Actimath pour se qualifier + 3 (4p/s) - Chapitre 3

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Maryse Bams Michaël Chevalier Coordination Philippe Ancia Aline Want

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Composition d’Actimath pour se qualifier + 3 (réseau officiel • 4 périodes/semaine)

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Pour le professeur un accès au contenu de Udiddit comprenant : le corrigé du livre-cahier le Manuel Numérique des exercices supplémentaires

Actimath pour se qualifier + 3 (réseau officiel • 4 périodes/semaine)

Auteurs : Maryse Bams et Michaël Chevalier

Coordination : Philippe Ancia et Aline Want

Couverture : Alinea Graphics Mise en page : Alinea Graphics

Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent.

La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages.

En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes.

Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due.

C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.

L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2018

Tous droits réservés.

En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur.

1re édition : 2018

ISBN 978-90-306-8951-5 D/2018/0078/320 Art. 580472/01

Introduction – Mode d’emploi

Voici ton nouveau livre-cahier de mathématiques. Il fait partie de la collection ACTIMATH que tu as peut-être déjà utilisée au 1er degré.

Les objectifs qui ont motivé notre travail sont les suivants.

• Consolider l’usage des outils élémentaires introduits au premier degré.

• Construire de nouveaux outils à partir de l’étude de situations concrètes et te permettre d’appliquer ces connaissances nouvelles.

• Développer tes capacités de raisonnement et encourager ta participation active.

Actimath pour se qualifier + 3 comprend sept chapitres divisés en activités. L’ordre dans lequel tu parcourras les différents chapitres du manuel dépend de ton professeur.

Chaque chapitre commence par une page de garde sur laquelle sont notés les compétences à développer ainsi que les processus à mettre en œuvre dans les activités. Ton professeur te fera cocher ceux (celles) que tu auras rencontré(e)s lors des différents exercices solutionnés en classe.

Chaque activité est construite de la même manière.

• Une mise en situation tirée, le plus souvent possible, de la vie de tous les jours ou d’un défi mathématique te permet de découvrir de nouvelles notions.

• Ensuite, un pavé théorique (sous fond vert) énonce les notions que tu viens de découvrir.

• Enfin, des exercices de fixation te permettent d’assimiler celles-ci.

Les notions développées dans certains chapitres ont débouché sur des exercices supplémentaires nécessitant davantage de recherche et de réflexion.

Les mathématiques sont souvent proches de la réalité quotidienne, mais tu ne le vois pas toujours. Si tu veux utiliser ton cours de mathématiques pour mieux comprendre le monde qui t’entoure, tu devras étudier les notions reprises dans les pavés théoriques et vérifier que tu sais refaire les exercices vus en classe. Ta calculatrice sera, dans certains cas, un outil performant pour explorer les différentes notions abordées dans ton livre-cahier.

N’oublie pas de te servir de l’index figurant à la fin du livre (p. 251); il t’aidera à retrouver les mots importants.

Pour mener à bien ton travail, ton professeur sera un guide précieux. N’hésite donc pas à lui poser des questions sur les points de matière qui te semblent difficiles à maîtriser.

Les auteurs – Les coordinateurs

Table des matières

Mode d’emploi 3

Table des matières 4

Chapitre 1 • Approche graphique d’une fonction 7

Activité 1 Plan cartésien 8

Activité 2 Notions de relation et de fonction 12

Activité 3 Domaine et ensemble image d’une fonction 18

Activité 4 Intersection du graphique d’une fonction avec les axes 24

Activité 5 Signe d’une fonction 27

Activité 6 Croissance et extremum d’une fonction 34

Activité 7 Analyse graphique d’une fonction : exercices de synthèse 40

Activité 8 Comparaison de fonctions 44

Exercices supplémentaires 48

Chapitre 2 • Équations du premier degré 49

Activité 1 Équations et solutions 50

Activité 2 Équations du type x + a = b 52

Activité 3 Équations du type a . x = b et x a = b 54

Activité 4 Équations et proportions 57

Activité 5 Équations du type ax + b = c 61

Activité 6 Équations du type ax + b = cx + d 64

Activité 7 Résolution de problèmes 70

Activité 8 Transformations de formules 74

Exercices supplémentaires 78

Chapitre 3 • Fonction du premier degré 79

Activité 1 Fonction du premier degré linéaire 80

Activité 2 Approche graphique de la fonction du premier degré et de la fonction constante 85

Activité 3 Image d’un réel par une fonction du premier degré 92

Activité 4 Construction du graphique d’une fonction du premier degré 98

Activité 5 Intersection du graphique d’une fonction du premier degré avec les axes 102

Activité 6 Pente d’une droite – Croissance d’une fonction 107

EditionsVANIN

Activité 7 Détermination de l’expression algébrique d’une fonction du premier degré 116

Activité 8 Signe de la fonction du premier degré 126

Activité 9 Ajustement linéaire 129

Activité 10 Fonction f : x Æ y = a x 136

Exercices supplémentaires 144

Chapitre 4 • Intersection des graphiques de deux fonctions 145

Activité 1 Intersection des graphiques de deux fonctions 146

Chapitre 5 • Inéquations du premier degré 155

Activité 1 Découverte des inéquations et propriétés des inégalités 156

Activité 2 Intervalles de nombres réels et solutions d’une inéquation 162

Activité 3 Résolution d’inéquations 170

Exercices supplémentaires 178

Chapitre 6 • Figures planes 179

Activité 1 Classement et quadrilatères 180

Activité 2 Segments de droites remarquables des quadrilatères 186

Activité 3 Triangles et droites remarquables 190

Activité 4 Droites remarquables des polygones réguliers 198

Activité 5 Périmètres des quadrilatères et du triangle – Échelle 200

Activité 6 Aires des quadrilatères et du triangle 204

Activité 7 Longueur du cercle et nombre p 212

Activité 8 Aire du disque 215

Activité 9 Transformations de formules 219

Exercices supplémentaires 220

Chapitre 7 • Théorème de Pythagore et racines carrées 223

Activité 1 • Racines carrées 224

Activité 2 • Théorème de Pythagore 228

Activité 3 • Calcul de la mesure d’un côté d’un triangle rectangle 232

Activité 4 • Distance entre deux points dans un repère orthonormé 241

Activité 5 • Réciproque du théorème de Pythagore 245

Exercices supplémentaires 250

Index alphabétique 251

Chapitre 3 Fonction du premier degré

Compétences à développer

Lire, construire, interpréter, exploiter un tableau de nombres, un graphique, une formule.

Traiter un problème en utilisant des fonctions du premier degré. Reconnaître une situation qui se modélise par une fonction du premier degré.

Processus

Connaître

Reconnaître différents types de fonctions à partir de tableaux de nombres, de graphiques ou de formules issus de contextes variés.

Identifier les paramètres m et p sur un graphique ou dans une formule.

Appliquer

Construire un graphique à partir d'un tableau de nombres ou d’une formule.

Construire un tableau de nombres à partir d'un graphique ou d’une formule.

Calculer les paramètres m et p à partir d’un tableau de nombres. Établir la formule qui relie deux variables à partir d’un tableau de nombres.

Associer des graphiques, des tableaux de nombres, des formules.

Rechercher des caractéristiques d'une fonction du premier degré.

Chapitre 3 Fonction du premier degré EditionsVANIN

Transférer

Résoudre un problème en utilisant un tableau de nombres, un graphique et/ou une formule.

Résoudre un problème qui nécessite l’utilisation de fonctions, d’équations ou d’inéquations du premier degré.

Activité 1 • Fonction du premier degré linéaire

1 Dans un forum informatique, on peut lire l’intervention suivante de Julien :

« J’ai une superbe photo de 2272 sur 1704 pixels que je souhaite placer en fond d’écran. Si j’utilise une résolution d’écran de 800×600 pixels, la photo s’affiche correctement mais si j’utilise la résolution 1280×768, ma photo apparaît déformée. Pourquoi ? »

Pour t’aider à répondre à cette interrogation de Julien, lis le commentaire ci-dessous relatif à la résolution d’un écran.

La résolution d’un écran exprime sa longueur et sa largeur en termes de pixels (le pixel est l’unité élémentaire d’affichage). Ainsi, lorsqu’on parle d’une résolution d’écran de 800×600 pixels, cela signifie que l’écran affiche 800 pixels sur sa longueur et 600 pixels sur sa largeur. Il en va de même pour la résolution d’une photo.

a) Complète le tableau ci-dessous.

Résolution de l’écran (pixels)

800x600

1024x768 1152x864

1280x768 1280x960 1280x1024

Longueur (pixels)

Largeur (pixels)

Rapport entre la largeur et la longueur

b) Détermine le rapport r entre la largeur et la longueur de la photo de Julien.

EditionsVANIN

c) En comparant le rapport r calculé pour la photo et les résultats obtenus dans la dernière colonne du tableau ci-dessus, déduis les résolutions qui permettront d’afficher la photo de Julien sans la déformer. Entoure ces résolutions dans le tableau.

d) Représente dans le repère de la page suivante, les écrans qui ne déforment pas la photo de Julien en prenant soin de superposer les coins inférieurs gauches des écrans. Pour t’aider, nous avons déjà placé l’écran de 800 sur 600 pixels.

y

Largeur (pixels)

1000800 100

600 x

Longueur (pixels)

e) Observe les points représentant les coins supérieurs droits des écrans que tu viens de dessiner. Que constates-tu quant à leur position ?

f) À partir de ton graphique, peux-tu trouver d’autres résolutions qui afficheront correctement la photo ? Donne des exemples.

g) (1) Pour toutes ces résolutions qui ne déforment pas la photo de Julien, comment peut-on trouver la largeur de l’écran à partir de sa longueur ?

(2) Complète le tableau.

Longueur (en pixels)60080090016002000

Largeur (en pixels)

(3) Quelle est la particularité du tableau que tu viens de compléter ? Comment nomme-t-on le nombre par lequel on multiplie la longueur pour obtenir la largeur ?

(4) Complète l’expression algébrique de la fonction f qui fournit la largeur de l’écran (y) en fonction de sa longueur (x). f : x Æ y = Cette fonction est une fonction de proportionnalité aussi appelée fonction du premier degré linéaire.

Fonction

Fonction du premier degré linéaire

A. Définition

Une fonction du premier degré linéaire ou fonction de proportionnalité est une relation entre deux variables x et y, dont l’expression algébrique s’écrit sous la forme

f : x Æ y = mx avec m ≠ 0

Dans l’expression d’une fonction du premier degré linéaire, f : x Æ y = mx, le nombre réel non nul m est le coefficient de proportionnalité de la fonction.

On écrit parfois les fonctions sous une forme simplifiée f(x) = mx.

Exemples:f:x Æ y=0,75xouf(x)=0,75x f:x Æ y=–4xouf(x)=–4x

B. Propriétés

Une fonction du premier degré linéaire se représente par une droite passant par l’origine du repère.

Une droite passant par l’origine du repère représente une fonction du premier degré linéaire

C. Comment construire le graphique d’une fonction du premier degré linéaire ?

Puisque le graphique d’une fonction du type f : x Æ y = mx est une droite qui passe par le point (0 ; 0), il suffit de déterminer un autre point

On peut toujours utiliser les coordonnées d’un ou de plusieurs autres points pour vérifier que le graphique est correct.

Exemple:f:x Æ y=2x x=1 fi y=21x=–2

y=2(–2) =2=–4

Vérification x01–2 y02–4

La droite passe donc par les points (0 ; 0) et (1 ; 2).

On vérifie que la droite passe aussi par le point (−2 ; −4). 1 –4 –2 0 1 2 x

Exercices

qui sont des fonctions linéaires.

b) Pour chaque fonction linéaire, complète un tableau associant les valeurs de x et de y. Précise pour chacune d’elles, le coefficient de proportionnalité.

c) Construis le graphique de ces fonctions linéaires.

Fonction du premier degré

Fonction du premier degré

2 Complète chaque tableau de proportionnalité et l’expression algébrique de la fonction qui lui est associée.

3

Avant de partir en voyage aux États-Unis pour ses 17 ans, Martin s’est renseigné auprès de sa banque pour convertir des euros en dollars. Le banquier lui a précisé que pour 100 €, il obtiendrait 125 $ et que pour les jeunes de moins de 18 ans, la banque ne compte aucun frais.

a) Complète le tableau.

0100200400500

($)

b) Détermine l’expression algébrique de la fonction f exprimant la conversion d’euros en dollars.

c) Représente la fonction f dans le repère ci-contre.

d) Martin pense qu’il aura besoin de 400 $ d’argent de poche lors de son voyage. Il se demande combien d’euros il doit convertir pour disposer de ce montant.

(1) Aide-le en estimant graphiquement ce montant. 100 100 0x

(2) Calcule le montant exact à convertir.

Activité 2

• Approche graphique de la fonction du premier degré et de la fonction constante

1 Un opérateur de téléphonie propose l’internet mobile à un tarif composé d’un coût fixe de connexion et d’un prix par mégabyte utilisé. Pour faire connaître ce tarif, il lance deux campagnes publicitaires dans lesquelles le même tarif est présenté de façons différentes. Pour chaque campagne, le prix se calcule en fonction de la consommation.

Campagne 1

Volume (Mb) x123561020… Prix (cents) y 57913152343…

a) Avec ce tarif, détermine le prix à payer pour chaque volume de données ci-dessous. Complète les coordonnées des points qui illustrent tes réponses et indique ces points sur le graphique.

2 Mb cent(s) A ( ; )

3 Mb cent(s) B ( ; )

6 Mb cent(s) C ( ; )

8 Mb cent(s) D ( ; )

9 Mb cent(s) E ( ; )

b) (1) Complète le tableau ci-dessous.

Lorsque

prix

Campagne 2

10 1Volume(Mb) x yPrix (cents)

(2) Construis des triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont parallèles aux axes du repère et dont les hypoténuses sont respectivement les segments [AB], [BC], [CD] et [DE]. Sur chaque côté de l’angle droit, indique la valeur de l’accroissement en x (∆x) et la valeur de l’accroissement en y (∆y).

(3) Pour chaque triangle rectangle construit, calcule le rapport D D y x . Que constates-tu ?

c) Parmi les fonctions suivantes, entoure celle qui correspond à ce tarif.

3

2x

2x

Fonction du premier degré

2 Lors de son départ en vacances, le papa de Benoit fait le plein de son réservoir à l’entrée de l’autoroute. Le graphique de la fonction ci-dessous exprime la quantité de carburant disponible dans le réservoir en fonction du temps de parcours.

yQuantité de carburant (l)

10

Temps de parcours (h)

10 x

a) Détermine la quantité de carburant dans le réservoir après chaque temps de parcours ci-dessous. Complète les coordonnées des points qui illustrent tes réponses et indique ces points sur le graphique.

1 h litresA ( ; )7 h litresD ( ; )

3 h litresB ( ; )9 h litresE ( ; ) 4 h litresC ( ; )

b) (1) Complète le tableau ci-dessous. ∆ x ∆ y Lorsque le temps de parcours augmente de … la quantité d’essence diminue de …

1 h 2 h 3 h

2) Construis des triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont parallèles aux axes du repère et dont les hypoténuses sont respectivement les segments [AB], [BC], [CD] et [DE].

Sur chaque côté de l’angle droit, indique la valeur de l’accroissement en x (∆ x) et la valeur de l’accroissement en y (∆ y) en l’affectant du signe « moins » lorsque les quantités diminuent.

(3) Pour chaque triangle rectangle construit, calcule le rapport D D y x . Que constates-tu ?

c) Parmi les fonctions suivantes, entoure celle qui correspond à ce tarif.

3 Lors de ses dernières vacances à la montagne, Benoit a loué des skis. Le graphique ci-dessous représente le coût de la location en fonction de la durée.

10 20 yCoûtdela location(€)

Tempsde location(jours) x

a) Précise le coût pour chaque durée de location ci-dessous. Complète les coordonnées des points qui illustrent tes réponses et indique ces points sur le graphique.

1 jour € A ( ; )5 jours € C ( ; )

2 jours € B ( ; )7 jours € D ( ; )

b) (1) Quelle est la particularité de cette fonction ?

(2) Écris l’expression algébrique de cette fonction.

c) (1) Construis des triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont parallèles aux axes du repère et dont les hypoténuses sont respectivement les segments [AB], [BC] et [CD]. Sur chaque côté de l’angle droit, indique la valeur de l’accroissement en x (∆x) et la valeur de l’accroissement en y (∆y) en l’affectant du signe « moins » lorsque les quantités diminuent.

(2) Pour chaque triangle rectangle, calcule le rapport D D y x . Que constates-tu ?

4 Lorsqu’elle est partie à la montagne, Mélodie s’est renseignée sur la location de skis. Trouvant cela onéreux, elle a choisi d’acheter sa propre paire qui lui a coûté 60 €. De la sorte, quelle que soit la durée de son séjour, le coût lié à ses skis est fixe comme le montre le graphique ci-contre.

60 yCoût(€)

séjour(jours)

Fonction du premier degré

a) (1) Quelle est la particularité de cette fonction ?

(2) Écris l’expression algébrique de cette fonction.

b) Comme dans les exercices précédents, peux-tu construire des triangles rectangles qui illustrent le rapport D D y x ? Justifie ta réponse.

Approche graphique de la fonction du premier degré et de la fonction constante

A. Fonction du premier degré

Définition

Une fonction f du premier degré est une relation entre deux variables x et y, qui s’écrit sous la forme f : x Æ y = mx + p ou plus simplement f(x) = mx + p, où m est un réel non nul et p un réel.

Exemples:f:x Æ y=2x+4ouf(x)=2x+4

f:x Æ y=–0,5x+3ouf(x)=–0,5x+3

f:x Æ y=–3xouf(x)=–3x

Remarque

Une fonction du premier degré linaire a une valeur de p nulle

Exemple:f:x Æ y = –2x (m = –2 et p = 0)

Propriétés du graphique d’une fonction du premier degré

Le graphique d’une fonction du premier degré est une droite (non parallèle aux axes du repère) dont l’équation est y = mx + p.

Exemple

f:x Æ y = 2x + 4 est une fonction du premier degré. x–3–2–1012 y–202468

f

Le graphique de cette fonction est la droite dont l'équation est y = 2x + 4. 0 1 1 x

B. Taux d’accroissement

Définition

Le taux d’accroissement d’une fonction du premier degré est le rapport entre l’accroissement en y (Dy) et l’accroissement en x (Dx) observés entre deux points quelconques de son graphique.

Taux d'accroissement d'une fonction = D

Propriété

Le taux d’accroissement d’une fonction du premier degré est constant

taux

C. Fonction constante

Tous les points d’une droite parallèle à l’axe x ont la même ordonnée; l'équation

cette

Remarques

Une fonction constante n’est pas une fonction du premier degré.

Pour rappel, une droite parallèle à l’axe y n’est pas le graphique d’une fonction.

Fonction du premier degré

Exercices

1 Parmi les fonctions suivantes, entoure celles du premier degré.

f1(x) = 2x – 1 f2(x) = –2 f3(x) = x² – 1 f4(x) = 0,2x – 1 f5(x) = 1 2 x + 1 f6(x) = –2x2 + 2 f7(x) = 1 x f8(x) = –3x

2 Pour chaque graphique, trace au moins trois triangles illustrant les accroissements de la fonction. Pour plus de facilité, considère des triangles dont les extrémités de l’hypoténuse sont sur le quadrillage.

Ensuite, vérifie que le rapport entre l’accroissement en y et celui en x est constant.

10

3 Parmi les graphiques suivants, indique un « ✓ » sur ceux qui représentent une fonction du premier degré. Pour ceux-ci, détermine graphiquement le taux d’accroissement.

4 Voici les tableaux de valeurs de fonctions du premier degré. Pour chacun d'eux, vérifie que le taux d’accroissement est constant.

Fonction du premier

Fonction

Activité 3 • Image d’un réel par une fonction du premier degré

1

Pour réaliser son pain, la maman d’Amélie commande une farine bio qu’elle reçoit à son domicile. Voici les tarifs de trois sociétés qui vendent cette farine. Pour chaque tarif, x représente la quantité achetée, exprimée en kg, et y, le prix en euros.

Société Aveve fA

Société Brichart

3x

Société Cofabel 0 1 1

Quantité (kg) yPrix

Les tarifs permettent de connaître le prix à payer pour l’achat d’une quantité de farine.

Par exemple, pour l’achat de 3 kg de farine, …

Société AveveSociété BrichartSociété Cofabel

on peut calculer que le prix sera de 15 € (3 . 3 + 6)

on peut lire que le prix sera de 10 €

on peut repérer que le prix sera de 9 €

Mathématiquement, on écrit … fA(3) = 15 fB(3) = 10 fC(3) = 9

On dit que … 15 est l’image de 3 par la fonction fA.

10 est l’image de 3 par la fonction fB.

9 est l’image de 3 par la fonction fC.

a) Pour chaque société, détermine le coût d’une commande de 5 kg de farine en recherchant l'image du réel 5 par chaque fonction.

fA(5) = fB(5) = fC(5) = Quelle société est la plus avantageuse pour l’achat de 5 kg de farine ?

b) Pour chaque société, détermine la quantité de farine qui peut être achetée pour un montant de 9 €. Justifie tes réponses à l’aide d’une égalité du type f(…) = …

Société A : avec 9 €, on peut acheter kg

Société B : avec 9 €, on peut acheter kg

Société C : avec 9 €, on peut acheter kg

Quelle société est la plus avantageuse pour un achat de 9 € ?

c) Afin d’aider sa maman, Amélie propose de présenter les tarifs des sociétés Aveve et Cofabel comme celui de la société Brichart. Aide-la en calculant le prix à payer pour des commandes de 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6 kg et présente tes réponses sous forme de tableaux de valeurs.

Image d’un réel par une fonction du premier degré

A. Comment rechercher l’image d’un réel a par une fonction ?

1. À partir de l’expression algébrique de la fonction

On calcule la valeur de la variable y en remplaçant la variable x par le réel dont on cherche l’image.

Exemple : Recherche de l’image de 2 par la fonction f : x Æ y=3x–5 y = 3 . 2 –5 =6–5 =1

L’image de 2 par la fonction f est 1. On écrit f(2) = 1.

Fonction du premier degré

Fonction

2. À partir d’un tableau de valeurs de la fonction

On lit la valeur de y située sous la valeur de x dont on cherche l’image.

Exemple

Recherche de l’image de –2 par la fonction f f x–4 –2 –1015 y–1357917

L’image de –2 par la fonction f est 3. On écrit f(–2) = 3.

Remarque : Si le nombre dont on cherche l’image n’est pas présent sur la première ligne du tableau, on ne pourra pas trouver son image par la fonction avec cette méthode.

Exemple : f(4) = ? Avec le tableau précédent, on ne peut pas lire l’image de 4.

3. À partir du graphique de la fonction

On repère le point de la droite pour lequel l’abscisse est le réel dont on cherche l’image. L’image recherchée est l’ordonnée de ce point.

Exemple

Recherche de l’image de 2 par la fonction f 0 1 1 –1 x y f 2 A

Le point A est le point d’abscisse 2 de la droite.

L’ordonnée du point A est –1.

L’image de 2 par la fonction est –1. On écrit f(2) = –1.

B. Comment construire un tableau de valeurs d’une fonction ?

On choisit des réels qu’on place sur la première ligne réservée aux valeurs de x. Pour chacun d’eux, on recherche leur image et on écrit le résultat sur la seconde ligne réservée aux valeurs de y

Fonction du premier degré

0 1 1 x y

f

f(–2) = f(1) = f(–4) =

f( ) = 2 f( ) = 3 f( ) = 3,5

0 1 1 x y f

f(–2) = f(0) = f(4) = f( ) = 0 f( ) = –4 f( ) = –1

2 Pour chacune des fonctions ci-dessous, calcule les images demandées.

a) f : x Æ y = 3x + 1

f(–1) = f(0) = f(2) =

b) f : x Æ y = –2x + 1 f(–2) = f(0) = f(3) =

c) f :

2

2

f(–2) = f(0) = f(5) =

6

Un automobiliste s’arrête dans une station-service pour faire le plein.

Le graphique de la fonction f ci-contre représente l’évolution de la quantité d’essence se trouvant dans le réservoir au cours du remplissage en fonction du temps.

Utilise ce graphique pour déterminer…

(1) la quantité d’essence se trouvant dans le réservoir après 22 secondes de remplissage. Justifie.

yQuantité d’essence (l)

0 10 10

Temps

(2) le temps nécessaire pour remplir la moitié d’un réservoir d’une capacité de 50 litres. Justifie.

Activité 4 • Construction du graphique d’une fonction du premier degré

1

Un magasin de bricolage propose trois modèles de parquet : Mathix, Graphox et Linéa.

La suite de l’exercice présente les trois types de parquet et te permettra de représenter le graphique des trois fonctions associées à ceux-ci.

Fonction du premier

a) Le parquet « Mathix » coûte 12 € le mètre carré et la livraison à domicile est facturée 50 €

(1) Complète le tableau de valeurs de la fonction f1 permettant de connaître le prix à payer pour le parquet « Mathix » livré à domicile, en fonction de la surface achetée.

f1

Surface (m2)x101520305070100

Prix (€) y

(2) Place les couples de points dans le repère ci-dessous.

(3) Que constates-tu et que peux-tu en déduire à propos de la fonction f1 ?

yPrix (€)

Combien de points suffisait-il de placer pour pouvoir tracer cette droite ?

b) Le prix du parquet « Graphox » en fonction de la surface commandée est donné par la fonction f2 : x Æ y = 8x + 30.

(1) Complète son tableau de valeurs et trace son graphique dans le même repère.

f2 x y

(2) Quel est le prix au m2 de ce parquet et quels sont les frais de livraison ?

c) Le prix du parquet « Linéa » en fonction de la surface commandée est donné par la fonction f3 : x Æ y = 15x.

EditionsVANIN

Surface (m2)

Prix au m² : Frais de livraison : 0 10 100 x

(1) Complète son tableau de valeurs et trace son graphique dans le même repère.

f3 x y

(2) Pourquoi le tracé de cette fonction est-il plus rapide ?

(3) Quel argument la cellule marketing de ce magasin peut-elle mettre en avant pour réaliser la publicité du parquet « Linéa » ?

Construction du graphique d’une fonction du premier degré

Comment construire le graphique d’une fonction du premier degré ?

1. À partir d’un tableau de valeurs

On choisit dans le tableau les coordonnées de deux points qu’on représente dans un repère cartésien. Le graphique de la fonction du premier degré est la droite reliant ces deux points.

Remarque : On peut toujours utiliser les coordonnées d’un ou de plusieurs autres points pour vérifier que le graphique est correct.

Exemple

On trace la droite passant par les points A (0 ; –2) et B (3 ; 1).

On vérifie que le point C (–1 ; –3) appartient à cette droite.

2. À partir de son expression algébrique

On calcule l’image de deux réels par la fonction. On obtient les coordonnées de deux points qu’on peut insérer dans un tableau de valeurs et on les place dans un repère cartésien. Le graphique de la fonction du premier degré est la droite reliant ces deux points.

Remarque : On peut calculer l’image d’un troisième réel pour vérifier que le graphique est correct.

Exemple:f:x

On trace la droite passant par les points A (0 ; –1) et B (2 ; –2).

On vérifie que le point C (–2 ; 0) appartient à cette droite.

Exercices

2

Le réservoir d’une voiture contient 45 litres de carburant et elle en consomme en moyenne 6 litres aux 100 kilomètres.

a) Complète les phrases suivantes. Au départ, la distance parcourue est de 0 kilomètre, la voiture a consommé litre(s) et le réservoir contient toujours litre(s).

Quand la voiture a parcouru 100 kilomètres, elle a consommé litre(s) et le réservoir contient encore litre(s).

Quand la voiture a parcouru 200 kilomètres, elle a consommé litre(s) et le réservoir contient encore litre(s).

Quand la voiture a parcouru kilomètres, elle a consommé litre(s) et le réservoir contient encore 21 litres.

Quand la voiture a parcouru kilomètres, elle a consommé 45 litres et le réservoir contient encore litre(s).

Fonction du premier degré

b) À partir des phrases de la page précédente, complète le tableau de valeurs, si x est la distance parcourue par la voiture et y la quantité de carburant dans le réservoir.

x (km) 0 100 200 y (l) 21 0

c) Dans le repère cartésien ci-contre, représente la fonction associée à ce tableau.

0 100 10 x y

Distance parcourue (km) Quantité de carburant (l)

Activité 5 • Intersection du graphique d'une fonction du premier degré avec les axes

1 Une machine industrielle, fonctionnant jour et nuit, produit 30 pièces par heure. En arrivant à 8 h ce matin, l’ouvrier a constaté qu’un stock de 180 pièces était disponible. Parfois, à tout moment de la journée, les magasiniers passent près de la machine et emportent la totalité du stock pour préparer les commandes des clients.

a) Complète le tableau suivant sachant que les magasiniers ne sont plus passés après l’arrivée de l’ouvrier.

Heure de la journée

Nombre d’heures écoulées depuis l’arrivée de l’ouvrier

Nombre total de pièces disponibles x y

b) Dessine le graphique de la fonction associée à ce tableau de valeurs.

100

Heures écoulées Nombre de pièces

c) Nomme A le point du graphique qui permet de visualiser qu’au moment de l’arrivée de l’ouvrier, le stock était de 180 pièces. Complète les coordonnées de ce point.

A

d) Parmi les fonctions suivantes, quelle est celle qui représente la situation décrite ?

180

180x

e) (1) L’ouvrier pense que les magasiniers sont passés cette nuit et ont emporté toutes les pièces disponibles. A-t-il raison ? Si oui, à quelle heure sont-ils passés ?

(2) Nomme B le point du graphique qui correspond au passage des magasiniers. Complète les coordonnées de ce point. Vérifie ta réponse par un calcul.

B ( ; )

Intersection du

d'une

Ordonnée à l’origine et zéro d’une fonction

L’ordonnée

l’origine de la fonction

En effet, l’ordonnée

mx +

est

l’origine d’une fonction est l’image de zéro par cette fonction, et

Fonction du premier degré

Le zéro de la fonction f : x Æ y = mx + p est la solution de l’équation mx + p = 0. Il s’agit de –p m

En effet, le zéro d’une fonction est une valeur de x qui annule y, et m x + p = 0 m . x = –p x = –p m

Exemple:f:x Æ y=2x+6

L’ordonnée à l’origine de f est 6.

En effet, f(0) = 2 . 0+6 =6

Le zéro de f est –3.

Le zéro est –3.

L’ordonnée à l’origine est 6.

En effet, 2x + 6 = 0 2x=–6 x= –6 2 x=–3 0 1 1 x y –3 6

Remarque : Une fonction linéaire admet 0 comme ordonnée à l’origine et 0 comme zéro.

Exercices

1 Détermine l’ordonnée à l’origine et le zéro de chacune des fonctions ci-dessous. Utilise ensuite tes réponses pour tracer leur graphique. Si nécessaire, recherche un minimum de points supplémentaires pour réaliser la construction.

f1 : x Æ y = 2x + 4

Ordonnée à l'origine :

Zéro : 0 1 1 x y f2 : x Æ y = 3x – 3

Ordonnée à l'origine : Zéro :

1 1 x

f3 : x Æ y = –x – 2

Ordonnée à l'origine :

Zéro :

0 1 1 x y

f4 : x Æ y = –2x – 4

Ordonnée à l'origine :

Zéro : 0 1 1 x y

f5 : x Æ y = 3x

Ordonnée à l'origine : Zéro : 0 1 1 x y

f6 : x Æ y = 4 – 2x

Ordonnée à l'origine :

Zéro :

0 1 1 x y

Fonction du premier degré

2 Restitue à chaque expression algébrique le graphique de la fonction du premier degré qui la représente.

y a

dy

1

1

3 Un professeur de français utilise une fonction lui permettant de calculer le résultat (y) d’un élève lors d’une dictée en fonction du nombre de fautes commises (x). L’expression algébrique de cette fonction est la suivante :

f : x Æ y = 10 – 0,5x

a) Détermine algébriquement le zéro et l’ordonnée à l’origine de cette fonction.

Zéro Ordonnée à l’origine

b) À quel élément correspond … le zéro ?

l’ordonnée à l’origine ?

Activité 6 • Pente d’une droite Croissance d’une fonction

1 Julien possède une propriété avec une piscine. Régulièrement, son papa procède à son nettoyage. Pour vider la piscine, il dispose d’une pompe qu’il peut régler sur trois puissances différentes. De même, lors du remplissage, il peut faire varier le débit de l’eau suivant trois vitesses.

Depuis qu’il est tout petit, Julien s’amuse toujours à observer les hauteurs d’eau varier lors du vidage et du remplissage de la piscine. Pour cela, il prend toujours comme repère pour la hauteur d’eau, le troisième barreau de l’échelle dans la piscine et comme unité, la hauteur d’un carrelage de la piscine.

Il a désigné par x le temps écoulé en minutes depuis que le niveau d’eau a atteint le troisième barreau et par y la hauteur d’eau au-dessus du troisième barreau mesurée en hauteurs de carrelage.

Dans un même repère repris en bas de page, Julien a représenté, pour chacun des derniers nettoyages, cinq fonctions (a, b, c, d et e) illustrant les hauteurs d’eau en fonction du temps écoulé en minutes.

a) Voici quelques prises de vue de ce qu’il a pu observer lors d’un nouveau remplissage. Complète les deux dernières lignes du tableau. Pour t’aider, cherche d’abord à quelle heure l’eau a atteint le 3e barreau de l’échelle car c’est à partir de cet instant que Julien compte le temps écoulé.

Heure 17h07 17h15 17h19

b) Construis le graphique de la fonction f correspondant aux observations relatives à ce dernier remplissage.

Fonction du premier degré

c) Observe les graphiques des six fonctions de la page précédente afin de répondre aux questions suivantes.

(1) Quelles sont les fonctions qui correspondent à un niveau d’eau croissant traduisant le remplissage de la piscine ?

(2) Quelles sont les fonctions qui correspondent à un niveau d’eau décroissant traduisant le vidage de la piscine ?

(3) Quelle est la fonction pour laquelle la piscine se remplit le plus rapidement ?

(4) Quelle est la fonction pour laquelle la piscine se remplit le moins rapidement ?

d) (1) (a) En observant le tableau reprenant les vues de la piscine du début de l’activité, recherche de combien de graduations l’eau monte en une minute.

(b) Indique l’expression algébrique de la fonction f.

(2) Détermine graphiquement le taux d’accroissement de la fonction f.

(3) Quel lien peux-tu établir entre le coefficient de proportionnalité m de la fonction et son taux d’accroissement ?

y A B f

e) On a redessiné ci-dessous la droite graphique de la fonction f sur laquelle on a marqué les points A et B. 0 1 1

(1) (a) Fais apparaître ci-dessous, de deux manières différentes, les coordonnées des points A et B.

(b) Calcule la différence entre l’abscisse de B et celle de A. Observe à quoi correspond cette différence sur le graphique.

xB

(c) Calcule la différence entre l’ordonnée de B et celle de A. Observe à quoi correspond cette différence sur le graphique.

yB

(d) À partir de ces calculs, vérifie le taux d’accroissement trouvé précédemment.

(2) (a) Complète le tableau de valeurs ci-dessous pour la fonction f et déduis-en les ordonnées des points C et D.

x

C

(b) Complète la démarche permettant de calculer le taux d'accroissement de la fonction f en utilisant les coordonnées des points C et D. Tires-en une conclusion.

D

f) (1) Complète les coordonnées des points A et B indiqués sur les graphique ci-dessous. Calcule ensuite, à l’aide de celles-ci, le taux d’accroissement des fonctions d et e.

Fonction du premier degré

Fonction du premier degré

(2) Observe l’inclinaison des droites d et e par rapport à l’axe x. Quel lien peux-tu établir avec le taux d’accroissement ?

g) (1) À partir des coordonnées des points indiqués sur le graphique ci-dessous, calcule le taux d’accroissement de la fonction a (pente de la droite a).

(2) Observe le signe du taux d’accroissement de la fonction a. Que signifie-t-il ?

h) Lorsque Julien a tracé la droite a, son frère était présent et a choisi de repérer la hauteur d’eau à partir du quatrième échelon, situé quatre graduations en-dessous du troisième échelon.

Donc, quand Julien observait une hauteur d’eau de zéro graduation, son frère observait une hauteur de quatre graduations.

Son frère a ensuite représenté dans le même repère, une droite a’ illustrant ses observations, voici le graphique obtenu.

(1) Caractérise la position relative des droites a et a’.

(2) Compare les pentes de ces deux droites.

Fonction du premier degré

(3) Déduis-en une propriété des pentes de deux droites parallèles et, par la même occasion, une propriété des taux d’accroissement des fonctions qu’elles représentent.

Pente d’une droite – Croissance d'une fonction

A. Définition

La pente d’une droite est le rapport entre la différence des ordonnées (∆y) et celle des abscisses (∆x) de deux points quelconques de la droite.

B. Propriétés

1. La pente d’une droite, graphique d’une fonction du premier degré, caractérise son inclinaison par rapport à l’axe

2. La pente du graphique d’une fonction du premier degré

La croissance d’une fonction du premier degré

m

alors la fonction est croissante

m < 0, alors la fonction est décroissante

mx

p est

dépend du signe de

Ces

parallèles représentent des fonctions qui ont

ont la même pente

même

fonctions qui ont le même taux

sont

des droites parallèles (de même pente).

Fonction du premier

3. On sait que la droite d1, graphique de la fonction f1, est parallèle à la droite d2, graphique de la fonction f2

Les droites étant parallèles, elles ont la même pente.

Exemple : Les graphiques des fonctions f1:x Æ y = 3x – 4 et f2:x Æ y = 3x + 1 sont deux droites parallèles.

La pente de la droite d1, graphique de la fonction f1, est égale à celle de d2, graphique de la fonction f2, et vaut 3.

4.

On connaît la droite d, graphique de la fonction f.

– On choisit deux points de la droite et on détermine : - la différence entre les abscisses (∆x) ; - la différence entre les ordonnées (∆y).

– On calcule le rapport entre ∆y et ∆x.

Si la droite représente une fonction croissante, ce rapport est positif.

Si la droite représente une fonction décroissante, ce rapport est négatif.

Exemples

Fonction du premier degré

2 Les droites ci-dessous sont les graphiques des fonctions f1, f2, f3, ...

a) Si possible, calcule leur pente.

d1 passe par les points (1 ; 5) et (3 ; 9).d2 passe par les points (1 ; 5) et (3 ; –1).

d3 passe par les points (2 ; 1) et (5 ; 4).d4 passe par les points (–1 ; 5) et (2 ; 7).

d5 passe par les points (–2 ; 5) et (4 ; –4). d6 passe par les points (4 ; 2) et (2 ; 5).

d7 passe par les points (2 ; 0) et (–2 ; 12). d8 passe par les points (–1 ; 2) et (–1 ; 5).

d9 passe par les points (2 ; 3) et (–2 ; 3). d10 est parallèle à la droite d ∫ y = 2x + 1.

d11 est parallèle à la droite d ∫ y = –4x – 2. d12 est parallèle à la droite d ∫ x – y = 0.

b) Déduis-en les droites parallèles.

c) Classe les fonctions décroissantes dans l’ordre croissant de leur taux d’accroissement. Fais ensuite de même avec les fonctions croissantes.

3 Voici trois tableaux de valeurs de fonctions du premier degré. Pour chacun d'eux, détermine la pente de la droite qui représente la fonction.

–2–1

–1 02

Fonction du premier degré

4 Dans chaque cas, si la droite représentée est le graphique d'une fonction, détermine sa pente en faisant apparaître un triangle rectangle construit en choisissant deux points de coordonnées entières.

5 Corentin a reçu un nouveau scooter pour son anniversaire. Il décide d’aller rendre visite à un ami. Quand il part de chez lui à 9h00, son compteur kilométrique indique 14 km, et lorsqu’il arrive chez son ami à 9h45, son compteur indique alors 44 km.

On appelle f la fonction qui exprime le nombre total de kilomètres parcourus par le scooter depuis sa fabrication en fonction du nombre de minutes écoulées depuis le départ de Corentin à 9h00.

a) Complète le tableau de valeurs ci-dessous et trace, dans le repère ci-contre, la droite AB, graphique de la fonction f.

0 45

Kilomètres au compteur

b) Calcule la pente de la droite AB.

10 10

c) Calcule la vitesse moyenne (en km/h et en km/min) de Corentin lors de son trajet.

écoulées

Que

Activité 7 • Détermination de l’expression algébrique d’une fonction du premier degré

1 Tes parents sont abonnés à une société distributrice des eaux. Chaque mois, ils doivent payer une redevance mensuelle fixe et un prix par mètre cube utilisé. Ils t’ont donné deux anciennes factures. Sur la facture de juin, tu peux lire que le montant facturé était de 24 € pour une consommation de 14 m3; sur celle de juillet, tu vois que 20 m3 d’eau ont été facturés 33 €

La facture pour le mois d’août devrait arriver bientôt et tes parents comptent sur toi pour prévoir son montant sachant que durant tout le mois, vous êtes partis en vacances chez votre cousin à La Panne et donc, que vous n’avez pas consommé d’eau. D’autre part, ils trouvent que la facture de juillet est élevée et aimeraient savoir quel est le coût du remplissage de la piscine gonflable du jardin d’une contenance de 4 m3

a) (1) Complète le tableau de valeurs de la fonction f ci-contre, exprimant le prix facturé y (€) en fonction de la consommation d'eau x (m3) x y

(2) Associe à ce tableau de valeurs, deux points du graphique de la fonction.

A ( ; ) B ( ; )

(3) Utilise les points A et B pour représenter le graphique de la fonction f. 0 5 5 x y

Consommation (m3) Prix (€)

b) Utilise le graphique pour répondre aux interrogations de tes parents.

(1) Estime le montant de la facture du mois d’août. À quoi correspond ce montant dans la facture ?

(2) Estime le coût du remplissage de votre piscine gonflable.

Fonction du premier

c) Voici une méthode qui va te permettre de trouver les solutions avec précision.

(1) Détermine la pente m de la droite passant par les points A et B.

(2) En utilisant la valeur de m trouvée, complète la forme de l’expression algébrique de la fonction f.

f : x Æ y =

(3) Puisque le point A appartient à la droite AB, graphique de la fonction f, l’image de son abscisse par la fonction est égale à son ordonnée.

Complète l’implication : A ( ; ) Œ Gf fi f( ) =

(4) Utilise l’expression algébrique de la fonction f pour écrire une équation qui découle de ta réponse précédente et dont l’inconnue est p. Ensuite, résous-la.

(5) Écris l’expression algébrique de la fonction f.

(6) Déduis-en le prix de la redevance mensuelle et le prix du m3 d’eau.

(7) Quel sera le montant de la facture du mois d’août ?

(8) Calcule le prix de revient du remplissage de la piscine gonflable de 4 m3

Détermination de l’expression algébrique d’une fonction du premier degré

algébrique

fonction,

graphique passe

algébrique

fonction

degré

B. Comment déterminer l’expression algébrique d’une fonction à partir de son graphique ?

– On détermine d’abord la pente m de la droite.

– On repère ensuite l’ordonnée à l’origine p de la fonction.

Exemples

C. Comment combiner les méthodes algébrique et graphique ?

Les deux méthodes décrites ci-dessus peuvent être complémentaires. En effet, il n’est pas toujours possible d'écrire l’expression algébrique d’une fonction à partir de son graphique si la représentation ne permet pas de déterminer avec précision m ou p.

Exemple : Expression algébrique de la fonction dont le graphique est la droite d

Graphiquement, on détermine m

de la fonction peut s'écrire

on procède de façon algébrique

déterminer

algébrique de la fonction est maintenant déterminée.

Fonction du premier degré

D. Remarques

Deux points du graphique ont la même ordonnée ( yA = yB ).

Il s’agit du graphique d’une fonction constante dont l’expression algébrique est f : x Æ y = yA

Exemple : L’expression algébrique de la fonction dont le graphique passe par les points A (–2 ; 2) et B (3 ; 2) est f : x Æ y = 2.

2

Deux points du graphique ont la même abscisse (xA = xB ).

Il ne s’agit pas du graphique d’une fonction. C’est une droite parallèle à l’axe y dont l’équation est x = xA

Exemple : L’équation de la droite qui passe par les points A (3 ; –1) et B (3 ; 2) est x = 3.

E. Synthèse

Exercices

1 À l’aide des renseignements donnés, détermine l’expression algébrique de chaque fonction.

Données Recherche de m Recherche de p

a)Le graphique de la fonction f1 passe par le point (0 ; 0) et sa pente vaut 3.

f1 : x Æ y =

b)Le graphique de la fonction f2 passe par les points (0 ; 0) et (2 ; –3).

f2 : x Æ y =

c)Le graphique de la fonction f3 passe par le point (0 ; 0) et est parallèle au graphique de la fonction f : x Æ y = 1 3 x + 1. f3 : x Æ y =

d) L’ordonnée à l’origine de la fonction f4 est 3 et sa pente vaut 1 4 . f4 : x Æ y =

e)Le graphique de la fonction f5 passe par le point (4 ; 3) et sa pente vaut 1 2 f5 : x Æ y =

f)Le graphique de la fonction f6 passe par les points (0 ; 3) et (5 ; 0).

:

=

Fonction du premier degré

Données

g)Le graphique de la fonction f7 passe par les points (–5 ; –3) et (–2 ; 6).

Recherche de m

Recherche de p

f7 : x Æ y =

h)Le graphique de la fonction f8 passe par les points (1 ; 3) et (–1 ; 2).

f8 : x Æ y =

i)Le graphique de la fonction f9 passe par le point (–1 ; 2) et est parallèle au graphique de la fonction

f : x Æ y = –2x + 3.

f9 : x Æ y =

j)Le graphique de la fonction f10 passe par les points (3 ; 2) et (5 ; 2).

f10 : x Æ y =

k) Le graphique de la fonction f11 passe par le point (–1 ; 4) et sa pente est nulle.

f11 : x Æ y =

4 Tu es abonné chez un fournisseur internet qui facture à ses abonnés, pour chaque connexion, un coût fixe et ensuite un prix à la minute. Un de tes amis aimerait connaître les tarifs de cette société mais malheureusement, tu ne possèdes plus les informations de tarification. Cependant, sur ta dernière facture, tu peux lire qu’une période de surf de 50 minutes a été facturée 2,27 € tandis qu’une période de 125 minutes a été facturée 5,30 €

a) Complète le tableau de valeurs ci-contre pour la fonction f exprimant le prix facturé y (€) en fonction de la durée de connexion x (min). x y

b) Associe à ce tableau de valeurs, deux points du graphique de la fonction. A ( ; ) B ( ; )

c) Représente la droite AB, graphique de la fonction f, dans le repère ci-dessous.

d) Détermine l'expression algébrique de la fonction f.

Durée de connection (min) Prix (€)

0 10 1 x y

e) Déduis-en le prix de connexion fixe et le prix à la minute.

5 Associe l’expression algébrique de la fonction à la droite qui en est le graphique.

Fonction du premier degré

Activité 8 • Signe de la fonction du premier degré

Pour chaque fonction, entoure dans une même couleur la pente (m) dans l’expression algébrique et le signe de celle-ci dans le tableau de signes. Que constates-tu

le tableau de signes suivant (m

de la fonction du

Fonction

Fonction

Zéro et tableau de signes Graphique

Activité 9 • Ajustement linéaire

1 En statistique, le graphique cartésien ci-dessous porte le nom, bien choisi, de nuage de points. Il met clairement en relation deux grandeurs et permet ainsi d’envisager le lien qui existe peut-être entre elles.

Maisons d’un même lotissement récent

Montant de la facture énergétique annuelle ( € )

2000 2500 3000 3500 4000 85 x y

Surface habitable (m2) 95105115125

a) Quelle est la population, c’est-à-dire l’ensemble sur lequel porte l’étude ?

b) Quelles sont les variables statistiques de cette série ?

Variable représentée sur l’axe x :

Variable représentée sur l’axe y :

c) Existe-t-il une relation entre ces deux variables ? Justifie.

d) La démarche qui suit va te permettre de trouver une fonction f du premier degré, dont le graphique va approcher au mieux le nuage de points.

(1) Place les points suivants dans le repère.

A1 (80 ; 2100) A2 (80 ; 2300) A3 (80 ; 2700) B1 (130 ; 3100) B2 (130 ; 3500) B3 (130 ; 3800)

(2) Choisis un point A (parmi A1, A2 et A3) et un point B (parmi B1, B2 et B3) de telle sorte que la droite passant par ceux-ci approche le plus possible le nuage de points. Trace cette droite. Il s’agit du graphique de la fonction f.

(3) Détermine l’expression algébrique de la fonction f.

Fonction du premier degré

e) Utilise la fonction trouvée pour répondre aux questions suivantes.

(1) Les parents de Benoit envisagent d’acheter, dans ce lotissement, une maison dont la surface habitable est de 97 m². Calcule une estimation de leur facture énergétique annuelle.

(2) Les parents de Mélodie souhaitent aussi acheter une maison dans ce lotissement. Toutefois, ils ne désirent pas dépenser plus de 3500 € annuellement pour leur consommation d’énergie. Quelle surface habitable maximale peuvent-ils envisager d’acheter ?

2 Une société a mené une étude concernant le temps d’attente moyen à son call center. Pour cela, elle a relevé, à plusieurs moments, le nombre de téléphonistes effectivement occupés et le temps d’attente moyen en secondes des clients. Voici son relevé.

xNombre de téléphonistes86546710358

yTemps d’attente (s) 58831141279562281388959

a) Représente le nuage de points dans le repère cartésien ci-contre.

b) Trace une droite qui approche le plus possible le nuage.

c) Détermine graphiquement le nombre de téléphonistes nécessaires pour obtenir un temps d’accueil nul.

40 60 80 100 120 140 160 180

0 1 20 x y

Temps d’attente (s)

23 456789 10111213

Nombre de téléphonistes

d) Détermine l’expression algébrique de la fonction f dont tu viens de tracer le graphique, exprimant le temps d’attente (en s) en fonction du nombre de téléphonistes. Pour cela, choisis deux points, si possible de coordonnées entières, du graphique de la fonction.

e) Vérifie ta réponse à la question c).

f) Calcule le temps d’attente si deux téléphonistes sont présents.

Ajustement linéaire

A. Série statistique double – Ajustement linéaire

EditionsVANIN

En statistique, si on étudie deux variables, appelées x et y, d’une même population, on étudie une série statistique double

Lorsque les variables sont quantitatives, à chaque individu correspond un couple de valeurs (x ; y).

Une série statistique à deux variables x et y est représentée dans un repère cartésien par tous les points de coordonnées (x ; y); l’ensemble de ces points forme un nuage de points

Si les deux variables ont une influence l’une sur l’autre, alors il existe une corrélation entre celles-ci.

Lorsqu’il y a une corrélation linéaire entre deux variables, celle-ci se traduit par un nuage de points qui s’approchent d’une droite

Fonction du premier degré

Fonction du premier degré

Exemple : On a relevé la taille en cm (x) et la masse en kg (y) de neuf filles âgées de 6 à 9 ans d’un club de gymnastique.

Tableau à deux variables

x115115117120120125126128128 y192020212222252528

y

Taille (cm) Masse (kg)

10 15 20 25 30 115 0 5 x

Nuage de points 120 125130

B. Comment déterminer l’expression algébrique d’une fonction dont le graphique approxime un nuage de points ?

On représente l’ensemble des points du nuage.

On trace « à vue » une droite, appelée droite d’ajustement, graphique d’une fonction f du premier degré, qui approche le plus possible le nuage.

On marque deux points A et B de cette droite et on lit leurs coordonnées.

A l'aide de celles-ci, on recherche l’expression algébrique de la fonction f.

Exemple

x115115117120120125126128128

Masse (kg)

10 15 20 25 30 115

A(112 ; 18)

y192020212222252528 120 125 130

B(130 ; 27)

Taille (cm)

0 5 x y

Recherche de l’expression algébrique de la fonction dont le graphique approxime le nuage de points

A (112 ; 18)

Recherche de

G

et B (130 ; 27)

Recherche de p

A (112 ; 18)

112

2

C. Utilité de l’ajustement linéaire

Exemples

Masse d’une athlète de 122 cm x= 122 fi y=0,5 122 –38 =61–38 =23

Elle devrait peser 23 kg.

18=0,5

112+p 18=56+p p=–38

Lorsqu’il y a une corrélation linéaire entre deux variables, l’expression algébrique de la fonction, dont le graphique est la droite d’ajustement, permet d’extrapoler une des variables si l’autre est connue

Taille d’une athlète de 30 kg y= 30 fi 30 =0,5x–38 30+38=0,5x 68=0,5x x=68:0,5 x=136

Elle devrait mesurer 136 cm.

Exercices

1 Pour chacun des nuages de points ci-dessous, trace une droite qui l'approxime. Détermine ensuite l’expression algébrique de la fonction dont le graphique est cette droite.

150 100 200 y 10 20 300 20 40 60 80 y

102030

2 Voici les relevés météorologiques réalisés à Bruxelles durant une année complète. Ils concernent les moyennes mensuelles des températures maximales et le nombre d’heures d’ensoleillement. (Source : http://www.climatedata.eu/)

x

Moyenne des températures max en °C 66101318202223191497

y Nombre d'heures d'ensoleillement 52761061511931801921961391136541

a) Représente le nuage de points dans le repère ci-contre.

b) Trace une droite d qui approxime ce nuage et détermine l’expression algébrique de la fonction f dont le graphique est cette droite.

yNombre d'heures d'ensoleillement

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 20 8121620242804 x

Moyenne des températures (°C)

c) À la fin du mois écoulé, Benoit a calculé que la moyenne des températures maximales était de 16 °C. Estime, à l’aide de l’expression algébrique de la fonction, le nombre d’heures de soleil qu’on a pu avoir durant ce mois.

Fonction

3 Avant de débuter la commercialisation de jeunes plants de fleurs, une société a chargé un laboratoire d’étudier leur croissance. Voici le graphique de relevés réalisés sur 200 plants âgés de 30 à 150 jours.

Hauteur (cm)

0 50 100 150 5 10 15 20 25 30 35

Âge (jours) y

a) Trace une droite qui approxime ce nuage et détermine l’expression algébrique de la fonction dont le graphique est cette droite.

b) Afin d’informer les futurs consommateurs, la société souhaite fournir sur l’emballage les données suivantes (1) la hauteur d’un plant âgé de 120 jours, (2) le temps nécessaire pour obtenir un plant de 30 cm. Utilise l’expression algébrique de la fonction pour déterminer ces informations.

Fonction

Activité 10 • Fonction f : x Æ y = a x

1

a) (1) Chaque segment dessiné ci-dessous est un côté d’un rectangle de 12 cm2 d’aire. Dessine ces rectangles de façon à ce qu’ils ne se chevauchent pas et sur chacun d’eux, indique les mesures de leurs côtés.

(2) Si x représente la mesure du côté donné et y celle du côté que tu as recherché, complète le tableau avec les valeurs correspondantes aux rectangles tracés ci-dessus.

x y

Le tableau que tu viens de compléter est-il un tableau de proportionnalité directe ? Explique.

(3) Quelle relation peux-tu établir entre les deux grandeurs x et y ?

(4) Donne l’expression algébrique de la fonction f permettant de calculer y en fonction de x.

Dans la situation concrète présentée ci-dessus, quelles sont les différentes valeurs qu’aurait pu prendre la variable x ?

Fonction

b) Étude de la fonction f dans son contexte purement mathématique

(1) À l’aide de ta calculatrice ou d’un tableur, complète le tableau de valeurs proposé ci-dessous pour la fonction f.

2

(2) Quel est le seul nombre réel qui n’a pas d’image par cette fonction ?

Pourquoi ce réel n’a-t-il pas d’image par la fonction f ?

(3) Trace le graphique de la fonction f dans le repère ci-dessous.

0x y

2

Fonction du premier degré

(4) Complète l’étude de la fonction f. dom f = im f = Zéro : Ordonnée à l’origine :

Tableau de signes

Tableau de variation x x y y

(5) Le graphique de la fonction f admet-il un axe de symétrie ? Si oui, lequel ?

Le graphique de la fonction f admet-il un centre de symétrie ? Si oui, lequel ?

a) Colorie en vert, dans le repère cartésien ci-contre, les points marqués dont le produit des coordonnées vaut –2.

b) Complète le tableau ci-dessous avec les coordonnées des points coloriés.

x y x y 1 1 0x y

EditionsVANIN

c) Quelle relation peux-tu établir entre l’abscisse (x) et l’ordonnée (y) de chacun des points coloriés ?

d) Donne l’expression algébrique de la fonction f permettant de calculer l’ordonnée des points (y) en fonction de leur abscisse (x).

e) Trace le graphique de la fonction f dans le même repère.

f) Quel est le seul nombre réel qui n’a pas d’image par cette fonction ?

Pourquoi ce réel n’a-t-il pas d’image par la fonction f ?

g) Complète l’étude de la fonction f. dom f = im f = Zéro : Ordonnée à l’origine :

Tableau de signes Tableau de variation x x y y

h) Le graphique de la fonction f admet-il un axe de symétrie ? Si oui, lequel ?

Le graphique de la fonction f admet-il un centre de symétrie ? Si oui, lequel ?

Fonction f : x Æ y = a x

A. Graphique de la fonction f : x Æ y = a x

Le graphique de la fonction f : x Æ y = a x (a ≠ 0) est une hyperbole

Propriétés : Le domaine et l’ensemble image de la fonction sont R0. dom f = R0 im f = R0

La fonction f n’admet ni zéro, ni ordonnée à l’origine.

Le graphique admet l’origine du repère (0 ; 0) comme centre de symétrie.

Exemples:f:x Æ y= 2 x f:x Æ y= –3 x 0 1 1 2 x y 0 1 1 –3 x y

B. Grandeurs inversement proportionnelles

Deux grandeurs inversement proportionnelles sont deux grandeurs telles que si l’une est multipliée (divisée) par un nombre, alors l’autre est divisée (multipliée) par le même nombre. L’expression algébrique d’une fonction traduisant une relation de proportionnalité inverse est de la forme f :

(a ≠ 0)

Exemple

Hauteur (y) d’un triangle de 2 cm2 d’aire en en fonction de la mesure x de sa base.

Exercices

1 Parmi les expressions algébriques des fonctions suivantes, souligne celles qui traduisent une proportionnalité directe et entoure celles qui correspondent à une proportionnalité inverse. f1 :

= 6 x f2 : x

y = 5x + 3

4x

f4

= 12x f5 :

= –2 x

–3x f7 :

=

3 f8 : x

y = 3 x2

2 Dans chaque cas, l’énoncé peut être traduit par une fonction. Complète le tableau avec les valeurs proposées. Déduis-en l’expression algébrique de la fonction.

a) Le prix à payer par personne en fonction du nombre de voyageurs pour la location d’un bus dont le forfait s’élève à 80 €

Nombre de voyageurs x14104080

Prix par personne y

f : x Æ y =

b) Le prix de revient par kilomètre d’une paire de chaussures d’un joggeur achetée 50 € en fonction du nombre de kilomètres parcourus.

Nombre de kilomètres x102550200500

Prix de revient par kilomètre y

Fonction du premier

3 Lorsque c’est possible, place une croix dans la colonne correspondante.

Proportionnalité

Énoncé

Le montant à payer en fonction du nombre de photocopies réalisées à 0,03 € / pièce

La longueur d’un rectangle de 12 cm2 d’aire en fonction de sa largeur

La longueur d’un cercle en fonction de son rayon

La vitesse moyenne d’une automobile qui parcourt 100 km en fonction du temps de parcours

Le prix à payer en fonction du nombre d’entrées au cinéma

Le prix d’un livre en fonction du nombre de pages

Oui Non DirecteInverse

4 Complète le tableau de valeurs de chacune des fonctions proposées. Ensuite, trace leur graphique après avoir, si nécessaire, recherché quelques points supplémentaires.

Complète l’étude de chaque fonction.

Vérifie tes réponses à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un logiciel.

124

à l’origine

de signes

dom f = im f =

Zéro : Ordonnée à l’origine : Tableau de signes

Tableau de variation

5 Au cours de sciences, Marie affirme : « Un kilogramme de plumes pèse autant qu’un kilogramme de titane. Mais, le volume occupé par les plumes est beaucoup plus important que celui occupé par le titane. » Au laboratoire, les élèves de sa classe décident de rechercher la masse volumique, exprimée en g par cm3, de différents matériaux. Celle-ci se calcule en divisant la masse (en g) par le volume (en cm3). Les élèves ont à leur disposition des échantillons de 10 grammes des différents matériaux. Afin de calculer leur masse volumique, ils ont déterminé leur volume. Voici leurs résultats.

Matériau

Craie

a) Complète le tableau en calculant, à 0,1 près, la masse volumique y en fonction du volume x. Rappelle-toi que la masse de chaque échantillon est de 10 grammes. x1,11,31,43,746,38 y

b) Écris l’expression algébrique de la fonction associée à ce tableau de valeurs.

Fonction du

c) Les grandeurs sont-elles directement proportionnelles ?

d) Construis le graphique de cette fonction et repère les points qui correspondent aux matériaux rencontrés dans l’expérience.

6

e) Détermine, à l’aide du graphique, le volume de 10 g de titane dont la masse volumique est de 4,5 g/cm3

Pour calculer la vitesse moyenne d’un mobile, on divise l’espace parcouru (e) par le temps mis pour le parcourir (t). Lors d’une expérience, un mobile parcourt 20 mètres.

a) Complète la formule qui permet de calculer la vitesse de ce mobile en fonction du temps.

v =

b) Dans le repère cartésien ci-contre, trace le graphique de cette fonction pour des valeurs de t strictement positives.

t (s)

v (m/s)

v(m/s)

10 200 10 20

Exercices supplémentaires

1 Un copain de Laurent lui demande quelle formule d’abonnement il utilise pour son GSM. Laurent a oublié la formule d’abonnement que ses parents ont choisie pour lui. Mais, il se souvient que cet abonnement comprend un montant fixe et un montant proportionnel à la durée de connexion. Il dispose des trois derniers relevés mensuels.

Mars Avril Mai

Temps (min) 60 120 90

Prix (€) 21 27 24

a) Sachant qu’au mois de juin, Laurent a téléphoné pendant une durée de 72 minutes, calcule le montant de sa facture.

b) Sachant que Laurent est parti en vacances pendant tout le mois de juillet et qu’il a oublié son GSM chez lui, détermine le montant de la facture de ce mois.

2 Au matin du 1er mars 2015, une entreprise possède un stock de 24 500 pièces identiques. Chaque jour, l’entreprise utilise 700 de ces pièces et, pour éviter la rupture de stock, elle passe commande lorsque celui-ci atteint le seuil de 4200 pièces.

a) Détermine l’expression algébrique de la fonction montrant l’évolution du stock pendant le mois de mars.

b) Calcule le stock après 5 jours, 10 jours et 20 jours de travail.

c) À quelle date, l’entreprise devra-t-elle commander de nouvelles pièces ?

d) Sachant que la commande de 10 000 nouvelles pièces est livrée 5 jours après celle-ci, détermine l’expression algébrique de la fonction montrant l’évolution du stock jusqu’à épuisement si l’entreprise ne passe plus de nouvelle commande.

3 Un commerçant décide de liquider ses stocks et propose une vente en ligne sur un site web. Pour connaître le prix à payer, les clients doivent utiliser le graphique de la fonction f ci-contre, sur lequel, à chaque prix initial correspond un nouveau prix, frais d'envoi inclus.

Avant cette liquidation, Benoit avait repéré un smatphone qui coûtait 180 €. Détermine le nouveau prix de celui-ci.

yPrix pour liquidation (€

Prix initial (€

4 Les points A (3 ; 7) et B (–1 ; –3) appartiennent au graphique d’une fonction du premier degré f. Détermine le zéro et l’ordonnée à l’origine de celle-ci.

5 Vérifie graphiquement et algébriquement que les points A (1 ; –1), B (–2 ; –3) et C (4 ; 1) sont alignés.

6 Vérifie graphiquement et algébriquement que les points A (–1 ; 3), B (3 ; 1), C (2 ; –3) et D (–2 ; –1) forment un parallélogramme ABCD.