est destiné aux élèves de 5e année de l’ensemble des réseaux de l’enseignement technique de qualification. C’est un manuel : - pratique : la découverte des notions, la théorie et les exercices sont réunis dans un seul ouvrage ; -p rogressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; - fl uide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre.
UNE NOUVELLE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT DE QUALIFICATION DE LA 3E À LA 6E ANNÉE ne mise en page U en couleur et structurée. ne approche des maths U en accord avec le quotidien des élèves. Une pédagogie stratégique. Des livres-cahiers au 2e degré. Des manuels au 3e degré.
Annick Van Eerdenbrugghe Françoise Van Dieren
Mathématiques
Technique de qualification
Anne Bousson Sabine Hausmann
4 périodes / semaine
(4 pér./sem. )
Annick Van Eerdenbrugghe | Anne Bousson Françoise Van Dieren | Sabine Hausmann
5 QUADRANT e
Chaque chapitre possède la même structure didactique : une mise en contexte donnant du sens à l’apprentissage. es activités proches de la vie pratique, sociale d et économique des élèves. une synthèse qui récapitule la théorie indispensable.
5
e
e nombreux exercices, diversifiés, préparant d les élèves à l’évaluation de leurs compétences.
e
5 QUADRANT
4 périodes / semaine
es exercices de familiarisation d avec l’outil numérique.
De Boeck ISBN 978-2-8041-9576-2 573022
vanin.be
QUADRANT MANUEL
IN
Avant propos 5e Quadrant (4 périodes/semaine) est destiné aux élèves de cinquième année de l’enseignement qualifiant, tous réseaux.
N
Les chapitres communs à tous les secteurs du qualifiant (Industrie, Construction, Sciences Appliquées où 4 périodes sont obligatoires, et Agronomie, Economie, où des cours à 4 périodes peuvent être dispensés) sont regroupés en début de manuel ; viennent ensuite les chapitres spécifiques aux différents secteurs.
VA
La répartition, par secteur, des chapitres et des unités d’acquis d’apprentissage (UAA) de la classe de cinquième se trouve dans le tableau ci-après (page V).
on
s
5e Quadrant (4 périodes/semaine) est un manuel : • pratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercices et de nombreux exemples sont réunis dans un seul ouvrage ; • progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; • actualisé : de nombreuses constructions et interprétations graphiques sont proposées tout au long de ce manuel pour apprendre à l’élève à illustrer les formules apprises. Cinq étapes, identiques dans chacun des chapitres, rythment les apprentissages.
Situer ce que l’on va apprendre
Ed
iti
L’introduction permet aux mathématiques de prendre sens aux yeux de l’élève. En effet, la nouvelle matière est annoncée ; elle s’appuie sur les savoirs antérieurs, s’inscrit dans une histoire et conduit à de nombreuses applications dans le quotidien, la vie sociale et économique, le domaine technique et scientifique… Être conscient de la manière dont les connaissances s’enchaînent selon un ordre, c’est aussi s’approprier une forme de pensée qui est au centre de l’activité mathématique : la pensée déductive.
Explorer et découvrir Éveiller l’imagination, s’appuyer sur l’intelligence naturelle, mobiliser la réflexion sous-tendent toutes les explorations de cette étape. Le contexte, s’il est concret, est souvent évoqué par une photo, un texte, une question. S’il est abstrait, il s’appuie sur les acquis et sur des raisonnements logiques clairement explicités. Les questions et recherches s’enchaînent pour conduire progressivement mais sans détours vers ce qu’il faut découvrir. Par leur progressivité et leur présentation, la plupart des explorations permettent à l’élève, seul ou en classe, de découvrir une notion ou une méthode nouvelle. Le professeur répond aux questions, apporte des compléments, précise les concepts et les règles, introduit les exercices.
III
Structurer et retenir À l’issue du travail d’exploration, les notions sont cernées, les concepts abordés, des formes de raisonnement découvertes, un vocabulaire spécifique est utilisé. Il faut donc, à présent, structurer, expliciter, intégrer, fixer afin que les nouveaux acquis deviennent disponibles pour les recherches et les applications ultérieures. La synthèse s’inscrit dans cette dynamique : chaque définition, chaque propriété est introduite par une question qui porte sur l’usage des nouveaux acquis. Des exemples illustrent cette étape : ils servent de modèles dans la résolution des exercices.
IN
Outre des définitions, des propriétés et des règles, quelques synthèses proposent des méthodes spécifiques pour aborder certaines tâches : justifier, démontrer, modéliser et résoudre différents types de problèmes.
Utiliser un logiciel
N
Chaque chapitre1 propose l’étape « Utiliser un logiciel ». Des exercices résolus à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel y sont présentés, pas à pas, pour familiariser l’élève avec l’utilisation d’un outil numérique.
VA
S’exercer et approfondir
Les exercices sont classés selon les catégories décrites dans le référentiel diffusé par la Fédération Wallonie-Bruxelles : Connaître, Appliquer, Transférer.
s
Les exercices s’articulent suivant une même progression : tester les connaissances, s’entraîner aux méthodes découvertes, mobiliser dans différentes disciplines les concepts installés, développer un esprit critique, modéliser et résoudre un problème.
on
Cette étape peut être menée selon des pédagogies variées : recherche pilotée par le professeur, résolution d’exercices seul ou en groupe, répartition selon les profils, les goûts, les aptitudes des élèves.
iti
Des graphiques et tableaux figurant dans le manuel doivent être complétés par l’élève ; ils sont indiet peuvent être téléchargés gratuitement sur le site http://maths.deboeck. qués par le symbole com.
Ed
Nous espérons que ce manuel permettra à l’élève de découvrir sous un jour nouveau différents aspects des mathématiques : leur utilité, leur logique propre, leur beauté parfois. Et surtout, qu’il donnera à chacun une confiance renouvelée dans sa capacité à aborder les mathématiques et à les pratiquer. Françoise Van Dieren, directrice de collection, et les auteures
1 Cette étape n’apparaît pas dans le chapitre des dérivées.
IV
3 4 5 6 7 8
UAA 6 Dérivée
UAA 7 Trigonométrie
UAA 8 Fonctions trigonométriques
UAA 11 Système d’équations linéaires
UAA 12 Programmation linéaire
2
1
X
X
X
X
X
on
X
X
2. Industrie
iti
Ed Chapitres
UAA 5 Comportement asymptotique
UAA 1 Modèles de croissance
Unités d’Acquis d’Apprentissage
s N
X
X
X
X
X
X
9. Sciences appliquées
VA
X
X
X
X
X
3. Construction
Secteurs où le cours 4 périodes est obligatoire
IN
X
X
X
X
X
1. Agronomie
X
X
X
X
X
X
7. Économie
Secteurs où le cours 4 périodes est possible
Répartition des chapitres par secteur
V
IN
Comment utiliser ce manuel ? Les huit chapitres du manuel proposent chacun un déroulement identique.
5
N
L’introduction TrigonoméTrie
Les Grecs ont enrichi la trigonométrie en établissant des tables de mesures de cordes et d’angles dans un cercle de référence. EratosthènE et aristarquE (environ 250 avant J.-C.) les ont utilisées, l’un pour évaluer la circonférence de la terre, l’autre la distance Terre-Lune et la distance Terre-Soleil. L’astronomie se développe dans le monde indien, puis dans le monde arabe qui a accès, après traduction, aux ouvrages venant d’Inde et à l’ensemble des connaissances grecques. Jusqu’au xiiie siècle, astronomie et trigonométrie sont toujours associées. Au xiie siècle, de nombreux ouvrages mathématiques sont traduits en latin ; les connaissances en astronomie pénètrent ainsi en Europe et la trigonométrie se développe sous l’impulsion de plusieurs mathématiciens et astronomes. Jusqu’à présent, les nombres trigonométriques ont été définis comme des rapports de longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle. Les angles considérés étaient donc toujours positifs et inférieurs à 90°.
Dans ce chapitre, par le biais du cercle trigonométrique dans un repère, on étend les définitions des nombres trigonométriques aux angles compris entre 90° et 180°. On établit ensuite les formules qui permettent de calculer des mesures de distances et d’angles dans le triangle quelconque. Ces formules s’appuient sur celles que l’on a apprises précédemment à propos du triangle rectangle. On attribue à Al KAshi (1390-1450) qui travaillait à l’observatoire de Samarkand, la formule dite « formule des cosinus » que l’on découvrira plus loin.
4 4
a. La vitesse moyenne entre les moments t et t + ∆t est le rapport « chemin parcouru sur temps écoulé ». e ( t + ∆t) − e ( t) vm = ∆t b. Lorsque Dt tend vers zéro, la vitesse moyenne tend par définition vers la vitesse instantanée au moment t. Quelle est l’expression de cette vitesse instantanée ?
5
Ed
Dérivée des fonctions usuelles a. On donne les représentations graphiques de deux fonctions (fig. 5 et 6). Écrire l’expression de la fonction dérivée des fonctions représentées.
y
y
1 y=2
0
1
• l’asymptote horizontale (AH), d’équation y = b, lorsque lim f ( x) = b ou lim f ( x) = b ; x→ − ∞
U A A 6 D é rivé e s 96
x→ + ∞
• l’asymptote oblique (AO), d’équation y = mx + p, lorsque lim ( f ( x) − ( mx + p) ) = 0 ou x→ − ∞
x→ + ∞
• l’asymptote verticale (AV), d’équation x = a, lorsque lim− f ( x) = ∞ ou lim+ f ( x) = ∞ . x→ a
x→ a
Comment découvrir la limite d’une fonction ? A. Limite en l’infini • Pour découvrir lim f ( x) , on observe une suite de puissances de 10 et leurs images. x→ + ∞
• Pour découvrir lim f ( x) , on observe une suite d’opposés de puissances de 10 et leurs x→ − ∞ images. Ce qui veut dire que…
Sur le graphique…
lim f ( x) = + ∞ (1) f (x) peut prendre une valeur aussi on n’a pas d’asymptote horigrande que l’on veut, pour autant zontale. que x soit suffisamment grand.
x→ + ∞
lim f ( x) = b
f (x) peut être aussi proche que l’on on a une asymptote horizontale veut de b, pour autant que x soit AH ≡ y = b (pour x → + ∞ ). suffisamment grand.
lim f ( x) = b
f (x) peut être aussi proche que l’on on a une asymptote horizontale veut de b, pour autant que les vaAH ≡ y = b (pour x → − ∞ ). leurs de x négatives soient suffisamment grandes en valeur absolue.
U A A 5 Co m po r te m e n t asym pto ti q ue
x→ + ∞
VIVI
74
x→ − ∞
(1) On définit de manière équivalente lim f ( x) = − ∞, lim f ( x) = + ∞ , et lim f ( x) = − ∞ . x→ + ∞
x→ − ∞
x→ − ∞
B. Limite en un réel Pour découvrir lim f ( x) , lorsque le réel a adhère au domaine sans lui appartenir, il x→ a
faut construire une suite de valeurs de x qui converge vers a et observer la suite des images correspondantes. On considère :
(
)
• une suite de réels inférieurs à a x → a− , dont le terme d’indice n est a − 10− n ;
(
)
1
x
x
fig. 5
Que signifie l’expression « comportement asymptotique » d’une fonction ?
Résultat
0
1
Une fonction a un comportement asymptotique lorsqu’une des branches infinies de son graphique se rapproche d’une courbe dont l’équation est plus simple que l’expression de la fonction. On n’envisage ici que le cas des droites ; elles sont appelées asymptotes au graphique de la fonction. On en rencontre trois types :
4
fig. 4
e
La vitesse instantanée au moment t est appelée la fonction dérivée de la fonction définie par e ( t) .
Les nouvelles notions sont abordées à partir de quelques problèmes.
3
lim ( f ( x) − ( mx + p) ) = 0 ;
e(t) e(t + ∆t)
c. Quelle est la vitesse instantanée du lest une seconde après le lâcher, 2 secondes après le lâcher, 3 secondes après le lâcher ?
Explorer et découvrir
3
0
Calculer cette expression en se référant à la définition de e ( t) .
iti
Théodolite de chantier : cet instrument, utilisé notamment par les géomètres, permet la mesure des angles dans le plan horizontal et dans le plan vertical. Il est utilisé pour réaliser des mesures de triangulation et effectuer des relevés topographiques.
Lâcher du lest Un sac de lest est lâché d’une nacelle de montgolfière immobilisée à 500 m au-dessus du sol. On a constaté par expérience que le chemin parcouru (e) par le lest en chute libre est proportionnel au carré du temps écoulé (t) : 9, 81 2 e ( t) = t 5t2 2
on
Des calculs de mesure de distances et d’angles sont pratiqués dans de nombreux domaines : la détermination de l’aire d’un terrain, de l’altitude d’un sommet, de la hauteur d’un mât, la construction de certaines pièces métalliques…
VA
Les premières traces de la trigonométrie remontent aux Babyloniens, 2000 ans avant notre ère ; des tablettes d’argile sur lesquelles figurent des données astronomiques témoignent de leurs bonnes connaissances en trigonométrie.
s
Les débuts de la trigonométrie se perdent dans la nuit des temps : au départ, il s’agit de suites numériques faisant correspondre la longueur de l’ombre d’un piquet avec un moment de la journée.
L’introduction situe ce que l’on va apprendre dans l’histoire des mathématiques, dans les sciences et les techniques.
• une suite de réels supérieurs à a x → a+ , dont le terme d’indice n est a + 10− n .
Structurer et retenir Il faut étudier les questions et les réponses de la synthèse pour se débrouiller seul dans d’autres situations.
fig. 6
1
Utiliser Un logiciel
Utiliser un logiciel
Utiliser un tableur pour écrire les termes d’une suite
11
Cette rubrique donne des indications pour découvrir une notion ou résoudre un exercice à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel graphique.
a. Suite définie explicitement Soit la suite définie par un = 3n – 1. Dans la colonne A, on écrit les indices des deux premiers termes, soit 1 en A2 et 2 en A3. On sélectionne les deux valeurs et on fait apparaître la petite croix noire dans l’angle inférieur droit de la cellule ; bouton gauche de la souris enfoncé, on tire vers le bas jusqu’à l’indice souhaité. En B2, on saisit =3*A2–1 ; on recopie vers le bas (faire apparaître la petite croix noire dans l’angle inférieur droit de la cellule et tirer vers le bas ou faire un double-clic avec le bouton gauche de la souris).
b. Suite définie par récurrence Soit la suite (un) définie par u1 = 3 et un + 1 = 2un + 3. Dans la colonne A, on écrit les indices des deux premiers termes, soit 1 en A2 et 2 en A3 ; on sélectionne les deux valeurs et on tire vers le bas jusqu’à l’indice souhaité. En B2, on saisit la valeur de u1, soit 3 pour notre exemple. En B3, on saisit la formule qui définit la suite, soit ici =2*B2+3. On recopie
1. Écrire les termes de la suite (voir point 1) et sélectionner les valeurs de l’indice et des termes (colonnes A et B dans les exemples ci-dessus). 2. Dans l’onglet « insertion », choisir l’option « graphique en nuage de points » ; le graphique apparaît sur la même page du tableur. On peut alors le modifier en indiquant un titre, en changeant les couleurs, le quadrillage… Voici le résultat pour la suite donnée en b ci-dessus.
S’EXERCER Et appRofondiR
5
Connaître 1
Vrai ou faux ?
IN
Utiliser un tableur pour représenter une suite graphiquement
21
Utiliser Un logiciel
alors vers le bas pour compléter la colonne B.
Si 90° < α < 180° , alors a. sin α est négatif
b. tan α est positive c. cos α est négatif. Justifier.
2
Cercle trigonométrique
Représenter sur le cercle trigonométrique le point correspondant à un angle de 120° ainsi que ses nombres trigonométriques.
3
13
Quelle formule pour quel triangle ?
N
Voici une série de formules et trois triangles (fig. 32 à 34). À quel triangle peut-on appliquer chacune des formules ? Formules
α
a. p2 = n2 + m2 − 2mn cos α
γ n
d.
p n m = = sin β sin α sin γ
e.
m p n = = sin β sin α sin γ
f.
n p m = = sin β sin α sin γ
g. aire =
mpsin β 2
h. aire =
npsin β 2
i. aire =
fig. 32 β
n γ p
Triangle n° 2
m α
fig. 33 p β m
mnsin β 2
α
γ
Triangle n° 3
n fig. 34
s’exercer et approfondir
Les exercices de la partie « Connaître » permettent de fixer l’essentiel et d’utiliser directement ce qui a été étudié.
Triangle n° 1
p β
c. n2 = m2 + p2 − 2mp cosβ
VA
S’exercer et approfondir
m
b. m2 = n2 + p2 − 2np cos γ
129
Signe de la dérivée et comportement d’une fonction
on
5
s
4 On donne le tableau de signe de la dérivée d’une fonction. En déduire le sens de variation de la fonction (intervalles de croissance et de décroissance, extremums). a. x
−∞
1 +
signe de f 9
+∞
2
0
–
0
+
variations de f b. x
−∞
0 –
signe de f 9
+∞
3
0
–
0
+
variations de f −∞
x
–2 +
signe de f 9
0
variations de f d. x
−∞
–2 –
signe de f 9 variations de f
AH
–
0
+
0,5
/
–
AV x = −2
y =1
+∞
2
iti
c.
+
+∞
/
+
AH
AV x=0
Avec les exercices « Appliquer », on acquiert des méthodes efficaces pour interpréter un graphique, suivre une démarche, utiliser un logiciel.
y =1
Ed
Appliquer
0
0
S’exercer et approfondir
6
Utiliser la définition
Dans chaque cas, calculer le nombre dérivé de f en a en utilisant la définition.
7
a. f (x) = 2 – 3x
a = –2 ;
a=0
b. f (x) = x2 – 2x
a=1;
a=0
5
Fonction dérivée
Calculer la fonction dérivée des fonctions définies par les expressions suivantes.
Transférer
U A A 6 D é rivé e s
Série A
1) f ( x) = 6 x
2) f ( x) =
2x 3
3) f ( x) = x2 + x 4) f ( x) =
x2 + 3 x 5
5) f ( x) = x3 − 5 x + 1
9) f ( x) = 3 x
6) f ( x) = 7 x4 + 3 x2 + 1
10) f ( x) =
7) f ( x) = x + 8) f ( x) =
3 5x
1 x
10
3
4 x2
Dans les régions où le risque d’incendie est important, on construit des tours de guet. Chaque tour surveille une zone qui chevauche celle de la tour la plus proche : un départ de feu peut ainsi être détecté par au moins deux tours.
11) f ( x) = x3 − 3 x2 + 6 x − 12 12) f ( x) = x3 −
Alerte incendie
5 3 + x x2
Deux vigies, installés dans des tours de guet distantes de 8 km, observent un départ de feu. Le premier le voit sous un angle de 46° 10′ NE, le second sous un angle de 60°12′ NO (fig. 38)
108
À quelle distance de chaque tour de guet a lieu ce départ de feu ?
Tour de guet
S’exercer et approfondir
fig. 38 a. Donner une solution approximative en représentant la situation à l’échelle 1/100 000. b. Résoudre le problème en calculant les distances demandées.
Les problèmes proposés dans la rubrique « Transférer » amènent à modéliser une situation et à interpréter un résultat.
11
Charger et décharger un bateau
U A A 7 Trigo n o m é tri e
Au port, les dockers utilisent différentes grues pour remplir les cales des navires. La grue observée est constituée d’un bras vertical, d’un bras oblique de 20 m fixé à 4 m du sommet. Ces deux bras forment un angle de 50° (fig. 39). Déterminer la longueur du câble entre le sommet du corps de grue et l’extrémité de son bras oblique.
4 m 50°
20 m
fig. 39
132
VII
IN
Sommaire 1. Les suites et leurs applications...............................................................1
N
2. Les fonctions puissances, exponentielles et logarithmes............ 23 3. Comportement asymptotique et limites........................................... 65
VA
4. Dérivées et applications......................................................................... 93 5. Trigonométrie.......................................................................................... 117
s
6. Fonctions trigonométriques............................................................... 135
on
7. Système d’équations linéaires............................................................ 159
Ed
iti
8. Programmation linéaire....................................................................... 175
VIII VIII
Comportement asymptotique et limites
IN
3
VA
N
On a tous une perception naturelle ou intuitive des limites : aller très loin, se rapprocher de plus en plus d’un lieu ou d’un moment de rendez-vous, s’approcher de plus en plus d’un record de vitesse, observer une flèche qui se rapproche de plus en plus d’une cible…
s
Lire un graphique de fonction ne pose guère de problèmes, si ce n’est peut-être un manque de précision pour y relever des données, pour comprendre comment se comporte une fonction aux bornes de son domaine. Il faut parfois modifier la fenêtre graphique pour s’assurer d’un résultat que l’on suppose…
iti
y
Ed
y tend vers + ∞
on
Le premier chapitre était consacré aux suites, et plus particulièrement aux suites arithmétiques et géométriques ; on a appris à les construire, à les représenter graphiquement, à calculer la somme de leurs termes. Dans ce chapitre, on va voir comment se comportent les suites lorsqu’on augmente indéfiniment leur nombre de termes.
x tend vers – ∞
x tend vers + ∞
1
x tend vers 2, x < 2
01 2
x y tend vers – ∞
x tend vers 2, x > 2
fig. 1
Dans ce chapitre, on précise la signification de « tendre vers » dans le cadre de l’étude des fonctions. On analyse le comportement de certaines fonctions lorsque x tend vers l’infini ou lorsque y = f (x) tend vers l’infini (fig. 1) ; les branches infinies du graphique se rapprochentelles d’une droite ?
3
EXPLORER ET DÉCOUVRIR 1
Suites infinies a. Les puissances entières de 10 forment une suite géométrique
10 ;;100 100 ;;1000 1000 ;; ... ...)) == (10 10nn) . ((uunn)) == ((11;;10
Lorsqu’on augmente indéfiniment le nombre de termes de cette suite, on peut dépasser la valeur de n’importe quel réel, aussi grand soit-il. On dit alors que la limite de cette suite est infinie et on écrit lim 10 n = + ∞ . n→+ ∞
Utiliser une calculatrice ou un tableur pour conjecturer lim 10− n .
• ( 2, 9 ; 2, 99 ; 2, 999 ; 2, 999 ...) lorsque x → 3−
Utiliser un résultat obtenu en a. pour justifier que ces suites tendent vers 3. Remarque
3
x tend vers 3, en restant strictement inférieur à 3.
VA
• ( 3,1 ; 3, 01 ; 3, 001 ; 3, 0001 ; ...) lorsque x → 3+
x<3
N
b. « Tendre vers un réel » peut se faire de deux manières : par des valeurs inférieures à ce réel et par des valeurs supérieures à ce réel. Ainsi, pour tendre vers 3, on peut observer la suite
IN
n→+ ∞
x→3
–
x>3
x tend vers 3, en restant strictement supérieur à 3.
On écrit x → 3+
s
Lorsque la limite d’une suite est un réel, on dit que la suite converge vers ce réel.
on
c. Vers quel réel converge chacune des suites suivantes ? 1) 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; …
66
iti
3) 7,4 ; 7,49 ; 7,499 ; 7,4999 ; …
4) –2,9 ; –2,99 ; –2, 999 ; –2,9999 ; …
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiqu e
2) 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; …
5) –7,1 ; –7,01 ; –7,001 ; –7,0001 ; … d. Trouver deux suites de nombres qui convergent vers le réel a, l’une par valeurs inférieures et l’autre par valeurs supérieures à ce réel
1) si a = 0 2) si a = – 2,5 3) si a = 11.
Comportement asymptotique On donne le graphique de la fonction f : x → Le logiciel utilisé a aussi tracé des droites : on observe que pour certaines valeurs de x, le graphique de la fonction s’en approche.
x2 x2 − 9
(fig. 2). y
a. U tiliser le graphique donné pour écrire les équations de ces droites. b. P réciser le domaine de définition de la fonction.
1
c. C omment se comporte la fonction lorsque x → + ∞ , c’est-à-dire lorsque x prend des valeurs de plus en plus en plus grandes ? Utiliser une calculatrice ou un tableur pour compléter le tableau ci-dessous.
10
IN
f (x) 2
VA
103 10
0 1
N
x
4
x
fig. 2
Conjecturer la valeur de f ( x) lorsque x → + ∞ .
s
d. P rocéder de manière identique pour étudier le comportement de la fonction lorsque x → −∞ .
on
Quel lien peut-on établir entre le résultat obtenu et l’équation de la droite horizontale obtenue en a. ? Cette droite est appelée asymptote horizontale. e. L a fonction donnée n’est définie ni en 3, ni en –3. Observer le graphique pour conjecturer lim− f ( x) , lim+ f ( x) , lim − f ( x) et lim + f ( x) . x→ 3
x→ 3
x→ −3
x→ − 3
iti
f. La variable x peut s’approcher du réel 3 par la gauche ( x < 3 ) ou par la droite ( x > 3 ). Pour étudier le comportement de la fonction au voisinage de 3, on complète (avec un tableur ou une calculatrice) le tableau suivant.
Ed
2
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
Comportement asymptotique et limites
x (x < 3)
f (x)
x (x > 3)
3 – 0,1 = 2,9 3 – 0,01 = 2,99 3 – 0,001 = 2,999 3 – 0,0001 = 2,9999 …
3 + 0,1 = 3,1 3 + 0,01 = 3,01 3 + 0,001 = 3,001 3 + 0,0001 = 3,0001 …
3–
3+
Dresser un tableau de même type pour calculer lim − f ( x) et x→ −3
f (x)
lim f ( x) .
x→ − 3 +
g. Quel lien peut-on établir entre ces résultats et les équations des droites verticales qui apparaissent sur le graphique (fig. 2) ?
67
3 3
Tendre vers l’infini a. Voici les graphiques de fonctions étudiées dans le chapitre 2. Conjecturer les limites demandées. 1. Fonctions puissances x → xn n est pair
n est impair
y
y
IN
x
x fig. 3
fig. 4
lim xn = … ; lim xn = …
N
lim xn = … ; lim xn = … x→ + ∞
2. Fonctions puissances x →
x→ − ∞
1
x→ + ∞
VA
x→ − ∞
xn
n est pair
n est impair y
s
y
on
x
x
68
1
fig. 6
=…
lim
iti
lim
x→ ± ∞
x
n
x→ ± ∞
1 xn
=…
b. Préciser, pour ces fonctions, l’équation de leur éventuelle asymptote horizontale.
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiqu e
fig. 5
c. Voici deux graphiques de fonctions (fig. 7 et 8). Dans chaque cas, préciser l’équation de l’asymptote horizontale et écrire en termes de limites le comportement de la fonction en + ∞ et − ∞ .
d1
y
y 1
1 0
0 1
x
1
x
d2
fig. 7
fig. 8
Comportement asymptotique et limites Limite en l’infini d’une fonction polynôme a. O n considère la fonction f ( x) = x4 + 3 x3 − 2 x + 1 , dont on donne le graphique (fig. 9). On s’intéresse au comportement de cette fonction lorsque x tend vers + ∞ ou vers − ∞ .
y
Vérifier en utilisant un tableau de suites de réels et de leurs images que lim f ( x) = + ∞ et lim f ( x) = + ∞ . x→+ ∞
x→− ∞
Pratiquement, pour calculer ces limites, on met en évidence la plus haute puissance de x et on utilise les limites obtenues dans l’exploration 3 pour écrire le résultat.
tendent vers 0
(
0
)
x
1
IN
)
(
3 2 1 lim x4 + 3 x3 − 2 x + 1 = lim x4 1 + − 3 + 4 = lim x4 = + ∞ x →+ ∞ x →+ ∞ x x x x →+ ∞
1
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
4
fig. 9
b. Appliquer la même démarche pour calculer lim x4 + 3 x3 − 2 x + 1 , lim (7 x3 − 5 x + 2) x→− ∞
3
x→ + ∞
N
et lim (7 x − 5 x + 2) . x→ − ∞
Limite en l’infini d’une fonction rationnelle
on
s
Une fonction rationnelle est un quotient de deux fonctions polynômes. 3 x2 − 7 x + 2 a. Soit f : x → f ( x) = 2 . x − x−6 Si on applique à cette fonction le calcul des
iti
limites lorsque x tend vers + ∞ ou vers − ∞ des fonctions polynômes, on obtient une forme ∞ indéterminée . ∞ L’observation du graphique de la fonction (fig. 10) laisse supposer que lim f ( x) = 3 et
Ed
5
VA
c. Que peut-on conclure à propos de la limite d’une fonction polynôme lorsque x tend vers + ∞ ou vers − ∞ ?
y
1 0
x
1
x→ + ∞
que lim f ( x) = 3 , ce qu’on peut vérifier à partir x→ − ∞
d’un tableau de valeurs de la fonction.
fig. 10
La droite d’équation y = 3 est asymptote horizontale au graphique de la fonction. Comment peut-on obtenir ces résultats à partir de l’expression donnée ?
69
3 b. On considère la fonction définie par f ( x) = Observer son graphique (fig. 11) pour 8x 8x estimer lim et lim . x→− ∞ 3 x2 + 1 x→+ ∞ 3 x2 + 1
8x 3 x2 + 1
. y 1
Comment peut-on obtenir ces résultats en utilisant l’expression de la fonction ?
0
1
x
Quelle est l’équation de l’asymptote horizontale de cette fonction ?
c. Observer le graphique (fig. 12) de la fonction x → f ( x) =
IN
fig. 11 x2 − 5 . x−2
y
N
Quelles sont les limites de cette fonction lorsque x tend vers + ∞ ou vers − ∞ ? Peut-on obtenir ces résultats par calcul ?
VA
d. L’observation du graphique de cette fonction laisse supposer que pour de très grandes valeurs de x, ce graphique s’approche de la droite d’équation y = x − 2 . Cette droite est appelée asymptote oblique au graphique de la fonction.
1 0
1
70
fig. 12
iti
2) Pour vérifier que le graphique et la droite sont très proches l’un de l’autre lorsque x → ± ∞ , calculer x2 − 5 lim − ( x + 2) . x→ ± ∞ x − 2
3) Comment interpréter graphiquement l’expression entre parenthèses dans cette limite ?
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiqu e
on
s
1) Vérifier que l’expression de la fonction peut aussi 1 s’écrire f ( x) = x + 2 − . x−2
x
6
Limite en un réel a. On sait que les fonctions de la forme x →
1 xn
ne sont pas définies en 0. Comment se
comportent-elles au « voisinage » de 0 ? Pour répondre à la question, 1) tracer les graphiques de ces fonctions pour différentes valeurs de n ; en déduire 1 lim n ; x→ 0 x
Comportement asymptotique et limites
x (x < 0)
1 x
1
1
2
3
x
x (x > 0)
x
1 x
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …
0–
0+
1
2
x3
x
IN
– 0,1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 – 0,00001 – 0,000001 …
1
EXPLORER ET DÉCOUVRIR
2) confirmer l’observation en complétant les tableaux de valeurs suivants.
a=1
a=2 y
d1
1 0
1
d2
a = – 2 y
VA
y
N
b. Voici trois graphiques de fonctions (fig. 13 à 15). Dans chaque cas, traduire en termes de limites le comportement de la fonction lorsque x est proche du réel a.
x
1
1
x
on
s
0
fig. 13
1 0
1
x
d3
fig. 14
fig. 15
iti
Les droites d1, d2, d3 sont appelées asymptotes verticales (AV). Quelles sont les équations de ces asymptotes ? x2 − 5 c. On considère la fonction f ( x) = , dont le domaine est \ {2} =] − ∞, 2 [∪] 2, +∞[ . x−2
Ed
Le réel 2 est une borne du domaine. Le schéma ci-dessous illustre la démarche à applix2 − 5 . x→2 x − 2
quer pour calculer lim
1) Établir un tableau de signe pour étudier le comportement de cette fonction au voisinage de 2.
71
3 2) Écrire les résultats en termes de limites. y
On observe que le graphique de la fonction (fig. 16) se rapproche de plus en plus de la droite d’équation x = 2 , sans la toucher. Cette droite est une asymptote verticale au graphique de la fonction.
2 lim x − 5 = + ∞ x→2 x − 2 −
x>2
1x<2 0
x
1
IN
2 lim x − 5 = − ∞ x−2
x → 2+
d. Appliquer la même démarche pour calculer lim
5x − 1
( x − 3 )2
et interpréter graphiquement
N
x→ 3
le résultat.
VA
e. Le graphique de la fig. 17 est celui de la fonction définie par f ( x) = le domaine de cette fonction ?
1) Observer le graphique pour déterminer lim x→2
2) Calculer lim
x2 − 5 x + 6
x2 − 5 x + 6
x2 − 3 x + 2
fig. 16
x2 − 5 x + 6 x2 − 3 x + 2
. Quel est
.
. Peut-on utiliser la démarche donnée ci-dessus ? x2 − 3 x + 2 En calculant la limite demandée, on obtient une y 0 forme . C’est une forme indéterminée. 0
on
s
x→2
72
x2 − 5 x + 6
x2 − 3 x + 2
après
iti
l’avoir factorisée, car tendre vers 2 ne signifie pas être égal à 2. 3) Calculer la limite de l’expression simplifiée lorsque x tend vers 2. x2 − 5 x + 6 Le graphique de la fonction f ( x) = 2 a un x − 3x + 2 trou ou point vide en (2 , – 1).
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue
On peut simplifier l’expression
1 0
1
x (2 , −1)
fig. 17
3
Les suites et leurs applications Structurer et retenir
1
Quelle est la limite d’une suite infinie ? Lorsque le nombre de termes d’une suite croît indéfiniment, ce qu’on écrit n → + ∞ , la valeur des termes peut • soit devenir de plus en plus grande et supérieure à n’importe quel réel positif, aussi grand soit-il, ce qu’on écrit lim un = + ∞ ; n→ + ∞
• soit devenir de plus en plus petite et inférieure à n’importe quel réel négatif, aussi grand soit-il en valeur absolue, ce qu’on écrit lim un = − ∞ ; n→ + ∞
IN
• soit se rapprocher de plus en plus d’un réel a, ce qu’on écrit lim un = a . On dit n→+ ∞ alors que la suite converge vers le réel a.
n→+ ∞
lim 10 n = + ∞ et
n→+ ∞
N
Ces résultats sont généralisés aux suites géométriques ( un ) de premier terme u1 et de raison q : • si 0 < q < 1 , la suite est décroissante et lim un = 0 ; n→+ ∞
• si q > 1 , la suite est croissante et lim un = + ∞ .
Qu’appelle-t-on bornes du domaine de définition d’une fonction ?
on
s
Le domaine (de définition) d’une fonction est l’ensemble des réels qui ont une image par cette fonction. Il est déterminé à partir des conditions d’existence de la fonction. On appelle bornes du domaine les extrémités des intervalles sur lesquels la fonction est définie.
iti
Pour calculer la limite d’une fonction en un réel ou en l’infini, il faut que la fonction soit définie pour des valeurs très proches de ce réel ou de l’infini. • Pour calculer lim f ( x) , ce qu’on lit « limite de f (x) lorsque x tend vers a », il faut que x→ a
a soit une borne du domaine, c’est-à-dire que a « colle » ou « adhère » au domaine.
Ed
2
VA
n→ + ∞
Structurer et retenir
Dans l’exploration 1, on a conjecturé les deux résultats suivants : lim 10− n = 0 .
• Pour calculer lim f ( x) , « limite de f (x) lorsque x tend vers plus infini », ou lim f ( x) , x→+ ∞
x→− ∞
« limite de f (x) lorsque x tend vers moins l’infini », il faut que + ∞ ou − ∞ soient des bornes du domaine. Exemple x −1 Le domaine de la fonction x → f ( x) = 2 est \ {−2 ; 3}. Les bornes du domaine x − x−6 sont −2, 3, − ∞ et + ∞ (fig. 18). y
1
−∞ –2
0
1
3
+∞ x
fig. 18 73
3 3
Que signifie l’expression « comportement asymptotique » d’une fonction ? Une fonction a un comportement asymptotique lorsqu’une des branches infinies de son graphique se rapproche d’une courbe dont l’équation est plus simple que l’expression de la fonction. On n’envisage ici que le cas des droites ; elles sont appelées asymptotes au graphique de la fonction. On en rencontre trois types : • l’asymptote horizontale (AH), d’équation y = b, lorsque lim f ( x) = b ou lim f ( x) = b ; x→ − ∞
x→ + ∞
• l’asymptote oblique (AO), d’équation y = mx + p, lorsque lim ( f ( x) − ( mx + p) ) = 0 ou x→ + ∞
IN
x→ − ∞
lim ( f ( x) − ( mx + p) ) = 0 ;
• l’asymptote verticale (AV), d’équation x = a, lorsque lim− f ( x) = ∞ ou lim+ f ( x) = ∞ .
Comment découvrir la limite d’une fonction ?
VA
4
x→ a
N
x→ a
A. Limite en l’infini
• Pour découvrir lim f ( x) , on observe une suite de puissances de 10 et leurs images. x→ + ∞
s
• Pour découvrir lim f ( x) , on observe une suite d’opposés de puissances de 10 et leurs x→ − ∞ images. Ce qui veut dire que…
Sur le graphique…
on
Résultat
lim f ( x) = + ∞ (1) f (x) peut prendre une valeur aussi on n’a pas d’asymptote horigrande que l’on veut, pour autant zontale. que x soit suffisamment grand.
x→ + ∞
lim f ( x) = b
x→ − ∞
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue 74
f (x) peut être aussi proche que l’on on a une asymptote horizontale veut de b, pour autant que x soit AH ≡ y = b (pour x → + ∞ ). suffisamment grand.
iti
lim f ( x) = b
x→ + ∞
f (x) peut être aussi proche que l’on on a une asymptote horizontale veut de b, pour autant que les vaAH ≡ y = b (pour x → − ∞ ). leurs de x négatives soient suffisamment grandes en valeur absolue.
(1) On définit de manière équivalente lim f ( x) = − ∞, lim f ( x) = + ∞ , et lim f ( x) = − ∞ . x→ + ∞
x→ − ∞
x→ − ∞
B. Limite en un réel Pour découvrir lim f ( x) , lorsque le réel a adhère au domaine sans lui appartenir, il x→ a
faut construire une suite de valeurs de x qui converge vers a et observer la suite des images correspondantes. On considère :
(
)
• une suite de réels inférieurs à a x → a− , dont le terme d’indice n est a − 10− n ;
(
)
• une suite de réels supérieurs à a x → a+ , dont le terme d’indice n est a + 10− n .
Comportement asymptotique et limites
Résultat
Ce qui veut dire que
Sur le graphique, on a
lim f ( x) = + ∞ f (x) peut prendre une valeur aussi une asymptote verticale AV ≡ x = a . x→ a grande que l’on veut, pour autant que x soit suffisamment proche de a. lim f ( x) = − ∞ f (x) peut prendre une valeur néga- une asymptote verticale AV ≡ x = a . x→ a tive aussi grande que l’on veut en valeur absolue pour autant que x soit suffisamment proche de a. f (x) peut être aussi proche que l’on un point vide ( a ; c ) . veut de c, pour autant que x soit suffisamment proche de a.
Limite à gauche, limite à droite
N
• La limite à gauche d’une fonction f en un réel a est la limite obtenue en ne considérant que des valeurs de x proches de a et strictement inférieures à a. Cette limite est notée lim− f ( x) . x→ a
VA
• La limite à droite d’une fonction f en un réel a est la limite obtenue en ne considérant que des valeurs de x proches de a et strictement supérieures à a. Cette limite est notée lim+ f ( x) . x→ a
Certaines fonctions ont des limites différentes à gauche et à droite du réel a ; dans ce cas, lim f ( x) n’existe pas mais on peut spécifier lim− f ( x) et lim+ f ( x) . x→ a
Exemple
son domaine.
2x − 5 . Estimer les limites de cette fonction aux bornes de x+3
on
Soit la fonction x → f ( x) =
x→ a
s
x→ a
Structurer et retenir
x→ a
IN
lim f ( x) = c
iti
1) dom f =] − ∞, −3 [∪] − 3, +∞ [ ; bornes du domaine : − 3 , − ∞ et + ∞ . 2) estimation des limites en − ∞ et + ∞ 2x − 5 x+3
x
2x − 5 x+3
–10
3,57
10
1,15
–100
2,11
100
1,89
–1000
2,011
1000
1,989
–10000
2,0011
10000
1,9989
–100000
2,00011
100000
1,99989
–1000000
2,000011
1000000
1,999989
…
…
…
…
−∞
2
+∞
2
Ed x
On écrit : lim
2x − 5 =2 x+3
lim
2x − 5 =2 x+3
x→ − ∞
x→ + ∞
75
3 3) estimation des limites en –3 x (x < –3)
x (x > –3)
–3,1
2x − 5 x+3 112
–2,9
2x − 5 x+3 –108
–3,01
1102
–2,99
–1098
On écrit : 2x − 5 lim − = +∞, x→ ( −3) x + 3 lim
x→ ( −3)
11002
–2,999
–10998
–3,0001
110002
–2,9999
–109998
–3,00001
1100002
–2,99999
–1099998
–3,000001
11000002
–2,999999
–10999998
…
…
…
…
( −3)−
+∞
( −3)+
2x − 5 = −∞ x+3
N
IN
–3,001
+
VA
−∞
4) Interprétation graphique et asymptotes (fig. 19) y
lim−
76
iti
lim+
x→( − 3)
2x − 5 = −∞ x+3
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue
on
s
x→( − 3)
2x − 5 = +∞ x+3
d2 1 0 1
x
d1
fig. 19
La droite d1 ≡ x = −3 est asymptote verticale (AV) et la droite d2 ≡ y = 2 est asymptote horizontale (AH) au graphique de f .
Comportement asymptotique et limites
5
Quels sont les résultats des opérations sur les limites ? Dans les tableaux ci-dessous, le symbole a désigne + ∞, − ∞ ou un réél a ; m et p sont des réels. Somme de deux fonctions m
m
m
+∞
−∞
+∞
lim g( x) =
p
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
lim ( f ( x) + g( x) ) =
m+p
+∞
−∞
+∞
−∞
x→α
x→α
m
lim g( x) =
p
x→α
lim ( f ( x) × g( x) ) =
m× p
x→α
m>0 m<0 m>0 m<0 +∞
x→α
lim g( x) =
−∞
+∞
+∞
0
+∞
−∞
−∞
±∞
+∞
Indétermination +∞
−∞
0 × ( + ∞) 0 × ( − ∞)
m
m
m
0
±∞
p≠0
+∞
−∞
0
0
±∞
0
+∞ ou −∞
Indétermination 0 0
Indétermination ±∞ ±∞
m p
0
Ed
6
−∞
−∞
m
iti
x→α
x→α
−∞
on
lim f ( x) =
f ( x) = g( x)
−∞
+∞
Quotient de deux fonctions
lim
+∞
+∞
VA
x→α
s
lim f ( x) =
N
Produit de deux fonctions
Indétermination + ∞ – ∞
Structurer et retenir
x→α
IN
lim f ( x) =
Comment calculer les limites d’une fonction polynôme ? Le domaine d’une fonction polynôme est R. On ne calcule donc que les limites en + ∞ et en − ∞ .
Pour calculer ces limites, on utilise les limites en + ∞ et − ∞ des fonctions puissances. Si n est pair,
Si n est impair,
Quel que soit n,
lim xn = + ∞
n
alors lim x = + ∞ x→± ∞
alors
x→ + ∞
n
lim x = − ∞
x→ − ∞
lim
x→ ± ∞
1 xn
=0
77
3 Exemple Soit f : x → f ( x) = 7 x3 − 5 x + 2 . Son domaine est R (fig. 20). Comment se comporte cette fonction en + ∞ et en − ∞ , bornes du domaine ? Limite en + ∞ lim (7 x3 − 5 x + 2) = « + ∞ − ∞ »
x→ + ∞
5 2 lim (7 x3 − 5 x + 2) = lim x3 7 − 2 + 3 x→ + ∞ x→ + ∞ x x tendent vers 0
N
IN
Il s’agit d’un cas d’indétermination ∞ − ∞ . Pour « lever » cette indétermination, il faut mettre en évidence la plus haute puissance de x.
lim (7 x3 − 5 x + 2) = lim 7 x3 = 7 ⋅ ( + ∞)3 = + ∞
x→ + ∞
x→ + ∞
VA
Limite en – ∞
lim (7 x3 − 5 x + 2) = « − ∞ + ∞ »
x→ − ∞
5 2 lim (7 x3 − 5 x + 2) = lim x3 7 − 2 + 3 x→ − ∞ x x
x→ − ∞
s
lim (7 x3 − 5 x + 2) = lim 7 x3 = 7 ⋅ ( − ∞)3 = − ∞ x→ − ∞
78
iti
–3
–2
y 4
lim (7x3 – 5x + 2) = + ∞
3
x→ + ∞
2 1 –1
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue
on
x→ − ∞
lim (7x3 – 5x + 2) = – ∞
x→ − ∞
0 –1
1
2
3
4x
–2 –3 –4
fig. 20
Limite en l’infini d’une fonction polynôme La limite en + ∞ ou en − ∞ d’une fonction polynôme est la limite en + ∞ ou en − ∞ de son terme de plus haut degré.
Comportement asymptotique et limites
Comment calculer les limites d’une fonction rationnelle ? Une fonction rationnelle est un quotient de deux fonctions polynômes. A. Limites en l’infini Pour calculer la limite en + ∞ et en − ∞ d’une fonction rationnelle, on applique, au numérateur et au dénominateur, le calcul de la limite en l’infini d’une fonction polynôme ; on détermine la limite du quotient simplifié.
3x − 7 x + 2 x2 − x − 6
lim
.
3 x2 − 7 x + 2
x→−∞
2
x − x−6
y
=3
x→+∞
Son domaine est R \ {−2 ; 3} .
lim
x→ + ∞
x2 − x − 6 3 x2 − 7 x + 2 x2 − x − 6
= lim
3 x2 x2
x→ − ∞
= lim
3 x2
x→ + ∞
x2
=3
3 x2 − 7 x + 2 x2 − x − 6
N
x→ − ∞
3 x2 − 7 x + 2
=3
1
= 3.
VA
lim
lim
0
1
x
Le graphique de la fonction (fig. 21) a une asymptote horizontale AH ≡ y = 3 .
s
fig. 21
on
AH ≡ y = 3
iti
Exemple 2
Soit f : x → f ( x) =
8x 2
3x + 1
y
.
x→ − ∞
lim
x→ + ∞
8x
3 x2 + 1
8x 3 x2 + 1
= lim
3x 2 8 = lim =0 x→ − ∞ 3 x = lim
8x
8x 3 x2 + 1
=0
1 0
8x
x→ − ∞
lim
x→ − ∞
Son domaine est R. lim
Structurer et retenir
Soit f : x → f ( x) =
2
IN
Exemple 1
Ed
7
lim
x→ − ∞
8x 3 x2 + 1
1
x
=0
AH ≡ y = 0
fig. 22
3x 2 8 = lim =0 x→ + ∞ 3 x x→ + ∞
Le graphique de la fonction (fig. 22) a une asymptote horizontale AH ≡ y = 0 .
79
3 Exemple 3 y
− x2 + 5 x − 7 . x−3 \\ {3} . Son domaine est R
Soit f : x → f ( x) =
− x2 + 5 x − 7 −x 2 lim = lim x→ − ∞ x→ − ∞ x x−3
lim
x→ − ∞
− x2 + 5 x − 7 = +∞ x−3
1
= lim ( − x ) = + ∞. x→ − ∞
1
x
IN
0
− x2 + 5 x − 7 −x 2 = lim x→ + ∞ x→ + ∞ x x−3 lim
= lim ( − x ) = − ∞.
VA
Cette fonction n’a pas d’asymptote horizontale, mais le graphique (fig. 23), tracé par logiciel, fait apparaître une asymptote oblique…
N
x→ + ∞
lim
Pour découvrir l’équation de l’asymptote oblique, on transforme l’expression f ( x) =
− x2 + 5 x − 7 par x−3
division euclidienne (voir schéma), ce qui donne
x→ ± ∞
1 = 0 , l’équation de l’asymptote x−3
on
Comme lim
1 . x−3
s
f ( x) = − x + 2 −
80
iti
− x2 + 5 x − 7 = +∞ x−3
fig. 23 Diviseur
Dividende
– x² + 5x – 7 x – 3 – x + 2
x² – 3x 2x – 7 – 2x + 6
Quotient
–1 Reste AO ≡ y = − x + 2
Ed
U A A 5 Compor tement asymptotiq ue
oblique est y = − x + 2 .
x→ +∞
Limite en l’infini d’une fonction rationnelle La limite en + ∞ ou en − ∞ d’une fonction rationnelle est la limite en + ∞ ou en − ∞ du rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Asymptote horizontale, asymptote oblique Le graphique d’une fonction rationnelle peut avoir une asymptote horizontale (AH) si le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur. Le graphique d’une fonction rationnelle peut avoir une asymptote oblique (AO) si le degré du numérateur est supérieur d’une unité au degré du dénominateur. L’équation de l’asymptote oblique est donnée par le quotient de la division euclidienne.
Comportement asymptotique et limites
B. Limites en un réel a Pour calculer les limites en un réel d’une fonction rationnelle, on applique les propriétés suivantes (n est un naturel non nul) :
lim
Si n est impair
x →0 −
lim
x →0 +
x
n
=
1 xn 1 xn
1 0
= =
+
1 0− 1 0+
= +∞
1
lim
( x − a)
x→ a
= −∞
lim
x→ a−
= +∞
lim
x→ a+
n
=
1
( x − a)
n
1
( x − a)
n
1 0+
= =
1 0−
= +∞
= −∞
1 0+
= +∞
Pour calculer la limite d’une fonction rationnelle en un réel a, on utilise les démarches illustrées dans les exemples suivants. 2x − 5 n’est pas définie en –3. Pour déterminer sa limite en –3, x+3
on procède comme suit : 1) remplacer x par –3 dans
VA
La fonction x → f ( x) =
N
Exemple 1
2x − 5 x→ ( −3) x + 3 lim
lim
x→ ( −3)
2) é tudier le signe du dénominateur au voisinage de –3
2 x − 5 2 ⋅ ( −3) − 5 −11 = = x+3 0 −3 + 3
s
x
on
3) calculer les limites de la fonction à gauche et à droite de –3, en tenant compte du tableau de signe.
x+3
–
lim
x→ ( −3)
lim
x→ ( −3)
iti
–3
−
+
0
+
Structurer et retenir
x →0
1
IN
lim
Si n est pair
2 x − 5 −11 = − = +∞ x+3 0 2 x − 5 −11 = + = −∞ x+3 0
Ed
La droite d’équation x = – 3 est asymptote verticale (AV) au graphique de la fonction. y
lim−
x→( − 3)
2x − 5 = +∞ x+3
d2 1 0 1
lim+
x→( − 3)
2x − 5 = −∞ x+3
x
d1
81
3 Exemple 2
x2 − 9 Le domaine de la fonction f : x → f ( x) = est \ {− 3} =] − ∞, − 3 [∪] − 3, + ∞ [ . x+3 2 x −9 On calcule lim ; lorsque x « se rapproche » de –3, le numérateur et le dénomix→ −3 x + 3 nateur tendent vers 0. y 2
x2 − 9 0 = x→ −3 x + 3 0 lim
mais si l’on considère la fonction au voisinage de –3, on peut simplifier la fraction car on sait que x ≠ − 3 . En factorisant le numérateur et le dénominateur, on obtient
1
2
3
4 x
–2 –3 –4 –5 –7
( x − 3) ( x + 3) ( x + 3)
= lim ( x − 3) = − 6 x→ −3
VA
x→ −3
–4 –3 –2 –1 0 –1
–6
x2 − 9 x→ −3 x + 3 lim
= lim
1
IN
0 , 0
N
C’est une indétermination de type
2 –8 lim x − 9 = − 6 x+3
x → –3
fig. 24
s
Le point (–3 ; 6) est un point « vide », un « trou » dans le graphique de la fonction f.
on
Asymptote verticale et point vide
82
iti
Pour déterminer les asymptotes verticales et les points vides du graphique d’une fonction rationnelle, on calcule les limites de cette fonction en chacun des réels qui annulent le dénominateur.
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue
Le graphique d’une fonction rationnelle admet une asymptote verticale (AV) d’équation x = a si le réel a est racine du dénominateur sans être racine du numérateur (éventuellement après simplification).
Utiliser un logiciel
3
Utiliser un tableur pour conjecturer une limite Conjecturer une limite de fonction à l’aide d’un tableur s’apparente à dresser un tableau de valeurs de cette fonction. Il faut donc introduire dans la feuille du tableur les valeurs de la variable et demander au tableur de calculer les images de ces valeurs. A. Limite en l’infini Pour estimer une limite en + ∞ , on considère une suite de puissances entières de 10. x→+∞
) (fig. 25),
IN
(
Pour calculer lim x3 − 5 x2
VA
2) dans la colonne B, apparaissent les puissances de 10 ; dans B4, on a écrit =10^A4, (suivi de l’appui sur la touche enter), on a sélectionné la cellule et tiré vers le bas, pour faire apparaître les résultats dans les autres cellules de la colonne ;
N
1) on a introduit dans la colonne A, les valeurs des exposants (on écrit les deux premiers, on les sélectionne puis on tire vers le bas) ;
fig. 25
3) dans C4, on écrit l’expression de la fonction choisie, ici =B4^3–5*B4^2 (suivi de l’appui sur enter) ; on sélectionne cette cellule C4 et on tire vers le bas. On a ainsi les images des puissances de 10.
s
On constate que ces images deviennent de plus en plus grandes (pour autant que x = 10 n soit suffisamment grand) ; on écrira lim f ( x) = + ∞ x→+ ∞
Utiliser un logiciel
on
Pour calculer la limite en − ∞ , on écrit en B4 =-(10^A4) et on procède comme ci-dessus. B. Limite en un réel
iti
Pour calculer la limite d’une fonction en un réel a, on considère la suite ( a − 10− n ) pour la limite à gauche et la suite ( a + 10− n ) pour la limite à droite.
Ed
Voici un exemple (fig. 26) : estimer les limites en a = 3 de la fonction définie par f ( x) =
x2 − 5 x + 6
( x − 3 )2
1) Dans la colonne A, on introduit les valeurs des exposants (voir ci-dessus). 2) En B4, on écrit =3-10^(-A4) et on tire vers la bas pour approcher 3 par des valeurs inférieures. 3) En C4, on écrit =(B4^2-5*B4+6)/(B4-3)^2 et on tire vers le bas.
fig. 26
On observe les résultats et on en conclut lim− f ( x) = − ∞ . x →3
En procédant de la même manière, on complète les cellules A12 à C17, et on conclut que lim+ f ( x) = + ∞ . x →3
83
3
S’exercer et approfondir Connaître Intuition ? Réalité ?
1
Dans un carré de côté un, on trace un escalier qui repose sur la diagonale (fig. 27). Quelle est la longueur totale des marches, lorsqu’on augmente leur nombre n à l’infini ?
VA
n=9
N
IN
1
fig. 27
Compléter les bulles
s
2
Traduire les situations suivantes en termes de limites. Écrire les équations des asymptotes.
y
84
iti
3
Ed
U A A 5 Compor tement asymptotiq ue
1
on
b.
a.
y 1
2 4 2)2 1
1
0
3
1
0
x
1
x
4 5
fig. 28
6
fig. 29
Comportement asymptotique et limites
c.
d. y
y
1
1 3
1 1
2
2
VA
4
fig. 30
e. y
fig. 31
f.
y
1
1
on
0
2
s
1
x
2
fig. 32
iti
3
0
x
1
Ed
3
4
1
fig. 33
Tableaux de valeurs Vérifier les limites suivantes à l’aide d’un tableau de valeurs a. lim − 3 x2 = − ∞
c. lim
b. lim 5 x3 = − ∞
d.
x→ +∞
x→ − ∞
3x
=0
x→− ∞ ( x + 1)2
lim
x→( −1)+
3x 3
( x + 1)
= −∞
e.
lim −
x→( −1)
f. lim
3x ( x + 1)2 3x
x→+ ∞ ( x + 1)3
= −∞
=0
s’exercer et approfondir
1
x
IN
1
1
N
0
0
x
85
3 4
Est-ce possible ? Le graphique de la fonction y = f ( x) peut-il couper une asymptote verticale ? Peut-il couper une asymptote horizontale ou une asymptote oblique ?
5
Vrai ou faux ? Indiquer, pour chacune des informations données, si elle est vraie ou fausse. Justifier.
VA
f1 ( x) = x2 − 2 x + 1 8x − 3 f2 ( x) = 1 + 2x 1 f3 ( x) = 4 − x + 2 x 1 f4 ( x) = +4 x +1
N
IN
a. La droite d’équation y = 4 est asymptote au graphique de la fonction définie par
86
f4 ( x) =
s
f3 ( x) =
x−5 x+2 x3 − 1
on
x2 − 5 x + 6
iti
c. Le graphique de la fonction admet les deux axes du repère comme asymptotes x f1 ( x) = x −1
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue
b. La droite d’équation x = −2 est asymptote au graphique de la fonction définie par 1 f1 ( x) = −1 + 4 − x2 5 f2 ( x) = x + 2 + x −1
6
−1
f2 ( x) =
f3 ( x) = x − 1 +
x2
1 x
Une seule proposition correcte a. Si f est une fonction telle que lim f ( x) = −1 , alors x→ + ∞
La droite d’équation x = −1 est asymptote au graphique de la fonction f (x). La droite d’équation y = −1 est asymptote au graphique de la fonction f (x). b. Si lim+ f ( x) = − ∞ et lim− f ( x) = + ∞ , alors x→ 2
x→ 2
La droite d’équation x = 2 est asymptote au graphique de la fonction f (x) La droite d’équation y = 2 est asymptote au graphique de la fonction f (x).
Comportement asymptotique et limites
c. La droite d’équation y = 0 est asymptote au graphique de la fonction
f1 ( x) = x2 − x f2 ( x) =
3x + 1 x2
f3 ( x) =
x−2 x +1
7
Balle magique Une balle est lancée d’une hauteur de 2 m. A chaque fois qu’elle touche le sol, elle rebondit jusqu’à 75 % de sa hauteur précédente.
IN
Appliquer
N
a. Quelle hauteur atteint la balle après le troisième rebond ? b. Quelle hauteur atteint la balle après le nième rebond ?
VA
ombien de fois la balle doit-elle rebondir avant que la hauteur c. C soit inférieure à 15 cm ?
Limites et expression d’une fonction
on
8
s
uelle est la distance parcourue par la balle quand elle s’arrête d. Q au sol ?
Ecrire les limites qui apportent des informations sur le graphique des fonctions suivantes et calculer ces limites.
b. f ( x) =
3 1 + 2x
c. f ( x) = 4 −
iti
x −1 x +1
3 x+2
d. f ( x) = 5 − 2 x −
Ed
1 x2
Calcul de limites Calculer les limites ; indiquer les informations graphiques. x4 − x3 x→ 1 4 x − 4
a. lim
b. lim
3
2
x − x − x +1 2
x + 2x + 1 3 x2 − 1 c. lim 2 x→ 2 x − 5 x + 6 2 x2 + 9 x + 4 d. lim x→ − 4 3 x2 + 11x − 4 x→ − 1
e. lim ( −3 x) x→ + ∞
f. lim
x→ − ∞
g.
5 3x − 2
lim
x→ − ∞
h. lim
x→ + ∞
x2 − x x2 + 1 − 3x x2 + 6 x + 9
s’exercer et approfondir
9
a. f ( x) =
87
3 10
A la limite ? Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine, calculer les limites aux bornes de celui-ci, traduire les résultats par esquisse du graphique à proximité des bornes et écrire l’équation des asymptotes. 2x + 1 x−5
f2 ( x) =
f5 ( x) = x3 − 2 x2 + x − 5
11
f6 ( x) =
3x
f3 ( x) =
2
x − 16 3 x2 + 1
f7 ( x) =
x2 + x − 6
x2 − x − 2
f4 ( x) =
x2 − 2 x − 3 2− x
f8 ( x) =
2
x − x+3
x2 − 3 x+2 x3 + 1 x3 − 1
IN
f1 ( x) =
Même limite en zéro ?
N
a. Pour chacun des graphiques donnés (fig. 34 et 35), conjecturer lim f ( x) . x→ 0
y
VA
y
x
1
on
0
1
s
1
0
fig. 35
iti
b. Les graphiques donnés sont ceux des fonctions f1 : x →
1 x
2
et f2 : x →
1 2
x + 0,1
. Associer
chaque expression au graphique correspondant et corriger s’il y a lieu la réponse donnée en a..
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue
fig. 34
88
x
1
c. Représenter la fonction f2 dans une fenêtre graphique adéquate.
Transférer 12
Esquisser un graphique Esquisser un graphique de fonction sur base des informations données. 3 3 a. lim − f ( x) = + ∞ ; lim + f ( x) = − ∞ ; lim f ( x) = et lim f ( x) = x→ − ∞ x→ + ∞ x→ − 1 x→ − 1 2 2 b. lim− f ( x) = + ∞ ; lim+ f ( x) = − ∞ et lim [ f ( x) − (2 x + 1)] = 0 x→ 0
x→ 0
x→ ∞
c. AV ≡ x = 2 ; AV ≡ x = − 2 ; AH ≡ y = 1 ; lim− f ( x) = − ∞ et lim+ f ( x) = + ∞ x→ 2
x→ 2
Comportement asymptotique et limites
À chaque fonction, son graphique Déterminer les asymptotes des fonctions définies par les expressions suivantes, puis associer chaque fonction à son graphique (fig. 36 à 39). f1 ( x) =
2x + 3
f2 ( x) =
x2 + 4
3
f3 ( x) =
x2 − 4
a.
x2 − 3 x + 4 x −1
f4 ( x) =
x3 − x2 + 5 x − 1 x2 + 1
b. y
IN
y
x
1
1
VA
0
N
1
fig. 36 c.
0
1
x
iti
on
s
y
fig. 37 d. y
1
1
x
1
0 1
x
fig. 39 fig. 38
s’exercer et approfondir
0
Ed
13
89
3 14
Créativité ! Ecrire l’expression analytique d’une fonction f dont le graphique admet les asymptotes données a. AV ≡ x = 0 AH ≡ y = 2 b. AV ≡ x = 1 AO ≡ y = x − 3 c. AV ≡ x = −2 , AV ≡ x = 2 et AO ≡ y = x .
Le service de photocopies a proposé le tarif suivant pour l’impression et la reliure de syllabus destinés aux élèves : 0,03 € par photocopie et 1,35 € pour la reliure à spirale et les couvertures plastifiées.
VA
Exprimer, en fonction du nombre de pages, le coût d’un syllabus et le prix de revient d’une page.
IN
Prix de revient
N
15
Tracer le graphique de cette dernière fonction et interpréter, dans ce contexte, la signification des asymptotes.
Eau salée
s
16
on
Une citerne de grande capacité contient 150 l d’eau pure. On y verse de l’eau salée concentrée à 10 g/l, à la vitesse de 20 l par minute. a. Déterminer le volume V du mélange et la quantité de sel après t minutes.
90
iti
c. Que devient C(t) quand t → ∞ ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue
b. Quelle est la concentration C de sel, en g/l, après t minutes ?
17
Abonnements à une revue
Une nouvelle revue a été mise sur le marché en janvier 2016. L’évolution du nombre de centaines d’abonnés en fonction du nombre x de mois écoulés depuis le lancement peut être modélisée par 1 la fonction f définie par f ( x) = 0, 25 x + 5 − . x +1 a. Combien y avait-il d’abonnés au lancement de la revue ? après 3 mois ? après un an ?
b. Après combien de temps le nombre d’abonnés dépasse-t-il 1200 unités ? c. L’éditeur de la revue a déclaré qu’après un certain nombre de mois, le nombre d’abonnés croit mensuellement d’environ 25 souscriptions. Expliquer cette affirmation.
Comportement asymptotique et limites
18
Courant électrique Une résistance de 3 W est montée en parallèle avec une résistance variable R et ce montage est relié à une source de tension de 12 volts et de résistance négligeable (fig. 40). a. Déterminer la résistance totale du circuit. b. Établir l’expression de la fonction décrivant le courant généré par la source en fonction de la résistance variable.
fig. 40
c. Quel est le courant si la résistance variable est de 2 W ?
e. Quelles sont les asymptotes de la fonction établie au point b. ?
VA
Même fonction ?
On a demandé à un logiciel graphique de représenter la fonction
( 40 + x ) f : x → f ( x) = 16
2
− 1600
s
x16 En modifiant la fenêtre graphique, on a obtenu les fig. 41 et 42. Surprenant ! D’autant plus que le graphique de la fonction est celui de la fig. 43. y
y
20
20
.
iti
on
y
20 0
1
x
0
0,1
x
fig. 42
fig. 41
a. Utiliser la calculatrice pour remplir le tableau suivant. x 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,01
Valeur approchée de f (x)
0
1
x
fig. 43
s’exercer et approfondir
Ed
19
N
f. Quelle est l’interprétation physique de ces asymptotes ?
IN
d. Quelle devrait être la valeur de la résistance variable pour que l’intensité du courant soit de 6 A ?
91
3 b. Calculer lim f ( x ) . x →0
Quel est le résultat correct : celui qui vient d’être calculé, ou celui obtenu dans le tableau ? c. Les résultats des calculs effectués avec la calculatrice sont affichés avec p chiffres, mais la calculatrice utilise n (n > p) chiffres pour effectuer les calculs. Le nombre n est le plus grand entier qui donne un résultat égal à 1 en effectuant le calcul suivant : 10n + 1 – 10n. On demande
2) de calculer x16 (pour les valeurs données dans le tableau) 3) d’effectuer x16 + 40,
IN
1) de déterminer ce nombre n pour la calculatrice utilisée,
4) d’utiliser ces résultats pour expliquer le « phénomène » rencontré.
N
Remarque
92
iti Ed
U A A 5 Compo r tement asymptotiq ue
on
s
VA
Le même « phénomène » se produit lorsqu’on utilise un logiciel graphique.
IN
Table des matières
N
Avant propos Comment utiliser ce manuel ?
III VI
1.
Les suites et leurs applications Explorer et découvrir Structurer et retenir
VA
Sommaire VIII 1 2 7
Qu’est-ce qu’une suite ?
Comment reconnaître une suite arithmétique et utiliser les notations appropriées ?
7
3.
Comment représenter une suite arithmétique dans un repère cartésien ?
8
4.
Quelles sont les formules les plus utiles ?
8
5.
Comment calculer rapidement la somme des termes d’une suite arithmétique ?
9
6.
Comment reconnaître une suite géométrique et utiliser les notations appropriées ?
7.
Comment représenter une suite géométrique dans un repère cartésien ?
10
8.
Quelles sont les formules les plus utiles ?
10
9.
Comment calculer la somme des termes d’une suite géométrique ?
11
iti
on
s
1. 2.
9
11
Ed
10. Comment utiliser les suites arithmétiques pour calculer l’intérêt simple ?
7
Les fonctions puissances, exponentielles et logarithmes
23
Explorer et découvrir Structurer et retenir
24 31
1.
Quelles sont les propriétés des puissances des nombres réels ?
31
2. 3.
Qu’appelle-t-on fonction puissance de degré n ? 31 Comment définir les fonctions x → 1n (n ∈ N0) ? 33 x
4.
Comment définir les fonctions x → x 2 et x → x 3 ? 34
5.
Comment reconnaître une croissance ou une décroissance de la forme x → xn (n ∈ Z0) ? 35
6.
Comment résoudre une équation de la forme xn = b ? 35
7.
Comment reconnaître une croissance ou une décroissance exponentielle ?
35
8.
Comment définir fonction exponentielle et fonction logarithme de base 10 ? de base a ?
36
9.
Quelles sont les caractéristiques graphiques des fonctions exponentielles et logarithmes ?
38
11. Comment utiliser les suites géométriques en mathématique financière ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir
2.
1
12 13 14
1
189
10. Quelles sont les propriétés des puissances à exposants réels et des logarithmes ?
39
11. Comment résoudre une équation exponentielle ? une équation logarithmique ?
40
12. Qu’est-ce qu’un repère semi-logarithmique ? Comment lire ou construire une échelle logarithmique ? 40 13. Comment classer, suivant leur croissance, les fonctions puissances, exponentielles et logarithmes ? 41 43 Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir 47
65
Explorer et découvrir Structurer et retenir
66 73
1.
Quelle est la limite d’une suite infinie ?
73
2.
Qu’appelle-t-on bornes du domaine de définition d’une fonction ?
3.
Que signifie l’expression « comportement asymptotique » d’une fonction ? 74
4.
Comment découvrir la limite d’une fonction ?
5.
Quels sont les résultats des opérations sur les limites ?
6.
Comment calculer les limites d’une fonction polynôme ?
77
7.
Comment calculer les limites d’une fonction rationnelle ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir
79 83 84
Dérivées et applications
93
4.
N
IN
Comportement asymptotique et limites
Explorer et découvrir Structurer et retenir
VA
3.
74 77
94 98
Comment calculer la variation et le taux de variation d’une fonction entre deux points de son graphique ?
2.
Comment définir le nombre dérivé d’une fonction en un réel ? 99
3.
Comment définir une fonction dérivée ?
4.
Comment écrire l’équation de la tangente en un point du graphique d’une fonction ? Comment la tracer ?
100
5.
Comment interpréter le nombre dérivé ?
101
6.
Quelles sont les fonctions dérivées des fonctions de référence ?
101
7.
Comment dériver la somme, le produit, le quotient de deux fonctions ?
102
8.
Comment dériver une fonction composée ?
103
9.
Quel lien peut-on établir entre le mode de croissance d’une fonction et le signe de sa dérivée ? S’exercer et approfondir
104 106
iti
on
s
1.
Ed
190
73
98 99
5. Trigonométrie
117
Explorer et découvrir Structurer et retenir
118 122
1.
Comment étendre les définitions des nombres trigonométriques à des angles dont la mesure est comprise entre 90° et 180° ?
122
2.
Quelles sont les valeurs particulières des nombres trigonométriques ?
123
3.
Quelles sont les relations entre les côtés et les angles d’un triangle quelconque ?
125
4.
Comment résoudre un triangle quelconque ?
125
5.
Peut-on toujours définir un triangle lorsqu’on donne deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux ?
126
6.
Comment calculer l’aire d’un triangle ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir
126 127 129
6.
Fonctions trigonométriques
135
Explorer et découvrir Structurer et retenir
136 141
Comment encadrer le nombre p ? 141
2.
Qu’appelle-t-on arc et secteur circulaire ?
142
3.
Qu’appelle-t-on cercle trigonométrique ?
142
4.
Comment mesurer un angle en radian ?
143
5.
Quelles sont les caractéristiques de la fonction x → sin x (x en radians) ?
144
6.
Quelles sont les caractéristiques de la fonction x → cos x (x en radians) ?
144
7.
Quelles sont les caractéristiques de la fonction x → tan x (x en radians) ?
145
8.
Comment résoudre une équation trigonométrique ? Comment représenter ses solutions sur le cercle trigonométrique ?
9.
Comment passer de la fonction x → sin x à la fonction x → a sin (bx + c) ? 147
Système d’équations linéaires Explorer et découvrir Structurer et retenir
VA
7.
N
10. Que modélise une fonction de la forme x → a sin (bx + c) ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir
IN
1.
146 150 151 152
159 160 163
Qu’appelle-t-on système d’équations linéaires ?
163
2.
Comment résoudre un système d’équations linéaires ?
163
3.
Qu’appelle-t-on matrice d’un système ?
164
4.
Qu’appelle-t-on transformations élémentaires sur une matrice ?
165
5.
Comment résoudre un système par la méthode de Gauss ?
165
6.
Combien y a-t-il de solutions ?
166
7.
Comment résoudre un problème ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir
2. 3. 4. 5.
on
iti
1.
Programmation linéaire
166 167 169
175
Explorer et découvrir Structurer et retenir
176 178
Qu’est-ce qu’une solution d’une inéquation à deux inconnues ?
178
Comment résoudre une inéquation à deux inconnues ?
178
Comment résoudre un système d’inéquations linéaires ?
179
Comment résoudre un problème de programmation linéaire ?
179
Dans la pratique, à quoi faut-il être attentif ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir
181 182 184
Ed
8.
s
1.
191
on
iti
Ed s N
VA
IN