Math pour réussir 3e année - Extrait by VAN IN

2e édition

Philippe ANCIA Audrey CHAIDRON Pascal DEWAELE Aline WANT

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ISBN 978-90-306-9249-2 590704

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Math pour réussir 3

POUR RÉUSSIR

2e édition

Philippe ANCIA Audrey CHAIDRON Pascal DEWAELE Aline WANT

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POUR RÃ&#x2030;USSIR

Auteurs :

Philippe Ancia Audrey Chaidron Pascal Dewaele Aline Want

Pour l’élève : 1 cahier Pour l’enseignant : 1 corrigé digital imprimable Couverture : Graphisme : Mise en page :

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Section 4 Fiche 4.1 Fiche 4.2 Fiche 4.3 Fiche 4.4

Section 5 Fiche 5.1 Fiche 5.2 Fiche 5.3

Section 6

Théorème de Thalès

Énoncé et illustrations du théorème de Thalès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Application du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Thalès ou les triangles semblables ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Applications concrètes du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Théorème de Pythagore

Énoncé et applications du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Réciproque du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Pythagore et sa réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Radicaux

Encadrement de radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Simplification de radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Somme et différence de radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Produit et quotient de radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Radicaux – Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Fiche 6.1 Fiche 6.2 Fiche 6.3 Fiche 6.4 Fiche 6.5

Cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Triangles semblables – Recherche de mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Triangles semblables – Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Fiche 3.1 Fiche 3.2 Fiche 3.3

Figures semblables

Section 3

Cas d’isométrie des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Fiche 2.1

Triangles isométriques

Section 2

Équations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Équations avec parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Équations complexes avec fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Fiche 1.1 Fiche 1.2 Fiche 1.3

Équations du premier degré

iti

Section 1

Table des matières

Section 7 Fiche 7.1 Fiche 7.2 Fiche 7.3

Section 8 Fiche 8.1

Section 9 Fiche 9.1 Fiche 9.2 Fiche 9.3

Puissances à exposants entiers

Puissances numériques à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Utilisation des puissances à exposants positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Utilisation des puissances à exposants négatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Angles et cercles Angles inscrits et angles au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Polynômes Sommes et produits de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Division par (x – a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Fiche 10.1 Fiche 10.2 Fiche 10.3 Fiche 10.4 Fiche 10.5

Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Factorisation et produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Factorisation et divisibilité par (x – a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Factorisation : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Factorisation et équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Section 11

Fractions algébriques Conditions d’existence d’une fraction algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Simplification de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Produit et quotient de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Somme de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Section 12

Section 13

Nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Calcul d’une longueur et d’une amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Applications concrètes des formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Résolution d’un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Parties de l’ensemble des réels

Fiche 12.1 Fiche 12.2 Fiche 12.3 Fiche 12.4

Trigonométrie

Fiche 11.1 Fiche 11.2 Fiche 11.3 Fiche 11.4

Détermination de parties de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Utilisation des parties de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Fiche 13.1 Fiche 13.2

Section 14

Fonctions du 1er degré

Graphique d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Pente d’une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Détermination de l’équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Fiche 14.1 Fiche 14.2 Fiche 14.3

Inéquations du premier degré Solutions d’une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Résolutions d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

iti

Section 15 Fiche 15.1 Fiche 15.2

Factorisation

Table des matières

Section 10

Systèmes de 2 équations du premier degré à 2 inconnues

Section 16 Fiche 16.1 Fiche 16.2 Fiche 16.3

Section 17 Fiche 17.1 Fiche 17.2 Fiche 17.3

Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Résolution algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Choix de la méthode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Démonstrations Compréhension d’un énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Démonstrations guidées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 3 • Figures semblables

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . .........................................

Section 3 : Figures semblables Fiche 3.1 Cas de similitude des triangles 1. Triangles semblables et rapport de similitude À connaître Propriété Deux figures semblables ont leurs angles homologues de même amplitude et leurs côtés homologues de longueurs proportionnelles (dans le même rapport).

Ce rapport, noté k, est le rapport de similitude.

B’

A’

A’B’ B’C’ A’C’ 3 = = = 2 AB BC AC

C’

45 mm

| A| = | A’|, | B| = | B’| et |C| = |C’| k=

39 mm

24 mm

Exemple

B 16 mm

26 mm

30 mm

1 2

Les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables. Complète l’égalité entre les rapports des longueurs (en mm) des segments homologues pour déterminer le rapport de similitude. A A’ 32 24 26 A 20 A’ 6

B C’ 12 B’

iti

B B’



C’



Les triangles ABC et DEF sont semblables. Complète l’égalité entre les rapports des longueurs (en mm) des segments homologues en connaissant le rapport de similitude. A

D 18

C 20

3 2

A =

1 3

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Astuce Pour reconnaître les côtés homologues de deux triangles semblables, rassemble les deux plus petits côtés, les deux moyens et les deux plus grands.

UAA 1 • Figures semblables

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dans les triangles suivants, repère les paires de côtés homologues. E

U S

Z X

......................

et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......................

et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......................

et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......................

et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......................

et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......................

et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 3 • Figures semblables

Nom : . . . . . . . . .........................................

Les triangles 1 et 2 sont semblables. À partir des dimensions données, détermine le rapport de similitude permettant de passer du triangle 1 au triangle 2. Triangle 1 : 28 mm – 40 mm – 20 mm

Triangle 1 : 6 cm – 9 cm – 12 cm

Triangle 2 : 50 mm – 25 mm – 35 mm

Triangle 2 : 4 cm – 6 cm – 8 cm ......................................................................................................................

À connaître

1 2

......................................................................................................................

Les triangles ABC et DEF sont semblables.

Le rapport de similitude pour passer de DEF à ABC est inférieur à 1, car ABC est une réduction de DEF.

iti

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Le rapport de similitude pour passer de ABC à DEF est supérieur à 1, car DEF est un agrandissement de ABC.

Dans chaque cas, le triangle 2 est-il un agrandissement (A) ou une réduction (R) du triangle 1 ? Ensuite, détermine le rapport de similitude.

A–R



UAA 1 • Figures semblables



Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 3 • Figures semblables

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . .........................................

2. Cas de similitude : CCC À connaître Si deux triangles ont leurs côtés homologues de longueurs proportionnelles, alors ils sont semblables. C A’B’ AB

A’C’ AC

B’C’ BC

= k fi

C’

Les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables.

A’ A

B’

|AB|

|AC|

|BC|

|A’B’|

|A’C’|

|B’C’|

Dans chaque cas, vérifie si les rapports des longueurs des segments homologues des triangles ABC et A’B’C’ sont égaux en complétant par = ou ≠. Déduis-en oui (O) ou non (N) la similitude des deux triangles. Dans l’affirmative, calcule le rapport de similitude. Recherche du rapport éventuel



O-N?

Retrouve les paires de longueurs de côtés homologues des deux triangles semblables et détermine le rapport de similitude. Triangle 1 : 15 mm, 25 mm, 20 mm Triangle 2 : 240 mm, 180 mm, 300 mm et

iti

. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rapport de similitude :

. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



En comparant les mesures (mélangées) des côtés des triangles ABC et A’B’C’, peux-tu dire si les triangles sont semblables ? Si oui, détermine le rapport de similitude. D ABC : 36 mm, 20 mm et 24 mm

D A’B’C’ : 27 mm, 18 mm et 15 mm

.....................................................................................................................................................................................................................

D ABC : 35 mm, 28 mm et 42 mm

D A’B’C : 20 mm, 22 mm et 16 mm

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

UAA 1 • Figures semblables

Section 3 • Figures semblables

Nom : . . . . . . . . .........................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Cas de similitude : AA À connaître Si deux triangles ont deux angles homologues de même amplitude, alors ils sont semblables. C

^ 

| A | = | A’|  Les triangles ABC et ^ ^  fi | B | = | B’|  A’B’C’ sont semblables.

C’ A’



B’

Trouve deux paires d’angles homologues de même amplitude et justifie ces égalités.

B C

C D B

..................

= .................. ( .......................................................................................................... )

..................

= .................. ( .......................................................................................................... )

4. Cas de similitude : CAC À connaître

Si deux triangles ont un angle de même amplitude compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles, alors ils sont semblables. ^

  Les triangles ABC et  fi A’B’ A’B’ B’C’ B’C’ = k  A’B’C’ sont semblables. === AB BC AB BC  | B | = | B’|

C’ A’

B’

Dans chaque cas, les triangles proposés ont un angle de même amplitude. Complète l’égalité qui montre que les côtés homologues qui les forment sont de longueurs proportionnelles. R X 45 A 12 V 16 30 30 Q D 18 21 P 14 12 10 6 8 Z 20 Y S U 20 B F 8 E C 24 24 30 T =

= .................. ( .......................................................................................................... )

iti

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

..................

= .................. ( .......................................................................................................... )

Triangles ABC et DEA

(ABEF est un parallélogramme et F, E et D sont alignés.)

1 2

..................

E E

= .................. ( .......................................................................................................... )

..................

Triangles ABC et DEC

= .................. ( .......................................................................................................... )

..................

Triangles ABE et DBC



UAA 1 • Figures semblables



Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 3 • Figures semblables

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . .........................................

Dans chaque cas, les triangles proposés ont un angle de même amplitude. Marque-les sur le dessin. Pour en déduire l’éventuelle similitude des deux triangles, vérifie si les longueurs des côtés homologues qui forment ces angles sont proportionnelles. A

F K

E C

Q G

M T

............................................................

semblables – non semblables

5. Exercices de synthèse

............................................................

semblables – non semblables

En utilisant les renseignements fournis par le dessin, note les égalités qui te permettent de dire que les triangles sont semblables. A A ED // CB A D

........................................

iti

........................................

C DE // BC

........................................

G D

........................................

UAA 1 • Figures semblables

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Section 3 • Figures semblables

Nom : . . . . . . . . .........................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fiche 3.2 Triangles semblables – Recherche de mesures 1. Recherche intuitive sur le dessin Détermine mentalement les mesures inconnues des triangles semblables ABC et A’B’C’. A 15 B 33 B’ 24 C’ B’ 8 .......... B C 16 B’ A’ 45 ..........

A = A’

40 36

..........

A = A’

..........

C’

..........

C’

2. Recherche par un tableau de proportionnalité (cas simples) À connaître

Le coefficient de proportionnalité est le rapport de similitude (k) entre les deux triangles.

Exemple : k = 3

x 18

5 15

4 y

x = 18 : 3 = 6 y = 4 . 3 = 12

Le rapport de similitude entre les triangles étant connu, détermine les longueurs inconnues.

iti

k=2 12

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Longueurs des côtés du 1er triangle Longueurs des côtés du 2e triangle

1 2

Synthèse :

Pour déterminer la longueur d’un côté du 1er triangle, il suffit de diviser la longueur du côté homologue du 2e triangle par le rapport de similitude.

Pour déterminer la longueur d’un côté du 2e triangle, il suffit de multiplier la longueur du côté homologue du 1er triangle par le rapport de similitude.

:2 .5

k=5

3 25

:5 .

1 4

Attention

Diviser par une fraction revient à multiplier par la fraction inverse. Exemple k= .

2 3

2 3 x = 12 : = 12 . = 18 3 2

2 3

2 3 ou . 3 2

2 3 y = 14 : = 14 . = 21 3 2

UAA 1 • Figures semblables

1 4

12 5

1 4

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 3 • Figures semblables

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . .........................................

Le rapport de similitude entre les triangles étant connu, détermine les longueurs inconnues. 3 4

3 2

........

2 5

........

À connaître Le rapport de similitude entre deux triangles se détermine en calculant le rapport entre les longueurs de deux côtés homologues (2e triangle par rapport au 1er triangle). Exemple 4 6

8 12

10 15

1er triangle 2e triangle

6 12 15 3 k= = = = 4 8 10 2

|côté 2e triangle| |côté 1er triangle|

k = ..................... 15

k = .....................

........

8 ........

7 ........

........

Astuce

Tu peux te servir des propriétés des tableaux de proportionnalité pour déterminer les longueurs inconnues. .4

Exemple

1er triangle 2e triangle

4 6

8 12

10 15

2 3

Rapport :

3 2

.2 .4

Calcule les longueurs inconnues en utilisant la propriété décrite dans le pavé ci-dessus. 8

6 10

21 56

2 5 3 4

10 14 30

20 21 15

32 20

UAA 1 • Figures semblables

1 2

k = .....................

........

iti

36 ........

k = .....................

........

k = ..................... 8

k = .....................

Détermine le rapport de similitude puis calcule les longueurs inconnues.

28 8

12 27

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

21 24

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Recherche par résolution d’équation À connaître La comparaison des longueurs des segments homologues de deux triangles semblables fournit des équations qui permettent de déterminer les mesures inconnues. Exemple Rapport des longueurs des côtés homologues A x 8 A’ A’B’ A’C’ B’C’ = = = k 21 AB AC BC 14 C B 16 C’

Recherche de x :

14 21 y 7 = = = 8 x 16 4 y 7 Recherche de y : = 16 4 4y = 112 y = 28

B’

21 7 = x 4 7x = 84 x = 12

Section 3 • Figures semblables

Nom : . . . . . . . . .........................................

..............................

15 10 y 3 = = = 25 x 16 5 ..............................

y 22 20 4 = = = 13 x 15 3

..............................

8 6 y 3 = = = x 20 18 10

..............................

Complète les égalités puis détermine x et y. Les triangles ABC et DEF sont semblables. D A 9

C 12 Recherche de x :

..............................

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

..............................

iti

..............................

1 2

Dans chaque cas, détermine les longueurs inconnues en utilisant les bons rapports. 8 16 y 2 20 25 y 5 y 8 6 2 = = = = = = = = = 12 x 15 3 x 15 18 3 35 x 21 7

15 y

Rapport des longueurs des côtés homologues |

........................................................

= =

Recherche de y :

= =

= k =

........................................................

UAA 1 • Figures semblables

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 3 • Figures semblables

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . .........................................

Fiche 3.3 Triangles semblables – Constructions 1. Observations de triangles Observe attentivement les triangles tracés et complète les égalités. Z

A Z

B Y

X |XY| = . . . . . . . . . . . . |AB|

| A | = |. . . . . . . . . . .| =. . . . . . . . . . .°

Z X

X C

|AB| =. . . . . . . . . . . . |YZ|

| C | = |. . . . . . . . . . .| =. . . . . . . . . . .°

2. Constructions de triangles semblables sur quadrillage

Dans chaque cas, achève la construction du triangle A’B’C’ semblable au triangle ABC tracé. A’ A

C’

B’

C’

A’

C’

B’

3. Constructions de triangles particuliers semblables sans quadrillage Dans chaque cas, achève la construction du triangle A’B’C’ semblable au triangle ABC tracé sans prendre de mesures sur le triangle ABC.

B’ C A A’

B C

B’

C’ A

C’

UAA 1 • Figures semblables

C’ B C

A’

1 2

B’

iti

B’

C’

A’

B’

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

A’

Section 3 • Figures semblables

Nom : . . . . . . . . .........................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Dans chaque cas, achève la construction des triangles A’B’C’et A’’B’’C’’ semblables au triangle ABC en utilisant les renseignements fournis par le dessin. A

B” C'

110°

C’

A”

B' 75°

B’

B A”

C”

4. Constructions de triangles semblables sans quadrillage

Dans chaque cas, achève la construction du triangle A’B’C’ semblable au triangle ABC sans prendre de mesures sur le triangle ABC. A A A = A’ B C A’ AC //A’C’ B = B’

A’

C’

Achève la construction des triangles A’B’C’ et A’’B’’C’’ semblables au triangle ABC en utilisant les renseignements fournis par le dessin.

1 2

A’

B”

iti

100°

A”

C’

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Construis trois triangles différents et semblables au triangle ABC en utilisant le segment tracé comme premier côté. A 50

Construis deux triangles différents et semblables au triangle ABC en utilisant le segment tracé comme premier côté.

A 40

25°

C 28

UAA 1 • Figures semblables

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 4 • Théorème de Thalès

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . .........................................

Section 4 : Théorème de Thalès Fiche 4.1 Énoncé et illustrations du théorème de Thalès À connaître 1re formulation

2e formulation

Les projections parallèles conservent le rapport des longueurs.

Des parallèles déterminent sur deux droites qui les coupent des segments homologues de longueurs proportionnelles.

Si AB // CD // EF,

A D

AC CE AE = = BD DF BF

alors

F E

1 2 3

CE DF = AE BF

AC BD = AE BF

AC BD = CE DF

alors

Si AB // CD // EF,

| AB | =

|. . . . . . . . . . . . . . | |. . . . . . . . . . . . . . |

| AB |

|. . . . . . . . . . . . . . |

iti

| BC |

En utilisant ces deux formulations, complète les égalités ci-dessous.

| SR | = | RU |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| SU |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| BC |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| UV |

| AC |

|. . . . . . . . . . . . . . |

|TU|

| AC |

| AB | = |. . . . . . . . . . . . . . |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| SR |

| YZ |

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

|. . . . . . . . . . . . . . | U

| TU | =

|VT|

|. . . . . . . . . . . . . . | |. . . . . . . . . . . . . . |

Complète les égalités de deux manières différentes en utilisant le théorème de Thalès. | TV | |. . . . . . . . . . . . . . | | PM | |. . . . . . . . . . . . . . | M T = = V |. . . . . . . . . . . . . . | | NP | |. . . . . . . . . . . . . . | | AN | U P | TV |

|. . . . . . . . . . . . . . |

|. . . . . . . . . . . . . . | | NP |

M N

| PM |

|. . . . . . . . . . . . . . |

UAA 1 • Théorème de Thalès

|. . . . . . . . . . . . . . |

| AN |

Section 4 • Théorème de Thalès

Nom : . . . . . . . . .........................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Complète les dessins pour qu’ils respectent l’égalité de rapports proposée. BA ED = BC EF

AB AC = XY XC

EX FE = DX AD

Attention

Dans le dessin ci-contre, nous pouvons également appliquer le théorème de Thalès. En effet, il s’agit de deux droites sécantes coupées par des parallèles.

Autre configuration du théorème de Thalès

2e formulation

AE AD = BE CD

AB AE BE = = AC AD CD

Fais attention lorsque tu notes les rapports, surtout pour la 2e formulation ! 1re formulation Si BC // DE,

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

BA CA = BE CD

En utilisant le théorème de Thalès, complète les égalités. | CA | = | CE |

|. . . . . . . . . . . . . . |

AB AC = AE AD

alors

iti

1 2 3

Si BC // DE,

| AC |

|. . . . . . . . . . . . . . |

D E

| AO | =

|. . . . . . . . . . . . . . |

| OD |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| AO |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| AE |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| AD |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| CE |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| OD |

|. . . . . . . . . . . . . . |

| AD |

= | AE | | CA |

= |. . . . . . . . . . . . . . |

|. . . . . . . . . . . . . . | | CD |

| AE |

= |. . . . . . . . . . . . . . |

|. . . . . . . . . . . . . . |

UAA 1 • Théorème de Thalès

| OC |

B O

|. . . . . . . . . . . . . . |

| AO |

| AD | = |. . . . . . . . . . . . . . |

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 4 • Théorème de Thalès

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . .........................................

Fiche 4.2 Application du théorème de Thalès 1. Calcul de longueurs inconnues : recherche intuitive Détermine mentalement la longueur inconnue. 3

x = ...............

y = ............... 34

z = ...............

v = ...............

x = ...............

y = ...............

z = ...............

v = ...............

2. Calcul de longueurs inconnues : recherche par résolution d’équation 1 2 3

À connaître

La recherche d'une longueur nécessite parfois la résolution d'une équation se présentant sous la forme d’une proportion (égalité entre deux rapports).

Pour résoudre cette équation, tu appliqueras la propriété fondamentale des proportions. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

iti

Exemple

Si AD // BE // CF, alors

AB = BC 12 = 32

1re formulation

2e formulation

DE EF 15 EF

AB = DE 12 = 15

12 . EF = 32 . 15

32 . 15 EF = 12 3

EF = 40

UAA 1 • Théorème de Thalès

BC EF 32 EF

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Détermine la longueur inconnue en passant par la résolution d’une équation. A

| BC |

3 4

|  |

| DF | |  |

B E 30

....................................................

|  |

....................................................

|  | |  |

....................................................

| AE | |  |

|  | |  |

| DC | B 27

....................................................

|  |

C ?

|  | |  |

....................................................

E ....................................................

|  |

....................................................

| CA |

....................................................

iti

Ed ? D

|  |

....................................................

|  |

....................................................

on C

|  |

....................................................

|  |

....................................................

| BC |

....................................................

| AB |

....................................................

|  |

....................................................

|  |

....................................................

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

....................................................

|  | 4

....................................................

|  |

| AC |

....................................................

1 2 3

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 4 • Théorème de Thalès

Nom : . . . . . . . . .........................................

UAA 1 • Théorème de Thalès

....................................................

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Section 4 • Théorème de Thalès

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . .........................................

Fiche 4.3 Thalès ou les triangles semblables ? À connaître Dans certaines configurations de Thalès, la théorie des triangles semblables permet également de calculer les longueurs de certains segments. Certains segments apparaissent dans les deux théories et d’autres sont spécifiques à l’une ou à l’autre. Les dessins ci-dessous t’aideront à mieux différencier les deux théories. Thalès (2e formulation)

Triangles semblables

B C

CE AC AE = = BD AB AD

AC BC AB = = AE DE AD

Les segments en pointillés sur les dessins et les longueurs encadrées dans les égalités sont spécifiques à chaque théorie. Détermine la longueur inconnue par résolution d’une équation en utilisant le théorème de Thalès ou la théorie sur les triangles semblables. D

|  |

E 42

iti

Ed 12

....................................................

|  |

....................................................

|  |

....................................................

|  | |  |

....................................................

C 35

....................................................

A ....................................................

|  |

....................................................

D ....................................................

UAA 1 • Théorème de Thalès

D 14

1 2 3

|  |

....................................................

|  |

....................................................

|  |

|  | |  |

....................................................

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

....................................................

Section 4 • Théorème de Thalès

Nom : . . . . . . . . .........................................

Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fiche 4.4 Applications concrètes du théorème de Thalès Le dessin ci-dessous représente un arbre et son ombre. Certaines mesures ont été prises. Détermine la hauteur totale de l’arbre au centimètre près. N.B. Nous considérons que les rayons du soleil sont parallèles. A

Données

Calculs

|  | = ..........................

..................................................................

|  | = ..........................

..................................................................

|  | = ..........................

|  | = ?

1,80 m

2,40 m

Formule |  | |  | = |  | |  |

..................................................................

Inconnue

Solution du problème :

Afin d’optimiser l’espace sous son escalier, Simon désire fabriquer une étagère. Si tu sais que la tablette [GH] doit être parallèle à [EF] et [IJ] et qu’il souhaite disposer sur la tablette [IJ] des livres d’une hauteur maximale de 30 cm, à quelle distance du point I devra-t-il fixer la tablette [GH] ?

1 2 3

Voici un croquis de l’étagère et les dimensions relevées par Simon.

iti

m 1,2

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Attention

80 cm

Données

Calculs

|  | = ..........................

..................................................................

|  | = .......................... |  | = .......................... Inconnue |  | = ?

..................................................................

Formule |  | |  | = |  | |  |

..................................................................

Convertis toutes les longueurs dans une même unité ! Solution du problème : ..................................................................................................................................................................................................................................................

UAA 1 • Théorème de Thalès