Actimath à l'infini 3 - 2e édition - Manuel - Extrait by VAN IN

3 t % 14 7 SA x y 0 7 6

= 9 0 3

MANUEL

Manuel ACtimath à l’infini - 2 e édition

1 2 4 + f 3 % 5x S

42 0 0 5 7 cos 8

8+ %

Ph. Ancia M. Bams M. Chevalier M. Colin P. Dewaele F. Huin J.-L. Lozet A. Want

a2 % 0

0 t 1% f 6

sin

% 0 4 9 7 5

: 1 f8 %

+ 3

2 e édition

[AB] f : 5 [AB] a a [AB] AOC 2 = 2 2 3 f+ f 4 8 2 1 0 ≤ 3 =a 5 8 2 + AOC [AB] 6 8 [AB] 23 f a [AB] [AB] 2 3 AOC f + f 3 4 2 5 8 2 4 0 1+ cos 3 9 % 0 8 8 0 3 [AB] 0

125

ISBN 978-90-306-9725-1 595282

9 789030

www.vanin.be

0 9 + 5 ≤ 4 8

689331

Sd 75x 8 [AB]

9 4 2 3 125

3 Philippe Ancia Maryse Bams Michaël Chevalier Marlène Colin Pascal Dewaele Fabrice Huin Jean-Luc Lozet Aline Want

MANUEL 2 e édition

Udiddit, la plateforme d’apprentissage en ligne pour les élèves et les enseignants La plateforme Udiddit te donne, par exemple*, accès à : - des exercices en ligne pour t’entrainer, - un aperçu de tes progrès et de tes résultats, - du matériel de cours, - des jeux captivants, - et bien plus encore... * En fonction de la méthode

Crée-toi un compte sur www.udiddit.be et accède à ton contenu à l’aide du code d’activation ci-dessous : CODE ÉLÈVE

Cette licence est valable pendant 1 an à partir de la date d’activation.

Composition d’Actimath à l’infini 3 Pour l’élève

Manuel (+ accès Udiddit aux exercices numériques)

Pour le professeur Guide méthodologique (+ accès Udiddit au matériel de cours) Manuel numérique Actimath à l’infini 3 – Manuel Auteurs :

Maryse Bams, Michaël Chevalier, Marlène Colin, Pascal Dewaele, Fabrice Huin, Jean-Luc Lozet et Aline Want sous la direction de et avec Philippe Ancia

Couverture : Mise en page :

acg Atelier Création Graphique Alinea Graphics

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2021 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

2e édition : 2021 ISBN 978-90-306-9725-1 D/2021/0078/138 Art. 595282/01

Introduction Dans sa conception et sa structure, le manuel Actimath à l'infini 3 s'insère parfaitement dans la continuité de ses prédécesseurs (Actimath à l'infini 1 et Actimath à l'infini 2). Dans ce manuel, aucune place n'est prévue pour la notation des réponses; il est donc déconseillé d'écrire dans ce livre. Tu devras disposer d'un classeur dans lequel tu rédigeras les solutions des différentes activités proposées et des exercices complémentaires éventuels que ton professeur te demandera de résoudre. Ce sera l'occasion de t'habituer à rédiger un document avec soin, à présenter une démonstration de manière structurée, à construire des figures précises et claires.

À travers ce manuel, tu pourras : • consolider l'usage des outils mis en place durant le premier degré ; • construire de nouveaux outils à partir de situations concrètes et te permettre d'appliquer ces connaissances nouvelles ; • développer non seulement tes capacités de raisonnement si importantes pour aborder la 4e année, mais aussi encourager ta participation active et éveiller ton esprit critique.

Tels sont donc les objectifs qui ont motivé notre travail.

Tout au long de ce manuel, nous avons alterné les travaux géométriques et les travaux algébriques en utilisant simultanément, chaque fois que cela était possible, les techniques indispensables des uns et des autres. Ce manuel comporte de nombreux exercices complémentaires aﬁn de te permettre de t'entraîner seul à la maison et de consolider tes apprentissages.

Si tu éprouves des difficultés à en résoudre certains, relis les activités et la théorie s'y rapportant et si cela n'est pas suffisant, demande conseil à ton professeur qui te fournira des pistes pour mener à bien ton travail. Un index figurant à la fin du livre (p. 205) t'aidera à retrouver les mots importants.

iti

Une table des principaux symboles (p. 203) rencontrés au premier degré et en 3e année te permettra de retrouver un symbole utile. Bon travail avec Actimath à l'inﬁni 3 ! Les auteurs

Mode d’emploi Ton livre, Actimath à l'infini 3, est divisé en quatorze chapitres, facilement repérables grâce aux indications situées sur le bord extérieur mentionnant le numéro du chapitre. Ces chapitres sont eux-mêmes divisés en activités. Ton professeur choisira celles qui te permettront d'atteindre les objectifs fixés et il te donnera des conseils pour mener à bien leur déroulement. Tu noteras les solutions de ces différentes activités et des exercices qui s'y rapportent dans un classeur ; tu le feras en n'oubliant pas d'indiquer une référence sur les feuilles de celui-ci. À la fin de chaque chapitre, tu trouveras la théorie qui y correspond. En effet, chaque fois qu'une nouvelle notion théorique sera mise en place, ton professeur te renverra à cette partie du manuel.

Tu remarqueras très vite que deux logos apparaissent régulièrement au ﬁl des pages. Ils ont évidemment une signiﬁcation particulière. Pendant une activité, si une notion peut (doit) être précisée ou formulée, ce logo t'indique la référence permettant de la retrouver dans la théorie.

Ce logo signale que des exercices de ton livre sont animés et se trouvent sur la plateforme Udiddit. Cela te permettra de l'exercer à domicile.

Chaque chapitre se termine par quelques feuilles légèrement colorées contenant une série d'exercices complémentaires classés selon les trois catégories habituelles. • CONNAÎTRE Selon les cas, tu devras illustrer un énoncé par un exemple ou un dessin, justiﬁer certaines étapes d'un calcul, … • APPLIQUER Ces exercices te permettront d'utiliser, d'appliquer de manière réﬂéchie les savoirs acquis. • TRANSFERER Tu seras confronté(e) à des situations nouvelles et inédites qui s'inscrivent toutefois dans le prolongement de celles exploitées lors des apprentissages. Le moment venu, ton professeur te dira quels exercices résoudre.

iti

Ton livre se termine par quelques pages d'exercices destinés à vériﬁer que tu maîtrises les compétences développées. Pour les résoudre, tu devras mettre en œuvre, en les organisant, des savoirs, des savoirfaire et des attitudes.

Ton professeur utilisera peut-être en classe le manuel numérique de ton Actimath à l'inﬁni 3 et il pourra également t'y donner accès. Tous les exercices animés que tu rencontreras sont disponibles sur la plateforme Udiddit. Tu y trouveras également des exercices interactifs auxquels tu pourras t'adonner librement et pour lesquels tu disposeras d'un feedback personnalisé. Le code d'accès à ton compte se trouve sur la page 2. Toutes les vidéos sont accessibles directement via ton smartphone ou ta tablette ! 1. Télécharge l'application Sésame des Éditions VAN IN.

2. Scanne le QR code sur la page : tu auras directement accès aux vidéos ! Bon travail avec Actimath à l’inﬁni 3 !

Table des matières Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mode d’emploi

..............................................................................................................................

Table des matières

........................................................................................................................

4 5

Chapitre 1 • Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Activité 1 Angle inscrit et angle au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Activité 2 Triangle et demi-cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Activité 3 Constructions d’angles particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Activité 4 Recherche d’amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Activité 5 Démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ......................................................................................................................

Th1

Théorie

Chapitre 2 • Puissances à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Activité 1 Puissances de 10 et notation scientiﬁque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Activité 2 Puissances à exposants entiers : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Activité 3 Transformations d’écritures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Activité 4 Propriétés des puissances à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Activité 5 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ......................................................................................................................

Théorie

Th7

iti

Chapitre 3 • Pythagore et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Activité 1 Nouveaux nombres : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Activité 2 Théorème de Pythagore : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Activité 3 Théorème de Pythagore : problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Activité 4 Théorème de Pythagore : applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Activité 5 Réciproque du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Activité 6 Relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Activité 7 Simpliﬁcation de racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Activité 8 Opérations sur les racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Théorie

......................................................................................................................

Th9

TABLE DES MATIÈRES Chapitre 4 • Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Activité 1 Problèmes et polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Activité 2 Valeur numérique d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Activité 3 Vocabulaire spéciﬁque aux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Activité 4 Somme de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Activité 5 Produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Activité 6 Produits particuliers de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Activité 7 Quotient d’un polynôme par un monôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Activité 8 Quotient d’un polynôme par un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Activité 9 Quotient d’un polynôme par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . 54 Activité 10 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Théorie

......................................................................................................................

Th19

Chapitre 5 • Figures isométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Activité 1 Recherche d’isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Activité 2 Reproduction d’une ﬁgure donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Activité 3 Cas d’isométrie des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Activité 4 Utilisation des cas d’isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Activité 5 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Théorie

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 ......................................................................................................................

Th29

Chapitre 6 • Approche graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Activité 1 Notions de relation et de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Activité 2 Domaine et ensemble image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Activité 3 Zéros et ordonnée à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Activité 4 Signe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Activité 5 Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Activité 6 Analyse graphique d’une fonction : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Activité 7 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 ......................................................................................................................

iti

Théorie

Th31

Chapitre 7 • Factorisation et équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Activité 1 Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Activité 2 Produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Activité 3 Division par un binôme de la forme « x – a » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Activité 4 Techniques de factorisation : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Activité 5 Équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Activité 6 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Théorie

......................................................................................................................

Th41

TABLE DES MATIÈRES Chapitre 8 • Figures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Figures semblables : découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Calcul de longueurs dans les ﬁgures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Périmètre, aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Construction de ﬁgures semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Utilisation des cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Relations métriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 8 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 108 109 111 112 112 113 114 115

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Théorie

......................................................................................................................

123 124 124 125 126 126 127 127

Chapitre 9 • Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Notion de fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Condition d’existence d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Simpliﬁcation de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Produit et quotient de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Somme de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Priorités des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Équations fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th47

Théorie

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ......................................................................................................................

Chapitre 10 • Fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Reconnaissance des fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Taux d’accroissement d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Représentation du graphique d’une fonction du premier degré . . . . Activité 4 Caractéristiques des fonctions dont les graphiques dont des droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Expressions analytiques de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Signe d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Intersection des graphiques de deux fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th53

133 134 135 139 139 140 142 142

iti

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ......................................................................................................................

Théorie

Chapitre 11 • Thalès et les proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Première formulation du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Propriétés des proportions et deuxième formulation du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Thalès pour calculer des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Thalès ou triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Thalès pour construire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Réciproque du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Thalès pour démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 8 Thalès pour résoudre des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th57

151 152 153 153 154 155 155 156 157

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Théorie

......................................................................................................................

Th65

TABLE DES MATIÈRES Chapitre 12 • Systèmes de deux équations à deux inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Méthode de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Systèmes équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Méthode de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Méthode des combinaisons (Méthode de Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Systèmes particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Choix de la méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 164 164 165 166 166 167 168

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Théorie

......................................................................................................................

173 174 175 175 177 179

Chapitre 13 • Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Problèmes d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Inéquations et fonctions du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Propriétés des inégalités et des inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Résolutions d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th69

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Théorie

......................................................................................................................

Chapitre 14 • Trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 1 Tangente d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 2 Sinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 3 Cosinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 4 Sinus, cosinus et tangente : exercices de reconnaissance . . . . . . . . . . . . . . . Activité 5 Recherche de longueurs et d’amplitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 6 Formules et valeurs trigonométriques particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Activité 7 Problèmes concrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Th77

185 186 187 188 188 189 190 191

Exercices complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Théorie

......................................................................................................................

Table des symboles

..................................................................................................................

Index

......................................................................................................

iti

Exercices de compétences

..........................................................................................................................................

197 203 205

Th83

Chapitre 3

Pythagore et racines Compétences à développer Mobiliser les propriétés du triangle rectangle pour résoudre des problèmes de calcul ou de construction.

C 2-2

Démontrer des propriétés.

C 5-1

Maîtriser des outils algébriques pour résoudre des problèmes.

C 2-1

Processus Connaître

Démontrer le théorème de Pythagore et sa réciproque.

S 2-2

Distinguer réciproque et contraposée du théorème de Pythagore.

S 2-3

Transposer les propriétés du triangle rectangle dans des situations non prototypiques.

S 2-4

Reconnaître les conditions d’application des propriétés du triangle rectangle.

S 2-5

Établir une propriété métrique dans un triangle rectangle.

A 2-1

Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour vériﬁer qu’un triangle est rectangle. Utiliser les propriétés métriques du triangle rectangle dans des calculs (longueurs de segments), des problèmes de constructions.

A 2-2

iti

Appliquer

S 2-1

A 2-3

Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé.

A 2-4

Construire un segment de longueur a avec a naturel.

A 5-5

Modiﬁer la forme d’une expression algébrique dans le but de résoudre une équation ou de simpliﬁer une fraction.

Transférer T 2-1

Démontrer des propriétés géométriques en utilisant le théorème de Pythagore ou les propriétés métriques du triangle rectangle.

T 2-2

Résoudre un problème (calcul d’une longueur, construction) en utilisant le théorème de Pythagore et les propriétés métriques du triangle rectangle.

T 4-1

Traduire une situation contextualisée par une fonction, une équation ou une inéquation du premier degré.

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Pythagore et racines

Activité 1 Nouveaux nombres : découverte 1

Luc possède un parterre de roses de forme carrée de 4 m de côté, agrémenté en son centre d’une fontaine posée sur un socle circulaire de 50 cm de diamètre. a) Tout en conservant sa forme carrée et en maintenant la fontaine en son centre, Luc décide de doubler la superficie totale de son parterre.

Trace, à l’échelle 1 : 100, le plan de ce parterre avant et après transformation.

Julie possède un aquarium dont les dimensions sont 50 cm x 32 cm x 40 cm. Elle souhaite faire l’acquisition d’un nouvel aquarium de forme cubique et de même volume.

b) Luc délimite son nouveau parterre en utilisant une bordure en bois. Sachant que celle-ci est vendue en rouleau de 30 cm de haut sur 180 cm de long, détermine le nombre de rouleaux nécessaires à la réalisation de son travail.

Détermine la dimension de ce nouvel aquarium. 3

Détermine …

100

0,04

Aire (cm2)

a) la longueur du côté d’un carré connaissant son aire. 9

0,001

0,9

1,21

1 100

4 9

0,27

8 125

64 1331

b) la longueur de l’arête d’un cube connaissant son volume.

0,216

Égalité

a2 = 25

Égalité

a2 = 0,36

a2 = 0

a2 = 28

a2 = –16

p.9 A1-2

= 125

= –8

= –1

= 25

Calcule sans utiliser ta calculatrice. a)

10 000

–400

1 4

9 100

4 25

–16 25

72 98

0,25

–6,25

0,01

2,25

0,0144

d) 1000 30

125

Détermine les valeurs de a vérifiant chaque égalité.

iti

Volume (cm³)

–64

–8000

1 8

54 250

p.10 A3

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Pythagore et racines

Encadre... a) chaque racine carrée par deux entiers consécutifs. 13

b) chaque racine cubique par deux entiers consécutifs. 3

100

980

Activité 2 Théorème de Pythagore : découverte 1

a) Léopold a préparé un nouveau défi pour son petit-fils Simon. Il a découpé dans un panneau en bois huit triangles rectangles identiques et trois carrés ayant chacun pour dimension la mesure d’un des côtés du triangle. À l’aide de ces 11 pièces, Simon doit reconstituer deux carrés de même aire. Aide Simon à relever ce défi. b

iti

Prends une feuille de bloc quadrillée, trace et découpe ces 11 pièces. Replace-les ensuite de manière à former les deux carrés demandés. Justifie ta proposition.

b) À l’aide des longueurs a, b et c, écris une égalité entre l’aire de ces deux carrés. Réduis au maximum cette égalité. c) Traduis cette égalité par la propriété relative aux longueurs des côtés d’un triangle rectangle (théorème de Pythagore).

Applique cette propriété au triangle ABC rectangle en A. C

A d) Est-il possible de trouver le même genre de relation dans d’autres types de triangles ? p.13 C1

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Pythagore et racines

L’unité choisie pour les données étant le mètre et sachant que le triangle ABC est rectangle en A, complète les tableaux ci-dessous.

| AB |

| AC |

0,3

5) 13

0,2 0,5

1,2

| AB | 1 3 3 4

| AC | 1 2

| BC |

5 2 6

| BC |

Lors d’une tempête particulièrement violente, le tronc d’un arbre s’est brisé.

3,10 m

Observe le schéma de la situation 1,20 m et détermine, au cm près, la hauteur de l’arbre avant la tempête.

L’extrémité d’une échelle de 4 m de long est appuyée contre un mur vertical et son pied est à 1,1 m de celui-ci.

Activité 3 Théorème de Pythagore : problèmes concrets

Dans la station de sports d’hiver « Les Ménuires », une télécabine de pente constante et de 358 m de long permet de relier le quartier de Préyerand au centre du village.

iti

Calcule, au cm près, la hauteur du point d’appui du sommet de l’échelle contre le mur.

Sachant que le départ de cette cabine se situe à un altitude de 1800 m et l'arrivée à 1863 m, à quelle distance horizontale, au m près, correspond le trajet parcouru ?

La hauteur sous plafond de mon living est de 2,50 m. Une armoire, dont les dimensions sont de 243 cm de haut, 72 cm de largeur et 45 cm de profondeur, est couchée sur le sol de la pièce. Est-il possible de la redresser ? Envisage les deux possibilités.

p.15 C2a

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Pythagore et racines

Activité 4 Théorème de Pythagore : applications 1

Dans chacun des cas suivants, construis un carré ayant la même aire que la figure donnée.

p.15 C2b

a) 3

b) 10

Le théorème de Pythagore permet de construire un segment de droite dont la longueur est exprimée par une racine carrée. Utilise-le pour construire les segments dont voici les longueurs en cm. c)

d) 7

a) Calcule la longueur de la diagonale d’un carré de 5 cm de côté.

b) Exprime la longueur de la diagonale d’un carré en fonction de la longueur (a) de son côté.

a) Calcule la longueur de la diagonale intérieure d’un cube de 5 cm d’arête.

iti

b) Exprime la longueur de la diagonale intérieure d’un cube en fonction de la longueur (a) de son arête. 5

a) Calcule la longueur de la diagonale d’un rectangle dont la longueur vaut 8 cm et la largeur 5 cm. b) Exprime la longueur de la diagonale d’un rectangle en fonction de sa longueur (a) et de sa largeur (b).

b a

a) Calcule la longueur de la diagonale intérieure d’un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont les suivantes : longueur 8 cm, largeur 5 cm et hauteur 3 cm.

b a b) Exprime la longueur de la diagonale intérieure d’un parallélépipède rectangle en fonction de sa longueur (a), de sa largeur (b) et de sa hauteur (c).

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Pythagore et racines

a) Calcule la longueur de la hauteur d’un triangle équilatéral de 6 cm de côté. b) Exprime la longueur de la hauteur d’un triangle équilatéral en fonction de la longueur (a) de son côté.

a) Dans un repère cartésien d’axes perpendiculaires x et y et d’unités 1 cm, place les points ci-dessous dont tu connais les coordonnées. A (1 ; 1)

B (3 ; 4)

C (4 ; 3)

D (3 ; –2)

E (–1 ; –2)

F (–2 ; 2)

b) Détermine la longueur des segments [AB], [CD] et [EF].

c) Généralise cet exercice en exprimant la longueur du segment [AB] en fonction des coordonnées de A (xA ; yA) et de B (xB ; yB).

Lucas a posé le premier lit de briques de son nouveau barbecue. Avant de poursuivre la construction de cet ouvrage, il souhaite vérifier la perpendicularité des murs ainsi formés et prend, pour ce faire, différentes mesures.

Activité 5 Réciproque du théorème de Pythagore

Sachant que | AB | = 760 mm, | AD |= 570 mm, | BC | = 570 mm, | BD | = 950 mm et | AC | = 960 mm, détermine si ... est un angle droit. Justiﬁe. a) l’angle CBA

iti

p.16 C3-4

est un angle droit. Justiﬁe. b) l’angle DAB

Pour chacun des cas ci-contre, vérifie si le triangle ABC est rectangle. Si oui, détermine le sommet de l’angle droit.

| AB |

| AC |

| BC |

Dans le rectangle ci-contre, le triangle XCY est-il rectangle ?

p.17 C5

5 cm

3 cm

2 cm

Y D

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Pythagore et racines

Dans le parallélépipède rectangle représenté ci-contre, X est un point fixé sur l’arête [EH] tel que | EX | = 6 cm.

10 cm

Le triangle DXG est-il rectangle ? Justifie.

F B

X H

D 5

G C

12 cm

Sur un mur vertical, Bruno a fixé une étagère afin d’y déposer sa collection de livres anciens. Pour vérifier que la planche est posée horizontalement, il a pris les mesures indiquées sur le dessin ci-contre.

8 cm

265 mm

L’étagère de Bruno est-elle horizontale ? Justifie.

360 mm

445 mm

a) Sachant que les pans du toit de la tente représentée ci-contre sont perpendiculaires, détermine … (1) la largeur de la tente. (2) l’aire de la face avant de la tente. (3) la hauteur maximale de la tente.

3,2 m

2,4 m

Activité 6 Relations métriques dans le triangle rectangle

iti

b) (1) Calcule | CD | et | BD |. (2) Compare | AD |2 et | BD | . | CD |, | AB |2 et | BC | . | BD | et enfin | AC |2 et | BC | . | CD |. Que constates-tu ? (3) Énonce les propriétés découvertes.

p.17 D

Dans le triangle XYZ rectangle en X, on désigne par P le pied de la hauteur issue du sommet de l’angle droit.

a) Sachant que | XP |= 6 cm et | YP | = 3 cm, détermine | PZ | et | XZ |. b) Sachant que | YZ |= 10 cm et | YP | = 4 cm, détermine | XY | et | XZ |. 3

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue du sommet de l’angle droit détermine sur l’hypoténuse des segments de longueurs respectivement égales à 7 cm et 28 cm. Calcule l’aire de ce triangle.

ACTIVITÉS

Un des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesure 18 cm et la hauteur relative à l’hypoténuse 9 cm. Calcule l’aire de ce triangle. Le cerf-volant de Maud représenté ci-contre est formé de deux triangles rectangles (ABD et CBD) superposables. Sachant que le point E est le point d’intersection des diagonales [BD] et [AC], que |BE| = 32 cm et |ED| = 72 cm, détermine sans l’aide de ta calculatrice la longueur de la diagonale [AC] de ce cerf-volant. Un champ rectangulaire de 75 m de long sur 40 m de large a été partagé en trois parcelles selon le plan ci-contre. Détermine la superficie de chacune d’entre elles.

A E B

Chapitre 3 Pythagore et racines

40 m

75 m

Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Dans le cas d’une égalité fausse, entoure l’étape contenant l’erreur commise.

Détermine la longueur d’une diagonale d’un carré de 1 cm, 2 cm, 3 cm et 4 cm de côté. Compare les résultats obtenus.

Activité 7 Simplification de racines carrées

32 = 16 . 2 = 16 . 2 = 4 2

iti

32 = 16 + 16 = 16 + 16 = 4 + 4 = 8

125 = 100 + 25 = 100 + 25 = 10 + 5 = 15 125 = 25 . 5 = 25 . 5 = 5 5 9 + 16 = 3 + 4 = 7

9 + 16 = 9 + 16 = 25 = 5 9 . 16 = 3 . 4 = 12

p.11 B1

9 . 16 = 9 . 16 = 144 = 12 3

Simplifie les racines carrées suivantes. a)

b) 72

300

c) 3 20

7 125

160

128

d) 324

432

3 98 576

4 32 2025

p.11 B2a

ACTIVITÉS

Chapitre 3 Pythagore et racines

Sachant que 172 = 289, entoure, parmi les nombres suivants, ceux pour lesquels tu peux calculer la racine carrée mentalement et détermine-la. Calcule ensuite la racine carrée des nombres restants en utilisant une seule fois ta calculatrice. 2,89

28,9

2890

28 900

289 000

2 890 000

Sans utiliser ta calculatrice, range les nombres suivants dans l’ordre croissant. 3 11

7 2

3 7

1 p.12 B2b

Réduis les sommes suivantes. b) 7 5 – 3 5 – 6 5 + 5 7 +2 3 – 3 +2 7

2 3 +4 7

4 2 –8+2 2 +3

2 54 – 2 24 + 150 + 6

18 – 2

2–5 3 + 3 – 4

3 27 – 2 25 + 5 75 + 3 81

Réduis les produits suivants. 2. 3

45 . 50

d) 6 .

(

2 – 3)

(3 – 5 3 ) . 2

3. 3

32 . 18

( –3 5 )2

(

50 – 27 ) . 5

(

2 + 5)

(

3 + 5)

(

3 – 2 5)

iti

(7 2 )2

(

p.13 B2d

( 7 )2

12 . 27

Ed e)

3 2 .5 3

3 19 . 19

20 + 45 – 80 – 125 32 + 40 – 90 + 8

7+ 7

p.12 B2c

a) 7 3 + 2 3

Activité 8 Opérations sur les racines carrées

42 . 7

3 + 2) . ( 5 – 2 ) 5 + 3 2 ) . (2 5 – 5 2 )

12 – 18 ) .

(

3 – 2)

(

3 – 5) .

(5 + (4

(

3 + 5)

2 ) . (5 – 2 )

5 – 2) .

(

2 + 4 5)

2 2

Sachant que 2 = 1,414 21..., trouve une méthode rapide et sans l’aide de ta calculatrice qui te permettra de calculer la valeur approchée par défaut au millième près des expressions ci-dessous. 1 2

3 2– 2

ACTIVITÉS

Rends rationnel le dénominateur des fractions ci-dessous. a)

3 5– 2

10 3

3 –2 3

3 2+ 7

4 5 2

10 + 3 2 2

2+ 5 5– 2

2– 8 2

20 5+ 8

5 3 5

8+ 3 5

Lors d’une interrogation, quatre élèves ont proposé une solution pour chacune des équations suivantes. Équation

Solution 1

Solution 2

x2 – 7 = 0

2,6

2,64

12 – x2 = 0

3,4

x2 – 6x + 7 = 0

4,4

Solution 3

Solution 4

2,645

3 2

Chapitre 3 Pythagore et racines

3,46

3,464

2 3

4,41

4,414

3+ 2

Sans calculatrice, donne une valeur simplifiée du périmètre et de l’aire des trois rectangles ainsi que des trois carrés dont on connaît les longueurs des côtés. L

iti

a) Avec ta calculatrice, vérifie les solutions proposées et tire une conclusion. b) Vérifie, sans calculatrice, les bonnes solutions.

Longueur (L)

Largeur (l)

Côté (c)

Rectangle 1

Rectangle 2

Rectangle 3

3+ 2

4– 8

Carré 1 5

Carré 2

Carré 3

2+ 7

2+ 8

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Pythagore et racines

Connaître 1

a) Si possible, cite deux nombres possédant le même carré. La solution est-elle unique ? Explique. b) Si possible, cite un nombre égal à son carré. La solution est-elle unique ? Explique. c) Si possible, cite un nombre positif plus grand que son carré. La solution est-elle unique ? Explique. d) Si possible, cite deux nombres possédant le même cube. La solution est-elle unique ? Explique. e) Si possible, cite un nombre entier plus grand que son cube. La solution est-elle unique ? Explique. Parmi les nombres ci-dessous, quels sont ceux dont la racine carrée n’est pas une valeur exacte ? Explique. 16 8 12 160 0,01 900 0,4 0,0081 49 25 64 27

Choisis la bonne réponse.

–6

–64

–8

– 49

–7

– –25

–5

n'est pas un nombre réel n'est pas un nombre réel n'est pas un nombre réel n'est pas un nombre réel

Réponses

–2

(–2)2

–2

–22

–2

– –(–2)2

n'est pas un nombre réel n'est pas un nombre réel n'est pas un nombre réel n'est pas un nombre réel

Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Si l’égalité est fausse, corrige le second membre. a)

20 + 5 = 5

25 – 16 = 9

5 2 . 2 = 10 2 + 2 =2

3 2 + 2 =4 2

2 . 3 . 3 =6

3 5 + 5 = 20

3 2 . 2 =6

Pour chacun des calculs ci-dessous, précise si la réponse attendue est 0, 5, 5 ou 2 5 . 5. 5

Calcul

iti

Réponses

Calcul

5+ 5

5– 5

(

7 + 2) .

(

7 – 2)

20 2

Pour chacun des triangles rectangles ci-dessous, écris la relation de Pythagore. 2 cm a) b) A c) a c 2,5 cm

1,5 cm

Dans un triangle XYZ rectangle en X, A est le pied de la hauteur issue de X. Écris la relation découlant du théorème de Pythagore dans les triangles XYZ, XAY et XAZ.

Sachant que ABCD est un rectangle, relie les expressions correspondantes.

1,5 cm

4 cm

5 cm

| EF |2 •

• 52 + 2,52

| EC |2 •

• 1,52 + 1,52

| CF |2 •

• 42 + 3,52

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Pythagore et racines

Pour pouvoir poser son nouveau barbecue, Benoît a coulé une dalle en béton. En n’utilisant qu’un mètre, comment peut-il vérifier que cette dalle est bien rectangulaire ?

Appliquer a) b)

............

= 64

............

= 25

............

= –5

............

= –10

............

= –1

............

x2 = 0,01

x2 = 1600

x2 = 11

b) x3 = 64

x3 = –1000

x3 = 0,027

x3 = 9

x3 = –125

x3 = –0,001

Sans utiliser ta calculatrice, encadre par deux nombres entiers consécutifs … a) les racines carrées suivantes. 45

150

100

104

999

230

690

En utilisant ta calculatrice, encadre les racines carrées suivantes par deux nombres entiers consécutifs. 12 456

987

896

79 964

À l’aide de ta calculatrice, encadre les nombres suivants par leurs valeurs approchées. a)

8 au 0,001 près

12 à 10–2 près

5,23 au 0,1 près

23,546 à 10–3 près

4 au 0,01 près

0,1 au 0,001 près

–6 à 10–1 près

5,34 à 10–3 près

1 près 100 1 près 0,123 au 10 1 3 près 100 au 1000 3 –65,27 au 1 près 100 1254 au

iti

Simplifie les racines carrées suivantes. a) (1)

(2)

125

250

121

242

225

2 12

4 63

5 18

6 50

3 28

5 32

4 27

3 500

8 72

3 200

9 54

7 75

3 128

6 162

b) (1) 3 8 (2) 7 45

Sans calculatrice, complète par <, > ou =. 3 2 . . . . . 18

3 2

............

x2 = –9

1265

x2 = 5

............

a) x2 = 36

b) les racines cubiques suivantes.

Détermine, si possible, pour chacun des cas ci-dessous, la (les) valeur(s) de x vérifiant l’égalité.

............

Complète les égalités suivantes.

5 3 ..... 6 2

200 . . . . . 10 3

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Pythagore et racines

Réduis les sommes suivantes. a) 3 3 + 5 3

8 +3 2

c) 40 10 – 15 10 + 2 10 – 10 10

5 –3 5

50 – 3 18

–2 7 – 5 7

–2 75 + 5 12

15 – 28 2 – 8 + 18 2

–3 125 – 4 20

4 3 –2 6 –5 6 +6 3

6 –3 6 –4 6

10 3 – 3 3 + 6 3 – 4 3

d) 2 8 – 3 27 – 3 32 – 4 12

2 36 – 5 18 + 32 – 3 48

7 2 – 3 45 + 3 50 – 7 20 Réduis les produits suivants. 2. 2

52 . 39

12 . 18

3 7 . 2 14

5 3. 3

27 . 75

5 12 . 24

(

12 .

6 + 15

(

2 54 . 3 125

3 5 . 80

)

f )

48 – 5 )

( 125 – 3 6 ) . (3 7 – 28 ) .

( 5 )2 (3 2 )2 ( –6 5 )2 ( –5 50 )2

3 7. 7 5 11 . 2 11 e)

28 . 45

( 2 – 1 ) . ( 2 + 3) (1 – 3 ) . (5 – 3 3 ) ( 3 + 2) . ( 7 – 6) ( 24 – 3 8 ) . ( 50 + 5 )

3 50 – 2 5 – 2 8 – 45

10 Calcule en utilisant les produits remarquables.

a) (2 – 5 ) . (2 + 5 )

c) (6 – 2 )

( 5 – 2 )2 ( –5 + 2 5 )2 (3 6 – 3 )2

(3 6 + 2 ) . ( 2 – 3 6 ) ( –3 5 + 3 ) . ( 3 + 3 5 ) (5 2 – 7 ) . ( 7 + 5 2 )

( 3 + 2 )2 ( 6 + 10 )2 (3 5 + 4)2 (6 2 + 2 3 )2

3. 3

b) 2 3 + 5 2

3+ 3

3 2 +5 2

5 2+ 2

8 . 45

5+ 2

3 5 .4 3

7 5. 5

50 + 20

5. 2

2 3 .5 3

8 3+ 2

50 . 20

iti

11 Réduis, si possible, les expressions suivantes.

e) ( –5 5 ) 2 3.

(

5 – 2) 2

(2 3 – 5 ) ( –4 10 – 5)2

c) 2 7 – 5 7

(

)

f ) 2 3 – 5 . 2

(2 5 )2 ( 5 – 2) . ( 5 + 3) (2 3 + 5 )2

12 + 75

g) ( –3 2 )

(3 5 + 2 7 ) . ( –2 7 + 3 5 ) ( 4 12 – 8 8 ) . ( 4 32 + 8 3 ) ( 12 + 5 ) . (5 3 + 20 )

12 Sans utiliser ta calculatrice, complète par <, > ou =.

(

2 + 3)

.......

(1 –

.......

(2 –

3 ) . (2 + 3 ) . . . . . . . –1

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Pythagore et racines

13 Rends les dénominateurs des fractions ci-dessous rationnels.

1 2

1 3

3 5

1 8

8 27

3 5 2 10

3 3– 5

3 2 3 –1

1 3+ 2

3 5 +1 3–2 5

1–3 2 5 2 –1

2 3 3 2 3

2 3 4 14 3 7

12 125 3 2 2 +2 3

3 –2 5 5 +2 3

2 3 2 3 –5 2

3 8 –1 2 + 18

2 4 +3 2 8 –2 9

14 Sachant que le triangle ABC est rectangle en A, complète les tableaux ci-dessous.

| AB |

c) 1) 3)

| AB |

1) 2)

| AC |

| BC | 5/2

2 5/7

8/3 12/7

| AC |

| BC |

3/2

8,5

0,03

2,4

| AB |

0,04

3,2

| AC |

| BC |

| AC |

| AB |

| BC |

3 5

15 Sachant que les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle mesurent respectivement 1 cm

et 3 cm, détermine, au millimètre près, la longueur de son hypoténuse.

16 Sachant que les côtés isométriques d’un triangle rectangle isocèle mesurent 4 cm, détermine

la longueur de l’hypoténuse de ce triangle.

17 Sachant que la longueur et la largeur d’un rectangle mesurent respectivement 7 cm et 5 cm,

iti

détermine la mesure de la diagonale de ce rectangle.

18 Sachant que la longueur d’un rectangle mesure 8 cm et sa diagonale 10 cm, détermine la

mesure de sa largeur.

19 Détermine la longueur d’un côté d’un losange dont les diagonales mesurent respectivement ...

a) 4 cm et 6 cm.

b) 40 cm et 75 cm.

20 Détermine la longueur de la diagonale d’un carré de 7 cm de côté. 21 Détermine la longueur du côté d’un carré dont la longueur de la diagonale vaut 32 cm. 22 Détermine la longueur d’une diagonale intérieure d’un cube de 6 cm d’arête. 23 Détermine la longueur d’une diagonale intérieure d’un parallélépipède rectangle de 7 cm

de long, 4 cm de large et 5 cm de haut.

24 Détermine l’aire d’un triangle équilatéral dont la mesure des côtés vaut 8 cm.

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Pythagore et racines

25 Observe les figures ci-dessous et détermine ...

a) la longueur du segment [BC]. B

b) la longueur du segment [AE]. E

17 mm

C 46 mm

C 11 mm

28 mm

20 mm

26 Construis les segments dont voici les longueurs en cm.

A (1 ; 2), B (5 ; 4) et C (5 ; 2). Calcule la longueur des segments [AB], [AC] et [BC].

27 Dans un repère cartésien d’axes perpendiculaires x et y et d’unités 1 cm sont placés les points

28 Dans chaque cas, vérifie si le triangle est rectangle. Si oui, précise le sommet de l’angle droit.

| BC |

| AC |

| AB |

| BC |

2 5

| AB |

| AC | 5

29 Dans chaque cas, qualifie le plus précisément possible le triangle ABC dont on connaît les

dimensions des trois côtés. | AC |

| BC |

2 3

2 2

| AB |

| AC |

| BC |

2 3

3 2

6 2

3 8

30 Dans le triangle DEF rectangle en D, on désigne par X le pied de la hauteur issue du sommet

iti

de l’angle droit. Complète le tableau ci-dessous. | DE |

| DF |

| EF |

| EX |

| FX |

| DX |

DEF

DEX

DXF

c) d) e)

Aire (en cm2)

Longueurs des segments (en cm)

3 5

2 3

Transférer 1

Exprime la longueur du côté (c) d’un carré en fonction de celle de sa diagonale (d).

Exprime la longueur du côté (c) d’un triangle équilatéral en fonction de celle de sa hauteur (h).

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Pythagore et racines

Exprime la longueur de la médiane (m) relative à un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle isocèle en fonction de celle de ses côtés de l’angle droit (c).

Exprime la longueur du côté (c) d’un losange en fonction des longueurs de ses diagonales (a et b).

Exprime la longueur du rayon (r) du cercle circonscrit à un rectangle en fonction des longueurs de ses côtés (a et b).

L’unité choisie pour les données étant le centimètre, détermine les longueurs des côtés inconnus. a) B b) B c) B x 180 x+1 3 x x A

x–1

Vérifie que la somme des aires des triangles équilatéraux construits extérieurement sur les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle est égale à l’aire du triangle équilatéral construit extérieurement sur l’hypoténuse de celui-ci.

a) Détermine le périmètre du quadrilatère ABCD. A

12 mm

6 cm

E 22 m

33 m

e) Détermine le volume du cône représenté ci-contre.

30 m

d) Détermine le volume du prisme droit à base trapézoïdale représenté ci-dessous. 45 mm

5 cm

9 cm

c) Sachant que ABCD est un rectangle, détermine l’aire du polygone ABCED. A B

b) Détermine l’aire du parallélogramme ABCD.

4 cm

105 mm

2 cm

Détermine la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle sachant que la longueur d’un côté de l’angle droit vaut 6 cm et que son aire vaut 12 cm².

90 mm

iti

120 mm

10 Détermine l’aire d’un trapèze rectangle ABCD sachant que sa hauteur mesure 22 mm et que

ses diagonales [AC] et [BD] mesurent respectivement 34 et 46 mm.

11 Construis un triangle ABC rectangle en A inscrit dans un cercle de 3 cm de rayon.

Si | AB | = 22 mm, détermine l’aire et le périmètre de ce triangle.

12 Construis un rectangle ABCD inscrit dans un cercle de 3 cm de rayon.

Si | AB | = 45 mm, détermine l’aire et le périmètre de ce rectangle.

13 Maxence possède des petits cubes de construction en bois tous identiques de 1 cm d’arête.

Détermine la longueur de l’arête du plus grand cube que Maxence peut former avec … a) 1728 petits cubes. b) 5000 petits cubes. Précise, dans chaque cas, si tous les petits cubes sont utilisés.

14 Détermine, au dixième de mm près, la longueur du rayon d’une sphère dont

le volume vaut 260 cm³.

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Pythagore et racines

15 Un ébéniste a taillé une face triangulaire AFC dans un bloc

de chêne de forme parallélépipédique dont les dimensions figurent sur le dessin ci-contre. Le triangle AFC est-il rectangle ? Justifie.

A 6 cm

G 20 cm

D 10 cm B

16 En utilisant les données de la figure représentée ci-contre,

vérifie que le triangle BCD est un triangle rectangle.

A (2 ; 4), B (5 ; 5), C (6 ; 2) et D (3 ; 1). Détermine la nature du quadrilatère ABCD. Justifie.

17 Dans un repère cartésien d’axes perpendiculaires x et y et d’unités 1 cm sont placés les points

18 Des tests ont démontré qu’une échelle est plus stable et facile à utiliser si la distance entre

les pieds de l’échelle et le mur est égale au quart de sa longueur d’utilisation. En tenant compte de ces résultats, détermine... a) la hauteur maximale du point d’appui d’une échelle de 10 m de long. b) la longueur d’une échelle si son point d’appui est situé à une hauteur de 7,75 m.

19 Sachant que 1 pouce vaut 2,54 cm et qu’un format 16/9 correspondant au rapport entre la

largeur et la hauteur de l’écran, détermine, au mm près, les dimensions (hauteur et largeur) de l’écran d’un téléviseur 16/9 dont la longueur de la diagonale vaut 40 pouces.

20 Je désire réaliser moi-même un faire-part de mariage dont la forme est un

hexagone régulier et une enveloppe rectangulaire pour ensuite l’y insérer comme le montre le dessin ci-contre. Calcule les dimensions, au mm près de l’enveloppe que je dois réaliser si tu sais que le rayon du cercle que j’ai choisi pour construire l’hexagone est de 80 mm.

21 Voici la photo d’une décoration de Noël prise dans une ville de la côte belge.

Le toit de cette tour de jeu est une pyramide de 30 cm de hauteur dont la base est un carré de 80 cm de côté. Détermine, en cm2, la quantité de polyester nécessaire au recouvrement de ce toit.

iti

Sachant que les rayons des cercles mesurent 20 cm, détermine les dimensions extérieures, au cm près, du cadre.

23 On désire construire un cône. Pour ce faire, on dessine un cercle de centre O

de 120° et de 5 cm de rayon. Ensuite, on découpe un angle au centre AOB d’amplitude et on fait coïncider les segments [OA] et [OB]. Calcule, au mm près, la hauteur du cône ainsi construit.

120°

24 Axel pose une échelle de 3,50 m de long contre un mur. Sachant que le point d’appui de

l’échelle sur le mur est situé à 3,30 m du sol et que la distance entre le pied de l’échelle et le mur est de 0,80 m, détermine si le mur est perpendiculaire au sol. Justifie.

25 Un tunnel à sens unique est constitué de deux parois verticales de 2,50 m

de haut surmontées d’une voûte semi-cylindrique de 3 m de diamètre. Un camping-car de 2,40 m de large et de 3,20 m de haut peut-il circuler dans ce tunnel sans encombre ? Justifie.

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Chapitre 3 Pythagore et racines

iti

CHAPITRE 3 PYTHAGORE ET RACINES

A De nouveaux nombres 1. Vocabulaire et conventions d’écriture Dans l’expression n a , n est l’indice du radical, a est le radicand et

est le radical.

32 est la racine cubique de 32.

Exemples : 2 32 est la racine carrée de 32.

Quand l’indice du radical est 2, on convient de ne pas l’écrire.

Le radical doit couvrir tout le radicand.

Exemple : 2 32 = 32

Exemples : 3254 et

1678 sont des écritures correctes.

3254 et

1678 sont des écritures incorrectes.

2. Déﬁnitions Racine carrée

iti

La racine carrée positive d’un nombre positif a, notée a, est le nombre positif x dont le carré vaut a.

Si a ≥ 0 : a = x ¤ x2 = a et x ≥ 0.

Exemples

9 = 3, car 32 = 9

64 = 8, car 82 = 64

1,21 = 1,1, car 1,12 = 1,21

0 = 0, car 02 = 0

1 = 1, car 12 = 1

20 = 4,472..., car 4,472...2 = 20

Remarques Un nombre positif admet deux racines carrées opposées. Exemple : La racine carrée positive de 25 s’écrit 25 et vaut 5. La racine carrée négative de 25 s’écrit – 25 et vaut –5.

TH 9

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

Un nombre strictement négatif n’a pas de racine carrée réelle. Exemple : –81 n’a pas de racine carrée réelle, car il n’existe pas de nombre réel a tel que a2 = –81. Racine cubique La racine cubique d’un nombre a, notée 3 a, est le nombre x dont le cube vaut a. 3

a = x ¤ x3 = a.

Exemples : 3 27 = 3, car 33 = 27

0 = 0, car 03 = 0

0 ,008 = 0,2, car 0,23 = 0,008

1 = 1, car 13 = 1

–125 = –5, car (–5)3 = –125

–1 = –1, car (–1)3 = –1

3. Calcul d’une racine

a) Dans certains cas, on peut connaître la valeur exacte d’une racine. Exemples : 16 = 4

125 = 5

0 ,001 = 0,1

36 6 = 25 5

0 ,04 = 0,2

64 4 = 343 7

b) Dans d’autres cas, connaître la valeur exacte de la racine est impossible, on ne peut donc en donner que des valeurs approchées (V.A.).

iti

On distingue les valeurs approchées par défaut (V.A.D.) plus petites que la racine et les valeurs approchées par excès (V.A.E.) plus grandes que la racine. 1 <

Exemples :

2 < 3 10 < 3

1,4 <

2 < 1,5

2,1 < 3 10 < 2,2

1,41 <

2 < 1,42

2,15 < 3 10 < 2,16

1,414 <

2 < 1,415

2,154 < 3 10 < 2,155

V.A.D. de 2

TH 10

2 < 2

V.A.E. de 2

V.A.D. de 3 10

V.A.E. de 3 10

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

B Racines carrées 1. Propriétés des racines carrées a) La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit de leurs racines carrées. Si a ≥ 0 et b ≥ 0, alors a . b = a . b

1600 = 16 . 100 = 16 . 100 = 4 . 10 = 40

Exemples :

12 = 4 . 3 = 4 . 3 = 2 3

9 3 = 4 2

2. Règles de calcul

5 5 = 6 36

5 = 36

9 = 4

Exemples :

b) La racine carrée du quotient de deux nombres positifs est égale au quotient de leurs racines carrées. a a = Si a ≥ 0 et b > 0, alors b b

a) Simpliﬁcation

iti

Les propriétés relatives au produit et au quotient des racines carrées permettent de les simpliﬁer, c’est-à-dire de les remplacer par des expressions égales contenant des radicands entiers les plus petits possibles. Exemples :

18 = 9 . 2 = 9 . 2 = 3 2

3 50 = 3 25 . 2 = 3 25 . 2 = 3 . 5 . 2 = 15 2 12 = 25

12 = 25

4.3 = 5

4. 3 2 3 = 5 5

Si après une première simpliﬁcation, le radicand n’est pas le plus petit possible, il faut simpliﬁer une seconde fois. Exemple :

48 = 4 . 12 = 4 . 12 = 2 . 4 . 3 = 2 . 4 . 3 = 2 . 2 . 3 = 4 3

TH 11

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

b) Addition (soustraction) La somme de deux racines carrées semblables (de même radicand) est une racine carrée semblable dont le coeﬃcient est la somme des coeﬃcients. Exemples : 5 2 + 3 2 = (5 + 3) . 2 = 8 2 2 18 – 3 50 = 6 2 – 15 2 = (6 – 15) . 2 = –9 2

Si après une éventuelle simpliﬁcation, les racines carrées ne sont pas semblables, on ne peut pas les additionner. Exemples : 2 5 + 5 7

150 + 250 = 5 6 + 5 10

Les sommes 2 5 + 5 7 et 5 6 + 5 10 ne sont pas réductibles.

c) Multiplication

Le produit de deux racines carrées a pour coeﬃcient le produit des coeﬃcients et pour radicand le produit des radicands. 3 . 5 = 3 . 5 = 15

Exemples :

3 2 . 5 3 = (3 . 5) . 2 . 3 = 15 6

8 . 75 = 2 2 . 5 3 = (2 . 5) . 2 . 3 = 10 6

Cas particuliers

7 . 7 = 7 . 7 = 49 = 7

1) Produit d’une racine carrée par elle-même 7 . 7 = 49 = 7

iti

Exemples :

7 . 7 = ( 7) =7

31 . 31 = 312 = 31 2

31 . 31 = ( 31 ) = 31

2) Puissance d’un produit Exemple :

( 2 5 )2 = 2 2 . ( 5 )2 =4 .5 = 20

3) Distributivité Exemples : 2 3 . ( 5 + 3 ) = 2 3 . 5 + 2 . ( 3 ) = 2 15 + 2 . 3 = 2 15 + 6

(

TH 12

3 + 5 2) . ( 2 + 7 3) = 6 = 6 = 6 = 36

+ 7 . ( 3 ) + 5 . ( 2 ) + 35 . 6 + 7 . 3 + 5 . 2 + 35 . 6 + 21 + 10 + 35 6 6 + 31

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

4) Produits remarquables 2

(

Exemples :

3 + 2) = ( 3) + 2 . 3 . 2 + ( 2)

=3+2 6 +2 = 5 +2 6

5 – 3 ) = (2 5 ) – 2 . 2 5 . 3 + ( 3 )

= 20 – 4 15 + 3

= 23 – 4 15 2

7 + 2) . ( 7 – 2) = ( 7 ) – ( 2) =7 – 2 =5

(

d) Rendre rationnel le dénominateur d’une fraction

5 5. 2 5 2 = = 2 2 2. 2

Exemples :

Si le dénominateur de la fraction est un monôme contenant une racine carrée, on multiplie les deux termes de la fraction par la racine carrée ﬁgurant au dénominateur. 2 5

3. 5 3 5 = 10 2 5. 5

Si le dénominateur de la fraction est un binôme contenant au moins une racine carrée, on multiplie les deux termes de la fraction par le binôme conjugué du dénominateur. Exemples :

6 . (3 + 2 )

(3 –

2 ) . (3 + 2 )

3– 2

(

3 6 + 12 3 6 + 2 3 = 9 –2 7

3 . ( 7 – 2)

7 + 2) . ( 7 – 2)

21 – 6 = 7 –2

21 – 6 5

iti

3 = 7+ 2

C Théorème de Pythagore

1. Théorème

Synthèse de l’activité d’introduction Comparaison des puzzles a a

c b

Retrait des triangles

b a

Théorème de Pythagore

b c

TH 13

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

Énoncé Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

b c

a2 = b2 + c2

Données

I H

a B

b c

ABC triangle rectangle en A CDEA, AFGB et BHIC sont des carrés. | AB | = c | BC | = a | CA | = b

Figure

Thèse G

a2 = b2 + c2

Démonstration

Les deux ﬁgures représentées ci-dessous ont été réalisées à l’aide des carrés CDEA, AFGB, BHIC et de huit triangles identiques au triangle ABC.

C B

Figure 2 c C b

Figure 1 c I b

D E

A F

La ﬁgure 1 est un carré car ...

iti

les points L, I et M sont alignés (*), elle possède quatre côtés de même longueur (b + c) et un angle droit (l’angle de sommet L). sont des angles complémentaires.  et MIC (*) LIH est un angle droit. HIC

   

| + | HIC | + | MIC | = 180° | LIH

| + | ACD | = 180° | + | BCA | JCB

La ﬁgure 2 est un carré car ... les points J, C et D sont alignés (*), elle possède quatre côtés de même longueur (b + c) et un angle droit (l’angle de sommet J). sont des angles complémentaires.  et BCA (*) JCB est un angle droit. AOB

   

Les deux carrés sont de même aire car ils ont tous les deux des côtés de même mesure (b + c). fi aire LMAP = aire JDKG b .c b .c = b² + c² + 4 . a² + 4 . 2 2 a² = b² + c² TH 14

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

2. Applications du théorème de Pythagore a) Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle Y

Par Pythagore, dans le triangle XYZ rectangle en X, on a :

Par Pythagore, dans le triangle ABC rectangle en A, on a : | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 6² = 3² + | AC |2

| YZ |2 = 9 + 25 | YZ |2 = 34

36 = 9 + | AC |2 36 – 9 = | AC |2

| YZ | = 34 ou | YZ | = – 34

| YZ |2 = | XY |2 + | XZ |2 | YZ |2 = 3² + 5²

27 = | AC |2

| AC | = 27 ou | AC | = – 27 | AC | = 3 3 ou | AC | = – 3 3

Les solutions | YZ | = – 34 et | AC | = – 3 3 sont à rejeter car | YZ | et | AC | représentent des longueurs.

b) Construire un segment de longueur irrationnelle donnée

iti

Construire un segment de longueur 13 cm. 1) Décomposition du radicand en une somme de deux carrés Décomposer le nombre 13 en une somme de deux carrés : 13 = 9 + 4 Faire apparaître chaque nombre de l’égalité sous la forme d’un carré : 2

13 ) = 32 + 22 Construire un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 2 cm. L’hypoténuse de ce triangle mesurera alors 13 cm.

(

2 3

2) Décomposition du radicand en une différence de deux carrés Décomposer le nombre 13 en une différence de deux carrés : 13 = 49 – 36. Transformer l’égalité pour faire disparaître la différence : 13 + 36 = 49. Faire apparaître chaque nombre de l’égalité sous la forme d’un carré : 2

62 + ( 13 ) = 72 Construire un triangle rectangle dont un côté de l’angle droit mesure 6 cm et l’hypoténuse 7 cm. Le second côté de l’angle droit de ce triangle mesurera alors 13 cm.

7 13

6 TH 15

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

3. Réciproque du théorème de Pythagore Énoncé Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. Figure

Donnée

| XZ |2 = | XY |2 + | YZ |2 (1)

Le triangle XYZ est rectangle en Y.

Thèse

Z Démonstration

De l’autre côté de la droite XZ par rapport au point Y, tracer le demi-cercle de diamètre [XZ]. Tracer un arc de cercle de centre Z et de rayon | ZY |. Nommer V, l’intersection des deux arcs de cercle. Le triangle XVZ est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [XZ]. fi Le triangle XVZ est rectangle en V fi | XZ |2 = | XV |2 + | VZ |2. (2)

Comparons les égalités (1) et (2) : | XZ |2 = | XY |2 + | YZ |2 et | XZ |2 = | XV |2 + | VZ |2 Le membre de gauche de chaque égalité est identique (| XZ |2). Les segments [YZ] et [VZ] sont des rayons d’un même cercle fi | YZ | = | VZ | fi | YZ |2 = | VZ |2 Conclusion : | XY |2 = | XV |2 Comme deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux : | XY |2 = | XV |2 fi | XY | = | XV |

iti

Les points X et Z sont équidistants de V et de Y. ) = Y fi | V | = | Y| fi XZ est la médiatrice de [VY] fi SXZ (V V | = 90° fi | Y | = 90° fi Le triangle XYZ est rectangle en Y. Or, |

4. Contraposée du théorème de Pythagore Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.

TH 16

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

5. Utilisation de la réciproque et de la contraposée du théorème de Pythagore Connaissant la longueur de ses trois côtés, vériﬁer si un triangle est rectangle Sachant que | AB | = 6 cm, | AC | = 8 cm et | BC | = 10 cm, le triangle ABC est-il rectangle ?

Sachant que | AB | = 6 cm, | AC | = 9 cm et | BC | = 12 cm, le triangle ABC est-il rectangle ?

L’égalité | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 est-elle vériﬁée ? | BC |2 = 12² = 144 | AB |2 + | AC |2 = 6² + 9² = 36 + 81 = 117 fi | BC |2 ≠ | AB |2 + | AC |2 fi le triangle ABC n’est pas rectangle (contraposée du théorème de Pythagore).

| BC |2 = 102 = 100 | AB |2 + | AC |2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 fi | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 fi le triangle ABC est rectangle en A (réciproque du théorème de Pythagore).

D Relations métriques dans le triangle rectangle A

1. Projection orthogonale

A’ est la projection orthogonale de A sur d.

B = B'

B’ est la projection orthogonale de B sur d. B = B’ car B Œ d

[A’B’] est la projection orthogonale de [AB] sur d.

B' = B

iti

2. Relations métriques dans le triangle rectangle a) Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse est égal au produit des longueurs des segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. A

| AH |2 = | BH | . | CH | C

TH 17

THÉORIE

Chapitre 3 Pythagore et racines

b) Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur d’un côté de l’angle droit est égal au produit de la longueur de l’hypoténuse par la longueur de sa projection orthogonale sur l’hypoténuse. A

| AB |2 = | CB | . | HB |

H | AC |2 = | BC | . | HC |

Remarque En additionnant membre à membre les deux égalités de la thèse, on retrouve le théorème de Pythagore pour le triangle BAC.

| AB |2 + | AC |2 = | BC | . | BH | + | BC | . | CH | = | BC | . (| BH | + | CH |) = | BC | . | BC | = | BC |2

iti

Les relations métriques dans le triangle rectangle seront démontrées dans le chapitre sur les ﬁgures semblables.

TH 18