du deuxième degré

Exercices pour appliquer

20. ( 2 x − 3) − 2 ( 2 x − 3) + 1 = 0 2

Exercice 36 Résoudre les équations du deuxième degré suivantes : Série 1 1. x 2 + x − 2 = 0

11. x 2 − 6x + 8 = 0

2. x 2 + 2x − 15 = 0

12. x 2 − 6x − 16 = 0

3. 2x 2 − x − 6 = 0

13. 6x 2 + x − 1 = 0

4. 9x 2 + 12x − 5 = 0

14. x 2 − 4x + 2 = 0

5. 4x 2 − 12x + 7 = 0

15. 4x 2 − 12x + 13 = 0

6. x 2 − 6x + 9 = 0

16. −3x 2 + 6x − 3 = 0

7. −x 2 + 10x − 23 = 0

17. −4x 2 − 16x − 16 = 0

8. x 2 + 2x + 2 = 0

18. −5x 2 − 20x − 23 = 0

9. x 2 + 2x − 4 = 0

19. 7x 2 − 49x − 126 = 0

10. 5x 2 + 30x + 45 = 0

20. 5x 2 − 10x + 7 = 0 157 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Activités Théorie Synthèse Exercices

Série 2 1. 1 − 2x 2 = 0

11. 2 + 4x 2 = 0

2. −5x 2 = 0

12. −x 2 − 8x − 18 = 0

3. x 2 + 4x + 4 = 0

13. 4x 2 − 32x + 63 = 0

4. 12x − 3x 2 − 12 = 0

14. x ( −2x + 8 ) = 9

5. 8x + 4x 2 + 3 = 0

15. 5 + 9x − 2x 2 = 0

6. 5x 2 + 44 = 30x

16. x ( x − 3) = 10

7. ( x − 1)( 2x − 1) = 3

17. 1 + 2x 2 + x = 0

8. −5 − x 2 = 0

18. −3x 2 + 3 = 0

9. 20x = 2x 2 + 47

19. 7x + 20x 2 = 6

10. ( 2x − 11)(1 − x ) = 7

20. −8(10 − x ) = x 2 − 100

Série 3 1. ( −10x − 5 )( 6x − 1) = 10( x − 1) 2.

5 2 15 x + x −8=0 2 4

16 2 8 x − x +1 = 0 9 3

12. 12 − 5 2x = x 2

(

3. 4x 2 − 4 2x − 1 = 0 4.

11.

)

13. −7 x − 3 = 0

81 2 81 81 x − x+ =0 100 50 100

14. ( 2x − 1) = 2 − x 2 2

15. 6x 2 − 6 2x + 3 = 0

5. 10x + x 2 + 3 = 0 6.

1 2 5 x − 11 − x = 1 2 2

16. −0,5x 2 + 3x − 9,5 = 0

11 2 x − 5x = 4 4

17. ( x + 2 )( x + 1) = 6 − ( x − 1)

8. ( 2x − 1) − ( x + 1)( 2x + 3) + 12 = 0 2

18.

11x 2 +19x = 12 2

x ⎛ x 1⎞ 1 1 5 19. −0,16x 2 − 0,64x + 3,36 = 0 + = ( x − 2 )( x + 1) + ( x + 2 ) − ⎝ ⎠ 2 2 3 2 2 12

10. 3x 2 + 5x = 2x 2 − 2x + 4

20. 2x 2 − x +

9 =0 16

158 Actimath à l’infini 4 • 4UAA5 – Deuxième degré

Fonctions de référence

Les fonctions de référence La fonction racine carrée La fonction cubique La fonction racine cubique La fonction valeur absolue La fonction inverse Transformées de fonctions de référence ƒ(x) + k, k × ƒ(x), ƒ(x + k), ƒ(kx), |ƒ(x)| Modéliser une situation, un problème à l’aide du graphique d’une fonction

4UAA4

Connaître et Expliciter «« Tracer le graphique d’une fonction de référence. «« Associer un type de fonction de référence à une situation donnée. «« Identifier la relation de réciprocité qui unit les fonctions x → x 2 et x → x , x → x 3 et x→ 3 x. «« Interpréter graphiquement les définitions de croissance, décroissance, extremum, parité.

Appliquer «« Apparier des graphiques de transformées de fonctions de référence et des expressions analytiques et justifier. «« Trouver l’expression analytique d’une transformée d’une fonction de référence à partir de son graphique. «« Tracer le graphique d’une transformée d’une fonction de référence. «« Résoudre algébriquement et graphiquement des équations du type f(x) = k où f est une transformée d’une fonction de référence.

Transférer et Modéliser «« Modéliser une situation par une transformée d’une fonction de référence pour en tirer des informations.

Activités

Activité 1 – Rappelons-nous : relations et fonctions A. Considérons les ensembles

est un réel inférieur au réel

est un réel strictement supérieur au réel

est un réel qui a le même signe que le réel

est un réel qui a la même partie entière que

est un réel égal au réel

Synthèse

Théorie

Les relations suivantes sont-elles des fonctions de A vers B ?

1) Exprimer par une phrase la relation entre ces deux ensembles donnée par le diagramme de Venn(1) ci-dessous ? A

Exercices

B. Soient deux ensembles A = {1,2,3,4,5} et B = {0,1,11,21,111,2013,1127 512}

• 0

1 •

• 1

2 •

• 11

3 •

• 21 • 111

4 •

• 2013

5 •

• 1 127 512

2) Cette relation est-elle une fonction ? Justifier. C. Les données apparaissant dans les tableaux suivants définissent-elles une fonction ? Pourquoi ? 1) Valeur de départ Valeur d’arrivée

0 2

1 4

2 6

1 8

0 10

x y

0 6

1 6

2 9

3 10

D. Les expressions suivantes établissent une relation entre les variables x et y. Quelles sont celles pour lesquelles la variable y peut être considérée comme une fonction de x ? 1) 2) 3) 4) 5) 6) (1) Ou « Diagramme sagittal ».

205 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités

E. Parmi les graphiques suivants, lesquels sont ceux d’une fonction ? 1.

Théorie

Exercices

Synthèse

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1

1 -3

-2

3. 6

-3

-2

-1

-2

-1

0 -1

-3

-2

-4

-3

-5

-4

-1

1 -5

-2

-4

-3

-2

-1

0 -1

-3

-4

-3

-2

-1

0 -1

1 -5

-3

-2

-1

0 -1 -2 -3

206 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

Exercices pour expliciter Exercice 1 1. Repérer les graphiques de fonctions. Justifier vos choix. a)

-2

-1

4 3 2

-1

-2

-4

-1

-3

-2

-1

-1 -2

-1

2 1

1 0

-1

1 -1

-2

-3

-2

-1

-2

-3

-3 f

y 2

-2

-1

-3

-2

-1

-3

-2

-1

-2

0 -1

y 3

1 0

x -3

-2

-1

0 -1

-1

-3

-1

-2

y 2

-1

-3

1 0

-2

-1

-2

-1

-3

-2

2. Pour chacune des fonctions représentées, déterminer le domaine de définition, l’ensembleimages et les racines. 248 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

f(0)

Racine(s)

f(2)

Parité

a) b) c) d) a)

3 4 2 3 1 2 -2

-3

-2

-1

Activités Théorie

im f

Synthèse

dom f

Exercices

Lorsque le graphique est celui d’une fonction, compléter le tableau suivant :

Exercice 2

-2

-1

-3

-2

-1

0 -1

x -2

-1

-1 -2 -2 -3

249 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

1. Parmi les graphiques ci-dessous, indiquer celui qui correspond au récit suivant : « Un promeneur part de son domicile, marche pendant 3 heures, s’arrête pendant une heure et retourne chez lui en bus. » (A)

Distance parcourue (en km)

(B)

Durée (en heures)

(D) Distance parcourue (en km)

(C)

Durée (en heures)

Distance parcourue (en km)

Activités Théorie Synthèse Exercices

Exercice 3

Durée (en heures)

Distance parcourue (en km)

(F) Distance parcourue (en km)

(E)

Durée (en heures)

2. Donner lorsque c’est possible une interprétation des autres graphiques. 3. Sachant que le promeneur marche à une vitesse moyenne de 6 km/h, compléter le graphique choisi en (1) par une graduation correcte de l’axe vertical.

250 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Le total mensuel n’est pas 100, car il y a aussi des gens sans opinion ou indécis. Soient f la fonction qui, à chaque mois x associe le pourcentage d’opinions favorables, d la fonction qui, à chaque mois x associe le pourcentage d’opinions défavorables et . s la différence des opinions (le solde) 1. Indiquer le mois où il y a eu le plus d’opinions favorables et celui où il y a eu le plus d’opinions défavorables. 2. a) Ajouter une ligne au tableau ci-dessus avec les valeurs de s. b) Représenter graphiquement la fonction s (nous supposerons qu’entre deux valeurs, les variations ont été régulières). c) Sur quelles périodes la fonction a-t-elle été positive ? croissante ?

Activités Théorie

Synthèse

Mois Opinions favorables Opinions défavorables

Exercices

Le tableau ci-dessous donne, en pourcentage, la cote de popularité d’un homme politique relevée à la fin de chaque mois d’une année :

Exercice 4

d) On note i(x) le nombre des indécis ou sans opinion. Calculer i(1), i(5), i(10). Exprimer i(x) en fonction de f(x) et de d(x). Exercice 5 Voici le tableau de variations d’une fonction f définie sur l’intervalle x Variations de f(x)

1 4

2,5



. 5



–1



1. Donner l’image de 1 par f, l’image de 2,5 par f, l’image de 4 par f et l’image de 5 par f. 2. Donner l’antécédent de −1 , 3, 1 et de 4 par f. 3. Esquisser le graphique d’une fonction qui pourrait représenter la fonction f.

Exercice 6 Voici le tableau de variations d’une fonction f définie sur l’intervalle x Variations de f(x)

−1 –4



. 5



−2

1. Dessiner une courbe qui pourrait représenter la fonction f. 2. Combien de solutions l’équation f(x) = 0 admet-elle ? Quelles sont ces solutions ? 251 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

3) Indiquer le signe de f en complétant le tableau ci-dessous. x Signe de f(x)

–1

Exercice 7 Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes : 1. f (x) = 0 2. f (x) ≤ 0 3. f (x) > −1

-1

-2

-1

-2

-3

Exercice 8 Voici des graphiques de fonctions. Compléter le tableau : dom f a) b) c) d) 252 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

-1

-3

-2

-1

-1 f

-2

-1

0 -2

-1

-2

-3

Activités Théorie

Synthèse

-2

Exercices

-1

-2

Le graphique ci-contre représente la course de deux joggeurs Aline et Brieuc qui partent en même temps du village pour se rendre à la ville par la même route. Laquelle de ces propositions correspond au graphique ?

Distance parcourue

Exercice 9 (CREM) Ville

(A) La route monte du village à la ville. (B) Aline est toujours devant Brieuc.

Aline

Brieuc

(C) Brieuc zigzague d’un côté à l’autre de la route. (D) Aline arrive la première à la ville. (E) Brieuc court plus vite que Aline. (F) Aline court à vitesse constante. Village

Durée

253 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

Exercice 10 Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions dont la représentation graphique est donnée ci-dessous : 5

-5

-4

-3

-2

-1

-5

-4

-3

-2

-1

6 4

2 -6

1 -2

-1

-3

-4

0 -1 0 -1

-5

-4

-3

-2

-1 0 -1

-2 -3

-2

Exercice 11 1. Les graphiques des fonctions représentées ci-dessous admettent-ils un centre de symétrie ? un axe de symétrie ? Si oui, lequel ? 2. Quelle est la parité de ces fonctions ? a)

9 8

7 6

5 2

4 3

1 f -3

-2

-1

0 -1

1 0 -3 -2 -1 0 -1

254 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-2

-3

f) f

0 -2

-1

-2

-3

-1

-3 -4

Activités

-2

2 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1

Théorie

Synthèse

y 2

Exercices

-4

-3

-2

-1

4 f

-2

255 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

Exercice 12 Compléter le graphique de la fonction suivante sachant que celle-ci est : 1. paire. 2. impaire. y 3 2 1 0 -6

-5

-4

-3

-2

-1

-1 -2

Exercice 13 1. Compléter le tableau de variations suivant sachant que f est paire. x

0 32





2. Compléter le tableau de variations suivant sachant que f est impaire. x

0 0



−12

256 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence



(C) La relation entre le volume d’eau contenu dans un récipient et la masse de cette eau. (D) La relation entre le volume d’eau contenu dans un récipient et la masse de l’ensemble.

(E) La relation entre l’aire d’un cube et son volume.

Exercice 15 (Olympiades, Éliminatoires, midi, 1997) Lequel des graphiques suivants correspond à la phrase suivante : « Marc et Pascal ont parcouru l’un et l’autre le même trajet; Marc est parti après Pascal, ne s’est pas arrêté en chemin et est arrivé avant lui » ? (A)

(B)

(C)

Activités

(E)

(D)

Théorie

(B) La relation entre la longueur du côté d’un carré et l’aire de celui-ci.

Synthèse

(A) La relation entre la longueur du côté d’un rectangle et le périmètre de celui-ci.

Exercices

Que peut représenter le graphique ci-contre ?

Exercice 14 (Olympiades, Demi-finale, midi, 1996)

Exercice 16 (Olympiades, Éliminatoires, midi, 1998) Lequel des cinq graphiques ci-dessous traduit le mieux l’énoncé suivant : « Le prix du chocolat augmente encore, mais de moins en moins » ? (C)

temps

(D)

temps

(E)

temps

prix

(B) prix

prix

(A)

temps

257 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

Exercice 17 Les récipients suivants ont la même hauteur et la même capacité. Ils sont remplis successivement avec un robinet à débit constant.

(A)

(B)

(C)

(E)

(D)

(F)

Les graphiques ci-dessous représentent, pour chacun des récipients, la hauteur de la colonne d’eau dans le récipient en fonction du temps écoulé depuis le début du remplissage.

Temps écoulé

Hauteur de la colonne d'eau

Temps écoulé

258 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Hauteur de la colonne d'eau

Temps écoulé

Hauteur de la colonne d'eau

Associer à chaque récipient, la courbe qui lui correspond.

Temps écoulé

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

(G)

(H)

(I)

(J)

(K)

(L)

2 f

0 -4

-3

-2

-1

x -1

-1

-2

Activités

y 2

3 2

-4

-3

-2

-1

0 -1

Théorie

(A)

Synthèse

Associer chaque graphique à la fonction qu’il représente.

Exercices

Exercice 18

Exercices pour appliquer

-2

-1

-3

-2

-4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1

-2

-1

-3

-2

259 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

y 3

0 -2

-1

-2

-1

-2

10.

0 -1

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1

11.

12.

0 -1

y 3

-2

-1

-2

-3

x 0

-1

-4

260 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

(C)

(D)

(E)

(F)

(G)

(H)

1 f

-4

-3

-2

-1

-2

-1

-2

-1

0 -1

-2

-3

-1

-4

-1

-4

-3

-2

-1

Activités

f 0

-1

-2

-3

Théorie

(B)

Synthèse

(A)

Exercices

Associer chaque graphique à la fonction qu’il représente.

Exercice 19

1 f

-4

-3

-2

-1

-1 -2 -3

-4

-3

-2

-1

-1 f

-2 -3

261 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-2

-3

Exercice 20 Associer chaque domaine et chaque ensemble des racines à une fonction dont l’expression analytique et le graphique sont donnés ci-dessous : f1 ( x ) = x 5

−x x −1

–1

–2

–3 –4

1 1

–2

2 1

–2 –1 0 –1

f7 ( x ) =

x 1− x

−1 x −1

f8 ( x ) =

f7 4

2 1

–1

–2

x 2

x −1 x

4 1

–1

f6 ( x ) =

f4 ( x ) =

x 1

x x −1

–2 –1 0 –1

x −1 x

4 3

f5 ( x ) =

2 1

f3 ( x ) =

f 2 ( x ) = x x −1

–3

–2

(A) domf = ]−∞,1[ et Rac f = ∅

(E) domf = ! 0 et Rac f = {1}

(B) domf = [ 0,+∞[ et Rac f = {0}

(F) domf = [1,+∞[ et Rac f = {0,1}

(G) domf = ]1,+∞[ et Rac f = ∅

(D) domf = ! \ {1} et Rac f = {0}

(H) domf = ]1,+∞[ et Rac f = {1}

262 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

–1

x→

x−2 9− x2

1 –4

–3

–2

–1

–5

x 1

–4

–3

–2

–1

–2

–3

10 2− x

x→

–4

–3

–2

–1

f –10

–15

Activités

x2 − 4 2x 3 + 5x 2 − x − 6

–20

Théorie

3x − 2 4x + 7

Synthèse

b) En travaillant sur les expressions analytiques de ces fonctions, vérifier les résultats obtenus.

Exercices

a) En observant le graphique des fonctions suivantes, déterminer i) le domaine de définition ii) l’ensemble des racines.

Exercice 21

–2

–5

x → 3x

x→

x +1 x

y 15

2 5

x 0

–4

–3

–2

–1

263 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

x 2 − 5x + 6 x→ 3x − 2

9. y

x +1 x

x→

1 –5

–4

–3

–2

–1

–2

–3 –5

–4

–3

–2

–1

10.

x → 3x 2 + x −14

x→

2 4x 2 − 9 y

2 2

1 –4

–3

–2

–1

1 f

–1

–3

–2

–1

Exercice 22 Une fonction f définie sur ]−2,+∞[ admet le tableau de variations suivant : x

–2

+∞



–2



+∞



Décider pour chacune des affirmations suivantes si elle est vraie, fausse ou indécidable. 1. f (0) ≥ −3 2. f (3) = 1 3. f (0) ≤ f (6) 4. 2 a trois antécédents. 5. 5 < x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 )

264 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

3 4. f ( x ) = x + x

1 –4

–3

–2

–1

x 1

5 –3

–1

–2

–1

–2

–1

–3

–2

2. f ( x ) = x +1

4 2 5. f ( x ) = x + x − 2

f 4

2 –3

–3

–2

4 –2

x3 − x 3. f ( x ) = x3

6. f ( x ) = 3 x +1

–2

–1

–3

–1

Activités

–4

Théorie

3 1. f ( x ) = x +1

Synthèse

b) Déterminer si ces fonctions sont paires, impaires ou quelconques.

Exercices

a) Déterminer les symétries des graphiques des fonctions ci-dessous.

Exercice 23

–1

0 –1 –2

–4

–3

–2

–3

–1

x 1

–1 –2

265 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

3 7. f ( x ) = x − 4x

9. f ( x ) = 4x 2 − 9 6

4 2 –8

–6

–4

–2

–2 –3

–4

–2

–1

–6

–2

10. f ( x ) = 1+ x + 1− x

8. f ( x ) = 2x + 3 6

x –4

–2

–2 –3

–4

–2

–1

x 1

Exercice 24 Considérons les fonctions suivantes. Indiquer, pour chacun des graphiques suivants, la fonction qui lui correspond. Un des graphiques n’a pas de correspondance, quelle est l’expression analytique de la fonction représentée ? 1.

266 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

2 1

-3

-2

-1

1 x

-2

-1

(D)

(E)

1 x

-2

-1

-2

(F)

y 2

1 x

-2

-1

1 x

Activités

-1

-2

-1

-2

1 x

-1

(C)

Théorie

Synthèse

Exercices

(B)

(A)

1 x

-1

-2

(G)

y f

(H)

2 1

-2

-1

1 x

–2

–1

-1

–1

-2

–2

1 x

267 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

(I)

(J)

2 1

-2

-1

–2

–1

-1

–1

-2

–2

Exercice 25 Soit le graphique d’une fonction f définie sur

. y 3

f 2 1

-3

-2

1 y= x

-1

-1 -2 -3

Esquisser le graphique de la fonction g définie par 1.

268 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

1 x

4 3 2

-1

1 -5

-4

-3

-2

-1

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1

-3

f10

-2

-1

0 -1

-1

-3

-1

1 -2

-1

-2

-4

-3

-5

-4

-1

-6

-5

-2

-1

1 -4

-3

-2

-1

0 -1

Activités

y 3

-3

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1

-2

x 5

f11

-3

-4

-5

-7

-2

-1

-2

-6

-2

-1

-2

-3

-2

-3

Théorie

Synthèse

Exercices

Déterminer l’expression analytique de chacune des fonctions correspondant aux graphiques cidessous en utilisant les points marqués. Préciser les étapes permettant leur construction à partir d’une fonction de référence.

Exercice 26

-1

0 -1

-1

f12

-1 -2

269 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

y y 1

4 3

-3

-2

-1

-6

-5

-3

-2

0 -1

-2

f13

y 2

1 0

-1

-2 0

-1

1 -2

-1

f15 0

-2

-3

f17

5 4

3 2 1

-2

-1

0 -1

-1

-2

-1

0 -1

-4

-3

-2

-1

0 -1

-2 -3 -4

-2

f23

-1

y f22

-2

f21

f20

-2

1 -2

0 -1

-3

f18

-3

-4

-3

f19

-2

f14

-1

-4

-3

f16

-2

-1

-3

-4

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

270 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

-4

-3

-2

-1

0 -1

f24

2. 3. 4.

f ( x ) = x3 − 2

Exercice 28 Tracer le graphique des fonctions suivantes en appliquant une ou plusieurs transformations du plan à l’une des fonctions de référence. Préciser chaque fois les transformations successives opérées. 1.

10.

11.

f (x )=3 x −2 −2

12.

f (x )=

Activités Théorie Synthèse

Exercices

Au départ de fonctions de référence déjà rencontrées, construire le graphique des fonctions suivantes :

Exercice 27

−1 ( 1− x )2 + 3 2

Exercice 29 La fonction f étant donnée, déduire les caractéristiques des fonctions associées. 1.

dom g = ?

2. Les racines de f sont 3 et 4.

Rack = ?

dom i = ?

271 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

Exercice 30 Pour chacune des fonctions dont l’expression analytique est donnée, associer chaque expression analytique à son graphique en recherchant pour quelles valeurs de x les expressions sont définies, pour quelle(s) valeur(s) de x les expressions s’annulent et quelle est la valeur de chaque expression pour x = 0 SÉRIE 1

(A)

(C)

(B)

(D) y

-3

-2

-1

-3

-2

-1

-2

-3

-4

y 4

-2 0

-1

-2

-1

-2

-3

272 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

-2

-1

-2 0

-1

-2

y f3

-1 1

-1

Activités

(D)

Théorie

(B)

Synthèse

(C)

Exercices

(A)

SÉRIE 2

-1

-2

-3

273 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Activités Théorie Synthèse Exercices

SÉRIE 3

(A)

(C)

(B)

(D)

(E)

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

-2

-3

-1

-4

-3

-2

-1

0 -1

f5 4 3 2 1

-3

-2

-1

-1 -2

274 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

f4 0

Représenter graphiquement la longueur d’un flétan en fonction de sa masse (le plus grand spécimen connu pèse 230 kg). Problème 2 Diverses règles sont utilisées pour déterminer le dosage pour enfant d’un médicament en pourcentage du dosage pour adulte. Ces règles sont données en fonction de l’âge t (en années) d’un enfant de 0 à 12 ans. Parmi ces règles, nous trouvons : « la règle de Young:

Activités Théorie Synthèse

Le rapport entre la longueur et la masse d’un flétan du Pacifique peut être donné par la formule où M est la masse en kilos et L la longueur en mètres.

Exercices

Problème 1

Exercices pour transférer

« la règle de Cowling: « la règle de Friend : où a est la dose pour adultes (en milligrammes). 1) Dresser un tableau pour les trois formules de 0 à 12 ans. 2) Si a = 100, représenter graphiquement les trois règles dans le même repère. 3) Pour quel âge les trois formules donneront-elles le même dosage ? 4) Pour quels âges la règle de Young produit-elle des dosages supérieurs à celle de Cowling ? À quel âge ces dosages diffèrent-ils le plus ? Quelle est alors la différence pour un dosage adulte de 10 mg ? Quel pourcentage du plus petit dosage, cette différence représente-t-elle ? Problème 3

La petite station balnéaire de Port-la-Nouvelle dans la région Languedoc-Roussillon est de plus en plus fréquentée. Aussi, pour satisfaire les vacanciers, le maire a-t-il décidé d’agrandir l’aire de jeu. Actuellement, cette aire a la forme d’un carré de 5 mètres de côté. Le responsable du projet propose d’allonger chacun de ses côtés pour lui donner la forme rectangulaire ci-après :

275 Actimath à l’infini 4 • 4UAA4 – Fonctions de référence

Index A

D E

abscisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 aire (formules) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 antécédent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 38

H combinaisons linéaires (méthode par) . . . . . . . . 22, 50 concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 94 connecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Horner (méthode de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 inégalité(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 principe d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 principe de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 principe de transitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 inéquation(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 impossible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 aux valeurs absolues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 résolution (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 64 intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

égalité principe d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 principe de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 ensembles différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 équation(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 bicarrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 impossible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 inconnue (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 réductible (au premier degré) . . . . . . . . . . . . . . . . 16 réductible (au deuxième degré) . . . . . . . . . . . . . . 87 résoudre (une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 solutions (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 trinôme carré parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 d’un produit, d’un quotient (principe) . . . . . . . 14

racine cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 tableau de variation (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 transformées (de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 variations (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 méthode de Horner (par) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 méthodes (de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 trinôme du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 croissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 domaine de définition (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . .38 du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 graphe (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 graphique (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 identique (identité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 image (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 racine (d’une) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

loi du reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 modélisation (problème de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

nombre trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

O P

Q R

optimisation (problème d’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104, 107 forme développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104, 107 forme factorisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 produit nul (règle du) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 des solutions d’une équation du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Pythagore (th. de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 réalisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

297 Actimath à l’infini 4

signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 d’un produit ou d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . 115 premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 tableau de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 somme (des solutions d’une équation du deuxième degré) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 substitution (méthode par) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 50 système(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 résoudre (un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Thalès (th. de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 trinôme du deuxième degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 loi du signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 volume (formules) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 variations (tableau de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Index des vignettes historiques Manuel A Bernoulli Jean

Bourbaki Nicolas

Brunelleschi Filippo

Manuel B

Cantor Georg

Descartes René

84, 219

Euclide

95, 260

Euler Leonhard

Héron d’Alexandrie

239 145

Horner William George

Leibniz Gottfried Wilhelm Peano Giuseppe

183 40

Penrose Roger

165

Pythagore

126

Recode Robert

Tchebychev Pafnouti Lvovitch

Tukey John

298 Actimath à l’infini 4