Espace Math 5e/6e - Théorie 4 p./s. - Extrait by VAN IN

ADAM • LOUSBERG (4 pÉR./sEM.)

www.deboeck.com

EM564-COVER.indd 1

Espace Math 5e/6e

EM564 ISBN 978-2-8041-4289-6

Arthur ADAM • Francis LOUSBERG a v e c l a p a r t i c i p a t i o n d e B e n o i t B A U D E L E t, S a b i n e B O U z E t t E e t P h i l i p p e C L O S E

Espace Math

5 /6 e

tHÉORIE 4 périodes par semaine

,!7IC8A4-becijg! 23/06/11 16:48

EM500Intropage 3 noir vert

Avant-propos «Pour un esprit scientiﬁque, toute connaissance est une réponse à une question. S’il n’y a pas de question, il ne peut y avoir de connaissance scientiﬁque. Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit.» Gaston Bachelard, philosophe français (1884-1962)

Les principaux objectifs du cours de Mathématiques au troisième degré (4 heures/sem.) sont : 1) déterminer certaines caractéristiques d’un phénomène à l’aide des outils du calcul infinitésimal et les interpréter à l’aide d’un graphique, un tableau numérique et une expressions algébrique (1re partie) ; 2) associer les outils vectoriels et analytiques à des intuitions géométriques et intégrer des situations spatiales au raisonnement géométrique (2e partie) ; 3) comprendre la portée des informations chiffrées, les analyser et les critiquer à l’aide de paramètres statistiques et du calcul des probabilités (3e partie). Depuis les nouveaux programmes (2001), la collection Espace Math n’était plus utilisable telle quelle en 5e et en 6e années par les différents réseaux belges francophones. Cette nouvelle édition remplace les Espace Math 54 et 64, qui ont été allégés et revus en fonction de ces nouveaux programmes. Elle se compose de : – un Manuel regroupant la théorie pour les 5e et 6e (4 heures); – un Cahier comportant pour ces classes un «Coffre à outils» qui propose une synthèse des principales connaissances des deux premiers degrés, les activités pour découvrir, les exercices pour appliquer, les exercices pour s’autocontrôler et leurs solutions, les exercices pour chercher. Les professeurs des réseaux de la Communauté française et de l’Enseignement catholique (FESeC) pourront facilement repérer dans la table des matières les chapitres qui les concernent en fonction de l’année dans laquelle ils enseignent. Nous tenons à remercier les Éditions De Boeck et leurs collaborateurs pour l’accueil réservé à ces ouvrages. Notre reconnaissance va également à Éric Dutilleux, à Freddy Goossens et Jean Haerlingen pour la mise en page et les dessins qu’ils ont réalisés avec talent. Avril 2003. Les auteurs

III

EM500Intropage 4 noir vert

Fonctions et graphiques Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Somme ou diﬀérence de deux fonctions . . . . . . . . . . . . Graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit ou quotient de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . Composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Réciproque d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. 2.1 2.2 2.3

Suites Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

Limites et asymptotes Fonctions continues en un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite en un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limite en l’inﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Applications des dérivées Dérivée première et variations d’une fonction . . . . . . Dérivée seconde et concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Représentation graphique d’une fonction . . . . . . . . . . Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résolution approchée d’une équation . . . . . . . . . . . . . .

Ed 6. 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Exponentielles et logarithmes Exponentielles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmes et exponentielles en base quelconque : conversion et dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Calcul intégral 7.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Intégrales déﬁnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

FESeC

5e ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 5e

21 23 23

5e ..... ..... .....

29 30 41 49

5e ..... ..... ..... .....

56 65

5e ..... .....

73 76 78 84 85

5e ..... ..... ..... ..... .....

6e ..... ..... ..... ..... .....

6e ..... .....

iti

4. Dérivées 4.1 Nombre dérivé – Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Interprétations diverses de la dérivée . . . . . . . . . . . . . .

5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

2 3 5 11 12 14 15 17

5e ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... 6e

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

ANALYSE et TRIGONOMÉTRIE

Communauté française

Table des matières

91 97 99 104 107 115 123

127 132 134

...... ...... ......

140 143 144

5e ...... ...... ......

EM500Intropage 5 noir vert

7.3 7.4 7.5

Intégrales déﬁnies et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cubatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. 8.1 8.2 8.3

Trigonométrie Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152 154 157 159 162

5e ...... ...... ...... ...... ......

4e ...... ...... ...... ...... ......

163 165 168 171

5e ...... ...... ...... ......

GÉOMÉTRIE – ALGÈBRE LINÉAIRE Constructions dans l’espace Conventions de représentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coﬀre à outils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Point de percée d’une droite dans un plan . . . . . . . . Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. 10.1 10.2 10.3 10.4

Calcul vectoriel Repère dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

11. Produit scalaire 11.1 Dans le plan et dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Applications géométriques et physiques . . . . . . . . . .

173 espace 178 . . . . . .

......

6e ...... ...... ......

...... ...... ...... ......

212 217 220

...... ...... ......

14. Combinatoire et Binôme de Newton 14.1 Calcul — Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Triangle de Pascal et binôme de Newton . . . . . . . . .

225 232

6e ...... ......

15. 15.1 15.2 15.3

236 238 241

6e ...... ...... ......

Algèbre linéaire – Géométrie analytique Systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Combinaisons linéaires de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . Droites et plans : équations vectorielles ou paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallélisme et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plans : équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Droites : équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problèmes d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. 12.1 12.2 12.3

190 193 196 202 207

iti

12.4 12.5 12.6 12.7

182 188

tout

STATISTIQUES ET PROBABILITÉS

Probabilités (1re approche) et statistiques (à deux variables) 13.1 Calcul élémentaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Probabilité conditionnelle — Indépendance . . . . . . . 13.3 Ajustement linéaire — Corrélation . . . . . . . . . . . . . . .

13.

Lois de probabilité Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi normale et loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Index des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index alphabétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

244 248

iti

EM121page 0 noir vert

MaEM501page 1 noir vert

ANALYSE VA

ET TRIGONOMÉTRIE

iti

Déterminer certaines caractéristiques d’un phénomène à l’aide des outils du calcul inﬁnitésimal et les interpréter à l’aide d’un graphique, d’un tableau numérique et d’une expression algébrique ou trigonométrique.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Fonctions et graphique Suites Limites et asymptotes Dérivées Applications et dérivées Exponentielles et logarithmes Calcul intégral Trigonométrie 1

MaEM503page 29 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

Compétences terminales

5e pour tous

Résumer, organiser les savoirs, synthétiser, généraliser

Analyser les cas limites (extension, comportement asymptotique) en se limitant à des problèmes traités en classe. Calculer (déterminer, estimer, approximer)

les éléments caractéristiques liés à une fonction (limites) en se limitant aux fonctions de référence et à celles utilisées dans des problèmes.

3.1 FONCTIONS CONTINUES EN UN REEL

VOCABULAIRE

iti

Soit une fonction f déﬁnie sur [a; b]. Si le graphe cartésien de f se trace d’un trait continu, «sans saut», «sans devoir lever la plume», le mathématicien dit que f est continue en tout réel de [a; b] ou, plus simplement, f est continue sur [a; b]. Ceci n’est pas une déﬁnition de la continuité d’une fonction, c’est au mieux une description intuitive de cette notion.

PROPRIÉTÉS (admises)

x → k (constante) 1 Les fonctions usuelles cicontre sont continues en tout réel de leur domaine de déﬁnition.

x→x x→ x

x → x2

x → |x|

x → cos x

x→

√ 3

x → x3 x→

1 x

x → sin x

2 La somme, le produit, le quotient de fonctions usuelles sont continues en tout réel de leur domaine de déﬁnition.

MaEM503page 30 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

Exemple de fonction continue sur [a;b]

Exemples de fonctions f non continues ou discontinues en le réel c y

y y = f(x)

y = f(x)

= =

3.2 LIMITE EN UN REEL

3. 2. 1 LIMITE RÉELLE EN UN RÉEL

CONTEXTE

Soit f : R → R : x → f(x) et a ∈ R. Il n’y a de sens à étudier le comportement de f en le réel a que lorsque a adhère à dom f, c.-à-d. • a appartient au domaine de f ou • a, sans appartenir au domaine de f, est tel que dom f égale R\{a} ou ←; a[ ou ]a; → ou un intervalle de réels ouvert en a ou une réunion de parties de réels précitées.

iti

Activité 1. Cahier, page 28.

EXEMPLES

1. Il y a un sens à rechercher la limite de f en 1 dans les cas suivants : f : R → R : x → 3x2 − 5x + 2 puisque le réel 1 appartient au domaine de f qui est R ; f:R→R:x→ x−1 puisque le réel 1 appartient au domaine de f qui est [1; → ; |x − 1| f:R→R:x→x+ x−1 puisque le réel 1 adhère au domaine de f qui est R \ {1} sans lui appartenir. 2. Il n’y a aucun sens à rechercher la limite de f en 1 dans le cas suivant : f:R→R:x→ x−2 puisque le réel 1 n’adhère pas au domaine de f qui est [2; → .

MaEM503page 31 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

PRÉSENTATION INTUITIVE

Soit f : R → R : x → f(x) et a adhère au domaine de f. 1.

Lorsque x tend vers le réel a, la limite de f est le réel b signiﬁe intuitivement : les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi «proches» que l’on veut de b, lorsque x prend des valeurs «suﬃsamment proches» de a, mais distinctes de a. On note : lim f(x) = b. x→a

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

f(x)

par la droite

x 0

lim f(x) = 3 x

iti Ed

Soit f : R → R : x → f(x) et a adhère au domaine de f. • La limite à droite de f lorsque x tend vers a est la limite de f obtenue lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches du réel a et strictement supérieures à a. On note : x→a lim f(x) ou encore lim+ f(x).

y = f(x)

par la gauche

Si x 2, alors f(x)

x→a

x>a

• La limite à gauche de f lorsque x tend vers a est la limite de f obtenue lorsque x prend des valeurs de plus en plus proches du réel a et strictement inférieures à a. ou encore lim− f(x). On note : x→a lim f(x) x→a

x<a

y y = f(x)

y = f(x)

lim f(x) =b –

lim f(x) =b +

O 0

1 0

O 1

MaEM503page 32 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

VOCABULAIRE

la fonction f : R → R : x → f(x), le réel a qui adhère au domaine de f sans lui appartenir. La fonction g : R → R : x → g(x) est une prolongée de f en a si • en tout réel x de dom f, g(x) = f(x); • g est déﬁnie en a.

Soit

y = f(x)

y = g1(x)

EXEMPLES

g (a) 1

O 1

g prolonge f en a 1 et g est discontinue en a. 1

y = g2(x)

g (a) 2

O 0

g prolonge f en a 2 et g est continue en a.

PROPRIÉTÉS

Voici quelques propriétés admises qui rendent plus aisé le calcul de la limite réelle d’une fonction en un réel.

iti

1 Si la limite d’une fonction f dans R existe, alors elle est unique.

2 Continuité Si f : R → R : x → f(x) est continue en le réel a, alors lim f(x) = f(a). x→a

3 Si le réel a n’adhère pas au domaine d’une fonction f, alors la limite de f en a n’existe pas. EXEMPLE

lim

x→−2

x − 1 n’existe pas

car −2 n’adhère pas au domaine de f qui est égal à [1; →.

MaEM503page 33 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

4 Fonctions usuelles En tout réel a du domaine de chaque fonction usuelle : f : R → R : x → k (k est une constante réelle), 2 ou x3 ou x4 , . . . , f:R→R:x→x ou x √ f : R → R : x → x ou 3 x ou . . . , f : R → R : x → |x| 1 f:R→R:x→ , x f : R → R : x → sin x, f : R → R : x → cos x, on peut écrire lim f(x) = f(a). x→a

En eﬀet, on a admis (3.1, page 29) que ces fonctions usuelles sont continues en tout réel de leur domaine de déﬁnition. Par la propriété 2 précédente,lim f(x) = f(a) . x→a

EXEMPLES

1) lim (−5) = −5. x→9

2) lim

x→9

3) lim

x→5

1 1 = . x 5

2 π 4) limπ sin x = sin − =− . x→− 4 4 2

9 = 3.

iti

5 Opérations algébriques Si f : R → R : x → f(x) et g : R → R : x → g(x), lim f(x) et lim g(x) existent, x→a x→a alors lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x), x→a x→a x→a lim f(x) − g(x) = lim f(x) − lim g(x), x→a x→a x→a = lim f(x) . lim g(x), lim f(x) . g(x) x→a

lim

x→a

f(x) g(x)

x→a

lim f(x)

x→a

lim g(x)

x→a

pour autant que les seconds membres aient un sens. On en déduit en particulier : si h est une somme, une diﬀérence, un produit ou un quotient de fonctions usuelles, le calcul de la limite de h, en un réel a de son domaine, se ramène au calcul de h(a). 3 1 3 1) limπ (sin x . cos x) = . = . x→ 3 2 2 4 EXEMPLES

2) lim

x→3

x2 − 2x + 5 32 − 2 . 3 + 5 1 = = . 2 x +7 32 + 7 2

MaEM503page 34 noir vert

g(x) = y g

f f(y) = f(g(x))

LIMITES ET ASYMPTOTES

6 Composition Si f : R → R : y → f(y), g : R → R : x → g(x), lim g(x) = b (b ∈ R), x→a

lim f(y) = c et f est continue en b,

y→b

f g

alors lim (f ◦ g)(x) = lim f(y). x→a

Cette propriété est admise. On en déduit en particulier :

y→b

EXEMPLE

•

x2 − 4 =?

lim

x→3

si h est une composée de fonctions usuelles (de sommes, de diﬀérences, de produits, de quotients de fonctions usuelles), le calcul de la limite de h, en un réel a de son domaine se ramène au calcul de h(a).

La fonction h : R → R : x →

x2 − 4 se décompose en

g : R → R : x → x2 − 4, f : R → R : x → x, puisque h(x) = f g(x) = (f ◦ g)(x). x2 – 4 = y f

•

x2 – 4

h=fog

lim (x2 − 4) = 9 − 4 = 5. lim y = 5.

x→3

les fonctions

y→5

x2 − 4 = 5. x→3 Pratiquement, lim x2 − 4 = 9 − 4 = 5. Dès lors, lim

iti

•

Activités 2 à 4. Cahier, pp. 29 et 30.

x→3

7 Prolongée continue Si f : R → R : x → f(x), g : R → R : x → g(x), a adhère à dom f et a ∈ / dom f , g prolonge f en a, g est continue en a, alors, lim f(x) = g(a). x→a

MaEM503page 35 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

1re situation

2e situation

a adhère à dom f et a dom f y

y = f(x)

O 1 a

g prolonge f en a et g est continue en a y

y = g(x)

O 1

lim f(x) = g(a)

g prolonge f en a et g est continue en a y

y = g(x) g(a)

g(a)

O 0

lim f(x) = g(a) +

REMARQUE

EXEMPLE

S’il n’est pas possible de trouver une prolongée de f en a qui soit continue en a,

y = f(x)

alors la limite de f en a n’est pas réelle.

y 4

O 0

lim f(x)

iti

(2;4)

EXEMPLE

y = f(x)

lim

x→2

g prolonge f en 2 et est continue en 2 y 4

y = g(x)

(2;4)

•

x2 − 4 =? x−2

Dom f = R \ {2}. 2 adhère à dom f. Il y a donc un sens à calculer la limite de f en 2. f est discontinue en 2. On cherche une fonction g qui prolonge f en 2 et qui est continue en 2. x2 − 4 (x − 2)(x + 2) Comme = = x + 2, si x = / 2, x−2 x−2 g:R→R:x→x+2 est la fonction qui prolonge f en 2 et elle est continue en 2.

1 0

D’où lim f(x) = g(2) = 4. x→2

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LIMITES ET ASYMPTOTES

8 Limites à gauche ou à droite a) Lorsque la fonction f admet une limite à gauche et une limite à droite distinctes en le réel a, alors la limite de f en a n’existe pas. Lorsque la fonction f admet une limite à gauche et une limite à droite égales en le réel a, alors cette limite commune est la limite de f en a. ILLUSTRATION GRAPHIQUE

y = f(x)

2 1

O 0

–2

y = f(x) –3

lim f(x) = 2 ; lim f(x) = –3 ; –2–

–2+

lim f(x) = –3 ; lim f(x) = –3 ;

lim f(x) n'existe pas. x

–3

–2–

–2+

lim f(x)– = –3.

–2–

–2

b) Dans le cas de fonctions définies seulement d’«un seul côté» du réel a, on convient d’utiliser la convention suivante : • lorsque la fonction f admet une limite à gauche en le réel a mais n’est pas définie à droite de a, la limite de f en a est égale à la limite à gauche de f en a; • lorsque la fonction f admet une limite à droite en le réel a mais n’est pas définie à gauche de a, la limite de f en a est égale à la limite à droite de f en a. ILLUSTRATION GRAPHIQUE

iti

y = f(x) y = f(x)

O a

O x

lim +f(x) = lim f(x) = f(a) ; a

f(a)

lim

x→0

sin x x

lim–f(x) n'existe pas. a

;

lim

x→0

lim –f(x) = lim f(x) = b ;

1 − cos x x

lim+f(x) n'existe pas. a

Ces deux formules ont été approchées dans le Cahier, activité 5 , page 30.

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LIMITES ET ASYMPTOTES

3. 2. 2 LIMITE INFINIE EN UN RÉEL PRÉSENTATION INTUITIVE ILLUSTRATION GRAPHIQUE

y = f(x)

Lorsque x tend vers le réel a, la limite de f est plus l’infini signifie intuitivement : les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi grandes que l’on veut lorsque x prend des valeurs suffisamment proches de a, mais distinctes de a. On note : lim f(x) = +∞.

Si x 2 alors f(x)

2 AV x = 2

On dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale au graphe cartésien de f.

lim f(x) = + x

2. ILLUSTRATION GRAPHIQUE

Si x –1 alors f(x)

0 –1

Lorsque x tend vers le réel a, la limite de f est moins l’infini signifie intuitivement : les valeurs de f(x) sont négatives et, prises en valeur absolue, elles peuvent être rendues aussi grandes que l’on veut lorsque x prend des valeurs suffisamment proches de a, mais distinctes de a.

–

AV x = –1

Graphiquement, les branches gauche et droite de Gf se rapprochent, en montant, de la droite d’équation x = a, sans la couper.

x→a

iti

On note : lim f(x) = −∞.

y = f(x)

lim f(x) = – x

–1

x→a

Graphiquement, les branches gauche et droite de Gf se rapprochent, en descendant, de la droite d’équation x = a, sans la couper. On dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale au graphe cartésien de f. REMARQUE

Les symboles +∞ et −∞ ne désignent aucun nombre réel. Ils traduisent, au moyen d’un symbole, le fait que certaines grandeurs ne sont ni majorées, ni minorées. Ainsi, dire qu’une grandeur tend vers +∞ −∞

signiﬁe qu’elle n’est pas majorée, donc qu’elle devient supérieure à tout réel positif préalablement choisi, aussi grand soit-il; signiﬁe qu’elle n’est pas minorée, donc qu’elle devient inférieure à tout réel négatif préalablement choisi, aussi petit soit-il.

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LIMITES ET ASYMPTOTES

PROPRIÉTÉS

Voici quelques propriétés admises qui facilitent le calcul de la limite inﬁnie d’une fonction en un réel. 1 Limites de l’inverse 1 = −∞ et lim− x→0 x

lim

x→0

= +∞.

ILLUSTRATIONS GRAPHIQUES

–2

y O

–1

1 x

–3

–1

–2

–1

1 x x

L'axe des y est asymptote verticale à la courbe.

f : [a − r; a + r] → R : x → f(x) et f(a) = 0, 1 g:R→R:x→ , f(x) alors g admet une limite à gauche et une limite à droite. Elles sont inﬁnies. Leur signe est celui de f à gauche et à droite de a.

2 Si

ILLUSTRATIONS GRAPHIQUES

2e exemple y

O G1

–

y –

+∞ G1 f

Gf +

+ O

+∞

x=a

iti

+∞

x=a

3e exemple

x=a

1er exemple

–∞

–

x Gf

Gf –∞

La droite d'équation x = a est asymptote verticale à Gf EXEMPLE

lim

x→ 3 5

3 5

x 3 − 5x

1 =? 3 − 5x

Comme 3−5x tend vers 0 lorsque x tend vers −

3 , les limites à gauche et à droite de 5

3 sont inﬁnies (Propriété 1 ). Il reste à déterminer le signe des limites 5 à l’aide du tableau ci-contre.

f(x) en

MaEM503page 39 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

On peut alors conclure :  1  lim = +∞;    − 3 − 5x x→ 3 5 1  = −∞;  lim   + 3 − 5x x→ 3 5

⇒

lim

x→ 3 5

1 n’existe pas. 3 − 5x

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

La droite d’équation x =

3 5

est asymptote verticale à la courbe.

Calcul avec +∞ et −∞

Comme +∞ et −∞ ne sont pas des réels, il importe de mettre au point la manière de les utiliser dans les opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division. On admet que les théorèmes 1 , 5 et 6 des limites en le réel a (pages 32 à 34) s’étendent aux limites inﬁnies de fonctions pour autant que les seconds membres aient un sens d’après les conventions suivantes

(le symbole signiﬁe qu’on ne peut pas conclure quant au résultat obtenu. C’est ce qu’on appelle un cas ou forme d’indétermination) : TABLES D’ADDITION ET DE SOUSTRACTION

Si r est un réel quelconque : +

–

+ –

TABLES DE MULTIPLICATION ET DE DIVISION

iti

Si r est un réel strictement positif quelconque : r

–

Si r est un réel strictement négatif quelconque : X

–

On retient :

–

(+∞) + (−∞) , (+∞) − (+∞) , (−∞) + (+∞) ,

(−∞) − (−∞) , 0 . (+∞) , 0 . (−∞) ,

0 ±∞ , 0 ±∞

sont des cas d’indétermination.

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LIMITES ET ASYMPTOTES

COMMENT FAIRE ?

Comment calculer la limite d’une fonction f en le réel a ?

EXEMPLES

f(x) =

√

1 − x.

dom f = ←; 1].

a) Si a n’adhère pas au domaine de f, alors la limite de f en a n’existe pas.

1 − x n’existe pas.

lim

x→2

f(x) = cos x. dom f = R .

lim cos x = cos

x→ π 3

1) Si f est continue en a (c.-à-d. si f est une fonction usuelle, une somme, un produit, une composée de fonctions usuelles), alors on calcule la valeur numérique de f(x) pour x = a et lim f(x) = f(a).

b) Si a adhère au domaine de f,

x→a

π 3

1 · 2

n(x) , où n(x) et d(x) sont des fonctions d(x) usuelles, des sommes, des produits, des composées de fonctions usuelles,

2) Si f(x) =

• si d(a) = / 0, alors on calcule les valeurs numériques n(a) de n(x) et de d(x) pour x = a et lim f(x) = ; x→a d(a) • si d(a) = 0 et n(a) = / 0,

iti

alors les limites à gauche ou (et) à droite de a sont inﬁnies; on précise le signe des inﬁnis en déterminant le signe de n(a) et en étudiant le signe de d(x);

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

f(x) =

x2 − 3x − 4 · x2 − 1

dom f =

R \ {−1; 1}.

x − 3x − 4 −4 = = 4. x2 − 1 −1 2

lim

x→0

f(x) =

1 − 2x · x2 − 2x

dom f =

R \ {0; 2}.

1 − 2x lim =? x→2 x2 − 2x n(2) = −3 et d(2) = 0. x d(x) •

lim

x→2−

− 0 +

1 − 2x x2 − 2x

= lim (1 − 2x) . lim x→2−

x→2−

1 x2 − 2x

= (−3) . (−∞) = +∞. 1 − 2x • lim x→2+ x2 − 2x = (−3) . (+∞) = −∞.

Dans ce cas, la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la

Donc lim f(x) n’existe pas.

courbe d’équation y = f(x).

La droite x = 2 est asymptote verticale à la courbe.

x→2

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LIMITES ET ASYMPTOTES

• si d(a) = 0 et n(a) = 0, alors la fonction présente 0 un cas d’indétermination · 0 — Dans le cas de quotient de polynômes, on divise n(x) et d(x) par x − a, autant de fois que faire se peut, et on calcule la limite en a de l’expression simpliﬁée : s’il est possible de trouver la fonction g, prolongée de f en a qui soit continue en a, alors lim f(x) = g(a). x→a

x2 − 3x − 4 · x2 − 1

dom f = lim

x→−1

R \ {−1; 1}.

x2 − 3x − 4 =? x2 − 1

n(−1) = 0

d(−1) = 0.

(x + 1)(x − 4) x2 − 3x − 4 = x2 − 1 (x + 1)(x − 1) x−4 = · x−1 x ≠ –1

x−4 est la prox−1 longée de f en −1 qui est continue en −1. g :

R→R:x→

Sinon la limite n’est pas réelle. — Si n(x) ou d(x) est du type A ± B, on multiplie n(x) et d(x) par A ∓ B et on calcule la limite pour x tendant vers a de la nouvelle fonction. — Dans le cas de certaines fonctions trigonomésin x =1 triques, on utilise les formules lim x→0 x 1 − cos x et lim = 0. x→0 x

f(x) =

D’où lim

x→−1

f(x) = g(−1) =

5 2

adhère à Gf sans lui

Le point −1; appartenir.

5 · 2

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

a; g(a) adhère à Gf sans lui appartenir.

Dans ce cas, le point

iti

Pour appliquer 105 à 118. Pour s’autocontrôler 132 à 134. Pour chercher 138 à 141.

3.3 LIMITE EN L’INFINI

Activités 6 et 7. Cahier, pp. 30 et 31.

CONTEXTE

Soit f : R → R : x → f(x). Pour parler de limite de la fonction f en +∞, il faut que la fonction f soit déﬁnie sur au moins une demi-droite de réels du type ]a; →. Pour parler de limite de la fonction f en −∞, il faut que la fonction f soit déﬁnie sur au moins une demi-droite de réels du type ←; a[. EXEMPLES

1. Il y a un sens à rechercher la limite de f en +∞ et en −∞ lorsque f(x) = 3x2 + 5x + 2, puisque le domaine de f est R . 2. Il y a un sens à rechercher la limite de f en +∞, mais pas en −∞, lorsque f(x) = x − 1, puisque le domaine de f est [1; →.

MaEM503page 42 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

3. Il y a un sens à rechercher la limite de f en −∞, mais pas en +∞, lorsque f(x) = 1 − x, puisque le domaine de f est ←; 1].

PRÉSENTATION INTUITIVE

Soit f : R → R : x → f(x). 1.

Lorsque x tend vers +∞, la limite de f est le réel b

signiﬁe intuitivement

On note : lim f(x) = b. x→+∞

les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi «proches» que l’on veut de b lorsque les valeurs de x croissent sans borne.

Graphiquement, Gf se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = b, lorsque x croı̂t sans borne. On dit que la droite d’équation y = b est asymptote horizontale (à droite) au graphe cartésien de f.

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

si x

, alors f(x)

(par valeurs supérieures à 2)

si x

y = f(x)

iti Ed 2.

, alors f(x)

y = f(x) y=2

y=2

(par valeurs inférieures à 2)

lim f(x) = 2 x

Lorsque x tend vers −∞, la limite de f est le réel b signiﬁe intuitivement les valeurs de f(x) peuvent être rendues aussi «proches» que l’on veut de b lorsque les valeurs de x décroissent sans borne.

On note : lim f(x) = b. x→−∞

Graphiquement, Gf se rapproche de plus en plus de la droite d’équation y = b, lorsque x décroı̂t sans borne. On dit que la droite d’équation y = b est asymptote horizontale (à gauche) au graphe cartésien de f.

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LIMITES ET ASYMPTOTES

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

si x

–

, alors f(x)

(par valeurs supérieures à 2)

si x

–

, alors f(x)

(par valeurs inférieures à 2)

y = f(x) y=2

y=2

y = f(x)

O 1

O 0

lim f(x) = 2 x

ILLUSTRATIONS GRAPHIQUES

si x + , + alors f(x)

–

Lorsque x tend vers +∞, la limite de f est +∞

signiﬁe intuitivement

les valeurs de f(x) croissent sans borne lorsque les valeurs de x croissent sans borne. 1

On note : lim f(x) = +∞.

O 0

x→+∞

y = f(x) lim f(x) = + +

si x – , + alors f(x)

Lorsque x tend vers −∞, la limite de f est +∞

signiﬁe intuitivement les valeurs de f(x) croissent sans borne lorsque les valeurs de x décroissent sans borne.

y = f(x)

iti

On note : lim f(x) = +∞. x→−∞

lim f(x) = + x

–

si x + , – alors f(x)

signiﬁe intuitivement

y = f(x)

les valeurs de f(x) décroissent sans borne lorsque les valeurs de x croissent sans borne.

O 0

Lorsque x tend vers +∞, la limite de f est −∞

On note : lim f(x) = −∞. x→+∞

lim f(x) = –

MaEM503page 44 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

si x – , – alors f(x)

Lorsque x tend vers −∞, la limite de f est −∞

signiﬁe intuitivement

les valeurs de f(x) décroissent sans borne lorsque les valeurs de x décroissent sans borne.

y = f(x) 1 0

On note : lim f(x) = −∞. PROPRIÉTÉS

lim f(x) = – x

–

x→−∞

(Les propriétés 1 à 6 sont admises.)

Fonctions usuelles

1 Si f : R → R : x → k (k est un réel ﬁxé), alors lim f(x) = k et lim f(x) = k. x→−∞

x→+∞

y O

y=1

–2

y = –2

lim f(x) = 1

lim f(x) = –2 x

–

2 Si f : R → R : x →

, x lim f(x) = 0 y O

iti Ed

x→−∞

lim f(x) = 0.

x→+∞

1 0

alors

1 y=x

O 0

lim f(x) = 0 x

–

3 Les fonctions périodiques de période non nulle n’admettent de limite ni en −∞, ni en +∞. 1

y y = sin x

y = cos x

–π –

–1

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LIMITES ET ASYMPTOTES

lim

x n’existe pas et

x→−∞

lim

x→+∞

x = +∞.

O 0

Opérations

5 Si

f : R → R : x → f(x) et g : R → R : x → g(x), lim g(x) existent, lim f(x) et x→±∞

x→±∞

f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x), x→±∞ x→±∞ x→±∞ lim f(x) − g(x) = lim f(x) − lim g(x), x→±∞ x→±∞ x→±∞ f(x) . g(x) = lim f(x) . lim g(x), lim lim

alors

x→±∞

lim

x→±∞

f(x)

g(x)

x→±∞

lim f(x)

x→±∞

lim g(x)

x→±∞

pour autant que les seconds membres aient un sens, d’après les conventions données à la page 39. f : R → R : y → f(y), g : R → R : x → g(x), b est soit +∞, soit −∞, soit un réel(1) , lim g(x) = b,

6 Si

iti

x→±∞

alors

lim f(y) = c ou +∞ ou −∞,

y→±∞

lim (f ◦ g)(x) = lim f(y).

x→±∞

y→b

Ces propriétés permettront de démontrer aisément les propriétés qui vont suivre après l’exemple. EXEMPLE

lim (3x2 − 1)(x + 2) = lim (3x2 − 1) . lim (x + 2) x→+∞ x→+∞ lim x + lim 2 = lim 3 . lim x2 − lim 1 x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞ = 3(+∞) − 1 (+∞) + 2

x→+∞

= (+∞)(+∞) = +∞. (1)

Dans le cas où b est un réel, g doit être continue en b.

MaEM503page 46 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

7 Si f : R → R : x →

xn et

alors lim f = 0 x→−∞

En eﬀet,

(n est un naturel non nul), lim f = 0.

x→+∞

1 1 1 . . ... . x x x

n facteurs 1 1 1 . lim ... lim = 0. = lim x→−∞ x x→−∞ x x→−∞ x • Il en va de même en +∞. lim

x→±∞

1 = 0. x3

EXEMPLE :

1 • lim n = lim x→−∞ x x→−∞

8 Si f(x) est un polynôme réel en x, alors la limite de f(x) en +∞ ou en −∞ est égale à la limite en +∞ ou en −∞ du terme de plus haut degré en x de ce polynôme. Soit f(x) = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a1 x + a0 (n ∈ N0 ), un polynôme de degré n en la variable réelle x et à coeﬃcients réels. Le calcul de lim f(x) ou de lim f(x) amène fréquemment un cas

x→+∞

x→−∞

d’indétermination du type ∞ − ∞ .

En mettant an xn en évidence dans ce polynôme, il vient successivement : lim (an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a1 x + a0 )

iti

x→+∞

(en mettant an xn en évidence)

an−2 an−1 a1 a0 + 1+ + ... + + 2 n−1 an x an x an x an xn

= lim an x x→+∞

(propriété 5 )

= lim an xn x→+∞

an−1 an−2 + lim + ... x→+∞ an x x→+∞ an x2 a1 a0 + lim + lim x→+∞ an xn−1 x→+∞ an xn

lim 1 + lim

x→+∞

(propriétés 7 , 5 et 1 ) n

= lim an x (1 + 0 + 0 + . . . + 0 + 0) x→+∞

= lim an xn . x→+∞

La démonstration est analogue en −∞.

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LIMITES ET ASYMPTOTES

9 Si f(x) est une fraction rationnelle (quotient de polynômes réels en x), alors la limite de f(x) en +∞ ou en −∞ est égale à la limite en +∞ ou en −∞ du quotient des termes de plus haut degré en x du numérateur et du dénominateur. am xm + am−1 xm−1 + ... + a1 x + a0 (m ∈ N0 , p ∈ N0 ) bp xp + bp−1 xp−1 + ... + b1 x + b0 Le calcul de lim f(x) ou de lim f(x) amène à des cas d’indétermi-

Soit f(x) =

x→−∞

x→+∞

∞ ou ∞ − ∞ au numérateur ou au dénominateur. nation du type ∞ En mettant am xm en évidence au numérateur et bp xp au dénominateur , il vient : a0 am xm 1 + aam−1 + · · · + am xn a xm mx = lim m p · lim x→+∞ x→+∞ bp x bp xp 1 + bbp−1 + · · · + bbp x0 p px

(propriétés 7 , 5 et 1 )

am xm am am • Si m = p, alors lim = lim = ; p x→+∞ bp x x→+∞ bp bp am xm am 1 = lim . p−m = 0; • Si m < p, alors lim x→+∞ bp xp x→+∞ bp x am xm am m−p am = lim .x = (+∞) • Si m > p, alors lim p x→+∞ bp x x→+∞ bp bp La démonstration est analogue en −∞.

iti

COMMENT FAIRE ?

Comment calculer la limite d’une fonction f en +∞ ou en −∞ ?

a) Si f( x) = ax n (a est une constante réelle non nulle), alors on applique la propriété de la limite en +∞ ou en −∞ d’un produit de fonctions et on utilise les conventions de calcul (page 39) avec +∞ et −∞ pour obtenir des limites inﬁnies. b) Si f( x) =

a xn

(a est une constante réelle non nulle),

alors on applique la propriété de la limite en +∞ ou en 1 −∞ du produit de a par n pour obtenir des limites x nulles.

EXEMPLES

lim

x→−∞

(−x ) = −(−∞)

= −(+∞) = −∞.

lim

x→+∞

−2 x3

= (−2) .

1 (+∞)3

= −2 . 0 = 0.

MaEM503page 48 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

d) Si f(x) est un quotient de polynômes en x , alors on calcule la limite en +∞ ou en −∞ du quotient des termes de plus haut degré en x du numérateur et du dénominateur, après avoir eﬀectué les simpliﬁcations d’usage.

INTERPRÉTATION GRAPHIQUE

N(x) · D(x) Si deg N(x) = deg D(x), alors la courbe admet une asymptote horizontale N(x) d’équation y = lim · x→±∞ D(x)

Si deg N(x) < deg D(x), alors la courbe admet l’axe des x comme asymptote horizontale.

iti

Si deg N(x) > deg D(x), alors la courbe n’admet pas d’asymptote horizontale.

Pour appliquer 119 à 122. Pour s’autocontrôler 135 et 136. Pour chercher 142.

lim

x→−∞

= 2(−∞) = −∞.

3x2 − 5x + 7 3x2 = lim 2 x→+∞ 2x − 4x + 1 x→+∞ 2x2 3 = lim x→+∞ 2 3 = · 2 La courbe admet une asymptote horizontale 3 (ici, à droite) d’équation y = · 2 lim

2x2 − 5x + 1 2x2 = lim x→+∞ x→+∞ x x−2 lim

Soit f(x) =

lim (2x − 3x + x − 5) =

x→−∞

c) Si f(x) est un polynôme réel en x , alors on calcule la limite en +∞ ou en −∞ du terme de plus haut degré en x de ce polynôme; cette limite est inﬁnie.

lim 2x

x→+∞

= +∞.

La courbe n’admet pas d’asymptote horizontale (à droite).

lim

x→−∞

2x − 5 2x = lim x→−∞ x2 x2 − 5x 2 = lim x→−∞ x = 0.

La courbe admet l’axe des x comme asymptote horizontale (ici, à gauche).

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LIMITES ET ASYMPTOTES

3.4 ASYMPTOTES 1. POINT DE VUE GÉNÉRAL

d N

DÉFINITION

Dans un repère orthonormé du plan, la droite d est asymptote à la courbe Γ signiﬁe que la distance MN du point M(x; y) de Γ à la droite d tend vers 0 lorsque x ou y tendent vers l’inﬁni.

Intuitivement encore et, dans un repère orthonormé du plan, un point M(x; y) «se déplace vers l’infini» sur Γ signifie que x ou y ou les deux tendent vers l’infini.

Intuitivement, une droite d est asymptote à une courbe Γ signiﬁe que une branche de Γ se rapproche de plus en plus de d, sans couper d, lorsqu’un point M de Γ se déplace vers l’inﬁni.

ÉTYMOLOGIE

ASY MPTOTE piptein a privatif sun (tomber) (avec)

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

iti 1

M (x;y)

M (x;y) 1

y = f(x)

Γ x

y=b

N (x;b)

x y = f(x)

x=a

M (x;y)

y = f(x)

N (a;y)

ASYMPTOTE OBLIQUE

ASYMPTOTE HORIZONTALE y

ASYMPTOTE VERTICALE

–

et y

2. ASYMPTOTES VERTICALES

La droite d’équation x = a est une asymptote verticale au graphe cartésien de la fonction f : R → R : x → f(x) lorsque lim− f(x) = +∞ (ou − ∞) ou lim+ f(x) = +∞ (ou − ∞). x→a

x→a

MaEM503page 50 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

O 0

lim f(x) = – –2+

EXEMPLES

3x − 1 x2 − 4

x = −2 et x = 2

1 x−1

3) y =

x = 1 (à droite)

lim

2 = −∞ x+1

lim

3x − 1 = −∞ x2 − 4

x→−1−

x = −1

iti

2) y =

x=0 lim f(x) = –

0–

lim f(x) = +

x→−2−

lim

x→2−

3x − 1 = −∞ x2 − 4

lim

x→1+

1 = +∞ x−1

et et

lim

2 = +∞. x+1

lim

3x − 1 = +∞. x2 − 4

x→−1+

x→−2+

lim

x→2+

3x − 1 = +∞. x2 − 4 1 n’existe pas x−1

lim

x→1−

3. ASYMPTOTES HORIZONTALES

La droite d d’équation y = b est une asymptote horizontale au graphe cartésien de f lorsque lim f(x) = b (on parle alors d’asymptote horizontale à droite)

x→+∞

lim f(x) = b (on parle alors d’asymptote horizontale à gauche)

x→−∞

Justiﬁcations

2 x+1

–3+

Asymptote verticale d’équation

Courbe d’équation 1) y =

lim f(x) = +

)

x = –3

lim f(x) = +

–2–

f(x

–3

x=3

lim f(x) = + x

)

x = –2 x

f(x

O –2

f(x

)

f(x

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LIMITES ET ASYMPTOTES

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

y = f(x)

y y = f(x)

y = f(x) 1

y=1

y=1 O

lim f(x) = 1

y = –2

y = –2 lim f(x) = 1

x – (par valeurs inférieures à 1)

lim f(x) = –2

– x (par valeurs supérieures à 1)

2) y =

2x − 1 1−x

Justiﬁcations

1 x−1

y = 0 (à gauche et à droite)

y = −2 (à gauche et à droite)

1 3) y = x

+ x (par valeurs supérieures à –2)

Asymptote horizontale d’équation

1) y =

lim f(x) = –2

+ x (par valeurs inférieures à –2)

EXEMPLES

Courbe d’équation

lim f(x) = −2

x→−∞

lim f(x) = 0

x→+∞

lim f(x) = −2

x→+∞

lim f(x) = 0

x→+∞

y = 0 (à droite)

lim f(x) = 0

x→−∞

4. ASYMPTOTES OBLIQUES

La droite d d’équation y = ax + b est asymptote oblique à la courbe d’équation y = f(x)

iti

y = f(x)

si et seulement si • lim f(x) − (ax + b) = 0

x→−∞

• lim

x→+∞

f(x) − (ax + b) = 0

(on parle d’asymptote oblique à gauche) (on parle d’asymptote oblique à droite)

MaEM503page 52 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

NOTE

Dans l’exercice 144, (Cahier, page 38), on trouvera l’exposé d’une autre méthode de recherche de l’asymptote oblique réservée au cas où f(x) est un quotient de polynômes.

Pour la recherche de a et de b, on admet ici les formules de Cauchy :

La droite d d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à droite au graphe cartésien de f si et seulement si f(x) = a (a ∈ R0 ) et lim f(x) − ax = b (b ∈ R) lim x→+∞ x x→+∞

La droite d d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à gauche au graphe cartésien de f si et seulement si f(x) lim = a (a ∈ R0 ) et lim f(x) − ax = b (b ∈ R) x→−∞ x x→−∞

Comment déterminer

COMMENT FAIRE ?

EXEMPLES

• les asymptotes verticales à Gf ?

iti

— On recherche les réels qui adhèrent à dom f sans lui appartenir. — On calcule les limites à gauche et à droite de f(x) en ces réels; si, en le réel a, au moins une de ces limites est inﬁnie, alors Gf admet une asymptote verticale d’équation x = a.

f(x) =

R \ {−2}, −2 adhère à dom f et −2 ∈ / dom f. dom f =

•

lim

x→−2−

lim

x→−2+

• les asymptotes horizontales à Gf ? On calcule les limites de f(x) en −∞ et en +∞; — si la limite en −∞ est égale au réel b, alors Gf admet une asymptote horizontale à gauche d’équation y = b; — si la limite en +∞ est égale au réel c, alors Gf admet une asymptote horizontale à droite d’équation y = c.

2 + 3x 1 · ou (2 − 3x) . 2x + 4 2x + 4

A.V. :

•

lim

x→±∞

A.H. :

f(x) = (−4) . (−∞) = +∞, f(x) = (−4) . (+∞) = −∞, x = − 2. f(x) =

lim

x→±∞

3 · 2

3 3x = · 2x 2

MaEM503page 53 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

• les asymptotes obliques à Gf ? x→−∞

f(x) x

lim

x→+∞

f(x) ; x

•

— si cette limite est un réel a non nul, alors on calcule et lim f(x) − ax ; lim f(x) − ax x→−∞

•

lim

x→±∞

x→+∞

— si cette limite est un réel b, alors Gf admet la droite d’équation y = ax + b comme asymptote oblique à gauche ou à droite.

f(x) − 3x

lim

x→±∞

3x2 − 5x + 1 − 3x x−2

lim

x→±∞

A.O. :

x+1 = 1 =b x−2

y = 3x + 1.

Pour appliquer 123 à 131. Pour s’autocontrôler 137. Pour chercher 143 à 146.

f(x) 3x2 = 3 = a. = lim x→±∞ x→±∞ x2 x lim

On calcule lim

3x2 − 5x + 1 · x−2

f(x) =

MÉDITATIONS SUR L’INFINI UN GÉOMÈTRE

Concernant la 12e proposition du Livre 1 des «Éléments» d’Euclide :

«Mener une ligne droite perpendiculaire à une droite inﬁnie donnée»;

iti

voici un commentaire réalisé au Ve siècle de notre ère par un géomètre grec : «... La compréhension dont procèdent nos idées et démonstrations ne fait pas usage de l’infini en vue d’une connaissance scientifique, car l’infini est entièrement insaisissable par la connaissance scientifique; cette dernière le considère à titre d’hypothèse et pour la démonstration, elle fait usage du fini seulement. Elle n’admet donc pas l’infini pour l’infini mais en vue du fini...».

Euclide (III e s. av. J.-C.)

UN MATHÉMATICIEN

Le mathématicien allemand Georg Cantor fut passionné dès son plus jeune âge par la théologie médiévale et par la recherche d’une explication de l’infini. Dès 1872, il rédige des articles sur la théorie des ensembles. L’introduction de la notion de la «taille» des ensembles infinis lui permet de démontrer qu’il y a autant de nombres naturels que de nombres naturels premiers, de naturels que de carrés de naturels; qu’il y a autant de points dans un carré que dans un segment de droite, tout le monde s’accordant à dire que le carré et que le segment de droite en contiennent une infinité... De plus en plus déprimé par ses détracteurs, il s’enfonce dans la folie et meurt en 1918.

Georg Cantor (1845-1918)

MaEM503page 54 noir vert

LIMITES ET ASYMPTOTES

DES PHILOSOPHES . . . SOUVENT MATHÉMATICIENS

«[...] Dieu existe; car, encore que l’idée de la substance soit en moi, de cela même que je suis une substance, je n’aurais pas néanmoins l’idée d’une substance infinie, moi qui suis un être fini, si elle n’avait pas été mise en moi par quelque substance qui fut véritablement infinie.»

René Descartes dans «Le discours de la Méthode». L’oeuvre philosophique de Descartes influença la démarche des scientifiques : ne reconnaître la véracité d’une proposition que si elle a été objectivement démontrée.

René Descartes (1596-1650)

«Le silence éternel de ces espaces inﬁnis m’effraie». «Nous ne pouvons nous imaginer que quelque part se trouve la ﬁn de l’espace, une limite derrière laquelle il n’y a plus rien».

iti

Blaise Pascal (1623-1662)

Blaise Pascal, mathématicien, physicien, philosophe français, prétendit que la raison est seule à justifier les sciences alors que la foi est seule à expliquer la religion.

MaEM509page 149 noir vert

GÉOMÉTRIE ALGÈBRE LINÉAIRE

iti

Associer les outils vectoriels et analytiques à des intuitions géométriques et intégrer les situations spatiales au raisonnement géométrique.

9. 10. 11. 12.

Constructions dans l’espace Calcul vectoriel Produit scalaire Algèbre linéaire – Géométrie analytique

149

iti

MaEM509page 150 noir vert

150

MaEM509page 151 noir vert

Compétences terminales

(communes aux quatre chapitres de GÉOMÉTRIE)

Savoir, connaître, déﬁnir – le calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace, faisant intervenir les composantes des vecteurs, leur égalité et le produit scalaire de deux vecteurs; – la forme analytique des notions, des relations et équations de base de la géométrie : l’incidence, l’alignement, la concourance, le parallélisme, l’orthogonalité, la longueur. Calculer (déterminer, estimer, approximer)

– une longueur, un angle, une relation entre points, droites, plans, une équation, une propriété de ﬁgure par une méthode routinière, – l’ensemble des solutions d’un système de 2 ou 3 équations linéaires (sans paramètre). Appliquer, analyser, résoudre des problèmes

Choisir des propriétés, organiser une démarche en vue de : – déterminer des éléments d’une ﬁgure, – dégager de nouvelles propriétés géométriques, résoudre des problèmes (de lieux géométriques ou de constructions par exemple). Représenter, modéliser

iti

– Effectuer des tracés de figures générales ou de leurs cas particuliers, à la main, aux instruments, éventuellement à l’aide de logiciels, en vue d’illustrer un énoncé, d’éclairer une recherche. – Reconnaı̂tre comme des modèles mutuels, les notions et les relations de base de la géométrie et certaines propriétés de l’espace physique (mouvement, force). – Effectuer et interpréter des représentations planes de figures de l’espace en se fondant sur les propriétés de telles représentations.

Démontrer

– Organiser les étapes d’une construction et les justiﬁer. – Dans un énoncé (propriété, déﬁnition, théorème, . . .), distinguer : • l’implication simple et l’équivalence, • l’hypothèse et la thèse. – Maı̂triser quelques démarches logiques qui régissent les démonstrations : • donner la négation, une réciproque d’un énoncé, • établir un raisonnement par l’absurde (contraposition), par disjonction des cas, distinguer méthodes inductives et raisonnement déductif. – Rédiger une démonstration en faisant apparaı̂tre les étapes, les liens logiques, les théorèmes utilisés au moyen de phrases complètement formulées, mais en se limitant à une démonstration faite en classe ou fournie.

151

MaEM511page 173 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

dans le plan : 4e Comm; 5e FESec dans l’espace : pour tous.

11.1 DANS LE PLAN ET DANS L’ESPACE

DÉFINITIONS – VOCABULAIRE – NOTATIONS Activités 1 à 3. Cahier, pp. 99 et 100.

a) Dans le plan muni d’une distance euclidienne1 , −→ −→ • le produit scalaire des vecteurs non nuls AB et AC est l’angle où A est le réel égal à AB . AC . cos A −→ −→ orienté formé par AB et AC. • le produit scalaire de deux vecteurs dont l’un est le vecteur nul, est égal au réel 0 .

iti

b) Dans l’espace muni d’une distance euclidienne, −→ −→ le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le pro−→ −→ duit scalaire, déﬁni en a), de AB et AC considérés comme des vecteurs du plan BAC.

−→ −→ −→ −→ Le produit scalaire de AB par AC est noté AB AC. EXEMPLES

1) A

30∞ 4

−→ −→ AB AC = 4 . 3 . cos 30° 3 = 12 . 2 = 6 3.

La distance euclidienne entre deux points est la longueur du segment de droite dont les extrémités sont les deux points.

173

MaEM511page 174 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

2) A

Les droites AB et MN sont gauches. On translate un des vecteurs de telle manière que les deux vecteurs soient dans un même plan. −→ −−→ −→ −→ AB MN = AB AC

A M 30∞

C N

= 4 . 3 . cos 30° = 6 3.

c) Deux vecteurs orthogonaux sont des vecteurs dont le produit scalaire est nul.

EXEMPLES

A B

A N

M (a b)

−→ −→ AB et AC sont orthogonaux car −→ −→ AB AC = AB . AC . cos 90° = 0. −→ −−→ Il en va de même pour LK et MN.

−→ −→ AB et KL sont orthogonaux car −→ −→ AB KL = AB . KL . cos 90° = 0.

b C

d) Le carré scalaire d’un vecteur est le produit scalaire de ce vecteur par lui-même.

iti

−→ −→2 Le carré scalaire de AB se note AB . −→ e) La norme d’un vecteur AB est la longueur du segment [AB] ou la distance de A à B.

−→ −→ La norme du vecteur AB est notée AB ou, plus simplement, AB . PROPRIÉTÉS

1 Dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs parallèles non nuls est égal – au produit de leurs normes, s’ils sont de même sens; – à l’opposé du produit de leurs normes, s’ils sont de sens contraires.

174

MaEM511page 175 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

En eﬀet −→ −→ • Si AB et CD sont parallèles et de même sens, −→ −→ −−→ −−→ alors AB CD = A B A D =

A B

A D

. cos 0°

A D

. cos 180°

(définition)

A' D

B A

B' A'

= − A B . A D .

A B

(définition)

= A B . A D . −→ −→ • Si AB et CD sont parallèles et de sens contraires, −→ −→ −−→ −−→ alors AB CD = A B A D

2 La norme d’un vecteur est la racine carrée positive de son carré scalaire. −→2 −→ AB = AB .

−→2 −→ 2 En eﬀet, AB = AB . AB . cos 0° = AB ou AB 2 .

−→ −→ −→ −→ AB AC = AC AB . En eﬀet, −→ −→ AB AC = AB . AC . cos BAC = AC . AB . cos CAB

iti

3 Le produit scalaire des vecteurs est commutatif.

(deux angles opposés ont même cosinus)

−→ −→ = AC AB .

4 Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est égal au produit scalaire de l’un d’eux par la projection orthogonale de l’autre sur la droite portant le premier. −→ −→ −→ −−→ AB AC = AB AC −→ −→ −→ −−→ AB AC = AC AB

où C est la projection orthogonale de C sur AB, où B est la projection orthogonale de B sur AC.

175

MaEM511page 176 noir vert

A = C'

En eﬀet, • Si AC ⊥ AB, alors la propriété est évidente (fig. 1). −→ −→ • Si AC ⊥ / AB, alors AB AC = AB . AC . cos A. • A étant aigu, (fig. 2)

fig. 1

fig. 2

= AC . AC . cos A

→ −−→ = AB . AC = − D’où AB . AC . cos A AB AC

B •

= (dans le triangle C AC rectangle en C , cos A

étant obtus, A

(fig. 3)

= − AC . cos(180° − A) AC . cos A

fig. 3

AC AC

)

PRODUIT SCALAIRE

(propriété 1 )

(les cosinus de deux angles

supplémentaires sont opposés)

= (dans le triangle C AC rectangle en C , cos CAC

= − AC .

AC AC

)

= − AB . AC D’où AB . AC . cos A

= AB . AC . cos 180° −→ −−→ = AB AC .

(cos 180° = −1) (définition)

• On démontre de la même manière la deuxième égalité.

iti

5 Si A, B, C, D, E et F sont des points du plan ou de l’espace et r un réel, alors −→ −→ −→ −→ −→ −→ • r . AB CD = AB r . CD = r AB CD , (associativité mixte du produit scalaire et de la mutiplication d’un vecteur par un réel) −→ −→ − → −→ −→ −→ − → • AB CD + EF = AB CD + AB EF . (distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs) Ces propriétés sont admises.

176

MaEM511page 177 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

6 a) Dans le plan muni d’un repère orthonormé, −→ les composantes de − AB si → sont (x1 ; y1 ), les composantes de CD sont (x2 ; y2 ), −→ −→ alors AB CD = x1 x2 + y1 y2 .

b) Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, −→ si les composantes de − AB → sont (x1 ; y1 ; z1 ), les composantes de CD sont (x2 ; y2 ; z2 ), −→ −→ alors AB CD = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

Démonstration de a) −→ OE sur l’axe x, tel que abs E = 1, Soit −→ OU sur l’axe y, tel que ord U = 1,

−→ −→ −−→ −−→ AB CD = OB OD

y2 y1 U

E 1

B' (x1;y1) x

iti

D' (x2;y2)

− →

(3, propriété, page 170)

(distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs)

−→ −→ −→ −→ x1 . OE + y1 . OU x2 . OE + y2 . OU

−→ −→ −→ −→ = x1 . OE x2 . OE + x1 . OE y2 . OU −→ −→ −→ −→ + y1 . OU x2 . OE + y1 . OU y2 . OU

−→

− →

OB = tAO (AB) et OD = tCO (CD)

−→

(associativité mixte du produit scalaire)

−→ −→ −→2 = (x1 . x2 ) OE + (x1 . y2 ) OE OU −→ −→ −→2 +(y1 . x2 ) OU OE + (y1 . y2 ) OU = x1 . x2 + y1 . y2

− →2

−→2

OE = OE = 1 et OU = OU = 1

− →

−→

− →

OE OU = OU OE = 0, puisque OE ⊥ OU

La proposition b) se démontre de la même manière. 7 FORMULES DE LA DISTANCE ENTRE DEUX POINTS a) Si, dans le plan muni d’un repère orthonormé, les coordonnées de A sont (xA ; yA ) et celles de B(xB ; yB ), −→ alors la norme de AB ou la distance de A à B ou la longueur de [AB] est −→ AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = d(A, B).

177

MaEM511page 178 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

b) Si, dans l’espace muni d’un repère orthonormé, les coordonnées de A sont (xA ; yA ; zA ) et celles de B(xB ; yB ; zB ), −→ alors la norme de AB ou la distance de A à B ou la longueur de [AB] est −→ AB = (xB −xA )2 + (yB −yA )2 + (zB −zA )2 = d(A, B). Démonstration •

−→2 AB

(propriété 2 , page 175)

•

−→ Dans le plan comme dans l’espace, AB =

Dans un repère orthonormé d’un plan ou de l’espace, on applique les formules −→ −→ du produit scalaire (page 177) pour calculer AB AB.

EXEMPLES

d’où

α = 125, 94°.

Pour appliquer 448 à 463. Pour s’autocontrôler 472 à 480.

Dans un repère orthonormé de l’espace, si A(−2; 1; −1), B(−1; 2; 2), C(2; −1; 1) et D(−3; 1; −2) −→ alors • les composantes de AB sont (1; 1; 3), −→ • celles de CD sont (−5; 2; −3), −→ −→ • AB CD = 1 . (−5) + 1 . 2 + 3 . (−3) = −12, −→ −→ • AB = 12 + 12 + 32 = 11, et CD = (−5)2 + 22 + (−3)2 = 38 −→ −→ • Si α est l’angle orienté des vecteurs AB et CD, −→ −→ AB CD − 12 = −0, 5869 . . . alors cos α = −→ −→ = 11 . 38 AB . CD

11.2 APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET PHYSIQUES

5e pour tous.

iti

A QUOI SERT LE PRODUIT SCALAIRE ?

1. EN GÉOMÉTRIE

DÉFINITION

Deux droites d’un plan sont perpendiculaires si un vecteur de l’une est orthogonal à un vecteur de l’autre.

d d' car AB et CD sont orthogonaux

COMMENT FAIRE ?

Comment démontrer, dans le plan, que deux droites sont perpendiculaires ? On peut montrer que le produit scalaire d’un vecteur formé par deux points de l’une par un vecteur formé par deux points de l’autre est nul.

178

MaEM511page 179 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

EXEMPLE

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes. Données:

•

le triangle ABC, les hauteurs, [BR], [CS], [AT], [BR] et [CS] se coupent

R ∈ AC; S ∈ AB; T ∈ BC; au point O.

Thèse:

[AT] passe par O.

Outil:

démontrer que O est un point de [AT] revient à prouver que la droite AO est perpendiculaire à la droite BC, ou encore que le produit −→ −→ scalaire de AO par BC est nul.

Démonstration

−→ −→ −→ −→ − → − → AO = AS + SO et BC = BS + SC. D’où, −→ −→ −→ −→ − → − → AO BC = (AS + SO) (BS + SC) −→ − → −→ − → −→ − → −→ − → = AS BS + SO BS + AS SC + SO SC

(distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs)

−→ − → −→ − → = AS BS + 0 + 0 + SO SC (produit scalaire de vecteurs orthogonaux) −→ −→ AC sur AB est AS, Or, la projection orthogonale de −→ − → AC sur SC est SC. −→ − → −→ − → AS BS = AC BS

s Donc,

(propriété 4 , page 175)

→ −→ −→ −→ − SO SC = SO AC

−→ −→ −→ − → −→ −→ AO BC = AC BS + AC SO −→ − → −→ = AC (BS + SO) −→ −→ = AC BO = 0

iti

(distributivité)

− →

(AC ⊥ BO)

Dès lors, les droites AO et BC sont perpendiculaires. Comme AT est perpendiculaire à BC, les droites AO et AT sont confondues. La hauteur [AT] passe donc bien par le point O.

2. EN PHYSIQUE : LE TRAVAIL D’UNE FORCE

Sur une gravure ancienne, on peut observer, à la page suivante, des mariniers halant un bateau qui doit s’avancer dans l’axe d’un canal. − → La force F développée par les hommes peut se décomposer en deux forces : − → • F dirigée selon l’axe du canal, − → • F dirigée perpendiculairement au déplacement (cette force est sans eﬀet sur le déplacement du bateau).

179

MaEM511page 180 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

F q

axe du canal

•

− → F est l’intensité de la force F , − → F est l’intensité de la force F ,

•

− → e est l’intensité du déplacement e dans l’axe du canal, − → • θ est l’angle formé par la direction du déplacement e (axe du − → canal) avec la direction de la force F de halage, − → alors le travail de la force F est le produit scalaire du vecteur − → − → force F et du déplacement e .

•

En eﬀet,

T = F . e

iti

T = (F . cos θ) . e

(définition du travail d’une force de même direction que le déplacement du mobile) (dans le triangle OMP rectangle en M : e = F . cos θ )

T = F . e . cosθ − → − → T = F e. − →

Ainsi, par exemple, si les mariniers tirent le bateau depuis la berge avec une force F d’intensité égale à 500 newtons et si l’embarcation se déplace de 1000 mètres selon l’axe du canal,

− →

alors que la corde de halage et cet axe forment un angle de 30◦ , le travail de la force F est

T = 500 . 1000 . cos 30◦ joules = 4, 33 . 105 joules. Pour appliquer 464 à 471.

180

MaEM511page 181 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

LE PRODUIT SCALAIRE, UN PUISSANT OUTIL Un des initiateurs du calcul vectoriel est l’irlandais William Hamilton. Enfant précoce ! On a dit qu’il lisait à trois ans, qu’il comprenait le grec, le latin et l’hébreu... à cinq ans, qu’à treize ans il parlait... treize langues !

À dix-huit ans, il entre à Cambrigde, la célèbre université où Newton étudia et enseigna. En 1827, il devint astronome royal d’Irlande et garda ce poste toute sa vie.

W. Hamilton (1805-1865)

Son penchant pour les boissons alcoolisées et les crises de goutte qui en furent la conséquence ne l’empêchèrent pas d’être un mathématicien génial et productif.

Il fut avec Grassmann un précurseur du calcul vectoriel.

− →

C’est d’ailleurs ce dernier qui introduisit la notation AB

− →

−→

CD que nous

avons adaptée en AB CD, pour le produit scalaire de deux vecteurs.

Les études de Hamilton en ce domaine seront adaptées à la physique par des savants tels que l’américain Josiah Gibbs qui écrivit des ouvrages d’analyse vectorielle et l’écossais James Maxwell célèbre par ses découvertes en électromagnétisme.

iti

L’un comme l’autre ont adapté les travaux vectoriels de Hamilton et ont utilisé pour la première fois le produit scalaire de deux vecteurs comme outil performant en physique.

Josiah Gibbs (1839-1903)

James Maxwell (1835-1879)

181

MaEM513page 210 noir vert

STATISTIQUES PROBABILITÉS

iti

Comprendre la portée des informations chiffrées, les analyser et les critiquer à l’aide de paramètres statistiques et du calcul des probabilités.

13. 14. 15.

210

Probabilités (1re approche) – Statistiques (à deux variables) Combinatoire – Binôme de Newton Lois de probabilité

MaEM515page 236 noir vert

LOIS DE PROBABILITÉ

Compétences terminales Savoir, connaître, déﬁnir

6e : pour tous

Relever les conditions d’application de la loi normale et de la loi binomiale. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes

Résoudre des applications à caractère probabiliste en utilisant les lois de probabilité.

15.1 VARIABLES ALEATOIRES

Pour un phénomène fortuit donné, le probabiliste s’intéresse souvent à une caractéristique numérique associée aux événements de ce phénomène fortuit.

Activités 1 et 2. Cahier, page 134.

VOCABULAIRE ET NOTATIONS

iti

1. Une variable aléatoire est une fonction qui associe à tout événement de Ω d’un phénomène fortuit un nombre réel qui caractérise cet événement. • Une variable aléatoire est notée par une majuscule X. • Les diverses valeurs numériques prises par la variable aléatoire X sont notées xi . Lorsque la variable aléatoire ne prend qu’un nombre ﬁni de valeurs, cette variable est dite discrète.

2. • A chaque valeur xi que prend une variable aléatoire X, on associe la probabilité pour que X prenne cette valeur qui est notée P(X = xi ). • La loi de probabilité f d’une variable aléatoire X est la fonction qui à chaque xi fait correspondre la probabilité que X égale xi : f : R → R : xi → P(X = xi ). Remarquons que la somme des images f(xi ) est 1.

236

MaEM515page 237 noir vert

LOIS DE PROBABILITÉ

• Le polygone de probabilité de la variable aléatoire est la ligne brisée obtenue en joignant entre eux, dans l’ordre, les points du graphe cartésien de f.

3. Soit pi la probabilité pour que la variable aléatoire X prenne la valeur xi . • L’espérance mathématique de la variable aléatoire X, notée E(X), est la somme des produits de chaque valeur prise par X n par la probabilité que X prenne cette valeur : E(X) = xi pi L’espérance mathématique mesure en quelque i=1 sorte la «valeur moyenne» de X. • La variance de la variable aléatoire X, notée V(X), est donnée n 2 par : V(X) = pi xi − E(X) i=1

• L’écart-type de la variable aléatoire X, noté σ(X), est la racine carrée positive de la variance de cette variable aléatoire : σ(X) = V(X) La variance et l’écart-type mesurent chacun à sa manière la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de l’espérance mathématique dans l’intervalle [E(X) − σ(X) ; E(X) + σ(X)]

REMARQUE

iti

On constate que ces notions s’apparentent à des notions vues en statistique lors des années précédentes. Voici un tableau de correspondance :

EXEMPLE

VARIABLE ALÉATOIRE X (nombre de pile)

(F,F,F) (F,F,P) (F,P,F) (P,F,F) (F,P,P) ( P, F , P ) (P,P,F) ( P, P, P)

0 1 2 3

Ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.

Variable aléatoire Statistique loi de probabilité série statistique P(X = xi ) fréquence de xi polygone de probabilité polygone des fréquences espérance mathématique moyenne arithmétique variance variance écart-type écart-type

On lance une pièce de monnaie bien équilibrée trois fois de suite. On note le nombre de piles observés. • La variable aléatoire X est le nombre de sorties de pile. Les valeurs xi prises par X sont x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. La loi de probabilité de X est don1 • P(X = 0) = ; née par le tableau suivant : 8 3 xi f(xi ) P(X = 1) = ; 8 1 0 8 3 3 P(X = 2) = ; 1 8 8 3 2 8 1 P(X = 3) = . 1 3 8 8

237

MaEM515page 238 noir vert

LOIS DE PROBABILITÉ

• Le polygone de probabilité de X est la représentation de la loi de probabilité

P(X=xi) 3 8

1 8

O 0

• L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est 1 3 3 1 3 E(X) = 0 +1 +2 +3 = = 1,5. 8 8 8 8 2 En moyenne, le nombre de piles observés, lorsqu’on lance trois fois une pièce, est 1,5.

• La variance est 3 3 1 (0 − 1, 5)2 + (1 − 1, 5)2 + (2 − 1, 5)2 V(X) = 8 8 8 1 3 + (3 − 1, 5)2 = = 0,75. 8 4 • L’écart-type est σ(X) = 0, 75 ≈ 0,866.

La dispersion des valeurs autour de l’espérance mathématique E(X) = 1, 5 se

réalise en moyenne dans l’intervalle [1, 5−0, 866 ; 1, 5+0, 866] ou [0, 634 ; 2, 366].

Pour appliquer 644 à 647.

15.2 LOI BINOMIALE

VOCABULAIRE ET NOTATION

1. Une épreuve de Bernoulli est une expérience dont on ne retient que deux résultats contraires, l’un est nommé succès, l’autre est nommé échec.

iti

Activité 3. Cahier, page 134.

de succès est notée p; d’échec est notée q. Puisque les deux événements sont contraires, q = 1 − p.

La probabilité

EXEMPLES

1. Une pièce de monnaie, parfaitement équilibrée, est lancée et retombe sur le sol. On appelle succès (S), le fait que pile soit apparent et donc échec (E), le fait que face soit visible. Ainsi, P(S) = p = 0, 5 et P(E) = q = 0, 5 = 1 − p. 2. Un dé bien équilibré est lancé. On nomme succès (S), le fait que la face supérieure soit 2 et donc échec (E), le fait que la face supérieure soit 1, 3, 4, 5, 6. 5 1 et P(E) = q = = 1 − p. Ainsi, P(S) = p = 6 6

238

MaEM515page 239 noir vert

LOIS DE PROBABILITÉ

2. Si l’on répète n fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernoulli, ce qui garantit l’indépendance de ces n épreuves, on obtient un schéma de Bernoulli. En notant X la variable aléatoire donnant le nombre de succès d’un schéma de Bernoulli, on obtient une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est appelée loi binomiale eu égard aux coeﬃcients du binôme de Newton qui interviennent dans sa formulation. Cette loi est déﬁnie par

• • • •

p est la probabilité de succès lors d’une seule épreuve; 1 − p est la probabilité d’échec lors d’une seule épreuve; k est le nombre de succès; n est le nombre d’épreuves de Bernoulli.

où

f(k) = P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k

EXEMPLE

Cette formule est admise. Elle est conjecturée par l’exemple qui suit. Un dé parfaitement symétrique est lancé 4 fois de suite. On nomme succès (S) le fait que la face supérieure porte le chiﬀre 2. On nomme échec (E) le fait que la face supérieure porte le chiﬀre 1, 3, 4, 5 ou 6. La variable aléatoire (X) est le nombre de succès.

Pour un seul lancer, on a Ω = {(S), (E)}. 1 5 Il est clair que P{(S)} = = p et que P{(E)} = = q = 1 − p. 6 6

Pour 4 lancers, il vient : Ω = {(E, E, E, E), (S, E, E, E), (E, S, E, E), (E, E, S, E), (E, E, E, S), (S, S, E, E), (S, E, S, E), (S, E, E, S), (E, S, S, E), (E, S, E, S), (E, E, S, S), (S, S, S, E), (S, S, E, S), (S, E, S, S), (E, S, S, S), (S, S, S, S)}.

iti

• La probabilité d’obtenir 0 succès est f(0) = P(X = 0) = P{(E, E, E, E)} 4 5 5 5 5 5 ≈ 0, 4823. = . . . =1 6 6 6 6 6

Il y a C04 = 1 manière de déterminer la place d’un éventuel succès (ici, il y en a 0) dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. 5 chacun, Dans cette unique possibilité, on a 4 échecs avec une probabilité de 6 4 5 . d’où la probabilité P(X = 0) = C04 6 • La probabilité d’obtenir 1 succès est f(1) = P(X = 1) = P{(S, E, E, E), (E, S, E, E), (E, E, S, E), (E, E, E, S)} 1 5 5 5 5 1 5 5 5 5 1 5 5 5 5 1 = . . . + . . . + . . . + . . . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 3 5 1 ≈ 0, 3858. =4 6 6

239

MaEM515page 240 noir vert

LOIS DE PROBABILITÉ

En eﬀet, si X = 1, il y a 1 succès. Il y a C14 = 4 manières de déterminer la place du seul succès dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. 3 échecs avec une probabilité de 56 chacun, Dans ces 4 possibilités, on a 1 succès avec une probabilité de 16 , 1 3 1 5 1 d’où la probabilité P(X = 1) = C4 . 6 6 • La probabilité d’obtenir 2 succès est f(2) = P(X = 2) = P{(S, S, E, E), (S, E, S, E), (S, E, E, S), (E, S, S, E), (E, S, E, S), (E, E, S, S)} 1 1 5 5 1 5 1 5 1 5 5 1 5 1 1 5 = . . . + . . . + . . . + . . . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 1 5 1 5 5 1 1 + . . . + . . . 6 6 6 6 6 6 6 6 2 2 5 1 ≈ 0, 1157. =6 6 6

En eﬀet, si X = 2, il y a 2 succès. Il y a C24 = 6 manières de déterminer la place des 2 succès dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. 2 échecs avec une probabilité de 56 chacun, Dans ces 4 possibilités, on a 2 succès avec une probabilité de 16 chacun, 2 2 1 5 2 d’où la probabilité P(X = 2) = C4 . 6 6 • La probabilité d’obtenir 3 succès est f(3) = P(X = 3) = P{(S, S, S, E), (S, S, E, S), (S, E, S, S), (E, S, S, S)} 1 1 1 5 1 1 5 1 1 5 1 1 5 1 1 1 = . . . + . . . + . . . + . . . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 1 5 1 ≈ 0, 0154. =4 6 6

iti

En eﬀet, si X = 3, il y a 3 succès. Il y a C34 = 4 manières de déterminer la place des 3 succès dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. 1 échec avec une probabilité de 56 , Dans ces 4 possibilités, on a 3 succès avec une probabilité de 16 chacun, 3 1 1 5 3 d’où la probabilité P(X = 3) = C4 . 6 6

• La probabilité d’obtenir 4 succès est f(4) = P(X = 4) = P{(S, S, S, S)} =

1 1 1 1 . . . =1 6 6 6 6

1 6

4 ≈ 0, 0008.

En eﬀet, si X = 4, il y a 4 succès. Il y a C44 = 1 manière de déterminer les 4 succès dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. 1 Dans cette unique possibilité, on a 4 succès avec une probabilité de chacun, 6 4 1 . d’où la probabilité P(X = 4) = C44 6

240

MaEM515page 241 noir vert

LOIS DE PROBABILITÉ

REMARQUE

Par la formule du binôme de Newton, on obtient C04 =

5 4

5 6

+ C14

1 4 6

1 5 3 6

+ C24

1 2 5 2 6

+ C34

1 3 5 6

+ C44

1 4 6

= 1 = 1.

3. • Les paramètres de la loi binomiale sont les réels strictement positifs n et p où n est le nombre d’épreuves de Bernoulli et p, la probabilité d’avoir un succès de la variable aléatoire X (donnant le nombre de succès).

• L’espérance mathématique est donnée par la formule (admise dans le cadre de ce cours) : E(X) = np .

• La variance de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est binomiale est la formule (admise dans le cadre de ce cours) : V(X) = npq , avec q = 1 − p. • L’écart-type de cette variable aléatoire est alors : σ(X) = npq , avec q = 1 − p. EXEMPLES

iti

Dans l’exemple précédent du dé lancé 4 fois de suite, 1 • les paramètres sont n égal à 4 et p égal à ; 6 1 2 • l’espérance mathématique est E(X) = 4 · = ; 6 3 1 5 5 • la variance est V(x) = 4 · · = ; 6 6 9 5 5 • l’écart-type est σ(X) = = 0, 745· 9 3

Pour appliquer 648 à 652.

15.3 LOI NORMALE ET LOI DE POISSON Lorsque le nombre n d’épreuves d’un schéma de Bernoulli est grand, le calcul de P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k est fastidieux. Ainsi, par exemple, pour 400 épreuves d’un schéma de Bernoulli 88 présentant 88 312 4 400! 1 1 succès, la probabilité d’un succès étant , le calcul de 5 88! 312! 5 5 s’avère inextricable.

241

LOIS DE PROBABILITÉ

1. LOI NORMALE FORMULE

Pour faciliter les calculs de P(X = k) lorsque n est très grand, les mathématiciens Laplace et Gauss ont inventé une loi de probabilité qui approxime la loi binomiale et dont la formule est admise :

La probabilité d’obtenir k succès est 1 · f(t) P(X = k) = σ(X) 1 2 1 avec f(t) = · e− 2 t 2π σ(X) = np(1 − p) (l’écart-type de X) k − E(X) t= (E(X) = np est l’espérance mathématique de X) σ(X)

Pierre-Simon de Laplace mathématicien français (1749-1827)

GRAPHIQUE

Le graphe cartésien de la fonction 1 2 1 f:t→ · e− 2 t 2π est une courbe en forme de cloche ou courbe de Gauss.

y 0,4

Carl-Friedrich Gauss mathématicien allemand (1777-1855)

•

Cette fonction f est paire car, pour tout t réel, f(−t) = f(t). Voici une table donnant les valeurs de f(t) pour des valeurs positives de t:

Ed 242

t2 2

0,1

iti

•

1 e– 2p

f(t) =

t –4

–2

f(t)

0, 0

0, 39894

1, 0

0, 24197

2, 0

0, 05399

3, 0

0, 00443

4, 0

0, 00013

0, 1

0, 39695

1, 1

0, 21785

2, 1

0, 04398

3, 1

0, 00327

4, 1

0, 00009

0, 2

0, 39104

1, 2

0, 19419

2, 2

0, 03547

3, 2

0, 00238

4, 2

0, 00006

0, 3

0, 38139

1, 3

0, 17137

2, 3

0, 02833

3, 3

0, 00172

4, 3

0, 00004

0, 4

0, 36827

1, 4

0, 14973

2, 4

0, 02239

3, 4

0, 00123

4, 4

0, 00002

0, 5

0, 35202

1, 5

0, 12952

2, 5

0, 01753

3, 5

0, 00087

4, 5

0, 00002

0, 6

0, 33322

1, 6

0, 11092

2, 6

0, 01358

3, 6

0, 00061

4, 6

0, 00001

0, 7

0, 31225

1, 7

0, 09405

2, 7

0, 01042

3, 7

0, 00042

4, 7

0, 00001

0, 8

0, 28969

1, 8

0, 07895

2, 8

0, 00792

3, 8

0, 00029

4, 8

0, 00000

0, 9

0, 26609

1, 9

0, 06562

2, 9

0, 00595

3, 9

0, 00020

MaEM515page 243 noir vert

LOIS DE PROBABILITÉ

EXEMPLE

1 , 5

Si n = 400 , p =

1 E(X) = 400 · = 80 , 5 1 4 σ(X) = 400 · · =8, 5 5 88 − 80 t= =1, 8 1 0, 24197 · f(1) = ≈ 0, 03 . P(X = 88) = 8 8 (table)

alors

2. LOI DE POISSON

Lorsque le nombre n d’épreuves d’un schéma de Bernoulli est grand et que la probabilité p d’un succès est voisin de 0, le probabiliste Poisson a proposé une approximation de la loi binomiale lorsque le nombre de succès k est petit et dont la formule est admise : La probabilité d’obtenir k succcès est (np)k · P(X = k) = e−np · k! EXEMPLE

1 , 100

Si n = 10 , p =

Siméon-Denis Poisson (1781-1840)

alors P(X = 3) = e−10. 100 ·

1 100 3!

0, 001 ≈ 0, 00015. 6

iti

= e−0,1 ·

10 ·

Ce résultat est une approximation de celui que l’on obtiendrait par la loi binomiale : 3 7 1 99 ≈ 0, 00011. P(X = 3) = C310 100 100

Pour appliquer 653 à 655. Pour s’autocontrôler 656 à 658. Pour chercher 659.

243

MaEM516page 244 noir vert

Index des notations ANALYSE

ensemble des nombres naturels, entiers, rationnels, réels.

P(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0

P(x) est un polynôme du ne degré (an = / 0).

a et b étant des réels,

l’ensemble des réels

= {x ∈ R a < x < b}

[a; b[

= {x ∈ R a

]a; b]

= {x ∈ R a < x

[a; b]

= {x ∈ R a

]a; →

= {x ∈ R x > a}

[a; →

= {x ∈ R x

←; b[

= {x ∈ R x < b}

←; b]

= {x ∈ R x

x < b}

compris entre a et b, avec a, sans b

compris entre a et b, sans a, avec b compris entre a et b, avec a et b

x b}

plus grands que a

plus grands ou égaux à a

plus petits que b

iti

Ed ]a−r; a+r[ ,

(r > 0)

f : R → R : x → f(x)

dom f im f f : A → B : x → f(x) (A ⊂ R, B ⊂ R) Gf ≡ y = f(x)

244

compris entre a et b, sans a ni b

]a; b[

N,Z,Q,R

plus petits ou égaux à b

intervalle ouvert centré en le réel a

a-r

a+r

f est une fonction numérique d’une variable réelle x est la variable et f(x) est l’image de x par f domaine de la fonction f ensemble-image par la fonction f f est une fonction numérique d’une variable réelle de domaine A et d’ensembleimage B le graphique ou graphe cartésien de la fonction f a pour équation cartésienne y = f(x).

MaEM516page 245 noir vert

INDEX DES NOTATIONS

lim un = u

n→+∞

lim un = +∞

n→+∞

lim f(x) = b

x→a

lim f(x) = +∞ (ou −∞)

(c = / 0)

image de x par la somme des fonctions f et g image de x par la diﬀérence des fonctions f et g image de x par le produit des fonctions f et g image de x par le quotient des fonctions f et g

f −1 (x)

la fonction homographique

image de x par la composée des fonctions f et g (g après f)

image de x par la réciproque de la fonction f (notation utilisée si cette réciproque est une fonction) la suite u1 , u2 , . . . , un converge vers le réel u

la suite u1 , u2 , . . . , un tend vers «plus l’inﬁni»

(f + g)(x) (f − g)(x) (f . g)(x) f (x) g g f(x) = (g ◦ f)(x)

la fonction polynôme de degré n à coeﬃcients réels (an = / 0)

la limite de la fonction f est le réel b, lorsque la variable x tend vers le réel a

f:R→R:x→ an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 ax + b f:R→R:x→ cx + d

lim f(x)

la limite à gauche de f lorsque x tend vers a

lim f(x)

la limite de f lorsque x tend vers +∞

lim f(x)

la limite de f lorsque x tend vers −∞

x→a+ x→a−

x→+∞

x→−∞

(fonction) dérivée de la fonction f (notation de Lagrange) nombre dérivé de f en a domaine de dérivabilité de la fonction f

f f (a) domd f df(x) dx de(t) v(t) ou e (t) ou dt

lim f(x)

la limite de la fonction f est plus l’inﬁni (ou moins l’inﬁni) lorsque la variable x tend vers le réel a la limite à droite de f lorsque x tend vers a

x→a

notation diﬀérentielle de la dérivée de f (notation de Leibniz)

iti

expa expa x ou ax

exp a

exp a x ou (ax ) exp e exp x loga loga x log a log a x

vitesse instantanée au temps t la fonction exponentielle de base a l’image du réel x par la fonction exponentielle de base a ou, plus simplement, l’exponentielle de base a de x la dérivée de la fonction exponentielle de base a l’image du réel x par la dérivée de l’exponentielle de base a la fonction exponentielle naturelle ou népérienne ou de base e le nombre 2,718281... l’image du réel x par la fonction exponentielle népérienne ou, plus simplement, l’exponentielle népérienne de x la fonction logarithme de base a (a ∈ R+ 0 \ {1}) l’image du réel strictement positif x par la fonction logarithme de base a ou, plus simplement, le logarithme de base a de x (x > 0) la dérivée de la fonction logarithme de base a l’image du réel x par la dérivée de la fonction logarithme de base a

245

MaEM516page 246 noir vert

INDEX DES NOTATIONS

ln ln x (loga x)n ou logna x f(x) dx

la dérivée (en abrégé) de loga x la fonction logarithme de base 10 ou fonction logarithme décimal l’image du réel strictement positif x par la fonction logarithme décimal ou, plus simplement, le logarithme décimal de x la fonction logarithme népérien l’image du réel strictement positif x par la fonction logarithme népérien ou, plus simplement, le logarithme népérien de x la ne puissance de loga x l’intégrale indéﬁnie de la fonction f ou l’ensemble des primitives de f sur un intervalle I de réels

(loga x) log log x

f(x) dx

l’intégrale déﬁnie de la fonction f entre les bornes a et b

(Ei ) ↔ (Ej ) k (Ei ) (Ei ) / (Ei ) + k (Ej )

la ie équation d’un système d’équations

(Ei )

ALGEBRE LINEAIRE – GEOMETRIE – CALCUL VECTORIEL permuter les ie et je équations d’un système d’équations multiplier la ie équation par le réel k

remplacer la ie équation par la ie équation augmentée d’un multiple de la je équation le point A appartient à la droite d

d⊂α

la droite d est incluse dans le plan α

A∈d

Oxyz

un repère de l’espace, d’origine O et d’axes gradués x, y et z. le plan formé par les axes x et y

yOz

le plan formé par les axes y et z

xOz

le plan formé par les axes x et z

iti

xOy

A(a1 ; a2 ; a3 )

−→ AB −→ d(A, B) ou AB ou AB −→ AB (u; v; w) −→ −→ AB // CD −→ −→ AB ⊥ CD −→ −→ AB CD = r −→ 2 AB ≡

246

dans un repère de l’espace, les coordonnées du point A forment le triplet de réels (a1 ; a2 ; a3 ) : a1 est son abscisse, a2 son ordonnée, a3 sa cote le vecteur d’origine A et d’extrémité B −→ la distance de A à B ou la longueur de [AB] ou la norme (ou l’intensité) de AB −→ le triplet de réels (u; v; w) forme les composantes de AB, dans un repère de l’espace −→ −→ les vecteurs AB et CD sont parallèles −→ −→ les vecteurs AB et CD sont orthogonaux −→ −→ le réel r égal au produit scalaire des vecteurs AB et CD −→ le carré scalaire de AB a pour équation

MaEM516page 247 noir vert

INDEX DES NOTATIONS

COMBINATOIRE – PROBABILITES Bpn

le nombre d’arrangements à répétition de n éléments pris p à p

Apn

le nombre d’arrangements sans répétition de n éléments pris p à p

le nombre de permutations de p éléments

Cpn

le nombre de combinaisons sans répétition de n éléments pris p à p

1 . 2 . 3 . ...(n − 1) . n

Ω

la catégorie d’épreuves d’un phénomène fortuit ou événement certain le cardinal de Ω ou le nombre d’éléments que comporte Ω

a∈Ω

a est une épreuve de Ω

{a}

une épreuve élémentaire de Ω

(A ⊂ Ω)

l’événement A de la catégorie d’épreuves Ω

l’événement impossible

#Ω

(n = / 0)

Si A ⊂ Ω et B ⊂ Ω,

A∩B

intersection des événements A et B

A∪B

union des événements A et B

A∩B=φ

l’événement A et l’événement B sont disjoints

P(A)

P(A|B)

probabilité de l’événement A

A\B A

B\A

probabilité que l’événement A se produise si l’événement B s’est produit une variable aléatoire

iti

diﬀérence des événements A et B

A\B

P(X = xi )

la ie valeur numérique de la variable aléatoire X la probabilité pour que la variable aléatoire X prenne la valeur xi

P(X < xi )

la probabilité pour que la variable aléatoire X prenne une valeur strictement inférieure à xi

P(xi X xj )

la probabilité pour que la variable aléatoire X prenne une valeur comprise entre xi et xj

E(X)

l’espérance d’une variable aléatoire X

V(X)

la variance d’une variable aléatoire X

σ(X)

l’écart-type d’une variable aléatoire X

247