Math & Sens - Oser les fractions - extrait by Van In Fondamental

Collection dirigée par Françoise Lucas

Oser les fractions dans tous les sens Les fractions posent problème à beaucoup d’élèves. Trop souvent, on se contente alors d’apprendre à exécuter des calculs sans trop savoir pourquoi, et les fractions restent perçues comme quelque chose de difficile et d’abstrait. Les auteurs de cet ouvrage proposent ici des activités qui ancrent, dès le début, la notion de fraction dans des contextes variés et concrets. Les trois premières séquences d’activités, écrites par M. de Terwangne et C. Hauchart, amènent à partager en deux diverses grandeurs, avec ou sans mesures, à rencontrer des fractions par diverses activités de puzzles, et à communiquer à leur propos. Des fractions équivalentes et des additions de fractions y apparaissent de manière tout à fait naturelle et non formelle. Avec les quatre activités suivantes, rédigées par F. Lucas, les enfants sont invités à découvrir et visualiser des fractions-rapport, à revisiter la fraction-partage, à découvrir un lien entre figures semblables et rapports et enfin à rechercher un dénominateur commun pour additionner des fractions. Ce guide est une alternative intéressante pour ceux qui perçoivent que les fractions sont beaucoup trop abstraites... sans compter qu’au travers de ces activités, on apprend aussi bien autre chose que les fractions ! Nouvelle édition revue et colorisée pour une meilleure compréhension des concepts. Accès gratuit au site instit.deboeck.com reprenant un ensemble de documents reproductibles (carnets de route, synthèses, évaluations, listes des activités et matériel, puzzles à reproduire…). Consultez cet ouvrage seul, en équipe de cycle ou en équipe école, selon l’entrée qui correspond le mieux à vos besoins !

5/12 ans

Oser les fractions dans tous les sens

Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d’un même «nœud-matière» et d’un même réseau de compétences.

5/12 ans

Oser

les fractions

dans tous les sens Guide méthodologique

et documents reproductibles en ligne Martine de TERWANGNE Christiane HAUCHART Françoise LUCAS

FRACTGP ISBN 978-2-8041-9592-2

www.deboeck.com

instit.deboeck.com

REMERCIEMENTS Un ouvrage comme celui-ci ne résulte pas seulement du travail des auteurs. D’une part, les activités dont ce livre témoigne ont été menées en classe par des enseignants soucieux de permettre aux élèves des approches progressives et complémentaires de multiples aspects des fractions. D’autre part, elles ont été partiellement élaborées, discutées et ajustées dans des groupes de réflexion sur l’enseignement des mathématiques. Le projet a pris naissance il y a longtemps dans les séminaires du « sous-groupe fondamental » du GEM (Groupe d’Enseignement Mathématique) avec les séquences d’activités I, II et III conçues par M. de Terwangne et pratiquées dans ses classes. Merci aux membres de ce groupe dont Nicolas Rouche. Merci à lui et à Christine Docq pour leurs relectures attentives et leurs remarques : elles ont contribué à clarifier notre propos. Merci à A. Warnier et M. Coquette qui ont rendu compte respectivement des activités II.3.4 (l’enveloppe) et III.1 (dictée du Tangram), réalisées dans leur classe. Merci enfin à Ginette Cuisinier qui a réalisé la plupart des figures des séquences I, II et III. Un groupe 1 de professeurs de didactique des mathématiques d’écoles normales 2 se réunit régulièrement depuis cinq ans : plusieurs partages de pratiques y ont enrichi notre réflexion sur l’enseignement des fractions. Que ceux qui se reconnaissent dans ce groupe soient aussi remerciés. L’équipe de l’école de la Ste famille de Vierset Barse et Joseph Stordeur sont intervenus dans la conception et l’expérimentation d’activités sur les fractions présentées dans la cassette vidéo de la valise « Clé pour le cycle » publiée par la Fédéfoc en 1998. Deux activités 3 en sont reprises ici. Les descriptifs sont neufs, énoncés dans une forme narrative très vivante. Ils se sont enrichis de pistes de différenciation et de nombreux commentaires sur le fond et sur la méthode. Nous remercions Cécile Fraineux pour ses sollicitations patientes au cycle 5-8 dans l’activité IV. Faire des tours et Joël Constant pour sa gestion des démarches diverses des élèves du 8-10, à l’activité V. Faire ou voir une fraction. Merci aussi à Dominique Colantonio, enseignante au cycle 10-12 de l’école St Louis du Thier à Liège, pour sa foi indéfectible dans le potentiel des élèves et son souci de partir de leurs formulations progressivement plus claires sur la fraction-rapport, sur la réduction au même dénominateur et l’addition des fractions (activité VII). Enfin, nous remercions les éditions Ellipses de nous avoir permis de résumer dans cet ouvrage la plupart des idées du livre de N. Rouche, Pourquoi ont-ils inventé les fractions 4.

1 2 3 4

Appelé aujourd’hui « groupe des Mathophiles ». Plus précisément, de départements pédagogiques des Hautes Écoles inter-réseaux. Activités : « Faire des tours. Faire ou voir une fraction ». Ellipses Éd., 1998.

TABLE DES MATIÈRES

PRÉFACE .......................................................................................................................................................

INTRODUCTION..............................................................................................................................................

LA MATIÈRE.....................................................................................................................................................

LA MATIÈRE ....................................................................................................................................................................

FRACTIONNER UNE GRANDEUR.......................................................................................................................... 1.1. Couper en parts égales.............................................................................................................................. 1.2. Couper en parts égales et prélever un certain nombre de parts............................................................. 1.3. Quatre étapes vers l’abstraction................................................................................................................

20 20 22 24

LES RAPPORTS..................................................................................................................................................... 2.1. Des rapports avant toute mesure.............................................................................................................. 2.2. Exprimer un rapport à l’aide de deux nombres...................................................................................... 2.3. Rapports et fractionnements.................................................................................................................... 2.4. Fractions équivalentes............................................................................................................................... 2.5. Quelques manières de visualiser des rapports.........................................................................................

25 25 26 28 29 29

UNITÉ DE COMMUNE MESURE...........................................................................................................................

MESURAGE ET RAPPORTS DE MESURES........................................................................................................... 4.1. Le mesurage............................................................................................................................................... 4.2. Rapport entre deux grandeurs mesurées................................................................................................. 4.3. Décimalisation des rapports..................................................................................................................... 4.4. Normalisation des rapports, pourcentages...............................................................................................

33 33 34 34 36

PROPORTIONNALITÉ............................................................................................................................................ 5.1. Deux sortes de rapports dans les figures semblables : rapport externe et rapport interne.................... 5.2. Tableaux de proportionnalité................................................................................................................... 5.3. Tableau de proportionnalité et règle de trois...........................................................................................

37 38 39 40

DES FRACTIONS AYANT UN STATUT DE NOMBRE ?............................................................................................ 6.1. Le cas des fractions-opérateur.................................................................................................................. 6.2. Le cas des fractions-rapport...................................................................................................................... 6.3. Le cas des fractions-mesure......................................................................................................................

41 41 41 42

LES ACTIVITÉS................................................................................................................................................

Tout couper en deux.......................................................................................................................

1 VERS LA FRACTION – AU CYCLE 5-8................................................................................................................... 2

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REMERCIEMENTS...........................................................................................................................................

Table des matières

1 LA FRACTION – AU CYCLE 8-10........................................................................................................................... 2 1 3. LA FRACTION – AU CYCLE 10-12 : FACILE COMME BONJOUR ?......................................................................... 2 4. COMPÉTENCES EN DÉVELOPPEMENT................................................................................................................ 2.

66 67

CONCLUSIONS.......................................................................................................................................................

II. Des puzzles pour construire et additionner des fractions.................................................

INTRODUCTION....................................................................................................................................................

DÉROULEMENT DE L’ACTIVITÉ........................................................................................................................... 2.1 Premier temps : reconstituer le puzzle..................................................................................................... 2.2. Deuxième temps : nommer les pièces....................................................................................................... 2.3. Troisième temps : vérifier les noms de fraction........................................................................................

73 73 75 85

PROLONGEMENTS POSSIBLES............................................................................................................................ 3.1. Petit goûter de quatre quarts.................................................................................................................... 3.2. À chacun son unité !.................................................................................................................................. 3.3. Commandes de puzzles............................................................................................................................. 3.4. L’enveloppe................................................................................................................................................

90 90 94 96 98

COMPÉTENCES EN DÉVELOPPEMENT................................................................................................................

104

CONCLUSIONS.......................................................................................................................................................

106

III.

Du Tangram aux fractions.....................................................................................................................

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DICTER UN DESSIN DU TANGRAM...................................................................................................................... 1.1. Premier temps : la dictée dans des classes du cycle 10-12....................................................................... 1.2. Deuxième temps : rédaction, par la classe du cycle 10-12, d’un texte-type à dicter aux petits............. 1.3. Troisième temps : les grands dictent aux petits........................................................................................

109 109 119 121

RECONSTITUER LE TANGRAM............................................................................................................................. 2.1. Confection du matériel : le puzzle Tangram............................................................................................ 2.2 Reconstitution du Tangram......................................................................................................................

122 122 123

DU TANGRAM AUX FRACTIONS............................................................................................................................ 3.1. Premier temps : donner à chaque pièce un nom de fraction.................................................................. 3.2. Deuxième temps : faire varier l’unité....................................................................................................... 3.3. Prolongements possibles...........................................................................................................................

126 126 126 129

COMPÉTENCES EN DÉVELOPPEMENT................................................................................................................

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CONCLUSIONS.......................................................................................................................................................

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Table des matières

141

1 VERS LA FRACTION-RAPPORT – AU CYCLE 5-8.................................................................................................. 2 1.1. Les activités en amont et en aval…......................................................................................................... 1.2. Mise en route............................................................................................................................................. 1.3. Premières explorations............................................................................................................................. 1.4. Un indice et une longue réflexion............................................................................................................ 1.5. Vers la fraction-rapport avec les hauteurs de tours................................................................................. 1.6. Pour consolider l’apprentissage ..............................................................................................................

142 142 143 144 148 152 155

COMPÉTENCES EN DÉVELOPPEMENT................................................................................................................

156

CONCLUSIONS.......................................................................................................................................................

156

« Faire » ou « voir » une fraction.......................................................................................................

159

LA FRACTION-PARTAGE, AU CYCLE 8-10............................................................................................................. 1.1. « Faire », « fabriquer » une fraction ........................................................................................................ 1.2. Expression écrite des procédures.............................................................................................................. 1.3. Analyse des productions............................................................................................................................ 1.4. Pistes de différenciation............................................................................................................................ 1.5. Pour consolider l’apprentissage................................................................................................................

160 160 162 165 166 169

COMPÉTENCES EN DÉVELOPPEMENT................................................................................................................

169

CONCLUSIONS.......................................................................................................................................................

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DE LA FRACTION-PARTAGE À LA FRACTION-RAPPORT AU CYCLE 10-12.......................................................... 4.1. Mise en route............................................................................................................................................. 4.2. Premières recherches : la fraction-partage revient.................................................................................. 4.3. Que faire quand on ne peut pas partager ?.............................................................................................. 4.4. Deux approches de l’idée de fraction....................................................................................................... 4.5. Pour consolider l’apprentissage................................................................................................................

174 174 175 178 184 188

COMPÉTENCES EN DÉVELOPPEMENT................................................................................................................

189

CONCLUSIONS.......................................................................................................................................................

190

VI. Une image transformée...........................................................................................................................

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193 193 196 198

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IV. Faire des tours….........................................................................................................................................

ANALYSER DES TRANSFORMATIONS AU CYCLE 10-12........................................................................................ 1.1. Expression des transformations observées............................................................................................... 1.2. Vers l’expression de rapports externes...................................................................................................... 1.3. Comparer des longueurs ou des aires, ce n’est vraiment pas pareil.......................................................

Table des matières

Et ce qui n’est pas une vraie réduction ?.................................................................................................. Vers l’expression de rapports internes...................................................................................................... Lier les deux types de rapport...................................................................................................................

200 202 203

FAIRE DES DRAPEAUX..........................................................................................................................................

206

COMPÉTENCES EN DÉVELOPPEMENT................................................................................................................

208

CONCLUSIONS.......................................................................................................................................................

209

1.4. 1.5. 1.6.

213

RASSEMBLER DES PARTS AU CYCLE 10-12......................................................................................................... 1.1. Quelques préalables.................................................................................................................................. 1.2. Première approche : couper vraiment ou voir dans sa tête…................................................................ 1.3. Partage des différentes démarches........................................................................................................... 1.4. Consolider l’apprentissage et choisir la démarche pertinente................................................................

214 214 216 219 221

ET LES AUTRES OPÉRATIONS ?............................................................................................................................

224

COMPÉTENCES EN DÉVELOPPEMENT................................................................................................................

229

CONCLUSIONS.......................................................................................................................................................

230

VII. Couper pour additionner des fractions.........................................................................................

235

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RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES.....................................................................................................................

Table des matières

PRÉFACE

“ J’affirme que par peur, aversion, ou peut-être à cause de principes mal orientés, nous avons tendance à enseigner l’arithmétique des fractions exclusivement comme un savoir-faire, en n’accordant aucune attention à son riche contenu mathématique. Un bon cours devrait mettre l’accent plus sur les mathématiques et l’utilité de l’arithmétique des fractions et moins sur un savoir-faire essentiellement technique. ” Cette citation est de P. J. Hilton, mathématicien anglais renommé, qui a beaucoup contribué au progrès de l’enseignement des mathématiques. Elle date de 1983, mais garde sans doute une bonne part d’actualité. Pour bien la comprendre, Il faut se poser deux questions :

– qu’est-ce que le riche contenu mathématique de l’arithmétique des fractions ? – quelle est l’utilité de cette arithmétique ?

Regardons l’utilité d’abord. Elle était très grande avant l’adoption du système décimal des poids et mesures par la Révolution française. Jusqu’alors, les simples citoyens avaient besoin, dans le commerce et l’artisanat, de calculer avec des fractions. Et tel est encore le cas aujourd’hui aux Etats-Unis, seul pays non encore “ à jour ” depuis que le Royaume-Uni s’est aligné sur les autres pays de la Communauté européenne. Mais alors, où rencontre-t-on encore les fractions ? Une première réponse est qu’elles font partie du savoir quotidien, du moins pour celles qui ont de petits numérateurs et dénominateurs. 4 2 1 1 4 Un demi, un quart, deux tiers… sont des notions communes. Il est bon de savoir que – + – = –, que – = – et que la moitié 6 3 2 3 6 2 2 1 de – égale – = –. Tout cela se constate sur des tartes découpées ou à découper. Il est bon de savoir aussi ce qu’est un modèle 3 6 3 3 réduit à l’échelle –. 5 Par contre on ne voit guère, dans la vie quotidienne, d’occasions de calculer avec des fractions de numérateurs et dénominateurs nettement plus grands, sauf quand on parle par exemple de 90 %. Dans ces conditions, pourquoi et comment s’intéresser aux fractions à l’école primaire ? La réponse est sans doute que les fractions ont un avenir dans le parcours mathématique ultérieur des élèves. On les utilise de façon essentielle en probabilité et dans le calcul des exposants. Elles sont un relais sur le chemin des nombres réels. De plus, les règles de calcul applicables aux fractions numériques sont un modèle pour le calcul sur les fractions algébriques. Tout cela est bel et bien, mais faut-il vraiment préparer si longtemps à l’avance, c’est-à-dire dès l’école primaire, ces applications mathématiques relativement lointaines ? Essayons de répondre.

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Il ne sert sans doute à rien, et c’est même probablement décourageant, de s’entraîner à l’école primaire à des calculs hors contexte sur des fractions à numérateur et dénominateur arbitraires. Par contre, en restant dans le domaine des fractions “ modestes ”, celles dont nous avons dit ci-dessus qu’elles appartenaient à la pensée commune, on peut pénétrer déjà le sens profond des fractions et du calcul qui les concerne. C’est là que l’on commence à rejoindre ce que Hilton appelle un “ riche contenu mathématique ”. Tel est, me semble-t-il, l’optique dans laquelle ce livre a été écrit. Chacun des chapitres mobilise un contexte, souvent géométrique, où l’on demande aux élèves d’agir et de penser, et pas avant tout de calculer. On peut espérer que ces contextes demeureront dans la mémoire des élèves, comme pourvoyeurs d’intuitions utiles au moment où ils aborderont des régions plus abstraites de l’arithmétique et de l’algèbre. Car l’abstraction est au bout du chemin et elle a quelque chose de très artificiel. Commentons un peu cette réflexion en évoquant l’addition et la soustraction des fractions. Additionner deux grandeurs fractionnées a un sens immédiat. Additionner deux opérateurs de fractionnement n’en a pas. On peut donner un sens à une telle opération, mais c’est une contorsion mathématique inutile. Multiplier deux grandeurs fractionnées n’a généralement pas de sens : que voudrait dire multiplier un demi-kilo par deux tiers de kilo ? 1 1 Rien. Composer deux opérateurs de fractionnement a un sens : prendre la moitié du tiers revient à faire – × – (même si 2 3 ce n’est pas immédiat). Par contre, si on s’installe dans le domaine abstrait des nombres rationnels, on ne se pose plus ce genre de question. On applique librement aux fractions les quatre opérations de l’arithmétique. Il n’y a plus de contrainte de sens.

Préface

Concluons. Les nombres rationnels forment un système abstrait où tout fonctionne selon les règles. Mais il n’y a pas dans la nature, ni dans le monde concret, un ensemble d’objets ou d’actions qui fonctionne fidèlement comme les fractions. Les tartes découpées se prêtent à l’addition et aux comparaisons, pas à la multiplication. Le fractionnement des grandeurs, les rapports, les échelles se prêtent à la multiplication, pas à l’addition. Donc, pour rejoindre efficacement la fraction nombre, la fraction abstraite, il faut à la fois se détacher des contextes particuliers qui les ont vu naître, mais aussi pouvoir s’y reporter pour retrouver des éclairages intéressants sur des opérations particulières. Le livre présenté ici emprunte un tel chemin. Il varie les contextes, il y plonge profondément les élèves. On peut espérer que l’arbre abstrait qui grandira sur ce terrain sera d’autant plus solide qu’il aura poussé de plus profondes racines dans ces contextes.

Il y plonge profondément les élèves ? Mais oui, et pour s’en rendre compte, il suffit de parcourir les dialogues entre élèves ou avec l’enseignante qui forment une partie véritablement essentielle du livre. Il est rare que l’on ait accès, de manière aussi explicite et fidèle, aux cheminements de la pensée élèveine, aux tâtonnements, aux avancées, aux hésitations et aux reprises qui fondent une connaissance finale éclairée et sûre. N. Rouche

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Bon vent donc à ce livre vivant et utile.

Préface

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INTRODUCTION

Les fractions… Ce sujet laisse en difficulté beaucoup d’élèves des écoles fondamentale et secondaire, comme en témoignent les propos suivants : Trois quarts, je coupe en trois ou je coupe en quatre ? Pourquoi la fraction grandit-elle lorsque le dénominateur diminue ? On ne peut pas additionner ou multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux ? Je ne sais plus ! Diviser avec des fractions… Il y a un truc mais ça marche comment ?

Et on pourrait allonger la liste. Beaucoup d’élèves – et d’adultes – évoquent à leur propos du découragement, un sentiment d’être perdu, menant parfois à un dégoût des mathématiques. Alors, trop souvent, on se contente d’apprendre à exécuter des calculs, sans trop savoir pourquoi … Les fractions sont ainsi perçues comme quelque chose de difficile et de très abstrait. Le présent ouvrage rassemble, pour l’essentiel, deux contributions qui proposent une approche progressive et active des fractions dans des contextes variés.

Une première partie, dont les auteurs sont Martine de Terwangne et Christiane Hauchart, relate trois séquences d’activités, telles qu’elles ont été vécues en classe.

Dans Tout couper en deux, c’est essentiellement la fraction-opérateur qui est en jeu. La deuxième séquence, Des puzzles pour construire et additionner des fractions, aborde des fractions par le biais de six puzzles de difficultés diverses : une feuille A4 – le puzzle – y joue le rôle d’unité. On y travaille aussi bien d’autres choses, notamment de la géométrie.

Enfin, les activités de la troisième séquence, Du Tangram aux fractions, amènent les élèves à observer et à communiquer à partir du puzzle qu’est le Tangram. Les fractions équivalentes, des additions et soustractions de fractions y apparaissent de manière naturelle, et non formelle. La deuxième partie a pour auteur Françoise Lucas. Elle relate et commente en détail quatre activités vécues en classe. L’activité Faire des tours est une première confrontation avec la fraction-rapport.

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« Faire » ou « voir » une fraction amène les élèves, d’une part à approfondir la fraction-partage en agissant sur diverses grandeurs, et d’autre part à prendre conscience que, quand deux grandeurs de même nature sont mises en présence, on peut en observer le rapport. L’activité Une image transformée établit le lien entre les figures semblables et les rapports.

Enfin, Couper pour additionner vise à donner du sens à la recherche du dénominateur commun dans l’addition des fractions.

Toutes ces activités constituent en quelque sorte le cœur du livre. Nous pensons qu’elles offrent une alternative intéressante à ceux qui perçoivent que les fractions sont beaucoup trop abstraites… sans compter qu’au travers de ces activités, on apprend aussi bien autre chose que les fractions. Le lecteur trouvera aussi un relevé des compétences visées et mobilisées. Si les compétences sont, bien sûr, anticipées dans la conception et la mise en route de l’activité, c’est bien au fil de celle-ci que les élèves continuent à nous surprendre en développant des démarches originales, en allant chercher des outils auxquels nous n’avions pas pensé. Nous découvrons alors un répertoire de compétences mobilisées bien plus riche que celui initialement prévu. Ces relevés de compétences ont été rédigés par Françoise Lucas.

Introduction

Le matériel utilisé dans les activités est un matériel courant dans les classes. Le lecteur trouvera en fin d’ouvrage, sur le site instit.deboeck.com, des supports à photocopier comme, par exemple, le carnet de route de l’élève et des outils d’évaluation pour l’enseignant.

Il est de tradition que les ouvrages de la collection Maths et Sens comportent, outre des propositions d’activités mathématiques, une partie qui fait le point sur la matière elle-même. Nous aurions pu renvoyer tout simplement le lecteur au livre de N. Rouche, Pourquoi ont-ils inventé les fractions 1, que nous recommandons vivement pour l’éclairage qu’il apporte sur la genèse de la notion de fraction. Nous avons néanmoins choisi de reprendre, en les résumant 2, quelques idées de cet ouvrage, essentielles pour notre propos : cette partie, intitulée La matière a été rédigée par Christiane Hauchart.

Signalons pour terminer que le présent ouvrage s’inscrit dans l’esprit des socles de compétences 3 et des programmes. En effet si, jusque dans les années 90, les programmes d’enseignement amenaient très vite les fractions en tant que nombres sur lesquels on applique les quatre opérations, dans les socles de compétences de 1999, c’est dans le domaine des grandeurs, et non celui des nombres, que les fractions apparaissent. Il s’agit bien d’assurer d’abord certains apprentissages de base sur les grandeurs, de fractionner des grandeurs, de comparer des grandeurs de même nature, et d’engager alors les opérations non pas sur des fractions abstraites mais sur ces grandeurs fractionnées, visualisables ou manipulables à tout moment. C’est seulement sur base de ces constructions lentes et progressives, mais plus sensées, qu’un travail de comparaison, de généralisation et d’abstraction pourra être fait… C’est seulement dans l’enseignement secondaire que les fractions en tant que nombres abstraits commencent à trouver place.

Martine de Terwangne, institutrice depuis plus de trente ans, a enseigné à tous les niveaux de l’école primaire, y compris dans des classes en cycle. Depuis vingt-neuf ans, elle partage son expérience, son enthousiasme et ses questions notamment avec les membres d’une équipe du Groupe d’Enseignement Mathématique (GEM).

Christiane Hauchart, docteur en mathématiques dans l’orientation didactique, est enseignante au département de mathématiques à l’Université de Louvain-la-Neuve et coordinatrice du Groupe d’Enseignement Mathématique (GEM).

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Françoise Lucas, professeur de mathématique dans les Hautes Écoles pendant trente-huit ans, détachée au Service pédagogique de la Fédération de l’enseignement fondamental dans le réseau libre pendant sept ans, formatrice dans le cadre de la formation continue et de la formation complémentaire, collaboratrice dans la conception et l’élaboration première du site pédagogique « La salle des profs » avec Christian Watthez, est actuellement à nouveau en service comme professeur dans les Hautes Écoles. Pour chaque activité, le lecteur en trouvera la consigne, en encadré sur fond violet dans le texte, et une description commentée de son déroulement en classe. Des dialogues d’élèves y sont repris fidèlement : leurs mots, souvent originaux et perspicaces, leurs é bauches de productions écrites, leurs croquis, quelques comptes-rendus plus achevés aussi. À la lecture, on a l’impression de se retrouver en classe avec eux et de revivre leurs recherches. Les réflexions portant sur la matière elle-même et son apprentissage sont marquées d’un trait vertical rouge dans la marge ; les réflexions méthodologiques apparaissent sur un fond orange 4. 1 2 3

Ellipses éd., Paris, 1998. En étant résumés, les propos perdent forcément un peu de leur richesse. Socles de Compétences, Enseignement fondamental et premier degré de l’Enseignement secondaire, Ministère de la Communauté Française de Belgique, mai 1999, [20]. Les programmes se sont adaptés aux Socles de Compétences pour faire des propositions adéquates sur ce sujet. Ces commentaires s’adressent à l’enseignant. En particulier, le vocabulaire qui y est utilisé n’est pas forcément celui qui doit se retrouver dans les classes.

Introduction

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LA MATIÈRE

FRACTIONNER UNE GRANDEUR.................................................................................................................. 1.1. Couper en parts égales...................................................................................................................... 1.2. Couper en parts égales et prélever un certain nombre de parts..................................................... 1.3. Quatre étapes vers l’abstraction........................................................................................................

20 20 22 24

LES RAPPORTS............................................................................................................................................. 2.1. Des rapports avant toute mesure...................................................................................................... 2.2. Exprimer un rapport à l’aide de deux nombres.............................................................................. 2.3. Rapports et fractionnements............................................................................................................ 2.4. Fractions équivalentes....................................................................................................................... 2.5. Quelques manières de visualiser des rapports.................................................................................

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UNITÉ DE COMMUNE MESURE...................................................................................................................

MESURAGE ET RAPPORTS DE MESURES................................................................................................... 4.1. Le mesurage....................................................................................................................................... 4.2. Rapport entre deux grandeurs mesurées......................................................................................... 4.3. Décimalisation des rapports............................................................................................................. 4.4. Normalisation des rapports, pourcentages.......................................................................................

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PROPORTIONNALITÉ.................................................................................................................................... 5.1. Deux sortes de rapports dans les figures semblables : rapport externe et rapport interne............ 5.2. Tableaux de proportionnalité........................................................................................................... 5.3. Tableau de proportionnalité et règle de trois...................................................................................

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DES FRACTIONS AYANT UN STATUT DE NOMBRE ?.................................................................................... 6.1. Le cas des fractions-opérateur.......................................................................................................... 6.2. Le cas des fractions-rapport.............................................................................................................. 6.3. Le cas des fractions-mesure..............................................................................................................

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LA MATIÈRE Il est de tradition que les ouvrages de la collection Maths et Sens comportent, outre des propositions d’activités de mathématiques, une partie qui fait le point sur la matière elle-même. C’est l’objet du présent chapitre : il expose rapidement les différentes facettes des fractions.

Nous aurions pu renvoyer tout simplement le lecteur au livre de N. Rouche, Pourquoi ont-ils inventé les fractions 1, que nous recommandons vivement pour l’éclairage qu’il apporte sur la genèse de la notion de fraction. En effet, il montre, pas à pas, en utilisant la langue de tous les jours, de nombreux phénomènes que les fractions servent à exprimer : fractionnements de grandeurs, manipulations de grandeurs fractionnées, rapports, proportions, mesures…

De plus, il montre que des liens existent entre les fractions et la symétrie de figures, les figures semblables, les situations de proportionnalité, les probabilités… Il pose des questions importantes comme : pourquoi et quand a-t-on vraiment besoin de calculer avec des fractions ? Il montre le souci de ne pas se contenter du comment, mais bien aussi du pourquoi. Ce souci, cet objectif de ne pas amener nos élèves seulement à exécuter des règles imposées, est aussi le nôtre lorsque nous proposons les activités qui constituent l’essentiel du présent livre.

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Le chapitre intitulé Matière décrit en les résumant 2 parfois, quelques idées de cet ouvrage de référence, essentielles pour notre propos.

1 2

Ellipses, Paris, 1998. Et en étant résumés, forcément, les propos perdent parfois de leur richesse. Nous remercions les éditions Ellipses de nous avoir autorisé à nous appuyer sur ce livre.

LA MATIÈRE

1. FRACTIONNER UNE GRANDEUR 1.1. COUPER EN PARTS ÉGALES

Couper en n parts égales, c’est plus varié qu’on ne le pense. D’abord, couper en deux, cela peut être bien différent (plus facile ou plus difficile…) de couper en trois, ou en quatre… Ensuite, cela peut être très différent selon la grandeur que l’on découpe. On peut vouloir couper en parts égales des grandeurs continues ou des grandeurs discrètes. Regardons cela sur quelques exemples.

Couper en deux parts égales

Pour les grandeurs continues par exemple, il est plus facile de couper en deux une ficelle qu’une baguette rigide. On ne s’y prend pas de la même façon non plus pour partager en deux le contenu d’une bouteille dans deux verres identiques (par tâtonnements), de la farine (par tâtonnements au moyen d’une balance à plateaux), un intervalle de temps 3, un angle aigu d’un triangle rectangle, un carré, un polygone régulier par pliage en s’appuyant sur la symétrie, un cube, une pyramide à base carrée (en faisant apparaitre deux solides identiques). Couper un carré de façon à reformer deux carrés égaux est une opération plus difficile que de simplement couper un carré en deux parts égales …

Fig. 1

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iti

Notons au passage que lorsqu’on a pris la moitié d’un objet, on peut avoir envie de prendre la moitié de la moitié, puis la moitié de la moitié, et ainsi de suite, ce qui engendre des processus infinis (figure 1).

Pour couper en deux parts égales une grandeur discrète, comme l’ensemble des objets de la figure 2, il n’est pas besoin de savoir compter : il suffit de les disposer face à face… Selon le cas, il y en a un qui reste tout seul ou pas et l’opération réussit ou pas.

Fig. 2a

Fig. 2b

Couper en trois parts égales Tout comme pour couper en deux, il est bien différent de couper une grandeur en trois selon qu’elle est continue ou pas. Et, en général, on ne s’y prend pas de la même façon selon qu’on veut couper en deux ou en trois parts égales. Ainsi, par exemple, pour plier une feuille A4 en deux parts égales, il suffit de la plier comme le suggère la figure 3 ; si on veut la plier 3

Partager un temps peut paraitre plus difficile.

LA MATIÈRE

Fig. 3

Couper en 4, 5… parts égales

en trois, on peut la plier successivement (et approximativement) deux fois comme on fait lorsqu’on veut insérer une lettre dans une enveloppe allongée.

L’égalité et la somme des grandeurs

Ici à nouveau, les situations sont extrêmement diverses : par exemple, couper en 4 est généralement plus facile que couper en 3 : il suffit de couper en 2 et puis encore en 2 ; il est facile de couper un pentagone régulier en 5, et nettement moins facile de couper en hexagone en 5…

La notion de couper en parts égales s’appuie sur celle de grandeurs égales et sur celle de somme de grandeurs.

Comparaison de grandeurs

Les manœuvres de vérification de l’égalité de deux grandeurs varient selon la nature des grandeurs envisagées :

– mise côte à côte pour les objets allongés (comme les baguettes et les fils), – superposition (parfois via une décomposition-recomposition) pour les surfaces, – disposition sur les plateaux d’une balance pour des objets lourds, – …

iti

Certaines comparaisons de grandeurs peuvent se faire de manière indirecte, en se ramenant à des grandeurs d’une autre nature :

Éd

– pour les volumes, on se ramène souvent à des hauteurs, – pour des durées, on se ramène parfois à des volumes (de sable des sabliers), – …

Somme de grandeurs

La notion de somme de grandeurs est implicitement présente quand on veut couper une grandeur en parts égales. Quand on veut couper en n parts égales, on veut que les n morceaux reconstituent l’objet de départ, autrement dit que la somme des n grandeurs correspondantes soit la même que celle de l’objet de départ.

Multiplication d’une grandeur par un nombre La notion de partage d’une grandeur en parts égales va de pair avec celle de multiplication d’une grandeur par un nombre. La multiplication par un nombre est d’abord une addition répétée (mettre par exemple 5 segments bout à bout). L’opération inverse de la multiplication par n est le partage en n parts égales, suivi du prélèvement d’une part : en enchaînant les deux opérations, prendre un nème et multiplier par n, peu importe dans quel ordre, on revient 4 à l’objet de départ. 4

En faisant abstraction du fait que, pratiquement, une fois le bâton coupé en 4, on aura de la peine à refaire un bâton, mais du point de vue de la grandeur, les quatre quarts de bâton mis ensemble, c’est la même chose que le bâton de départ.

1. Fractionner une grandeur

1.2. COUPER EN PARTS ÉGALES ET PRÉLEVER UN CERTAIN NOMBRE DE PARTS Nous nous sommes intéressés, à la section 1.1, au partage d’une grandeur en parts égales, c’est-à-dire à la division d’une grandeur par un nombre. Faisons maintenant un pas de plus, et prélevons un certain nombre de ces parts. Regardons ce qui se passe quand on enchaine une opération de division d’une grandeur par un nombre et une opération de multiplication du résultat par un nombre éventuellement différent.

Partager, puis multiplier

Par exemple, coupons une tarte en 5, puis prélevons 3 morceaux : cela fournit 3 cinquièmes de tarte.

Multiplier, puis partager Contrastons les deux situations suivantes : Situation 1 Partager une tarte en 5 et en prélever 3 parts.

Opérations successives : – partager en 5, – prélever 3 parts.

Situation 2

Partager 3 tartes entre 5 amis.

Matériel nécessaire : 1 tarte.

On dit souvent que la tarte est le tout, l’unité. Ceci provoque une certaine difficulté dès qu’il faut dépasser ce tout, comme quand on veut prélever par exemple 7 cinquièmes de tarte : impossible matériellement de prélever 7 cinquièmes d’une tarte, on doit disposer d’au moins deux tartes au départ…

Matériel nécessaire : 3 tartes. Opérations successives : – prendre 3 tartes, – partager le tout en 5.

iti

On observe que le résultat est le même :

3 cinquièmes de tarte, c’est la même chose qu’un cinquième de 3 tartes.

Éd

Pour prouver que 3 cinquièmes de tarte, c’est bien la même chose qu’un cinquième de 3 tartes, il faut 5 vérifier qu’en multipliant cette grandeur par 5, on retrouve bien 3 tartes. C’est ce que suggère la figure 4 dans le cas d’une bandelette d’abord, d’un rectangle ensuite (et non d’une forme circulaire, pour laquelle il est plus difficile d’imaginer l’ensemble des 3 tartes comme un tout).

Fig. 4 5

On pourrait vouloir comparer, en « superposant » 3 cinquièmes de tarte et un cinquième de 3 tartes, ce qui est difficile dans le cas d’une tarte circulaire, puisqu’il est difficile de visualiser 3 tartes comme un tout. Cette difficulté n’existe pas dans le cas de tartes rectangulaires …

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Partager en n parties égales et prélever une part, la fraction-opérateur de fractionnement

Puisque les résultats des deux opérations composées sont les mêmes, quel que soit l’ordre dans lequel on les effectue, il est légitime d’utiliser la même notation : nous écrirons par exemple 3 – d’un rectangle 5 pour signifier le résultat de l’une des deux opérations composées suivantes : – couper le rectangle en 5 parts égales, puis prélever 3 parts, – multiplier le rectangle par 3, diviser le résultat en 5 parts et prélever une de ces parts. Partager une grandeur en 2 (ou 3…, ou n) parts égales est une opération.

Prélever une moitié (ou un tiers…, ou un nème) est une autre opération qui focalise l’attention sur la partie prélevée et non sur les deux moitiés (ou les trois tiers…, ou les n nèmes).

ou de

3 prendre – d’un rectangle 5

Notons aussi qu’il revient au même de

Fractions-opérateurs équivalentes

1 L’opération composée de couper une grandeur en 2 (3…, ou n) et de prélever une part est associée à l’écriture – 2 1 1 1 1 1 (ou –…, – ). Dans ce contexte, la fraction – (ou –… ou – ) est souvent appelée fraction-opérateur. 3 n 2 3 n

6 9 prendre –– ou –– ou… de ce même rectangle. 10 15

iti

3 6 9 Ces fractions-opérateurs (–, –– , –– …) sont dites équivalentes parce qu’elles conduisent à des grandeurs égales. 5 10 15

Éd

Composer des fractionnements

7 7 7 Comment multiplier – de tarte par 5 ? Comme – de tarte, c’est 7 tiers de tarte, prendre 5 fois – de tarte donnera 35 tiers de 3 3 3 35 tarte, c’est-à-dire –– de tarte. 3 1 7 Cherchons maintenant à prendre – de – de tarte. Il suffit de prendre 7 morceaux, mais 4 fois plus petits, ce qui revient à 4 3 7 prendre 7 douzièmes, c’est-à-dire –– de tarte. 12 3 7 Ensuite, nous pourrions bien sûr chercher à prendre – de – de tarte : suivre cette voie de la composition des opérateurs de 4 3 fractionnements mènerait à la multiplication des fractions. Cette composition d’opérateurs de fractionnements n’est utile que dans des cas particuliers. Elle prendra vraiment tout son sens plus tard, dans le contexte des probabilités. Ce contexte sera alors source d’intuition pour la multiplication des fractions. Notons au passage que l’addition des fractions ne se rattache que de façon artificielle aux opérateurs de fractionnement.

1. Fractionner une grandeur

1.3. QUATRE ÉTAPES VERS L’ABSTRACTION Couper en parts égales et prélever un certain nombre de parts a l’air tout simple. C’est pourtant riche d’aspects divers : en particulier, cela peut être plus ou moins concret comme nous allons le voir maintenant.

Couper des objets quelconques

On coupe des objets les plus variés en parts égales en les considérant selon un type de grandeur (leur largeur, leur longueur, leur hauteur, leur poids…)

Couper des objets représentants

Pour étudier la partage des grandeurs, on travaille souvent sur des représentants de ces objets variés (par exemple, des baguettes ou des ficelles pour représenter les objets longs, de la plasticine pour représenter des objets pesants… ; par exemple, des jetons ou des allumettes pour représenter des collections hétéroclites d’objets). Mais si on a décidé de passer des objets de départ à leurs représentants, c’est aussi qu’on a décidé d’ignorer les caractéristiques particulières de ces objets.

Couper des représentations dessinées

On franchit un pas supplémentaire vers l’abstraction en travaillant non plus sur des objets représentant les objets de départ, mais sur des dessins représentant les objets de départ.

iti

Les grandeurs continues sont ainsi souvent représentées par des segments ou des rectangles : ceux-ci servent non seulement pour représenter des longueurs, mais aussi des poids, des temps… Ils ont cet avantage d’être faciles à manipuler, à comparer, à additionner, à diviser…

Éd

Les ensembles finis sont, eux, souvent représentés sur papier par des dessins d’objets identiques (points, bonshommes, bâtons…) C’est un grand pas vers l’abstraction, puisque tous les types de grandeurs sont ainsi ramenés à un seul et toutes les manipulations à un dessin. Mais les figures dessinées ont encore un lien avec la réalité de départ : la longueur pour les segments, l’aire pour les rectangles…

Couper en divisant des nombres Un pas supplémentaire et non négligeable vers l’abstraction est franchi lorsque l’on coupe en n parts égales, non plus les objets de départ, ni une représentation de ceux-ci, mais leur mesure, qui est un nombre. Un nombre s’écrit avec des chiffres, dont le dessin est arbitraire, sans aucune ressemblance avec l’objet de départ. On travaille alors avec des symboles purs. Ainsi, sur un chemin d’abstraction croissante, on peut couper en parts égales des objets quotidiens, des objets standard (bâtonnets, boules de plasticine…), des représentations symbolisant les grandeurs (segments, rectangles…), et enfin des mesures (qui sont des nombres).

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