Actimath pour se qualifier + 3e année - 2 p./s. - Extrait

3 pour se qualifier

Actimath pour se qualifier

2 périodes/semaine

pour se qualifier

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Coordination Philippe Ancia Aline Want

(3

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A

Maryse Bams Michaël Chevalier

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ISBN 978-90-306-7716-1 565726

9 789030 677161

vanin.be

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2 périodes/semaine

pour se qualifier

Réseau libre

3

3

pour se qualifier

2 périodes/semaine Réseau libre

Maryse Bams Michaël Chevalier Coordination Philippe Ancia Aline Want

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Composition d’Actimath pour se qualifier + 3 (Réseau libre - 2 périodes/semaine) Pour l’élève un livre-cahier un accès aux exercices supplémentaires via Udiddit Pour le professeur un accès au contenu de Udiddit comprenant : – le corrigé du livre-cahier – le Manuel Numérique – d’éventuels exercices supplémentaires Actimath pour se qualifier + 3 (Réseau libre - 2 périodes/semaine) Auteurs : Coordination :

Maryse Bams et Michaël Chevalier Philippe Ancia et Aline Want

Couverture : Mise en page :

Alinea Graphics Alinea Graphics

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© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2016 Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition, 3e réimpression : 2019 ISBN 978-90-306-7716-1 D/2016/0078/108 Art. 565726/04

Introduction – Mode d’emploi Voici ton nouveau livre-cahier de mathématiques. Il fait partie de la collection ACTIMATH que tu as peut-être déjà utilisée au 1er degré.

Les objectifs qui ont motivé notre travail sont les suivants.

• Consolider l’usage des outils élémentaires introduits au premier degré.

• Construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles.

• Développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active.

Actimath pour se qualifier + 3 comprend quatre chapitres divisés en activités. L’ordre dans lequel tu parcourras les différents chapitres du manuel dépend de ton professeur.

Chaque chapitre commence par une page de garde sur laquelle sont notés les compétences à développer ainsi que les processus à mettre en œuvre dans les activités. Ton professeur te fera cocher ceux (celles) que tu auras rencontré(e)s lors des différents exercices solutionnés en classe.

Chaque activité est construite de la même manière.

• Une mise en situation tirée, le plus souvent possible, de la vie de tous les jours ou d’un défi mathématique te permet de découvrir de nouvelles notions.

• Ensuite, un pavé théorique (sous fond vert) énonce les notions que tu viens de découvrir.

• Enfin, des exercices de fixation te permettent d’assimiler celles-ci.

Les notions développées dans certains chapitres ont débouché sur des exercices supplémentaires nécessitant davantage de recherche et de réflexion.

Les mathématiques sont souvent proches de la réalité quotidienne, mais tu ne le vois pas toujours.

Si tu veux utiliser ton cours de mathématiques pour mieux comprendre le monde qui t’entoure, tu devras étudier les notions reprises dans les pavés théoriques et vérifier que tu sais refaire les exercices vus en classe. Ta calculatrice sera, dans certains cas, un outil performant pour explorer les différentes notions abordées dans ton livre-cahier.

N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (p. 99); il t’aidera à retrouver les mots importants.

Pour mener à bien ton travail, ton professeur sera un guide précieux. N’hésite donc pas à lui poser des questions sur les points de matière qui te semblent difficiles à maîtriser.

Les auteurs – Les coordinateurs

3

Table des matières Mode d’emploi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chapitre 1 • Figures planes

.................................................................................................

Périmètres des quadrilatères et du triangle – Échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Aires des quadrilatères et du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Longueur du cercle et nombre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Aire du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Transformations de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ........................................................................................

26

...........................................................................................................

27

Exercices supplémentaires Chapitre 2 • Solides

IN

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5

N

Prisme droit et cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Pyramide et cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Réalisation d’une maquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

VA

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4

Chapitre 3 • Théorème de Pythagore et racines carrées

...............................................

s

Chapitre 4 • Approche graphique de la fonction du premier degré

..............................

63

Plan cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Approche graphique de la fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Image d’un réel par une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Construction du graphique d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . 79 Intersection d’une fonction du premier degré avec les axes . . . . . . . . . . . . 82 Signe de la fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Croissance de la fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Intersection de graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Ed

iti

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4 Activité 5 Activité 6 Activité 7 Activité 8 Activité 9

43

Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Calcul de la mesure d’un côté d’un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Réciproque du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

on

Activité 1 Activité 2 Activité 3 Activité 4

5

........................................................................................

98

.............................................................................................................

99

Exercices supplémentaires Index alphabétique

4

3

Chapitre 3

Compétences à développer

IN

Théorème de Pythagore et racines carrées

N

Utiliser les caractéristiques d’une figure plane ou d’un solide dans une situation concrète.

VA

Processus Connaître

Connaître le théorème de Pythagore et sa réciproque.

Appliquer

s

Calculer une longueur en utilisant le théorème de Pythagore.

Ed

iti

on

Vérifier si un triangle est rectangle en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.

43

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th

Activité 1 • Racines carrées 1

a) Trace trois carrés dont les aires valent respectivement 9 cm2, 16 cm2 et 20 cm2.

IN

b) Explique comment déterminer la longueur du côté de chaque carré.

...................................................................................................................................................

N

...................................................................................................................................................

VA

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

Le grand carré représenté ci-dessous a une aire de 1 m2.

1m

on

2

s

...................................................................................................................................................

a) Quelle est l’aire du carré grisé ?

iti

....................................................................................................................

b) Quelle est la longueur du côté du carré grisé ?

Ed

....................................................................................................................

3

Détermine la longueur du côté d’un carré connaissant son aire.

Aire (m2)

36

100

25

1600

250 000

9 16

1 64

0,09

0,0036

1,44

Longueur du côté (m)

Aire

(m2)

Longueur du côté (m)

44

Théorème de Pythagore et racines carrées 4

3

a) Trouve deux nombres pour compléter la phrase ci-dessous.

36 est le carré de . . . . . . . . . et de . . . . . . . . ..

Les nombres que tu as trouvés sont les racines carrées positive et négative de 36, notées respectivement 36 et – 36 . b) Calcule.

(2)

4900 =

(3) 1 =

5

.....................

.................

.......................

– 16 =

...................

– 4900 = – 1=

...............

.....................

1 = 25

....................

0, 04 = 0=

..................

.......................

–

1 = 25

..................

– 0, 04 = – 0 =

................

....................

IN

(1) 16 =

Trouve, si possible, deux nombres pour compléter la phrase ci-dessous.

–16 est le carré de . . . . . . . . . . . . . . .

N

Quelle conclusion peux-tu tirer de cet exercice ?

VA

........................................................................................................................................................

Racines carrées

s

A. Définitions

on

La racine carrée positive d’un nombre positif a, notée a, est le nombre positif x dont le carré vaut a. a étant un nombre positif, a = x ¤ x2 = a et x est positif.

4 = 2 car 22 = 4

6,25 = 2,5 car 2,52 = 6,25

1 = 1 car 12 = 1

⎛ 2⎞ 4 2 4 = car ⎜ ⎟ = 9 3 9 ⎝ 3⎠

iti

Exemples :

2

Ed

La racine carrée négative d’un nombre positif a, notée – a, est le nombre négatif x dont le carré vaut a. a étant un nombre positif, – a = x ¤ x2 = a et x est négatif.

Exemples : – 16 = –4 car (–4)2 = 16

– 1,44 = –1,2 car (–1,2)2 = 1,44 2

– 1 = 1 car

(–1)2

=1

⎛ 1⎞ 1 1 1 – = – car ⎜ – ⎟ = ⎝ 2⎠ 4 2 4

B. Remarques – Un nombre strictement négatif n’a pas de racine carrée réelle.

Exemple : –16 n’a pas de racine carrée réelle car il n’existe pas de nombre réel a tel que a2 = –16.

– Le nombre 0 n’admet qu’une seule racine carrée qui est 0.

45

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th

– Dans l’expression a, a est le radicand et

est le radical.

– Le radical doit couvrir tout le radicand.

Exemple : écriture correcte

écriture incorrecte

6561

6561

C. Calcul de racines carrées Dans certains cas, la racine carrée d’un nombre est une valeur exacte.

Exemples :

9=3

1 1 = 9 3

1 ,44 = 1,2

Exemple :

IN

Dans d’autres cas, il est impossible de donner la valeur exacte d’une racine carrée, on ne peut alors en donner qu’une valeur approchée.

20 @ 4 , 47213...

Premiers encadrements de 20 42 <

20

< 52

4,42 <

20

< 4,52

20

< 5

car

4,4 <

20

< 4,5

car

4,47 <

20

< 4,48

car

4,472 <

20

< 4,482

4,472 <

20

< 4,473

car

4,4722 <

20

< 4,4732

VA

N

4 <

..............................................................................................................

on

Séquence à suivre :

s

Utilisation de la calculatrice pour le calcul de racines carrées

..............................................................................................................

Ed

iti

..............................................................................................................

6

Il est utile de connaître les quinze premiers carrés parfaits. Complète la liste ci-dessous. ...........

= 12

...........

= 42

...........

= 72

...........

= 102

...........

= 132

...........

= 22

...........

= 52

...........

= 82

...........

= 112

...........

= 142

...........

= 32

...........

= 62

...........

= 92

...........

= 122

...........

= 152

En voici d’autres tout aussi utiles. Complète la liste ci-dessous.

46

...............

= 202

...............

= 402

...............

= 602

...............

= 802

...............

= 1002

...............

= 302

...............

= 502

...............

= 702

...............

= 902

...............

= 2002

Théorème de Pythagore et racines carrées

3

Exercices Calcule sans calculatrice.

4=

.........................

.....................

289 =

.....................

324 =

.....................

144 =

.....................

–49 =

.....................

400 =

.....................

196 =

.....................

225 =

.....................

121 =

.....................

–64 =

.....................

361 =

.....................

4 = 25

......................

0, 01 =

....................

.....................

0, 25 =

....................

1 = 25

......................

121 = 100

8100 =

................................

1 000 000 =

1600 =

................................

900 =

10 000 =

.............................

.........................

..................................

–0, 01 =

0, 64 =

....................

IN

........................

...............................

0, 09 =

0, 0169 =

N

1 = 4

....................

.............................

144 = 900

.................................

225 = 400

.................................

17 = ..........

s

a) En utilisant ta calculatrice, détermine la valeur des racines carrées ci-dessous ainsi qu’un encadrement à l’unité près. ...........................

58 =

on

2

169 =

VA

1

<

17 <

..........

..........

...........................

<

58 <

..........

10 = ..........

...........................

<

10 <

..........

iti

b) Sans utiliser ta calculatrice, donne un encadrement à l’unité près des racines carrées ci-dessous. <

21 <

..........

..........

<

70 <

..........

..........

<

<

38 <

..........

..........

<

62 <

..........

..........

<

Ed

..........

..........

3

5

<

..........

118 <

..........

a) Lorsqu’on introduit la séquence pour calculer 18, certaines calculatrices affichent 3 2 .

Utilise la définition d’une racine carrée pour justifier cette simplification. ...................................................................................................................................................

Écris ci-dessous les étapes de la simplification.

18 =

........................................................................................................................................

b) Simplifie, si possible, les racines carrées ci-dessous.

50 =

............................................................

500 =

..........................................................

27 =

............................................................

30 =

............................................................

47

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th

Activité 2 • Théorème de Pythagore 1

Découverte d’une relation a) Sur chaque côté du triangle rectangle isocèle ci-dessous, construis un carré extérieur au triangle. b) Compare les aires des carrés. Pour t’aider, découpe les carrés en utilisant les diagonales.

IN

.......................................................

.......................................................

N

.......................................................

.......................................................

.......................................................

Vérifie si la relation trouvée est toujours vraie pour d’autres types de triangles.

on

2

s

.......................................................

VA

.......................................................

Triangle isocèle obtusangle

Ed

iti

Triangle isocèle acutangle

..........................................................................

48

..........................................................................

Théorème de Pythagore et racines carrées Triangle scalène obtusangle

..........................................................................

VA

..........................................................................

N

IN

Triangle scalène acutangle

3

Triangle scalène rectangle

Ed

iti

on

s

Triangle équilatéral

..........................................................................

3

..........................................................................

Quelle doit être la nature du triangle pour que la relation soit vérifiée ? ........................................................................................................................................................

49

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th 4

a) Détermine séparément l’aire de chaque carré construit sur les côtés du triangle rectangle en prenant comme unité d’aire le carré du quadrillage. .................................................................................

➂

.................................................................................

➀ .................................................................................

➁

.................................................................................

.................................................................................

b) La relation trouvée précédemment est-elle vérifiée ? Justifie.

IN

.................................................................................

N

...................................................................................................................................................

VA

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

s

c) En t’aidant du dessin ci-contre, exprime l’aire du carré construit sur l’hypoténuse en fonction de b et de c.

Justifie ton raisonnement.

on

.................................................................................

a

b

.................................................................................

c

iti

.................................................................................

Ed

.................................................................................

.................................................................................

Théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Relation de Pythagore

C a

b A

50

c

| A | = 90° fi B

⎧⎪ ⎨ ⎩⎪

| BC |2 = | AC |2 + | AB |2 a2 =

b2

+ c2

Théorème de Pythagore et racines carrées

3

Exemples

a = 17

z=6

y=5

b=8

c = 15

x = 61

a2 = b2 + c2

x2 = y2 + z2

172 = 82 + 152

61 = 52 + 62

2

61 = 25 + 36

289 = 289

61 = 61

IN

289 = 64 + 225

Écris pour chaque triangle rectangle la relation de Pythagore.

VA

1

N

Exercices

Dessin

B

e

f

A

s

...........................................

...........................................

N

M

P

...........................................

on

Relation

g

Dans un triangle XYZ rectangle en X, le point A est le pied de la hauteur issue du point X. Écris la relation découlant du théorème de Pythagore dans les triangles XYZ, XAY et XAZ.

Ed

iti

2

C

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

............................................................................................

51

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th 3

Dans un triangle ABC rectangle en B, D est le point d’intersection de la médiatrice m de [AB] avec le segment [AB] et E est le point d’intersection de la médiatrice n de [BC] avec le segment [BC]. Les droites m et n coupent [AC] en F. Écris la relation découlant du théorème de Pythagore dans les triangles ADF et FEC.

..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

..................................................................................

6 E

A

4

B

G

D

C

F

| EC |2

•

| AF |2

•

N

Si tu sais que la figure ABCD représentée ci-dessous est un rectangle, relie les expressions correspondantes.

VA

4

IN

..................................................................................

•

62 + 42

•

42 + 22

| EG |2

•

•

42 + 32

| BD |2

•

•

32 + 22

Recherche de la longueur de l’hypoténuse

iti

1

on

s

Activité 3 • Calcul de la mesure d’un côté d’un triangle rectangle

Ed

B

A

Données :

Inconnue :

52

Lors de festivités, une commune organise une descente en câble à partir de la vieille tour du château haute de 32 m.

L’arrivée se fait au centre de la Grand Place qui est situé à 60 m du pied de la tour.

C

Détermine la longueur du câble qu’il faut prévoir pour aménager la descente.

...............................................................

Solution

...............................................................

..................................................................

...............................................................

..................................................................

...............................................................

..................................................................

Relation de Pythagore

..................................................................

..................................................................................

..................................................................

..................................................................

Théorème de Pythagore et racines carrées Recherche de la longueur d’un côté de l’angle droit Dans la construction d’une charpente représentée ci-contre, le boulon fixant les arbalétriers au poinçon et celui fixant un arbalétrier à l’entrait sont distants de 3285 mm. Les boulons fixant l’entrait aux arbalétriers sont distants de 5134 mm.

B arbalétrier

C Données :

Inconnue :

poinçon

A entrait

C'

Détermine, au mm près, la distance séparant les deux boulons fixant le poinçon.

...............................................................

Solution

...............................................................

..................................................................

...............................................................

..................................................................

...............................................................

..................................................................

Relation de Pythagore

IN

2

3

N

..................................................................

..................................................................

VA

..................................................................................

..................................................................

..................................................................

s

........................................................................................................................................................

on

Calcul de la mesure d’un côté d’un triangle rectangle Recherche de…

la longueur de l’hypoténuse

la longueur d’un côté de l’angle droit

Ed

iti

B

T

A

?

?

3

4

C

S

7

11

Écrire la relation découlant du théorème de Pythagore.

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a : | BC |2 = | AB |2 + | AC |2

Dans le triangle STU rectangle en T, on a : | SU |2 = | ST |2 + | TU |2

Remplacer les longueurs de segments connues par leur mesure et calculer les carrés.

| BC |2 = 32 + 42 | BC |2 = 9 + 16

112 = | ST |2 + 72 121 = | ST |2 + 49

| BC |2 = 25 | BC |2 = 25 | BC | = 5

| ST |2 = 121 – 49 | ST |2 = 72 | ST | = 72 | ST | @ 8,485

Isoler, si nécessaire, la longueur inconnue et la calculer.

U

53

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th

Exercices 1

Pour chaque triangle rectangle ci-dessous, calcule la longueur de l’hypoténuse au centième près de l’unité proposée.

B 12 m

a = 17,4 cm b = 9,6 cm

10 m

A

c

C

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

VA

N

IN

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

s

..........................................................................

Pour chaque triangle rectangle, calcule la mesure inconnue du côté de l’angle droit au centième près de l’unité proposée.

on

2

..........................................................................

B

x = 56 cm

iti

z = 33 cm

6,9 m C

Ed

y

54

A

8m

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

Théorème de Pythagore et racines carrées 3

3

Le triangle ABC est rectangle en A. Calcule la longueur inconnue si tu sais que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité.

| AB |

| AC |

a)

6

8

b)

2,4

1

c)

5

| BC |

a)

......................................................................

......................................................................

......................................................................

13

d)

1,6

IN

......................................................................

2

......................................................................

e)

8,5

13,2

N

.....................................................................

VA

......................................................................

b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c)

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

s

......................................................................

......................................................................

on

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

iti

......................................................................

Ed

......................................................................

d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......................................................................

e)

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

......................................................................

55

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th 5

Détermine, à 0,01 cm près, le périmètre d’un losange si tu sais que la grande diagonale mesure 7 cm et la petite diagonale 4 cm.

IN

Détermine, à 0,01 cm près, la hauteur d’un triangle équilatéral de 5 cm de côté.

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

N

....................................................................

VA

4

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

s

....................................................................

on

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

....................................................................

iti

....................................................................

....................................................................

Ed

....................................................................

6

Lors d’une tempête particulièrement violente, le tronc d’un arbre s’est brisé.

Observe le schéma de la situation et détermine, au cm près, la hauteur de l’arbre avant la tempête. .......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

.......................................................................................................

1,20 m 3,10 m

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

56

3

Théorème de Pythagore et racines carrées 7

Afin de consolider une équerre de maçon, une barre de renfort de 80 cm (longueur extérieure de la barre) doit être soudée à égale distance de l’angle droit.

Détermine à 0,01 cm près, la distance de chaque point de soudure (B et C) jusqu’à l’angle droit (A). ...............................................................................................................

C ...............................................................................................................

80 cm

...............................................................................................................

...............................................................................................................

B

A

IN

...............................................................................................................

........................................................................................................................................................

La hauteur sous plafond du living d’Adèle est de 2,50 m.

Une armoire, dont les dimensions sont de 2,43 m de haut, 72 cm de largeur et 45 cm de profondeur, est couchée sur le sol de la pièce.

Est-il possible de la redresser ? Envisage les deux possibilités.

iti

on

s

VA

N

8

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

.........................................................................

Ed

.........................................................................

57

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th

Activité 4 • Réciproque du théorème de Pythagore Lucas a posé le premier lit de briques de son nouveau barbecue.

Avant de poursuivre la construction de cet ouvrage, il souhaite vérifier la perpendicularité des murs ainsi formés et prend, pour ce faire, différentes mesures.

A

B

D

| AB | = 76 cm

| AD |= 57 cm

| BD | = 95 cm

| AC | = 96 cm

| BC | = 57 cm

C

La relation de Pythagore s’applique dans un triangle rectangle.

Vérifie si c’est le cas pour… a) le triangle ABD.

IN

1

N

...................................................................................................................................................

VA

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

............................................................................

s

............................................................................

iti

on

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

Ed

b) le triangle ABC.

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

58

Théorème de Pythagore et racines carrées 2

3

Dans chaque cas, entoure la mesure du côté qui pourrait être l’hypoténuse et vérifie si les dimensions sont celles d’un triangle rectangle. | AB |

| BC |

| AC |

Vérification

Rectangle ?

.................................................................................

a)

8

10

6

.................................................................................

...............

.................................................................................

.................................................................................

5

6

7

.................................................................................

...............

IN

b)

.................................................................................

c)

4,7

7,1

8,5

N

.................................................................................

.................................................................................

...............

VA

.................................................................................

Réciproque du théorème de Pythagore

s

Si dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle.

on

B

Si | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 alors ABC est un triangle rectangle en A.

C

iti

A

Ed

Exemples

7,5

B

6

C

4,5 A

Z

12

Y

8

9

Le triangle ABC est-il rectangle sachant que | AC | = 4,5 | AB | = 6 | BC | = 7,5 ?

2 2 2 Vérification : 7,5 = 4,5 + 6 56,25 = 20,25 + 36 56,25 = 56,25 Donc, le triangle ABC est rectangle en A.

Le triangle XYZ est-il rectangle sachant que | XY | = 8 | XZ | = 9 | YZ | = 12 ?

2 2 2 Vérification : 12 ≠ 8 + 9 144 ≠ 64 + 81 144 ≠ 145 Donc, le triangle XYZ n’est pas rectangle.

X 59

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th

Exercices 1

Vérifie si les triangles ci-dessous sont rectangles.

Y A 7,37 cm

5,27 cm

11 m 6,6 m

C

B Z

X

9,1 cm

8,8 m ..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

VA

N

IN

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

..........................................................................

| AB |

| BC |

5

12

on

s

Dans chaque cas, vérifie si le triangle ABC est rectangle, les mesures étant exprimées dans la même unité. Si oui, détermine le sommet de l’angle droit. | AC | 13

Vérification

...................................

iti

2

..........................................................................

| AB |

| BC |

| AC |

4,2

7,1

8

Ed

...................................

Angle droit :

9

5

..........

7

...................................

...................................

2,8

10

..........

9,6

...................................

...................................

Angle droit :

3

6

..........

3

60

..........

...................................

...................................

...................................

...................................

Angle droit :

5

5

..........

10

...................................

Angle droit :

...................................

...................................

...................................

Angle droit :

Vérification

...................................

...................................

...................................

Angle droit :

..........

...................................

3

Théorème de Pythagore et racines carrées 3

Dans un mouvement de jeunesse, chaque troupe doit monter sa tente. Afin de remporter le concours du meilleur montage, la troupe des Tangaras s’assure que le mât placé à l’entrée est bien vertical par rapport au sol horizontal. Ils mesurent la hauteur du mât et obtiennent 168 cm. Ensuite, ils déterminent la distance séparant le pied du mât et l’endroit où est planté le crochet du tendeur et trouvent 160 cm. Enfin la longueur du tendeur est de 234 cm. Le mât est-il vertical ?

Justifie ta réponse. ................................................................................................

................................................................................................

IN

................................................................................................

................................................................................................

Un commerçant fait placer un drapeau sur sa façade comme le montre le schéma ci-contre. Afin de le maintenir, l’installateur fixe un fil tendu reliant Y et Z.

VA

4

N

................................................................................................

Sachant qu le mur est vertical, la hampe du drapeau est-elle horizontale ?

Y 66 cm X

1,1 m 88 cm

Z

s

....................................................................................................................

on

....................................................................................................................

....................................................................................................................

iti

........................................................................................................................................................

Ed

........................................................................................................................................................

5

Axel pose une échelle de 3,50 m de long contre un mur. Sachant que le point d’appui de l’échelle sur le mur est situé à 3,40 m du sol et que la distance horizontale entre le pied de l’échelle et le mur est de 0,80 m, détermine si le mur est perpendiculaire au sol. Justifie. ................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

61

3

Théorème de Pythagore et racines carrées Th 6

B

En utilisant uniquement les données de la figure représentée ci-contre, vérifie que le triangle BCD est un triangle rectangle.

..........................................................................................................

6

4

..........................................................................................................

A

C 2

4

D

..........................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

IN

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Dans le rectangle ABCD ci-contre, le triangle XCY est-il rectangle ?

N

7

A

X

B

5 cm

C

3 cm

VA

2 cm

Y

D

s

........................................................................................................................................................

on

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

iti

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

Ed

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

62

Index

Q quadrilatères (aires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 – 13 quadrilatères (périmètres) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 – 8

VA

C carré (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 carré (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 – 8 cercle (longueur). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 – 19 cône (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 – 35 cône (volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 – 35 construction du graphique d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 – 80 coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 – 65 croissance de la fonction du 1er degré . . . . . . 90 – 91 cube (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 – 32 cube (volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 – 32 cylindre (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 – 32 cylindre (volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 – 32

P parallélépipède rectangle (aire latérale) . . . . . 29 – 32 parallélépipède rectangle (volume) . . . . . . . . . . . 31 – 32 parallélogramme (aire). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 – 13 parallélogramme (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 – 8 pi (p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 – 19 plan cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 – 65 prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 – 31 prisme (aire latérale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 – 32 prisme (volume). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 – 32 pyramide (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 – 35 pyramide (volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 – 35

IN

A aire du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 – 22 aires des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 – 13 aires des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 – 13 aires latérales (prisme – cylindre). . . . . . . . . . . . . . 28 – 32 approche graphique de la fonction du 1er degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

O ordonnée à l’origine d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 – 83

N

Les renvois de page en vert gras concernent les pavés théoriques.

Les titres en gras italique renvoient aux pages titres des chapitres et aux compétences.

on

s

D disque (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 – 22 E échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 – 7

Ed

iti

F figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 fonction de proportionnalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 fonction du 1er degré (construction du graphique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 – 80 fonction du 1er degré (croissance) . . . . . . . . . . . . 90 – 91 fonction du 1er degré (définition) . . . . . . . . . . . . . . 68 – 71 fonction du 1er degré (propriétés) . . . . . . . . . . . . . 69 – 71 fonction du 1er degré (signe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 – 87 fonction constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 – 72 fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 – 84 formules (transformations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I image d’un réel par une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 – 74 intersection de graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 – 93

R racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 – 45 réciproque du théorème de pythagore . . . . . . 58 – 59 rectangle (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 – 13 rectangle (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 – 8 repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 – 65 S signe d’une fonction du 1er degré. . . . . . . . . . . . . 87 – 87 solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 sphère (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 – 39 sphère (volume). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 – 39 T théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 – 50 théorème de Pythagore (applications). . . . . . . 52 – 53 théorème de Pythagore (réciproque) . . . . . . . . 58 – 59 théorème de Pythagore et racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 transformations de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 trapèze (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 – 13 trapèze (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 – 8 triangle (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 – 13 triangle (périmètre). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 – 8 Z zéro d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . 82 – 83

L losange (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 – 13 losange (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 – 8 M maquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

99

100