Ac math à l’infini
4
4
Livret d’exercices
n i =1
Ingrid t’Kindt-Demulder Frédérique Gérard Frédéric Pourbaix
ISBN 978-90-306-6751-3 554890
9 789030 667513
vanin.be
Livret d’exercices
f(x) d
v ∫ ) ( ⇔ α π AB rctan x (x) e α4 n i s f a 2 ∃ i d’exercices B A ∑ u f ' ( x ) R Livret ∉ B C f'( A u v ∃ ⇔ log a C f m o d ⇔ ∞ 1 ∞ − = α i u n i s v sin α e ∑ i a t c r a v . u 2 C tan α x AB 1 − = i 2π ⇔ arcsin x n a t 1 c − r a = α ⇔ i n i s R f(x) AB tan α u ⇔ m i l C f m o d ∃ dom f f' x x
n
Ingrid t’Kindt-Demulder Frédérique Gérard Frédéric Pourbaix
i =1
2
x
n
i =1
2
2
Z ∉ ACB x→ a
∞
n
v B i im f( A ∑ l a x n x→ i s c r a 1
Activités
Trigonométrie Activité 2 – Nombres trigonométriques
VA
N
IN
Fiches de travail
1. Construire un triangle rectangle ABC, d’hypoténuse [BC], tel que AB = 15 cm et AC = 6 cm
Exercices
Partie A − À l’origine : Thalès
2. Calculer la longueur de l’hypoténuse au dixième près.
Pour calculer la longueur de l’hypoténuse, appliquons le théorème de Pythagore : 2
2
Ainsi, CB = 16,16
on
= 15 2 + 6 2 = 261
s
2
CB = AB + AC
iti
3. Construire sur le segment [BC] les points B1, B2, B3, B4, B5 définis par : BB1 = 2 cm, BB2 = 4 cm, BB3 = 6 cm, BB4 = 8 cm et BB5 = 10 cm.
Ed
4. Construire les points A1, A2, A3, A4, A5 projetés orthogonaux des points B1, B2, B3, B4, B5 sur la droite AC.
205 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
Activités
5. Quelle est la nature du triangle A1B1C ? Justifier. Le triangle A1B1C est rectangle en A1 étant donné que le point A1 est le projeté orthogonal
Exercices
(angle droit) de B1 sur le segment [AC].
Les triangles A2B2C, A3B3C, A4B4C et A5B5C possèdent la même propriété car ils sont construits de la même manière. Pour chaque triangle AiBiC , nommer le côté [BiC] et le côté [AiC]. Dans les triangles AiBiC, le côté [BiC] est l’hypoténuse et le côté [AiC] est le côté de l’angle
6. Compléter le tableau suivant : Mesure du segment [AiC] Mesure du segment [BiC] en mm en mm
AiC arrondi au centième BiC
IN
Fiches de travail
! ). ! (ou opposé à l’angle B droit adjacent à l’angle C
i=1
N
i=2
VA
i=3 i=4
s
i=5
on
a) Que remarquez-vous (aux incertitudes de mesure et aux arrondis près) ?
Ed
iti
AiC dépendent-ils des longueurs des côtés du triangle dans lequel nous nous b) Les rapports BiC plaçons ? AC Les rapports i sont constants (Thalès) et ne dépendent pas des longueurs des côtés Bi C du triangle dans lequel nous nous plaçons.
c) Quel est l’élément commun dans le triangle ABC et dans les triangles AiBiC ? !. L’élément commun au triangle ABC et aux triangles AiBiC est l’angle aigu C d) Que pouvez-vous affirmer à propos des rapports
AiC ? BiC
Connaissant les relations trigonométriques dans un triangle rectangle, nous pouvons AC !. affirmer que les rapports i = cos C Bi C
206 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
Mesure du segment [AiB] en mm
Activités Ai Bi arrondi au dixième BiC
Ai Bi arrondi au dixième AiC
i=1
Exercices
7. Compléter le tableau suivant :
Fiches de travail
i=2 i=3
IN
i=4 i=5
a) Que remarquez-vous (aux incertitudes de mesure et aux arrondis près) ?
N
Nous obtenons toujours les mêmes rapports : 0,9 et 2,4
Ai Bi Ai Bi et dépendent-ils des longueurs des côtés du triangle dans lequel nous AiC BiC nous plaçons ?
VA
b) Les rapports
Ai Bi Ai Bi et sont constants (triangles semblables) et ne dépendent pas Ai C Bi C des longueurs des côtés du triangle dans lequel nous nous plaçons.
s
Les rapports
on
c) Quel est l’élément commun dans le triangle ABC et dans les triangles AiBiC ?
iti
!. L’élément commun au triangle ABC et aux triangles AiBiC est l’angle aigu C
Ed
d) Que pouvez-vous affirmer à propos des rapports
Ai Bi Ai Bi et ? BiC AiC
Connaissant les relations trigonométriques dans un triangle rectangle, nous pouvons affirmer que les rapports
Ai Bi ! et Ai Bi = tan C !. = sin C Bi C Ai C
207 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
Activités Exercices
Ed
iti
on
s
VA
N
IN
Fiches de travail 208 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
Activités
Date :
Fiche de travail n° 1 – Olympiades Mathématiques Belges Cocher la bonne réponse :
1) Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés vaut 338. La longueur de l’hypoténuse est alors :
A
B
C
D
E
9
13
15
18
Impossible à déterminer avec ces seules données.
⎧ a + b + c = 338 ⎨ 2 2 2 ⎩a = b + c 2
2
IN
2
2
⇒ 2a = 338 2
⇔ a = 169
Ed
⇔ x = 57
3) Dans un triangle rectangle, si l’hypoténuse est deux fois plus longue qu’un des côtés de l’angle droit, que vaut l’angle opposé à ce côté ? sin α =
69°
77°
50°
60°
iti
⇔ 2x = 114
57°
on
x
33°
s
x – 24
21°
VA
2) Que vaut la mesure x de l’angle indiqué dans la figure ?
N
⇔ a = 13
( x – 24 ) + x = 90
Exercices
Classe :
Fiches de travail
Nom, prénom :
a 2a
=
45°
40°
30°
1 2
α = 30°
Fiche de travail n° 1 – Olympiades Mathématiques Belges • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
209
Activités Exercices
Classe :
4) Deux rubans de largeur 1 se croisent suivant un angle α. L’aire (grisée) qu’ils couvrent conjointement vaut :
sin α
1
sin α
1 1− cos α
Date : 1 sin 2 α
1 (1− cos α )2
1
1 α
IN
Fiches de travail
Nom, prénom :
VA
N
(base × hauteur) = c × 1 = c 1 sinα = c 1 sinα
⎧ a +12 + c = 36 ⎧ a = 24 – c ⇔⎨ ⎨ 2 2 2 2 ⎩ a = 144 + c ⎩( 24 – c ) = 144 + c 2
⇒ 576 – 48c + c = 144 + c ⇔ 48c = 432 ⇔c=9
Ed
iti
on
s
5) Dans le triangle ABC, rectangle en A, AC = 12 et le périmètre vaut 36. Que vaut AB ?
210
Fiche de travail n° 1 – Olympiades Mathématiques Belges • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
2
Classe :
Activités
Nom, prénom :
Date :
Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux ?
Justifier. 1. Si 90° < α < 180°, alors sin α est positif.
2. Si 90° < α < 180°, alors tan α est négatif.
–1
1
1
–1
1
–1
11
11
1
–1
0
1
on
s
00
4. Si 270° < α < 360°, alors tan α est négatif.
VA
3. Si 270° < α < 360°, alors cos α est négatif.
N
–1
–1 –1
0
IN
0
Fiches de travail
1
Exercices
Série I
iti
–1 –1
Ed
5. Si sin α < 0 et cos α > 0, alors α est dans le deuxième quadrant.
–1 –1
–1
6. Si sin α < 0 et tan α > 0, alors α est dans le deuxième quadrant.
11
00
11
11
–1 –1
–1 –1
α
00
11
–1 –1
α est dans le troisième quadrant.
Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
211
Activités Exercices
Nom, prénom :
Classe :
7. Si cos α = 0,7, alors α peut être un angle du quatrième quadrant.
Date :
3 8. Si α sin α = , 4 alors α peut être un angle du quatrième quadrant.
11
11
–1 –1
00
0,7
11
–1 –1
–1 –1
11
00
–1 –1
IN
Fiches de travail
3 4
α peut être un angle du premier ou du deuxième quadrant.
11
–1 –1
N
10. Si sin α = –0,7, alors α peut être un angle du deuxième ou du troisième quadrant.
VA
9. Si tan α = –0,7, alors α peut être un angle du quatrième quadrant.
11
00
11
–1 –1
0 0
–0,7
s
–0,7 –1 –1
α peut être un angle du troisième ou du quatrième quadrant. y 1
Ed
iti
on
–1 –1
11
x –1
0
–1
212
Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
1
Activités
Date :
Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux ? Série II Justifier. 1. Si 90° < α < 180°, alors cos α est positif.
2. Si 90° < α < 180°, alors tan α est positif.
1
–1
1
1
–1
–1
1
s
1
1
–1
on
0
4. Si 270° < α < 360°, alors tan α est positif.
VA
3. Si 270° < α < 360°, alors sin α est négatif.
N
–1
–1
iti
–1
Ed
5. Si sin α < 0 et cos α < 0, alors α est dans le deuxième quadrant.
–1 –1
1
0
–1
6. Si sin α < 0 et tan α > 0, alors α est dans le troisième quadrant.
11
00
1
0
IN
0
Exercices
Classe :
Fiches de travail
Nom, prénom :
11
11
–1 –1
–1 –1
00
0,7
11
–1 –1
α
Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
213
Classe :
1 7. Si cosα = , 3 alors α peut être un angle du quatrième quadrant.
Date :
8. Si sin α = –0,7, alors α peut être un angle du troisième quadrant.
1
–1
0 0
1
1 3
1
–1
0 0
1 –0,7
–1
2
0
–1
1
–1
1
0
1 1
0 –1
on
–1
1 0,7
s
1
0
1
2
1
–1
10. Si sin α = 0,7, alors α peut être un angle du deuxième ou du troisième quadrant.
VA
9. Si tan α = 2, alors α peut être un angle du quatrième quadrant.
IN
–1
N
Activités Exercices Fiches de travail
Nom, prénom :
–1
–1
iti
–1
α peut être un angle du premier
α peut être un angle du premier
ou du deuxième quadrant.
Ed
ou du troisième quadrant. y 1
x –1
0
–1
214
Fiche de travail n° 2 – Vrai ou faux • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
1
Fiche de travail n° 3 Série I Simplifier autant que possible les expressions suivantes en supposant qu’elles soient définies : 1. cos 2 α + cos α . sin α . tan α
cos 2α + cos α . sin α . tan α sin α = cos 2α + cos α . sin α . cos α
1 =1 sin 2 a
on
sin x + cot x . cos x cos x = sin x + . cos x sin x
sin 2 x + cos 2 x = sin x 1 = sin x
Ed
iti
3. sin x + cot x . cos x
s
VA
= sin 2 a .
N
sin 2 a(1 + cot 2 a)
2. sin 2 a (1 + cot 2 a )
IN
= cos 2α + sin 2α = 1
Activités
Date :
Exercices
Classe :
Fiches de travail
Nom, prénom :
4.
cosx 1 + sin x − 1 − sin x cosx
cos x 1 + sin x – 1 – sinx cos x
cos 2 x – (1 + sin x )(1 – sin x ) = (1 – sin x ) cos x = =
cos 2 x – (1 – sin 2 x )
(1 – sin x ) cos x
cos 2 x – 1 + sin 2 x =0 (1 – sin x ) cos x
Fiche de travail n° 3 • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
215
Série II Simplifier autant que possible les expressions suivantes en supposant qu’elles soient définies : 1. sin 2 α + cos α . sin α . cot α
sin 2α + cos α . sin α . cot α = sin 2α + cos α . sin α .
cos α sin α
(1 – sin a)(1 + sin a) =1 – sin 2 a
(1 + tan x )(1 – sin x ) 2
on
3. (1 + tan 2 x )(1 − sin 2 x )
s
VA
= cos 2 a
IN
= sin 2α + cos 2α = 1
2. (1 − sin a )(1 + sin a )
2
1 cos 2 x = 1 2 cos x
Ed
iti
=
4.
tan 2 x − sin 2 x 1 + tan 2 x
tan 2 x – sin 2 x 2 1+tan x tan 2 x – sin 2 x = 1 cos 2 x = tan 2 x cos 2 x – sin 2 x sin 2 x cos 2 x – sin 2 x 2 cos x = sin 2 x – sin 2 x = 0
=
216
Date :
Fiche de travail n° 3
N
Activités
Classe :
Fiches de travail
Exercices
Nom, prénom :
Fiche de travail n° 3 • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
Classe :
Activités
Nom, prénom :
Date :
Fiche de travail n° 4
Exercices
Série I Associer chaque formule à un ou plusieurs triangles ci-dessous. 2
B e
C
C
f
3
e
A f
A
f
B
d d
Fiches de travail
1
e
B
A
! 1) d 2 = e 2 + f 2 − 2ef cosB
VA
4)
! f 2 = d 2 + e 2 − 2decos A
on
iti
! 5) e 2 = f 2 + d 2 − 2 fd cos A ! sin B ! sinC ! sin A = = e d f
7)
! sin B ! sinC ! sin A = = d e f
8)
! sin B ! sinC ! sin A = = f e d
Ed
6)
s
! f 2 = d 2 + e 2 − 2decosC
3
! 2) e 2 = d 2 + f 2 − 2df cosB 3)
2
C
N
1
IN
d
9) Aire du triangle ABC =
! fe sinC 2
10) Aire du triangle ABC =
! fe sin A 2
Fiche de travail n° 4 • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
217
Activités
Classe :
Série II Associer chaque formule à un ou plusieurs triangles ci-dessous. 1
2
B e
C
C
f
3
e
A f
A
f
B
d d
e
B d
IN
A
2
3
N
1
! 2) e 2 = d 2 + f 2 − 2df cosB
3)
! f 2 = d 2 + e 2 − 2decos A
4)
! f 2 = d 2 + e 2 − 2decosC
on
s
VA
! 1) d 2 = e 2 + f 2 − 2ef cos A
! 5) e 2 = f 2 + d 2 − 2 fd cosB ! sinC ! sin A ! sin B = = d f e
7)
! sin B ! sin A ! sinC = = f e d
iti 6)
Ed 218
Date :
Fiche de travail n° 4
Fiches de travail
Exercices
Nom, prénom :
8) Aire du triangle ABC =
! df sin B 2
9) Aire du triangle ABC =
! fe sin B 2
10) Aire du triangle ABC =
! de sin A 2
Fiche de travail n° 4 • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
C
Activités
Classe :
Date :
Fiche de travail n° 5(1) D
Voici le trapèze ABCD dont les bases [AB] et [CD] mesurent respectivement 20 cm et 8 cm (échelle non respectée). ! mesure 60° et que Sachant que l’angle B BC = 15 cm , déterminer :
8 cm
Exercices
Série I C 15 cm
1) La longueur AC
60°
A
20 cm
2
IN
AC = 15 2 + 20 2 – 2 × 15 × 20 × cos 60° = 325 AC = 18 cm
! 2) L’amplitude de l’angle C ! sin C 1
B
Fiches de travail
Nom, prénom :
20 × sin 60° ⎞ = 73,9° ⎝ ⎠ 20 18 18 !=A ! car ils sont alternes-internes. Dans le triangle ACD : Remarquons que C 2 1 sin 60°
=
VA
!=A ! = 180° – 60° – 73,9° = 46,1° C 2 1
! = arcsin⎛ ⇔C 1
N
Dans le triangle ABC :
! =C ! +C ! = 120° . Ainsi, C 1 2
3) La longueur AD 2
s
AD = 8 2 + 18 2 – 2 × 8 × 18 × cos 46,1° = 188,3
on
AD = 13,7 cm
iti
! 4) L’amplitude de l’angle D
⎛ 8 2 + 188,3 – 18 2 ⎞ = 109,3° ⎝ 2 × 13,7 × 8 ⎟⎠
Ed
! = arccos D ⎜
! 5) L’amplitude de l’angle A
! = 360° – 120° – 60° – 109,3° = 70,7° A
6) L’aire du trapèze. Aire du trapèze =
1 2
× 15 ×
20 × sin 60° +
1 2
×
8 × 18 × sin 46,1° = 181,8 cm 2
(1) Exercices inspirés de questions types d’examens d’admission de l’ULg et de la FpMs. Fiche de travail n° 5 • page 1 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie
219
Activités Exercices Fiches de travail
Nom, prénom :
Classe :
Date :
Fiche de travail n° 5 Série II Voici le trapèze ABCD dont la base [BC] mesure 10 cm (échelle non respectée).
10 cm
B
! mesure 120°, Sachant que l’angle B que AB = 8 cm et que CD = 7 cm, déterminer :
C 7 cm
8 cm
60°
A
1) La longueur AC
D
2
IN
AC = 18 2 + 10 2 – 2 × 8 × 10 × cos 120° = 244 AC = 15,6 cm
! 2) L’amplitude de l’angle A
VA
N
⎛ 8 2 + 244 – 10 2 ⎞ ! = 33,6° Dans le triangle ABC : A2 = arccos ⎜ ⎝ 2 × 8 × 15,6 ⎟⎠ ! =C ! car ils sont alternes-internes Dans le triangle ACD : Remarquons que A 1
2
!=A ! = 180° – 120° – 33,6° = 26,4° C 2 1
s
!=A !+A ! = 60° A 1 2
on
! 3) L’amplitude de l’angle D Dans le triangle ADC :
7
=
! sin D 15,6
! = arcsin⎛ ⇔D ⎝
15,6 × sin 26,4° ⎞
iti
sin 26,4°
7
⎠
= 82,3°
Ed
! 4) L’amplitude de l’angle C
! = 180° – 82,3° – 26,4° = 71,3° C 1 ! =C ! +C ! = 71,3° + 26,4° = 97,7° C 1 2
5) La longueur AD 2
AD = 7 2 + 244 – 2 × 7 × 15,6 × cos 71,3° = 223 ou encore AD = 14,9 cm
6) L’aire du trapèze. Aire du trapèze =
220
1 2
× 10 ×
8 × sin 120° +
1 2
× 7 × 14,9 ×
sin 82,3° = 86,3 cm 2
Fiche de travail n° 5 • page 2 Actimath à l’infini 4 • 4UAA3 – Trigonométrie