calculer construire utiliser remédier
Philippe Ancia Pascal Dewaele Aline Want
Géomét rie Calc u calculer construire
u e q i r é m u l n Calcul litt é
ral ti Équa ons
Math pour Réussir – 2
expliquer
utiliiser remédier expliquer www.vanin.be ISBN 978-90-306-5821-4
538553
MPR2_Cover.indd 1
6/02/11 14:11
P h i l i p p e An c i a Pa s c a l D e wa e l e Al i n e Wa nt
Math pour Réussir 2 Auteurs :
Philippe Ancia Pascal Dewaele Aline Want
Couverture : Isobel Head Mise en page : Isobel Head
Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi.
L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur.
© Éditions VAN IN, Louvain-la-Neuve – Wommelgem, 2011
Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 1re édition, 1re réimpression : 2011 ISBN 978-90-306-5821-4 D/2011/0078/1021 Art. 538553/02
Nom : ................................................. Table de s m a t i è r e s Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S e c t i o n 1 Calcul numérique dans Z Fiche 1.1
R appel du calcul de 1 r e année
5
Fiche 1.2
Codage et décodage
7
Fiche 1.3
Règles de priorité des opérations
11
Fiche 1.4
Propriétés des puissances
14
Fiche 1.5
Puissances de 10 et notation scientifique
16
IN
S e c t i o n 2 Calcul littéral R éduction de sommes et de produits
Fiche 2.2
Distributivités
Fiche 2.3
Propriétés des puissances
Fiche 2.4
Mise en évidence
Fiche 2.5
Produits remarquables
Fiche 2.6
Factorisation et produits remarquables
VA
N
Fiche 2.1
19 22 26 31 33 37
S e c t i o n 3 Fractions numériques
Valeurs approchées d’une fraction
39
Fiche 3.2
É galité de deux fractions
41
Fiche 3.3
Comparaison de deux fractions
43
Fiche 3.4
Simplification de fractions numériques
45
Fiche 3.5
Addition de fractions numériques
46
Fiche 3.6
Multiplication de fractions numériques
48
Fiche 3.7
Puissances de fractions numériques
50
Symétriques d’une fraction numérique
51
Division par une fraction numérique
52
Opérations sur les fractions numériques – Synthèse
54
on
Ed
Fiche 3.9
iti
Fiche 3.8
s
Fiche 3.1
Fiche 3.10
S e c t i o n 4 Fractions littérales Fiche 4.1
Simplification de fractions littérales
59
Fiche 4.2
Opérations sur les fractions littérales
61
Table des matières
3
Nom : ................................................. Table de s m a t i è r e s Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S e c t i o n 5 É quations Introduction aux équations
65
Fiche 5.2
R ésolution d’équations él émentaires
66
Fiche 5.3
R ésolution d’équations du type ax + b = c
71
Fiche 5.4
R ésolution d’équations du type ax + b = cx + d
73
Fiche 5.5
R ésolution d’équations « complexes »
75
Fiche 5.6
Équations et proportions
77
Fiche 5.7
Équations : exercices de synthèse
80
Fiche 5.8
Problèmes et équations
IN
Fiche 5.1
S e c t i o n 6 D iviseurs – Multiple s
Fiche 6.2
É criture algébrique de nombres
Fiche 6.3
PGCD de deux nombres
Fiche 6.4
PPCM de deux nombres
Fiche 6.5
PGCD et PPCM de deux n ombres (synthèse)
VA
s
S e c t i o n 7 Géométrie
N
Division euclidienne
87 90 94 97 1 00
Angles particuliers
Fiche 7.2
Somme des amplitudes des angles d’un triangle, d’un quadrilatère
1 08
Fiche 7.3
Axes et centres de symétrie
1 12
Fiche 7.4
Lieux géométriques
1 15
Fiche 7.5
Inégalité triangulaire
1 20
Constructions à l’économie
1 23
Propriétés des diagonales des quadrilatères
1 27
Fiche 7.7
iti
Fiche 7.6
on
Fiche 7.1
Ed
4
Fiche 6.1
83
Table des matières
1 03
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 3 • F r a c t i o n s n u m é r i q u e s F i c h e 3 . 1 Va l e u rs a p p ro chées d’une fraction 1 ) En c a d r e m e nt d ’une fraction à l’unité Place les fractions suivantes sur la droite graduée et encadre-les par deux entiers consécutifs.
•
•
•
•
•
•
–3 1 < 2 –3 < < 4
<
•
•
•
•
–2
•
–3 4
•
•
•
–1
•
•
5 2 •
•
•
0
<
–3 < 2
<
5 < 2
–5 2 •
•
•
1
•
•
•
•
2
•
•
<
a < –2 b
–4 <
a < b
7 < 4 –5 < < 2
39
<
a < –9 b
–9 < 2
<
21 < 4
43 < 7
–45 < < 6
Complète les encadrements par deux entiers consécutifs. 7 < 2
–17 < < 3
<
s
<
on
<
iti
2 ) Va l e u r s a p p ro chées d ’une fraction positive
Ed
Une fraction peut être encadrée par des valeurs approchées (V.A.). On distingue : – les valeurs approchées par défaut (V.A.D.) plus petites que la fraction et – les valeurs approchées par excès (V.A.E.) plus grandes que la fraction. 22 Exemple : = 3,142 857 14… 7
22 < 4 7 22 3,1 < < 3,2 7 22 3,14 < < 3,15 7 22 3,142 < < 3,143 7 3
V.A.D. de
<
•
<
Complète les encadrements par des entiers consécutifs.
•
3
IN
•
7 4
VA
–3 2
N
1 2
3 et 4 sont les V.A. à l’unité près. 3,1 et 3,2 sont les V.A. au dixième près. 3,14 et 3,15 sont les V.A. au centième près. 3,142 et 3,143 sont les V.A. au millième près.
22 22 V.A.E. de 7 7
Section 3 • Fractions numériques
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Donne les encadrements successifs (unité, dixième, centième, millième) des fractions proposées. 9 = 1, 285 714 28… 7 9 < < 7
54 = 4,153 846 15… 13 54 < < 13
9 < 7
<
54 < 13
<
9 < 7
<
54 < 13
<
9 < 7
<
54 < 13
IN
<
Donne les valeurs approchées demandées. 4 = 0,571 428 57… 7 V.A.D. de x à l’unité près V.A.D. de x à 0,01 près
V.A.E. de x à 0,01 près
VA
N
x=
V.A.E. de x à 0,01 près
V.A.D. de x à 0,001 près
3) Va l e u r s a p p ro chées d ’une fraction négative
s
La recherche des valeurs approchées d’un nombre négatif est basée sur la propriété suivante : si a < x < b, alors –b < –x < –a –x x
on
• •
Exemple : si 1 < x < 2, alors –2 < –x < –1
–2
•
–1
•
0
•
1
• •
iti
Complète les implications par les valeurs approchées adéquates. 3 < a < 4
⇒
< –a <
2,1 < a < 2,2 ⇒
3,12 < a < 3,13 ⇒
Ed
40
37 = 3,083 333 33… 12 V.A.E. de x à l’unité près
x=
7 < a <
⇒
< –a <
< –a <
< a < 4,8 ⇒
< –a <
< –a <
< a < 3,35 ⇒
< –a <
Donne les valeurs approchées demandées. x=
24 = 1,846 153 8… 13
–x = –
24 = –1,846 153 8… 13
V.A.D. de x à l’unité près
V.A.D. de –x à l’unité près
V.A.D. de x à 0,01 près
V.A.D. de –x à 0,01 près
V.A.E. de x à 0,01 près
V.A.E. de –x à 0,01 près
V.A.E. de x à 0,001 près
V.A.E. de –x à 0,001 près
Section 3 • Fractions numériques
2
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 2 Ég a l i t é d e d e ux fractions 1 ) S i g n e d ’ u n e fraction
Entoure les fractions négatives. 1 –3 3 2 2 –4
–5 –2
–
–
17 –42
–
–3 –2
N
2 ) C r i t è r e s d ’ égalité de deux fractions
5 2
IN
Une fraction est positive si ses deux termes sont de même signe. Une fraction est négative si ses deux termes sont de signes différents. 3 –5 –3 2 Exemples : Fractions positives : , , Fractions négatives : 4 –7 4 –5 7 Remarque : La fraction – est l’opposé d’une fraction positive, elle est donc négative. 5
VA
Deux fractions sont égales si elles représentent le même nombre décimal. 3 75 3 75 = car = 0,75 et = 0,75 4 100 4 100 Deux fractions sont égales si leur forme irréductible est la même. 6 9 6 9 3 3 et = car = = 8 12 8 12 4 4
on
s
Deux fractions sont égales si, en multipliant les deux termes de l’une par un même nombre entier non nul, on obtient les deux termes de l’autre. 6 18 18 6.3 = = car 8 24 24 8.3
iti
Deux fractions sont égales si, en les réduisant au même dénominateur, elles ont même numérateur. 6 9 6 9 18 18 et = car = = 8 12 8 12 24 24
Ed
Deux fractions sont égales si les produits obtenus en multipliant le numérateur de l’une par le dénominateur de l’autre sont égaux. 9 6 = car 6 . 12 = 9 . 8 12 8
Complète par = ou ≠ et justifie numériquement en utilisant à chaque exercice une règle différente. 4 3
8 car 6
10 12
5 car 8
35 21
10 car 6
73 100
3 car 4
5 6
3 car 4
Section 3 • Fractions numériques
41
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complète les égalités suivantes.
11 = 18 6
–6 = 20 30
–9 6 = 12
24 18 = 4
–4 48 =– 7
4 –12 = 7
18 = 10 4
12 = 25 –125
–4 = 60 16
3 =– 20 5
3 ) Re c h e r c h e d ’un nombre inconnu fraction fraction fraction fraction
est est est est
nulle si son numérateur est nul. égale à 1 si son numérateur est égal à son dénominateur. égale à –1 si son numérateur est égal à l’opposé de son dénominateur. égale à son numérateur si son dénominateur est 1.
IN
Une Une Une Une
En utilisant les phrases ci-dessus, détermine l’entier que représente le nombre x. x = 0 ⇒x = 3
–4 = –1 ⇒ x = x
–x = 1 ⇒x = 3
–9 = 1 ⇒x = x
x = –1 ⇒ x = 8
–x = 0 ⇒x = 5
7 = –1 ⇒ x = –x
VA
N
En utilisant les phrases ci-dessus, détermine l’entier que représente le nombre x. Attention, ton raisonnement doit comprendre 2 ou 3 étapes comme le montrent les exemples.
3x – 6 = 1 ⇒ 3x – 6 = 3 ⇒ 3x = 9 ⇒ x = 3 3
s
x–8 = 1 ⇒ 3 x–6 = –1 ⇒ 4
on
⇒
iti
x–2 = 0 ⇒ x – 2 = 0 ⇒ x = 2 4 x+2 = 1 ⇒ ⇒ 5
⇒
2x + 8 = 0 ⇒ 3
⇒
⇒
3x – 2 = 1 ⇒ 4
⇒
⇒
5x – 1 = –1 ⇒ 6
⇒
⇒
Ed
42
x = 1 ⇒x = 7
4 ) Co n d i t i o n d ’existence d ’une fraction a Le dénominateur d’une fraction ne peut être nul. La fraction existe si b ≠ 0 b a a Exemples : existe si 3b ≠ 0 ou b ≠ 0 existe si b – 3 ≠ 0 ou b ≠ 3 3b b–3
Complète les phrases ci-dessous. 4 existe si x ≠ x
–2 existe si x ≠ 3x
5 existe si x ≠ 2x – 6
4 existe si x ≠ –5x
–5 existe si x ≠ 4x + 8
1 existe si x ≠ 2–x
Section 3 • Fractions numériques
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 3 Co m p a r a i s on de deux fractions 1 ) Co m p a ra i s o n de fractions positives Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur. le même numérateur, la plus petite est celle qui a le plus grand <
3 3 < 5 4
4 car 2 < 4 5
car 5 > 4
<
6 14 18 car < 7 21 21
2 6 6 6 car < < 3 7 9 7
VA
Complète par < ou >.
IN
des dénominateurs et des numérateurs différents, il faut chercher ayant le même dénominateur ou le même numérateur, puis les
N
Si deux fractions ont dénominateur. 2 Exemples : 5 Si deux fractions ont des fractions égales comparer. 2 Exemples : 3
3 7
5 7
5 8
13 24
11 7
9 7
10 9
10 7
7 9
7 13
7 9
5 6
12 25
7 15
6 23
9 32
s
on
2) Co m p a ra i s o n de fractions négatives (cas par ticuliers) Les règles de comparaison de fractions positives restent valables si les fractions sont négatives à condition que les dénominateurs (numérateurs) identiques soient positifs. 7 7 < car –8 > –11 –8 –11
–7 –5 < car –7 < –5 9 9
iti
Exemples :
Ed
Complète par < ou > et justifie.
–3 7
–4 car 7
3 –4
3 car –7
–5 2
–3 car 2
3 –8
3 car –5
–3 5
–1 car 5
2 –5
2 car –3
Rends les dénominateurs (numérateurs) identiques positifs. Complète par < ou > et justifie.
3 –2 et p –5 5
car
–3 3 et p 2 –4
–7 –7 et p 5 6
car
5 7 et p –12 –12
Section 3 • Fractions numériques
car
car
43
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) Co m p a ra i s o n de fractions négatives et d roite graduée Pour comparer deux fractions négatives, il est parfois intéressant de les placer sur une droite graduée en repérant d’abord leurs fractions positives opposées. –3 –3 et , il suffit de placer les fractions 2 4 –3 –3 droite graduée, puis les fractions et . 2 4 –3 3 3 4 4 2
•
•
fractions
•
–2
•
–1
•
• •
0
1
•
2
–3 –3 < . 2 4
N
On obtient :
•
IN
Exemple : Pour comparer les 3 3 et sur une 2 4 –3 2
•
–17 4
•
–3 –3 4
–2
VA
•
–4
•
•
–1
•
0
•
1
–4 3
•
2
3
•
•
4
•
5
6
–17 5
–5 2
–4 3
–5 2
–2 5
–2 5
–2 7
–8 3
–5 4
on
–11 2
•
–5
s
•
–6
4 ) E xe r c i ce s d e synthèse Complète par < ou >. 3 8
–3 10
iti
–7 4 –7 4
7 –4
>
–3 4
–3 5
–3 4
–3 2
–2 3
–5 9
–7 12
7 –3
13 5
–13 4
–1 3
–1 4
–8 7
–3 4
Ed
44
Avant de compléter par < ou >, place approximativement les fractions sur la droite graduée en repérant d’abord leurs fractions positives opposées.
Range les fractions par ordre croissant (de la plus petite à la plus grande). –5 4
–3 8 <
–2 9
–3 2 <
5 7 <
3 2 <
5 9 <
–1 8 <
–9 7 <
7 4 <
–9 5 <
3 8 <
7 4 <
9 2 <
7 3 <
–7 8 <
37 11 <
Section 3 • Fractions numériques
–13 2 <
–49 15 <
–3 7 <
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 4 S i m p l i fi c a t i o n de fractions numériques 1 ) S i m p l i f i c a t i on de fractions positives Rends chaque fraction irréductible. 15 = 33
26 = 78
42 = 14
100 = 150
25 = 60
60 = 84
15 = 27
54 = 126
12 = 40
48 = 96
45 = 22
135 = 165
25 = 45
28 = 32
25 = 75
72 = 120
N
IN
VA
2) S i m p l i f i c a t i on et signe d ’une fraction
Une fraction négative peut s’écrire de plusieurs manières mais on évitera d’utiliser un dénominateur négatif. –7 7 7 peut aussi s’écrire – et on évitera l’écriture 10 10 –10
Exemple :
s
45
on
Entoure les fractions qui sont égales à … 3 7
–3 7
–3 –7
–
3 7
3 –7
–
–3 7
–5 9
5 –9
–5 9
–
5 –5 –5 – – 9 9 –9
–
15 = –23
–
Ed
iti
Simplifie les fractions en utilisant un minimum de signes négatifs. –2 = –7
–5 = –6
–
–10 = 11
3) E xe r c i ce s d e synthèse
Après en avoir déterminé le signe, rends chaque fraction irréductible.
20 = –30
10 = –25
–
–
–
21 = 27
–36 = –12
72 = –16
–30 = 45
–
–
–36 = –45
42 = –49
–16 = –20
25 = –125
–45 = –60
32 = –38
121 = –55
–
320 = –240
–150 = –420
Section 3 • Fractions numériques
–126 = –81
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 5 A d d i t i on d e fr actions numériques 1 ) So m m e d e f ractions numériques simples
Exemples :
3 5 9 10 9 + 10 19 + = + = = 2 3 6 6 6 6 –3 5 –9 10 –9 + 10 1 + = + = = 4 6 12 12 12 12
1 1 – = 4 2
–7 1 + = 8 4
–1 1 + = 3 2
VA
2 5 – = 3 6
–3 1 – = 5 10
1–
5 = 3
3 –1= 4
Effectue en réduisant d’abord les fractions au même dénominateur.
–4 7 – = 15 5
iti
15 7 – = 8 10
on
–2 7 + = 9 6
s
3 2 – = 4 5
–3 7 + = 10 15
–2 2 + = 7 3
–
3 5 – = 14 21
3 –3 + = 25 10 3–
6 = 7
–7 –2= 12
Ed
46
3 1 – = 4 2
N
Effectue mentalement.
IN
Pour additionner deux fractions, il suffit – de les simplifier, si possible ; – de les réduire au même dénominateur ; – d’additionner les nouveaux numérateurs en conservant le dénominateur et – de simplifier, si possible, la fraction ainsi obtenue.
2 ) So m m e d e f ractions numériques et problème de signe Avant de réduire les fractions au même dénominateur, il faut simplifier au maximum les fractions de l’énoncé et rendre les dénominateurs positifs. Exemples :
5 –5 –5 5 – = + –6 8 6 8
=
–20 15 –20 + 15 –5 + = = 24 24 24 24
–10 35 2 7 8 21 8 – 21 –13 + = – = – = = –15 –20 3 4 12 12 12 12
Section 3 • Fractions numériques
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
–4 –7 + = –5 25
15 3 – = 14 –21
1 –7 – = –10 25
–
30 10 – = –50 14
–
3 –6 + = 18 –27
–
3 6 – = –5 –12
N
–3 –9 + = –8 10
VA
3 –7 – = –5 3
IN
Simplifie les fractions (signes y compris), réduis-les au même dénominateur et additionne-les.
3) Va l e u r s n u mériques
a+d=
b+c=
–c – b =
b–d=
d–a=
–d + c =
Ed
iti
on
s
Calcule la valeur numérique des expressions ci-dessous si tu sais que 5 –1 3 –1 a= ,b= ,c= , et d = 6 4 8 9
4 ) N o m b r e s d écimaux et fractions
Calcule le plus simplement possible en utilisant des nombres décimaux ou des fractions.
3 – 0,5 = 4 –0,72 +
3 = 4
1 – 0,3 = 3
5 = 2
0,25 –
–2 + 0,75 = 7
–2,25 –
–4 = 9
Section 3 • Fractions numériques
47
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 6 M ul t i p l i c a t i on de fractions numériques 1 ) P ro d u i t d e f ractions numériques simples
Effectue mentalement. –4 –3 . = 5 2
–1 –1 . = 3 2
–4 –1 . = 3 3
–2 2 . = 5 5
N
10 –1 . = 7 5
3.
–5 = 7
–3 . (–2) = 5
VA
Effectue en écrivant d’abord le produit des numérateurs et des dénominateurs, puis en simplifiant la fraction ainsi obtenue.
iti
–4 6 . = 9 –5
on
5 –12 . = 4 25
–21 –25 . = 5 24
s
3 8 . = 4 9
5 –12 . = –8 35
–8 16 . = 21 24 –5 17 . = 51 –20 3.
20 = 27
Ed
48
3 –5 . = 4 2
IN
Pour multiplier deux fractions, il suffit – de multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux et – de simplifier, si possible, avant d’effectuer les produits. 2 5 2.5 10 4 –6 4 . (/–6/) –2 –8 = Exemples : . = = . = 9/ . 5 3 7 3.7 21 9 5 15 3
2 ) P ro d u i t d e fractions numériques et pro blème de signe Dans un produit de fractions, il est conseillé de déterminer d’abord le signe avant d’effectuer. 1 –5 –7 5/ . 7 7 –5 –8 5 . 8/ 2 10 = Exemples : =– . =+ . =– 12 / . 7 3 15 3 . 15 /3 9 –12 7 21 3 –
12 –15 12 . 15 / 3 36 = . =+ 5 / . 7 5 7 7 1
–2 –9 –7 . . =– 3 5 8
Section 3 • Fractions numériques
2/ . 9/ 3 . 7 21 =– 3 / . 5 . 8 / 20 1 4 1
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effectue les produits en donnant des fractions irréductibles comme réponses finales.
–
1 –15 . = 9 22
–3 .
–8 –45 . = 27 7 –5 .
–48 25 –1 . . = 5 –28 –5
–13 –10 . .5= –5 52
–2 = –45
–1 55 . = 33 28
–3 .
IN
12 –35 . = –49 15
–35 –8 –6 . . = 24 9 25
9 –2 . = 14 –9
N
–7 25 . = –15 –21
VA
3) Va l e u r s n u mériques
b.d=
d.a=
ab =
on
iti
a.c=
bcd = –abd =
Ed
s
Calcule la valeur numérique des expressions ci-dessous si tu sais que 5 –1 3 –2 a= ,b= ,c= et d = 6 10 20 9
4 ) N o m b r e s d écimaux et fractions
Calcule le plus simplement possible en utilisant des nombres décimaux ou des fractions.
1 . 0,75 = 5 2 = 5
0,5 .
–8 . 0,125 = 5
–2 = 3
0,25 .
–2 . 0,77 = 7
0,5 .
1 = 20
Section 3 • Fractions numériques
49
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 7 P u i s s a n c e s d e fractions numériques 1 ) P u i ss a n ce d ’ une fraction Pour élever une fraction à une puissance, on élève chaque terme de la fraction à cette puissance. 5 2 52 25 –2 3 (–2)3 –8 = 2 = = = Exemples : 3 4 4 16 5 125 5
( )
( )
Effectue en écrivant le détail comme dans les exemples ci-dessus.
( ) ( )
–3 4 = 2
–4 3 = 5
5
2 3
=
( ) ( )
1 3 = –4
IN
=
–7 2 = –4
Effectue mentalement en déterminant d’abord le signe du résultat. 1 3 –4 3 –9 2 –3 4 = = = = 5 3 4 10 1 5 = –2
Complète par = ou ≠.
3
–5 –2
5
( ) ( ) –
–
2
8 5
=
( ) ( )
–1 5 = 10
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
on
–2 3
2 3 3
5 5 2
–4 7
3
–1 4
4
–
iti
( ) ( )
( ) ( )
VA
–2 2 = 7
( ) ( )
s
( ) ( )
–
4 3 7
2 3
1 4 4
–
3
(–5)3 (–2)3
=
–2 3 = –5
( ) ( )
23 3
3
5 2
( ) ( )
3
2 3
–
–1 4
3
–1 4
3
1 3 (–4)
( )
–1 6 2
2) Carré, cube, …
Ed
50
( ) ( )
2
N
–3 5
Complète les égalités.
8 = 125
( )
3
36 = 25
( )
2
–64 = 27
( )
3
–1 = 1000
( )
3
64 = 100
Complète les égalités par une puissance d’une fraction.
16 = 81
–1 = 32
–125 = 64
49 = 10 000
Section 3 • Fractions numériques
–27 = 216
( )
2
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 8 S y m é t r i q u e s d’une fraction numérique 1 ) O p p o s é et i nverse d ’une fraction
La fraction –
( )
4 4 4 4 = 0 (neutre pour l’addition) est l’opposé de la fraction car + – 5 5 5 5 5 4 4 5 est l’inverse de la fraction car . = 1 (neutre pour la multiplication) 4 5 5 4
La fraction
L’opposé de
3 est 4
car
=
L’inverse de
1 est 7
car
=
L’inverse de
5 est 3
car
=
L’opposé de
1 est 4
car
=
L’opposé de
–2 est 3
car
=
N
IN
Complète les phrases suivantes.
car
=
L’inverse de
–2 est 5
car
L’opposé de –3 est
car
=
VA =
Complète le tableau par des fractions.
–5
1 3
0
1
3
–1 4
7 9 3 2
Ed
–1 3 5 3
iti
–a 1 a
–2 7
s
5 3
on
a
L’inverse de 2 est
–2 7
–1 4
2) O p p o s é et i nverse d ’un nombre décimal
En suivant l’exemple proposé, complète les phrases. 6 , 10
0,6 =
0,75 =
, son opposé vaut
2,5 =
, son opposé vaut
–0,3 =
, son opposé vaut
–2,7 =
, son opposé vaut
son opposé vaut
–6 10
= –0,6 et son inverse vaut
10 = 1,6666… 6
=
et son inverse vaut
=
=
et son inverse vaut
=
=
et son inverse vaut
=
=
et son inverse vaut
=
Section 3 • Fractions numériques
51
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 9 D iv i s i o n p a r u ne fraction numérique 1 ) Q u ot i e n t d e deux fractions numériques Pour diviser une fraction par une fraction (non nulle), il suffit de multiplier la première par l’inverse de la seconde. Exemples : 2 8 –12 8 –5 8/ . (–5) –10 = : = . = 7 5 7 12 7 . 12 / 3 21
:p.
:p.
IN
5 2 5 7 5.7 35 : = . = = 9 7 9 2 9.2 18
5 –8 : = 27 36
VA
3 7 : = 4 5 –5 4 : = 2 3
–1 –4 : = 27 9
on
–14 –21 : = 15 25
s
–8 6 : = 9 5
–5 –15 : = –18 12
–
1 –5 : = 24 36
iti
2 ) Q u ot i e n t p ar un nombre entier
Pour éviter toute erreur, il suffit de transformer le nombre entier en une fraction. 3 15 15 35 15 1 15 / .1 3 Exemple : = = : 35 = : = . 2 2 1 2 35 2 . 35 / 7 14
Ed
52
N
Transforme le produit en quotient, puis effectue. Attention, tes réponses doivent être des fractions irréductibles.
Écris les nombres entiers sous forme de fractions, transforme les quotients en produits, puis effectue. Attention, tes réponses doivent être des fractions irréductibles. 9 :6= 8 –14 : (–21) = 25
12 :
–15 = 8
5 : (–12) = 6
Section 3 • Fractions numériques
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 ) D i f f é r e n te s écritures d ’un quotient de deux fractions
3 2 3 7 Le quotient de . On a donc par peut s’écrire 7 2 5 5 5 3 5 Le quotient de . On a donc par 8 peut s’écrire 8 3
3 2 3 7 3 5 3.5 15 = : = . = = 7 2 5 2 7 2.7 14 5 5 3 5 8 5 1 5.1 5 = : = . = = 8 3 1 3 8 3.8 24
IN
Remarque : le quotient avec plusieurs barres de fractions sera appelé quotient «à étages»
VA
s
–1 2 = –7 5
on
–5 8 = 11 12
–4 9 = –12 5
9 2 3
=
9 2 = 3
iti
8 3 = 7 9
N
Transforme le quotient « à étages » en quotient « normal » puis calcule.
Ed
4 ) Va l e u r s n u mériques de quotient
Calcule la valeur numérique des expressions ci-dessous si tu sais que 5 –1 3 –1 a= ,b= ,c= et d = 6 4 8 9
a:d=
b:c=
a = c
d = a
–b = d
–c = –b
Section 3 • Fractions numériques
53
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F i c h e 3 . 1 0 Op é r a t i o n s s ur les fractions numériques - Synthèse 1 ) Re co n n a i ss ance des opérations Remplace les pointillés par le signe opératoire qui convient ( + , – , . , :).
3 4
–2 5
1 1 = 2 4 –3 3 = 4 10
3 4
1 3 = 2 8 –3 8 = 4 15
–2 5
3 4 –2 5
1 5 = 2 4 –3 –23 = 4 20
3 4
1 3 = 2 2
–2 5
–3 7 = 4 20
Entoure la bonne réponse. –2 5
1 25
0
1 –1 . = 3 3
0
–1 6
5 2 – = 2 5
–1 9
–2 9
–2 –3 : = 3 2
VA
2) C a l c u l m e n tal
–4 25
–1
4 9
0
1
21 10
–4 9
Complète chaque case du tableau avec un nombre entier ou une fraction irréductible. –2 5
2 5
–1 4
b
3 5
–2 3
2 5
a.b
3 2
–3 4
–1 10
–2 3
2 3
2 9
5
2
–1 5
3 2
on
a–b
–3
iti
a+b
1 2
s
a
Ed
54
–3 7
N
–2 10
IN
–1 –1 + = 5 5
a:b a³
b² 2a –3b
Section 3 • Fractions numériques
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 ) Sy n t h è s e Calcule.
5 1 – = 8 12
( )
–18 15 . = 5 –8
(–4)3 = 7
–4 –10 : = 5 9
–
( )
–1 2 + = 4 9
–21 –5 . = –10 12
–14 21 : = 15 25
–2 –5 + = 9 12
7 –5= 5
IN
=
1 –5 : = 24 36
N
2
=
VA
–7 9
3
–5 3
s
4 ) P r i o r i t é d e s opérations
55
On effectue par priorité les calculs entre parenthèses. On effectue dans l’ordre les puissances, les produits (quotients) et les sommes.
iti
on
Les règles de priorité vues avec les nombres naturels, puis avec les nombres entiers s’appliquent aux fractions.
À chaque étape, effectue mentalement le calcul souligné.
Ed
1 1 3 1 + . = + 2 3 4 2
=
( ) ( )
1 13 1 . –2 = . 9 5 9
(
)
(
) ( ) 2
2 –1 = 3
.
15 = 14
2
=
3
1 1 1 –1 1 +2= = . +2= . . 3 5 2 5 2 1 15 +3 . = 2 14
=
=
( )
2
25 .
3 . 5
–1 – 2 = 25 . 10
(
)
3
–2=
( )
1 3 –2 = . 3 5
Section 3 • Fractions numériques
3
=
–2=
3 . 5
=
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcule en respectant les règles de priorité. N’oublie pas de souligner les calculs prioritaires.
(
3 1 7 . – = 5 2 3 2 2 1 – : = 15 3 4
3 –2 . 5 3
1 3 – 3 2
)
2
(
)( ) (
=
)
=
1 7 –1 7 . – + 2 11 5 2 . –2 –
1 2
) )
= 3
=
on
2
=
iti
–1 3 . 2 5
3
=
3 1 2 5 . – . = 5 2 3 2
=
1 –2 4 : + 3 7 3
( (
7 1 – 3 2
IN
(
( ) ( )
N
2.
2
1 = 2
.
VA
( ) –4 3
)
s
5.
56
3 . 4
8 1 . = 3 5
2–
3 7 – 5 3
Ed
5 ) P r i o r i t é d e s opérations et parenthèses « ca chées » Certains exercices complexes semblent ne pas comporter de parenthèses et pourtant … 3 1 + 2 4 7 1 peut s’écrire – 5 2
Exemple :
(
3 1 + 2 4
)( :
7 1 – 5 2
)
avec parenthèses obligatoires.
Nous pourrons donc écrire que : 3 1 + 2 4 7 1 – 5 2
=
( (
3 1 + 2 4 7 1 – 5 2
) ( ) ( =
6 1 + 4 4 14 5 – 10 10
) )
=
7 4 9 10
=
7 10 7 . 10 / 5 35 = . = / 4 . 9 4 9 18 2
Section 3 • Fractions numériques
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Calcule en utilisant la structure prédéfinie.
1 5
=
1 3– 5 1 1 + 2 3
( (
3 2 – 5 3
+ –
( (
=
+ –
) ) ) )
=
=
.
=
. .
=
=
.
=
. .
=
=
IN
2+
Fais apparaître les parenthèses «cachées», puis calcule en utilisant les règles de priorité.
3 –1 2
=
3 +3 2 = 2 –5 . 3
VA
2 3
N
1–
–
s
) )
2
2 1 – 5 2
3
=
Ed
( (
1 1 – 5 4
on
3 4 – 2 3 = 3 –1 + 5 2
iti
6 ) Va l e u r s n u mériques
Calcule les valeurs numériques des expressions ci-dessous, si tu sais que a=
–2 3 3 –1 ,b= ,c= , et d = 3 4 2 5
ab =
–3a² =
cd =
2a + 3d =
2d³ =
–2b – 4c =
Section 3 • Fractions numériques
57
Nom : .................................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a³ + a + 1 =
a² – 3a – 5=
b3 : 2d =
IN
a.b = c.d
VA
a . c2 = a2 . b
on iti
a+b = c+d
s
1+b = 1–d
Ed
58
N
c–b = a.d
2c – d = 3a + d
5a + 2d = 2b – 3c
c 2 – b2 = a 3 . b3
Section 3 • Fractions numériques