Actimath à l'infini - 1re édition - 3e année - manuel - Extrait

3 Manuel

AcƟmath à l’infini

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Ph. Ancia M. Bams M. Chevalier M. Colin P. Dewaele A. Want

www.vanin.be ISBN 978-90-306-7120-6

561983

9 789030 671206

Manuel

3 Manuel Ph. Ancia M. Bams M. Chevalier M. Colin P. Dewaele A. Want

L’enseignant (via un formulaire de demande sur www.lesplusprofesseur.be) pourra activer l’accès à Udiddit pour sa classe à partir du moment où chaque élève dispose du livret d’exercices de la collection.

La période de validité débute dès l’activation et s’achève au 30 septembre de l’année suivante.

Composition d’Actimath à l’infini 3 Pour l’élève

un manuel un livret d’exercices un accès aux activités multimédias via Udiddit (www.Udiddit.be)

Pour le professeur un guide méthodologique un livre numérique des activités multimédias et des documents supplémentaires disponibles sur Udiddit (www.Udiddit.be) Actimath à l’infini 3 – Manuel Auteurs : Maryse Bams, Michaël Chevalier, Marlène Colin, Pascal Dewaele et Aline Want sous la direction de et avec Philippe Ancia Couverture : Mise en page :

Compo-sition Compo-sition

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale.

Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent.

La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages.

En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes.

Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due.

C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.

L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Louvain-la-Neuve – Wommelgem, 2015 Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition, 2e réimpression 2017 ISBN 978-90-306-7120-6 D/2015/0078/104 Art. 561983/03

Introduction

Introduction Dans sa conception et sa structure, Actimath à l’infini 3 s’insère parfaitement dans la continuité de ses prédécesseurs (Actimath à l’infini 1 et Actimath à l’infini 2), même si Actimath à l’infini 3 fait « peau neuve ». En effet, nous te présentons un manuel dont la formule est mieux adaptée au deuxième degré. Le livre-cahier fait place à un « vrai » manuel et à un livret d’exercices.

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Dans le manuel, aucune place n’est prévue pour la notation des réponses; il est donc déconseillé d’écrire dans ce livre. Tu devras disposer d’un classeur dans lequel tu rédigeras les solutions des différentes activités proposées et des exercices complémentaires éventuels que ton professeur te demandera de résoudre. Ce sera l’occasion de t’habituer à rédiger un document avec soin, à présenter une démonstration de manière structurée, à construire des figures précises et claires.

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Le livret d’exercices t’aidera à solutionner plus facilement certaines activités, comme celles qui nécessitent de disposer de la figure fournie dans l’énoncé afin de la compléter.

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Cette nouvelle formule d’Actimath à l’infini 3 offre tous les avantages du livre classique, mais en évite ses inconvénients.

Dans chaque chapitre, les activités, nombreuses et diversifiées, permettent tantôt de résoudre de petits problèmes avec les notions mathématiques que tu connais, tantôt de découvrir et de démontrer de nouvelles propriétés, de confronter ta recherche avec celles d’autres élèves et d’expliquer ta démarche.

Ce manuel comporte de très nombreux exercices complémentaires qui doivent permettre à chacun de s’entraîner à son rythme mais également d’apprendre à chercher seul. En effet, certains d’entre eux sont destinés à vérifier tes connaissances, à améliorer les techniques mathématiques et d’autres cultivent l’art de faire des démonstrations et entraînent à la résolution de problèmes.

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N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (pp. 339-342). Lors de la recherche d’un mot important, il te donnera les numéros de pages où ce mot est abordé.

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Une liste des principaux symboles mathématiques (pp. 343-344) te permettra de retrouver la signification exacte de l’un d’entre eux, rencontré dans un énoncé ou dans la théorie.

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Ton professeur utilisera peut-être en classe le manuel numérique de ton Actimath à l’Infini 3.

Tous les exercices animés que tu y rencontreras sont disponibles sur la plate-forme Udiddit et ton compte digiportail. Tu pourras donc les refaire chez toi. Ces exercices seront renseignés dans ton manuel et ton livret par un logo spécifique. C’est également dans ton livret d’exercices que tu trouveras ton code d’accès à ton compte digiportail. Ton professeur pourra te donner l’accès au site Udiddit.

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Bon travail avec Actimath à l’infini 3 !

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Les auteurs

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Mode d’emploi

Mode d’emploi 1

Ton livre, Actimath à l’infini 3, est divisé en quatorze chapitres, facilement repérables grâce aux petits onglets situés sur le bord extérieur et indiquant le numéro du chapitre.

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Ces chapitres sont eux-mêmes divisés en activités. Ton professeur choisira celles qui te permettront d’atteindre les objectifs fixés et il te donnera des conseils pour mener à bien leur déroulement. Tu noteras les solutions de ces différentes activités et des exercices qui s’y rapportent dans un classeur; tu le feras en n’oubliant pas d’indiquer une référence sur les feuilles de celui-ci.

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Si tu disposes du livret d’exercices, tu l’utiliseras chaque fois que tu trouveras dans le manuel un logo le signalant.

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La théorie de chaque chapitre est rassemblée à la fin du manuel. Chaque fois qu’une nouvelle notion théorique sera mise en place, ton professeur te renverra à cette partie du manuel.

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Tu remarqueras très vite que des logos apparaissent régulièrement au fil des pages. Ils ont évidemment une signification particulière.

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Pendant une activité, si une notion peut (doit) être précisée ou formulée, ce logo t’indique la référence permettant de la retrouver dans la théorie.

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Ce logo t’indique que tu peux solutionner l’exercice proposé dans le livret d’exercices.

Ce logo renseigne la présence, sur la plate-forme Udiddit et sur ton compte digiportail, d’exercices animés ou d’exercices inédits. Cela te permettra de t’exercer à domicile. Ton code d’accès se trouve en page 2 du livret d’exercices.

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Chaque chapitre se termine par quelques feuilles légèrement colorées contenant une série d’exercices complémentaires. Ceux-ci sont classés en trois catégories.

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• Appliquer Ces exercices te permettront d’utiliser et d’appliquer de manière réfléchie les savoirs acquis.

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• Transférer Tu seras confronté(e) à des situations nouvelles et inédites qui s’inscrivent toutefois dans le prolongement de celles exploitées lors des apprentissages.

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• Connaître Selon les cas, tu devras illustrer un énoncé par un exemple ou un dessin, justifier certaines étapes d’un calcul, ...

Avant la théorie, tu trouveras également quelques pages d’exercices destinés à vérifier que tu maîtrises les compétences développées. Pour les résoudre, tu devras mettre en œuvre, en les organisant, des savoirs, des savoir-faire et des stratégies.

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Tous les exercices animés rencontrés en classe sont disponibles sur la plate-forme Udiddit et sur ton compte digiportail.

Bon travail avec Actimath à l’infini 3 !

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Table des matières

Table des matières Introduction

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Mode d’emploi

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Table des matières

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Chapitre 1 • Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Activité 1 Angle inscrit et angle au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Activité 2 Triangle et demi-cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Activité 3 Constructions d’angles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Activité 4 Recherche d’amplitudes d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Activité 5 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

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Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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Chapitre 2 • Puissances à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Activité 1 Puissances de 10 et notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Activité 2 Puissances à exposants entiers : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Activité 3 Transformations d’écritures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Activité 4 Redécouverte des propriétés des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Activité 5 Propriétés des puissances à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Activité 6 Ordre de grandeur et notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Activité 7 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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Exercices complémentaires

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Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Activité 1 Nouveaux nombres : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Activité 2 Théorème de Pythagore : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Activité 3 Simplification de racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Activité 4 Opérations sur les racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Activité 5 Théorème de Pythagore : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Activité 6 Théorème de Pythagore : problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Activité 7 Réciproque du théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Activité 8 Relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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Chapitre 4 • Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Activité 1 Problèmes et polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Activité 2 Valeur numérique d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Activité 3 Vocabulaire spécifique aux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Activité 4 Somme de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Activité 5 Produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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Table des matières Activité 6 Activité 7 Activité 8 Activité 9 Activité 10

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Produits particuliers de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Quotient d’un polynôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Quotient d’un polynôme par un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Quotient d’un polynôme par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Exercices complémentaires

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Exercices complémentaires

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Chapitre 5 • Figures isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Activité 1 Recherche d’isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Activité 2 Reproduction d’une figure donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Activité 3 Cas d’isométrie des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Activité 4 Utilisation des cas d’isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Activité 5 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 .......................................................................................................

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Chapitre 6 • Approche graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Activité 1 Notions de relation et de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Activité 2 Domaine et ensemble image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Activité 3 Intersection avec les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Activité 4 Zéros et signe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Activité 5 Croissance et décroissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Activité 6 Analyse graphique d’une fonction : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Activité 7 Résolution graphique d’une équation du type f(x) = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Activité 8 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

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Exercices complémentaires

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Chapitre 7 • Factorisation et équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Activité 1 Utilité de la factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Activité 2 Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Activité 3 Utilisation des produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Activité 4 Division par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Activité 5 Techniques de factorisation : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Activité 6 Équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Activité 7 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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Exercices complémentaires

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Chapitre 8 • Figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Activité 1 Figures semblables : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Activité 2 Calcul de longueurs dans les figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Activité 3 Construction de figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Activité 4 Cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Activité 5 Utilisation des cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Activité 6 Reproduction d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Activité 7 Relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

1 1 1 6

Table des matières Activité 8 Activité 9 Activité 10

Moyenne géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Un peu d’Histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Exercices complémentaires

.....................................................................................................

128

1 1 1

IN

Chapitre 9 • Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Activité 1 Notion de fraction algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Activité 2 Condition d’existence d’une fraction algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Activité 3 Simplification de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Activité 4 Produit et quotient de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Activité 5 Somme de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Activité 6 Opérations : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Activité 7 Équations fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Activité 8 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

1 1

N

1

s

VA

Chapitre 10 • Fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Activité 1 Fonctions du premier degré : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Activité 2 Représentation d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Activité 3 Analyse de graphiques de fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Activité 4 Pente d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Activité 5 Caractéristiques des fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Activité 6 Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Activité 7 Signe d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Activité 8 Intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

on

Exercices complémentaires

.....................................................................................................

1 1

160

Chapitre 11 • Thalès et les proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Activité 1 Approche du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Activité 2 Configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Activité 3 Propriétés des proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Activité 4 Thalès pour calculer des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Activité 5 Thalès ou triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Activité 6 Thalès pour construire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Activité 7 Coordonnées du milieu d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Activité 8 Réciproque du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Activité 9 Thalès pour démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Activité 10 Thalès pour résoudre des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

iti

1

Ed

1

Exercices complémentaires

.....................................................................................................

1 1

179

1

Chapitre 12 • Systèmes de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Activité 1 Fonctions et systèmes d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Activité 2 Systèmes de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Activité 3 Méthode de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Activité 4 Méthode des combinaisons (méthode de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

1 7

Table des matières Activité 5 Activité 6

Résolutions de systèmes : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Exercices complémentaires

1

.....................................................................................................

193

1 1

Exercices complémentaires

1

IN

Chapitre 13 • Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Activité 1 Problèmes d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Activité 2 Inéquations et fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Activité 3 Propriétés des inégalités et des inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Activité 4 Résolutions d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Activité 5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Activité 6 Intersection d’intervalles de réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 .....................................................................................................

205

1 1 1

Exercices de compétences

.............................................................................................................

218 225

on

1

.....................................................................................................

s

Exercices complémentaires

VA

N

Chapitre 14 • Trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Activité 1 Tangente d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Activité 2 Sinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Activité 3 Cosinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Activité 4 Sinus, cosinus et tangente : exercices de reconnaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Activité 5 Transformations d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Activité 6 Formules et valeurs trigonométriques particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Activité 7 Résolutions de triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Activité 8 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Chapitre 1 Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Chapitre 2 Puissances à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Chapitre 3 Pythagore et les racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Chapitre 4 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Chapitre 5 Figures isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Chapitre 6 Approche graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Chapitre 7 Factorisation et équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Chapitre 8 Figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Chapitre 9 Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Chapitre 10 Fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Chapitre 11 Thalès et les proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Chapitre 12 Systèmes de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Chapitre 13 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Chapitre 14 Trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

iti

1

Ed

1 1 1 1

Index

..................................................................................................................................................

339

1 Table des symboles 8

..........................................................................................................................

343

IN N

Ed

iti

on

s

VA

ActivitĂŠs et Exercices complĂŠmentaires

10

on

iti

Ed s N

VA

IN

ACTIVITÉS

Chapitre 3

Pythagore et les racines carrées

1

Activité 1 • Nouveaux nombres : découverte 1

i

IN

25

3

Luc possède un parterre de roses de forme carrée de 4 m de côté, agrémenté en son centre d’une fontaine posée sur un socle circulaire de 50 cm de diamètre.

VA

N

a) Tout en conservant sa forme carrée et en maintenant la fontaine en son centre, Luc décide de doubler la superficie totale de son parterre.

Trace, à l’échelle 1 : 100, le plan de ce parterre avant et après transformation.

b) Luc délimite son nouveau parterre en utilisant une bordure en bois.

Sachant que celle-ci est vendue en rouleau de 30 cm de haut sur 180 cm de long, détermine le nombre de rouleaux nécessaires à la réalisation de son travail.

Détermine, sans l’aide de la calculatrice, la longueur du côté d’un carré connaissant son aire.

s

2

Aire (m2)

3

4 9

0,04

9 25

1,21

0,9

12,25

160

50

0,09

100

3600

0,4

50 72

12

21

1 100

Détermine, si possible, les valeurs de a vérifiant chaque égalité.

Ed

26

5

iti

Aire (m2)

9

on

26

p.241 A1-2

4

p.241 A3a

1

4 9

a2 = 25

a2 = 0,36

a2 =

a2 = 28

a2 = 0,02

a2 = 490

1 1 1

a2 = 0

a2 = 101

a2 = 32

a2 = –16

1

Calcule sans utiliser ta calculatrice. a)

16

9

1

0

b)

1 4

9 100

4 25

16 25

c)

0,25

0,0009

1,21

6,25

10 000

400

121

36 49

44 99

128 162

0,0144

2,25

0, 01

1 1 1 37

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

5

Encadre chaque racine carrée par deux naturels consécutifs.

13

1

21

99

2

40

35

72

150

50

7

p.242 A3b

Activité 2 • Théorème de Pythagore : découverte

3 a) Léopold a préparé un nouveau défi pour son petit-fils Simon. Il a découpé dans un panneau en bois huit triangles rectangles identiques et trois carrés ayant chacun pour dimension la mesure d’un des côtés du triangle. À l’aide de ces 11 pièces, Simon doit reconstituer deux carrés de même aire.

IN

1

N

Aide Simon à relever ce défi.

b

s

c a

on

1

i

a

VA

b

1

26-27

p

p

c

Prends une feuille de bloc quadrillée, trace et découpe ces 11 pièces. Replace-les ensuite de manière à former les deux carrés demandés. Justifie ta proposition.

1

3

1

iti

2

Est-il possible de trouver le même genre de relation dans d’autres types de triangles ?

Ed

1

b) À l’aide des longueurs a, b et c, écris une expression algébrique réduite traduisant l’égalité des aires des deux carrés.

1)

1

1 38

| AB |

| AC |

3

5

2) 3)

1

28

L’unité choisie pour les données étant le mètre et sachant que le triangle ABC est rectangle en A, complète les tableaux ci-dessous. a)

b)

| AB |

| AC |

0,3

0,2

i

| BC | p.246 B2a

12 5 | AB |

| AC |

1)

1/3

1/2

2)

3/4

3)

12/5

c)

| BC |

p.245 B1

1) 13

2)

7

3)

| BC |

5/2 9/5

0,5 0,03 | AB |

d) 1)

5

2)

2

3)

1,2 0,05

| AC |

| BC | 6

1 2

3

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

Activité 3 • Simplification de racines carrées 1

Détermine la longueur d’une diagonale d’un carré de 1 cm, 2 cm, 3 cm et 4 cm de côté.

Compare les résultats obtenus.

2

Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Dans le cas d’une égalité fausse, entoure l’étape contenant l’erreur commise.

i 29

32 = 16 . 2 = 16 .

2 =4 2

.................

32 = 16 + 16 = 16 + 16 = 4 + 4 = 8

.................

125 = 100 + 25 = 100 + 25 = 10 + 5 = 15

.................

125 = 25 . 5 = 25 .

.................

5 =5 5

9 + 16 = 3 + 4 = 7

N

9 . 16 = 3 . 4 = 12

a)

12

8

b)

72

48

36

160

225

128

144

60

3 98

4 32

7 125

2 8

225

289

400

441

26

54

178

2010

24 . 52

26 . 5 6

22 . 56

34 . 106

iti

c) 22 . 52

1 1 1

Ed

Complète, si possible, les égalités suivantes par des nombres naturels ou des puissances de nombres naturels. a) 24 = (. . . . . .)2

25 = (. . . . . .)2

b) 3 . 52 = (. . . . . . . . . . . . .)2

c)

⎛ 32 =⎜ 4 5 ⎝

⎞ ⎟ . . . . . . .⎠ .......

d) 400 = (. . . . . .)2 6

45

De quels nombres, les nombres proposés sont-ils les carrés ? Justifie.

b) 92

5

300

on

5 18

a) 169

30

VA

Simplifie les racines carrées suivantes.

c) 3 20 4

.................

s

p.242 A5a

.................

.................

9 . 16 = 9 . 16 = 144 = 12 3

3

.................

9 + 16 = 9 + 16 = 25 = 5 p.242 A4a

1

IN

29

2

216 = (. . . . . .)2

32 . 52 = (. . . . . . . . . . . . .)2 ⎛ 9 =⎜ 10 ⎝

⎞ ⎟ . . . . . . .⎠

2

.......

800 = (. . . . . .)2

29 = (. . . . . .)2

32 . 54 = (. . . . . . . . . . . . .)2 ⎛ 1 =⎜ 100 ⎝

⎞ ⎟ . . . . . . .⎠

1

2

35 . 54 = (. . . . . . . . . . . . .)2 25 ⎛ = 36 ⎜⎝

.......

121 = (. . . . . .)2

⎞ ⎟ . . . . . . .⎠

1

2

.......

484 = (. . . . . .)2

1

Simplifie les racines carrées suivantes. a)

32

32 . 7 2

72 . 3

22 . 32 . 5

54

53

b)

26 . 35

37 . 5 6

32 . 511

57 . 7 5

2 . 38 . 5 2

26 . 3 . 7 3

1 1 39

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

Dans chaque cas, décompose le radicand en un produit de facteurs premiers. Utilise cette décomposition pour simplifier la racine carrée. a)

196

324

441

576

2025

b)

432

1296

5000

5184

6125

1 8

3

Sachant que 172 = 289, entoure, parmi les nombres suivants, ceux pour lesquels tu peux calculer la racine carrée mentalement et détermine-la. Calcule ensuite la racine carrée des nombres restants en utilisant une seule fois ta calculatrice.

2,89

9

28,9

2890

28 900

289 000

2 890 000

IN

7

Sans utiliser ta calculatrice, range les nombres suivants dans l’ordre croissant.

3 11

7 2

3 7

8

65

N

7

1

1

VA

Activité 4 • Opérations sur les racines carrées Sans calculatrice, donne une valeur simplifiée du périmètre, de l’aire et de la longueur d’une diagonale des trois rectangles et des trois carrés représentés ci-dessous.

Vérifie tes résultats à l’aide de ta calculatrice. a)

3 5

s

6

1 1 1 1 40

b)

5

4– 6

iti

1

3

3

Ed

1

on

1

3+ 2

3+ 5

2+ 6

A5 p.243 b-c

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

2

Lors d’une interrogation, quatre élèves ont proposé une solution pour chacune des équations suivantes. Équation

Solution 1

Solution 2

Solution 3

Solution 4

x2 – 7 = 0

2,6

2,64

2,645

7

12 – x2 = 0

3,4

3,46

3,464

2 3

x2 – 6x + 7 = 0

4,4

4,41

4,414

3+ 2

1 3

Réduis les sommes suivantes. b)

12 + 5 3

c) 7 5 – 3 5 – 6 5

2 3 –7 3

2 45 – 20

7 5+ 5

18 + 72

3 5 – 7 45 + 2 20

2 3 +4 7

98 – 50

2 75 – 4 27 + 2 48

7+ 7

500 – 3 45

50 – 2 18 + 3 18 – 7 2

7 –3 7 –2 7

12 + 4 75 – 2 16

3 20 + 4 45 – 2 80 2 3–

300 + 3 12

40 + 90 –

490

18 + 3 27 – 2 25

1

12 + 8 – 2 2 + 3 5

s

e)

d) 17 32 – 5 2 + 4 8

N

a) 3 2 + 5 2

VA

3

IN

a) Avec ta calculatrice, vérifie les solutions proposées et tire une conclusion. b) Vérifie, sans calculatrice, les bonnes solutions.

4

2 54 – 2 24 – 150 + 6

on

32 – 3 243 + 128 – 27

1

Réduis les produits suivants.

2.

3

b) 3 2 . 5 3

iti

a)

8.

2

3

32 . 18

75 .

( 5 . ( (

2–

3

f)

30 + 20

)

(

)

5

8 + 12

(2 – 5 3 ) . 2

42 . 7

)

50 – 27 .

3 2.

5 15 . 15

50

6 .

e)

2

2

19 . 19

Ed

12 .

3 2.

c)

)

( 7 )2 ( 2 3 )2 ( 7 2 )2 ( –6 8 )2 ( –3 5 )2

d)

75 .

3 . 18

2 3.7 3.

1

3

2 10 . 5 15

1

4 21 . 7 2 5 . 3 7 . 5 35

( 3 + 5 ) . ( 6 + 15 ) (2 6 + 2 ) . ( 3 – 4 5 ) ( 3 5 + 3 2 ) . (2 5 – 5 2 ) ( 12 – 18 ) . ( 3 – 2 ) ( 45 – 28 ) . ( 3 7 – 2 5 )

1 1 1 1 41

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

g)

(

) (

3– 5 .

3+ 5

)

h)

(5 + 2 ) . (5 – 2 )

(4

1

) (

5– 2 .

7–

3

)2

(

3 +5

)2

(

3 –2 5

(2

7 +1

)2

)2

3

2

2

3

N

10 + 3 2 2

2

3

b)

8

10

5 2

3

32

4 5

2 5

2

3 24

c)

VA

3

5 3

1

(

2– 2

p.244 A5d

Rends rationnel le dénominateur des fractions ci-dessous.

7

8+ 3 5

3 –2 3

10 + 3 2 2

5 3

2 98

2– 8 2

d)

3 10

1 18 3 8

30 50

e)

3 5– 2 3 2+ 7 2

f)

3 2 12 – 8 3 2 –2 3 3– 2 2 3 –2 2

5– 2

12 – 8

20

2 5 +4

5+ 8

3 3 –2 5

iti

1

1

s

1

)

)2

Sachant que 2 = 1,414 21..., trouve une méthode rapide et sans l’aide de ta calculatrice qui te permettra de calculer la valeur approchée par défaut au millième près des expressions ci-dessous.

a)

1

7 +3 2

on

6

) (

2+ 7 .

2+ 5

IN

( –3 5

Activité 5 • Théorème de Pythagore : applications

Ed

1

)

(5 – 8 ) . (5 + 2 2 )

3

1

2 +4 5

(

1

Dans chacun des cas suivants, construis un carré ayant la même aire que la figure donnée.

30

i

1 1 42

p.247 B2-b

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

Le théorème de Pythagore permet de construire un segment de droite dont la longueur est exprimée par une racine carrée.

Utilise-le pour construire les segments dont voici les longueurs en cm.

13

30-31

3

i

10

41

7

On appelle parfois le dessin ci-contre « le limaçon de Pythagore ».

Calcule la longueur de l’hypoténuse des cinq premiers triangles rectangles représentés.

Détermine rapidement la longueur de l’hypoténuse du 7e triangle, du 10e triangle, du 15e triangle, du 100e triangle et du nième triangle.

24

39

1 3

IN

2

1 cm

30-31 31

4

N

1 cm

a) Calcule la longueur de la diagonale d’un carré de 5 cm de côté.

5

s

a) Calcule la longueur de la diagonale intérieure d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont les suivantes : longueur 8 cm, largeur 5 cm et hauteur 3 cm. b) Exprime la longueur de la diagonale intérieure d’un parallélépipède rectangle en fonction de sa longueur (a), de sa largeur (b) et de sa hauteur (c).

i

b a

1

8

a

a) Dans un repère cartésien d’axes perpendiculaires x et y et d’unités 1 cm, place les points ci-dessous dont tu connais les coordonnées.

A (1 ; 1)

B (3 ; 4)

C (4 ; 3)

D (3 ; –2)

E (–1 ; –2)

1 1

F (–2 ; 2)

b) Détermine la longueur des segments [AB], [CD] et [EF]. c) Généralise l’exercice précédent en exprimant la longueur du segment [AB] en fonction des coordonnées de A (xA ; yA) et de B (xB ; yB). b

1

b) Exprime la longueur de la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur (a) de son côté.

i

33

1 c

a) Calcule la longueur de la hauteur d’un triangle équilatéral de 6 cm de côté.

Ed

7

1 a

on

6

i

32-33

a) Calcule la longueur de la diagonale intérieure d’un cube de 5 cm d’arête. b) Exprime la longueur de la diagonale intérieure d’un cube en fonction de la longueur (a) de son arête.

i 32

a

iti

31

VA

b) Exprime la longueur de la diagonale d’un carré en fonction de la longueur (a) de son côté.

1 1 43

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

9

Le solide représenté ci-contre est un parallélépipède rectangle sectionné par le plan AFC. Détermine l’aire du triangle AFC.

E

F

34

A 6 cm

1

8 cm

C

Activité 6 • Théorème de Pythagore : problèmes concrets

p

i

Lors d’une tempête particulièrement violente, le tronc d’un arbre s’est brisé.

Observe le schéma de la situation 1,20 m et détermine, au cm près, la hauteur de l’arbre avant la tempête.

3,10 m

N

1

IN

3

D

G 6 cm

VA

2

L’extrémité d’une échelle de 4 m de long est appuyée contre un mur vertical et son pied est à 1,1 m de celui-ci.

Calcule, au cm près, la hauteur du point d’appui du sommet de l’échelle contre le mur.

3

Le mât d’un voilier est maintenu perpendiculaire au pont à l’avant par l’étai (2) et à l’arrière par le pataras (1).

Sachant que le mât a une hauteur de 6 m, que l’étai est fixé au pont à 1,90 m du pied du mât et que le pataras est fixé à l’opposé à une distance de 2,50 m du pied du mât, calcule, au cm près, la longueur totale de ces deux câbles.

1 1 1 1 44

2

on

1

En Normandie, une tyrolienne de 400 m de long permet de traverser la vallée de la Souleuvre à plus de 100 km/h.

Sachant que le départ se fait au sommet d’une tour de 61 m de haut et que la tyrolienne est fixée à un pylône d’une hauteur de 2 m, à quelle distance au sol, au m près, correspond le trajet parcouru ?

iti

1

4

i

Ed

1

s

1 1

p

5

La hauteur sous plafond de mon living est de 2,50 m. Une armoire, dont les dimensions sont de 243 cm de haut, 72 cm de largeur et 45 cm de profondeur, est couchée sur le sol de la pièce.

Est-il possible de la redresser ? Envisage les deux possibilités.

i

6

Loïc souhaite placer une étagère murale dans sa chambre afin d’y déposer la station d’accueil de son iPhone.

225 mm

i

45 mm

Pour fixer le plateau de l’étagère au mur, Loïc souhaite fabriquer, selon le plan ci-contre, deux équerres identiques en bois. Il dispose d’une latte en bois carrée de 18 mm x 18 mm de section et d’une longueur de 1,35 m.

Dispose-t-il d’assez de bois pour réaliser ce travail ? Justifie.

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

Activité 7 • Réciproque du théorème de Pythagore 35

1

Lucas a posé le premier lit de briques de son nouveau barbecue.

Avant de poursuivre la construction de cet ouvrage, il souhaite vérifier la perpendicularité des murs ainsi formés et prend, pour ce faire, différentes mesures.

A B Sachant que | AB | = 760 mm, | AD |= 570 mm, | BC | = 570 mm, | BD | = 950 mm et | AC | = 960 mm, détermine si ...

1 3

p.247 B3

D

est un angle droit. Justifie. b) l’angle CBA

Pour chacun des cas ci-dessous, vérifie si le triangle ABC est rectangle. Si oui, détermine le sommet de l’angle droit.

N

2

C

IN

est un angle droit. Justifie. a) l’angle DAB

p.248 B4

| AC |

| BC |

1)

6

10

9

2)

5

12

13

3)

9

7

8

4)

10

12,5

7,5

Dans le rectangle ci-dessous, le triangle XCY est-il rectangle ?

s

3

on

36

A

3 cm

X

| AB |

| AC |

| BC |

1)

17,5

14

10,5

2)

2,8

10

9,6

3)

3

2 3

3

4)

5

3

b)

VA

| AB |

a)

B

37

4

iti

Y

E

10 cm

B

A H D

1

8 cm

X

C

5

1

F

G

12 cm

C

1

Ed

5 cm

1

Dans le parallélépipède rectangle représenté ci-dessous, X est un point fixé sur l’arête [EH] tel que | EX | = 6 cm.

Le triangle DXG est-il rectangle ? Justifie.

2 cm

D

2 2

Dans un plan vertical, un tendeur de 9,30 m de long est fixé à un mât à une hauteur de 8,60 m et s’écarte de 3,40 m du pied de ce mât. Le mât est-il vertical dans le plan considéré ? Justifie.

1

Activité 8 • Relations métriques dans le triangle rectangle

1 1

38

1

Sachant que les pans du toit de la tente représentée ci-contre sont perpendiculaires et que sa surface au sol est de 20,8 m², détermine ... a) la hauteur maximale sous tente. b) le volume disponible sous tente.

A 3,2 m

2,4 m

C

D

B

E

1 45

ACTIVITÉS

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

2

Construis un triangle ABC rectangle en A tel que | AB | = 30 mm et | AC |= 40 mm.

Trace la hauteur issue du sommet A et nomme H le pied de cette hauteur. a) Calcule | BC |, | AH |, | BH | et | CH |. b) Compare | AH |2 et | BH | . | CH |, | AB |2 et | BC | . | BH | et enfin | AC |2 et | BC | . | CH |.

Que constates-tu ? c) Énonce les propriétés découvertes.

3

3

Dans le triangle XYZ rectangle en X, on désigne par P le pied de la hauteur issue du sommet de l’angle droit.

Complète le tableau ci-dessous.

Y

p.248 C

P

IN

1

Z

X

| XY |

| XZ |

| YZ |

| XP |

a)

6

| YP | 3 4

c)

4

VA

8

e) 4

1

N

b) d)

| ZP | 6

3 3

4

Sachant que DEF est un triangle rectangle en D tel que | FB | = 3 cm et | BE | = 2 cm, détermine, au mm près, le périmètre du rectangle ABCD.

7 D

39-40

C

1

E

B

6

Un des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesure 18 cm et la hauteur relative à l’hypoténuse 9 cm.

Calcule l’aire de ce triangle.

iti

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue du sommet de l’angle droit détermine sur l’hypoténuse des segments de longueurs respectivement égales à 7 cm et 28 cm.

Calcule l’aire de ce triangle.

Ed

1

F

5

1 1

on

s

A

7

Le cerf-volant représenté ci-contre est formé de deux triangles rectangles isométriques ABD et CBD. Sachant que | BE | = 32 cm et | ED | = 72 cm, détermine sans l’aide de ta calculatrice la longueur de la diagonale [AC] de ce cerf-volant.

A E B D

1 1 1 46

C

8

Un champ rectangulaire de 75 m de long sur 40 m de large a été partagé en trois parcelles selon le plan ci-contre.

Détermine la superficie de chacune d’entre elles.

B

A 40 m

D

E 75 m

C

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Connaître 1

a) Si possible, cite deux nombres possédant le même carré. La solution est-elle unique ?

Explique. b) Si possible, cite un nombre égal à son carré. La solution est-elle unique ? Explique. c) Si possible, cite un nombre positif plus grand que son carré. La solution est-elle unique ?

Explique.

2

Parmi les nombres ci-dessous, quels sont ceux qui ne possèdent pas de racine carrée rationnelle ? Explique.

8 64

b) 0,01

900

0,4

0,0081

Choisis la bonne réponse.

Calcul

160 28

Calcul

Réponses

–6

n’existe pas

22

2

–2

n’existe pas

–64

8

–8

n’existe pas

(–2)2

2

–2

n’existe pas

– 49

7

–7

n’existe pas

–22

2

–2

n’existe pas

– –25

5

–5

n’existe pas

– –(–2)2

2

–2

n’existe pas

s

6

on

Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Si l’égalité est fausse, corrige le second membre. a)

20 + 5 = 5

b)

25 – 16 = 9

5 2.

2 = 10

2 + 2 =2

3 2 + 2 =4 2 3 5 + 5 = 20

2.

3.

3 =6

3 2 . 2 =6

Choisis la bonne réponse.

Ed

5

12 27 16 100

36

iti

4

Réponses

IN

2500

N

16 25

VA

3

a) 49

3

Calcul

(

Réponses

5. 5

0

5

5

2 5

5+ 5

0

5

5

2 5

5– 5

0

5

5

2 5

0

5

5

2 5

0

5

5

2 5

) (

7+ 2 .

20 2

7– 2

)

47

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

6

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Pour chacun des triangles rectangles ci-dessous, écris la relation de Pythagore.

2 cm b) c) a) A a c 2,5 cm

1,5 cm

b

C

B

Dans un triangle XYZ rectangle en X, A est le pied de la hauteur issue de X. Écris la relation découlant du théorème de Pythagore dans les triangles XYZ, XAY et XAZ.

8

Pour chacun des cas ci-dessous, les renseignements fournis par le dessin te permettent-ils de déterminer la longueur du segment [XY] en utilisant le théorème de Pythagore ? Justifie.

3

a)

X

b)

Y

c)

X

d)

Z 23 mm

X

O 66 mm

52 mm

Y

Y

Pour chacune des trois situations ci-dessous, relie les expressions correspondantes.

E

A

B

b) ABCD est un carré.

X

A

s

a) ABCD est un rectangle.

3 cm

1,5 cm

on

F

4 cm

D

C

iti

5 cm

6 cm

c) ABCD est un trapèze rectangle.

B

A

C

D 1 cm

B

5 cm

Y

D

10 cm

2,5 cm

C

•

• 52 + 2,52

| YC |2 •

• 102 + 62

| AC |

•

•

3,5 2 + 2,5 2

| EC |2

•

• 1,52 + 1,52

| AX |2

•

• 102 + 72

| BD |

•

•

2,5 2 + 2,5 2

| CF |2

•

• 42 + 3,52

| XC |2

•

• 102 + 102

| AD |

•

•

12 + 2,5 2

Ed

| EF |2

| BD |2 •

• 52 – 32

10 Pour pouvoir poser son nouveau barbecue, Benoît a coulé une dalle en béton.

En n’utilisant qu’un mètre, comment peut-il vérifier que cette dalle est bien rectangulaire ?

48

Z

Z

X

VA

Y

Z 9

Y

44 mm

N

62 mm

Z

e)

X

50 mm 70 mm

IN

7

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Appliquer Complète les égalités suivantes. ......

45

12

......

d) x2 = 0,01

30

896

=1

=

......

3 2

e) x2 = 1600

f ) x2 = 11

3

89

70

104

230

12 456

987

79 964

À l’aide de ta calculatrice, encadre les nombres suivants par leurs valeurs approchées.

8 au 0,001 près

b)

5,23 au 0,1 près

1 près 100 1 près 0,123 au 10

12 à 10–2 près

1254 au

23,546 à 10–3 près

s

a)

Associe chaque racine carrée à sa forme simplifiée.

•

50

20

8

125

•

•

•

•

•

•

•

•

4 2

5 5

5 2

iti

• 2 2

2 5

Ed

Simplifie les racines carrées suivantes. a) (1) 12

(2) 250

b) (1) 3 8

(2) 7 45 c)

8

=0

En utilisant ta calculatrice, encadre les racines carrées suivantes par deux nombres entiers consécutifs.

32

7

c) x2 = –9

on

6

......

IN

b) x2 = 5

1265 5

=5

Sans utiliser ta calculatrice, encadre les racines carrées suivantes par deux nombres entiers consécutifs.

90

4

......

Détermine, si possible, pour chacun des cas ci-dessous, la (les) valeur(s) de x vérifiant l’égalité. a) x2 = 36

3

= 25

......

N

2

=7

VA

1

18

50

75

8

27

64

125

20

60

80

90

121

242

225

2 12

4 63

5 18

6 50

3 28

5 32

4 27

3 500

8 72

3 200

9 54

7 75

3 128

6 162

22

54

36

26 . 32

2 4 . 36

5 4 . 72

24 . 3

2 . 36

53 . 7

29 . 5

33 . 5 4 . 72

28 . 32 . 5 3

47

16 3

25 3

100 5

85

12 3

Sans calculatrice, complète par <, > ou =.

3 2

.....

18

5 3

.....

6 2

200 . . . . . 10 3 49

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

9

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Simplifie les racines carrées suivantes (les lettres représentent des réels positifs). a)

a4

x6

b12

x7

y 11

b)

4a 7

3x 9

5a 6

9a 7

27b5

2 45x 9

5 18b6

c) 7 12a 5

3x 2 63x 5

2y 3 8y 12

10 Réduis les sommes suivantes.

8 +3 2

b)

c) 2 8 – 3 27 – 3 32 – 4 12

IN

a) 3 3 + 5 3 5 –3 5

50 – 3 18

3 25 – 4 98 – 2 16 + 3 72

–2 7 – 5 7

–2 75 + 5 12

7 32 + 3 27 + 2 18 – 2 75

–3 125 – 4 20

4 1000 – 3 250 + 7 900 – 5 40

6 –3 6 –4 6

N

3

d) 7 2 – 3 45 + 3 50 – 7 20

e) 3 50 – 2 5 – 2 8 –

48 – 24 – 150 + 3 12

2 36 – 5 18 + 32 – 3 48

3 18 – 4 72 – 7 28 + 5 32

3 200 – 4 100 + 5 2 – 10 2 11 Réduis les produits suivants.

2

b)

3 7 . 7 3 3.

3

5 11 . 2 11

52 .

c)

d) 5 3 .

39

2 11 . 113

27 . 75

5 12 .

3 52 .

2 54 . 3 125 f)

5 .

(

12 .

(

3 5 .

6 + 15

)

48 – 5

( 125 – 3 6 ) . ( 3 7 – 28 ) .

24

g)

) 32

3

( ) ( ) (3 6 + 2 ) . ( 2 – 3 6 ) ( –3 5 + 3 ) . ( 3 + 3 5 ) (5 2 – 7 ) . ( 7 + 5 2 )

50

b)

( 3 + 2 )2 ( 6 + 10 )2 ( 3 5 + 4 )2 ( 6 2 + 2 3 )2

53

2 32 . 5 35

80

( 2 – 1) . ( 2 + 3) (1 – 3 ) . (5 – 3 3 ) ( 3 + 2) . ( 7 – 6) ( 24 – 3 8 ) . ( 50 + 5 )

12 Calcule en utilisant les produits remarquables. a) 2 – 5 . 2 + 5

53

3 7 . 2 14

iti

( 5 )2 ( 3 2 )2 ( –6 5 )2 ( –5 50 )2

45

48

12 . 18

Ed

e)

28 .

s

2.

2 75 – 27 + 3 12 –

on

a)

VA

–8 2 + 7 3 – 2 27 – 3 8

45

( )2 ( 5 – 2 )2 ( –5 + 2 5 )2 ( 3 6 – 3 )2

c) 6 – 2

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

13 Réduis, si possible, les expressions suivantes.

e)

3

b) 2 3 + 5 2

3+ 3

3 2 +5 2

5 2+ 2

8.

5+ 2

3 5 .4 3

7 5 .

50 + 20

5 .

2 3.5 3

8 3+ 2

2

( –5 5 )2 2 3 . ( 5 – 2) ( 2 3 – 5 )2 ( –4 10 – 5 )2

f)

c) 2 7 – 5 7

(2 3 – 5 ) . 2 ( 2 5 )2 ( 5 – 2 ) . ( 5 + 3) ( 2 3 + 5 )2

d)

5

12 + 75 45

50 .

20

( )2 ( 3 5 + 2 7 ) . ( –2 7 + 3 5 ) ( 4 12 – 8 8 ) . ( 4 32 + 8 3 ) ( 12 + 5 ) . (5 3 + 20 )

g) –3 2

3

IN

3.

a)

2+ 3

)2

.......

(1 – 2 )2

5

.......

(2 – 3 ) . (2 + 3 )

2

VA

(

N

14 Sans utiliser ta calculatrice, complète par <, > ou =.

.......

–1

15 Rends les dénominateurs des fractions ci-dessous rationnels.

1 2 1

b)

8 1 3+ 2 3 5 +1 3–2 5

2 3

3

5

3 2

2 3

3 5

3

2 10

3

3

3– 5

2 3 –1

4 14

12 125

3 7

3 2

2 3

2 +2 3

1–3 2

3 –2 5

3 8 –1

5 2 –1

5 +2 3

2 + 18

iti

d)

8 27

3

on

c)

1 3

s

a)

2 3 –5 2 2 4 +3 2 8 –2 9

Ed

16 Réduis les sommes et les produits suivants (les lettres représentent des réels positifs). a) 2 x + 7 x 5 y .2 y x .

3x

3 a –5 a

(

)2 2 x . ( x – 5x ) ( –2 18a )2 ( 3 5x + 2 7x )2

d) 2 3a

b) 3 x 3 .

x5

c) 3 x 4 .

a – 18a 5 x2 .

x

27x – 3 12x 3 4a 5 . 2 a 3

x5

–2 18a + 5 32a

–2x 3x 3 + 5 3x 5

( )2 (2 a + 1) . (2 a – 1) ( 2x – 3 5x ) . ( 2x + 5 ( 3x 3 8x )2

e) 2 3a – 5a

3x

)

51

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

17 Construis les segments dont voici les longueurs en cm.

29

32

37

40

15

20

21

28

18 Détermine, au millimètre près, la longueur de l’hypoténuse de chacun des triangles rectangles ci-dessous.

1 cm A

E

F

D

H

B

I

N

C

G

IN

3

19 Sachant que le triangle ABC est rectangle en A, complète les tableaux ci-dessous. | AC |

1)

7

8

2)

9

2) 3)

16

| AC |

| BC |

3/2

5/2

on

1)

4

2

5/7

| AB |

3)

d)

2)

12/7

3)

| BC | 8,5

0,03 2,4

3,2

| AB |

| AC |

0,04

| BC |

3

1)

8/3

| AC |

6

2)

s

| AB |

b)

1)

12

3) c)

| BC |

VA

| AB |

a)

10

7

5 6

3 5

iti

20 Sachant que les côtés isométriques d’un triangle rectangle isocèle mesurent 4 cm, détermine la longueur de l’hypoténuse de ce triangle.

Ed

21 Détermine la longueur de la diagonale d’un carré de 7 cm de côté.

22 Sachant que la longueur et la largeur d’un rectangle mesurent respectivement 7 cm et 5 cm, détermine la mesure de la diagonale de ce rectangle.

23 Sachant que la longueur d’un rectangle mesure 8 cm et sa diagonale 10 cm, détermine la mesure de sa largeur.

24 Détermine la longueur d’un côté d’un losange dont les diagonales mesurent respectivement ... a) 4 cm et 6 cm.

b) 40 cm et 75 cm.

25 Détermine la longueur du côté d’un carré dont la longueur de la diagonale vaut 32 cm.

26 Détermine la longueur d’une diagonale intérieure d’un cube de 6 cm d’arête.

27 Détermine la longueur d’une diagonale intérieure d’un parallélépipède rectangle de 7 cm de long, 4 cm de large et 5 cm de haut.

52

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

28 Observe les figures ci-dessous et détermine ... a) la longueur du segment [BC].

B

b) la longueur du segment [AE].

E

17 mm

D

A C 46 mm

C 11 mm

28 mm

B

20 mm

3

A

IN

D

29 Dans un repère cartésien d’axes perpendiculaires x et y et d’unités 1 cm sont placés les points A (1 ; 2), B (5 ; 4) et C (5 ; 2).

Calcule la longueur des segments [AB], [AC] et [BC].

N

30 Détermine l’aire d’un triangle équilatéral dont la mesure des côtés vaut 8 cm.

31 Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.

VA

a) Les nombres 2, 3 et 4 peuvent être les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. b) Si les côtés d’un carré mesurent 2 cm, alors sa diagonale mesure 8 cm. c) Si la diagonale d’un rectangle mesure 4 13 m et sa largeur 8 m, alors la longueur de ce rectangle est de 12 m.

s

d) Le nombre 2 3 est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle dont la longueur des côtés isométriques est 3.

on

e) Si la diagonale d’un carré mesure 4 cm, alors ses côtés mesurent 2 2 cm.

32 Dans chaque cas, vérifie si le triangle est rectangle. Si oui, précise le sommet de l’angle droit. | AB |

a)

| BC |

| AC |

b)

| AB |

| BC |

| AC |

3

4

5

1)

2

3

5

2)

1

1

1

2)

19

4

2

22

5

Ed

iti

1)

3)

10

6

8

3)

3

4)

2

5

4

4)

2 5

2

4

5)

17

16

25

5)

29

4

13

33 Dans chaque cas, qualifie le plus précisément possible le triangle ABC dont on connaît les dimensions des trois côtés. | AB |

| AC |

| BC |

1)

5

12

13

2)

12

5

3)

2

2

a)

| AB |

| AC |

| BC |

1)

5

7

2 3

2 3

2)

18

3 2

6

2 2

3)

6 2

3 8

72

b)

53

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

34 Dans le triangle DEF rectangle en D, on désigne par X le pied de la hauteur issue du sommet de l’angle droit.

Complète le tableau ci-dessous.

Aire (en cm2)

Longueurs des segments (en cm) | DF |

a)

4

3

b)

6

| EF |

| EX |

| FX |

| DX |

25

10

DEX

DXF

2

c) d)

3

e)

2

5

3

VA

N

Transférer

Exprime la longueur du côté (c) d’un carré en fonction de celle de sa diagonale (d).

2

Exprime la longueur du côté (c) d’un triangle équilatéral en fonction de celle de sa hauteur (h).

3

Exprime la longueur de la médiane (m) relative à un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle isocèle en fonction de celle de ses côtés de l’angle droit (c).

4

Exprime la longueur du côté (c) d’un losange en fonction des longueurs de ses diagonales (a et b).

5

Exprime la longueur du rayon (r) du cercle circonscrit à un rectangle en fonction des longueurs de ses côtés (a et b).

6

Pour chaque triangle rectangle ci-dessous, exprime le plus simplement possible la mesure de x en fonction de celle de a. b) c) a) x a a a 2a x

iti

on

s

1

Ed

2a

a

7

x

L’unité choisie pour les données étant le centimètre, détermine les longueurs des côtés inconnus. b) c) a) B B B x 180 3 x+1 x x A

54

DEF

IN

3

| DE |

x–1

C

A

2

C

A

2x

C

8

Vérifie que la somme des aires des triangles équilatéraux construits extérieurement sur les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle est égale à l’aire du triangle équilatéral construit extérieurement sur l’hypoténuse de celui-ci.

9

Si ABCD est un rectangle dont la longueur vaut le double de la largeur et si le point M est le milieu du segment [AB], vérifie que le triangle DMC est un triangle rectangle isocèle en M.

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

10 a) Détermine le périmètre du quadrilatère ABCD. A

D 12 mm

b) Détermine l’aire du parallélogramme ABCD. A

B

9 cm

E

5 cm

B

E

c) Sachant que ABCD est un rectangle, détermine l’aire du polygone ABCED. A B 30 m

D

H

33 m

22 m

C

6 cm

C

D

C

45 mm

e) Détermine le volume du cône représenté ci-contre.

90 mm

4 cm

N

105 mm

120 mm

3

IN

d) Détermine le volume du prisme droit à base trapézoïdale représenté ci-dessous.

2 cm

VA

11 Détermine la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle sachant que la longueur d’un côté de l’angle droit vaut 6 cm et que son aire vaut 12 cm².

12 Détermine l’aire d’un trapèze rectangle ABCD sachant que sa hauteur mesure 22 mm et que ses diagonales [AC] et [BD] mesurent respectivement 34 et 46 mm.

s

13 Construis un triangle ABC rectangle en A inscrit dans un cercle de 3 cm de rayon.

Si | AB | = 22 mm, détermine l’aire et le périmètre de ce triangle.

on

14 Construis un rectangle ABCD inscrit dans un cercle de 3 cm de rayon.

Si | AB | = 45 mm, détermine l’aire et le périmètre de ce rectangle.

A

iti

15 Sachant que l’aire du carré ABCD vaut 12 cm², détermine ... a) l’aire du disque inscrit à ce carré. b) l’aire du disque circonscrit à ce carré.

Ed

D

16 Un ébéniste a taillé une face triangulaire AFC dans un bloc de chêne de forme parallélépipédique dont les dimensions figurent sur le dessin ci-contre.

Le triangle AFC est-il rectangle ? Justifie.

C

6 cm

D

F

H

G 20 cm

10 cm

C

6

4

A

E B

A

B 17 En utilisant les données de la figure représentée ci-contre, vérifie que le triangle BCD est un triangle rectangle.

B

2

D

4

C

18 Dans un repère cartésien d’axes perpendiculaires x et y et d’unités 1 cm sont placés les points A (2 ; 4), B (5 ; 5), C (6 ; 2) et D (3 ; 1).

Détermine la nature du quadrilatère ABCD. Justifie.

55

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

19 On considère un demi-cercle de centre O et de diamètre [AB] de longueur 15 cm.

La médiatrice m du segment [OA] coupe le demi-cercle au point C et [OA] au point I. La médiatrice n du segment [BC] coupe [BC] en J. a) Quelle est la nature des triangles ABC et ACO ? Justifie. b) Calcule les longueurs des segments [AC], [CI] et [BC]. c) Calcule la longueur de [JO] et compare-la à celle de [AC].

IN

3

20 Une grenouille se trouve en A sur le bord d’une mare circulaire.

Elle nage 18 m en ligne droite avant de rencontrer le bord B de la mare, puis elle change de direction et nage encore 6 m pour se retrouver au point C diamétralement opposé à A. Quelle distance aurait-elle parcourue si elle avait effectué le trajet [AC] en ligne droite ?

N

21 Des tests ont démontré qu’une échelle est plus stable et facile à utiliser si la distance entre les pieds de l’échelle et le mur est égale au quart de sa longueur d’utilisation.

En tenant compte de ces résultats, détermine... a) la hauteur maximale du point d’appui d’une échelle de 10 m de long. b) la longueur d’une échelle si son point d’appui est situé à une hauteur de 7,75 m.

VA

22 Sachant que 1 pouce vaut 2,54 cm et qu’un format 16/9 correspondant au rapport entre la largeur et la hauteur de l’écran, détermine, au mm près, les dimensions (hauteur et largeur) de l’écran d’un téléviseur 16/9 dont la longueur de la diagonale vaut 40 pouces.

on

s

23 Je désire réaliser moi-même un faire-part de mariage dont la forme est un hexagone régulier et une enveloppe rectangulaire pour ensuite l’y insérer comme le montre le dessin ci-contre.

Calcule les dimensions, au mm près de l’enveloppe que je dois réaliser si tu sais que le rayon du cercle que j’ai choisi pour construire l’hexagone est de 80 mm.

24 Voici la photo d’une décoration de Noël prise dans une ville de la côte belge.

Sachant que les rayons des cercles mesurent 20 cm, détermine les dimensions extérieures, au cm près, du cadre.

iti

Le toit de cette tour de jeu est une pyramide de 30 cm de hauteur dont la base est un carré de 80 cm de côté.

Détermine, en cm2, la quantité de polyester nécessaire au recouvrement de ce toit.

Ed

25

26 On désire construire un cône. Pour ce faire, on dessine un cercle de centre O de 120° et de 5 cm de rayon. Ensuite, on découpe un angle au centre AOB d’amplitude et on fait coïncider les segments [OA] et [OB]. Calcule, au mm près, la hauteur du cône ainsi construit.

O

A

120°

B

27 Axel pose une échelle de 3,50 m de long contre un mur. Sachant que le point d’appui de l’échelle sur le mur est situé à 3,30 m du sol et que la distance entre le pied de l’échelle et le mur est de 0,80 m, détermine si le mur est perpendiculaire au sol. Justifie.

28 Un tunnel à sens unique est constitué de deux parois verticales de 2,50 m de haut surmontées d’une voûte semi-circulaire de 3 m de diamètre.

Un camping-car de 2,40 m de large et de 3,20 m de haut peut-il circuler dans ce tunnel sans encombre ? Justifie.

56

on

iti

Ed s N

VA ThĂŠorie

IN

232

on

iti

Ed s N

VA

IN

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées 1 A

Racine carrée 1

1. Définition

IN

La racine carrée positive d’un nombre positif a, notée a, est le nombre positif x dont le carré vaut a.

Si a ≥ 0 : a = x ¤ x2 = a et x ≥ 0.

9 = 3 car 3² = 9

0 = 0 car 0² = 0

1,21 = 1,1 car 1,1² = 1,21

1 = 1 car 1² = 1

1

N

Exemples :

3

VA

2. Remarques Dans l’expression a, a est appelé le radicand et Le radical doit couvrir tout le radicand.

Exemple :

le radical.

3254 écriture incorrecte

1

s

3254 écriture correcte

on

Un nombre positif admet deux racines carrées opposées.

Exemple :

La racine carrée positive de 25 s’écrit 25 et vaut 5.

La racine carrée négative de 25 s’écrit – 25 et vaut –5.

iti

1

Un nombre strictement négatif n’a pas de racine carrée réelle.

Ed

Exemple : –81 n’a pas de racine carrée réelle, car il n’existe pas de nombre réel a tel que a2 = –81.

3. Calcul d’une racine carrée a) Dans certains cas, on peut connaître la valeur exacte de a.

Exemples :

9 =3

1,21 = 1,1

4 2 = 9 3

7396 = 86

12,25 = 3,5

25 = 10 000

1 1 = 400 20

241

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

b) Dans d’autres cas, connaître la valeur exacte de a est impossible; on ne peut en donner qu’une valeur approchée.

1

Exemple :

2 <2

1< 1,4 <

2 < 1,5

1,41 <

2 < 1,42

1,414 <

2 < 1,415

1

1 ; 1,4 ; 1,41 et 1,414 sont des valeurs approchées par défaut de 2.

3

IN

2 ; 1,5 ; 1,42 et 1,415 sont des valeurs approchées par excès de 2.

4. Propriétés des racines carrées

1

La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit de leurs racines carrées.

N

a)

1600 = 16 . 100 = 16 . 100 = 4 . 10 = 40

Exemples :

4.3 =

12 =

1

4.

3 =2 3

La racine carrée du quotient de deux nombres positifs est égale au quotient de leurs racines carrées. a a Si a ≥ 0 et b > 0, alors = b b

on

s

b)

VA

Si a ≥ 0 et b ≥ 0, alors a . b = a . b

9 = 4

Exemple :

9

4

=

iti

1

3 2

Ed

5. Règles de calcul

a) Simplification

Les propriétés relatives au produit et au quotient des racines carrées permettent de les simplifier, c’est-à-dire de les remplacer par des expressions égales contenant des radicands entiers les plus petits possibles.

Exemples :

18 =

9.2 =

9.

2 =3 2

3 50 = 3 25 . 2 = 3 25 .

0,75 =

242

75 = 100

3 = 4

3 4

2 =3.5. =

3 2

2 = 15 2

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

Si après une première simplification, le radicand n’est pas le plus petit possible, il faut simplifier une seconde fois.

Exemple :

4 . 12 =

48 =

1

4 . 12 = 2 12 =2 4.3 =2.

4.

3 =2.2.

3 =4 3

1

b) Addition (soustraction)

Exemples : 5 2 + 3 2 = (5 + 3) .

2 =8 2

2 18 – 3 50 = 6 2 – 15 2 = (6 – 15) .

IN

La somme de deux racines carrées semblables (de même radicand) est une racine carrée semblable dont le coefficient est la somme des coefficients.

2 = –9 2

3 1

N

Si après une éventuelle simplification, les racines carrées ne sont pas semblables, on ne peut pas les additionner.

150 +

VA

Exemples : 2 5 + 5 7 250 = 5 6 + 5 10

32 + 75 –

27 + 8 = 4 2 + 5 3 – 3 3 + 2 2 = 6 2 + 2 3

Les sommes 2 5 + 5 7, 5 6 + 5 10 et 6 2 + 2 3 ne sont pas réductibles.

1

s

c) Multiplication

on

Le produit de deux racines carrées a pour coefficient le produit des coefficients et pour radicand le produit des radicands.

3. 5 =

Exemples :

3 . 5 = 15

iti

3 2 . 5 3 = (3 . 5) .

Ed

8 . 75 = 2 2 . 5 3 = (2 . 5) .

7 . 7 = 7.7 =

1

2 . 3 = 15 6 2 . 3 = 10 6

49 = 7

3 6 . 6 = 3 6 . 6 = 3 36 = 3 . 6 = 18 32 . 50 = 4 2 . 5 2 = (4 . 5) .

2 . 2 = 20 4 = 20 . 2 = 40

243

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

Cas particuliers 1) Carré d’une racine

1

2) Puissance d’un produit

( 5 )2

Exemples :

1

=5

7 . 7 =

( 2 5 )2

Exemples :

( 7 )2

= 22 .

( 5 )2

=4.5

=7

= 20 3) Distributivité 2 3.

Exemples :

(

)

( 3 )2

3 =2 3 . 5 +2.

5 +

IN

3

= 2 . 15 + 2 . 3

1

= 2 15 + 6

) (

)

3 +5 2 .

( 3 )2

2 +7 3 = 6 +7.

+5.

N

(

( 2 )2

+ 35 . 6

= 6 + 7 . 3 + 5 . 2 + 35 . 6

VA

= 6 + 21 + 10 + 35 6

= 36 6 + 31

4) Produits remarquables

1

)2 = ( 3 )2

s

(

Exemples :

3+

2

+2.

3.

2+

( 2 )2

on

=3+2 6 +2 =5+2 6

1

Ed

iti

(2

5 –

3

)2 = ( 2 5 )2

–2.2 5 .

3+

( 3 )2

= 20 – 4 15 + 3 = 23 – 4 15

(

) (

2 .

7 +

7 –

) ( 7 )2 – ( 2 )2

2 =

=7–2 =5 d) Rendre rationnel le dénominateur d’une fraction Si le dénominateur de la fraction est un monôme contenant une racine carrée, on multiplie les deux termes de la fraction par la racine carrée figurant au dénominateur.

Exemples :

5 2

244

=

5.

2.

2 2

=

5 2 2

3 2 5

=

3. 5 2 5 . 5

=

3 5 10

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

Si le dénominateur de la fraction est un binôme contenant au moins une racine carrée, on multiplie les deux termes de la fraction par le binôme conjugué du dénominateur.

1 6 3–

= 2

3

=

7 +

B

(3 –

2

(

( 2) = 2 ) . (3 + 2 )

6 . 3+

3 6 + 12 3 6 +2 3 = 9–2 7

( 7 – 2) = 2) . ( 7 – 2)

3.

7 +

21 – 6 = 7–2

1

21 – 6 5

3

IN

Exemples :

Théorème de Pythagore

N

1. Théorème direct

1

VA

Énoncé

s

Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Figure

on

I

H

C

a

b

iti Ed

B

D

c

G

A

E

a

b c

a2

= b2 + c2

1

Données ABC triangle rectangle en A CDEA, AFGB et BHIC sont des carrés. | AB | = c | BC | = a | CA | = b

1

Thèse a2 = b2 + c2

F

Démonstration

Les deux figures représentées ci-dessous ont été réalisées à l’aide des carrés CDEA, AFGB, BHIC et de huit triangles identiques au triangle ABC. Figure 2

Figure 1 C

J

B

G

A

D

L

E

H

I

M

C

F

K

P

B

A 245

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

La figure 1 est un carré car ... les points J, C et D sont alignés (*), sont des angles complémentaires. ⎫⎪ et BCA (*) JCB

1

⎬ ⎪ ⎭

est un angle droit.

ACD

1

| + | ACD | + | BCA | = 180° fi | JCB

elle possède quatre côtés de même longueur (b + c) et un angle droit (l’angle de sommet J).

les points L, I et M sont alignés (*), sont des angles complémentaires. et MIC (*) LIH

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

est un angle droit.

HIC

1

| + | HIC | + | MIC | = 180° fi | LIH

N

elle possède quatre côtés de même longueur (b + c) et un angle droit (l’angle de sommet L).

IN

La figure 2 est un carré car ...

3

fi

aire LMAP = aire JDKG a² + 4 .

VA

Les deux carrés sont de même aire car ils ont tous les deux des côtés de même mesure (b + c).

b.c b.c = b² + c² + 4 .

2 2

1

a² = b² + c²

s

2. Applications du théorème direct de Pythagore

on

a) Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle Y

iti

1

B

6

Ed

3

X

5

Par Pythagore, dans le triangle XYZ rectangle en X, on a : | YZ |2 = | XY |2 + | XZ |2 | YZ |2 = 3² + 5² | YZ |2 = 9 + 25 | YZ |2 = 34 | YZ | = 34

3

Z

A Par Pythagore, dans le triangle ABC rectangle en A, on a : | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 6² = 3² + | AC |2 36 = 9 + | AC |2 36 – 9 = | AC |2 27 = | AC |2 27 = | AC | 3 3 = | AC |

246

C

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

b) Construire un segment de longueur irrationnelle donnée Décomposition du radicand en une somme de deux carrés

1

Construire un segment de longueur 13 cm.

1

1) Décomposer le nombre 13 en une somme de deux carrés : 13 = 9 + 4 2) Faire apparaître chaque nombre de l’égalité sous la forme d’un carré :

(

13

)2 = 32 + 22

3

L’hypoténuse de ce triangle mesurera alors 13 cm.

IN

3) Construire un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 2 cm.

13

2

1

N

3

Décomposition du radicand en une différence de deux carrés

VA

Construire un segment de longueur 7 cm.

1) Décomposer le nombre 7 en une différence de deux carrés : 7 = 16 – 9 Transformer l’égalité pour faire disparaître la différence : 9 + 7 = 16 2) Faire apparaître chaque nombre de l’égalité sous la forme d’un carré : 2 + ( 7 ) = 4²

1

s

32

on

3) Construire un triangle rectangle dont un côté de l’angle droit mesure 3 cm et l’hypoténuse 4 cm.

Le second côté de l’angle droit de ce triangle mesurera

4 7

iti

alors 7 cm.

1 3

Ed

3. Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore Énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Énoncé de la contraposée du théorème de Pythagore Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.

Remarque : ces propriétés sont acceptées sans démonstration.

247

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

4. Utilisation de la réciproque et de la contraposée du théorème de Pythagore Connaissant la longueur de ses trois côtés, vérifier si un triangle est rectangle

1

Sachant que | AB | = 6 cm, | AC | = 8 cm et | BC | = 10 cm, le triangle ABC est-il rectangle ?

1

Sachant que | AB | = 6 cm, | AC | = 9 cm et | BC | = 12 cm, le triangle ABC est-il rectangle ?

L’égalité | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 est-elle vérifiée ?

C

IN

Relations métriques dans le triangle rectangle

VA

1

| BC |2 = 12² = 144 | AB |2 + | AC |2 = 6² + 9² = 36 + 81 = 117 fi | BC |2 ≠ | AB |2 + | AC |2 fi le triangle ABC n’est pas rectangle (contraposée du théorème de Pythagore).

N

| BC |2 = 102 = 100 | AB |2 + | AC |2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 fi | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 fi le triangle ABC est rectangle en A (réciproque du théorème de Pythagore).

3

1. Projection orthogonale A

1

A’ est la projection orthogonale de A sur d.

B = B'

on

A'

B’ est la projection orthogonale de B sur d.

B = B’ car B Œ d

s d

B

A

iti

1

d

B'

Ed

A'

248

[A’B’] est la projection orthogonale de [AB] sur d.

Chapitre 3 • Pythagore et les racines carrées THÉORIE

2. Relations métriques dans le triangle rectangle a)

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse est égal au produit des longueurs des segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.

A

1 1

| AH |2 = | BH | . | CH |

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur d’un côté de l’angle droit est égal au produit de la longueur de l’hypoténuse par la longueur de sa projection orthogonale sur l’hypoténuse.

A

VA

A

C

1

N

b)

3

B

H

IN

C

B

H

H

B

| AC |2 = | BC | . | CH |

1

s

| AB |2 = | BC | . | BH |

C

1

Ed

iti

on

Les relations métriques dans le triangle rectangle seront démontrées dans le chapitre sur les figures semblables.

249

IN

1

VA

N

1

s

1

on

1

1

Ed

1

iti

1

1 1 1 338

Index

Index

B binôme

................................................

59, 251

IN

1

E ensemble image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . 86, 269 équation « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 équation « produit nul » : définition . . . . . . . 110, 283 équation « produit nul » : méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 283 équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155, 305 équation du graphique d’une fonction . . . . 83, 266 équation : résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . 94, 275 équations « produit nul » : problèmes . . . . . . . . . . 111 équations de degré supérieur à 1 : méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 284 équations et proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 équations fractionnaires : définition . . . . . . 139, 296 équations fractionnaires : problèmes . . . . . . . . . . . 140 équations fractionnaires : résolution . . . . . 139, 296 exercices de compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 273

1

Ed

iti

on

s

C calcul de la longueur d’un côté d’un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 246 calcul de longueurs et théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171, 311 calcul de longueurs dans les figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 caractéristiques des fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 carré d’un binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 255 cas d’isométrie de deux triangles . . . . . . . . . . . 76, 264 cas d’isométrie de deux triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 265 cas de similitude de deux triangles . . . . . . . 120, 287 cas de similitude de deux triangles : démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 cercle et quadrilatère inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 237 cercles et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 233 coefficients indéterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 260 comparaison de graphiques de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96, 276 compétences : exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 condition d’existence d’une fraction algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133, 291 configurations de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169, 309 construction de figures semblables . . . . . . . . . . . . . 119 construction de la moyenne géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125, 290 constructions d’angles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 13 construire un segment de longueur irrationnelle donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 247

1

D degré d’un monôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 250 degré d’un polynôme réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 251 degré d’un produit de polynômes . . . . . . . . . . 62, 255 degré d’une somme de polynômes . . . . . . . . 60, 254 degré du quotient d’un polynôme par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . . 66, 260 degré du quotient d’un polynôme par un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 257 demi-cercle et triangle rectangle . . . . . . . . . . . . 12, 236 démonstration du théorème de pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 245 démonstrations : angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . 16 démonstrations : figures isométriques . . . . . . . . . . . 78 démonstrations : figures semblables . . . . . . . . . . . 122 démonstrations : théorème de Thalès . . . . . . . . . . 177 détermination de l’équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155, 305 divisibilité d’un polynôme par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . . . . 107, 280 division par « x – a » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 260 division par « x – a » et factorisation . . . . . 107, 282 domaine d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 269

VA

A addition et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200, 323 agrandissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 286 amplitudes d’angles : recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 analyse de graphiques de fonctions . . . . . . . . . . . . 149 angle au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 233 angle inscrit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 233 angle tangentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16, 237 angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11, 233 angles et cercles : démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . 16 angles homologues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 263 angles : constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 angles : recherche d’amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 appartenance d’un point au graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 267

contraposée du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 247 contraposée du théorème de Thalès . . . . 176, 311 coordonnées du milieu d’un segment . . . 175, 314 cosinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211, 330 côtés homologues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 263 critère de parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 303 critère de perpendicularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 304 croissance et décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . 154, 305 cube d’un binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63, 256

N

Les renvois de page en noir concernent les activités.

Les renvois de page en bordeaux concernent la théorie.

1 1 1

1 1 1 1 339

Index

on

1

Ed

iti

1

1

IN

.........................................

110, 282

M maximum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 273 méthode de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186, 319 méthode de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188, 319 méthode des coefficients indéterminés . . . 66, 260 méthode des combinaisons : méthode gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189, 320 minimum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 273 mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104, 277 monôme : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 250 monômes opposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 250 monômes semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 250 moyenne géométrique : construction . . . 125, 290 moyenne géométrique : définition . . . . . . . . 125, 289 multiplication et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201, 323

s

1

1

L loi du reste

VA

1

inéquation ax + b > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 325 inéquation et fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199, 324 inéquation : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199, 323 inéquations : problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199, 203 intersection d’intervalles de réels . . . . . . . . . . . . . . . . 204 intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . 158, 308 intersection du graphique d’une fonction avec les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89, 270 isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 117, 263, 286

N

1

F factorisation par l’utilisation des produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 278 factorisation : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103, 277 factorisation : méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104, 277 factorisation : utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 figures isométriques : définition . . . . . . . . . . . . . 75, 263 figures isométriques : démonstrations . . . . . . . . . . . 78 figures isométriques : problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 figures isométriques : propriété . . . . . . . . . . . . . . 75, 263 figures isométriques : vocabulaire . . . . . . . . . . 75, 263 figures semblables : calcul de longueurs . . . . . . 118 figures semblables : constructions . . . . . . . . . . . . . . 119 figures semblables : définition . . . . . . . . . . . . . . 117, 285 figures semblables : démonstrations . . . . . . . . . . . 122 figures semblables : problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 figures semblables : propriété . . . . . . . . . . . . . . 117, 285 figures semblables : vocabulaire . . . . . . . . . . 117, 285 fonction du premier degré : définition . . . 145, 298 fonction du premier degré : types . . . . . . . . . 146, 298 fonction : comparaison de graphiques . . . . 96, 276 fonction : croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91, 273 fonction : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 266 fonction : domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 269 fonction : ensemble image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 269 fonction : extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 273 fonction : graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 266 fonction : notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 266 fonction : ordonnée à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . 90, 270 fonction : signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90, 271 fonction : tableau de signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90, 272 fonction : tableau de variation . . . . . . . . . . . . . . . . 92, 274 fonction : zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90, 270 fonctions et équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185, 317 formules trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330, 333 fraction algébrique : condition d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133, 291 fraction algébrique : définition . . . . . . . . . . . . . . 133, 291 fraction algébrique : simplification . . . . . . . . 134, 291 fractions algébriques : opérations . . . . . . . . 135, 293

1 1 1 340

G graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 266 graphique d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146, 298 H Horner : factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 282 Horner : tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 261 I image d’un réel par une fonction . . . . . . . . . . . . 83, 266 inégalités : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200, 323 inéquation ax + b £ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 326 inéquation ax + b ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 327 inéquation ax + b < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 324

N nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 27 O opérations sur les fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135-138, 293 ordonnée à l’origine d’une fonction . . . . . . . . 90, 270 ordre de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 P parallélisme de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 303 parallélisme de droites et théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176, 312 partage d’un segment en parties égales 174, 314 parties de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86, 268 pente d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 300 pente d’une droite d’équation y = mx . . . 150, 301 pente d’une droite d’équation y = mx + p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150, 302 pente d’une droite parallèle à l’axe x . . . . 150, 303 pente de deux droites parallèles . . . . . . . . . . 153, 303 pente de deux droites perpendiculaires 153, 304 perpendicularité de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153, 304 polynôme complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 252 polynôme ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 251

Index

polynôme réduit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 251 polynôme : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 250 polynôme : valeur numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . 58, 252 polynôme : vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 251 polynômes : problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 67 problèmes à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . 192, 321 problèmes et équations « produit nul » . . . . . . . . 111 problèmes et équations fractionnaires . . . . . . . . . 140 problèmes et figures isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 problèmes et figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 problèmes et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199, 203 problèmes et polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 67 problèmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 problèmes et théorème de pythagore . . . . . . . . . . . . 44 problèmes et théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . 178 problèmes et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 produit de deux binômes conjugués . . . . . . . 62, 256 produit de fractions algébriques . . . . . . . . . . . 135, 293 produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 254 produit de puissances de même base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23-27, 239 produit de racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 243 produits particuliers de polynômes . . . . . . . . . 62, 255 produits remarquables et factorisation . . 106, 278 projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 248 projections parallèles et théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169, 309 proportions : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 316 propriétés des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200, 323 propriétés des proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170, 316 propriétés des puissances . . . . . . . . . . . . . . . 23, 24, 239 propriétés des racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . 39, 242 prouver le parallélisme de droites . . . . . . . . . 176, 312 puissance à exposant entier négatif . . . . . . . 22, 238 puissance à exposant naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 puissance d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23-27, 239 puissance d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23-27, 240 puissance d’une puissance . . . . . . . . . . . . . . 23-27, 239 puissances à exposants entiers négatifs : transformation d’écriture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 puissances de 10 et notation scientifique . . 21, 27 puissances : problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 puissances : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 24, 239 Pythagore : théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 245

quotient de puissances de même base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23-27, 239

Q quadrilatère inscrit dans un cercle . . . . . . . . . . 16, 237 quadrinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 251 quatrième proportionnelle de trois nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174, 312 quotient d’un polynôme par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 260 quotient d’un polynôme par un monôme 64, 258 quotient d’un polynôme par un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65, 257 quotient de fractions algébriques . . . . . . . . . 135, 294

S segment de longueur irrationnelle : construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 247 segments homologues et théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169, 310 signe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90, 271 signe d’une fonction du premier degré . 157, 307 simplification de fractions algébriques . . 134, 291 simplification de racines carrées . . . . . . . . . . . . 39, 242 sinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210, 330 sinus, cosinus, tangente : reconnaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212, 330

VA

s

on

iti

Ed

1 1

N

IN

R racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37, 241 racine carrée d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 242 racine carrée d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 242 racines carrées : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 242 racines carrées : règles de calcul . . . . . . . . . . . 40, 243 racines carrées : simplification . . . . . . . . . . . . . . . 39, 242 rapport de similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 286 recherche d’une amplitude connaissant deux longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215, 334 recherche d’une longueur connaissant une longueur et une amplitude . . . . . . . . . . 215, 333 réciproque du théorème de Pythagore . . . . 45, 247 réciproque du théorème de Thalès . . . . . . . 176, 311 réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117, 286 réduction de fractions algébriques au même dénominateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137, 294 règle du « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 283 relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 266 relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 248 relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124, 288 relations métriques : côtés de l’angle droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 249 relations métriques : côtés de l’angle droit (démonstration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124, 288 relations métriques : hauteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 249 relations métriques : hauteur (démonstration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124, 289 représentation d’une fonction du premier degré : principe de construction . . . . . . . 148, 298 reproduction d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 résolution algébrique d’un système . . . . . . 188, 318 résolution d’équations de degré supérieur à 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110, 284 résolution d’équations fractionnaires . . . . 139, 296 résolution d’un triangle rectangle . . . . . . . . . 215, 334 résolution d’une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . 202, 328 résolution graphique d’un système . . . . . . . 187, 321 résolution graphique d’une équation . . . . . . 94, 275

1 1 1 1 1 1 1 1 341

Index

on

1

Ed

iti

1

1

..

213, 332

V valeur numérique d’un polynôme . . . . . . . . . . . 58, 252 valeurs trigonométriques d’un angle de 30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214, 337 d’un angle de 45° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214, 336 d’un angle de 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214, 336 valeurs trigonométriques particulières . . 214, 336

s

1

1

U unités de mesure d’amplitude d’angle

VA

1

IN

T tableau d’Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66, 261 tableau d’Horner et factorisation . . . . . . . . . . 110, 282 tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83, 266 tangente d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209, 330 terme indépendant d’un polynôme . . . . . . . . . 59, 251 Thalès ou triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Thalès : théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169, 309 théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 245 théorème de Pythagore : contraposée . . . . 45, 247 théorème de Pythagore : démonstration . 38, 245 théorème de Pythagore : problèmes . . . . . . . . . . . . . . 44 théorème de Pythagore : réciproque . . . . . . 45, 247 théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169, 309 théorème de Thalès : calcul de longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171, 311 théorème de Thalès : contraposée . . . . . . . 176, 311 théorème de Thalès : démonstrations . . . . . . . . . . 177 théorème de Thalès : problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 théorème de Thalès : réciproque . . . . . . . . . . 176, 311 théorème de Thalès et projections parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169, 309 théorème de Thalès et segments homologues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169, 310

1

transformations de formules . . . . . . . . . . . . . . . . 215, 331 transformations de formules et proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 transformations d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 triangle inscrit dans un demi-cercle . . . . . . . . 12, 236 triangle rectangle et demi-cercle . . . . . . . . . . . . 12, 236 triangle rectangle : calcul de la longueur d’un côté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 246 triangle rectangle : résolution . . . . . . . . . . . . . . . 215, 334 triangles isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76, 264 triangles rectangles : cas d’isométrie . . . . . . 77, 265 triangles semblables ou Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 triangles semblables : cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120, 287 triangles : cas d’isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76, 264 trigonométrie dans le triangle rectangle 209, 330 trigonométrie : formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 trigonométrie : formules fondamentales 214, 335 trigonométrie : problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59, 251 types de fonctions du premier degré . . . . 146, 298

N

somme de fractions algébriques . . . . . . . . . . 137, 295 somme de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 253 somme de racines carrées semblables . . . 40, 243 systèmes de deux équations à deux inconnues : notion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186, 317 systèmes de deux équations à deux inconnues : problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192, 321 systèmes de deux équations à deux inconnues : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186, 318

1 1 1 342

Z zéro d’une fonction

...............................

90, 270

Table des symboles

Table des symboles Nombres < > £ ≥ –a 1 a–1 ou a

strictement plus petit que strictement plus grand que plus petit ou égal à plus grand ou égal à opposé de a inverse de a

|a|

valeur absolue de a

a

| | BAC

racine carrée positive de a

d(X,a)

– a

racine carrée négative de a

AB d

vecteur AB droite d

A

angle de sommet A

BAC

polynôme de variable x degré du polynôme P(x)

iti

Polynômes P(x) d° P(x)

on

s

Dy

amplitude de l’angle BAC distance du point X à la droite a cercle de centre O et de rayon r abscisse du point A

1 1

N

abs A

AB

VA

Dx

domaine de la fonction f image de la fonction f fonction de variable x fonction f (notation complète) accroissement des abscisses accroissement des ordonnées

amplitude de l’angle de sommet A

IN

| A |

C (O,r)

Fonctions dom f im f f(x) f : x Æ y = f(x)

angle de sommet A formé par [AB et [AC

arc de cercle d’extrémités A et B

BAC

arc de cercle d’extrémités B et C contenant A DABC triangle ABC DABC iso DA’B’C’ triangle ABC isométrique au triangle A’B’C’

D ABC D A’B’C’

triangle ABC semblable au triangle A’B’C’

^ // //\

perpendiculaire à parallèle à sécante avec

1 1 1

Trigonométrie

le sinus de l’angle B

Ed

sin B

cos B

le cosinus de l’angle B

tan B

la tangente de l’angle B

Géométrie A [AB] |AB| d(A,B) [AB AB

point A segment d’extrémités A et B longueur du segment [AB] distance entre les points A et B demi-droite d’origine A passant par B droite passant par les points A et B

Symboles ensemblistes, intervalles ¤ équivaut à, est équivalent à fi implique que, entraîne que Œ appartient à œ n’appartient pas à à est inclus dans À n’est pas inclus dans union intersection \ différence { …… } ensemble de div a ensemble des diviseurs de a N ensemble des naturels

1 1 1 1 1 343

Table des symboles

+

Z Z

1

–

R R0 + R + R + R0

1

R

s

1

on

1

Ed

1

iti

1 1

[a ; b] ]a ; b[ [a ; b[ ]a ; b] ¨ ; a] ¨ ; a[ [a ; Æ ]a ; Æ

VA

f

– 0

N \ {0,1}

1 1 1 344

ensemble des naturels exceptés 0 et 1 ensemble des réels x tels que a £ x £ b ensemble des réels x tels que a < x < b ensemble des réels x tels que a £ x < b ensemble des réels x tels que a < x £ b ensemble des réels x tels que x £ a ensemble des réels x tels que x < a ensemble des réels x tels que x ≥ a ensemble des réels x tels que x > a

IN

Z Z0

ensemble des naturels non nuls ensemble des entiers ensemble des entiers non nuls ensemble des entiers positifs ensemble des entiers négatifs ensemble des réels ensemble des réels non nuls ensemble des réels positifs ensemble des réels négatifs ensemble des réels strictement positifs ensemble des réels strictement négatifs ensemble vide

N

N0