2e édition
Philippe ANCIA Audrey CHAIDRON Pascal DEWAELE Aline WANT
MATH
3
ln lc u
ISBN 978-90-306-9249-2 590704
vanin.be
Éq ua t
io
ns
Ca
al ér itt
ll
rie ét om
Gé
u lc Ca
um
ér
iq ue
Math pour réussir 3
POUR RÉUSSIR
2e édition
Philippe ANCIA Audrey CHAIDRON Pascal DEWAELE Aline WANT
MATH
POUR RÉUSSIR
3
Auteurs :
Philippe Ancia Audrey Chaidron Pascal Dewaele Aline Want
Pour l’élève : 1 cahier Pour l’enseignant : 1 corrigé digital imprimable Couverture : Graphisme : Mise en page :
Polaire Alinea Graphics Alinea Graphics
Les photocopieuses sont d’un usage très répandu et beaucoup y recourent de façon constante et machinale. Mais la production de livres ne se réalise pas aussi facilement qu’une simple photocopie. Elle demande bien plus d’énergie, de temps et d’argent. La rémunération des auteurs, et de toutes les personnes impliquées dans le processus de création et de distribution des livres, provient exclusivement de la vente de ces ouvrages. En Belgique, la loi sur le droit d’auteur protège l’activité de ces différentes personnes. Lorsqu’il copie des livres, en entier ou en partie, en dehors des exceptions définies par la loi, l’usager prive ces différentes personnes d’une part de la rémunération qui leur est due. C’est pourquoi les auteurs et les éditeurs demandent qu’aucun texte protégé ne soit copié sans une autorisation écrite préalable, en dehors des exceptions définies par la loi. L’éditeur s’est efforcé d’identifier tous les détenteurs de droits. Si, malgré cela, quelqu’un estime entrer en ligne de compte en tant qu’ayant droit, il est invité à s’adresser à l’éditeur. © Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2019 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 1re édition : 2019 ISBN 978-90-306-9249-2 D/2019/0078/226 Art. 590704/01
Section 4 Fiche 4.1 Fiche 4.2 Fiche 4.3 Fiche 4.4
Section 5 Fiche 5.1 Fiche 5.2 Fiche 5.3
Section 6
Théorème de Thalès
Énoncé et illustrations du théorème de Thalès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Application du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Thalès ou les triangles semblables ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Applications concrètes du théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Théorème de Pythagore
Énoncé et applications du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Réciproque du théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Pythagore et sa réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Radicaux
Encadrement de radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Simplification de radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Somme et différence de radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Produit et quotient de radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Radicaux – Exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Ed
Fiche 6.1 Fiche 6.2 Fiche 6.3 Fiche 6.4 Fiche 6.5
Cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Triangles semblables – Recherche de mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Triangles semblables – Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IN
Fiche 3.1 Fiche 3.2 Fiche 3.3
Figures semblables
N
Section 3
Cas d’isométrie des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
VA
Fiche 2.1
Triangles isométriques
s
Section 2
Équations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Équations avec parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Équations complexes avec fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
on
Fiche 1.1 Fiche 1.2 Fiche 1.3
Équations du premier degré
iti
Section 1
Table des matières
Table des matières
Section 7 Fiche 7.1 Fiche 7.2 Fiche 7.3
Section 8 Fiche 8.1
Section 9 Fiche 9.1 Fiche 9.2 Fiche 9.3
Puissances à exposants entiers
Puissances numériques à exposants entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Utilisation des puissances à exposants positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Utilisation des puissances à exposants négatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Angles et cercles Angles inscrits et angles au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Polynômes Sommes et produits de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Division par (x – a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
Fiche 10.1 Fiche 10.2 Fiche 10.3 Fiche 10.4 Fiche 10.5
Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Factorisation et produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Factorisation et divisibilité par (x – a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Factorisation : exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Factorisation et équations « produit nul » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Section 11
Fractions algébriques Conditions d’existence d’une fraction algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Simplification de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Produit et quotient de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Somme de fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Section 12
Section 13
N
Nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Calcul d’une longueur et d’une amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Applications concrètes des formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Résolution d’un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Parties de l’ensemble des réels
VA
Fiche 12.1 Fiche 12.2 Fiche 12.3 Fiche 12.4
Trigonométrie
IN
Fiche 11.1 Fiche 11.2 Fiche 11.3 Fiche 11.4
Détermination de parties de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Utilisation des parties de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Fiche 13.1 Fiche 13.2
Section 14
Fonctions du 1er degré
Graphique d’une fonction du 1er degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Pente d’une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Détermination de l’équation d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
s
Fiche 14.1 Fiche 14.2 Fiche 14.3
Inéquations du premier degré Solutions d’une inéquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Résolutions d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
iti
Section 15 Fiche 15.1 Fiche 15.2
Factorisation
on
Table des matières
Section 10
Systèmes de 2 équations du premier degré à 2 inconnues
Ed
Section 16 Fiche 16.1 Fiche 16.2 Fiche 16.3
Section 17 Fiche 17.1 Fiche 17.2 Fiche 17.3
4
Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Résolution algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Choix de la méthode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Démonstrations Compréhension d’un énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Justification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Démonstrations guidées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 3 • Figures semblables
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nom : . . . . . . . . .........................................
Section 3 : Figures semblables Fiche 3.1 Cas de similitude des triangles 1. Triangles semblables et rapport de similitude À connaître Propriété Deux figures semblables ont leurs angles homologues de même amplitude et leurs côtés homologues de longueurs proportionnelles (dans le même rapport).
IN
Ce rapport, noté k, est le rapport de similitude.
B’
^
^
^
^
N
^
^
A’
A’B’ B’C’ A’C’ 3 = = = 2 AB BC AC
C’
45 mm
VA
| A| = | A’|, | B| = | B’| et |C| = |C’| k=
39 mm
24 mm
Exemple
B 16 mm
26 mm
A
C
30 mm
1 2
on
s
Les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables. Complète l’égalité entre les rapports des longueurs (en mm) des segments homologues pour déterminer le rapport de similitude. A A’ 32 24 26 A 20 A’ 6
B C’ 12 B’
48
C
iti
C
13
8
=
Ed
=
=
3
10
B B’
20
=
C’
40
=
=
Les triangles ABC et DEF sont semblables. Complète l’égalité entre les rapports des longueurs (en mm) des segments homologues en connaissant le rapport de similitude. A
12
C
16
=
8
B
E
12
=
D 18
F
24
=
39
C 20
F
13
3 2
E
D
60
=
=
8
B
24
A =
1 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Astuce Pour reconnaître les côtés homologues de deux triangles semblables, rassemble les deux plus petits côtés, les deux moyens et les deux plus grands.
UAA 1 • Figures semblables
19
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans les triangles suivants, repère les paires de côtés homologues. E
D
Y
C
U S
F
Z X
B
A
T
......................
et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................
et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................
et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................
et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................
et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......................
et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IN
Section 3 • Figures semblables
Nom : . . . . . . . . .........................................
Les triangles 1 et 2 sont semblables. À partir des dimensions données, détermine le rapport de similitude permettant de passer du triangle 1 au triangle 2. Triangle 1 : 28 mm – 40 mm – 20 mm
N
Triangle 1 : 6 cm – 9 cm – 12 cm
Triangle 2 : 50 mm – 25 mm – 35 mm
VA
Triangle 2 : 4 cm – 6 cm – 8 cm ......................................................................................................................
À connaître
1 2
......................................................................................................................
Les triangles ABC et DEF sont semblables.
20
s
on
B
D
A
Le rapport de similitude pour passer de DEF à ABC est inférieur à 1, car ABC est une réduction de DEF.
F
C
iti
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Le rapport de similitude pour passer de ABC à DEF est supérieur à 1, car DEF est un agrandissement de ABC.
Dans chaque cas, le triangle 2 est-il un agrandissement (A) ou une réduction (R) du triangle 1 ? Ensuite, détermine le rapport de similitude.
Ed
3
E
A–R
A–R
25
24
12
20
18
30
16
=
45
2
1
=
=
A–R
10
1
7
2
21
15
=
2
35
=
30
=
UAA 1 • Figures semblables
10
25
1
14
35
=
=
=
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 3 • Figures semblables
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nom : . . . . . . . . .........................................
2. Cas de similitude : CCC À connaître Si deux triangles ont leurs côtés homologues de longueurs proportionnelles, alors ils sont semblables. C A’B’ AB
=
A’C’ AC
=
B’C’ BC
= k fi
C’
Les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables.
A’ A
B’
B
|AB|
|AC|
|BC|
|A’B’|
|A’C’|
|B’C’|
5
3
7
15
9
21
=
8
12
16
6
9
12
N
IN
Dans chaque cas, vérifie si les rapports des longueurs des segments homologues des triangles ABC et A’B’C’ sont égaux en complétant par = ou ≠. Déduis-en oui (O) ou non (N) la similitude des deux triangles. Dans l’affirmative, calcule le rapport de similitude. Recherche du rapport éventuel
5
3
4
10
12
15
18
8
VA
=
=
=
=
=
9
=
=
=
10
15
=
=
=
s
6
O-N?
on
Retrouve les paires de longueurs de côtés homologues des deux triangles semblables et détermine le rapport de similitude. Triangle 1 : 15 mm, 25 mm, 20 mm Triangle 2 : 240 mm, 180 mm, 300 mm et
iti
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ed
Rapport de similitude :
=
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
=
et
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
=
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En comparant les mesures (mélangées) des côtés des triangles ABC et A’B’C’, peux-tu dire si les triangles sont semblables ? Si oui, détermine le rapport de similitude. D ABC : 36 mm, 20 mm et 24 mm
D A’B’C’ : 27 mm, 18 mm et 15 mm
.....................................................................................................................................................................................................................
D ABC : 35 mm, 28 mm et 42 mm
D A’B’C : 20 mm, 22 mm et 16 mm
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
.....................................................................................................................................................................................................................
UAA 1 • Figures semblables
21
Section 3 • Figures semblables
Nom : . . . . . . . . .........................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Cas de similitude : AA À connaître Si deux triangles ont deux angles homologues de même amplitude, alors ils sont semblables. C
^
^
| A | = | A’| Les triangles ABC et ^ ^ fi | B | = | B’| A’B’C’ sont semblables.
C’ A’
A
B’
B
Trouve deux paires d’angles homologues de même amplitude et justifie ces égalités.
B C
C D B
A
..................
= .................. ( .......................................................................................................... )
..................
= .................. ( .......................................................................................................... )
4. Cas de similitude : CAC À connaître
Si deux triangles ont un angle de même amplitude compris entre des côtés homologues de longueurs proportionnelles, alors ils sont semblables. ^
^
C
Les triangles ABC et fi A’B’ A’B’ B’C’ B’C’ = k A’B’C’ sont semblables. === AB BC AB BC | B | = | B’|
C’ A’
A
B’
B
Dans chaque cas, les triangles proposés ont un angle de même amplitude. Complète l’égalité qui montre que les côtés homologues qui les forment sont de longueurs proportionnelles. R X 45 A 12 V 16 30 30 Q D 18 21 P 14 12 10 6 8 Z 20 Y S U 20 B F 8 E C 24 24 30 T =
22
= .................. ( .......................................................................................................... )
iti
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
..................
Ed
3
= .................. ( .......................................................................................................... )
Triangles ABC et DEA
C
D
(ABEF est un parallélogramme et F, E et D sont alignés.)
on
1 2
..................
E E
= .................. ( .......................................................................................................... )
VA
F
..................
Triangles ABC et DEC
B
A
= .................. ( .......................................................................................................... )
N
E
..................
s
A
Triangles ABE et DBC
IN
D
=
=
=
UAA 1 • Figures semblables
=
=
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 3 • Figures semblables
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nom : . . . . . . . . .........................................
Dans chaque cas, les triangles proposés ont un angle de même amplitude. Marque-les sur le dessin. Pour en déduire l’éventuelle similitude des deux triangles, vérifie si les longueurs des côtés homologues qui forment ces angles sont proportionnelles. A
F K
E C
D
B
J
L
Q G
H
R
M T
P
S
N
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
semblables – non semblables
semblables – non semblables
5. Exercices de synthèse
IN
............................................................
semblables – non semblables
E
VA
N
En utilisant les renseignements fournis par le dessin, note les égalités qui te permettent de dire que les triangles sont semblables. A A ED // CB A D
C
E
D
B
C
B
E
D
C
B
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
C
E
D
iti
A
on
........................................
s
........................................
D
B
A
B
A
E
F
C DE // BC
C
D
B
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
Ed
........................................
E
A
F
D
A
C
B
B
A
E
B
G D
E
C
D
F
C
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
........................................
UAA 1 • Figures semblables
1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
23
Section 3 • Figures semblables
Nom : . . . . . . . . .........................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fiche 3.2 Triangles semblables – Recherche de mesures 1. Recherche intuitive sur le dessin Détermine mentalement les mesures inconnues des triangles semblables ABC et A’B’C’. A 15 B 33 B’ 24 C’ B’ 8 .......... B C 16 B’ A’ 45 ..........
A = A’
40 36
..........
..........
B
A = A’
..........
20
C
66
C’
..........
12
C
C’
30
IN
2. Recherche par un tableau de proportionnalité (cas simples) À connaître
Le coefficient de proportionnalité est le rapport de similitude (k) entre les deux triangles.
Exemple : k = 3
24
x 18
:3
5 15
on
3
.k
4 y
x = 18 : 3 = 6 y = 4 . 3 = 12
.3
Le rapport de similitude entre les triangles étant connu, détermine les longueurs inconnues.
iti
k=2 12
.2
15
26
Ed
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Longueurs des côtés du 1er triangle Longueurs des côtés du 2e triangle
:k
s
1 2
VA
Synthèse :
Pour déterminer la longueur d’un côté du 1er triangle, il suffit de diviser la longueur du côté homologue du 2e triangle par le rapport de similitude.
N
Pour déterminer la longueur d’un côté du 2e triangle, il suffit de multiplier la longueur du côté homologue du 1er triangle par le rapport de similitude.
4
:2 .5
k=5
k=
3 25
:5 .
1 4
16
Attention
Diviser par une fraction revient à multiplier par la fraction inverse. Exemple k= .
2 3
2 3 x = 12 : = 12 . = 18 3 2
2 3
15
x
y
10
12
14
:
2 3 ou . 3 2
2 3 y = 14 : = 14 . = 21 3 2
UAA 1 • Figures semblables
1 4
12 5
:
1 4
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 3 • Figures semblables
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nom : . . . . . . . . .........................................
Le rapport de similitude entre les triangles étant connu, détermine les longueurs inconnues. 3 4
k=
k=
12
3 2
16
........
........
12
45
........
........
15
2 5
k=
18
........
........
21
12
8
À connaître Le rapport de similitude entre deux triangles se détermine en calculant le rapport entre les longueurs de deux côtés homologues (2e triangle par rapport au 1er triangle). Exemple 4 6
8 12
10 15
10
IN
1er triangle 2e triangle
6
6 12 15 3 k= = = = 4 8 10 2
|côté 2e triangle| |côté 1er triangle|
12
N
k=
8
4
15
k = ..................... 15
k = .....................
12
9
........
........
........
12
3
........
12
48
40
8 ........
9
3
7 ........
........
16
6
5
Ed
Astuce
Tu peux te servir des propriétés des tableaux de proportionnalité pour déterminer les longueurs inconnues. .4
Exemple
1er triangle 2e triangle
.2
4 6
.5
8 12
10 15
2 3
Rapport :
3 2
.5
.2 .4
Calcule les longueurs inconnues en utilisant la propriété décrite dans le pavé ci-dessus. 8
6 10
24
21 56
2 5 3 4
10 14 30
20 21 15
32 20
UAA 1 • Figures semblables
1 2
k = .....................
7
........
5
24
iti
4
36 ........
k = .....................
........
........
........
on
7
7
18
k = ..................... 8
k = .....................
s
10
VA
Détermine le rapport de similitude puis calcule les longueurs inconnues.
28 8
10
36
12 27
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
21 24
25
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Recherche par résolution d’équation À connaître La comparaison des longueurs des segments homologues de deux triangles semblables fournit des équations qui permettent de déterminer les mesures inconnues. Exemple Rapport des longueurs des côtés homologues A x 8 A’ A’B’ A’C’ B’C’ = = = k 21 AB AC BC 14 C B 16 C’
y
Recherche de x :
14 21 y 7 = = = 8 x 16 4 y 7 Recherche de y : = 16 4 4y = 112 y = 28
B’
21 7 = x 4 7x = 84 x = 12
IN
Section 3 • Figures semblables
Nom : . . . . . . . . .........................................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
15 10 y 3 = = = 25 x 16 5 ..............................
y 22 20 4 = = = 13 x 15 3
..............................
..............................
8 6 y 3 = = = x 20 18 10
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
..............................
Complète les égalités puis détermine x et y. Les triangles ABC et DEF sont semblables. D A 9
25
x
C 12 Recherche de x :
26
s
..............................
on
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
..............................
iti
3
..............................
Ed
1 2
VA
N
Dans chaque cas, détermine les longueurs inconnues en utilisant les bons rapports. 8 16 y 2 20 25 y 5 y 8 6 2 = = = = = = = = = 12 x 15 3 x 15 18 3 35 x 21 7
B
E
15 y
Rapport des longueurs des côtés homologues |
|
|
|
F
........................................................
= =
Recherche de y :
|
|
|
|
= =
|
|
|
|
= k =
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
UAA 1 • Figures semblables
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 3 • Figures semblables
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nom : . . . . . . . . .........................................
Fiche 3.3 Triangles semblables – Constructions 1. Observations de triangles Observe attentivement les triangles tracés et complète les égalités. Z
C
A Z
B Y
C
A
B
X |XY| = . . . . . . . . . . . . |AB|
| A | = |. . . . . . . . . . .| =. . . . . . . . . . .°
Z X
X
Z
^
C
Y
B
X C
Y
A
A
B
Y
^
|AB| =. . . . . . . . . . . . |YZ|
IN
| C | = |. . . . . . . . . . .| =. . . . . . . . . . .°
2. Constructions de triangles semblables sur quadrillage
N
Dans chaque cas, achève la construction du triangle A’B’C’ semblable au triangle ABC tracé. A’ A
B
VA
A
B
C’
B’
B
B’
C
B
C’
A
on
B
A’
C’
3
C’
B’
B
Ed
C
C
B
3. Constructions de triangles particuliers semblables sans quadrillage Dans chaque cas, achève la construction du triangle A’B’C’ semblable au triangle ABC tracé sans prendre de mesures sur le triangle ABC.
B
B’ C A A’
B C
B’
A
C’ A
A
C’
B
UAA 1 • Figures semblables
C’ B C
A’
1 2
B’
A
iti
C
B’
C
C’
s
A
A’
A
C
C
A
B’
C
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
A’
27
Section 3 • Figures semblables
Nom : . . . . . . . . .........................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dans chaque cas, achève la construction des triangles A’B’C’et A’’B’’C’’ semblables au triangle ABC en utilisant les renseignements fournis par le dessin. A
A
B” C'
110°
C
C’
A”
B' 75°
B’
B A”
C”
IN
C
B
4. Constructions de triangles semblables sans quadrillage
VA
N
Dans chaque cas, achève la construction du triangle A’B’C’ semblable au triangle ABC sans prendre de mesures sur le triangle ABC. A A A = A’ B C A’ AC //A’C’ B = B’
C
A’
C’
C
C’
B
s
Achève la construction des triangles A’B’C’ et A’’B’’C’’ semblables au triangle ABC en utilisant les renseignements fournis par le dessin.
1 2
B
C
A’
B”
iti
100°
A
A”
C’
Ed
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
on
3
Construis trois triangles différents et semblables au triangle ABC en utilisant le segment tracé comme premier côté. A 50
40
C
B
80
20
20
20
Construis deux triangles différents et semblables au triangle ABC en utilisant le segment tracé comme premier côté.
A 40
25°
C 28
60
B
30
UAA 1 • Figures semblables
30
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 4 • Théorème de Thalès
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nom : . . . . . . . . .........................................
Section 4 : Théorème de Thalès Fiche 4.1 Énoncé et illustrations du théorème de Thalès À connaître 1re formulation
2e formulation
Les projections parallèles conservent le rapport des longueurs.
Des parallèles déterminent sur deux droites qui les coupent des segments homologues de longueurs proportionnelles.
Si AB // CD // EF,
A
B
C
A D
C
A D
AC CE AE = = BD DF BF
alors
B
C
F E
A
B
D
C
F E
F
D
F
E
1 2 3
s
E
CE DF = AE BF
ou
B
IN
AC BD = AE BF
ou
N
AC BD = CE DF
VA
alors
Si AB // CD // EF,
| AB | =
|. . . . . . . . . . . . . . | |. . . . . . . . . . . . . . |
| AB |
|. . . . . . . . . . . . . . |
=
A
X
B
iti
| BC |
on
En utilisant ces deux formulations, complète les égalités ci-dessous.
Y
| SR | = | RU |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| SU |
|. . . . . . . . . . . . . . |
=
C
|. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| BC |
|. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| UV |
| AC |
|. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
|TU|
Ed
| AC |
=
| AC |
| AB | = |. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| SR |
Z
=
| YZ |
V
S
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
T
R
|. . . . . . . . . . . . . . | U
| TU | =
=
=
|VT|
|. . . . . . . . . . . . . . | |. . . . . . . . . . . . . . |
Complète les égalités de deux manières différentes en utilisant le théorème de Thalès. | TV | |. . . . . . . . . . . . . . | | PM | |. . . . . . . . . . . . . . | M T = = V |. . . . . . . . . . . . . . | | NP | |. . . . . . . . . . . . . . | | AN | U P | TV |
|. . . . . . . . . . . . . . |
=
|. . . . . . . . . . . . . . | | NP |
M N
P
| PM |
|. . . . . . . . . . . . . . |
UAA 1 • Théorème de Thalès
=
|. . . . . . . . . . . . . . |
A
Q
4
N
| AN |
29
Section 4 • Théorème de Thalès
Nom : . . . . . . . . .........................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Complète les dessins pour qu’ils respectent l’égalité de rapports proposée. BA ED = BC EF
AB AC = XY XC
EX FE = DX AD
A
D
B
A
B
Attention
B
D
C
Dans le dessin ci-contre, nous pouvons également appliquer le théorème de Thalès. En effet, il s’agit de deux droites sécantes coupées par des parallèles.
N
A
IN
Autre configuration du théorème de Thalès
VA
E
2e formulation
AE AD = BE CD
AB AE BE = = AC AD CD
Fais attention lorsque tu notes les rapports, surtout pour la 2e formulation ! 1re formulation Si BC // DE,
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
30
BA CA = BE CD
ou
s
ou
En utilisant le théorème de Thalès, complète les égalités. | CA | = | CE |
|. . . . . . . . . . . . . . |
A
|. . . . . . . . . . . . . . |
C
Ed
4
AB AC = AE AD
on
alors
iti
1 2 3
Si BC // DE,
| AC |
=
|. . . . . . . . . . . . . . |
B
D E
| AO | =
|. . . . . . . . . . . . . . |
| OD |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| AO |
|. . . . . . . . . . . . . . |
=
| AE |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| AD |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| CE |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| OD |
|. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
| AD |
= | AE | | CA |
= |. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . | | CD |
=
| AE |
= |. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
|. . . . . . . . . . . . . . |
UAA 1 • Théorème de Thalès
| OC |
B O
C
|. . . . . . . . . . . . . . |
| AO |
=
A
| AD | = |. . . . . . . . . . . . . . |
D
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 4 • Théorème de Thalès
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nom : . . . . . . . . .........................................
Fiche 4.2 Application du théorème de Thalès 1. Calcul de longueurs inconnues : recherche intuitive Détermine mentalement la longueur inconnue. 3
6
2
6
3
4
3
x = ...............
x
v
z
y
x
2
2
y = ............... 34
24
30
z = ...............
v = ...............
IN
4
8
1
12
v
21
14
45
N
y
20
6
z
42
VA
15
x = ...............
y = ...............
40
z = ...............
v = ...............
2. Calcul de longueurs inconnues : recherche par résolution d’équation 1 2 3
s
À connaître
on
La recherche d'une longueur nécessite parfois la résolution d'une équation se présentant sous la forme d’une proportion (égalité entre deux rapports).
4
Pour résoudre cette équation, tu appliqueras la propriété fondamentale des proportions. Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
iti
Exemple
Ed
Si AD // BE // CF, alors
AB = BC 12 = 32
D
A
15
12
E
B
1re formulation
2e formulation
DE EF 15 EF
AB = DE 12 = 15
ou
12 . EF = 32 . 15
?
8
32
C
32 . 15 EF = 12 3
F
1
EF = 40
UAA 1 • Théorème de Thalès
5
BC EF 32 EF
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
31
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détermine la longueur inconnue en passant par la résolution d’une équation. A
| BC |
3 4
| |
B
| |
D
| DF | | |
B E 30
....................................................
C
....................................................
s
=
| |
B
25
B
15
D
A
....................................................
=
| | | |
....................................................
....................................................
E
....................................................
....................................................
....................................................
....................................................
| AE | | |
=
| | | |
A
| DC | B 27
....................................................
| |
18
C ?
=
| | | |
....................................................
....................................................
36
D
....................................................
E ....................................................
32
D
| |
18
....................................................
C
....................................................
| CA |
13
....................................................
E
C
?
....................................................
iti
Ed ? D
F
C
| |
....................................................
10
16
| |
....................................................
on C
8
| |
B
| |
....................................................
| |
A
?
=
....................................................
10
D
| BC |
20
A
....................................................
| AB |
B
12
....................................................
36
?
E
E
D
E
A
31
....................................................
| |
32
F
F
| |
| |
....................................................
VA
D
=
| |
2
3
....................................................
24
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
C
....................................................
=
....................................................
?
6
?
| | 4
....................................................
A
4
A
| |
?
C
| AC |
B
IN
E
=
....................................................
1 2 3
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N
Section 4 • Théorème de Thalès
Nom : . . . . . . . . .........................................
UAA 1 • Théorème de Thalès
....................................................
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Section 4 • Théorème de Thalès
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nom : . . . . . . . . .........................................
Fiche 4.3 Thalès ou les triangles semblables ? À connaître Dans certaines configurations de Thalès, la théorie des triangles semblables permet également de calculer les longueurs de certains segments. Certains segments apparaissent dans les deux théories et d’autres sont spécifiques à l’une ou à l’autre. Les dessins ci-dessous t’aideront à mieux différencier les deux théories. Thalès (2e formulation)
Triangles semblables
A
A
D
E
D
E
B
IN
B C
C
CE AC AE = = BD AB AD
N
AC BC AB = = AE DE AD
VA
Les segments en pointillés sur les dessins et les longueurs encadrées dans les égalités sont spécifiques à chaque théorie. Détermine la longueur inconnue par résolution d’une équation en utilisant le théorème de Thalès ou la théorie sur les triangles semblables. D
s
30
E
| |
B
60
C
| |
=
E 42
iti
Ed 12
....................................................
A
....................................................
| |
?
....................................................
18
....................................................
| |
=
....................................................
E
| | | |
| | | |
24
C
?
....................................................
C 35
30
....................................................
10
A ....................................................
E
| |
?
....................................................
A
=
D ....................................................
UAA 1 • Théorème de Thalès
D 14
B
=
1 2 3
| |
....................................................
B
?
B
| |
D
....................................................
C
| |
28
| |
on
24
F
| |
A
| | | |
....................................................
....................................................
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
....................................................
....................................................
33
Section 4 • Théorème de Thalès
Nom : . . . . . . . . .........................................
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fiche 4.4 Applications concrètes du théorème de Thalès Le dessin ci-dessous représente un arbre et son ombre. Certaines mesures ont été prises. Détermine la hauteur totale de l’arbre au centimètre près. N.B. Nous considérons que les rayons du soleil sont parallèles. A
Données
Calculs
| | = ..........................
..................................................................
| | = ..........................
..................................................................
| | = ..........................
| | = ?
1,80 m
B
E
2,40 m
Formule | | | | = | | | |
..................................................................
..................................................................
N
8m
..................................................................
IN
D
C
..................................................................
Inconnue
VA
Solution du problème :
..................................................................................................................................................................................................................................................
Afin d’optimiser l’espace sous son escalier, Simon désire fabriquer une étagère. Si tu sais que la tablette [GH] doit être parallèle à [EF] et [IJ] et qu’il souhaite disposer sur la tablette [IJ] des livres d’une hauteur maximale de 30 cm, à quelle distance du point I devra-t-il fixer la tablette [GH] ?
s
1 2 3
on
Voici un croquis de l’étagère et les dimensions relevées par Simon.
iti
E
m 1,2
G
Ed
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
F
H
?
I
Attention
80 cm
4
Données
Calculs
| | = ..........................
..................................................................
| | = .......................... | | = .......................... Inconnue | | = ?
J
..................................................................
Formule | | | | = | | | |
..................................................................
..................................................................
..................................................................
..................................................................
Convertis toutes les longueurs dans une même unité ! Solution du problème : ..................................................................................................................................................................................................................................................
34
UAA 1 • Théorème de Thalès