Espace Math 5e/6e - Coffre à outils 6 p./s. - Extrait by VAN IN

ADAM • LOUSBERG (6 pÉR./sEM.)

Espace Math 5e/6e De Boeck ISBN 978-2-8041-4555-2 572747

vanin.be

Arthur ADAM • Francis LOUSBERG avec la participation de René BASTIN, Benoit BAUDELET, Sabine BOUZETTE et Philippe CLOSE

Espace Math

5 /6 e

COFFRE À OUTILS ACTIVITÉS-EXERCICES 6 périodes par semaine

CaEM566Intropage 3 noir vert

Aux utilisateurs de ce texte. Pour les mathématiques, tu as choisi l’option « 6 heures par semaine ». Ainsi, tu orientes ta formation vers un domaine où les mathématiques jouent un rôle essentiel, tel que les sciences, la technologie ou la recherche. Au troisième degré de l’enseignement secondaire, le cours de Mathématiques comporte quatre grands thèmes : 1. Mettre au point des outils qui associent la géométrie à de nouvelles formes de calcul, et exploiter les méthodes de démonstration et de résolution de problèmes qui en découlent. 2. Développer certains savoirs algébriques pour enrichir la géométrie, l’algèbre et l’analyse. 3. Comprendre la portée des informations chiffrées, les analyser et les critiquer à l’aide de paramètres statistiques et du calcul des probabilités. 4. Déterminer certaines caractéristiques d’un phénomène à l’aide des outils du calcul infinitésimal et les interpréter à l’aide d’un graphique, un tableau numérique et une expression algébrique ou trigonométrique. Le texte proposé ici constitue la base de ton cours de 5e et de 6e . Il est le complément du manuel théorique (tome 1) Trigonométrie–Analyse et du manuel théorique (tome 2) Géométrie et Compléments. Tu y trouveras : — un « coffre à outils » qui rassemble les principales connaissances des quatre premières années en algèbre, en analyse, en trigonométrie, en géométrie, en géométrie analytique, en calcul vectoriel et en statistiques. Lorsque tu auras un doute quant à telle définition, tel mot de vocabulaire, telle formule ou telle méthode de résolution, consulte le « coffre à outils »; — des « activités pour découvrir » au seuil de chaque chapitre : tu pourras les réaliser en préparation de la théorie qui se trouve dans les manuels théoriques; — des « exercices pour appliquer » les notions vues dans ces manuels; — des « exercices pour s’autocontrôler » et leurs solutions qui serviront à contrôler tes acquis du chapitre qui vient d’être étudié; — des « exercices pour chercher » si tu souhaites aller plus loin; — des « exercices venus d’ailleurs » qui proposent des exercices de Concours et d’examens d’admission aux Écoles polytechniques, à l’École Royale Militaire, . . . Ces exercices pourraient être réalisés lors des heures d’option facultative; — un formulaire qui regroupe en fin de cahier les formules essentielles rencontrées en 5e et 6e années; — un index alphabétique relatif au « coffre à outils » et au formulaire. Si tu hésites à propos d’une notation, tu retrouveras un index des notations à la fin des manuels théoriques. Bonne étude avec, espérons-le, du plaisir à « faire des maths » ! Le tirage 2008 comporte des corrections ponctuelles qui sont, en général, signalées dans les corrigés des exercices.

III

COFFRE À OUTILS (des 4 premières années)

.........................

FESeC

Table des matières

Communauté française

CaEM566Intropage 4 noir vert

5e ...... ...... ...... ......

DU MANUEL, TOME 1 TRIGONOMÉTRIE Formules de trigonométrie Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formules de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formules de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 37 37

5e ...... ......

Fonctions et graphiques Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Somme ou diﬀérence de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit ou quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Réciproque d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42 45 47 48 48 49 50

5e ...... ...... ...... ...... ...... 6e

5e ...... ...... ...... ...... ...... 5e

Suites et nombres réels Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites arthmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’inventeur du symbole ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Les réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Le champ des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La suite de Fibonacci et le nombre d’or . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 59 59 60 61 62 62 62 68

5e ...... ...... ...... ......

5e ......

5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Continuité – Limites – Asymptotes Fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Recherche des racines d’une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite réelle en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite inﬁnie en un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite en l’inﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy ou les mathématiques pour elles-mêmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69 73 74 74 75 76 76 83

5e ...... ...... ...... ...... ...... ......

6. Dérivées 6.1 Nombre dérivé – Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Interprétations diverses de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Euler, le rassembleur de Leibniz et de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84 86 86 91

5e ...... ......

7. 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

92 94 97 97 98 99 99

5e ...... ...... ...... ...... ...... ......

2. Équations et inéquations trigonométriques 2.1 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

ANALYSE

iti

4. 4.1 4.2 4.3 4.4

27 28 28 29 29

1. 1.1 1.2 1.3 1.4

Applications des dérivées Dérivée première et variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivée seconde et concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Représentation graphique d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution approchée d’une équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Règle de l’Hospital-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CaEM566Intropage 5 noir vert

COFFRE À OUTILS

L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

8. 8.1 8.2 8.3

Fonctions cyclométriques Arc sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arc cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arc tan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

106 106 106 106

6e ...... ...... ......

9. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Exponentielles et logarithmes Exponentielles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L’exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmes et exponentielles en base quelconque : conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le nombre de Monsieur Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmes et exponentielles au quotidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111 114 115 116 117

6e ...... ...... ...... ...... ......

Calcul intégral Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrale déﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrale déﬁnie et primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cubatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130 131 133 133 134 135

6e ...... ...... ...... ...... ......

10. 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

119 128 128

DU MANUEL, TOME 2

GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE – DANS LE PLAN – DANS L’ESPACE

148 150 150 150 151 151 152 153 153

5e ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

157 158 159 159

5e ...... ...... ......

       rappels de 4e      

Parallélisme et orthogonalité Conventions de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coﬀre à outils de géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Point de percée d’une droite dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Condition nécessaire et suﬃsante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallélisme et théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perpendicularité et orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plan médiateur d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. 2.1 2.2 2.3

Calcul vectoriel Repère dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

Calcul vectoriel (suite) : produit scalaire Projection et angles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Norme d’un vecteur – Distance entre deux points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications géométriques et physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 4e(pl.) 5e(pl.) 164 5e (esp.) 5e(esp.) 165 . . . . . . . . . . . . 166 . . . . . . . . . . . . 166 . . . . . . . . . . . .

4. 4.1 4.2

Transformations du plan et de l’espace Homothétie du plan et de l’espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Composition d’homothéties de même centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172 174 175

5e ...... ......

iti

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

...... 5e ...... ...... 5e ...... ...... ......

ALGÈBRE LINÉAIRE – GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 5. 5.1 5.2

Géométrie analytique dans l’espace (1re partie) Équation vectorielle de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations cartésiennes de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179 180 180

6e ...... ......

5e ...... ......

6. 6.1 6.2 6.3

Matrices et déterminants Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Des problèmes de systèmes : quelques noms illustres en algèbre linéaire . . .

181 182 183 183 186

5e ...... ...... ......

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L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

COFFRE À OUTILS

Systèmes linéaires Résolution par substitution ou par échelonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution par les matrices et les déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Des problèmes de systèmes (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187 188 189 190 193

5e ...... ...... ......

8. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Géométrie analytique dans l’espace (2e partie) Équations de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallélisme et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194 195 196 196 196 198

6e ...... ...... ...... ...... ......

5e ...... ...... ...... ...... ......

9. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12

Géométrie analytique plane : les coniques Ellipses : point de vue bifocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperboles : point de vue bifocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coniques centrées : point de vue focal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paraboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Positions relatives d’une droite et d’une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes de tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés optiques des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipse transformée d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Changements de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coniques translatées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coniques en général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Réduction de l’équation générale des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201 206 206 207 208 209 209 210 210 210 211 212 212

6e ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ......

10. Trajectoires 10.1 Courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Repérage polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lissagous et les mouvements vibratoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Une courbe pour le mouvement cycloı̈dal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Une mathématicienne somnanbule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Des fonctions qui fréquentent l’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

221 222 222 225 226 226 227

6e ...... ......

11. 11.1 11.2 11.3

228 230 231 232 233

6e ...... ...... ......

Nombres complexes L’ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le champ des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Racine ne d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations dans C et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

236 238 238 238 239 239

6e ...... ...... ...... ...... ......

13. Combinatoire et binôme de Newton 13.1 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Triangle de Pascal et binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 247 248

6e ...... ......

14. 14.1 14.2 14.3

252 255 256 257 258 259 259 259

6e 6e 6e 6e ...... ...... ......

7. 7.1 7.2 7.3

Lieux géométriques Méthode synthétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode de traduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode des génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dioclès et l’oracle de Délos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

iti

COMPLÉMENTS

Statistique – Probabilité Ajustement linéaire – Corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul élémentaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Probabilité conditionnelle – Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinatoire et probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Variables aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Loi normale et loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FORMULAIRE (de 5e et 6e ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Index du coﬀre à outils et du formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

273

CaEM566Intropage 1 noir vert

L’essentiel d’Algèbre, page 2

L’essentiel d’Analyse, page 8 L’essentiel de Trigonométrie, page 11

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

COFFRE À OUTILS

L’essentiel de Géométrie, page 14

iti

L’essentiel de Géométrie analytique, page 18 L’essentiel du Calcul vectoriel, page 21

L’essentiel des Statistiques, page 24.

Un index alphabétique relatif au « coﬀre à outils » est proposé à la page 273.

Pour commencer le cours de cinquième 1

CaEM566Intropage 2 noir vert

L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

1.1 EXPRESSIONS ALGEBRIQUES a Dans les expressions Eﬀectuer des produits remarquables

Factoriser des expressions (ou les transformer en produit)

a + b, a et b sont les termes de la somme, a . b , a et b sont les facteurs du produit.

(a + b)(a − b) = a2 − b2

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

produit de deux binômes conjugués

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

(a+b)2 = / a2 +b2

différence de deux carrés

trinôme carré parfait

carré d’une somme de termes

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

carré d’une différence de termes

trinôme carré parfait

c • Une fraction algébrique ou rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. • Conditions d’existence : le dénominateur de toute fraction algébrique doit être non nul. • On ne peut simpliﬁer une fraction algébrique que si son numérateur et son dénominateur ont été factorisés. a3 + a 2 a =a +1

iti

d Pour diviser une somme de termes par un nombre, on divise chaque terme par ce nombre. Pour diviser un produit de facteurs par un nombre, on divise un seul facteur par ce nombre.

a3 . a 3 a =a

/ 0) est un polynôme de degré e P(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 (an = n en la variable réelle x et à coeﬃcients réels.

1.2 PUISSANCES Si ∀a ∈ R0 , ∀b ∈ R0 , ∀m ∈ Q, ∀p ∈ Q, a0 = 1 , a1 = a, (am )p = amp p a ap = p b b

am . ap = am+p am = am−p ap

a−1 =

1 a

a−p =

1 ap

(ab)m = am . bm 170 000 = 1, 7 . 105 0, 000 475 = 4, 75 . 10

(0, 1)2 = 0, 01

; −4

;

(0, 2)3 = 0, 008

; .

CaEM566Intropage 3 noir vert COFFRE À OUTILS

L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

1.3 VALEURS APPROCHEES DU NOMBRE π = 3, 14159 . . . à moins à moins à moins à moins etc . . .

de de de de

1 unité près : 10−1 près : 10−2 près : 10−3 près :

1.4 RADICAUX a Si a ∈ R+ , alors

Valeur approchée par défaut 3 3,1 3,14 3,141

a = b ssi

Valeur approchée par excès 4 3,2 3,15 3,142

b2 = a.

Si a ∈ R+ et b ∈ R+ 0 , alors

a2 + b2 = / a+b

( a + b)( a − b) = a − b.

Si a ∈ R+ et b ∈ R+ , alors

a . b = ab. a a = · b b

Si a ∈ R+ et b ∈ R+ , alors

En particulier, 0 = 0 ; 1 = 1 ; x2 = 4 ⇐⇒ x = ± 4 = ±2. Mais 4 = 2 et non pas ±2. ( est le symbole de la racine carrée positive).

(produit de deux binômes conjugués)

( a ± b)2 = a ± 2 ab + b.

car (a + b)2 = / a2 + b2 .

(carré d’un binôme)

b • Si n est un naturel impair (distinct de 1) et a ∈ R ou si n est un naturel pair √ n a = b ssi bn = a. (non nul) et a ∈ R+ , alors √ p n ap = a n • (si a ∈ R+ 0 ). 3 4 (−2)3 n’a pas de sens et donc (−2) 4 non plus. √ 4 1 8 8 (−2)4 = 24 = 2 8 = 2 2 = 2

on REMARQUE :

iti

mais (−2) 8 n’a pas de sens car (−2) 8 = (−2) 2 =

− 2 et

−2∈ / R.

1.5 VALEUR ABSOLUE

|a| =

a −a

si a ∈ R+ si a ∈ R− .

Si a ∈ R, alors

a2 = |a|.

1.6 DIVISION D’UN POLYNOME PAR x − a a Le reste de la division d’un polynôme P(x) par x−a égale la valeur numérique de P(x) pour x = a (loi du reste). (x − a) . Q(x) est a est une une factorisation b r = P(a) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒ racine de P(x) de P(x). c Le quotient Q(x) se calcule par la méthode de la division ou par la règle de Horner : euclidienne 4x2 – 2 – 4x –+ – +–

5x 4x 9x 9x

– 9

x+1 4x – 9

4 –1

–5

–9

–4

–9

0 =r

– 9 – 9 +

r= 0

Q(x) = 4x – 9

4x2 – 5x – 9 =(x + 1)(4x – 9)

CaEM566Intropage 4 noir vert L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

COFFRE À OUTILS

1.7 PROPRIETES DES EGALITES ET DES INEGALITES 1 ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, ∀c ∈ R : a<b a b

⇔ ⇔

a±c<b±c a ± c b ± c.

2 ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, ∀c ∈ R0 : • si c > 0, alors a < b ⇔

ac < bc et

a b ⇔

ac bc et

a b ⇔

⇔ ⇔ ⇔

1.8 EQUATIONS

c a

b c b

ac bc et

a c

b c

a<c a<c a c.

(transitivité des relations «<» et «

a < b et b < c a < b et b c a b et b c

3 ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, ∀c ∈ R :

ac>bc

• si c < 0, alors a < b ⇔

»).

1 Équations du premier degré

On rassemble dans un membre tous les termes en l’inconnue, et dans l’autre membre, les termes indépendants. On isole ensuite x. REMARQUE :

3x = 0

⇐⇒

x=0

et non

1 1 , ni − , ni 3 , ni −3 . 3 3

2 Équations du deuxième degré

iti

On rassemble tous les termes dans un même membre; ax2 + bx + c = 0

(a = / 0),

ρ = b2 − 4ac, (ρ est le réalisant de l’équation, il est parfois noté ∆) • si ρ > 0, alors l’équation admet deux solutions distinctes : −b− ρ −b+ ρ et x2 = x1 = 2a 2a Factorisation :

ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) ;

• si ρ = 0, alors l’équation admet une solution : x1 = x2 =

−b 2a

Factorisation :

ax2 + bx + c = a(x − x1 )2 ;

• si ρ < 0, alors l’équation n’admet pas de solutions. b 2 4ac − b2 · ax2 + bx + c = a x + + 2a 4a Factorisation : aucune.

CaEM566Intropage 5 noir vert COFFRE À OUTILS

L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

REMARQUES

b la somme des racines du trinôme du 2e degré est − , a c le produit des racines est · a • Deux nombres dont on connait la somme S et le produit P sont solutions de l’équation x2 − Sx + P = 0 (si S2 − 4P 0). •

Si ρ

3 Équations du type «produit de facteurs égalé à 0» On utilise la règle du produit nul et on résout les équations formées par chaque facteur égalé à 0. 2x3 − 8x = 0 ⇐⇒ 2x(x2 − 4) = 0 ⇐⇒ 2x(x + 2)(x − 2) = 0 ⇐⇒ x = 0 ou x = −2 ou x = 2.

4 Équations fractionnaires (l’inconnue est présente au dénominateur) – On pose les conditions d’existence (dénominateurs non nuls) ; – on réduit les deux membres au même dénominateur; – on chasse les dénominateurs (en multipliant les deux membres par le dénominateur commun) ; – on résout l’équation obtenue et on confronte les solutions aux conditions d’existence.

REMARQUE

Un signe «moins» devant une barre de fraction joue le même rôle qu’un signe «moins» devant une parenthèse. 2x − 4 2x − 4 − (2x − 4) − 2x + 4 − ou ou ou (on évitera cette dernière notation). 5 5 5 −5

5 Équations bicarrées On réduit les équations au second degré. EXEMPLE

x4 − 2x2 − 3 = 0. Soit x2 = X. 2 Les solutions de X − 2X − 3 = 0 sont X = 3 ou X = −1 (à écarter). Ainsi, S = {− 3; 3}. D’où x2 = 3, c.-à-d. x = 3 ou x = − 3.

6 Équations irrationnelles (l’inconnue est présente sous un radical) EXEMPLE

x + 2 = 4−x.

C.E. : x+2

0; condition de résolution (C.R.) 4−x 0. D ou x ∈ [−2; 4].

iti

En élevant les deux membres au carré : x + 2 = 16 − 8x + x2 ou x2 − 9x + 14 = 0, 9−5 9+5 ou 7 (à écarter) et ou 2. Ainsi, S = {2}. dont les solutions sont 2 2

1.9 SYSTEMES D’EQUATIONS EXEMPLES

2x − 8 = 0 x=4 x=4 1) ⇔ ⇔ ⇔ S = {(4; 3)}. 3 . 4 − 2y = 6 y=3 3x − 2y = 6     3x − 2y = 5  3(−2 − 3y) − 2y = 5  3x − 2y = 5 ⇔ ⇔ (2)  x = −2 − 3y = −2 − 3y  x + 3y = −2 par substitution  x y = −1 ⇔ S = {(1; −1)}. x=1  3x − 2y = 5 ×3 3) x + 3y = −2 ×(−3) ×2

3x − 2y = 5 −3x − 9y = 6 −11y = 11

par combinaisons linéaires 9x − 6y = 15 −11y = 11 ⇔ ⇔ 2x + 6y = −4 11x = 11 11x = 11

⇔

y = −1 x=1

S = {(1; −1)}.

CaEM566Intropage 6 noir vert L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

COFFRE À OUTILS

1.10 SIGNES 1 Binôme du 1er degré −

x ax + b

signe contraire de a

b a

a>0 1

signe de a

b a

Si ρ > 0

a>0

signe contraire de a

signe de a

ax2 + bx + c signe de a

a<0

2 Trinôme du 2e degré

a<0

x2 0

(

b ; 4ac – b2 4a 2a

a>0

Si ρ = 0

(

a<0

x1 = x2

1 1

a>0

a<0 y

ax2 + bx + c signe de a

signe de a

iti

ax2 + bx + c signe de a

Si ρ < 0

S 1 0

1 0

REMARQUES

Les expressions 2 4 2 2 • (ax + b) , (ax + b) , . . . (ax + bx + c) , . . . sont positives pour tout réel x; 3 5 • (ax + b) , (ax + b) , . . . suivent la règle des signes de ax + b; 2 3 2 5 2 • (ax + bx + c) , (ax + bx + c) , . . . suivent la règle des signes de ax + bx + c; 2 2 2 • −(ax + b) , . . . , −(ax + bx + c) sont négatives pour tout réel x; 3 3 • −(ax + b) a le signe contraire de (ax + b) ; 2 3 2 • −(ax + bx + c) a le signe contraire de ax + bx + c.

CaEM566Intropage 7 noir vert COFFRE À OUTILS

L’ESSENTIEL D’ALGÈBRE

1.11 INEQUATIONS 1 Du 1er degré On rassemble dans un membre les termes en l’inconnue et, dans l’autre membre, les termes indépendants. Si on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, on obtient une inéquation de sens contraire à la première. 2 Du 2e degré

On rassemble tous les termes dans un même membre ; on cherche les racines de l’expression algébrique ainsi obtenue; on dresse un tableau de signes et on sélectionne les solutions. 3 D’un degré supérieur au premier ou fractionnaire

EXEMPLE

3 −x 1 − 2x 3 +x 0 1 − 2x

On rassemble tous les termes dans un même membre ; on réduit au même dénominateur aﬁn de n’avoir qu’un produit ou un quotient; on énonce les éventuelles conditions d’existence; on procède ensuite comme en 2 , sans supprimer les éventuels dénominateurs qui comprennent l’inconnue.

0 C.E. : x = /

− 2x2 + x + 3 1 − 2x

1 2

−1

1 2

3 2

−2x + x + 3 −

+ + +

1 − 2x +

− − − −

iti

− 2x2 + x + 3 − 0 1 − 2x

1 3 S = ←; −1] ∪ ; . 2 2

−

1.12 SYSTEMES D’INEQUATIONS 1 On résout chaque inéquation en dressant (si besoin) un tableau de signes pour chacune d’elles. 2 On calcule l’intersection des ensembles de solutions trouvés en 1 .

CaEM566Intropage 25 noir vert

EXERCICES MANUEL, TOME 1 TRIGONOMÉTRIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1. Formules de trigonométrie 2. Équations et inéquations trigonométriques

Fonctions et graphiques Suites et nombres réels Continuité – Limites – Asymptotes Dérivées Applications des dérivées Fonctions cyclométriques Exponentielles et logarithmes Calcul intégral

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

ANALYSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

MANUEL, TOME 2

GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE ET GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

dans le plan – dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

iti

Parallélisme et orthogonalité Calcul vectoriel Calcul vectoriel (suite) : produit scalaire Transformations du plan et de l’espace

1. 2. 3. 4.

ALGÈBRE LINÉAIRE – GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE . . . . . 178 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Géométrie analytique dans l’espace (1re partie) Matrices et déterminants Systèmes linéaires Géométrie analytique dans l’espace (2e partie) Géométrie analytique plane : les coniques Trajectoires Lieux géométriques

COMPLÉMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 12. Nombres complexes 13. Combinatoire et binôme de Newton 14. Statistiques – Probabilités

CaEM56601page 26 noir vert

TRIGONOMÉTRIE

iti

Développer certains savoirs trigonométriques pour enrichir la géométrie plane, l’algèbre et l’analyse

Du manuel, tome 1

1. 2.

Formules de trigonométrie Équations et inéquations trigonométriques

CaEM56601page 27 noir vert

Tome 1

5e pour tous

FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE Compétences à atteindre

Cahier, page 11

Dans cette activité, x et y sont des amplitudes d’angles en radians•.

a) Choisis trois valeurs pour x et trois valeurs pour y. En utilisant ta calculatrice•, détermine • cos( x + y), • cos 2x ,

•

• 2 cos x .

cos x + cos y ,

•

Utiliser les diﬀérentes formules mentionnées dans le programme pour transformer des expressions.

b) Compare, dans chaque cas, cos( x + y) avec cos x + cos y et cos 2x avec 2 cos x . Que conclure ?

Dans un repère orthonormé d’origine O d’un plan, on donne le cercle C de centre O et de rayon 1. Sur C, on note

et celle de AOB. c) Compare l’amplitude de COD

•

iti

A, le point d’intersection du cercle avec le demi-axe des abscisses positives; = 20°; B, le point tel que AOB = 130°; C, le point tel que AOC = 150°. D, le point tel que AOD a) Fais un dessin de la situation décrite ci-dessus. b) Quelles sont les coordonnées de A ? Sans effectuer un seul calcul, détermine en utilisant le cosinus et le sinus des angles cités, les coordonnées de B, de C et de D.

Déduis-en, de manière justifiée, un lien entre AB et CD. d) Utilise la formule de la distance•entre deux points donnés dans un repère orthonormé pour calculer AB et CD. e) Quelle formule suggèrent les résultats obtenus en c) et en d) ? Au moyen de ta calculatrice, vérifie la pertinence de ta conclusion. f) En t’inspirant du résultat trouvé en e), quelle formule générale proposerais-tu pour calculer cos( a − b) ? Vérifie la pertinence de ta proposition, au moyen de ta calculatrice, en donnant diverses valeurs à a et b (en degrés, d’une part, et en radians, d’autre part). g) De la formule trouvée en f) tire celle donnant cos( a + b) en sachant que cos( a + b) = cos a − ( −b) .

Cahier,

page 20

(1)

Manuel, tome 1, pp. 2 à 6

h) De la formule trouvée en g) établis qui exprime celle sin( a + b) sachant que

3 Manuel, tome 1, p. 5

− ( a + b) = cos −a −b . 2 2 Des formules trouvées en g) et h) de l’activité précédente, déduis celles exprimant cos 2a et sin 2a. sin( a + b) = cos

(1) Ce renvoi au Manuel tome 1 ou tome 2 signiﬁe qu’après l’activité marquée, on peut trouver à la page indiquée les renseignements théoriques relatifs à cette activité.

CaEM56601page 28 noir vert

1. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES

POUR APPLIQUER 1.1

deuxième cercle trigonométrique, note les angles exclus en 3). Compare ! 5) Si les conditions 2) et 3) ne sont pas les mêmes, dis sur quel ensemble de réels l’égalité écrite en 1) est vériﬁée.

1.2

2. Sans recourir à la calculatrice, calcule tan 120°. 1) En ramenant l’angle au premier quadrant, par les formules d’angles associés; 2) En décomposant 120° en la somme ou la diﬀérence de deux angles dont les nombres trigonométriques sont connus. Que penses-tu d’une décomposition du type 120° = 90° + 30°, pour eﬀectuer le calcul demandé ? 3) Compare les réponses obtenues en 1) et en 2).

10. Est-il exact que : 1) cos(a − b) cos(a + b) = cos2 a − sin2 b ? 2) sin(a − b) sin(a + b) = sin2 a − sin2 b ? 3) cos(x + y) cos(x − y) − sin(x + y) sin(x − y) = cos 2x ? (Trouve la méthode la plus expéditive). π π 4) tan + x tan −x = 1? 4 4 a a sin 1 − tan cot a 2 2 = ? 5) a 3a 1 + tan cot a sin 2 2 1 − tan b sin(a − b) + cos(a + b) = ? 6) sin(a + b) + cos(a − b) 1 + tan b

1. Vrai ou faux ? Justiﬁe ! 1) sin 15° = sin 45° − sin 30°. 2) ∀x ∈ R : cos(90° + x) = − sin x. π 3) ∀α, β ∈ R \ + kπ k ∈ Z : 2 tan(α − β) = tan α − tan β. π π 5π = cos + cos . 4) cos 6 2 3 2 π −a = (cos a − sin a). 5) ∀a ∈ R : sin 4 2

3. Sans recourir à la calculatrice, détermine les quatre nombres 5π trigonométriques de 15°, de et de 105°. 12 Vériﬁe tes réponses à l’aide de la calculatrice.

2) cos 2a = cos2 a − sin2 a et cos a = cos2

iti

4. En utilisant les formules d’addition, calcule 1) en fonction de sin a ou de cos a, les sinus et cosinus de 180° − a et de π + a; 2) en fonction de tan a, les tangentes et cotangentes de 180° − a et de π + a. • 3) Vériﬁe chacune des réponses à l’aide des formules des angles associés•. p. 12 5. Simpliﬁe, en fonction des nombres trigonométriques du réel 3π π + a − sin a − . a : cos 4 4

11. Vrai ou faux ? Justiﬁe ! 1) sin 40° = 2 sin 20°.

6. Calcule les nombres trigonométriques de a + b et de a − b,

1 3π ; sachant que : sin a = − et a ∈ π; 2 2

3 3π cos b = et b ∈ ; 2π . 2 2 7. Démontre que l’expression suivante s’exprime d’une manière simpliﬁée qui est indépendante de x 2π 4π sin x + sin x + + sin x + . 3 3 8. On te donne cos(a − b) = sin b = −

1 avec sin(a − b) < 0; et 3

2 avec cos b > 0. Calcule sin a et cos a. 3

9. 1) Exprime tan(45° + x) en fonction de x. 2) Écris la condition d’existence de tan(45° + x). 3) Écris les conditions d’existence du second membre trouvé en 1). 4) Note sur un premier cercle trigonométrique les angles exclus par la condition d’existence écrite en 2). Sur un

a a − sin2 2 2

sont des formules équivalentes. 3α 3α 3) Dans la formule sin 3α = 2 sin cos , on peut sim2 2 pliﬁer, dans le second membre, le facteur 2 avec un dénominateur 2.

12. Exprime en fonction de la moitié de l’angle donné 5) cos 3a 1) sin 25° 3) tan 4π 5 2) cos a

4) sin 4α

6) tan β.

13. 1) Calcule les nombres trigonométriques de 2a,

1 3π et sin a = − . sachant que a ∈ π; 2 2 2) En observant les signes de sin 2a et de cos 2a, dis à quel quadrant appartient 2a. 14. Vériﬁe et donne les conditions d’existence : 1) cos4 a − sin4 a = cos 2a; 2) cos 2a(1 + tan a tan 2a) = 1; 2 ; 3) tan a + cot a = sin 2a

1 tan(45° + b) − tan(45° − b) = tan 2b; 4) 2 cot x − 1 1 − sin 2x 5) = · cot x + 1 cos 2x π 15. a) Connaissant la valeur de cos , 6 π π calcule cos et sin . 12 12 b) Fais un calcul analogue pour trouver, sans utiliser la π π π π et sin ; cos et sin ; calculatrice, cos 8 8 16 16 11π π cos et sin − . 12 12

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EXERCICES

1. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

16. Exprime 1) 2) 3) 4)

sin 3a en fonction de sin a; cos 3a en fonction de cos a; tan 3a en fonction de tan a; sin 4a en fonction de sin a et de cos a.

3) tan 121° − tan 12°

6) cos 2a − cos a

4) sin 70° + cos 40°

7) tan a − tan 4a

5) tan 30° − cot 50°

8) sin 3a + sin 5a.

25. Vrai ou faux ? Justiﬁe ! 3π 4π + sin = sin π = 0. 7 7 1 2) tan 40° − tan 10° = . 2 cos 40° cos 10°

17. Exprime en fonction de sin 2β et ﬁxe des conditions (sin β − cos β)2 d’existence : · (sin β + cos β)2

1) sin

18. Calcule (sans calculatrice) les nombres trigonométriques a = − 3 et cos a < 0. Détermine ensuite a de a si tan 2 (en radians).

26. Factorise : 1) sin a − sin 2a + sin 3a − sin 4a 2) cos a + cos 2a + cos 3a + cos 4a 3) sin 5a − sin a + sin 6a

1.3

a ; 2

4) cos2

3π · 4

20. 1) Simpliﬁe à l’aide des formules de Carnot et donne les conditions d’existence de l’égalité trouvée : 1 + cos 2a 1 − cos 2a

28. Vériﬁe et donne les conditions d’existence : 1 1 − = cot 4a. tan a + tan 3a cot 3a + cot a 29. Une formule d’EULER : sin(36° + a) − sin(36° − a) + sin(72° − a) − sin(72° + a) = sin a.

2) Vériﬁe le résultat trouvé en 1) à l’aide d’une formule de duplication.

27. Simpliﬁe et donne les conditions d’existence et de simpliﬁcation : cos 4a − cos 2a − sin a . sin 4a + sin 2a + cos a

2) cos2

4) sin a − 2 sin 3a + sin 5a.

19. Exprime en fonction du cosinus de l’angle double : a 1) sin2 ; 3) sin2 22°30 ; 2

21. 1) Calcule les nombres trigonométriques de 15° en utilisant une formule de Carnot.

Vériﬁe-la ! Termine l’exercice à la calculatrice.

2) Fais de même pour les nombres trigonométriques de π . 8

Leonhard Euler (1707-1783)

22. Exprime tan 4a en fonction de tan a. Énonce les conditions d’existence de l’égalité trouvée. 23. Vériﬁe et donne les conditions d’existence : 1 cos c c − = tan ; sin c sin c 2 sin 2γ γ cos γ . = tan · 2) 1 + cos γ 1 + cos 2γ 2

1.4

iti

30. Une formule de LEGENDRE : 3π 3π sin + α + sin −α 10 10 π π − sin + α − sin −α 10 10 = cos α. Vériﬁe-la ! Termine l’exercice en te servant de la calculatrice.

24. Factorise :

1) sin 40° + sin 20°

2) cos

π π − cos 5 3

Adrien-Marie Legendre (1752-1833)

POUR S’AUTOCONTRÔLER 1.1

32. Calcule 1) sin(a + b),

31. Sans recourir à la calculatrice, calcule 11π 1) cos 75°; 2) tan ; 3) sin(π − a); 12 π 2π 4) tan + a − tan a − ; 3 3 5) cos 20° cos 10° − sin 20° sin 10°.

2) cos(a − b),

4) cot(a − b),

2 π sin a = et a ∈ ;π ; 2 2

1 3π cos b = − et b ∈ π; . 2 2

3) tan(a + b), si

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1. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES

33. Vériﬁe après avoir précisé les conditions d’existence : 1) sin(a − b) cos(a + b) = sin a cos a − sin b cos b 2) sin(a − b) cos(a + b) − sin(a + b) cos(a − b) + sin 2b = 0. 34. Montre que l’expression 2π 4π cos α + cos + α + cos +α 3 3

1.3 40. Calcule les nombres trigonométriques de 22, 5° en fonction d’un seul angle dont les nombres trigonométriques sont bien connus. 41. Fais de même pour les nombres trigonométriques de

s’exprime d’une manière simpliﬁée qui est indépendante de α. 1.2 35. Exprime cos 40°, sin

39. Exprime cos 4b en fonction de cos b.

2π et tan 3α en fonction de la moitié 3

42. Vériﬁe et donne les conditions d’existence : 1 − cos ω ω = tan2 · 1 + cos ω 2 1.4

de l’angle donné.

1) sin

43. Factorise :

36. Calcule les nombres trigonométriques de 2β,

3π 1 sachant que β ∈ ; 2π et cos β = . 2 2

2π 3π + sin 5 5

2) cos 20° − cos 40° 37. Vériﬁe et donne les conditions d’existence :

3) tan 20° + tan 10°

4) sin a + sin 7a − sin 5a − sin 3a

1 1 + cot2 t = . 2 cos t sin 2t sin t

38. Simpliﬁe l’expression

5) sin α + sin β − sin(α + β).

1) sin 2a(cot a − cot 2a) = 1

sin 9x cos 9x + . sin 3x cos 3x

44. Simpliﬁe :

sin 40° + sin 20° . cos 40° + cos 20°

Donne les conditions d’existence et de simpliﬁcation.

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S’AUTOCONTRÔLER

31. 1) 2)

1 4

√

6−

iti

6−

;

1 4

2−

3) 2 −

;

√

33. 1) Aucune condition d’existence.

sin(a − b) cos(a + b) = (sin a cos b − cos a sin b)(cos a cos b − sin a sin b) = sin a cos a cos2 b − sin2 a cos b sin b − cos2 a sin b cos b + sin a cos a sin2 b

= sin a cos a(cos2 b + sin2 b) − sin b cos b(sin2 a + cos2 a) = sin a cos a − sin b cos b. 2) Aucune condition d’existence.

sin(a − b) cos(a + b) − sin(a + b) cos(a − b) + sin 2b = sin (a − b) − (a + b) = sin(−2b) + sin 2b = − sin 2b + sin 2b = 0.

3 · 2

√

2 3 · et sin b = − 2 2

5) cos 30° =

4) 0

√

3) sin π cos a − sin a cos π = sin a

3−2

32. cos a = − 1 4

1.1

+ sin 2b

4) 2 −

√

7π . 8

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EXERCICES

1. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

34. cos α + cos

2π +α 3

+ cos

4π +α 3

= cos α +

cos

2π 2π cos α − sin sin α 3 3

√

1 cos α − 2 = cos α − cos α

3 1 sin α − cos α + 2 2

= cos α −

cos

√

4π 4π cos α − sin sin α 3 3

3 sin α 2

= 0.

1.2

3 2

37. 1) a = /k

2) t = /k

π 2

cos 2β = −

;

1 2

1 + cot t = 2 cos t

si x = /k

38. 4 cos 6x

π 6

cos2 t

sin2 t 2 cos t

cos a cos 2a − sin a sin 2a

sin2 t 2 cos t

(CE et CS)

1.3

1.4

π 2

7π 1 − cos 4

43. 1) 2 cos

cos a sin 2a − cos 2a sin a sin a sin 2a

= sin 2a

sin a sin(2a − a) = sin 2a = 1. sin a sin 2a sin a sin 2a

1 2 cos t sin2 t

1 1 · = 2 cos t sin t sin t sin 2t sin t

√

;

2− 2

1 − cos ω = 1 + cos ω

cos 22, 5° =

1 (1 + cos 45°) = 2

2− 2

√

7π cos =− 8

;

1 2

7π 1 + cos 4

2+ 2

√

;

=−

2+ 2

tan 22, 5° =

√

;

sin 22, 5° = cos 22, 5°

7π tan = 8

3−2

7π 8 = − 3 − 2 2. 7π cos 8 sin

2 sin2

2 cos2

2 sin 30° cos 10° = 2 cos 30° cos 10°

ω 2

= tan

ω 2

1 2 cos 40° cos 10°

5) 4 sin

α+β 2

sin

x β sin . 2 2

4) −4 sin 4a sin 2a sin a

2) sin 10° 44.

42. ω = / (2k + 1)

1 2

7π = 41. sin 8

1 (1 − cos 45°) = 2

= sin 2a

iti

sin2 t + cos2 t

39. 1 − 8 cos2 b + 8 cos4 b.

40. sin 22, 5° =

•

3 · 3

cot 2β =

3 ;

sin 2a(cot a − cot 2a) = sin 2a

2 tan

3 2

√

tan 2β =

;

3α 2 tan 3α = · 3α 2 1 − tan 2

√

3 1 . = 2 2

cos 40° = cos 20° − sin 20°

36. sin 2β = −

√

π π 2π • sin = 2 sin cos =2. 3 3 3

35. •

√

3 . 3

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1. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES

POUR CHERCHER tan x − tan y sin(x − y) = . tan x + tan y sin(x + y)

54. Calcule la valeur numérique de l’expression π cos x cos 13x , si x = . cos 3x + cos 5x 17

1) Écris les conditions d’existence de cette égalité. 2) Vérifie-la : a) en transformant le premier membre; b) en développant le second membre. 46. Vérifie l’égalité suivante et donne les conditions d’existence : cos(a + b) + cos(a − b) = cot a. sin(a + b) + sin(a − b) Utilise deux méthodes différentes. 47. Calcule les nombres trigonométriques de a + b + c sachant que

π 2 et a ∈ ;π , sin a = 5 2

3π 2 et b ∈ ; 2π , cos b = 5 2

3π 2 . cos c = − et c ∈ π; 3 2

55. 1) Vériﬁe et donne les conditions d’existence : π z 1 − tan2 − 4 2 ; a) sin z = π z 2 1 + tan − 4 2 π 2 tan α − 3 b) π 2 1 + tan α − 3 π π = 2 sin α − cos α − . 3 3 2) On donne tan α = 56. Vériﬁe :

1 (1 − cos 4x) 8 3 1 1 2) cos4 u = + cos 2u + cos 4u. 8 2 8 (Les seconds membres sont des linéarisations – passage au premier degré – des premiers membres).

1) cos2 x sin2 x =

48. Démontre, sans utiliser de calculatrice : 5π 7π 11π 1 π . sin . sin . sin = . 24 24 24 24 16

sin

m . Calcule p cos 2α + m sin 2α. p

45. Soit l’égalité

IDENTITÉS CONDITIONNELLES

49. Vériﬁe les égalités et donne les conditions d’existence :

tan(45° + a) + tan(45° − a) 1 = tan(45° + a) − tan(45° − a) sin 2a

sin 2a + sin a = tan a 1 + cos a + cos 2a

57. Démontre :

tan a(3 − tan2 a) 1 − 3 tan2 a

iti

4) tan 3a =

Une identité conditionnelle en les réels α , β, γ... est une égalité vériﬁée pour tous les réels α, β, γ... qui répondent à une condition donnée et à des éventuelles conditions d’existence.

a a sin 1 − tan cot a 2 2 = 1) a 3a 1 + tan cot a sin 2 2

5) 4(cos a − sin a) = cos 2a(4 − sin 2a). 6

51. Calcule sin x et cos x, sachant que sin 2x = 0, 96.

p. 13

• • 1) Dans un triangle quelconque , quels liens trigonométriques établis-tu entre chaque côté, le sinus de l’angle opposé et le rayon du cercle circonscrit au triangle ?

2) Démontre que dans un triangle quelconque ABC, on a la relation sin(α − β) a2 − b2 = . c2 sin(α + β)

A a c

53. Calcule la valeur numérique de l’expression sin4 x + cos4 x, sachant que sin 2x = 0, 5.

b g

b B

π , alors tan x + tan y + tan x tan y = 1; 4

2) si a + b + c = π, alors tan 2a + tan 2b + tan 2c = tan 2a tan 2b tan 2c; 3) si a + b + c = 90°, alors tan a tan b + tan b tan c + tan c tan a = 1; 4) si α, β et γ sont les angles d’un triangle, alors

50. Calcule tan(α + 2β), sachant que sin(α + β) = 1,

1 π sin(α − β) = et α, β ∈ 0; . 2 2

52.

1) si x + y =

a) sin α = sin β cos γ + cos β sin γ α β γ b) sin α + sin β + sin γ = 4 cos cos cos 2 2 2 α β γ c) sin α − sin β − sin γ = −4 cos sin sin 2 2 2 α β γ d) cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin sin sin · 2 2 2 58. Si a + b + c = π, vériﬁe alors que les expressions suivantes se simpliﬁent en une expression indépendante de a, b et de c : b c a 1) cos a − cos b + cos c − 4cos sin cos 2 2 2 2) sin2 a + sin2 b + sin2 c − 2 cos a cos b cos c.

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EXERCICES

1. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

59. a) Si α, β et γ sont les angles d’un triangle, vériﬁe :

Quelles sont, en fonction de a et de b, les nouvelles coordonnées de A et de B dans le repère x’Oy’ ?

1) sin2 α + sin2 β + cos2 γ − 1 = 2 sin α sin β cos γ 2) cos2 α + cos2 β + cos2 γ + 2 cos α cos β cos γ = 1.

b) Des deux égalités précédentes, déduis qu’un triangle est rectangle si ses angles α, β et γ vériﬁent cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 ou sin2 α + sin2 β + cos2 γ = 1.

B b

O —1

AUTRES DÉMONSTRATIONS DES FORMULES D’ADDITION

60. a) sin(a + b) (Démonstration de Cauchy) On limite cette démonstration à des angles a et b aigus.

—1

5) Calcule AB avec les nouvelles coordonnées de A et de B. 6) Compare les résultats obtenus en 3) et en 5).

– Par un point quelconque K du côté commun trace la perpendiculaire à OK qui coupe les deux autres côtés en L et en M. (ﬁg. 2).

62. sin(a − b)

O b fig. 1

– Évalue OK en fonction de a et de b. Quelle égalité lie les aires des trois triangles OKL, OKM et OML ?

(Démonstration basée sur un théorème de Ptolémée) 1) Démontre un théorème de Ptolémée : C Si un quadrilatère est B inscrit dans un cercle, alors le produit des longueurs des diagonales est égal à O la somme des proA duits des longueurs des côtés opposés D (ﬁg. 1).

– Rends ces deux angles adjacents (ﬁg. 1).

a K

fig. 1

•

fig. 2

b) Rappelle la formule de l’aire d’un triangle• p. 13 en fonction de deux côtés et de l’angle compris. Conclus ! – Invente un dessin et une démonstration de la formule développant sin(a − b). 61. cos(a − b)

(Démonstration basée sur la formule des distances). Sur le cercle trigonométrique, porte les points A et B tels est b et une amplitude de EOA qu’une amplitude de EOB est a.

Déduis-en une expression de DB . AC. Conclus !

iti

AC . BD = AB . CD + AD . BC • Avec E sur AC, trace [BE] tel que = CBD (ﬁg. 2). ABE • Compare les triangles ABE et DBC. Déduis-en l’égalité : AB . DC = DB . AC − DB . EC (1) • Compare les triangles BEC et BAD.

fig. 2

—1

b E 1

p. 16

2) Traduis l’énoncé de Ptolémée que tu viens de démontrer dans le cas particulier où = α, [AD] est un diamètre du cercle, DAB DAC = β, en tenant compte du genre des triangles•ABD et ACD.

1) Évalue BOA. 2) Quelles sont, en fonction de a et de b, les coordonnées de A et de B ? 3) Calcule AB, la distance• de A à B. p. 20

—1

a–b a A

D O

4) Soit la rotation de centre O et d’amplitude b.

L’axe x est alors appliqué sur l’axe x ; l’axe y sur l’axe y .

3) Utilise la relation aux sinus dans le triangle ABC pour exprimer BC.

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1. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES

63. sin 2α (Démonstration géométrique) 1) Considère le triangle KLM inscrit dans le cercle C de centre O et de rayon R. = α. Compare LOM et LKM. Soit LKM

DES TRIANGLES

70. Une place horizontale sépare les clochers des églises M et P. Ils sont séparés l’un de l’autre d’une distance k.

a K

M P

2) Exprime trigonométriquement LP et LM.

3) Compare les triangles KPL et KLM. Du pied du clocher P, on voit le clocher M sous un angle double de celui sous lequel on voit le clocher P, depuis le pied du clocher M. Par contre, si l’on se situe à mi-chemin des pieds de ces clochers, on les voit sous des angles complémentaires. Calcule les hauteurs des deux clochers en fonction de k.

LP LM et . LM KM Déduis-en la formule de duplication exprimant sin 2α

Compare les rapports

1) 2) 3)

2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b); 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b); 2 sin a sin b = −[cos(a + b) − cos(a − b)].

66. Vériﬁe :

π 7π 1 sin = ; 12 12 4 π+b π−b b sin = sin b. 2) 4 sin sin 3 3 3

iti

1) sin

FACTORISATION DE a cos x + b sin x

67. Soit l’expression a cos x + b sin x, où a et b ∈ R0 . 1) Pour la factoriser, mets a en évidence dans les deux b termes de la somme et pose tan ϕ = . a Vériﬁe alors : a cos(x − ϕ). a cos x + b sin x = cos ϕ 2) Vériﬁe aussi : a cos x + b sin x =

a2 + b2 sin(x + α).

3) Compare les deux identités précédentes et établis des liens entre a, b, α et ϕ (en supposant que a est un réel strictement positif). 68. On demande de mettre l’expression sin x − cos x sous la forme c sin(x − β). 69. Factorise 3 sin x + 2 cos x − 1.

g C

= 90°), où 72. Démontre que dans le triangle ABC (avec A b = AC, c = AB, B = β, C = γ et R est le rayon du cercle bc · circonscrit au triangle ABC, on a que cos(β − γ) = 2R2

65. Transforme en somme ou diﬀérence de sinus ou de cosinus d’angles : 1) 2 sin 20° cos 40°; 2) cos 3a cos a; 3) sin 2x sin 5x.

71. Si cos α + cos β = sin γ, alors le triangle ABC est rectangle. Démontre !

64. Au départ des formules développant les sinus et les cosinus de a + b et de a − b, démontre :

TRANSFORMATION DE PRODUITS EN SOMMES OU EN DIFFÉRENCES

73. La formule de Mollweide est parfois utilisée en trigonométrie pour vériﬁer les solutions d’un triangle car elle implique les six éléments d’un triangle : les trois angles et les longueurs des trois côtés : A α−β a cos a+b 2 c b · = γ c sin g b 2 B

a) 1) Grâce à la relation aux sinus, montre que sin α + sin β a+b = · c sin γ 2) Achève ensuite la vériﬁcation de la formule de Mollweide. b) Voici une autre formule de Mollweide. Démontre-la ! α−β sin a−b 2 · = α+β c sin 2 Karl Brandan Mollweide (Wolfenbültel 1774 – Leipzig 1825), mathématicien et astronome allemand, fut l’inventeur d’un système de projection cartographique équivalente utilisé pour les planisphères. Il fut le professeur de Mœbius.

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EXERCICES

1. FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE

VENUS D’AILLEURS

— l’Université de Liège (ULg); Sous cette rubrique, on trouvera, après chaque unité, des énoncés proposés ces dernières années aux examens d’entrée •

à la Faculté Polytechnique de Mons (FPM) (années non communiquées);

•

à la Faculté des Sciences Appliquées de

•

au Jury Central délivrant le diplôme de GéomètreExpert-Immobilier (GEI);

au concours d’admission à l’École Royale Militaire (ERM), à l’examen d’admission aux études en sciences vétérinaires (VT). Le style des questions a été conservé ici.

— l’Université Catholique de Louvain-laNeuve (UCL),

(ERM, 2001)

(UCL, 2003)

77. Les angles d’un triangle ABC vériﬁent la relation suivante : sin B + sin C · sin A = cos B + cos C (UCL, 2003) Démontrer que le triangle est rectangle.

75. Montrer que le triangle ABC est rectangle si les angles vériﬁent les relations suivantes : cos(C − B) 1) tan B = ; sin A + sin(C − B) 2) sin A − cos A = cos B − sin B. (FPM)

C + C (tan A) tan = 1. 2

74. Démontrer : = −1, si dans un triangle ABC on a cos 4A+cos 4B+cos 4C π alors un des angles de ce triangle est un multiple de · 4

— l’Université Libre de Bruxelles (ULB),

76. Si dans un triangle, on connaı̂t a, b et A, il existe deux solutions : le triangle AB C et le triangle AB C.

79. Si a + b + c + d = 2π, démontrer que a+b b+c a+c sin a+sin b+sin c+sin d = 4 sin sin sin · 2 2 2

B''

iti

1) Calculer, en fonction de a, b et A, la diﬀérence AB − AB . 2) Calculer, en fonction de a, b et A, l’aire du triangle B CB . 3) Si C et C sont les 2 mesures de C, montrer que

78. Dans un triangle ABC, soit M le point milieu du segment −→ −→ BC. Sachant que AB = AM , démontrer que 1) tan B = 3 tan C; (ULB, 2001; UCL, 2002) 2) sin A = 2 sin(B − C).

(ULB, 2001)

80. Vériﬁer que, pour tout x, on a l’identité suivante : 2π 2π 3 sin2 x + sin2 x + + sin2 x − = · 3 3 2 (ULg, 2003)

81. Vériﬁer les identités suivantes : 1) (2 cos a + 1)(2 cos a − 1)(2 cos 2a − 1) = 2 cos 4a + 1; 1 − cos 2a + sin 2a (ULg, 2002) = tan a. 2) 1 + cos 2a + sin 2a

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ANALYSE

iti

Déterminer certaines caractéristiques d’un phénomène à l’aide des outils du calcul infinitésimal et les interpréter à l’aide d’un graphique, d’un tableau numérique et d’une expression algébrique.

Du manuel, tome 1

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Fonctions et graphiques Suites et nombres réels Continuité – Limites – Asymptotes Dérivées Applications des dérivées Fonctions cyclométriques Exponentielles et logarithmes Calcul intégral

CaEM56603page 42 noir vert

Tome 1

FONCTIONS ET GRAPHIQUES

5e pour tous (sauf 3.8 en 6e )

Compétences à atteindre

– Décrire les caractéristiques générales d’une fonction à partir de son graphique en utilisant un vocabulaire précis. – Représenter une situation, un problème à l’aide du graphique de cette fonction. – Construire le graphique de la fonction réciproque d’une fonction de référence, en déterminer le domaine, les racines, . . . (5e FESeC, 6e Comm).

On te donne la fonction f dans R telle que f(x) =

x+1 · x−1

a) Détermine le domaine • de cette fonction.

b) Effectue la division • de x + 1 par x − 1 et écris x + 1 sous la forme ( x − 1) . q + r . n Écris ensuite f(x) sous la forme m + · x −1

• Cahier,

Manuel, tome 1, p. 18

c) Représente graphiquement la fonction f : x → f( x) sous la forme n f( x) = m + , en remplaçant m et n par les valeurs trouvées en a) et b). x −1

pages 8 et 3.

iti

d) Quelles sont les racines de f ? Vérifie graphiquement. On te donne les deux fonctions f et g dans R telles que :

f(x) =

x2 − 2 − 1 et

x2 − 3

g(x) =

x2 − 2 + 1

a) Détermine et compare les domaines de ces fonctions. b) Dresse un tableau de valeurs pour ces deux fonctions. Que te suggère la comparaison entre les valeurs de f et de g pour chaque réel x du tableau ? Tente une démonstration algébrique de ton idée.

On te donne les deux fonctions f et g dans R telles que : f(x) =

x2 − 3 x2 − 2 + 1 et g(x) = · x2 − 2 − 1

CaEM56603page 43 noir vert ACTIVITÉS

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

Les fonctions f et g dans R telles que f(x) = x2 − 1 et g(x) = |x2 − 1| sont données sur l’intervalle [−5; 5]. a) Après avoir complété le tableau de valeurs qui suit, trace le graphe cartésien de ces deux fonctions, dans le même repère orthonormé d’un plan.

−5

−4

−3

−2

−1

f( x) g( x) Manuel, tome 1, p. 19

b) Sur quelle(s) partie(s) de [ −5; 5] les deux graphes cartésiens coïncident-ils, ne coïncident-ils pas ? Déduis-en une comparaison entre f( x) et g( x). On donne le réel x positif. a) Considère, dans R , les fonctions f , g et h dans R telles que f( x) = x f( x) g( x) h( x)

h( x) = x et complète le tableau suivant : 0, 2

0, 4

0, 6

0, 8

1, 2

1, 4

1, 6

1, 8

g( x) = x ,

√

Sur un même dessin, trace ensuite le graphe cartésien des trois fonctions.

Manuel, tome 1, p. 20

b) Pour quelles valeurs de x comprises dans l’intervalle [ 0; 2], peut-on conclure que f( x) = g( x) = h( x)? Que f( x) < g( x) < h( x)? Que f( x) > g( x) > h( x)? D’autres inégalités peuvent-elles se présenter ? Pour quelles valeurs de x ? On donne les deux fonctions f et g dans R telles que x−1 1 et g(x) = 2 x+1 x −1 a) Dresse un tableau de valeurs pour f( x), g( x), f( x) + g( x) et f( x) . g( x) et détermine leur domaine.

f(x) =

b) Détermine une formule décrivant la fonction x → f( x) + g( x) notée f + g et x → f( x) . g( x) notée f . g. Une fourmi se promène sur un cercle en fil de fer. Le centre du cercle est C, son rayon est 1 et E est le point de départ.

Manuel, tome 1, p. 25

π 2

iti

F 1

a F'

E 0

3π 2

La promenade se fait dans le sens indiqué et à vitesse constante. F est l’ombre sur EC, projetée perpendiculairement à EC, de la fourmi F. Jean observe la fourmi durant 3 minutes. Il constate qu’elle fait le tour du cercle en 12 secondes. Il note

α, l’amplitude en radians de l’angle orienté ECF, a, l’abscisse de F , t, le temps mis par la fourmi à parcourir l’arc EF .

CaEM56603page 44 noir vert 3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

ACTIVITÉS

a) Quelle est la formule • a = f( α) qui donne l’abscisse a de F en fonction de α ?

•

b) Quelle est la formule α = g( t) qui donne l’amplitude α en fonction de t ?

Cahier,

c) Donne, de manière simple, la formule qui donne a en fonction de t.

page 13

On donne les trois fonctions usuelles dans R telles que 1 ; h(x) = x + 2. x a) Complète le tableau suivant : f(x) = x − 3 ; g(x) =

−5

−4

−3

−2

−1

y = f( x) r = g( y) s = h( r)

b) T’inspirant des résultats obtenus dans ce tableau, tente de trouver une formule simple qui décrit, dans R , r en fonction de x ; s en fonction de r et s en fonction de x. On te donne la fonction s dans R telle que s(x) =

x−4

On te demande de procéder à la démarche inverse de celle qui a été réalisée dans les deux activités précédentes : trouver deux fonctions usuelles définies par y = f( x) et z = g( y) telles que z = s( x). Pour t’aider, complète le diagramme suivant en te posant la question : «Partant de x, quelle expression faut-il calculer d’abord ?» : y=

= f(x)

Manuel, tome 1, p. 29

s(x) =

1 x–4

f:R

R:x

g:R

R:x

= z = g(y)

10 Un élève peut-être farfelu décrète que

iti

si y est fonction de x, alors x est fonction de y. En effet, argumente-t-il, si y = x − 5, alors x = y + 5. A-t-il raison ? On remarque bien qu’à tout y correspond un seul x. On peut aussi raisonner à partir d’un graphe cartésien, soutient-il. En examinant le graphe cartésien que voici, à tout x correspond-il un seul y ? À tout y correspond-il aussi un seul x ? y 3

x = g(y) y = f(x)

O 0

Manuel, tome 1, p. 30

Son raisonnement est-il généralisable ? Pour t’aider à répondre, on te suggère d’examiner la fonction x → x 2 et de la représenter graphiquement.

CaEM56603page 45 noir vert

EXERCICES

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

POUR APPLIQUER 3.1

6) Détermine l’ensemble des réels qui, par f, ont une image comprise dans [-1; 1[.

1. Quels sont parmi les graphiques suivants ceux d’une fonction ? Pourquoi ? 1

7) Écris les intervalles de réels sur lesquels la fonction f est croissante, décroissante. 8) Caractérise les points de Gf d’abscisse −1, d’abscisse 2. 9) Résous l’équation f(x) = −0, 5. 10) Résous l’inéquation : f(x) 1.

y 2 1

–1

3. Observe le cube ABCDA B C D et le tétraèdre DA D C qui lui est inscrit.

B' A'

C' D'

–1

a) Exprime, en fonction de x : 1) le volume V(x) du tétraèdre; 2) l’aire totale S(x) de ce tétraèdre. b) Quelle contrainte dois-tu imposer à la variable x ? Quel est, dès lors, le domaine des fonctions V et S ? c) Réalise un tableau de valeurs pour les fonctions V et S. d) Dessine le graphe cartésien, point par point, des fonctions V et S. e) Commente ces graphiques du point de vue de la variation des fonctions V et S.

O –2

Choisis la longueur du côté du cube comme variable et note-la x.

–2

y 1

O 0

–1

p. 8

4. Recherche le domaine de déﬁnition et l’ensemble des racines des fonctions f déﬁnies dans R par : √ 3 1) 5) 3 x − 1 4x2 − 9x 2) 7 − 3x 6) − 9x2 + 30x − 25 x2 − 5x − 6 3) (x + 2)(3 − x) 7) 15x − 3x3

iti

S’il s’agit d’une fonction• f, précise : 1) le domaine de f, 2) les racines de f, 3) l’ensemble-image par f, 4) si la fonction f est paire, est impaire, n’est ni paire ni impaire.

Ed y 2

1 2

–4

–3

–2

–1 – 1 0 2

1 2

5 − 3|x|

5. On donne les fonctions dans R déﬁnies par : 2x2 − 3 2x2 − 3 f(x) = h(x) = x2 + 5x x2 + 5x 2x2 − 3 2x2 − 3 i(x) = . g(x) = x2 + 5x x2 + 5x

2. Observe le graphe cartésien Gf de la fonction f :

y = f(x)

1 4) x2 − 4x + 4

–1

Retrouve le domaine de déﬁnition de chacune d’elles parmi les ensembles suivants de réels : 6 A = ←; −5[ ∪ ;→ 2

1) En quels réels de [-4; 3] la fonction f n’est-elle pas déﬁnie ?

B = ←; −5[ ∪ ]0; →

2) Détermine dom f.

C = ←; −5[ ∪

3) Quelles sont les racines de f ? 4) Détermine l’ensemble-image par f. 5) Quels sont les réels qui, par f, ont 1 comme image ?

6 6 ∪ ;→ 2 2 6 6 D = ←; −5[ ∪ − ;0 ∪ ;→ 2 2 −5; −

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3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXERCICES

6. Voici le graphe cartésien de quatre fonctions. a) Choisis parmi les expressions analytiques proposées celle qui correspond à chaque graphique : 1

c) Quelles sont les racines de ces fonctions ? d) Les fonctions précédentes sont-elles périodiques ? Si oui, quelle est leur plus petite période • strictement positive ?

p. 9

9. Soit les fonctions f dans R telles que 1

O 0

–1

1) Sont-elles paires, impaires, ni paires ni impaires ? 2) Si elles sont périodiques, calcule leur plus petite période strictement positive. 3) Au départ de fonctions trigonométriques usuelles, dessine les graphes cartésiens des fonctions f, g, h et i en tenant compte des conclusions du 1) et du 2).

O 1

−x, x,

g:R→R:x→ h:R→R:x→

si x 1 si x > 1

−2, x, 1,

si x − 2 si x ∈] − 2; 1] si x > 1

1, −x, −1,

si x < −1 si −1 x < 1 si x 1

x, −x,

si x 0 si x < 0

a) En eﬀectuant une division euclidienne, écris-les sous la forme : n n c · ou m + f(x) = m + cx + d x + dc

f:R→R:x→

10. On donne les fonctions f suivantes dans R (de telles fonctions sont nommées homographiques) : 2x − 1 5x + 4 1) f(x) = 2) f(x) = . x 2x − 4

i:R→R:x→

b) Au départ de l’écriture de f(x) trouvée en a), représente-les graphiquement dans le plan cartésien, par manipulations. Écris leur domaine et leurs racines.

x g(x) = − cos 2 x i(x) = 2 cot − 1. 2

f(x) = sin 2x

π h(x) = tan x − 4

11. UNE FONCTION HOMOGRAPHIQUE EN GÉOMÉTRIE Dans un repère orthonormé d’un plan, d’origine O, on donne • le point L(a; 0), a > 0; •

b) Exprime le domaine et l’ensemble des images pour chacune de ces fonctions.

c) Parmi ces fonctions, y en a-t-il qui soient paires ? Impaires ? Pourquoi ?

•

le point K sur l’axe des y tel que l’aire du triangle KOL égale 10 cm2 ; le point M, milieu de [KL]. y K

d) Donne deux autres expressions analytiques de la fonction i.

iti

7. Représente graphiquement et cherche le domaine de déﬁnition, l’ensemble-image et les racines des fonctions f : R → R : x → f(x), telles que :   −x + 2, si x < −1 2 + 1, si −1 < x 2 1) f(x) = −x  x + 2, si 2 < x 4   (x + 2)2 − 1, si x − 1 − 3, si −1 < x < 0, 5 2) f(x) = 2|x|  si 0, 5 x < 2 − 2x + 1,  |x + 2| − 1, si x + 1 0  3) f(x) = x + 1 − 2, si −1 < x < 2  −|x − 3| + 1, si x 2. 8. a) Recherche le domaine des fonctions f dans R telles que f(x) égale 1 cos x 3) tan 2x + 1 5) 1) sin x 1 x 2) tan x. 4) cot 6) cos x 2 b) Parmi les fonctions précédentes, détermine celles qui sont paires, impaires, ni paires ni impaires.

M (x;y) 1

10 cm2

L (a;0)

O 0

a) Calcule les coordonnées de K et celles de M en fonction de a. p. 22 b) Lorsque le point L varie sur le demi-axe des x positifs, vériﬁe que les coordonnées (x; y) de M sont telles que xy = 5. (Pour le vériﬁer, tiens compte des coordonnées de M, trouvée en a)) c) Exprime l’ordonnée y de M en fonction de l’abscisse x de M. Établis un tableau de valeurs de la fonction «ordonnée de M» que tu viens d’exprimer et représente-la graphiquement dans un plan cartésien. d) De l’observation de ce graphique, déduis une construction de M pour que 1) l’ordonnée de M soit égale à 5; 2) l’ordonnée de M soit strictement inférieure à 2. 3) Pour quelles valeurs de a, OL et OK sont-elles égales ?

CaEM56603page 47 noir vert

EXERCICES

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

12. DES FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES EN MARKETING

a) Résous graphiquement l’équation f(x) = 2. Vériﬁe algébriquement.

La société Francart fabrique chaque mois entre 600 et 2400 jeux vidéo suivant un premier procédé. Un ingénieur nouvellement engagé propose un deuxième procédé pour réaliser les mêmes jeux.

b) Détermine graphiquement les coordonnées des points communs aux deux graphiques. Vériﬁe algébriquement en résolvant dans R l’équation f(x) = g(x).

Voici le résumé du cahier des charges des deux procédés :

2 procédé

7, 50

4500

6, 20

5000

a) Si x est le nombre de jeux vidéo fabriqués en un mois, suivant le 1er procédé, détermine l’expression analytique de la fonction f «prix de revient d’un jeu fabriqué par le 1er procédé». b) Donne l’expression analytique de la fonction g «prix de revient d’un jeu par le 2e procédé». c) Dresse pour f et pour g un tableau de valeurs. d) Dessine ensuite les graphiques de f et de g. Observe ces deux graphiques. Compare-les aﬁn de détecter une valeur approchée du nombre de jeux tel que les prix de revient par les deux procédés soient les mêmes. e) À partir de combien de jeux le second procédé est-il plus avantageux que le premier ?

15. Résous graphiquement les équations• suivantes : 1) x3 = 2x + 1; 2) x + 1 = 2 − x (vériﬁe algébriquement); pp. 4 1−x et 5 = x + 1 (vériﬁe algébriquement). 3) x+1 16. En observant le graphique suivant de la fonction f : R → R : x → f(x), a) exprime le domaine de f; b) détermine les parties des réels sur lesquelles 1) f est positive; 2) f(x) < 0; 3) f(x) + 2 0.

1er procédé

frais mensuels ﬁxes

y = f(x)

coût de fabrication d’un jeu vidéo

3.2

13. Les fonctions suivantes sont-elles égales ? Pourquoi ? f est telle que f(x) est égale à 1) x2 2) x2

g est telle que g(x) est égale à

17. Résous graphiquement les inéquations• : 3x + 4 1 − 2x 0 2) < 1. 1) 2x + 4 x−2 p. 7 Vériﬁe algébriquement. 18. Observe le graphique des fonctions f et g dans R :

1) x 2 2) x 3) x2 − 6x + 9 4) 4x2 − 12x + 9 5) x − 1 . 2x + 1

3) |x − 3| 4) ( 2x − 3)2 5) (x − 1)(2x + 1) x2 − 5x + 4 6) x−1 2x − 4 7) x+3 x−1 8) x x−3 9) x−2−1

6) x − 4 2x − 4 7) x+3 x− x 8) x 9) x − 2 + 1

iti

y = g(x)

14. Observe les graphiques des fonctions f et g dans R telles 2 1 1 que f(x) = et g(x) = x − · x−1 2 2 y

y = f(x)

O 0

y = f(x)

a) Indique les parties de R sur lesquelles la fonction f est strictement inférieure à la fonction g. b) Résous graphiquement l’inéquation f(x) g(x). 19. Résous algébriquement les inéquations• suivantes et vériﬁe graphiquement en utilisant la comparaison de deux fonctions :

1 0

y = g(x)

p. 7 1

4 x x

2) x2 − 6 4x − x2

2x − 1 x x−1 x−2 4) x + 1 > 2x − 1.

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3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXERCICES

20. Les fonctions suivantes sont-elles minorées, majorées ou bornées sur leur domaine de déﬁnition ? y

Donne l’expression analytique et dessine le graphique de f + g , de f − g et de f . g. 24. Voici les graphiques des fonctions 1 f:R→R:x→ − 1, x g : R → R : x → x − 1.

y = f(x)

y = f(x) 1

O 0

y = g(x)

a) Construis point par point le graphique de f + g. b) Quelle est l’expression analytique de la fonction f + g ?

c) Quels sont les domaines de f, de g et de f + g ? d) Résous graphiquement l’équation f(x) + g(x) = 0. Vériﬁe algébriquement.

y = h(x) 1 0

e) Résous graphiquement l’inéquation f(x) + g(x) > 0.

Vériﬁe algébriquement.

25. Voici les graphiques des fonctions

i (x) = sin 2x

5 j (x) = x2 – 4

6 k (x) = –

x+2

f : R → R : x → x3 + 1,

g : R → R : x → −x + 3. y

21. Vrai ou faux ? Justiﬁe !

2 est bornée sur [1; →. x 2) La fonction h : R → R : x → x3 est bornée sur R .

1) La fonction g : R → R : x →

iti

22. Trouve une partie de R (la plus «grande», si cela est possible) sur laquelle les fonctions suivantes sont minorées, majorées, bornées : 1 1) f(x) = − x+1 2) f(x) = 2 x − 1 + 1   3x − 6 , si x −2 3) f(x) = x+4  |x − 1|, si x > −2.

O 0

y = f(x)

a) Construis point par point le graphique de f − g. b) Quelle est l’expression analytique de la fonction f − g ? c) Quels sont les domaines de f, de g et de f − g ? d) Résoudre l’équation f(x) = g(x) revient à résoudre l’équation f(x) − g(x) = 0. Eﬀectue cette résolution graphiquement de deux manières. e) Résoudre l’inéquation f(x) < g(x) revient à résoudre l’inéquation f(x) − g(x) < 0.

3.3 et 3.4 23. Soit

y = g(x)

3) La fonction cosinus est bornée sur R .

0, si x 0 x, si x > 0; 3, si x 0 g : R → R : x → g(x) = 0, si x > 0. f : R → R : x → f(x) =

Eﬀectue cette résolution graphiquement de deux manières.

CaEM56603page 49 noir vert

EXERCICES

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

26. Complète le tableau suivant : f(x) =

dom f =

g(x) =

dom g =

1) 3x + 2

x −1

1 2) x2 − 5x + 4 3) 1−x

1 4−x 1 1+x x2 + 3x

1 9 − x2 5) 4 + 2x 4)

3x − 1 4 − 3x − x2

(f . g)(x) =

dom (f . g) =

(f + g)(x) =

dom (f + g) =

(f − g)(x) =

dom (f − g) =

(f + g)(x) =

dom (f + g) =

4 − 2x

f (x) = g

dom

|x2 − 4x|

(f . g)(x) =

dom (f . g) = f : R → R : x → f(x) = x2 , g : R → R : x → g(x) = x − 1, −2 . h : R → R : x → h(x) = x

29. Soit

3.5

f 4

f f x x

a) Exprime (g ◦ h)(x) et (f ◦ g)(x). b) Complète :

x x

3) 4)

goh

–3

fog

e) Donne l’expression analytique des composées suivantes, ainsi que leurs domaines : 1) f ◦ h ◦ g

2) g ◦ f ◦ h

3) g ◦ h ◦ f

4) h ◦ f ◦ g.

g 30. Complète :

f(x) =

g(x) =

4x + 5 1 x x+1

|x − 3| x2 − 4

d) Exprime dom (g ◦ h ◦ f) après avoir déterminé dom f, dom g et dom h.

avec h(x) = 2)

1 − 2x 3 + 2x 1 2x − 1 3 + 2x

(x + 3)2

g(x) =

28. Détermine (f ◦ g)(x), dom(f ◦ g), (g ◦ f)(x) et dom(g ◦ f) lorsque f et g sont données dans le tableau ci-dessous :

goh

b) Dans chacun des deux cas précédents, aﬃrmerais-tu que f ◦ g = g ◦ f ?

goh

c) Compare les résultats notés dans un encadré colorié de la première série, et un encadré colorié de la deuxième série. Que constates-tu ?

iti

1 3

1 2) si f(x) = et g(x) = 1 − 2x : x−1

–3

1 3

27. a) Complète les schémas suivants 1) si f(x) = x2 − 4 et g(x) = 2x − 1 :

f = g

h 1 (x – 1)2

f(x) =

, avec g(x) = h(x) =

CaEM56603page 50 noir vert

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXERCICES

Pourquoi ?

p m 1 x–1+2

34. Parmi les fonctions f dont les graphiques sont dessinés, prévois celles dont la réciproque est une fonction. Dans ce cas, dessine le graphique de f −1 . Recherche l’expression analytique de f et de f −1 , si l’on te dit que l’une des deux est une fonction du second degré. Exprime dom f , im f, dom f −1 et im f −1 .

k(x) = p(x) = , avec

m(x) = n(x) =

y = f(x)

2 f : R → R : x → x −4 g : R → R : x → 2x − 1 1 h:R→R:x→ x−2 Donne l’expression analytique, le domaine et l’ensemble des racines de 1) (f ◦ g ◦ h)(x) 3) (g ◦ f ◦ h)(x) 5) (h ◦ f ◦ g)(x)

31. Soit

2) (f ◦ h ◦ g)(x)

4) (g ◦ h ◦ f)(x)

O 0

6) (h ◦ g ◦ f)(x).

y y = f(x)

2−x

(en 6e pour tous) 33. Voici le graphe cartésien de la fonction f :

y = f(x)

iti

a) Trace celui de la réciproque de f. b) La réciproque de f est-elle une fonction ?

3x − 2

x−1 2) 2 x −x 4x − x2 3) 4)

x2 + 6x + 9

3−x 5) 9 − x2

7) (x − 1)(x + 1)(x − 2)

9) 10)

O 0

f2 (x) = x3 − 1

f4 (x) = x2 − 4

f6 (x) = |x|.

b) Parmi ces fonctions, quelles sont celles dont la réciproque est une fonction ? Lorsque la réciproque est une fonction, détermine son domaine de déﬁnition et son expression analytique. Construis son graphe cartésien au départ de celui de la fonction donnée.

11) tan 3x

1 + x2 6) 4 − x2

POUR S’AUTOCONTRÔLER

36. Cherche le domaine de déﬁnition et l’ensemble des racines des fonctions f dans R telles que f(x) égale

y = f(x)

35. a) Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui sont injectives ? Justiﬁe. 1 f1 (x) = 3x + 5 f3 (x) = x − 1 f5 (x) = +1 x−2

3.6

3.1

−1 5) x2 − 2x + 1

π 6) cos2 2x − . 3

2) (1 − x)2 3)

32. Décompose les fonctions suivantes en composées de fonctions usuelles, si f(x) = 1) 1 − x2 4) 4 − x2

− 2x2 + 4x − 7 x−3 − x2 + 3x − 2

1 cos 2x

1 · sin x − 1

12)

37. Observe le graphique de la fonction f : y 3

y = f(x)

2 1 –2 –1 O

–6 –5

–3

13 1

9 10 11

–1 –2 –3

1) Détermine a) dom f; b) l’ensemble des images par f; c) l’ensemble des racines de f; d) l’image de 0 par f;

CaEM56603page 51 noir vert

EXERCICES

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

38. Soit la fonction f dans R telle que

x π f(x) = 3 sin − + 1. 3 4 1) Quel est le domaine de déﬁnition de f ? 2) Quelle est la plus petite période strictement positive de f? 3) f est-elle paire, impaire, ni paire ni impaire ? 39. Une sphère est inscrite dans un cylindre comme le montre la ﬁgure ci-contre.

3.3 et 3.4 x−1 2 + x, donne l’expression et g(x) = 1+x f analytique et le domaine de f + g, f . g et . g

43. Si f(x) =

2 44. a) Si f(x) = x −4 et g =

2 f : R → R : x → x − 5x, g : R → R : x → 1 − 2x, 1 h:R→R:x→ . x−1 a) Donne l’expression analytique de h ◦ g ◦ f et de f ◦ h ◦ g. b) Détermine le domaine de ces composées.

45. Soit les fonctions

3) l’aire totale du cylindre, 4) l’aire de la sphère.

b) Compare les volumes• entre eux et les aires• entre elles. c) Existe-t-il un lien graphique entre certaines de ces fonctions et l’une ou l’autre fonction usuelle ? Précise !

46. Décompose les fonctions suivantes en fonctions usuelles : 1) f(x) = (3x + 2)2 + 5(3x + 2) − 12; 2) f(x) = x − 1; 3) f(x) = sin 2x;

3.2

40. f = g ? Si f = / g, donne la plus grande partie A de R sur laquelle les deux fonctions sont égales. 1) 2)

|x + 2| 2 x+2 4x . x − 2 1 x−3 x x

4) 5)

41. Résous graphiquement l’inéquation

−1 1 − x et vériﬁe x

algébriquement les solutions. 42. a) Les fonctions suivantes sont-elles minorées, majorées, bornées sur leur domaine ? 3) h(x) = 2 + |x + 1|. 1) f(x) = 4x − x2 ; 2) g(x) =

4) f(x) = sin2 x; 5) f(x) = tan3 2x.

3.6 (5e FESeC – 6e Communauté)

g(x) est déﬁnie par

iti

f(x) est déﬁnie par 1) (x + 2)2 2) (x + 2)2 3) 4x2 − 8x x+3 4) x2 − 9 1 5) x

4 , donne l’expression analytique f

et le domaine de g. Réalise une esquisse du graphique de g au départ de celui de f. b) Quelle est la situation graphique de g en les réels qui annulent f ? 3.5

a) Si x est le rayon du cylindre, exprime en fonction de x : 1) le volume de la sphère, 2) le volume du cylindre,

p. 17

b) Lorsque tu réponds «non» à une des questions du a), trouve une partie A de R sur laquelle la fonction considérée possède la propriété.

e) f(1). 2) Quel est l’ensemble des réels qui ont, par f, 2 pour image ? 3) Quel est l’ensemble des réels qui ont, par f, une image strictement positive ? 4) Quel est l’ensemble des réels qui ont, par f, une image strictement inférieure à 2 ?

47. Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? x3 3) f(x) = x − 1 1) f(x) = 1 − 2 1 4) f(x) = x2 + 1. x−1 • Si oui, détermine : – l’expression analytique de f −1 , im f et dom f −1 ; – le graphique de f −1 au départ de celui de f. 2) f(x) =

• Si non, trouve une partie A de R sur laquelle la fonction f est injective. Nomme g cette fonction restreinte de f. Détermine ensuite – l’expression analytique de g−1 , im g et dom g−1 ; – le graphique de g−1 au départ de celui de g.

−2 ; 1+x

CaEM56603page 52 noir vert

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXERCICES

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S’AUTOCONTRÔLER 3.1 Dom f

Ensemble des racines de f

2 ;→ 3

2 3

R\{0; 1}

Pas de racine.

{0; 4}

3) [0; 4] 4)

{−3}

5) ] − 3; 3 [

Pas de racine.

R\{−2; 2}

Pas de racine.

{−1; 1; 2}

8) Le domaine de f ne comprend aucun point.

Pas de racine.

←; 1 [ ∪ ] 2; 3 ] π π +k 10) R\ k∈Z

{3}

12)

π 3

k∈

+ 2kπ k ∈

37. 1) a) [−6; −2 [ ∪ ] − 2; 7] ∪ ] 9; 13 [

k∈

Pas de racine.

b) ] − 3; 3 ]

c) {1; 11} ∪ [ 5; 7 ]

d) −1

e) 0

11)

Pas de racine.

36.

2) {−5; −3; 10} ∪ ] 1; 4 ]

3) [−6; −2 [ ∪ ]1; 5[ ∪ ] 9; 11[

4) [−6; −5 [ ∪ ] − 3; −2 [ ∪ ] − 2; 1] ∪ ] 4; 7 ] ∪ ] 10; 13 [. 38. 1) R

2) 6π

2 Vc (x). 3

2) Vc (x) = 2π x3 ;

3) Ac (x) = 4π x2 ;

4) As (x) = 4π x2 .

As (x) = Ac (x).

b) Vs (x) =

4 3 πx ; 3

iti

39. a) 1) Vs (x) =

3) Ni paire ni impaire.

c) Les graphiques des fonctions «volume» sont des transformés du graphique de la fonction x → x3 ; Les graphiques des fonctions «aire» sont les mêmes transformés de la fonction x → x2 .

3.2 40.

Images égales ?

dom g

[−2; →

non

f= /g

A= [−2; → .

←; 0] ∪ [2; →

[2; →

non

f= /g

A= [2; → .

R \{−3; 3}

R \{3}

non

f= /g

A= R\{−3; 3}.

R+0

Pour tout réel x :

(x + 2)2 = |x + 2|

Pour tout réel x strictement positif :

√ √ x x √ = √ √ = 1

Conclusion

Les deux fonction f et g sont égales sur A

dom f

f=g

CaEM56603page 53 noir vert

EXERCICES

1 1−x x

x2 − x − 1 0 x

⇔

√

1− 5 2

1+ 5 2

y=1–x

x2 − x − 1

− − −

−

x2 − x − 1 x

√

1− 5 S = ←; 2

∪

−

y = – 1x

majorée

non

[0; 4]

oui

non

←; −1[

non

oui

non

bornée

non

[0; 4], par exemple

] − 1; →

non

[0; 2], par exemple

[−1; 2]

non

[−1; 2], par exemple

3.3 et 3.4

44.

(x) =

a) g(x) =

x−1

√

f g

dom

(1 + x) 2 + x

= ] − 2; −1[ ∪ ] − 1; →

4 . x2 − 4

Dom g =

y = f(x)

f g

dom (f . g) = [−2; −1[ ∪ ] − 1; →

2+x

1+x

= [−2; −1[ ∪ ] − 1; →

x−1

R\{−1} ∩ [−2; →

R\{−2; 2}.

O –2

(f . g)(x) =

dom(f + g) = dom f ∩ dom g =

x−1 + 2+x 1+x

√

43. (f + g)(x) =

1+ 5 0; 2

minorée

42.

−

41.

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

b) En −2 et 2, g n’existe pas.

3.5

1−

2(x2

− 5x) − 1

45. (h ◦ g ◦ f)(x) =

iti

La courbe y = g(x) présente en −2 et 2 des asymptotes verticales.

R 1 − 2(x2 − 5x) 0

dom h ◦ g ◦ f = {x ∈

dom f ◦ g ◦ h = 46. 1) x

x∈

R x

→ 3x + 2 → x−1

→

→ 2x

g 4) x

→

→ 2x

→

x−1 ;

→

1 − 2x = /1

←; 0

→ tan 2x

f = h ◦ g avec

→ tan3 2x

→

∪

1 2

g: h:

1 1 − 2x − 1

√

5−3 3 5+3 3 ; 0 ∪ 0; 5 ∪ 5; 2 2

f = h ◦ g avec

sin2 x ;

−5. √

1 − 2x − 1

1 − 2(x2 − 5x) = / 1} l=

f = h ◦ g avec

sin 2x ;

sin x

g 5) x

√

g 3) x

√

→ (3x + 2)2 + 5(3x + 2) − 12 ;

g 2) x

1 2

(f ◦ g ◦ h)(x) =

;

y = g(x)

. g: h:

R → R : x → 3x + 2 ou y ; R → R : y → y2 + 5y − 12.

R→R:x→√ x − 1 ou y ; R → R : y → y.

R → R : x → 2x ou y ; R → R : y → sin y.

g: h:

R → R : x → sin x ou y ; R → R : y → y2 .

tan3 2x;

f = j ◦ i ◦ h ◦ g avec

g : R → R : x → 2x ou y ; h : R → R : y → tan y ou z ; 3 ou u ; i : R → R : z → z√ j : R → R : u → u.

CaEM56603page 54 noir vert

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXERCICES

3.6 47. Injective sur le domaine 1)

oui

f−1 (x)

Graphiques de f et de f−1

im f = −1

dom f

√ 3

2(1 − x)

Injective sur le domaine

f−1 (x)

3) oui

x2 + 1

Graphiques de f et de f−1

im f = −1

dom f

R+

Gf–1 Gf

0 1

x 1

Gf–1

oui

Sur R , la fonction est injective. +

O 0

√

x−1

im g =

dom g−1

= [1; →

Gg–1

O 0

Gf–1

g−1 (x) =

x+1 x

4) non

POUR CHERCHER

2) f(x) =

|x2 − 4| − |x − x2 | + 1.

3.1

iti

48. Pour les fonctions f suivantes, exprime le domaine, l’ensemble-image et les racines; représente-les graphiquement : 1) f(x) = min{x − 2 ; 1 − 2x}, c’est-à-dire que, pour chaque réel x, f(x) est le plus petit des deux nombres x − 2 et 1 − 2x; 2) f(x) = max {x2 −4 ; 2x}, c’est-à-dire que, pour chaque réel x, f(x) est le plus grand des deux nombres x2 − 4 et 2x; 3) f(x) = max {x2 − 3x ; 1 − x2 }; 4) f(x) = min {|x − 3| ; |1 − 2x|}; 5) f(x) = min {|x2 − 4| ; |1 − 2x| − 1}. 49. Invente l’expression analytique d’une fonction f dont on te donne les propriétés suivantes (il n’y a pas qu’une seule réponse possible !) : • f est définie sur [−3; 4], • f est strictement croissante sur [−3; 0[ et sur ]3, 4[, • f est strictement décroissante sur ]0; 3[, • f(−3) = −4, f(0) = 3, • Gf coupe l’axe des x aux points d’abscisses respectives −2 et 2, • l’image par f de 3 est −2, celle de 4 est −1. Esquisse le graphe cartésien de f. 50. Détermine le domaine de définition des fonctions dans R définies par 1 − 3x 1) f(x) = 2 ; |x − 1| − |1 − 2x| − 2

51. Détermine les réels r et s pour que la fonction f : R → R : x → rx3 + x2 + (s − 2)x + 3 soit paire.

52. Détermine les réels p et q pour que la fonction f : R → R : x → (p − 2)x2 + 3x + pq + 2 soit impaire. 53. UNE FONCTION HOMOGRAPHIQUE EN OPTIQUE Voici une lentille de centre O et de distance focale OF telle que OF = 10, un objet [KL] dont la distance à O est p, son image [K L ] dont la distance à O est p . L

F O

S lentille

• a) Démontre la formule• connue en optique : 10 p p. 15 = . p p − 10 Utilise deux couples de triangles semblables bien choisis ou le théorème de Thalès. b) Pour une distance focale OF égale à 10, la distance p de l’image à la lentille est fonction de la distance p de l’objet à la lentille. Si la variable est p, cherche l’expression analytique de la fonction p .

CaEM56603page 55 noir vert

EXERCICES

3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

54. Observe les hyperboles H1 et H2 : 1 x−1 H1 ≡ y = H2 ≡ y = ; . x x+2 L’exercice qui suit propose de démontrer que H2 admet un centre de symétrie duquel tu détermineras les coordonnées.

2) f(x) = (α − 1)x + 3β + 5 et g(x) = 2βx − 2α + 3; 3) f(x) = 3αx2 − 2x − α + 1 et g(x) = −2βx2 + 2x + 2β + 3. Détermine chaque fois les réels α et β pour que les fonctions f et g soient égales. 3.3 et 3.4

57. Vrai ou faux ? Justiﬁe ! 1) Si 1 O(0;0) 1

alors, pour étudier la position de Gf par rapport à Gg , il suﬃt d’étudier la position de Gh par rapport à l’axe x. 2) Si une fonction paire est déﬁnie en 0, alors f(0) = 0.

y = 1x

3) Si une fonction impaire est 1 4) La fonction f : x → −1 est impaire. 1 5) La fonction f : x → −1 est impaire.

O 0

si x

si x < 0

si x > 0 si x < 0

6) La seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction constante nulle.

B (x;y) (x';y')

A(–2;1) 0

déﬁnie en 0, alors f(0) = 0.

Gf est le graphe cartésien de la fonction f, Gg , celui de la fonction g, Gh , celui de la fonction h et h = f − g,

–1 y = xx + 2

a) Justiﬁe que l’hyperbole H1 est le graphe cartésien d’une fonction f1 impaire. Quel est son domaine ? Quelles sont les coordonnées de son centre de symétrie ?

7) Une condition nécessaire et suﬃsante pour que f soit une fonction impaire est que son domaine soit du type [−a; a], ] − a; a[ ou R .

iti

b) A(−2; 1) est le point d’intersection des asymptotes de l’hyperbole H2 . Soit • (x; y), les coordonnées d’un point B de H2 dans le repère d’origine O et d’axes x et y; • (x ; y ), les coordonnées du même point B dans le repère d’origine A et d’axes x et y .

Établis une égalité qui lie x et x et une égalité qui lie y et y .

c) Tenant compte des égalités établies dans b), trouve une équation de H2 dans le deuxième repère. Étudie la parité de la fonction qui lie x et y . Que conclus-tu pour le point A ?

8) Une condition nécessaire et suﬃsante pour qu’une fonction polynôme soit paire est que les exposants des puissances de x soient pairs et non nuls. 9) Une condition nécessaire et suﬃsante pour qu’une fonction polynôme soit impaire est que les exposants des puissances de x soient impairs.

10) Si f et g sont deux fonctions paires, alors f + g est une fonction paire. 11) Si f et g sont deux fonctions impaires, alors f − g est une fonction paire. 12) Si f et g sont deux fonctions impaires, alors f ◦ g est une fonction impaire. 13) Si f et g sont deux fonctions impaires, alors f ◦ g est une fonction paire. 14) Si f et g sont des fonctions décroissantes sur [a; b], alors f . g est croissante sur [a; b]. 58. Dans le plan muni d’un repère orthonormé,

x2 + ax + 4 55. Soit la fonction f(x) = (a ∈ R). 4x2 + ax + 1 a) À quelle condition a-t-on : dom f = R ? (On supposera cette condition réalisée dans la suite). b) Montre que f ne s’annule pas.

a) dessine le graphique des fonctions f, g et f + g |x + 3|, si x − 1 si f(x) = |2 − x|, si −1 < x < 3 1 − |x + 4|, si −4 x < −2 et si g(x) = |1 − x2 |, si −2 x < 2; b) exprime le domaine, l’ensemble-image et l’ensemble des racines de f, de g et de f + g.

3.2 56. Soit les fonctions f et g telles que 1) f(x) = 8x − 7 et g(x) = α(2x − 1) + 3β;

CaEM56603page 56 noir vert 3. FONCTIONS ET GRAPHIQUES

EXERCICES

59. Représente sur la ﬁgure ci-dessous le graphique approximatif de h(x) = g(x) sin x, où le graphique de g est donné ci-dessous :

3.6 2 60. a) La fonction f : R → R : x → x − 4x est-elle injective ? Pourquoi ?

b) Choisis une partie A de R , la plus «grande» possible, sur laquelle une restriction g de f est injective.

y = g(x)

c) Découvre une expression analytique de la réciproque g−1 de g. x

O —1

p 2

3p 2

e) Détermine dom g, im g, dom g−1 et im g−1 .

—p

d) Dessine le graphique de g et celui de g−1 .

—p 2

FERMAT : UN AMATEUR ÉCLAIRÉ DE MATHÉMATIQUES

Pierre de Fermat, né dans le Sud de la France, fit des études de droit et devint conseiller au Parlement de Toulouse.

Il ne fut pas mathématicien de métier. Ses loisirs se passaient à lire (en grec et en latin !) des textes de Diophante. Il entretint une correspondance avec des scientifiques de l’époque, comme Blaise Pascal (1623-1662), René Descartes (15961650),... via le Père Marin Mersenne, philosophe et savant français qui se chargeait de récolter les informations scientifiques de l’époque et de les transmettre à certains de ses collègues.

Marin Mersenne (1588-1648)

Pierre de Fermat (1601-1665)

Il ne publiera pas de son vivant.

C’est Clément de Fermat qui publiera l’œuvre posthume de son père. Elle contient entre autres le texte de Diophante annoté par Pierre de Fermat. Il est l’auteur de plusieurs conjectures arithmétiques dont, entre autres,

iti

– le petit théorème de Fermat :

p est un nombre premier, a est un nombre entier,

alors ap − a est divisible par p.

Cette propriété fut démontrée par l’Allemand Leibniz et le Suisse Euler.

– le grand théorème de Fermat :

si n est un entier, n 3, alors xn + yn = zn n’admet aucune solution (x, y, z) avec x, y , z entiers naturels non nuls.

«J’en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir» annote Fermat dans son exemplaire des «Arithmétiques» de Diophante. Hélas, on n’a pas retrouvé sa démonstration et tout porte à croire qu’elle n’était pas étendue à toutes les valeurs entières de n. Andrew Wiles, mathématicien anglais, professeur à Princeton (U.S.A.), démontra le grand théorème dans sa généralité en . . . 1993, après sept années de recherche. Il reçut en récompense le Prix Wolfskehl d’un montant de 100 000 marks ... de 1908. Des réticences se firent jour . . . ! Andrew Wiles

CaEM566B01page 147 noir vert

GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE & GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

— DANS LE PLAN — DANS L’ESPACE

iti

Associer les outils vectoriels à des intuitions géométriques; intégrer des situations planes et spatiales au raisonnement géométrique; exploiter les méthodes de démonstration et de résolution de problèmes qui en découlent.

Du manuel, tome 2

1. 2. 3. 4.

Parallélisme et orthogonalité Calcul vectoriel Calcul vectoriel (suite) : produit scalaire Transformations du plan et de l’espace

147

CaEM566B01page 148 noir vert

Tome 2

1.1 à 1.5 :

4e FESeC – 5e Communauté

PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ Compétences à atteindre 5 e Communauté

1.6 à 1.8 : pour tous

– Repérer sur une représentation plane des droites sécantes, gauches, parallèles, des plans sécants et parallèles. – Comprendre et savoir expliquer les énoncés des propriétés d’incidence et de parallélisme. Énoncer et démontrer les deux critères de parallélisme. – Déterminer un point de percée et construire de façon raisonnée une section d’un cube, d’un tétraèdre ou d’un parallélépipède rectangle par un plan défini par trois points en justifiant les différentes étapes.

Pour tous

iti

– Énoncer et démontrer les critères d’orthogonalité d’une droite et d’un plan, de deux plans. – Justiﬁer la construction de la perpendiculaire commune à deux droites gauches. – Caractériser le plan médiateur comme lieu géométrique et l’utiliser dans des problèmes de distances.

Considère le cube C . a) Quelle est la position des arêtes [ AA ] et [ DD ] ; [ AB] et [ AA ] ; [ AB] et [ DD ] ? Par un point de DD , trace la droite d parallèle à AB. Quel angle forme d avec DD ?

b) Trouve d’autres couples de droites dans le cube C qui occupent une position analogue à celle de AB et DD : — deux droites portant des arêtes; — une droite portant une arête et une droite ne portant pas d’arête; — deux droites ne portant pas d’arête.

c) Trouve une droite d qui forme un angle droit avec les droites AB et DD’. Combien de solutions trouve-t-on pour d ? Justifie. Manuel, tome 2, p. 13

148

d) En supposant que le côté du cube mesure 5 cm, quelle est la plus courte distance entre les arêtes [AB] et [DD’] ?

CaEM566B01page 149 noir vert ACTIVITÉS

1. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

Observe la porte ABCD qui tourne autour de sa charnière [BC]. Cette porte a la particularité de se mouvoir aussi bien dans la cuisine au sol carrelé que dans la salle à manger recouverte d’un tapis de couleur. Pendant le mouvement, la porte ne se déforme pas : les côtés [BC] et [CD] demeurent perpendiculaires. De plus, le côté [CD] glisse sur le plan du plancher des deux locaux.

a) Sur le plancher, dessine une droite CM. Peux-tu faire tourner la porte de telle manière que sa base inférieure coïncide avec cette droite CM ? Si oui, quelle est la position dans l’espace de la droite BC par rapport à la droite CM ? Ce travail peut-il être réalisé pour chaque droite issue de C et située dans le plancher des deux pièces ?

b) De l’observation précédente, déduis une propriété évoquant la perpendicularité d’une droite a et d’un plan α associant la droite a, le plan α et les droites du plan α qui passent par le point de percée A de a dans α. A

d) Pour justifier ta réponse à la question c), tu pourrais tenter de démontrer la propriété suivante : soit

b3 b1

a B

Porte

B sur a, M sur b1 , P sur b2 de telle manière que AB = AM = AP = k .

Trace

la droite MP qui coupe la bissectrice b3 en Q, [ BM] , [ BQ] et [BP] .

1) Calcule AM et BP. Quelle est la nature du triangle MBP ?

M b1

alors a ⊥ b3 .

iti

a ⊥ b1 et a ⊥ b2 ,

la droite a, les droites b1 et b2 se coupant au point A, θ, l’angle formé par les droites b1 et b2 b3 , la bissectrice de θ,

c) À combien de droites au minimum passant par A et incluses dans α, la droite a devrait-elle être perpendiculaire pour qu’elle soit perpendiculaire au plan α ?

2) On veut montrer que les droites BA et AQ sont perpendiculaires.

Q M

Manuel, tome 2, p. 15

? Pourquoi ? Exprime AQ . — Que mesure MQA 2

? Pourquoi ? Exprime BQ . — Que mesure BQM 2

— Exprime BQ − AQ et conclus !

e) Comment procéderais-tu, au départ de la situation évoquée en d), pour démontrer que la droite a étant perpendiculaire à b1 , b2 et b3 , est perpendiculaire à d’autres droites du plan contenant les droites b1 et b2 ?

149

CaEM566B01page 150 noir vert

1. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

EXERCICES

POUR APPLIQUER 1.1 — 1.2 — 1.3

1. Dessine deux pyramides à base carrée de mêmes dimensions, sachant que, pour la première, l’œil de l’observateur est situé au-dessus du plan de base; tandis que, pour la deuxième, l’œil est placé en dessous de la base.

C A

X est un point de AD Y est un point de BD

Deux positions diﬀérentes sont à envisager. La position de l’observateur sera chaque fois décrite.

a, b, c sont des droites, α, β, γ sont des plans, α ∩ β = a, α ∩ γ = b, β ∩ γ = c.

X est un point de AD Y est dans le plan BCD

3. Données :

2. Suivant l’endroit où se trouve l’observateur, précise les parties vues et cachées de la ﬁgure suivante de l’espace qui représente un prisme triangulaire. A

X est un point de AD Y est un point de CD XY // AC

(4e FESeC – 5e Communauté)

Dessine cette situation de l’espace et précise la position choisie par l’œil de l’observateur. α et β sont des plans : α // β et α = β, a est une droite, a ∩ α = {A}, a ∩ β = {B}. Dessine cette situation de l’espace et précise la position choisie par l’œil de l’observateur.

7. Soit la pyramide à base carrée de sommet S. S Construis : M 1) le point de percée de la droite MN P dans le plan ABC; C 2) l’intersection des plans SMP et ABC; D N 3) le point de percée de la droite MP dans le plan ABC; B A 4) l’intersection de la pyramide avec le plan α passant par P et parallèle à ABC.

4. Données :

iti

5. Soit le cube ARTHUBOS. 1) Recherche l’intersection de la droite RK avec le plan URO (K est un point de HS). 2) Recherche le point de percée de la droite KC dans le plan UOB (C est un point de RT). 3) Recherche le point de percée de la droite KC dans le plan URO (C est un point du plan UAH et K est un point de RA).

S K

K U

T H

S T

150

Q S

C U

P B

6. Dans chaque situation suivante, détermine graphiquement le point de percée de la droite XY dans le plan ABC. Rédige un résumé des démarches eﬀectuées.

9. On donne le cube MNPQRSTU et le plan passant par A, B et C. Dans les différents cas, recherche l’intersection de ce plan avec le cube, en justifiant les différentes étapes.

Recherche 1) l’intersection du plan THM avec le plan BOS; 2) l’intersection du plan THM avec le cube.

8. On donne le cube ARTHUBOS :

T U

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EXERCICES

1. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

A est dans le plan MPQ C est dans le plan PTU

C Détermine 1) l’intersection du plan QPN avec le tétraèdre ABCD; 2) l’intersection du plan QPN avec le plan BCD; 3) le point de percée de la droite QN dans le plan ABD; 4) le point de percée de la droite QM dans le plan ACD. Justiﬁe tes diﬀérentes réponses.

M B

Construis en justiﬁant, N C l’intersection du plan MNP avec les quatre faces de la pyramide. Hachure le polygone d’intersection.

1.4 et 1.5

12. Dans les situations suivantes, détermine l’intersection du plan ABC avec le tétraèdre RSTU :

iti

B est sur RU A est sur RT C est sur TS

Ed B

19. A, B, C et D sont quatre points d’un plan α, tels que ABCD soit un parallélogramme.

B est sur RU A est sur RT C est sur TS

C T

O W

a en A , b en B , c en C , d en D . Caractérise le quadrilatère A B C D et justiﬁe.

Le plan α coupe ces quatre droites :

b S

Par chaque sommet du parallélogramme, trace une droite : a par A, b par B, c par C, d par D, telles qu’elles soient parallèles entre elles et non parallèles au plan ABC.

20. Soient trois droites a, b et c concourantes en O, mais non coplanaires. Soient les points R et U de a; S et V de b; T et W de c. a R

13. Construis la section plane dans le cube dessiné cicontre par le plan contenant la droite AB et parallèle au plan DBC .

18. Soit d et d deux droites gauches et la droite x distincte des deux précédentes. Construis la droite y parallèle à x et qui s’appuie sur les deux droites gauches.

16. Si trois plans distincts se coupent deux à deux, alors les intersections ont un point commun, sont parallèles deux à deux en étant distinctes ou sont confondues. Démontre.

15. Compare, du point de vue de la longueur, les segments déterminés, sur deux droites parallèles par deux plans parallèles. Démontre.

17. Soit d et d deux droites parallèles et X un point n’appartenant à aucune de ces deux droites. Quel est l’ensemble des plans comprenant X et parallèles aux deux droites données ? Justiﬁe.

(4e FESeC – 5e Communauté)

11. Détermine la section du tétraèdre par le plan α déterminé par les points X, Y et Z : X est sur AB, Y est sur AC, Z est sur BD. Hachure la section obtenue A et justiﬁe les étapes.

la pyramide triangulaire SABC, M est sur SA, A N est sur BC, P est sur SB. P S

Q S R

10. Soit

14. Soit Q un point de la droite BC.

P A

1) Démontre que si RS // UV et ST // VW, alors RT // UW. 2) Comment caractérises-tu les triangles RST et UVW ? 3) Quelle transformation de l’espace applique le triangle RST sur le triangle UVW ? 4) Qu’advient-il des conclusions précédentes si les droites a, b et c sont parallèles et non coplanaires ?

151

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1. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

EXERCICES

1.6 Certains énoncés qui suivent peuvent être utilisés pour en démontrer d’autres.

22. Les droites x et y sont données. Si une parallèle à y menée par un point de x est perpendiculaire à x, alors toute parallèle à y menée par un point de x est perpendiculaire à x.

Démontre cette propriété qui légitime la déﬁnition de droites orthogonales, sans utiliser cette déﬁnition.

25. 1) Deux plans sont parallèles si et seulement si l’un d’eux est perpendiculaire à une droite perpendiculaire à l’autre. Démontre ce critère de parallélisme de deux plans. 2) Démontre que si deux droites sont parallèles respectivement à deux droites orthogonales, alors elles sont orthogonales. 3) Démontre qu’une droite et un plan sont parallèles si et seulement si la droite et le plan sont perpendiculaires à un même plan. 4) Démontre que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l’un des plans est perpendiculaire à une droite parallèle à l’autre. 5) Démontre que deux plans sont parallèles si et seulement si les deux plans sont perpendiculaires à une même droite. 6) Démontre que si un plan est perpendiculaire à l’intersection de deux plans perpendiculaires, alors le premier coupe les deux autres suivant des droites perpendiculaires. 7) Démontre que si un plan coupe deux plans sécants suivant des droites perpendiculaires à leur intersection, alors le premier plan est perpendiculaire aux deux autres. 8) Démontre que si deux plans sont perpendiculaires à un même plan, alors l’intersection des deux premiers est perpendiculaire au troisième plan.

21. Vrai ou faux ? Justiﬁe. 1) Si deux plans sont perpendiculaires, alors toute droite de l’un est perpendiculaire à l’autre. 2) Si deux plans sont perpendiculaires, alors toute droite de l’un est orthogonale à toute droite de l’autre. 3) Si deux plans sont perpendiculaires, alors tout plan perpendiculaire à l’un est parallèle à l’autre. 4) Si deux plans sont perpendiculaires, alors le rectiligne de chaque dièdre formé par les deux plans est un angle droit. 5) Deux droites orthogonales à une même droite sont parallèles. 6) Tous les rectilignes d’un même dièdre sont des angles de même amplitude.

DÉMONTRER

26. Si a et b sont deux droites sécantes, α est un plan perpendiculaire à la droite a, β est un plan perpendiculaire à la droite b, démontre que 1) α et β sont sécants, 2) la droite i d’intersection de α et β est orthogonale à a et b. Quelle est la position de i par rapport au plan formé par les droites a et b ? Justiﬁe.

23. On donne les plans α et β sécants en d; le point D n’appartenant ni à α, ni à β ; la perpendiculaire a à α, issue de D; le point de percée A de a dans α la perpendiculaire b à B, issue de D; le point de percée B de b dans α; le point de percée C de d dans le plan ADB.

iti

Démontre que 1) d est perpendiculaire au plan ADB; 2) d est perpendiculaire à DC.

27. a) Si par un point A, on mène • la droite a, perpendiculaire à un plan α donné, • la droite b, distincte de a, orthogonale à une droite d de α, alors le plan β formé par a et b est perpendiculaire à d.

24. a) Deux droites sont orthogonales si et seulement si l’une d’elles est orthogonale à une parallèle à l’autre. Démontre ce critère d’orthogonalité de deux droites. Une droite et un plan sont perpendiculaires si et seulement si la droite est parallèle à une autre droite perpendiculaire au plan. • Une droite et un plan sont perpendiculaires si et seulement si le plan est parallèle à un autre plan perpendiculaire à la droite. Démontre ces critères d’orthogonalité d’une droite et d’un plan. c) Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si l’un d’eux est perpendiculaire à un plan parallèle à l’autre. Démontre ce critère d’orthogonalité de deux plans. b)

152

•

a a

Démontre cette propriété connue sous le nom de « théorème des trois droites orthogonales ». b) Dans le plan α, on donne le cercle C de diamètre [XY]. Par X, on élève la perpendiculaire a au plan α. Si Z est un point de a distinct de X, U est un point de C distinct de X et de Y,

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EXERCICES

1. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

démontre que les plans ZXU et ZYU sont perpendiculaires.

37. Sachant que les droites AB et CD sont orthogonales, 2

démontre que CA − CB = DA − DB .

C a

CONSTRUIRE

28. Si a et a sont deux droites sécantes et M un point n’appartenant pas au plan formé par a et a , décris un procédé de construction d’une droite passant par M, orthogonale à a et coupant a . Justiﬁe ce procédé de construction et discute le nombre de solutions. 29. On donne le plan π, la droite d et le point M n’appartenant ni à d, ni à π. Décris, en justiﬁant, la manière de construire la droite d orthogonale à d, parallèle à π et passant par M. Discute le nombre de solutions.

39. Décris en justiﬁant la construction d’une droite, passant par un point donné, située à une distance k donnée d’un deuxième point donné et à une distance h donnée d’une droite donnée. Discute le nombre de solutions. 40. Dans un cube, construis le plan médiateur a) d’une diagonale d’une face; b) d’une diagonale du cube. Caractérise ces deux plans dans le cube.

30. Décris la construction d’un plan perpendiculaire à un plan donné, passant par un point donné. Combien y a-t-il de solutions ? Justiﬁe !

38. On donne deux points distincts A et B et une droite m, gauche avec AB. Décris en justiﬁant la construction d’un point X de m tel que XA = XB. Discute le nombre de solutions d’après la position de m.

31. Décris la construction d’un plan perpendiculaire à un plan donné, contenant une droite donnée. Combien y a-t-il de solutions ? Justiﬁe. 32. Voici un cube. Construis une perpendiculaire commune aux droites données :

a) RU et MN; d) NT et MU;

41. Dans le plan π, on donne le carré ABCD dont le côté mesure t. De A, on mène la droite m perpendiculairement au plan π.

CALCULER

b) MQ et NU; e) MU et RP;

Sur m, on porte le point M tel que AM = t. Calcule, en justiﬁant, la longueur des autres arêtes issues de M de cette pyramide à base carrée.

42. Dans un cube C de côté mesurant 10 cm, on construit la section déterminée par le plan MCC , M étant à 2 cm de A sur [AD].

c) MT et QU; f) MT et NU.

iti

Justiﬁe tes constructions !

33. Construis un cube dont deux arêtes sont incluses à deux droites orthogonales données. Combien y a-t-il de solutions ? 1.7 et 1.8

DÉMONTRER

34. Démontre que le plan médiateur d’un segment de droite est la réunion des médiatrices de ce segment. 35. On donne deux triangles isocèles non coplanaires de même base [AB]. Démontre que le plan déterminé par les deux autres sommets et le milieu M de [AB] est le plan médiateur de [AB].

a) Quelle est la nature de cette section ? Justiﬁe ! b) Considère le prisme MCDD M C à base triangulaire. Calcule l’aire totale de ses faces. Calcule son volume.

A 2

43. On donne la droite d et le point X ne lui appartenant pas. Par X, on élève la droite a perpendiculairement au plan formé par X et d. Sur a, on porte le point B tel que la distance de B au plan soit 4 cm. De B, on abaisse la droite c perpendiculairement à d. Elle coupe d en C. Soit BC = 6 cm. Sur d, on porte le point E tel que CE = 4 cm.

36. Dans un tétraèdre régulier (toutes ses arêtes ont même longueur), démontre que les plans médiateurs des trois arêtes d’une même face se coupent en une droite comprenant l’orthocentre de cette face et le sommet opposé à cette face.

Calcule XC et XE, après avoir démontré que XC et d sont deux droites perpendiculaires.

153

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1. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

EXERCICES

44. On donne dans un plan π, le cercle C de centre C et de rayon 2 (note qu’en perspective cavalière, un cercle se représente par une ellipse). Soit A et B, deux points de C, diamétralement opposés. De A, élève la droite m perpendiculairement à π. Soit M un point quelconque de C distinct de A et de B; N un point quelconque de m. a) Si d(M, N) = 3 et d(A, N) = 2, calcule • d(M, B) de manière justiﬁée; • les angles du triangle MNB. b) Calcule l’aire• des faces du tétraèdre NAMB. c) Calcule le volume• de ce solide.

m N

p. 17

POUR S’AUTOCONTRÔLER

2) Deux droites distinctes sont parallèles si elles sont perpendiculaires respectivement à deux plans parallèles. 46. Dans un tétraèdre régulier de côté a, on mène par le

milieu d’une arête les droites passant par les sommets qui n’appartiennent pas à cette arête. a) Calcule l’angle de ces deux droites. b) Montre que le plan médiateur α de [CD] contient la droite AB. Calcule BN, si N est le milieu de [CD]. c) Calcule le volume du tétraèdre ABCD.

1) Deux droites distinctes sont parallèles si elles sont perpendiculaires à un même plan.

45. Les énoncés suivant sont-ils vrais ou faux ?

45. 1) Vrai car les droites a et b sont coplanaires et perpendiculaires à la droite AB incluse dans le plan α.

•

2) Vrai car si la droite b est perpendiculaire au plan β qui est parallèle au plan α, alors b ⊥ α ;

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S’AUTOCONTRÔLER

a⊥α ⇒ a // b b⊥α (énoncé précédent).

√

b) Le plan médiateur passant par N, milieu de [CD], est perpendiculaire à [CD]. Donc, CD ⊥ AN et CD ⊥ BN (CD étant perpendiculaire à α, CD est orthogonale à toute droite incluse dans α ).

= 60° (le triangle ABC est équilatéral); MBC = 90° (la médiane [CM] est hauteur relative à [AB]). BMC A

√

3a2 a 3 a 3 3a2 a = −2 + . . cos CMD; 4 4 2 2 = 1 et CMD = 70, 528°... D’où, cos CMD 3 2

iti

46. a) • Dans le triangle MBC,

Dans le triangle isocèle CMD :

M p

D B

a B

a C

√

•

154

a 3 C D’où, MC = a . sin 60° = 2 (relation dans le triangle rectangle BMC)

AM et BM sont deux droites incluses dans α et, dès lors, α contient AB :

Dans le triangle √ AMD, il en va de même pour MD. a 3 . D’où, MD = 2

BN =

a2 −

√

a 3 a2 = . 4 2

CaEM566B01page 155 noir vert

EXERCICES

1. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

c) Pour calculer le volume du tétraèdre ABCD, on trace, dans α et par A, la droite p perpendiculaire au plan BCD.

Volume ABCD =

1 (aire∆BCD) . AA 3

√

La droite p est perpendiculaire au plan BCD en A . (car AA ⊥ BN, AA ⊥ CD, BN et CD sont sécantes en N et critère de perpendicularité d’une droite et d’un plan).

1 1 a 3 . a. . 3 2 2

a2 −

(BA =

√

3a2 9

a3 2 . 12

√

2 a 3 BN = ) 3 3

POUR CHERCHER A

47. Considère le tétraèdre ABCD dans lequel les arêtes AB et CD sont orthogonales, ainsi que les arêtes BC et AD. De B, abaisse la droite x perpenA diculairement au plan ADC. Elle coupe ce plan au point H. x

1) Construis la section S déterB C minée par α dans le tétraèdre A' donné. B' Quelle est la nature de cette section ? Justiﬁe ! 2) Quelle est la nature du triangle AB A . Justiﬁe en calculant la longueur de ses côtés.

Démontre que 1) AH ⊥ CD;

Par C, on trace le plan α parallèle à AB et à A B .

2) BD ⊥ AC.

3) Étudie les variations de l’aire S(x) de la section S, lorsque le point C occupe n’importe quelle position dans ]BA [, après avoir choisi BC comme inconnue x et après avoir déterminé les bornes de x. 4) Représente graphiquement la fonction S(x). Montre que S(x) admet un maximum. Quelle est la nature de la section S pour cette valeur de x qui rend S maximale ?

C e

DISTANCE ENTRE DEUX DROITES GAUCHES

50. Démontre que si la perpendiculaire commune d aux deux droites gauches a et b coupe celles-ci respectivement en A et en B, alors la distance de A à B est strictement inférieure à la distance de tout point de a à tout point de b, pour autant qu’un des deux points ne soit pas A ou B. On envisagera trois cas avec A ∈ a, B ∈ b : / B; 1) A = A, B = / A, B = B; 2) A = / A, B = / B. 3) A =

CH4

48. Dans la seconde moitié du XIX siècle, les chimistes sont inﬂuencés par des travaux en cristallographie et représentent les molécules sous la forme de polyèdres (solides limités par des portions de plan qui sont leurs faces). Ainsi, par exemple, la molécule CH4 de méthane est représentée par un tétraèdre régulier.

Démontre que deux arêtes non coplanaires de tout tétraèdre régulier sont orthogonales.

iti

les droites orthogonales et gauches a et b; A ∈ a, B ∈ a; A ∈ b, B ∈ b; M,N,P et Q les milieux respectifs de [AB ], [BB ], [BA ] et [AA ].

49. a) Soit

b A'

Cette propriété légitime la déﬁnition suivante : La distance entre deux droites gauches est la distance entre les points d’intersection de chacune de ces droites gauches avec la perpendiculaire commune. SPHÈRES

La sphère de centre A et de rayon r, notée S(A; r), est le lieu des points de l’espace dont la distance au centre A est égale à r.

N B'

1) Caractérise le quadrilatère MNPQ. Justiﬁe. 2) La propriété énoncée ci-dessus demeure-t-elle d’application si M est un point quelconque de [AB ] et si N, P et Q sont respectivement les points de l’intersection avec [BB ], [BA ] et [AA ] du plan comprenant M et qui est parallèle à a et à b ? b) Soit une situation analogue de tétraèdre AA B B mais AB ⊥ BB , AB ⊥ BA et BB ⊥ BA ; AB = BB = BA = 3.

51. Étudie, de manière justiﬁée, le nombre de points d’intersection a) d’une droite d et d’une sphère S(A; r); b) d’un plan α et d’une sphère S(A; r).

155

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1. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ

EXERCICES

52. Étant donné quatre points non coplanaires, démontre qu’une seule sphère les comprend. Indique un procédé de construction de cette sphère. 53. Le triangle BAC rectangle en A est donné. Par le sommet B, on mène la perpendiculaire p au plan de ce triangle. Par un point D quelconque de p, on mène la droite DC. Montre que le milieu M de [CD] est le centre de la sphère comprenant A, B, C et D. 54. Recherche et caractérise l’intersection de deux sphères données.

59. Détermine le lieu des points équidistants de deux plans parallèles données. 60. Détermine le lieu des points équidistants de trois points donnés et non alignés. 61. Détermine le lieu des points équidistants de quatre points donnés non coplanaires. 62. Détermine le lieu des points d’un plan dont la distance à un point donné n’appartenant pas au plan est le réel k non nul. Discute en comparant k à la distance du point donné au plan donné.

55. Démontre que deux cercles tangents non coplanaires sont inclus dans une et une seule sphère dont tu détermineras un procédé de construction.

63. Détermine le lieu des points situés à la distance k non nulle donnée d’une droite donnée. On examinera le problème

56. Démontre que les plans médiateurs des six arêtes d’un tétraèdre régulier ont un point commun équidistant des sommets.

64. Détermine le lieu des points situés à la distance k non nulle donnée d’un plan donné.

b) dans l’espace.

65. Détermine le lieu des points dont le rapport des distances à une droite donnée et à un point donné de cette droite est le réel non nul k donné.

57. Par rotation d’un triangle équilatéral et de son cercle inscrit, autour d’une hauteur du triangle, on obtient un cône et sa sphère inscrite. Démontre que, si la capacité de la sphère est de quatre litres, celui du cône en vaut neuf.

a) dans le plan;

66. Détermine le lieu des centres des sphères comprenant 1) deux points donnés;

67. Détermine le lieu des centres des sphères contenant un cercle donné.

58. Détermine le lieu des points équidistants de deux droites parallèles données.

2) trois points donnés non alignés.

LIEUX

VENUS D’AILLEURS

deux étages) ayant le même volume. Le premier étage est au niveau h1 et le deuxième étage au niveau h1 + h2 .

68. Soit une sphère S1 et un plan α extérieur à cette sphère. On construit une sphère S2 , tangente à la fois au plan α et à la sphère S1 . Démontrer que la droite qui joint les points de contact de S1 avec S2 et de S2 avec α passe par l’une des extrémités du diamètre de la sphère, perpendiculairement au plan α. (FPM)

iti

69. Soit p1 et p2 deux plans de l’espace qui ne sont pas perpendiculaires entre eux. Soit, dans le plan p1 , un carré ABCD que l’on projette orthogonalement sur p2 en A B C D . Déterminer quelles conditions doivent être imposées pour que A B C D soit a) un losange; b) un rectangle; c) un carré; d) un parallélogramme. (FPM) 70. On enlève à chaque sommet d’un cube les pyramides dont les bases sont des triangles, le sommets de ceux-ci étant les milieux de trois arêtes concourantes du cube. a) Dessiner le polyèdre obtenu. b) Préciser ses arêtes et ses faces. c) Calculer son aire en fonction de l’arête du cube. (GEI, 2001)

71. Une «maison» est construite à partir d’un cube de côté a auquel on superpose un toit pyramidal de hauteur H. Pour des raisons de dimensionnement du chauﬀage, on cherche à construire trois niveaux (rez de chaussée au niveau zéro et

156

On demande 1) d’exprimer les hauteurs h1 et h2 en fonction de a et H en discutant la solution pour diﬀérentes valeurs de a et H; 1 2) d’évaluer h1 dans les cas (i) a = 1, H = 2 (ii) a = 1, H = 9. (UCL, 2003)

72. Soit une pyramide de base B et de hauteur h. On prolonge les arêtes de cette pyramide au-delà du sommet et on coupe ces prolongements par un plan parallèle à la base B. On forme ainsi une seconde pyramide de hauteur h et de base B . On déﬁnit ∆h = |h − h|. On vous demande d’exprimer la somme des volumes de ces deux pyramides en fonction de B, de B et de ∆h, en vous aidant d’un dessin du problème. (UCL, 2003) 73. Soit ABCD un tétraèdre tel que |AC| = |AD| et |BC| = |BD| et tel que les triangles ACD et BCD aient même aire. Si M et M sont les milieux de [CD] et [AB], démontrer que MM est la perpendiculaire commune à AB et CD. (ULg, 2003) Note : |AC| est une autre notation de la distance de A à C.

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ALGÈBRE LINÉAIRE

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

iti

Développer certains savoirs algébriques pour enrichir la géométrie plane et la géométrie dans l’espace.

Du manuel, tome 2

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

178

CaEM566B05page 179 noir vert

Tome 2

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DANS L’ESPACE (1 partie) re

5e FESec – 6e Communauté

Compétences à atteindre

Établir les équations vectorielles d’une droite et d’un plan à partir d’éléments qui les déterminent.

Dans l’espace, on donne la droite d passant par les deux points distincts A et B.

−→

− →

a) Tu apprends que BX = BA.

Que peux-tu dire de la position de X par rapport à d ?

−→

− →

Quelle égalité lie AX et AB ? Justifie tes réponses.

Dans un repère cartésien de l’espace, les coordonnées de A sont ( 1; 3; 5) et celles de B sont ( 4; −2; 3). Détermine les coordonnées de X dans ce repère si on te dit que X appartient à la droite AB.

−→

iti

Manuel, tome 2, p. 56

− →

BX = −3 BA ,

b) Réponds aux questions posées en a) si

−→

− →

( r ∈ R).

BX = r BA

Dans l’espace, on donne le plan π passant par les trois points non alignés A, B et C.

→ − → −

−→

−→ − →

a) Tu apprends que AE = 3 AB , AF = −2 AC et AX = AE + AF . Que peux-tu dire de la figure AEXF ?

Déduis-en la position de X par rapport à π .

→ −→ −

−→

Quelle égalité lie AX , AB et AC ? Justifie tes réponses.

Dans un repère cartésien de l’espace, les coordonnées de A sont ( 1; 3; 5), celles de B sont ( 4; −2; 3) et celles de C sont ( 1; 1; 1). Détermine les coordonnées de X dans ce repère si on te dit que X appartient au plan ABC. b) Réponds aux questions posées en a) lorsque

−→

− →

1) AE = −2 AB ,

−→

− →

−→

2) AE = r AB Manuel, tome 2, p. 57

− →

−→

AF = 4 AC

( r ∈ R);

AF = s AC ( s ∈ R)

−→

−→ − →

AX = AE + AF ;

−→ − →

AX = AE + AF .

179

CaEM566B05page 180 noir vert 5. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DE L’ESPACE (1re partie)

EXERCICES

POUR APPLIQUER 1) A(−1; 2; 3) et B(2; −1; 1) ; C(2; −4; 6) et D(1; 1; −3) ?

5.1 et 5.2 1. Dans un repère de l’espace, on donne M(3; −1; 2) et N(2; 3; 1). Détermine les coordonnées de trois points distincts de la droite MN, aucun des trois n’étant ni M ni N.

2) A(1; 2; −1) et B(3; −2; 1) ; C(−1; 3; 0) et D(2; 3; −2) ? 4. a) Décris l’ensemble des points X de l’espace tels que −→ − → − → AX u = 0 si u est un vecteur de composantes (3; −2; 5) et A un point de coordonnées (2; 1; −3).

2. Vrai ou faux ? Justiﬁe !

b) Établis une équation cartésienne de cet ensemble.

Une équation vectorielle de −→ −→ la droite AB est AX = k AB

5. Écris une équation cartésienne du plan π passant par le point A(−2; 1; 3) et dont un vecteur normal a (1; 2; −1) comme composantes.

Les exercices 3 à 7 sont donnés dans un repère orthonormé de l’espace.

7. Démontre qu’une droite d de vecteur directeur de composantes (a; b; c) est perpendiculaire au plan π d’équation ax + by + cz + d = 0.

3. Les droites AB et CD sont-elles orthogonales, si les points A, B, C et D sont données par leurs coordonnées

− → 6. On donne le point A(1; 2; −1) et un vecteur v (2; 1; −2). Détermine une équation cartésienne du plan π comprenant A et perpendiculaire à une droite dont un vecteur directeur − → est v .

k est l’abscisse de X sur la droite AB dans le repère formé par les points A et B.

POUR S’AUTOCONTRÔLER L’espace est muni d’un repère orthonormé.

8. Écris une équation cartésienne du plan π comprenant le point A(3; −2; 3) et perpendiculaire à la droite d de vecteur − → directeur u (−1; 2; 5).

− → 9. On donne la droite MN de vecteur directeur u (−1; 2; 3) − → et la doite KL de vecteur directeur v (1; 5; −3). Sont-elles orthogonales ?

10. Détermine le réel a pour que les droites AB et CD soient orthogonales, les points étant donnés par leurs coordonnées : A(1; a; 2), B(a−1; 2; 3),C(−4; 1; 3) et D(−1; 3; a).

iti

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S’AUTOCONTRÔLER − →

8. Puisque d ⊥ π , le vecteur directeur u (−1; 2; 5) de la droite d est un vecteur normal du plan π .

− →

Tous les plans qui admettent u comme vecteur normal ont pour équation cartésienne −x + 2y + 5z + k = 0 (k ∈ R). Celui qui passe par le point A(3; −2; 3) est tel que −3 − 4 + 15 + k = 0 ou k = −8. D’où π ≡ −x + 2y + 5z − 8 = 0.

180

9. MN et KL sont orthogonales car

− →

u v = −1 . 1 + 2 . 5 + 3 . (−3) = 0.

− →

10. AB (a − 2; 2 − a; 1) ;

− →

AB ⊥ CD

− →

CD (3; 2; a − 3)

⇔

(a − 2)3 + (2 − a)2 + (a − 3) = 0

⇔

5 · 2

CaEM566B12page 235 noir vert

COMPLÉMENTS

Étendre la notion de réel.

iti

Comprendre la portée des informations chiffrées, les analyser et les critiquer à l’aide des paramètres statistiques et du calcul des probabilités.

Du manuel, tome 2

12. 13. 14.

Nombres complexes Combinatoire et binôme de Newton Statistiques et probabilités

235

CaEM566B12page 236 noir vert

Tome 2

NOMBRES COMPLEXES

6e pour tous

« L’esprit divin s’est manifesté de façon sublime dans cette merveille de l’analyse, ce prodige d’un monde idéal, cet intermédiaire entre l’être et le non-être que nous appelons la racine imaginaire de l’unité négative ». Gottfried Leibniz (1646-1716)

Compétences à atteindre

– Eﬀectuer des calculs où interviennent des nombres complexes, déterminer l’argument, le module, le conjugué d’un nombre complexe et les interpréter géométriquement. – Passer d’un nombre complexe écrit sous forme algébrique au même complexe écrit sous forme trigonométrique et réciproquement. – Construire une représentation géométrique des nombres complexes et interpréter géométriquement les opérations. – Résoudre des équations du deuxième degré et des équations binômes dans C. Tartaglia

(1499-1557)

Une présentation historique (voir « Un petit bout d’histoire », Manuel 2, p. 221).

En 1545, Cardan (1501-1576) publie dans l’Ars Magna une formule, «empruntée» à son rival Tartaglia (1499-1557), qui donne une racine de l’équation particulière du troisième degré : x3 + px + q = 0.

iti

3 3 3 2 q 4p + 27q q 4p3 + 27q2 − + + − − Cette formule est x = . 2

108

Elle demande, bien entendu, que 4p3 + 27q2 soit un réel positif. a) À l’aide de cette formule, résous, dans R , les équations suivantes : x 3 − 18x − 35 = 0

x 3 − 3x + 2 = 0 .

Songe que, si x1 est une racine de l’équation, celle-ci peut aussi s’écrire ( x − x1 )( x 2 + mx + n) = 0 .

J. Cardan (1501-1576)

236

b) Sur ta calculatrice graphique, détermine le graphe cartésien des deux fonctions f( x) = x 3 − 18x − 35 et f( x) = x 3 − 3x + 2 . Vérifie ainsi la pertinence des calculs que tu as réalisés en a).

CaEM566B12page 237 noir vert ACTIVITÉS

12. NOMBRES COMPLEXES

Il semble que Cardan fut tenté d’utiliser sa formule pour résoudre l’équation x3 − 15x − 4 = 0. Cependant il renonça car il n’osa transgresser un interdit. C’est son élève Bombelli (1526-1572) qui publia, en 1572, dans l’Algebra une solution de cette équation en utilisant la formule de son maître et en transgressant l’interdit ! a) Quel est cet interdit ? b) Procède comme Bombelli en notant i une racine carrée de −1. Tu viens d’inventer un nombre nouveau qui n’est pas réel. En utilisant ton invention et la formule de Cardan, montre que 4 est une racine de l’équation. En voilà une invention : à partir d’un nombre sorti de ton (son) imagination, tu viens de trouver une racine réelle de l’équation !

R. Bombelli (1526-1578)

c) Trace le graphe cartésien de la fonction f( x) = x 3 − 15x − 4 sur ta calculatrice graphique et vérifie la pertinence de tes calculs. Manuel, tome 2, p. 198

Tu apprends que i2 = −1.

En d’autres mots, i est une racine carrée de −1 ! Il ne peut s’agir d’un réel : on joue dans un autre ensemble !

a) Calcule ( −i)2 . Que peux-tu conclure quant au nombre de racines carrées de −1, dans ce nouvel ensemble ? b) Puisque −1 = i 2 , écris −36 sous forme d’un carré, sans signe moins. Déduis-en deux racines de −36 dans ce nouvel ensemble.

d) Utilisant la même technique, trouve les racines non réelles des équations suivantes :

Manuel, tome 2, p. 203

c) Compte tenu de ce qui précède, tente de résoudre, dans ce nouvel ensemble, l’équation du deuxième degré : 2x 2 + 2x + 5 = 0 .

x2 + x + 1 = 0;

x2 − x + 1 = 0;

5x 2 + 4x + 1 = 0 .

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, on donne le point A de coordonnées (3; 7).

iti

a) Détermine

la distance de A à l’origine O du repère; , [ OA. le cosinus et le sinus de l’angle orienté [ Ox

b) Fais de même si les coordonnées de A sont

Manuel, tome 2, p. 206

( −3; 7); ( −3; −7); ( 3; −7).

c) Tente une généralisation lorsque les coordonnées de A sont ( a; b). Songe à toutes les possibilités.

237

CaEM566B12page 238 noir vert

12. NOMBRES COMPLEXES

EXERCICES

POUR APPLIQUER 10. Construis dans le plan de Gauss les points dont les aﬃxes sont : 1) (3 − 2i) + (1 − 3i) 3) ( 2 − i)2 1 2) 2(5 − 4i) − (3 + 4i) 4) ( 3 − i)3 2 5) z − z si z = 1 + i et z = 1 − i 6) 2z + 3z si z = 1 + i et z = 1 − i.

12.1 et 12.2 1. Trouve les réels x et y tels que : 1) (2x − 1) + (1 − y)i = 5 − 3i 2) (3x + 2y) − (4x + y)i = 2 − i 3) 3xi − 2y = 3x + 2 − 4yi − 2i 4) xi − y − x + 3i = 0.

11. Vrai ou faux ? Si l’énoncé est correct justiﬁe-le, sinon corrige-le !

1) −3 + i est le complexe conjugué de −3 − i. 2) Un complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. 3) Si z est un nombre complexe, alors a) z est un réel ssi z = z; b) z + z = 2R(z); c) z − z = 2I(z); 1 d) le module de z égale 1 ssi z = . z 1 1 1 4) Si a et b sont des réels, alors = + i. a + bi a b 5) Le carré du module de tout complexe est égal au produit de ce complexe par son conjugué. 6) Les racines carrées de −4 sont 2i et −2i. 7) L’inverse de i est −i. 8) Deux nombres complexes sont conjugués ssi leur somme et leur produit sont des réels. 9) 7 + 5i > 2 − 3i.

2. Calcule et donne la réponse sous la forme a + bi : 1) (3 − 5i) + (−2 + 2i) − (−2 + 3i) 2 2−i 4 − 3i − (1 − i) − 2) 2 3 6 3) (3 + 2i)(4 − 3i) i i − 3+ 4) − 3 − 2 2

2 2 + 3i 5) 2 6) −2 + i 3 2 3 2 i 2 7) − − +i −i 4 2 3 3

3 2 − 3i − 2+i . 8)

3. Détermine l’ensemble des nombres complexes z tels que (z − 1)(z − 1) soit un réel.

4. Quels sont les nombres complexes dont le carré est réel et inférieur à 4 ?

12.3

iti

5. Calcule le quotient des complexes z et z et écris-le sous la forme a + bi : 1) z = 3 + 4i et z = −2i 2) z = 3 et z = 2 + i 3) z = 4 + i et z = 4 − 2i 4) z = i 5 et z = 3 − i 2.

6. Calcule l’inverse des complexes suivants : 1) i ; 2) −3i ; 3) 2 − i 2.

7. Calcule et donne la réponse sous la forme a + bi :

2 2 5−i 2i 1 5−i : . ; 2) . 1) 7+i 3+i 5+i 5+i 8. Extrais les racines carrées des complexes suivants; elles seront écrites sous la forme a + bi : 1) −5 3) 3 + 2i 2) −2i 4) 2 + i 3. 9. Résous dans C les équations suivantes dont les solutions seront écrites sous la forme a + bi : 1) 4z+25z = 2−3i 6) (i + 1)x2 + 4 = 4x 2 2) 3x − 4x + 2 = 0 7) (x2 + 3)(9 + x2 ) = 0 2 3) 4 + t = 0 8) t4 + 6t2 + 25 = 0

1 1 1 4) − = 9) v2 + 2 − 2 iv + 2 2 = 0 x x−1 3 5) w2 −5iw−6 = 0

238

10) 3u4 − 4u3 + 4u − 3 = 0.

12. Écris les complexes suivants sous forme trigonométrique : 1) −12 3) 1 + i 3 5) 3 − 3i 2) −i 4) −3 − i 3 6) −16 + 16i.

13. Écris les complexes suivants sous leur forme algébrique a + bi : 1) cos 45° + i sin 45° 3) 3(cos 210° + i sin 210°) 4) −3 cis 300°.

2) 2(cos 120° + i sin 120°)

14. Soit le nombre complexe z = 3 − i. Calcule le module et l’argument de z, de 3i − z, de 3i + 3z. 15. Calcule et écris sous la forme algébrique : 1) cis 45° . cis 30° 2)

2 cis

π 3

3) (−3 − 3i)7

3 cis

4) π 4

12 cis 60° 4 cis 15°

(2 − 2i)5 (− 2 + i 2)4 5 3 1 6) − i (2 − 2i)6 . 2 2 5)

π 2 cis et z2 = 1 − i 3, calcule 12 z1 1) z1 z2 2) 3) z31 z22 z2 4) les racines carrées de z1 z2 .

16. Si z1 = 3

CaEM566B12page 239 noir vert

EXERCICES

12. NOMBRES COMPLEXES

12.4

12.5

17. Soit le complexe z = 3 − i. a) Calcule les racines carrées du complexe z écrit sous forme trigonométrique. b) Vériﬁe le résultat trouvé en a) par une méthode algébrique. 18. Calcule les racines :

20. À quelle transformation du plan de Gauss correspond 1) l’addition de i à tout complexe z ? 2) la multiplication par i de tout complexe z ? 21. Quelle est l’affixe du point P du plan de Gauss, d’origine O image du point P d’affixe −1 − i 1) par la translation de vecteur d’affixe i ?

1) cubiques de i; 2) quatrièmes de −16; 3) cinquièmes de − 3 + i; 4) sixièmes de − 2 − i 2.

2) par l’homothétie h de centre O et de rapport −2 ? 3) par la rotation r de centre O et d’angle −90° ? 4) par la similitude r ◦ h ? 22. Dans le plan de Gauss, représente le point P d’affixe z = 1 + i et le point Q d’affixe t = 1 − i. Construis géométriquement le point S d’affixe :

19. Résous dans C et porte dans le plan de Gauss les points dont les aﬃxes sont les solutions trouvées : 3) y3 − 2 − i = 0 1) z6 = −1 − i 2) x4 + 81 = 0

4) t4 + t2 + 1 = 0.

1) z + t

4) (z + t)(−2t + 1)

2) 4z − 5t

5) (2z − t)2 .

3) zt

Dans chaque cas, porte dans le plan gaussien les points dont les aﬃxes sont les racines trouvées.

Décris chaque fois les transformations du plan utilisées.

POUR S’AUTOCONTRÔLER

A (4 + 3i) − (3 + 4i)

− 2+i − 2−i B

12.1 et 12.2

23. Quels sont les réels a et b tels que les nombres complexes 2a − 1 + 2bi et 2b − (2 − 3a)i soient égaux ?

i 2

2 − 3i

−7 + 6i

iti

2 2) − 3 − i 2 3)

5) (3 − i) : (2 + i) 2 6 · 6) 3−i 2

25. Calcule les racines carrées de 1 + 2i et écris-les sous la forme a + bi. 26. Résous dans C a + bi) :

(les solutions seront écrites sous forme

1 i. 2

12.3

Factorise ensuite t2 + 4.

3) 2x + ix + 3 = 0.

29. Écris 1 − i 3, − 3 − 3i et − 2 + i 2 sous forme trigonométrique. Calcule ensuite z et écris-le sous la forme algébrique :

6 4 − 3 − 3i 1−i 3 · z= 8 − 2+i 2

12.4 30. Calcule les racines cinquièmes de 32i et porte dans le plan de Gauss les points dont les aﬃxes sont les racines trouvées. 31. Résous dans C les équations suivantes et écris-les sous la forme algébrique : 1) x4 + 8 2 = 8i 2 2) z6 − z3 + 1 = 0. 12.5

1) u − 3 = 4u + 8i. 2) t2 + 4 = 0.

avec z = 2 − i et z = −

24. Calcule et donne la réponse sous la forme a + bi :

5 − 3i 2 − i 5 1)

C (z − z )2 ,

Factorise ensuite 2x2 + ix + 3.

27. Trouve une condition nécessaire et suﬃsante pour que le produit ou le quotient des nombres complexes x + yi et x + y i soit un réel. 28. Porte dans le plan gaussien les points dont les aﬃxes sont données :

32. a) Quelle est l’affixe du point P du plan de Gauss d’origine O, image du point P d’affixe 2 − 2i par − → 1) la translation de vecteur u d’affixe 1 − i suivie de la rotation d’origine O et d’angle 135° ? 2) la rotation d’origine O et d’angle −90° suivie de l’homothétie de centre O et de rapport −3 ? b) Nomme chacune des composées des deux transformations proposées.

239

CaEM566B12page 240 noir vert

12. NOMBRES COMPLEXES

EXERCICES

33. Dans le plan de Gauss, représente le point P d’aﬃxe z = −2 + i et le point Q d’aﬃxe t = 2i.

1) z − t

2) −

3z 2

3) zt.

Calcule, dans chaque cas, l’aﬃxe du point S. Décris, chaque fois, les transformations du plan utilisées.

Construis géométriquement le point S d’aﬃxe :

SOLUTIONS DES EXERCICES POUR S’AUTOCONTRÔLER 12.1 et 12.2

•

x + yi ∈ x + y i

23. 2a − 1 + 2bi = 2b − (2 − 3a)i

(égalité de deux nombres complexes) 2a − 1 = 2b 2b = −(2 − 3a)

  a = 1

√

2) 1 + 2i 6

13 47 + i 2 8

√

4) 121

√

6 2 4 3 + i. 5 5

(x et y sont de même signe)

2xy = 2

√

= 108

5+1 −i 2

√

5−1 . 2

30. 32i = 32 cis

π 2

z0 = 2 cis

b = 8 · 5

8 −1 + i 5

S = {−2i, 2i}.

t2 + 4 = (t + 2i)(t − 2i).

−

3i ;i 2

2x2 + ix + 3 = (2x + 3i)(x − i).

27. •(x + yi)(x + y i) ∈

240

= −54 + 54i

π 2

sont données par

+ 2kπ 5

2 cis

π 10

2kπ 5

z1 = 2 cis

π 10

2 9π z2 = 2 cis , 10 13π z3 = 2 cis , 10 17π z4 = 2 cis . 10

z0 0

⇔

xx − yy + (xy + x y) i ∈

⇔

xy + x y = 0

18∞

31. 1) Les solutions sont les racines quatrièmes de

c’est-à-dire

  a = −1

2 cis

C (15 – 2 i)

b = −4b + 8

3 i 2

Les racines cinquièmes de 32 cis

a − 3 = 4a

3) ρ = −25.

√

− 0, 5 +

(égalité de deux nombres complexes)

2) ρ = −16.

A(1– i)

12.4

iti

5−1 et − 2

16 cis (−240°) . 1728 cis 1440° 256 cis 1080°

a + bi − 3 = 4(a − bi) + 8i

26. 1)

B(3+0 i)

= 108 cis 120°

Les racines carrées de 1 + 2i sont

√

x + y = − 5 (à écarter) 2

5+1 +i 2

15 − 2i 4

12.3

x − y = 1.

√

(x2 − y2 )2 + 4x2 y2 = 5 c.-à-d. (x2 + y2 )2 = 5

x +y =

et (x , y ) = / (0, 0).

x −y =1

x y − xy = 0

√ √ − 3 − 3i = 2 3 cis 240° √ √ − 2 + i 2 = 2 cis 135°.

(égalité de deux nombres complexes)

⇔

et (x , y ) = / (0, 0)

29. 1 − i 3 = 2 cis (−60°)

(x + yi) = 1 + 2i

x y − xy =0 x 2 + y 2

5) 1 − i

⇔

√

(x y − xy ) xx + yy + i∈ x 2 + y 2 x 2 + y 2

24. 1) − 5 − 11i

⇔

B(3 + 0i)

Les deux nombres complexes sont alors égaux à 1 + i.

(x + yi)(x − y i) ∈ (x + y i)(x − y i)

28. A(1 − i)

1  b = 2 .

25.

⇔

√ √ −8 2 + 8i 2 ou 16 cis 135°

c’est-à-dire les complexes 2 cis

135° + k360° , 4

CaEM566B12page 241 noir vert

EXERCICES

12. NOMBRES COMPLEXES

z0 = 2 cis (33, 75°),

b) 1) La composée est une isométrie du plan.

z1 = 2 cis (123, 75°),

2) La composée est une similitude du plan de rapport 6 dont le seul point fixe est O.

z2 = 2 cis (213, 75°),

−→

z3 = 2 cis (303, 75°).   z3 = u 2)  u2 − u + 1 = 0

Q (2 i) P (–2+i)

√

1−i 3 2

ou u =

1+i 3 2

√

1 sont les complexes cis 3

−

z0 = cis •

π 9

1 3

7π , 9

z 1 = cis

cis

P (–2+ i)

+ 2kπ z 2 = cis

13π · 9

((–2+ i )(– 32 )) ou

↓ rotation d’origine O et d’angle 135° √ (3 2 cis (−45°) . cis 135°)

i 1

(2 − 2i) ou 2 2 cis (−45°) ↓ rotation d’origine O et d’angle −90° √

Q 2 2 cis (−45°) . cis (−90°) √

ou 2 2 cis (−135°) ou (−2 − 2i)

iti

P (–2+ i)

√

3 2

Q (–4+2 i)

√

3–

3) S est l’image de P par l’homothétie de centre O et de rapport 2 suivie de la rotation de centre O et d’angle 90° c’est-à-dire par la similitude de rapport 2 dont le seul point fixe est le point O.

ou (3 2 cis 90°) ou 3 2 i . P

−→

translation de vecteur OU telle que

↓ l’affixe de U est 1 − i Q (2 − 2i +1 − i) ou (3 − 3i) √ ou 3 2 cis (−45°)

–2 i

2) S est l’image de P par l’homothétie de centre O et de rapport 3 − · 2

√

(2 − 2i) ou 2 2 cis (−45°)

S (–2+ i –2 i) ou (–2– i)

11π z2 = cis , 9

12.5 32. a) 1)

+ 2kπ

1 i 3 + 2 2

−

cis

√

sont les complexes cis

−

5π z1 = cis , 9

Les racines cubiques de

z 0 = cis

1 i 3 • Les racines cubiques de − 2 2

 u=  

 3   z = u

33. 1) S est l’image de P par la translation de vecteur OU telle que l’affixe de U est −2i.

((–2+ i)(2 i)(

(– 2 – 4 i )

↓ homothétie de centre O et de rapport −3

((−3)(−2 − 2i)) ou 6 + 6i .

POUR CHERCHER

12.1 et 12.2 34. a) Calcule les puissances suivantes : i4 , i5 , i6 , i7 , i8 , i9 , i10 , i11 , ..., i4n , i4n+1 , i4n+2 , i4n+3 (n ∈ N). b) Tire de ce calcul un procédé pour trouver rapidement i372 , i2970 , i−613 . Calcule ces puissances.

35. Calcule l’expression

E(z) =

z2 − 2z + 3 , si z = 3 − 2i. z2 + 2z + 3

Écris-la sous la forme a + bi. 36. En t’inspirant du mathématicien italien Bombelli (Manuel 2, p. 217), considère l’ensemble {più, meno, più di meno, meno di meno}. Aujourd’hui, on écrirait {+1, −1, +i, −i}. Vériﬁe que cet ensemble muni de la multiplication est un groupe commutatif (formulaire, p. 272).

241

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12. NOMBRES COMPLEXES

EXERCICES

37. a) Démontre que l’addition dans C confère à cet ensemble une structure de groupe commutatif. b) Vériﬁe les propriétés suivantes : ∀z1 , z2 ∈ C, ∀r, s ∈ R : • r(z1 + z2 ) = rz1 + rz2 , • (r + s)z1 = rz1 + sz1 , • r(sz1 ) = (rs)z1 , • 1z1 = z1 .

45. a) Dans le champ C des nombres complexes, on donne : w = (z + 2i)(z + 4) avec z = x + yi, (x; y) ∈ R2 . A est l’ensemble des nombres z tels que w soit réel; B est l’ensemble des nombres z tels que w soit imaginaire pur. Représente A et B dans le plan de Gauss. b) Détermine le nombre réel k pour que l’équation (z + 2i)(z + 4) = k admette comme solution 2 − 3i. Calcule l’autre solution de cette équation.

REMARQUE Les neuf propriétés évoquées dans l’exercice 37 se résument en disant que l’ensemble C des complexes muni de l’addition et de la multiplication par les réels est un espace vectoriel réel. (voir aussi le fomulaire, p. 272).

  ix − 3y = 2 − 3i

DIVISIBILITÉ

39. • p. 3

La loi du reste de la division d’un polynôme par x − a et la règle de Hörner pour la recherche du quotient• demeurent d’application pour les polynômes à variable complexe et à coeﬃcients complexes.

40. Pour quelle valeur de m le polynôme P(x) = x4 − 2ix3 + (i − m)x + 2m est-il divisible par x − 2i ? 41. Soit l’équation dans C : z3 + (2λ + 3i)z2 + (−2 + 4λi)z − 4λ − 2 = 0

(λ ∈ R).

49. On considère l’équation que voici, dans laquelle p et q sont des paramètres complexes (et i est l’unité imaginaire) : z4 + (1 − 2i)z3 + pz2 − (1 + 2i)z + q = 0. Détermine le couple (p; q) de telle manière que cette équation possède une racine double égale à i, (c’est-à-dire deux racines confondues). Ensuite, pour le couple (p; q) ainsi obtenu, calcule les autres racines (complexes) de l’équation.

Montre que z = 1 − i est une racine. Trouve les autres racines. Factorise le polynôme proposé. Détermine λ pour qu’au moins une racine soit imaginaire pure (c’est-à-dire de la forme bi).

1) 2) 3) 4)

48. Détermine le polynôme P(x) du 4e degré (possédant quatre racines réelles ou complexes) qui satisfait aux conditions suivantes : – le coeﬃcient de x4 dans P(x) vaut 1; – P(x) est divisible par x2 − 2x + 5; – la somme des racines de P(x) vaut 1 et le produit des racines de P(x) vaut −30. Ensuite, donne toutes les racines de P(x).

Calcule le reste et le quotient de la division du polynôme P(x) = 4x3 − (2 − i)x2 + ix − i + 2 par x + 1.

47. Soit le polynôme P(x) = x4 +4x3 +8x2 +4x+7. Sachant que i et −i sont solutions de l’équation P(x) = 0, calcule les autres racines de cette équation. Factorise ensuite P(x).

 (1 + i)x + 2iy = 5 − i.

38. Résous dans R2 le système

z2 · 1−z Calcule x en fonction de a et de b. Si P est le point-image de z, quel est l’ensemble des points du plan pour lesquels x est un réel ?

46. Soit z = a + bi et x =

42. Soit le polynôme à coeﬃcients complexes : P(z) = z3 + αz2 + βz + γ.

iti

1) Détermine α, β et γ, si l’on sait que • i est une racine de P(z), • P(1) = 4i, • le reste de la division de P(z) par z + i est −8i.

2) Résous, dans C , l’équation P(z) = 0, après avoir remplacé α, β et γ par les valeurs trouvées en 1) et donne une factorisation de P(z). 43. Dans le champ des complexes, on donne l’équation : z2 − (α + 3i + 4)z + 2αi − 1 = 0 dans laquelle α est un paramètre complexe. a) Montre qu’il existe une valeur de α pour laquelle l’équation admet deux racines complexes conjuguées. Calcule ces racines. b) Dans le cas où l’une des racines est i, calcule l’autre.

50. Soit l’équation z3 + (a − i)z2 + (b − ai)z − bi = 0 , a, b ∈ R. a) Démontre que z = i est une racine. b) Détermine a et b pour que le produit des trois racines égale i et la somme des trois racines égale 1 + i.

12.3 51. Si z = r cis ϕ, r étant le module et ϕ l’argument de z. quels sont le module et l’argument de z ? 52. Soit z = a + bi. Détermine en fonction de a et de b le module et l’argument z du nombre complexe · 1+i 53. Considère les nombres complexes : ; z2 = 1 − i 3 z1 = 1 − i

;

z3 =

(z1 )5 (z2 )4

1) Calcule le module et l’argument de z1 , z2 et z3 . 2) Détermine la partie réelle et la partie imaginaire de z3 . π π 3) Déduis de 1) et de 2) les valeurs de cos et de sin · 12 12 12.4

44. Dans le champ des complexes, on donne l’équation : z2 + αz − (3 + 4i)α + 8 + 3i = 0, avec α imaginaire pur. a) Calcule α tel que l’équation admette deux racines imaginaires pures. b) Calcule, dans ce cas, les racines de l’équation.

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54. Montre que, dans le champ des complexes, les racines cubiques de 1 forment un groupe commutatif pour la multiplication.

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EXERCICES

12. NOMBRES COMPLEXES

55. Calcule les racines cubiques du nombre complexe

2) Calcule une amplitude de l’angle orienté CA , CB lorsque, dans le plan gaussien, on donne A(2 − i), B(5 + 3i) et C(−2 + i). 3) Comment vériﬁerais-tu que les droites MP et MN sont perpendiculaires lorsqu’on te donne zM , zN et zP qui sont les aﬃxes respectives des points M,N et P?

(2 − 2i)4 z= (− 3 − i)6 (−2i)8 et écris-les sous leur forme algébrique. 12.5

60. APPLICATIONS MATRICIELLES DES COMPLEXES

− → 57. Quelle est la translation t de vecteur u (z) qui, appliquée trois fois consécutivement à P d’aﬃxe 2 + i, donne P d’aﬃxe 1 + 2i comme image ?

a b

−b , a

où a et b sont des réels. a) Démontre que (S2×2 , +, .) est un champ (on vériﬁera cinq propriétés pour l’addition, cinq propriétés pour la multiplication et deux propriétés liant multiplication et addition) (formulaire, p. 272). b) Démontre que la fonction a −b f : S2×2 → C : → a + bi b a est une bijection telle que, pour toute matrice a −b a −b , A= et toute matrice A = b a b a on a f(A + A ) = f(A) + f(A ), f(AA ) = f(A) . f(A ). Dans ce cas, on dit encore que f est un isomorphisme(1) du champ (S2×2 , +, .) sur le champ (C, +, .). Par f, on peut donc associer à la matrice a −b , le nombre complexe a + bi. b a

58. Pose-toi la même question qu’à l’exercice 57 pour a) une homothétie h de centre O et de rapport k; b) une rotation r de centre O et d’angle α qui applique une seule fois P(2 + i) sur P (1 + 2i).

Indication : on peut écrire dans le plan de Gauss l’affixe du point P donné; on opérera sur cette affixe avec des complexes qui correspondent aux transformations proposées.

Soit S2×2 , l’ensemble des matrices de la forme

56. L’énoncé suivant t’est familier dans le plan cartésien. Traite-le dans le plan de Gauss. Dans le plan cartésien rapporté à un repère orthonormé, quelle est l’image du point P de coordonnées (2; −2) par − → 1) la translation de vecteur u (−1; 1) ? 2) l’homothétie h de centre O et de rapport 3 ? 3) la rotation r de entre O et d’angle 210° ? 4) la composée des trois transformations précédentes ?

59. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES COMPLEXES a) 1) Si zR et zS sont les aﬃxes respectives des points R et S du plan de Gauss, démontre alors que −→ – l’aﬃxe de RS est zS − zR ; −→ −→ – la norme de RS, notée RS ou RS, est le module de zS − zR . S(zS)

yi T

R(zR)

i 0

iti

2) Calcule la distance des points A et B si l’on te dit 3 1 1 que l’aﬃxe de A est −2i et celle de B est − + i. 2 4 2 b) 1) Soit, dans le plan gaussien, trois points deux à deux distincts donnés par leur aﬃxe : R(zR ), S(zS ), T(zT ). yi R(zR)

yi R(zR)

S(zS)

(1)

Étymologie : iso ou égal, morphein ou structure.

Quels nombres complexes associes-tu aux matrices −2 0 0 −1 1 −1 , , ? 0 −2 1 0 1 1 x a11 a12 . c) Calcule le produit matriciel y a21 a22 (Manuel 2, p. 64)

Soit (x; y) et (x ; y ) les coordonnées respectives de deux points d’un plan muni d’un repère. On dit que si a11 a21

a12 a22

x x = , y y

alors (x ; y ) est l’image de (x; y) par la transformation f : R2 → R2 : (x; y) → (x ; y ) à laquelle est associée, dans un repère donné, a11 a12 . la matrice a21 a22

x O X K(zS–zR)

T(zT)

K(zS–zR)

Démontre que −→ – l’argument de zS − zR , aﬃxe de RS est l’angle −→ −→ orienté α encore noté OX , OK, tel que OK = RS; – l’angle orienté β ou SR , ST est l’argument de zT − zS · zR − zS

Décris la transformation du plan à laquelle est associée la matrice a 0 0 −1 1 −1 1) (a = / 0) , 2) , 3) . 0 a 1 0 1 1 d) À quels nombres complexes associes-tu les transformations décrites en c) ?

243

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12. NOMBRES COMPLEXES

EXERCICES

e) Démontre que tout nombre complexe a+bi peut être associé à une transformation du plan qui se décompose sous la forme : ha + r ◦ hb . ha est l’homothétie de centre O et de rapport a, hb est l’homothétie de centre O et de rapport b, r est la rotation de centre O π et d’angle · 2

où

VENUS D’AILLEURS 61. On suppose que les racines de

1) Calculer les racines de cette équation, sous la forme a + bi, en fonction du paramètre p. 2) Déterminer p pour que le carré du module de chacune des racines soit égal à 65 (la même valeur pour les deux racines). (UCL, 2003)

(p, q ∈ R) sont complexes.

x2 + px + q = 0

Sachant que cette fonction admet une et une seule racine réelle, rechercher les racines de f(z) et représente-les dans le plan complexe. (FPM) 63. Résoudre dans C (avec i2 = −1) : z2 (1 − z2 ) = 16.

Donner la partie réelle et la partie imaginaire de chaque solution. (ERM, 2000) 64. Résoudre l’équation (en nombres complexes) 1) (2z2 − 1)3 = (z2 + 1)3

(ULg, 2003)

2) z + 4z − 10z + 4z + 1 = 0

il est conseillé de développer (z2 + 1)4 . 6

z2 z6 i −i = 0. 1 1 Représenter les solutions dans le plan de Gauss.

(ULg, 2003)

65. On considère l’équation suivante dans laquelle p est un paramètre réel et i représente l’unité imaginaire :

iti

z2 − 4(2 + i)z + p(3 + 4i) = 0.

244

(UCL, 2002)

1 67. Résoudre dans C l’équation : 1 1

66. On donne l’équation suivante dans laquelle z est l’inconnue et c un paramètre réel : 8 z−c = 1. 2 Détermine l’ensemble des valeurs de c pour lesquelles l’équation donnée possède exactement trois racines complexes z dont la partie réelle est strictement négative.

62. La fonction f(z) de la variable complexe z est déﬁnie par : f(z) = z3 + 4(1 − i)z2 − 2(2 + 7i)z − 16 + 8i.

Quel est le lieu géométrique des points représentatifs des racines dans le plan complexe lorsque p varie, q restant constant ? (FPM)

(ULB, 2003)

68. Résoudre dans C l’équation : z6 − 3z5 + 4z4 − 6z3 + 5z2 − 3z + 2 = 0, sachant qu’elle admet i comme racine double. (ULB, 2003)