Math & Sens - Résoudre des problèmes (8-10) - extrait by Van In Fondamental

Collection dirigée par Françoise Lucas

Ce guide propose aux enseignants des pistes méthodologiques accompagnées d’une «batterie» d’activités «prêtes à l’emploi» visant à développer des compétences de résolution de problèmes chez les enfants de 8 à 10 ans. Comment les élèves appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d’aborder les problèmes ? Quelles stratégies pourraient-ils mettre en place pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer ces apprentissages en classe ? Au travers des activités proposées, l’ouvrage tente de répondre concrètement à toutes ces questions en s’appuyant sur des recherches et des expériences menées en classe par des enseignants. Nouvelle édition revue et colorisée pour une meilleure compréhension des concepts. Accès gratuit au site instit.deboeck.com regroupant du matériel, des prolongements et des activités supplémentaires. Consultez cet ouvrage seul, en équipe de cycle, ou en équipe école, selon l’entrée qui correspond le plus à vos besoins !

ans

pas de problème !

Résoudre des problèmes : pas de problème !

8/10

Résoudre des problèmes :

Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d’un même «nœud-matière» et d’un même réseau de compétences.

8/10 ans

Résoudre

des problèmes : pas de problème ! Guide méthodologique

instit.deboeck.com

et documents reproductibles en ligne Isabelle DEMONTY Annick FAGNANT Michèle LEJONG

RESPRO8 ISBN 978-2-8041-8214-4

www.deboeck.com

RESPRO8-cov.indd 1-3

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REMERCIEMENTS Cet ouvrage est le résultat d’une recherche de trois ans commanditée par l’Administration Générale de l’Enseignement et de la Recherche Scientifique (Direction de la Recherche en Pédagogie, du Pilotage de l’Enseignement de la Communauté française et des Relations avec les entreprises). La recherche a été réalisée par une équipe de chercheuses du Service de Pédagogie expérimentale (sous la direction du Professeur Marcel Crahay), en étroite collaboration avec des membres de l’inspection et des enseignants du réseau de la Communauté française. Nous remercions vivement, ■ ■ ■ ■ ■

La comité d’accompagnement, organisé par Monsieur Alexis Deucup, pour son suivi tout au long de ce projet de recherche, Madame Bourgueil et Monsieur Collignon, Inspecteurs de l’enseignement primaire, Monsieur Benedetti, Inspecteur de l’enseignement secondaire, Mesdames Haas et Stellian, Monsieur Bottelbergs, chargés de mission, Mesdames Bauters, Bay, Debillemont, Fagard, Flameng, Fontaine, Foulon, Jouret, Lamontagne, Maistriau, Médol, Procureur, Renauld, Van Esch et Messieurs Kehl, Lekeu, Sakkalis, Simon, Thonnard, Van Meenen, enseignants en 3e et 4e années de l’enseignement primaire.

Remerciements

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INTRODUCTION

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

LA REPRÉSENTATION DU PROBLÈME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 De questions en réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 Les séquences d’activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 La représentation dessinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

La reformulation écrite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 LA RÉSOLUTION PROPREMENT DITE DU PROBLÈME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 De questions en réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

Les séquences d’activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83 Lien entre représentation et résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

Variété des démarches de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89 Quel est le bon calcul ? Et s’il y en avait plusieurs ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 Variété des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 LA COMMUNICATION DE LA SOLUTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

De questions en réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 Les séquences d’activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

Caractéristiques d’une solution bien communiquée – Problèmes et solutions : quelle pagaille ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

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Caractéristiques d’une solution bien communiquée – Les problèmes à la suite ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

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Situations où la communication est un enjeu important – Les jeux olympiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 Situations où la communication est un enjeu important – Les olympiades rigomathiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

LA VÉRIFICATION DE LA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169 De questions en réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 La séquence d’activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 Construction d’un outil de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 INDEX PAR CONTENU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 INDEX PAR COMPÉTENCES TRANSVERSALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199 RÉFÉRENCES……… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

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INTRODUCTION La résolution de problèmes constitue une activité désormais incontournable dans les apprentissages mathématiques. Les directives officielles ainsi que les travaux récents dans le domaine de la recherche en didactique des mathématiques s’accordent sur cette idée : la capacité à résoudre des problèmes constitue un élément clé de la compétence mathématique.

Bien plus, résolution de problèmes, élaboration de concepts et de procédures mathématiques sont intimement liés : l’apprentissage des mathématiques par la résolution de problèmes apparaît comme une démarche privilégiée pour développer des compétences et des connaissances durables chez les élèves. Cela permet notamment de donner sens aux concepts mathématiques et de réinvestir des procédures dans un contexte qui justifie leur utilisation.

Dans une telle perspective, amener les enfants à être plus performants en mathématiques ne peut se limiter à développer des savoirs et des savoir-faire. Apprendre à faire face à des situations problèmes variées constitue un objectif tout aussi important de la formation mathématique. Il s’agit donc d’offrir aux enfants la possibilité de résoudre des problèmes. Si l’idée paraît simple, sa mise en œuvre pratique, en revanche, ne l’est pas : c’est toute la question de l’aide à la résolution de problèmes qui se trouve ainsi posée ( Julo, 1992, p. 1).

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Comment apprendre à résoudre des problèmes ? Cette question est cruciale : résoudre un problème est loin d’être évident pour bon nombre d’élèves. Nombreux sont ceux qui éprouvent d’importantes difficultés inhérentes aux situations problématiques elles-mêmes. Face à des problèmes arithmétiques, certains pensent qu’il suffit de faire une opération avec tous les nombres de l’énoncé ou d’appliquer la procédure qui vient d’être vue en classe. Pour d’autres, résoudre un problème, c’est faire le bon calcul ; il n’y a donc qu’une et une seule « bonne » façon d’arriver à l’unique solution acceptable. Certains ne répondent pas à la question posée ; d’autres proposent des réponses qui peuvent paraître complètement insensées (Verschaffel, Greer et De Corte, 2000). Bien qu’elles permettent parfois d’aboutir à la réponse correcte face à certains problèmes, ces démarches superficielles (c’est-à-dire non fondées sur une analyse approfondie des situations) révèlent rapidement leurs limites lorsque les enfants sont confrontés à de véritables problèmes.

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Comment les enfants appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d’appréhender les situations ? Quels outils pourraientils développer pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer en classe des apprentissages qui prennent comme point de départ les démarches effectivement mises en œuvre par les enfants ? Toutes ces questions sont actuellement peu envisagées dans les documents scolaires. L’outil méthodologique proposé ici vise à apporter une aide en ce sens : fournir aux enseignants un bagage d’activités « prêtes à l’emploi » (téléchargeables sur le site instit.deboeck.com ) pour apprendre aux élèves de 8-10 ans à développer des compétences leur permettant de faire face à des problèmes variés. L’outil s’inscrit dans la lignée d’un outil méthodologique comparable destiné aux élèves de 10/12 ans (Fagnant & Demonty, 2005). Dans une perspective de continuité des apprentissages, il est intéressant d’utiliser le même type d’approche avec les élèves tout au long de la scolarité : les apprentissages réalisés en fin d’enseignement primaire pouvant dès lors d’autant mieux s’appuyer sur ceux réalisés au cycle précédent.

Introduction

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L’intégralité de la formation mathématique des enfants de cet âge n’est pas envisagée ici : l’enseignement de l’ensemble des compétences disciplinaires n’est pas directement visé dans les situations proposées. Comme son titre l’indique, l’outil méthodologique que nous avons développé porte explicitement sur la résolution de problèmes. Différents contenus mathématiques sont abordés, mais ce n’est pas leur apprentissage proprement dit qui est au centre des préoccupations.

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L’outil proposé est le résultat de trois années de recherche commanditée par le Ministère de la Communauté française (Administration Générale de l’Enseignement et de la Recherche Scientifique – Direction de la Recherche en Pédagogie, du Pilotage de l’Enseignement de la Communauté française et des Relations avec les entreprises) et réalisée en étroite collaboration avec des enseignants et des inspecteurs. Ainsi, une vingtaine d’enseignants se sont « jetés à l’eau » pour découvrir l’outil méthodologique et essayer les activités avec leurs élèves. C’est grâce à la richesse des échanges que le matériel proposé a pu être retravaillé afin de s’adapter au mieux à la réalité des classes. C’est également grâce à ces essais que l’ensemble du document a pu être illustré par des productions d’enfants et des avis d’enseignants. Cette collaboration fructueuse devrait donc permettre de déboucher sur un document pratique et utilisable directement par les professionnels de terrain. Nous espérons que tel est le cas.

Introduction

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1. Les étapes de la résolution de problèmes

La résolution de problèmes constitue un processus complexe mettant en œuvre des compétences variées qui peuvent s’organiser en plusieurs grandes phases. La plupart des auteurs (Descaves, 1992 ; Ehrlich, 1990 ; Greer, 1987 ; Jonnaert, 1994 ; Julo, 1995 ; Richard, 1994 ; Roegiers, 2000 ; Schoenfeld, 1992 ; Tardif, 1992 ; Verschaffel, Greer et De Corte, 2000) distinguent au moins deux phases correspondant respectivement à la construction d’une représentation de la situation, d’une part, et à la résolution proprement dite, d’autre part.

Phase de représentation du problème : ■ reconnaissance du problème ; ■ description du problème ; ■ analyse du problème.

André (cité par Tardif, 1992) retient sept étapes qui correspondent à un découpage des deux grandes phases précitées.

Phase de solution du problème : ■ génération d’un scénario de résolution ; ■ évaluation de l’efficacité des solutions privilégiées ; ■ mise en application de la solution retenue ; ■ mise en application de nouvelles solutions au besoin.

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Dans une perspective assez proche, Verschaffel et al. (2000) proposent cinq étapes : ■ construire une représentation mentale du problème ; ■ décider comment résoudre le problème ; ■ exécuter les calculs nécessaires ; ■ interpréter le résultat et formuler une réponse ; ■ évaluer la solution. En adéquation avec la plupart des programmes d’enseignement, Roegiers (2000), quant à lui, identifie quatre étapes correspondant assez étroitement au modèle que nous avons choisi de privilégier : ■ l’analyse de la situation ; ■ la résolution ; ■ la validation ; ■ la communication de la démarche et des résultats. Plus précisément, c’est le modèle de Greer (1997), en quatre étapes également, qui a influencé le choix du schéma que nous avons retenu. L’auteur distingue les étapes de « construction d’un modèle de situation » (que nous avons appelé « représentation »), de « construction d’un modèle mathématique » (que nous avons nommé « résolution »), de « solution » (qui correspond à notre étape de « communication ») et de « vérification » (dont nous avons conservé l’intitulé).

Introduction

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Le schéma ci-dessous illustre les étapes de la démarche de résolution (Fagnant & Demonty, 2004 ; Fagnant, Demonty & Lejong, 2000, 2003 ; Lejong, Demonty & Fagnant, 2001). Les doubles flèches indiquent l’aspect circulaire du modèle : il est en effet toujours possible de revenir aux étapes précédentes.

Modèle illustrant les différentes étapes de la résolution de problèmes Représentation

Résolution

Communication

Problème

LE PROBLÈME

Qu’est-ce qu’un problème ? Tentons de préciser les caractéristiques de la situation sur la base de laquelle une véritable démarche de résolution va pouvoir s’amorcer.

D’après Newell et Simon (cités par Tardif, 1992), un problème existe lorsqu’une personne se trouve dans une situation où elle veut faire quelque chose et qu’elle ne sait pas exactement comment s’y prendre. Pour Gagné (cité par Tardif, 1992), un problème existe réellement lorsque quelqu’un poursuit un but et qu’il n’a pas encore déterminé les moyens d’atteindre ce but. Tardif (1992) envisage quatre caractéristiques essentielles d’un problème : des données initiales, des contraintes, un but final à atteindre et enfin la nécessité d’une recherche pour atteindre ce but final.

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De ces définitions, un élément essentiel se dégage : le caractère relatif d’un problème. La situation doit véritablement poser « problème » à la personne qui la découvre : si la personne connaît d’emblée la démarche qui lui fournira la réponse, il n’y a pas de problème à résoudre. Cela signifie donc que la situation seule ne suffit pas pour définir le problème. D’autres facteurs doivent également être pris en compte : les acquis de la personne qui découvre la situation, le contexte dans lequel elle se trouve, les apprentissages qui ont été réalisés au préalable, ... Une situation problème peut se présenter sous diverses formes : sous une forme verbale (orale, ou écrite) sous l’aspect d’un schéma, d’un graphique, d’une bande dessinée... Le champ des situations problèmes est donc très vaste et difficile à délimiter.

Les situations abordées dans l’outil méthodologique proposé sont principalement des problèmes arithmétiques qui s’adressent à des enfants de 8 à 10 ans. Très souvent, le problème se présente sous la forme d’un petit texte qui décrit la situation. Les contraintes et les données sont généralement exprimées par des nombres. Quant au but de la tâche à réaliser, il se trouve souvent exprimé dans la (ou les) question(s). Les contenus mathématiques impliqués relèvent principalement du domaine des nombres et opérations, ainsi que de celui des grandeurs. Quelques situations relatives aux solides et figures, ainsi qu’au traitement de données, sont également propo-

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201 RESPRO_8:401 Résoudre 9/4/2013 7:14 PM Page 11

sées. Globalement, ce type de situations est assez familier aux enseignants. Les problèmes proposés présentent néanmoins certaines particularités qui visent à contrecarrer le développement de démarches superficielles et stéréotypées chez les élèves. Toutefois, c’est dans l’exploitation qui en est proposée avec les élèves que réside principalement l’originalité du document.

LA REPRÉSENTATION

Il s’agit d’un élément essentiel de la démarche de résolution : c’est en fonction de la représentation qu’il s’est faite du problème que le sujet détermine les connaissances qui doivent être activées dans sa mémoire à long terme pour être mises à la disposition de la recherche de solutions (Gagné, cité par Crahay, 1997).

La construction de la représentation est un processus complexe qui nécessite plusieurs composantes comme une première compréhension du contexte global, une organisation des informations présentées en fonction du but recherché, une brève estimation du résultat attendu,... Un certain parallélisme peut être fait entre la construction d’une représentation face à une situation problème, d’une part, et une activité de compréhension en lecture, d’autre part. Il faut toutefois préciser que des différences existent entre les deux types de tâches et que celles-ci portent au minimum sur trois aspects (Ehrlich, 1990).

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L’événement dont on parle dans l’énoncé : il est envisagé sous un angle particulier mettant en relief certaines données numériques (autrement dit, des aspects quantitatifs du problème). L’élaboration de la réponse aux questions : elle implique des inférences logico-mathématiques ; celles-ci ne sont pas exactement du même type que les inférences habituelles dans la lecture - compréhension d’un texte. La formulation de la solution : la résolution du problème et la solution doivent être présentées dans une forme particulière utilisant le langage mathématique. Il n’en va pas de même des réponses de compréhension à un texte lu ou entendu.

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L’étape de représentation est déterminante car elle conditionne la réussite des étapes ultérieures. Apprendre aux élèves à se représenter une situation problème est une activité qui doit être enseignée. On pourra ainsi amener les élèves à utiliser des outils qui leur permettront de mieux comprendre les problèmes qu’ils rencontreront. La construction d’une représentation appropriée est l’ingrédient essentiel d’une résolution efficace.

LA RÉSOLUTION PROPREMENT DITE Cette étape doit conduire à découvrir la solution du problème. Parfois, la solution ainsi trouvée permet directement de répondre à la question posée ; dans d’autre cas, une étape d’interprétation du résultat ou une mise en forme particulière des informations sera encore nécessaire (étape de communication). C’est sur la base d’une représentation appropriée de la situation qu’il convient de mettre en œuvre le processus de résolution. Dans certains problèmes, il s’agit alors de dégager et d’effectuer les calculs nécessaires à la découverte de la solution. D’autres situations pourront révéler une richesse supplémentaire au travers de leur diversité : variété des démarches permettant d’aboutir à la solution (il n’y a pas nécessairement une seule bonne

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démarche et la résolution n’implique pas toujours de réaliser des calculs) et variété des solutions obtenues (il n’y a pas toujours qu’une et une seule solution possible).

LA COMMUNICATION DE LA SOLUTION

Lorsque le problème est résolu sur la base d’une représentation appropriée de la situation, il faut encore communiquer la solution en la rendant compréhensible pour autrui. Pour ce faire, il s’agit au minimum de présenter la solution en contexte, en réponse à la question posée dans l’énoncé. Il faut aussi que la solution soit compréhensible par un lecteur extérieur. Dans certains cas, il sera également nécessaire de prendre en compte les exigences supplémentaires imposées par les modes de communication spécifiques à une situation donnée. En effet, dans ces situations, l’application d’une procédure de calcul ne suffit pas. Pour remplir la tâche requise, il faut faire quelque chose en plus et présenter par exemple les résultats sous une forme déterminée. Un problème peut également aboutir à plusieurs solutions. Il s’agira alors de les préciser et parfois même de fournir une analyse critique des différentes solutions possibles.

LA VÉRIFICATION

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La démarche de résolution met en œuvre un système complexe de compétences. Au cours de la mobilisation de ces compétences, des erreurs peuvent survenir à différents niveaux. Pour avoir une portée maximale, il est donc nécessaire de compléter la démarche de résolution par la mise en œuvre d’un processus de vérification. Ce dernier peut se réaliser après chaque étape de la démarche ou survenir au terme du processus de résolution. L’essentiel est que la vérification porte sur les différents moments clés du processus (représentation, résolution proprement dite et communication de la solution).

Introduction

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2. La structure de l’outil méthodologique Le document est composé de quatre « chapitres » correspondant aux différentes phases de la démarche de résolution : ■ ■ ■

la représentation du problème ; la résolution proprement dite du problème ; la communication de la solution ; la vérification de la démarche de résolution.

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L’outil méthodologique doit pouvoir être utilisé de manière flexible. Les apprentissages ne doivent pas nécessairement s’organiser de manière séquentielle : chaque enseignant pourra ainsi aborder les compétences avec ses élèves dans l’ordre qui lui convient le mieux, en fonction des préoccupations et des difficultés plus spécifiques de sa classe. Il pourra par exemple envisager une activité de représentation, suivie d’une autre centrée sur la résolution proprement dite, puis développer à nouveau une activité de représentation avant d’envisager la phase de communication. La variété des séquences proposées au sein de chaque phase de la démarche, ainsi que la diversité des situations proposées dans chaque séquence, facilite une telle organisation cyclique du document.

Au terme de chaque année (voire du cycle), il conviendra d’avoir envisagé au moins une fois les différentes phases du processus de résolution. La représentation du problème étant l’élément crucial de la démarche, il est essentiel de commencer l’apprentissage par des activités de ce type. De plus, il convient également de proposer l’activité centrée sur la vérification après avoir abordé au moins une activité relative aux autres étapes de la démarche (représentation, résolution, communication).

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la partie intitulée « De questions en réponses » vise à informer sur « ce que l’enseignant doit savoir » avant d’aborder chacune des phases de la démarche ; la partie intitulée « Les séquences d’activités » propose des outils concrets pour apprendre aux élèves à résoudre une grande palette de problèmes variés.

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Chacun des quatre « chapitres » est composé de deux parties :

La mise en place des activités proposées peut nécessiter certaines remises en question de la part des enseignants. Le lecteur trouvera dans la partie « De questions en réponses » une série de considérations générales portant sur chaque étape de la résolution et étant largement illustrées par des analyses de manuels, des exemples de productions d’enfants, des résultats de tests, ...

« Les séquences d’activités » offrent aux enseignants un large éventail de situations « prêtes à l’emploi » (disponibles sur le site instit.deboeck.com ). Pour une même activité, l’enseignant trouvera plusieurs situations problèmes à proposer aux élèves. Cela lui permettra de faire des choix adaptés à sa classe et de reproduire plusieurs fois la même séquence afin d’asseoir les apprentissages. Les activités sont complétées par des indications méthodologiques destinées à accompagner le plus efficacement possible la démarche. Ce guide méthodologique a été construit sur la base d’essais réalisés par les enseignants qui ont participé à la recherche. Il est illustré par des productions d’enfants et des commentaires d’enseignants.

Introduction

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Les tableaux présentés ci-dessous synthétisent la structure des quatre chapitres. Ils sont proposés au début de chaque partie importante du document. Chaque fois qu’un de ces tableaux est reproduit, la partie grisée indique où on se situe dans le document.

REPRÉSENTATION Les séquences d’activités La représentation dessinée

La reformulation écrite

Aperçu

De questions en réponses

Outils élèves

Outils enseignants

RÉSOLUTION

De questions en réponses

Lien représentation / résolution Aperçu Outils élèves

Variété des démarches

Quel est le bon calcul ?

Variété des solutions

Aperçu

Outils élèves

Outils enseignants

Les séquences d’activités

COMMUNICATION Les séquences d’activités

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Caractéristiques d’une solution bien communiquée

Probl. / solutions : quelle pagaille !

Les problèmes à la suite

Les jeux olympiques

Les olympiades rigomathiques

Aperçu

Outils élèves

Outils enseignants

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De questions en réponses

Situations où la communication est un enjeu important

VÉRIFICATION La séquence d’activités Construction d’un outil de vérification

De questions en réponses

Aperçu Outils élèves Outils enseignants

Les pages suivantes proposent une présentation des deux parties constitutives de chaque « chapitre » et des sigles utilisés tout au long du document.

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DE QUESTIONS EN RÉPONSES La partie intitulée « De questions en réponses » tente de faire le point sur « ce qu’il faut savoir » concernant chacune des phases de la résolution. Les questions.... Pourquoi représenter un problème ? Que demande une bonne représentation ? Faut-il apprendre aux enfants à représenter un problème ? Comment apprendre aux enfants à bien représenter un problème ?

Représentation

Qu’est-ce que résoudre un problème ? Comment apprendre à résoudre un problème ?

Communication

Qu’est-ce que communiquer sa solution ? Faut-il apprendre à communiquer sa solution ? Comment apprendre à communiquer sa solution ?

Résolution

Qu’est-ce que la phase de vérification ? Faut-il apprendre aux élèves à vérifier ? Comment apprendre aux élèves à vérifier ?

Vérification

Les réponses aux différentes questions sont largement illustrées par des exemples de productions d’élèves, des résultats de tests, des critiques d’activités rencontrées dans les manuels, etc...

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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS

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Plusieurs séquences d’activités sont développées pour les différentes phases de la démarche de résolution. Chaque séquence d’activités est présentée selon un découpage en trois parties : ■ ■ ■

aperçu de la séquence ; les outils d’apprentissage pour les élèves ; les outils méthodologiques pour l’enseignant.

APERÇU DE LA SÉQUENCE précise les apprentissages explicitement visés… apprendre

…et les présupposés qui doivent faire l’objet d’un désapprentissage. désapprendre

Introduction

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L’aperçu propose également un tableau reprenant différents aspects : ■ ■ ■ ■

les grandes étapes de la séquence ; une brève explication du déroulement et de l’organisation du travail ; le matériel requis pour mener la séquence ; et, à titre purement indicatif, la durée approximative des étapes.

La durée des activités a été élaborée sur la base des essais réalisés dans les classes. Il s’agit d’un repère informatif qu’il ne faut bien entendu pas suivre à la lettre. Ces durées approximatives ont été évaluées en fonction de deux paramètres : d’une part, il est nécessaire de laisser suffisamment de temps pour que chaque enfant puisse s’investir dans la tâche et, d’autre part, il faut éviter que l’activité ne traîne en longueur (laisser chercher les élèves ne veut pas dire les laisser tourner en rond pendant des heures).

Certaines remarques sont ajoutées à différents endroits du tableau.

LES OUTILS D’APPRENTISSAGE POUR LES ÉLÈVES

Les documents à reproduire pour les élèves, disponibles sur le site instit.deboeck.com sont repérables par un sigle particulier en haut de la page.

Les problèmes à proposer aux élèves

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Les feuilles de synthèse

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Pour aider l’enseignant dans le choix des situations problèmes à proposer aux élèves, un tableau récapitulatif reprend la liste des énoncés, le domaine mathématique concerné et quelques commentaires précisant les particularités des problèmes proposés (problèmes contenant des données perturbantes, problèmes « ouverts » pouvant aboutir à plusieurs solutions, ...). Des synthèses sont proposées à différents moments lors du déroulement des séquences d’activités. Ces synthèses sont très importantes car elles permettent de garder une trace écrite des apprentissages réalisés au travers des diverses séquences. Il convient de faire construire par chaque enfant une synthèse pour les différentes phases de la démarche de résolution. Ces synthèses s’élaborent progressivement : après chaque exploitation collective, il conviendra d’indiquer les éléments qui ont pu être dégagés. Au terme de toutes les activités relatives à une phase de la démarche, on pourra alors reprendre la synthèse en vue, à ce moment seulement, de lui donner un caractère plus achevé.

Introduction

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LES OUTILS MÉTHODOLOGIQUES POUR L’ENSEIGNANT La méthodologie d’enseignement est expliquée de façon beaucoup plus détaillée que dans l’aperçu de la séquence. La méthodologie est annotée par de nombreux commentaires inspirés des essais réalisés dans les classes lors des expérimentations des activités.

Ces commentaires permettent de justifier et de préciser plusieurs aspects de la méthodologie, d’en justifier certaines facettes et d’attirer l’attention de l’enseignant sur quelques points particuliers.

De nombreuses illustrations accompagnent également cette méthodologie :

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des productions d’élèves 1 (dessins, énoncés reformulés, démarches de résolution, …) ; des exemples de synthèses ; des avis d’enseignants sur certaines parties des activités 2 ; etc.

1. 2.

Certaines productions d’élèves ont été clarifiées afin d’être rendues compréhensibles pour le lecteur. Ces commentaires ont été rédigés sur la base des avis émis par les enseignants lors des diverses réunions.

Introduction

201 RESPRO_8:401 Résoudre 9/4/2013 7:14 PM Page 18

3. La méthodologie d’enseignement proposée La méthodologie d’enseignement proposée au travers du document vise à fournir aux enseignants des outils pratiques ayant un double objectif : ■

développer chez les enfants des compétences propres à chaque phase du processus de résolution ; contrecarrer les stratégies superficielles peu compatibles avec la mise en œuvre d’une démarche efficace de résolution.

■

Une place importante est accordée à l’enseignement des différentes compétences, tout en évitant de les isoler au sein d’activités trop spécifiques. Ainsi, par exemple, dans chacune des situations, même si l’apprentissage visé se rapporte à l’une des quatre phases du processus, l’enfant est chaque fois amené à résoudre le problème. Cela permet ainsi d’intégrer chaque compétence au sein d’une démarche générale de résolution.

Par ailleurs, les activités amènent également à construire les apprentissages au départ des productions spontanées des enfants. On part donc de ce que les enfants savent déjà faire et on améliore leurs compétences en leur fournissant des outils plus efficaces pour mener à bien chacune des étapes de la résolution de problèmes.

Il ne suffit cependant pas de plonger les enfants dans des situations bien pensées pour que l’apprentissage se déroule sans heurts. En effet, que ce soit à l’école ou ailleurs, l’enfant a déjà été confronté à la résolution de problèmes et il a peut-être déjà élaboré des généralisations abusives (par exemple : chaque fois que je vois le mot «gagne», je fais une addition).

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En effet, de nombreuses recherches ont montré que les enfants étaient attirés, de manière superficielle, par certains éléments de l’énoncé. Cela influence négativement la résolution du problème.

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Il s’agit donc également de désapprendre ces présupposés liés à des démarches superficielles de résolution. Des activités visant spécifiquement un « désapprentissage » n’auraient aucun sens. L’important est de placer l’enfant dans des situations qui, au travers de l’apprentissage des compétences visées, déstabilisent leurs représentations erronées, leurs présupposés non fondés, leurs généralisations abusives. Le schéma présenté à la page 15 illustre le développement d’une démarche réflexive (c’est-à-dire basée sur une réelle analyse de la situation) de résolution. Les quatre phases de la démarche sont décomposées en différentes compétences qui permettent de développer les aspects qui nous sont apparus essentiels à ce niveau de l’apprentissage. Le répertoire des compétences à développer dans cet outil n’est pas exhaustif ; il est cependant suffisamment complet pour permettre à l’élève d’envisager plusieurs facettes de chacune des phases de la démarche de résolution de problèmes. La méthodologie proposée implique de développer en parallèle l’apprentissage intégré des différentes compétences et le « désapprentissage » des présupposés associés aux stratégies superficielles. Les deux aspects sont intimement liés dans la mesure où c’est au travers des activités visant explicitement l’apprentissage d’une compé-

Introduction

201 RESPRO_8:401 Résoudre 9/4/2013 7:14 PM Page 19

tence spécifique qu’on cherche à « toucher » les présupposés à désapprendre. Concrètement, l’idée sousjacente est que les problèmes proposés mettent en échec certaines stratégies superficielles et, partant de là, conduisent à une remise en cause de certains présupposés. Précisons l’interdépendance évoquée ci-dessus au départ de quelques exemples.

Au travers des activités portant sur l’apprentissage de la compétence « Repérer les éléments utiles à la communication d’un problème arithmétique », les problèmes proposés ont différentes caractéristiques : certains comportent des données inutiles pour la résolution, d’autres peuvent se résoudre de différentes façons, d’autres encore comportent des mots-clés qui induisent des opérations inappropriées. Envisager ces différents énoncés avec les élèves devrait donc permettre de déstabiliser les présupposés suivants :

■ ■

■

il n’y a qu’une et une seule façon de résoudre un problème ; résoudre un problème, c’est faire un calcul avec tous les nombres de l’énoncé ; on peut se fier aux mots-clés pour déterminer l’opération à effectuer ; la réponse au problème doit toujours être derrière le signe d’égalité.

■

■ ■

résoudre un problème c’est faire un calcul avec tous les nombres de l’énoncé; on peut se fier aux mots-clés pour déterminer l’opération à effectuer; dans un problème, les données importantes sont écrites en chiffres.

■

Un autre exemple peut être apporté au départ des situations envisagées pour développer la compétence « Représenter un problème à l’aide d’un dessin ». Elles comportent dans certains cas des données inutiles, des mots-clés inducteurs d’opérations erronées, ainsi que des données « cachées » (c’est-à-dire des données qui ne se présentent pas directement sous la forme d’un nombre). Dans ce contexte, ce sont les présupposés suivants qui sont remis en question :

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Les mêmes présupposés sont envisagés dans plusieurs activités, et même parfois à plusieurs reprises au sein d’une même séquence. Il n’est donc pas nécessaire d’envisager tous les problèmes présentés dans ce document pour mettre à mal les présupposés repris dans le schéma. Au terme de l’ensemble des séquences d’apprentissage, la diversité des problèmes proposés devrait permettre aux enfants de réaliser les différents « désappentissages », et ceci à plusieurs reprises et dans des contextes variés.

Introduction

201 RESPRO_8:401 Résoudre 9/4/2013 7:14 PM Page 20

Développement d’une démarche réflexive de résolution

➘

Par l’apprentissage INTÉGRÉ des diverses compétences requises

Par le désapprentissage de stratégies superficielles et des présupposés associés

Représentation ■ Représenter un problème à l’aide d’un dessin. ■ Représenter un problème en le racontant avec ses propres mots.

Il n’y a qu’une et une seule façon de résoudre un problème.

➘

Résoudre un problème c’est faire un calcul avec tous les nombres de l’énoncé.

On peut se fier aux mots-clés pour déterminer l’opération à effectuer.

Résolution ■ Lier la résolution à la représentation du problème. ■ Développer des démarches originales de résolution de problèmes. ■ Résoudre des problèmes variés. ■ Rechercher une ou plusieurs opérations qui permettent de résoudre un problème.

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Communication ■ Repérer les éléments utiles à une bonne communication de la solution d’un problème. ■ Communiquer la solution de façon adéquate dans un contexte particulier de présentation des résultats. Vérification ■ Développer des stratégies efficaces de vérification en envisageant une analyse centrée sur les trois étapes clés de la démarche réflexive de résolution.

Introduction

La réponse au problème doit toujours être derrière le signe d’égalité.

Tout problème n’a qu’une et une seule solution.

Résoudre un problème, c’est faire un calcul.

Dans un problème, les données importantes sont écrites en chiffres.

201 RESPRO_8:401 Résoudre 9/4/2013 7:14 PM Page 21

4. Petit guide de lecture… Plusieurs voies d’entrée permettent d’aborder cet ouvrage :

■ ■

■

une découverte linéaire permettant d’analyser l’ensemble de la démarche proposée ; un plongeon au cœur même d’une séquence d’activités ; une incursion guidée par le développement de certaines compétences transversales (voir « Index des compétences transversales ») ; une mise en jambe via des problèmes centrés sur des contenus spécifiques ou sur un moment particulier du cycle (voir « Index par contenus »).

■

Le lecteur intéressé par une présentation détaillée de la démarche proposée et de la philosophie sousjacente, ainsi que par des développements théoriques, choisira la première voie d’entrée. La lecture des quatre parties « De questions en réponses » explicitera les divers aspects abordés dans les séquences proposées. Il pourra ainsi choisir de façon éclairée les activités à réaliser en classe avec ses élèves. Les trois autres voies d’entrée sont plus directes.

L’entrée par une séquence d’activités permettra à l’utilisateur de découvrir d’emblée des situations concrètes. Nous lui conseillons alors de débuter par une séquence portant sur l’étape de représentation du problème dans la mesure où cette étape est fondamentale pour entrer pleinement dans une démarche efficace de résolution de problèmes. Une entrée par les compétences permettra une approche assez similaire. L’« Index des compétences transversales » permet en effet de repérer les compétences mises en œuvre dans chacune des séquences d’activités. La volonté de travailler tel ou tel ensemble de compétences pourra dès lors conduire au choix de telle ou telle séquence d’activités. Enfin, l’enseignant désireux de développer un contenu spécifique pourra consulter l’« Index par contenu » et repérer ainsi la (ou les) séquence(s) dans laquelle (lesquelles) ce contenu est abordé.

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■

Lorsque les activités auront été découvertes par l’une ou l’autre de ces voies d’entrées, le lecteur ressentira probablement l’envie d’en savoir plus et pourra alors consulter la partie « De questions en réponses » liée à la séquence développée.

Introduction

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LA REPRÉSENTATION

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DU PROBLÈME

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DE QUESTIONS EN RÉPONSES REPRÉSENTATION Les séquences d’activités La représentation dessinée

La reformulation écrite

Aperçu

Outils élèves

Outils enseignants

1. Pourquoi représenter un problème ? Pour bien comprendre le problème avant de le résoudre

■

De questions en réponses

■ ■ ■

Pas seulement une illustration de la situation Pas seulement un repérage des données utiles Pas seulement une illustration des opérations Mais... une organisation et une mise en relation des éléments essentiels à la résolution du problème

■

2. Que demande une bonne représentation ?

■ ■

3. Faut-il apprendre aux enfants à représenter un problème ? Oui, car la représentation est un processus complexe, qui n’est pas naturel Oui, mais pas face à n’importe quel problème

En construisant plusieurs outils... ... qui gardent trace de l’analyse du problème... ... et qui permettent de mieux comprendre les difficultés des enfants... ... puis en les dépassant

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4. Comment apprendre aux enfants à bien représenter un problème ? ■ ■ ■

La représentation du problème

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1. Pourquoi représenter un problème ? ■

Pour bien comprendre le problème avant de le résoudre

Le problème suivant a été proposé à 381 élèves de 8-10 ans.

Face à un problème, les enfants ont souvent envie de « foncer tête baissée » dans la résolution. Il faut rapidement trouver le calcul qui permettra de résoudre le problème. Certains élèves développent alors des stratégies superficielles : ils font, par exemple, un calcul avec tous les nombres de l’énoncé ou ils recherchent dans le texte des « mots-clés » qui guideront le choix de l’opération à effectuer.

Monique a joué deux fois aux billes. Elle a perdu 24 billes à la première partie et elle a perdu 8 billes à la deuxième partie. Combien de billes a-t-elle perdues en tout ? Environ un élève sur cinq a écrit que Monique a perdu 16 billes, parce que 24 billes – 8 billes = 16 billes.

Le mot « perdre » a probablement influencé ces élèves à effectuer une soustraction.

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■

les experts consacrent plus de la moitié du temps à comprendre le problème, ils ne s’engagent pas aveuglément dans l’application d’un algorithme de calcul et prennent beaucoup de temps pour analyser et explorer les données du problème ; les novices, quant à eux, prennent très peu de temps pour lire et comprendre le problème ; ils s’engagent très rapidement dans une stratégie de résolution qu’ils conservent souvent jusqu’à la fin.

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■

De nombreuses études en psychologie cognitive ont mis en évidence les caractéristiques des experts et des novices en résolution de problèmes. Une différence majeure s’observe au niveau de la démarche mise en œuvre :

En demandant à l’enfant de représenter un problème avant de le résoudre, on l’oblige à entreprendre une analyse approfondie de la situation. Il est ainsi amené à développer un comportement de type expert en résolution de problèmes.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 27

2. Que demande une bonne représentation ? ■

Pas seulement une illustration de la situation

Lorsqu’on demande pour la première fois aux élèves de représenter un problème en le dessinant ou en le racontant avec leurs propres mots (reformulation), bon nombre d’entre eux se contentent d’illustrer le contexte décrit dans la situation. Exemples de dessin et de reformulation réalisés par des élèves de 9-10 ans.

Stéphane et Kévin veulent acheter un jouet. Stéphane a 50 cents et Kévin, 2 euros. Kévin achète un sac de billes. Le vendeur lui rend 30 cents. Stéphane achète un paquet de pétards, le marchand lui rend 5 cents. Trouve le prix d’un sac de billes et d’un paquet de pétards.

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Dessin :

Reformulation :

On disait que Stéphane et Kévin allaient acheter des jouets dans un magasin. Kévin

a acheté des billes et Stéphane a acheté des pétards.

Ces productions témoignent d’une certaine forme de compréhension de la situation : le contexte est en effet correctement illustré.

Les illustrations de situations sont totalement insuffisantes pour être une aide utile à la résolution d’un problème. Elles sont loin de constituer une bonne représentation.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 28

■

Pas seulement un repérage des données utiles

Pour aider les élèves à résoudre les problèmes, on leur demande parfois de souligner les informations utiles. Cette démarche constitue-t-elle vraiment une aide à la résolution ? L’énoncé suivant a été proposé à 388 élèves de 8-10 ans.

On va te demander combien de fois Bernard a nagé dans la mer pendant son séjour. Bernard rentre de classes de mer. Il a tout noté. Il est parti 20 jours. Il y a eu 15 jours de soleil. Chaque jour de soleil, il a nagé 4 fois dans la mer. Il est allé aussi 3 fois à la piscine et il s’est fait 5 nouveaux amis. Combien de fois a-t-il nagé dans la mer pendant son séjour ? Souligne les informations utiles pour répondre à la question et résous le problème.

Souligner les données n’est pas toujours une étape indispensable à la résolution correcte : en effet, beaucoup d’enfants qui ont résolu correctement le problème ont souligné trop d’informations et certains en ont souligné trop peu. Par ailleurs, environ 20 % ont souligné les bonnes informations, mais se sont trompés dans la résolution. Il semble donc que « souligner les données utiles » ne constitue pas nécessairement une aide pour mieux résoudre les problèmes.

Pas seulement une illustration des opérations

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■

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En bref, construire une bonne représentation d’une situation problème, c’est bien plus que de simplement repérer les informations utiles ! Il faut également être attentif à la façon dont les données se combinent entre elles et avec l’inconnue à rechercher. L’importance à accorder aux relations entre les différents éléments du problème s’avère indispensable si l’on veut que la représentation aide réellement à la résolution du problème.

Lorsqu’on demande aux élèves de représenter un problème en le dessinant ou en reformulant l’énoncé, on constate que certains d’entre eux proposent des productions qui sont très proches des calculs à effectuer. Les élèves qui réalisent ce type de production ont sans doute bien compris le problème. Il est possible que la construction d’un dessin représentant la situation (ou d’une reformulation l’explicitant) ne leur soit pas nécessaire face au problème proposé.

S’il paraît inopportun de pénaliser ces élèves (puisqu’ils semblent avoir compris le problème), il faut toutefois rester conscient que ce type de production ne constitue pas une aide à la compréhension du problème. Les productions illustrant les opérations ne constituent pas de bonnes représentations et il ne convient nullement de s’y appuyer pour apprendre à construire des représentations efficaces.

La représentation du problème

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PREMIER CAS : LA REFORMULATION Hier, tous les élèves de l’école de Stéphanie sont allés voir un spectacle. Des autobus permettant de transporter 50 enfants et les accompagnateurs ont assuré le transport jusqu’à la salle. Tous les autobus étaient complets. Pendant le spectacle, les enfants ont beaucoup applaudi les artistes, surtout les 25 élèves de la classe de Stéphanie. Pendant ce temps, dehors, les 7 autobus attendaient l’heure de sortie. Combien y avait-il d’enfants dans la salle ?

On peut rencontrer une reformulation du type : « Il y a 7 bus de 50 places. Combien y a-t-il d’enfants dans la salle ? » Cette production est correcte dans le sens où on a dégagé les données utiles pour résoudre le problème, mais elle comprend beaucoup de sous-entendus : les enfants sont venus en bus voir le spectacle, tous les bus étaient complets, les accompagnateurs ne sont pas inclus dans les 50 places, ... On ne peut produire une telle reformulation que si on a déjà très bien compris le problème, voire si on l’a déjà partiellement résolu.

DEUXIÈME CAS : LE DESSIN

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Au cours d’un voyage, Pierre et sa sœur ont pris des photos. Pierre a utilisé un film de 24 photos. Il a constaté que 5 photos étaient ratées. Après avoir trié les photos, il décide d’en donner 3 à sa sœur. Elle lui en donne 6 en échange. Pierre range toutes les photos réussies dans son album. Combien de photos Pierre a-t-il rangées dans son album ?

Cet enfant a visiblement compris la situation puisqu’il l’a résolue correctement. Cependant, le dessin n’est pas une représentation de la situation de départ ; il présente la solution du problème.

Les « représentations » qui consistent en des illustrations des opérations ne sont pas vraiment des aides pour mieux comprendre les problèmes. Ce ne sont d’ailleurs pas de réelles représentations mais plutôt des « traductions » du processus de résolution.

La représentation du problème

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Mais... une organisation et une mise en relation des éléments essentiels à la résolution du problème Pour être une aide à la résolution du problème, la représentation doit dégager clairement plusieurs éléments :

■

ce qui pose problème, ce que l’on recherche. Il est en effet essentiel de bien interpréter la question posée ; des éléments de contexte. Cela permet de mieux situer le problème et ce sera utile lorsqu’il faudra communiquer la réponse ; les données qui semblent utiles pour répondre à la question posée et celles qui risquent de perturber la réflexion. L’élève doit avoir son attention attirée sur les données dites « perturbantes » : ce sont des données qui auraient pu être utiles si la question avait été différente. Une bonne représentation doit donc montrer que ces données ne sont pas intéressantes pour résoudre le problème ; les relations qui unissent les données entre elles. Cet aspect est également central, car c’est à travers une bonne compréhension des relations qui lient les données que l’enfant pourra dégager la démarche de résolution à mettre en œuvre.

■

Représentation du problème

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sous la forme de dessin

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Données importantes

sous la forme d'une formulation écrite

Données perturbantes

La représentation du problème

Question (ce qu'on cherche)

Relations

Éléments de contexte

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3. Faut-il apprendre aux enfants à représenter un problème ? ■

Oui, car la représentation est un processus complexe, qui n’est pas naturel

Pour s’en convaincre, voici une analyse détaillée des productions d’élèves dans une situation de reformulation, puis dans une situation de dessin.

PREMIER CAS : LA REFORMULATION

Nous avons demandé à 165 élèves de 8-10 ans d’expliquer l’énoncé suivant avec leurs mots afin de le résoudre plus facilement. Aujourd’hui, c’est l’anniversaire de David : il a 9 ans. A cette occasion, il décide d’acheter des bonbons. Ils seront 4 pour tout manger : John, Lucas, Stéphane et bien sûr David. David se décide à acheter un paquet à 3 euros contenant 20 bonbons et un autre à 2 euros contenant 12 bonbons. Combien chaque enfant mangera-t-il de bonbons ?

Pour produire une reformulation qui facilite réellement la résolution, les enfants devaient mentionner la question, les données utiles, les relations unissant ces dernières et quelques éléments de contexte.

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COMMENT RÉAGISSENT LES ENFANTS ?

La reformulation permet la résolution Seuls 4 élèves, (soit un peu plus de 2 %) aboutissent spontanément à une reformulation correcte.

Éd ■

C’est l’anniversaire de David. Il a 9 ans. Il va acheter deux paquets de bonbons. Dans

un des paquets, il y a 20 bonbons et dans l’autre, il y a 12 bonbons. Il va partager les

bonbons en 4 avec ses amis. Combien vont-ils manger chacun ?

■

Trente et un élèves (soit 19 %) ont proposé une reformulation correcte incluant, en plus des éléments essentiels, plusieurs données perturbantes. Il est possible de trouver la réponse sur base de ces reformulations, mais une analyse supplémentaire est encore nécessaire pour éliminer certaines données avant de résoudre le problème. C’est un jour David qui fête son anniversaire. A l’occasion, David décide d’inviter des

copains. Ils sont 4. Ils vont dans un magasin acheter des bonbons. Ils prennent deux sachets

de bonbons. Il y en a un à 3 euros où il y a 20 bonbons dedans et un autre à 2 euros

où il y a 12 bonbons dedans. Combien en ont-ils mangé chacun ?

La représentation du problème

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La reformulation ne permet pas la résolution Aucune autre reformulation écrite (soit environ 80 % des productions recueillies) ne permet de résoudre le problème. Quelques profils d’élèves se dégagent nettement dans ces reformulations. ■

18 % des élèves produisent une reformulation où la question manque. L’anniversaire de David, c’est aujourd’hui.

Ils sont 4: John, Lucas, Stéphane et David. David a été au magasin; il achète un paquet de

■

bonbons à 3 euros qui contient 20 bonbons et un autre paquet à 2 euros qui contient 12 bonbons.

30 % des élèves font des erreurs : 11 % interprètent mal les données utiles et expliquent que David a invité 4 amis et qu’ils seront 5 pour tout manger, 19 % formulent une mauvaise question : combien de bonbons mangeront-ils en tout ? Combien a-t-il payé pour les bonbons ? ...

Aujourd’hui, David a 9 ans, c’est son anniversaire. Il a alors acheté un paquet de 20

bonbons à 3 euros et un paquet de 12 bonbons à 2 euros. Il devra partager avec trois autres

enfants. En tout, ils doivent partager à quatre. Combien de bonbons vont-ils avoir en tout ? Aujourd’hui, c’est l’anniversaire de David.

A cette occasion, il invite 4 copains(ines). Il a acheté 20 bonbons à 2 euros et 12 bonbons

à 3 euros. Combien mangeront les enfants?

Rép.: 12 + 20=32: 5=6 et il reste 2 bonbons.

Dans 7 % des cas, les reformulations ne comprenant aucune donnée numérique utile : seules apparaissent des informations de contexte, accompagnées ou non de la question. Une telle reformulation n’aide pas à résoudre le problème.

■

C’est l’anniversaire de David et il a 9 ans et il va appeler John, Lucas et Stéphanie et

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ils veulent acheter des bonbons.

DEUXIÈME CAS : LE DESSIN

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Nous avons demandé à 377 élèves de 8-10 ans de représenter par un dessin le problème suivant. Au départ de la gare, 20 passagers sont assis dans le bus. Au premier arrêt, devant le magasin de jouets, 3 hommes montent dans le bus et 2 femmes descendent. Au deuxième arrêt, en face de la friterie, quelques personnes montent dans le bus et 2 enfants descendent. Le chauffeur redémarre avec 25 passagers dans le bus. Combien y a-t-il de personnes qui sont montées dans le bus en face de la friterie ? 1- Fais un dessin pour t’aider à comprendre le problème. 2- Trouve combien de personnes sont montées dans le bus en face de la friterie. Pour dessiner la situation de façon à faciliter la résolution, les enfants doivent représenter les personnes dans le bus, celles qui montent et qui descendent (en indiquant le sens du mouvement) et identifier l’inconnue (qu’est-ce qu’on cherche ?).

La représentation du problème

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COMMENT RÉAGISSENT LES ENFANTS ? Le dessin permet la résolution 5 % des enfants seulement produisent un dessin où apparaissent clairement les données et les relations entre celles-ci. ■

Jouets

Friterie

Gare

25 passagers

3 hommes 2 femmes

2 enfants

8 % illustrent la solution plutôt que de représenter la situation.

■

20 passagers

20 + 3 – 2 + ? – 2 = 25 19 + ? = 25

6 passagers montent

32 % des enfants proposent des dessins incomplets, oublient d’indiquer des relations (on ne voit pas si les gens montent ou descendent) et/ou des données importantes (par exemple, le nombre de personnes dans le bus au départ). 3 % proposent des dessins incorrects (données et/ou relations erronées). Dans 35 % des cas, les dessins ne représentent que des éléments du contexte, sans aucune donnée numérique (par exemple, un dessin d’un bus). 18 % des élèves ne proposent aucun dessin, malgré la consigne.

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■

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Le dessin ne permet pas la résolution

■ ■

■

Ces analyses montrent combien les outils d’aide à la représentation (dessin ou reformulation) doivent être enseignés. Les enfants ne les maîtrisent pas spontanément.

La représentation du problème

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■

Oui, mais pas face à n’importe quel problème

Dans le cas d’énoncés syntaxiquement très simples, où il n’y a pas de données perturbantes et où les relations entre les données apparaissent très clairement, la reformulation écrite et le dessin risquent de ne pas être d’une grande utilité. C’est notamment le cas pour l’exemple suivant.

Voici les points que Martine a obtenu au contrôle : 14/20 - 17/20 - 16/20. Quel est son total ?

Il est difficile de reformuler cet énoncé autrement qu’en le recopiant puisqu’il est déjà assez dépouillé (peu d’informations de contexte, pas de données inutiles, question et relations entre les données claires). Il paraît également difficile de dessiner cette situation.

La phase de représentation devient nécessaire lorsque les énoncés se complexifient et deviennent de véritables problèmes. En effet, ces derniers nécessitent une analyse approfondie car la solution n’apparaît pas d’emblée évidente.

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Afin que la reformulation et le dessin apparaissent comme des outils utiles à la résolution, il faut travailler sur de vrais problèmes. Il s’agit donc de proposer aux enfants des situations qui demandent une organisation des éléments essentiels : présence de données perturbantes, relations entre les données à clarifier, nécessité d’analyser la question, etc.

La représentation du problème

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4. Comment apprendre aux enfants à bien représenter un problème ? ■

En construisant plusieurs outils...

Dans les activités développées dans ce document, nous proposons deux outils pour apprendre à représenter les problèmes : la reformulation écrite et le dessin.

Face à certains problèmes, certains élèves n’ont pas besoin de recourir à une représentation extériorisée pour découvrir la solution du problème. Il paraît toutefois utile d’apprendre à tous les élèves à construire des outils de représentation : s’ils n’en ont pas besoin face à tel problème, ils en auront peut-être besoin face à tel autre...

Par ailleurs, il paraît également important d’ouvrir différentes perspectives aux élèves et de les amener à construire plusieurs outils. Ils auront ainsi davantage de chances de ne pas se trouver dépourvus face à la variété des situations problèmes qu’ils rencontreront. Ils disposeront dès lors d’un bagage de compétences plus riche et plus diversifié.

À eux de voir par la suite quel type de démarche leur convient le mieux.

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Les outils doivent permettre de mettre en évidence les aspects essentiels de la construction d’une représentation. En aucun cas, il ne convient de proposer des « dessins types » ou des « reformulations types ». Les outils doivent amener les élèves à reconnaître les éléments importants d’une « bonne » représentation. Cette représentation, pour autant qu’elle intègre ces éléments, pourra alors prendre des formes variées.

■

... qui gardent trace de l’analyse du problème...

Les activités de représentation menées oralement et collectivement (ex. analyse du problème sous forme de « questions-réponses », mime de la situation, reformulation orale du problème) peuvent éviter le développement de stratégies superficielles. En effet, elles obligent les élèves à analyser le problème avant de chercher un calcul. Toutefois, utiliser uniquement ces approches présente deux inconvénients majeurs : ■ ■

souvent, l’aspect collectif ne permet pas à tous les élèves de s’investir dans la tâche ; l’aspect oral empêche de garder des traces des premières productions d’élèves. Or, les traces écrites constituent une base précieuse pour construire les apprentissages.

Faire représenter un problème par un dessin ou demander de l’expliquer par écrit permet d’amener tous les élèves à élaborer par eux-mêmes une analyse du problème et de garder trace de ce travail préalable à la résolution.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 36

■

... et qui permettent de mieux comprendre les difficultés des enfants...

Lorsqu’un enfant résout un problème de façon incorrecte, il est parfois difficile pour l’enseignant de comprendre son erreur. Souvent, on corrige le problème au tableau et l’explication conduit à la réponse correcte. Bien qu’ils admettent la correction réalisée, certains enfants ne comprennent pas pour autant leur erreur.

... puis en les dépassant

■

Les dessins ou les reformulations écrites peuvent être une bonne manière d’analyser la démarche de l’élève et de voir ce qui lui a réellement posé problème. L’enseignant pourra alors remédier de manière plus fine à la difficulté de l’enfant.

Après l’apprentissage, sensibilisés aux caractéristiques d’une bonne représentation, les élèves devraient être plus performants dans la construction d’une représentation mentale des situations problèmes.

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Face à chaque situation rencontrée, l’élève devra alors évaluer s’il peut se contenter de se représenter mentalement le problème ou si la concrétisation d’une représentation, sous la forme d’un dessin ou d’une reformulation, pourra l’aider à mieux comprendre le problème.

La représentation du problème

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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS A. LA REPRÉSENTATION DESSINÉE 1. Aperçu de la séquence REPRÉSENTATION La représentation dessinée

De questions en réponses

Aperçu

Les séquences d’activités

La reformulation écrite Aperçu

Ce qui est visé…

Représenter un problème à l'aide d'un dessin en dégageant : ■ les éléments de contexte, ■ la question, ■ les données nécessaires pour résoudre le problème, ■ les relations qui unissent les données entre elles et avec l'inconnue à rechercher.

apprendre

Outils enseignants

Outils élèves

iti

Résoudre un problème, c'est faire un calcul avec tous les nombres de l'énoncé. Dans un problème, les données importantes sont écrites en chiffres. On peut se fier aux mots-clés pour déterminer l'opération à effectuer.

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désapprendre

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 38

Organisation de la séquence Les grandes étapes

Durée Choisir un problème de l’étape 1. ■ Reproduire le(s) dessin(s) choisi(s) en grand au tableau ou le(s) faire dessiner par les élèves.

50 min

■

 Résolution d’un problème et réalisation d’un dessin qui explique le problème et qui peut aider à le résoudre.  Exploitation des dessins produits par les élèves. I Cette étape peut se réaliser soit au départ de l’analyse critique d’un dessin, soit en partant de la confrontation de plusieurs dessins.  Vérification de sa solution en fonction de l’analyse qui vient d’être réalisée.  Correction du problème et confrontation des démarches de résolution.  Réinvestissement. IL’étape 1 doit être réalisée plusieurs fois avec des problèmes variés.  Ébauche de synthèse.

Compléter une première fois la feuille de synthèse. Pour m’aider à résoudre un problème, je peux faire un dessin.

■

 Réalisation de l’activité.  Confrontation des productions et argumentation des choix.  Exploitation des productions des élèves et corrections.  Réalisation de la synthèse : compléter la synthèse de l’étape 1. I L’étape 2 doit être reproduite pour les trois activités proposées.

Éd

iti

2. Analyse approfondie de diverses représentations dessinées.

1. Familiarisation avec la démarche de représentation dessinée et mise en évidence des caractéristiques d’une bonne représentation.

Le déroulement

La représentation du problème

Distribuer les feuilles pour l’étape 2.

■

50 min

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2. Les outils d’apprentissage pour les élèves1 REPRÉSENTATION Les séquences d’activités La reformulation écrite

Aperçu

La représentation dessinée Outils élèves

Outils élèves

Outils enseignants

Étape 1

De questions en réponses

Domaine mathématique

Les achats d’Elodie (version courte)

Nombres et opérations

Les achats d’Elodie (version longue)

Nombres et opérations

Le voyage scolaire

Nombres et opérations

Problème qui porte sur la recherche d’un terme intermédiaire (a+b+ ?=c).

La photo de Pierre

Nombres et opérations

Problème qui permet de mettre en évidence l’importance des relations entre les données (A donne quelque chose à B ou B donne quelque chose à A).

Grandeurs (longueurs)

Problème qui débouche sur une double solution (la maison de Loïc est soit à 200 m, soit à 600 m de la maison de Lucien).

Nombres et opérations

Éd

Vincent joue aux billes

1. 2.

Problème qui porte sur la recherche du terme initial ( ?-a-b=c). Idem que la version courte. Problème qui comporte une donnée numérique perturbante.

iti

Les longueurs

Particularités

Problèmes proposés

Idem concernant l’importance des relations. Problème qui propose des mots-clés non congruents aux opérations (gagner/perdre).

Journée « Bus gratuits »

Nombres et opérations

Problème qui propose des données cachées (données numériques importantes présentées sous une forme non chiffrée).

L’entraînement de volleyball

Grandeurs (périmètres et longueurs)

Enoncé qui ne fournit pas toutes les données nécessaires à la résolution du problème (il manque les dimensions du terrain de volley). Problème qui permet 2 solutions (2 possibilités aboutissent à la même longueur, il faut donc définir un autre critère de choix).

Les Simpson

Nombres et opérations

Idem concernant l’importance des relations. Problème qui porte sur la recherche d’un terme intermédiaire (a+b- ?=c).

Les lapins 2

Grandeurs (kg, l,...).

Problème qui nécessite des conversions d’unités.

Les problèmes proposés sont disponibles sur le site instit.deboeck.com . Ce problème est inspiré d’un problème proposé dans le manuel « Cracks en maths » – Editions De Boeck.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 40

Domaine mathématique

Particularités

La fancy-fair

Solides et figures (organisation de l’espace)

Enoncé qui ne fournit pas toutes les données nécessaires à la résolution du problème (dimensions de la classe, de la table de ping-pong et du baby-foot). Problème qui offre de multiples solutions (selon l’organisation choisie) et qui pourrait s’avérer impossible (classe trop petite).

Les cadres déformés 1

Solides et figures (formes géométriques)

Problème ouvert invitant à généraliser le champ des solutions possibles.

La visite du zoo

Solides et figures (se déplacer sur un plan)

Problème sans données numériques.

Étape 2 Domaine mathématique

Le grand magasin

Nombres et opérations

Rachid et Frédéric jouent aux billes

Nombres et opérations

Le magasin de jouets

Nombres et opérations

Particularités

Problème qui contient des données perturbantes et qui met l’accent sur l’importance de la question.

Problèmes proposés

Problème qui met l’accent sur les relations entre les données.

Problème qui met l’accent sur les données importantes et sur les relations qui les unissent.

Éd

iti

Feuille de synthèse à compléter. Pour m’aider à résoudre un problème, je peux faire un dessin. A quoi faut-il être attentif lorsque je représente un problème par dessin ?

Ce problème est inspiré d’un problème proposé dans le manuel « Cracks en maths » – Editions De Boeck.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 41

3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant REPRÉSENTATION Les séquences d’activités La reformulation écrite

La représentation dessinée

De questions en réponses

Aperçu

Aperçu Outils élèves

Outils enseignants

Outils élèves

Étape 1 – Familiarisation avec la démarche de représentation dessinée et mise en évidence des caractéristiques d’une bonne représentation Résolution du problème et réalisation d’une première représentation dessinée ■

Lire l’énoncé à voix haute.

Demander aux élèves d’essayer de résoudre le problème individuellement et mettre en commun les différentes réponses.

iti

■

En présentant le problème, s’en tenir à des questions de compréhension globale (explication de certains mots) sans induire d’analyse de l’énoncé (pas de questions du type : qu’est-ce qu’on sait ? Qu’est-ce qu’on demande ?) sinon on ne permet pas à chaque élève de construire lui-même une analyse du problème ; le travail futur de confrontation des représentations serait alors moins riche.

Éd

Il est conseillé d’utiliser un énoncé relativement complexe de façon à ce que tous les élèves ne trouvent pas directement la solution correcte. Lors des premiers essais réalisés dans les classes, nous demandions directement aux enfants de faire un dessin qui permettrait de résoudre plus facilement le problème. Nous avons alors constaté que certains élèves ne voyaient pas l’utilité de cette tâche, puisqu’ils n’en avaient pas besoin pour résoudre le problème. Nous avons alors décidé de partir de la résolution afin de faire prendre conscience aux enfants de certaines difficultés : tous les élèves n’ont pas trouvé la même réponse, il faut donc faire un dessin pour expliquer le problème. On peut ainsi justifier à leurs yeux l’intérêt de l’activité.

■

Demander aux élèves de faire un dessin qui explique le problème et qui peut aider à le résoudre. Cette tâche doit se réaliser individuellement.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 42

La consigne est très importante car il faut que l’enfant sache que le dessin à réaliser doit permettre de résoudre le problème. Le travail doit se réaliser individuellement pour que chacun puisse s’investir personnellement dans la tâche, avec son regard propre. Passer dans les bancs et observer les dessins des enfants (ne pas les aider ou commenter leur travail). Plusieurs questions peuvent guider l’enseignant lorsqu’il analyse les productions des élèves :

■

 les dessins comportent-ils toutes les données utiles ?  les relations entre les données sont-elles visibles ?  y a-t-il des erreurs ?  la question apparaît-elle dans le dessin : l’inconnue est-elle identifiable sur les dessins ?

Cette première analyse est importante car, pour la phase de confrontation, certains dessins seront plus riches à exploiter que d’autres.

Exploitation des dessins produits par les élèves

Procéder à une exploitation des dessins. Deux voies sont possibles

iti

1) Exploitation du dessin d’un élève

Éd

Avantage : « Facile » à gérer et cela peut être riche si on part d’un dessin à compléter. Inconvénient : Pas de confrontation des différentes représentations. ■

Envoyer un élève faire son dessin au tableau.

Choisir un dessin intéressant à exploiter. Ne pas prendre le dessin d’un élève qui a simplement dessiné la solution. Ce type de dessin n’aide pas à mieux comprendre le problème. Ne pas prendre un dessin totalement complet et correct car il risque alors de passer, aux yeux des autres élèves, comme un modèle à imiter dans toutes les situations. Prendre un dessin assez incomplet ou comportant des erreurs de manière à le compléter et à le corriger collectivement : un dessin où il manque des données numériques, où les relations entre les données n’apparaissent pas, où l’inconnue n’est pas identifiée, ...

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 43

■

Demander à l’élève d’expliquer son dessin. Ceci peut amener à constater que l’élève explique des éléments importants qui n’apparaissent pas sur le dessin (ex. « il donne... » mais on ne le voit pas sur le dessin).

■

Demander aux autres élèves ce qu’ils pensent du dessin :

 est-ce qu’on comprend bien l’histoire ?  est-ce que tout y est ?  est-ce qu’on peut raconter l’histoire au départ du dessin ?, ...

2) Confrontation de plusieurs dessins

Se mettre d’accord sur les modifications à apporter. Ecrire en dessous du dessin ce qui a été modifié (ex : on a ajouté la question, des données numériques, des flèches pour relier les données...).

■

Avantage : Confronter différentes représentations. Inconvénient : Plus difficile à gérer : choisir des dessins intéressants, les comparer, ... Demander à quelques élèves de venir recopier leur dessin au tableau.

■

Exploiter séparément chaque dessin.

iti

■

Choisir des dessins contrastés afin d’exploiter différents thèmes : par exemple, un dessin où il manque des données numériques, un autre où il manque des relations, un dessin où il y a des erreurs.

Éd

 Demander à l’auteur du dessin d’expliquer le dessin ou poser la question à un autre élève. Cela permettra de mettre en évidence les éléments implicites qui ne sont pas présents sur le dessin mais qui sont expliqués oralement par l’enfant.

 Analyser le dessin avec les élèves. Est-ce que le dessin aide à résoudre le problème ? Tous les éléments dont on a besoin figurent-ils sur le dessin ? Que faut-il ajouter ? Que faut-il modifier ?

 Se mettre d’accord avec la classe sur les modifications à apporter au dessin et écrire en dessous ce qui a été modifié. Correction de la résolution du problème ■

Demander aux élèves de vérifier leurs solutions en fonction de l’analyse réalisée.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 44

■

Exploiter collectivement les résolutions : mettre en évidence les différentes démarches qui ont été mises en œuvre par les enfants. Cela permettra de montrer qu’il n’y a pas qu’une et une seule façon de résoudre un problème.

Réinvestissement Reproduire la première étape de la séquence plusieurs fois avec des problèmes variés.

Lorsque l’activité est reproduite avec de nouveaux problèmes, il peut être intéressant d’apporter quelques modifications à la méthodologie (notamment afin de favoriser les confrontations en sous-groupes). Voici trois propositions de gestion de l’activité. Proposition 1

Les élèves réalisent individuellement une représentation dessinée. On leur propose ensuite de se placer en petits groupes et d’essayer de se mettre d’accord sur la réalisation d’une représentation qu’ils devront reproduire sur une affiche. Les réalisations de chaque groupe seront alors complétées et débattues collectivement. Proposition 2

iti

Les élèves se répartissent en groupes de manière à obtenir un nombre pair de groupes. Chaque groupe réalise une représentation. Les représentations construites par les différents groupes sont ensuite échangées deux à deux (le groupe 1 échange son dessin avec le groupe 2, les groupes 3 et 4 s’échangent leurs dessins, etc.). Chaque groupe doit alors débattre de la pertinence de la représentation qu’il a reçue et, si nécessaire, proposer des modifications. Les différents groupes débattent alors de leurs analyses et de leurs propositions de modifications (les groupes 1 et 2 se mettent ensemble ; idem pour les groupes 3 et 4, etc.).

Éd

Proposition 3

La moitié des élèves reçoit un problème et l’autre moitié de la classe, un autre. On s’arrange pour que chaque élève reçoive un problème différent de son voisin. Chaque élève construit une représentation dessinée du problème qu’il a reçu. Les représentations sont ensuite échangées avec le voisin (qui n’a pas eu connaissance de l’énoncé du problème correspondant au dessin). Il s’agit alors de reformuler le problème (c’est-à-dire de le raconter oralement ou par écrit) sur la base de la représentation dessinée. On pourra alors rendre compte de la clarté de la représentation et la compléter pour lever les éventuelles ambiguïtés.

Ébauche de la Synthèse  L’étape de synthèse est très importante car elle permet de clarifier les éléments qui doivent apparaître sur le dessin pour qu’il aide à résoudre le problème. Il s’agit donc de prendre du recul par rapport à la situation et de repérer les éléments qui doivent apparaître sur le dessin. La synthèse se construit progressivement tout au long de la séquence. Elle est ébauchée sur

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 45

la base des différents problèmes résolus durant l’étape 1 ; elle sera complétée après l’étape 2 (Analyse approfondie de diverses représentations dessinées). Demander aux élèves de répondre (individuellement ou en groupes) à la question suivante : après tout le travail d’analyse que nous venons de réaliser, à quoi faut-il être attentif lorsqu’on dessine un problème si on veut que le dessin aide à résoudre le problème ? Les réponses obtenues serviront à élaborer la synthèse.

■

La synthèse doit amener les élèves à identifier les éléments suivants :

■

 le contexte du problème (de quoi parle-t-on ?) ;  les données importantes (cela peut être des noms d’enfants, des données numériques,...) ;  ce qui lie les données entre elles ;  ce que l’on recherche.

Cette synthèse doit être le produit de la réflexion des enfants. Elle doit être exprimée dans un langage qui leur est familier : il faut prendre garde de ne pas les conduire trop vite vers une formalisation qui n’évoquerait rien pour eux.

Classification des types de dessins que l’on pourrait rencontrer. Les analyses des premiers dessins d’enfants, nous ont permis de créer plusieurs catégories. Certains enfants réalisent un dessin de la situation : si on parle d’un magasin de jouets, ils vont représenter celui-ci. La plupart du temps, ces dessins ne comportent pas de données numériques et ne sont d’aucune utilité pour aider à résoudre le problème.

Éd

iti

■

Un autre type de dessin consiste à dessiner la solution ou le calcul. Ces dessins sont souvent proposés par des enfants qui ont pu résoudre le problème mais qui ne parviennent pas à dessiner la situation (ou n’en voient pas l’intérêt).

■

D’autres enfants proposent des dessins comportant certaines données numériques ou certaines relations mais pas toutes. Ces dessins ne permettent pas non plus de résoudre le problème mais ils apportent cependant des éléments importants qui peuvent aider à le résoudre. Ces dessins sont intéressants pour les phases d’exploitation.

■

Certains enfants proposent également des dessins incorrects, traduisant souvent une mauvaise compréhension des relations impliquées. Ce type de représentation risque de conduire à une résolution erronée du problème. Il est également intéressant d’utiliser des dessins de ce type pour l’exploitation collective.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 46

■

Un dernier type de dessin est le dessin complet et correct. Ce dessin correspond à une représentation du problème qui aide à résoudre celui-ci. Il comporte des informations de contexte, les données nécessaires, les relations entre ces données et soit l’indication de l’inconnue à trouver (par un « ? » par exemple) soit la réponse au problème 1.

Les analyses ont clairement mis en évidence que, avant tout apprentissage de la représentation dessinée, la plupart des enfants proposent un dessin de situation. Quelques élèves réalisent un dessin de solution. Quant aux autres dessins, ils comportent des erreurs dans les données numériques ou dans les relations. Presque aucun enfant ne propose spontanément un dessin complet et correct.

Éd

iti

La classification est illustrée dans les pages suivantes au départ de deux situations : « Les photos de Pierre » et « Les Simpson ».

Idéalement, la représentation de la situation ne devrait pas contenir la solution du problème (puisque celle-ci n’est pas proposée dans l’énoncé mais seulement obtenue après la résolution proprement dite). Les observations des activités en classe et les analyses de productions d’élèves ont toutefois amené à constater que bon nombre d’élèves avaient tendance à représenter la solution sur le dessin, et ceci, de manière à obtenir une situation tout à fait complète.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 47

Les photos de Pierre Au cours d’un voyage, Pierre et sa sœur ont pris des photos. Pierre a utilisé un film de 24 photos. Il a constaté que 5 photos étaient ratées. Après avoir trié les photos, il décide d’en donner 3 à sa sœur. Elle lui en donne 6 en échange. Pierre range toutes les photos réussies dans son album.

Combien de photos Pierre a-t-il rangées dans son album ?

Éd

iti

A. Dessin de la situation (sans données numériques)

Ce dessin illustre le contexte évoqué dans le problème : on parle de photos. Aucune donnée numérique n’apparaît sur le dessin. Il n’est d’aucune utilité pour aider à résoudre le problème.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:04 PM Page 48

B. Dessin présentant quelques données numériques mais étant incomplet

Le dessin est incomplet : il manque les 24 photos de départ et les 5 photos ratées. La résolution du problème sur base du dessin est donc impossible.

Éd

iti

C. Dessin de la solution

Le dessin ne représente pas la situation de départ ; il accompagne simplement la résolution (qui comporte d’ailleurs une erreur de calcul : « 23 » au lieu de « 22 »).

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 49

Dessin complet et correct

1) Outil de représentation

Le dessin représente bien les différents éléments de la situation ainsi que les relations (3 pour sa sœur et 6 pour son frère). Ce dessin est une réelle aide à la résolution du problème.

Éd

iti

2) Outil de représentation et de résolution

Dans ce cas, le dessin combine la représentation et la résolution (étape par étape).

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 50

Éd

iti

E. Dessin incorrect

En plus d’être incorrect, ce dessin est également incomplet. L’enfant n’a pas représenté les 24 photos de départ. Une erreur se situe au niveau des relations : les flèches représentant les échanges avec la sœur sont inversées. Enfin, le nombre de photos dessinées dans l’album (15) ne correspond ni à la solution attendue (22), ni au dessin incomplet et incorrect représenté (16 si on compte 24 - 5 + 3 - 6 = ?).

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 51

Les Simpson Pascal collectionne des photos de la série « Les Simpson ». Il a déjà 25 photos différentes. Son copain Hassan lui donne 8 nouvelles photos. Pascal les trie et remarque qu’il en a certaines en double. Il les donne à Leila. Après cela, il recompte toutes ses photos et constate qu’il en a 30. Combien de photos a-t-il données à Leila ?

A. Dessin de la situation (sans donnée numérique)

iti

Ce dessin illustre uniquement le contexte évoqué dans le problème : on parle de deux enfants et de photos. Il n’est d’aucune utilité pour aider à résoudre le problème.

Éd

B. Dessin présentant quelques données numériques mais étant incomplet.

Le dessin présente plusieurs données numériques (y compris la solution : 3) mais n’indique aucune relation (qui donne à qui ?).

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 52

C. Dessin de la solution

Le dessin proposé par l’enfant n’est pas une représentation de la situation. C’est le calcul qui est illustré par des dessins.

Éd

iti

D. Dessin complet et correct

Le dessin représente toute la situation (y compris la solution) sous forme de bande dessinée.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 53

E. Dessin incorrect

Le dessin est incorrect : c’est normalement après avoir donné les photos à Leila que Pascal a 30 photos ! De plus, il est également incomplet : il manque les 25 photos de départ et la relation indiquant que Hassan donne les photos à Pascal.

Étape 2 - Analyse approfondie de diverses représentations dessinées

Les trois exercices proposés au sein de l’étape 2 ont pour objectif d’exploiter plus finement certains aspects des représentations dessinées : la question posée (« Le grand magasin »), les relations entre les données (« Rachid et Frédéric jouent aux billes »), les données importantes du problème (« Le magasin de jouets »).

■

iti

Travail individuel et premières confrontations en petits groupes Proposer la situation aux enfants et s’assurer de la bonne compréhension des consignes.

Éd

Attention, éviter de poser des questions induisant une analyse collective du problème.

■

Laisser les enfants travailler seuls sur l’activité (ou éventuellement à deux).

■

Par petits groupes, demander aux enfants de confronter leurs productions et d’argumenter leurs choix.

Exploitation collective des productions ■

Faire expliquer par les élèves la représentation dessinée : que dit le dessin ?

■

Corriger les productions des enfants et organiser un débat sur chaque situation afin que les enfants développent leur raisonnement (ceci devrait être facilité par le travail réalisé préalablement en sous-groupes).

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 54

Pour « Le grand magasin » :

■

demander aux enfants quelle est la question qu’ils ont inventée pour chaque dessin ; se mettre d’accord en groupe-classe sur une question par dessin et résoudre le problème ainsi formulé ; on peut également prolonger l’exploitation en demandant aux enfants de trouver d’autres questions qui pourraient être posées sur la base de l’énoncé proposé. Quel dessin pourrait-on alors réaliser ?

Pour « Rachid et Frédéric jouent aux billes » : ■

demander à quelques enfants d’expliquer l’erreur qu’ils ont trouvée ; faire valider par la classe : que « dit » le dessin si on corrige l’erreur ? Estce qu’alors le dessin « dira » la même chose que l’énoncé ?

■ ■

Pour « Le magasin de jouets » :

demander aux enfants les solutions trouvées ; les faire valider par la classe : que raconte le dessin ? Qui est Kévin ? Qui est Stéphane ?

Synthèse

Après chaque situation, amener les élèves à compléter la synthèse réalisée à la suite de la première étape de l’activité.

■

iti

Pour « Le grand magasin », attirer l’attention des enfants sur le rôle de la question dans l’élaboration du dessin : pour un même énoncé, on peut trouver plusieurs dessins. La question permet de savoir ce qu’on cherche et aide à trouver les informations qui seront utiles pour résoudre le problème.

Éd

Pour « Rachid et Frédéric jouent aux billes », attirer l’attention sur la bonne compréhension des relations entre les données : pour réaliser un bon dessin, il ne suffit pas de trouver les bonnes données, il faut encore bien comprendre comment elles sont liées entre elles. Pour « Le magasin de jouets », insister sur les données nécessaires à la résolution.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 55

Exemples de production d’élèves.

Le grand magasin

Lis l’énoncé suivant.

Thomas entre dans un grand magasin. Il est 9 h 30. Il a un billet de 50 euros dans son portefeuille. Il choisit trois petites voitures. Le prix est indiqué : 9 euros la voiture. La caissière lui demande 27 euros. Au rayon des jeux de construction, Thomas achète une boîte de lego à 4 euros. Il regarde ensuite le prix des crayons. Un crayon coûte 1 euro, il en choisit 5. Il regarde l’heure : vite, il doit se dépêcher car sa maman l’attend devant le magasin à 10 h 15, dans 5 minutes !

Céline a dessiné le problème de deux façons différentes afin de répondre à deux questions. Retrouve la question correspondant à chaque dessin et réponds-y.

J'achète 3 voitures

50 euros

Tu me dois 27 euros

4 euros

Éd

iti

27 euros 1 euro pour un crayon

Question correspondant au deuxième dessin et réponse à la question Combien la caissière va rendre à Thomas?

50 euros-27 euros=23 euros

Question correspondant au deuxième dessin et réponse à la question Combien Thomas va payer en tout?

27 euros+4 euros + (5 x 1 euros)=36 euros.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 56

Rachid et Frédéric jouent aux billes Lis le problème suivant.

Que s’est-il passé lors de la partie de l’après-midi ?

Rachid a un gros sachet de 20 billes. Frédéric, lui en a 13. A la récréation, les deux enfants jouent une première partie : Frédéric gagne 5 billes. Les deux amis jouent une deuxième partie et Rachid perd 10 billes. Après-midi, ils jouent encore une nouvelle partie tous les deux. Quand Rachid rentre chez lui, il compte ses billes. Il en a 22.

Éd

iti

Lucas a dessiné le problème. Il a commis une erreur. Corrige-la et résous le problème.

Trouve la réponse au problème.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 57

Le magasin de jouets Lis le problème suivant. C’est mercredi, Kévin et Stéphane se promènent dans le quartier. Ils rentrent dans un magasin de jouets. Ils ne savent pas ce qu’ils peuvent acheter avec l’argent dont ils disposent. Le marchand leur propose d’acheter un sac de billes et une petite voiture.

Anna a dessiné la situation. Essaie de bien comprendre son dessin puis, à l’aide du dessin, complète l’énoncé du problème.

2 euros (200 cents)

30 cents

50 cents

5 cents

45 ? cents

? euros 1,7

iti

C’est mercredi, Kévin et Stéphane se promènent dans le quartier. Ils rentrent dans le magasin de jouets. Ils ne savent pas ce qu’ils peuvent acheter. Le marchand s’impatiente. Il dit à Kévin :

Éd

2 les billes – « Toi , tu as …… euros, tu peux acheter ………………… .» – « D’accord » répond Kévin. Le marchand lui rend 30 cents. Il s’adresse ensuite à Stéphane : 50 – « A toi maintenant, tu as ……… cents. Tu peux acheter une petite voiture ». – « D’accord » répond Stéphane. 5 Le marchand lui rend ……… cents. Les garçons essaient de savoir combien coûtent un sac de billes et une petite voiture. Et ils y arrivent ! Fais comme eux, trouve le prix d’une petite voiture et d’un sac de billes.

Combien coûte un sac de billes et quel est le prix de la petite voiture ? 1) 200 cents-30 cents=175 cents (1 euros et 75 cents). Le sac de billes coûte 1,75 euros. 2) 50 cents-5 cents=45 cents. La voiture coûte 45 cents.

La représentation du problème

202 RESPRO_8:402 Résoudre 9/4/2013 5:05 PM Page 58

Exemples de synthèse réalisée dans une classe.

Éd

iti

À quoi faut-il être attentif lorsque je représente un problème par dessin ?

Il ne s’agit que d’un exemple de synthèse réalisée dans une classe. Ceci ne doit en rien servir de modèle. D’autres formulations sont possibles et des précisions peuvent encore être apportées.

La représentation du problème

203 RESPRO_8:403 Résoudre 9/4/2013 5:59 PM Page 59

B. LA REFORMULATION ÉCRITE 1. Aperçu de la séquence REPRÉSENTATION La représentation dessinée

De questions en réponses

Aperçu

Les séquences d’activités

La reformulation écrite Aperçu

Ce qui est visé…

Représenter un problème en le racontant avec ses propres mots, en dégageant les éléments de contexte, la question, les données nécessaires pour résoudre le problème, les relations qui unissent les données entre elles et avec l’inconnue à rechercher.

apprendre

Outils enseignants

Outils élèves

Résoudre un problème, c'est faire un calcul avec tous les nombres de l'énoncé. Dans un problème, les données importantes sont écrites en chiffres.

Éd

iti

désapprendre

La représentation du problème

203 RESPRO_8:403 Résoudre 9/4/2013 5:59 PM Page 60

Organisation de la séquence Les grandes étapes

Durée Choisir un problème de l’étape 1. ■ Copier l’énoncé choisi au tableau.

30 min

■

 Reformulation et résolution d’un problème. I Les élèves lisent l’énoncé inscrit au tableau et essayent de bien le comprendre. L’enseignant cache ensuite l’énoncé et les élèves l’expliquent par écrit. L’énoncé est ensuite à nouveau présenté aux élèves afin qu’ils résolvent le problème.  Correction de la résolution du problème.  Exploitation des reformulations produites par les élèves. I L’enseignant choisit trois reformulations contrastées. I L’exploitation collective est guidée par des questions portant principalement sur la possibilité de résoudre le problème sur la base de la reformulation.  Réinvestissement. I L’étape 1 doit être réalisée plusieurs fois avec des problèmes variés.  Première ébauche d’une synthèse permettant de dégager les éléments constitutifs d’une bonne représentation.

Reproduire les reformulations choisies au tableau (les photocopier en format A3 ou les recopier).

■

Éd

iti

1. Familiarisation avec la démarche de reformulation écrite et mise en évidence des caractéristiques d’une bonne représentation.

Le déroulement

2. Exploitation des reformulations écrites.

 Réalisation des exercices proposés.  Exploitation des productions des élèves.

 Réalisation de la synthèse : compléter la synthèse de l’étape 1.

La représentation du problème

Ebaucher la feuille de synthèse. Pour m’aider à résoudre un problème, je peux l’expliquer avec mes mots.

■

Choisir un problème de l’étape 2. ■ Recopier au tableau les énoncés et les reformulations I ceci est important pour gérer l’exploitation. ■ Compléter la feuille de synthèse. ■

40 min

203 RESPRO_8:403 Résoudre 9/4/2013 5:59 PM Page 61

Choisir deux problèmes de l’étape 3. I Donner un problème à la moitié des groupes et l’autre problème à l’autre moitié. ■ Recopier les énoncés d’origine au tableau. ■

50 min

 Par groupe, reformuler par écrit un énoncé ; échanger la reformulation avec un groupe qui a reformulé un autre problème ; résoudre le problème sur la base de la reformulation de l’autre groupe.  Résolution des deux problèmes sur la base des énoncés d’origine.  Exploitation des reformulations et des résolutions proposées par les différents groupes.  Réalisation de la synthèse (compléter la synthèse ébauchée aux deux premières étapes).

Compléter la feuille de synthèse.

■

Éd

iti

3. Échange de reformulations.

La représentation du problème

203 RESPRO_8:403 Résoudre 9/4/2013 5:59 PM Page 62

2. Les outils d’apprentissage pour les élèves1 REPRÉSENTATION DE QUESTIONS EN RÉPONSES

La représentation dessinée

La reformulation écrite

Aperçu

De questions en réponses

Les séquences d’activités Aperçu

Étape 1 Problèmes proposés Domaine mathématique Nombres et opérations

Le spectacle comique

Nombres et opérations

Le grand prix de Formule 1

Nombres et opérations

Le livre de Sylvain

Problème qui présente des données numériques perturbantes. Problème qui présente des données cachées (données numériques importantes présentées sous une forme non chiffrée). Problème impossible à résoudre parce qu’il manque une donnée (le nombre de pages arrachées dans le livre).

Nombres et opérations

Problème qui présente des données cachées (données numériques importantes présentées sous une forme non chiffrée).

Nombres et opérations

Problème qui présente des données cachées (données numériques importantes présentées sous une forme non chiffrée).

Le magnétoscope 2

Grandeurs (durées)

Problème qui présente des données numériques perturbantes et qui permet plusieurs solutions (selon la marge de « prudence » de celui qui programme le magnétoscope).

Le lit du géant

Grandeurs (calculs d’aires)

Problème qui nécessite des conversions d’unités (m et cm).

Madame Grandivite

Traitement de données (lecture de tableaux)

Problème qui présente une masse de données (sous forme d’un tableau) parmi lesquelles il convient de repérer les données pertinentes.

Éd 1

Problème qui contient des données numériques perturbantes et qui permet plusieurs solutions (selon que le partage soit équitable ou non).

Nombres et opérations

iti

Le spectacle de Halloween Le zoo

Particularités

L’anniversaire de David

L’anniversaire de David Nombres etOutils opérations Problème qui contient des données numériques perturélèves Outils élèves bantes et qui permet plusieurs solutions (selon que le partage soit équitable ouOutils non). Outils enseignants enseignants

Les problèmes proposés sont disponibles sur le site instit.deboeck.com . Ce problème est inspiré d’un problème proposé dans le manuel « Cracks en maths » – Édition De Boeck.

La représentation du problème

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Etape 2 Domaine mathématique

Particularités

Le déjeuner de dimanche

Nombres et opérations

Problème qui présente des données numériques perturbantes.

L’entraînement de Florence

Grandeurs (durées et longueurs)

Problème qui présente des données numériques perturbantes.

Le robot 2

Solides et figures (construction de figures)

Problème ouvert qui permet plusieurs solutions.

Étape 3

Problèmes proposés

Domaine mathématique

L’achat de livres

Nombres et opérations

Problème qui présente des données numériques perturbantes.

L’excursion scolaire

Nombres et opérations

Problème qui présente des données cachées (données numériques importantes présentées sous une forme non chiffrée).

Jeu de billes

Nombres et opérations

L’anniversaire d’Aurélien

Nombres et opérations

La collection de cartes Pokémon

Nombres et opérations

Problème qui présente des données numériques perturbantes. Il propose aussi des mots-clés non congruents aux opérations à réaliser (ex. gagner -perdre).

Problème qui présente des données cachées (données numériques importantes présentées sous une forme non chiffrée).

Problème qui propose des mots-clés non congruents aux opérations à réaliser (ex. de plus, double, ...).

Grandeurs (durées)

Problème qui nécessite des conversions d’unités (minutes et secondes).

Grandeurs (masses)

Problème qui présente des données numériques perturbantes et des données cachées (données numériques importantes présentées sous une forme non chiffrée).

iti

Prise de poids

La famille Dentsaines

Particularités

Problèmes proposés

Éd

Feuille de synthèse à compléter . Pour m’aider à résoudre un problème, je peux l’expliquer avec mes mots. A quoi faut-il être attentif lorsque j’explique un énoncé avec mes mots ?

Ce problème est inspiré d’un problème proposé dans le cadre d’un Rallye Mathématique Transalpin.

La représentation du problème

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3. Les outils méthodologiques pour l’enseignant REPRÉSENTATION

Outils élèves

Les séquences d’activités

Outils enseignants

La représentation dessinée

Aperçu

Outils élèves

Aperçu

La reformulation écrite

De questions en réponses

Étape 1 – Familiarisation avec la démarche de reformulation écrite et mise en évidence des caractéristiques d’une bonne représentation Réalisation d’une première reformulation et résolution du problème Recopier un des énoncés au tableau.

■

Demander aux élèves de lire le problème et d’essayer de bien le comprendre parce qu’après, ils vont devoir l’expliquer avec leurs propres mots pour pouvoir le résoudre.

■

Éd

iti

Cette consigne est très importante : il faut que l’enfant sache que l’explication qu’il donnera doit permettre de résoudre le problème. Il ne s’agit donc pas d’un exercice de compréhension en lecture. En présentant le problème, s’en tenir à des questions de compréhension globale (explication de certains mots) sans induire d’analyse de l’énoncé (pas de question de type : qu’est-ce qu’on sait ?, Qu’est-ce qu’on demande ?, ...) sinon on ne permet pas à chaque élève de s’investir personnellement et on risque d’influencer la construction de sa représentation.

■

Cacher l’énoncé et demander à chaque élève, individuellement, de l’expliquer sur une feuille. Cette démarche (montrer le problème puis le cacher) peut paraître un peu gratuite : lorsqu’il devra résoudre un problème, l’enfant l’aura toujours sous les yeux. Nous avons cependant proposé cette méthodologie pour éviter que l’élève ne recopie le problème sans tâcher de se l’approprier réellement.

La représentation du problème

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Chaque enfant est invité à réaliser ce travail seul, afin de pouvoir exploiter la variété des premières reformulations des élèves de la classe. ■

Montrer à nouveau le problème et demander aux élèves de le résoudre.

■

Corriger collectivement la résolution du problème.

Cette étape est nécessaire pour que les enfants comprennent bien le problème et sa résolution avant d’exploiter les reformulations qu’ils ont produites.

■

Choisir trois reformulations d’enfants

Analyse des reformulations produites dans l’étape 1

Attention, il faut bien choisir les reformulations pour qu’elles soient intéressantes à exploiter : ne pas choisir que des bonnes reformulations ! Par exemple, choisir une reformulation où il manque la question, une où certaines informations utiles n’apparaissent pas et une où apparaissent des erreurs. Recopier au tableau l’énoncé de départ et les trois reformulations choisies.

■

Analyser collectivement les reformulations avec les élèves :

■

iti

 comprend-on bien l’énoncé ?  peut-on le résoudre sur base de l’explication ?  comment pourrait-on améliorer l’explication ?

Éd

A cette étape de l’activité, s’intéresser principalement à la présence des éléments nécessaires pour pouvoir résoudre le problème. La présence de données perturbantes et la possibilité de pouvoir formuler le problème de manière à faciliter la résolution peuvent apparaître plus tard, dans les activités suivantes.

Réinvestissement ■

Reproduire la première étape de la séquence plusieurs fois avec des problèmes variés. Lorsque l’activité est reproduite avec de nouveaux problèmes, il peut être intéressant d’apporter quelques modifications à la méthodologie (notamment afin de favoriser les confrontations en sous-groupes). Voici deux propositions de gestion de l’activité.

La représentation du problème

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Proposition 1 Les élèves réalisent individuellement une reformulation. On leur propose ensuite de se placer en petits groupes et d’essayer de se mettre d’accord sur une reformulation. Soit les enfants choisissent celle qui leur paraît être la meilleure, soit ils élaborent ensemble une nouvelle reformulation sur la base des productions du groupe. Les réalisations de chaque groupe seront alors complétées et débattues collectivement.

Proposition 2

Les élèves se répartissent en groupes de manière à obtenir un nombre pair de groupes. Chaque groupe réalise une reformulation. Les reformulations construites par les différents groupes sont ensuite échangées deux à deux (le groupe 1 échange sa production avec le groupe 2, les groupes 3 et 4 s’échangent leurs productions, etc.). Chaque groupe doit alors débattre de la pertinence de la reformulation qu’il a reçue et, si nécessaire, proposer des modifications. Les différents groupes débattent alors de leurs analyses et de leurs modifications (les groupes 1 et 2 se mettent ensemble ; idem pour les groupes 3 et 4, etc.).

Première ébauche de synthèse

À quoi faut-il être attentif lorsque j’explique un énoncé avec mes mots ?

■

En fonction de ce qui aura été dit, reprendre les éléments essentiels d’une bonne reformulation. Cette synthèse sera complétée après les autres activités. La première séance ne doit déboucher que sur une ébauche de synthèse.

Éd

iti

Une représentation idéale pour résoudre un problème ne s’obtient pas nécessairement du premier coup ! Dans un premier temps, on peut se contenter d’expliquer l’énoncé avec ses mots, en dégageant clairement ce que l’on recherche. Ensuite, on peut retravailler cette première représentation en enlevant les données perturbantes et en identifiant les liens qui seront nécessaires pour résoudre le problème. Tout ceci se précisera progressivement au cours des séances suivantes.

La représentation du problème

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Exemples d’exploitations de reformulation obtenues dans les classes.

A première vue, on pourrait penser que les enfants de 8-10 ans vont être assez dépourvus face aux activités de reformulation. Et pourtant, dans les classes qui ont essayé l’activité, les enseignants ont été très surpris de la richesse des productions de leurs élèves. Voici quelques exemples concernant la reformulation du problème « l’anniversaire de David ».

Aujourd’hui, c’est l’anniversaire de David : il a 9 ans. A cette occasion, il décide d’acheter des bonbons. Ils seront 4 pour tout manger : John, Lucas, Stéphane et bien sûr David. David se décide à acheter un paquet à 3 euros contenant 20 bonbons et un autre à 2 euros contenant 12 bonbons. Combien chaque enfant mangera-t-il de bonbons ? Sarah

David a 9 ans, il fête son anniversaire. Il invite 3 copains pour son anniversaire. Il va acheter

20 bonbons à 2 euros, puis il va dans un autre magasin s’acheter des bonbons et il y en a 30 et il paie 3 euros. Combien coûtent les bonbons de David ?

Outre le fait qu’elle a confondu plusieurs données numériques, Sarah a formulé une question erronée. Lors de l’exploitation de ce type de production, il s’agira d’attirer l’attention sur cette erreur et sur les conséquences qu’elle pourrait avoir dans la résolution : comme on cherche un coût, on va s’intéresser aux informations de prix et donc résoudre un autre problème. Séma

iti

Il y avait un petit garçon qui s’appelait David et c’était son anniversaire et il décida d’acheter

Éd

un sachet de 20 bonbons à 3 euros et un sachet de 12 bonbons à 2 euros et ils étaient 4.

Séma a oublié de mentionner la question dans son explication du problème. On peut faire réfléchir les élèves sur la base d’un tel énoncé : qu’est-ce qu’on pourrait rechercher ? Beaucoup de possibilités existent. Par exemple, on pourrait se demander combien il y a de bonbons (dans ce cas, les informations 12 bonbons et 20 bonbons seront importantes), on pourrait également se demander combien coûtent les bonbons (c’est alors les informations 3 euros et 2 euros qui devront être mises en évidence), on pourrait encore se demander combien de bonbons chaque enfant aura (il faudra alors prendre en considération le nombre de bonbons et le nombre d’enfants qui les mangeront)... Il apparaît donc clairement que la question doit être précisée dans la reformulation : c’est en fonction de ce qu’on recherche qu’on pourra trouver les informations qui seront nécessaires pour résoudre le problème. Céline David fête son neuvième anniversaire. Il invite ses amis et il leur paie des sucettes. Il achète deux

paquets de sucettes. Combien chaque enfant mangera-t-il de sucettes?

La représentation du problème

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Céline a proposé une reformulation qui montre qu’elle a relativement bien compris l’histoire (si ce n’est qu’elle a « concrétisé » les bonbons en sucettes), un peu comme il faudrait le faire dans un exercice de compréhension en lecture. Cependant, on ne peut pas répondre à la question sur base de ce qu’elle a expliqué puisqu’elle ne propose aucune donnée numérique. Or, le but de l’explication, c’est justement de pouvoir répondre plus facilement à la question posée. Face à l’exploitation collective d’une telle reformulation, il s’agira donc d’attirer l’attention sur l’objectif de l’exercice. On pourra également compléter l’explication pour que la reformulation permette de résoudre le problème.

L’exploitation de ces trois productions doit amener les élèves à synthétiser leurs premières découvertes. À titre purement exemplatif, on pourrait imaginer aboutir à une synthèse de ce type :

bien expliquer ce qui se passe dans le problème en étant attentif aux données numériques car mon explication doit aider à répondre plus facilement à la question.

■

bien expliquer ce que je recherche (la question) car c’est en comprenant bien ce qu’on demande que je pourrai retrouver les informations utiles pour résoudre le problème (répondre à la question) ;

■

Lorsque j’explique un énoncé avec mes mots, je dois être attentif à :

Étape 2 - Exploitation de reformulations écrites

Distribuer la feuille aux élèves et s’assurer de la bonne compréhension des consignes.

Demander aux élèves de réaliser l’activité (résolution et correction des trois reformulations). Pendant ce temps, recopier au tableau l’énoncé et les trois reformulations proposées.

Éd

■

iti

Réalisation de l’activité sur la feuille prévue à cet effet

■

Exploitation de l’activité ■

Corriger collectivement la résolution du problème. Cette étape est nécessaire pour s’assurer que tous les enfants ont bien compris le problème et sa résolution avant d’exploiter les corrections des reformulations.

■

Exploiter les corrections réalisées par les élèves. Il peut être intéressant de faire précéder l’exploitation collective par une confrontation des productions d’élèves en sous-groupes.

La représentation du problème

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■

Les débats peuvent être alimentés par les différents éléments repris dans la synthèse de la première activité. Ils peuvent également être complétés par les questions reprises ci-dessous.  Qu’est ce que vous avez modifié ?

Après discussion avec les enfants, corriger le texte en couleur et, en dessous de chaque production, rappeler ce qui a été modifié (question, données importantes, ...).  Si quelqu’un entrait dans la pièce, comprendrait-il bien l’énoncé ?

Cette question vise à amener les élèves à comprendre qu’une reformulation, ce n’est pas une simple sélection des données utiles à la résolution. En effet, dans ce cas, on ne pourra pas retrouver l’énoncé sur base de l’explication.

 Est-ce qu’on sait avec précision ce qu’on recherche ?

Attirer l’attention sur l’importance de la question puisque les premières analyses ont montré que les élèves avaient des difficultés à ce niveau.  Toutes les informations qui seront nécessaires pour résoudre le problème sont-elles écrites ?

Cette question doit amener les élèves à vérifier si tous les éléments d’une bonne reformulation sont présents (éléments de situation, données importantes, indication des relations,...). Autrement dit, dispose-t-on de tout ce qu’il faut pour pouvoir résoudre le problème ?

iti

 Pourrait-on améliorer encore l’explication pour que le problème reste compréhensible, mais qu’il soit encore plus facile à résoudre ?

Éd

Cette question vise à attirer l’attention des enfants sur l’intérêt de proposer une reformulation « épurée » (c’est-à-dire où les données qui peuvent perturber la résolution n’apparaissent plus).

Compléter l’ébauche de synthèse de la première activité ■

Après l’exploitation collective des trois reformulations, reprendre la synthèse amorcée lors de la première activité et la compléter : À quoi faut-il être attentif lorsque j’explique un énoncé avec mes mots ?

La représentation du problème

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Quelques avis d’enseignants qui ont essayé cette deuxième activité.

■

Les élèves n’ont pas eu trop de difficultés avec cette activité : ils ont vite repéré les manques. Ils ont eu un peu plus de mal à corriger le texte. Lors de la mise en commun, ils se sont rendu compte que plusieurs corrections étaient possibles et qu’il n’y avait donc pas qu’une seule bonne reformulation. Plusieurs enfants n’ont pas accroché à cette activité parce qu’il fallait compléter des feuilles, un peu comme dans un test. Ils préféraient les deux autres activités. J’ai été très surpris par l’efficacité de cette activité. J’ai réalisé celle-ci après le travail sur les représentations dessinées : j’ai remarqué que la reformulation convenait mieux à plusieurs de mes élèves et à moi-même aussi. La correction de l’activité a permis d’attirer l’attention des élèves sur des points importants des reformulations.

iti

■

Dans ma classe, je n’ai pas pu tirer grand chose de cette activité parce qu’on avait déjà bien exploité l’activité précédente.

■

Cette activité était intéressante, parce que, contrairement à la première, on ne partait pas d’une production d’un élève de la classe comme point de départ de la critique. Personne ne se sentait donc « visé » et cela a permis de discuter plus en profondeur de chaque reformulation.

■

Éd

Étape 3 - Échange de reformulations Production d’une reformulation et résolution d’un problème sur la base de la reformulation d’autrui ■

Répartir les élèves en groupes de 4 (veiller à ce qu’il y ait un nombre pair de groupes). Il paraît important de proposer un travail de groupe à cette étape de l’apprentissage. En effet, ceci amènera les élèves à devoir se mettre d’accord et leur permettra de mettre en commun leurs acquis. De plus, on peut espérer aboutir à une meilleure production.

■

Distribuer un problème à la moitié des groupes et un autre à l’autre moitié. Chaque groupe est alors chargé d’expliquer le problème par écrit, avec ses propres mots (reformulation). Bien rappeler que la reformulation doit permettre à quelqu’un qui ne connaît pas le problème de départ de le résoudre sur base de cette reformulation.

La représentation du problème

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■

Faire vérifier les reformulations sur la base de la synthèse élaborée suite aux deux premières activités (tenir compte des éléments dégagés dans ces synthèses). Cette étape vise à amener les élèves à vérifier leur démarche. On essaye de leur donner progressivement des outils (ici les synthèses) pour qu’ils puissent vérifier eux-mêmes leur travail. Distribuer un panneau à chaque groupe et leur demander d’y recopier la reformulation qu’ils ont produite.

■

Échanger les panneaux entre les groupes : ceux qui ont reformulé le premier problème reçoivent une reformulation du deuxième problème et inversement.

■

Demander aux élèves de résoudre le problème sur base de la reformulation proposée : faire le travail sur une feuille de brouillon avant de compléter le panneau.

■

L’échange des panneaux conduit les élèves à résoudre un problème sur la base de la reformulation d’un autre groupe, sans qu’ils aient connaissance du problème de départ. La résolution du problème ne sera donc possible que si la reformulation est complète.

L’achat des livres

iti

Exemple 1

Exemples de productions de groupes.

Ta classe souhaite acheter des nouveaux livres pour le coin lecture. Voici les prix du catalogue : les livres de contes: 1,5 euros; les bandes dessinées: 3,5 euros et les romans à 2,5 euros. Vous décidez d’acheter 7 livres:

Éd

3 romans et 4 bandes dessinées. Il dispose de 17 euros. Quelle somme devrez-vous encore avoir pour pouvoir acheter les livres?

Exemple 2

On a 17 euros. La classe souhaite acheter 3 romans à 2,5 euros pour 1 et 4 bandes dessinées à 3,5 euros

pour 1. Quelle somme devez-vous encore recueillir pour pouvoir acheter les livres?

Jeu de billes Exemple 1 Dans la cour de récréation, Aurélien, Juliette et Perrine jouent aux billes. Avant de jouer ils comptent leurs

billes: Aurélien en a 25, Juliette en a 18 et Perrine 31. Ils ont le temps de faire deux parties: la pre-

mière oppose Juliette et Perrine, la deuxième oppose Juliette et Aurélien. Juliette gagne 12 billes contre Perrine,

puis Aurélien perd 3 billes contre Juliette. En tout, Juliette a-t-elle gagné ou perdu des billes? Combien?

La représentation du problème

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Exemple 2 La première partie oppose Juliette à Perrine et la deuxième partie oppose Juliette à Aurélien. En jouant contre Perrine, Juliette a gagné 12 billes et contre Aurélien, elle en a gagné 3. En tout, Juliette a-t-elle gagné ou perdu des billes? Combien?

L’anniversaire d’Aurélien Exemple

Ils sont 23 élèves mais il y a une fille malade, et 2 professeurs arrivent et ils achètent des gaufres qui vont par 6 dans un paquet. Combien de personnes seront là et combien de paquets devra-t-on acheter?

Écrire les deux énoncés au tableau et demander aux élèves de les résoudre. Corriger ensuite les résolutions avec les enfants.

■

Exploitation des reformulations

Cette étape vise à s’assurer que tous les élèves ont compris le problème avant d’exploiter les productions des différents groupes. Afficher les panneaux des enfants.

■

Exploiter collectivement les reformulations.

■

Modifier les reformulations pour les améliorer en fonction des propositions des enfants.

Éd

■

iti

 Les explications sont-elles suffisantes pour bien comprendre le problème et arriver à le résoudre ?  Le problème qui a été écrit par le groupe raconte-t-il la même chose que le problème de départ ?  Comment améliorer la reformulation ?

■

Exploiter collectivement les résolutions.  Le groupe est-il parvenu à résoudre correctement le problème sur la base de la reformulation ?  Que manquait-il pour qu’il y arrive ?  Qu’aurait-on pu enlever de la reformulation pour que le problème soit plus facile à résoudre ? Ces questions visent à entamer un débat sur l’intérêt d’une reformulation épurée de données perturbantes.

La représentation du problème

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Synthèse finale – Les éléments devant figurer dans une bonne reformulation ■

Reprendre la synthèse amorcée lors des deux premières activités et la compléter.

Exemples de synthèse réalisée dans une classe.

’aider à résoudre un problèm m r u Po e, iquer avec mes l p x e ’ l x u mots je pe

À quoi faut-il être attentif lorsque j’explique un énoncé avec mes mots ? Je dois bien lire le texte :

® comprendre, être attentif à la question posée ; ® retrouver les données utiles pour résoudre le problème ; ® rechercher la manière dont ces données utiles se combinent entre elles et avec la question posée.

1) Question bien précise et complète. 2) Données

3) Supprimer

utiles le

données

lien

précises.

les

données.

inutiles.

entre

1) Bien regarder la question.

Éd

les

iti

4) Retrouver

complètes

2) Rechercher 3) Rechercher 4) Supprimer

des

les

données

situation

utiles,

les

(contexte).

liens

qui

inutiles-perturbantes.

les

unissent

entre

elles

avec

question.

La représentation du problème