Actimath à l'infini - 1re édition - Livre-Cahier 2e année - extrait by VAN IN

Actimath Ã lâ&#x20AC;&#x2122;infini

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ISBN 978-90-306-6867-1 559268

8 9 789030 668671

vanin.be

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Ph. Ancia M. Chevalier M. Colin P. Dewaele F. Huin A. Want

2 Livre-cahier MichaĂŤl Chevalier MarlĂ¨ne Colin Pascal Dewaele Fabrice Huin Aline Want Sous la coordination de et avec Philippe Ancia

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Composition d’Actimath à l’infini 2 Pour l’élève

Livre-cahier

Pour le professeur Guide méthodologique Livre numérique Actimath à l’infini 2 – Livre-cahier Auteurs :

Michaël Chevalier, Marlène Colin, Pascal Dewaele, Fabrice Huin et Aline Want sous la direction de et avec Philippe Ancia

Couverture : Mise en page :

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Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2015 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition, 7e réimpression 2019 ISBN 978-90-306-6867-1 D/2014/0078/108 Art. 559268/08

Introduction Voici ton nouveau manuel de mathématiques. Il s’inspire très fortement de l’ouvrage précédent et poursuit ainsi la collection Actimath à l’infini. Tu dois l’utiliser en classe et à la maison. Si tu l’exploites bien, les mathématiques te sembleront plus faciles. À travers ce manuel, tu pourras : • consolider l’usage des outils élémentaires introduits en première année; • construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles; • développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active. Tels sont donc les objectifs qui ont motivé notre travail. Les activités sont nombreuses et leur variété laisse une certaine liberté pédagogique à ton professeur. Ainsi que le programme nous y invite, nous avons, tout au long de ce manuel, alterné les travaux géométriques et les travaux numériques; chaque fois que cela était possible, nous avons utilisé simultanément les indispensables techniques des uns et des autres. Ce manuel comporte de très nombreux exercices complémentaires; tu dois faire ce que ton professeur te demande, mais, tu peux aussi t’entraîner seul ! Si tu éprouves des difficultés à en résoudre certains, ne te décourage pas, demande conseil à ton professeur, relis les activités s’y rapportant ainsi que la théorie figurant dans ton référentiel (Théorie du premier degré). N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (p. 303); il t’aidera à retrouver les mots importants. Une liste des principaux symboles mathématiques rencontrés en 1re et en 2e années te permettra de retrouver rapidement un symbole utile (p. 302). Ton professeur utilisera peut-être en classe le manuel numérique de ton Actimath à l’Infini 2. Tous les exercices animés que tu y verras sont disponibles sur ton compte digiportail. Tu pourras donc les refaire chez toi. Ces exercices seront renseignés dans ton cahier par un logo spécifique. Tu trouveras, sur la page précédente, ton code d’accès à ton compte digiportail. Bon travail avec Actimath à l’infini 2 ! Les auteurs

Mode d’emploi Ton livre, Actimath à l’infini 2, est divisé en quatorze chapitres, facilement repérables grâce aux petits onglets situés sur le bord extérieur et indiquant le numéro du chapitre. Ces chapitres sont eux-mêmes divisés en activités. Ton professeur choisira celles qui te permettront d’atteindre les objectifs fixés et il te donnera des conseils pour compléter ces fiches de travail. À la fin de chaque chapitre tu trouveras la théorie qui y correspond. En eﬀet, chaque fois qu’une nouvelle notion théorique sera mise en place, ton professeur te renverra à cette partie de livre-cahier. Tu remarqueras très vite que deux logos apparaissent régulièrement au fil des pages. Ils ont évidemment une signification particulière. Pendant une activité, si une notion peut (doit) être précisée ou formulée, ce logo t’indique la référence permettant de la retrouver dans la théorie.

Ce logo renseigne la présence sur ton compte digiportail d’exercices animés ou d’exercices inédits. Cela te permettra de t’exercer à domicile. Ton code d’accès se trouve au début de ce livre-cahier.

Chaque chapitre se termine par quelques feuilles légèrement colorées contenant une série d’exercices complémentaires. Ceux-ci sont classés en trois catégories. • Expliciter les savoirs et les procédures Selon les cas, tu devras illustrer un énoncé par un exemple ou un dessin, justifier certaines étapes d’un calcul, ... • Appliquer une procédure Ces exercices te permettront d’utiliser, d’appliquer de manière réfléchie les savoirs acquis. • Résoudre un problème Tu seras confronté à des situations nouvelles et inédites qui s’inscrivent toutefois dans le prolongement de celles exploitées lors des apprentissages. Le moment venu, ton professeur te dira quels exercices résoudre. Ton livre se termine par quelques pages d’exercices destinés à vérifier que tu maîtrises les compétences développées. Pour les résoudre, tu devras mettre en œuvre, en les organisant, des savoirs, des savoir-faire et des stratégies. Ils te prépareront à l’épreuve du CE1D à laquelle tu seras soumis fin du premier degré. Ton professeur utilisera peut-être en classe le manuel numérique de ton Actimath à l’Infini 2. Tous les exercices animés que tu y verras sont disponibles sur ton compte digiportail. Bon travail avec Actimath à l’infini 2 !

Table des matières Introduction

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Mode d’emploi

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Table des matières

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Puissances de nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Décodage et règles de priorité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Codage et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul de valeurs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissances de 10 et grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissances de 10 et petits nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Préfixes usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit de puissances de même base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissance d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 12 13 14 15 16 16 18 19 20 21 22 24

Exercices complémentaires Théorie

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27 99

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Chapitre 2 • Transformations du plan

Parfois étranges, ces transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Éléments caractéristiques des transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Construction de l’image d’une figure par une isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Image d’un point, d’une figure par une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constructions au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nouveaux invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés des transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constructions à l’économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eﬀets de certaines transformations sur les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iti

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8 Activité 9

5 9

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8 Activité 9 Activité 10 Activité 11 Activité 12 Activité 13

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Chapitre 1 • Puissances de nombres entiers

Exercices complémentaires Théorie

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34 35 36 37 41 42 44 45 47 50 103

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Division euclidienne : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Division euclidienne : exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Division euclidienne et fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Écriture littérale des nombres particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caractères de divisibilité par 3 et par 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nouvelle propriété de la divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plus grand commun diviseur (PGCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plus petit commun multiple (PPCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 58 60 61 63 65 66 67 69 72

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8 Activité 9 Activité 10

Activité 11 Activité 12

Lien entre PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PGCD et PPCM : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices complémentaires Théorie

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75 76 78 111

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Chapitre 4 • Axes et centres de symétrie

Activité 4 Activité 5 Activité 6

Lettres et chiﬀres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axes et centres de symétrie des figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axes et centres de symétrie, rotations invariantes des polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axes et centres de symétrie de figures particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axes et centres de symétrie au quotidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices de construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices complémentaires Théorie

83 84 85 88 89 90 90 92

Activité 1 Activité 2 Activité 3

.............................................................................

...........................................................................................

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Chapitre 5 • Fractions : première approche

Exercices complémentaires Théorie

Fractions dans la vie courante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Critères d’égalité de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Représentation de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Valeurs approchées et encadrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Comparaison de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6

.........................................................................

...........................................................................................

108 118

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Droites et types d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés des amplitudes des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critères de parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recherche d’amplitudes d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés : démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Somme des amplitudes des angles d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Angle extérieur d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Somme des amplitudes des angles d’un polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iti

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8

...............................................................................................................

Chapitre 6 • Angles

Exercices complémentaires Théorie

115

...........................................................................................

115 117 118 121 122 124 125 128 130 132 124

...............................................................................................................

Chapitre 7 • Opérations sur les fractions 137 Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8

Problème d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Somme et diﬀérence de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit de fractions et puissance d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symétriques d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quotient d’une fraction par une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Priorités des opérations et fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices complémentaires Théorie 6

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139 140 142 145 147 149 150 151 153 132

Chapitre 8 • Calcul littéral Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8 Activité 9 Activité 10 Activité 11

......................................................................................................

159

Bases du calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul littéral : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distributivité double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit de puissances de même base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quotient de puissances de même base - Simplification de fractions . . Puissance d’un produit et d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160 161 165 166 168 170 170 172 174 175 176

Exercices complémentaires Théorie

...........................................................................................

178 135

...............................................................................................................

Chapitre 9 • Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Distance par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distance par rapport à deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Positions relatives de deux cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère d’existence d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inégalité triangulaire : démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distance d’un point par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Positions relatives d’une droite et d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercices complémentaires Théorie

.........................................................................................................

Problèmes d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations du type x + a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Équations du type ax = b, = d, … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Équations du type ax + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations du type ax + b = cx + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Préparation à la résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iti

Activité 4

...........................................................................................

Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8 Activité 9 Activité 10

Exercices complémentaires Théorie

...........................................................................................

140 207 208 209 210 210 212 214 215 217 218 219 221 146

.................................................................................

227

Propriétés de la médiatrice : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés de la médiatrice : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Médiatrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés de la bissectrice : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés de la bissectrice : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bissectrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lieux géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228 229 231 234 235 236 238

Exercices complémentaires Théorie

202

...............................................................................................................

Chapitre 11 • Médiatrice et bissectrice Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7

184 185 187 190 192 193 195 198 201

...............................................................................................................

Chapitre 10 • Équations Activité 1 Activité 2 Activité 3

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8 Activité 9

...........................................................................................

...............................................................................................................

241 152

Chapitre 12 • Produits remarquables Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5

....................................................................................

245

Carré d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Carré d’une diﬀérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit de deux binômes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produits remarquables : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produits remarquables : quatre formules en une ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 249 251 254 256

Exercices complémentaires Théorie

...........................................................................................

261

Graphiques et proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grandeurs directement et inversement proportionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Agrandissements et réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Projections parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications de la proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262 264 267 269 272 274

Exercices complémentaires Théorie

............................................................

...........................................................................................

276 161

...............................................................................................................

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4

....................................................................................

Chapitre 14 • Traitement de données

Découverte d’un nouveau vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité, fréquence et pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valeurs centrales d’une série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison des valeurs centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................

281 282 283 284 286 289

Exercices complémentaires

166

...............................................................................................................

Exercices de compétences

295

........................................................................................................................................

303

iti

....................................................................................................

Ed 8

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6

Index

158

...............................................................................................................

Chapitre 13 • Proportions et projections parallèles

Théorie

257

h C

t e rs

u e vis

l u m

Tableaux de compétences Libre

Justifier les procédures de recherche d’un PGCD ou d’un PPCM. Calculer la valeur approchée d’un quotient. Encadrer un quotient. Rechercher un PGCD ou un PPCM. Résoudre un problème faisant appel à la division euclidienne. Résoudre un problème qui utilise un PGCD ou un PPCM.

Nombres rationnels

Confirmer ou infirmer un encadrement donné d’une fraction.

1 2 3 4 5 6

Nombres naturels

t i ap

s e l tip

3 re

Calcul littéral et équations

Officiel

Résoudre un problème simple modélisé par une équation de la forme ax + b = cx + d.

iti

Dénombrer

Résoudre des problèmes de dénombrement dans des contextes numériques et géométriques.

Ed 1

Structurer les nombres naturels à l’aide de la relation de la divisibilité 2 3 4 5

Déterminer le PGCD et le PPCM de deux nombres. Reconnaître des nombres premiers entre eux. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne. Formuler et utiliser la relation fondamentale : a = d . q + r avec r inférieur à d.

Découvrir les fractions à termes entiers 6 8 11

Représenter des fractions à termes entiers sur une droite graduée (axe). Simplifier les fractions. Donner la valeur approchée d’une fraction à une unité décimale près.

Résoudre des problèmes et représenter des données 26

Résoudre des problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue et à coefficients numériques.

Expressions littérales 29 35

Écrire des expressions littérales pour exprimer des propriétés caractéristiques des nombres d’un même ensemble ou d’une suite. Réduire une expression littérale en additionnant les termes semblables.

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Activité 1 • Division euclidienne : découverte

Chapitre 3

Le numéro figurant sur chaque billet de banque en euros est constitué de onze chiffres précédés d’une lettre indiquant par quel pays il a été imprimé (Z pour la Belgique, U pour la France, S pour l’Italie...). Pour vérifier que le numéro d’un billet est correct, il faut d’abord remplacer la lettre par un nombre représentant son rang dans l’alphabet (A = 1, B = 2, C = 3, ..., X = 24, Y = 25 et Z = 26). Ensuite, il faut effectuer la somme de ce nombre et des onze chiffres figurant sur ce billet. Le reste de la division de cette somme par 9 doit être égal à 8. a) Vérifie l’authenticité d’un billet de 10 € dont le numéro est X47771172641.

..................................................................................................................

.........................................................................................................

b) Le code U4203618743 figure sur un billet de banque. La saisie de ce numéro est-elle correcte ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

iti

c) Les deux billets ci-dessous sont authentiques. Malheureusement, ils ont été coupés et un élément du numéro a disparu. À toi de le retrouver.

..........................................................................................................

2. ..........................................................................................................

..........................................................................................................

...................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

a) Dans chaque cas, transforme le nombre de jours en semaines et en jours (mentalement ou avec la calculatrice). 16 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

87 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

31 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

91 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

46 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

171 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

...................................................................................................................................................

Chapitre 3

b) Quel est le nombre maximum de jours qui peut apparaître dans les transformations ci-dessus ?

c) Écris les différents calculs qui te permettent de transformer 3271 jours en semaines et en jours. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Dans chaque cas, transforme à l’aide de la calculatrice le nombre de jours en semaines et en jours, puis écris une égalité équivalente ne comprenant plus d’unités de mesure du temps. 1674 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3657 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours 6845 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

6845 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3657 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8764 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

8764 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9268 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

9268 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iti

1674 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

e) Complète le tableau en utilisant des nombres naturels.

p.111 A1-2

Dividende

Diviseur

109

137

202

120

Calcul

Quotient

Reste

Égalité

En désignant le dividende par a, le diviseur par d, le quotient par q et le reste par r, trouve une égalité reliant ces quatre nombres et exprime la condition sur le reste. ...................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Activité 2 • Division euclidienne : exercices

957 : 26

957 =

6857 : 124

6857 =

64 200 : 140

64 200 =

.....................................................................................................

...................................................................................................

................................................................................................

Complète le tableau ci-dessous. Dividende (a) Diviseur (d) a

Quotient (q)

Reste (r)

8 57

39 = 5 . 7 + 4

26 = 3 . 7 + 5

r<d

a=d.q+r

Eﬀectue les calculs ci-dessous en utilisant ta calculatrice et note la solution sous la forme d’une relation euclidienne.

Chapitre 3

Dans une division euclidienne, le dividende est 47 et le diviseur est 8. Quel est le reste ?

Dans une division euclidienne, le diviseur est 7 et le quotient est 5. Quels sont les dividendes possibles ?

iti

........................................................................................................................................................

Quels sont les nombres entiers inférieurs à 30 dont le reste de la division euclidienne par 6 est égal à 3 ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

58 ........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Quels sont les nombres dont la division euclidienne par 4 donne un reste égal au quotient ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Chapitre 3

Dans une division euclidienne, le dividende est 62 et le reste est 6. Quel est le quotient ? Envisage toutes les possibilités.

........................................................................................................................................................

Les 168 élèves de 1re et de 2e années participent à une rencontre sportive. Ils sont accompagnés de 7 professeurs.

........................................................................................................................................................

Combien de cars de 45 places sont nécessaires au transport de ces personnes ? ...............................................................................................................

...............................................................................................................

Combien de places restent inoccupées durant le trajet ? ........................................................................................................................................................

iti

Sur place, l’organisateur répartit de manière équitable les 168 élèves de l’école dans 21 équipes identiques. Combien y a-t-il d’élèves dans chaque équipe ?

..............................................................................................................................

L’organisateur aurait-il pu, avec les 168 élèves de l’école, constituer 22 équipes identiques ? Justifie. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Vingt-sept pirates décident de se partager leur dernier butin : 386 pièces d’or. John le Borgne, le plus âgé et le plus malin de ces pirates, dit à ses compagnons : « Partagez ces pièces d’or entre vous de manière équitable, je prendrai ce qu’il restera ». Détermine la part de chaque pirate ainsi que celle de John le Borgne. ...............................................................................................................

........................................................................................................................................................

59 ........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Activité 3 • Division euclidienne et fractions 1

a) Place, le plus précisément possible, la fraction

27 sur la droite graduée ci-dessous. 4

Chapitre 3

b) L’écriture « 27 : 4 = 6, reste 3 » est mathématiquement incorrecte. Transforme-la en utilisant successivement la relation euclidienne et les fractions. 27 = 4

= ........... +

27 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . .

c) Complète les égalités ci-dessous en faisant apparaître le quotient entier. = ........... +

26 = 7

96 = 23

= ........... +

42 = 6

77 = 12

= ........... +

238 = 17

= ........... +

s on

43 = 8

a) Place, le plus précisément possible, les fractions suivantes sur la droite graduée. 9 7

iti

102 20

47 17

35 8

127 18 7

2 5 9

b) Encadre ces mêmes fractions par deux naturels consécutifs. ...........

...........

102 < ........... 20

35 < ........... 8

...........

9 < ........... 7

127 < ........... 18

...........

47 < ........... 17

2 < ........... 5

...........

À l’aide de ta calculatrice, encadre les nombres naturels suivants par deux multiples de 6 consécutifs. ...........

< 737 < . . . . . . . . . . .

...........

< 2375 < . . . . . . . . . . .

...........

< 8978 < . . . . . . . . . . .

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Activité 4 • Écriture littérale des nombres particuliers

Suite 1

Suite 2

Suite 3

Suite 4

Rang

Suite 5

Suite 6

n+1

n+2

n+1

n+2

Écris une expression littérale simple … .........................................

iti

d’un multiple de 2 :

d’un multiple de 4 augmenté de 1 : d’un nombre pair : d’un carré :

................

...........................................

......................................................

d’un multiple de 5 :

.........................................

d’un multiple de 3 diminué de 2 : d’un nombre impair : d’un cube :

....................

.......................................

......................................................

de deux nombres consécutifs :

......................................................................................................

de trois nombres consécutifs :

.......................................................................................................

de deux nombres pairs consécutifs :

.............................................................................................

de deux nombres impairs consécutifs :

p.111 B

Rang

Chapitre 3

Complète les suites de nombres.

.........................................................................................

de deux multiples de 3 consécutifs :

.............................................................................................

de trois multiples de 4 consécutifs :

..............................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Résous les problèmes suivants et vérifie ta solution. La somme de deux nombres consécutifs vaut 95. Quels sont ces nombres ?

.........................................................................

La somme d’un nombre naturel, du double de celui-ci et de son triple vaut 204. Quel est ce nombre ?

.........................................................................

La somme de deux nombres impairs consécutifs vaut 156. Quels sont ces nombres ?

La somme de quatre multiples de 7 consécutifs vaut 266. Quels sont ces nombres ?

Chapitre 3

.........................................................................

iti

.........................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Activité 5 • Diviseurs et multiples Complète les phrases suivantes. 24 = 3 .

...........................

Pour justifier que 25 n’est pas un multiple de 3, j’écris que …

25 = 3 .

...........................

Pour justifier que 49 n’est pas divisible par 5, j’écris que …

49 =

................................

Pour justifier que 55 est un multiple de 11, j’écris que …

55 =

................................

Pour justifier que 227 n’est pas un multiple de 15, j’écris que …

227 =

Pour justifier que 91 est divisible par 7, j’écris que …

..............................

91 =

................................

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie par une égalité.

..........................................................................................................

25 est divisible par 7.

..........................................................................................................

9 est un diviseur de 27.

..........................................................................................................

25 divise 103.

..........................................................................................................

18 est un multiple de 6.

Chapitre 3

Pour justifier que 24 est divisible par 3, j’écris que …

222 est un multiple de 8.

..........................................................................................................

Sachant que n est un nombre naturel, détermine si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifie.

iti

..........................................................................................................

165 est un multiple de 3.

12n est un multiple de 6.

6n est un multiple de 4.

..........................................................................................................

3n + 6 est un multiple de 3.

..........................................................................................................

2n + 5 est un nombre pair.

..........................................................................................................

3n + 1 est un multiple de 3.

..........................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Démontre les affirmations suivantes. a) « La somme de deux nombres consécutifs est un nombre impair. » Vérifie cette affirmation si le premier nombre est … 9 ........................................

18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....................................................................................................................................................

Chapitre 3

Démontre cette affirmation. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

b) « La somme de trois nombres consécutifs est un multiple de 3. » Vérifie cette affirmation si le premier nombre est … 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 ........................................

Démontre cette affirmation.

....................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

c) « La somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4. » Vérifie cette affirmation si le premier nombre est … 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iti

5 ........................................

....................................................................................................................................................

Démontre cette affirmation.

...................................................................................................................................................

d) « Si on retire le troisième nombre d’une suite de cinq nombres consécutifs, la somme des quatre nombres restants est un multiple de 4. » Vérifie cette affirmation si le premier nombre est … 6 ........................................

21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

....................................................................................................................................................

Démontre cette affirmation. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Activité 6 • Caractères de divisibilité par 3 et par 9 1

84 312 est divisible par 9 car

.........................................................................................................

........................................................................................................................................................

Énonce le caractère de divisibilité par 9. ........................................................................................................................................................

Chapitre 3

........................................................................................................................................................

Justifie ce caractère de divisibilité en suivant la démarche ci-dessous. a) Après avoir complété les égalités suivantes, achève la phrase. ..................

99 est un multiple de 9 car 99 =

..............

999 est un multiple de 9 car 999 =

....................

9 est un multiple de 9 car 9 =

9999 est un multiple de 9 car 9999 = . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tout nombre dont l’écriture n’est composée que

.....................................................................

...................................................................................................................................................

b) Après avoir complété les relations euclidiennes suivantes, achève la phrase.

10 = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . . . . . 100 = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . +

...............

10 000 = 9 .

+ ................

...............

+ ................

........................................................................................................

iti

Toute puissance de 10 est

1000 = 9 .

...................................................................................................................................................

c) En utilisant la propriété précédente, montre que 5000 est un multiple de 9 augmenté de 5. 5 000 =

......................................................................................................................................

Énonce la propriété découverte : ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples d) Voici une décomposition du nombre 84 312. 84 312 = 80 000 + 4000 + 300 + 10 + 2 En utilisant cette décomposition et la propriété de la page précédente, complète les égalités suivantes. ........................................................................................................................

4000 = 9 . n +

.........................................................................................................................

300 = 9 . p +

.........................................................................................................................

10 = 9 . q +

.........................................................................................................................

2=9.s+

.........................................................................................................................

Chapitre 3

80 000 = 9 . m +

= 9 . (m + n + p + q + s) +

.............................................................................................

.........................................................................................................................

=9.x+

84 312 = 9 . m + . . . . . . . . . . . . + 9 . n + . . . . . . . . . . . . + 9 . p + . . . . . . . . . . . . + 9 . q + . . . . . . . . . . . . + 9 . s + . . . . . . . . . . . . .

....................................................................................................................................

Complète la phrase suivante.

...................................................................................

84 312 est donc bien divisible par 9 car

...................................................................................................................................................

Sur une feuille annexe, justifie, en utilisant la même démarche, que 7458 est divisible par 3.

iti

...................................................................................................................................................

Activité 7 • Nombres premiers entre eux 1

Dans la liste de fractions ci-dessous, retrouve les fractions qui peuvent désigner le même nombre. Note tes résultats sous forme d’égalités successives. 4 5

9 21

3 7

16 18

13 52

12 15

8 9

15 35

1 4

20 25

48 54

11 44

.......................................................................

Quelles sont les fractions irréductibles ? Pourquoi ne peuvent-elles pas être simplifiées ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Parmi les nombres 2 – 5 – 6 – 7 – 9 – 10 – 11, détermine ... a) les nombres premiers. ...................................................................................................................................................

b) les paires de nombres premiers entre eux. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Chapitre 3

...................................................................................................................................................

c) les nombres qui sont premiers avec 15.

...................................................................................................................................................

p.112 C1

...................................................................................................................................................

Dans chacune des lignes ci-dessous, barre les nombres qui ne répondent pas à la condition énoncée. Divisibles par 3

Divisibles par 4

Divisibles par 12

Divisibles par 2

Divisibles par 6

Divisibles par 12

iti

Activité 8 • Nouvelle propriété de la divisibilité

Vrai ou faux ? Si un nombre est divisible par 3 et par 4, alors il est divisible par 12.

........................................

Si un nombre est divisible par 2 et par 6, alors il est divisible par 12.

........................................

Tire une conclusion :

......................................................................................................................

........................................................................................................................................................

p.112 C2 ........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Pour vérifier qu’un nombre est divisible … par 20, on peut vérifier qu’il est divisible par

.................................................................................

par 45, on peut vérifier qu’il est divisible par

.................................................................................

par 30, on peut vérifier qu’il est divisible par

.................................................................................

par 120, on peut vérifier qu’il est divisible par 3

...............................................................................

Justifie les affirmations ci-dessous en décomposant le diviseur en un produit de facteurs premiers entre eux. Envisage toutes les possibilités.

Chapitre 3

par 72, on peut vérifier qu’il est divisible par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285 est divisible par 15.

........................................................................................................................................................

1224 est divisible par 36.

........................................................................................................................................................

iti

........................................................................................................................................................

8340 est divisible par 30. ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Activité 9 • Plus grand commun diviseur (PGCD) 1

Une boîte de rangement a la forme d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions intérieures sont 12 cm, 20 cm et 28 cm. On veut la remplir avec des cubes aussi grands que possible dont l’arête est mesurée par un nombre entier de centimètres. a) Détermine la longueur de l’arête d’un de ces cubes ainsi que le nombre maximum de cubes que l’on peut ranger dans la boîte.

...................................................................................................................................................

Chapitre 3

...................................................................................................................................................

b) Représente ta solution.

Détermine mentalement le PGCD des nombres suivants.

p.113 D1a

...........................................

PGCD (14 , 15) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PGCD (22 , 33) =

...........................................

PGCD (8 , 24) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iti

PGCD (24 , 36) =

PGCD (13 , 39) =

...........................................

........................................

PGCD (50 , 75 , 125) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PGCD (6 , 8 , 16) =

PGCD (12 , 35) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comment es-tu certain(e) que chaque nombre trouvé est le PGCD ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Pour quels exercices pouvais-tu utiliser une méthode plus rapide que de comparer les ensembles de diviseurs pour déterminer le PGCD ? Pourquoi ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

p.113 D2 ........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Rends irréductibles les fractions ci-dessous ... le plus rapidement possible.

en décomposant le numérateur et le dénominateur de chaque fraction en un produit de facteurs premiers.

8 6

Chapitre 3

250 350 108 180

225 525

Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser le numérateur et le dénominateur de cette ..............................................................................................................................

fraction par leur

Comment, à partir de leur décomposition en facteurs premiers, peux-tu trouver le PGCD de deux nombres ? ........................................................................................................................................................

p.113 D1b

Détermine le PGCD des nombres suivants. 144

540

168

iti

120

........................................................................................................................................................

120 =

...............................................................

540 =

...............................................................

144 =

...............................................................

168 =

...............................................................

PGCD (120 , 144) =

.........................................

PGCD (540 , 168) =

.........................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

160

225

525

.................................................................

225 =

48 =

.................................................................

75 =

.................................................................

525 =

...............................................................

....................................

PGCD (225 , 75 , 525) =

..................................

....................................

..................................

PGCD (60 , 48 , 160) =

À l’occasion de la fancy-fair, le cuisinier de l’école confectionne de grandes pizzas rectangulaires. Pour leur cuisson, il utilise une platine de 108 cm sur 84 cm. Détermine le nombre minimum de parts carrées identiques qu’il peut obtenir en découpant une de ces pizzas et en évitant tout déchet. La dimension de ces mini pizzas doit être exprimée par un nombre entier de centimètres.

iti

...............................................................

160 =

Chapitre 3

60 =

........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Activité 10 • Plus petit commun multiple (PPCM) 1

Théo possède un jeu de puces un peu particulier. Il doit assembler des pièces rectangulaires de 28 mm sur 35 mm afin de constituer une aire de réception carrée. Les 320 pièces de la boîte de jeu lui permettent de construire un grand carré de 56 cm de côté. Mais Théo, très adroit, relève le défi suivant : envoyer toutes les puces sur le carré le plus petit possible.

a) Trouve la longueur d’un côté de ce carré.

Chapitre 3

.....................................................................................................

iti

b) Sur le quadrillage ci-dessous, achève l’assemblage des pièces afin de constituer ce carré.

Le côté du carré mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . mm. Ce nombre est

.............................................................

........................................................................................................................................................

p.113 E1a

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Détermine mentalement le PPCM des nombres suivants. PPCM (12 , 8) =

...............................................

PPCM (16 , 48) =

.............................................

PPCM (18 , 6) =

...............................................

PPCM (40 , 70) =

.............................................

.................................................

PPCM (12 , 35) =

.............................................

PPCM (8 , 9) =

.............................................

PPCM (48 , 144) =

PPCM (27 , 10) =

.............................................

PPCM (11 , 13) =

...........................................

.............................................

Comment es-tu certain(e) que chaque nombre trouvé est le PPCM ?

Chapitre 3

PPCM (15 , 12) =

........................................................................................................................................................

Pour quels exercices pouvais-tu utiliser une méthode plus rapide que de comparer les ensembles de multiples pour déterminer le PPCM ? Pourquoi ?

........................................................................................................................................................

p.114 E2

Réduis au même dénominateur les fractions ci-dessous ... le plus rapidement possible.

iti

........................................................................................................................................................

en décomposant le dénominateur de chaque fraction en un produit de facteurs premiers.

1 4 et 12 15

5 3 et 16 10 4 3 et 25 70 7 5 et 24 36 Pour réduire deux fractions au même dénominateur, il faut déterminer le ..........................................................................................................

....................................

des dénominateurs et écrire

deux fractions équivalentes aux premières ayant celui-ci comme dénominateur.

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples Comment, à partir de leur décomposition en facteurs premiers, peux-tu trouver le PPCM de deux nombres ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

p.114 E1b ........................................................................................................................................................

Détermine le PPCM des nombres suivants.

Chapitre 3

126

250

280

120

...............................................................

250 =

...............................................................

126 =

...............................................................

280 =

...............................................................

120 =

.........................................

PPCM (250 , 280) =

.........................................

150

iti

120

PPCM (120 , 126) =

90 =

.................................................................

32 =

.................................................................

120 =

...............................................................

48 =

.................................................................

150 =

...............................................................

72 =

.................................................................

PPCM (90 , 120 , 150) =

..................................

PPCM (32 , 48 , 72) =

......................................

..................................

......................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

Amélie et Manon améliorent leur condition physique. Elles s’entraînent tous les mercredis après-midi sur la piste d’athlétisme de l’école, longue de 400 m. Manon boucle un tour de piste en 1 min 40 s et Amélie en 2 min 10 s. Sachant qu’elles démarrent ensemble, à quel moment vont-elles repasser la ligne de départ en même temps ? Quelle sera la distance parcourue par chacune d’entre elles ? ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Chapitre 3

........................................................................................................................................................

Quand deux nombres sont premiers entre eux, tu obtiens leur PPCM en calculant leur produit. Dans les autres cas, ce produit n’est pas le PPCM des deux nombres.

iti

Activité 11 • Lien entre PGCD et PPCM

Complète le tableau ci-dessous pour découvrir la méthode qui permet de déterminer rapidement le PPCM de deux nombres non premiers entre eux en utilisant néanmoins leur produit. a

a.b

8 25

PPCM (a , b)

a.b

108

250

375

486

PPCM (a , b)

Énonce la propriété découverte. ........................................................................................................................................................

p.114 F1 ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

En utilisant les notations PPCM (a , b) et PGCD (a , b), écris sous forme d’une égalité la propriété que tu viens de découvrir, puis trouve une forme équivalente ne comprenant plus de fraction. ........................................................................................................................................................

Énonce cette « nouvelle propriété » par une phrase.

Chapitre 3

........................................................................................................................................................

En utilisant la propriété que tu viens de découvrir, calcule le PPCM des nombres suivants.

PPCM (45 , 20) =

.............................................

Pour calculer le PPCM des nombres suivants en utilisant la règle que tu viens de découvrir, tu seras confronté(e) à un problème de calcul mental. Trouve un procédé lié aux fractions pour contourner cette difficulté. PPCM (16 , 12) =

.............................................

PPCM (32 , 24) =

.............................................

Le PPCM de deux nombres est 60 et leur PGCD est 5. Quels sont ces deux nombres ? Envisage toutes les possibilités.

.............................................

PPCM (30 , 12) =

........................................................................................................................................................

iti

........................................................................................................................................................

Activité 12 • PGCD et PPCM : Exercices de synthèse 1

À partir de leur décomposition en un produit de facteurs premiers, détermine le PPCM et le PGCD des nombres ci-dessous. 22 . 33 . 5 et 23 . 3 . 52

................................................................................................................

33 . 5 et 32 . 7

................................................................................................................

2 . 11 et 3 . 5

................................................................................................................

p.114 F2

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

PGCD

PPCM

288

468

PGCD

PPCM

Chapitre 3

Des boîtes de dominos de forme parallélépipédique ont les dimensions suivantes : 18 cm, 6 cm et 4 cm. On veut les emballer en les posant toutes de la même manière, sans perdre de la place dans des caisses cubiques les plus petites possibles. Quelle sera la dimension de ces caisses ? Combien de boîtes de dominos pourra-t-on ranger dans une caisse ?

Détermine, le plus rapidement possible, le PGCD et le PPCM des nombres proposés.

........................................................................................................................................................

Au centre de la place d’un village, on veut réaliser un losange décoratif en assemblant des pavés ayant la forme d’un parallélogramme comme l’indique le schéma ci-contre. Détermine la longueur du côté de ce losange si celle-ci est comprise entre 20 m et 25 m. Combien de pavés seront alors nécessaires à l’élaboration de ce losange ?

35 cm 55 cm

iti

........................................................................................................................................................

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Expliciter les savoirs et les procédures 1

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie. a) Le reste d’une division peut être égal au diviseur. b) Si l’égalité 138 = 7 . 18 + 12 traduit une division euclidienne, alors le diviseur est 7. c) Si le dividende est multiple du diviseur, alors le quotient est exact.

Si l’égalité traduit une division euclidienne, détermine son dividende, son diviseur, son quotient et son reste.

Chapitre 3

Égalité

Dividende

Diviseur

Quotient

Reste

48 = 9 . 5 + 3 20 = 2 . 8 + 4

64 = 7 . 8 + 8 241 = 12 . 19 + 13 25 = 5 . 4 + 5 Écris une expression littérale simple ...

a) d’un multiple de 3. c) d’un multiple de 5 diminué de 2. e) de deux multiples de 7 consécutifs. b) d’un nombre pair. d) du cube d’un nombre pair. f) de trois nombres impairs consécutifs.

a) 32 est divisible par 8. 3 est un diviseur de 72. 222 est un multiple de 22. 5

b) 900 est un multiple de 75. 14 divise 1372. 12 est un diviseur de 40.

c) 0 est divisible par 5. 800 est un diviseur de 2000. 91 est un multiple de 7.

Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ? Justifie. a) 16 et 21

b) 15 et 55

c) 13 et 50

d) 8 et 25

e) 17 et 23

f) 13 et 52

g) 18 et 63

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie. a) Si deux nombres sont premiers entre eux, alors ils sont premiers. b) Si deux nombres sont premiers, alors ils sont premiers entre eux. c) 2 est premier avec tout nombre naturel impair. d) 3 est premier avec tout nombre naturel pair. e) Si le PGCD de deux nombres est 1, alors ces nombres sont premiers. f) Si le PPCM de deux nombres est 6, alors ces nombres sont premiers. g) Si le PPCM de deux nombres est 12, alors ces nombres sont premiers entre eux. h) Si on divise deux nombres par leur PGCD, alors les quotients obtenus sont premiers entre eux. i) Si on multiplie deux nombres par un même nombre, alors leur PPCM est multiplié par le double de ce nombre.

iti

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie par une égalité vraie.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie. a) Si un nombre est divisible à la fois par 10 et par 6, alors il est divisible par 60. b) Si un nombre est divisible à la fois par 4 et par 9, alors il est divisible par 36. c) Si un nombre est divisible à la fois par 8 et par 12, alors il est divisible par 96.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie. a) Le PGCD de 50 et de 75 est 25. b) Le PPCM de 50 et de 75 est 150. Le PGCD de 60 et de 90 est 10. Le PPCM de 8 et de 12 est 48. Le PGCD de 56 et de 63 est 7. Le PPCM de 24 et de 36 est 72. Le PGCD de 63 et de 42 est 7. Le PPCM de 15 et de 40 est 600.

Complète les phrases ci-dessous et justifie par une propriété. a) Le PGCD de 38 et de 114 est . . . . . . car . . . . . . d) Le PGCD de 25 et de 32 est . . . . . . car . . . . . . b) Le PPCM de 21 et de 63 est . . . . . . car . . . . . . e) Le PPCM de 12 et de 13 est . . . . . . car . . . . . . c) Le PGCD de 12 et de 25 est . . . . . . car . . . . . . f) Le PPCM de 32 et de 8 est . . . . . . car . . . . . .

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Appliquer une procédure Dans chaque cas, transforme le nombre de minutes en heures et en minutes. a) 79 minutes b) 142 minutes

b) 45 = . . . . . . . . . . 7 + . . . . . . . . . 71 = 34 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

= 137 . 17 + 13 296 = 17 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

b) 12 345 = 745 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . c) 1240 = . . . . . . . . . . 19 + . . . . . . . . . 7456 = . . . . . . . . . . 78 + . . . . . . . . . 3588 = 46 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

.........

Complète les égalités suivantes par un produit de deux facteurs. Trouve toutes les solutions possibles et rejette celles qui n’expriment pas une division euclidienne. a) 125 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 15 71 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 5

c) 89 = . . . . . . . . . . 11 + . . . . . . . . . 142 = 99 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

Chapitre 3

= 30 . 8 + 5 135 = 25 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

.........

Complète chaque égalité à la calculatrice pour qu’elle traduise une division euclidienne. a)

g) 1224 minutes h) 1320 minutes

Complète mentalement chaque égalité pour qu’elle traduise une division euclidienne. a)

e) 460 minutes f) 621 minutes

b) 101 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 11 82 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 36

c) 142 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 22 21 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 3

c) 247 minutes d) 313 minutes

Complète les tableaux ci-dessous en utilisant la formule de la division euclidienne a = d . q + r a 70

d 8 5

a 120 18

q 15

d 18 85

450

q 7

r 5

a 530 297

d 6

a) Dans une division euclidienne, le diviseur est 9, le quotient est 26 et le reste est 7. Quel est le dividende ? b) Dans une division euclidienne, le dividende est 1700, le quotient est 63 et le reste est 62. Quel est le diviseur ? c) Dans une division euclidienne, le dividende est 421 et le quotient est 24. Que valent le diviseur et le reste ? d) Dans une division euclidienne, le diviseur est 5 et le quotient 12. Quels sont les dividendes possibles ?

Encadre les fractions ci-dessous par deux nombres naturels consécutifs. 29 8

127 35

143 60

253 46

642 87

872 66

1452 567

Trouve le quotient entier et le reste des divisions que les fractions ci-dessous représentent.

59 7

iti

17 21

70 25

59 8

201 40

71 20

a) b) c) d)

La somme de quatre nombres consécutifs vaut 46. Quels sont ces nombres ? La somme de deux nombres multiples de 6 consécutifs vaut 90. Quels sont ces nombres ? La somme de deux nombres multiples de 3 consécutifs vaut 99. Quels sont ces nombres ? La somme de trois nombres pairs consécutifs vaut 102. Quels sont ces nombres ?

178 69

254 52

154 37

124 100

265 45

10 Résous les équations ci-dessous et trouve un énoncé de problème pour chacune d’entre elles. a) n + n + 1 = 17 e) n – 1 + n + n + 1 = 30 b) n + 1 + n + 2 + n + 3 = 36 f) 2n + 2n + 1 = 37 c) n – 1 + n + n + 1 = 15 g) 3 . 2n = 72 d) 3n + 3n + 3 = 75 h) 2 . (2n + 1) = 18 11 Si tu sais que n est un nombre naturel, détermine parmi les expressions ci-dessous celles qui représentent des nombre pairs. Justifie. 2n 2n + 4

2n + 5 2n – 1

2n – 7 2n + 8

2n + 2n + 1 2n + 2n + 8

2n + 5 – n 2n + 7

2n – n n + 3n 79

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

12 Si tu sais que n est un nombre naturel, détermine parmi les nombres ci-dessous ceux qui sont multiples de 3, multiples de 5, multiples de 6 et multiples de 9. Justifie. 9n 18n + 27

5n + 3 45n

9n + 3 30n

9n + 27 10n + 4

3n + 18 10n + 25

5n + 15 6n

13 Sachant que n est un nombre naturel, les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.

14 Démontre les affirmations ci-dessous. a) b) c) d) e)

La somme de trois multiples de 3 consécutifs est toujours un multiple de 9. La somme de quatre nombres impairs consécutifs est un nombre pair. La somme de trois nombres pairs consécutifs est un multiple de 6. Le carré d’un nombre pair est un nombre pair. Le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.

Chapitre 3

a) 12n est un multiple de 3. c) 2n + 3 est un nombre pair. e) 5n + 35 est un multiple de 5. b) 3n + 4 est un multiple de 3. d) 9n + 27 est un multiple de 9. f) 4n + 12 est un multiple de 4.

a) 15 ?

b) 45 ?

c) 60 ?

d) 72 ?

À quelle condition un multiple de 3 est-il un multiple de 6 ? À quelle condition un multiple de 5 est-il un multiple de 30 ? À quelle condition un multiple de 15 est-il un multiple de 24 ? À quelle condition un multiple de 27 est-il un multiple de 36 ?

16 a) b) c) d)

15 Sans effectuer la division, comment peut-on reconnaître si un nombre est divisible par ...

17 Détermine mentalement le PGCD et le PPCM des nombres proposés. 12 et 16 25 et 45

17 et 51 11 et 264

a) 15 et 60 b) 32 et 256

20 et 33 9 et 146

27 et 108 13 et 338

18 Calcule le PGCD des nombres proposés après les avoir décomposés en un produit de facteurs premiers. b) 96 et 72

c) 165 et 550

d) 225 et 525

e) 108 et 180

f) 432 et 240

iti

a) 160 et 96

19 Calcule le PPCM des nombres proposés après les avoir décomposés en un produit de facteurs premiers. a) 40 et 16

b) 90 et 168

c) 80 et 90

d) 216 et 297

e) 450 et 120

f) 1098 et 280

20 Rends irréductibles les fractions ci-dessous en divisant leur numérateur et leur dénominateur par leur PGCD. a)

24 36

16 24

25 35

77 66

125 100

42 63

18 35

180 240

350 275

64 320

21 Détermine le PPCM des dénominateurs des fractions ci-dessous et réduis-les au même dénominateur. 2 5 et 9 6 2 5 et b) 9 8

2 5 et 9 3 5 7 et 24 12

3 7 et 50 60 7 1 et 11 6

3 2 et 4 15 1 5 et 24 36

2 5 et 7 6 1 7 et 25 75

22 Détermine le PPCM des nombres proposés en utilisant leur PGCD. a) 44 et 55 80

b) 100 et 75

c) 54 et 36

d) 64 et 80

e) 120 et 300

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Résoudre un problème 1

a) b) c) d)

Si on divise 225 et 313 par un même nombre le plus grand possible, on obtient 5 comme reste. Quel est ce diviseur ?

Que devient le quotient de la division exacte 72 = 12 . 6 si on rend ... a) le diviseur trois fois plus grand ? c) le dividende deux fois plus petit ? b) le diviseur six fois plus petit ? d) le dividende quatre fois plus grand ? e) le dividende et le diviseur deux fois plus petits ? f) le dividende et le diviseur cinq fois plus grands ? g) le dividende trois fois plus grand et le diviseur deux fois plus petit ?

a) Détermine le quotient et le reste de la division de 312 par 37. b) Détermine le plus grand nombre naturel que l’on peut ajouter à 312 pour que le quotient reste inchangé. c) Détermine le plus grand nombre naturel que l’on peut retrancher de 312 pour que le quotient reste inchangé.

a) Si on divise un nombre x par 8, alors on obtient 91 comme quotient et 5 comme reste. Si on divise un nombre y par 8, alors on obtient 92 comme quotient et 2 comme reste. Qu’obtiendra-t-on comme quotient et comme reste si on divise x + y par 8 ?

Quels sont les nombres dont la division par 6 donne un reste égal au quotient ? Quels sont les nombres dont le reste de la division par 7 est le double du quotient ? Quels sont les nombres dont le quotient de la division par 3 est le quadruple du reste ? Quel est le nombre qui augmenté de 85 et divisé par 9 donne 25 comme quotient exact ?

Chapitre 3

b) Si on divise un nombre x par 8, alors on obtient 91 comme quotient et 6 comme reste. Si on divise un nombre y par 8, alors on obtient 92 comme quotient et 7 comme reste. Qu’obtiendra-t-on comme quotient et comme reste si on divise x + y par 8 ? Détermine le nombre naturel compris entre 450 et 500 qui est divisible à la fois par 15, 12 et 20.

Détermine le nombre naturel compris entre 700 et 800 qui est divisible à la fois par 7, 12 et 18.

Si a et b sont deux nombres naturels composés de quatre chiffres tels que a = 4x7y et b = 65xy, par quels chiffres faut-il remplacer x et y pour que a soit divisible par 6 et b par 20 ?

En utilisant l’égalité 360 = 5 . 72 et sans effectuer la division, détermine le quotient de 360 par 8.

iti

10 En utilisant l’égalité 588 = 7 . 84 et sans effectuer la division, détermine le quotient de 588 par 21. 11 La somme de deux nombres vaut 216 et leur PGCD 18. Quels sont ces deux nombres ? 12 Le produit de deux nombres vaut 21 600 et leur PPCM 360. Quels sont ces deux nombres ? 13 Le PGCD de deux nombres est 74 et le plus grand des deux vaut 888. Détermine les valeurs que peut prendre le plus petit des deux nombres. 14 Émilie doit ranger 100 œufs dans des boîtes de six. Combien de boîtes lui faudra-t-il au minimum ? 15 Dans la version « Le puits » du jeu Dobble, une carte est posée face visible au centre de la table, les 54 cartes restantes sont réparties équitablement entre tous les joueurs. Combien de cartes non distribuées restera-t-il si quatre joueurs participent au jeu ? Si six joueurs participent au jeu ? 16 Un stage de volley-ball est organisé à l’école durant les vacances de Pâques. Si tu sais que 21 filles et 27 garçons y participent, détermine le nombre d’équipes féminines, le nombre d’équipes masculines et le nombre d’équipes mixtes que les moniteurs peuvent former (une équipe de volley est composée de six joueurs). 81

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

17 Combien de sachets contenant chacun 12 œufs en chocolat peut-on préparer avec un sac de 4 kg, sachant qu’un kg contient 100 œufs ? Combien restera-t-il d’œufs après la confection des petits sachets ? 18 Un numéro de carte d’identité est composé de 12 chiffres répartis en trois parties. Les deux derniers chiffres représentent toujours le reste de la division par 97 du nombre formé par les dix premiers chiffres. Vérifie l’exactitude des numéros des cartes d’identité ci-dessous.

Chapitre 3

a) 247-1028457-17

b) 138-4376001-52

c) 172-6303151-68

19 Un escalier compte entre 80 et 100 marches. Si je le descends par 2, 3 ou 4 marches à la fois, il me reste à chaque fois une marche. Si je parvenais à le descendre par 5 marches à la fois, j’arriverais exactement au pied de l’escalier. Combien de marches possède cet escalier ?

20 Deux coureurs de fond partent en même temps pour un 10 000 m. Le premier coureur met 1 min 15 s pour parcourir un tour de piste alors qu’il faut 1 min 20 s au second. Après combien de temps le coureur le moins rapide sera doublé pour la première fois au niveau de la ligne de départ ? À ce moment, combien de tours chacun aura-t-il fait ?

21 On dispose de trois lattes en bois, l’une de 1,50 m, l’autre de 2,40 m et la troisième de 3,60 m. On veut les scier en un certain nombre de lattes de même longueur, mais la plus grande possible. a) Détermine la longueur d’une latte en bois sachant que celle-ci doit être exprimée par un nombre entier de centimètres. b) Détermine le nombre de lattes en bois obtenues.

22 Un sapin de Noël est garni de guirlandes : une guirlande verte qui clignote toutes les 4 secondes, une guirlande jaune qui clignote toutes les 15 secondes et une guirlande rouge qui clignote toutes les 21 secondes. a) À quels intervalles clignotent deux guirlandes en même temps ? b) À quel intervalle clignotent les trois guirlandes simultanément ? c) Sachant que les trois guirlandes clignotent simultanément à 18 heures, détermine l’heure à laquelle cette situation se reproduira.

iti

23 Jean possède une collection de cartes postales. S’il les classe par paquets de 10, de 12 ou de 25, il lui en reste chaque fois trois. De combien de cartes postales est composée sa collection sachant que ce nombre est compris entre 1000 et 1300 ?

24 Un menuisier désire construire un escalier composé de deux parties distinctes : l’une de 2,52 m de hauteur et l’autre de 3,24 m. Il souhaite construire des marches de la même hauteur comprise entre 15 cm et 20 cm. Détermine la hauteur exacte de chaque marche et le nombre total de marches. 25 Les bus 8, 11 et 27 partent tous du même endroit. Ils démarrent respectivement toutes les 10, toutes les 15 et toutes les 25 minutes; un premier départ simultané a lieu à 6 h. À quelle heure partiront-ils simultanément pour la deuxième fois ? 26 À l’occasion de la Saint-Valentin, un fleuriste achète chez le grossiste 240 roses rouges à 1,05 € pièce et 400 roses blanches à 1,15 € pièce. Il prépare le plus grand nombre de bouquets identiques, c’est-à-dire contenant le même nombre de roses et la même répartition de roses rouges et de roses blanches. a) Combien de bouquets peut-il former ? b) Quelle sera la composition de chaque bouquet ? c) Quel sera le bénéfice réalisé par le fleuriste s’il vend l’ensemble de ses bouquets à 10,90 € pièce ?

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples THÉORIE

Théorie A

Division euclidienne

1. Relation générale Si on divise le nombre naturel a par le nombre naturel d non nul, alors il existe deux nombres naturels q et r tels que r<d

Si on divise 72 par 5, alors il existe deux nombres naturels 14 et 2 tels que 72 = 5 . 14 + 2

avec

2. Cas particulier

Exemple :

avec

Chapitre 3

a=d.q+r

2<5

70 = 5 . 14 + 0 ou 70 = 5 . 14

Exemple :

Si le reste de la division euclidienne est nul, alors la relation a = d . q + r devient a = d . q, ce qui signifie que a est un multiple de d ou que d est un diviseur de a.

ce qui signifie que 70 est un multiple de 5 ou que 5 est un diviseur de 70.

Écriture littérale des nombres particuliers

Si n est un nombre naturel, alors l’expression littérale la plus simple …

iti

d’un nombre pair est ................................................ d’un nombre impair est ............................................ d’un multiple de 3 est ...............................................

2n 2n + 1 3n

Exemples : 10 est un nombre pair car 10 = 2 . 5 11 est un nombre impair car 11 = 2 . 5 + 1 12 est un multiple de 3 car 12 = 3 . 4

de deux nombres consécutifs est ............................. de trois nombres consécutifs est ............................. ....................... ou

n et n + 1 n, n + 1 et n + 2 n – 1, n, n + 1

Exemples : 10 et 11 sont deux nombres consécutifs car 11 = 10 + 1 25, 26 et 27 sont trois nombres consécutifs car 26 = 25 + 1 et 27 = 25 + 2

Th 111

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples THÉORIE

de deux nombres pairs consécutifs est ................. ............. ou de deux nombres impairs consécutifs est .................. de trois multiples de 4 consécutifs est ................... ............. ou

2n et 2n + 2 2n et 2 . (n + 1) 2n + 1 et 2n + 3 4n, 4n + 4 et 4n + 8 4n, 4 . (n + 1) et 4 . (n + 2)

Exemples : 24 et 26 sont deux nombres pairs consécutifs car 24 = 2 . 12 et 26 = 2 . 12 + 2 ou 24 = 2 . 12 et 26 = 2 . 13 Chapitre 3

25 et 27 sont deux nombres impairs consécutifs car 25 = 2 . 12 + 1 et 27 = 2 . 12 + 3 20, 24 et 28 sont trois multiples de 4 consécutifs

Nombres premiers entre eux

ou 20 = 4 . 5, 24 = 4 . 6 et 28 = 4 . 7

car 20 = 4 . 5, 24 = 4 . 5 + 4 et 28 = 4 . 5 + 8

1. Définition

Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres qui n’admettent que le nombre 1 comme diviseur commun. 8 et 9 sont premiers entre eux car ils n’ont que le nombre 1 comme

Exemple :

2. Propriété

diviseur commun.

iti

Si un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit. Exemple :

612 est divisible par 2 et par 9,

or 2 et 9 sont des nombres premiers entre eux, donc 612 est divisible par 2 . 9, c’est-à-dire par 18.

Th 112

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples THÉORIE

Recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD)

1. Méthodes générales a) Comparaison des ensembles de diviseurs Lorsque les nombres sont petits, on peut déterminer leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) en comparant leurs ensembles de diviseurs. Exemple :

div 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

b) Décomposition en facteurs premiers

Chapitre 3

ﬁ PGCD (24 , 36) = 12

div 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Exemple :

360 = 23 . 32 . 5

ﬁ PGCD (360 , 336) = 23 . 3 = 24

336 = 24 . 3 . 7

Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de puissances de facteurs premiers, le plus grand commun diviseur de ces nombres s’obtient en multipliant les facteurs communs, chacun d’eux étant affecté de son plus petit exposant.

2. Cas particuliers

Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur PGCD est 1. 25 et 12 sont premiers entre eux ﬁ PGCD (25 , 12) = 1

Exemple :

Si l’un des deux nombres est multiple de l’autre, alors leur PGCD est le plus petit des deux nombres.

Recherche du Plus Petit Commun Multiple (PPCM)

36 est multiple de 12 ﬁ PGCD (36 , 12) = 12

iti

Exemple :

1. Méthodes générales a) Comparaison des ensembles de multiples Lorsque les nombres sont petits, on peut déterminer leur Plus Petit Commun Multiple non nul (PPCM) en comparant leurs ensembles de multiples. Exemple :

12N = {0,12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …}

ﬁ PPCM (12 , 15) = 60

15N = {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, …}

Th 113

Chapitre 3 • Diviseurs et multiples THÉORIE

b) Décomposition en facteurs premiers Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de puissances de facteurs premiers, le plus petit commun multiple de ces nombres s’obtient en multipliant tous les facteurs, communs ou non, chacun d’eux étant affecté de son plus grand exposant. 24 = 23 . 3

Exemple :

90 = 2 .

ﬁ PPCM (24 , 90) = 23 . 32 . 5 = 360 .5

Chapitre 3

2. Cas particuliers Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur PPCM est le produit des deux nombres. 8 et 9 sont premiers entre eux ﬁ PPCM (8 , 9) = 8 . 9 = 72

Exemple :

Si l’un des deux nombres est multiple de l’autre, alors leur PPCM est le plus grand des deux nombres.

Lien entre PGCD et PPCM

36 est multiple de 12 ﬁ PPCM (36 , 12) = 36

Exemple :

1. Première formulation

Le PPCM de deux nombres est égal au produit des deux nombres divisé par leur PGCD.

Exemple :

Si a et b sont deux nombres naturels, alors PPCM (a , b) =

a.b . PGCD (a, b)

a = 120 et b = 300

ﬁ PPCM (120, 300) = =

120 . 300 60 2 . 300 1

= 600

iti

PGCD (120 , 300) = 60

2. Deuxième formulation Le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM. Si a et b sont deux nombres naturels, alors a . b = PGCD (a , b) . PPCM (a , b). Exemple :

a = 120 et b = 300 PGCD (120 , 300) = 60 PPCM (120 , 300) = 600

Th 114

ﬁ 120 . 300 = 60 . 600 ﬁ 36 000 = 36 000

iti

Ed s N

VA IN

Table des symboles

Table des symboles NOMBRES symbole de l’addition

–

symbole de la soustraction

symbole de la multiplication

symbole de la division

égal à

≠

différent de

« égal en valeur approchée »

strictement plus petit que

strictement plus grand que

plus petit ou égal à

≥

plus grand ou égal à

a–1 ou |a|

opposé de a 1 inverse de a a valeur absolue de a

–a

image de X par la symétrie orthogonale d’axe d

SM(X)

image de X par la symétrie centrale de centre M

t (X) AB

TRANSFORMATIONS DU PLAN Sd(X)

image de X par la translation de

image de X par la rotation de centre

ABRÉVIATIONS

C et d’amplitude a

pi = 3,141 592 6…

V.A.

valeur approchée

V.A.E.

valeur approchée par excès

V.A.D.

valeur approchée par défaut

iti

Ed 302

SYMBOLES ENSEMBLISTES ¤ équivaut à, est équivalent à ﬁ implique, entraîne Œ appartient à œ n’appartient pas à div a ensemble des diviseurs de a N ensemble des nombres naturels Z ensemble des nombres entiers T ensemble des nombres rationnels

vecteur AB rC, a (X)

DROITES, DISTANCES, ANGLES et CERCLES // parallèle /\/ sécant ^ perpendiculaire A point A AB droite passant par les points A et B d droite d [AB demi-droite d’origine A passant par B [AB] segment d’extrémités A et B |AB| longueur du segment [AB] vecteur AB d(A,B) distance entre les points A et B d(X,a) distance du point X à la droite a d(a,b) distance entre les droites parallèles a et b A angle de sommet A angle de sommet A formé par [AB et BAC [AC amplitude de l’angle de sommet A |A| | BAC | amplitude de l’angle BAC C(O,r) cercle de centre O et de rayon r abs A abscisse du point A P(a ; b) coordonnées a et b du point P

Index

E effectif (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 167 égalité de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99, 120 encadrement de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103, 122 encadrement de la longueur d’un côté d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192, 143 équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207, 146 equations (proportions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 équations ax + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212, 149 équations ax + b = cx + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214, 149 équations ax = b et x/a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210, 147 équations complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215, 150 équations x + a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210, 147 étendue (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 167 expression littérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 111 expression littérale (réduction) . . . . . . . . . . . . . 160, 135 extérieur (cercle extérieur à un cercle) . . . 187, 141 extérieure (droite extérieure à un cercle) 198, 145

A abscisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102, 121 adjacents (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 124 agrandissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269, 164 alternes externes (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 126 alternes internes (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 126 amplitude d’angles (recherche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 amplitude des angles d’un polygone . . . . 130, 131 amplitude des angles d’un triangle . . . . . . . 125, 129 angle extérieur d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . 128, 130 angle intérieur d’un polygone régulier . . . 131, 131 angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115, 117, 124 angles à côtés parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119, 125 angles adjacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 124 angles alternes externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 126 angles alternes internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 126 angles complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 124 angles correspondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 126 angles de quadrilatères particuliers . . . . . . 124, 128 angles formés par deux droites parallèles coupées par une sécante . . 118, 127 angles opposés par le sommet . . . . . . . . . . . . 117, 125 angles supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 124 axe de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 115 axes et centres de symétrie (constructions) . . . . 90 axes et centres de symétrie de figures particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89, 116 axes et centres de symétrie de polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88, 116 axes et centres de symétrie des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 115 axes et centres de symétrie des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 116

D décodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 100 dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 distance d’un point à une droite . . . . . . . . . . . 195, 143 distance dans le plan . . . . . . . . . . . . 185, 195, 141, 144 distance entre deux droites parallèles . . . 196, 144 distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184, 140 distance sur une droite par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184, 140 distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 140 distributivité (double) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165, 167, 136 distributivité (simple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163, 167, 136 dividende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 63, 111 divisibilité et nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67, 112 division d’une fraction par une fraction . 147, 134 division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 111 droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102, 121 droites et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 125

Les renvois de page en noir concernent les activités. Les renvois de page en bordeaux concernent la théorie.

iti

B binômes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251, 159 binômes conjugués (produit) . . . . . . . . . . . . . . . . 251, 160 bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227, 152 bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234, 155, 156 bissectrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236, 157 C calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159, 135 caractère (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 166 caractères de divisibilité par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 65 carré d’une différence de deux termes . . 249, 158 carré d’une somme de deux termes . . . . . 246, 158 centre de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 115 cercle circonscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . 231, 153 cercle circonscrit à un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232, 155 cercle inscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236, 157 codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 99 coefficient de proportionnalité . . . . . . . . . . . . . 262, 161 comparaison de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 123 complémentaires (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 124 concentriques (cercles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187, 141 correspondants (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 126 critère d’existence d’un triangle . . . . . . . . . . . 190, 142 critères de parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121, 127 critères d’égalité de deux fractions . . . . . . . . . 99, 120

F fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 fractions (comparaison) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 123 fractions (critères d’égalité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99, 120 fractions (encadrement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103, 122 fractions (opérations) . . . . 137, 140, 142, 147, 176 132, 134 fractions (représentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102, 121 fractions (simplification) . . . . . . . . . . 98, 170, 119, 139 fractions (symétriques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145, 133 fractions particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101, 121 fréquence (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283, 167 G grandeurs directement proportionnelles 262, 161 grandeurs inversement proportionnelles 263, 162 graphe sagittal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209, 212 graphe sagittal et équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 graphique de proportionnalité . . . . . . . 262, 161, 163 I image d'un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 image d’un point (rotation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 105 image d’une figure (rotation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 105

303

Index

M médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228, 152 médiatrice et bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227, 152 médiatrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231, 153 mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164, 137 modalité (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 166 mode (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 285, 169 moyenne (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 285, 169

O opérations sur les fractions

61, 111 66, 112 97, 118 22, 102

R rationnels (nombres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 118 réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269, 164 réduction d’une expression littérale . . . . . . 160, 135 représentation de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102, 121 résoudre une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208, 146 reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 57 rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 105 rotation (éléments caractéristiques) . . . . . . . . 37, 105 rotation (notation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 105 rotations invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88, 117

N nombres consécutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 quotient de puissances de même base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 138

L lien entre PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 114 lieux géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238, 152, 156 linéarité (propriété) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266, 161

propriété des amplitudes des angles d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125, 129 propriété fondamentale des proportions 268, 164 propriétés des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209, 146 propriétés des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 138 puissance d’un produit . . . . . . . . . . 20, 172, 102, 139 puissance d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172, 139 puissance d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142, 133 puissance d’une puissance . . . . 19, 174, 102, 138 puissances d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 10, 99 puissances (propriétés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 138 puissances de 10 et grands nombres . . . . . 15, 100 puissances de 10 et petits nombres . . . . . . . 16, 101

inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192, 143 intérieur (cercle intérieur à un cercle) . . . . 187, 141 inverse d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145, 133 isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 103 isométries (coordonnées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47, 110 isométries (invariants) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 106 isométries (points fixes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 104 isométries (propriétés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 106

137, 140, 142, 147, 176, 132, 134 opposé d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145, 133 opposés par le sommet (angles) . . . . . . . . . . 117, 126 .........

iti

P parallélisme (critères) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121, 127 parallélogramme (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124, 128 parenthèses (suppression) . . . . . 163, 166, 135, 137 parenthèses et distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . 166, 137 partage d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273, 165 plus grand commun diviseur (PGCD) . . . . . . 69, 113 plus petit commun multiple (PPCM) . . . . . . . 72, 113 points alignés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187, 190, 141, 142 polygone (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130, 131 population (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 166 positions relatives d’un cercle et d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198, 145 positions relatives de deux cercles . . . . . . . 187, 141 préfixes en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 101 préfixes usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 101 priorité des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 150 probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 problèmes (équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208, 218, 150 problèmes (fractions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139, 151 problèmes (puissances) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 25 problèmes (proportionnalité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 produit de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142, 132 produit de puissances de même base . . . 18, 170, 102, 138 produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245, 158 projections parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272, 165 proportionnalité directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262, 161 proportionnalité inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263, 162 proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261, 267, 161, 163

S sécante (droite sécante à un cercle) . . . . . 198, 145 sécants (cercles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187, 141 série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284, 168 signe d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 119 signe d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 99 similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 103 simplification de fraction . . . . . . . . 98, 170, 119, 139 somme et différence de fractions . . . . . . . . . 140, 132 statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282, 166 supplémentaires (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 124 symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 104 symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 104 symétriques d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145, 133

304

T tableau de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284, 168 tangent extérieurement (cercle) . . . . . . . . . . . . 187, 141 tangent intérieurement (cercle) . . . . . . . . . . . . . 187, 141 tangente (droite tangente à un cercle) . . . 198, 145 tangente en un point d’un cercle . . . . . . . . . . 199, 145 traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281, 166 transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 34, 103 translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 104 trapèze (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124, 128 triangle (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125, 129 V valeur approchée par défaut . . . . . . . . . . . . . . . . 103, 122 valeur approchée par excès . . . . . . . . . . . . . . . . . 103, 122 valeur numérique . . . . . 14, 142, 144, 162, 167, 100 valeurs centrales (statistique) . . . . . . . . 284, 286, 169 vérifier la solution d’une équation . . . . . . . . . 208, 146