(2 pér./sem. )
est destiné aux élèves de 3e année de l’ensemble des réseaux de l’enseignement technique de qualification. C’est un livre-cahier : - pratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercices et l’espace pour les résoudre sont réunis dans un seul ouvrage ; - progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; - fluide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre.
UNE NOUVELLE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT DE QUALIFICATION DE LA 3E À LA 6E ANNÉE Une mise en page en couleur et structurée. Une approche des maths en accord avec le quotidien des élèves. Une pédagogie stratégique. Des livres-cahiers au 2e degré. Des manuels au 3e degré.
Françoise Van Dieren | Giuseppe Bianchi
3 QUADRANT e
Françoise Van Dieren
Mathématiques
Technique de qualification
Giuseppe Bianchi
2 périodes / semaine
Chaque chapitre possède la même structure didactique : une mise en contexte donnant du sens à l’apprentissage. des rappels sous forme d’exercices pour rassembler les acquis.
3
e
des activités proches de la vie pratique, sociale et économique des élèves. une synthèse qui récapitule la théorie indispensable.
e
3 QUADRANT
2 périodes / semaine
de nombreux exercices, diversifiés, préparant les élèves à l’évaluation de leurs compétences.
De Boeck ISBN 978-2-8041-9572-4 573015
vanin.be
QUADRANT LIVRE-CAHIER
3
e
QUADRANT LIVRE-CAHIER 2 périodes / semaine
IN N VA s Maquette : Nord Compo
iti
Mise en pages : Softwin
on
Couverture : Double Clic
Ed
Crédits : © Anne Saint-Ghislain (p. 4) ; © Perry Mastrovito/Corbis (p. 22) ; © Fotolia : Denys Prykhodov (p. 1), jordi2r (p. 3), Delphotostock (p. 6), sinuswelle (p. 7), Minerva Studio (p. 8), Karramba Production (p. 11), jordi2r (p. 13), alex.pin (p. 23), Cyril Comtat (p. 24), M.studio (p. 25), pixelklex (p. 27), Ewald Fröch (p. 29), Carolyn Franks (p. 36), Olaf Schulz (p. 37), An-T (p. 38), Pictures news (p. 40), bluebay2014 (p. 44), ballabeyla (p. 45), YURY MARYUNIN (p. 49 ht), Giuseppe Porzani (p. 49 m), Photo Feats (p. 49 bas), sa4e4ek (p. 51), Krikoui (p. 52), twindesigner (p. 56), Brian Kinney (p. 59), aarstudio (p. 61), Tyler Olson (p. 96), Mi. Ti. (p. 98), Arkna (p. 99), mezenmir (p. 101), hanabunta (p. 110), gorbovoi81 (p. 115), sylv1rob1 (p. 120 ht), LoopAll (p. 123), JMDZ (p. 124), tsach (p. 125 d), freshidea (p. 126 ht), Michael Eichhammer (p. 126 bas), Robert Kneschke (p. 127), Federico Rostagno (p. 129), contrastwerkstatt (p. 130), Stasique (p. 132), goodluz (p. 133).
© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2017 Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 1re édition - 1re réimpression 2017 ISBN 978-2-8041-9572-4 D/2016/0074/097 Art. 573015/02
IN
AVANT PROPOS
N
3e Quadrant (2 périodes/semaine) est destiné aux élèves de troisième année de l’enseignement qualifiant, tant dans le réseau de l’Officiel que dans le Libre.
VA
C’est un livre-cahier : • pratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercices et l’espace pour les résoudre sont réunis dans un seul ouvrage ; • progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; • fluide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre, souvent sur une même page.
s
Cinq étapes, les mêmes dans chacun des chapitres, rythment les apprentissages.
Situer ce que l’on va apprendre
on
L’introduction est illustrée par un engrenage : chaque roue entraîne l’élève, d’étape en étape, au départ de ce qu’il sait déjà vers ce qu’il va apprendre. Les mathématiques prennent sens aux yeux de celui qui apprend quand ses acquis sont des tremplins et s’inscrivent dans une dynamique dont il perçoit les enjeux.
Ed
iti
Être conscient de la manière dont les connaissances s’enchaînent selon un ordre s’appuyant sur ce qui a été établi, c’est aussi s’approprier une forme de pensée qui est au centre de l’activité mathématique : la pensée déductive.
Rassembler et réactiver
Ramener sur le chantier ainsi ouvert les outils essentiels, en réparer quelques-uns, en ajuster d’autres, retrouver ceux qui sont perdus ; éviter donc de bâtir sur du sable mais aussi de se perdre en révisions exhaustives, c’est l’objectif de cette rubrique qui va à l’essentiel et permet de repérer à temps les lacunes qui bloqueraient la progression.
Explorer et découvrir Éveiller l’imagination, s’appuyer sur l’intelligence naturelle, mobiliser la réflexion. Toutes les étapes de cette rubrique sont construites dans cette optique. Le contexte, s’il est concret, est souvent évoqué par une photo, un texte, une question. S’il est abstrait, il s’appuie sur les acquis et sur des raisonnements logiques clairement explicités. Les questions s’enchaînent pour conduire progressivement mais sans détours vers ce qu’il faut découvrir. Cette rubrique se prête à un enseignement inversé. Il s’agit d’une méthode qui demande à l’élève de découvrir chez lui, en toute autonomie, une notion ou une méthode nouvelle. En classe, le professeur répond aux questions, apporte des compléments et des précisions, met en route les exercices. Par leur progressivité et leur présentation, la plupart des explorations peuvent se prêter à une découverte autonome. IVIV
Structurer et retenir À l’issue du travail d’exploration, les notions sont cernées, les concepts introduits, des formes de raisonnement découvertes, un vocabulaire spécifique utilisé. Il faut à présent ordonner, mettre en forme, intégrer, fixer, afin que les nouveaux acquis deviennent disponibles pour les applications et les conquêtes ultérieures. Chaque synthèse s’inscrit dans cette dynamique : elle est introduite par une question qui porte sur l’usage qui sera fait des nouveaux acquis. Les énoncés à retenir sont numérotés et mis en évidence, des exemples rattachent la théorie aux situations dans lesquelles ils ont émergé. Ils servent de modèle dans la résolution des exercices.
IN
Outre des définitions, des propriétés et des procédures, quelques synthèses proposent des méthodes spécifiques pour aborder certaines tâches : justifier, démontrer, résoudre certains types de problèmes.
S’exercer et approfondir
VA
N
Les exercices sont classés selon les catégories décrites dans le référentiel diffusé par la Fédération Wallonie-Bruxelles : Connaître, Appliquer, Transférer. Structurés par une mise en pages qui en facilite l’accès, ils peuvent être menés selon des pédagogies variées : pilotés par le professeur, résolus par petites groupes, répartis selon les profils, les goûts, les aptitudes ou le rythme des élèves. Les ressources et compétences énumérées dans les trois unités d’acquis d’apprentissage (UAA) de la classe de troisième sont réparties dans les huit chapitres de ce livre-cahier. Le tableau ci-après (page VII) montre les correspondances.
Françoise Van Dieren Directrice de collection
Ed
iti
on
s
En espérant que ce livre-cahier permettra à l’élève de découvrir sous un jour nouveau différents aspects des mathématiques : leur utilité, leur logique propre, leur beauté parfois. Et surtout, qu’il donnera à chacun une confiance renouvelée dans sa capacité à les apprendre et à les pratiquer.
V
Un livre-cahier conforme au réseau libre et au réseau officiel 3e Quadrant (2 périodes/semaine) est un livre-cahier conforme à l’ensemble des réseaux de la Fédération Wallonie-Bruxelles. Cependant, en fonction de ceux-ci, le choix des chapitres à voir en 3e année diffère.
Libre
1. La fonction du premier degré, aspects graphiques
IN
Chapitres
x
N
2. Les paramètres m et p dans le tableau, le graphique et la formule
VA
3. Équations du premier degré 4. Plans et cartes 5. Figures planes
7. Solides
on
s
6. Le théorème de Pythagore et sa réciproque
Ed
iti
8. Traitement et organisation de données
VI
Officiel x x x
x
x
x
x
x
x
x x
Correspondance entre les chapitres et les UAA Le nouveau référentiel de mathématiques découpe le 2e degré en trois Unités d’Acquis d’Apprentissage (UAA). Voici la répartition des différents chapitres du livre-cahier 3e Quadrant en fonction de celles-ci.
UAA 1 Le premier degré Ressources
Chapitres
IN
Représentation graphique de fonctions du premier degré et constantes Caractéristiques • Zéro • Signe • Croissance - décroissance
N
1-4
VA
UAA 2 Géométrie Figures planes • Triangle • Quadrilatère • Cercle • Polygone régulier
5-7
iti
on
Solides • Parallélépipède rectangle • Cylindre • Cône • Sphère • Prisme droit • Pyramide
Chapitres
s
Ressources
Ed
Théorème de Pythagore et sa réciproque
UAA 3 Statistique à une variable Ressources
Chapitre
Variables statistiques Effectif, fréquence Moyenne
8
Représentation graphique • diagramme circulaire • diagramme en bâtonnets
VII
IN
COMMENT UTILISER TON LIVRE-CAHIER ?
N
Ton livre-cahier est structuré en 8 chapitres qui organisent chacun une même succession d’activités.
L’introduction
Lorsqu’on circule sur autoroute et que l’on voit un panneau indiquant les distances, on peut prévoir combien de temps il reste avant la sortie. On roule en général à peu près à la vitesse de 120 km/h et si l’on voit, par exemple, que la sortie est à 45 km, on pense : une heure pour 120 km cela fait : – une demi-heure pour 60 km, – un quart d’heure pour 30 km, – 7 minutes et demi pour 15 km, donc 22,5 minutes pour 45 km. Durée d’un trajet
Distance parcourue
on
Vitesse Échelle d’un plan
Dans ce chapitre, nous allons explorer comment évoluent les grandeurs proportionnelles les unes par rapport aux autres. Tu apprendras comment utiliser un tableau de nombres ou une formule pour réaliser ou te servir d’un plan, calculer une distance, une vitesse, une durée…
VA
Plans et cartes
s
4
Lis attentivement l’introduction pour situer ce que tu vas apprendre dans le chapitre.
Info
Chaque introduction propose une vue en engrenage des différents thèmes qui vont s’enchaîner tout au long du chapitre.
Rapport de vitesses Réalisation d’un plan
On calcule de cette façon parce qu’à une vitesse constante, durée et distance varient proportionnellement.
Ed
iti
Pour réaliser le plan d’un bâtiment, on multiplie les dimensions réelles par un même nombre : « l’échelle ». Les dimensions du bâtiment et celles du plan sont des grandeurs proportionnelles.
5
Rassembler et réactiver
RassembleR et RéactiveR 1
Ravive ce que tu as appris au 1er degré car ce sont des prérequis nécessaires à l’étude du chapitre.
Identifier un triangle Écris le numéro du triangle correspondant en dessous de chacune des quatre flèches. Tu peux vérifier si des hauteurs sont égales en les traçant avec une équerre puis en les reportant au compas. Dessine un triangle qui a deux côtés de même longueur et un angle droit. 1
2 3 4
non
non
2
J’ai deux hauteurs égales
J’ai un angle droit
oui
non
oui
J’ai trois hauteurs égales
oui
Identifier un quadrilatère Écris le numéro du quadrilatère correspondant en dessous de chacune des quatre flèches.
Info
4
62
VIII VIII
2
3
U A A 2 Géométrie
Chaque rubrique possède son propre code couleur ainsi qu’un rappel de l’Unité d’Acquis d’Apprentissage (UAA) étudiée, ce qui te permet de savoir immédiatement où tu te trouves.
Dessine un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, ont même mesure et sont perpendiculaires.
1
non
Mes diagonales se coupent en leur milieu
non
non
oui
Mes diagonales sont égales
Mes diagonales sont perpendiculaires
oui
oui
1
Explorer et découvrir 2
En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.
Le récupérateur d’eau de pluie Le volume V d’eau (en l) contenu dans ce récupérateur varie en fonction de la hauteur h (en dm) d’eau. Une graduation figure sur le côté du récupérateur, elle permet de lire le niveau d’eau. On obtient le volume d’eau en multipliant la hauteur (en dm) par 20. Ce qu’on écrit : V(h) = 20h Si on calcule le volume qui correspond à une hauteur de 5 dm, on écrit V(5) = 20 × 5 = 100 a. Quel est le volume qui correspond à une hauteur de 8 dm ? ……………………………………………………………………..…………………………………….. b. Quelle est la hauteur qui correspond à un volume de 360 l ? ……………………………………………………………………..…………………………………….. c. Complète.
h
V(3) =
V(......) = 240
V(4) =
V(......) = 300
V(h)
Info
d. Rassemble ces résultats dans le tableau de valeurs ci-contre. e. Construis le graphique du volume d’eau (en l) en fonction de la hauteur (en dm).
Généralement, une exploration est proposée par page, ce qui permet d’installer une ambiance et de ne pas se disperser.
f. L e v o l u m e d ’ e a u d e ce récupérateur est-il proportionnel à la hauteur ?
320
……............…………………..
280
……............…………………..
240
160
g. Sachant que la citerne a une capacité maximale de 400 litres, quel est le domaine de cette fonction ?
120
……............…………………..
U A A 1 Le prem ier degré
200
IN
Volume en litres
360
400
……............…………………..
80
h. Quel est son ensemble image ?
40 0
2
4
6
8
10
12 14 16 18 20 22 Hauteur en dm
……............…………………..
N
……............………………….. 6
2
Structurer et retenir
Comment déterminer les paramètres m et p d’une fonction du premier degré à partir de son graphique ?
VA
2
Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.
Info
a. Voici le tableau de valeurs qui correspond à l’impression de photos via le premier site. Réalise un autre tableau pour l’impression de photos via le second site (il faut donc intégrer le prix de l’envoi).
+1 +1 +1
0,4
3
0,6
4
0,8
5
1
6
1,2
+ 0,2 + 0,2 + 0,2
Pour chaque photo supplémentaire, le coût augmente de 0,20 €.
Nbre de photos
+1
f (x) = 3x + 2.
Lorsque le graphique représente une fonction décroissante, la valeur du paramètre m est négative.
y
m=
−6
−6 −3 = = −3 + 2 +1
L’ordonnée à l’origine est − 2. L’expression analytique de f est donc
1 1
f (x) = – 3x – 2.
x
(0 ; –2)
On avance de 1 et on descend de 3. La pente de la droite est − 3.
U A A 1 Le prem ier degré
−3
Lorsque le graphique représente une fonction constante, la valeur du paramètre m est 0.
y
L’ordonnée à l’origine est − 2.
1 0
1
(0 ; –2)
x
L’expression analytique de f est donc On avance de 1 et on « reste à la même hauteur ». La pente de la droite est 0.
f (x) = – 2.
SY 6
Coût
Le taux d’accroissement est 0,20 €/photo
+ 0,2
Info
+ 0,2
Pour le premier site
Pour le second site
C’est un tableau de proportionnalité. Si x est le nombre de photos, et f1 la fonction qui permet de calculer le coût, l’expression analytique de cette fonction est f1(x) = 0,2x.
b. Le taux d’accroissement est-t-il constant ?
c. Est-ce un tableau de proportionnalité ?
d. Écris la formule qui permet de calculer le coût en fonction du nombre de photos f2(x) =
s’exercer et approfondir
+1
0,2
L’expression analytique de f est donc
On avance de 1 et on monte de 3. La pente de la droite est 3.
Second site
Coût
2
x
+3
s
on
Sur le second, pour le même prix de 0,20 € à l’unité, Basile peut avoir un format plus grand, mais il doit payer un supplément de 2,40 € par envoi (emballage et frais de port).
1
1
+2
Résous les exercices variés et qui sont proches de ton quotidien afin de voir si les notions étudiées dans les synthèses sont bien ancrées dans ton esprit.
Basile veut imprimer ses photos via Internet et consulte deux sites. Sur le premier, l’impression d’une photo en format 10 × 15 coûte 0,20 € ; les frais de port sont compris.
+1
1 0
+ 6 +3 = =3 + 2 +1
Le paramètre p est l’ordonnée du point d’abscisse 0. Ici p = 2.
S’exercer et approfondir
Connaître
Premier site
+6
+1
1
Imprimer ses photos
Nbre de photos
m= (0 ; 2)
0
iti Ed
s’eXercer et approfondir
Lorsque le graphique représente une fonction croissante, la valeur du paramètre m est positive.
y
+2
La numérotation indépendante des pages de synthèse te permet de détacher celles-ci et de les garder dans ton classeur pour l’année prochaine.
11
Pour déterminer le paramètre m, à partir du graphique d’une fonction du premier degré, on examine les accroissements entre deux points du graphique comme le montrent les exemples ci-dessous.
Tu peux directement répondre aux exercices dans ton livre-cahier. Au besoin, tu peux utiliser une feuille blanche supplémentaire.
13
IX
IN
SOMMAIRE U A A 1 Le pre m i e r degré
1. La fonction du premier degré, aspects graphiques ........................1
N
2. Les paramètres m et p dans le tableau, le graphique et la formule ............................................................................................... 27
U A A 2 Gé o mé tri e
VA
3. Équations du premier degré ................................................................ 37
s
4. Plans et cartes........................................................................................... 45
on
5. Figures planes .......................................................................................... 61 6. Le théorème de Pythagore et sa réciproque ................................... 79
iti
7. Solides ....................................................................................................... 101
Ed
U A A 3 Stati sti qu e à une variabl e 8. Traitement et organisation de données ......................................... 127
XX
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
IN
3
s
VA
N
En progressant dans l’étude des fonctions, tu auras à résoudre toutes sortes d’équations. Et lorsque tu rencontreras des problèmes économiques et techniques, tu trouveras sur ta route toutes sortes de formules que l’on traite avec les mêmes principes que ceux que tu utilises pour résoudre des équations.
on
Problèmes
Ed
ax + b = c
iti
Fractions dans les deux membres
Inconnue dans les deux membres
Transformations de formules
Équations impossibles ou indéterminées
Dans ce chapitre, tu remettras sur le métier ce que tu sais déjà à propos des équations, tu apprendras à devenir plus rapide et plus sûr de toi pour résoudre des équations dont l’inconnue figure dans les deux membres, celles qui requièrent un calcul algébrique préalable, celles qui contiennent des fractions… Tu apprendras à utiliser des équations pour résoudre des problèmes et à transformer des formules que tu rencontreras en économie, dans les cours techniques et dans certains cours de sciences.
3
RASSEMBLER ET RÉACTIVER 1. Une brique est placée sur le plateau de gauche d’une balance. On maintient l’équilibre en déposant à droite les ¾ d’une brique et une masse de ½ kg. On demande quelle est la masse d’une brique.
1/2 kg
d. Si on appelle x la masse d’une brique, la situation peut être traduite en langage 3 1 littéral par l’équation x = x + . 4 2
IN
a. Dessine un schéma de la même balance dans laquelle on a enlevé les ¾ d’une brique de chaque côté.
N
Écris l’équation qui correspond à la deuxième situation (la balance dessinée en a). b. Que pèse le quart d’une brique ?
Déduis-en la valeur de x.
VA
c. Que pèse une brique ?
2. Quelle est l’opération sur chacun des membres qui permet de passer d’une équation à l’autre ? Vérifie. –x=7 x = –7
on
s
– 6x = 6
x = –1
V
iti
V
Ed
– x – 7 = 70
– 6x – 8 = 6
– x = 77
U A A 1 Le premier degré 38
x = 30 V x + 3 = –6 7
– 6x =
x=
V
–x = –6 5
x = 7
x= V
x= V
– 6x + 1 = 1 – 6x = 0 x=0 V
3x = x + 1
– 3x = x + 1
2x = 1
– 4x = 1
x= V
1 2
x= V
–1 4
EXPLORER ET DÉCOUVRIR 1
3
Que faire quand il y a des fractions ? Résous, compare ta solution avec celle de ton voisin. Si elles ne sont pas les mêmes, vérifie. x x 5 + = 3 4 6
VA
Le produit en croix
Lorsque l’on a une égalité entre deux fractions, on peut gagner une étape en multipliant le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde et le numérateur de la seconde par le dénominateur de la première. C’est ce que l’on appelle le produit en croix. Résous de cette façon Exercice résolu
s on
x –1 1– x = 3 7
iti
x – 2 2x = 4 5 5(x – 2) = 8x 5x – 10 = 8x – 3x = 10 10 x=– 3
x–3 x+3 = 5 2
Ed
2
3 5
N
x=
x x – 1= 6 3
IN
x x 5 + = 2 3 10 15x + 10x 15 = 30 30 30 15x + 10x = 15 25x = 15
x x 3 – = 4 5 10
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
Exercice résolu
x – 2 10x = 3 7
x – 3x = + 10 3 2
5x – 1 x – 3 9x – = 4 5 10
39
3 3
Quel est ce nombre ? a. Trouve le nombre dont les cinq septièmes b. Je trouve l’opposé d’un nombre quand je lui valent 60. ajoute 13. Quel est ce nombre ?
4
Transformer une formule
d , isole t puis isole d. t
Sachant que Ech =
c. Isole n.
a=
b+ d cn
s
q=
on
Intérêt et capital
a–r n
VA
n b = a a
5
Dv , isole Dv puis isole Dr. Dr
N
Sachant que v =
IN
a. La vitesse v d’un corps est la division de la b. L’échelle d’une carte ou d’un plan est le distance d parcourue par ce corps par le temps t rapport de la distance virtuelle Dv (sur la carte, mis à parcourir cette distance. la photo, etc.) et de la distance réelle Dr.
a. Pendant combien de jours doit-on placer un capital de 10 000 € au taux de 1,5 % pour obtenir un intérêt de 200 € ? Remplace les lettres dont on connaît la valeur dans la formule
40
Ed
U A A 1 Le premi er degré
iti
Sachant que I est le montant de l’intérêt, C, le capital placé, i, le centième du taux, (ici 0,015) n, le nombre de jours et que C × i×n I= 365
Résous cette équation dont l’inconnue est n.
b. Un préposé à la banque a beaucoup de calculs de ce type à faire ; il veut disposer d’une formule qui permet de calculer directement le nombre de jours pendant lequel il faut placer un capital donné pour obtenir un intérêt donné à un taux donné. Ou encore pour calculer le taux auquel il faut placer un capital donné placé pendant une durée fixée pour obtenir un intérêt donné. C×i×n Transforme la formule I = 365 pour exprimer n en fonction de C, i et I.
pour exprimer i en fonction de C, n et I.
3
LES SUITES ET LEURS APPLICATIONS STRUCTURER ET RETENIR
Quelles sont les propriétés de l’égalité qui permettent de résoudre une équation du premier degré à une inconnue ? Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont les mêmes solutions. Pour indiquer que deux équations sont équivalentes, on utilise le symbole ⇔. Quelques règles permettent de remplacer une équation par une autre équivalente. On arrive ainsi à une équation dont le premier membre est l’inconnue et dont le second est un nombre.
IN
Ce nombre est la solution de l’équation.
3.1 Règle
N
Si on ajoute (ou retranche) un même nombre aux deux membres d’une équation, on a une nouvelle équation équivalente.
3.2 Règle
VA
Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une équation par un même nombre différent de zéro, on a une nouvelle équation équivalente. Exemple 1 Résoudre l’équation 5x = 2(6 – x)
on
calcul littéral 5x = 12 – 2x +2x (règle 3.1) 7x = 12
iti
:7 (règle 3.2) 12 x= 7
Exemple 2
Dans la formule
v = v0 + at
STRUCTURER ET RETENIR
s
5x = 2(6 – x)
Ed
1
v0 est la vitesse initiale (m/s) a est l’accélération (m/s2) t est la durée (s),
isoler v0, puis isoler t. v = v0 + at v – at = v0 v – v0 =t a
SY 7
3 Exemple 3 Résoudre l’équation
x 7 3x – 1 = – 5 2 10 x 7 3x – 1 = – 5 2 10 réduction au même dénominateur 2x 35 3x – 1 = – 10 10 10 soustraction de fractions
2x = 35 – 3x + 1
IN
2x 35 – 3x + 1 = 10 10 ×10 (règle 3.2)
N
+ 3x (règle 3.1) 5x = 36
VA
: 5 (règle 3.2)
x=
En multipliant un nombre par 0, on ne trouve jamais 3.
s
Exemple 4
36 = 7,2 5
on
Résoudre l’équation 0x = 3.
Cette équation est impossible.
iti
Résoudre l’équation 0x = 0
SY 8
Ed
U A A 1 Le premi er degré
Cette équation est indétermnée.
En multipliant un nombre par 0, on trouve toujours 0, quel que soit ce nombre.
S’EXERCER ET APPROFONDIR 1
3
Solution rapide Pour quelle valeur de x les égalités suivantes sont-elles vérifiées ? Écris directement la solution. – x = – 1
3x = 0
x=
x=
x=
– 2x = 12
– x – 1 = 0
3 + x = 0
x=
x=
x=
1 x = –12 3 x=
x – 1 = – 1
– 3x = 0
x=
x=
– x + 12 = 10
5x = – 5x
– 5x = 2x +21
2 = 2x 5
8,4x = – 7
5x = – 8 + 4x
5 – 20x = 0
15x = 45 2
IN
xx = = – 3x = 1
VA
N
Résoudre
1 x =1 3 1 x =1 3= xx = 1= x x=0 3 1 x=0 x 3=
on
s 3
8x = 19x + 11
Ed
– 0,3x = 1
– 8x = 11x + 19
iti
0,3x = 15
0,01x = – 3
0,2x =
3 +x 5
– 0,1x = 17
Résoudre en essayant de réduire le nombre d’étapes 5x = 6x
7x – 2 = 5x – 6
4x – 5 = 3x + 2
–6x + 1 = 5x + 12
5x + 2 = 6x + 3
7x – 2 = 5x + 6
3x + 1 = 4x – 1
–6x + 3 = – 5x + 1
5x – 2 = 6x – 3
7x – 2 = 5x – 1
6x + 1 = 5x + 12
–6x + 2 = – 5x + 10
S’EXERCER ET APPROFONDIR
2
3x = 12
41
3 Commencer par du calcul littéral (x – 1)(x + 5) = (x + 3)(x – 7)
x(x + 1)(x – 1) = x3 – 1
3(x + 2x) = 9x
3x2 + 2x – 7 = (1 – 3x)(1 + x)
x(x + 1)(x – 1) = x3 + 2
– 5(x – 5) = 0
2(3x + 1) = 5(2x – 1)
x(x + 1)(x – 1) = x3 + 2x
– 5(x – 5) = – 25
3(2x – 1) – (3 – x) = 5(x – 2) + 2x
– 5(x – 5) = 25
– 2(1 – x) – 3(x – 1) = 0
IN
3(x + 5) = 36
x(2x + 1)(2x – 1) = 4x3 – 2x + 1
2x 4 x – 3x + = + 10 3 9 2
–x +1 –x + 3 x – = 4 5 2
x x + – 5 = 15 3 2
42
Ed
U A A 1 Le premier degré
iti
–
x(2x – 1)2 = 4x3 – 4x2 – 6
s
Avec des fractions
on
5
VA
N
4
5 x – 1 x – 3 9x – = 4 5 10
x+
x+1 x–1 9 = + 3x – 4 5 5
2x –
x – 5 = 15 2
x 3x = 10 – 3 2
2x +
x 3x = 10 – 3 2
x–3 4– x – = 15 5 2
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ TRANSFÉRER 6
Retrouver ce nombre
VA
N
IN
a. Je multiplie un nombre par 8, je soustrais 20 de ce produit, je divise ce que j’ai trouvé par 4, puis j’ajoute 10. Et je retrouve le nombre de départ. Quel est ce nombre ?
s
b. En ajoutant 300 au triple d’un nombre, je trouve le même résultat qu’en ôtant 300 à six fois ce nombre. Quel est ce nombre ?
Transformer une formule
Ed
Isole n dans un des deux membres. On pose que les dénominateurs ne sont pas nuls. an = b
an + b = c
a=
cx n
a – n = b
a=
b n
a=
n –a b
a=
b cn
q=
a –r n
a=
b +d cn
S’EXERCER ET APPROFONDIR
7
iti
on
c. J’ajoute 20 à l’opposé d’un nombre et je trouve le triple de ce nombre. Quel est ce nombre ?
43
3 8
Cylindrée, moteur La cylindrée d’un moteur est le volume total (tous cylindres confondus) déplacé durant un cycle. Elle est calculée à partir du diamètre d’un cylindre (l’alésage), de la distance parcourue par un piston (la course) et du nombre de cylindres composant le moteur/compresseur.
π . Crs . Al 2 . Nb 4
IN
Vm =
• Vm est le volume en cm3 • Crs est la course en cm
N
• Al est alésage en cm
VA
• Nb est le nombre de cylindres.
iti
on
s
Donne la formule qui permet de calculer le diamètre d’alésage.
44
Ed
U A A 1 Le premier degré
Calcule le diamètre a pour Vm = 3 200 cm3, crs = 120 mm et Nb=6.
IN
6
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE
VA
N
Lorsque l’on assemble deux tiges et qu’on les maintient à angle droit, la longueur du fil qui joint deux extrémités est déterminée. Cela signifie que si l’on connaît les mesures des deux tiges, il doit être possible de calculer la longueur du fil.
s
C’est un problème pratique qui se pose dès que l’on construit un bâtiment et que l’on veut s’assurer que les murs sont perpendiculaires. Or, il se fait que cette relation entre des mesures de côtés passe par le détour d’une relation entre des aires.
on
Calculer avec des irrationnels
iti
La réciproque
Ed
Carrés construits sur les côtés d’un triangle
Un vaste chantier de problèmes
Les nombres irrationnels
La relation de Pythagore
Plusieurs tablettes d’argile, datant de la dynastie des HAMMOURABI à Babylone (vers 1700 A.C.N.), ont été retrouvées au milieu du XIXe siècle. Ces tablettes présentent des listes de nombres et des figures qui montrent qu’à cette époque, on savait évaluer avec une précision remarquable les dimensions d’un triangle rectangle. Les recherches sur la construction des pyramides ont montré que les Égyptiens, eux aussi, faisaient de tels calculs. Si cette propriété des triangles rectangles est connue sous le nom de théorème de Pythagore, c’est parce que Pythagore et ses disciples ont relié cette propriété à d’autres propriétés géométriques et ont montré que certaines mesures de segments ne peuvent pas être écrites sous la forme d’une fraction.
Tu commenceras ce chapitre par la redécouverte du théorème de Pythagore, ensuite, tu suivras les traces de Pythagore et de ses disciples pour comprendre pourquoi on a besoin de nouveaux nombres pour calculer certaines mesures de segments. Tu apprendras comment calculer avec de tels nombres.
6
Construire, si possible Un triangle ABC, rectangle en B, tel que
Un triangle RST, rectangle en T, tel que
AB = 4,2 cm et BC = 6,8 cm.
ST = 4,8 cm et RT = 6 cm.
Un triangle rectangle isocèle TGV, rectangle
Un triangle rectangle isocèle BOF, dont le plus grand côté [BF] mesure 6 cm.
Calculer les aires des quatre figures colorées
iti
on
10,00
s
2
VA
N
en G, tel que TG = 4 cm.
IN
1
RASSEMBLER ET RÉACTIVER
U A A 2 Géo métri e
Ed
B
80
C A
D
EXPLORER ET DÉCOUVRIR Le triangle rectangle isocèle Cet octogone est-il un octogone régulier ?
IN
Colorie un carré dont l’aire est le double de celle du carré rouge.
Si a est la mesure d’un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle isocèle et c, la mesure de son hypoténuse, quelle est la relation entre c2 et a2 ?
c
a
on
De carré en carré
Si l’aire du plus grand carré vaut 64, que vaut l’aire du plus petit carré ? ………………………………
iti
Que vaut l’hypoténuse du plus petit triangle ? ………………………………………………………………
Ed
2
s
En prenant le carré rouge comme unité, quelle est l’aire de cet octogone ?
VA
N
a
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
1
6
81
6 3
Un autre triangle rectangle Calcule les aires des carrés A, B et C.
3
5 3
5 C La somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit de ce triangle rectangle est-elle égale à l’aire du carré construit sur son hypoténuse ?
A
5 3
IN
5
3
4
VA
N
B
Généralisation
b
Ed
iti
on
s
Dans un carré de côté (a + b), on place, de deux façons différentes, quatre triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit sont a et b. Explique pourquoi la somme (aire de D + aire de F) est égale à l’aire de E.
D
a
F
a
b c
b
D
a B
E F
b
a
Calcule c si a = 12 et b = 16
U A A 2 Géo métri e
a
82
b c
a B
E b
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE 5
La diagonale du carré Soit un carré dont le côté a mesure 1 dm. Pour calculer la longueur de sa diagonale d, on utilise la relation de Pythagore. On trouve d 2 = 2.
Mais quel est ce nombre dont le carré vaut 2 ? On sait qu’il est compris entre 1 et 2 et on écrit 1 < d < 2 a. Encadre d au millième près.
1 dm
N
b. Le nombre positif dont le carré est 2 s’écrit 2 . Affiche ce nombre à l’écran d’une calculatrice.
VA
c. Pour savoir si le nombre affiché est une valeur exacte ou une valeur approchée, multiplie ce nombre par lui-même en l’introduisant chiffre par chiffre. Quel est le résultat affiché ? ………………………………….………………………………………………
s
On pouvait prévoir, sans faire la multiplication, que le nombre affiché n’a pas comme carré 2,0000… En effet, si, par exemple, le dernier chiffre décimal du nombre affiché est 4, son carré se termine par 6 (le dernier chiffre de 16).
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
1 dm
IN
d
on
On peut raisonner de la même façon à propos de tous les chiffres entre 1 et 9. Aucun de ces carrés ne se termine par 0. On conclut que le nombre dont le carré est 2 est un décimal illimité. On sait aussi depuis l’Antiquité grecque que ce nombre ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction à termes entiers. Les Grecs appelaient de tels nombres des irrationnels.
6
Ed
iti
En latin, ratio, c’est la raison : ces nombres seraient donc des « nombres fous ». Mais le mot ratio désigne aussi le rapport entre deux nombres, ce qui correspond à la signification mathématique de nombre « irrationnel » : un nombre qui ne peut être écrit sous forme fractionnaire.
Un triangle puis un carré… La figure suivante est une suite de triangles rectangles isocèles et de carrés. Le premier segment mesure trois unités.
a
3
b
Calcule les mesures a, b, c, et d.
c
d
83
6 7
Construire un carré
Construire un segment
VA
8
N
IN
Construis aux instruments un carré dont l’aire est la somme des aires de ces deux carrés.
Unité :
Dessin :
Ed
iti
on
s
On ne peut pas écrire le nombre 3 sous la forme d’une fraction. Mais peut-on construire un segment qui mesure 3 ? Explique.
Construis un segment qui mesure :
U A A 2 Géo métri e
5 cm
84
21 cm
1
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE La corde à 13 nœuds
Ce petit film illustre l’utilisation de la corde à 13 nœuds au Moyen Âge : www.youtube.com/watch_popup?v=1VHbNoO6Spk
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
N
Les arpenteurs égyptiens se servaient d’une corde à 13 nœuds pour des murs perpendiculaires. Elle restera un outil pour les artisans et les maçons pendant encore tout le Moyen Âge. On s’en sert encore actuellement en arpentage et en construction. C’est une équerre de poche pratique, facile d’emploi et assez précise. Chacun peut expérimenter. Fais 13 marques espacées d’une même distance dans une corde. On détermine ainsi 12 intervalles. Place la corde comme sur la photo pour former un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3,4 et 5 unités (1 unité correspond à 1 intervalle). Un tel triangle vérifie-t-il la relation de Pythagore ?
IN
9
VA
Justifie.
Visionne la vidéo !
Organiser les calculs
s
10
R
14 cm
Ed
iti
on
Justifie que le périmètre du triangle RAT est égal à 30 cm. Indique la démarche et écris les calculs.
11
10 cm
B
5 cm
A
T
Ordonner Les nombres a, b, et c sont-ils égaux ? …………………………...…….……………………………………. Si ce n’est pas le cas, classe-les par ordre croissant. a = 2 + 15 ; b = 17 ; c = 3 + 14
85
6 12
Distances dans un repère cartésien On donne A(1 ; 5), B(7 ; 2), C(5 ; 7), D(1 ; 2) et E( – 3 ;1).
y
C
7
a. En prenant comme unité celle du repère, calcule au dixième près :
6 A
5
– la mesure de la diagonale [AB] du quadrilatère ACBD ;
4 3 E
1
–4 –3 –2 –1 0 –1
VA
– le périmètre de ce quadrilatère ;
on
s
Calcul de BC
iti
Périmètre du quadrilatère
U A A 2 Géo métri e
Ed
– la distance entre les points E et C.
86
1
2
N
–2
Calcul de AC
B
D
IN
2
b. Le triangle ABC est-il un triangle rectangle ?
3
4
5
6
7
x
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE La hauteur du triangle équilatéral La figure ci-contre montre des triangles équilatéraux dessinés sur une trame triangulaire. L’unité de longueur est le côté du pavé triangulaire qui constitue la trame.
Calcule la hauteur a du premier triangle. Pour calculer la hauteur b, on peut procéder de deux façons : – si on utilise le théorème de Pythagore, on trouve b = 12 . – si on considère que b est le double de a, on trouve b = 2 3.
a
VA
b = 12
b=2 3 2 3= 4 ×
3
on
s
12 = 4 × 3
c
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
N
IN
b
On constate donc par la voie géométrique que 12 = 2 3. En examinant cette égalité par la voie numérique, on a :
On conclut que 4 × 3 = 4 × 3.
iti
Pour calculer la hauteur c, on peut procéder de deux façons : – si on utilise le théorème de Pythagore, on trouve 3 . 4 – si on considère que c est la moitié de a, on trouve
Ed
13
c=
c=
3 . 2
3 3 = . 4 2 En examinant cette égalité par la voie numérique, on a :
On constate donc que
c=
3 4
On conclut que
3 2 3 3 = 2 4 c=
3 = 4
3 . 4 87
6 48 = 4 3
8 = 0,2 2 100
72 =6 2
U A A 2 Géo métri e
Ed
iti
on
s
VA
N
72 = 6 2
IN
Montre par calcul que :
88
6
LES SUITES ET LEURS APPLICATIONS STRUCTURER ET RETENIR
1
Que représente le symbole
?
Lors de l’exploration 3, on a réalisé que la mesure de la diagonale d’un carré de côté 1 est le nombre dont le carré est 2. On a aussi appris que ce nombre ne peut s’écrire ni sous la forme d’une fraction, ni sous la forme d’un nombre décimal limité. On pourrait croire que de tels nombres sont exceptionnels, or il y en a une infinité ! Pour les désigner, on utilise le symbole qui se lit « radical » ou encore « racine carrée positive ».
6.1 Définition d’une racine carrée positive
IN
La racine carrée positive d’un nombre positif a est le nombre positif b dont le carré est a. Ce nombre est noté a qu’on lit radical a.
N
Si a ≥ 0, a = b signifie b ≥ 0 et b2 = a.
25 = 5 car 5 > 0 et 52 = 25 0, 09 = 0, 3 car 0, 3 > 0 et 0, 32 = 0, 09 Conséquence 2
=5
s
( 5)
VA
Exemples
L’hypoténuse d’un triangle rectangle est le plus long côté, il est opposé à l’angle droit. Les deux autres côtés sont appelés côtés de l’angle droit.
D’habitude, on désigne par une lettre minuscule la mesure du côté opposé au sommet qui porte le même nom.
A
STRUCTURER ET RETENIR
iti
Comment nommer les côtés d’un triangle rectangle ?
Ed
2
on
car 5 est le nombre positif dont le carré est 5.
c
b
C
a
B
SY 13
6 3
Quelle est la relation entre les mesures des côtés d’un triangle rectangle ? 6.2 Théorème de Pythagore Si un triangle est un triangle rectangle, alors l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit. Cette relation est appelée théorème de Pythagore. Elle s’exprime brièvement par la formule c2 = a2 + b2,
IN
dans laquelle a et b sont les mesures des côtés de l’angle droit et c la mesure de l’hypoténuse, ces mesures étant toutes exprimées dans la même unité.
c
b
C
a
b2
VA
b
N
A
B
a2
a
s
6.3 Réciproque du théorème de Pythagore
Comment calculer la mesure d’un côté d’un triangle rectangle en fonction des mesures des deux autres côtés ?
Ed
4
iti
on
Trois mesures de côtés étant données, si le carré de la plus grande mesure est égal à la somme des carrés des deux autres mesures, alors ce triangle est rectangle.
U A A 2 Géo métri e
Exemple
SY 14
Dans le triangle rectangle ABC rectangle en C, on a : b = 5 et c = 7. Calculer a au centième près. A
Calculs
ABC est un triangle rectangle
c2 = a2 + b2
D’après les données
72 = a2 + 52
Calculs
a2 = 49 – 25
c
b
C
Étapes
a
B
a = 24 Réponse
a = 4,89 au centième près
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE
Partant des mesures des trois côtés d’un triangle, comment savoir si ce triangle est ou n’est pas un triangle rectangle ? Exemple 1 Dans le triangle DEF, e = 4 ; d = 6 et f = 7.
D
Le triangle DEF est-il un triangle rectangle ?
f
e
Calculs
f est le plus grand côté
f 2 et e2 + d2
Comparaison
E
VA
f 2 = 72 = 49 e2 + d2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
D’après les données
IN
Étapes
d
N
F
f 2 ≠ e2 + d 2
on
Exemple 2
Dans le triangle GHI, h = 5 ; g = 12 et i = 13.
G
iti
Le triangle GHI est-il un triangle rectangle ?
Étapes
Calculs
i est le plus grand côté
i2 et g2 + h2
D’après les données
Comparaison
i
h I
g
H
STRUCTURER ET RETENIR
s
Le triangle DEF n’est pas rectangle.
Ed
5
i2 = 132 = 169 g2 + h2 = 122 +52 = 144 + 25 = 169 i2 = g2 + h2
Le triangle GHI est rectangle.
SY 15
6 6
Comment construire un segment de longueur a (a naturel) ? On construit un triangle rectangle dont les mesures des côtés vérifient la relation de Pythagore et dont un côté est a. Pour trouver les mesures des autres côtés, il faut décomposer le nombre a soit en une somme de carrés, soit en une différence de deux carrés. Exemple 1 Construire un segment dont la mesure est 13 unités. Par « tâtonnement », on trouve (assez facilement !) deux nombres dont la somme des carrés est 13.
IN
Construire un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 2 unités et 3 unités.
22 + 32 = 13
13
2
s
VA
N
3
on
Exemple 2
Construire un segment dont la mesure est 27 unités. On peut trouver (sans trop de tâtonnements !) deux nombres dont la différence des carrés est 27.
iti
62 – 32 = 27
U A A 2 Géo métri e
Ed
Construire un triangle rectangle dont un côté de l’angle droit mesure 3 unités et dont l’hypoténuse mesure 6 unités.
SY 16
6
27
3
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE
Comment calculer avec des radicaux ? 6.4 Produit de radicaux et radical d’un produit a ⋅ b = a⋅b
Soit a ≥ 0 et b ≥ 0 a ⋅ b = a⋅b
Exemples 4 ⋅ 3 = 4⋅3 25 ⋅ 7 = 25 ⋅ 7
IN
=5⋅ 7
6.5 Quotient de radicaux et radical d’un quotient a = b
a b
a b
N
a = b
Soit a ≥ 0 et b > 0
Exemples
VA
30 30 = 3 = 10 10 25 = 64
25 5 = 64 8
Simplifier un radical, c’est extraire, s’il y a lieu, la partie entière de ce radical. Pour ce faire, on décompose le radicant en deux facteurs dont l’un est le plus grand carré parfait possible.
iti
Exemples
800 = 2 × 400 = 2 × 0,18 =
18 = 100
400 = 20 2
2×9 3 2 = 10 100
6.7 Addition et soustraction de radicaux On ne peut additionner (soustraire) que des radicaux semblables (des termes dont la partie sous radical est la même).
STRUCTURER ET RETENIR
on
6.6 Simplification
64 8 = = 0,8 100 10
s
0,64 =
Ed
7
Exemples −3 7 + 6 7 = 3 7 3 5 – 6 7 – 5 =2 5 – 6 7 Mais 4 + 9 ≠ 13
SY 17
6 8
Comment représenter les différents ensembles de nombres ? On représente les ensembles de nombres par un diagramme qui montre comment ils « s’emboîtent ». ℝ ℚ 7
ℤ ℕ –7
VA
7
on
s
0,333…
Ed
iti
ℕ est l’ensemble des naturels, ℤ est l’ensemble des entiers, ℚ est l’ensemble des rationnels (ou fractions), ℝ est l’ensemble des réels. ℝ0 est l’ensemble des réels privé de zéro, ℝ+ est l’ensemble des réels positifs, ℝ– est l’ensemble des réels négatifs, ℝ0+ est l’ensemble des réels positifs, privé de zéro. Le symbole ∈ se lit « appartient à ». Le symbole ∉ se lit « n’appartient pas à ».
U A A 2 Géo métri e
Exemples
SY 18
Les nombres 0 ; – 3 ; −
2 ; 7
5 sont des réels.
2 ∈ ℝ– ; 5 ∈ ℝ. 7 Les nombres 5 et π ne sont pas des rationnels.
On écrit : 0 ∈ ℝ ; – 3 ∈ ℝ– ; − On écrit 5 ∉ ℚ ; π ∉ ℚ.
1 7
– 2
N
0
IN
2
–
7 4
– 0,2
π
6
S’EXERCER ET APPROFONDIR APPLIQUER Comparer des aires sans les calculer
Ces rectangles ont-ils la même aire ?
E
B
G
I
H
D
F
C
Des aires aux longueurs
iti
Que vaut l’aire du carré sachant que la distance entre deux points du quadrillage est 10 cm ?
Ed
Quelle est la mesure du côté du carré ?
Encadre ce nombre entre deux mesures exprimées en millimètres.
Si l’aire de A est 100 cm² et celle de C est 69 cm², quelle est la mesure du côté du carré B ?
Encadre ce nombre entre deux mesures exprimées en millimètres.
B
A
C
S’EXERCER ET APPROFONDIR
2
on
s
VA
Fais la même construction dans un parallélogramme. Les parallélogrammes ainsi déterminés ontils même aire ?
A
IN
Décris la construction qui fait apparaître le rectangle rouge et le rectangle gris.
N
1
89
6 Calculer l’aire ou la longueur demandée
22 2 12 1212 769 769 769cm cm cm
22 2 13 1313cm cm cm 2
22 2 12 1212 544 544 544cm cm cm
22 2? cm cm ?55 5cm 2 5 cm2 5 cm5 cm2
53 5353cm cm cm
113? cm ? 113 cm 113 cm
112 cm 112 cm 112 cm ?? ? ?
?
?
33 3333 cm cm ?cm
?
33 cm 33 cm 33 cm ? 4848cm cm cm 48
? ? 55 5555cm cm cm
48 cm 48 cm 48 cm
VA
45 cm 45 cm 45 cm
s
55 cm 55 cm 55 cm
Calcul d’une mesure
on
4
Le triangle ABC est rectangle en A. On sait que AB = 3,2 cm et AC = 6 cm. Calcule BC. 2
BC =
iti
ABC est rectangle en A D’après les données
Ed
Calculs
U A A 2 Géo métri e
Réponse
Le triangle XYZ est rectangle en X. On sait que XY = 5 cm et YZ = 15 cm. Donne la valeur exacte de XZ, puis un arrondi à 0,1 cm près. XYZ est rectangle en X D’après les données Calculs
Réponse 90
65 cm 65 cm 65 cm
?? ?
2 12 544 cm2 12 544 12cm 544 cm2 ? ? ?? ? 113 113 113cm cm cm
112 112 112cm cm cm 53 cm 53 cm 53 cm
?? ?
?
?
IN
?
45 4545cm cm cm
2 12 769 cm2 12 769 ? 769 cm2 12cm
2 13 cm 13 cm 13 cm2
?? ?
65 6565cm cm cm
?? ?
N
3
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE 5
Triangle rectangle ou non ? On sait que RS = 14,5 cm ; RT = 1,7 cm TS = 14,4 cm Le triangle RST est-il rectangle ? Si c’est le cas, quel est l’angle droit ? [RS] est le plus grand côté D’après les données
IN
Comparaison Conclusion Dans le triangle ABC, a = 50 ; b = 15 et c = 8.
N
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si c’est le cas, quel est l’angle droit ?
VA
D’après les données
Comparaison
40 cm
iti
41 cm
on
Construire un segment qui mesure
17 cm
15 cm
S’EXERCER ET APPROFONDIR
Ed
6
s
Conclusion
91
6 7
Diagonale du carré Soit c, la mesure du côté d’un carré. Calcule d, la mesure de la diagonale de ce carré. c
1
d
1 2
3
3
1 2 3 7 2 11 2
N
Simplifie les radicaux s’il y a lieu, ne pas convertir en écriture décimale
IN
5
Écris la formule qui permet de calculer d quand on connaît c.
VA
La mesure de la diagonale du carré est-elle proportionnelle à la mesure du côté ?
Diagonales du cube
s
8
on
Soit a, la mesure de l’arête d’un cube ; calcule i, la mesure de la diagonale intérieure de ce cube.
a
d
a
3
La diagonale intérieure (i) du cube d’arête (a) est aussi la diagonale du rectangle de longueur (d) et de largeur (a).
U A A 2 Géo métri e
b. La mesure de la diagonale intérieure est-elle proportionnelle à la mesure de l’arête ?
92
c. Écris la formule qui permet de calculer i quand on connaît a.
i
1
iti Ed
i
a. Complète ce tableau.
5 1 2 5 7 3 11 3
d. Quel est le volume d’un cube dont la diagonale intérieure est 7 6 ?
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE 9
Diagonales du parallélépipède Calcule le périmètre du triangle formé par les diagonales (d1, d2 et d3) de trois faces de ce parallélépipède Calcule la mesure de sa diagonale intérieure.
d1 3
d2
d3
15
Un triangle dans un parallélépipède rectangle
VA
10
N
IN
17
A
E
F G
D
12 cm
4 cm B
7 cm
C
Une tige dans la boîte (OMB 1998) Une boîte a la forme d’un parallélépipède rectangle. Ses dimensions intérieures sont 12 cm, 12 cm et 6 cm. Quelle est la longueur de la tige la plus longue qu’il est possible d’y placer sans qu’elle déborde ?
S’EXERCER ET APPROFONDIR
11
Ed
iti
on
s
Dans ce parallélépipède rectangle, on a représenté un triangle ACF. Démontre que ce triangle n’est pas un triangle rectangle.
93
6 12
Triangles inscrits dans un demi-cercle On donne : a = 62 mm ; b = 90 mm ; c = 82 mm Calcule r
Calcule d
c
r
2 ⋅ 3 …… 5
( 3)
3
…… 3 3
(− 5 )
8 …… 2 2
2
0, 02 ……
…… − 5
3 3 …… 4 2
0, 25 …… 0,5
0, 001 …… 0, 01
2
s 75
242
225
484
0,16
0, 25
1, 21
0, 64
2, 25
4, 84
9
49
169
27
147
338
54
441
676
0, 09
0, 49
1, 69
0, 54
4, 41
6, 76
Ed
iti
on
121
64
1 2 10
…… 3
25
32
U A A 2 Géo métri e
(− 3 )
Simplifier 16
94
…… 3 2
N
3
( 2)
2 ⋅ 2 …… 2
14
IN
Compléter par = ou ≠ 2 + 3 …… 5
O
VA
13
d
b
a
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE TRANSFÉRER 15
Tout en haut
16
Le long du toit
Une échelle de 5 m est appuyée sur un mur. Le pied de l’échelle est posé à 1,20 m du mur. À quelle hauteur se situe son sommet ? 1 m 20 ?
VA
N
IN
80 cm
on
l
Voici le plan de la charpente d’un hangar. Calcule la hauteur de A par rapport à BC
iti
Ce dessin montre une partie du pignon d’une maison. Recherche la valeur de l l
2,7 m
A
B
2m C
3m 2m
A 2m
2m
4m
Voici une partie d’une autre charpente. Quelle doit être la longueur de la pièce [BC] pour que A se trouve 1 mètre au-dessus de BC ?
B
2m C
S’EXERCER ET APPROFONDIR
Charpentes
Ed
17
s
Quelle est la dimension représentée par la flèche ?
95
6 18
Les digues le long du canal Les points A et B sont situés sur les versants opposés d’un canal. On veut les connecter par un câble aérien.
A
B
On sait que la distance horizontale entre A et B est de 422 m et on sait aussi qu’ils sont situés respectivement à 243 m et 176 m au-dessus du niveau du canal. Recherche la longueur du câble (au centimètre près).
IN
19
422 m
Le micro
Dessine un schéma de la situation.
Le cric
iti
20
on
s
VA
N
On veut suspendre un micro dans une salle dont voici les dimensions : – hauteur : 15,2 m ; – largeur : 24,6 m. Le micro sera maintenu par deux câbles métalliques de même longueur fixés à des crochets situés sur les murs opposés. Ces crochets se trouvent à 13,8 m au-dessus du sol. Le micro doit arriver à 3,6 m du sol. Quelle doit être la longueur des câbles ?
Ed
La figure montre un cric qui sert à soulever une voiture. Lorsqu’on tourne la manivelle, les points O et S se rapprochent et le point P s’élève. Chacune des quatre barres [PO], [OR], [RS], [SP] mesure 25 cm. Calcule la hauteur de P au-dessus de R quand O et S sont distants de 40 cm.
O
P
U A A 2 Géo métri e
R
96
Quelle est la distance entre O et S quand P est 20 cm au-dessus de R ?
S
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE 21
Le four à micro-ondes La figure suivante représente le fond d’un four à microondes. On dépose un plat rectangulaire parfaitement centré sur le plateau tournant. Le plat est un rectangle de 26 cm sur 15 cm. Lorsqu’on met le four en marche, le plateau tourne-t-il sans se bloquer ?
33 cm A
B
32 cm
C
VA
Des haubans de même longueur
Une antenne relai est munie de tendeurs de même longueur, fixés sur le mât à des hauteurs différentes. La figure montre deux de ces tendeurs : [AE] et [BC]. On sait que AD = 16 m ; ED = DC 18 m ; BD =15 m.
iti
on
s
Calcule la longueur des tendeurs.
Ed
Calcule la distance du point d’ancrage (C) au pied du mât (D). A B
E
D
C
S’EXERCER ET APPROFONDIR
22
N
IN
D
97
6 23
La bille sur l’étagère Sébastien fabrique une étagère. Il réalise un plan sur lequel il indique les mesures à prendre. Une fois l’étagère montée, il y dépose une bille. Celle-ci reste-t-elle en place ?
29 cm
A
B
40
26 cm cm
Le clocher
N
24
IN
C
Ed
iti
on
s
VA
Est-il possible de calculer l’aire de la toiture d’un clocher qui a la forme d’une pyramide régulière dont chaque face latérale est un triangle isocèle ayant deux côtés de 8 mètres et dont la base est un hexagone régulier de 4 mètres de côté (ne pas tenir compte des ouvertures) ? Si la réponse est affirmative, calcule l’aire au dm2 près.
U A A 2 Géo métri e
25
98
Un quadrilatère en moins Calcule l’aire de la surface colorée en indiquant toutes les étapes du raisonnement.
B
8 cm 6 cm
A
C
O 9,6 cm
D
LE THÉORÈME DE PYTHAGORE ET SA RÉCIPROQUE La ligne d’horizon
iti
on
s
VA
N
IN
Quelqu’un regarde la mer depuis un rocher bordant la plage. Les yeux sont à une hauteur de 4 mètres au-dessus du niveau de la mer. À quelle distance se trouve la ligne d’horizon, sachant que le rayon de la Terre est 6 400 km ?
S’EXERCER ET APPROFONDIR
Ed
26
99
on
iti
Ed s N
VA IN
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
IN
8
VA
N
Lorsque l’on veut agir sur une situation en vue d’améliorer la vie quotidienne, le rendement d’une entreprise, les techniques de vente…, il faut d’abord recueillir des données, les organiser et les interpréter ! Diagramme circulaire
s
Fréquence
on
Pourcentage
Diagramme en bâtons
Moyenne
iti
Effectif
Ed
Depuis la plus haute Antiquité (en Inde, en Égypte, en Amérique précolombienne), on avait recours à de tels recueils de données pour « lever », c’est-à-dire percevoir, des impôts, recruter une armée, organiser des travaux. Dès la fin du Moyen Âge, en Italie du Nord, les hommes d’affaires et les commerçants s’en sont servis pour prévoir les quantités de marchandises à commander aux agriculteurs, aux artisans et pour assurer contre leur perte ce qu’ils transportaient dans leurs bateaux. À l’époque moderne, cette manière d’appuyer l’organisation de la vie collective sur de telles informations fut appelée en Allemagne « Statistique » parce qu’elle est liée à la gestion de l’État (en latin, status).
Dans ce chapitre, tu étudieras d’abord comment utiliser le calcul de pourcentages pour comparer des données, préciser une évolution. Tu apprendras ensuite quelques méthodes pour mener à bien une enquête dans le contexte de la vie scolaire. Bien sûr, tu n’apprendras pas toutes les méthodes statistiques pour analyser les données recueillies, mais bien comment présenter certains résultats et les comparer à d’autres.
8 1
RASSEMBLER ET RÉACTIVER À pied ! Dans l’école de Lisa, il y a une proportion de 3 élèves sur 5 qui arrivent à pied. Quel est le pourcentage d’élèves de cette classe qui arrivent à pied ? S’il y a 430 élèves dans l’école, combien y en a-t-il qui n’arrivent pas à pied ? ……………………………………………………………………………………………………………
Le sport préféré
IN
2
On a demandé à 53 élèves de l’école quel est leur sport préféré. Complète ce tableau et ce diagramme en bâtons.
Foot
12
Fréquence (en %)
Natation Basket 3
s
Judo
on
Danse Volley
53
Foot Natation Basket
iti
Un sondage a été réalisé auprès des élèves de l’école à propos de leur attitude face aux spots publicitaires qui passent à la télévision (un seul choix possible). Complète le tableau et le diagramme circulaire. Réactions 1. Je regarde distraitement.
Nombre de réponses
Pourcentage (arrondi à l’unité)
Amplitude (arrondie à l’unité)
8%
1
2. J’en profite pour faire autre chose.
3
3. Je zappe directement.
40 2
4. Je les regarde tous. Total
Réactions 4
198
450
100 : 4,5
128
Judo Danse Volley
Spots publicitaires
Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
Total
3
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
N
Effectif
VA
Sport
360°
EXPLORER ET DÉCOUVRIR 1
8
Des rapports aux pourcentages Dans un magazine (A) de 120 pages, il y a 18 pages de publicité. Dans un autre (B) de 104 pages, il y en a 9. Compare les parts réservées à la publicité dans ces deux magazines. Part réservée à la publicité
Pourcentage
A
La TVA
Prix HTVA
TVA
Prix TVAC
45
9,45
54,45
67 124 258
iti
on
a. Complète le tableau ci-contre.
s
Le montant de la TVA (taxe sur la valeur ajoutée) étant de 21 %, calcule les prix TVAC (TVA comprise) des articles qui, hors TVA, coûtent : 45 €, 67 €, 124 €, 258 €.
b. Antoine est commerçant et doit appliquer le même taux de TVA à de nombreux articles. Après avoir terminé ses premiers calculs, il se demande comment passer directement de la première colonne à la troisième. Il observe qu’il y a toujours le même rapport entre le prix hors TVA et le prix TVAC. Quel est ce rapport ?
Ed
2
VA
N
Conclusion :
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
IN
B
c. Comment va-t-il procéder pour calculer les prix TVAC en une seule opération ?
d. Un article coûte 300 € TVA comprise, quelle était sa valeur avant qu’on lui applique la TVA ?
129
8 3
Augmentation du prix de l’électricité 1 « Pour les consommateurs résidentiels, le Vérifie cette augmentation pour un ménage pourcentage de TVA augmente de 6 % à 21 % dont le montant hors TVA avant 2014 était à compter de septembre 2015 (les 6 % ont de 450 €. été instaurés en avril 2014). Pour un ménage résidentiel moyen, la facture d’électricité augmente de ce fait d’un peu plus de 100 € par an »1.
Prix d’amis
IN
4
VA
N
Alexia tient une boutique de vêtements. Elle calcule ses prix de façon à faire un bénéfice de 40 %. Lorsque son amie vient lui acheter quelque chose, elle réduit le prix affiché de 40 %. Après avoir fait ses comptes, Alexia s’aperçoit que non seulement elle n’a rien gagné sur cette vente, mais qu’elle y a perdu. Voici le schéma qu’elle a suivi pour faire ses calculs.
on
s
a. Quel est le pourcentage de perte ?
iti Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
b. Et si Alexia fait un bénéfice de 45 % sur un vêtement qu’elle achète 80 € puis qu’elle accorde à son amie une réduction de 45 % sur le prix affiché, quelle sera sa perte (en € et en % de son prix d’achat) ?
5
Indice des prix
Voici un tableau donnant les indices des prix d’un même objet entre 2012 et 2015. 2012
2013
2014
2015
2016
Indice de prix de l’objet
100
96
105
107
110
Prix de l’objet
250
Quel est le pourcentage d’augmentation entre 2012 et 2014 ? Cet objet coûtait 250 € en 2012, quel était son prix chacune des années suivantes ? Réponds dans le tableau. Est-il vrai que le prix a augmenté de 5 % entre 2014 et 2016 ? 1
130
Année
D’après www.creg.info/Tarifs/composanteenergie.pdf
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
Une enquête Plusieurs élèves de l’école « A » trouvent que leur trajet est très long : ils voudraient que les cours commencent un peu plus tard ! Ils rassemblent des données sur le trajet des élèves et cherchent des arguments à soumettre au conseil d’école. Voici deux projets d’enquête rédigés l’un par Benoît et l’autre par Samira. Questionnaire n° 5
IN
Voulez-vous bien répondre à ce questionnaire Ce questionnaire concerne le trajet que vous effectuez chaque jour pour vous rendre à l’école. en plaçant vos réponses sur les pointillés.
N
Comment effectuez-vous le trajet entre la maison Comment vous rendez-vous à l’école ? et l’école ?……………………………………… À pied À vélo Transport En voiture Autre Combien de temps dure votre trajet ?…………… en commun Que faites-vous après l’école ?……………………
Merci d’avoir complété ce questionnaire.
VA
…………………………………………………………
Indiquez, à 5 minutes près, combien de temps vous mettez pour arriver à l’école. ……………………………………………………………
s
a. Examine les questionnaires à partir des critères suivants. Questionnaire 2
on
Questionnaire 1
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
Nom………………………………………Âge……… Quel âge avez-vous ?
Les questions sont-elles bien choisies ?
iti
Les questions sont-elles bien formulées ? Les réponses seront-elles utilisables ?
b. Rédige un questionnaire qui n’ait pas les inconvénients de ces deux-là en tenant compte des recommandations données dans la synthèse de ce chapitre.
Ed
6
131
8 7
Budget de la famille Voici la répartition des dépenses d’une famille pendant le mois de janvier. a. Calcule le pourcentage du budget de cette famille qui est consacré à chaque dépense. Dépenses (en €)
Logement
800
Alimentation
450
Habillement
240
Déplacements
220
Divers
160
Pourcentage
N
100
c. Ce diagramme représente-t-il une évolution ou une répartition ?
VA
Totaux
8
b. Représente ces données par un diagramme circulaire.
IN
Catégorie
Devant l’ordinateur
Les données recueillies sont
s
On a relevé le nombre d’heures passées devant l’écran d’ordinateur par Sarah, les samedis de janvier à avril.
on
0 ; 2 ; 7 ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 ; 5 ; 4 ; 2 ; 4 ; 4 ; 6 ; 5 ; 3 ; 5 ; 6 ; 0 et 51
a. Complète le tableau des effectifs de ces données.
132
iti
Effectif (n)
0
Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
Nombres d’heures (x)
n·x b. Réalise un diagramme en bâtons.
2 3 4 5 6 7
Totaux c. Ce diagramme représente-t-il une répartition ou une évolution ? d. En moyenne, combien de temps Sarah a-t-elle passé devant son ordinateur pendant ces trois mois ?
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
Estimer une mesure à partir du graphique
1
Force (newton)
2
3
4
5
6
3,2 6,1 9,4 12,2 15,1 18,2
Porte ces informations dans ce repère cartésien, avec les forces sur l’axe vertical. Trace à vue une droite qui « traverse » ce nuage de points.
9 8 7 6 5 4
VA
À partir du graphique, estime la force nécessaire pour déplacer un bloc qui a une masse de 4,4 kg.
Force (en N)
3 2 1
on
Le salaire moyen
2
3
4
5
6
7
Voici le relevé des salaires mensuels dans une entreprise de 6 personnes Max
Karim
Zita
Bob
Lea
1 300
1 450
1 800
2 100
2 300
2 500
iti
Mila
Salaire (en €)
Quelle est la masse salariale de cette entreprise ?
Ed
10
1
s
0
Masse (en kg)
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
Masse du bloc (kg)
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
IN
Les forces requises pour tirer des blocs de différentes masses sur une surface horizontale sont montrées dans ce tableau.
N
9
Quel serait le salaire de chacun si tous gagnaient la même somme ?
Après avoir engagé un septième employé, le salaire moyen est devenu 2 544 €. Quel est le salaire mensuel de ce nouvel employé ?
133
8 11
Quantité moyenne Voici le relevé de la quantité de litres d’essence vendue dans une station service pendant 20 jours. 925
1021
429
935,2
925
478
1254
866
949
699,8
945
912,5
827
526
789
658
1023
325
259
925
134
iti Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
on
s
VA
N
IN
Calcule la moyenne des quantités d’essence Le 21e jour, il y a eu une grosse affluence. Le vendues pendant cette période. vendeur a recalculé sa moyenne sur les 21 jours. Elle était de 790,5 litres. Combien a-t-il vendu d’essence ce jour-là ?
8
LES SUITES ET LEURS APPLICATIONS STRUCTURER ET RETENIR
1
Comment déterminer ou utiliser un pourcentage dans différentes situations ? Comment prendre 3 % d’un nombre n en une seule opération ? 3 3 % de n c’est × n ou 0,03 n. 100
On multiplie n par 0,03.
On divise 369 par 0,03.
On a pris 3 % d’un nombre n et on a trouvé 369.
On résout l’équation 0, 03n = 369 . Comment augmenter un nombre n de 3 % de ce nombre ?
On multiplie n par 1,03.
N
n + 0, 03n = n(1 + 0, 03) = 1, 03n .
IN
Quel est ce nombre ?
Comment diminuer un nombre n de 3 % de ce nombre ?
VA
n − 0, 03n = n(1 − 0, 03) = 0, 97n .
On divise a par b et on multiplie ce résultat par 100.
iti
L’essentiel, c’est de décider d’avance comment on va exploiter le questionnaire, comment on va dénombrer les réponses. Pour cela, il faut : – prévoir toutes les réponses possibles et les classer ; – donner des instructions sur la façon de répondre (cocher une proposition, noircir une case, répondre par oui ou par non…) et désigner un emplacement pour les réponses ;
STRUCTURER ET RETENIR
Comment s’y prendre pour rédiger un questionnaire ?
Ed
2
on
s
a Comment convertir un rapport en « pourcent » ? b a x On résout l’équation = . b 100
On multiplie n par 0,97.
– ne pas poser de questions qu’on ne peut pas exploiter (parce que les réponses sont trop variées, parce qu’on ne peut ni les compter ni les classer, parce qu’elles n’ont pas de rapport direct avec le sujet de l’enquête…) ; – si l’on pose une question qui porte sur une opinion, éviter qu’une opinion personnelle apparaisse ; – rédiger des questions claires et concises ; – s’en tenir à un questionnaire le plus court possible.
SY 23
8 3
Comment comprendre et utiliser le vocabulaire statistique ? Caractère qualitatif ou quantitatif Lorsqu’on enquête sur les moyens de transport utilisés par les élèves, le caractère étudié est un moyen de transport. Ce caractère est qualitatif car il ne s’exprime pas par un nombre.
IN
Lorsque l’on enquête sur la pointure des chaussures, le nombre de pages d’un livre, le caractère est quantitatif car les valeurs observées sont des nombres.
Effectif
C’est le nombre d’individus (personnes ou objets) de l’ensemble observé.
N
Fréquence
Exemple
VA
La fréquence d’une valeur d’une série statistique est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. Ce quotient est souvent exprimé en %.
Les goûts musicaux de 450 jeunes sont donnés par le tableau suivant. Variété francophone
Effectif
126
Variété internationale
s
Genre musical
on
81
Fréquence
28
18
Rock
Rap
Musique de films
Total
108
99
36
450
24
22
8
100
La population étudiée est : les élèves de l’école.
SY 24
iti
Les valeurs de ce caractère sont : variété francophone, variété internationale, rock, rap, musique de films.
Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
Le caractère étudié est : le goût musical. C’est un caractère qualitatif.
L’effectif total est 450. La fréquence des jeunes préférant le rap est 22 %.
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
Comment représenter des données ? Le diagramme en bâtons Le diagramme en bâtons est employé le plus souvent pour comparer ou montrer une évolution des effectifs ou des fréquences de données. Exemple
IN
En vue d’une campagne pour inciter les personnes au covoiturage, un comité a réalisé une enquête sur le nombre de personnes à bord d’une voiture dans deux villes différentes, A et B. Nombre de personnes à bord d’une voiture
Nombre de voitures Ville A
Nombre de voitures Ville B
1
38
59
2
94
3
130
N
133
5
61
30
16
29
9
400
400
s
6
79
on
Nombre de personnes à bord d’une voiture dans 2 villes différentes Le diagramme en bâtons correspondant est le suivant :
Covoiturage
Ed
iti
140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
1
2
3
4
5
STRUCTURER ET RETENIR
122
VA
4
Nombre de voitures
4
6
Nombre de passagers Ville A
Ville B
Diagramme en bâtons Ce type de représentation permet de mieux visualiser la distribution observée et semble indiquer que l’occupation des véhicules est plus importante dans la ville A que dans la ville B quand il s’agit de voitures qui transportent plus de 3 passagers.
SY 25
8 Le diagramme circulaire Le diagramme circulaire sert le plus souvent à représenter une répartition. Exemple Ce tableau montre les résultats d’une enquête sur l’utilisation des réseaux sociaux par les élèves de l’école. Facebook
Skype
Aucun
Totaux
Effectif
198
54
90
81
27
450
Fréquence
44
12
20
18
6
100
IN
Réseau
Réseaux sociaux utilisés par les élèves 6% 18%
VA
20%
N
44%
12%
Face book
Skype
Aucun
Comment calculer une moyenne ?
iti
5
on
s
Pour calculer l’angle qui correspond à la fréquence exprimée en pourcent, on utilise la proportion Fréquence mesure de l’angle au centre = 100 360
SY 26
La moyenne d’une liste de nombres est le nombre obtenu en divisant la somme de ces valeurs par le nombre de ces valeurs.
Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
Définition
Lorsque, dans la liste ou les données, une même valeur est répétée, la somme des valeurs devient « la somme des produits des valeurs distinctes par leur répétition ». Remarques
La moyenne n’est pas nécessairement égale à une valeur de la liste. La moyenne est rarement égale à la moyenne des extrêmes. La moyenne est toujours comprise entre les deux extrêmes. Exemple On interroge 450 élèves pour connaitre le nombre de SMS reçus en une journée Nombre de SMS/jour
0
1
2
3
4
5
6
7
Effectif
40
50
52
88
75
55
50
40
La moyenne est (0 × 40) + (1 × 50) + (2 × 52) + (3 × 88) + (4 × 75) + (5 × 55) + (6 × 50) + 7 × 40) m= 3, 5 450 0
S’EXERCER ET APPROFONDIR
8
APPLIQUER 1
Les judokas
2
Estimer une mesure à partir du graphique
VA
N
Le filament métallique d’une lampe présente les caractéristiques ci-dessous en ce qui concerne la résistance (R ohms) à différents voltages (V volts).
IN
Dans un club sportif, 28 % des 450 adhérents font du judo. Quel est le nombre de personnes qui ne pratiquent pas ce sport dans ce club ?
V
60
80
90
120
150
R
92
116
128
164
200
s
Porte ces informations dans un repère cartésien avec la résistance en ordonnée et trace la droite qui passe par ces points.
3
Avec un logiciel a. Le nombre d’habitants de six villes est donné dans ce tableau (2005). Bruges
Malines
Namur
Liège
Gand
Charleroi
117 253
77 792
126 954
182 781
231 671
201 433
Utilise un logiciel pour représenter ces données statistiques dans un diagramme.
S’EXERCER ET APPROFONDIR
Ed
– 160 volts
Estime le voltage lorsque la résistance est de 104 ohms.
iti
– 100 volts
on
Estime la résistance lorsque le voltage est de :
135
8 b. En vue d’enquêter sur les moyens de transport utilisés par les élèves, chaque groupe de trois ou quatre élèves choisit une classe de l’école et rédige un questionnaire. Pour chaque classe, il faut compléter ce tableau et réaliser le diagramme circulaire correspondant. Compare ensuite ton diagramme avec ceux des autres groupes. Moyen de transport
À pied
À vélo
En transport en commun
En voiture
IN
Nombre d’élèves
4
Durée d’ensoleillement
VA
N
Reproduis ici le diagramme qui correspond aux données que ton groupe a recueillies.
Année
2010
2011
2012
2013
2014
2015
1 705
1 556
1 782
1 529
1 510
1 634
on
Ensoleillement (en h)
s
Voici les relevés d’une station météo donnant la durée d’ensoleillement en Belgique durant l’année.
136
iti Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
Calcule la durée moyenne annuelle d’ensoleillement, arrondie à l’heure près pendant ces six années.
5
Limitation de vitesse À proximité d’une école où la vitesse est limitée à 30 km/h, on a relevé les vitesses suivantes. 41
27
25
30
37
42
25
23
25
37
38
37
38
33
26
25
26
28
29
30
28
30
32
41
Quelle est la moyenne des vitesses relevées ?
Quel est le pourcentage de voitures en infraction ?
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
6
L’âge des membres du club Le diagramme ci-dessous représente les résultats d’une enquête sur l’âge des membres d’un club sportif qui comporte 50 membres. Mais le bâton correspondant aux membres qui ont 15 ans a été effacé. a. Réalise un diagramme circulaire.
12 10 8
IN
Nombre de membres
14
6 4 2
N
0
b. Complète le tableau. Âge
14 ans
15 ans
16 ans
17 ans
18 ans
s
Nombre de membres
VA
Âge
on
Angle
La dernière note
Ed
Lucas a une moyenne de 9 pour ses six premiers contrôles. Pour le septième, il a eu 14. Quelle est sa nouvelle moyenne ?
Lydia a une moyenne de 17 pour ses six premiers contrôles. Pour le septième, elle a eu 11. Quelle est sa nouvelle moyenne ?
David a une moyenne de 8 pour ses six premiers contrôles. Pour le septième, il a eu 11. Quelle est sa nouvelle moyenne ?
S’EXERCER ET APPROFONDIR
7
iti
c. Calcule l’âge moyen au dixième près.
137
8 8
Connexion Tom a été connecté à Internet en moyenne 1h30 par jour pendant 7 jours. Le dernier jour, il est resté connecté pendant 2 heures. Quelle est sa moyenne pendant les 6 autres jours ?
TRANSFÉRER Retrouver le nombre initial
IN
9
a. Le lendemain d’un jour d’élection communale, on peut lire dans un quotidien régional : « 1 695 personnes ont pris part au vote, c’est-à-dire 75 % des inscrits sur les listes électorales. »
VA
N
Calcule le nombre des inscrits.
138
Augmentations et baisses successives
iti
a. De janvier à juin, le prix d’un produit a augmenté de 2 % ; de juillet à décembre, il subit une nouvelle augmentation de 3 %. Que vaut, en décembre, un produit qui coûtait 100 € en janvier ? Et un produit qui coûtait 345 € en janvier ?
Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
10
on
s
b. Un magasin d’accessoires fait une réduction de 25 % sur tous ses sacs et bijoux. À cette occasion, Muriel achète un bracelet qu’elle paie 15 € et un sac qu’elle paie 27 €. Quels étaient les prix avant réduction ?
b. Le prix d’un produit augmente de 7 %, puis diminue de 7 %. Revient-il au prix de départ ?
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
Taux d’évolution Lorsque l’on veut s’informer sur l’évolution des prix au fil des années, on peut faire une recherche sur Internet à partir des mots-clés « index », « indice des prix ». Au cours d’une telle recherche, on a trouvé un tableau2 reprenant les prix du pain, entre 1951 et 1999. Tous ces prix sont indiqués dans la monnaie de l’époque : en francs belges. Ce tableau porte le titre « L’évolution scandaleuse du prix du pain ! ». Le « scandale » apparaît surtout quand on compare les prix du pain à ceux du blé. Voici quelques données extraites de ce tableau. Prix du blé
1951
7,50 BEF
Non renseigné
1962
8,50 BEF
Non renseigné
1970
13,25 BEF
11,00 BEF
1990
48,00 BEF
8,36 BEF
1999
59,00 BEF
N
IN
Prix du pain de 800g
Non renseigné
on
s
VA
Le schéma ci-dessous montre comment calculer le taux d’évolution du prix du pain entre 1951 et 1970 puis entre 1970 et 1990.
iti
Entre 1951 et 1970 (en 19 ans), chaque BEF a été multiplié par 1, 766. C’est une augmentation de 76,6 %.
Ed
Entre 1970 et 1990 (en 20 ans), chaque BEF a été multiplié par 3, 6226. Donc 100 € deviennent 362,26 €. C’est une augmentation de 262,26 %. Compare cette augmentation à celle du blé pour la période située entre 1970 et 1990.
S’EXERCER ET APPROFONDIR
11
2
http://users.skynet.be/durot/français:prix_du_pain_htm
139
8 12
Population active Le tableau ci-dessous donne, en milliers d’individus, le nombre d’actifs3 parmi les hommes et les femmes, selon les tranches d’âges en 2015. Hommes
Femmes
Moins de 25 ans
167
140
De 25 à 55 ans
1 553
1 394
Plus de 55 ans
677
568
Total
2 397
2 102
IN
Actifs
Source : http://statbel.fgov.be
VA
N
Calcule le pourcentage de femmes de 25 à 55 ans Compare le pourcentage de « moins de 25 ans » parmi les femmes actives. parmi les femmes actives et le pourcentage de « moins de 25 ans » parmi les hommes actifs.
on
s
Calcule le pourcentage d’hommes de 25 à 55 ans parmi les hommes actifs.
iti Ed
U A A 3 Stati stiqu e à une variable
Les pourcentages trouvés sont-ils dans le même ordre que les données absolues ?
3
140
La population active est formée par les actifs occupés, les chômeurs et les militaires du contingent.
Avant propos Comment utiliser ton livre-cahier ?
1.
VA
Sommaire
N
IN
TABLE DES MATIÈRES
La fonction du premier degré, aspects graphiques Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
IV VIII X 1 2 5 SY1
Quel vocabulaire et quelles notations utiliser ?
SY1
2.
Qu’entend-on par « fonction du premier degré en x » ?
SY2
3.
Comment déterminer la racine (ou zéro) d’une fonction du premier degré à partir de son graphique ou de sa formule ?
SY3
4.
Comment repérer, à partir du graphique, si une fonction du premier degré est croissante, décroissante ou constante ? S’exercer et approfondir
SY4 13
on
iti
Les paramètres m et p dans le tableau, le graphique et la formule
1. 2.
3.
1.
27
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
28 29 SY5
Comment déterminer les paramètres m et p d’une fonction du premier degré à partir de son tableau de valeurs ?
SY5
Comment déterminer les paramètres m et p d’une fonction du premier degré à partir de son graphique ? S’exercer et approfondir
SY6 31
Ed
2.
s
1.
Équations du premier degré
37
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
38 39 SY7
Quelles sont les propriétés de l’égalité qui permettent de résoudre une équation du premier degré à une inconnue ?
SY7
3.1 Règle
SY7
3.2 Règle S’exercer et approfondir
SY7 41
141
4.
Plans et cartes
45
Explorer et découvrir Structurer et retenir
46 SY9
1.
Qu’est-ce qu’un rapport ?
SY9
2.
Comment utiliser l’échelle d’un plan ou d’une carte ?
SY9
3.
Comment calculer une vitesse, une distance, une durée ? S’exercer et approfondir
Figures planes
61
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir Comment calculer le périmètre d’une figure ?
2.
Comment calculer le périmètre et l’aire d’une figure ? S’exercer et approfondir
Le théorème de Pythagore et sa réciproque Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
1.
VA
6.
N
1.
IN
5.
SY10 53
SY11 SY12 71
79 80 81 SY13
Que représente le symbole √ ? SY13 SY13
2.
Comment nommer les côtés d’un triangle rectangle ?
SY13
3.
Quelle est la relation entre les mesures des côtés d’un triangle rectangle ?
SY14
6.2 Théorème de Pythagore
SY14
6.3 Réciproque du théorème de Pythagore
SY14
4.
Comment calculer la mesure d’un côté d’un triangle rectangle en fonction des mesures des deux autres côtés ?
SY14
5.
Partant des mesures des trois côtés d’un triangle, comment savoir si ce triangle est ou n’est pas un triangle rectangle ?
SY15
6.
Comment construire un segment de longueur √a (a naturel) ?
SY16
7.
Comment calculer avec des radicaux ?
SY17
6.4 Produit de radicaux et radical d’un produit
SY17
6.5 Quotient de radicaux et radical d’un quotient
SY17
6.6 Simplification
SY17
6.7 Addition et soustraction de radicaux
SY17
Comment représenter les différents ensembles de nombres ? S’exercer et approfondir
SY18 89
Solides
101
Ed
iti
on
s
6.1 Définition d’une racine carrée positive
8.
7.
142
62 70 SY11
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
102 106 SY19
1.
Quelles sont les unités de volume, comment les convertir ?
SY19
2.
Comment reconnaître une pyramide, comment désigner ses éléments ?
SY19
3.
Comment reconnaître un cône, comment désigner ses éléments ?
SY20
4.
Comment construire le développement d’un cône et calculer son aire ?
SY20
5.
Comment calculer le volume d’une pyramide, d’un cône ?
SY21
6.
Comment calculer l’aire et le volume d’une sphère ? S’exercer et approfondir
SY22 111
8.
Traitement et organisation de données
127 128 129 SY23
1.
Comment déterminer ou utiliser un pourcentage dans différentes situations ?
SY23
2.
Comment s’y prendre pour rédiger un questionnaire ?
SY23
3.
Comment comprendre et utiliser le vocabulaire statistique ?
SY24
4.
Comment représenter des données ?
SY25
5.
Comment calculer une moyenne ? S’exercer et approfondir
SY26 135
Ed
iti
on
s
VA
N
IN
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
143