(4 pér./sem.)
est destiné aux élèves de 4e année de l’enseignement technique de qualification. C’est un livre-cahier : - pratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercices et l’espace pour les résoudre sont réunis dans un seul ouvrage ; - progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; - fluide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre.
Une mise en page en couleur et structurée. Une approche des maths en accord avec le quotidien des élèves. Une pédagogie stratégique. Des livres-cahiers au 2e degré. Des manuels au 3e degré.
Françoise Van Dieren | Sabine Hausmann Avec la collaboration de Giuseppe Bianchi
4e QUADRANT
UNE NOUVELLE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT DE QUALIFICATION DE LA 3E À LA 6E ANNÉE
Françoise Van Dieren Sabine Hausmann
Mathématiques
Technique de qualification
Avec la collaboration de Giuseppe Bianchi
4 périodes / semaine
Chaque chapitre possède la même structure didactique : une mise en contexte donnant du sens à l’apprentissage. des rappels sous forme d’exercices pour rassembler les acquis. des activités proches de la vie pratique, sociale et économique des élèves. une synthèse qui récapitule la théorie indispensable.
e
4 QUADRANT
4 périodes / semaine
de nombreux exercices, diversifiés, préparant les élèves à l’évaluation de leurs compétences.
De Boeck ISBN 978-2-8041-9685-1 573020
vanin.be
4
e
QUADRANT LIVRE-CAHIER
4
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QUADRANT LIVRE-CAHIER 4 périodes / semaine
Françoise Van Dieren Sabine Hausmann
Mathématiques
Technique de qualification
Avec la collaboration de Giuseppe Bianchi
4 périodes / semaine
4
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LIVRE-CAHIER
Couverture : La Graphismerie Maquette : Nord Compo Mise en pages : Softwin Crédits : © Fotolia : fotomek (engrenages p. 1, 35, 63, 77, 97), Unclesam (p. 1), Eric Gevaert (p. 11), graphlight (p. 14), PRCreativeTeam (p. 19), Mattei (p. 25), Ell (p. 26), Syda Productions (p. 28 ht), brizmaker (p. 28 bas), Oleg Ivanov (p. 31), Maxim_Kazmin (p. 35), R ichard Villalon (p. 40 ht), Robert Kneschke (p. 63), Federico Rostagno (p. 65), contrastwerkstatt (p. 66), Stasique (p. 68), goodluz (p. 69), snaptitude (p. 77), Rawpixel.com (p. 79), jpramirez (p. 81), jerome berquez (p. 83 g), Brad Pict (p. 83 d), Andrey Burmakin (p. 92), Valeriy Velikov (p. 94), papinou (p. 96), georgejmclittle (p. 97), Denys Prykhodov (p. 100), Dominique (p. 101), dtvphoto (p. 104), Andrey Bandurenko (p. 106), Lucky Dragon USA (p. 111), Atlantis (p. 117).
© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2017, De Boeck publié par VAN IN
1re édition 2017 ISBN 978-2-8041-9685-1 D/2017/0074/069 Art. 573020/01
IN
AVANT PROPOS 4e Quadrant (4 périodes/semaine) est destiné aux élèves de quatrième année de l’enseignement qualifiant.
VA
N
C’est un livre-cahier : • pratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercices et l’espace pour les résoudre sont réunis dans un seul ouvrage ; • progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; • fluide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre, souvent sur une même page. Cinq étapes, les mêmes dans chacun des chapitres, rythment les apprentissages.
Situer ce que l’on va apprendre
on
s
L’introduction est illustrée par un engrenage : chaque roue entraîne l’élève, d’étape en étape, au départ de ce qu’il sait déjà vers ce qu’il va apprendre. Les mathématiques prennent sens aux yeux de celui qui apprend quand ses acquis sont des tremplins et s’inscrivent dans une dynamique dont il perçoit les enjeux.
iti
Être conscient de la manière dont les connaissances s’enchaînent selon un ordre s’appuyant sur ce qui a été établi, c’est aussi s’approprier une forme de pensée qui est au centre de l’activité mathématique : la pensée déductive.
Rassembler et réactiver
Ed
Ramener sur le chantier ainsi ouvert les outils essentiels, en réparer quelques-uns, en ajuster d’autres, retrouver ceux qui sont perdus ; éviter donc de bâtir sur du sable mais aussi de se perdre en révisions exhaustives, c’est l’objectif de cette rubrique qui va à l’essentiel et permet de repérer à temps les lacunes qui bloqueraient la progression.
Explorer et découvrir
Éveiller l’imagination, s’appuyer sur l’intelligence naturelle, mobiliser la réflexion. Toutes les étapes de cette rubrique sont construites dans cette optique. Le contexte, s’il est concret, est souvent évoqué par une photo, un texte, une question. S’il est abstrait, il s’appuie sur les acquis et sur des raisonnements logiques clairement explicités. Les questions s’enchaînent pour conduire progressivement mais sans détours vers ce qu’il faut découvrir. Cette rubrique se prête à diverses formes d’enseignement : – un travail collectif piloté par l’enseignant qui apporte les précisions théoriques et méthodologiques nécessaires pour clarifier ou débloquer ; – un enseignement inversé qui consiste à demander à l’élève de découvrir chez lui ou en classe, seul ou à plusieurs, les notions et méthodes nouvelles. L’enseignant répond ensuite aux questions soulevées, apporte les éclaircissements demandés. Beaucoup d’explorations sont rédigées de façon à être accessibles de manière autonome par les élèves ; – inversement, n’aborder une exploration qu’après avoir appréhendé la synthèse qui s’y rapporte. V
Structurer et retenir À l’issue du travail d’exploration, les notions sont cernées, les concepts introduits, des formes de raisonnement découvertes, un vocabulaire spécifique utilisé. Il faut à présent ordonner, mettre en forme, intégrer, fixer, afin que les nouveaux acquis deviennent disponibles pour les applications et les conquêtes ultérieures. Chaque synthèse s’inscrit dans cette dynamique : elle est introduite par une question qui porte sur l’usage qui sera fait des nouveaux acquis. Les énoncés à retenir sont numérotés et mis en évidence, des exemples rattachent la théorie aux situations dans lesquelles ils ont émergé. Ils servent de modèle dans la résolution des exercices.
IN
Outre des définitions, des propriétés et des procédures, quelques synthèses proposent des méthodes spécifiques pour aborder certaines tâches : justifier, démontrer, résoudre certains types de problèmes.
S’exercer et approfondir
VA
N
Les exercices sont classés selon les catégories décrites dans le référentiel diffusé par la Fédération Wallonie-Bruxelles : Connaître, Appliquer, Transférer. Structurés par une mise en pages qui en facilite l’accès, ils peuvent être menés selon des pédagogies variées : pilotés par le professeur, résolus par petites groupes, répartis selon les profils, les goûts, les aptitudes ou le rythme des élèves. Les ressources et compétences énumérées dans les unités d’acquis d’apprentissage (UAA) de la classe de quatrième (4 périodes/semaine) sont réparties dans les cinq chapitres de ce livre-cahier. Le tableau ci-après (page VII) montre les correspondances.
Ed
iti
on
s
En espérant que ce livre-cahier permettra à l’élève de découvrir sous un jour nouveau différents aspects des mathématiques : leur utilité, leur logique propre, leur beauté parfois. Et surtout, qu’il donnera à chacun une confiance renouvelée dans sa capacité à les apprendre et à les pratiquer.
VI
Françoise Van Dieren Directrice de collection
Correspondance entre les chapitres et les UAA Voici la répartition des différents chapitres de ce livre-cahier en fonction des Unités d’Acquis d’Apprentissage (UAA) définies par le nouveau référentiel de mathématiques pour le cours à 4 périodes/ semaine au 2e degré.
UAA 3 Le deuxième degré
IN
Chapitres
N
1
VA
Ressources Fonction du deuxième degré : x → ax2 + bx + c x → a(x – a2 + b x → (x – x1)(x – x2) Rôle des paramètres (a, c, a, b, x1, x2). Caractéristiques de la fonction du deuxième degré : – zéro ; – signe ; – croissance/décroissance ; – extrémum. Caractéristiques d’une parabole d’axe vertical : – sommet ; – axe de symétrie ; – concavité. Équations et inéquations du second degré.
2
UAA 5 Statistique à une variable
Chapitres
3
Ed
iti
on
s
Ressources Échantillon, population. Variables statistiques. Effectif, fréquence Moyenne Représentations graphiques : – diagramme circulaire ; – diagramme en bâtonnets ; Valeurs centrales : – mode ; – médiane ; – moyenne. Valeurs extrêmes : Étendue. Effectif et fréquence cumulés. Représentation graphique : – polygone des effectifs Série statistique répartie en classes.
4
Représentations graphiques : – polygone des effectifs ; Effectif et fréquence cumulés. Valeurs centrales : – mode ; – moyenne ; – médiane. Valeurs extrêmes – Étendue. Quartile. Indices de dispersion : – écart-type ; – intervalle interquartile. – histogramme ; – boîte à moustaches.
5
VII
IN
COMMENT UTILISER TON LIVRE-CAHIER ?
2
Pour résoudre l’équation x + 10 x = 39, il s’appuie sur une figure d’Euclide (mathématicien grec du iiie siècle avant notre ère). À cette époque, une inconnue du premier degré est représentée par une longueur, tandis qu’une expression du deuxième degré représente une aire. C’est donc sur une construction géométrique que repose la résolution de telles équations. Al-KhwArizmi en a tiré une formule qui ressemble beaucoup à celle que l’on va découvrir dans ce chapitre. Ainsi, pour résoudre l’équation x2 + 10 x = 39, il dessine un carré de côté x + 5.
x x2
25
5x
on
Il expose ensuite une méthode de calcul qui, transcrite dans les notations actuelles, revient à écrire la suite des équations suivantes.
Dans ce chapitre, tu apprendras à résoudre des problèmes qui conduisent à une équation du deuxième degré. Comment agrandir un potager pour que sa superficie ait une mesure déterminée ? Quelles mesures doit avoir une pièce métallique pour que l’on obtienne, en la pliant, une boîte qui atteigne un certain volume ? Quelle est la distance que l’on gagne lorsque l’on construit un raccourci entre deux routes ?
VA
Ce problème a été étudié par Al-KhwArizmi (mathématicien arabe, entre 780 et 850 de notre ère). On lui doit le premier traité d’algèbre.
Lis attentivement l’introduction pour situer ce que tu vas apprendre dans le chapitre.
s
Dans ce chapitre, on établit une méthode qui permet de résoudre une équation du deuxième degré dont la factorisation n’est pas immédiate.
5
L’introduction
Équations et inÉquations du deuxième degrÉ
2
5x
N
Ton livre-cahier est structuré en 5 chapitres qui organisent chacun une même succession d’activités.
x2 + 10 x = 39 x2 + 10 x + 25 = 39 + 25 (x + 5)2 = 64 x+5=8 x=3 Les mathématiciens de l’époque ne conçoivent pas de quantités négatives. Pour eux donc, le seul nombre dont le carré vaut 64 est 8.
Formule générale
Info
Chaque introduction propose une vue en engrenage des différents thèmes qui vont s’enchaîner tout au long du chapitre.
Résolution graphique
iti
Signe de la fonction et inéquations
Modélisation et résolution de problèmes
Ed
La règle du produit nul
3
Rassembler et réactiver
RassembleR et RéactiveR 1
Ravive ce que tu as déjà appris car ce sont des prérequis nécessaires à l’étude du chapitre.
À pied ! Dans l’école de Lisa, il y a une proportion de 3 élèves sur 5 qui arrivent à pied. Quel est le pourcentage d’élèves de cette classe qui arrivent à pied ? S’il y a 430 élèves dans l’école, combien y en a-t-il qui n’arrivent pas à pied ? ……………………………………………………………………………………………………………
2
Le sport préféré On a demandé à 53 élèves de l’école quel est leur sport préféré. Complète ce tableau et ce diagramme en bâtons. Sport
Effectif
Foot
12
Fréquence (en %)
Natation Basket Judo
3
Danse Volley
Info U A A 5 Statis ti que à une va riable
Chaque rubrique possède son propre code couleur ainsi qu’un rappel de l’Unité d’Acquis d’Apprentissage (UAA) étudiée, ce qui te permet de savoir immédiatement où tu te trouves.
Total
3
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
53
Foot Natation Basket
Spots publicitaires Un sondage a été réalisé auprès des élèves de l’école à propos de leur attitude face aux spots publicitaires qui passent à la télévision (un seul choix possible). Complète le tableau et le diagramme circulaire. Réactions 1. Je regarde distraitement.
Nombre de réponses
Pourcentage (arrondi à l’unité)
VIII VIII
Amplitude (arrondie à l’unité)
8%
1
2. J’en profite pour faire autre chose.
3
3. Je zappe directement.
40 2
4. Je les regarde tous. Total
Réactions 4
198
450
100 : 4,5
64
Judo Danse Volley
360°
5
Explorer et découvrir 4
En classe ou à la maison, seul ou avec d’autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.
L’intervalle interquartile Lucas a demandé aux élèves de son cours de dessin de mesurer leur empan (distance comprise entre l’extrémité du pouce et celle du petit doigt très écartés). Il a ordonné les valeurs et construit ce tableau. Empan (cm)
Effectif
[16;17[
2
[17;18[
0
[18;19[
4
[19; 20[
10
[20; 21[
7
[21; 22[
3
[22; 23[
1
Empan
Effectif cumulé
a. Complète la colonne des effectifs cumulés. b. Construis le diagramme des effectifs cumulés. c. Détermine la médiane.
Info
d. Détermine le premier quartile comme ceci. Repère sur l’axe des effectifs cumulés la valeur 28 : 4 = 6. Trace une ligne pointillée horizontale en partant de cette valeur jusqu’à croiser le polygone des effectifs cumulés.
20
Généralement, une exploration est proposée par page, ce qui permet de t’imprégner du contexte et de te centrer sur l'objectif.
Trace une ligne pointillée verticale vers l’axe horizontal. Lis la valeur du premier quartile au niveau du point d’intersection de l’axe horizontal avec cette dernière ligne pointillée.
15
10
IN
U A A 5 Statistiq u e à un e variab le
Effectif cumulé
25
e. Pour déterminer le troisième quartile, repère sur l’axe des effectifs cumulés la valeur 18 (les trois quarts de 28) et procède ensuite comme pour le premier quartile et la médiane.
5
0
17
18
19
20
21
22 23 Empan (cm)
f. L’écart interquartile est la différence entre le troisième et le premier quartile. Montre cet intervalle sous le graphique.
100
N
30
5
3
Comment déterminer la médiane lorsque les données sont réparties en classes ?
VA
Structurer et retenir Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.
Lorsque les données sont réparties en classes, on peut déterminer la médiane à partir d’un diagramme des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées. La fréquence cumulée est le rapport entre l’effectif cumulé de cette classe et l’effectif total, généralement exprimé en pourcent. Exemples
Âge des participants inscrits à une activité organisée par le groupe « nature ». Effectif cumulé
Effectif
Effectif cumulé
30
30
70
[15 ;16[
24
54
60
[16 ;17[
20
74
[17 ;18[
6
80
40 30
s
Ed
On a demandé à deux groupes d’élèves combien de fois ils sont allés au cinéma sur le trimestre. Voici le diagramme en bâtons qui représente les résultats de l’enquête. Fréquentation pendant la période
Nombre d'élèves
10
8 6 4 2
2
3
4
5
Groupe A
6
7
8
9
15
16
Age
17
Med
–10
Âge
Effectif
[20 ; 30[
100
Effectif Fréquence cumulé cumulée
[30 ; 40[
168
268
19,4
[40 ; 50[
275
543
39,2
[50 ; 60[
350
893
64,4
[60 ; 70[
300
1193
86,1
[70 ; 80[
170
1363
98,4
[80 ; 90[
22
1385
100
100
7,2
Fréquence cumulée
Âge des personnes ayant assisté à un concert au Palais des Beaux-Arts. Age des participants
100 90 80 70 60 50 40 30 20
10
10 0 20 –10
30
40
50 60 Med
70
80
Age
N=1385 Dans ce tableau, les fréquences cumulées sont données au dixième près, elles sont calculées en divisant l’effectif cumulé correspondant par N = 1385
SY 20
S’exercer et approfondir
Combien de soirées cinéma par trimestre ?
1
0 14
13
U A A 5 Sta tistiq ue à une variable
iti
on
La numérotation indépendante des pages de synthèse te permet de détacher celles-ci et de les garder dans ton classeur pour l’année prochaine.
0
20 10
Info
6
80
50
N=80
4
Age des participants
Âge
[14 ;15[
10
Résous les exercices qui exercent les diverses compétences et qui te permettent de voir si les notions étudiées dans les synthèses sont bien ancrées dans ton esprit.
Groupe B
a. Pour chaque groupe, reconstitue le tableau des effectifs. Groupe A : élèves de moins de 15 ans Fréquentation (x) 1
U A A 5 Sta tistique à une variable
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Totaux
Effectif (n)
n ⋅ x
Effectif cumulé
Fréquence en %
Fréquence cumulé
Info Tu peux directement répondre aux exercices dans ton livre-cahier. Au besoin, tu peux utiliser une feuille blanche supplémentaire.
92
IX
IN
SOMMAIRE U A A 3 Le de uxi è me degré
1. La fonction du deuxième degré ....................................................1
VA
N
2. Equations et inéquations du deuxième degré............................35
U A A 5 Stati sti qu e à une variabl e
3. Traitement et organisation de données ..................................... 63 4. Valeurs centrales et valeurs extrêmes ....................................... 77
Ed
iti
on
s
5. Données réparties en classes, intervalle interquartile, écart-type .................................................................................... 97
XX
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
IN
3
VA
N
Lorsque l’on veut agir sur une situation en vue d’améliorer la vie quotidienne, le rendement d’une entreprise, les techniques de vente…, il faut d’abord recueillir des données, les organiser et les interpréter ! Fréquence Effectif
Diagramme en bâtons
iti
Pourcentage
Moyenne
on
s
Diagramme circulaire
Ed
Depuis la plus haute Antiquité (en Inde, en Égypte, en Amérique précolombienne), on avait recours à de tels recueils de données pour « lever », c’est-à-dire percevoir, des impôts, recruter une armée, organiser des travaux. Dès la fin du Moyen Âge, en Italie du Nord, les hommes d’affaires et les commerçants s’en sont servis pour prévoir les quantités de marchandises à commander aux agriculteurs, aux artisans et pour assurer contre leur perte ce qu’ils transportaient dans leurs bateaux. À l’époque moderne, cette manière d’appuyer l’organisation de la vie collective sur de telles informations fut appelée en Allemagne « Statistique » parce qu’elle est liée à la gestion de l’État (en latin, status).
Dans ce chapitre, tu étudieras d’abord comment utiliser le calcul de pourcentages pour comparer des données, préciser une évolution. Tu apprendras ensuite quelques méthodes pour mener à bien une enquête dans le contexte de la vie scolaire. Bien sûr, tu n’apprendras pas toutes les méthodes statistiques pour analyser les données recueillies, mais comment présenter certains résultats et les comparer à d’autres.
3
RASSEMBLER ET RÉACTIVER 1
À pied ! Dans l’école de Lisa, il y a une proportion de 3 élèves sur 5 qui arrivent à pied. Quel est le pourcentage d’élèves de cette classe qui arrivent à pied ? S’il y a 430 élèves dans l’école, combien y en a-t-il qui n’arrivent pas à pied ? ……………………………………………………………………………………………………………
Le sport préféré
IN
2
On a demandé à 53 élèves de l’école quel est leur sport préféré. Complète ce tableau et ce diagramme en bâtons.
Foot
12
Fréquence (en %)
Natation Basket 3
s
Judo
on
Danse Volley
53
Foot Natation Basket
iti
Un sondage a été réalisé auprès des élèves de l’école à propos de leur attitude face aux spots publicitaires qui passent à la télévision (un seul choix possible). Complète le tableau et le diagramme circulaire. Réactions 1. Je regarde distraitement.
Nombre de réponses
Pourcentage (arrondi à l’unité)
Amplitude (arrondie à l’unité)
8%
1
2. J’en profite pour faire autre chose.
3
3. Je zappe directement.
40 2
4. Je les regarde tous. Total
Réactions 4
198
450
100 : 4,5
64
Judo Danse Volley
Spots publicitaires
Ed
U A A 5 Statisti que à une variable
Total
3
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
N
Effectif
VA
Sport
360°
EXPLORER ET DÉCOUVRIR 1
3
Des rapports aux pourcentages Dans un magazine (A) de 120 pages, il y a 18 pages de publicité. Dans un autre (B) de 104 pages, il y en a 9. Compare les parts réservées à la publicité dans ces deux magazines. Part réservée à la publicité
Pourcentage
A
La TVA
Prix HTVA
TVA
Prix TVAC
45
9,45
54,45
67 124 258
iti
on
a. Complète le tableau ci-contre.
s
Le montant de la TVA (taxe sur la valeur ajoutée) étant de 21 %, calcule les prix TVAC (TVA comprise) des articles qui, hors TVA, coûtent : 45 €, 67 €, 124 €, 258 €.
b. Antoine est commerçant et doit appliquer le même taux de TVA à de nombreux articles. Après avoir terminé ses premiers calculs, il se demande comment passer directement de la première colonne à la troisième. Il observe qu’il y a toujours le même rapport entre le prix TVAC et le prix HTVA. Quel est ce rapport ?
Ed
2
VA
N
Conclusion :
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
IN
B
c. Comment va-t-il procéder pour calculer les prix TVAC en une seule opération ?
d. Un article coûte 300 € TVA comprise, quelle était sa valeur avant qu’on lui applique la TVA ?
65
3 3
Augmentation du prix de l’électricité 1
4
IN
« Pour les consommateurs résidentiels, le Vérifie cette augmentation pour un ménage pourcentage de TVA augmente de 6 % à 21 % dont le montant hors TVA avant 2014 était à compter de septembre 2015 (les 6 % ont de 450 €. été instaurés en avril 2014). Pour un ménage résidentiel moyen, la facture d’électricité augmente de ce fait d’un peu plus de 100 € par an »1.
Prix d’amis
s
VA
N
Alexia tient une boutique de vêtements. Elle calcule ses prix de façon à faire un bénéfice de 40 %. Lorsque son amie vient lui acheter quelque chose, elle réduit le prix affiché de 40 %. Après avoir fait ses comptes, Alexia s’aperçoit que non seulement elle n’a rien gagné sur cette vente, mais qu’elle y a perdu. Voici le schéma qu’elle a suivi pour faire ses calculs.
on
a. Quel est le pourcentage de perte ?
iti
Ed
U A A 5 Statisti que à une variable
b. Et si Alexia fait un bénéfice de 45 % sur un vêtement qu’elle achète 80 € puis qu’elle accorde à son amie une réduction de 45 % sur le prix affiché, quelle sera sa perte (en € et en % de son prix d’achat) ?
5
Indice des prix
Voici un tableau donnant les indices des prix d’un même objet entre 2012 et 2015. 2012
2013
2014
2015
2016
Indice de prix de l’objet
100
96
105
107
110
Prix de l’objet
250
Quel est le pourcentage d’augmentation entre 2012 et 2014 ? Cet objet coûtait 250 € en 2012, quel était son prix chacune des années suivantes ? Réponds dans le tableau. Est-il vrai que le prix a augmenté de 5 % entre 2014 et 2016 ?
1
66
Année
D’après www.creg.info/Tarifs/composanteenergie.pdf
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
Une enquête Plusieurs élèves de l’école « A » trouvent que leur trajet est très long : ils voudraient que les cours commencent un peu plus tard ! Ils rassemblent des données sur le trajet des élèves et cherchent des arguments à soumettre au conseil d’école.
À pied À vélo
Que faites-vous après l’école ?…………………
VA
……………………………………………………... Merci d’avoir complété ce questionnaire.
Transport En voiture Autre en commun
N
Combien de temps dure votre trajet ?…………
IN
Questionnaire n° 5 Voulez-vous bien répondre à ce questionnaire Ce questionnaire concerne le trajet que vous en plaçant vos réponses sur les pointillés. effectuez chaque jour pour vous rendre à l’école. Nom…………………………………...Âge……… Quel âge avez-vous ? Comment effectuez-vous le trajet entre la Comment vous rendez-vous à l’école ? maison et l’école ?……………………………….
Indiquez, à 5 minutes près, combien de temps vous mettez pour arriver à l’école. ……………………………………………………………
s
a. Examine les questionnaires à partir des critères suivants. Questionnaire 2
on
Questionnaire 1
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
Voici deux projets d’enquête rédigés l’un par Benoît et l’autre par Samira.
Les questions sont-elles bien choisies ?
iti
Les questions sont-elles bien formulées ? Les réponses seront-elles utilisables ?
b. Rédige un questionnaire qui n’ait pas les inconvénients de ces deux-là en tenant compte des recommandations données dans la synthèse de ce chapitre.
Ed
6
67
3 7
Budget de la famille Voici la répartition des dépenses d’une famille pendant le mois de janvier. a. Calcule le pourcentage du budget de cette famille qui est consacré à chaque dépense. Dépenses (en €)
Logement
800
Alimentation
450
Habillement
240
Déplacements
220
Divers
160
Pourcentage
N
100
c. Ce diagramme représente-t-il une évolution ou une répartition ?
VA
Totaux
8
b. Représente ces données par un diagramme circulaire.
IN
Catégorie
Devant l’ordinateur
Les données recueillies sont
s
On a relevé le nombre d’heures passées devant l’écran d’ordinateur par Sarah, les samedis de janvier à avril.
on
0 ; 2 ; 7 ; 3 ; 3 ; 4 ; 3 ; 5 ; 4 ; 2 ; 4 ; 4 ; 6 ; 5 ; 3 ; 5 ; 6 ; 0 et 5
a. Complète le tableau des effectifs de ces données.
iti
Effectif (n)
0
Ed
U A A 5 Statisti que à une variable
Nombre d’heures (x)
n·x b. Réalise un diagramme en bâtons.
2 3 4 5 6 7
Totaux c. Ce diagramme représente-t-il une répartition ou une évolution ? d. En moyenne, combien de temps Sarah a-t-elle passé devant son ordinateur pendant ces trois mois ?
68
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
Estimer une mesure à partir du graphique
1
Force (newton)
2
3
4
5
6
3,2 6,1 9,4 12,2 15,1 18,2
Porte ces informations dans ce repère cartésien, avec les forces sur l’axe vertical. Trace à vue une droite qui « traverse » ce nuage de points.
9 8 7 6 5 4
VA
À partir du graphique, estime la force nécessaire pour déplacer un bloc qui a une masse de 4,4 kg.
Force (en N)
3 2 1
on
Le salaire moyen
2
3
4
5
6
7
Voici le relevé des salaires mensuels dans une entreprise de 6 personnes Max
Karim
Zita
Bob
Lea
1 300
1 450
1 800
2 100
2 300
2 500
iti
Mila
Salaire (en €)
Quelle est la masse salariale de cette entreprise ?
Ed
10
1
s
0
Masse (en kg)
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
Masse du bloc (kg)
19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
IN
Les forces requises pour tirer des blocs de différentes masses sur une surface horizontale sont montrées dans ce tableau.
N
9
Quel serait le salaire de chacun si tous gagnaient la même somme ?
Après avoir engagé un septième employé, le salaire moyen est devenu 2 544 €. Quel est le salaire mensuel de ce nouvel employé ?
69
3 11
Quantité moyenne Voici le relevé de la quantité de litres d’essence vendue dans une station service pendant 20 jours. 925
1021
429
935,2
925
478
1254
866
949
699,8
945
912,5
827
526
789
658
1023
325
259
925
70
iti Ed
U A A 5 Statisti que à une variable
on
s
VA
N
IN
Calcule la moyenne des quantités d’essence Le 21e jour, il y a eu une grosse affluence. Le vendues pendant cette période. vendeur a recalculé sa moyenne sur les 21 jours. Elle était de 790,5 litres. Combien a-t-il vendu d’essence ce jour-là ?
3
LES SUITES ET LEURS APPLICATIONS STRUCTURER ET RETENIR
1
Comment déterminer ou utiliser un pourcentage dans différentes situations ? Comment prendre 3 % d’un nombre n en une seule opération ? 3 3 % de n c’est × n ou 0,03 n. 100
On multiplie n par 0,03.
On divise 369 par 0,03.
On a pris 3 % d’un nombre n et on a trouvé 369.
On résout l’équation 0, 03n = 369 . Comment augmenter un nombre n de 3 % de ce nombre ?
On multiplie n par 1,03.
N
n + 0, 03n = n(1 + 0, 03) = 1, 03n .
IN
Quel est ce nombre ?
Comment diminuer un nombre n de 3 % de ce nombre ?
VA
n − 0, 03n = n(1 − 0, 03) = 0, 97n .
On divise a par b et on multiplie ce résultat par 100.
iti
L’essentiel, c’est de décider d’avance comment on va exploiter le questionnaire, comment on va dénombrer les réponses. Pour cela, il faut : – prévoir toutes les réponses possibles et les classer ; – donner des instructions sur la façon de répondre (cocher une proposition, noircir une case, répondre par oui ou par non…) et désigner un emplacement pour les réponses ;
STRUCTURER ET RETENIR
Comment s’y prendre pour rédiger un questionnaire ?
Ed
2
on
s
a Comment convertir un rapport en « pourcent » ? b a x On résout l’équation = . b 100
On multiplie n par 0,97.
– ne pas poser de questions qu’on ne peut pas exploiter (parce que les réponses sont trop variées, parce qu’on ne peut ni les compter ni les classer, parce qu’elles n’ont pas de rapport direct avec le sujet de l’enquête…) ; – si l’on pose une question qui porte sur une opinion, éviter qu’une opinion personnelle apparaisse ; – rédiger des questions claires et concises ; – s’en tenir à un questionnaire le plus court possible.
SY 11
3 3
Comment comprendre et utiliser le vocabulaire statistique ? Caractère qualitatif ou quantitatif Lorsqu’on enquête sur les moyens de transport utilisés par les élèves, le caractère étudié est un moyen de transport. Ce caractère est qualitatif car il ne s’exprime pas par un nombre. Lorsque l’on enquête sur la pointure des chaussures, le nombre de pages d’un livre, le caractère est quantitatif car les valeurs observées sont des nombres.
IN
Effectif C’est le nombre d’individus (personnes ou objets) de l’ensemble observé.
Fréquence
Exemple
VA
N
La fréquence d’une valeur d’une série statistique est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total. Ce quotient est souvent exprimé en %.
Les goûts musicaux de 450 jeunes sont donnés par le tableau suivant. Variété francophone
Variété internationale
Rock
Rap
Musique de films
Total
Effectif
126
81
108
99
36
450
Fréquence
28
18
24
22
8
100
on
s
Genre musical
La population étudiée est : les élèves de l’école.
SY 12
iti
Les valeurs de ce caractère sont : variété francophone, variété internationale, rock, rap, musique de films. L’effectif total est 450.
Ed
U A A 5 Statisti que à une variable
Le caractère étudié est : le goût musical. C’est un caractère qualitatif.
La fréquence des jeunes préférant le rap est 22 %.
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
Comment représenter des données ? Le diagramme en bâtons Le diagramme en bâtons est employé le plus souvent pour comparer ou montrer une évolution des effectifs ou des fréquences de données. Exemple En vue d’une campagne pour inciter les personnes au covoiturage, un comité a réalisé une enquête sur le nombre de personnes à bord d’une voiture dans deux villes différentes, A et B. Nombre de voitures Ville A
Nombre de voitures Ville B
1
38
59
2
94
3
130
4
79
IN
Nombre de personnes à bord d’une voiture
N
133
VA
122
5
30
16
29
9
400
400
s
6
61
Nombre de personnes à bord d’une voiture dans 2 villes différentes
STRUCTURER ET RETENIR
on
Le diagramme en bâtons correspondant est le suivant :
Covoiturage
Nombre de voitures
iti
140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Ed
4
1
2
3
4
5
6
Nombre de passagers Ville A
Ville B
Diagramme en bâtons Ce type de représentation permet de mieux visualiser la distribution observée et semble indiquer que l’occupation des véhicules est plus importante dans la ville A que dans la ville B quand il s’agit de voitures qui transportent plus de 3 passagers.
SY 13
3 Le diagramme circulaire Le diagramme circulaire sert le plus souvent à représenter une répartition. Exemple Ce tableau montre les résultats d’une enquête sur l’utilisation des réseaux sociaux par les élèves de l’école. Facebook
Skype
Aucun
Totaux
Effectif
198
54
90
81
27
450
Fréquence
44
12
20
18
6
100
IN
Réseau
Réseaux sociaux utilisés par les élèves 6% 18%
N
44%
VA
20%
12%
Face book
Skype
Aucun
Comment calculer une moyenne ?
iti
5
on
s
Pour calculer l’angle qui correspond à la fréquence exprimée en pourcent, on utilise la proportion Fréquence mesure de l’angle au centre = 100 360
SY 14
La moyenne d’une liste de nombres est le nombre obtenu en divisant la somme de ces valeurs par le nombre de ces valeurs.
Ed
U A A 5 Statisti que à une variable
Définition
Lorsque, dans la liste ou les données, une même valeur est répétée, la somme des valeurs devient « la somme des produits des valeurs distinctes par leur répétition ». Remarques
La moyenne n’est pas nécessairement égale à une valeur de la liste. La moyenne est rarement égale à la moyenne des extrêmes. La moyenne est toujours comprise entre les deux extrêmes. Exemple On interroge 450 élèves pour connaitre le nombre de SMS reçus en une journée Nombre de SMS/jour
0
1
2
3
4
5
6
7
Effectif
40
50
52
88
75
55
50
40
La moyenne est (0 × 40) + (1 × 50) + (2 × 52) + (3 × 88) + (4 × 75) + (5 × 55) + (6 × 50) + ( 7 × 40 ) m= 3, 5 45 50
S’EXERCER ET APPROFONDIR
3
APPLIQUER 1
Les judokas Dans un club sportif, 28 % des 450 adhérents font du judo. Quel est le nombre de personnes qui ne pratiquent pas ce sport dans ce club ?
2
Estimer et calculer
V
60
80
90
120
150
R
92
116
128
164
200
IN
Le filament métallique d’une lampe présente les caractéristiques ci-dessous en ce qui concerne la résistance (R ohms) à différents voltages (V volts).
VA
N
Porte ces informations dans un repère cartésien avec la résistance en ordonnée et trace la droite qui passe par ces points. Estime la résistance lorsque le voltage est de : – 100 volts – 160 volts
Estime le voltage lorsque la résistance est de 104 ohms.
f (100) =
Ed
f (160) =
iti
– Calculer
on
s
– Déterminer les paramètres m et p de la fonction f (x) = mx + p qui décrit la résistance en fonction du voltage
f (200) =
Avec un logiciel
a. Le nombre d’habitants de six villes est donné dans ce tableau (2005). Bruges
Malines
Namur
Liège
Gand
Charleroi
117 253
77 792
126 954
182 781
231 671
201 433
Utilise un logiciel pour représenter ces données statistiques dans un diagramme.
S’EXERCER ET APPROFONDIR
3
71
3 b. En vue d’enquêter sur les moyens de transport utilisés par les élèves, chaque groupe de trois ou quatre élèves choisit une classe de l’école et rédige un questionnaire. Pour chaque classe, il faut compléter ce tableau et réaliser le diagramme circulaire correspondant. Compare ensuite ton diagramme avec ceux des autres groupes.
Moyen de transport
À pied
À vélo
En transport en commun
IN
Nombre d’élèves
En voiture
La dernière note
s
4
VA
N
Reproduis ici le diagramme qui correspond aux données que ton groupe a recueillies.
on
Lucas a une moyenne de 9 pour ses six premiers contrôles. Pour le septième, il a eu 14. Quelle est sa nouvelle moyenne ?
72
iti
Ed
U A A 5 Statisti que à une variable
Lydia a une moyenne de 17 pour ses six premiers contrôles. Pour le septième, elle a eu 11. Quelle est sa nouvelle moyenne ?
David a une moyenne de 8 pour ses six premiers contrôles. Pour le septième, il a eu 11. Quelle est sa nouvelle moyenne ?
5
Connexion Tom a été connecté à Internet en moyenne 1h30 par jour pendant 7 jours. Le dernier jour, il est resté connecté pendant 2 heures. Quelle est sa moyenne pendant les 6 autres jours ?
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
TRANSFÉRER 6
Retrouver le nombre initial a. Le lendemain d’un jour d’élection communale, on peut lire dans un quotidien régional : « 1 695 personnes ont pris part au vote, c’est-à-dire 75 % des inscrits sur les listes électorales. »
IN
Calcule le nombre des inscrits.
Augmentations et baisses successives
iti
on
s
a. De janvier à juin, le prix d’un produit a augmenté de 2 % ; de juillet à décembre, il subit une nouvelle augmentation de 3 %. Que vaut, en décembre, un produit qui coûtait 100 € en janvier ? Et un produit qui coûtait 346 € en janvier ?
Ed
b. Le prix d’un produit augmente de 7 %, puis diminue de 7 %. Revient-il au prix de départ ?
S’EXERCER ET APPROFONDIR
7
VA
N
b. Un magasin d’accessoires fait une réduction de 25 % sur tous ses sacs et bijoux. À cette occasion, Muriel achète un bracelet qu’elle paie 15 € et un sac qu’elle paie 27 €. Quels étaient les prix avant réduction ?
73
3 8
Taux d’évolution Lorsque l’on veut s’informer sur l’évolution des prix au fil des années, on peut faire une recherche sur Internet à partir des mots-clés « index », « indice des prix ». Au cours d’une telle recherche, on a trouvé un tableau2 reprenant les prix du pain, entre 1951 et 1999. Tous ces prix sont indiqués dans la monnaie de l’époque : en francs belges. Ce tableau porte le titre « L’évolution scandaleuse du prix du pain ! ». Le « scandale » apparaît surtout quand on compare les prix du pain à ceux du blé. Voici quelques données extraites de ce tableau. Prix du blé
1951
7,50 BEF
Non renseigné
1962
8,50 BEF
1970
13,25 BEF
1990
48,00 BEF
1999
59,00 BEF
IN
Prix du pain de 800g
Non renseigné 11,00 BEF 8,36 BEF
N
Non renseigné
VA
Le schéma ci-dessous montre comment calculer le taux d’évolution du prix du pain entre 1951 et 1970 puis entre 1970 et 1990.
74
iti
Entre 1951 et 1970 (en 19 ans), chaque BEF a été multiplié par 1,767, donc 100 BEF deviennent 176,7 BEF. C’est une augmentation de 76,6 %.
Ed
U A A 5 Statisti que à une variable
on
s
Prix du pain
Entre 1970 et 1990 (en 20 ans), chaque BEF a été multiplié par 3,6226, donc 100 BEF deviennent 362,26 BEF. C’est une augmentation de 262,26 %. Compare cette augmentation à celle du blé pour la période située entre 1970 et 1990.
2
http://users.skynet.be/durot/français:prix_du_pain_htm
TRAITEMENT ET ORGANISATION DE DONNÉES
Population active Le tableau ci-dessous donne, en milliers d’individus, le nombre d’actifs3 parmi les hommes et les femmes, selon les tranches d’âges en 2015. Hommes
Femmes
Moins de 25 ans
167
140
De 25 à 55 ans
1 553
1 394
Plus de 55 ans
677
568
Total
2 397
2 102
Source : http://statbel.fgov.be
IN
Actifs
VA
N
Calcule le pourcentage de femmes de 25 à 55 ans Compare le pourcentage de « moins de 25 ans » parmi les femmes actives. parmi les femmes actives et le pourcentage de « moins de 25 ans » parmi les hommes actifs.
on
s
Calcule le pourcentage d’hommes de 25 à 55 ans parmi les hommes actifs.
iti
Les pourcentages trouvés sont-ils dans le même ordre que les données absolues ?
S’EXERCER ET APPROFONDIR
Ed
9
3 La population active est formée par les actifs occupés, les chômeurs et les militaires du contingent.
75
on
iti
Ed s N
VA IN
Avant propos
VA
Comment utiliser ton livre-cahier ? Sommaire
La fonction du deuxième degré Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
s
1.
N
IN
TABLE DES MATIÈRES V VIII X 1 2 7 SY1
Comment représenter une fonction du premier degré ?
2.
Quelles sont les caractéristiques de la fonction de référence f (x) = x ?
SY1
3.
Comment reconnaître une fonction du deuxième degré à partir de son expression analytique ?
SY2
4.
Comment reconnaître le graphique d’une fonction du deuxième degré ?
SY2
5.
Comment reconnaître une fonction du deuxième degré à partir d’un tableau de valeurs ?
SY2
6.
Comment déterminer l’ordonnée à l’origine d’une parabole ?
SY3
7.
Comment déterminer les coordonnées du sommet d’une parabole à partir de son équation ? Quel est le maximum ou le minimum d’une fonction du deuxième degré ?
SY3
8.
Quelles sont les caractéristiques des racines (zéros) d’une fonction du deuxième degré ? S’exercer et approfondir
SY4 19
SY1 2
Ed
iti
on
1.
2.
Équations et inéquations du deuxième degré
35
Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
36 39 SY5
1.
Comment reconnaître une équation du deuxième degré ?
SY5
2.
Comment résoudre une équation du deuxième degré ?
SY5
3.
Comment déterminer la somme et le produit des racines sans les avoir calculées ?
SY7
4.
Comment partir des solutions pour écrire une équation ?
SY8
5.
Comment trouver les solutions d’une équation du deuxième degré sur un graphique ?
SY8
6.
Comment prévoir le signe d’une fonction du deuxième degré et construire un tableau de signes ?
SY9
7.
Comment résoudre une inéquation du deuxième degré ?
SY10
8.
Comment résoudre une inéquation de degré supérieur à 2 ? S’exercer et approfondir
SY10 49
119
3.
Traitement et organisation de données Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir
64 65 SY11
Comment déterminer ou utiliser un pourcentage dans différentes situations ?
SY11
Comment s’y prendre pour rédiger un questionnaire ?
SY11
3.
Comment comprendre et utiliser le vocabulaire statistique ?
SY12
4.
Comment représenter des données ?
SY13
5.
Comment calculer une moyenne ? S’exercer et approfondir
SY14 71
IN
1. 2.
4.
Valeurs centrales et valeurs extrêmes Explorer et découvrir Structurer et retenir
77 78 SY15
Quel est le vocabulaire de base utilisé dans une étude statistique ?
SY15
Qu’est-ce que l’étendue ? À quoi sert-elle ?
SY16
3.
À quoi servent les valeurs centrales ?
4.
Qu’est-ce que le mode ?
5.
Qu’est-ce que la médiane d’une série statistique ?
6.
À quoi sert le calcul des effectifs cumulés ?
SY18
7.
Quelle valeur centrale choisir ? S’exercer et approfondir
SY18 87
VA
N
1. 2.
Données réparties en classes, intervalle interquartile, écart-type Explorer et découvrir Structurer et retenir
s
5.
SY16 SY16 SY17
97 98 SY19
Quel est le vocabulaire de base utilisé dans une étude statistique ?
SY19
Comment traiter des données réparties en classes ?
SY19
3.
Comment déterminer la médiane lorsque les données sont réparties en classes ?
SY20
4.
Comment déterminer l’intervalle interquartile, calculer l’écart interquartile ?
SY21
5.
Comment calculer la variance et l’écart-type ? S’exercer et approfondir
SY21 109
iti
on
1. 2.
Ed 120
63