Espace Math 5e/6e - Théorie Tome 2 6 p./s. - Extrait by VAN IN

EM566G-cover

12/06/09

13:30

Page 1

EM566G ISBN 978-2-8041-5592-6

www.deboeck.com

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Espace Math 5e/6e

(6 pÉR./sEM.)

ADAM • LOUSBERG

Arthur ADAM • Francis LOUSBERG avec la participation de René BASTIN, Benoit BAUDELET, Sabine BOUZETTE et Philippe CLOSE

Espace Math

5 /6 e

THÉORIE TOME 2 GÉOMÉTRIE & COMPLÉMENTS

6 périodes par semaine

EM566IntroBpage 3 noir vert

Avant-propos Le tome 2 du manuel comporte la théorie de 5e et de 6e : l’algèbre linéaire, la géométrie synthétique (dans l’espace) vectorielle (dans un plan et dans l’espace) et analytique (les coniques et les trajectoires), et des compléments (combinatoire, probabilités, statistiques à deux variables et nombres complexes). Les exercices des tomes 1 et 2 sont regroupés en un seul volume dans le cahier.

OBJECTIFS DU COURS EN 5e ET 6e • Les cours de géométrie de l’espace, de géométrie analytique et de calcul vectoriel abordés en quatrième sont poursuivis par la mise en place de nouveaux outils utilisés pour résoudre des problèmes et faciliter certaines démonstrations : le produit scalaire et les transformations de l’espace, en cinquième ; l’étude des coniques , de courbes paramétrées et de lieux géométriques, en sixième. « La pratique de la démonstration doit arriver à maturation dans le cours à six périodes ... Les démonstrations sont l’occasion de développer les compétences liées à l’argumentation et à la communication. »(1) • Le calcul matriciel constitue une première approche de l’algèbre linéaire. En cinquième, le but poursuivi est de résoudre, de discuter des systèmes d’équations linéaires et de les interpréter à l’aide de l’outil analytique. L’extension de la notion de nombres aux nombres complexes est liée, en sixième, au calcul dans un champ et dans un espace vectoriel, ainsi qu’aux transformations du plan. • Les statistiques et les probabilités doivent rendre les élèves capables d’adopter des attitudes constructives mais aussi critiques dans les domaines de l’analyse des données, du dénombrement et des prévisions. L’accent est essentiellement mis sur la réalisation des calculs à l’aide des moyens modernes : calculatrices et ordinateurs. Poursuivant le travail entrepris au premier et au deuxième degrés, ce manuel veut être avant tout un outil souple et eﬃcace pour les enseignants et pour leurs élèves, dans deux domaines de prédilection : — la pédagogie des situations qui confronte l’élève à des activités qu’il doit organiser personnellement ou en équipes; — l’enseignement en spirale qui ne veut pas épuiser d’emblée le contenu global des notions rencontrées et qui procède par touches progressives. (1)

Les textes en italique proviennent des programmes de mathématiques au 3e degré.

III

EM566IntroBpage 4 noir vert

Nous avons maintenu les «Petits bouts d’histoire» parce que nous sommes convaincus qu’un cours de mathématiques doit être replacé dans son contexte historique aﬁn de convaincre nos élèves de l’utilité et de la richesse des démarches entreprises dans cette discipline par d’illustres prédécesseurs. Nous tenons à remercier les Éditions De Boeck et leurs collaborateurs pour l’accueil réservé à cet ouvrage et pour leur travail accompli avec rigueur. Notre reconnaissance va également à Freddy Goossens et Jean Haerlingen pour la mise en page et les dessins qu’ils ont réalisés avec talent. L’édition 2007 comporte des corrections ponctuelles. Elle tient compte des quelques modiﬁcations du programme de la FESeC en 2007.

RÉFÉRENCES AU CAHIER • Une activité préparatoire à la théorie est à réaliser dans le cahier à la page indiquée. • Certains mots sont accompagnés d’un gros point. Dans la marge, une référence est faite au Coffre à outils figurant au cahier. • À la fin de chaque paragraphe, des références sont faites aux numéros d’exercices et à la page du cahier. Dans chaque chapitre, la numérotation des exercices est autonome.

Activité . . . Cahier, page . . .

•

Cahier, page . . . Pour appliquer . . . Pour s’autocontrôler . . . Pour chercher . . . Venus d’ailleurs . . .

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GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE & GÉOMÉTRIE VECTORIELLE — dans le plan — dans l’espace

4e ...... ......

...... ...... ...... ...... ...... ...... 5e ...... ...... ......

...... ...... ...... 5e ...... ...... 5e ...... ...... ......

4e 5e ...... ...... ......

5e 5e ...... ...... ......

5e ...... ......

6e ...... ...... 5e ...... ...... ...... 5e ...... ...... ...... 6e ...... ......

5e ...... ...... 5e ...... ...... ...... 5e ...... ...... ...... 5e ...... ......

5e ...... ......

6 9 10 13 21 23

25 27 35 38 39 41 45 46 48 50 53

iti

4. 4.1 4.2

3 4

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2. 2.1 2.2 2.3

Parallélisme et orthogonalité Conventions de représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coﬀre a outils de géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . Point de percée d’une droite dans un plan, intersection d’un solide et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . Condition nécessaire et suﬃsante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallélisme et théorème de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . Perpendicularité et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plan médiateur d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul vectoriel Repère dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Applications du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grassman : un fondateur du calcul vectoriel . . . . . . . . Calcul vectoriel (suite) : Produit scalaire Projection et angle de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Norme d’un vecteur – distance entre deux points. . Applications géométriques et physiques . . . . . . . . . . . Le produit scalaire, un puissant outil . . . . . . . . . . . . . . Transformations du plan et de l’espace Homothéties de l’espace et du plan . . . . . . . . . . . . . . . Composition d’homothéties de même centre . . . . . .

1. 1.1 1.2 1.3

FESeC

Communauté française

Table des matières

dans le plan dans l’espace

ALGÈBRE LINÉAIRE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE Géométrie analytique dans l’espace (1re partie) Équation vectorielle de droites et de plans . . . . . . . . Équations cartésiennes de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices et déterminants Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systèmes linéaires Résolution par substitution ou par échelonnement Résolution par les matrices et les déterminants . . . Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Géométrie analytique dans l’espace (2e partie) Équations de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équations de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. 5.1 5.2 6. 6.1 6.2 6.3 7. 7.1 7.2 7.3 8. 8.1 8.2

56 58 61 65 69 71 82 88 92 96

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...... ...... ...... 6e

...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... 6e ...... ...... 6e ...... ...... ......

6e ...... ...... ...... ...... ......

6e ...... ......

6e 6e 6e 6e ...... ......

109 113 119 129 137 143 144 148 152 153 155 156 159

...... ...... ...... 6e

COMPLÉMENTS

iti

12. Nombres complexes 12.1 L’ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Le champ des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . 12.4 Racines ne d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Opérations dans C et géométrie plane . . . . . . . . . . . i : le nombre des situations «impossibles» . . . . . . . . . 13. Combinatoire – Binôme de Newton 13.1 Dénombrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Triangle de Pascal et Binôme de Newton . . . . . . . . Un triangle fabuleux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Statistiques – Probabilités 14.1 Ajustement linéaire – Corrélation. . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Calcul élémentaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Probabilité conditionnelle – indépendance . . . . . . . 14.4 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Loi normale et loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Analyse des données et dénombrement . . . . . . . . . . . INDEX DES NOTATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INDEX ALPHABÉTIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99 102 105

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 10. 10.1 10.2 11. 11.1 11.2 11.3

Problèmes d’intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallélisme et orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Géométrie analytique plane : les coniques Coup d’œil sur les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipses : point de vue bifocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperboles : point de vue bifocal . . . . . . . . . . . . . . . . Coniques centrées : point de vue focal . . . . . . . . . . . . Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Positions relatives d’une droite et d’une conique . Problèmes de tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriétés optiques des coniques. . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipse transformée d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . Changements de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coniques translatées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coniques en général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Réduction de l’équation générale de coniques . . . . Trajectoires Courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Repérage polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lieux géométriques Méthode synthétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode de traduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthode des génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La science mathématique est la reine des sciences .

8.3 8.4 8.5 9.

164 175

181 185 188 194

198 200 207 209 213 217 220 227 230 233 237 241 245 247 250 253 255 257

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GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE & GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

— DANS LE PLAN — DANS L’ESPACE

iti

Associer les outils vectoriels à des intuitions géométriques; intégrer des situations planes et spatiales au raisonnement géométrique; exploiter les méthodes de démonstration et de résolution de problèmes qui en découlent.

1. 2. 3. 4.

Parallélisme et orthogonalité Calcul vectoriel Calcul vectoriel (suite) : Produit scalaire Transformations du plan et de l’espace

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3 dans le plan : 4e Comm

CALCUL VECTORIEL PRODUIT SCALAIRE

(suite)

Compétences terminales

5e FESeC

Savoir, connaître, définir le calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace, faisant intervenir le produit scalaire de deux vecteurs.

dans l’espace : pour tous.

Calculer (déterminer, estimer, approximer) une longueur et un angle.

3.1 PROJECTION ET ANGLE DE VECTEURS DÉFINITION

−→ Le vecteur EF est la projection orthogonale du vecteur −→ CD sur la droite d si • E est la projection orthogonale de C sur d, • F est la projection orthogonale de D sur d.

ILLUSTRATION GRAPHIQUE

iti

DANS UN PLAN

DANS L'ESPACE D C

d E

PROPRIÉTÉ

(conséquence immédiate de la déﬁnition précédente)

CD est parallèle à la droite d, − → −→ EF est la projection orthogonale de CD sur d, − → −→ alors EF = CD. ILLUSTRATION GRAPHIQUE

DANS UN PLAN C

DANS L'ESPACE D C

d E

D F

d E

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PRODUIT SCALAIRE

VOCABULAIRE

−→ −→ Dans un plan ou l’espace, on appelle angle de vecteurs AB et CD • l’angle orienté EMF, −→ − → −→ −→ −→ −→ −→ si AB = / 0 = / CD et si ME = AB et MF = CD; • tout angle, si l’un des vecteurs est nul. CAS PARTICULIERS

• L’angle de deux vecteurs parallèles de même sens est l’angle nul. • L’angle de deux vecteurs parallèles de sens contraires est l’angle plat. ILLUSTRATION GRAPHIQUE POUR DES VECTEURS NON NULS

DANS UN PLAN

C A θ

E S T

iti

E A B

Pour appliquer 1 et 2, page 164 Pour s’autocontrôler 27, page 168

E D C D C

F θ E

M B

A D

M E

O B T U S

E B

P L A T

θ A

B D

E S T

M A

D R O I T θ

E S T

A I G U

N U L

DANS L'ESPACE

M F

θ B

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PRODUIT SCALAIRE

3.2 PRODUIT SCALAIRE DÉFINITIONS – VOCABULAIRE – NOTATIONS Activités 1 à 3. Cahier, pp. 163 et 164.

Dans un plan muni d’une distance euclidienne•, −→ −→ • le produit scalaire des vecteurs non nuls AB et AC est l’angle où A est le réel égal à AB . AC . cos A −→ −→ orienté formé par AB et AC. • le produit scalaire de deux vecteurs dont l’un est le vecteur nul, est égal au réel 0 .

Dans l’espace muni d’une distance euclidienne, −→ −→ le produit scalaire des vecteurs AB et AC est le pro−→ −→ duit scalaire, déﬁni en 1., de AB et AC considérés comme des vecteurs du plan BAC.

•

Cahier, page 20

−→ −→ −→ −→ Le produit scalaire de AB par AC est noté AB AC.

EXEMPLES

−→ −→ AB AC = 4 . 3 . cos 30° 3 = 12 . 2 = 6 3.

30° 4

iti

M 30°

B N

C N

Les droites AB et MN sont gauches. On translate un des vecteurs de telle manière que les deux vecteurs soient dans un même plan (ou coplanaires). −→ −−→ −→ −→ AB MN = AB AC = 4 . 3 . cos 30° = 6 3.

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PRODUIT SCALAIRE

Deux vecteurs orthogonaux sont des vecteurs dont le produit scalaire est nul. −→ −→ −→ −→ Si les vecteurs AB et CD sont orthogonaux, on note AB ⊥ CD.

EXEMPLES

1) Dans un plan

2) Dans l’espace

A α

(α

β)

−→ −→ AB et AC sont orthogonaux car −→ −→ AB AC = AB . AC . cos 90° = 0. −→ −−→ Il en va de même pour LK et MN.

−→ −→ AB et KL sont orthogonaux car −→ −→ AB KL = AB . KL . cos 90° = 0.

Le carré scalaire d’un vecteur est le produit scalaire de ce vecteur par lui-même. 2 −→ −→ Le carré scalaire de AB se note AB .

β C

PROPRIÉTÉS

1 Dans un plan, le produit scalaire de deux vecteurs parallèles non nuls est égal – au produit de leurs normes, s’ils sont de même sens; – à l’opposé du produit de leurs normes, s’ils sont de sens contraires.

Démonstration

iti

−→ −→ • Si AB et CD sont parallèles et de même sens,

−→ −→ −−→ −−→ alors AB CD = A B A D =

A B

A D

. cos 0°

C A'

= A B . A D . −→ −→ • Si AB et CD sont parallèles et de sens contraires, −→ −→ −−→ −−→ alors AB CD = A B A D = − A B . A D .

D' B'

(définition)

= A B . A D . cos 180°

A (définition)

B C

B' A'

2 La norme d’un vecteur est la racine carrée positive de son carré scalaire. −→2 −→ 2 En eﬀet, AB = AB . AB . cos 0° = AB ou AB 2 −→2 −→ −→ AB = AB . et || AB || est un réel positif.

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PRODUIT SCALAIRE

3 Le produit scalaire des vecteurs est commutatif. C

−→ −→ −→ −→ AB AC = AC AB .

−→ −→ = AC . AB . cos CAB En eﬀet, AB AC = AB . AC . cos BAC −→ −→ = AC AB (deux angles opposés ont même cosinus).

4 Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est égal au produit scalaire de l’un d’eux par la projection orthogonale de l’autre sur la droite portant le premier. −→ −→ −→ −−→ AB AC = AB AC −→ −→ −→ −−→ AB AC = AC AB fig. 1

Démonstration

où B est la projection orthogonale de B sur AC.

où C est la projection orthogonale de C sur AB,

• Si AC ⊥ AB, alors la propriété est évidente (fig. 1). B

−→ −→ • Si AC ⊥ / AB, alors AB AC = AB . AC . cos A •

= AC AC . cos A C'

D’où

B •

= (dans le triangle C AC rectangle en C , cos A

AC AC

→ −−→ = AB . AC = − AB . AC . cos A AB AC (Manuel 2, propriété 1 , page 42).

étant obtus, (fig. 3) A = − AC . cos(180° − A) AC . cos A

fig. 3

(définition).

étant aigu, (fig. 2) A

fig. 2

A = C'

= − AC

(les cosinus de deux angles supplémentaires sont opposés)

= dans le triangle C AC rectangle en C , cos CAC

(cos 180° = −1)

iti

= − AB . AC = AB . AC . cos 180° D’où AB . AC . cos A −→ −−→ = AB AC

(définition).

• On démontre de la même manière la deuxième égalité.

5 Si A, B, C, D, E et F sont des points d’un plan ou de l’espace et r un réel, alors −→ −→ −→ −→ −→ −→ • r AB CD = AB r CD = r AB CD , (associativité mixte du produit scalaire et de la mutiplication d’un vecteur par un réel)

−→ −→ − → −→ −→ −→ − → • AB CD + EF = AB CD + AB EF .

(distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs) Ces propriétés sont admises.

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PRODUIT SCALAIRE

6 Si deux vecteurs sont orthogonaux, alors tout vecteur parallèle à l’un est orthogonal à l’autre. kv u

Démonstration v

− → − → − → − → − → − → u ⊥ v ⇔ u v = 0 et k u // u . − → − → − → − → D’où k u v = k( u v ) (Manuel 2, propriété 5 , page 43)

= k . 0 = 0. − → − → Donc k u ⊥ v .

7 a) Dans un plan muni d’un repère orthonormé, −→ les composantes de − AB si → sont (x1 ; y1 ), les composantes de CD sont (x2 ; y2 ), −→ −→ alors AB CD = x1 x2 + y1 y2 .

b) Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, −→ si les composantes de − AB → sont (x1 ; y1 ; z1 ), les composantes de CD sont (x2 ; y2 ; z2 ), −→ −→ alors AB CD = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Démonstration de a)

Soit

−→ OE sur l’axe x, tel que abs E = 1, −→ OU sur l’axe y, tel que ord U = 1, −→ −→ −−→ −−→ AB CD = OB OD •

•

Cahier, page 22

−→

iti

D' (x2;y2)

y2 y1

E 1

B' (x1;y1) x

− →

−→ −→ −→ −→ x1 . OE + y1 . OU x2 . OE + y2 . OU

−→

(décomposition d’un vecteur)

− →

OB = tAO (AB) et OD = tCO (CD)

(distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs)

−→ −→ −→ −→ x1 . OE x2 . OE + x1 . OE y2 . OU −→ −→ −→ −→ + y1 . OU x2 . OE + y1 . OU y2 . OU (associativité mixte du produit scalaire)

−→ −→ −→2 = (x1 . x2 ) OE + (x1 . y2 ) OE OU

= x1 . x2 + y1 . y2

−→ −→ −→2 +(y1 . x2 ) OU OE + (y1 . y2 ) OU 2 −→2 − → 2 2 OE = OE = 1 et OU = OU = 1; − → −→ −→ − → OE OU = OU OE = 0, puisque OE ⊥ OU

La proposition b) se démontre de la même manière : il suﬃt de translater les Pour appliquer −→ −→ 3 à 14, page 165 vecteurs AB et CD dans un même plan.

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PRODUIT SCALAIRE

3.3 NORME D’UN VECTEUR – DISTANCE ENTRE DEUX POINTS PROPRIÉTÉS

1 Dans un plan muni d’un repère orthonormé, si les coordonnées de A sont (xA ; yA ) et celles de B(xB ; yB ), −→ alors la norme de AB ou la distance de A à B ou la longueur de [AB] est −→ AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = d(A, B).

2 Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, si les coordonnées de A sont (xA ; yA ; zA ) et celles de B(xB ; yB ; zB ), −→ alors la norme de AB ou la distance de A à B ou la longueur de [AB] est −→ AB = (xB −xA )2 + (yB −yA )2 + (zB −zA )2 = d(A, B). Démonstration

•

−→ Dans le plan comme dans l’espace, AB =

−→2 AB =

−→ −→ AB AB

(Manuel 2, propriété 2 , page 42)

Dans un repère orthonormé d’un plan ou de l’espace, on applique les formules −→ −→ du produit scalaire (Manuel 2, propriété 7 ,page 44) pour calculer AB AB.

•

iti

3 Dans un plan comme dans l’espace munis d’un repère or− → thonormé adéquat, l’angle α formé par les vecteurs u et − → − → − → u v v est tel que cos α = · − → − → u . v Cette formule découle de la déﬁnition du produit scalaire de deux vecteurs (Manuel 2, page 41). EXEMPLES

Dans un repère orthonormé de l’espace, si les points A, B, C et D sont donnés par leurs coordonnées : A(−2; 1; −1), B(−1; 2; 2), C(2; −1; 1) et D(−3; 1; −2) −→ alors • les composantes de AB sont (1; 1; 3), −→ • celles de CD sont (−5; 2; −3), −→ −→ • AB CD = 1 . (−5) + 1 . 2 + 3 . (−3) = −12, −→ −→ • AB = 12 + 12 + 32 = 11, et CD = (−5)2 + 22 + (−3)2 = 38

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PRODUIT SCALAIRE

•

Pour appliquer 15 à 17, page 166 Pour s’autocontrôler 28 à 35, page 168

−→ −→ Si α est l’angle orienté des vecteurs AB et CD, −→ −→ AB CD − 12 alors cos α = −→ = −0, 5869 . . . −→ = 11 . 38 AB . CD d’où

α = 125, 94°.

3.4 APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET PHYSIQUES PROPRIÉTÉ

⇔ ⇔

−→ la projection orthogonale de AB sur CD est un point

−→ −→ En eﬀet, AB ⊥ CD

Si A, B, C et D sont quatre points d’un plan ou de l’espace, −→ −→ alors les vecteurs AB et CD sont ortogonaux ssi les droites AB et CD sont orthogonales. AB ⊥ CD

(Manuel 2, propriété 2 page 21).

EXEMPLE GÉOMÉTRIQUE

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes. Données :

• •

•

R S

le triangle ABC, les hauteurs, [BR], [CS], [AT], [BR] et [CS] se coupent

Thèse :

R ∈ AC; S ∈ AB; T ∈ BC; au point O.

[AT] passe par O.

Démonstration

Démontrer que O est un point de [AT] revient à prouver que la droite AO est −→ −→ perpendiculaire à la droite BC, ou encore que le produit scalaire de AO par BC est nul. −→ −→ −→ −→ − → − → AO = AS + SO et BC = BS + SC. D’où, −→ −→ −→ −→ − → − → AO BC = (AS + SO) (BS + SC) −→ − → −→ − → −→ − → −→ − → = AS BS + SO BS + AS SC + SO SC (distributivité du produit

iti

scalaire par rapport à l’addition des vecteurs)

−→ − → −→ − → = AS BS + 0 + 0 + SO SC (produit scalaire de vecteurs orthogonaux). −→ −→ AC sur AB est AS, Or, la projection orthogonale de −→ − → AC sur SC est SC. Donc,

−→ − → −→ − → AS BS = AC BS → −→ −→ −→ − SO SC = SO AC

(Manuel 2, propriété 4 , page 43)

MaEM56B03page 47 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

−→ −→ −→ − → −→ −→ AO BC = AC BS + AC SO −→ − → −→ = AC (BS + SO) (distributivité du produit scalaire par rapport à

−→ −→ = AC BO = 0

l’addition des vecteurs)

− →

(AC et BO sont orthogonaux).

Dès lors, les droites AO et BC sont perpendiculaires. Comme AT est perpendiculaire à BC, les droites AO et AT sont confondues. La hauteur [AT] passe donc bien par le point O.

EXEMPLE PHYSIQUE

Sur une gravure ancienne, on peut observer des mariniers halant un bateau qui doit s’avancer dans l’axe d’un canal. − → La force F développée par les hommes peut se décomposer en deux forces : − → • F dirigée selon l’axe du canal, − → • F dirigée perpendiculairement au déplacement (cette force est sans eﬀet sur le déplacement du bateau).

F F'

axe du canal

iti

•

− → F est l’intensité de la force F , − → F est l’intensité de la force F ,

− → e est l’intensité du déplacement e dans l’axe du canal, − → • θ est l’angle formé par la direction du déplacement e (axe du canal) avec la − → direction de la force F de halage, − → − → alors le travail de la force F est le produit scalaire du vecteur force F − → et du déplacement e . En eﬀet, T = F . e (définition du travail d’une force de même direction que le déplace•

ment du mobile)

T = (F . cos θ) . e

(dans le triangle OMP rectangle en M : e = F . cos θ )

T = F . e . cosθ − → − → T = F e.

MaEM56B03page 48 noir vert

PRODUIT SCALAIRE

− → Ainsi, par exemple, si les mariniers tirent le bateau depuis la berge avec une force F d’intenPour appliquer canal, 18 à 26, page 166 sité égale à 500 newtons et si l’embarcation se déplace de 1000 mètres selon l’axe du− → ◦ alors que la corde de halage et cet axe forment un angle de 30 , le travail de la force F est Pour chercher ◦ 36 à 54, page 170 T = 500 . 1000 . cos 30 joules Venus d’ailleurs = 4, 33 . 105 joules. 55, page 171

LE PRODUIT SCALAIRE, UN PUISSANT OUTIL

Un des initiateurs du calcul vectoriel est l’Irlandais William Hamilton. Enfant précoce ! On a dit qu’il lisait à trois ans, qu’il comprenait le grec, le latin et l’hébreu... à cinq ans, qu’à treize ans il parlait... treize langues !

W. Hamilton (1805-1865)

À dix-huit ans, il entre à Cambrigde, la célèbre université où Newton étudia et enseigna. En 1827, il devint astronome royal d’Irlande et garda ce poste toute sa vie. Son penchant pour les boissons alcoolisées et les crises de goutte qui en furent la conséquence ne l’empêchèrent pas d’être un mathématicien génial et productif. Il fut avec Grassmann un précurseur du calcul vectoriel.

− →

C’est d’ailleurs ce dernier qui introduisit la notation AB

− →

−→

CD que l’on a

adaptée en AB CD, pour le produit scalaire de deux vecteurs.

Les études de Hamilton en ce domaine seront adaptées à la physique par des savants tels que l’Américain Josiah Gibbs qui écrivit des ouvrages d’analyse vectorielle et l’Écossais James Maxwell célèbre par ses découvertes en électromagnétisme.

iti

L’un comme l’autre ont adapté les travaux vectoriels de Hamilton et ont utilisé pour la première fois le produit scalaire de deux vecteurs comme outil performant en physique.

Josiah Gibbs (1839-1903)

James Maxwell (1835-1879)

MaEM56B05page 55 noir vert

ALGÈBRE LINÉAIRE

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

iti

Développer certains savoirs algébriques pour enrichir la géométrie plane et la géométrie dans l’espace.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Géométrie analytique dans l’espace (1re partie) Matrices et déterminants Systèmes linéaires Géométrie analytique dans l’espace (2e partie) Géométrie analytique plane : les coniques Trajectoires Lieux géométriques 55

MaEM56B07page 71 noir vert

7 5e pour tous

SYSTÈMES LINÉAIRES

Compétences terminales

Calculer l’ensemble des solutions d’un système de 2 ou 3 équations linéaires, y compris avec utilisation du calcul matriciel.

Appliquer, analyser, résoudre des problèmes interpréter le résultat de ces calculs en les replaçant dans le contexte du problème, avec discussion éventuelle.

7.1 RESOLUTION PAR SUBSTITUTION OU PAR ECHELONNEMENT 1. SYSTÈMES ET SOLUTIONS

VOCABULAIRE

1. Un système de m équations linéaires à n inconnues, noté (s), est un ensemble de m équations du premier degré en chacune de ces n inconnues, notées ici x1 , x2 , ..., xn :

iti

 a11 x1        a x   21 1 ..   .        am1 x1

(s)

a12 x2

a13 x3

+ ... +

a1n xn

a22 x2

a23 x3

+ ... +

a2n xn

.. . + am2 x2

.. . + am3 x3

.. .

.. . + ... + amn xn

Il peut encore s’écrire matriciellement sous la forme :

         a12 a13 a1n u1 a11  a22   a23   a2n   u2   a21   ....  x1 +  ....  x2 +  ....  x3 + . . . +  ....  xn =  ....  . am1 am2 am3 amn um 

2. La ie équation est notée (i). C’est l’équation ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + ... + ain xn = ui . 3. Compte tenu des notations du calcul matriciel, le système précédent peut aussi s’écrire sous forme matricielle :

MaEM56B07page 72 noir vert

SYSTÈMES LINÉAIRES



a11  a21  .  . .

a12 a22 .. .

a13 a23 .. .

... ... .. .

am1

am2

am3

...

    x1 u1 a1n a2n   x2   u2      ..    ..  =  ..  . . . xn um amn

soit, en abrégé, AX = U, si l’on note : 

a12 a22 .. .

a11  a21 A=  .. .

a13 a23 .. .

... ... .. .

 a1n a2n  ..  , .

nommée matrice du système;

am1 am2 am3 ... amn  x1 x  2  X =  .. , nommée matrice-colonne . 

 , 

nommée matrice-colonne des termes indépendants.

um REMARQUE :



xn u1  u2 U =  .. . 

des inconnues;

si tous les termes indépendants d’un système sont nuls alors le système est dit homogène.

4. Une solution d’un système de m équations linéaires à n inconnues est un n-uple de réels qui vériﬁent chacune des équations de ce système.  x + y = 5

EXEMPLE

x − y = 1

La solution de (s)

est

x=3 y=2

(3; 2) puisque

3+2=5 3−2=1

iti

5. Résoudre le système (s), c’est déterminer l’ensemble S de toutes les solutions de (s).

6. Deux systèmes sont équivalents s’ils ont les mêmes solutions.

EXEMPLE

(s)

 x + y = 5 x − y = 1

(s )

  2x + 3y = 12  4x + y = 14

sont équivalents puisque la solution de chacun est

x=3 y=2

ou (3; 2).

7. Un système échelonné est un système dont le nombre de variables diminue à chaque ligne et dont la matrice est triangulaire. EXEMPLE

  3x + y + 4z = 5   (s) 3y − 2z = 9    4z = 8

est un système échelonné qui se représente sous forme matricielle par la matrice formée des coeﬃcients des inconnues et des termes indépendants :



3 0  0

1 3 0

4 −2 4

 5 9  8

MaEM56B07page 73 noir vert

Cahier, page 18 y

x 0

2. On sait que, dans l’espace muni d’un repère orthonormé, toute équation du premier degré à trois inconnues ax + by + cz + d = 0 est l’équation d’un plan à la condition que (a; b; c) = / (0; 0; 0) (Manuel 2, page 60). Dans le chapitre 8 suivant, on verra qu’il en est ainsi dans n’importe quel repère. On peut donc interpréter géométriquement un système d’équations linéaires à trois inconnues dont les coeﬃcients dans une même équation ne sont pas simultanément nuls comme un ensemble de plans de l’espace. Les solutions de ce système sont alors les points communs à ces plans.

z π2

π1

 x−y=0    Le système x = 1   z = 0

EXEMPLE

1 0

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

1. On sait que, dans le plan muni d’un repère, toute équation du premier degré à deux inconnues ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite•, à la condition que (a; b) = / (0; 0). On peut donc interpréter géométriquement un système d’équations linéaires à deux inconnues, dont les coeﬃcients dans une même équation ne sont pas simultanément nuls, comme un ensemble de droites d’un plan. Les solutions de ce système sont alors les points communs à ces droites.  EXEMPLE 2x − 3y + 6 = 0 (d1 )   n’admet pas de solution puisque les  droites d1 , d2 et d3 n’ont pas de Le système 3x + 2y − 6 = 0 (d2 )   point commun. x − y + 2 = 0 (d3 )

•

SYSTÈMES LINÉAIRES

π3 x

(1;1;0)

  x = 1 (π2 ) est équivalent au système y = 1  z = 0 (π3 ) (π1 )

dont la solution est (1; 1; 0), puisque les plans π1 , π2 et π3 ont ce seul point en commun.

RANG D’UNE MATRICE CARRÉE

iti

DÉFINITION •

•

Le 2 1 0 Le 3

rang d’une matrice A d’ordre 2 est ssi dét A = / 0; ssi dét A = 0 et un mineur au moins est non nul; ssi A est la matrice nulle (tous ses termes sont nuls). rang d’une matrice A d’ordre 3 est ssi dét A = / 0;

2 ssi 1 ssi 0

ssi

dét A = 0 et un mineur au moins est non nul; dét A = 0 tous les mineurs sont nuls et au moins un terme de A est non nul; A est la matrice nulle.

MaEM56B07page 74 noir vert

SYSTÈMES LINÉAIRES

VOCABULAIRE

Pour la clarté de leur résolution, les systèmes de n équations linéaires à n inconnues (n = 2 ou 3) seront classiﬁés suivant le rang de leur matrice. Le rang d’un système d’équations linéaires est le rang de sa matrice. EXEMPLES

   x + 2y + 3z = 4 3) 3x + 2y − 3z = 8   2x − y − z = 15

   x + 2y − 3z = 4 4) 2x + y − z = 5   x − y + 2z = 2

1 3 2

−4 8

2 2 −1

3 −3 −1

2 1 −1

−3 −1 2

1 3 2

1 2 5

2 2 −1

−4 = 0 8

−2 −4 −10

3 6 15

M22 = 3 = /0

1 2 1

1 2 5

3 −3 = −32 −1

2 1 −1

−3 −1 = 0 2

−2 −4 −10

3 6 =0 15

M33 = 1 2

2 = −3 = /0 1

tous les mineurs sont nuls; a11 = 1 = / 0

iti

2 = −5 −1

3 −6

   x − 2y + 3z = −7 5) 2x − 4y + 6z = −14   5x − 10y + 15z = −35

1 2 1

1 2

Rang

3x − 4y = 5 −6x + 8y = 7

2 −1

Mineurs

1 2

dét A

Matrice A

Systèmes x + 2y = 3 1) 2x − y = 1

Activités 1 à 3. Cahier, pp. 187 et 188.

•

Cahier, page 5

RÉSOLUTION PAR COMBINAISONS LINÉAIRES ET PAR SUBSTITUTION

On a vu en troisième et quatrième années comment on peut résoudre un système• de deux équations linéaires à deux inconnues en exprimant, dans une équation une des inconnues en fonction de l’autre et en la remplaçant dans l’autre équation par son expression qui a été dégagée. En cinquième année, on résout des systèmes de n équations linéaires à p inconnues (n = 2 ou 3, p = 2 ou 3) en utilisant la méthode des combinaisons linéaires suivie d’une substitution.

MaEM56B07page 75 noir vert

1er cas

SYSTÈMES LINÉAIRES

n = p = 3 et le rang est 3

COMMENT FAIRE ?

Comment résoudre un système de 3 équations linéaires à 3 inconnues de rang 3 ? EXEMPLE

Ces équations et ces inconnues sont dites principales.

    x + 2y

Dans les deux équations principales, on isole les termes en les inconnues principales.

/ 0. D’où x et y sont choisies comme inconnues M33 = principales dans les deux premières équations qui deviennent les équations principales.

• On choisit deux mêmes inconnues dans deux équations dans lesquelles les coeﬃcients des inconnues ne sont pas proportionnels.

  (1)   x + 2y + 3z = 4 3x + 2y − 3z = 8 (2) Résoudre    2x − y − z = 15 (3) 1 2 3 / 0. Le rang est 3 car 3 2 −3 = −32 = 2 − 1 −1

⇔

• On porte dans l’équation non principale les expressions trouvées des deux inconnues.

⇔

iti

• On résout le système des deux équations principales.

• On reporte dans les équations principales la valeur trouvée pour l’inconnue non principale.

⇔

3x + 2y

   −2x 

= −4 − 6z

(1) + (2)

− 4y = −4 + 12z (1) − (2)    2x − y − z = 15   (3)   x = 2 + 3z (4) y = 1 − 3z    2(2 + 3z) − (1 − 3z) − z = 15 (5)  3   z= (5)   2      x=2+3.

2      3    y = 1 − 3 . 2

π2

×(−3)

   2x − y − z = 15

π1

= 4 − 3z ×1

= 8 + 3z ×(−1) ×1

13 2

13 7 3 ;− ; 2 2 2

−

7 2

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

π3

Les équations du système (s) sont celles de trois plans se coupant en un point.

REMARQUE On

ne manquera pas de vérifier en remplaçant dans le système les valeurs trouvées pour x, y et z.

MaEM56B07page 76 noir vert

SYSTÈMES LINÉAIRES

2e cas

n = p = 3 et le rang est 2

COMMENT FAIRE ?

• On procède de la même manière que dans le 1er cas. • En ﬁnale, lorsqu’on reporte dans l’équation non principale les valeurs trouvées pour les inconnues principales, on obtient une équation indéterminée (1er exemple) ou une équation impossible (2e exemple). er EXEMPLE

(s)

 2x − y + z = 1 (1)    2 x + 3y + 4z = 2 (2) Le rang est 2 car 1  3   3x + 2y + 5z = 3 (3)

−1 3 2

1 4 = 0 5

−1 et M31 = 3

(C3 = C1 + C2 )

1 = −7 = / 0. 4

/ 0. D’où y et z sont choisies comme inconnues principales dans les deux M31 = premières équations.     − y + z = 1 − 2x ×3 × (−4) 3 . (1) + 1 . (2)     7z = 5 − 7x 7y = −2 + 7x −4 . (1) + 1 . (2) 3y + 4z = 2 − x ×1 × 1 ⇔ ⇔      3x + 2y + 5z = 3  3x + 2y + 5z = 3

0x = 0.

iti

 5 − 7x   z=    7      − 2 + 7x y= ⇔ 7      5 − 7x − 2 + 7x    + 5 =3 3x + 2   7 7

π3

π2

π1

Cette dernière équation est indéterminée. Si l’on donne des valeurs arbitraires (c.-à-d. quelconques) à x, soit x = α, 5 − 7α − 2 + 7α alors z = et y = · 7 7 Le système (s) est donc simplement indéterminé. Il admet une inﬁnité simple de solutions : à chaque valeur réelle de α correspond une solution du système. − 2 + 7α 5 − 7α S= α; α∈R ; 7 7 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Le système est formé des équations cartésiennes de trois plans sécants en une droite. On trouvera dans le chapitre suivant des précisions relatives à cette interprétation.

MaEM56B07page 77 noir vert

SYSTÈMES LINÉAIRES

2 EXEMPLE

(s)

 x + 2y − 3z = 4    2x + y − z = 5    x − y + 2z = 2

1 Le rang est 2 car 2 1

(1) (2) (3)

(L2 = L1 + L3 )

2 1 −1

1 et M33 = 2

−3 −1 = 0 2

2 = −3 = / 0. 1

M33 = / 0. D’où x et y sont choisies comme inconnues principales dans les deux premières équations.     x + 2y = 4 + 3z × 1 × ( − 2) 1 . (1) + (−2) . (2)     −3x = −6 + z −3y = −3 − 5z −2 . (1) + 1 . (2) 2x + y = 5 + z ×(−2) × 1 ⇔ ⇔      x − y + 2z = 2  x − y + 2z = 2  6−z   x=   3      3 + 5z y= ⇔ 3      3 + 5z 6 − z   + 2z = 2 ou 0z = −1.   3 − 3 Cette dernière équation est impossible et donc le système est impossible.

S=∅

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Les équations du système (s) sont celles de trois plans n’ayant aucun point commun. On trouvera dans le chapitre suivant des précisions relatives à cette interprétation.

iti

3e cas

n = p = 3 et le rang est 1

COMMENT FAIRE ?

• Dans une équation, on isole une inconnue dont le coeﬃcient est non nul. Cette équation et cette inconnue sont dites principales. • Dans les autres équations, on remplace l’inconnue principale par l’expression trouvée à l’étape précédente. • En ﬁnale, on trouve soit deux équations indéterminées (1er exemple) soit une ou deux équations impossibles (2e exemple).

MaEM56B07page 78 noir vert

SYSTÈMES LINÉAIRES

er EXEMPLE

(s)

    x − 2y + 3z + 7 = 0 1 −2 2x − 4y + 6z + 14 = 0 Le rang est 1 car 2 −4  5 −10   5x − 10y + 15z + 35 = 0 tous les mineurs

3 6 = 0 (L2 = 2L1 ), 15 sont nuls et a11 = / 0.

/ 0. D’où x est choisi comme inconnue principale dans la première équation. a11 =     x = 2y − 3z − 7     x = 2y − 3z − 7 2(2y − 3z − 7) − 4y + 6z + 14 = 0 0x + 0y + 0z = 0 (s) ⇔      5(2y − 3z − 7) − 10y + 15z + 35 = 0  0x + 0y + 0z = 0

Ces deux dernières équations sont indéterminées. Si l’on donne des valeurs arbitraires à y et à z, soit y = β et z = γ, alors x = 2β − 3γ − 7. Le système proposé est donc doublement indéterminé. Il admet une inﬁnité double de solutions : à chaque valeur réelle de β et à chaque valeur réelle de γ, il correspond une solution du système. S = (2β − 3γ − 7; β; γ) β ∈ R, γ ∈ R

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Le système (s) est formé des équations cartésiennes de trois plans confondus.

2 EXEMPLE

    x − 2y − 3z = −7 1 −2 3 2x − 4y + 6z = −14 6 = 0 (L2 = 2L1 ) Le rang est 1 car 2 −4  5 −10 15   5x − 10y + 15z = −20 tous les mineurs sont nuls et a11 = / 0.

(s)

iti

On procède comme dans le 1er exemple :   x = 2y − 3z − 7   2(2y − 3z − 7) − 4y + 6z = −14 ⇔    5(2y − 3z − 7) − 10y + 15z = −20

⇔

    x = 2y − 3z − 7 0y + 0z = 0    0y + 0z = 15

Cette dernière équation est impossible. Le système est donc impossible. S=∅

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Les équations du système (s) sont celles de deux plans confondus et d’un troisième n’ayant aucun point commun avec les deux autres.

MaEM56B07page 79 noir vert

SYSTÈMES LINÉAIRES

4e cas •

n = 3, p = 2

er EXEMPLE (dans un plan)

Le système

(1) 2 1 = Puisque / 0, on résout le système formé 6 −3 par les deux premières équations.

(2) (3)

  2x + y = 4

(1)

 6x − 3y = 0

(2)

admet une seule solution• : x = 1, y = 2.

(s)

Cahier, page 5

 2x + y = 4    6x − 3y = 0    x + 2y = 5

S = {(1; 2)}

Elles vériﬁent l’équation (3) et P(1;2) INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

O (2)

(3)

(1)

Dans un plan, le système est formé des équations cartésiennes de trois droites sécantes au point de coordonnées (1; 2).

2 EXEMPLE (dans un plan)

(3)

(1)

(2)

Le système est formé des équations cartésiennes de trois droites qui ne sont pas concourantes. e

Ed 1

(3) (2) =

S=∅

3 EXEMPLE (dans un plan)

y 0 1

admet une seule solution : x = 1, y = 2.

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

iti

(1) =

(3)

Elles ne vériﬁent pas l’équation (2) et

(1)

 x − y = −1

1 0

(2)

Le système

(3)

1 = 0. 2 2 1 = Puisque / 0, on résout le système formé 1 −1 par les équations (1) et (3).

(1)

  2x + y = 4

2 4

(s)

 2x + y = 4    4x + 2y = 0    x − y = −1

(s)

  3x − y = 3      −6x + 2y = −6  1   x− y=1    3

(1) (2) (3)

Les trois équations de (s) sont équivalentes à l’équation y = 3x + 3. Si l’on donne des valeurs arbitraires à x, soit x = α, alors y = 3α + 3. Le système proposé est simplement indéterminé. D’où

S = {(α; 3α + 3) α ∈ R}

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Le système est formé des équations cartésiennes de trois droites confondues.

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SYSTÈMES LINÉAIRES

5e cas

n = 2, p = 3

EXEMPLE

(s)

2x1 − x2 + 3x3 = 5 3x1 + 2x2 − x3 = 1 non nul) dans une équation est

x2 = −5 + 2x1 + 3x3 7x1 + 6x3 = 11

 6 11    x = − x3 +   1 7 7

On isole une inconnue (x2 ) (dont le coeﬃcient est on reporte son expression dans l’autre équation.   x2 = −5 + 2x1 + 3x3 (s) ⇔ ⇔  3x1 + 2(−5 + 2x1 + 3x3 ) = 1  6 11    x1 = − x3 +   7 7 ⇔ ⇔ 6 11    = −5 + 2 − + x x 2 3   7 7

12 13   x =− x3 −    2 7 7

Si l’on donne des valeurs arbitraires à x3 , soit x3 = γ, 6 12 11 13 et x2 = − γ− · alors x1 = − γ + 7 7 7 7 6 11 12 13 D’où S = − γ+ γ∈R ; − γ− ; γ 7 7 7 7

Le système proposé est simplement indéterminé : à chaque valeur de γ, il correspond une solution du système. d

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

π1

π2

Le système est formé des équations cartésiennes de deux plans sécants en une droite. Des précisions relatives à cette interprétation seront apportées dans le chapitre suivant.

RÉSOLUTION PAR ÉCHELONNEMENT

Un algorithme de résolution des systèmes d’équations linéaires consiste à transformer le système donné en un système échelonné équivalent. C’est la méthode de Gauss ou du pivot. Cet algorithme s’exploite facilement par ordinateur.

iti

Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) Mathématicien allemand célèbre pour ses découvertes en arithmétique (théorie des nombres), en algèbre (théorie des polynômes), en géométrie (les polygones), en probabilités (la courbe de Gauss), en astronomie et en physique.

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SYSTÈMES LINÉAIRES

   2x2 + x3 = 3 x1 + 4x2 − x3 = 10 Résoudre le système (s)   3x − x + 2x = −1 1 2 3 EXEMPLE

par la méthode de l’échelonnement.

On transforme le système en un système échelonné : Écritures matricielles simpliﬁées 2x2 + x3 = 3 (1)

0 1 3

x1 + 4x2 − x3 = 10 (2)

   3x1 − x2 + 2x3 = −1(3)

−1 1 2

×1

10 3 −1

VA ×1

2 × 13

1 0 0

4 2 −13

−1 1 5

4 2

−1 1 23 2

L3 /L3 +

13 L 2 2

10 3 23 − 2

iti

23 23 x3 = − 2 2

1 0

L1 /L3 − L1

10 3 −31

On fait apparaı̂tre un 0 au croisement de L3 et de C2 :

  x1 + 4x2 − x3 = 10     2x2 + x3 = 3     

le pivot

1 4 0 2 3 −1

×3

On fait apparaı̂tre un 0 au croisement de L3 et de C1 :

 x1 + 4x2 − x3 = 10    2x2 + x3 = 3    −13x2 + 5x3 = −31

3 10 −1

On permute (1) et (2) aﬁn de faire apparaı̂tre le pivot en 1re position

  x1 + 4x2 − x3 = 10 2x2 + x3 = 3  3x − x + 2x = −1 1 2 3

1 −1 2

2 4 −1

   

Le système étant ainsi échelonné, les solutions sont x3 = −1; x2 = 2; x1 = 1 que l’on trouve en reportant de bas en haut les valeurs successivement trouvées pour x3 et x2 . S = {(1; 2; −1)}.

Pour appliquer 1 à 12, page 188

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SYSTÈMES LINÉAIRES

7.2 RESOLUTION PAR LES MATRICES ET LES DETERMINANTS 1.

MÉTHODE DE L’INVERSE ET FORMULES DE CRAMER DÉFINITION

Un système de Cramer est un système d’équations linéaires comprenant autant d’équations que d’inconnues et dont la matrice est régulière. REMARQUE

Le rang de tout système de Cramer est 2 si n = 2 ou 3 si n = 3. EXEMPLE

   2x1 + 3x2 + x3 = 9 Le système x1 + 2x2 + 3x3 = 6 est dit de Cramer.   3x + x + 2x = 8 1 2 3

En eﬀet, • ce système comprend trois équations linéaires à trois inconnues, 2 3 1 2 3 = 2(−1)2 1 + 3(−1)3 (−7) + 1(−1)4 (−5) = 18 = • 1 / 0. 3 1 2

PROPRIÉTÉ

iti

Tout système de Cramer admet une solution unique donnée par A−1 U où A est la matrice du système et U la colonne des termes indépendants. En eﬀet, le système AX = U est un système de Cramer A est carrée et régulière (|A| =/ 0) A est inversible. Dès lors, on obtient : AX = U

⇓ : multiplication à gauche par A−1 ⇑ : multiplication à gauche par A

X = A−1 U .

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SYSTÈMES LINÉAIRES

FORMULES DE CRAMER

En traduisant l’égalité matricielle X = A−1 U en langage de déterminants, on obtient pour des systèmes de 3 équations linéaires à 3 inconnues x1 , x2 et x3 :   a11 a12 a13 AX = U, A =  a21 a22 a23  , détA = /0 a31 a32 a33

X = A−1 U

(Manuel 2, propriété 2 , page 70)

1 . adj A . U détA

X =

 11  A x1 1  A12  x2  = dét A A13 x3



(Manuel 2, définition de l’adjointe, page 69)

A21 A22 A23

  A31 u1 A32   u2  A33 u3

iti

(égalité de matrices 3 × 1)  u1 a12 a13    u2 a22 a23     11 + u A21 + u A31 u3 a32 a33  A u  1 2 3   = x1 =   dét A détA       a11 u1 a13    a21 u2 a23 12 22 32 a31 u3 a33 u1 A + u2 A + u3 A   x2 = =   dét A détA       a11 a12 u1    a21 a22 u2     13 23 33 a31 a32 u3  A + u A + u A u 1 2 3   =   x3 = dét A détA S=

détA1 détA2 détA3 ; ; détA détA détA

Ai étant la matrice obtenue en remplaçant dans A la ie colonne par la colonne des termes indépendants.

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SYSTÈMES LINÉAIRES

EXEMPLES

1) Résoudre le système A=

1 3

5 11

−2 −4

par la méthode de Cramer .

 3x − 4y = 11

−2 −4

  x − 2y = 5

;

dét A = −4 + 6 = 2 − 20 + 22 =1 2

;

1 3

5 11 2

11 − 15 = −2. 2

S = {(1; −2)}

  

par la méthode matricielle 1 3 1 2 4 0 , dét A = 2(−1)3 13 + 4(−1)4 6 = −2 donc A−1 existe. A= −1 2 5 20 −13 −4 1 2 −1 t 6 −(−2) et adj A = −10 A= 3 4 2 8 −5 −2 1 0 5 10 x1 1 20 −13 −4 1 4 −10 6 2 x2 = = −4 ; −2 3 −3 8 −5 −2 x3 S = {(10; −4; 3)}

•

x1 + 3x2 + x3 = 1 2x1 + 4x2 =4   −x + 2x + 5x = −3 1 2 3

2) Résoudre le système

par la méthode de Cramer détA = −2 1 3 1 4 4 0 −3 2 5 − 20 x1 = = = 10; −2 −2 1 1 1 4 0 2 −1 −3 5 8 = = −4; x2 = −2 −2 1 3 1 2 4 4 −1 2 −3 −6 = = 3. x3 = −2 −2

iti

•

S = {(10; −4; 3)}

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SYSTÈMES LINÉAIRES

SYSTÈMES IMPOSSIBLES OU INDÉTERMINÉS ET DÉTERMINANTS

On se limite aux cas de systèmes de n équations linéaires à n inconnues, lorsque n = 2 ou n = 3. Une écriture matricielle des systèmes d’équations linéaires (Manuel 2, page 71)

       a11 a12 a13 u1  a21   a22   a23   u2         est   ...  x1 +  ...  x2 +  ...  x3 =  ...  . an1 an2 an3 un Elle permet d’aﬃrmer qu’ils



• admettent au moins une solution   u1  u2   ssi   ...  est une combinaison linéaire de       a12 a13 a11 un a   a21   a22    .  ,  .  et  23  ...   ..   ..  an1 an2 an3

• n’admettent aucune solution   u1 u  ssi  2  n’est pas une combinaison linéaire des colonnes .... des coeﬃcients des inconnues. un

iti

1er cas n = 2 et le rang est 1   a11 x1 + a12 x2 = u1 (1) ; (s)  a21 x1 + a22 x2 = u2 (2)

a11 a21

a12 a22

Puisque le rang de A est 1, au moins un mineur est non nul, par exemple a11 = / 0. • On résout l’équation principale (1) en l’inconnue principale (x1 )    x1 = 1 (u1 − a12 x2 ) a11 (s) ⇔   a21 x1 + a22 x2 = u2 •

On remplace dans l’équation non principale (2) l’expression de x1 trouvée et on obtient successivement : u1 − a12 x2 a21 + a22 x2 = u2 (mise au même dénominateur) a11 a21 u1 − a21 a12 x2 + a11 a22 x2 = a11 u2 x2 (a11 a22 − a21 a12 ) = a11 u2 − a21 u1 a u1 x2 . dét A = 11 a21 u2 (2) Or dét A = 0.

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SYSTÈMES LINÉAIRES

•

Si a11 a21 Si a11 a21

u1 = / 0, u2 u1 = 0, u2

alors l’équation non principale (2) est impossible et le système n’admet aucune solution. alors l’équation non principale (3) est indéterminée et le système admet au moins une solution (on a vu (Manuel 2, page 76) que, dans ce cas, le système admet une inﬁnité simple de solutions).

2e cas n = 3 et le rang est 2  a x + a12 x2 + a13 x3 = u1 (1)    11 1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = u2 (2) (s)    a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = u3 (3)

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

;

On remplace dans l’équation non principale (1) les expressions de x2 et de x3 trouvées et on obtient successivement : a13 a22 u2 − a21 x1 a12 u − a21 x1 a23 a11 x1 + 11 2 + = u1 u3 − a31 x1 a33 M M11 a32 u3 − a31 x1

•

Puisque le rang de A est 2, un mineur au moins est non nul, par exemple / 0. M11 = • On résout, par la méthode de Cramer, le système formé des équations principales (2) et (3) en les inconnues principales x2 et x3 :    a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = u1 a22 x2 + a23 x3 = u2 − a21 x1 (s) ⇔   a32 x2 + a33 x3 = u3 − a31 x1   a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = u1        x2 = 1 u2 − a21 x1 a23 11 u − a x a 3 31 1 33 M ⇔     1 a22 u2 − a21 x1   = x 3   M11 a32 u3 − a31 x1

(mise au même dénominateur et, Manuel 2, propriétés 9 et 5 , page 68)

iti

u a11 M x1 + a12 2 u3

a a23 + a13 22 a33 a32

u2 u3 a −a13 x1 22 a32

a21 = u1 M11 a31

(mise en évidence)

u a23 + a13 a22 = u1 M11 − a12 2 x1 a11 M11 − a12 M12 + a13 M a3 u3 a33 a22 a23 u2 a23 u2 a22 − a12 x1 . dét A = u1 u3 a33 + a13 u3 a23 a32 a33

u1 x1 . dét A = u2 u 3

•

a a23 − a12 x1 21 a33 a31

a12 a22 a32

Or dét A = 0. u1 a12 a13 Si u2 a22 a23 = / 0, u a a33 3 32

a13 a23 a33

u22 u3

(3)

alors l’équation non principale (3) est impossible et le système (s) n’admet aucune solution.

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SYSTÈMES LINÉAIRES

•

u1 Si u2 u 3

a12 a22 a32

a13 a23 = 0, a33

alors l’équation non principale (3) est indéterminée et le système (s) admet au moins une solution (on a vu (Manuel 2, page 76) que, dans ce cas, le système admet une inﬁnité simple de solutions).

VOCABULAIRE - NOTATIONS

Soit un système de rang 2. Un mineur non nul est Mij . On construit une matrice en bordant le mineur Mij avec la colonne des termes indépendants et avec les coeﬃcients des inconnues principales de l’équation non principale. Le déterminant de cette matrice est appelé le déterminant caractéristique associé au mineur Mij . Il est noté Dij .

RÉSUMÉ : NOMBRE DE SOLUTIONS 1. Un système de deux équations linéaires à deux inconnues (dont au moins un coeﬃcient est non nul)

EXEMPLES

x + 2y = 1 admet une seule solution 2x − y = 3 car 1 2 = −5 = / 0. 2 −1 x + 2y = 1 n’admet aucune solution 2) 2x + 4y = 3 1)

1) admet une seule solution ssi dét A = 0

iti

2) n’admet aucune solution     dét A = 0, / 0), le rang de A égale 1 (aij = ssi    Dij = / 0.

3) admet une inﬁnité simple de solutions     dét A = 0, le rang de A égale 1 (aij = / 0), ssi    Dij = 0.

2. Un système de trois équations linéaires à trois inconnues (dont au moins un coeﬃcient est non nul) 1) admet une seule solution ssi dét A = /0

car 1 2 = 0, le rang de A égale 1 (a11 = / 0) 2 4 1 1 / 0. et D11 = =1= 2 3 x + 2y = 1 admet une inﬁnité simple de solutions 3) 2x + 4y = 2 car 1 2 = 0, 2 4 et D22 = 1 2

le rang de A égale 1 (a11 = / 0) 1 = 0. 2

   x + 2y + 3z = 4 1) 3x + 2y − 3z = 8 admet une seule solution   2x − y − z = 15 car dét A = −32.

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SYSTÈMES LINÉAIRES

2) n’admet aucune solution ssi

   x − y + 3z = 2 2x − 2y + 6z = 1 n’admet aucune solution   x + y − 3z = 3 car dét A = 0, le rang de A égale 1, 1 −1 3 2 et = = = / · 2 −2 6 1    x − y + 3z = 2 3) x + y − z = 1   −2y + 4z = 1

3) admet une inﬁnité simple de solutions     det A = 0 ij / 0), ssi le rang de A égale 2 (M =    Dij = 0.

car dét A = 0, le rang de A égale 2, M21 = −2 = / 0, 2 −1 3 / 0. et D21 = 0 −2 6 = −8 = 1 1 −1

  dét A = 0,   / 0), le rang de A égale 2 (Mij = – ou bien    Dij = 0.   dét A = 0,      le rang de A égale 1 (les coeﬃ   cients des inconnues dans les trois – ou bien équations sont proportionnels)     deux termes indépendants ne sont      pas dans le même rapport que les coeﬃcients des inconnues.

   x − y + 3z = 2 2) 2x − 2y + 6z = 0 n’admet aucune solution   x+ y− z=1

iti

4) admet une infinité double de solutions   dét A = 0,      / 0), le rang de A égale 1 (aij =    les coefficients des inconnues dans les trois équations sont proportionnels) ssi    deux termes indépendants sont     dans le même rapport que   les coefficients des inconnues.

admet une inﬁnité simple de solutions 33 car dét A = 0, / 0, le rang de A égale 2, M = 2 = 1 −1 2 et D33 = 1 1 1 = 0. 0 −2 1    x − y + 3z = 2 4) −x + y − 3z = −2   3x − 3y + 9z = 6 admet une inﬁnité double de solutions car dét A = 0, le rang de A égale 1, −1 3 2 1 = = = −1 1 −3 −2 1 −1 3 2 et = = = · 3 −3 9 6

Pour appliquer 13 à 15, page 189 Pour s’autocontrôler 17 et 18, page 190

7.3 DISCUSSION VOCABULAIRE

Discuter un système dont les coeﬃcients dépendent d’un (ou de plusieurs) paramètres(s) réel(s) c’est chercher l’ensemble des solutions d’après les valeurs du (ou des) paramètre(s).

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SYSTÈMES LINÉAIRES

EXEMPLES

1) Système de 2 équations linéaires à 2 inconnues   (m + 1)x − (m − 1)y = m Discuter le système (s) suivant les valeurs du paramètre réel m.  (m − 1)x − (m + 1)y = 2m m + 1 −(m − 1) La matrice du système est A = et |A| = −(m + 1)2 + (m − 1)2 = −4m m − 1 −(m + 1) 1. Si −4m = / 0 c.-à-d. si

m= / 0,

alors le système admet une seule solution donnée par les formules de Cramer : 1 −(m − 1) m −(m − 1) m 2m −(m + 1) 2 −(m + 1) − m − 1 + 2m − 2 m−3 = = = x= − 4m − 4m −4 −4 m + 1 1 m + 1 m m−3 −m−3 m m − 1 2m S = ; m − 1 2 2m + 2 − m + 1 −m−3 −4 4 = = = y= − 4m − 4m −4 4 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

∀m ∈ R0 , le système (s) est formé des équations cartésiennes de m−3 −m−3 ; . deux droites sécantes en un point de coordonnées −4 4  x + y = 0 2. Si m = 0 , alors le système (s) devient  −x − y = 0. / 0, D11 = 1 0 = 0. Le système (s) est donc simplement indéterminé. Le rang égale 1, a11 = −1 0 Si l’on donne des valeurs arbitraires à y, soit y = β, alors x = −β. D’où S = {(−β; β) β ∈ R} = {β(−1; 1) β ∈ R}

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Le système (s) est formé des équations cartésiennes de deux droites parallèles confondues.

iti

2) Système de 3 équations linéaires à 3 inconnues Discuter le système (s) suivant les valeurs du paramètre réel a   3ax2 + 3ax3 = a + 4 (a2 + 2)x1 +    2 3ax3 = 5 3x1 + (a + 2a)x2 +   2 2 2   (a + a + 4)x + (a + 5a)x + (a + 5a)x = 3a + 7 1

a2 + 2 3a 3a 2 3 a + 2a 3a La matrice du système est A = a2 + a + 4 a2 + 5a a2 + 5a a2 + 2 a2 + 2 3a 3a 3 3 2 2 3 a + 2a 3 a+2 3 (mise en évidence de a dans C2 et C3 ) 3a = a |A| = a2 + a + 4 a2 + 5a a2 + 5a a2 + a + 4 a + 5 a + 5 a2 + 2 3 0 2 3 a + 2 −a + 1 = a a2 + a + 4 a + 5 0 (C3 /C3 − C2 )

= a2 (−1)5 (−a + 1)(a3 + 5a2 + 2a + 10 − 3a2 − 3a − 12) = a2 (a − 1)(a3 + 2a2 − a − 2)

= a2 (a − 1) a2 (a + 2) − (a + 2) = a2 (a − 1)2 (a + 2)(a + 1)

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1. Si

SYSTÈMES LINÉAIRES

a= / −2 , a = / −1 , a = / 0 et a = / 1,

alors le système admet une seule solution donnée par les formules de Cramer a+4 3a 3a 2 a + 2a 3a 5 3a + 7 a2 + 5a a2 + 5a 1 x1 = = a2 (a − 1)2 (a + 2)(a + 1) a+2 a2 + 2 a+4 3a 3 5 3a a2 + a + 4 3a + 7 a2 + 5a 1 x2 = =− a2 (a − 1)2 (a + 2)(a + 1) a(a + 2) a2 + 2 3a a+4 2 3 a + 2a 5 1 1 2a + 3 a2 + a + 4 a2 + 5a 3a + 7 S = ; − ; 2a + 3 a+2 a(a + 2) a(a + 2) = x3 = a2 (a − 1)2 (a + 2)(a + 1) a(a + 2)

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

∀a ∈ R \ {−2; −1; 0; 1}, le système s est formé des équations cartésiennes de trois plans se coupant en un point.    6x1 − 6x2 − 6x3 = 3 a = −2 − 6x3 = 5 2. Si , alors le système (s) devient 3x1   6x − 6x − 6x = 1. 1 2 3 6 −6 3 6 −6 33 = / 0. / 0 , D33 = 3 0 5 = Le rang égale 2 , A = 3 0 6 −6 1

S=∅

Le système est donc impossible. (On pouvait le prévoir en comparant la 1

et la 3 équations).

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

iti

Le système (s) est formé des trois plans n’ayant aucun point commun.  (1)   3x1 − 3x2 − 3x3 = 3  (2) 3. Si a = −1 , alors le système (s) devient 3x1 − x2 − 3x3 = 5    4x1 − 4x2 − 4x3 = 4. (3) 3 −3 −3 −1 −3 = / 0 , D11 = 5 −1 −3 = 0. Le rang égale 2 , A11 = −4 −4 4 −4 −4 Le système est donc simplement indéterminé. On résout le système formé des équations principales ((2) et (3)) en les inconnues principales x2 et x3 :  5 − 3x1 −3     4 − 4x1 −4  − 20 + 12x1 + 12 − 12x1    = = =1 x  2  4 − 12 −8 −x2 − 3x3 = 5 − 3x1 (2)       −1 5 − 3x1 −4x2 − 4x3 = 4 − 4x1 (3)   −4 4 − 4x1     3x1 − 3x1 − 3x3 = 3 (1) − 4 + 4x1 + 20 − 12x1   = = x1 − 2 x3 =   − 8 −8      3x1 − 3x2 − 3x3 = 3 Si l’on donne des valeurs arbitraires à x1 , soit x1 = α, alors x2 = 1 et x3 = α − 2. D’où

S = {(α; 1; α − 2) α ∈ R}

MaEM56B07page 91 noir vert

SYSTÈMES LINÉAIRES

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Le système (s) est formé des équations cartésiennes de trois plans sécants en une même droite (voir chapitre 8).    2x1 = 4 4. Si a = 0 , alors le système (s) devient 3x1 = 5 qui est impossible.   4x = 7 1

S=∅

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

5. Si

    3x1 + 3x2 + 3x3 = 5, a = 1 , alors le système (s) devient 3x1 + 3x2 + 3x3 = 5    6x1 + 6x2 + 6x3 = 10.

Le système (s) est formé des équations cartésiennes de trois plans n’ayant aucun point commun.

Le rang est 1, a11 = 3 et les termes indépendants sont dans les mêmes rapports que les coeﬃcients des inconnues (les trois équations sont équivalentes). Le système est doublement indéterminé. 5 − 3α − 3β Si l’on donne des valeurs arbitraires à x1 et à x2 , soit x1 = α et x2 = β, alors x3 = . 3 5 − 3α − 3β S= α; β; α ∈ R, β ∈ R D’où 3 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

a= / −2, a = / −1, a= / 0 et a = /1

alors S=

Interprétation géométrique

a = −2

S=∅

3 plans n’ayant aucun point commun

a = −1

S = {(α; 1; α − 2) α ∈ R}

3 plans sécants en une droite

a=0

S=∅

3 plans n’ayant aucun point commun

a=1

1 1 2a + 3 ;− ; a+2 a(a + 2) a(a + 2)

3 plans sécants en un point

iti

RÉSUMÉ DE LA DISCUSSION

Le système (s) est formé des équations cartésiennes de trois plans confondus.

α; β;

5 − 3α − 3β 3

α ∈ R, β ∈ R

3 plans confondus

Pour appliquer 16, page 190 Pour s’autocontrôler 19, page 190 Pour chercher 20 à 24, page 192 Venus d’ailleurs 25 à 28, page 193

MaEM56B12page 197 noir vert

COMPLÉMENTS

Étendre la notion de réel.

iti

Comprendre la portée des informations chiffrées, les analyser et les critiquer à l’aide de paramètres statistiques et du calcul des probabilités.

12. 13. 14.

Nombres complexes Combinatoire et Binôme de Newton Statistiques et Probabilités 197

MaEM56B14page 232 noir vert

Compétences terminales Savoir, connaître, définir

STATISTIQUES PROBABILITÉS

— dans une série statistique à deux variables, énoncer le principe de la méthode des moindres carrés; connaı̂tre la signiﬁcation du coeﬃcient de corrélation; — connaı̂tre les propriétés de base des probabilités simples et des probabilités conditionnelles; — relever les conditions d’application de la loi normale et de la loi binomiale. Calculer (déterminer, estimer, approximer)

– dans une série statistique à deux variables, ajuster linéairement un nuage de points, y compris par la méthode des moindres carrés; – estimer la pertinence d’un ajustement linéaire au moyen du coeﬃcient de corrélation. Appliquer, analyser, résoudre des problèmes

iti

résoudre des applications à caractère statistique et probabiliste en utilisant des diagrammes en arbre, des tableaux, des aires, les lois de la somme et du produit, l’analyse combinatoire, des lois probabilistes. Résumer, organiser les savoirs, synthétiser, généraliser dans une information, relever les notions statistiques connues et comprises, examiner les procédés et les conclusions de l’auteur en retirant les informations pertinentes et en les critiquant. Représenter, modéliser représenter une série statistique à deux variables, esquisser une droite d’ajustement.

232

MaEM56B14page 233 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

14.1 AJUSTEMENT LINEAIRE — CORRELATION 6e : pour tous

Activité 1. Cahier, page 252.

AJUSTEMENT LINÉAIRE

Les notions de statistique descriptive étudiées au cours des années précédentes ne concernaient qu’un seul caractère d’une population donnée. Le paragraphe présent évoque brièvement les notions de statistiques qui étudient deux caractères simultanés d’une population donnée. Lorsqu’un tel travail s’eﬀectue, c’est généralement parce que l’on recherche une correspondance entre les deux caractères étudiés. Ainsi, par exemple, existe-t-il un lien entre le fait de fumer et celui de développer un cancer des poumons ? Existe-t-il un lien entre le poids et la taille des humains ? Existe-t-il un lien entre le nombre de lits d’hôpital et le nombre de médecins ?

VOCABULAIRE

1. Deux caractères numériques, notés x et y, étant observés dans une population donnée, le point Ai (xi ; yi ) représente, dans un repère cartésien, le résultat (xi ; yi ) d’une observation.

2. Si le résultat (xi ; yi ) est obtenu ei fois, le naturel non nul ei est la masse du point Ai . 3. Dans un plan cartésien, l’ensemble de tous les points représentatifs Ai est un nuage de points.

iti

4. Si on note x la moyenne des valeurs xi et y la moyenne des valeurs yi , le point G(x; y) est le point moyen ou barycentre du nuage. n n 1 1 x= · xi et y = · yi n n i=1

où

i=1

x1 , x2 , . . . , xn sont les valeurs numériques d’un caractère; y1 , y2 , . . . , yn sont celles de l’autre caractère; n est l’eﬀectif total.

5. Un nuage de points n’est généralement pas le graphe cartésien d’une fonction. Une des préoccupations des statisticiens est de déterminer une fonction f dont le graphe cartésien approche au maximum le nuage de points. La recherche d’une telle fonction f porte le nom d’ajustement statistique.

233

MaEM56B14page 234 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

EXEMPLES

Voici des nuages de points et leur barycentre G(x; y) correspondant à des populations desquelles on étudie deux caractères. 1re population

0 5

2e population

y 10

y 20

6. Lorsque le nuage de points est assez plat, on peut tracer graphiquement une droite qui passe aussi près que possible des points du nuage. La fonction f est alors du premier degré et l’ajustement est dit linéaire. Cette technique graphique reste cependant très peu précise.

iti

7. Lors d’un ajustement linéaire, la méthode utilisée est généralement celle des moindres carrés : il s’agit de déterminer une droite ∆ d’équation y = ax + b telle que la somme des carrés des écarts entre les valeurs yi mesurées et les valeurs trouvées sur la droite soit minimale c’est-à-dire que p 2 yi − (axi + b) soit mii=1

y = ax + b yi axi+b

1 0

0 1

nimale. Cette droite ∆ porte le nom de droite de régression de y par rapport à x. PROPRIÉTÉS (admises)

1 La droite de régression ∆ de y par rapport à x passe par le barycentre du nuage. La droite ∆ a donc pour équation y − y = a(x − x) ou encore y = ax + (y − a x).

234

MaEM56B14page 235 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

2 Le coeﬃcient angulaire a de la droite de régression ∆ de y par rapport à x est donné par la formule p ei (xi − x)(yi − y) a=

i=1 p

ei (xi − x)2

i=1

ei est l’eﬀectif de la ie classe, x1 , x2 , . . . , xp sont les valeurs numériques d’un caractère, y1 , y2 , . . . , yp sont celles de l’autre caractère.

CORRÉLATION

où

Recherchant l’importance du lien entre les deux caractères étudiés, on est amené à parler de coeﬃcient de corrélation entre x et y. Ce coeﬃcient est le réel r tel que r = a·

• a est le coeﬃcient angulaire de la droite de régression de y par rapport à x; • σx est l’écart-type des valeurs de x : p 1 (xi − x)2 ei σx = · n

iti

où

σx σy

i=1

où • n est l’eﬀectif total, • x1 , x2 , . . . , xp sont les valeurs numériques d’un caractère, e • ei est l’eﬀectif de la i classe;

• σy est l’écart-type des valeurs de y : p 1 · (yi − y)2 ei . σy = n i=1

Le coeﬃcient de corrélation est compris entre −1 et 1. Une forte corrélation (r proche de 1 ou de −1) pourrait signiﬁer qu’il y a un lien de causalité entre les deux variables x et y.

235

MaEM56B14page 236 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

REMARQUES

1) Il faut cependant rester prudent pour établir un lien de causalité entre les deux variables. Ainsi, par exemple, la vente de lunettes de soleil et la consommation de boissons rafraîchissantes possèdent une forte corrélation et pourtant aucun lien de cause à effet ne lie ces deux phénomènes.

2) Dans la pratique, ces formules ne sont plus utilisées pour effectuer les calculs : plusieurs calculatrices sont préprogrammées pour déterminer directement les valeurs des coefficients de la droite de régression de y par rapport à x. Il en est de même pour les tableurs existant sur le marché. Ainsi, pour l’exemple traité en activité (Cahier, page 252), le logiciel EXCEL fournit :

16 14

∆

12 10

• le nuage de points;

• les coefficients a = 0, 60404868 et b = 3, 27931016 de la droite ∆ de régression de y par rapport à x;

6 4 2 0

• le point moyen G(10, 05; 9, 35) du nuage; • le coefficient de corrélation r = 0, 9115262. La corrélation est forte entre les résultats des deux tests.

iti

Pour appliquer 1 à 4, page 255

236

MaEM56B14page 237 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

14.2 CALCUL ELEMENTAIRE DES PROBABILITES «Tout ce qui arrive à l’existence doit s’attribuer à l’une des trois causes : la nature, l’art, le hasard.» Aristote (350 av. J.C.) «Métaphysique».

Activités 2 à 5. Cahier, pp. 253.

VOCABULAIRE

1. Un phénomène fortuit est une expérience qui donne lieu à plusieurs résultats dont on ne peut prédire à l’avance lequel se réalisera. Chacun de ces résultats porte le nom d’épreuve du phénomène. 2. L’ensemble de toutes les épreuves d’un phénomène fortuit se nomme catégorie d’épreuves du phénomène. On la note Ω, ce qui se lit «oméga».

6e : pour tous

3. Tout ensemble d’épreuves d’un phénomène fortuit est appelé événement de ce phénomène. Il s’agit donc de sous-ensembles de Ω. Ils sont notés par des majuscules latines. Ceux qui se limitent à une seule épreuve sont appelés événements élémentaires du phénomène fortuit.

iti

Cahier, page 24

•

4. Un événement se produit lorsque le résultat réalisé appartient à l’ensemble d’épreuves qui constitue cet événement. En particulier, • l’événement Ω se produit toujours, c’est l’événement certain; • l’événement φ ne se produit jamais, c’est l’événement impossible. 5. • L’événement A ∩ B• se produit si les événements A et B se produisent simultanément. • L’événement A ∪ B• se produit si l’événement A ou l’événement B se produit. • L’événement A\B• se produit si l’événement A se produit sans que l’événement B ne se produise.

A B= A et B sont des événements disjoints de .

A B A et B sont des événements contraires de .

6. Deux événements sont disjoints lorsque leur intersection est vide. Pour noter que A et B sont disjoints, on écrit : A ∩ B = φ. 7. Des événements contraires sont des événements disjoints dont la réunion est Ω. On dit aussi que, dans Ω, l’un d’eux est le complémentaire de l’autre. Si A et B sont des événements contraires, on écrit B = Ω \ A.

237

MaEM56B14page 238 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

8. Si tous les événements élémentaires d’un phénomène fortuit sont également possibles, on dit qu’ils sont équiprobables. 9. Le nombre d’épreuves ou de résultats d’un événement A est le nombre d’éléments de A. On le note #A et on le lit cardinal de A. EXEMPLES

1) Lancer un dé et examiner le point de la face supérieure est un phénomène fortuit. Les épreuves sont les diﬀérents résultats : 1, 2, 3, 4, 5, 6. 2) La catégorie d’épreuves est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3) Voici quelques événements de Ω :

A = {1, 3, 5} (obtenir un impair), #A = 3; B = {2, 4, 6} (obtenir un pair), #B = 3; C = {1, 2, 3, 4, 5} (ne pas obtenir 6), #C = 5; Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (obtenir un nombre), #Ω = 6; φ = {} (ne rien obtenir), #φ = 0; D = {5} (obtenir 5), #D = 1. Les événements élémentaires sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}.

4) A = {1, 2, 3} et B = {4, 5, 6} sont des événements contraires. Il en est de même pour Ω et φ; pour C = {1, 2, 3, 4, 5} et F = {6}; . . .

5) Parmi les phénomènes fortuits à événements élémentaires équiprobables, citons • le lancement d’un dé non pipé ; • le lancement d’une pièce de monnaie (pile ou face) bien équilibrée ; • l’extraction, dans une urne, d’une boule parmi des boules identiques ; • le tirage d’une carte dans un jeu bien mélangé ; ...

iti

AXIOMES

La probabilité est une science qui veut mesurer «le nombre de chances» qu’un événement d’un phénomène fortuit se produise.

238

Une loi de probabilité est une fonction P qui, à chaque événement, associe un nombre compris entre 0 et 1, nommé probabilité de cet événement , de sorte que P(Ω) = 1; P(φ) = 0; si A ∩ B = φ, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

MaEM56B14page 239 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

Les axiomes du calcul des probabilités ont été énoncés par Andreï Kolmogorov, mathématicien russe, professeur à l’université de Moscou.

Chef de file de l’école russe des probabilités, il contribua largement à l’essor de cette science en lui donnant un cadre mathématique.

Andreï Kolmogorov (1903-1987)

PROPRIÉTÉS

1 Si tous les événements élémentaires d’un phénomène fortuit sont équiprobables, alors la probabilité de tout événement A est donné par la formule : P(A) =

nombre de cas favorables nombre de cas possibles

(formule de Laplace)

Ω comporte n épreuves,

En eﬀet, si

tous les événements élémentaires sont équiprobables, 1 alors la probabilité de chaque événement élémentaire est · n p 1 ou · Si l’événement comporte p épreuves, alors sa probabilité est p · n n

iti

2 Si A et B sont des événements contraires, alors P(A) = 1 − P(B) et P(B) = 1 − P(A). Données :

A∩B=φ

Thèse :

P(A) = 1 − P(B)

A ∪ B = Ω. et

P(B) = 1 − P(A).

Démonstration • Comme A ∪ B = Ω, P(A ∪ B) = P(Ω) = 1. • Comme A ∩ B = φ, P(A ∪ B) = P(A) + P(B). • On peut alors conclure : P(A) + P(B) = 1 ou encore P(A) = 1 − P(B) et P(B) = 1 − P(A).

3 Si A et B sont deux événements quelconques, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Données :

A et B sont des événements quelconques.

Thèse :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

239

MaEM56B14page 240 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

Démonstration • A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A \ B) ∪ (B \ A) et A ∩ B, A \ B et B \ A sont deux à deux disjoints. • Dès lors,

P(A ∪ B) = P(A \ B) + P(A ∩ B) + P(B \ A) (Manuel 2, définition de P, p. 238)

A\B A

B\A

P(A)

+ P(B \ A) + P(A ∩ B) − P(A ∩ B)

P(A)

À QUOI CELA SERT-IL ?

P(B)

− P(A ∩ B).

Les trois propriétés précédentes sont très importantes dans le calcul des probabilités.

EXEMPLE

1) La première permet de déterminer facilement, pour autant que l’on puisse dénombrer les éléments d’un ensemble, la probabilité d’un événement.

Une urne contient des boules identiques : 3 boules rouges numérotées de 1 à 3 et 4 boules vertes numérotées de 1 à 4. On tire au hasard 2 boules successivement, sans remise, et on regarde la couleur et le numéro des boules tirées. Quelle est la probabilité d’obtenir une seule boule verte ? On peut admettre que tous les tirages sont équiprobables puisque les boules sont identiques et que l’extraction se fait au hasard. Il faut donc déterminer, d’une part, le nombre total de tirages, d’autre part, le nombre de tirages favorables.

Diagramme en arbre:

V2 V3 V4

R1V2 R1V3 R1V4

Nombre de tirages possibles Lors du tirage de la première boule, 7 possibilités se présentent. Pour chacun de ces résultats, il reste 6 possibilités de tirer la deuxième boule. Finalement, il y a 7 × 6 ou 42 tirages possibles.

iti

R1R2 R1R3 R1V1

R1 R2 R3 V1 V2 V3 V4

R2 R3 V1

etc …

Nombre de tirages favorables Il y a 4 × 3 ou 12 possibilités de tirer d’abord une boule verte, ensuite une rouge. De même, il y a 3 × 4 ou 12 possibilités de tirer une rouge suivie d’une verte. Finalement, il y a 12 + 12 ou 24 tirages favorables. 4 24 ou · On peut donc conclure que la probabilité cherchée est 42 7 Il y a donc 4 chances sur 7 ou, à peu près, 57% de chances d’obtenir une seule boule verte en deux tirages.

2) La deuxième est un outil qui facilite la recherche de la probabilité de certains événements. EXEMPLE

D’un jeu bien mélangé de 52 cartes, on tire successivement 2 cartes avec remise et on note ces cartes. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un as ? Puisque le jeu est bien mélangé, tous les tirages successifs de deux cartes sont équiprobables.

240

MaEM56B14page 241 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

L’événement «obtenir au moins un as » est l’événement contraire de l’événement «n’obtenir aucun as ». Nombre total de tirages possibles Il y a 52 tirages possibles d’une première carte. Pour chacun d’eux, après remise de la carte tirée, il y a 52 tirages possibles d’une deuxième carte. Il y a donc 52 × 52 ou 2704 tirages possibles.

Nombre de tirages favorables Si l’on enlève les quatre as du jeu, il y a 48 × 48 ou 2304 tirages possibles de deux cartes, avec remise de la première. La probabilité de tirer successivement 2 cartes qui ne soient pas des as 2304 est ou 0,85. 2704

Par la propriété 2 (Manuel 2, page 239), la probabilité d’«obtenir au moins un as» égale 1 − 0, 85 ou 0,15.

3) La troisième généralise le calcul de la probabilité de la réunion de deux événements lorsque ceux-ci ne sont pas disjoints. EXEMPLE

Dans un jeu bien mélangé de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une dame ou un cœur ? On peut admettre que tous les tirages sont équiprobables puisque les cartes sont bien mélangées et que l’extraction se fait au hasard. Ω est l’ensemble des 32 tirages possibles. A pour l’événement «tirer une dame », #A = 4; B pour l’événement «tirer un cœur », #B = 8.

On note

iti

A ∩ B est l’événement «tirer une dame de cœur » : 4 1 8 1 1 P(A) = = ; P(B) = = ; P(A ∩ B) = · 32 8 32 4 32

Par la propriété 3 (Man. 2, page 239), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) =

1 1 11 1 + − = · 8 4 32 32

Pour appliquer 5 à 17, page 256 Pour s’autocontrôler 53 à 58, page 260

14.3 PROBABILITE CONDITIONNELLE — INDEPENDANCE

5e e

FESeC 6 Communauté

EXEMPLE POUR INTRODUIRE

On lance un dé non pipé deux fois de suite. A est l’événement : «la somme des points obtenus lors des deux jets est 7». B est l’événement : «la somme des points obtenus lors des deux jets est 8». C est l’événement : «le résultat du premier jet est pair».

241

MaEM56B14page 242 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

1) Calculer la probabilité de chacun de ces événements. • •

•

#Ω = 6 × 6 = 36. Les événements élémentaires de Ω sont équiprobables. 1 A = {(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)} et P(A) = · 6 5 B = {(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)} et P(B) = · 36 18 1 C = {(2; 1), (2; 2), (2; 3), . . . , (4; 2), . . . , (6; 6)} et P(C) = = · 36 2

2) Déterminer les événements A ∩ C et B ∩ C ainsi que leur probabilité.

Événement A ∩ C : « obtenir 7 comme somme et un pair au premier jet ». 1 3 = · A ∩ C = {(2; 5), (4; 3), (6; 1)}; P(A ∩ C) = 36 12

Événement B ∩ C : « obtenir 8 comme somme et un pair au premier jet ». 1 3 = ; B ∩ C = {(2; 6), (4; 4), (6; 2)}; P(B ∩ C) = 36 12 3) Comparer la probabilité de chacune des intersections d’événements décrites en 2) avec le produit des probabilités de ces deux événements. =

P(A ∩ C) =

P(A) . P(C) =

1 1 . 6 2

1 ; 12

1 12

P(B ∩ C) = /

P(B) . P(C) =

5 1 . 36 2

5 ; 72

1 12

Dans le premier cas, la probabilité de l’intersection de A et C est égale au produit des probabilités de A et de C. Dans le deuxième cas, la probabilité de B ∩ C n’est pas égale à P(B) . P(C).

iti

4) Déterminer la probabilité de l’événement X décrit de la manière suivante : «A se produit, sachant que C s’est produit ». Si l’événement C s’est produit, la catégorie d’épreuves se réduit à   (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5) , (2; 6),         (4; 3) , (4; 4), (4; 5), (4; 6), (4; 1), (4; 2), Ω =        (6; 1) , (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)  La probabilité de l’événement X, «A se produit, sachant que C s’est produit» 1 3 P(A ∩ C) 1 1 est ou · Constatons que P(X) = = 12 · 1 = 18 6 6 P(C) 2 On remarque que les événements A ∩ C, c’est-à-dire «A et C » et X, c’est-à-dire 1 et P(X) = 16 · «A, si C », sont diﬀérents, puisque P(A ∩ C) = 12

Dans l’exemple ci-dessus, on a pu constater que la probabilité de l’intersection de deux événements est tantôt égale au produit de leurs probabilités, tantôt diﬀérente de ce produit. Ceci nous mène aux déﬁnitions suivantes.

242

MaEM56B14page 243 noir vert

1. Activité 5. Cahier, page 254.

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS DÉFINITION

A et B sont deux événements indépendants P(A ∩ B) = P(A) . P(B) La probabilité que deux événements indépendants se produisent simultanément est égale au produit des probabilités de ces événements. COMMENTAIRES

L’énoncé précédent peut s’utiliser de deux manières diﬀérentes : 1) Il n’est pas souvent aisé de déterminer à la lecture de leur simple description que deux événements sont indépendants. S’il est possible, par contre, de calculer aisément P(A ∩ B), P(A) et P(B), la formule donnée permet alors de trancher quant à la dépendance ou l’indépendance des événements donnés. Ainsi, dans l’exemple introductif, – sont indépendants : l’événement A «la somme des points est 7» et l’événement C «le résultat du premier jet est pair»; – ne sont pas indépendants : l’événement B «la somme des points est 8» et l’événement C.

2) Dans certains cas, l’indépendance de deux événements apparaı̂t clairement. Dans ces cas, la formule permettra de calculer une des trois probabilités connaissant les deux autres.

EXEMPLES

iti

1) On jette un dé deux fois de suite : il est clair que le résultat du premier jet n’inﬂuence pas le résultat du second jet. 2) On tire des boules d’une urne avec remise. Le résultat d’un tirage quelconque ne dépend absolument pas des tirages précédents. 3) Trois chasseurs visent un animal. La probabilité de l’atteindre ou de ne pas l’atteindre est indépendante pour chacun d’eux des performances de ses deux amis. Si la probabilité pour le premier chasseur d’atteindre l’animal est 0,2, celle du deuxième 0,17 et celle du troisième 0,12, quelle est la probabilité pour que l’animal soit touché au moins une fois ? Dans un diagramme en arbre, on note probabilité d’atteindre l’animal

probabilité de rater l’animal

0, 2

0, 8

0, 17

0, 83

0, 12

0, 88

0,2

0,17 0,8

0,12 0,83

0,88

La probabilité que les trois chasseurs ratent l’animal est 0, 8 . 0, 83 . 0, 88 0, 58 ou 58% Donc l’animal a une probabilité de 0,42 ou 42% d’être touché par un des chasseurs au moins.

243

MaEM56B14page 244 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES NOTATION

La « probabilité que A se produise, sachant que B s’est produit », ou, en bref, la « probabilité de A, si B » se note P(A|B). DÉFINITION

PRODUIT DE PROBABILITÉS

La «probabilité de A, si B» est le quotient de la probabilité que A et B se produisent simultanément et de la probabilité de B. P(A ∩ B) P(A|B) = P(B) (1)

• De la formule (1), on déduit :

(2)

P(A ∩ B) = P(B) . P(A|B) • Si A et B sont indépendants, alors il est évident que P(A|B) = P(A). Dans ce cas, la formule (2) devient P(A ∩ B) = P(B) . P(A)

(3) qui est la formule de la probabilité pour que deux événements indépendants se produisent simultanément.

Diagramme en arbre 5 9

Une boı̂te contient 5 boules noires et 4 boules rouges. On en retire au hasard une boule, on note sa couleur et on la replace dans la boı̂te. On retire une deuxième boule et on note sa couleur. Quelle est la probabilité de tirer deux boules de couleurs diﬀérentes ?

iti

N 5 9

EXEMPLE

N, l’événement «tirer une boule noire», R, l’événement «tirer une boule rouge». 4 5 N 5 ; P(R) = · P(N) = 9 4 9 9 9 On établit un diagramme en arbre R 4 R – en notant P(N) et P(R) sur deux branches verticales (la somme de ces probabi9 lités doit être égale à 1); – une boule noire étant tirée et replacée, on note P(N) et P(R) sur deux branches verticales; – on fait de même lorsqu’une boule rouge a été tirée et replacée. P(N ∩ R) et P(R ∩ N) se calculent en multipliant les nombres écrits sur deux Pour appliquer branches horizontales. 18 à 37, page 257 5 4 20 4 5 20 P(N ∩ R) = · = ; P(R ∩ N) = . = · Pour s’autocontrôler 9 9 81 9 9 81 59 et 60, page 260 D’où la probabilité de tirer, avec remise, deux boules de couleurs diﬀérentes est Pour chercher 20 40 20 66 à 81, page 262 81 + 81 ou 81 ou 49, 38%

4 9

244

Soit

MaEM56B14page 245 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

14.4 VARIABLES ALEATOIRES 6e : pour tous

VOCABULAIRE ET NOTATIONS

Activités 6 et 7. Cahier, page 254.

Pour un phénomène fortuit donné, le probabiliste s’intéresse souvent à une caractéristique numérique associée aux événements de ce phénomène fortuit.

1. Une variable aléatoire est une fonction qui associe à tout événement de Ω d’un phénomène fortuit un nombre réel qui caractérise cet événement. • Une variable aléatoire est notée par une majuscule X. • Les diverses valeurs numériques prises par la variable aléatoire X sont notées xi . Lorsque la variable aléatoire ne prend qu’un nombre ﬁni de valeurs, cette variable est dite discrète.

2. • À chaque valeur xi que prend une variable aléatoire X, on associe la probabilité pour que X prenne cette valeur qui est notée P(X = xi ). • La loi de probabilité f d’une variable aléatoire X est la fonction qui, à chaque xi , fait correspondre la probabilité que X égale xi : f : R → R : xi → P(X = xi ). REMARQUE :

la somme des images f(xi ) est 1.

• Le polygone de probabilité de la variable aléatoire est la ligne brisée obtenue en joignant entre eux, dans l’ordre, les points du graphe cartésien de f.

iti

3. Soit pi la probabilité pour que la variable aléatoire X prenne la valeur xi . • L’espérance mathématique de la variable aléatoire X, notée E(X), est la somme des produits de chaque valeur xi prise par X n par la probabilité pi que X prenne cette valeur : E(X) = xi pi L’espérance mathématique mesure en quelque i=1 sorte la «valeur moyenne » de X. • La variance de la variable aléatoire X, notée V(X), est donnée n 2 par : V(X) = pi xi − E(X) i=1

• L’écart-type de la variable aléatoire X, noté σ(X), est la racine carrée positive de la variance de cette variable aléatoire : σ(X) = V(X) La variance et l’écart-type mesurent chacun à sa manière la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de l’espérance mathématique dans l’intervalle [E(X) − σ(X) ; E(X) + σ(X)]

245

MaEM56B14page 246 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

REMARQUE

On constate que ces notions s’apparentent à des notions vues en statistique lors des années précédentes. Voici un tableau de correspondance :

Variable aléatoire Statistique loi de probabilité série statistique P(X = xi ) fréquence de xi polygone de probabilité polygone des fréquences espérance mathématique moyenne arithmétique variance variance écart-type écart-type

EXEMPLE

(F,F,F) 0

(F,P,F)

(F,P,P)

(P,F,F)

( P, F , P ) 3

(P,P,F) (P,P,P)

Ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.

P(X=xi)

• Le polygone de probabilité de X est la représentation de la loi de probabilité. • L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est 1 3 3 1 E(X) = = 0 +1 +2 +3 8 8 8 8 3 = = 1,5. 2 En moyenne, le nombre de piles observés, lorsqu’on lance trois fois une pièce, est 1,5.

1 8

O 1

• La variance est 1 3 3 V(X) = (0 − 1, 5)2 + (1 − 1, 5)2 + (2 − 1, 5)2 8 8 8 1 3 + (3 − 1, 5)2 = = 0,75. 8 4 • L’écart-type est σ(X) = 0, 75 0,866.

iti

3 8

(F,F,P)

On lance une pièce de monnaie bien équilibrée trois fois de suite. On note le nombre de piles observés. • La variable aléatoire X est le nombre de sorties de pile. Les valeurs xi prises par X sont x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. La loi de probabilité de X est don1 • P(X = 0) = ; née par le tableau suivant : 8 3 xi f(xi ) P(X = 1) = ; 8 1 0 8 3 3 P(X = 2) = ; 1 8 8 3 2 8 1 P(X = 3) = . 1 3 8 8

VARIABLE ALÉATOIRE X (nombre de pile)

Pour appliquer 38 à 44, page 259

246

La dispersion des valeurs autour de l’espérance mathématique E(X) = 1, 5 se

réalise en moyenne dans l’intervalle [1, 5−0, 866 ; 1, 5+0, 866] ou [0, 634 ; 2, 366].

MaEM56B14page 247 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

14.5 LOI BINOMIALE 6e : pour tous

VOCABULAIRE ET NOTATION Activité 8. Cahier, page 254.

1. Une épreuve de Bernoulli est une expérience dont on ne retient que deux résultats contraires, l’un est nommé succès, l’autre est nommé échec.

(Manuel 2, propriété ;2 , page 239)

EXEMPLES

de succès est notée p; d’échec est notée q. Puisque les deux événements sont contraires, q = 1 − p.

La probabilité

1) Une pièce de monnaie, parfaitement équilibrée, est lancée et retombe sur le sol. On appelle succès (S), le fait que pile soit apparent et donc échec (E), le fait que face soit visible. Ainsi, P(S) = p = 0, 5 et P(E) = q = 0, 5 = 1 − p.

2) Un dé bien équilibré est lancé. On nomme succès (S), le fait que la face supérieure soit 2 et donc échec (E), le fait que la face supérieure soit 1, 3, 4, 5 ou 6. 1 5 Ainsi, P(S) = p = et P(E) = q = = 1 − p. 6 6

iti

2. Si l’on répète n fois, dans les mêmes conditions, une épreuve de Bernoulli, ce qui garantit l’indépendance de ces n épreuves, on obtient un schéma de Bernoulli. En notant X la variable aléatoire donnant le nombre de succès d’un schéma de Bernoulli, on obtient une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est appelée loi binomiale eu égard aux coeﬃcients du binôme de Newton qui interviennent dans sa formulation. Cette loi est déﬁnie par f(k) = P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k où

• • • •

p est la probabilité de succès lors d’une seule épreuve; 1 − p est la probabilité d’échec lors d’une seule épreuve; k est le nombre espéré de succès; n est le nombre d’épreuves de Bernoulli.

Cette formule est admise. Elle est conjecturée par l’exemple qui suit. EXEMPLE

Un dé parfaitement symétrique est lancé 4 fois de suite. On nomme succès (S) le fait que la face supérieure porte le chiﬀre 2. On nomme échec (E) le fait que la face supérieure porte le chiﬀre 1, 3, 4, 5 ou 6.

247

MaEM56B14page 248 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

La variable aléatoire (X) est le nombre de succès. Pour un seul lancer, on a Ω = {(S), (E)}. 1 5 Il est clair que P{(S)} = = p et que P{(E)} = = q = 1 − p. 6 6

• La probabilité d’obtenir 0 succès est f(0) = P(X = 0) = P{(E, E, E, E)} 4 5 5 5 5 5 = 0, 4823. . . . =1 6 6 6 6 6

Pour 4 lancers, il vient : Ω = {(E, E, E, E), (S, E, E, E), (E, S, E, E), (E, E, S, E), (E, E, E, S), (S, S, E, E), (S, E, S, E), (S, E, E, S), (E, S, S, E), (E, S, E, S), (E, E, S, S), (S, S, S, E), (S, S, E, S), (S, E, S, S), (E, S, S, S), (S, S, S, S)}.

Il y a C04 = 1 manière de déterminer la place d’un éventuel succès (ici, il y en a 0) dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. 5 Dans cette unique possibilité, on a 4 échecs avec une probabilité de chacun, 6 4 5 . d’où la probabilité P(X = 0) = C04 6 • La probabilité d’obtenir 1 succès est

f(1) = P(X = 1) = P{(S, E, E, E), (E, S, E, E), (E, E, S, E), (E, E, E, S)} 5 1 5 5 5 5 1 5 5 5 5 1 1 5 5 5 . . . + . . . + . . . + . . . = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 3 1 5 =4 0, 3858. 6 6

iti

En eﬀet, si X = 1, il y a 1 succès. Il y a C14 = 4 manières de déterminer la place du seul succès dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. Dans ces 4 possibilités, on a 3 échecs avec une probabilité de 56 chacun, 1 succès avec une probabilité de 16 , 1 3 1 5 . d’où la probabilité P(X = 1) = C14 6 6 • La probabilité d’obtenir 2 succès est f(2) = P(X = 2) = P{(S, S, E, E), (S, E, S, E), (S, E, E, S), (E, S, S, E), (E, S, E, S), (E, E, S, S)} 1 1 5 5 1 5 1 5 1 5 5 1 5 1 1 5 = . . . + . . . + . . . + . . . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 1 1 5 1 5 1 + . . . + . . . 6 6 6 6 6 6 6 6 2 2 1 5 =6 0, 1157. 6 6 En eﬀet, si X = 2, il y a 2 succès. Il y a C24 = 6 manières de déterminer la place des 2 succès dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli.

248

MaEM56B14page 249 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

Dans ces 4 possibilités, on a

2 échecs avec une probabilité de 2 succès avec une probabilité de 2 2 1 5 . d’où la probabilité P(X = 2) = C24 6 6 • La probabilité d’obtenir 3 succès est

5 6 1 6

chacun, chacun,

f(3) = P(X = 3) = P{(S, S, S, E), (S, S, E, S), (S, E, S, S), (E, S, S, S)} 1 1 5 1 1 5 1 1 5 1 1 1 1 1 1 5 . . . + . . . + . . . + . . . = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 1 1 5 =4 0, 0154. 6 6

En eﬀet, si X = 3, il y a 3 succès. Il y a C34 = 4 manières de déterminer la place des 3 succès dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. Dans ces 4 possibilités, on a 1 échec avec une probabilité de 56 , 3 succès avec une probabilité de 16 chacun, 3 1 1 5 . d’où la probabilité P(X = 3) = C34 6 6 • La probabilité d’obtenir 4 succès est f(4) = P(X = 4) = P{(S, S, S, S)} =

1 1 1 1 . . . =1 6 6 6 6

1 6

4 0, 0008.

En eﬀet, si X = 4, il y a 4 succès. Il y a C44 = 1 manière de déterminer les 4 succès dans les 4 épreuves du schéma de Bernoulli. 1 Dans cette unique possibilité, on a 4 succès avec une probabilité de chacun, 6 4 1 . d’où la probabilité P(X = 4) = C44 6

REMARQUE

Par la formule du binôme de Newton, on obtient

5 4

iti C04

+ C14

1 5 3 6

+ C24

1 2 5 2 6

+ C34

1 3 5 6

+ C44

1 4 6

5 6

1 4 6

= 14 = 1.

On vérifie ainsi que P(X = 0) + P(X = 1) + . . . + P(X = 4) = 1.

3. • Les paramètres de la loi binomiale sont les réels strictement positifs n et p où n est le nombre d’épreuves de Bernoulli et p, la probabilité d’avoir un succès de la variable aléatoire X (donnant le nombre de succès). • L’espérance mathématique de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est binomiale est donnée par la formule (admise dans E(X) = np . le cadre de ce cours) : • La variance de la variable aléatoire dont la loi de probabilité est binomiale est la formule (admise dans le cadre de ce cours) : V(X) = npq , avec q = 1 − p.

249

MaEM56B14page 250 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

• L’écart-type de cette variable aléatoire est alors : σ(X) = npq , avec q = 1 − p. EXEMPLES

Dans l’exemple précédent du dé lancé 4 fois de suite, 1 • les paramètres sont n, égal à 4, et p, égal à ; 6 1 2 • l’espérance mathématique est E(X) = 4 · = ; 6 3 1 5 5 • la variance est V(x) = 4 · · = ; 6 6 9 5 5 Pour appliquer • l’écart-type est σ(X) = = 0, 745· 9 3 45 à 49, page 259

14.6 LOI NORMALE ET LOI DE POISSON

Lorsque le nombre n d’épreuves d’un schéma de Bernoulli est grand, le calcul de P(X = k) = Ckn pk (1 − p)n−k est fastidieux. Ainsi, par exemple, pour 400 épreuves d’un schéma de Bernoulli 88 présentant 88 312 4 400! 1 1 succès, la probabilité d’un succès étant , le calcul de 5 88! 312! 5 5 s’avère inextricable.

LOI NORMALE FORMULE

Pour faciliter les calculs de P(X = k) lorsque n est très grand, les mathématiciens Laplace et Gauss ont inventé une loi de probabilité qui donne une approximation de la loi binomiale et dont la formule est admise :

iti

La probabilité d’obtenir k succès est 1 P(X = k) = · f(t) σ(X) 1 2 1 avec f(t) = · e− 2 t 2π σ(X) = np(1 − p) (l’écart-type de X) k − E(X) t= (E(X) = np est l’espérance mathématique de X) σ(X)

Pierre-Simon de Laplace mathématicien français (1749-1827)

250

«Lorsqu’une grandeur est soumise à un grand nombre de causes de variations, toutes très petites et indépendantes les unes des autres, les résultats s’accumulent au voisinage de la moyenne, puis se distribuent symétriquement avec une fréquence diminuant très rapidement à mesure que l’on s’éloigne de cette moyenne.» (Loi de Laplace-Gauss)

MaEM56B14page 251 noir vert

STATISTIQUES – PROBABILITÉS

GRAPHIQUE

Le graphe cartésien de la fonction 1 2 1 f:t→ · e− 2 t 2π est une courbe en forme de cloche ou courbe de Gauss.

f(t)

0, 0

0, 39894

1, 0

0, 1

0, 39695

1, 1

0, 2

0, 39104

1, 2

0, 3

0, 38139

1, 3

0, 4

0, 36827

1, 4

0, 5

0, 35202

0, 6

0, 33322

0, 7

f(t)

O –4

–2

f(t)

0, 24197

2, 0

0, 05399

3, 0

0, 00443

4, 0

0, 00013

0, 21785

2, 1

0, 04398

3, 1

0, 00327

4, 1

0, 00009

0, 19419

2, 2

0, 03547

3, 2

0, 00238

4, 2

0, 00006

0, 17137

2, 3

0, 02833

3, 3

0, 00172

4, 3

0, 00004

0, 14973

2, 4

0, 02239

3, 4

0, 00123

4, 4

0, 00002

0,1

•

1 e– 2π

f(t) =

Cette fonction f est paire car, ∀t ∈ R : f(−t) = f(t). Voici une table donnant les valeurs de f(t) pour des valeurs positives de t:

•

Carl-Friedrich Gauss mathématicien allemand (1777-1855)

y 0,4

0, 12952

2, 5

0, 01753

3, 5

0, 00087

4, 5

0, 00002

1, 6

0, 11092

2, 6

0, 01358

3, 6

0, 00061

4, 6

0, 00001

0, 31225

1, 7

0, 09405

2, 7

0, 01042

3, 7

0, 00042

4, 7

0, 00001

0, 8

0, 28969

1, 8

0, 07895

2, 8

0, 00792

3, 8

0, 00029

4, 8

0, 00000

0, 9

0, 26609

1, 9

0, 06562

2, 9

0, 00595

3, 9

0, 00020

iti

1, 5

EXEMPLE

Si n = 400 , p = alors

1 , 5

1 E(X) = 400 · = 80 , 5 1 4 =8, σ(X) = 400 · · 5 5 88 − 80 t= =1, 8 1 0, 24197 P(X = 88) = · f(1) = 0, 03 . 8 8 (table)

251

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STATISTIQUES – PROBABILITÉS

LOI DE POISSON FORMULE

Lorsque le nombre n d’épreuves d’un schéma de Bernoulli est grand et que la probabilité p d’un succès est voisin de 0, le probabiliste Poisson a proposé une approximation de la loi binomiale lorsque le nombre de succès k est petit, et dont la formule est admise :

La probabilité d’obtenir k succcès est (np)k · P(X = k) = e−np · k!

Si n = 10 , p =

1 , 100

10 ·

1 100 3!

alors P(X = 3) = e−10. 100 ·

EXEMPLE

Siméon-Denis Poisson (1781-1840)

= e−0,1 ·

0, 001 0, 00015. 6

Ce résultat est une approximation de celui que l’on obtiendrait par la loi binomiale : 3 7 1 99 0, 00011. P(X = 3) = C310 100 100

iti

Pour appliquer 50 à 52, page 259 Pour s’autocontrôler 61 à 65, page 260 Pour chercher 82 à 90, page 264 Venus d’ailleurs 91 à 96, page 265

252

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STATISTIQUES – PROBABILITÉS

ANALYSE DES DONNÉES ET DÉNOMBREMENT

Impossible, aujourd’hui, de vivre à l’abri des sondages et autres recensements. Les statistiques sont omniprésentes. Chaque État possède son Institut National de Statistiques chargé de recueillir des informations économiques, sociales, démographiques,... afin de les soumettre aux gouvernants qui font alors des prévisions et qui ajustent (on peut l’espérer !) leur politique d’après les grandes tendances recensées (statbel.fgo.be/home–fr. htm).

Ce n’est pas étonnant, dès lors, de remarquer que l’étymologie du mot statistiques vient du mot latin «Status» (état). Tout au long des siècles, les gouvernants ont ressenti le besoin politique de recenser : ainsi, par exemple, l’empereur romain César-Auguste recensa trois fois le peuple de son empire. C’est, d’ailleurs, au cours du deuxième recensement, que Saint-Luc, dans son Évangile, relate la naissance du Christ à Bethléem. César-Auguste

Au cours des siècles, de nombreux scientifiques se sont intéressés aux statistiques et aux probabilités : Ainsi, par exemple, • Jérôme Cardan, mathématicien et médecin italien s’occupa de statistiques relatives à la durée de la vie humaine;

(63 av. J.-C. - 14 ap. J.-C.)

• Christiaan Huygens, physicien et astronome hollandais publia des tables

de mortalité et le premier traité complet de calcul des probabilités;

• les Suisses Leonhard Euler (1707-1803) et les frères Bernoulli Jac-

iti

ques (1654-1705) et Jean (1667-1748) firent progresser les études sur la démographie et sur les problèmes de loteries, d’espérance de vie dans le domaine des assurances de la loi des grands nombres pour le jeu de pile ou face,...;

Jérôme Cardan (1501-1576)

C. Huygens (1629-1695)

253

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STATISTIQUES – PROBABILITÉS

• le Français Adrien-Marie Legendre réalisa

la première étude rigoureuse de régression linéaire par la méthode des moindres carrés qui fut encore précisée par son compatriote Pierre-Simon, marquis de Laplace mathématicien passionné par les probabilités (c’est lui qui interrogea à l’entrée de l’École militaire un certain Napoléon Bonaparte);

• un autre mathématicien du temps de la Ré-

P.-S. de Laplace(1749-1827)

A.-M. Legendre (1752-1833)

volution française, Marie Jean, marquis de Condorcet, utilisa le calcul des probabilités en Sciences sociales, il étudia statistiquement le comportement des citoyens en matière électorale dans son ouvrage «Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix»;

• les Français Pierre de Fermat (1601-1665)

et Blaise Pascal (1623-1662) échangèrent une correspondance à propos du calcul des probabilités liés à la théorie des jeux ;

• plus proche de nous, Adolphe Quételet,

astronome, mathématicien et statisticien belge étudia les statistiques concernant le taux de mortalité, l’importance de la criminalité, la météorologie et l’astronomie. Il fut le fondateur de l’observatoire de Bruxelles. Son grand mérite fut d’appliquer la théorie des probabilités aux sciences morales, politiques et sociales;

M.-J. de Condorcet (1743-1794)

iti

A. Quételet (1796-1874)

• l’Austro-tchèque Johann Mendel, moine augustinien, célèbre et modeste

botaniste, observa, pendant huit années, l’hybridation des petits pois; ses conclusions théoriques du phénomène lui valut au XXème siècle le titre de fondateur de la génétique; la statistique, grâce à lui, s’était élargie au domaine de l’hérédité.

Peu de domaines actuels demeurent étrangers aux sciences de la Statistique et de la Probabilité. On les retrouve en psychologie, en météorologie, dans les études sur l’industrie, la finance, la structure du langage, l’étude des différentes formes littéraires.... J. Mendel (1822-1884)

254

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Index des notations La liste qui suit ne comprend que les notations nouvellement introduites dans ce manuel.

NOMBRES COMPLEXES z = a + bi a + bi (b = / 0)

la forme algébrique d’un nombre complexe un nombre complexe imaginaire (bi : un nombre complexe imaginaire pur) l’ensemble des nombres complexes la partie réelle du nombre complexe z (a dans a + bi)

I(z)

la partie imaginaire du nombre complexe z (b dans a + bi)

R(z) z = a − bi

le conjugué du complexe z = a + bi

z = r cis ϕ

le nombre complexe z de module r et d’argument ϕ

A(zA )

le point A d’aﬃxe égale au complexe zA , dans un plan de Gauss

j n

aij E |A| ou dét A

le terme de la ie ligne et de la je colonne la matrice-unité

le déterminant de la matrice A;

Mij

le mineur de l’élément aij

Aij

le cofacteur de l’élément aij

A−1

... ... .. .

am1 am2 C 1 C2

... ... a1n .. . amn

dét A =

a11 .. . am1

... .. . ...

 a1n L1 a2n  L2 ..   .. . . amn Lm Cn

l’inverse de la matrice (carrée) A l’adjointe de la matrice A

adj A

  x = f(t)

 y = g(t)

GEOMETRIE ANALYTIQUE

, (t ∈ I),

un système d’équations paramétriques ou une représentation paramétrique de la courbe paramétrée Γ sur l’intervalle I de réels

iti

Γ≡

la matrice A sur R de genre m × n;

a12 a22 .. .

a11  a21 A=  .. .



A = (aij )1 i m

ALGEBRE LINEAIRE

A(ρ; ω)

Γ ≡ f(ρ; ω) = 0

des coordonnées polaires du point A (ρ : le rayon polaire; ω : une amplitude de l’angle polaire ω) la droite ou la courbe Γ a pour équation polaire f(ρ; ω) = 0.

CALCUL VECTORIEL ET GEOMETRIE

a⊥b

la droite a est perpendiculaire ou orthogonale à la droite b

a⊥α

la droite a est perpendiculaire au plan α

α⊥β

le plan α est perpendiculaire au plan β

α , β , ... −→ d(A, B) ou AB ou AB

des demi-plans

−→ la distance du point A au point B ou la distance de [AB] ou la norme de AB

d(A, α)

la distance du point A au plan α

d(A, a)

la distance du point A à la droite a

Oxyz

un repère de l’espace, d’origine O et d’axes gradués x, y et z.

255

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INDEX DES NOTATIONS

xOy

le plan formé par les axes x et y

yOz

le plan formé par les axes y et z

xOz

le plan formé par les axes x et z

hC,r

X = t−→ (X)

−−→ X est le translaté de X par la translation t de vecteur AA

sα

la symétrie orthogonale par rapport au plan α

la symétrie orthogonale par rapport à la droite m

la symétrie de centre C

R , R 2

l’homothétie de centre C et de rapport r

−→ − → AB ou u −→ AB (u; v; w) −→ −→ AB // CD −→ −→ AB ⊥ CD −→ −→ AB CD = r −→ 2 AB

dans un repère cartésien de l’espace, les coordonnées du point A forment le triplet de réels a1 , a2 et a3 : a1 est son abscisse, a2 son− →ordonnée, a3 sa cote le vecteur d’origine A et d’extrémité B ou le vecteur u −→ le vecteur AB de composantes (u; v; w) −→ −→ les vecteurs AB et CD sont parallèles −→ −→ les vecteurs AB et CD sont orthogonaux −→ −→ le réel r égal au produit scalaire des vecteurs AB et CD −→ le carré scalaire de AB

A(a1 ; a2 ; a3 )

ensemble des couples ou des triplets de réels

STATISTIQUES – COMBINATOIRE – PROBABILITES ∆ r

le point moyen ou barycentre d’un nuage de points la droite de régression de y par rapport à x

G(x; y)

le coeﬃcient de corrélation

le nombre d’arrangements à répétitions de n éléments, pris p à p

Apn

le nombre d’arrangements sans répétition de n éléments, pris p à p

le nombre de permutations de p éléments

Cpn

le nombre de combinaisons sans répétition de n éléments, pris p à p 1 . 2 . 3 . ...(n − 1)n (n = / 0) (0! = 1)

Ω

la catégorie d’épreuves d’un phénomène fortuit ou événement certain

iti

Bpn

#Ω

a∈Ω

{a}

A (A ⊂ Ω) φ

Si A ⊂ Ω et B ⊂ Ω, A ∩ B

l’événement A de la catégorie d’épreuves Ω B

l’événement impossible intersection des événements A et B : « A et B »

A\B

diﬀérence des événements A et B : « A moins B »

P(A|B)

une épreuve élémentaire de Ω

union des événements A et B : « A ou B »

P(A)

a est une épreuve de Ω

A∪B A∩B=φ

256

le cardinal de Ω ou le nombre d’éléments que comporte Ω

l’événement A et l’événement B sont disjoints probabilité de l’événement A

A\B A

probabilité que l’événement A se produise si l’événement B s’est produit

B\A