Françoise VAN DIEREN – Sabine HAUSMANN Annick VAN EERDENBRUGGHE
CQFD4-MANUEL.qxp_Mise en page 1 14/02/17 16:17 Page1
Le manuel CQFD 4e contient la matière vue en classe de 4e année et est conforme au nouveau référentiel de la Fédération Wallonie-Bruxelles.
MANUEL
u Une mise en page structurée et en couleurs u La construction des savoirs se fait de manière guidée u Des savoirs et savoir-faire mis en lien avec le quotidien des élèves u De nombreux exercices, soit à compléter dans l’ouvrage, soit sous forme de Fiches d’exercices (dans un cahier séparé)
u L’introduction situe les apprentissages dans la réalité quotidienne ou culturelle et indique à l’élève ce qu’il faut apprendre. u L’exploration propose, sous la guidance de l’enseignant, des activités pour mener rapidement aux notions nouvelles et concepts qu’il faut apprendre. u La synthèse consiste à articuler les références pratiques et théoriques. u Les exercices sont diversifiés et classés selon les processus mis en œuvre.
CQFD 4e FICHES D’EXERCICES
CQFD 4e CORRIGÉ
Des fiches de travail personnel, des fiches autocorrectives et des fiches support facilitent la régularité et le suivi du travail des élèves.
Le corrigé contient les solutions des explorations et des exercices du manuel de 4e année.
ISBN : 978-2-8041-9521-2
www.deboeck.com 9 782804 195212
Conception graphique : Primo&Primo
CQFD 4e, c'est également :
CQFD MATHS 4e
UNE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL, DE LA 1re À LA 6e, SOUS LA DIRECTION DE FRANÇOISE VAN DIEREN
Avec CQFD, acquérir les compétences en maths se fait via des activités et des résolutions de problèmes, simples, rapides et pratiques. Chaque chapitre est structuré selon le même schéma :
Pour toute information sur notre fonds, consultez notre site web : www.deboeck.com
Couverture : Primo & Primo Mise en pages : Softwin Crédits photographiques : © Softwin (p. 21 bas) ; © The Trustees of the British Museum (p. 95) ; © Fotolia : Silvano Audisio (p. 1), Oleg Ivanov (p. 2), Eric Gevaert (p. 17), Mattei (p. 18), Frédéric Prochasson (p. 19), Ell (p. 20), brizmaker (p. 21 ht), Nanou Prod (p. 48), Gino Santa Maria (p. 50, Europe), Charly (p. 50, Algérie), Tony4urban (p. 50, Indiana), Moonrun (p. 50, Chine), Gautier Willaume (p. 51 ht), Pix by Marti (p. 66 ht), Ilya Korzelius (p. 66 bas), M. Rigaud (p. 68), Floris70 (p. 72), imstock (p. 74), Elenathewise (p. 97), Sergey Shlyaev (p. 100), © www.daylight.com - Viaduc de Moresnet – Bureau Greisch (p. 102), alexandre zveiger (p. 103), © www.daylight. com - Passerelle sur la Meuse à Maastricht – Bureau Greisch (p. 104 h), Jonas Brodd (p. 104 b), © Patric Molito (p. 114), Marc Rigaud (p. 118), Mikael29 (p. 120), Guillaume Besnard (p. 121), Melisback (p. 123), Christian Jung (p. 129 ht), creativenature.nl (p. 140), Vincent LQ (p. 142 ht), MurielleD (p. 142 bas), Alexander Ivanov (p. 144), Noam (p. 168 ht), Ziggy Smolinski (p. 168 bas), Cool Chap (p. 197 ht), Ericos (p. 197 bas d).
© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2017 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 2e édition – 1re réimpression 2017 ISBN 978-2-8041-9521-2 D/2016/0074/050 Art. 653905/89608
Avant-propos
Chaque fois que l’on arrive au bout d’une démonstration, on écrit : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») ! Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais c’est aussi Découvrir, Démonter, Démystifier. Au fil des pages de la collection « CQFD », selon les contenus et les contextes, ces compétences alternent, se complètent… Cette nouvelle édition de CQFD 4e intègre les compétences et les ressources telles qu’elles sont décrites dans le document « Compétences terminales et savoirs requis en mathématiques : humanités générales et technologiques », diffusé par la Fédération Wallonie-Bruxelles, référentiel d’application depuis septembre 2015. Les ressources et compétences énumérées dans les six unités d’acquis d’apprentissage (UAA) de la classe de quatrième sont réparties dans les huit chapitres de ce manuel. Le tableau ci-après (pages IV-V) montre les correspondances. Dans chaque chapitre, un même parcours – introduction, exploration, synthèse, exercices et problèmes – structure les apprentissages. Un cahier de fiches d’exercices accompagne et complète ce manuel. – Les fiches support reprennent certains graphiques, figures et tableaux du manuel et évitent ainsi des reproductions parfois fastidieuses. – Les fiches de travail proposent des exercices structurés axés sur des processus du référentiel. – Les fiches auto-correctives peuvent être utilisées comme travaux à domicile, exercices individuels, évaluations formatives, préparations. Chaque fiche mentionne l’UAA concernée et les processus exercés ou évalués. Le va-et-vient qu’il faut ménager entre les différentes parties du manuel et les fiches est indiqué dans l’exploration.
Les auteurs
Avant-propos
III
Correspondance entre les chapitres et les UAA UAA1 Statistique descriptive Ressources
Chapitres
Population et échantillon
IN
Caractères qualitatif et quantitatif, discret et continu Classes de données, centre de classe Effectifs et fréquences cumulés
Graphiques statistiques
VA
Fonctions statistiques et graphiques d’un logiciel
N
Indicateurs de position (mode, moyenne arithmétique, médiane, quartiles) et de dispersion (étendue, variance, écart-type, intervalle interquartile)
Inégalité de Tchebychev
Chapitre 6 Statistique descriptive à une variable
UAA 2 Géométrie dans l’espace Ressources
Chapitres
s
Représentation plane d’un objet de l’espace
on
Comparaison entre perspectives cavalières et centrale Caractérisation d’une droite et d’un plan
Positions relatives de deux droites, de deux plans, d’une droite et d’un plan
Chapitre 5 Géométrie dans l’espace
iti
Propriétés utiles aux constructions des points de percée et des sections planes
Ed
UAA 3 Trigonométrie Ressources
Chapitres
Définition du sinus, cosinus et tangente d’un angle dans le cercle trigonométrique
Relations principales
sin2(x) + cos2(x) = 1 sin ( x) tan ( x) = cos ( x)
Formule de l’aire d’un triangle quelconque Relation des sinus Théorème d’Al Kashi IV
Avant-propos
Chapitre 3 Cercle trigonométrique et triangle quelconque
UAA 4 Fonctions de référence Ressources
Chapitres
IN
Représentations graphiques des fonctions de référence : 1 x → x ; x → ; x → x2 ; x → x3 ; x → x ; x → x ; x → 3 x Chapitre 4 x Caractéristiques Croissance, décroissance, extremums sur un intervalle d’une fonction Parité et fonctions de référence Caractéristiques graphiques des fonctions de référence (asymptote, point d’inflexion, relation de réciprocité) Transformées de fonctions par symétrie orthogonale, translation, affinité
UAA 5 Deuxième degré
Chapitres Chapitre 1 La fonction du 2e degré Chapitre 2 Équations et inéquations du 2e degré
s
VA
N
Ressources Fonction du 2e degré Caractéristiques de la fonction du 2e degré : zéro, signe, croissance, décroissance, extremum Caractéristiques de la parabole d’axe vertical : sommet, axe de symétrie, concavité Équations et inéquations du 2e degré Somme et produit des solutions de l’équation du 2e degré Forme factorisée du trinôme du 2e degré
on
UAA6 Géométrie analytique plane
Ressources
Chapitre 7 Calcul vectoriel
Ed
iti
Vecteurs Addition de deux vecteurs Multiplication d’un vecteur par un réel Vecteurs colinéaires Repère orthonormé Composantes d’un vecteur Vecteur directeur d’une droite Equations vectorielles, paramétriques et cartésienne d’une droite Droite d’équation ax + by + c = 0 Coefficient angulaire d’une droite Condition de parallélisme et de perpendicularité d’une droite Distance entre un point et une droite Milieu d’un segment Définition de la parabole en tant que lieu géométrique Équation cartésienne d’une parabole d’axe vertical Équation cartésienne d’un cercle
Chapitres
Chapitre 8 Géométrie analytique plane
Avant-propos
V
Comment s’y prendre ? Caractéristiques d’une fonction et fonctions de référence
4
Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.
VA
N
Nous voilà experts en fonctions du premier degré et du deuxième degré. Toutes ont été découvertes et utilisées dans des problèmes variés. Nous jonglons entre graphiques, tableaux et expressions analytiques. Cette année, avec de nouvelles fonctions de référence, on clôture un premier parcours dans l’univers des fonctions. L’objectif ? Construire, à propos de fonctions simples, des concepts qui sont les prémices de ce qu’on appelle l’analyse. Cette branche des mathématiques est un véritable laboratoire de modélisation, d’idéalisation des situations réelles.
IN
L’ouvrage est structuré en 8 chapitres qui proposent, chacun, un déroulement identique.
c. Pour chaque fonction noter les zéros, l’équation de l’axe de symétrie, les coordonnées du sommet, le sens de la concavité de la parabole qui la représente.
Exploration
6
s
Une pierre est lancée par une baliste à la vitesse de 30 mètres par seconde. La formule qui permet de déterminer sa hauteur est h( t) = 30t − 5t2 . h est la hauteur (en mètres), t est la durée (en secondes) de la chute depuis le jet de la pierre.
on
En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.
À un jet de pierre
a. Factoriser cette expression et calculer ses racines. b. Utiliser le graphique (fig. 9) pour déterminer à quel moment la pierre arrive sur le sol et à quel moment elle est le plus haut. Quelle est cette hauteur ?
Ed
iti
c. Répondre à la question précédente par calcul.
7
Synthèse
3
40 35 30 25 20 15 10 5
71
–1 0
a b c = = . sin α sin β sin γ
1
2
3
4
5
6
t fig. 9
La famille des fonctions définies par f (x) = a x2 + b x On a représenté la fonction définie par f1(x) = x2 en bleu (fig. 10). Les expressions analytiques des autres fonctions sont de la forme A f (x) = x2 + bx = x(x + b).
Quelle est la formule des sinus ?
Formule des sinus
Introduction
h(t) 45
y
f1 Étudie les questions de la a. Écrire les expressions analytiques de f2, f3, f4. α f2 pour pouvoir synthèse b. Écrirebles zéros de la famille de fonctions f (x) = c f3 ax2 + bx. te débrouiller seul dans
Cette formule peut prendre la forme sin α sin β sin γ = = . a b c
c. Quelle est l’abscisse du point situé au milieu de ces β γ zéros ?
C d. Quelle est l’équation a de l’axe deB symétrie du graphique de la fonction définie fig. 17 par f (x) = ax2 + bx ?
f4
d’autres situations. 1 0
1
x
fig. 10
6
4
VI
1. La fonction du deuxième degré
Quelle est la règle des cosinus ?
Comment s’y prendre ? En se rapportant aux notations de la fig. 17, on a les formules suivantes. a2 = b2 + c2 – 2 bc cos a b2 = a2 + c2 – 2 ac cos b c2 = a2 + b2 – 2 ab cos g
3
Exercices
Exercices
Connaître 1
Classer, rejeter a. Préciser parmi les équations suivantes celles qui sont du second degré.
Les exercices Connaître permettent de fixer l’essentiel et d’appliquer directement ce que tu as étudié.
1 1) 2 x x − = 0 2
7) (x + 3)(x – 2) = 0
13) x2 + x – 6 = 0
2) x3 = 0
8) x2 = 5 x – 6
14) x – 4 x2 + 1 = 0
3) – 4 x + 4 x = – 1 4) 4 x2 – 1 = 0 5) (2 x – 1)(x + 1) = 2 x
2
6) 6 + 4 x2 = (2 x – 1)(2 x + 1)
2
9) x + x – 1 = 0
15) 3 = – x + 2 x2
10) x = x2 – 3
16) 5 – x2 = 10
11) ( x + 3 )( x − 3) = 0
17) (2 x2 +1)(x – 2) = 0
x 12) ( x − 3) = + 3 2
18) 16 = (2 x – 1)2
Vérifier
N
3
VA
2
Parmi les équations suivantes, quelles sont celles qui ont 0,5 comme solution, quelles sont celles qui ont 0 comme solution ? a. 6x2 – 3x = 0 c. 0,5 x (x – 5) = 0
8
d. 6 x3 – 3 x (2 x2 – 6) = 0
Factoriser
Pour x = 1 ou x = 2 ou x = – 1 ou x = – 2, chacune des expressions suivantes vaut zéro. Trouver chaque fois celui des quatre nombres qui convient. Puis factoriser l’expression. En déduire l’autre valeur Avec les exercices Appliquer, de x pour laquelle l’expression s’annule aussi. Utiliser le graphique de la fonction f ( x) = x3 − 6 x (fig. 50) pour détu acquiers un « savoir terminer les solutions des équations : a. 3x2 – 5x + 2 c. x2 – 4 e. 3x2 + 6x + 3 Partir des faire » quisolutions s’appuie x3 − 6sur x = 4les Écrire chaque fois du deuxième degré qui admettent b. 3x2 + 2x – 16 d. 6x2 + 4x – 2 f. – 3x2 + x + 2 énoncés etdeux leséquations méthodes − 6x + 3 = 0 x3solution. les valeurs suivantes comme 3 découverts. Indication x − 6x = x a. x = 2 et x = 5 Pour factoriser une expression, on peut s’aider d’un tableau x3 − 8 x + 5 = 0 b. x = – 3 et x = 1 dans lequel on place les éléments connus. Si l’on sait par c. x = 0 et x = – 2 Partant de la valeur approchée de chaque racine, utiliser une calexemple que 3x2 – 5x + 2 s’annule pour x = 1 on détermine le culatrice pour déterminer un encadrement au centième près de la second facteur à partir de ce tableau racine exacte. Exercices 39x Multiplié par –1
s
e. 4 x2 – 1 = 0
iti
on
f. x3 – 0,25 x = 0
Transformations
Ed
10
Exercices
Appliquer
b. 16 = (2x – 1)2
3
IN
b. Quelles sont les équations du second degré que l’on peut résoudre sans utiliser la formule générale ? Justifier.
3x2
…
…
Représenter la fonction f1(x) = x dans l’intervalle [ −5 ; 5] . Dans le … … 2 même repère, tracer f2(x) = x – 1 f3(x) = 2 – x 9 Le « bon terme » f3(x) = x – 2 Ajouter le « bon terme » pour obtenir un carré parfait.
Exercices
Transférer 11
c. x2 + 14x
e. x2 – 9x
b. x2 – 7x
d. x2 + 5x
f. x2 – 2x
Résistance de l’air
En déterminant expérimentalement la résistance R de10 l’airCompléter s’exerVitesse Résistance çant sur une voiture roulant à la vitesse v, on a relevé les résultats enégalités m/s en newtons Lesfaire problèmes proposés Compléter les suivantes (première colonne) puis apfournis par le tableau ci-contre. paraître un carré colonne). 10 parfait (deuxième 59 mobilisent les concepts dans Parmi les formules suivantes, laquelle correspond le mieux à ces ré20 241 2 sultats expérimentaux ? (k est un coefficient dépendant de laa.forme x2 + 6x + 5 = (x + ...)des ... situations variées. x2 + 6x + ... = (x + ...)2 de la surface). 30 562 R = kv ; R = kv2 ; R = k v .
12
a. x2 + 8 x
Une aire constante
= (x + ...)2 963 b. x2 + 3x + ...40 50 1 502 c. x2 + x + ... = (x + ...)2
1 2 2 2 On sait qu’un morceau de toile rectangulaire a une aire de 4 m d. .x + x + ... = ( x + ...) 2 a. Quelles peuvent être les dimensions d’une telle toile ? Dresser un tableau de valeurs pour les bases et les hauteurs de quelques rectangles. b. Dessiner le graphique correspondant à cette équation. Porter les bases en abscisse et les hauteurs en ordonnée. c. Les points dont on donne les coordonnées ci-dessous appar-
x2 + 3x – 4 = (x + ...)2 ... x2 + x + 7,25 = (x + ...)2 ... x2 +
1 3 x + = ( x + ...)2 ... 2 4
Comment s’y prendre ? Exercices
VII 41
La fonction du deuxième degré
2.
Équations et inéquations du deuxième degré
N
23
3.
Cercle trigonométrique et triangle quelconque
53
4.
Caractéristiques d’une fonction et fonctions de référence 71
5.
Géométrie dans l’espace
6.
Statistique descriptive à une variable
123
7.
Calcul vectoriel
149
8.
Géométrie analytique plane
iti
171
on
s
VA
1.
Ed VIII
IN
Sommaire
Sommaire
1
95
Cercle trigonométrique et triangle quelconque
3
IN
Les Grecs ont enrichi la trigonométrie en établissant des tables de mesures de cordes et d’angles dans un cercle de référence. Ératosthène et Aristarque (environ 250 avant J.-C.) les ont utilisées, l’un pour évaluer la circonférence de la Terre, l’autre la distance Terre-Lune et la distance TerreSoleil.
N
Jusqu’à présent, nous avons défini les nombres trigonométriques comme des rapports dans un triangle rectangle. Les angles considérés étaient donc toujours positifs et inférieurs à 90°.
VA
Dans ce chapitre, par le biais du cercle trigonométrique dans un repère, on étend ces définitions à d’autres angles. On établit ensuite les formules qui permettent de calculer des mesures de distances et d’angles dans le triangle quelconque. Ces formules s’appuient sur celles que l’on a apprises précédemment à propos du triangle rectangle. On attribue à Al-Kashi (1390-1450), qui travaillait à l’observatoire de Samarkand, la formule dite « formule des cosinus » que l’on découvrira plus loin.
Ed
iti
on
s
De tels calculs sont pratiqués dans de nombreux domaines : la détermination de l’aire d’un terrain, de l’altitude d’un sommet, de la hauteur d’un mât, la construction de certaines pièces métalliques…
Un théodolite est un instrument de géodésie mesurant des angles dans les deux plans – l’horizontal et le vertical – afin de déterminer une direction. Il est utilisé pour réaliser les mesures d’une triangulation. Introduction
53
Exploration 1
Sinus et cosinus d’un angle compris entre 0° et 180° a. Entourer les réponses correctes.
y
1
sin 20°
−cos 20°
cos 20°
Ordonnée de A
−sin 20°
sin 20°
cos 20°
Abscisse de B
−sin 20°
−cos 20°
cos 20°
Ordonnée de B
−cos 20°
sin 20°
cos 20°
b. On a constaté que, dans ce cercle, le sinus d’un angle aigu est l’ordonnée d’un point de ce cercle.
A 20°
0
N
Le cosinus étant l’abscisse de ce point.
B
IN
Abscisse de A
Compléter par = ou ≠. Vérifier avec la calculatrice.
sin 160° … –sin 20°
cos 160° … cos 20°
cos 160° … –cos 20°
VA
sin 160° … sin 20°
fig. 1
y
c. Exprimer les coordonnées du point A en fonction des nombres trigonométriques de l’angle a.
1
B
A β
s
d. Exprimer les coordonnées du point B en fonction des nombres trigonométriques de l’angle a.
on
α 0
e. Exprimer les coordonnées du point B en fonction des nombres trigonométriques de l’angle b.
x 1
iti
fig. 2
Sinus et cosinus d’un angle compris entre 180° et 360°
Ed
2
x 1
a. Exprimer les coordonnées du point C en fonction des nombres trigonométriques de l’angle g.
b. Exprimer les coordonnées du point D en fonction des nombres trigonométriques de l’angle d.
1
γ
y A
α
x 1
0
δ C
54
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
D
fig. 3
Tangente d’un angle dans le cercle trigonométrique Dans le triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le longueur côté opposé rapport . longueur côté adjacent sin α Dans le cercle trigonométrique (fig. 4) on a donc tan α = . cos α Les triangles OPR et OCD sont semblables. Ainsi sin α tan α = = DC. cos α La droite DC est appelée axe des tangentes. Représenter tan 120° ; tan 135° ; tan 210° ; tan 300° ; tan 315° sur l’axe des tangentes (fig. 5 et fiche support 13).
C
1
P tan α α R D
O
IN
3
fig. 4
N
sin α pour calculer les valeurs exactes cos α de ces nombres trigonométriques.
VA
Utiliser la définition tan α =
Synthèses 1 et 2
Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6
Tracer une hauteur
fig. 5
P
a. Pour calculer les mesures des côtés égaux du triangle isocèle PQR (fig. 6), peut-on utiliser les rapports sin, cos et tan ? Discuter, trouver une méthode.
Ed
iti
4
on
s
Fiche 14
55°
b. Si le triangle n’est ni rectangle ni isocèle comme sur la fig. 7, on ne peut pas utiliser les rapports sin, cos et tan pour trouver la mesure z = XY .
R
fig. 6
X
La fig. 8 montre le même triangle partagé en deux triangles rectangles. Pour trouver XY , Samira commence comme ceci :
X 4,6 cm
55° Y Comment peut-elle continuer ?
Q
72 mm
72° Z fig. 7
4,6 cm
z 55° Y
72° P
Z
fig. 8
Exploration
55
5
La règle des sinus
C
Pour établir une formule générale, utiliser les notations de la fig. 9 et suivre les étapes suivantes.
γ b
a
Dans le triangle rectangle CAH, on a :
h
h = b sin a. B
Dans le triangle BCH, exprimer la hauteur h en fonction du côté a et de l’angle b.
β
α H
c fig. 9
IN
En égalant les deux valeurs de h, on trouve b a = . sin b sin a
Synthèse 3
Refaire un croquis du triangle en utilisant les mêmes notations et en prenant comme base le côté [BC]. Trouver une relation entre b, c, sin g et sin b.
N
La règle des cosinus
Exercices 10 et 11 Fiche 15
VA
6
a. Karim prétend que, avec la règle des sinus, il n’y a pas assez de données pour calculer les dimensions manquantes dans le triangle de la fig. 10. A-t-il raison ?
C
6,7 cm
s
b. Établir une nouvelle formule en utilisant les notations de la fig. 11 et en suivant les étapes indiquées.
on
Dans le triangle ABC (fig. 11), h est la hauteur issue de C. Dans le triangle ACH, on a AH = b cos a. b cos a
Ed
iti
Écrire la relation de Pythagore entre les côtés du triangle ACH, remplacer AH par b cos a puis isoler h2.
11 cm
B
fig. 10
γ a
b
h
Écrire la relation de Pythagore entre les côtés du triangle BCH, remplacer BH par c – b cos a puis isoler h2.
Achever cette démonstration pour expliquer pourquoi
A
46°
C
b cos ± Dans le triangle BCH, on a BH = cc –- b cos a.
β B
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos a.
α H
fig. 11
c. Transposer cette formule pour calculer b . d. Revenir à la fig. 10 et calculer la mesure du troisième côté.
Synthèses 4 et 5 Exercices 7, 12, 14 et 15 Fiche 16
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
A
c
2
56
A
7
Une nouvelle formule pour calculer l’aire d’un triangle Dans le triangle ABC, BH est la perpendiculaire issue de B au côté [AC].
B β
D’après la formule habituelle, on a : c
1 bh . 2
On peut utiliser le triangle rectangle BHC pour trouver h en fonction de a et de l’angle γ.
α
γ
C
H
b
Comment poursuivre pour démontrer que 1 ab sin γ ? 2
fig. 12
Synthèse 6
N
Quelle expression trouve-t-on pour h ?
aire du triangle ABC =
A
a
h
IN
aire du triangle ABC =
Fiche 17
Ed
iti
on
s
VA
Exercices 8, 9, 13, 16, 17, 18
Exploration
57
Synthèse 1
Comment étendre les définitions des nombres trigonométriques à des angles plus grands que 90° ? Les nombres trigonométriques dans le triangle rectangle expriment une relation entre des angles dont la mesure est inférieure à 90° et des rapports de longueurs.
IN
Pour généraliser ce concept, on transpose les définitions dans le cadre d’un repère orthonormé. Dans un repère orthonormé, considérons le cercle de centre (0 , 0) et de rayon 1.
Traçons une droite passant par O et faisant un angle a avec l’axe horizontal, notons M son point d’intersection avec le cercle. Le point M a pour abscisse cos a et pour ordonnée sin a.
N
1
M
VA
B sin α
α
O
A
cos α
1
on
s
–1
–1
Lorsque le point M est dans le premier quadrant, on retrouve les définitions du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle OMA. En effet,
Ed
iti
cos a =
sin a =
OA
OM AM OM
= OA car OM = 1
= AM = OB
Puisque le point M est sur le cercle, on a toujours
1
−1 ≤ cos α ≤ 1 −1 ≤ sin α ≤ 1
Dans le premier quadrant : – quand le point M s’approche de l’axe Ox, l’angle a est proche de 0°, son cosinus se rapproche de 1 et son sinus se rapproche de 0 ; – quand M s’approche de l’axe Oy, a est proche de 90°, son cosinus se rapproche de zéro et son sinus se rapproche de 1. 58
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
M(cos α ; sin α) α –1
O
1
–1
fig. 13
Comme dans le cercle trigonométrique le rayon vaut 1, il apparaît immédiatement que sin2 a + cos2 a = 1 Pour représenter tan a =
sin a dans le cercle trigonométrique, on mène par B la perpendicucos a
laire à l’axe des abscisses qui coupe OM en P (fig. 14 et 15). Le triangle rectangle OPB est semblable au triangle OMA. On peut donc écrire
PB OB
=
sin a . Comme OB = 1 , on conclut que cos a
IN
PB = tan a .
P(1 ; tan α)
N
M(cos α ; sin α)
M(cos α ; sin α)
VA
1
1
A
A
B 1
s
α O 0
1 B P(1 ; tan α)
fig. 15
Ed
iti
on
fig. 14
α O 0
3
Synthèse
59
2
Quelles sont les valeurs particulières des nombres trigonométriques ?
Les nombres trigonométriques d’un angle sont liés par les relations sin2 a + cos2 a = 1 et tan a =
sin a . cos a
0°
30°
45°
60°
sin a
0
1 2
2 2
3 2
cos a
1
3 2
2 2
1 2
tan a
0
3 3
90°
180°
270°
1
0
– 1
– 1
0
N
a en degrés
IN
Les valeurs du cosinus et du sinus des angles ci-dessous sont très souvent utilisées. Il est recommandé de les apprendre en s’aidant de la fig. 16 que l’on doit pouvoir construire de mémoire et à main levée à partir d’un carré.
VA
0
1
3
on
s
3
1
Ed
iti
1 3 2 2 2 1 2
3 3
60° 45° 30° 1 2
60
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
2 3 2 2
1 fig. 16
0
3
Quelle est la formule des sinus ?
A
a b c Formule des sinus = = . sin a sin b sin g
α
Cette formule peut prendre la forme
b
sin a sin b sin g = = . a b c
c β
Quelle est la règle des cosinus ?
B fig. 17
3
VA
4
a
N
C
IN
γ
En se rapportant aux notations de la fig. 17, on a les formules suivantes. a2 = b2 + c2 – 2 bc cos a
s
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos b
Quelle formule utiliser ?
iti
5
on
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos g
Ed
Résoudre un triangle, c’est « l’art de trouver les parties inconnues d’un triangle par le moyen de celles qu’on connaît » (M. d’Alembert). Lorsque les données fournies déterminent un triangle, la méthode la plus aisée est : Si on connaît…
… on utilise… … la somme des trois angles d’un triangle et la formule des sinus.
… deux angles et un côté, …
fig. 18
Synthèse
61
Si on connaît…
… on utilise…
… deux côtés et l’angle formé par ces deux côtés, …
… la formule des cosinus.
fig. 19
… trois côtés, …
6
VA
N
fig. 20
IN
… la formule des cosinus.
Comment calculer l’aire d’un triangle ?
A
Lorsqu’on connaît deux côtés d’un triangle et l’angle compris entre eux, l’aire de ce triangle est bc sin a ac sin b ab sin g = = . 2 2 2
α b
Ed
iti
on
s
Aire =
62
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
c β
γ C
a
B fig. 21
Exercices Connaître 1
Quelques nombres trigonométriques
2
b. Vrai ou faux ? Justifier. Si 90° < a < 180°, alors sin a est négatif. Si 270° < a < 360°, alors cos a est positif.
IN
a. Représenter sur un cercle trigonométrique les angles 150°, 225°, 330°, ainsi que leur sinus, leur cosinus et leur tangente.
Dans l’un des quatre
N
Dans quel quadrant se trouve a ? Si on sait que... sin a < 0 et cos a > 0 a.
VA
b. sin a > 0 et cos a > 0 sin a < 0 et cos a < 0 c. d. sin a < 0 et tan a > 0
3
Sans rapporteur
s
e. sin a < 0 et tan a < 0
4
on
Construire un angle de 30° sur une feuille quadrillée en utilisant uniquement une règle non graduée et un compas.
Il faut choisir
Ed
iti
a. Si cos q = – 0,8 (à un dixième près), quelle est la b. Si sin q = 0,6, quelle est la proposition vraie ? proposition fausse ? 1) q est dans le premier ou le quatrième quadrant. 1) q peut être un angle du deuxième quadrant. 2) q est dans le deuxième ou le quatrième quadrant. 2) q peut être un angle du troisième quadrant. 3) q est dans le deuxième ou le troisième quadrant. 3) q peut être un angle du quatrième quadrant. 4) q est dans le premier ou le troisième quadrant. 5) q est dans le premier ou le deuxième quadrant. 6) q est dans le troisième ou le quatrième quadrant.
5
D’un quadrant à l’autre
1) Sachant que sin 30° = 0,5, déterminer les valeurs de a. sin 150°
b. sin 330°
c. sin 210°
2) Sachant que tan 80° = 5,7 et tan 10° = 0,18 (à un centième près), déterminer les valeurs de a. tan 100° b. tan 280° c. tan 190° Exercices
63
6
Jamais l’un sans l’autre Connaissant l’un des deux nombres trigonométriques (sin ou cos), calculer l’autre sans passer par le calcul de l’angle. 2 c. cos g = – 0,2 et 90° < g < 180° a. sin a = et 90° < a < 180° 5 b. cosb = -
3π d. sin q = -0, 6 et 270°<<q q< <2π360° 2
Quelle formule pour quel triangle ?
IN
7
3π 2 et 180° π < b<< b < 270° et 3 2
Voici une série de formules et trois triangles (fig. 22 à 24). À quel triangle peut-on appliquer chacune des formules ?
N
Formules b. m2 = n2 + p2 – 2 np cos g c. n2 = m2 + p2 – 2 mp cos b
m p n e. = = sin b sin a sin g
m
γ
p
γ
n
p
mp sin b 2
h. aire =
np sin b 2
iti
g. aire =
β
β
n
8
γ
m α
m
n
fig. 24
β
fig. 23
fig. 22
mn sin b 2
Ed i. aire =
p
α
on
n p m f. = = sin b sin a sin g
α
s
p n m = = d. sin b sin a sin g
VA
a. p2 = n2 + m2 – 2 mn cos a
Transposer une formule
A
Soit le triangle ABC (fig. 25). a. Écrire la formule des sinus pour ce triangle. B
. b. Écrire la formule de l’aire quand on donne l’angle C c. Écrire la formule du cosinus quand on donne l’angle  .
64
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
C
fig. 25
Appliquer 9
Résoudre un triangle
VA
N
IN
P == 29 == 110 Dans le triangle PQR, on donne P 29°° ;; R R 110°° et et pp == 48 48 mm mm . Voici comment Aline calcule PQ .
Résoudre les triangles déterminés par les données reprises dans le tableau ci-après, les notations sont celles de la fig. 26.
s
C
γ
β
α
c
iti
B
b
on
a
A
fig. 26
Ed
Faire un croquis de chaque triangle en y portant les mesures fournies. Calculer l’aire de ces triangles. On donne
1)
α = 51,19°
a = 3,54 m
β = 73,32°
2)
a = 5,78 m
b = 4,51 m
c = 3,05 m
3)
c = 5,37 m
α = 71,34°
β = 47,41°
4)
a = 2,336 cm
γ = 62,19°
b = 3,841cm
5)
β = 128,85°
γ = 21,63°
b = 2,036 m
6)
b = 33 km
α = 59°
c = 24 km Exercices
65
Transférer 10
Alerte incendie Dans les régions où le risque d’incendie est important, on construit des tours de guet. Chaque tour surveille une zone qui chevauche celle de la tour la plus proche : un départ de feu peut ainsi être détecté par au moins deux tours.
IN
Deux vigies, installées dans des tours de guet distantes de 8 km, observent un départ de feu. La première le voit sous un angle de 46° 10 ′ NE, la seconde sous un angle de 60° 12 ′ NO (fig. 27).
VA
N
À quelle distance de chaque tour de guet a lieu ce départ de feu ?
fig. 27
a. Donner une solution approximative en représentant la situation à l’échelle 1/100 000.
11
on
s
b. Résoudre le problème en calculant les distances demandées.
Charger et décharger un bateau
Ed
iti
Au port, les dockers utilisent différentes grues pour remplir les cales des navires. La grue observée est constituée d’un bras vertical, d’un bras oblique de 20 m fixé à 4 m du sommet. Ces deux bras forment un angle de 50° (fig. 28). Déterminer la longueur du câble entre le sommet du corps de grue et l’extrémité de son bras oblique.
20 m 4 m 50°
fig. 28
66
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
12
Une seule solution ? (exercice résolu) A
a. Résoudre le triangle ABC dont on donne les longueurs de deux côtés, a = 55 m et b = 70 m, ainsi que l’angle α = 50°. Ces données déterminent deux triangles distincts (fig. 29). Solution On utilise la règle des sinus que l’on transforme pour que le deuxième membre puisse être calculé à partir des données. On obtient b sin a a 70 ⋅ sin 50° = 55 70 ⋅ 0, 766 = 55 = 0, 975
b a C
B1
a B2 fig. 29
N
IN
sin b =
α
VA
Cette valeur est le sinus de deux angles inférieurs à 180° : β = 77,16° ou β = 102,84°.
Ce qui confirme que deux triangles peuvent être construits à partir de ces données.
s
On calcule alors la longueur du troisième côté : si β = 77,16° alors γ = 52,84° et
on
c2 = 552 + 702 - 2 ⋅ 55 ⋅ 70 ⋅ cos 52, 84° = 3 273, 87 c = 57, 22
iti
si β = 102,84° alors γ = 27,16° et
Ed
c2 = 552 + 702 - 2 ⋅ 55 ⋅ 70 ⋅ cos 27,16° = 1 074, 04 c = 32, 77
On peut démontrer que le problème a deux solutions lorsque l’angle donné est un angle aigu, opposé au plus petit des deux côtés donnés. Dans les autres cas, il faut rejeter la valeur pour laquelle la somme des angles serait supérieure à 180°.
b. Résoudre les triangles suivants : 1) α = 48°, a = 8 cm et b = 10 cm 2) α = 60°, a = 40 m et c = 20 m
Exercices
67
13
Sur l’autre rive
14
VA
N
IN
Un géomètre veut déterminer la distance qui le sépare d’un arbre situé sur l’autre rive d’un canal. Son collègue se place plus loin sur la même berge, à une distance de 90 mètres. L’angle entre la direction de l’arbre et la position de son collègue est de 37,20°. Le géomètre échange ensuite sa position avec celle de son collègue et relève un deuxième angle : 64,10°. Calculer la distance entre l’arbre et la première position du géomètre.
Angles d’élévation
s
Pour déterminer la hauteur d’un phare, un géomètre a mesuré deux angles d’élévation par rapport au sommet du phare : 19° et 40°. Son appareil est fixé sur un pied d’une hauteur de 1,8 m. Le phare et les deux points de repérage sont dans un même plan. La distance entre ces deux points est de 25 m.
Ed
iti
on
Quelle est la hauteur de ce phare ?
15
Devis toiture
Un couvreur doit établir un devis pour refaire la toiture d’une habitation. Il a reçu un schéma des façades latérales (elles sont les mêmes) sur lequel figurent quelques mesures (fig. 30). Il sait aussi que la toiture déborde de 50 cm de chaque côté et que la façade avant mesure 12 m.
45°
30°
Quelle surface de toiture devra-t-il recouvrir ? 10 m 68
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
fig. 30
16
Salle d’exposition Un agent immobilier propose à un fabricant de cuisines équipées un local d’exposition situé à un carrefour. Il faut que la surface soit d’au moins 380 m2. Il relève les dimensions extérieures du bâtiment : toit et surface au sol ont la forme d’un quadrilatère dont un angle est droit, les côtés mesurent 30,3 m, 14,4 m, 21 m et 18 m (fig. 31).
s
VA
N
IN
Ce local convient-il au fabricant ?
on
17
fig. 31
Tronçon de route
iti
Sur le schéma ci-dessous (fig. 32), [DC] représente un tronçon de route qui traverse un petit bois. Pour en déterminer la longueur, on a utilisé un théodolite et effectué des relevés d’angles à partir de deux points distants de 500 mètres.
Ed
Quelle est la longueur du tronçon ?
C
BOIS
D
94°
58° 47°
A
20° 500 m
B
fig. 32
Exercices
69
18
Angles de vision Alex se trouve dans un champ. Il se place à un endroit à partir duquel il voit les quatre « coins » du champ. Il relève les angles de vision et mesure les distances qui le séparent de ces « coins ». Il note ses observations sur un schéma (fig. 33). Utiliser ce schéma pour calculer l’aire du champ (travailler avec des valeurs approchées au dix millième près et fournir le résultat au millième près).
IN
B
A 44 m
72 m
85°
122°
VA
D
65 m
N
64°
89°
80 m
Ed
iti
on
s
C
70
3. Cercle trigonométrique et triangle quelconque
fig. 33
Table des matières
III
IN
Avant-propos Comment s’y prendre ?
Sommaire La fonction du deuxième degré
VIII 1
N
1.
VI
Introduction 1 Exploration 2 1.
VA
Synthèse 8 Comment représenter une fonction du premier degré ?
8
2
Quelles sont les caractéristiques de la fonction de référence f (x) = x ? 9
3.
Comment reconnaître une fonction du deuxième degré à partir de son expression analytique ?
4.
Comment reconnaître le graphique d’une fonction du deuxième degré ?
10
5.
Comment reconnaître une fonction du deuxième degré à partir d’un tableau de valeurs ?
10
6.
Comment associer une transformation du graphique à un changement dans l’équation de la fonction de référence définie par f (x) = x2? 11
7.
Comment déterminer l’ordonnée à l’origine d’une parabole ?
11
8.
Comment déterminer les coordonnées du sommet d’une parabole à partir de son équation ? Quel est le maximum ou le minimum d’une fonction du deuxième degré ?
12
9.
Quelles sont les caractéristiques des racines (zéros) d’une fonction du deuxième degré ? 13 Exercices 14
on
iti
Équations et inéquations du deuxième degré
9
23
Ed
2.
s
2.
Introduction 23 Exploration 24 Synthèse 30
1.
Comment reconnaître une équation du deuxième degré ?
30
2.
Comment résoudre une équation du deuxième degré ?
30
3.
Comment déterminer la somme et le produit des racines sans les avoir calculés ?
32
2.1 Somme et produit des racines
32
Comment partir des solutions pour écrire une équation ?
33
2.2 Forme factorisée de l’équation du deuxième degré
33
2.3 Somme et produit des racines dans l’équation du deuxième degré
33
Comment trouver les solutions d’une équation du deuxième degré sur un graphique ?
33
4.
5.
Table des matières
199
6.
Comment prévoir le signe d’une fonction du deuxième degré et construire un tableau de signes ?
34
2.4 Signe d’une fonction du deuxième degré
34
7.
Comment résoudre une inéquation du deuxième degré ?
35
8.
Comment résoudre une équation fractionnaire ?
36
9.
Comment résoudre une inéquation de degré supérieur à 2 ?
37
3.
Cercle trigonométrique et triangle quelconque
IN
10. Comment résoudre une inéquation fractionnaire ? 37 Exercices 39
53
Introduction 53
N
Exploration 54 Synthèse 58 Comment étendre les définitions des nombres trigonométriques à des angles plus grands que 90° ? 58
2.
Quelles sont les valeurs particulières des nombres trigonométriques ?
60
3.
Quelle est la formule des sinus ?
61
4.
Quelle est la règle des cosinus ?
5.
Quelle formule utiliser ?
6.
Comment calculer l’aire d’un triangle ? 62 Exercices 63
61
s
61
Caractéristiques d’une fonction et fonctions de référence
71
on
4.
VA
1.
Introduction 71 Exploration 72 1.
Qu’est-ce qu’une fonction ?
77
4.1 Fonction d’une variable réelle
77
Comment déterminer le domaine d’une fonction à partir de son graphique ?
78
4.2 Domaine de définition d’une fonction
78
Quels sont les « outils » pour décrire une fonction ?
79
4.3 Zéro d’une fonction
79
4.4 Ordonnée à l’origine
79
4.5 Fonction paire et fonction impaire
79
4.6 Fonction croissante
79
4.7 Fonction décroissante
80
4.8 Maximum d’une fonction
80
Ed
2.
iti
Synthèse 77
3.
4.9 Minimum d’une fonction 4. 200
80 3
Quelles sont les caractéristiques de la fonction de référence f telle que f (x) = x ? 81
Table des matières
7.
3 ? 82 Quelles sont les caractéristiques de la fonction de référence f telle que f (x) = x 1 Quelles sont les caractéristiques de la fonction de référence f telle que f (x) = ? 83 x Quelles sont les caractéristiques du graphique de la fonction de référence définie par f (x) = x ? 83
8.
Quelles sont les caractéristiques du graphique des fonctions f définies par f (x) = x + a ? 84
9.
Quelles sont les caractéristiques du graphique des fonctions f définies par f (x) = | x | ?
85
4.10 Valeur absolue d’un nombre
85
5. 6.
5.
IN
86 10. Comment associer une modification de l’expression analytique à une transformation graphique ? Exercices 87
Géométrie dans l’espace
95
N
Introduction 95 Exploration 96 Synthèse 105 Quelles sont les propriétés de la perspective parallèle ?
105
2.
Comment caractériser et représenter un plan de l’espace ? Une droite de l’espace ?
106
5.1 Détermination d’un plan
106 107
5.2 Positions relatives de 2 droites dans l’espace
107
Quelles sont les positions relatives d’une droite et d’un plan ?
107
5.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan
107
Quelles sont les positions relatives de deux plans ?
108
5.4 Positions relatives de 2 plans
108
Quelles sont les positions relatives de trois plans ?
109
5.5 Positions relatives de trois plans
109
Quelles sont les propriétés liées au parallélisme dans l’espace ?
110
5.6 Critères de parallélisme dans l’espace
110
8.
Comment déterminer le point de percée d’une droite dans un plan ?
111
9.
Comment déterminer l’intersection de deux plans ?
111
5. 6.
Ed
7.
on
4.
s
Quelles sont les positions relatives de deux droites ?
iti
3.
VA
1.
10. Comment déterminer la section d’un polyèdre par un plan ?
112
11. Comment furent élaborées les règles de la perspective centrale (ou perspective à point de fuite) ?
113
12. Quel est le principe fondamental de la perspective centrale, quels sont les procédés de construction ? 114 Exercices 115
6.
Statistique descriptive à une variable
123
Introduction 123 Exploration 124 Synthèse 130 Table des matières
201
Quel est le vocabulaire de base utilisé dans une étude statistique ?
130
2.
Comment traiter des données très nombreuses ou des données dont le caractère est continu ?
130
3.
Comment et pourquoi construire un diagramme des effectifs cumulés, des fréquences cumulées ? 132
4.
Comment déterminer le mode, la classe modale ?
133
5.
Comment calculer la moyenne arithmétique ?
133
6.
Comment déterminer la médiane ?
134
7.
Quelle valeur centrale choisir ?
134
8.
Comment déterminer l’étendue ?
9.
Comment déterminer l’intervalle interquartile, calculer l’écart interquartile ?
IN
1.
10. Comment calculer la variance et l’écart type ?
N
11. Dans quelles circonstances utilise-t-on l’inégalité de Tchebychev ?
135 135 136 136
7.
VA
6.1 Inégalité de Tchebychev 136 Exercices 137
Calcul vectoriel
149
Introduction 149 Exploration 150 Synthèse 155 Qu’est-ce qu’un vecteur ?
2.
Quand deux vecteurs sont-ils opposés ?
155
7.1 Vecteurs opposés
155
on
156
7.2 Produit d’un vecteur par un réel
156
7.3 Vecteurs colinéaires
156 156
4.
Comment additionner deux vecteurs ?
156
5.
Comment retrancher un vecteur d’un autre vecteur ?
157
6.
Comment additionner plus de deux vecteurs ?
157
7.5 La relation de Chasles
157
Comment décomposer un vecteur ?
157
Ed
7.4 Alignement de 3 points
7. 8.
9.
Comment caractériser un vecteur dans un repère ?
158
7.6 Composantes d’un vecteur
158
7.7 Composantes de deux représentants d’un même vecteur
158
7.8 Composantes de vecteurs opposés
158
Comment additionner deux vecteurs dans un repère ?
159
7.9 Addition de vecteurs dans un repère
159
10. Comment multiplier un vecteur par un réel dans un repère ? 202
155
Comment multiplier un vecteur non nul par un réel non nul ?
iti
3.
s
1.
Table des matières
160
7.10 Multiplication d’un vecteur par un réel dans un repère
160
11. Quelle est la norme d’un vecteur dans un repère ?
160 160
7.11 Norme d’un vecteur 12. Comment déterminer les coordonnées du milieu d’un segment ?
161
7.12 Coordonnées du milieu d’un segment
161
13. À quelle condition deux vecteurs sont-ils colinéaires ? 14. À quelle condition deux vecteurs sont-ils orthogonaux ? 7.14 Vecteurs orthogonaux dans un repère 15. Qu’appelle-t-on « vecteurs directeurs » d’une droite ?
161
IN
7.13 Vecteurs colinéaires dans un repère
161 162 162 163
Géométrie analytique plane
171
VA
8.
N
7.15 Vecteurs directeurs 163 Exercices 164
Introduction 171 Exploration 172 Synthèse 177 Qu’appelle-t-on équation vectorielle et équations paramétriques d’une droite du plan ?
177
2.
Comment écrire l’équation cartésienne d’une droite du plan ?
178
8.1 Equation cartésienne d’une droite
178
Comment déterminer le coefficient angulaire (ou la pente) d’une droite du plan non parallèle à l’axe des ordonnées ?
179
8.2 Coefficient angulaire (ou pente) d’une droite
179
8.3 Coefficient angulaire d’une droite passant par deux points
180
8.4 Angle formé par une droite d et l’axe des x
181
4.
Comment traduire le parallélisme ?
181
5.
Comment traduire la perpendicularité ?
182
6.
Comment écrire directement l’équation cartésienne d’une droite ?
183
7.
Comment calculer la distance d’un point à une droite ?
184
8.
Qu’est-ce qu’un lieu ?
185
9.
Comment déterminer l’équation d’un cercle de centre et de rayon donnés ?
186
on
iti
Ed
3.
s
1.
10. Qu’est-ce qu’une parabole ? Comment la tracer ?
186
11. Comment déterminer l’équation d’une parabole ? 187 Exercices 188
Table des matières
203