Actimath pour se qualifier + 3e année - 4 p./s. - Extrait by VAN IN

3 pour se qualifier

Actimath pour se qualifier

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Réseau libre

4 périodes/semaine

pour se qualifier Maryse Bams Michaël Chevalier

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Coordination Philippe Ancia Aline Want

9 789030 677178

vanin.be

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4 périodes/semaine

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ISBN 978-90-306-7717-8 565729

pour se qualifier

4 périodes/semaine Réseau libre

Maryse Bams Michaël Chevalier Coordination Philippe Ancia Aline Want

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Composition d’Actimath pour se qualifier + 3 (Réseau libre - 4 périodes/semaine) Pour l’élève un livre-cahier un accès aux exercices supplémentaires via Udiddit Pour le professeur un accès au contenu de Udiddit comprenant : – le corrigé du livre-cahier – le Manuel Numérique – d’éventuels exercices supplémentaires Actimath pour se qualifier + 3 (Réseau libre - 4 périodes/semaine) Auteurs : Coordination :

Maryse Bams et Michaël Chevalier Philippe Ancia et Aline Want

Couverture : Mise en page :

Alinea Graphics Alinea Graphics

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2016 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition, 4e réimpression: 2019 ISBN 978-90-306-7717-8 D/2016/0078/109 Art. 565729/05

Introduction – Mode d’emploi Voici ton nouveau livre-cahier de mathématiques. Il fait partie de la collection ACTIMATH que tu as peut-être déjà utilisée au 1er degré. Les objectifs qui ont motivé notre travail sont les suivants. • Consolider l’usage des outils élémentaires introduits au premier degré. • Construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles. • Développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active. Actimath pour se qualifier + 3 comprend neuf chapitres divisés en activités. L’ordre dans lequel tu parcourras les différents chapitres du manuel dépend de ton professeur. Chaque chapitre commence par une page de garde sur laquelle sont notés les compétences à développer ainsi que les processus à mettre en œuvre dans les activités. Ton professeur te fera cocher ceux (celles) que tu auras rencontré(e)s lors des différents exercices solutionnés en classe. Chaque activité est construite de la même manière. • Une mise en situation tirée, le plus souvent possible, de la vie de tous les jours ou d’un défi mathématique te permet de découvrir de nouvelles notions. • Ensuite, un pavé théorique (sous fond vert) énonce les notions que tu viens de découvrir. • Enfin, des exercices de fixation te permettent d’assimiler celles-ci. Les notions développées dans certains chapitres ont débouché sur des exercices supplémentaires nécessitant davantage de recherche et de réflexion. Les mathématiques sont souvent proches de la réalité quotidienne, mais tu ne le vois pas toujours. Si tu veux utiliser ton cours de mathématiques pour mieux comprendre le monde qui t’entoure, tu devras étudier les notions reprises dans les pavés théoriques et vérifier que tu sais refaire les exercices vus en classe. Ta calculatrice sera, dans certains cas, un outil performant pour explorer les différentes notions abordées dans ton livre-cahier. N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (p. 251); il t’aidera à retrouver les mots importants. Pour mener à bien ton travail, ton professeur sera un guide précieux. N’hésite donc pas à lui poser des questions sur les points de matière qui te semblent difficiles à maîtriser. Les auteurs – Les coordinateurs

Table des matières Mode d’emploi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chapitre 1 • Approche graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Activité 1 Plan cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Activité 2 Notions de relation et de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Activité 3 Domaine et ensemble image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Activité 4 Intersection du graphique d’une fonction avec les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Activité 5 Signe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Activité 6 Croissance et extremum d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Activité 7 Analyse graphique d’une fonction : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . 37 Activité 8 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Chapitre 2 • Équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Activité 1 Équations et solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Activité 2 Équations du type x + a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 x Activité 3 Équations du type a . x = b et = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 a Activité 4 Équations et proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Activité 5 Équations du type ax + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Activité 6 Équations du type ax + b = cx + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Activité 7 Résolution de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Activité 8 Transformations de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Chapitre 3 • Fonction du premier degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Activité 1 Approche graphique de la fonction du premier degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Activité 2 Image d’un réel par une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Activité 3 Construction du graphique d’une fonction du premier degré . . . . . . . . . . . 86 Activité 4 Intersection du graphique d’une fonction du premier degré avec les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Activité 5 Pente d’une droite – Croissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Activité 6 Détermination de l’équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Activité 7 Signe de la fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Activité 8 Ajustement linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Activité 9 Découverte d’autres fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Chapitre 4 • Intersection des graphiques de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Activité 1 Intersection des graphiques de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Chapitre 5 • Inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Activité 1 Découverte des inéquations et propriétés des inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . 142 Activité 2 Intervalles de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Activité 3 Résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Chapitre 6 • Figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Activité 1 Périmètres des quadrilatères et du triangle – Échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Activité 2 Aires des quadrilatères et du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Activité 3 Longueur du cercle et nombre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Activité 4 Aire du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Activité 5 Transformations de formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Chapitre 7 • Solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Activité 1 Prisme droit et cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Activité 2 Pyramide et cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Activité 3 Sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Activité 4 Réalisation d’une maquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Chapitre 8 • Théorème de Pythagore et racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Activité 1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Activité 2 Théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Activité 3 Calcul de la mesure d’un côté d’un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Activité 4 Réciproque du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Chapitre 9 • Trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Activité 1 Cosinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Activité 2 Recherche d’un angle à partir de son cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Activité 3 Sinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Activité 4 Tangente d’un angle aigu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Activité 5 Problèmes : quelle formule trigonométrique utiliser ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Index alphabétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Chapitre 3

Compétences à développer

Fonction du premier degré Lire, construire, interpréter, exploiter un tableau de nombres, un graphique, une formule. Traiter un problème en utilisant des fonctions du premier degré.

Reconnaître une situation qui se modélise par une fonction du premier degré.

Processus Connaître

Reconnaître différents types de fonctions à partir de tableaux de nombres, de graphiques ou de formules issus de contextes variés.

Appliquer

Identifier les paramètres m et p sur un graphique ou dans une formule.

Construire un graphique à partir d'un tableau de nombres ou d’une formule.

iti

Construire un tableau de nombres à partir d'un graphique ou d’une formule. Calculer les paramètres m et p à partir d’un tableau de nombres.

Établir la formule qui relie deux variables à partir d’un tableau de nombres. Associer des graphiques, des tableaux de nombres, des formules. Rechercher des caractéristiques d'une fonction du premier degré.

Transférer Résoudre un problème en utilisant un tableau de nombres, un graphique et/ou une formule. Résoudre un problème qui nécessite l’utilisation de fonctions, d’équations ou d’inéquations du premier degré.

Fonction du premier degré Fo

Activité 1 • Approche graphique de la fonction du premier degré 1

Un opérateur de téléphonie propose l’internet mobile à un tarif composé d’un coût fixe de connexion et un prix par mégabyte utilisé. Pour faire connaître ce tarif, il lance deux campagnes publicitaires dans lesquelles le même tarif est présenté de façons différentes. Pour chaque campagne, le prix se calcule en fonction de la consommation.

Campagne 2

…

Prix (cents)

…

y Prix (cents)

Volume (Mb)

Campagne 1

a) (1) Avec ce tarif, détermine le prix à payer pour chaque volume de données ci-dessous. Complète les coordonnées des points du graphique qui illustrent tes réponses et indique ces points sur le graphique. ...............

cent(s)

A ( .......... ; .......... )

3 Mb

...............

cent(s)

B ( .......... ; .......... )

8 Mb

...............

cent(s)

9 Mb

...............

2 Mb

C ( .......... ; .......... )

cent(s)

D ( .......... ; .......... )

(2) Complète.

iti

À un accroissement en x de 1 Mb correspond un accroissement en y

.......................................

............................................................................

(3) Construis deux triangles rectangles d’hypoténuses respectives [AB] et [CD] illustrant la proposition que tu viens de compléter. (4) Construis deux autres triangles rectangles montrant que la proposition que tu as découverte est valable pour d’autres valeurs de x.

1 0

Volume (Mb) x

b) Parmi les égalités suivantes, entoure celle qui correspond à ce tarif.

y = 8 – 2x

y = 8 + x2

y = 8 + 2x

y = 2x

y = 8 – x2

y=9+x

y = 3x

y = 2 + 8x

Fonction du premier degré 2

Lors de son départ en vacances, le papa de Benoit fait le plein de son réservoir à l’entrée de l’autoroute. Le graphique de la fonction ci-dessous exprime la quantité de carburant disponible dans le réservoir en fonction du temps de parcours.

y Quantité de carburant (l)

Temps de parcours (h)

a) (1) Sachant que les points ci-dessous appartiennent au graphique de la fonction, complète leurs coordonnées et reporte-les sur le graphique. A ( ................. ; ................. )

B est le point d’abscisse 4.

B ( ................. ; ................. )

C est le point d’abscisse 6.

C ( ................. ; ................. )

D est le point d’abscisse 7.

D ( ................. ; ................. )

iti

A est le point d’abscisse 3.

(2) Complète.

À un accroissement en x de 1 h correspond un accroissement en y

.................................

..............................................................................................................................................

b) Parmi les égalités suivantes, entoure celle qui correspond à ce tarif. y = 10 + 50x

y = 50 + x2

y = 50 – 5x

y = 50 + 5x

50 x

y = 50 – 5x2

Fonction du premier degré Fo 3

a) Pour chaque graphique, trace au moins trois triangles illustrant les accroissements en y de la fonction. Pour plus de facilité, considère des triangles dont les extrémités de l’hypoténuse sont sur le quadrillage. Ensuite, pour chaque triangle, calcule le rapport entre l’accroissement en y et celui en x. y

.......................................................................

iti

.......................................................................

x .......................................................................

Fonction du premier degré

.......................................................................

x .......................................................................

.......................................................................

b) Quelle conclusion peux-tu tirer de tes réponses concernant le taux d’accroissement ?

...................................................................................................................................................

Voici les graphiques de deux droites particulières. y

iti

1 x

a) Énonce la particularité de chacune d’elles. .......................................................................

.......................................................................

b) Pour chaque graphique, précise s’il s’agit de celui d’une fonction. Si oui, peux-tu tracer les triangles illustrant les accroissements ? Pourquoi ? .......................................................................

.......................................................................

Fonction du premier degré Fo

Approche graphique de la fonction du premier degré A. Fonction du premier degré Définition Une fonction f du premier degré est une relation entre deux variables x et y, qui s’écrit sous la forme f : x Æ y = mx + p ou plus simplement f(x) = mx + p, où m est un réel non nul et p un réel. Exemples : f : x Æ y = 2x + 4

f(x) = 2x + 4

f : x Æ y = –0,5x + 3 ou

f(x) = –0,5x + 3

f : x Æ y = –3x

f(x) = –3x

Propriétés du graphique d’une fonction du premier degré Le graphique d’une fonction du premier degré en x est une droite (non parallèle aux axes du repère) dont l’équation est y = mx + p. Exemple

–3

–2

–1

–2

f : x Æ y = 2x + 4 est une fonction du premier degré.

Le graphique est une droite dont l'équation est y = 2x + 4.

Exemples

Le graphique d’une fonction du premier degré en x présente un taux d’accroissement constant.

iti

f : x Æ y = 2x + 4 Le taux d’accroissement est égal à 2.

2 2

f : x Æ y = –0,5x + 3 Le taux d’acroissement est égal à –0,5.

–1

1 –0,5 1

–0,5 4

1 0

2 4 2 = = 1 2 1

–1 –0,5 –0,5 = = 2 1 1

Fonction du premier degré

B. Fonction constante Tous les points d’une droite parallèle à l’axe x ont la même ordonnée; son équation s’écrit y = p. La fonction f : x Æ y = p est une fonction constante. Exemple : f : x Æ y = –2

–3

–2

–1

–2

1 0

d ∫ y = –2

Remarque

Tous les points d’une droite parallèle à l’axe y ont la même abscisse; son équation s’écrit x = k.

Les droites parallèles à l’axe y ne représentent pas des fonctions car à une valeur de x correspondent une infinité de valeurs de y.

–3

–2

–1

Exemple : La droite d'équation x = 2 n'est pas le graphique d'une fonction.

d∫x=2

iti

Exercices

Parmi les fonctions suivantes, entoure celles du premier degré.

f1(x) = 2x – 1 f5(x) =

1 x+1 2

f2(x) = –2

f3(x) = x² – 1

f6(x) = –2x2 + 2

f7(x) =

1 x

f4(x) = 0,2x – 1 f8(x) = –3x

Parmi les graphiques suivants, indique un « ✓ » sur ceux qui représentent une fonction du premier degré. Pour ceux-ci, détermine graphiquement le taux d’accroissement m. y

Fonction du premier degré Fo y

Voici les tableaux de valeurs de fonctions du premier degré. Pour chacun d'eux, vérifie que le taux d’accroissement est constant.

–2

–5

–1

–3

–5

–9

.........................................................................

–15

Pour réaliser son pain, la maman d’Amélie commande une farine bio qu’elle reçoit à son domicile. Voici les tarifs de trois sociétés qui vendent cette farine. Pour chaque tarif, x représente la quantité achetée, exprimée en kg, et y, le prix en euros.

iti

Activité 2 • Image d’un réel par une fonction du premier degré

Société Aveve

y Prix (€)

Société Cofabel

fA : x Æ y = 3x + 6

Société Brichart : fB

x (kg) 0,5

y (€) 7,5

1 80

Quantité (kg) 1

Fonction du premier degré

Les tarifs permettent de connaître le prix à payer pour l’achat d’une quantité de farine. Société Aveve Par exemple, pour l’achat de 3 kg de farine, …

on peut calculer que le prix sera de 15 €. (3 . 3 + 6)

Mathématiquement, on écrit … On dit que …

Société Brichart on peut lire que le prix sera de 10 €.

fA(3) = 15

fB(3) = 10

15 est l’image de 3 par la fonction fA.

Société Cofabel on peut repérer que le prix sera de 9 €. fC(3) = 9

10 est l’image de 3 par la fonction fB.

9 est l’image de 3 par la fonction fC.

a) Pour chaque société, détermine le coût d’une commande de 5 kg de farine. Justifie en complétant les notations mathématiques. ............................................................

fB(5) =

............................................................

Quelle société est la plus avantageuse pour l’achat de 5 kg de farine ?

fA(5) =

....................................................................... ............................................................

fC(5) =

b) Pour chaque société, détermine la quantité de farine qui peut être achetée pour un montant de 9 €. Justifie tes réponses à l’aide d’une égalité du type f(…) = … ...........

Société B : avec 9 €, on peut acheter

...........

kg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Société C : avec 9 €, on peut acheter

...........

Société A : avec 9 €, on peut acheter

....................................................................

...................................................................

..............................................

Quelle société est la plus avantageuse pour un achat de 9 € ?

iti

c) Afin d’aider sa maman, Amélie propose de présenter les tarifs des sociétés Aveve et Cofabel comme celui de la société Brichart. Aide-la en calculant le prix à payer pour des commandes de 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6 kg et présente tes réponses sous forme de tableaux de valeurs.

...................................................................................................................................................

Fonction du premier degré Fo

Image d’un réel par une fonction du premier degré A. Comment rechercher l’image d’un réel a par une fonction ? 1. À partir de l’expression algébrique de la fonction On calcule la valeur de la variable y en remplaçant la variable x par le réel dont on cherche l’image. Exemple :

Recherche de l’image de 2 par la fonction f : x Æ y = 3x – 5 y=3.2–5 =6–5 =1

2. À partir d’un tableau de valeurs de la fonction

L’image de 2 par la fonction f est 1. On écrit f(2) = 1.

On lit la valeur de y située sous la valeur de x dont on cherche l’image.

–4

–2

–1

Recherche de l’image de –2 par la fonction f 0

Exemple :

L’image de –2 par la fonction f est 3. On écrit f(–2) = 3. Remarque : Si le nombre dont on cherche l’image n’est pas présent sur la première ligne du tableau, on ne pourra pas trouver son image par la fonction avec cette méthode. Avec le tableau précédent, on ne peut pas lire l’image de 4.

f(4) = ?

Exemple :

3. À partir du graphique de la fonction

On repère le point de la droite pour lequel l’abscisse est le réel dont on cherche l’image. L’image recherchée est l’ordonnée de ce point. Recherche de l’image de 2 par la fonction f

iti

Exemple :

Le point A est le point d’abscisse 2 de la droite. L’ordonnée du point A est –1.

–1 A f

L’image de 2 par la fonction est –1. On écrit f(2) = –1.

Fonction du premier degré

B. Comment construire un tableau de valeurs d’une fonction ? On choisit des réels qu’on place sur la première ligne réservée aux valeurs de x. Pour chacun d’eux, on recherche leur image et on écrit le résultat sur la seconde ligne réservée aux valeurs de y. Exemples À partir d’une expression algébrique f : x Æ y = 3x – 5

–2

2) Recherche des images

3) Tableau final

f(–2) = 3 . (–2) – 5 = –6 – 5 = –11 f(0) = 3 . 0 – 5 = 0 – 5 = –5 f(1) = 3 . 1 – 5 = 3 – 5 = –2 f(2) = 3 . 2 – 5 = 6 – 5 = 1 f(5) = 3 . 5 – 5 = 15 – 5 = 10

–2

–11

–5

–2

1) Choix des valeurs de la variable x

iti

–2

–1

2) Recherche des images f(–2) = 4 f(–1) = 3 f(0) = 2

À partir d’un graphique

1) Choix des valeurs de la variable x

f(1) = = 1 f(2) = 0 f(3) = –1

3) Tableau final

–2

–1

Fonction du premier degré Fo

Exercices 1

Complète les informations relatives à chaque graphique. y

y f

f 0

.......

f(. . . . . . . . ) = 1,5

f(–2) =

.......

f(. . . . . . . . ) = 2

f(–2) =

.......

f(. . . . . . . . ) = 0

f(0) =

.......

f(. . . . . . . . ) = 0

f(1) =

.......

f(. . . . . . . . ) = 3

f(0) =

.......

f(. . . . . . . . ) = –4

f(1) =

.......

f(. . . . . . . . ) = –2

f(–4) =

.......

f(. . . . . . . . ) = 3,5

f(4) =

.......

f(. . . . . . . . ) = –1

f(–4) =

Pour chacune des fonctions ci-dessous, calcule les images demandées.

.................................

f(0) =

..................................

f(–1) =

a) f : x Æ y = 3x + 1

f(2) =

..................................

......................................

....................................

......................................

iti

....................................

b) f : x Æ y = –2x + 1 f(–2) =

.................................

..................................

f(3) =

..................................

....................................

......................................

....................................

......................................

c) f : x Æ y = f(–2) =

f(0) =

1 3 x+ 2 2

.................................

f(0) =

..................................

f(5) =

..................................

....................................

......................................

....................................

......................................

Fonction du premier degré Retrouve et corrige la (les) erreur(s) dans les secondes lignes des tableau de valeurs.

f2 : x Æ y = –x + 1

f3 : x Æ y = –3x

–4

–0,5

–12

–5

–2

–5

–3

1,5

–4

–1

–0,5

–6

–8

–6

–4

–1

2/3

–3

–9

–15

–2

–1

–4

–1

–2

f1 : x Æ y = 2x – 4

–3

–2

–1

–4,5

–3,5

–3

–2,5

–4

–1,5

iti

Complète les tableaux de valeurs des fonctions suivantes.

f1 : x Æ y = 2x

x f1

f2 : x Æ y = –3x – 1

–5

–1,5

–1

2,5

–3

–1

1,5

–3

y x f2 f3

1 x 0

–1 2

–0,5

Fonction du premier degré Fo 5

Voici cinq fonctions du premier degré.

–2

–1

–4

–2

–1

3,5

0,5

–1

–2,5

–4

f3 : x Æ y = 3x + 2 f4 : x Æ y = –3x + 8 f5 : x Æ y =

3 x+1 2

Dans le tableau ci-dessous, indique une croix lorsque le point appartient au graphique de la fonction. (0 ; 2)

(1 ; 5)

(–2 ; –4)

(4 ; –4)

(–2 ; –2)

(2 ; 4)

(–1 ; –2)

f1 f2 f3

Un automobiliste s’arrête dans une station-service pour faire le plein. Le graphique ci-contre représente l’évolution de la quantité d’essence se trouvant dans le réservoir au cours du remplissage en fonction du temps.

y Quantité d’essence (l)

Utilise ce graphique pour déterminer…

(1) la quantité d’essence se trouvant dans le réservoir après 22 secondes de remplissage. Justifie.

10 Temps (s)

iti

.........................................................

(2) le temps nécessaire pour remplir la moitié d’un réservoir d’une capacité de 50 litres. Justifie. ...................................................................................................................................................

Activité 3 • Construction du graphique d’une fonction du premier degré 1

Un magasin de bricolage propose un parquet à 12 € le mètre carré. Pour toute commande, la livraison à domicile est facturée 50 €. a) Complète le tableau de valeurs permettant de connaître le prix à payer pour un parquet livré à domicile, en fonction de la surface achetée. Surface (m²) Prix (€)

100

Fonction du premier degré b) Si on note x la surface et y le prix, la fonction f1 : x Æ y = 12x + 50 traduit le prix à payer en fonction de la surface commandée. Trace son graphique en utilisant un minimum de couples du tableau de valeurs.

y Prix (€)

Combien de points as-tu utilisés ? Pourquoi ? ............................................................................

............................................................................

Comment peux-tu vérifier ton tracé ?

c) Lors de la journée portes ouvertes, le parquet coûte 10 €/m² et la livraison est gratuite. La fonction f2 : x Æ y = 10x traduit le prix à payer en fonction de la surface commandée. Représente cette fonction dans le même repère. .......................................................................

100

.......................................................................

Surface (m2) 0

iti

Construction du graphique d’une fonction du premier degré Comment construire le graphique d’une fonction du premier degré ?

1. À partir d’un tableau de valeurs On choisit dans le tableau les coordonnées de deux points qu’on représente dans un repère cartésien. Le graphique de la fonction du premier degré est la droite reliant ces deux points. On peut toujours utiliser les coordonnées d’un ou plusieurs autres points pour vérifier que le graphique est correct. y Exemple

–2

–1

–4

–3

–2

–1

(3 ; 1)

0 C

On trace la droite passant par les points A (0 ; –2) et B (3 ; 1). On vérifie que le point C (–1 ; –3) appartient à cette droite.

(0 ; –2) A (–1 ; –3) C 87

Fonction du premier degré Fo 2. À partir de son expression algébrique On calcule l’image de deux réels par la fonction. On obtient les coordonnées de deux points qu’on peut insérer dans un tableau de valeurs et on les représente dans un repère cartésien. Le graphique de la fonction du premier degré est la droite reliant ces deux points. On peut calculer l’image d’un troisième réel pour vérifier que le graphique est correct. Exemple : f : x Æ y = – 1 x – 1 2

f(0) = – 1 . 0 – 1 = 0 – 1 = –1 2 f(2) = – 1 . 2 – 1 = –1 – 1 = –2 2 f(–2) = – 1 . (–2) – 1 = 1 – 1 = 0 2

1 (–2 ; 0) 0

1 (0 ; –1)

–2

–1

–2

(2 ; –2)

On trace la droite passant par les points A (0 ; –1) et B (2 ; –2).

On vérifie que le point C (–2 ; 0) appartient à cette droite.

Exercices

Pour chaque fonction, complète le tableau de valeurs et construis son graphique.

iti

f1 : x Æ y = 2x + 1

f2 : x Æ y = –x + 5

x y

1 f3 : x Æ y =

1 x–3 2

x y f4 : x Æ y = –2x – 6 x y 88

Fonction du premier degré 2

Le réservoir d’une voiture contient 45 litres de carburant et elle en consomme en moyenne 6 litres aux 100 kilomètres. a) Complète les phrases suivantes. Au départ, la distance parcourue est de 0 kilomètre, la voiture a consommé . . . . . . . . . . . litre(s) et le réservoir contient toujours . . . . . . . . . . . litre(s). Quand la voiture a parcouru 100 kilomètres, elle a consommé . . . . . . . . . . . litre(s) et le réservoir contient encore . . . . . . . . . . . litre(s).

Quand la voiture a parcouru 200 kilomètres, elle a consommé . . . . . . . . . . . litre(s) et le réservoir contient encore . . . . . . . . . . . litre(s).

Quand la voiture a parcouru . . . . . . . . . . . kilomètres, elle a consommé . . . . . . . . . . . litre(s) et le réservoir

contient encore 21 litres. Quand la voiture a parcouru . . . . . . . . . . . kilomètres, elle a consommé 45 litres et le réservoir

contient encore . . . . . . . . . . . litre(s).

b) À partir des phrases ci-dessus, complète le tableau de valeurs, si x est la distance parcourue par la voiture et y la quantité de carburant dans le réservoir. 100

200 21

y (l)

x (km)

iti

c) Dans le repère cartésien ci-dessous, représente la fonction associée à ce tableau.

d) Parmi les fonctions suivantes, quelle est celle qui représente la situation décrite ? f1 : y =

6 x – 45 100

f5 : y =

6 x 100

f2 : y =

100 x – 45 6

f6 : y =

100 x 6

f3 : y =

6 x + 45 100

f4 : y = –

6 x + 45 100

y Quantité de carburant (l)

Distance parcourue (km) 100

Fonction du premier degré Fo

Activité 4 • Intersection du graphique d'une fonction du premier degré avec les axes 1

Une machine industrielle, fonctionnant jour et nuit, produit 30 pièces par heure. En arrivant à 8 h ce matin, l’ouvrier a constaté qu’un stock de 180 pièces était disponible. Parfois, à tout moment de la journée, les magasiniers passent près de la machine et emportent la totalité du stock pour préparer les commandes des clients. a) Complète le tableau suivant sachant que les magasiniers ne sont plus passés après l’arrivée de l’ouvrier.

5 6 –1

Nombre total de pièces disponibles

Nombre d’heures écoulées depuis l’arrivée de l’ouvrier

Heure de la journée

13 16

iti

b) Dessine le graphique de la fonction associée à ce tableau de valeurs.

Nombre de pièces

c) Nomme A le point du graphique qui permet de visualiser qu’au moment de l’arrivée de l’ouvrier, le stock était de 180 pièces. Complète les coordonnées de ce point. A ( .............. ; .............. )

d) Parmi les fonctions suivantes, quelle est celle qui représente la situation décrite ?

100 1 x – 180 f1 : y = 30

f2 : y = 30 x + 180

f5 : y = 180 x + 30

1 x + 180 30

f6 : y = 180x – 30

f3 : y =

Heures écoulées

f4 : y = 30 x – 180

Fonction du premier degré e) (1) L’ouvrier pense que les magasiniers sont passés cette nuit et ont emporté toutes les pièces disponibles. A-t-il raison ? Si oui, à quelle heure sont-ils passés ? ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

(2) Nomme B le point du graphique qui correspond au passage des magasiniers. Complète les coordonnées de ce point. Vérifie ta réponse par un calcul. B (. . . . . . . . . . . ; . . . . . . . . . . . )

...................................................................................................................

f) Les magasiniers ont-ils utilisé tout le stock s’ils sont passés à midi pour préparer une commande de 300 pièces ? Justifie et vérifie ta réponse par un calcul.

........................................................................................................................................................

Voici représentées ci-contre, quelques fonctions du premier degré.

a) Une fonction du premier degré dont l’ordonnée à l’origine vaut zéro s’appelle aussi fonction de proportionnalité ou fonction linéaire.

Parmi les fonctions proposées, repère la fonction linéaire et complète son tableau de valeurs. 1 2

f. . .

–3

–2

1 0

iti

Quel type de tableau as-tu obtenu ? ........................................................................

Parmi les expressions algébriques proposées, entoure celle de cette fonction. y = –0,5x + 2

y = 2x

1 x+3 3

y = –0,5x – 3

Intersection du graphique d'une fonction du premier degré avec les axes

A. Ordonnée à l’origine et zéro d’une fonction du premier degré Propriétés L’ordonnée à l’origine de la fonction f : x Æ y = mx + p est p. En effet, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est l’image de zéro par cette fonction, et f(0) = m . 0 + p =0+p =p

Fonction du premier degré Fo Le zéro de la fonction f : x Æ y = mx + p est la solution de l’équation mx + p = 0. –p Il s’agit de . m En effet, le zéro d’une fonction est une valeur de x qui annule y, et m.x+p=0 m . x = –p x=

–p m

Exemple : f : x Æ y = 2x + 6 y

L’ordonnée à l’origine de f est 6.

En effet, f(0) = 2 . 0 + 6 =6

L’ordonnée à l’origine est 6.

Le zéro de f est –3. Le zéro est –3.

En effet, 2x + 6 = 0

2x = –6 x = –6 2 x = –3

–3

B. Fonction linéaire Définitions

Une fonction linéaire ou fonction de proportionnalité est une fonction du premier degré dont l’ordonnée à l’origine vaut 0.

Propriétés

iti

Exemples

Le graphique d’une fonction linéaire comprend l’origine du repère cartésien (0 ; 0). Le zéro d’une fonction linéaire est 0. L’expression algébrique d’une fonction linéaire est f : x Æ y = mx (m ≠ 0). Le tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

f 1

ordonnée à l’origine

1 0

1 zéro

f : x Æ y = 2x est une fonction linéaire.

f : x Æ y = –0,5x est une fonction linéaire.

Tableau de valeurs

–2

–1

–4

–2

Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.

–4

–2

. (–0,5)

–0,5 –1

Il s’agit d’un tableau de proportionnalité.

Fonction du premier degré Conséquence Pour construire le graphique d’une fonction linéaire, on peut utiliser l’origine du repère (0 ; 0) et un autre point à déterminer. Exemple :

f : x Æ y = 3x

f(1) = 3 . 1 =3

(1 ; 3) 1 (0 ; 0) 0

On peut utiliser les coordonnées d’un autre point pour vérifier si le graphique est correct.

Vérification f(–1) = 3 . (–1) = –3 Le point (–1 ; –3) appartient au graphique.

Détermine l’ordonnée à l’origine et le zéro de chacune des fonctions ci-dessous. Utilise ensuite tes réponses pour tracer leur graphique. Si nécessaire, recherche un minimum de points supplémentaires pour réaliser la construction.

Exercices

(–1 ; –3)

f1 : x Æ y = 2x + 4

............................................................................

Zéro :

...................................................

Ordonnée à l'origine :

.......................................................................................

1 0

iti

.......................................................................................

f2 : x Æ y = 3x – 3

Ordonnée à l'origine :

Zéro :

...................................................

............................................................................

.......................................................................................

1 0

.......................................................................................

f3 : x Æ y = –x – 2 Ordonnée à l'origine : Zéro :

y ...................................................

............................................................................

.......................................................................................

1 0

Fonction du premier degré Fo f4 : x Æ y = –2x – 4 Ordonnée à l'origine :

y ...................................................

1 Zéro :

............................................................................

.......................................................................................

f5 : x Æ y = 3x

Zéro :

...................................................

............................................................................

Ordonnée à l'origine :

.......................................................................................

f6 : x Æ y = 4 – 2x Ordonnée à l'origine : Zéro :

...................................................

............................................................................

1 .......................................................................................

.......................................................................................

Un professeur de français utilise une fonction lui permettant de calculer le résultat (y) d’un élève lors d’une dictée en fonction du nombre de fautes commises (x). L’expression algébrique de cette fonction est la suivante :

iti

.......................................................................................

f : x Æ y = 10 – 0,5x

a) Détermine algébriquement le zéro et l’ordonnée à l’origine de cette fonction. Zéro

..................................................................................

Ordonnée à l’origine

..................................................................................

...................................................

..................................................................................

...................................................

..................................................................................

...................................................

................

b) À quel élément correspond … le zéro ?

..........................................................................................................

...................................................................................................................................................

l’ordonnée à l’origine ? 94

..........................................................................................................

...................................................................................................................................................

Fonction du premier degré

Activité 5 • Pente d’une droite – Croissance d’une fonction 1

Julien possède une propriété avec une piscine. Régulièrement, son papa procède à son nettoyage. Pour vider la piscine, il dispose d’une pompe qu’il peut régler sur trois puissances différentes. De même, lors du remplissage, il peut faire varier le débit de l’eau suivant trois vitesses. Depuis qu’il est tout petit, Julien s’amuse toujours à observer les hauteurs d’eau varier lors du vidage et du remplissage de la piscine. Pour cela, il prend toujours comme repère pour la hauteur d’eau, le troisième barreau de l’échelle dans la piscine et comme unité, la hauteur d’un carrelage de la piscine.

Il a désigné par x le temps écoulé en minutes depuis que le niveau d’eau a atteint le troisième barreau et par y la hauteur d’eau au-dessus du troisième barreau mesurée en hauteurs de carrelage.

Sur un même graphique, Julien a représenté l’évolution des niveaux observés en fonction du temps lors des différents nettoyages. Il lui reste à porter sur le graphique les résultats de ses dernières observations.

........................

17h15

17h19

iti

Vue de la piscine

17h07

Heure

a) Voici quelques prises de vues de ce qu’il a pu observer lors du dernier remplissage. Complète les deux dernières lignes du tableau. Pour t’aider, cherche d’abord à quelle heure l’eau a atteint le 3e barreau de l’échelle car c’est à partir de cet instant que Julien compte le temps écoulé.

y (graduations)

x (min)

b) Complète le graphique de Julien en dessinant la droite f correspondant aux observations relatives au dernier remplissage. b

1 0

Fonction du premier degré Fo c) Observe le graphique de Julien que tu as complété pour répondre aux questions suivantes. (1) Quelles sont les droites qui correspondent à un niveau d’eau croissant traduisant le remplissage de la piscine ?

(2) Quelles sont les droites qui correspondent à un niveau d’eau décroissant traduisant le vidage de la piscine ?

.................................................................

(3) Quelle est la droite pour laquelle la piscine se remplit le plus rapidement ?

(4) Quelle est la droite pour laquelle la piscine se remplit le moins rapidement ?

.................................................................

d) On a redessiné ci-dessous la droite f sur laquelle on a marqué les points A, B, C et D.

...........

)

B ( ........... ; ........... )

A ( ........... ;

(1) Complète les coordonnées des points A et B.

(2) Calcule la différence entre l’abscisse de B et celle de A. Observe à quoi correspond cette différence sur le graphique. .......................................................................................................................

iti

Δx = xB – xA =

(3) Calcule la différence entre l’ordonnée de B et celle de A. Observe à quoi correspond cette différence sur le graphique. Δy = yB – yA =

.......................................................................................................................

(4) Calcule le taux d'accroissement y – yA ∆y = B = ∆x xB – x A

∆y . ∆x

...................................................................................................................

(5) En reprenant les données du tableau du début de l’activité, recherche de combien de graduations l’eau monte en une minute. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

Fonction du premier degré

(6) Reproduis la même démarche que ci-dessus ((1), (2), (3), et (4)) avec les points O et A. O ( ........... ;

...........

Δx = xA – xO =

)

A ( ........... ;

...........

)

Δy = yA – yO =

...........................................

..........................................

y – yO ∆y = A = ................................................................................................................... ∆x x A – xO (7) Sur le repère cartésien de la page précédente, dessine le triangle rectangle OAT qui te permet de visualiser ton calcul. (8) Recommence la démarche avec les points C et D. ...........

Δx = xD – xC =

)

D ( ........... ;

...........

Δy = yD – yC =

...........................................

y – yC ∆y = D = ∆x xD – x C

) ..........................................

C ( ........... ;

...................................................................................................................

(9) Sur le repère cartésien de la page précédente, dessine le triangle rectangle CDU qui te permet de visualiser ton calcul.

(10) Compare les taux d'accroissement obtenus aux questions (4), (6) et (8). Pouvais-tu prévoir ce résultat ?

..............................................................................................................................................

iti

e) Considérons à présent le graphique de la droite d sur laquelle on a marqué deux points A et B. y B d

A 1 0

(1) Complète les coordonnées des points A et B. A ( ........... ;

...........

)

B ( ........... ; ........... )

(2) Calcule la différence entre l’abscisse de B et celle de A. Observe à quoi correspond cette différence sur le graphique. Δx = xB − xA = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) Calcule la différence entre l’ordonnée de B et celle de A. Observe à quoi correspond cette différence sur le graphique. Δy = yB − yA =

.......................................................................................................................

(4) Calcule le taux d'accroissement, il s'agit de la pente de la droite d. y – yA ∆y = B = ∆x xB – x A

...................................................................................................................

Fonction du premier degré Fo f) (1) En t’aidant du graphique ci-dessous, calcule la pente de la droite e. y

e B

A ( ........... ; ........... ) B ( ........... ; ........... ) Δx = xB − xA =

.....................................

1 Δy = yB − yA =

.....................................

.................................

y – yA ∆y = B = ∆x xB – x A

(2) Détermine l'amplitude de l’angle formé par la droite e et l’axe x.

......................................

g) (1) Des droites f, d et e représentées en début d’activité, quelle est celle qui a la plus grande pente ? Compare ta réponse avec celle de la question c) (3).

..............................................................................................................................................

(2) Des droites f, d et e, quelle est celle qui a la plus petite pente ? Compare ta réponse celle à la question c) (4).

..............................................................................................................................................

h) (1) En t’aidant du graphique ci-dessous, calcule la pente de la droite a.

iti

A ( ........... ; ........... )

B ( ........... ; ........... )

.....................................

Δx = xB − xA =

.............................................................

1 0

.............................................................

a Δy = yB − yA =

.....................................

.............................................................

y – yA ∆y = B = ∆x xB – x A

.................................

(2) Observe le signe de la pente de la droite a. Que signifie-t-il ?

...........................................

..............................................................................................................................................

Fonction du premier degré i) Lorsque Julien a tracé la droite a, son frère était présent et a choisi de repérer la hauteur d’eau à partir du quatrième échelon, situé quatre graduations en-dessous du troisième échelon. Donc, quand Julien observait une hauteur d’eau de zéro graduation, son frère observait une hauteur de quatre graduations. Son frère a ensuite représenté dans le même repère, une droite a’ représentant ses observations, voici le graphique obtenu. (1) Caractérise la position relative des droites a et a’.

a’

a .............................................

(2) Compare les pentes de ces deux droites.

A C 1

.............................................

(3) Déduis-en une propriété des pentes de deux droites parallèles.

..............................................................................................................................................

Pente d’une droite – Croissance d'une fonction A. Définition

La pente d’une droite est le rapport entre la différence des ordonnées (Δy) et celle des abscisses (Δx) de deux points quelconques de la droite.

iti

y – yA ∆y = B ∆x xB – x A

y yB

B Δy = yB – yA

yA 1

Δx = xB – xA

1 xA

B. Propriétés a) La pente d’une droite caractérise son inclinaison par rapport à l’axe x. b) La pente de la droite d’équation y = mx + p est m. c) La croissance d’une fonction du premier degré du type y = mx + p dépend du signe de m. Si m > 0, alors la fonction est croissante. Si m < 0, alors la fonction est décroissante.

Fonction du premier degré Exemples y = 2x

y = –3x + 2

y y = 2x

y = –3x + 2

1 0

Fonction décroissante

d) Deux droites parallèles ont la même pente. Deux droites de même pente sont parallèles. d // d’ ¤ md = md’

Exemple y

2 y = – x +2 3

Fonction croissante

∆x= 3

2 y=– x–1 3

∆x= 3

∆y= –2

d’

iti

∆y= –2

e) La pente d’une droite parallèle à l’axe x vaut 0. Une droite parallèle à l’axe y n’admet pas de pente. Exemples

y=3

x = –1

y=3

1 0

m=0

100

1 1

m n'existe pas

Fonction du premier degré

C. Comment déterminer la pente d’une droite ? a) On connait l’équation de la droite d. – On écrit, si nécessaire, l’équation sous la forme y = mx + p. – Lorsque l’équation est sous la forme y = mx + p, la pente est m ; c’est le coefficient de x. Exemple :

pente de la droite d ∫ 2x + 3y – 5 = 0 d ∫ 3y = –2x + 5 d∫y=

–2 5 x+ 3 3

La pente de la droite d est

–2 . 3

b) On connait deux points A (xA ; yA) et B (xB ; yB) de la droite d.

pente de la droite passant par A (–2 ; 4) et B (3 ; 6) Δy y B – y A 6–4 2 m= = = = Δx x B – x A 3 – (–2) 5

Exemple :

y – yA ∆y = B ∆x xB – x A

On utilise la formule :

c) On sait que la droite d est parallèle à une autre droite d’ dont on connait l’équation. Les droites étant parallèles, elles ont la même pente ; il suffit donc de rechercher la pente de d’. pente de la droite d parallèle à la droite d’ ∫ y = 2x +1 La pente de la droite d est égale à celle de la droite d’, c’est-à-dire 2.

Exemple :

iti

d) On connait le graphique de la droite d. – On choisit deux points de la droite et on détermine : - la différence entre les abscisses (Δx) ; - la différence entre les ordonnées (Δy). – On calcule le rapport entre Δy et Δx. Si la droite représente une fonction croissante, ce rapport est positif. Si la droite représente une fonction décroissante, ce rapport est négatif.

Exemples

Δy Δx 6 m= 4 3 m= 2 m=

∆y = 6

Δy Δx –4 m= 2 m=– 2

∆x = 2

∆y = –4

A ∆x = 4

1 0

1 x

1 d

101

Fonction du premier degré Fo

Exercices Complète le tableau suivant.

1 x 3

x –4 2

y = –3 – x

–x +2 3

3 x–1 2

y = 3 – 2x

1 y=– x–2 3

Droite parallèle à la droite…

Après avoir écrit l’équation de chaque droite sous la forme y = mx + p, détermine la pente de chacune d’elles. d1 ∫ x – 4y + 3 = 0

d2 ∫ 2x + 3y – 1 = 0

..........................................................................

d3 ∫ –x +

102

Fonction décroissante

y = –x + 2

Fonction croissante

y = 2x – 1

iti

Pente de la droite

Expression algébrique

Droite

1 y+4=0 2

3 1 d4 ∫ – x + y + 4 = 0 4 3

..........................................................................

Fonction du premier degré a) Calcule la pente de chacune des droites suivantes. d2 passe par les points (1 ; 5) et (3 ; –1).

.......................................................................

d3 passe par les points (2 ; 1) et (5 ; 4).

d4 passe par les points (–1 ; 5) et (2 ; 7).

.......................................................................

d5 passe par les points (–2 ; 5) et (4 ; –4).

d6 passe par les points (4 ; 2) et (2 ; 5).

.......................................................................

d1 passe par les points (1 ; 5) et (3 ; 9).

.......................................................................

d7 passe par les points (2 ; 0) et (–2 ; 12).

d8 passe par les points (–1 ; 2) et (–1 ; 5).

.......................................................................

d9 passe par les points (2 ; 3) et (–2 ; 3).

d10 est parallèle à la droite d ∫ y = 2x + 1.

.......................................................................

iti

.......................................................................

d12 est parallèle à la droite d ∫ x – y = 0.

.......................................................................

d11 est parallèle à la droite d ∫ y = –4x – 2.

b) Déduis-en les droites parallèles. ...................................................................................................................................................

Voici trois tableaux de valeurs de fonctions du premier degré. Pour chacun d'eux, détermine la pente de la droite qui représente la fonction. x

–3

–2

–1

–8

–2

........................................

103

Fonction du premier degré Fo 5

Détermine la pente des droites en faisant apparaître pour chacune d’elles un triangle rectangle construit en choisissant deux points de la droite de coordonnées entières. y

1 x

0 1

.................................

0 1

.................................

0 1

.................................

0 1

.................................

0 1

.................................

1 0 1

0 1

Julien a reçu un nouveau scooter pour son anniversaire. Il décide d’aller rendre visite à un ami. Quand il part de chez lui à 9h00, son compteur kilométrique indique 14 kilomètres et lorsqu’il arrive chez son ami à 9h45, son compteur indique alors 44 kilomètres.

On désigne par x le nombre de minutes écoulées depuis le départ de Julien à 9h00 et par y le nombre total de kilomètres parcourus par le scooter depuis sa fabrication. a) Complète le tableau suivant et trace la droite AB dans le repère.

on A

iti

x (min)

y Kilomètres parcourus

y (km)

Minutes écoulées

b) Calcule la pente de la droite AB. ............................................................................

c) Calcule la vitesse moyenne de Julien lors de son trajet. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

d) Que constates-tu ? ...................................................................................................................................................

104

Fonction du premier degré

Activité 6 • Détermination de l’équation d’une droite 1

Tes parents sont abonnés à une société distributrice des eaux. Chaque mois, ils doivent payer une redevance mensuelle fixe et un prix par mètre cube utilisé. Ils t’ont donné deux anciennes factures. Sur la facture de juin, tu peux lire que le montant facturé était de 24 € pour une consommation de 14 m3; sur celle de juillet, tu vois que 20 m3 d’eau ont été facturés 33 €.

La facture pour le mois d’août devrait arriver bientôt et tes parents comptent sur toi pour prévoir son montant sachant que durant tout le mois, vous êtes partis en vacances chez votre cousin flamand à La Panne et donc, que vous n’avez pas consommé d’eau.

D’autre part, ils trouvent que la facture de juillet est élevée et aimeraient savoir quel est le coût du remplissage de la piscine gonflable du jardin d’une contenance de 4 m3.

a) Complète le tableau de valeurs ci-contre si x est la consommation en m3 et y le prix facturé en euros.

x (m3) y (€)

b) Associe à ce tableau de valeurs, deux points du graphique de la fonction. A ( ........... ;

...........

)

B ( ........... ; ........... )

c) Représente la droite AB dans le repère ci-dessous.

iti

y Prix (€)

Consommation (m3)

5 0

d) Utilise le graphique pour répondre aux interrogations de tes parents. (1) Estime le montant de la facture du mois d’août. ..............................................................................................................................................

(2) Estime le coût du remplissage de votre piscine gonflable. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

105

Fonction du premier degré Fo e) Voici une méthode qui va te permettre de trouver les solutions avec précision. (1) Détermine la pente m de la droite passant par les points A et B. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(2) En utilisant la valeur de m trouvée, écris la forme de l’équation de la droite AB. ..............................................................................................................................................

(3) Puisque le point A appartient à la droite AB, remplace, dans l’équation de AB, x et y par les coordonnées de A. ..............................................................................................................................................

(4) Résous l’équation obtenue dont l’inconnue est p.

..............................................................................................................................................

(5) Écris l’équation de la droite AB.

..............................................................................................................................................

(6) Déduis-en le prix de la redevance mensuelle et le prix du m3 d’eau.

..............................................................................................................................................

iti

(7) Quel sera le montant de la facture du mois d’août ? ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(8) Calcule le prix de revient du remplissage de la piscine gonflable de 4 m3. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

106

Fonction du premier degré

Détermination de l’équation d’une droite A. Comment déterminer l’équation d’une droite connaissant les coordonnées de deux de ses points A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) ? Cas général – On détermine d’abord la pente m de la droite. – Ensuite, on remplace dans l’équation y = mx + p, x et y par les coordonnées d’un point de la droite et on calcule p. Exemple : Recherche de l'équation de la droite passant par A (–2 ; 4) et B (3 ; 6). La forme générale de l’équation d’une droite passant par deux points A et B est

Recherche de la valeur de m : m =

AB ∫ y = mx + p ∆y y B – y A 6–4 2 = = = ∆x x B – x A 3 – (–2) 5

L’équation de la droite peut donc s’écrire

2 x+p 5

AB ∫ y = Recherche de la valeur de p. A (–2 ; 4) Œ AB ﬁ 4 = 2 . ( –2 ) + p 5 –4 +p 5

4 5

p=4+

24 5

iti

L’équation de la droite AB est maintenant déterminée. AB ∫ y =

2 24 x+ 5 5

Vérification : les points A et B appartiennent à la droite d’équation y = A Œ AB car 4 =

2 24 . (–2) + 5 5

B Œ AB car 6 =

2 24 x+ . 5 5

2 24 .3+ 5 5

–4 24 + 5 5

6 24 + 5 5

20 5

30 5

4=4

6=6

107

Fonction du premier degré Fo Cas particuliers a) Les deux points ont la même abscisse (xA = xB). AB ∫ x = xA Exemple : l’équation de la droite passant par A (–3 ; 4) et B (–3 ; 1) est x = –3. b) Les deux points ont la même ordonnée (yA = yB). AB ∫ y = yA Exemple : l’équation de la droite passant par A (–2 ; 3) et B (5 ; 3) est y = 3.

B. Comment déterminer l’équation d’une droite à partir de son graphique ? 1er cas : cas général

– On détermine d’abord la pente m de la droite. – On repère ensuite l’ordonnée à l’origine p de la droite. Exemples

d B

p=8

∆x = 2

∆y = 6

∆x = 4

0 p = –1

∆y 6 3 = = ∆x 4 2

iti m=

p = –1

d ∫ y = 3x – 1 2

1 0

∆y = –4

1 d

∆y –4 = = –2 ∆x 2

p=8

d ∫ y = –2x + 8

2e cas : la droite est parallèle à l’axe y. d ∫ x = k avec k qui est l’abscisse du point d’intersection de la droite avec l’axe x.

3e cas : la droite est parallèle à l’axe x. d ∫ y = p avec p qui est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe y.

108

Fonction du premier degré

Exemples

2 1

d∫x=3

d∫y=2

C. Remarques

a) Les deux méthodes décrites ci-dessus peuvent être complémentaires. En effet, il n’est pas toujours possible de déterminer l’équation d’une droite à partir de son graphique si la représentation ne permet pas de déterminer avec précision m ou p. Exemple : Équation de la droite d

Graphiquement, on calcule m :

∆y 2 = ∆x 3

Pour déterminer p, on procède de façon analytique :

∆y = –2

(1 ; 3)

(1 ; 3) Œ d ¤ 3 =

∆x = 3

Donc, d ∫ y =

2 7 x+ 3 3

2 7 .1+p ﬁp= 3 3

b) L’équation d’une droite peut toujours s’écrire sous la forme ax + by + c = 0 avec a et b non simultanément nuls.

iti

D. Synthèse

Pas une fonction

non constante

constante y

linéaire

non linéaire

croissante (m > 0) y d

Fonction

1 0

1 1

décroissante (m < 0) y d 1 0

décroissante (m < 0) y d 1

x=k

y=p

y = mx

y = mx + p

Droite parallèle à l’axe y

Droite parallèle à l’axe x

Droite passant par (0 ; 0)

Droite ne passant pas par (0 ; 0)

109

Fonction du premier degré Fo

Exercices 1

Détermine pour chacune des droites la pente et l’ordonnée à l’origine. Déduis-en une équation de chaque droite. Données La droite a passe par le point (0 ; 0) et sa pente vaut 3.

Recherche de m

Recherche de p

...................................

La droite b passe par les points (0 ; 0) et (2 ; –3).

...................................

.................................................................................

...................................

.................................................................................

...................................

La droite c passe par le point (0 ; 0) et est parallèle à la droite d’équation 1 y = x + 1. 3

.................................................................................

iti

L’ordonnée à l’origine de la droite d 1 est 3 et sa pente vaut . 4

La droite e passe par le point (4 ; 3) 1 et sa pente vaut . 2

...................................

.................................................................................

...................................

.................................................................................

La droite f passe par les points (0 ; 3) et (5 ; 0).

...................................

.................................................................................

110

Fonction du premier degré La droite g passe par les points (–5 ; –3) et (–2 ; 6).

...................................

.................................................................................

...................................

La droite h passe par les points (1 ; 3) et (–1 ; 2).

...................................

.................................................................................

...................................

La droite i passe par le point (–1 ; 2) et est parallèle à la droite d’équation y = –2x + 3.

iti

La droite j passe par les points (3 ; –1) et (3 ; 5).

La droite k passe par les points (3 ; 2) et (5 ; 2).

.................................................................................

...................................

.................................................................................

...................................

.................................................................................

La pente de la droite l est nulle et l passe par le point (–1 ; 4).

...................................

.................................................................................

111

Fonction du premier degré Fo

Voici trois tableaux de valeurs de fonctions du premier degré. Pour chacun d’eux, écris l’équation de la droite qui représente la fonction. x

–1

–3

–2

–10

–16

............................................

Détermine l’équation des droites représentées ci-dessous. y

.........................................

iti

.........................................

1 0

.........................................

1 x

1 0 0

112

.........................................

Fonction du premier degré 4

Tu es abonné chez un fournisseur internet qui facture à ses abonnés, pour chaque connexion, un coût fixe et ensuite un prix à la seconde. Un de tes amis aimerait connaître les tarifs de cette société mais malheureusement, tu ne possèdes plus les informations de tarification. Cependant, sur ta dernière facture, tu peux lire qu’une période de surf de 50 minutes a été facturée 2,27 € tandis qu’une période de 125 minutes a été facturée 5,30 €. a) Complète le tableau de valeurs ci-contre si x est la durée de la connection en minutes et y le prix facturé en euros.

x y

b) Associe à ce tableau de valeurs, deux points du graphique de la fonction. ...........

)

B ( ........... ; ........... )

c) Représente la droite AB dans le repère ci-contre.

y Prix (€)

A ( ........... ;

d) Détermine l’équation de la droite AB. .............................................................

.............................................................

Durée de connection (min)

.............................................................

...................................................................................................................................................

e) Déduis-en le prix de connexion fixe et le prix à la minute. ...................................................................................................................................................

Associe une équation à chaque droite dessinée.

iti

1 x+1 3

y = –x + 2

y=x

y = 3x

y–1=0

x–2=0

........................................

113

Fonction du premier degré Fo

Activité 7 • Signe de la fonction du premier degré 1

Voici représentées six fonctions du premier degré. a) Complète leur tableau de signes. f1 : x Æ y = 2x – 3

f2 : x Æ y = 2x + 3

f3 : x Æ y = –2x + 3

0 1

f4 : x Æ y = –2x – 3

f5 : x Æ y =

1 x+3 2

0 1x

0 1

iti

0 1

1 f6 : x Æ y = – x + 3 2

b) Pour chaque fonction, entoure dans une même couleur la pente (m) dans l’expression algébrique et le signe de celle-ci dans le tableau de signes. Que constates-tu ? ...................................................................................................................................................

c) Complète le tableau de signes suivant (m ≠ 0). x y = mx + p

114

Fonction du premier degré

Signe de la fonction du premier degré Tableau de signes de la fonction f : x Æ y = mx + p (m ≠ 0) Le zéro de la fonction f est

–p . m

Si m > 0 y

Si m < 0 y

–

y = mx + p

–

y = mx + p

–p m

À droite du zéro, la fonction f et le coefficient m ont le même signe.

À gauche du zéro, la fonction f et le coefficient m ont des signes opposés. Exemples

zéro de f 1

f : x Æ y = –2x + 4 y

f : x Æ y = 2x – 4 y

0 1

iti

zéro de f

y = 2x – 4

–

y = –2x + 4

2 +

–

Exercices 1

Pour chaque fonction, dresse le tableau de signes après avoir recherché algébriquement le zéro. Vérifie ensuite ta réponse en représentant la fonction. Fonction f1 : x Æ y = 2x + 1

Zéro et tableau de signes Zéro :

....................................................

Graphique y

...............................................................

1 ...............................................................

x y = 2x + 1 115

Fonction du premier degré Fo Fonction

Zéro et tableau de signes

f2 : x Æ y = –3x + 2 Zéro :

Graphique y

....................................................

...............................................................

1 ...............................................................

x y = –3x + 2 f3 : x Æ y =

1 x 3

Zéro :

....................................................

...............................................................

Zéro :

f4 : x Æ y = –x – 2

1 y= x 3

....................................................

...............................................................

Dans chaque cas, représnte une fonction correspondant au tableau de signes proposé et écris son expression algébrique. x

iti

y = –x – 2

116

–

x y

3 –

f:xÆy=

...........................................

f:xÆy=

...........................................

Fonction du premier degré

Activité 8 • Ajustement linéaire 1

En statistique, le graphique cartésien ci-dessous porte le nom, bien choisi, de nuage de points. Il met clairement en relation deux grandeurs et permet ainsi d’envisager le lien qui existe peut-être entre elles. Maisons d’un même lotissement récent

3500 3000

2500 2000 1500

105 115 2 Surface habitable (m )

125

1000 75

Montant facture énergétique annuelle (€)

y 4000

a) Quelle est la population, c’est-à-dire l’ensemble sur lequel porte l’étude ? ...................................................................................................................................................

b) Quels sont les caractères de cette série statistique ?

Le premier caractère est représenté sur l’axe x. Il s’agit Le second caractère est représenté sur l’axe y. Il s’agit

.........................................................

..........................................................

...................................................................................................................................................

...................................................

iti

c) Existe-t-il une relation entre ces deux caractères ? Justifie.

...................................................................................................................................................

d) La démarche qui suit va te permettre de trouver une fonction du premier degré dont le graphique va approcher au mieux le nuage de points. (1) Place les points suivants dans le repère. A1 (80 ; 2100)

A2 (80 ; 2300)

A3 (80 ; 2700)

B1 (130 ; 3100)

B2 (130 ; 3500)

B3 (130 ; 3800)

(2) Choisis un point A (parmi A1, A2 et A3) et un point B (parmi B1, B2 et B3) de telle sorte que la droite passant par ceux-ci approche le plus possible le nuage de points. Trace cette droite et nomme-la d. (3) Écris l’équation de d. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

117

Fonction du premier degré Fo (4) Complète l’expression algébrique de la fonction qui approxime le nuage. f:xÆy=

............................................................................................................................

e) Utilise la fonction trouvée pour répondre aux questions suivantes. (1) Les parents de Benoit envisagent d’acheter, dans ce lotissement, une maison dont la surface habitable est de 97 m². Calcule une estimation de leur facture énergétique annuelle. ..............................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

(2) Les parents de Mélodie souhaitent aussi acheter une maison dans ce lotissement. Toutefois, ils ne désirent pas dépenser plus de 3500 € annuellement pour leur consommation d’énergie. Quelle surface habitable maximale peuvent-ils envisager d’acheter ?

..............................................................................................................................................

Une société a mené une étude concernant le temps d’attente moyen à son call center. Pour cela, elle a relevé, à plusieurs moments, le nombre de téléphonistes effectivement occupés et le temps d’attente moyen en secondes des clients. Voici son relevé.

Nombre de téléphonistes

Temps d’attente (s)

114

127

138

iti

a) Représente le nuage de points dans le repère cartésien ci-contre.

b) Trace une droite d qui approche le plus possible le nuage. c) Détermine graphiquement, le nombre de téléphonistes nécessaires pour obtenir un temps d’accueil nul ?

y Temps d’attente (s) 180 160 140

.............................................................

120

.............................................................

100

.............................................................

20 Nombre de téléphonistes

.............................................................

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x 118

Fonction du premier degré

d) Place deux points A et B sur cette droite, si possible de coordonnées entières. Complète leurs coordonnées et détermine ensuite l’équation de la droite d. A ( ........... ;

...........

)

B ( ........... ; ........... )

...................................................................................................................................................

e) Vérifie ta réponse à la question c).

...................................................................................................................................................

f) Calcule le temps d’attente si deux téléphonistes sont présents.

...................................................................................................................................................

iti

...................................................................................................................................................

Ajustement linéaire

A. Série statistique double – Ajustement linéaire En statistique, si on étudie deux caractères, appelés x et y, d’une même population, on étudie une série statistique double. Lorsque les caractères sont quantitatifs, à chaque individu correspond un couple de valeurs (x ; y). Une série statistique à deux variables x et y est représentée dans un repère cartésien par tous les points de coordonnées (x ; y) ; l’ensemble de ces points forme un nuage de points. Si les deux caractères ont une influence l’un sur l’autre, alors il existe une corrélation entre ceux-ci. Lorsqu’il y a une corrélation linéaire entre deux caractères, celle-ci se traduit par un nuage de points qui s’approchent d’une droite.

119

Fonction du premier degré Fo Exemple : On a relevé la taille en cm (x) et la masse en kg (y) de neuf filles âgées de 6 à 9 ans d’un club de gymnastique. Tableau à deux caractères x

115

117

120

125

126

128

Nuage de points y Masse (kg) 30 25

20 15

0 110

115

120

125

Taille (cm)

130

B. Comment déterminer l’équation d’une droite qui approxime le nuage ?

115

117

120

125

126

128

iti

Exemple

On représente l’ensemble des points du nuage. On trace « à vue » une droite qui approche le plus possible le nuage. On marque deux points A et B de cette droite et on lit leurs coordonnées. On recherche l’équation y = mx + p de la droite qui passe par A et B :

y Masse (kg) 30

B(130 ; 27)

25 20 15

A(112 ; 18)

10 5 0 110

120

Taille (cm) 115

120

125

130

Fonction du premier degré Recherche de l’équation de la droite d’ajustement 27 – 18 130 – 112 9 m= 18 1 m= 2

A (112 ; 18) Œ d

ﬁ 18 = 0,5 . 112 + p 18 = 56 + p p = 18 – 56 p = –38 ﬁ d ∫ y = 0,5x – 38

ﬁ d ∫ y = 0,5x + p

C. Utilité de l’ajustement linéaire

Lorsqu’il y a corrélation linéaire entre deux caractères, la droite d’ajustement tracée permet d’extrapoler un des caractères si l’autre est connu. Exemples Masse d’une athlète de 122 cm

Taille d’une athlète de 30 kg

x = 122 ﬁ y = 0,5 . 122 – 38

y = 30 ﬁ 30 = 0,5 . x – 38 30 + 38 = 0,5 . x

= 61 – 38 Elle devrait peser 23 kg.

68 = 0,5 . x

= 23

x = 68 : 0,5 x = 136

Elle devrait mesurer 136 cm.

Exercices

Pour chacun des nuages de points ci-dessous, trace et écris ensuite l’équation d’une droite d qui approche le nuage. y

y 80

iti

200 150

100

20 x 20

x 0

.......................................................................

121

Fonction du premier degré Voici les relevés météorologiques réalisés à Bruxelles durant une année complète. Ils concernent les moyennes mensuelles des températures maximales et le nombre d’heures d’ensoleillement. (Source : http://www.climatedata.eu/)

x y

Moyenne des températures 6 max en °C Nombre d'heures 52 d'ensoleillement

76 106 151 193 180 192 196 139 113 65

a) Représente le nuage de points dans le repère ci-contre. b) Trace une droite d qui approche le plus possible ce nuage et écris son équation. .............................................................

240 220 200 180

.............................................................

y Nombre d'heures d'ensoleillement

.............................................................

140 120

.............................................................

160

.............................................................

100

.............................................................

iti

.............................................................

Moyenne des températures (°C)

.............................................................

28 x

c) À la fin du mois écoulé, Benoit a calculé que la moyenne des températures maximales était de 16°C. Détermine, à l’aide de l’équation de la droite d, une estimation du nombre d’heures de soleil qu’on a pu avoir durant ce mois. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

122

Fonction du premier degré 3

Avant de débuter la commercialisation de jeunes plants de fleurs, une société a chargé un laboratoire d’étudier leur croissance. Voici le graphique de relevés réalisés sur 200 plants âgés de 30 à 150 jours. y

Hauteur (cm)

35 30 25 20

15 10 5

Âge (jours)

100

150

a) Trace une droite d qui approche le plus possible ce nuage et écris son équation.

...................................................................................................................................................

iti

...................................................................................................................................................

b) Afin d’informer les futurs consommateurs, la société souhaite fournir sur l’emballage les données suivantes (1) la hauteur d’un plant âgé de 120 jours, (2) le temps nécessaire pour obtenir un plant de 30 cm. Utilise l’équation de la droite d pour déterminer ces informations. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

123

Fonction du premier degré Fo

Activité 9 • Découverte d’autres fonctions 1

On a représenté ci-dessous quatre citernes à cinq moments différents. Chaque citerne est équipée d’une pompe à débit constant pour réaliser la vidange. Les mesures de la hauteur d’eau restante ont débuté deux minutes après la mise en marche des pompes. t = 2 min

t = 4 min

t = 6 min

t = 8 min

t = 10 min

Les fonctions représentées ci-dessous expriment la hauteur d’eau restante, en dm, en fonction du temps écoulé, en minutes.

h 10

8 6 4

.....................

h 10

8 10 t

h 10

iti

2 0

h 10

a) Associe la lettre de la citerne correspondant au graphique de chaque fonction.

8 10 t

.....................

8 10 t

.....................

8 10 t

.....................

b) Associe le nom de la fonction correspondant à chaque expression algébrique. ....

:xÆy=

20 x

....

: x Æ y = 10

....

:xÆy=–

1 2 31 x + 12 3

....

: x Æ y = –x + 12

c) Pour chaque fonction, décris le taux d’accroissement et son évolution au cours du temps. ...................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................

124

Fonction du premier degré 2

Complète le tableau de valeurs de chacune des fonctions proposées. Ensuite, trace leur graphique après avoir, si nécessaire, recherché quelques points supplémentaires. Complète l’étude de chaque fonction.

f1 : x Æ y =

1 x

–4

–2

–1

–

1 2

y dom f =

.....................................

im f =

........................................

Zéro :

........................................

Ordonnée à l’origine :

Tableau de signes

...............

–4

–2 f2 : x Æ y = x

Tableau de variation

–2

–1

–

1 2

y 1 2

dom f =

iti

.....................................

im f =

........................................

Zéro :

........................................

Ordonnée à l’origine : 1 0

...............

Tableau de signes 1

x y Tableau de variation x y

125

Fonction du premier degré Fo x f3 : x Æ y =

–2

–1

–

1 2

y dom f =

.....................................

im f =

........................................

Zéro :

........................................

Ordonnée à l’origine : 1

Tableau de signes

...............

x y

Tableau de variation

x y

–1

–

1 2

–2

1 f4 : x Æ y = – x2 2

dom f =

iti

1 2

.....................................

im f =

........................................

Zéro :

........................................

Ordonnée à l’origine : 1 0

Tableau de signes 1

x y Tableau de variation x y

126

...............

Fonction du premier degré x

–4

–2

–1

–

f5 : x Æ y = 2

1 2

y dom f =

.....................................

im f =

........................................

Zéro :

........................................

Ordonnée à l’origine : 1

Tableau de signes x

...............

x y

Tableau de variation

f6 : x Æ y = –3

–4

–2

–1

–

1 2

dom f =

iti

im f =

........................................

Zéro :

........................................

Ordonnée à l’origine :

1 0

.....................................

...............

Tableau de signes 1

x y Tableau de variation x y

127

Fonction du premier degré Fo

Découverte d’autres fonctions a x

A. La fonction f : x Æ y =

Le graphique de la fonction f : x Æ y =

a (a ≠ 0) est une hyperbole à deux branches. x im f = R0

dom f = R0

Conséquence : La fonction f n’admet ni zéro, ni ordonnée à l’origine. Exemples :

f:xÆy=

2 x

f:xÆy= y

y 2 1

–3 x

–3

B. La fonction f : x Æ y = ax²

Le graphique de la fonction f : x Æ y = ax2 (a ≠ 0) est une parabole.

Exemples :

si a > 0

im f = R–

si a < 0

ordonnée à l’origine : 0

zéro : 0

im f = R+

dom f = R

f : x Æ y = 2x²

f : x Æ y = –3x² y

iti

–3

2 1 0

128

Fonction du premier degré

C. La fonction f : x Æ y = p Le graphique de la fonction f : x Æ y = p est une droite parallèle à l’axe des abscisses. dom f = R

im f = {p}

zéro : /

ordonnée à l’origine : p

Exemples :

f:xÆy=2

f : x Æ y = –3

2 1

–3

Remarque : Le graphique de la fonction f : x Æ y = 0 est l’axe des abscisses.

Exercices

Réalise la synthèse des informations demandées pour chaque type de fonction.

(a ≠ 0)

Tableau de signes

a x

f:xÆy=

(a ≠ 0)

x y si a < 0, x

iti

si a < 0, x

f : x Æ y = ax2

si a > 0, x

Tableau de variation

Pour calculer la vitesse moyenne d’un mobile, on divise l’espace parcouru (e) par le temps mis pour le parcourir (t). Lors d’une expérience, un mobile parcourt 20 mètres. a) Complète la formule qui v (m/s) permet de calculer la vitesse v = . . . . . . . . . . . . . . . 20 de ce mobile en fonction du temps. b) Dans le repère cartésien ci-contre, trace le graphique de cette fonction pour des valeurs de t 10 strictement positives. t (s) v (m/s)

(s) 0

129

Fonction du premier degré Fo

Exercices supplémentaires 1

Un copain de Laurent lui demande quelle formule d’abonnement il utilise pour son GSM. Laurent a oublié la formule d’abonnement que ses parents ont choisie pour lui. Mais, il se souvient que cet abonnement comprend un montant fixe et un montant proportionnel à la durée de connexion. Il dispose des trois derniers relevés mensuels. Mars

Avril

Mai

Temps (min)

120

Prix (€)

a) Sachant qu’au mois de juin, Laurent a téléphoné pendant une durée de 72 minutes, calcule le montant de sa facture.

Au matin du 1er mars 2015, une entreprise possède un stock de 24 500 pièces identiques. Chaque jour, l’entreprise utilise 700 de ces pièces et, pour éviter la rupture de stock, elle passe commande lorsque celui-ci atteint le seuil de 4200 pièces.

b) Sachant que Laurent est parti en vacances pendant tout le mois de juillet et qu’il a oublié son GSM chez lui, détermine le montant de la facture de ce mois.

a) Détermine l’expression algébrique de la fonction montrant l’évolution du stock pendant le mois de mars. b) Calcule le stock après 5 jours, 10 jours et 20 jours de travail.

c) À quelle date, l’entreprise devra-t-elle commander de nouvelles pièces ?

Lors des soldes, un commerce sur internet propose des réductions à ses clients. Pour connaître le prix à payer, frais d’envoi inclus, les clients doivent utiliser le graphique ci-contre de la fonction f. Avant les soldes, Benoit avait repéré un smartphone qui coûtait 180 €. Détermine le prix soldé de celui-ci.

iti

d) Sachant que la commande de 10 000 nouvelles pièces est livrée 5 jours après celle-ci, détermine l’expression algébrique de la fonction montrant l’évolution du stock jusqu’à épuisement si l’entreprise ne passe plus de nouvelle commande.

130

y Prix soldé (€)

Prix initial (€) 0

Les points A (3 ; 7) et B (–1 ; –3) appartiennent au graphique d’une fonction du premier degré f. Détermine le zéro et l’ordonnée à l’origine de celle-ci.

Vérifie graphiquement et algébriquement que les points A (1 ; –1), B (–2 ; –3) et C (4 ; 1) sont alignés.

Vérifie graphiquement et algébriquement que les points A (–1 ; 3), B (3 ; 1), C (2 ; –3) et D (–2 ; –1) forment un parallélogramme ABCD.

Index Les renvois de page en vert gras concernent les pavés théoriques. Les titres en gras italique renvoient aux pages titres des chapitres et aux compétences. A aire de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 – 193 aire des quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 – 167 aire du disque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 – 176 aire du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 – 167 aire latérale de la pyramide et du cône . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 – 189 aire latérale des prismes droits et du cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 – 185 ajustement linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 – 119 amplitude d’un angle à partir de sa tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 – 238 amplitude d’un angle à partir de son cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 – 229 amplitude d’un angle à partir de son sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 – 232 analyse graphique d’une fonction (synthèse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 approche graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . .7 approche graphique de la fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 – 78 C carré (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 – 167 carré (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 – 162 cercle (longueur). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 – 173 comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 – 42 cône (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 – 189 cône (volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 – 189 construction du graphique d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 – 87 coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 – 9 corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 – 119 cosinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 – 225 croissance d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 – 33 croissance d’une fonction du 1er degré . . . . . 95 – 99 cube (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 – 186 cube (volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 – 186 cylindre (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 – 186 cylindre (volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 – 186 D disque (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 – 176 domaine d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 – 20 E échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 – 161 ensemble image d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 17 – 21 équation (solution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 – 47 équation (vocabulaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 – 47 équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 – 107 a c équation du type = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 – 55 bx d

équation du type ax = b et

x = b . . . . . . . . . . . . . . 50 – 51 a

ax c = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 – 54 b d équation du type ax + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 – 57 équation du type ax + b = cx + d . . . . . . . . . . . . . 59 – 60 équation du type x + a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 – 49 équations (problèmes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 – 64 équations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 équations et proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 – 54 extremum d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 – 34 équation du type

F figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 – 13 fonction (croissance). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 – 33 fonction (domaine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 – 20 fonction (ensemble image) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 – 21 fonction (extremum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 – 34 fonction (intersection du graphique avec les axes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 – 24 fonction (ordonnée à l’origine). . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 – 24 fonction (signe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 – 27 fonction (zéros) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 – 24 fonction constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 – 79 fonction du 1er degré (construction graphique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 – 87 fonction du 1er degré (croissance) . . . . . . . . . . . . 95 – 99 fonction du 1er degré (définition) . . . . . . . . . . . . . . 74 – 78 fonction du 1er degré (intersection avec les axes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 – 91 fonction du 1er degré (ordonnée à l’origine) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 – 91 fonction du 1er degré (propriétés graphiques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 – 78 fonction du 1er degré (signe) . . . . . . . . . . . . . . . . 114 – 115 fonction du 1er degré (taux d’accroissement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 – 78 fonction du 1er degré (zéro). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 – 91 fonction du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 a fonction f : x Æ y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 – 128 x fonction f : x Æ y = ax2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 – 128 fonction f : x Æ y = p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 – 128 fonction linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 – 92 fonctions (comparaison) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 – 42 formule trigonométrique (problèmes) . . . . 242 – 243 formules (transformations) . . . . . . . . . . . . . . . .68, 179 – 69 I image d’un réel par une fonction . . . . . . . . . . . . . . 11 – 14 image d’un réel par une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 – 82 inégalités (propriétés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 – 146 inéquation (définition). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 – 146 inéquation (résolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 – 151 inéquations du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

251

intersection des graphiques de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 intersection des graphiques de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 – 133 intersection du graphique d’une fonction avec les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 – 24 intersection du graphique d’une fonction du 1er degré avec les axes . . . . . 90 – 91 intervalles de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . 148 – 149 L losange (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 – 167 losange (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 – 162 M maquette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 maximum et minimum d’une fonction . . . . . . . 33 – 34 N nuage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 – 119 O ordonnée à l’origine d’une fonction . . . . . . . . . . 23 – 24 ordonnée à l’origine d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 – 91 P parallélépipède rectangle (aire latérale) . 183 – 186 parallélépipède rectangle (volume) . . . . . . . 185 – 186 parallélogramme (aire). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 – 167 parallélogramme (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . 161 – 162 parties de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 – 19 pente d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 – 99 pente d’une droite (calcul) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 – 101 périmètre des quadrilatères et du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 – 162 pi (p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 – 173 plan cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 – 9 polygone (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 – 162 prisme à base triangulaire (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 – 186 prisme à base triangulaire (volume) . . . . . . 185 – 186 prisme droit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 – 185 proportions (équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 – 54 propriétés des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 – 146 propriétés du graphique d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 – 78 pyramide (aire latérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 – 189 pyramide (volume) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 – 189 Q quadrilatères (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 – 167 quadrilatères (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 – 162

252

R racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 – 199 réciproque du théorème de pythagore . . 216 – 217 rectangle (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 – 167 rectangle (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 – 162 relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 – 13 repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 – 9 résolution d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 – 151 résolution graphique de l’équation f(x) = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 – 41 S série statistique double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 – 119 signe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 – 27 signe de la fonction du 1er degré . . . . . . . . . . 114 – 115 sinus d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 – 232 solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 solution d’une équation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 – 47 sphère (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 – 193 sphère (volume). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 – 193 T tableau de signes d’une fonction . . . . . . . . . . . . . 26 – 28 tableau de valeurs d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 – 83 tableau de variations d’une fonction . . . . . . . . . 32 – 34 tangente d’un angle aigu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 – 238 taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 – 78 théorème de Pythagore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 – 204 théorème de Pythagore (applications). . . 206 – 207 théorème de Pythagore (réciproque) . . . . 216 – 217 théorème de Pythagore et racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 transformations de formules . . . . . . . . . . . . .68, 179 – 69 trapèze (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 – 167 trapèze (périmètre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 – 162 triangle (aire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 – 167 triangle (périmètre). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 – 162 trigonométrie dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 V volume de la pyramide et du cône . . . . . . . 187 – 189 volume de la sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 – 193 volume des prismes droits et du cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 – 186 Z zéro d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . 90 – 91 zéros d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 – 24