(4 pér./sem. )
est destiné aux élèves de 3e année de l’ensemble des réseaux de l’enseignement technique de qualification. C’est un livre-cahier : - pratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercices et l’espace pour les résoudre sont réunis dans un seul ouvrage ; - progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; - fluide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre.
UNE NOUVELLE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT TECHNIQUE DE QUALIFICATION DE LA 3E À LA 6E ANNÉE Une mise en page en couleur et structurée. Une approche des maths en accord avec le quotidien des élèves. Une pédagogie stratégique. Des livres-cahiers au 2e degré. Des manuels au 3e degré.
Françoise Van Dieren | Giuseppe Bianchi Avec la collaboration de Marie-Noëlle Peltgen
3 QUADRANT e
Françoise Van Dieren Giuseppe Bianchi
Mathématiques
Technique de qualification
Avec la collaboration de Marie-Noëlle Peltgen
4 périodes / semaine
Chaque chapitre possède la même structure didactique : une mise en contexte donnant du sens à l’apprentissage. des rappels sous forme d’exercices pour rassembler les acquis. des activités proches de la vie pratique, sociale et économique des élèves.
3
e
une synthèse qui récapitule la théorie indispensable.
e
3 QUADRANT
4 périodes / semaine
de nombreux exercices, diversifiés, préparant les élèves à l’évaluation de leurs compétences.
De Boeck ISBN 978-2-8041-9574-8 573016
vanin.be
QUADRANT LIVRE-CAHIER
3
e
QUADRANT LIVRE-CAHIER 4 périodes / semaine
Couverture : Double Clic Maquette et mise en pages : Nord Compo Crédits : © Zero Creatives/cultura/Corbis (p. 151) ; © Portal da Copa/Rui Faquini / Wikimedia (p. 170) ; © www.daylight. com – Country Hall à Liège – Bureau Greisch (p. 177) ; © Fotolia : Igarts (engrenages), alexey_boldin (p. 1), photovlada78 (p. 2), alena_popova (p. 4), Delphotostock (p. 5), koosen (p. 6), savcoco (p. 7), Karramba Production (p. 8), jakubczajkowski (p. 10), verkoka (p. 12), jkphoto69 (p. 17), BESTGREENSCREEN (p. 18), yz365vux236 (p. 19), Olaf Schulz (p. 21), An-T (p. 22), Pictures news (p. 24), bluebay2014 (p. 28), anidimi (p. 29), Kushnirov Avraham (p. 30), Jean-Yves Foy (p. 31), AlessandroDeMatteis (p. 38 ht), mdennah (p. 38 bas), Denys Prykhodov (p. 39), jordi2r (p. 40), sinuswelle (p. 41), jordi2r (p. 43), Minerva Studio (p. 44), animaflora (p. 53), alex.pin (p. 55), Antonio Gravante (p. 57), Pascal Péchard (p. 66), Jean-Michel LECLERCQ (p. 67 ht), DMM Photography Art (p. 67 bas), Nyo009 (p. 68), ballabeyla (p. 69), YURY MARYUNIN (p. 73 ht), Giuseppe Porzani (p. 73 m), Photo Feats (p. 73 bas), sa4e4ek (p. 75), Krikoui (p. 76), twindesigner (p. 80), Brian Kinney (p. 83), aarstudio (p. 85), mezenmir (p. 105), hanabunta (p. 114), gorbovoi81 (p. 119), sylv1rob1 (p. 122 ht), LoopAll (p. 125), JMDZ (p. 126), tsach (p. 127 d), freshidea (p. 128 ht), Michael Eichhammer (p. 128 bas), Tyler Olson (p. 147), Mi. Ti. (p. 149), Arkna (p. 150), Telliac (p. 156), Lilufoto (p. 157 ht), Danimages (p. 157 bas), NfrPictures (p. 158), SL-66 (p. SY42), Ataly (p. 162 ht), Greg Pickens (p. 162 bas), Pat31 (p. 164), Gerhard Seybert (p. 165), Sarka (p. 174), kevers (p. 175). © Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2016, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 1re édition - 1re réimpression 2018 ISBN 978-2-8041-9574-8 D/2016/0074/098 Art. 573016/02
Françoise Van Dieren | Marie-Noëlle Peltgen
Françoise Van Dieren Giuseppe Bianchi
Mathématiques
Technique de qualification
Avec la collaboration de Marie-Noëlle Peltgen
4 périodes / semaine
3
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3 QUADRANT
4 périodes / semaine
e
QUADRANT LIVRE-CAHIER
IN
Avant propos 3e Quadrant (4 périodes/semaine) est destiné aux élèves de troisième année de l’enseignement qualifiant, tant dans le réseau de l’Officiel que dans le Libre.
VA
N
C’est un livre-cahier : •p ratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercices et l’espace pour les résoudre sont réunis dans un seul ouvrage ; •p rogressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; • fl uide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre, souvent sur une même page. Cinq étapes, les mêmes dans chacun des chapitres, rythment les apprentissages.
s
Situer ce que l’on va apprendre
on
L’introduction est illustrée par un engrenage : chaque roue entraîne l’élève, d’étape en étape, au départ de ce qu’il sait déjà vers ce qu’il va apprendre. Les mathématiques prennent sens aux yeux de celui qui apprend quand ses acquis sont des tremplins et s’inscrivent dans une dynamique dont il perçoit les enjeux.
Ed
iti
Être conscient de la manière dont les connaissances s’enchaînent selon un ordre s’appuyant sur ce qui a été établi, c’est aussi s’approprier une forme de pensée qui est au centre de l’activité mathématique : la pensée déductive.
Rassembler et réactiver
Ramener sur le chantier ainsi ouvert les outils essentiels, en réparer quelques-uns, en ajuster d’autres, retrouver ceux qui sont perdus ; éviter donc de bâtir sur du sable mais aussi de se perdre en révisions exhaustives, c’est l’objectif de cette rubrique qui va à l’essentiel et permet de repérer à temps les lacunes qui bloqueraient la progression.
Explorer et découvrir Éveiller l’imagination, s’appuyer sur l’intelligence naturelle, mobiliser la réflexion. Toutes les étapes de cette rubrique sont construites dans cette optique. Le contexte, s’il est concret, est souvent évoqué par une photo, un texte, une question. S’il est abstrait, il s’appuie sur les acquis et sur des raisonnements logiques clairement explicités. Les questions s’enchaînent pour conduire progressivement mais sans détours vers ce qu’il faut découvrir. Cette rubrique se prête à un enseignement inversé. Il s’agit d’une méthode qui demande à l’élève de découvrir chez lui, en toute autonomie, une notion ou une méthode nouvelle. En classe, le professeur répond aux questions, apporte des compléments et des précisions, met en route les exercices. Par leur progressivité et leur présentation, la plupart des explorations peuvent se prêter à une découverte autonome. IV
Structurer et retenir À l’issue du travail d’exploration, les notions sont cernées, les concepts introduits, des formes de raisonnement découvertes, un vocabulaire spécifique utilisé. Il faut à présent ordonner, mettre en forme, intégrer, fixer, afin que les nouveaux acquis deviennent disponibles pour les applications et les conquêtes ultérieures. Chaque synthèse s’inscrit dans cette dynamique : elle est introduite par une question qui porte sur l’usage qui sera fait des nouveaux acquis. Les énoncés à retenir sont numérotés et mis en évidence, des exemples rattachent la théorie aux situations dans lesquelles ils ont émergé. Ils servent de modèle dans la résolution des exercices.
IN
Outre des définitions, des propriétés, des procédures, quelques synthèses proposent des méthodes spécifiques pour aborder certaines tâches : justifier, démontrer, résoudre certains types de problèmes.
S’exercer et approfondir
VA
N
Les exercices sont classés selon les catégories décrites dans le référentiel diffusé par la Fédération Wallonie-Bruxelles : Connaître, Appliquer, Transférer. Structurés par une mise en pages qui en facilite l’accès, ils peuvent être menés selon des pédagogies variées : pilotés par le professeur, résolus par petites groupes, répartis selon les profils, les goûts, les aptitudes ou le rythme des élèves. Les ressources et compétences énumérées dans les trois unités d’acquis d’apprentissage (UAA) de la classe de troisième sont réparties dans les onze chapitres de ce livre-cahier. Le tableau ci-après (pages VI-VII) montre les correspondances.
Françoise Van Dieren Directrice de collection
Ed
iti
on
s
En espérant que ce livre-cahier permettra à l’élève de découvrir sous un jour nouveau différents aspects des mathématiques : leur utilité, leur logique propre, leur beauté parfois. Et surtout, qu’il donnera à chacun une confiance renouvelée dans sa capacité à les apprendre et à les pratiquer.
V
Correspondance entre les chapitres et les UAA Le nouveau référentiel de mathématiques découpe le 2e degré en trois Unités d’Acquis d’Apprentissage (UAA). Voici la répartition des différents chapitres du livre-cahier 3e Quadrant en fonction de celles-ci.
UAA 1 Approche graphique d’une fonction
IN
Ressources Graphique d’une fonction Variable dépendante et indépendante
VA
1
on
s
Éléments caractéristiques • Domaine et ensemble-image • Image d’un réel • Zéro(s) • Signe • Croissance - décroissance • Maximum - minimum
N
Intervalles dans R
Chapitres
UAA 2 Le premier degré
Chapitres
iti
Ressources
Fonction du premier degré. Fonction constante
Ed
Représentation graphique
Rôle des paramètres m et p Caractéristiques • Zéro • Signe • Croissance - décroissance
Représentation graphique de la fonction x →
VI
4
a (a ≠ 0) x
Équation du premier degré à une inconnue
2
Inéquation du premier degré à une inconnue
3
Intersection de deux fonctions du premier degré et/ou constantes
5
Nuage de points, ajustement linéaire
4
UAA 4 Géométrie Ressources
Chapitres
6-7
Solides • Parallélépipède rectangle • Prisme droit ; cylindre • Pyramide ; cône • Sphère
8 - 11
IN
Figures planes • Triangle • Quadrilatère • Cercle • Polygone régulier
Théorème de Pythagore et sa réciproque
9 - 11
10 - 11
Ed
iti
on
s
VA
N
Sinus, cosinus et tangente d’un angle dans le triangle rectangle
VII
IN
Comment utiliser ton livre-cahier ?
N
Ton livre-cahier est structuré en 11 chapitres qui organisent chacun une même succession d’activités.
L’introduction
VA
Lis attentivement l’introduction pour situer ce que tu vas apprendre dans le chapitre.
Chaque introduction propose une vue en engrenage des différents thèmes qui vont s’enchaîner tout au long du chapitre.
Ed
iti
on
s
Info
Rassembler et réactiver Ravive ce que tu as appris au 1er degré car ce sont des prérequis nécessaires à l’étude du chapitre.
Info Chaque rubrique possède son propre code couleur ainsi qu’un rappel de l’Unité d’Acquis d’Apprentissage (UAA) étudiée, ce qui te permet de savoir immédiatement où tu te trouves.
VIII
Explorer et découvrir En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.
Info
N
IN
Généralement, une exploration est proposée par page, ce qui permet d’installer une ambiance et de ne pas se disperser.
10
Structurer et retenir
Nombres trigonométriques des angles de 30° et 60° Les nombres trigonométriques de 30° et 60° peuvent être établis à partir d’un triangle équilatéral dont le côté mesure 1 unité.
VA
Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.
5
Info
=
1 2
AH H
sin 60°
3 2 1 1 3 BH = 2 = = 3 3 3 AH 2 AB
=
AB BH
cos 60°
AB
tan 60°
AH BH
=
3 2
=
1 2
3 = 2 = 3 1 2
A
1
s
C
3 2
2
2
AH = 1 – H
1 3 = 2 4
B
on
Dans un triangle équilatéral, le pied de la hauteur est le milieu de la base.
6
Nombres trigonométriques de l’angle de 45° Les nombres trigonométriques de l’angle de 45° peuvent être établis à partir d’un triangle rectangle isocèle dont l’hypoténuse mesure 1 unité. C
2
2
AC + AC = 1
U A A 4 Gé o m é tri e
2
iti Ed
La hauteur de l’escalator
Calcule la différence de niveau que l’on franchit en utilisant l’escalator sachant que l’inclinaison par rapport au sol est de 35° et que l’escalator a une longueur de 12 mètres. Indication Réalise un schéma de la situation, portes-y les données et l’inconnue.
8
AB AH
AH =
Transférer
7
tan 30°
BH
1 CH = 2
La numérotation indépendante des pages de synthèse te permet de détacher celles-ci et de les garder dans ton classeur pour l’année prochaine.
10
sin 30° cos 30°
AC =
B
sin 45°
1 AC = 2
cos 45°
2
1
AB = AC =
2AC = 1
2 2
2 2
AC =
1 2 = 2 2
tan 45 °
AC BC AB BC AC AB
=
2 2
=
2 2
=1
A
SY40
S’exercer et approfondir Résous les exercices variés et qui sont proches de ton quotidien afin de voir si les notions étudiées dans les synthèses sont bien ancrées dans ton esprit.
L’échelle La distance du pied de l’échelle au mur mesurée sur le sol est 1, 5 m. L’inclinaison de l’échelle par rapport au mur est de 16°. À quelle hauteur l’échelle touche-t-elle le mur ? (C’est la longueur de la projection orthogonale de l’échelle sur le mur.) Indication Réalise un schéma de la situation et portes-y les données et l’inconnue.
Info 9
Hauteur d’un arbre Lise, qui mesure 1,76 m, est à 30 m d’un arbre.
U A A 4 Gé o m étri e
L’angle entre l’horizontale et le sommet de l’arbre est de 35°. Représente la situation par un schéma.
Calcule la hauteur de l’arbre.
Tu peux directement répondre aux exercices dans ton livre-cahier. Au besoin, tu peux utiliser une feuille blanche supplémentaire.
162
IX
IN
sommaire U A A 1 A pproche graphique d’une fonc tion
VA
U A A 2 Le pre m i e r degré
N
1. Graphiques de fonctions...........................................................................1
2. Équations du premier degré................................................................. 21 3. Inéquations................................................................................................. 29 4. Fonctions du premier degré................................................................. 39
on
s
5. Systèmes d’équations.............................................................................. 57
U A A 4 G é o mé tri e
6. Plans et cartes............................................................................................ 69
iti
7. Figures planes........................................................................................... 85
Ed
8. Solides........................................................................................................ 105 9. Pythagore.................................................................................................. 129 10. Trigonométrie du triangle rectangle................................................ 151 11. Problèmes pratiques de géométrie................................................... 165
X
Graphiques de fonctioNS
IN
1
Ordonnée à l’origine
s
Racines
VA
N
Te souviens-tu avoir utilisé ou réalisé un graphique, dans le cadre du cours de mathématiques ou en dehors ? On en trouve dans tous les domaines, y compris ceux qui paraissent les moins scientifiques !
f
Tableau de variation
Tableau de valeurs
Ed
iti
Graphique
on
Dom f Im f
Et pourquoi sont-ils si utiles ?
Ils donnent, d’un seul coup d’œil, une vision générale de la situation étudiée (ce que ne fait pas une formule mathématique) : croissance ou décroissance, valeur maximale ou minimale… Leur principal défaut ? Le plus souvent, leur imprécision. Sauf données explicitement indiquées, un graphique ne donne pas des valeurs exactes, mais des valeurs approchées. Ce qui, dans bien des situations, est largement suffisant. Mais pas toujours, il faut bien le savoir !
Dans ce chapitre, tu apprendras à exploiter au mieux les informations fournies par un graphique, tu te familiariseras avec le vocabulaire et les notations qui seront utilisés plus tard.
1
RASSEMBLER et réactiver Le glucose apporte l’énergie aux différents tissus de l’organisme. La glycémie est le taux de sucre (ou taux de glucose) dans le sang. La valeur moyenne de la glycémie est 1 gramme par litre de sang. Elle varie entre 1 et 1,4 g/l deux heures après un repas. Elle varie entre 0,8 et 1,26 g/l à jeun le matin.
IN
L’hyperglycémie provoquée par voie orale (HGPO) est un examen qui consiste à mesurer les variations de la glycémie à jeun et après une prise de glucose. Cet examen permet d’analyser le taux de glucose sanguin et ainsi de dépister le diabète.
2
N
Ce graphique relate l’évolution de la glycémie d’un patient à jeun, après une injection de glucose.
VA
Glucose en g/l
2
on
iti
1
0,5
Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
s
1,5
0
Temps écoulé en minutes 30
60
90
120
150
180
a. Quelle est la glycémie de ce patient 1 h 30 après l’injection ? ...................................……............... b. Quelle est la valeur maximale de la glycémie de cette personne durant l’examen ? ....…………...... c. Au bout de combien de temps ce maximum est-il atteint ? …………………………………………….. d. Durant combien de temps, la glycémie a-t-elle été supérieure à 1,2 g/l ? …………………………… e. Combien de temps s’est écoulé avant que la glycémie soit redescendue en-dessous d’1g/l ? ............ ...........................................................................................……………………………..............................
EXPLORER ET DÉCOUVRIR 1
1
Fonction ou relation ? Dans le langage courant, le mot « fonction » a plusieurs sens. Celui qui se rapproche le plus de l’usage habituel en mathématique et en science est la locution « être fonction de » qui signifie « dépendre de ». Une fonction est une relation qui existe entre deux quantités, telle que la variation de la première entraîne une variation correspondante de la seconde. NICOLAS CHUQUET mathématicien français (1445-1488)
5
25
x
a comme carré
x
N
f
est le carré de
f(x) = x2
± x
VA
2
IN
La définition actuelle n’est plus tout à fait celle de Nicolas Chuquet. On considère maintenant la fonction comme une « machine » qui transforme un nombre en un autre. Pour que cette « machine » soit appelée fonction, il faut que lorsqu’un nombre entre dans la « machine », il n’en sorte pas plus d’un nombre.
25
–5
Cette « machine » n’est pas une fonction car si on y entre un nombre, il peut en sortir plus d’un.
s
Cette « machine » est une fonction, car quel que soit le nombre entré, il n’en sort jamais plus d’un.
5
on
Voir aussi le conte mathématique : www.universcience.tv/video-les-fonctions-4905.html Quel est le graphique qui représente une fonction ? ...................................................……………………
iti
Quel est celui qui représente une relation qui n’est pas une fonction ? ...................................................
Ed
A.
A
–5
–4
–3
–2
–1
B.
y
y
4
5 4
3
3
2
2
1
1
0
1
x
–4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3 x
Justifie. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………
3
1 22
Charge maximale d’une grue La charge maximale d’une grue de chantier est fonction de la portée.
Portée
Le graphique fournit à l’utilisateur les renseignements concernant les charges maximales correspondant aux longueurs de la portée de sa grue.
20 m
Les longueurs (en m) sont indiquées sur l’axe des bscisses et les charges sont indiquées (en tonnes) sur a l’axe des ordonnées.
La charge maximale pour une flèche de 20 m est 4,5 tonnes.
N
L’intervalle des charges maximales correspondantes est appelé l’ensemble image.
IN
Pour une certaine grue, la longueur de la portée varie dans l’intervalle [10 ; 50]. On dit que cet intervalle est le domaine de cette fonction.
4,5 t
a. Quel est l’ensemble image de cette fonction ? …………………………................……………………..
VA
b. Quelle est la charge maximale pour une portée de 30 m ? ……………………………………………..
de 40 m ? ……………………………………………..
c. Quelle est la longueur, au mètre près, de la portée pour une charge de 8 tonnes ?
4
on
y
d. D ’après le graphique, quel est le principe qui décrit la relation entre la longueur de la portée d’une grue et la charge maximale pouvant être levée à son extrémité ?
(10 ; 10,3)
iti
10 9 8
Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
s
……………………………………..…………………………………………………………………………….…..
7
Entoure la proposition correcte.
6
A. La charge maximale pouvant être levée est directement proportionnelle à la longueur de la portée.
5
(20 ; 4,5)
4 3
(30 ; 2,9) (40 ; 2,1) (50 ; 1,7)
2 1 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50 x
B. Plus la longueur de la portée d’une grue est grande, plus la charge maximale pouvant être levée à son extrémité diminue.
Graphiques de fonctioNS Le récupérateur d’eau de pluie Le volume V d’eau (en l) contenu dans ce récupérateur varie en fonction de la hauteur h (en dm) d’eau. Une graduation figure sur le côté du récupérateur, elle permet de lire le niveau d’eau. On obtient le volume d’eau en multipliant la hauteur (en dm) par 20. Ce qu’on écrit : V(h) = 20h
V(5) = 20 × 5 = 100
a. Quel est le volume qui correspond à une hauteur de 8 dm ?
N
……………………………………………………………………..………… …………………………..
IN
Si on calcule le volume qui correspond à une hauteur de 5 dm, on écrit
b. Quelle est la hauteur qui correspond à un volume de 360 l ?
c. Complète. V(......) = 240
V(4) =
V(......) = 300
h
V(h)
s
V(3) =
VA
……………………………………………………………………..……………………………………..
d. Rassemble ces résultats dans le tableau de valeurs ci-contre.
iti
on
e. Construis le graphique du volume d’eau (en l) en fonction de la hauteur (en dm).
Volume en litres 400
Ed
3
360
……............…………………..
320
……............…………………..
280
g. S achant que la citerne a une capacité maximale de 400 litres, quel est le domaine de cette fonction ?
240 200 160
……............…………………..
120
……............…………………..
80
h. Q uel est son ensemble image ?
40 0
f. L e volume d’eau de ce récupérateur est-il proportionnel à la hauteur ?
2
4
6
8
10
12 14 16 18 20 22 Hauteur en dm
……............………………….. ……............…………………..
5
1 4
Lancement Alex fait des essais de lancement de pierres avec sa catapulte. Il la dirige vers le haut. Le graphique ci-après indique la hauteur « y » (en m) atteinte par la pierre, à l’instant « x » (en sec). Le niveau zéro étant la hauteur de la pierre au moment du lancement. a. Q uel est l’intervalle de temps pendant lequel la hauteur de la pierre est croissante ?
b. À quel moment la hauteur est-elle maximale ?
c. Donne une estimation de la hauteur maximale.
N
..............................................................…………………………......
IN
..............................................................…………………………......
VA
..............................................................…………………………......
d. Après combien de secondes la pierre revient-elle à sa hauteur initiale ? ..............................................................………………………….……………………………………….......
s
e. Quel est le domaine de cette fonction ?
6
on
f. Quel est son ensemble image ?
iti
..............................................................………………………….……………………………………….......
y
(3 ; 45)
45
Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
..............................................................………………………….……………………………………….......
40 35 30 25 20 15 10 5 0
1
2
3
4
5
6
x
Graphiques de fonctioNS Variations de température Les points du graphique ci-dessous indiquent les températures relevées dans une station météorologique du 12 janvier à 6h du matin au 13 janvier à 6h du matin. Ils sont reliés par des segments pour permettre l’estimation des températures intermédiaires. On suppose que la température évolue régulièrement entre deux relevés. a. Quand la température est-elle égale à 0° ? ………………. b. Quand la température est-elle positive ? …………………
d. L es réponses aux trois questions précédentes peuvent être rassemblées dans un tableau de signe. Complète le tableau 1.
f. Quelle est la température maximale ? …………………..
VA
g. Quelle est la température minimale ? ………………….
N
e. Quand la température est-elle croissante ?
IN
c. Quand la température est-elle négative ? ………………….
on
9 T (°C) 8 7 6 5 4 3 2 1
s
h. On peut schématiser le comportement de cette fonction par un tableau qu’on appelle tableau de variation. Complète le tableau 2.
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 h
iti
0 6 7 89 –1 –2 –3 –4 –5
Ed
5
Tableau 1 (signes) Heure
6h
Température
9 h 30
16 h
6h
0
+
–
Tableau 2 (variations) Heure
6h
13 h
21 h 22 h
4h
6h
Température
7
1 6
Deux liquides s’évaporent Deux flacons identiques (A et B) contiennent des liquides différents qui s’évaporent peu à peu. Ce graphique montre la hauteur en millimètres du liquide restant dans chaque flacon en fonction du nombre de jours écoulés. y 11 10 Flacon A 9
IN
8
6 Flacon B
a. Q uelles sont les hauteurs des liquides en début et en fin d’expérience ?
5
…………………………...……..
N
7
VA
4 3 2 1
8
10
15
s
5
20
on
e. Complète les tableaux de valeurs de ces fonctions. Flacon A
Hauteur en mm (y)
iti
Nbre de jours (x)
Nbre de jours (x)
Hauteur en mm (y) 4
d. C ompare l’évolution des hauteurs entre le cinquième et le dixième jour. …………………………...……..
12
2,5
20
c. Q uand la hauteur (en mm) du liquide restant dans le flacon A est-elle supérieure ou égale à celle du flacon B ?
…………………………...……..
7,5
10
…………………………...……..
…………………………...……..
Flacon B
Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
0
x 25
b. A u bout de combien de jours les deux liquides sont-ils à même hauteur dans les flacons ?
2,5 20
…………………………...…….. …………………………...…….. …………………………...……..
oit hA(x), la fonction qui exprime la hauteur du premier liquide en fonction du nombre de jours f. S et hB(x), celle qui exprime la hauteur du second liquide en fonction du nombre de jours. Complète : hA(x) = 8
hB(x) = 5,5
hA(x) = hB(x)
x=
x = ...
x=
1
Structurer et retenir Comment savoir si un graphique représente une fonction ? 1.1 Graphique d’une fonction
IN
Le graphique d’une fonction se caractérise par le fait qu’à une abscisse d’un point ne peut correspondre plus d’une ordonnée.
Exemple 2
Graphique d’une fonction
Graphique d’une relation qui n’est pas une fonction y
y
VA
B
N
Exemple 1
A
A
1
1
x
1
1
B
x
iti
0
on
s
0
Ed
1
On voit que cette courbe représente une fonction car toute parallèle à l’axe des ordonnées coupe la courbe en maximum un point.
On voit que cette courbe ne représente pas une fonction car il existe au moins une parallèle à l’axe des ordonnées qui coupe la courbe en plus d’un point.
Deux points distincts du graphique ont des abscisses différentes.
Les points A et B du graphique ont même abscisse.
SY1
1 2
Quel vocabulaire et quelles notations utiliser ? La valeur de la variable qui entre dans la « machine » est souvent notée « x », et l’image, par la fonction f, notée « f(x) », est ce qui en sort. f(1) = 5 signifie « l’image de 1 par f est 5 »
« 5 est l’image de 1 par f » ou
IN
ou
N
« le point (1,5) appartient au graphique de f ».
VA
Les couples qui appartiennent à une même fonction sont souvent présentés dans un tableau appelé « tableau de valeurs ».
Exemples
Soit p la fonction qui associe la mesure du côté d’un carré à son périmètre.
Tableau de valeurs de f(x) = x3
Tableau de valeurs de p(x) = 4x
SY2
on x
f(x)
x
p(x)
– 3
– 27
1
4
– 1
– 1
12
48
0
0
20
80
3
27
30
120
5
125
iti Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
s
Soit f est la fonction qui associe un nombre à son cube.
On dit 125 est l’image de 5 par la fonction f – 3 a comme image – 27 par la fonction f On écrit f(5) = 125 f(– 3) = – 27
On dit 48 est l’image de 12 par la fonction p 20 a comme image 80 par la fonction p On écrit p(12) = 48 p(20) = 80
Graphiques de fonctioNS
Comment déterminer le domaine d’une fonction à partir de son graphique ? 1.2 Définition : domaine d’une fonction L’ensemble des abscisses des points d’une fonction est appelé domaine de cette fonction. Le domaine de la fonction f est noté dom f.
On écrit ensuite l’intervalle ou la réunion d’intervalles correspondants. Exemples
5
1) D ’après le graphique de l’exploration 2, le domaine est l’intervalle [10; 50]
4
N VA
2
1
– 6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6x
–2 –3
s
4) O n voit sur le graphique ci-contre que 1 le domaine de la fonction f(x) = x est ℝ0 (qu’on lit « ℝ privé de zéro ») car si x = 0, f(x) n’existe pas.
y
3
2) D’après le graphique de l’exploration 4, le domaine est [0; 6]. 3) L e domaine de la fonction f(x) = x est ℝ.
IN
Pour déterminer cet ensemble par lecture graphique, on repère sur l’axe des abscisses, l’ensemble des valeurs que prend la variable.
on
–4 –5
iti
5) I l arrive que le domaine soit la réunion de plusieurs intervalles. Pour la fonction représentée par le graphique ci-dessous, on écrit : dom f = [– 4 ; – 2] ∪ [– 1 ; 1] ∪ [2 ; 4]
Ed
3
24
y
20 16 12 8 4 –5 – 4 –3 –2 –1 0 –4
1
2
3
4
5
6x
–8 –12 –16
SY3
1 4
Comment déterminer l’ensemble image d’une fonction ? 1.3 Définition : ensemble image d’une fonction L’ensemble des ordonnées des points d’une fonction est appelé ensemble image d’une fonction. L’ensemble image de la fonction f est noté im f. Pour déterminer cet ensemble par lecture graphique, on repère sur l’axe des ordonnées l’ensemble des valeurs que prend la fonction.
IN
On écrit ensuite l’intervalle ou la réunion d’intervalles correspondants. Exemples
1) D ’après le graphique de l’exploration 2, l’ensemble image est [1,7 ; 10,3] .
N
2) D ’après le graphique de l’exploration 4, l’ensemble image [0 ; 45].
VA
3) L ’ensemble image de la fonction f(x) = x2 (voir l’exemple 1 de la Synthèse 1) est l’ensemble des réels positifs, noté ℝ+ (attention, 0 appartient à ℝ+).
s
4) Sur le premier graphique de la page précédente, on peut voir que l’ensemble image de 1 la fonction f(x) = est ℝ0 car 0 n’est l’image d’aucun réel par cette fonction. x 5) D’après le graphique de la fonction représentée ci-dessous, l’ensemble image est la réunion de trois intervalles.
SY4
on iti Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
im f = [– 16 ; – 4] ∪ [2 ; 4] ∪ [8 ; 18] 24
y
20 18 16 12 8
4 2 –5 – 4 –3 –2 –1 0 –4 –8 –12 –16
1
2
3
4
5
6x
Graphiques de fonctioNS
Comment lire des racines et l’ordonnée à l’origine d’une fonction sur un graphique ? 1.4 Définition : racines ou zéros d’une fonction Les racines (ou zéros) d’une fonction sont les abscisses des points d’intersection du graphique avec l’axe des abscisses. Exemple
(–3 ; 0)
(1 ; 0)
(2 ; 0)
–2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 (0 ; – 6) –8 –9 –10 –11 –12 –13 –14 –15
1,5
2
2,5
3
x
on
s
–3 –2,5
N
(–3,25 ; 5,6)
y
VA
7 6 5 4 3 2 1
IN
La fonction représentée par le graphique suivant a trois racines : – 3 ; 1 et 2.
(3 ; –12)
iti Ed
5
Tableau de signe x y
– 3,25 5,6
+
– 3 0
1 −
0
2 +
0
3 −
– 12
L’ordonnée à l’origine d’une fonction est l’ordonnée du point d’intersection du graphique avec l’axe des ordonnées. Le nombre −6 est l’ordonnée à l’origine de la fonction représentée par le graphique ci-dessus.
SY5
1 6
Comment repérer, à partir du graphique, si une fonction ou une partie d’une fonction est croissante ou décroissante ? Pour examiner les variations d’une fonction, on balaie visuellement le graphique de gauche à droite. Si, lorsque x croît, f(x) croît aussi, alors la fonction est croissante. Si, lorsque x croit, f(x) décroît, alors la fonction est décroissante. Exemple
IN
y
(1,5 ; 1,1)
N
7 6 5 4 3 2 1
(–3,25 ; 5,6)
1
1,5
2
2,5
3
x
SY6
on iti
(3 ; –12)
Les intervalles de croissance et de décroissance sont présentés le plus souvent dans un tableau de variation.
Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
s
VA
–3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10 –11 –12 –13 (–1,5 ; –13,1) –14 –15
x
– 3,25
y
5,6
– 1,5
1,5
3
1,1 – 13,1
– 12
1
S’EXERCER et approfondir Connaître 11
Fonction ou relation ? Ces graphiques représentent-ils une fonction ? Justifie. y 2
–1 0 –1
1
–3 –2 –1 0 –1
2 x
1
2
3x –1
–2
–2
–3
y 4
3
3
on
1 0 –1
1
1
2
3
4
5
6
x
–2
1
2
3
x
–3
iti
0
21
Oui Non
5 y 4 3 2 1
–5 – 4 –3 –2 –1 0 –1 –2
1 2 3 4x
–3 –4 Oui Non
Ed
Oui Non
x
N
s
2
2
1
Oui Non
VA
y
0
1
Oui Non
Oui Non
IN
1 –2
y 1
y 1
Traduction
Traduis les phrases suivantes par des égalités du type f(a) = b . – 4 a pour image 10 par la fonction f.
Les images de –1 et 6 par g sont nulles.
Le graphique de h coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 5.
Le graphique de la fonction k passe par le point (− 4 ; 5).
9
1 31
Courbe de puissance d’une éolienne La puissance d’une éolienne dépend principalement du diamètre du rotor (ses ailes) et de la vitesse du vent. Il existe pour chaque éolienne une courbe de puissance qui la caractérise. Le graphique cidessous correspond à une éolienne de 1 000 kW avec un rotor de 54 m de diamètre. Elle est réglée pour que le rotor ne se mette à tourner qu’à partir d’une certaine vitesse du vent et pour qu’elle cesse de fonctionner quand le vent est trop fort.
Puissance d’une éolienne de 1000 kW 1200
IN
800
N
600 400
VA
Puissance en kW
1000
200 20
0
10
100
s
80
on
étermine la vitesse que le vent doit atteindre pour d que l’éolienne fonctionne : ………………………………………........……………….....
iti
étermine une vitesse du vent à partir de laquelle la d puissance de l’éolienne est supérieure à 600 kW : ………………………………………........……………….....
Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
a. Par lecture graphique :
40 60 Vitesse du vent en km/h
étermine la vitesse du vent à partir de laquelle la d puissance de l’éolienne n’augmente plus : ………………………………………........………………..... b. Complète ce tableau. Vitesse (km/h)
d. S i on note v la vitesse du vent et p la puissance de l’éolienne, résous par lecture graphique. Puissance (kW)
20 760 60 80 c. La puissance est-elle proportionnelle à la vitesse du vent ? ………… Justifie.
p(v) = 840
p(v) = 1 000
v = .......
....... ≤ v ≤.......
Graphiques de fonctioNS 41
Avoir et être… une image La droite d est la représentation graphique de la fonction f y –7
–6
–5
– 4 –3
–2
–1 0 –1
1
2
3
4
5
6
x
–2 –3
IN
–4 –5 –6
N
d
VA
Par lecture graphique :
Complète.
détermine l’image du nombre − 7 par la fonction f :
f(0) = ………
f(3) = ………
détermine le nombre x dont l’image est – 1 :
f(………) = 0
f(………) = – 3,5
f(– 1,5) = ………
f(3,5) = ………
s
…………………………………………………………
Un tableau de valeurs − 5
iti
Quelle est l’image par la fonction f des nombres suivants ?
Ed
51
on
…………………………………………………………
− 4
1
Complète.
f(0) = ..........
f(..........) = 120
f(2) = ..........
f(..........) = 59
Sachant que la « machine » qui correspond à cette fonction élève le nombre au cube puis lui enlève 5, calcule : f(10) = ..........
f(11) = ..........
f(– 10) = ..........
f(– 11) = ..........
Résous. f(x) = 3 ⇔ x = ..........
x
f(x)
− 5
− 130
− 4
− 69
− 3
− 32
0
− 5
1
− 4
2
3
4
59
5
120
f(x) = 995 ⇔ x = ..........
11
1 61
Estimation ou valeur exacte, plus petit ou plus grand ? Selon les indications fournies, on trouve une estimation ou une valeur exacte. Utilise le symbole adéquat pour compléter les égalités et inégalités ci-dessous. y
Utilise l’un des symboles = ; ≃ ; < ou > pour obtenir une égalité ou une inégalité. f(2) … 3,7
f(– 1) … 1
f(5) … 2,5
f(– 2) …
f(0) … 5
f(3) … 0
2 1
f(0) … 2
f(1) … 5
0
f
3,7
1,5
Rythme cardiaque
IN
71
5
1
6
x
12
VA
200 190 150
s
100
50
1
2
2
4
5 6 7 8 9 10 11 12 Temps écoulé (minutes)
13
Ed
0
on
75
iti
Pouls (battements/minute)
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
N
Ce graphique montre le pouls de Bogdan pendant un exercice de 13 minutes lors d’un entraînement de mini-foot.
Quel est le domaine ?
Quel est l’ensemble image ?
À quels moments le pouls a-t-il été de 100 battements/minute ?
Quand le pouls de Bogdan a-t-il été croissant ?
Quand n’a-t-il été ni croissant, ni décroissant ?
Quand la croissance a-t-elle été la plus rapide ?
Graphiques de fonctioNS Périmètre et aire Ce graphique représente deux fonctions a et p, l’une est le périmètre d’un carré en fonction de son côté, l’autre est l’aire du carré en fonction de son côté.
Place les lettres a et p à côté des graphiques correspondants et complète ce tableau. x
p(x)
a(x)
3 6 49 20
44
N
20
IN
y
VA
169
L’aire d’un carré est-elle toujours supérieure à son périmètre ? ……………………………........................………………………………. …………………….....................................…………………………….
s
Quelle est la mesure du côté d’un carré dont l’aire est 25 ?
10
on
…………………….....................................……………………………. …………………….....................................…………………………….
iti
Quelle est la mesure du côté d’un carré dont la mesure du périmètre est le même nombre que la mesure de son aire ? …………………….....................................…………………………….
Ed
81
0
2
4
6
…………………….....................................……………………………. Pour quelles valeurs de x a-t-on p(x) < a(x) ?
x
…………………….....................................…………………………….
13
1 Appliquer 91
Lire Par lecture graphique, détermine le domaine et l’ensemble image de la fonction f :
y 4 3
……………………………….........................…....…….
2
IN
détermine les racines de la fonction f :
1
……………………………….........................…....……. détermine l’ordonnée à l’origine :
–3
–2
–1 0
……………………………….........................…....…….
1
2
3
4
5
N
–1
détermine pour quelle valeur de x la fonction atteint un maximum et quel est ce maximum :
–2 –3
VA
……………………………….........................…....…….
détermine pour quelles valeurs de x on a f(x) = 4 : ……………………………….........................…....…….
détermine pour quelles valeurs de x on a f(x) ≥ 4 :
on
Résolution graphique d’équations et d’inéquations Le graphique ci-contre représente une fonction f.
iti
10
Quel est son domaine de définition ?
18
………………………………………......… Pour combien de valeurs de x a-t-on f(x) = 0, quelles sont ces valeurs ?
14 12
………………………………………......…
10 (–0,8 ; 8,21) 8
Pour combien de valeurs de x a-t-on f(x) = 12, f(x) = 3, f(x) = 20, quelles sont ces valeurs ?
6
………………………………………......…
4
………………………………………......…
2
Quelle est la solution de l’inéquation f(x) ≥ 3 ?
–2
–1
………………………………………......…
0 –2 –4 –6
(–2,5 ; –9,6) 14
y
16
Ed
U A A 1 A ppro che graphiqu e d'une fo nc tion
s
……………………………….........................…....…….
–8 –10
1
2 (2,15 ; – 4,1)
3
4x
x
Graphiques de fonctioNS 11
Comparaison de fonctions D’après ce graphique, détermine les valeurs de x pour lesquelles :
y
f
2
f(x) = g(x)
1
g
f(x) ≥ g(x) −3
f(x) ≤ g(x)
−2
−1
0
1
2
x
y 5 4
f(x) ≥ g(x)
3
f(x) ≤ g(x)
(3,2 ; 2,04)
2
f(x) > g(x)
1
f(x) < g(x)
(6,7 ; 9,5)
Ed
iti
y 10
on
Tableau de signe
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
(–2 ; 1,6) 0
Par lecture graphique, détermine tous les nombres dont l’image par f est 2. …………………………...........…………………. On sait que
(–6,5 ; 2,7)
–10
2
f
s
0
12
g
N
f(x) = g(x)
VA
D’après ce graphique, détermine les valeurs de x pour lesquelles :
IN
−1
f(– 10) = – 2,6
f(10,3) = 0
f(– 9 ; 2) = 0
f(11) = – 4,5
10 x Quel est le domaine de définition de f ? …………………………...........………………….
Dresse un tableau de signe de la fonction f.
15
1 Transférer 13
Comparaison de la fréquence cardiaque La fréquence cardiaque est le nombre de battements cardiaques (ou pulsations) par unité de temps (généralement la minute).
IN
Dépasser de façon durable sa fréquence cardiaque maximale au cours d’un effort physique expose à une souffrance musculaire qui va entraîner des crampes et surtout, au niveau cardiaque, une souffrance cellulaire dont les conséquences peuvent être graves, voire dramatiques (troubles du rythme ventriculaire), notamment chez un sujet non entraîné. Les courbes ci-dessous proviennent d’une analyse statistique sur 2000 personnes, mais un sportif de bon niveau peut très bien être en dessous ou au-dessus, selon sa morphologie cardiaque1.
N
215 210
VA
205 200 195 190 185
on
175 170
h
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Âge (ans)
iti
165
f
s
180
Quels sont les âges sur lesquels porte cette étude ? …………………………...................……..
Ed
U A A 1 A pproche graphiq ue d'une fonc tio n
Fréquence cardiaque (pls/min)
FC maximale hommes FC maximale femmes
Sur quel intervalle de pulsations par minute les fréquences se répartissent-elles ? ................................................................................................................................................... À quel âge la fréquence cardiaque maximale est-elle la même pour les hommes et pour les femmes ? ................................................................................................................................... À quel âge la différence entre les fréquences cardiaques maximales des hommes et celles des femmes est-elle de 5 pulsations par minute ? ................................................................ Sur quelle période de la vie la fréquence cardiaque maximale est-elle plus élevée chez les hommes que chez les femmes ? .......................................................................................
1 Ce graphique provient du site http://sportech.online.fr/sptc_idx.php?pge=spfr_crv.html
16
Graphiques de fonctioNS Action d’un médicament La vitesse de passage dans la circulation du sang d’un médicament est un paramètre prépondérant pour les médicaments destinés à une action rapide (antalgique par exemple) en prise unique ou de courte durée. Pour les traitements chroniques, où une imprégnation constante est recherchée, le temps pour atteindre cette concentration est moins déterminant. Le facteur vitesse est apprécié par la concentration maximale (Cmax) et le temps pour atteindre cette concentration (Tmax).
IN
Voici un exemple de comparaison des profils pharmacocinétiques de deux médicaments.
Médicament A
N
2
0
2
3
4 5 6 Durée (h )
7
8
9
10
7
8
9
10
s
1
VA
1
3 2 1
on
Médicament B
iti
Concentration (ng/ml)
Concentration (ng/ml)
En abscisse, la durée après absorption (unité 1 heure) ; en ordonnée, le taux de concentration dans le sang (unité le ng /ml, nanogramme par millilitre).
0
1
Ed
14
2
3
4 5 6 Durée (h )
Quel est le médicament qui atteint le plus vite sa concentration maximale ?
En combien de temps ?
Quelle est cette concentration ?
Quel est le médicament qui atteint la concentration maximale la plus élevée ?
Quelle est cette concentration ?
17
1 15
Voiture d’occasion On sait que le prix d’une voiture diminue au fur et à mesure de son ancienneté. On a représenté le graphique qui décrit cette diminution pour une voiture de marque donnée.
Par lecture graphique,
IN
a. détermine le prix de la voiture à l’achat : ..................................……………......................... b. détermine le prix 6,5 ans après l’achat : ..................................…………….........................
y Prix (en milliers d’€) 18 17
..................................…………….........................
15
d. formule les trois réponses précédentes en utilisant le vocabulaire des fonctions :
14
N
c. détermine après combien d’années cette voiture aura perdu la moitié de sa valeur :
VA
16
e. détermine l’image de 5 :
s
..................................…………….........................
18
on
11 10 9
..................................…………….........................
8
iti
f. détermine la valeur de x pour laquelle f(x) = 14 :
12
g. détermine le domaine de cette fonction :
7
..................................…………….........................
6
Ed
U A A 1 A pproche graphiq ue d'une fonc tio n
..................................…………….........................
13
h. détermine l’ensemble image de cette fonction :
5
..................................…………….........................
4
..................................…………….........................
3
i. interprète les quatre derniers résultats dans le contexte :
2
..................................……………......................... ..................................……………......................... ..................................……………......................... ..................................……………......................... ..................................…………….........................
1 0
1
2
3
4 5 6 7 8 x Ancienneté (en années)
Graphiques de fonctioNS
Entrer dans le chenal Dans le chenal qui relie le port de pêche de Nieuport à la pleine mer, le niveau d’eau fluctue en fonction de la marée. Le graphique ci-dessous indique la hauteur de l’eau en fonction de l’heure de la journée.
Indication Le tirant d’eau est la hauteur de la partie immergée du bateau qui varie en fonction de la charge.
IN
La plupart des petits bateaux de pêche ont un tirant d’eau qui ne dépasse pas 2,95 m. Les plus grands chalutiers ont, eux, un tirant d’eau de 3,95 m.
8 7 6 5 4 3 2 1
N
Le niveau de l’eau dans le chenal de Nieuport est lié aux marées.
0
2
4
6
8
10 12 14 t (heure)
VA
f
16
18
20
22
24
s
h (mètre)
on
D’après le graphique,
à quelle heure ont lieu les marées hautes ?
iti
quelle est, à ce moment, la hauteur de l’eau dans le chenal ? à quelle heure a lieu la marée basse en journée ? quelle est, à ce moment-là, la hauteur d’eau dans le chenal ?
Ed
16
quelle différence maximale de hauteur d’eau les marées de la journée provoquent-elles ? quand les bateaux de pêches pourront-ils quitter ou rentrer dans le port sans risquer de toucher le fond ? et les grands chalutiers ? précise le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction f.
f(8) = estime (à l’unité près) la valeur de t telle que f(t) = 3. résous l’inéquation f(t) >3. sur quels intervalles la fonction f est-elle décroissante ? 19
1 17
Éléments caractéristiques d’un graphique Complète le tableau d’après le graphique.
20
Croissance sur les intervalles
Ensemble image
Décroissance sur l’intervalle
f(1) =
Racines
f(1,5) =
Ordonnée à l’origine
[– 5 ; 8]
Ensemble image f(– 3)
y 8
[– 3 ; 6]
7
3
6
6
5
iti
f(– 4)
on
Domaine de définition
s
Esquisser le graphique d’une fonction f qui répond aux contraintes suivantes
Points appartenant max min au graphique (– 3 ; 6) et (5,5 ; – 3)
Ed
U A A 1 A pproche graphiq ue d'une fonc tio n
18
Domaine de définition
IN
9 8 7 6 5 4 (–6,5 ; 3) 3 2 1 (0 ; 1,3) (-0,5 ; 0) –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 x –1 –2 (–2 ; –1,7) – 3 –4 –5 –6 (–9 ; –6,5) –7
N
y (2 ; 9,6)
VA
10
Croissance
[– 5 ; – 3] et [5,5 ; 8]
Décroissance
[– 3 ; 5,5]
Racines
− 5 ; 3 ; 8
Ordonnée à l’origine
5
4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6
1
2 3 4 5 6 7
8x
Équations du premier degré
IN
2
s
VA
N
En progressant dans l’étude des fonctions, tu auras à résoudre toutes sortes d’équations. Et lorsque tu rencontreras des problèmes économiques et techniques, tu trouveras sur ta route toutes sortes de formules que l’on traite avec les mêmes principes que ceux que tu utilises pour résoudre des équations.
on
Problèmes
Fractions dans les deux membres
Ed
iti
ax + b = c
Inconnue dans les deux membres
Transformations de formules
Équations impossibles ou indéterminées
Dans ce chapitre, tu remettras sur le métier ce que tu sais déjà à propos des équations, tu apprendras à devenir plus rapide et plus sûr de toi pour résoudre des équations dont l’inconnue figure dans les deux membres, celles qui requièrent un calcul algébrique préalable, celles qui contiennent des fractions… Tu apprendras à utiliser des équations pour résoudre des problèmes et à transformer des formules que tu rencontreras en économie, dans les cours techniques et dans certains cours de sciences.
2
RASSEMBLER et réactiver 1. Une brique est placée sur le plateau de gauche d’une balance. On maintient l’équilibre en déposant à droite les ¾ d’une brique et une masse de ½ kg. On demande quelle est la masse d’une brique.
1/2 kg
d. Si on appelle x la masse d’une brique, la situation peut être traduite en langage 3 1 littéral par l’équation x = x + . 4 2
IN
a. Dessine un schéma de la même balance dans laquelle on a enlevé les ¾ d’une brique de chaque côté.
Écris l’équation qui correspond à la deuxième situation (la balance dessinée en a). 22
N
b. Que pèse le quart d’une brique ?
Déduis-en la valeur de x.
VA
c. Que pèse une brique ?
2. Quelle est l’opération sur chacun des membres qui permet de passer d’une équation à l’autre ? Vérifie. –x=7
V
s on
x = –7
– 6x = 6
x = –1
Ed
iti
V
– x – 7 = 70
– 6x – 8 = 6
– x = 77
U A A 2 Le premi er degré 22
x = 30 V x + 3 = –6 7
– 6x =
x=
V
–x = –6 5
x = 7
x= V
x= V
– 6x + 1 = 1 – 6x = 0 x=0 V
3x = x + 1
– 3x = x + 1
2x = 1
– 4x = 1
x= V
1 2
x= V
–1 4
EXPLORER ET DÉCOUVRIR 1
2
Que faire quand il y a des fractions ? Résous, compare ta solution avec celle de ton voisin. Si elles ne sont pas les mêmes, vérifie. Exercice résolu
x x 5 + = 3 4 6
x=
3 5
N
22
VA
Le produit en croix
Lorsque l’on a une égalité entre deux fractions, on peut gagner une étape en multipliant le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde et le numérateur de la seconde par le dénominateur de la première. C’est ce que l’on appelle le produit en croix. Résous de cette façon Exercice résolu
s
on
x –1 1– x = 3 7
iti
x – 2 2x = 4 5 5(x – 2) = 8x 5x – 10 = 8x – 3x = 10 10 x=– 3
x–3 x+3 = 5 2
Ed
2
x x – 1= 6 3
IN
x x 5 + = 2 3 10 15x + 10x 15 = 30 30 30 15x + 10x = 15 25x = 15
x x 3 – = 4 5 10
x – 2 10x = 3 7
x – 3x = + 10 3 2
5x – 1 x – 3 9x – = 4 5 10
23
2 3
Quel est ce nombre ? a. Trouve le nombre dont les cinq septièmes b. Je trouve l’opposé d’un nombre quand je lui valent 60. ajoute 13. Quel est ce nombre ?
4
Transformer une formule
d , isole t puis isole d. t
Sachant que Ech =
c. Isole n.
a=
b+ d cn
s
q=
Intérêt et capital
on
5
a–r n
VA
n b = a a
Dv , isole Dv puis isole Dr. Dr
N
Sachant que v =
IN
a. La vitesse v d’un corps est la division de la b. L’échelle d’une carte ou d’un plan est le distance d parcourue par ce corps par le temps t rapport de la distance virtuelle Dv (sur la carte, mis à parcourir cette distance. la photo, etc.) et de la distance réelle Dr.
a. Pendant combien de jours doit-on placer un capital de 10 000 € au taux de 1,5 % pour obtenir un intérêt de 200 € ? Remplace les lettres dont on connaît la valeur dans la formule
24
Ed
U A A 2 Le premi er degré
iti
Sachant que I est le montant de l’intérêt, C, le capital placé, i, le centième du taux, (ici 0,015) n, le nombre de jours et que C × i×n I= 365
Résous cette équation dont l’inconnue est n.
b. Un préposé à la banque a beaucoup de calculs de ce type à faire, il veut disposer d’une formule qui permet de calculer directement le nombre de jours pendant lequel il faut placer un capital donné pour obtenir un intérêt donné à un taux donné. Ou encore pour calculer le taux auquel il faut placer un capital donné placé pendant une durée fixée pour obtenir un intérêt donné. C×i×n Transforme la formule I = 365 pour exprimer n en fonction de C, i et I.
pour exprimer i en fonction de C, n et I.
Structurer et retenir Quelles sont les propriétés de l’égalité qui permettent de résoudre une équation du premier degré à une inconnue ? Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont les mêmes solutions. Pour indiquer que deux équations sont équivalentes, on utilise le symbole ⇔. Quelques règles permettent de remplacer une équation par une autre équivalente. On arrive ainsi à une équation dont le premier membre est l’inconnue et dont le second est un nombre. Ce nombre est la solution de l’équation.
IN
2.1 Règle
Si on ajoute (ou retranche) un même nombre aux deux membres d’une équation, on a une nouvelle équation équivalente.
N
2.2 Règle
VA
Si on multiplie (ou divise) les deux membres d’une équation par un même nombre différent de zéro, on a une nouvelle équation équivalente. Exemple 1 Résoudre l’équation 5x = 2(6 – x)
5x = 2(6 – x)
s
calcul littéral 5x = 12 – 2x
Exemple 2
iti
on
+2x (règle 2.1) 7x = 12
Ed
1
2
:7 (règle 2.2) 12 x= 7
Dans la formule
v = v0 + at v0 est la vitesse initiale (m/s) a est l’accélération (m/s2) t est la durée (s),
isoler v0, puis isoler t. v = v0 + at v – at = v0 v – v0 =t a
SY7
2 Exemple 3 Résoudre l’équation
x 7 3x – 1 = – 5 2 10 x 7 3x – 1 = – 5 2 10 réduction au même dénominateur
2x 35 – 3x + 1 = 10 10 ×10 (règle 4.2)
2x = 35 – 3x + 1
+ 3x (règle 4.1) 5x = 36
: 5 (règle 4.2)
VA
N
IN
2x 35 3x – 1 = – 10 10 10 soustraction de fractions
x=
36 = 7,2 5
En multipliant un nombre par 0, on ne trouve jamais 3.
s
Exemple 4
on
Résoudre l’équation 0x = 3.
Cette équation est impossible.
iti
Résoudre l’équation 0x = 0
SY8
Ed
U A A 2 Le premi er degré
Cette équation est indétermnée.
En multipliant un nombre par 0, on trouve toujours 0, quel que soit ce nombre.
S’EXERCER et approfondir 1
2
Solution rapide Pour quelle valeur de x les égalités suivantes sont-elles vérifiées ? Écris directement la solution.
3
– x = – 1
3x = 0
x=
x=
x=
– 2x = 12
– x – 1 = 0
3 + x = 0
x=
x=
x=
1 x = –12 3 x=
x – 1 = – 1
– 3x = 0
x=
x=
– x + 12 = 10
5x = – 5x
– 5x = 2x +21
2 = 2x 5
8,4x = – 7
5x = – 8 + 4x
5 – 20x = 0
15x = 45 2
0,3x = 15
– 8x = 11x + 19
0,01x = – 3
– 0,3x = 1
8x = 19x + 11
– 0,1x = 17
1 x =1 3 1 x =1 3= xx = 1 x= x=0 3 1 x=0 x 3=
IN
xx = = – 3x = 1
iti
on
s
VA
N
Résoudre
Ed
2
3x = 12
0,2x =
3 +x 5
Résoudre en essayant de réduire le nombre d’étapes 5x = 6x
7x – 2 = 5x – 6
4x – 5 = 3x + 2
–6x + 1 = 5x + 12
5x + 2 = 6x + 3
7x – 2 = 5x + 6
3x + 1 = 4x – 1
–6x + 3 = – 5x + 1
5x – 2 = 6x – 3
7x – 2 = 5x – 1
6x + 1 = 5x + 12
–6x + 2 = – 5x + 10
25
2 Commencer par du calcul littéral (x – 1)(x + 5) = (x + 3)(x – 7)
x(x + 1)(x – 1) = x3 – 1
3(x + 2x) = 9x
3x2 + 2x – 7 = (1 – 3x)(1 + x)
x(x + 1)(x – 1) = x3 + 2
– 5(x – 5) = 0
2(3x + 1) = 5(2x – 1)
x(x + 1)(x – 1) = x3 + 2x
– 5(x – 5) = – 25
3(2x – 1) – (3 – x) = 5(x – 2) + 2x
x(2x + 1)(2x – 1) = 4x3 – 2x + 1
– 5(x – 5) = 25
– 2(1 – x) – 3(x – 1) = 0
IN
3(x + 5) = 36
2x 4 x – 3x + = + 10 3 9 2
–x +1 –x + 3 x – = 4 5 2
x x + – 5 = 15 3 2
26
Ed
U A A 2 Le premi er degré
iti
–
x(2x – 1)2 = 4x3 – 4x2 – 6
s
Avec des fractions
on
5
VA
N
4
5 x – 1 x – 3 9x – = 4 5 10
x+
x+1 x–1 9 = + 3x – 4 5 5
2x –
x – 5 = 15 2
x 3x = 10 – 3 2
2x +
x 3x = 10 – 3 2
x–3 4– x – = 15 5 2
Équations du premier degré Transférer 6
Retrouver ce nombre
Transformer une formule
Ed
7
iti
on
c. J’ajoute 20 à l’opposé d’un nombre et je trouve le triple de ce nombre. Quel est ce nombre ?
s
b. En ajoutant 300 au triple d’un nombre, je trouve le même résultat qu’en ôtant 300 à six fois ce nombre. Quel est ce nombre ?
VA
N
IN
a. Je multiplie un nombre par 8, je soustrais 20 de ce produit, je divise ce que j’ai trouvé par 4, puis j’ajoute 10. Et je retrouve le nombre de départ. Quel est ce nombre ?
Isole n dans un des deux membres. On pose que les dénominateurs ne sont pas nuls. an = b
an + b = c
a=
cx n
a – n = b
a=
b n
a=
n –a b
a=
b cn
q=
a –r n
a=
b +d cn
27
2 8
Cylindrée, moteur La cylindrée d’un moteur est le volume total (tous cylindres confondus) déplacé durant un cycle. Elle est calculée à partir du diamètre d’un cylindre (l’alésage), de la distance parcourue par un piston (la course) et du nombre de cylindres composant le moteur/compresseur.
π . Crs . Al 2 . Nb 4
IN
Vm =
• Vm est le volume en cm3 • Crs est la course en cm
N
• Al est alésage en cm
VA
• Nb est le nombre de cylindres.
iti
on
s
Donne la formule qui permet de calculer le diamètre d’alésage.
28
Ed
U A A 2 Le premi er degré
Calcule le diamètre a pour Vm = 3 200 cm3, crs = 120 mm et Nb=6.
6
IN
Plans et cartes
VA
N
Les cartes et les plans permettent de se situer. Les cartes et les plans sont des représentations qui ont une taille beaucoup plus petite que dans la réalité. Qu’est-ce qu’une carte ? Une carte est une représentation d’une région, un pays, un continent. Qu’est-ce qu’un plan ? Un plan est une représentation d’un quartier, une maison, une école.
on
s
Qu’est-ce qu’une échelle ? Une carte et un plan doivent toujours comporter une échelle car elle permet de mesurer les distances. L’échelle est le rapport entre une distance mesurée sur la carte et la distance réelle sur le terrain exprimées dans la même unité.
iti
Rapports et proportions
Ed
Vitesse
Formules
Échelle d’un plan
Échelle d’une carte
Unités de mesure
Dans ce chapitre, tu apprendras à construire un plan, à déterminer sur une carte la distance à vol d’oiseau entre deux villes, à calculer la durée d’un trajet…
6 1
EXPLORER ET DÉCOUVRIR Plan d’un jardin a. Ceci est une représentation schématique d’un b. Voici un schéma de la vue de côté d’un abri de jardin. Réalise un dessin précis en prenant jardin. 2 cm pour 1 m. D A 65° p 102° C
B
A
D
Dessine un plan précis à l’échelle 1/1 000.
0,8m 0,5m C
U A A 4 Géométri e
Ed
iti
on
s
VA
Commence par tracer [AB] et, quand tu as fini ton dessin, vérifie en mesurant tous les angles.
0,5m
2m
108° B 50m
N
85°
Porte
1,8m
52m
IN
2,9m
83m
70
Dans le jardin réel, quelle est la différence entre Quelle est l’échelle ? la distance de B à D et la distance de A à C ?
Un chemin part de D jusqu’au milieu de [AB] Dans la réalité, quelle est la mesure de [AB] en passant par C. Quelle est sa longueur en (en m) ? mètres ? Quelle est l’amplitude de l’angle p ?
Plans et cartes c. Ce schéma montre le coin en haut à gauche de l’abri. La partie bleue sera un panneau en verre. Le segment [AG] mesurera en réalité 50 cm et [GF] mesurera 45 cm. Les angles en F et G sont droits. Utilise une échelle de 1 cm pour 10 cm pour réaliser un dessin précis de cette pièce en verre. Indique sur ton dessin la mesure réelle de chaque côté. A pp G
E B
F
VA
La maison et son garage
Sur ce dessin, la maison a une hauteur de 6,6 cm et le mur le plus élevé du garage mesure 4,4 cm. Complète cette égalité :
Quelle est la fraction ?
iti
on
s
hauteur de la maison = … × la hauteur du mur gauche du garage.
Ed
2
N
IN
Porte
Si on construit un agrandissement de ce plan de façon à ce que la hauteur de la maison, sur ce nouveau plan, mesure 9 cm, quelle sera la hauteur du mur du garage ?
Dans la réalité, la hauteur de la maison est de 7,2 mètres. Quelle est la hauteur du mur le plus haut du garage ?
Quelle est l’échelle de ce plan ?
71
6 3
Circuler en Belgique Je sais que les villes de Tournai et de Virton sont distantes de 300 km. Sur la carte que j’utilise, elles sont distantes de 40 cm. Avec ces informations, pourrais-tu déterminer l’échelle de ma carte ? Voici comment tu peux t’y prendre : il faut déterminer la distance réelle qui correspond à 1 cm de la carte. Complète ce tableau.
Distance réelle en cm
300
30 000 000
Distance sur la carte en cm
IN
Distance réelle en km
40
N
10
VA
1
L’échelle d’une carte est le rapport entre la distance sur la carte et la distance réelle. Ces distances doivent être exprimées dans la même unité (ici en cm).
on
s
Quelle est l’échelle de ma carte ?
Ed
iti
Voici un tableau reprenant les distances réelles relevées sur les routes et les distances correspondantes mesurées sur ma carte. Complète-le.
Distances réelles (en km)
Distances mesurées sur la carte (en cm)
Tournai - Virton
300
40
Bruxelles - Namur
64
Bastogne - La Louvière
145
U A A 4 Géométri e
Villes
72
Chimay - Houffalize
Mons - Charleroi
19, 9
6,5
Plans et cartes 4
À vélo sur un circuit Oscar fait partie d’un club de vélo. Aujourd’hui, il s’entraîne sur un circuit de 500 m. Entre son premier et son deuxième passage devant un observateur qui met son chronomètre en route, il met 50 secondes.
IN
Quelle est sa vitesse moyenne en m/s ?
s
Sur la route puis sur l’autoroute
on
Une voiture traverse une région à la vitesse moyenne de 50 km/h pendant 2h30.
iti
Quelle distance a-t-elle parcourue ?
Ensuite, la même voiture circule sur autoroute pendant 4h15 à la vitesse moyenne de 104 km/h.
Ed
5
VA
N
Enzo fait le même circuit à la vitesse moyenne de 16 m/s. Combien de secondes lui faut-il pour faire un tour du circuit ? Donne la réponse à Gary parcourt le même circuit en 40 secondes. une décimale près. Quelle est sa vitesse moyenne en m/s ?
Quelle distance a-t-elle parcourue ?
Quelle est la distance totale couverte par cette voiture ?
Quelle est sa vitesse moyenne sur l’ensemble du parcours ?
73
6 6
En avion Calcule la durée du vol (en heures) vers… … Madrid, à 520 km/h
500 km 300 mi
2 450 Bruxelles•
2 260
VA
1 300
•Moscou
N
… Istanbul, à 700 km/h
IN
… Rome, à 580 km/h
1 200
Madrid•
Rome•
Istanbul •
on
s
… Moscou, à 650 km/h
iti
Quelle est la distance parcourue par un Airbus qui vole à la vitesse de 1 050 km/h pendant… … 9,6 heures ?
… 7,5 heures ?
… 15 heures ?
U A A 4 Géométri e
Ed
… 3,2 heures ?
74
La distance Bruxelles-Constantine est 1 624 km. Quelle est la vitesse moyenne de l’Airbus si le trajet dure… … 4 heures ?
… 3,25 heures ?
… 2,5 heures ?
© d-maps.com
Cette carte montre les distances en km, depuis l’aéroport de Bruxelles.
Plans et cartes Rapports de vitesses Une voiture qui roule à 60 km/h est dépassée par une autre qui roule à 90 km/h. Quel est le rapport entre les vitesses des deux voitures ? Vitesse la plus lente / vitesse la plus rapide 60 2. 90 = 3 La vitesse de la première voiture vaut donc les deux tiers de celle de la seconde.
IN
Vitesse la plus rapide / vitesse la plus lente 90 3. 60 = 2
VA
a. Et si la première voiture roule à 75 km/h et la seconde à 45 km/h : quel est alors le rapport entre la vitesse de la première et celle de la seconde ?
N
La vitesse de la seconde voiture est donc une fois et demi celle de la première.
on
s
quel est le rapport entre la vitesse de la seconde et celle de la première ?
iti
b. Deux voitures roulent à des vitesses dont le rapport est de 4 , la plus lente roule à 80 km/h. 5 Quelle est la vitesse de l’autre ?
Ed
7
c. Deux voitures roulent à des vitesses dont le rapport est de 5 , la plus lente roule à 80 km/h. 4 Quelle est la vitesse de l’autre ?
d. Une voiture parcourt 18 km en 20 minutes et une autre parcourt la même distance en 27 minutes. Quel est le rapport entre la vitesse de la première et celle de la seconde ? e. Une voiture parcourt 25 km en 30 minutes et une autre 40 km dans un même temps. Quel est le rapport entre la vitesse de la première et celle de la seconde ?
75
6 8
Longévité des marqueurs et des stylos à bille Malika teste la longévité de marqueurs et stylos à bille. Elle dispose d’une machine qui trace des lignes continues. Lors d’un test, un stylo à bille s’est usé en 25 heures en traçant sa ligne à la vitesse de 4 cm/s. Quelle est la longueur de la ligne tracée ? En cm
IN
En m
U A A 4 Géo métrie
Ed
iti
on
s
VA
N
En km
76
6
Structurer et retenir 1
Comment convertir les unités de longueur ? Les unités de longueur les plus utilisées sont :
1 m = 10 dm
= 10² cm = 10³ mm
Pour convertir des unités de longueur, nous pouvons utiliser le tableau : Les préfixes
kilo
hecto
déca
Unité principale
déci
Mesures de longueur
km
hm
dam
m
7
0
0
0
0
0
0
dm
cm
mm
0
0
VA
N
milli
0
5
7 km = 700 000 cm 5 cm = 0,000 05 km
iti
on
. .
Qu’est-ce qu’un rapport ?
Ed
2
centi
s
On peut y voir que :
0
IN
1 m = 10–1 dam = 10–2 hm = 10–3 km
Un rapport est une forme mathématique de comparaison entre deux grandeurs. Avant de déterminer le rapport entre deux mesures, il faut s’assurer que les unités sont les mêmes. Un rapport s’exprime sous forme de fraction.
Exemple Une voiture a 4,2 m de long, un modèle réduit de cette voiture a 16 cm de long. On sait que 4,2 m, c’est 420 cm. Le rapport entre les dimensions du modèle réduit et celles de la voiture est : 16 4 . 420 = 105 105 Le rapport inverse (de la voiture au modèle réduit) est 4 .
SY21
6 3
Comment utiliser l’échelle d’un plan ou d’une carte ? Exemple Sur une carte à l’échelle 1/ 5 000 000, la distance entre deux villes est 5 cm. On demande : a. la distance à vol d’oiseau entre ces deux villes ; b. la longueur, sur cette carte, entre deux villes dont la distance à vol d’oiseau est 150 km.
Distance sur la carte
Distance dans la réalité
1 cm
5 000 000 cm = 50 km
5cm
250 km
×5
×5
N
×3
IN
Les distances sur la carte et dans la réalité étant proportionnelles, on peut construire un tableau de proportionnalité.
150 km= 15 000 000 cm
VA
3 cm
× 5 000 000
s
On peut aussi utiliser la formule :
a.
Distance sur la carte . Distance réelle
iti
1 5 5 000 000 = x
on
Échelle =
Ed
x = 5 × 5 000 000 x = 25 000 000
b. 1 x 5 000 000 = 15 000 000 15 000 000 x = 5 000 000 x=3
25 000 000 cm = 250 km
U A A 4 Géométri e
La distance réelle à vol d’oiseau est 250 km.
SY22
La distance sur la carte est 3 cm.
×3
Plans et cartes
Comment calculer une vitesse, une distance, une durée ? Exemple Le tableau ci-dessous donne la durée d’entraînement d’un athlète pour trois courses. On demande : – a. la durée des courses est-elle proportionnelle à la distance parcourue ? – b. si c’est le cas, quelle est sa vitesse ?
– d. calcule la distance parcourue à cette vitesse pendant 37,5 secondes.
Durée
80 m
10 s
120 m
15 s
VA
N
Distance parcourue
IN
– c. calcule la durée d’un parcours de 420 mètres réalisé à cette vitesse.
200 m
25 s
420 m
52,5 37,5
on
s
300 m
×
1 8
iti
a. C’est un tableau de proportionnalité, car 10 = 15 = 25 = 1 . 80 120 200 8 On peut aussi utiliser la formule :
Ed
4
Vitesse =
Distance parcourue . Durée
b. Calcul de la vitesse en m/s
Calcul de la durée en s
Calcul de la distance en m
v = 80 = 8 10 ou
8 = 420 x 8x = 420
8=
v = 120 = 8 15 ou
x = 420 = 52,5 8
x = 300
x 37,5 x = 37,5 × 8
v = 200 = 8 25
SY23
on
iti
Ed s N
VA
IN
S’EXERCER et approfondir
6
Connaître Opérer une conversion a. Repère sur un des deux schémas. 15 cm
210 cm
1,9 m
120 000 cm
10 000 cm
1,3 km
220 000 cm
IN
0,2 m
Mètres
0
1
0,5 50
2
1,5 150
100
2,5
250
N
0
200
3
300
on
s
VA
Centimètres
Kilomètres
0
0,5
50 000
1
iti
0
100 000
Ed
1
2
1,5
150 000
200 000
2,5 250 000
3
300 000
Centimètres
b. Utilise un des deux schémas pour opérer les conversions suivsantes.
0,6 m = ………………………… cm
1,6 km = ………………………… cm
2,1 m = ………………………… cm
0,1 km = ………………………… cm
210 cm = ………………………… m
230 000 cm = ………………………… km
155 cm = ………………………… m
235 000 cm = ………………………… km
77
6 2
Plan d’un bâtiment
3
Complète ce tableau.
Plan du quartier Complète ce tableau.
Distance réelle
Distance sur le plan
1 dam = … cm
10 cm
13 m = …
cm
1,3 cm
13 dm = … cm
1,3 cm
5 m = … cm
0,5 cm
cm
13 cm
13,5 cm
13, 6 cm
0,7 cm
100 m =
… cm
N
Détermine l’échelle.
s
VA
Détermine l’échelle.
Une carte
U A A 4 Géométri e
Ed
iti
Complète le tableau.
on
4
78
Détermine l’échelle.
Distance sur le plan
IN
0,5 m = …
Distance réelle
Distance réelle
Distance sur la carte
1 km = …………… cm
1 cm
1,3 km = …………… cm
1,3 cm
0,5 km = …………… cm
0,5 cm
……………
13 cm
……………
13, 6 cm
10 km = …………… cm
……………
Plans et cartes Appliquer 5
Dimensions du miroir Sur ce dessin, le miroir a 4,5 cm de haut et 1,5 cm de large. Complète cette égalité. Largeur du miroir = …… × hauteur du miroir Dans la réalité, le miroir a 150 cm de haut.
IN
Quelle est sa largeur réelle ?
D’après le plan Voici le plan d’une maison et de son garage.
on
Complète cette égalité.
s
Sur ce plan, la hauteur de la maison est 48 mm et celle du garage est 22 mm.
Hauteur de la maison = …… × hauteur du garage.
iti
Une autre personne a dessiné un autre plan de la même maison. Cette fois, la maison a 6 cm de haut. Quelle est la hauteur du garage ?
Ed
6
VA
N
Quelle est l’échelle du dessin ?
Dans la réalité, la hauteur de la maison est de 7,2 mètres. Quelle est la hauteur du mur le plus haut du garage ?
Quelle est l’échelle de ce deuxième plan ?
79
6 7
De la légende à la fraction Écris l’échelle de chaque carte sous la forme d’une fraction dont le numérateur est 1. 600 m
4 km
15 km
8
IN
25 km
Sur un même plan
N
Sur un plan de Rome, une distance réelle de 2,4 km entre deux carrefours est représentée par une distance de 8 cm.
VA
Quelle est l’échelle ?
Proportionnalité ?
Ed
9
iti
on
s
Deux monuments sont distants de 1,5 km. Quelle est la distance entre les deux points qui représentent ces monuments sur le plan ?
Une voiture parcourt :
U A A 4 Géométri e
20 km en 28 min, 30 km en 42 min, 60 km en 84 min.
80
Les durées sont-elles proportionnelles aux distances ?
Si c’est le cas, quelle sera la durée d’un trajet de 120 km ?
Exprime cette durée en heures et minutes.
Quelle est sa vitesse ? Exprime la réponse en km/h.
Plans et cartes Transférer Rouler à vitesse constante Complète les tableaux suivants. Il s’agit toujours de mouvements à vitesse constante. Distance parcourue en…
1h
30 min
10 min
1 h 30
45 min
IN
Vitesse
128 km/h
VA
90 km
N
150 km
27 km
s
75 km
on iti Ed
10
Vitesse
1h
30 km
Distance parcourue en…
20 min
10 min
1 h 20
40 min
84 km/h
120 km
60 km
30 km
75 km
81
6 11
Utiliser une échelle L’échelle de cette carte figure en bas, à droite. Elle indique qu’une distance de 2 cm sur la carte représente en réalité 50 km. Après avoir mesuré les distances sur cette carte, donne une estimation des distances réelles, à vol d’oiseau, entre… Distance sur la carte
Distance réelle
… Liège et Paris … Paris et Bruxelles
IN
… Bruxelles et Rotterdam
U A A 4 Géométri e
Ed
iti
on
s
VA
N
… Amsterdam et Bruxelles
82
Plans et cartes Voyager en Thalys Thalys, c’est le train rouge à grande vitesse qui relie rapidement et confortablement Bruxelles, Paris, Cologne et Amsterdam. Voici ce qu’on a pu lire dans la presse, fin 20091 : « Thalys utilisera dès le 13 décembre les nouvelles lignes à grande vitesse vers les Pays-Bas et l’Allemagne. Le trajet de Bruxelles à Amsterdam durera 01h53 et un trajet Bruxelles-Cologne 01h47 […].
Vitesse moyenne Bruxelles – Cologne
N Durée
Distance parcourue
on
s
Bruxelles – Amsterdam
VA
Utilise ces informations pour calculer la distance parcourue par le Thalys entre Bruxelles et Cologne puis entre Bruxelles et Amsterdam.
IN
Les coûts inhérents à une vitesse de 300 kilomètres/ heure pour Amsterdam et 260 kilomètres/heure pour Cologne justifient l’augmentation des tarifs […]. »
iti
Compare les distances à vol d’oiseau estimées à partir de la carte et celles que tu viens de calculer.
Ed
12
1 « Thalys augmente vitesse et tarifs », dans La Libre.be, 3 décembre 2009 [http://www.lalibre.be/economie/actualite/thalys-augmente-vitesse-et-tarifs-51b8b3b1e4b0de6db9b93207].
83
IN
table des matières Avant propos Comment utiliser ton livre-cahier ? Sommaire Graphiques de fonctions
1.
VA
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Sructurer et retenir
N
1.
1 2 3 SY1
Comment savoir si un graphique représente une fonction ?
SY1
1.1 Graphique d’une fonction
SY1
Quel vocabulaire et quelles notations utiliser ?
SY2
3.
Comment déterminer le domaine d’une fonction à partir de son graphique ?
SY3
1.2 Définition : domaine d’une fonction
SY3
4.
Comment déterminer l’ensemble image d’une fonction ?
SY4
1.3 Définition : ensemble image d’une fonction
SY4
Comment lire des racines et l’ordonnée à l’origine d’une fonction sur un graphique ?
SY5
1.4 Définition : racines ou zéros d’une fonction
SY5
Comment repérer, à partir du graphique, si une fonction ou une partie d’une fonction est croissante ou décroissante ? S'exercer et approfondir
SY6 9
on
Équations du premier degré
21
Ed
2.
iti
6.
s
2.
5.
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
22 23 SY7
Quelles sont les propriétés de l’égalité qui permettent de résoudre une équation du premier degré à une inconnue ?
SY7
2.1 Règle
SY7
2.2 Règle S'exercer et approfondir
SY7 25
1.
3. Inéquations Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Sructurer et retenir
178
IV VIII X
29 30 31 SY9
1.
Comment lire les symboles d’inégalité ?
SY10
2.
Quelles sont les propriétés des inégalités ?
SY10
3.1 Ajouter un même nombre aux deux membres
SY10
3.2 Multiplier les deux membres par un même nombre strictement positif
SY10
3.3 Multiplier les deux membres par un même nombre strictement négatif
SY10
3.
Qu’est-ce qu’une inéquation ?
SY10
4.
Comment résoudre une inéquation du premier degré ?
SY11
5.
Comment écrire l’ensemble des solutions ?
SY11
6.
Comment retenir ? S'exercer et approfondir
SY12 33
4.
Fonctions du premier degré
39 40 41 SY13
1.
Comment relier une expression analytique à un tableau et à un graphique ?
SY13
2.
Comment déterminer les paramètres m et p d’une fonction du premier degré à partir de son tableau de valeurs ?
SY14
3.
Comment déterminer les paramètres m et p d’une fonction du premier degré à partir de son graphique ?
SY15
4.
Comment déterminer la racine (ou zéro) d’une fonction du premier degré à partir de son expression analytique ?
SY16
5.
Comment déterminer le signe d’une fonction du premier degré ?
SY17
6.
Carte mentale S'exercer et approfondir
SY18 45
N
Systèmes d’équations Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Sructurer et retenir
VA
5.
IN
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Sructurer et retenir
Que signifie « résoudre un système » ?
2.
Comment interpréter graphiquement un système d’équations et sa solution ?
3.
Comment résoudre un système par substitution ? S'exercer et approfondir
Plans et cartes
on
6.
s
1.
57 58 59 SY19 SY19 SY19 SY20 61
69 61 SY19
1.
Comment convertir les unités de longueur ?
SY21
2.
Qu’est-ce qu’un rapport ?
SY21
3.
Comment utiliser l’échelle d’un plan ou d’une carte ?
SY22
7.
Ed
4.
iti
Explorer et découvrir Sructurer et retenir
Comment calculer une vitesse, une distance, une durée ? S'exercer et approfondir
Figures planes
SY23 77
85
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Sructurer et retenir
86 94 SY25
1.
Quelles sont les unités d’aire, comment les convertir ?
SY25
2.
Comment calculer le périmètre d’une figure ?
SY25
3.
Comment calculer le périmètre et l’aire d’une figure ? S'exercer et approfondir
SY26 97
8. Solides
105
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Sructurer et retenir
106 110 SY27
1.
Quelles sont les unités de volume, comment les convertir ?
SY27
2.
Comment reconnaître une pyramide, comment désigner ses éléments ?
SY27
179
3.
Comment reconnaître un cône, comment désigner ses éléments ?
SY28
4.
Comment construire le développement d’un cône et calculer son aire ?
SY28
5.
Comment calculer le volume d’une pyramide, d’un cône ?
SY29
6.
Comment calculer l’aire et le volume d’une sphère ? S'exercer et approfondir
SY30 115
9. Pythagore
1.
129
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Sructurer et retenir
130 131 SY31
Que représente le symbole
? SY31 SY31
2.
Comment nommer les côtés d’un triangle rectangle ?
SY31
3.
Quelle est la relation entre les mesures des côtés d’un triangle rectangle ?
SY32
9.2 Théorème de Pythagore
SY32
IN
9.1 Définition d’une racine carrée positive
9.3 Réciproque du théorème de Pythagore
SY32
Comment calculer la mesure d’un côté d’un triangle rectangle en fonction des mesures des deux autres côtés ?
SY32
5.
Partant des mesures des trois côtés d’un triangle, comment savoir si ce triangle est ou n’est pas un triangle rectangle ?
SY33
6.
Comment construire un segment de longueur
7.
Comment calculer avec des radicaux ?
VA
a (a naturel) ?
SY34 SY35
9.4 Produit de radicaux et radical d’un produit
SY35
9.5 Quotient de radicaux et radical d’un quotient
SY35
9.6 Simplification
SY35
9.7 Addition et soustraction de radicaux
s
Comment représenter les différents ensembles de nombres ? S'exercer et approfondir
on
8.
N
4.
10. Trigonométrie du triangle rectangle
SY35 SY36 139
151 152 154 SY37
1.
Qu’appelle-t‑on figures semblables, comment reconnaître deux triangles semblables ?
SY37
2.
Quelles sont les propriétés de la projection orthogonale ?
SY38
iti
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Sructurer et retenir
SY38
Comment calculer la réduction de longueur opérée par une projection orthogonale ?
SY38
4.
Dans un triangle rectangle, quels sont les nombres trigonométriques d’un angle aigu ?
SY39
10.2 Cosinus d’un angle
SY39
10.3 Sinus d’un angle
SY39
Ed
10.1 Propriété de la projection orthogonale
3.
10.4 Tangente d’un angle
SY39
5.
Nombres trigonométriques des angles de 30° et 60°
SY40
6.
Nombres trigonométriques de l’angle de 45°
SY40
7.
Pourquoi le sinus et le cosinus d’angles complémentaires sont-ils égaux ?
SY41
10.5 Énoncé
SY41
8.
Sinus et cosinus d’un angle aigu peuvent-ils prendre n’importe quelle valeur ?
SY41
9.
Comment déterminer le nombre trigonométrique qui correspond à un angle donné ?
SY41
10. Comment déterminer l’amplitude d’un angle aigu dont on connaît un nombre trigonométrique ? SY42 S'exercer et approfondir 159
11. Problèmes pratiques de géométrie Rassembler et réactiver S'exercer et approfondir
180
165 166 169