Actimath à l'infini 2e édition - Livre-cahier 2- Chapitre 3 by VAN IN

LIVRE-CAHIER

Livre-cahier Actimath à l’infini - 2 e édition

Ph. Ancia M. Chevalier M. Colin P. Dewaele F. Huin J.-L. Lozet A. Want

2 2 e édition

ISBN 978-90-306-9492-2 593944

9 789030 694922

www.vanin.be

2 Philippe Ancia Michaël Chevalier Marlène Colin Pascal Dewaele Fabrice Huin Jean-Luc Lozet Aline Want

LIVRE-CAHIER 2 e édition

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Composition d’Actimath à l’infini 2 Pour l’élève

Livre-cahier (+ accès Udiddit aux exercices numériques)

Pour le professeur Guide méthodologique (+ accès Udiddit au matériel de cours) Livre numérique Actimath à l’infini 2 – Livre-cahier Auteurs :

Michaël Chevalier, Marlène Colin, Pascal Dewaele, Fabrice Huin, Jean-Luc Lozet et Aline Want sous la direction de et avec Philippe Ancia

Couverture : Mise en page :

acg Atelier Création Graphique Alinea Graphics

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2020 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

2e édition : 2020 ISBN 978-90-306-9492-2 D/2020/0078/137 Art. 593944/01

Introduction Voici ton nouveau manuel de mathématiques. Il s’inspire très fortement de l’ouvrage précédent et poursuit ainsi la collection Actimath à l’infini. Cet ouvrage peut être utilisé à la fois en classe et à la maison. Il te permettra d'avancer un pas plus loin dans la construction de ton savoir mathématique. À travers ce manuel, tu pourras : • consolider l’usage des outils élémentaires introduits en première année; • construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles; • développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active. Tels sont donc les objectifs qui ont motivé notre travail. Les activités sont nombreuses et leur variété laisse une certaine liberté pédagogique à ton professeur. Ainsi que le programme nous y invite, nous avons, tout au long de ce manuel, alterné les travaux géométriques et les travaux numériques; chaque fois que cela était possible, nous avons utilisé simultanément les indispensables techniques des uns et des autres. Ce manuel comporte de très nombreux exercices complémentaires; outre les exercices que ton professeur te demande de réaliser, tu peux donc aussi t'entraîner seul ! Si tu éprouves des difficultés à en résoudre certains, ne te décourage pas, demande conseil à ton professeur, relis les activités et la théorie s'y rapportant. N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (p. 285); il t’aidera à retrouver les mots importants. Une liste des principaux symboles mathématiques rencontrés en 1re et en 2e années te permettra de retrouver rapidement un symbole utile (p. 284). Ton professeur utilisera peut-être en classe le manuel numérique de ton Actimath à l’Infini 2. Tous les exercices animés que tu y verras sont disponibles sur la plateforme Udiddit. Tu pourras donc les refaire chez toi. Ces exercices seront renseignés dans ton cahier par un logo spécifique. Sur Udiddit, tu trouveras également des exercices interactifs auxquels tu pourras t'adonner librement et pour lesquels tu disposeras d'un feedback personnalisé. Le code d'accès à ton compte Udiddit se trouve sur la page précédente. Bon travail avec Actimath à l’infini 2 ! Les auteurs

Mode d’emploi Ton livre, Actimath à l’infini 2, est divisé en quatorze chapitres, facilement repérables grâce aux indications situées sur le bord extérieur mentionnant le numéro du chapitre. Ces chapitres sont eux-mêmes divisés en activités. Ton professeur choisira celles qui te permettront d’atteindre les objectifs fixés et il te donnera des conseils pour compléter ces fiches de travail. À la fin de chaque chapitre tu trouveras la théorie qui y correspond. En effet, chaque fois qu’une nouvelle notion théorique sera mise en place, ton professeur te renverra à cette partie du livre-cahier. Tu remarqueras très vite que trois logos apparaissent régulièrement au fil des pages. Ils ont évidemment une signification particulière. Pendant une activité, si une notion peut (doit) être précisée ou formulée, ce logo t'indique la référence permettant de la retrouver dans la théorie.

Ce logo signale que des exercices de ton livre sont animés et se trouvent sur la plateforme Udiddit. Cela te permettra de t'exercer à domicile. 1D

Ce logo indique que l'exercice concerné a été repris des questions du CE1D et en précise l'année.

Chaque chapitre se termine par quelques feuilles légèrement colorées contenant une série d’exercices complémentaires. Ceux-ci sont classés en trois catégories. • CONNAÎTRE Selon les cas, tu devras illustrer un énoncé par un exemple ou un dessin, justifier certaines étapes d’un calcul, ... • APPLIQUER Ces exercices te permettront d’utiliser, d’appliquer de manière réfléchie les savoirs acquis. • TRANSFÉRER Tu seras confronté à des situations nouvelles et inédites qui s’inscrivent toutefois dans le prolongement de celles exploitées lors des apprentissages. Le moment venu, ton professeur te dira quels exercices résoudre. Ton livre se termine par quelques pages d’exercices destinés à vérifier que tu maîtrises les compétences développées. Pour les résoudre, tu devras mettre en œuvre, en les organisant, des savoirs, des savoir-faire et des attitudes. Ton professeur utilisera peut-être en classe le manuel numérique de ton Actimath à l’Infini 2. Tous les exercices animés que tu y verras sont disponibles sur Udiddit. Tu y trouveras également des exercices interactifs auxquels tu pourras t'adonner librement et pour lesquels tu disposeras d'un feedback personnalisé. Toutes les vidéos sont accessibles directement via ton smartphone ou ta tablette ! 1. Télécharge l'application Sésame des Éditions VAN IN.

2. Scanne le QR code sur la page : tu auras directement accès aux vidéos ! Bon travail avec Actimath à l’inﬁni 2 !

Table des matières Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mode d’emploi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chapitre 1 • Puissances de nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Activité 1 Puissances de nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Activité 2 Décodage et priorités des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Activité 3 Calcul de valeurs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Activité 4 Puissances de 10 et grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Activité 5 Puissances de 10 et petits nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Activité 6 Préﬁxes usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Activité 7 Produit de puissances de même base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Activité 8 Puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Activité 9 Puissance d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Activité 10 Applications des puissances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Activité 11 Notation scientiﬁque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Activité 12 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Théorie

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Chapitre 2 • Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Activité 1 Parfois étranges, ces transformations !. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Activité 2 Éléments caractéristiques des transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Activité 3 Construction de l’image d’une figure par une isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Activité 4 Image d’un point, d’une figure par une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Activité 5 Nouveaux invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Activité 6 Propriétés des transformations du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Activité 7 Effets de certaines transformations sur les coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Théorie

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Chapitre 3 • Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Activité 1 Division euclidienne : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Activité 2 Division euclidienne : exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Activité 3 Division euclidienne et fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Activité 4 Écriture littérale des nombres particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Activité 5 Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Activité 6 Caractères de divisibilité par 3 et par 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Activité 7 Nouvelle propriété de la divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Activité 8 Plus grand commun diviseur (PGCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Activité 9 Plus petit commun multiple (PPCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Activité 10 Lien entre PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Activité 11 PGCD et PPCM : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Théorie

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TABLE DES MATIÈRES Chapitre 4 • Axes et centres de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Activité 1 Lettres et chiffres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Activité 2 Axes et centres de symétrie des figures usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Activité 3 Axes et centres de symétrie, rotations invariantes des polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Activité 4 Axes et centres de symétrie de figures particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Activité 5 Axes et centres de symétrie au quotidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Activité 6 Exercices de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Théorie

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Chapitre 5 • Fractions : première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Activité 1 Fractions dans la vie courante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Activité 2 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Activité 3 Critères d’égalité de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Activité 4 Représentation de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Activité 5 Valeurs approchées et encadrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Activité 6 Comparaison de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Théorie

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Chapitre 6 • Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Droites et types d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Propriétés des amplitudes des angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Critères de parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Recherche d’amplitudes d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Propriétés des angles des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle. . . . . . . . . . . . . Activité 7 Propriétés des angles des triangles et des quadrilatères : exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 8 Angle extérieur d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 9 Somme des amplitudes des angles d’un polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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107 109 110 113 114 116 117 118 121 122

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Théorie

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Chapitre 7 • Opérations sur les fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Somme et diﬀérence de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Produit de fractions et puissance d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Symétriques d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Quotient d’une fraction par une fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Priorités des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Théorie

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132

TABLE DES MATIÈRES Chapitre 8 • Calcul littéral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Bases du calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Calcul littéral : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Distributivité double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Priorités des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Produit de puissances de même base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Quotient de puissances de même base - Simpliﬁcation de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 8 Puissance d’un produit et d’un quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 9 Puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 10 Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 11 Opérations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149 150 152 155 157 159 161 161 162 164 164 166

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Théorie

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Chapitre 9 • Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Distance par rapport à un ou plusieurs points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Positions relatives de deux cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Critère d’existence d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Distance d’un point par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Positions relatives d’une droite et d’un cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

173 174 177 180 183 184 187 189

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Théorie

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Chapitre 10 • Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Problèmes d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Propriétés des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Équations du type x + a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x Activité 4 Équations du type ax = b, = b, … . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Activité 5 Équations du type ax + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Équations du type ax + b = cx + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Équations plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 8 Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 9 Résolution de problèmes : préparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 10 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

195 196 197 198 199 201 202 205 206 207 209

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Théorie

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Chapitre 11 • Médiatrice et bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Propriétés de la médiatrice : découverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Propriétés de la médiatrice : applications et conséquences . . . . . . . . . . . . Activité 3 Médiatrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Propriétés de la bissectrice : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Propriétés de la bissectrice : applications et conséquences . . . . . . . . . . . . Activité 6 Bissectrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Lieux géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

215 216 218 220 221 223 224 225

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Théorie

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TABLE DES MATIÈRES Chapitre 12 • Produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Carré d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Carré d’une diﬀérence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Produit de deux binômes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231 232 235 236 239

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Théorie

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Chapitre 13 • Proportions et projections parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Graphiques et proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Proportionnalité et linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Proportions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Agrandissements et réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Projections parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Applications de la proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

247 248 250 252 254 257 259

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Théorie

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Chapitre 14 • Traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Découverte d’un nouveau vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Probabilité, fréquence et pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Valeurs centrales d’une série statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Comparaison des valeurs centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

265 266 267 268 270

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Théorie

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Exercices de compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Table des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

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Chapitre 3

Diviseurs et multiples Tableaux de compétences Libre

Nombres naturels 1

Justiﬁer les procédures de recherche d’un PGCD ou d’un PPCM.

Calculer la valeur approchée d’un quotient.

Encadrer un quotient.

Rechercher un PGCD ou un PPCM.

Résoudre un problème faisant appel à la division euclidienne.

Résoudre un problème qui utilise un PGCD ou un PPCM.

Nombres rationnels 12

Conﬁrmer ou inﬁrmer un encadrement donné d’une fraction.

Calcul littéral et équations 28

Résoudre un problème simple modélisé par une équation de la forme ax + b = cx + d.

Oﬃciel Dénombrer 1

Résoudre des problèmes de dénombrement dans des contextes numériques et géométriques.

Structurer les nombres naturels à l’aide de la relation de la divisibilité 2

Déterminer le PGCD et le PPCM de deux nombres.

Reconnaître des nombres premiers entre eux.

Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne.

Formuler et utiliser la relation fondamentale : a = d . q + r avec r inférieur à d.

Découvrir les fractions à termes entiers 6

Représenter des fractions à termes entiers sur une droite graduée (axe).

Simpliﬁer les fractions.

Donner la valeur approchée d’une fraction à une unité décimale près.

Résoudre des problèmes et représenter des données 26

Résoudre des problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue et à coeﬃcients numériques.

Expressions littérales 29

Écrire des expressions littérales pour exprimer des propriétés caractéristiques des nombres d’un même ensemble ou d’une suite.

Réduire une expression littérale en additionnant les termes semblables.

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Activité 1 Division euclidienne : découverte 1

Le numéro figurant sur chaque billet de banque en euros est constitué de onze chiffres précédés d’une lettre indiquant par quel pays il a été imprimé (Z pour la Belgique, U pour la France, S pour l’Italie...). Pour vérifier que le numéro d’un billet est correct, il faut d’abord remplacer la lettre par un nombre représentant son rang dans l’alphabet (A = 1, B = 2, C = 3, ..., X = 24, Y = 25 et Z = 26). Ensuite, il faut effectuer la somme de ce nombre et des onze chiffres figurant sur ce billet. Le reste de la division de cette somme par 9 doit être égal à 8.

a) Vérifie l’exactitude du numéro d’un billet de 10 € dont le numéro est X47771172641. .....................................................................................................................................

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...............................................................................................................................

b) Le code U42036187403 figure sur un billet de banque. La saisie de ce numéro est-elle correcte ? ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

c) Sylvie a retiré au distributeur cinq billets de banque. Elle a réalisé la somme de la valeur attribuée à la lettre et des onze chiffres figurant sur chacun d’eux. Pour chaque billet, détermine si la somme est correcte ou non. Justifie. Somme Correcte/Incorrecte 98

Justification .............................................................................................

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ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

a) Dans chaque cas, transforme le nombre de jours en semaines et en jours (mentalement ou avec la calculatrice). 16 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

87 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

31 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

91 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

46 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

171 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

b) Quel est le nombre maximum de jours qui peut apparaître dans les transformations ci-dessus ? ...............................................................................................................................................................

c) Écris les différents calculs qui te permettent de transformer 3530 jours en semaines et en jours. ...............................................................................................................................................................

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d) Dans chaque cas, transforme à l’aide de la calculatrice le nombre de jours en semaines et en jours, puis écris une égalité équivalente ne comprenant plus d’unités de mesure du temps. 1674 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

1674 =

...............................................

3657 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

3657 =

...............................................

6845 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

6845 =

...............................................

8764 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

8764 =

...............................................

9268 jours = . . . . . . . . . . . semaines . . . . . . . . . . . jours

9268 =

...............................................

e) Complète le tableau en utilisant des nombres naturels.

p.109 A

Dividende

Diviseur

109

137

202

120

Calcul

Quotient

Reste

Égalité

En désignant le dividende par a, le diviseur par d, le quotient par q et le reste par r, trouve une égalité reliant ces quatre nombres et exprime la condition sur le reste. ...............................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Activité 2 Division euclidienne : exercices 1 Eﬀectue les calculs ci-dessous en utilisant ta calculatrice et note la solution sous la forme d’une relation euclidienne.

957 : 26

957 =

6857 : 124

6857 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 200 : 140

64 200 =

...................................................................................................................

.............................................................................................................

2 Complète le tableau ci-dessous. Dividende a

Diviseur d

Quotient q

Reste r

3 10

244

a=d.q+r

r<d

8 13

39 = 5 . 7 + 4

26 = 3 . 7 + 5

Dans une division euclidienne, le diviseur est 7 et le quotient est 5. Quels sont les dividendes possibles ? .....................................................................................................................................................................

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Quels sont les nombres dont la division euclidienne par 4 donne un reste égal au quotient ? .....................................................................................................................................................................

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Chapitre 3 Diviseurs et multiples

ACTIVITÉS

Les 231 élèves de 1re et de 2e année participent à une rencontre sportive. a) Sachant qu’un professeur ne peut s’occuper que de maximum 14 élèves, combien de professeurs sont nécessaires pour encadrer l’ensemble du groupe ? ...............................................................................................................................................................

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b) (1) Combien de cars de 45 places sont nécessaires au transport de ces personnes ?

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(2) Combien de places restent inoccupées durant le trajet ? ........................................................................................................................................................

c) Sur place, l’organisateur répartit de manière équitable les 231 élèves de l’école dans 21 équipes. (1) Si chaque élève doit faire partie d’une équipe, détermine le nombre d’élèves par équipe. ........................................................................................................................

(2) L’organisateur aurait-il pu, avec les 231 élèves de l’école, constituer 22 équipes identiques ? ........................................................................................................................................................

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Jean possède 60 pièces de collection qu’il décide de partager entre ses petits-enfants. Il en donne d’abord 6 à chacun d’entre eux et se rend compte qu’il lui en reste 18. Il termine alors le partage en donnant une pièce à chacun de ses petits-enfants autant de fois que possible. a) Combien Jean a-t-il de petits-enfants ? ...............................................................................................................................................................

b) Lorsqu’il aura terminé le partage, combien de pièces aura reçu chacun des petitsenfants de Jean ? Combien de pièces n’auront pas pu être distribuées ? ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

Dans une école, il y a entre 260 et 270 élèves au premier degré. On organise un tournoi de football auquel tous les élèves participent. Chaque équipe comprend 11 élèves. Un même élève ne peut pas jouer dans deux équipes. CALCULE le nombre d’équipes que l’on peut former. CALCULE le nombre d’élèves au premier degré. ÉCRIS ton raisonnement et tous tes calculs. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Activité 3 Division euclidienne et fractions 1

a) Observe la droite graduée et complète les égalités. A B C D E F 0

abs . . . . . . . =

103 20

abs . . . . . . . =

9 7

abs . . . . . . . =

47 17

abs . . . . . . . =

35 8

abs . . . . . . . =

2 5

abs . . . . . . . =

127 18

b) Encadre les fractions ci-dessous par deux nombres naturels consécutifs. ...........

...........

103 < ........... 20

...........

9 < ........... 7

35 < ........... 8

...........

2 < ........... 5

...........

47 < ........... 17

127 < ........... 18

c) Écris les fractions ci-dessous sous la forme d’une somme d’un nombre naturel et d’une fraction inférieure à 1.

103 = ....................................... 20

9 = 7

...........................................

47 = ......................................... 17

35 = 8

2 = 5

...........................................

127 = ....................................... 18

.........................................

Quelques points de la droite graduée ci-dessous ont été repérés. A B C D E 0

d 4

Écris chacune des fractions ci-dessous sous la forme d’une somme d’un nombre naturel et d’une fraction inférieure à 1 puis associe chaque point à son abscisse. 26 = 11 31 = 9 3

......................

= abs . . . . . . . .

38 = 15

......................

= abs . . . . . . . .

23 = 11

= abs . . . . . . . .

11 = 9

......................

= abs . . . . . . . .

41 = 15

......................

= abs . . . . . . . .

......................

= abs . . . . . . . .

À l’aide de ta calculatrice, encadre les nombres naturels suivants par deux multiples de 6 consécutifs. ...........

......................

< 737 < . . . . . . . . . . .

...........

< 2375 < . . . . . . . . . . .

...........

< 8978 < . . . . . . . . . . .

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Activité 4 Écriture littérale des nombres particuliers 1

Complète, de manière logique, les suites de nombres ci-dessous. Terme

Terme 5

n+1

n+2

3 4

n+1

n+2

n+1

n+2

Écris l’expression littérale la plus simple possible dans laquelle n représente un nombre naturel … d’un multiple de 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’un multiple de 5 :

d’un multiple de 4 augmenté de 1 :

d’un multiple de 3 diminué de 2 :

d’un nombre pair :

.............

...........................................

d’un carré : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...........................................

d’un nombre impair :

..................

........................................

d’un cube : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de deux nombres consécutifs :

...........................................................................................................

de trois nombres consécutifs :

............................................................................................................

de deux nombres pairs consécutifs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de deux nombres impairs consécutifs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p.109 B

de deux multiples de 3 consécutifs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de trois multiples de 4 consécutifs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Résous les problèmes suivants et vérifie ta solution. La somme d’un nombre naturel, de son double et de son triple vaut 204. Quel est ce nombre ?

La somme de deux nombres consécutifs vaut 95. Quels sont ces nombres ?

...............................................................................

La somme de deux nombres impairs consécutifs vaut 156. Quels sont ces nombres ?

La somme de quatre multiples de 7 consécutifs vaut 266. Quels sont ces nombres ?

...............................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Activité 5 Diviseurs et multiples 1

Complète les phrases suivantes en utilisant la relation générale de la division euclidienne. Pour justifier que 24 est divisible par 3, j’écris que …

24 = 3 .

........................

Pour justifier que 25 n’est pas un multiple de 3, j’écris que …

25 = 3 .

........................

Pour justifier que 49 n’est pas divisible par 5, j’écris que …

49 =

..............................

Pour justifier que 55 est un multiple de 11, j’écris que …

55 =

..............................

Pour justifier que 15 n’est pas un diviseur de 227, j’écris que … 227 = Pour justifier que 7 divise 91, j’écris que … 2

91 =

...........................

..............................

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie en utilisant la relation générale de la division euclidienne. 25 est un multiple de 7.

.........................................................................................................

103 est divisible par 25.

.........................................................................................................

3 est un diviseur de 165.

.........................................................................................................

8 divise 222.

.........................................................................................................

2842 est un multiple de 14.

.........................................................................................................

12 est un diviseur de 3662.

.........................................................................................................

Sachant que n est un nombre naturel, détermine si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifie. 12n est un multiple de 6.

.......................................................................................................

6n est un multiple de 4.

.......................................................................................................

3n + 6 est un multiple de 3.

.......................................................................................................

2n + 5 est un nombre pair.

.......................................................................................................

3n + 1 est un multiple de 3.

.......................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Si tu sais que n est un nombre naturel, complète le tableau ci-dessous en notant une croix dans les cases adéquates. divisible par 3

divisible par 5

divisible par 6

divisible par 9

6n 9n 30n

45n 5n + 3 3n + 18 18n + 27 10n + 25 5

Après avoir vérifié les affirmations ci-dessous à l’aide des exemples numériques proposés, démontre-les. a) (1) « La somme de deux nombres consécutifs est un nombre impair. » Vérification si le premier nombre est ... 9:

.........................................

18 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121 :

....................................

........................................................................................................................................................

Démonstration ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

(2) « La somme de trois nombres consécutifs est un multiple de 3. » Vérification si le premier nombre est ... 7:

.........................................

27 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243 :

....................................

........................................................................................................................................................

Démonstration ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

(3) « La somme de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4. » Vérification si le premier nombre est ... 5:

.........................................

37 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 :

....................................

........................................................................................................................................................

Démonstration ........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

b) Parmi les trois nombres suivants, barre celui qui n'est pas la somme de quatre nombres naturels consécutifs. Justifie. 482 398

596 244

776 534

...............................................................................................................................................................

Activité 6 Caractères de divisibilité par 3 et par 9 1

765 est divisible par 9 car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................................................

Énonce le caractère de divisibilité par 9. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

Justifie ce caractère de divisibilité en complétant le raisonnement ci-dessous. 765 = 7 . . . . . . . . . . . . . + 6 . . . . . . . . . . . . . + 5 . . . . . . . . . . . . . 765 = 7 . (. . . . . . . . . . . . + 1) + 6 . (. . . . . . . . . . . . + 1) + . . . . . . . . . . . . 765 = 7 . . . . . . . . . . . . . + 7 . . . . . . . . . . . . . + 6 . . . . . . . . . . . . . + 6 . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . 765 = 7 . . . . . . . . . . . . . + 6 . . . . . . . . . . . . . + 7 . . . . . . . . . . . . . + 6 . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . 765 = 7 . . . . . . . . . . . . . + 6 . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . 765 = 7 . . . . . . . . . . . . . . 11 + 6 . . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . 765 = . . . . . . . . . . . . . (7 . 11 + 6) + . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . = ............ .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

Sur une feuille annexe, justifie, en utilisant la même démarche, que 525 est divisible par 3.

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Activité 7 Nouvelle propriété de la divisibilité 1

Dans la liste de fractions ci-dessous, retrouve les fractions qui peuvent désigner le même nombre. Note tes résultats sous forme d’égalités successives. 4 9 3 16 13 12 8 15 1 20 48 11 5 21 7 18 52 15 9 35 4 25 54 44 .............................................................................

..................................................................................

.............................................................................

..................................................................................

Quelles sont les fractions irréductibles ? Pourquoi ne peuvent-elles pas être simplifiées ? .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

Parmi les nombres 2 – 5 – 6 – 7 – 9 – 10 – 11, détermine ... a) les nombres premiers. ...............................................................................................................................................................

b) les paires de nombres premiers entre eux. ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

Dans chacune des lignes ci-dessous, barre les nombres qui ne répondent pas à la condition énoncée. Divisibles par 4

100 110 120

Divisibles par 15

100 110 120

Divisibles par 60

100 110 120

Divisibles par 6

100 110 120

Divisibles par 10

100 110 120

Divisibles par 60

100 110 120

Vrai ou faux ?

Si un nombre est divisible par 4 et par 15, alors il est divisible par 60.

.......................

Si un nombre est divisible par 6 et par 10, alors il est divisible par 60.

.......................

p.110 C1

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

ACTIVITÉS

Tires-en une conclusion. p.110 C2

.....................................................................................................................................................................

Pour chacune des affirmations ci-dessous, détermine tous les produits de deux facteurs premiers entre eux égaux au diviseur. Utilise ensuite le produit le plus approprié pour vérifier l’affirmation.

a) 285 est divisible par 15. ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

b) 1224 est divisible par 36. ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

c) 8340 est divisible par 30. ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Activité 8 Plus grand commun diviseur (PGCD) 1

Pour son petit-fils, Armand souhaite, à partir de chutes de bois, réaliser des cubes de construction tous identiques, les plus grands possible et dont l’arête sera mesurée par un nombre entier de centimètres. L’ensemble de ces cubes devra remplir complètement l’intérieur d’un coffre ayant la forme d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions intérieures sont 12 cm, 20 cm et 28 cm. Détermine la longueur de l’arête d’un de ces cubes ainsi que le nombre maximum de cubes que l’on pourra ranger dans le coffre. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

p.111 D1a

a) Détermine mentalement le PGCD des nombres suivants. PGCD (24 , 36) =

......................................

PGCD (14 , 15) =

PGCD (22 , 33) =

......................................

PGCD (8 , 24) =

PGCD (13 , 39) =

......................................

PGCD (12 , 35) =

PGCD (6 , 8 , 16) =

..................................

.................................................

...................................................

.................................................

PGCD (50 , 75 , 125) =

......................................

b) Comment es-tu certain(e) que chaque nombre trouvé est le PGCD ? Illustre par un exemple. ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

c) Pour quels exercices pouvais-tu utiliser une méthode plus rapide que de comparer les ensembles de diviseurs pour déterminer le PGCD ? Pourquoi ? ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

p.111 D2

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

a) Rends irréductibles les fractions ci-dessous. 250 = 350

.................................................................

108 = 180

.................................................................

Pour rendre une fraction irréductible, il faut diviser son numérateur et son dénominateur par leur

..................................................................................................................

Déduis-en le PGCD des nombres suivants. PGCD (250 , 350) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PGCD (108 , 180) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de facteurs premiers, quels facteurs permettent de retrouver leur PGCD ?

p.111 D1b

250 =

.................................................................

108 =

.................................................................

350 =

.................................................................

180 =

.................................................................

PGCD (250 , 350) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PGCD (108 , 180) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= .........................................

...............................................................................................................................................................

Détermine le PGCD des nombres suivants. 120

144

540

168

225

120 =

...............................

540 =

...............................

225 =

144 =

...............................

168 =

...............................

75 =

525

................................

..................................

525 =

................................

PGCD (120 , 144)

PGCD (540 , 168)

PGCD (225 , 75 , 525)

........................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

À l’occasion de la fête de l’école, le cuisinier confectionne de grandes pizzas rectangulaires. Pour leur cuisson, il utilise une platine de 108 cm sur 84 cm. Détermine le nombre minimum de parts carrées identiques qu’il peut obtenir en découpant, sans déchet, une de ces pizzas. La dimension de ces mini pizzas doit être exprimée par un nombre entier de centimètres. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

Activité 9 Plus petit commun multiple (PPCM) 1

Théo possède un jeu de puces au règlement un peu particulier. Il doit propulser des jetons plats, les puces, vers une aire de réception carrée de 56 cm de côté partagée par des lignes droites en rectangles tous identiques de 28 mm sur 35 mm. Théo relève un nouveau défi : envoyer toutes ses puces sur le carré le plus petit possible formé par des rectangles entiers. Détermine la longueur d’un côté de ce carré. ....................................................................................................................

....................................................................................................................

p.111 E1a

....................................................................................................................

a) Détermine mentalement le PPCM des nombres suivants. PPCM (12 , 8) =

........................................

PPCM (16 , 48) =

................................................

PPCM (18 , 6) =

........................................

PPCM (40 , 70) =

................................................

..........................................

PPCM (12 , 35) =

................................................

PPCM (8 , 9) =

PPCM (15 , 12) =

.....................................

PPCM (48 , 144) =

PPCM (27 , 10) =

.....................................

PPCM (11 , 13) =

..............................................

................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

b) Comment es-tu certain(e) que chaque nombre trouvé est le PPCM ? Illustre par un exemple. ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

c) Pour quels exercices pouvais-tu utiliser une méthode plus rapide que de comparer les ensembles de multiples pour déterminer le PPCM ? Pourquoi ? ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

p.112 E2

...............................................................................................................................................................

a) Réduis les fractions ci-dessous au même dénominateur. 1 1 et Æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 15

5 7 et Æ 18 60

......................................................

Pour réduire deux fractions au même dénominateur, il faut déterminer le .......................................................................................................

...............

des dénominateurs et écrire

deux fractions équivalentes aux premières ayant celui-ci comme dénominateur. Déduis-en le PPCM des nombres suivants. PPCM (12 , 15) =

...........................................

PGCD (18 , 60) =

...........................................

b) Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de facteurs premiers, comment peux-tu trouver leur PPCM ? 12 =

...................................................................

18 =

...................................................................

15 =

...................................................................

60 =

...................................................................

PPCM (12 , 15) =

...........................................

PPCM (18 , 60) =

...........................................

...............................................................................................................................................................

p.112 E1b

...............................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Détermine le PPCM des nombres suivants. 120

126

250

280

120 =

...............................

250 =

...............................

32 =

..................................

126 =

...............................

280 =

...............................

48 =

..................................

72 =

..................................

PPCM (120 , 126)

PPCM (250 , 280)

PPCM (32 , 48 , 72)

........................................

Amélie et Manon améliorent leur condition physique. Elles s'entraînent tous les mercredis après-midi sur une piste d'athlétisme longue de 400 m. Manon boucle un tour de piste en 1 min 40 s et Amélie en 2 min 10 s. Sachant qu’elles démarrent ensemble, à quel moment vont-elles repasser la ligne de départ en même temps ? Quelle sera la distance parcourue par chacune d’entre elles ? .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Activité 10 Lien entre PGCD et PPCM 1

Quand deux nombres sont premiers entre eux, tu obtiens leur PPCM en calculant leur produit. Dans les autres cas, ce produit n’est pas le PPCM des deux nombres mais un de ses multiples. Complète le tableau ci-dessous pour découvrir la méthode qui permet de déterminer rapidement le PPCM de deux nombres non premiers entre eux en utilisant néanmoins leur produit. a

a.b

8 25

PPCM (a , b)

a.b

108

250

375

486

PPCM (a , b)

Énonce la propriété découverte. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

p.113 G1

.....................................................................................................................................................................

En utilisant les notations PPCM (a , b) et PGCD (a , b), écris sous forme d’une égalité la propriété que tu viens de découvrir, puis trouve une forme équivalente ne comprenant plus de fraction. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

Énonce cette « nouvelle propriété » par une phrase. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

p.113 G2 .....................................................................................................................................................................

En utilisant la propriété que tu viens de découvrir, calcule le PPCM des nombres suivants. PPCM (30 , 12) =

..............................................

PPCM (45 , 20) =

..............................................

Pour calculer le PPCM des nombres suivants en utilisant la règle que tu viens de découvrir, tu seras confronté(e) à un problème de calcul mental. Trouve un procédé lié aux fractions pour contourner cette difficulté. PPCM (16 , 12) =

..............................................

PPCM (32 , 24) =

..............................................

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Le PPCM de deux nombres est 60 et leur PGCD est 5. Quels sont ces deux nombres ? Envisage toutes les possibilités. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

Activité 11 PGCD et PPCM : exercices de synthèse 1

Détermine le plus rapidement possible, le PGCD et le PPCM … a) des nombres dont on connaît la décomposition en un produit de facteurs premiers. a

22 . 33 . 5

23 . 3 . 52

33 . 5

32 . 7

2 . 11

3.5

PGCD

PPCM

b) des nombres proposés.

PGCD

PPCM

144

180

PGCD

PPCM

Des boîtes de dominos de forme parallélépipédique ont les dimensions suivantes : 18 cm, 6 cm et 4 cm. On veut les emballer en les posant toutes de la même manière, sans perdre de la place dans des caisses cubiques les plus petites possibles. Quelle sera la dimension de ces caisses ? Combien de boîtes de dominos pourra-t-on ranger dans une caisse ? .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

p.112 F

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

ACTIVITÉS

Détermine le nombre naturel compris entre 450 et 500 qui est divisible à la fois par 12, 15 et 20. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

À l’occasion du marché de Noël organisé chaque année dans leur école, un instituteur et ses élèves ont confectionné des biscuits sablés. Afin de les offrir aux premiers visiteurs, ils souhaitent les emballer, tous, dans des petits sachets transparents. a) Sachant qu’ils ont à leur disposition 144 biscuits ayant la forme d’une étoile et 180 biscuits ayant la forme d’un flocon de neige, détermine le plus grand nombre de sachets identiques qu’ils pourront préparer. ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

b) Détermine le nombre d’étoiles ainsi que le nombre de flocons de neige contenus dans chaque sachet. ...............................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................

Pour une activité, un enseignant répartit 132 filles et 84 garçons en formant le plus grand nombre de groupes mixtes. Tous les élèves participent. Chaque élève appartient à un seul groupe. Le nombre de filles est le même dans chaque groupe. Le nombre de garçons est le même dans chaque groupe. DÉTERMINE le plus grand nombre de groupes mixtes formés. DÉTERMINE le nombre de filles dans chaque groupe. DÉTERMINE le nombre de garçons dans chaque groupe. ÉCRIS tout ton raisonnement et tous tes calculs. .....................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Connaître 1

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie. a) Le reste d’une division peut être égal au diviseur. b) Si l’égalité 138 = 7 . 18 + 12 traduit une division euclidienne, alors le diviseur est 7. c) Si le dividende est multiple du diviseur, alors le quotient est exact.

Si l’égalité traduit une division euclidienne, détermine son dividende, son diviseur, son quotient et son reste.

Égalité

Dividende

Diviseur

Quotient

Reste

48 = 9 . 5 + 3 20 = 2 . 8 + 4 64 = 7 . 8 + 8 241 = 12 . 19 + 13 25 = 5 . 4 + 5 3

Écris une expression littérale simple ... a) d’un multiple de 3. c) d’un multiple de 5 diminué de 2. e) de deux multiples de 7 consécutifs. b) d’un nombre pair. d) du cube d’un nombre pair. f) de trois nombres impairs consécutifs.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie par une égalité vraie. a) 32 est divisible par 8. 3 est un diviseur de 72. 222 est un multiple de 22.

b) 900 est un multiple de 75. 14 divise 1372. 12 est un diviseur de 40.

c) 0 est divisible par 5. 800 est un diviseur de 2000. 91 est un multiple de 7.

Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ? Justifie. a) 16 et 21 b) 15 et 55 c) 13 et 50 d) 8 et 25

e) 17 et 23 f) 13 et 52 g) 18 et 63

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie. a) Si deux nombres sont premiers entre eux, alors ils sont premiers. b) Si deux nombres sont premiers, alors ils sont premiers entre eux. c) 2 est premier avec tout nombre naturel impair. d) 3 est premier avec tout nombre naturel pair. e) Si le PGCD de deux nombres est 1, alors ces nombres sont premiers. f) Si le PPCM de deux nombres est 6, alors ces nombres sont premiers. g) Si le PPCM de deux nombres est 12, alors ces nombres sont premiers entre eux. h) Si on divise deux nombres par leur PGCD, alors les quotients obtenus sont premiers entre eux. i) Si on multiplie deux nombres par un même nombre, alors leur PPCM est multiplié par le double de ce nombre.

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie. a) Si un nombre est divisible à la fois par 10 et par 6, alors il est divisible par 60. b) Si un nombre est divisible à la fois par 4 et par 9, alors il est divisible par 36. c) Si un nombre est divisible à la fois par 8 et par 12, alors il est divisible par 96.

Sans effectuer la division, comment peut-on reconnaître si un nombre est divisible par ... a) 15 ?

b) 45 ?

d) 72 ?

Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie. a) Le PGCD de 50 et de 75 est 25. Le PGCD de 60 et de 90 est 10. Le PGCD de 56 et de 63 est 7. Le PGCD de 63 et de 42 est 7.

c) 60 ?

b) Le PPCM de 50 et de 75 est 150. Le PPCM de 8 et de 12 est 48. Le PPCM de 24 et de 36 est 72. Le PPCM de 15 et de 40 est 600.

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

10 Complète les phrases ci-dessous et justifie par une propriété.

a) Le PGCD de 38 et de 114 est . . . . . . car . . . . . . b) Le PPCM de 21 et de 63 est . . . . . . car . . . . . . c) Le PGCD de 12 et de 25 est . . . . . . car . . . . . .

d) Le PGCD de 25 et de 32 est . . . . . . car . . . . . . e) Le PPCM de 12 et de 13 est . . . . . . car . . . . . . f) Le PPCM de 32 et de 8 est . . . . . . car . . . . . .

Appliquer 1

Dans chaque cas, transforme le nombre de minutes en heures et en minutes. a) 79 minutes b) 142 minutes

= 30 . 8 + 5 135 = 25 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

b) 45 = . . . . . . . . . . 7 + . . . . . . . . . 71 = 34 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

.........

= 137 . 17 + 13 296 = 17 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

c) 89 = . . . . . . . . . . 11 + . . . . . . . . . 142 = 99 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

b) 12 345 = 745 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . c) 1240 = . . . . . . . . . . 19 + . . . . . . . . . 7456 = . . . . . . . . . . 78 + . . . . . . . . . 3588 = 46 . . . . . . . . . . + . . . . . . . . .

.........

Complète les égalités suivantes par un produit de deux facteurs. Trouve toutes les solutions possibles et rejette celles qui n’expriment pas une division euclidienne. a) 125 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 15 71 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 5

g) 1224 minutes h) 1320 minutes

En utilisant la calculatrice, complète les égalités traduisant des divisions euclidiennes. a)

e) 460 minutes f) 621 minutes

Complète mentalement chaque égalité pour qu’elle traduise une division euclidienne. a)

c) 247 minutes d) 313 minutes

b) 101 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 11 82 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 36

c) 142 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 22 21 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + 3

Complète les tableaux ci-dessous en utilisant la formule de la division euclidienne a = d . q + r a

8 5

a 120

15 1

530

450 85

297

a) Dans une division euclidienne, le diviseur est 5 et le quotient est 12. Quels sont les dividendes possibles ? b) Dans une division euclidienne, le dividende est 62 et le reste est 6. Quel est le quotient ? Envisage toutes les possibilités. c) Quels sont les nombres naturels inférieurs à 30 dont le reste de la division euclidienne par 6 est égal à 3 ? d) Quel est le nombre naturel compris entre 40 et 50 dont le reste de la division euclidienne par 9 est égal à 3 ?

Encadre les fractions ci-dessous par deux nombres naturels consécutifs. 59 29 127 143 253 642 872 1452 a) b) 7 8 35 60 46 87 66 567

Trouve le quotient entier et le reste des divisions que les fractions ci-dessous représentent. 17 70 59 201 71 178 254 154 124 265 a) b) 21 25 8 40 20 69 52 37 100 45

a) b) c) d)

La somme de quatre nombres consécutifs vaut 46. Quels sont ces nombres ? La somme de deux nombres multiples de 6 consécutifs vaut 90. Quels sont ces nombres ? La somme de deux nombres multiples de 3 consécutifs vaut 99. Quels sont ces nombres ? La somme de trois nombres pairs consécutifs vaut 102. Quels sont ces nombres ?

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

10 Si tu sais que n est un nombre naturel, détermine parmi les expressions ci-dessous celles qui

représentent des nombre pairs. Justifie. 2n 2n + 4

2n + 5 2n – 1

2n – 7 2n + 8

2n + 2n + 1 2n + 2n + 8

2n + 5 – n 2n + 7

2n – n n + 3n

11 Sachant que n est un nombre naturel, les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

Justifie.

a) 12n est un multiple de 3. c) 2n + 3 est un nombre pair. e) 5n + 35 est un multiple de 5. b) 3n + 4 est un multiple de 3. d) 9n + 27 est un multiple de 9. f) 4n + 12 est un multiple de 4. 12 Démontre les affirmations ci-dessous.

a) b) c) d)

La somme de trois multiples de 3 consécutifs est toujours un multiple de 9. La somme de quatre nombres impairs consécutifs est un nombre pair. La somme de trois nombres pairs consécutifs est un multiple de 6. Le carré d’un nombre pair est un nombre pair.

13 a) À quelle condition un multiple de 3 est-il un multiple de 6 ?

b) À quelle condition un multiple de 5 est-il un multiple de 30 ? c) À quelle condition un multiple de 15 est-il un multiple de 24 ? d) À quelle condition un multiple de 27 est-il un multiple de 36 ?

14 Détermine mentalement le PGCD et le PPCM des nombres proposés.

a) 15 et 60 b) 32 et 256

12 et 16 25 et 45

17 et 51 11 et 264

20 et 33 9 et 146

27 et 108 13 et 338

15 Calcule le PGCD des nombres proposés après les avoir décomposés en un produit de facteurs

premiers.

a) 160 et 96

b) 96 et 72

c) 165 et 550 d) 225 et 525 e) 108 et 180 f) 432 et 240

16 Calcule le PPCM des nombres proposés après les avoir décomposés en un produit de facteurs

premiers.

a) 40 et 16

b) 90 et 168

c) 80 et 90

d) 216 et 297 e) 450 et 120 f) 1098 et 280

17 Rends irréductibles les fractions ci-dessous en divisant leur numérateur et leur dénominateur

par leur PGCD. 24 16 25 77 125 a) 36 24 35 66 100

42 18 180 350 64 63 35 240 275 320

18 Détermine le PPCM des dénominateurs des fractions ci-dessous et réduis-les au même

dénominateur. a)

2 5 et 9 6

2 5 et 9 3

3 7 et 50 60

3 2 et 4 15

2 5 et 7 6

2 5 et 9 8

5 7 et 24 12

7 1 et 11 6

1 5 et 24 36

1 7 et 25 75

19 Détermine le PPCM des nombres proposés en utilisant leur PGCD.

a) 44 et 55

b) 100 et 75

c) 54 et 36

d) 64 et 80

e) 120 et 300

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Transférer 1

a) Quels sont les nombres dont la division par 6 donne un reste égal au quotient ? b) Quels sont les nombres dont le reste de la division par 7 est le double du quotient ? c) Quels sont les nombres dont le quotient de la division par 3 est le quadruple du reste ?

Si on divise 225 et 313 par un même nombre le plus grand possible, on obtient 5 comme reste. Quel est ce diviseur ?

Que devient le quotient de la division exacte 72 = 12 . 6 si on rend ... a) b) e) f) g)

le diviseur trois fois plus grand ? c) le dividende deux fois plus petit ? le diviseur six fois plus petit ? d) le dividende quatre fois plus grand ? le dividende et le diviseur deux fois plus petits ? le dividende et le diviseur cinq fois plus grands ? le dividende trois fois plus grand et le diviseur deux fois plus petit ?

a) Détermine le quotient et le reste de la division de 312 par 37. b) Détermine le plus grand nombre naturel que l’on peut ajouter à 312 pour que le quotient reste inchangé. c) Détermine le plus grand nombre naturel que l’on peut retrancher de 312 pour que le quotient reste inchangé.

Détermine le plus petit nombre naturel qu’il faut ajouter à 371 et le plus petit nombre naturel qu’il faut retirer de 371 pour que le reste de la division de 371 par 12 soit égal à 0.

a) Si on divise un nombre x par 8, alors on obtient 91 comme quotient et 5 comme reste. Si on divise un nombre y par 8, alors on obtient 92 comme quotient et 2 comme reste. Qu’obtiendra-t-on comme quotient et comme reste si on divise x + y par 8 ? b) Si on divise un nombre x par 8, alors on obtient 91 comme quotient et 6 comme reste. Si on divise un nombre y par 8, alors on obtient 92 comme quotient et 7 comme reste. Qu’obtiendra-t-on comme quotient et comme reste si on divise x + y par 8 ?

Détermine le nombre naturel compris entre 700 et 800 qui est divisible à la fois par 7, 12 et 18.

Si a et b sont deux nombres naturels composés de quatre chiffres tels que a = 65xy et b = 4x7y, par quels chiffres faut-il remplacer x et y pour que a soit divisible par 20 et b par 6 ?

En utilisant l’égalité 360 = 5 . 72 et sans effectuer la division, détermine le quotient de 360 par 8.

10 En utilisant l’égalité 588 = 7 . 84 et sans effectuer la division, détermine le quotient de 588

par 21.

11 Le PGCD de deux nombres est 74 et le plus grand des deux vaut 888. Détermine les valeurs

que peut prendre le plus petit des deux nombres.

12 Dans la version « Le puits » du jeu Dobble, une carte est posée face visible

au centre de la table, les 54 cartes restantes sont réparties équitablement entre tous les joueurs. Combien de cartes non distribuées restera-t-il si quatre joueurs participent au jeu ? Si six joueurs participent au jeu ?

13 Un stage de volley-ball est organisé à l’école durant les vacances de Pâques. Si tu sais que

21 filles et 27 garçons y participent, détermine le nombre d’équipes féminines, le nombre d’équipes masculines et le nombre d’équipes mixtes que les moniteurs peuvent former (une équipe de volley est composée de six joueurs).

14 Combien de sachets contenant chacun 12 œufs en chocolat peut-on préparer avec un sac de

4 kg, sachant qu’un kg contient 100 œufs ? Combien restera-t-il d’œufs après la confection des petits sachets ?

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

15 Un numéro de carte d’identité est composé de 12 chiffres répartis en trois parties.

Les deux derniers chiffres représentent toujours le reste de la division par 97 du nombre formé par les dix premiers chiffres. Vérifie l’exactitude des numéros des cartes d’identité ci-dessous. a) 247-1028457-17

b) 138-4376001-52

c) 172-6303151-68

16 Vingt-sept pirates décident de se partager leur dernier butin : 386 pièces d’or.

John le Borgne, le plus âgé et le plus malin de ces pirates, dit à ses compagnons : « Partagez ces pièces d’or entre vous de manière équitable, je prendrai ce qu’il restera ». Détermine la part de chaque pirate ainsi que celle de John le Borgne.

17 Un escalier compte entre 80 et 100 marches. Si je le descends par 2, 3 ou 4 marches à la fois,

il me reste à chaque fois une marche. Si je parvenais à le descendre par 5 marches à la fois, j’arriverais exactement au pied de l’escalier. Combien de marches possède cet escalier ?

18 Deux coureurs de fond partent en même temps pour un 10 000 m. Le premier coureur met

1 min 15 s pour parcourir un tour de piste alors qu’il faut 1 min 20 s au second. Après combien de temps le coureur le moins rapide sera doublé pour la première fois au niveau de la ligne de départ ? À ce moment, combien de tours chacun aura-t-il fait ?

19 On dispose de trois lattes en bois, l’une de 1,50 m, l’autre de 2,40 m et la troisième de

3,60 m. On veut les scier en un certain nombre de lattes de même longueur, mais la plus grande possible. a) Détermine la longueur d’une latte en bois sachant que celle-ci doit être exprimée par un nombre entier de centimètres. b) Détermine le nombre de lattes en bois obtenues.

20 Un sapin de Noël est garni de guirlandes : une guirlande verte qui clignote

toutes les 4 secondes, une guirlande jaune qui clignote toutes les 15 secondes et une guirlande rouge qui clignote toutes les 21 secondes. a) À quels intervalles clignotent deux guirlandes en même temps ? b) À quel intervalle clignotent les trois guirlandes simultanément ? c) Sachant que les trois guirlandes clignotent simultanément à 18 heures, détermine l’heure à laquelle cette situation se reproduira.

21 Jean possède une collection de cartes postales. S’il les classe par paquets de 10, de 12 ou de

25, il lui en reste chaque fois trois. De combien de cartes postales est composée sa collection sachant que ce nombre est compris entre 1000 et 1300 ?

22 Un menuisier désire construire un escalier composé de deux parties distinctes : l’une de

2,52 m de hauteur et l’autre de 3,24 m. Il souhaite construire des marches de la même hauteur comprise entre 15 cm et 20 cm. Détermine la hauteur exacte de chaque marche et le nombre total de marches.

23 À l’occasion de la Saint-Valentin, un fleuriste achète chez le grossiste 240 roses rouges à 1,05 € pièce et 400 roses blanches à 1,15 € pièce. Il prépare le plus grand nombre de bouquets

identiques, c’est-à-dire contenant le même nombre de roses et la même répartition de roses rouges et de roses blanches. a) Combien de bouquets peut-il former ? b) Quelle sera la composition de chaque bouquet ? c) Quel sera le bénéfice réalisé par le fleuriste s’il vend l’ensemble de ses bouquets à 10,90 € pièce ?

CHAPITRE 3 DIVISEURS ET MULTIPLES

A Division euclidienne 1. Relation générale

Si on divise le nombre naturel a par le nombre naturel d non nul, alors il existe deux nombres naturels q et r tels que a=d.q+r

avec

r<d

Exemple : Si on divise 72 par 5, alors il existe deux nombres naturels 14 et 2 tels que 72 = 5 . 14 + 2 avec 2 < 5

2. Cas particulier Si le reste de la division euclidienne est nul, alors la relation a = d . q + r devient a = d . q, ce qui signiﬁe que a est un multiple de d ou que d est un diviseur de a. Exemple : 70 = 5 . 14 + 0 ou 70 = 5 . 14 ce qui signiﬁe que 70 est un multiple de 5 ou que 5 est un diviseur de 70.

B Écriture littérale des nombres particuliers Si n est un nombre naturel, alors l’expression littérale la plus simple … d’un nombre pair est

....................................................

d’un nombre impair est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2n + 1

d’un multiple de 3 est

...................................................

Exemples : 10 est un nombre pair car 10 = 2 . 5 11 est un nombre impair car 11 = 2 . 5 + 1 12 est un multiple de 3 car 12 = 3 . 4 Si n est un nombre naturel, alors l’expression littérale la plus simple … de deux nombres consécutifs est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n et n + 1

de trois nombres consécutifs est

n, n + 1 et n + 2 n – 1, n, n + 1

...............................

Exemples : 10 et 11 sont deux nombres consécutifs car 11 = 10 + 1 (n = 10) 25, 26 et 27 sont trois nombres consécutifs car 26 = 25 + 1 et 27 = 25 + 2 (n = 25) TH 109

THÉORIE

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

Si n est un nombre naturel, alors l’expression littérale la plus simple … de deux nombres pairs consécutifs est

...................

de deux nombres impairs consécutifs est

..................

de trois multiples de 4 consécutifs est

..................

2n et 2n + 2 2n et 2 . (n + 1) 2n + 1 et 2n + 3 4n, 4n + 4 et 4n + 8 4n, 4 . (n + 1) et 4 . (n + 2)

Exemples : 24 et 26 sont deux nombres pairs consécutifs car 24 = 2 . 12 et 26 = 2 . 12 + 2 ou 24 = 2 . 12 et 26 = 2 . 13

(n = 12)

25 et 27 sont deux nombres impairs consécutifs car 25 = 2 . 12 + 1 et 27 = 2 . 12 + 3

(n = 12)

20, 24 et 28 sont trois multiples de 4 consécutifs car 20 = 4 . 5, 24 = 4 . 5 + 4 et 28 = 4 . 5 + 8 ou 20 = 4 . 5, 24 = 4 . 6 et 28 = 4 . 7

(n = 5)

C Nombres premiers entre eux 1. Déﬁnition Deux nombres premiers entre eux sont deux nombres qui n’admettent que le nombre 1 comme diviseur commun. Exemple : 8 et 9 sont premiers entre eux car ils n’ont que le nombre 1 comme diviseur commun.

2. Propriété Si un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit. Exemple : Puisque 612 est divisible par 2 et par 9, nombres premiers entre eux, alors 612 est divisible par 18.

TH 110

THÉORIE

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

D Recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) 1. Méthodes générales a) Comparaison des ensembles de diviseurs Lorsque les nombres sont petits, on peut déterminer leur Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) en comparant leurs ensembles de diviseurs. Exemple : div 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , 24}

fi PGCD (24 , 36) = 12 div 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 , 18, 36}

b) Décomposition en facteurs premiers Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de puissances de facteurs premiers, le plus grand commun diviseur de ces nombres s’obtient en multipliant les facteurs communs, chacun d’eux étant aﬀecté de son plus petit exposant. Exemple : 360 = 23 . 32 . 5 336 = 24 . 3 . 7

fi PGCD (360 , 336) = 23 . 3 = 24

2. Cas particuliers Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur PGCD est 1. Exemple : 25 et 12 sont premiers entre eux fi PGCD (25 , 12) = 1 Si l’un des deux nombres est multiple de l’autre, alors leur PGCD est le plus petit des deux nombres. Exemple : 36 est multiple de 12 fi PGCD (36 , 12) = 12

E Recherche du Plus Petit Commun Multiple (PPCM) 1. Méthodes générales a) Comparaison des ensembles de multiples Lorsque les nombres sont petits, on peut déterminer leur Plus Petit Commun Multiple non nul (PPCM) en comparant leurs ensembles de multiples. Exemple : 12N = {0,12, 24, 36, 48, 60 , 72, 84, …} 15N = {0, 15, 30, 45, 60 , 75, 90, 105, …}

fi PPCM (12 , 15) = 60

TH 111

THÉORIE

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

b) Décomposition en facteurs premiers Après avoir décomposé chaque nombre en un produit de puissances de facteurs premiers, le plus petit commun multiple de ces nombres s’obtient en multipliant tous les facteurs, communs ou non, chacun d’eux étant aﬀecté de son plus grand exposant. Exemple : 24 = 23 . 3 90 = 2 . 32 . 5

fi PPCM (24 , 90) = 23 . 32 . 5 = 360

2. Cas particuliers Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur PPCM est le produit des deux nombres. Exemple : 8 et 9 sont premiers entre eux fi PPCM (8 , 9) = 8 . 9 = 72 Si l’un des deux nombres est multiple de l’autre, alors leur PPCM est le plus grand des deux nombres. Exemple : 36 est multiple de 12 fi PPCM (36 , 12) = 36

F Recherche du PGCD et du PPCM : Synthèse PGCD

PPCM

Les deux nombres sont premiers entre eux.

Produit des 2 nombres

Les deux nombres sont multiples l’un de l’autre.

Le plus petit des deux nombres

Le plus grand des deux nombres

Les deux nombres sont « petits ».

Comparaison des ensembles de diviseurs

Comparaison des ensembles de multiples

Les décompositions des deux nombres en un produit de facteurs premiers sont connues

Produit des facteurs communs aﬀectés de leur plus petit exposant

Produit de tous les facteurs, communs ou non, aﬀectés de leur plus grand exposant

TH 112

THÉORIE

Chapitre 3 Diviseurs et multiples

G Lien entre PGCD et PPCM 1. Première formulation Le PPCM de deux nombres est égal au produit des deux nombres divisé par leur PGCD. a.b . Si a et b sont deux nombres naturels, alors PPCM (a , b) = PGCD (a, b)

3 Exemple : a = 120 et b = 300 PGCD (120 , 300) = 60

120 . 300 60 2 . 300 = 1 = 600

fi PPCM (120, 300) =

2. Deuxième formulation Le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM. Si a et b sont deux nombres naturels, alors a . b = PGCD (a , b) . PPCM (a , b). Exemple : a = 120 et b = 300 PGCD (120 , 300) = 60 PPCM (120 , 300) = 600

fi 120 . 300 = 60 . 600 36 000 = 36 000

TH 113

PROBLÈMES DE COMPÉTENCES

Table des symboles NOMBRES + – . : = ≠ @ < > £ ≥ –a 1 a–1 ou a |a|

symbole de l’addition symbole de la soustraction symbole de la multiplication symbole de la division égal à diﬀérent de « égal en valeur approchée » plus petit que plus grand que plus petit ou égal à plus grand ou égal à opposé de a inverse de a valeur absolue de a

TRANSFORMATIONS DU PLAN Sd(X) image de X par la symétrie orthogonale d’axe d image de X par la symétrie centrale SM(X) de centre M tAB (X) image de X par la translation de vecteur AB rC, a (X) image de X par la rotation de centre C et d’amplitude a ABRÉVIATIONS p pi = 3,141 592 6… V.A. valeur approchée V.A.E. valeur approchée par excès V.A.D. valeur approchée par défaut

284

DROITES, DISTANCES, ANGLES et CERCLES // parallèle sécant(e) // ^ perpendiculaire A point A AB droite passant par les points A et B d droite d [AB demi-droite d’origine A passant par B [AB] segment d’extrémités A et B |AB| longueur du segment [AB] AB vecteur d(A,B) distance entre les points A et B d(X,a) distance du point X à la droite a d(a,b) distance entre les droites parallèles a et b A angle de sommet A angle de sommet A formé par [AB et BAC [AC A | | amplitude de l’angle de sommet A AC | | B

C(O,r) abs A P(a ; b)

amplitude de l’angle BAC cercle de centre O et de rayon r abscisse du point A coordonnées a et b du point P

SYMBOLES ENSEMBLISTES ¤ équivaut à, est équivalent à fi implique, entraîne Œ appartient à œ n’appartient pas à div a ensemble des diviseurs de a N ensemble des nombres naturels Z ensemble des nombres entiers T ensemble des nombres rationnels

Index Les renvois de page en noir concernent les activités. Les renvois de page en orange concernent la théorie.

critère de parallélisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113, 127 critères d’égalité de deux fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 119

A abscisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 120 adjacents (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 124 agrandissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254, 161 alternes externes (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 126 alternes internes (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 126 amplitude d’angles (recherche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 amplitude des angles d’un polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . 123, 131 amplitude des angles d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 129 angle extérieur d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121, 130 angle intérieur d’un polygone régulier . . . . . . . . . . . . . . 123, 131 angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107, 109, 124 angles à côté parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111, 125 angles adjacents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 124 angles alternes externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 126 angles alternes internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 126 angles complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 124 angles correspondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 126 angles de quadrilatères particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116, 128 angles formés par deux droites parallèles coupées par une sécante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 127 angles opposés par le sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 125 angles supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 124 axes et centres de ﬁgures particulières . . . . . . . . . . . . . . . 83, 116 axes et centres de ﬁgures usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 axes et centres de polygones réguliers . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 115 axes et centres de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 114 axes et centres de symétrie (applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 axes et centres des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80, 114 axes et centres des triangles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80, 115

D décodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 99 dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 distance entre deux droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . 185, 145 distance entre deux points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174, 141 distance par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174, 141 distance par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184, 145 distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173, 141 distributivité (double). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155, 137 distributivité (simple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154, 137 distributivité et suppression de parenthèses . . . . 157, 138 dividende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 diviseurs et multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 59, 109 divisibilité et nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . 62, 110 division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52, 109 droite graduée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 120 droites et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 125

B base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 binômes conjugués (produit). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236, 158 bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215, 152 bissectrice (propriétés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221, 155 bissectrice d’un angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221, 155 bissectrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224, 156 C calcul littéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149, 136 caractère (statistique). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266, 163 caractères de divisibilité par 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 carré d’une diﬀérence de deux termes. . . . . . . . . . . . . . 235, 157 carré d’une somme de deux termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232, 157 cercle circonscrit à un triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220, 153 cercle circonscrit à un triangle rectangle. . . . . . . . . . . 221, 154 cercle inscrit à un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224, 156 codage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 99 coeﬃcient de proportionnalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248, 159 comparaison de fractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100, 122 complémentaires (angles). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 124 concentriques (cercles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 143 correspondants (angles). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 126 critère d’existence d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180, 143

E eﬀectif (statistique). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266, 164 égalité de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 119 encadrement de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98, 121 encadrement de la longueur d’un côté d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 144 équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195, 147 équations (proportions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 équations ax + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201, 149 équations ax + b = cx + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 150 équations ax = b et x/a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199, 148 équations ax/b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200, 149 équations ax/b = c/d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200, 149 équations complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205, 150 équations x + a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198, 148 étendue (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266, 163 exposant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 expression littérale (réduction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 136 expression littérale d’un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 109 extérieur (cercle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 142 extérieure (droite extérieure à un cercle) . . . . . . . . 187, 146 F fractions (comparaison) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100, 122 fractions (critères d’égalité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 119 fractions (encadrement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98, 121 fractions (opérations) . . . . . . . . 129, 131, 132, 138, 166, 132 fractions (représentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 120 fractions (simpliﬁcation). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 161, 118, 140 fractions (symétriques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 133 fractions et division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56 fractions particulières. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 120 fractions : première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89, 117 fréquence (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267, 164

285

INDEX G grandeurs directement proportionnelles . . . . . . . . . . 248, 159 grandeurs inversement proportionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249 graphe sagittal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196, 201 graphique de proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248, 159 I image d’un point (rotation). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 105 image d’une figure (rotation). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 inégalité triangulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183, 144 intérieur (cercle intérieur à un cercle) . . . . . . . . . . . . . . . 177, 143 inverse d’une fraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 134 isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 103 isométries (constructions d’images) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 isométries (coordonnées) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 107 isométries (invariants) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 106 isométries (points fixes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 104 isométries (propriétés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 106 L lien entre PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 113 lieux géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225, 152 linéarité (propriété) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250, 159 M médiatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215, 152 médiatrice d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216, 152 médiatrices d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220, 154 mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154, 138 modalité (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266, 163 mode (statistique). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266, 269, 165 moyenne (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266, 269, 164 N nombres consécutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 109 nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 110 nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 117 notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 102 O opérations sur les fractions. . . . . . . .129, 131, 132, 138, 132 opérations sur les fractions littérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 opposé d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 133 opposés par le sommet (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109, 125 P parallélisme (critère) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113, 127 parallélogramme (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116, 128 parenthèses (suppression). . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 157, 136, 138 partage d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258, 162 plus grand commun diviseur (PGCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64, 111 plus petit commun multiple (PPCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 111 points alignés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180, 143 polygone (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122, 131 population (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266, 163 positions relatives d’un cercle et d’une droite . . 187, 146 positions relatives de deux cercles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 142 préfixes en informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 101 préfixes usuels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 101 priorité des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 139, 157, 135 probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266

286

problèmes (distance) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189 problèmes (équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209, 151 problèmes (fractions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 problèmes (mise en équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . .196, 207, 151 problèmes (proportionnalité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259 problèmes (puissances) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 produit de deux binômes conjugués. . . . . . . . . . . . . . . . . . 236, 158 produit de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132, 132 produit de puissances de même base 19, 161, 102, 139 produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231, 157 projections parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247, 257, 159, 161 proportionnalité directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248, 159 proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247, 252, 159, 160 proportions (équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 propriété des amplitudes des angles d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 129 propriété fondamentale des proportions . . . . . . . . . . 252, 160 propriétés de la bissectrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221, 155 propriétés de la médiatrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216, 152 propriétés des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197, 147 propriétés des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 161, 102, 139 puissance d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 162, 102, 139 puissance d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162, 139 puissance d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134, 133 puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 164, 102, 140 puissances (propriétés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19, 161, 102, 139 puissances d’entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 10, 99 puissances de 10 (et grands nombres) . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 100 puissances de 10 (et petits nombres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 101 Q quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 quotient d’une fraction par une fraction . . . . . . . . . . . 138, 134 quotient de puissances de même base . . . . . . . . . . . . . 161, 139 R rationnels (nombres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 117 réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256, 161 réduction d’une expression littérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 136 représentation de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97, 120 reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 105 rotation (éléments caractéristiques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 105 rotations invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 115 S sécante (droite sécante à un cercle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187, 146 sécants (cercles). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 142 série statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268, 165 signe d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 118 signe d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 99 similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 103 simplification de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 161, 118, 140 solution d’une équation (vérification). . . . . . . . . . . . . . . . 197, 147 somme et différence de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131, 132 statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266, 163 supplémentaires (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112, 124 symétrie centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 104 symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 104 symétriques d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135, 133

INDEX T tableau de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268, 165 tangent extérieurement (cercle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 142 tangent intérieurement (cercle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177, 143 tangente (droite tangente à un cercle) . . . . . . . . . . . . . . 187, 146 tangente en un point d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187, 146 traitement de données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265, 163 transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 34, 103 translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 104 trapèze (angles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116, 128

triangle (angle extérieur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121, 130 triangle (angles intérieurs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 129 V valeur approchée par défaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98, 121 valeur approchée par excès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98, 121 valeur numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13, 141, 151, 158, 100 valeurs centrales (comparaison). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270 valeurs centrales (statistique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268, 164 vériﬁcation de la solution d’une équation . . . . . . . . . 197, 147

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