Рижій В.В.,
Овчар І.М.
Посібник з математики
для вступників до коледжів та технікумів на базі 9 класів
Вінниця 2010
2
Рецензенти: В.І. Клочко, завідувач кафедри вищої математики Вінницького державного технічного університету, доктор педагогічних наук, професор; О.І. Матяш, завідувач кафедри алгебри і методики викладання математики Вінницького державного педагогічного університету;
В.В. Рижій, І.М. Овчар Посібник з математики для вступників до технікумів і коледжів. Ч. ІІ. Геометрія. – Вінниця: ВТК. 2005. – 88с. Посібник містить довідковий матеріал, відповіді на питання вступних іспитів з математики до технікумів та коледжів, теоретичні прийоми розв’язування задач, близько 100 розв’язаних задач та вправ. Розрахований на учнів та вчителів шкіл (9 класів), абітурієнтів, студентів перших курсів технікумів та коледжів та для всіх тих, хто займається самоосвітою
3
1. 2.
3.
4. 5.
6. 7.
8. 9.
ЗМІСТ Символіка, використана при доведеннях теорем і формул та розв’язуванні вправ. .................................................................................................................... 3 Передмова. ........................................................................................................... 4 Дійсні числа. ........................................................................................................ 5 1.1. Ознаки подільності на 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 11. .............................................. 7 1.2. Модуль числа. ............................................................................................... 8 Правила дій. Дії над дробами. ........................................................................... 8 2.1. Дії з цілими числами. .................................................................................... 8 2.2. Основні правила додавання, віднімання, множення і ділення. ................ 9 2.3. Дії з нулем. .................................................................................................. 11 2.4. Основна властивість дробу. Дії з дробами. .............................................. 11 2.5. Десяткові дроби. ......................................................................................... 16 2.6. Періодичний десятковий дріб. ................................................................... 17 Степені та корені, їх властивості . ................................................................... 18 3.1. Визначення степеня. Властивості степенів. ............................................. 18 3.2. Дії над степенями. ....................................................................................... 19 3.3. Квадратний корінь. Дії над коренями. ...................................................... 21 3.4. Властивості квадратних коренів. ............................................................... 22 3.5. Перетворення виразів з коренями. ............................................................ 22 Відношення. Пропорції. ................................................................................... 25 4.1. Властивості пропорції................................................................................. 25 4.2. Відсотки або проценти. .............................................................................. 31 Одночлени і многочлени та дії над ними. ...................................................... 32 5.1. Дії над одночленами та многочленами. .................................................... 32 5.2. Розкладання многочлена на множники. ................................................... 33 5.3. Перетворення необхідні при розв’язуванні рівнянь............................... 34 Формули скороченого множення. ................................................................... 34 6.1. Формули скороченого множення. ............................................................. 34 6.2. Вивід формул скороченого множення. ..................................................... 35 Алгебраїчні рівняння. Розв’язування лінійних рівнянь. ............................... 39 7.1. Алгебраїчні рівняння. ................................................................................. 39 7.2. Розв’язування лінійних рівнянь і таких, що зводяться до лінійних. ..... 40 7.3. Алгебраїчні рівняння та їх розв’язок. ....................................................... 41 Системи лінійних рівнянь з двома невідомими. ............................................ 42 8.1. Розв’язування систем двох лінійних рівнянь . ......................................... 43 8.2. Методи розв’язування систем лінійних рівнянь. .................................... .44 Квадратні рівняння ,їх види та розв’язування. ............................................... 45 9.1. Квадратні рівняння. .................................................................................... 45 9.2. Розв’язки неповних квадратних рівнянь. ................................................. 46 9.3. Зведене квадратне рівняння, властивості його коренів—теорема Вієта...............................................................................................................47 9.4. Теорема (обернена до теореми Вієта). ..................................................... 48 9.5. Розклад квадратного тричлена на лінійні множники. ............................ 48 9.6. Розв’язування нелінійних систем. ............................................................ 50
4
10. Нерівності та їх системи. ................................................................................ 54 10.1 Числові нерівності та їх властивості. .......................................................54 10.2 Лінійні нерівності та їх системи, властивості та розв’язування. .......... 55 10.3 Розв’язування нерівностей методом інтервалів. .................................... 57 11. Функція. Властивості функції. ......................................................................... 59 11.1 Що таке функція? Властивості функції................................................... 59 11.2 Найпростіші функції та їх графіки. ......................................................... 64 11.2.1 Функція y = kx , її властивості і графік. ................................... 64 11.2.2 Функція y=kx+b, її властивості і графік. .................................... 65 11.2.3 Функція y k , її властивості і графік. ........................................ 67 x
11.2.4 Функція y=ax2+bx+c, її властивості і графік. ............................ 68 11.2.5 Степенева функція . Функція y=xn, її властивості і графік ...... 71 11.3 Перетворення графіків елементарних функцій. ..................................... 76 12. Арифметична прогресія. Геометрична прогресія.. ........................................ 77 12.1 Арифметична прогресія . .......................................................................... 77 12.2 Геометрична прогресія. ............................................................................ 78 12.3 Середнє арифметичне та середнє геометричне. .................................... 71 13. Доповнення. ...................................................................................................... 81 13.1 Зразки екзаменаційних білетів з математики. ………………………… 82 13.2 Зразок правильної відповіді на білет. ………………………………….. 83 13.3 Таблиця квадратів двохзначних чисел. ……………………..………… 85 13.4 Грецький та латинський алфавіт. ……………………………………… 85 14. Література. ..........................................................................................................86
5
СИМВОЛІКА, ВИКОРИСТАНА ПРИ ДОВЕДЕННЯХ ТЕОРЕМ І ФОРМУЛ ТА РОЗВ’ЯЗУВАННІ ВПРАВ. N — множина натуральних чисел Z — множина цілих чисел Q — множина раціональних чисел R — множина дійсних чисел Ø — порожня множина x X — елемент х належить множині Х x X — елемент х не належить множині Х a , b , c , d — множина, яка складена із елементів a , b , c , d a n або a1 , a 2 , a3 , ..., a n , ... — числова послідовність — знак включення для множин: запис A B означає, що кожний елемент а множини А належить множині В. Множину А називають підмножиною В — знак об’єднання множин: A B — множина, що складається з тих і лише тих елементів, кожний з яких є елементом хоча б однієї з множин А або В — знак перерізу множин: A B - множина, яка складається з тих і лише тих елементів, що належать як множині А, так і множині В, тобто вона складається з усіх спільних для множин А і В елементів a , b — замкнутий проміжок (відрізок): a x b a , b — відкритий проміжок (інтервал): a x b a , b i a , b — напіввідкриті проміжки: a x b i a x b A B — з А випливає В A B — рівносильність (з А випливає В і навпаки — з В випливає А ) — прямує a = b — рівність: a дорівнює b a > b — строга нерівність: a більше b a < b — строга нерівність: a менше b a b a b — нестрога нерівність: а не менше (не більше) b a b — порівняння: а не дорівнює b ОВ або D f — область визначення функції y f x E f E y — множина значень функції y f x f x — значення функції y f x у точці x D f : f x E f НСД (a,b) — найбільший спільний дільник чисел а і b НСК (a,b) — найменше спільне кратне чисел а і b a — модуль (абсолютна величина) числа а a — ціла частина числа а a — дробова частина числа а — знак сукупності (рівнянь або нерівностей) — знак системи (рівнянь або нерівностей) ÷ — знак арифметичної прогресії ÷÷ — знак геометричної прогресії
6
ПЕРЕДМОВА Посібник призначається для тих, хто бажає поглибити знання з математики. Мета посібника — надати допомогу абітурієнтам під час підготовки до вступних іспитів, учням 9-тих класів при підготовці до державної підсумкової атестації та студентам Iго курсу при повторенні та вивченні нових тем. Посібник написано у відповідності до програми з математики для вступних іспитів на базі 9-ти класів. - розкриті основні математичні поняття і факти; - подані основні формули і теореми; - розв’язано ряд задач та прикладів, що сприяють відпрацюванню основних вмінь і навичок; - після кожної теми запропоновані вправи для самостійної роботи. Порядок викладу матеріалу не завжди відповідає шкільній програмі, що надає можливість розглядати питання, як логічно закінчені теми. Викладення питань ширше ніж у шкільних підручниках, узагальнене і більше звернена увага на їх практичне застосування. В даному посібнику використані матеріали вступних іспитів різних учбових закладів, а також матеріали багаторічної викладацької роботи з першокурсниками. Посібник складається з двох частин: 1. Алгебра. 2. Геометрія. Розділ алгебри складається з 13 тем. Кожна з них містить теоретичний матеріал, розв’язані практичні вправи і вправи для самостійної роботи. Радимо учням уважно розбиратись з наведеними розв’язками і переходити до самостійної роботи над вправами. Тільки самостійна робота надає користь в набутті знань і виробляє навички і уміння в розв’язуванні задач, сприяє запам’ятовуванні теоретичного матеріалу. В „додатках” подані зразки екзаменаційних білетів, і зразок відповіді на один з білетів. Посібник написано на основі багаторічного досвіду роботи з першокурсниками технікуму і коледжу та роботи на підготовчих курсах. По даному посібнику створено електронний варіант з гіперпосиланнями, відео-анімаціями та комп’ютерними тестами для самоперевірки. Даний комплекс зумовлює комп’ютерно-орієнтовану систему інтенсифікації навчання математики школярів та студентів коледжів та технікумів. Автори вдячні за поради і рекомендації, критичні зауваження і доброзичливі побажання рецензентам посібника: завідувачу кафедри алгебри і методики викладання математики ВДПУ ім.. Михайла Коцюбинського, доценту Матяш О.І., та завідувачу кафедри вищої математики ВНТУ, доктору педагогічних наук, професору Клочко В.І. А також висловлюють велику вдячність за підтримку і сприяння у виданні посібника директору Вінницького технічного коледжу заслуженому працівнику освіти України Домінському О.С.
7
1. ДІЙСНІ ЧИСЛА Цілі, дробові, додатні, від’ємні числа становлять множину раціональних чисел. Називаються вони так тому, що їх можна представити у вигляді частки двох цілих чисел або нескінченним періодичним дробом. Наприклад: 3 = 3/1 = 6/2; 0,72 = 3/4; 0,5 = 1/2; 0,25 = 1/4; 9/8 = 1,125; 7/6 =1,1666…=1,1(6); 4/11 = 0,(36). Але є числа , які можна представити у вигляді нескінченного неперіодичного дробу і вони називаються ірраціональними. Наприклад: 10 = 3,1622776… 2 = 1,4142135… , = 3,1415926… Ірраціональні та раціональні числа складають множину дійсних чисел. Позначення множин чисел: Натуральні числа – N Цілі числа – Z Раціональні числа – Q Ірраціональні числа – Q R Дійсні числа – R Множини чисел зображені у вигляді кругів Ейлера на рисунку 1. Рис.1 Кожна з цих множин є підмножиною наступної множини. Нехай х = 1, 2, 3, 5. Ці значення записуються у вигляді множини x 1,2,3,5 В процесі розвитку людства розвивалось і розширювалось числення . Перші числа —натуральні — це числа , за допомогою яких можна підрахувати кількість . N = 1,2,3,4,… При виконанні дій з’являються числа від’ємні та 0 (дія віднімання) , дробові (дія ділення) , ірраціональні (добування кореня). Разом вони об’єднуються в множину дійсних чисел R . Серед чисел є прості числа , які діляться на одиницю і самі на себе. Наприклад: 1,2,3,5,7,11,13,17,... Складені числа мають ще інші дільники , тобто розкладаються на прості множники : ּ , 6=3◌2 ּ , 24=2◌3 ּ ◌2 ּ ◌2 ּ 4=2◌2 Числа, на які ділиться дане число називаються його дільниками. В нашому прикладі дільники записані справа, як прості множники. Розклад числа на прості множники записується :
8
При виконані дій над дробами необхідне знання найменшого спільного кратного (НСК) при зведенні до спільного знаменника, та найбільшого спільного дільника (НСД) при скороченні дробів. Спільним кратним кількох чисел називають число , яке ділиться на кожне з цих чисел. Наприклад: числа 15 , 6 , 10 мають спільні кратні 180 , 150 , 90 , 60 , 30 , а найменшим буде число 30 . Отже НСК(15 , 6 , 10) =30 Щоб знайти НСК необхідно : 1. Розкласти задані числа на прості множники ; 2. Виписати множники більшого числа ; 3. Доповнити виписані множники, тими множниками, яких не вистачає, з інших чисел. 4. Обчислити добуток найбільшого числа і доповнюючих множників. Наприклад : Знайти НСК чисел 252 , 441 , 1080 , 1260, 180.
Виписуємо множники числа 1260 і дописуємо тими, яких не вистачає. Це множники 2 , 7 , 3 . Отже, НСК (252 , 441 , 1080 , 180 , 1260) = 2·2·2·3·3·3·5·7·7 = 52920 або 1260·2·7·3 =1260·42 =52920 Спільним дільником називається число , на яке діляться всі задані числ . Наприклад: числа 15 , 30 , 60 , 45 мають спільні дільники 3, 5, 15, а найбільшим буде 15 . Отже НСД (15 , 30 , 60 , 45) = 15 Щоб знайти НСД необхідно : 1. Розкласти задані числа на прості множники ; 2. Виписати спільні множники всіх заданих чисел ; 3. Обчислити добуток виписаних множників . Наприклад : Знайти НСД чисел 126 , 720 .
НСД (126 , 720) = 2·3·3 =
Найбільший спільний дільник використовують при скорочені дробів . Простим дробом називають частину одиниці або кілька рівних частин одиниці .
9
Наприклад: число
3 .Число 7 показує , що одиниця поділена на сім 7
частин, і називається знаменником дробу. Число 3 показує скільки взято частин , і називається чисельником. Таким чином відношення двох чисел ми можемо назвати дробом
a , де a b
– чисельник, b – знаменник. Якщо : a < b , то дріб правильний ; a ≥ b , то дріб неправильний . Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля , то значення дробу не зміниться. 4 9
Наприклад : 1)
4 3 12 ; 9 3 27
4)
2)
12 12 : 3 4 ; 27 27 : 3 9
3)
16 16 : 4 4 ; 36 36 : 4 9
108 108 : 2 54 : 2 27 : 3 9 : 3 3 144 144 : 2 72 : 2 36 : 3 12 : 3 4
Щоб багато не писати, як в прикладі 4), то знаходиться НСД (108,144)= 36 і ділимо одразу на 36. 108 108 : 36 3 144 144 : 36 4
Вправи. 1) Знайти НСК чисел : а)882 , 126 , 360 ; б)36 , 63 , 216 ; в)2646 . 216 . 360 2) Знайти НСД чисел : а)108 , 144 ; б)100 , 250 ; в)315 , 180 . 3)Скоротити дріб :
а)
105 ; 245
б)
152 ; 266
в)
80 . 144
Відповіді. 1) а)17640 ; б)1512 ; в)52920 ; 2) а)36 ; б)50 ; в)45 . 3 7
3) а) ;
б)
4 ; 7
в)
5 . 9
1.1. Ознаки подільності на 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 11. Ознака подільності на 2. Число ділиться на 2 , якщо остання цифра парна або нуль. Ознака подільності на 4. Число ділиться на 4 , якщо дві останні цифри є нулі , або вони утворюють число ,що ділиться на 4. Наприклад , число 2700 ділиться на 4 , бо дві останні цифри нулі ; число 2134 на 4 не ділиться , бо 34 на 4 не ділиться ; 1216 – ділиться на 4 ,бо на 4 ділиться 16 , яке є двома останніми цифрами. Ознака подільності на 3 та на 9. На 3 (на 9) діляться числа ,сума цифр яких ділиться на 3 (на 9). Наприклад , число 18357 ділиться на 3 але не ділиться на 9. Ознака подільності на 6. Число ділиться на 6 , якщо воно одночасно ділиться на 2 і на 3. Наприклад: число156 ділиться на 2 (остання цифра парна) та на 3 (сума цифр 1+5+6=12 ділиться на 3).
10
Ознака подільності на 5 та на 10. На 5 діляться всі числа , остання цифра яких 5 або 0. На 10 діляться всі числа , остання цифра яких 0. Ознака подільності на11. На 11 діляться числа , в яких сума цифр , розташованих на непарних місцях дорівнює сумі цифр , розташованих на парних місцях , або ці суми відрізняються на число , що ділиться на 11. Наприклад: число 508739 ділиться на 11 тому , що сума цифр непарних місць 5+8+3=16 та сума цифр парних місць 0+7+9=16 рівні. Число7163629 ділиться на 11 тому , що 7+6+6+9=28 (непарні місця) , а 1+3+2=6 (парні місця). Їх різниця 28–6=22 , яка ділиться на 11.
46249·11=508739
651239·11=7163629
1.2. Модуль числа. З двох чисел більше те, яке на координатній прямій розташоване правіше. Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називається саме число, якщо воно додатнє (а 0), або протилежне -а, якщо воно від’ємне (а< 0). a , якщо a 0 a a , якщо a 0
Отже, а) всяке додатнє число більше нуля і будь-якого від’ємного числа; б) всяке від’ємне число менше нуля; в) з двох від’ємних чисел більше те, модуль якого менше. -3>-5, бо 3 < 5 2. ПРАВИЛА ДІЙ. ДІЇ НАД ДРОБАМИ. 2.1. Дії з цілими числами. Додавання, віднімання. а) Сума двох чисел з однаковими знаками дорівнює числу з тим же знаком, модуль якого дорівнює сумі модулів доданків. 1) (-3) + (-5)= -8 2) (-4) + (-6)= -10 -3 - 5=(-3)+(-5)= -8 -4 - 6= (-4)+(-6)= -10
11
б) Сума двох чисел з різними знаками дорівнює числу, модуль якого одержується відніманням від більшого модуля меншого, знак суми співпадає із знаком доданка, що має більший модуль. 1) 4 + (-10)= -(10 - 4)= -6 2) -7 + 3= -(7-3)=-4 4 - 10=4+(-10)= -(10-4)= -6 в) Сума протилежних чисел рівна нулю. 6 + (-6)=0 або 6 - 6=0 г) Щоб відняти від числа a число b, достатньо до зменшуваного додати число протилежне до числа b: а - b=а + (-b) -5 -3=-5 + (-3)= -8 Множення та ділення а) Добуток ( частка) двох чисел одного знаку, є число додатнє. (-6) (-3)=18, (-8) : (-2)=4 б) Добуток ( частка) двох чисел з різними знаками, є число від’ємне. 6 (-3) = -18 (-8) : 2 = -4
Виконання дій множення та ділення. Порядок виконання дій: 1. Виконуємо дії в дужках в наступному порядку: множення, ділення, додавання, віднімання. 2. Після виконання дій в дужках виконуємо дії в такому самому порядку: множення, ділення, додавання, віднімання. Наприклад: (27·6-305: 5) ·17+39 =1756. 1). 27·6 =162;
2). 305: 5 =61;
4).101·17 =1717;
5). 1717+39 =1756
Вправи : 1). (37·11–2035 : 5) · 96+18 ;
3). 162-61 =101; 2). 3–2·(8–15)+3·9–27 ;
3). –5 –3·(7–35):4–25·(–2). Відповіді. 1).18, 2).17, 3)66. 2.2 Основні правила додавання, віднімання, множення і ділення. (узагальнення) 1) Додавання. Результат додавання двох або декількох чисел називається їх сумою, а числа - доданками.
12
Наприклад: a + b + с+...+ k= p p - сума, числа a, b, c, ... k - доданки. Властивості операції додавання: 1) Для будь-яких чисел a і b вірна рівність a + b=b + a, a N, b N. Цю властивість називають переставною (або комутативною), вона формулюється слідуючим чином: Від перестановки доданків значення суми не змінюється. 2) Для будь-яких чисел a,b,c вірна рівність (a + b)+c=a+(c+b), a N, b N, c N. Цю властивість називають сполучною (або асоціативною), вона формулюється слідуючим чином: Значення суми не змінюється, якщо будь-яку групу доданків замінити їх сумою. 2) Віднімання ab x
Відняти від числа а число b - означає знайти таке число x, яке в сумі з числом b дає а, тобто b + х = а Число х називається різницею чисел а і b і позначається а - b, число а називають зменшуваним, число b - від’ємником. (Для натуральних чисел віднімання не завжди виконується). 3) Множення Помножити число а на число b - означає знайти суму b доданків, кожний з яких дорівнює а. Вираз аb називається добутком, числа а і b - множниками. Наприклад: 3а=а + а + а. Властивості операції множення 1) для будь-яких чисел а і b вірна рівність аb=bа, а,b N. Ця властивість називається переставним законом множення, вона формулюється слідуючим чином: Від перестановки множників значення добутку не змінюється. 2) для будь-яких чисел а,b,с вірна рівність (аb)с = а (bс), а N, b N, с N. Цю властивість називають сполучним законом множення, він формулюється таким чином: Значення добутку не зміниться, якщо будь-яку групу множників замінити їх добутком. 3) для будь-яких значень а,b і с вірна рівність (а + b)с = ас + bс; а, b, с є N. Цю властивість називають розподільним (дистрибутивним) законом множення відносно додавання, він формулюється слідуючим чином: Щоб помножити суму на число, достатньо помножити кожний доданок на це число і додати отримані добутки. Аналогічно можна записати: (а – b)с = ас - bс. (а + b)(с - d)=ac - ad + bc - bd.
13
4) Ділення Розділити число а на число b - означає знайти таке число х, при множенні якого на число b отримується число а, тобто а : b=х, якщо x·b=а. Число а називається діленим (або кратним) числа b, число b - дільником числа а, число х - часткою чисел а і b. Для натуральних чисел ділення двох натуральних чисел не завжди є натуральним числом. Ознака подільності суми. Якщо кожний з доданків х і у ділиться на деяке число с, то і сума х + у ділиться на це число с. x y x y c c c 2.3 Дії з нулем. Якщо до числа додати або відняти нуль , то від цього число не зміниться. 15+0=15 ; 12–0=12. Якщо число помножити на нуль , то добуток дорівнює нулю. 3·0=0 ; 0·6=0. Частка від ділення нуля на число дорівнює нулю. 0 : 3=0. На нуль ділити не можна ! 2.4 Основна властивість дробу. Дії з дробами. Дробом називають частку від ділення двох виразів, записану за допомогою риски дробу. Звичайний дріб - це дріб, чисельник і знаменник якого є натуральними числами. Дроби бувають числовими і зі змінними. a – звичайний дріб . b a a Якщо : a<b, то – правильний дріб; a>b , то – неправильний дріб. b b 5 2 – мішаний дріб , 2–ціла частина . 7
Нехай a>b, b>0 (числа a та b додатні)
Щоб перетворити неправильний дріб в мішаний , ділимо чисельник на знаменник і одержана частка є ціла частина , а залишок стає чисельником , знаменник не змінюється. 253 : 4 63
-залишок
253 1 1 або 63 4 4 4
Щоб перейти від мішаного дробу до звичайного , потрібно цілу частину помножити на знаменник і до одержаного результату додати чисельник і записати в чисельнику , а знаменник залишаємо без змін. 3 5
Наприклад : 8
8 5 3 43 5 5
Основна властивість дробу
14
Якщо чисельник і знаменник дробу помножити на один і той самий вираз, то дістанемо дріб, який тотожно дорівнює даному. Доведення. Нехай а, b, m - довільні раціональні числа, причому b 0 , m 0 . Тоді a r , де r - деяке раціональне число. За означенням ділення, a=b·r. b
Помноживши, обидві частини цієї рівності на відмінне від нуля число m, дістанемо рівність a·m=b·m·r, звідки, за означенням ділення, a m r . Отже, якщо b 0, m 0 , то
bm
am r . bm
Основна властивість дробу дає можливість замінити дріб виду a m r bm
тотожно рівним йому дробом a . Таке перетворення називають скороченням b
дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу многочлени, то перед скороченням дробу їх часто доводиться розкладати на множники. Іноді перед скороченням дробу змінюють знак чисельника або знаменника змінивши відповідно і знак перед дробом. Сформулюємо та доведемо правила дій з дробами. 1. Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками. — Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той самий. — Щоб знайти різницю дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника зменшуваного відняти чисельник від’ємника, а знаменник залишити той самий. Доведення: Нехай а, b, c 0 - довільні раціональні числа. Тоді також раціональні числа. Якщо
a і c
b c
a b r, p ,то за означенням ділення a=cr, c c
b=cp. Додавши ліві і праві частини цих рівностей, дістанемо а + b= сr+ +cp=c·(r + p). За означенням ділення з утвореної рівності випливає, що ab a b ab , тобто . Що і треба було довести. c c c c a b ab Аналогічно доводиться тотожність c c c
r p
Якщо треба знайти суму або різницю дробів з різними знаменниками, то спочатку їх зводять до спільного знаменника для цього: 1) Знайдемо НСК всіх знаменників ; 2) Знаходимо додаткові множники до кожного чисельника , поділивши спільний знаменник на відповідний чисельнику знаменник ; 3) Множимо додатковий множник на чисельник і записуємо в чисельнику результат ; 4) Виконуємо додавання в чисельнику і записуємо результат.
15
Наприклад :
2 5 4 2 5 8 5 13 1 1 3 12 12 12 12 12 3 5 7 6 3 3 5 2 7 18 15 14 47 23 1 2) 4 8 12 24 24 24 24 3 5 3 5 9 10 19 7 8 9 3) 3 5 (3 5) ( ) 8 4 6 4 6 12 12 12
1)
Віднімання :
a b ab ; n n n
a b am bn n m mn
Дії виконуються аналогічно до попереднього , тільки дія додавання замінюється на дію віднімання. 1)
3 2 1 5 5 5
1 4
1 3
3) 5 3 5
...
2)
3 4 15 4 11 3 4 3 1 12 12 12 12 12
3 2 3 3 5 2 9 10 1 1 5 3 15 15 15 15
1 5
5 5
1 5
4) 7 3 6 3 3
4 5
2. Множення дробів. Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо їх чисельники і окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий знаменником дробу. Доведення: c p . За d означенням ділення a=br, c=dp, звідки ac=br dp=bd rp. Оскільки bd 0, то з рівності ac=bd rp за означенням ділення маємо: a c a c ac r p , або . bd b d bd
Нехай a, b, c, d (b 0 d 0) - раціональні числа. Нехай
a r, b
Що і треба було довести. Оскільки цілий вираз можна вважати дробом із знаменником 1, то за сформульованим правилом можна перемножити дроби і цілі вирази. Правило множення дробів поширюється на добуток трьох і більше множників. Правила виконання множення: a b
1) n
an a an a 1 a a a або n ; 2) або : n ; b b b b n bn b bn
a c ac . b d bd
3)
Наприклад : 10 2 5 ; 3 3
4 8 2 ; 5 5
2 4 8 ; 3 5 15
5
1 7 25 67 5 67 335 47 2 3 6 12 20 12 20 12 4 48 48 4
Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати у чисельнику, а другий y знаменнику дробу. 3. Ділення дробів.
16
Дія ділення дробів обернена до множення. Дріб
d c
називають
оберненим до c . d
Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого. Правила виконання ділення: a a :n ; b bn
n:
a b nb n ; b a a
a c a d ad : b d b c bc
Щоб поділити на дріб , треба помножити на дріб обернений до дільника. При множенні і діленні мішаних дробів , їх попередньо перетворюють у неправильні. При множенні спочатку виконуються можливі скорочення. Будь яке ціле число можна записати у вигляді звичайного дробу , для цього його записуємо в чисельнику , а в знаменнику 1. Вправи: 1.Обчислити: 1 1 1). ; 4 7
3 1 ; 4 2
2).
3).
1 1 5 4). 10 5 2 ; 6 3 6
25 33 ; 42 56
5). 4
5 4 5 13 5 ; 6 5 12
3 7 1 2 5 45 17 1 1 3 1 7 4 1 2 6). 12 6 4 1 ; 7). 23 15 ; 8). 5 3 2 4 . 4 8 2 3 9 58 36 2 3 26 2 12 5 6 3
Відповіді. 1).
3 1 1 23 17 1 5 ; 2). ; 3). ; 4). 14 ; 5). 12 ; 6). 8 ; 7). 6 ; 8). 6 . 28 4 168 60 24 12 18
2.Знайти: 1).
3 2 від 6 ; 5 3
2).
3 2 від 3 ; 11 3
Відповіді. 1). 4 ;
2). 1 ;
3).
3). 3
7 1 від 4 ; 9 2
1 ; 2
4).
7 1 від 4 . 18 2
1 4). 1 . 3
3.Виконати дії: 1 1 4 24 : 8 15 : 7 7 1 9 5 4 1). 25 1 8 35 1 1 4 1 42 8 63 54 3 15 3 4 : 4).1 5 23 7 4 2 9 :1 5 5
1 15 2 1 2). 1 3 2 5 53 5 3
1 2 1 2 7 3).6 8 3 : 5 2 4 4 3 2 5 12
3 8 2 3 6 :1 2 4 33 5). 5 5 9 1 :1 17 17
5 3 2 2 : 1 5 6). 8 4 1 2 5 6 6 10 5 8
Відповіді. 2 1) 26 ; 3
1 2) 0 ; 3) 59 ; 3
2 4) 0 ; 5) 6 ; 3
6) 1.
17
Виконати дії в області дійсних чисел. 1 3 4 1 Довідка до виконання вправ. 1) 1 25 36 : 16,5 4 4 4 5 4 Порядок дій: 1. Дії в дужках в порядку 2,3. 2) 5 1 2 2 4,2 : 3 3 6 2 1 3 1 4 7 5 7 3 4 2. Множення, ділення. 2 3 5 1 2 3. Додавання, віднімання. 3) 4 : 5 3 0,6 7 1,5 3 5 8 5 5 Модуль (абсолютна величина) числа 4 5 3 3 1 4) 6,6 : 1 9 7 : 5 x, 5
5 4 4 8 4 1 5) : 0,8 1,25 : 0,64 1,2 0,5 5 25 1 7 9 5 1 6) 0,25 7 : 3 5 1 3,4 : 4 6 12 40 8 4 2 3 7) 9,3 20,8 1 3 4 2 3 1 4 8) 6 5 15 4,3 2,5 3 3 4 2 5 1 2 9) 10,8 2 1,5 4 5 3 2 1 2 10) 2 6 26 5,4 3,5 2 4 5 3 5
x x ,
якщо х≥0 якщо х<0 Дії над числами : 1. Якщо знаки чисел однакові, то додаємо модулі чисел і ставимо їх знак. -2 –3=-5 , 2 + 3=5. 2. Якщо знаки чисел різні, то від більшої абсолютної величини віднімаємо меншу і ставимо знак більшої абсолютної величини. -2+5=3, 2-5=-3
5 6 11) 21,6 91,7
6 7 3 15 2 6 4 15 12) 7 37 5 5 19 3 7 5 29 2 6 9 13) 3 1 5,8 9 7 14 5 10 1 2 3 14) 4 2 15 8 3 16 31 2 3 13 5 1 15) 0,5 2 5 11,4
6 6 1 1 1 4 11 16) 5 3 17 5 1 2 11 3 13 25 7 4
3
17) 3 2 1 4 5 8 5 7 7 5 3
2
3 1 3 5 2 18) 3 2 6 2 2 4 3 7 6 17
19) 2 1 2 2 1 7 2 5 7 3 4 5 37 20)
1 1 5 4 1 4 2 2 4 3 3 13 12 5 13
Дріб
m n
m<n – правильний m>n - неправильний 2
3 - мішаний дріб 5
Перетворення мішаного дробу у неправильний 3 2 5 3 13 2 5 5 5
Дії над дробами 1. При додаванні та відніманні треба звести до спільного знаменника. 2. При множенні множимо чисельники і знаменники a c ac b d bd
3. При діленні ділене множимо на дріб обернений до дільника
a c a d ad : c d c b c b
18
Відповіді. 7 1) 2 ; 8
1 7 11 29 1 11 2) 17 ; 3) 11 ; 4) 2 ; 5) 1 ; 6) 2.3; 7) 46 ; 8) 118 ; 9) 6.3 ; 3 15 12 60 5 15 2 3 110 10) 61 ; 11) 96 ; 12) 34 ; 13) 14.5 ; 14) 34.5 ; 5 5 133
2.5 Десяткові дроби. Десяткові дроби – це дроби, дробова частина яких являє собою кількість десятих, сотих і т. д. від одиниці і записується: 2
1 2,1 ; 10
3
23 3,23 ; 100
5
107 5,107 1000
Властивості десяткових дробів: 1. Десятковий дріб не зміниться, якщо до нього додати або відкинути декілька нулів справа. 12,3 12,30 12 ,300
2. Десятковий дріб зростає в 10, 100, 1000 і т. д. разів, якщо кому перенести вправо на стільки цифр, скільки містить 1 з нулями. Отже, помножити на 1 з нулями означає перенести кому вправо на стільки цифр, скільки нулів у множнику. 2,53 10 25 ,3 ; 3,453 100 345,3 3. Десятковий дріб зменшується в 10, 100, 1000 і т. д. раз, якщо кому перенести вліво на один, два, три і т. д. знаки Отже, поділити на 1 з нулями означає перенести кому вліво на стільки цифр, скільки нулів у дільнику. 3,43 : 10 0,343;
8,143 : 100 0,08143
Дані властивості дають можливість спростити ділення десяткових дробів, помноживши ділене і дільник на 1 з такою кількістю нулів, як у числа з більшою кількістю десяткових знаків. 2,4 2,4 100 240 40 0,06 0,06 100 6
Додавання та віднімання десяткових дробів виконується так само, як додавання та віднімання цілих чисел, треба тільки слідкувати за тим, щоб кожен розряд записувати під відповідним розрядом. 3,7 _ 8,345 _ 3,500 + 5,21_ 2,125 + 0,04 3,135 1,375 13,821 17,561 Множення десяткових дробів виконуємо, як множення цілих чисел, не звертаючи уваги на коми. У відповіді комою відділяємо стільки знаків, починаючи справа, скільки їх в сумі мають співмножники, до коми: 20,64 0,5 10,320
1,125 0,08 (1125 8 9000 ,а відділити треба 5 десяткових знаків, тому це буде
0,09000 = 0,09). Отже, 1,125 0,08 0,09
19
Ділення десяткових дробів У частці кому ставимо тоді, коли для подальшого поділу необхідно дописувати нулі. 10,28:64 = 0,160625 0,48:75 = 48: 7500 = 0.0064 _ 10280│6400___ _ 48000│ 7500_ 6400 0,160625 45000 0,0064 _ 38800 _ 30000 38400 30000 _ 40000 0 33400 _ 16000 12800 _ 3200 3200 0 Вправи: 1) Знайти х a )12,5 : x 0,05;
в ) x : 1,5 0,25`
б )12,5 : x 0,625
г )35,53 : x 5,225
Відповіді. а) 312,5; б) 20; в) 0,375; г) 6,8; 2) Виконати дії: а ) 0,091 100 6 15 0,12 8 5;
б ) (0,6 0,25 0,125) 3,2 4,5 : 100; в )12,5 : 100 7,5(0,06 3,24) 4 : 10; г )(1,2 0,15 12 : 100) : 1,25 0,24.
Відповіді. а) 94,3;
б) 2,365;
в) 24,475; г) 0; 3) Обчислити:
20,15 6,05 6,3 ; (0,2 11,8) 0,5 (2,35 4,65) 5,3 ; в) 40 2,9 а)
Відповіді. а) 3,4;
б) 0,205;
(11,69 9,3 12,79) 0,9 ; 36 (7,63 5,13) 0,4 . г) 3,17 6,83 б)
в) 1; г) 0,1.
2.6 Періодичний десятковий дріб. Періодичним дробом називається десятковий дріб, в якому починаючи з деякого десяткового знаку цифри повторюються. 1) 0,333…= 0,(3); 2) 0,4222…= 0,4(2); 3) 6,2323… = 6,(23). Дроби 1 та 3 називаються чистими періодичними дробами і читаються нуль цілих і три в періоді. Дріб 2 – мішаний періодичний дріб. Перед початком виконання дій з періодичними дробами їх спочатку переводять у звичайні, а потім виконують дії. 1) Щоб чистий періодичний дріб перевести у звичайний треба період записати у чисельнику, а у знаменнику стільки 9, скільки цифр у періоді.
20
5 0, (5) ; 9
2, (23) 2
23 ; 99
3 1 5, (3) 5 5 . 9 3
2) Щоб мішаний періодичний дріб перевести у звичайний потрібно у чисельнику записати різницю між числами, що стоять до другого періоду і числом до першого періоду, а в знаменнику стільки 9, скільки цифр в періоді, і стільки 0, скільки цифр до періоду. 0,70(14)
7014 70 6944 , 9900 9900
Поділити: 0,70(14) : 0,00(62)
0,00(62)
62 0 62 9900 9900
6944 9900 6944 62 : : 112 9900 9900 9900 62
Вправи: 7 0,42(6) 0,12(3) 40 а) 0,25; 3 1 0,128 6 0,0345 : 25 4 1 (0,16 ) : 0,25 3 12,5 0,64; б) 0,12(3) : 0,0925 5 ( 2,708(3)) : 2,5 8 в) 0,5; 110 1,3 0,7(6) 0, (36) 401 3 8 38 1 (2 ) : 13 3 0, (26) 65 9 г ) 45 15 0,5. 1 1 (18 13, (7)) 2 85 0,725 0,6
Відповіді. а) 1; б) 11;
в) 1;
г) 9.
3. СТЕПЕНІ ТА КОРЕНІ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. 3.1 Визначення степеня. Властивості степенів. Добуток декількох однакових множників можна записати у вигляді виразу, що називається степенем. 5 5 5 5 5 5 5 57
Множник, що повторюється, називається основою степеня - це число 5. Число, що показує кількість множників, що повторюються, називається показником степеня, - це число 7. Визначення: Степенем числа а з натуральним показником n, називається добуток n множників, кожний з яких дорівнює а і записується a n . Отже, a n a a a ... a, n
a1 a
21
Дія знаходження степеня називається піднесенням до степеня. При піднесені до степеня можемо одержати будь-яке число в залежності від значень основи і показника. Якщо показник число парне, то степінь з додатною і від’ємною основою є число додатнє: a 2 n 0 Степінь є числом від’ємним, якщо основа від’ємна, а показник є числом непарним (2n-1). a 2n1 0 , якщо а<0 a 2n1 0 , якщо а>0 Якщо основа дорівнює нулю, то і степінь дорівнює нулю: 0 n 0 Квадрат будь-якого числа є число додатнє: a 2 0 . Увага! Слід відрізняти записи від’ємного степеня a n та від’ємного n числа у степені a – це різні вирази. -22= -4; (-2)2= 4; -(-2)2= -4 (-3)3= -27; -33= -27; -(-33)= -(-27)= 27. Наприклад: Знайти значення виразу -34+(-2)6= -81+64= -17 -62-(-1)4= -36-1= -37. 3.2 Дії над степенями. 1. Будь- яке число а 0 в нульовому степені дорівнює одиниці: а0=1, 1
тобто 30=1; ( 2 )0=1; (-2)0=1. 2.При множенні степенів з однаковою основою показники додаються, основа залишається тією ж.
a n a m a n m
23×24=27; (-3)2×(-3)3=(-3)5. 3.При ділені степенів з однаковою основою показники віднімаються, основа залишається тією ж. n
a :a
m
a
nm
an
або
am
a nm
35: 32=33; (-5)4 : (-5 )2= (-5)2 Якщо показник степеня більший за знаменник m>n, то ми одержуємо степінь з від’ємним показником: 23 1 =2-1= , 4 2 2
32 1 32 2 . 4 3 3
Отже,
a
n
1
a b
n
n
b . a
, an 4.Щоб піднести степінь числа до степеня необхідно показники перемножити.
a
n m
a nm 1 3
1 3
(22)3=26; ((-2)3)4= (-2)12; (( ) 2)4= ( ) 8 .
22
5.Щоб піднести до степеня добуток, необхідно до даного степеня піднести кожний множник окремо, а потім результати перемножують, якщо необхідно.
a b n a n b n
(2 xy)3 =23 x3 y3= 8x3 y3; (3·4)5=35·45. 6.Щоб піднести до степеня частку необхідно до даного степеня піднести і ділене, і дільник n
an a n b b 3 2
( )4=
34 24
3 5
; (- )3=
33 53
Степені можемо множити (ділити) тільки у двох випадках, коли однакові основи або однакові показники. n a n a m a n m ; a n b n ab ; n an an a nm a або n . b am b Всі наведені властивості застосовуються і в зворотному напрямку: n 1. 1=а0 a an n+m n m 5. 2. а =a a n
3. а
b
an = m a
n-m
n·m
b
n m
6. а =(a ) =(am)n.
4. anbn=(ab)n Наприклад : 1. Виконати дії. 3 7
( )4 · (
5a 2 3 7b 2 4 3 4 5 3 a 6 7 4 b 8 3 41 a 6 4 b 86 3 a 2 b 2 ) · ( )= 4 3 6 4 4= = 5 7 3 b 5 a 5 4 3 3b 2 5a
або ці ж дії виконуються наступним чином через скорочення, тобто виконання дій зі степенями усно. 3 7
( )4 · (
4 3 62 4 8 2 3a 2 b 2 5a 2 3 7b 2 4 3 5 a 7 b ) · ( ) = = . 5 7 4 33 b 6 5 4 a 4 3b 2 5a
2. Обчислити: 2 5 (2 3 ) 4 2 5 212 217 = 13 = 13 =24=16 13 2 2 2
Вправи: 1. Виконати дії : 2
4m mk 7 · ; 16 k7 1 2. 0,7a4b6 · ab 2 ; 7
1.
3. (0,64)3:0,610;
4.
x6 x2 : ; y 4 y8
5. (p6)4: (p3)5 ; 6. -3,5x4y·2x2y7;
7. 36a3:
12a 2 ; b
8. a2 · (a3)6:a14
23
2. Обчислити: 1.
7 7 77 4
5
;
2. 9
9 98
6
4
3. 2
;
3
24
2
2 3
;
4. 3
32 34 35 3 4
3
3. Представити у вигляді степеня з основою 5. 1. 254; 2. 1253; 3. 6252. Відповіді. 1: 1)
a 5b8 1 3 ; 3) 0,36; 4) x 4 y 4 ; 5) p 9 ; 6) 7 x 6 y 8 ; 7) 3ab ; 8) a 6 . m ; 2) 10 4
2: 1) 49; 2) 81; 3) 2; 4) 1. 8 9 8 3: 1) 5 ; 2) 5 ; 3) 5 . Стандартний вигляд числа. Стандартним видом числа називається його запис у вигляді a·10 n, де 1<а<10, n - ціле число. Число n називається порядком числа. Наприклад: 73000=7,3·104, 0,0026=2,6·10-3. Стандартний запис числа використовується для запису фізичних сталих і при виконанні дій над великими і малими числами. м Наприклад: Швидкість світла С=2,998·108 с . Заряд електрона е =1.60·10-19К. Маса електрона Mе=9.11·10-31кг. 3.3 Квадратний корінь. Дії з коренями. Якщо є дія піднесення до степеня, то обернена дія — знаходження основи по заданому значенню степеня, називається добування кореня і позначається знаком √¯ який називається радикалом. 2 2 x 2 9 x 9 , тобто x1 3 , так як 3 =9 та x2 3 , так як (-3) =9. Квадратним коренем з числа а називається число, квадрат якого дорівнює а. Приклади: x 2 0,49 , звідси x 0,49 , x 0,7 ; x2 2,5, х— не існує. Квадратний корінь з від’ємного числа не існує, оскільки немає числа, квадрат якого дорівнює від’ємному числу. Квадратний корінь з 0 дорівнює нулю. Невід’ємне значення квадратного кореня називають арифметичним значенням цього кореня. Арифметичне значення квадратного кореня з числа а позначають a . 9 3,
1600 40 ,
0 0.
Обчислення арифметичного значення квадратного кореня називається добуванням квадратного кореня. Бажано знати: а a
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Квадратні корені інших чисел шукаємо за допомогою таблиць або МК. Наприклад: 0,04 0,2 0,2 2 0,04 ; 1,21 1,1 1,12 1,21; 10,24 3,2 3,2 2 10,24 .
24
1.
3.4 Властивості квадратних коренів. a — невід’ємне значення квадратного кореня з невід’ємного числа а.
a a Тому: 2. Корінь з добутку невід’ємних чисел дорівнює добутку коренів з цих ab a b a 0, b 0 чисел. 2
Доведення: Якщо a i b довільні невід’ємні числа, то числа
2
2
a, b,
2
ab , a b також невід’ємні. Крім того a b a b ab . Отже a b — невід’ємне число, квадрат якого дорівнює ab , тобто ab a b
3. Корінь із частки невід’ємних чисел і знаменник якої не дорівнює нулю, дорівнює частці коренів чисельника і знаменника. a a b b
Доведення: Якщо
a0,b0 2
додатнє. Крім того
a b
a b
, то числа
2
2
a 0 ,
a b
b 0 a , b
a,
a b
— невід’ємні,
b—
.
a Отже, a — невід’ємне число, квадрат якого дорівнює , тобто b
b
a b
a b
.
4. Корінь із степеня з парним показником дорівнює степеню з показником у два рази меншим. a 2k a k
У властивостях 2, 3, 4 можна поміняти місцями ліві і праві частини, що використовується при виконанні дій і спрощенні виразів. a a ; b b
a b c abc ;
a
2k 2
a 2k
a a a a 2 a , якщо a 0 , оскільки арифметичний Увага! корінь є число невід’ємне, тому буде завжди правильний запис: a2 a .
3.5 Перетворення виразів з коренями. 1. Вирази, що містять корені можна додавати, віднімати, множити і ділити (на дільник відмінний від нуля). 2. 5 3 2 3 3 3 ; Наприклад: 1. 3 2 4 2 7 2 ; 3. 9 2 3 2
3
9 2
3 2
3;
4.
8 6 2 3
4
8 6 4 2 ; 2 3
5. 6 5 2 5 6 2 5 5 12 5 2 12 5 60 ;
7. 2 3
2
6. 3 2
6
25
2 2 3 32
2
9 2 18 ;
6
6
2 2 6 3 64 33 64 27 1728 .
3
2. Внесення та винесення множника за знак кореня. Щоб винести множник за корінь, розкладемо вираз під коренем на множники з яких добувається корінь і, добувши з них корінь записуємо перед знаком кореня. 200 100 2 10 2 ;
12 3 4 2 3 ;
49 27 12 49 9 3 4 3 7 2 9 2 2 2 7 9 2 126 .
Щоб внести множник під корінь необхідно піднести його до квадрату і записати, як множник під коренем. 2 5 2 2 5 4 5 20 ;
Вирази, що містять корені називаються ірраціональними. Кінцеві вирази при виконанні перетворень не повинні містити ірраціональності в знаменнику. Щоб звільнитися від ірраціональності необхідно чисельник і знаменник помножити на вираз, що звільнить знаменник від кореня. 6 6 2 6 2 3 2 ; 2 2 2 2
Наприклад: 1. 2.
3
3
3 2
3 2
3 2 3 2
33 2 3 3 2 ; 92 7 2
33 2
2
32
В прикладі 2 використана формула a b a b a 2 b 2 . 3. a 2 x 6 ax 2 6 ax 12 2ax 3 ; x x2 2x 2 2x 2 2 2x ; 2 22 4 1 2
5. 2
x x 4x 22 2x ; 2 2 2
або 2 6. 7.
4. 9 a 3 a ;
x a x ax
a x
або
x
a x a
ax
ax a x
a x 8.(а- а )(1+ а )=
a
xa x ; a x x a x a x a x a x a x a x ax a x a x x a x a x.
a x
xa x
2
2
2
2
2
a x
a x а а а (1 а) = а ( а 1)( а 1) а ( а 1)
Вправи: 1).Обчислити: 1. 18,49 ;
2. 98,01 ;
6. 16 : 16 ;
7. 90 : 81 ;
3.
1 ; 4
4. 2 49 ;
8. 5 36 ;
5. 5 144 ;
9. 4,7 0.
26
2 Обчислити: 562 2 462 2 ; 2. 7 28 ; 628 2 528 2 ; 1. 5 45 ; 4. 22 88 ; 922 2 522 2 3. 3 75 ; 698 2 598 2 ; 3) Спростити вираз: (1+ 5 ) 2 - 20 ; (2+ 9 х )(2-3 х ) ; 1. (4- 3 )(4+ 3 ) ; (а+ а )( а 1 ). 2. (6+ 5 )(6- 5 ) ; (х- х )( х 1 ); (3- 4а )(3+2 а ); 2 (3- 2 ) + 72 . (2+ 3 ) 2 - 48 ; (5+ 4 х )(5-2 х ) ; 3. ( 44 6 )( 44 6 ); (n+ 2 n +1)( n 1 ).
2 5 80 ; 4. 2 3 1 12 1 ; 4 9с 4 3 с ); х 2 3 : х 3 . 4).Звільнитись від ірраціональності в знаменнику:
1. 2. 3. 4.
2 2 2 6 5 7 3
6
;
3 10
;
2 15 6 3 6
;
2 9
;
а
;
5 8
6
2
а 6 2с
;
с х в
;
48
;
12 11
;
;
44 7
;
а х у 2а
28 72
;
х а у
.
8
. .
.
5). Порівняти значення виразів: 2 2 27 i 9 . 3 3
1. 2 3 i
15 ;
2. 3 2 i
17 ;
4 10 i 10 2 ;
3. 26 i 3 3 ;
1,5 2 i 2 1,5 ;
4. 35 i 6 ;
4 2 i 2 8;
1). 12 75 2). 18 50 3). 4 3 24 4). 7 3 5 2
3 5 i 5 3;
1 54 . 3 2 1 125 i 4 . 5 2 1 5,4 . 0,1 35 i 3 0,2 150 i
6). Виконати дії:
3 ;
2;
12 ;
6;
2 18 12 8 . 5 12 3 3 2 3 . 3 2 50 3 2 . 12 5 3 2 3 .
7). Розкласти на множники: 5 5 ;
a a ;
x 3x ;
6 12 ;
3x 5 x .
8). Скоротити дріб: 2 2 2 1
;
3 3 3
;
10 5 5
;
a2 2 a 2
;
7 a ; 7 a2
x x x 1
.
27
9). Знайти суму, різницю, добуток і частку виразів: b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac . 2a
i
Відповіді. 1 ; 4) 14; 5) 60; 6) 4; 7) 10; 8) -30; 9) 0. 2
1. 1) 4,3; 2) 9,9; 3)
2. 1) 15; 320; 2) 14; 340; 3) 15; 360; 4) 44; 760. 3. 1) 13; 6; 4-9х; a ; 2) 31; x ; 9-4а; 11; 3) 8; 7; 25-4х; 4) 11; 9; 16-9с; x 3 . 4. 1) 2 2 ; 2 3 ;
n 1;
5 7 2c c x 11 ; 2 5; ; ; 3 cx 2 3 6 2a x a y ; ; 18 2 . 3) 3 2 15 ; 4 2 ; b a x y ; 7 ; 4) 2 3 6 ; 2 x a2 y 11 2 a2 x y
aa 6 ; 8 3; a2 6
2)
5. 1) <; <; <; 2) >; <; >; 3) <; <; >; 4) <; =; <. 6. 1) 21; 24 4 6 ; 2) -4; 42; 3) 122 2 ; -12; 4) 21 2 10 3 ; -18. x x 3 ; x 3 5 . 7. 5 5 1; a a 1; 8.
2;
b a
9. ;
3 1;
2 5; a 2;
1 7 a
;
x.
b 2 4ac c b 2 b b 2 4ac 2ac ; ; . a a 2ac
4. ВІДНОШЕННЯ. ПРОПОРЦІЇ. Частку ділення двох чисел називають відношенням цих чисел. a = n, b
a – попередній член відношення,
b – наступний член відношення. Рівність двох відношень називається пропорцією. a = b
c , d
a, d - крайні члени пропорції b, c – середні члени пропорції. Це випливає із запису відношень a:b=c:d. 4.1 Властивості пропорції: 1. Добуток середніх членів пропорції дорівнює добутку її крайніх членів. bc=a d 2. Один з крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх поділеному на другий крайній.
a=
bc , d
d=
bc a
3. Один із середніх членів пропорції дорівнює добутку крайніх поділеному на другий середній. b=
ad , c
c=
ad b
28
Наприклад: 1) Знайти х, яке задовольняє пропорцію
16 8 = x 5
Розв’язання: За третьою властивістю пропорції x=
16 5 = 2 5 10 8
Дві взаємозалежні величини називаються пропорційними, якщо відношення їх значень залишається незмінним. Незмінне відношення величин називається коефіцієнтом пропорційності k. a k, b
a kb
Дві залежні величини пропорційні, якщо зміна однієї величини викликає зміну другої у тому ж відношенні. Наприклад: При рівномірному русі зростання, часу в 2 рази, S V t, викликає зміну шляху теж у два рази. V швидкість стала і дорівнює 5
м c
Тоді за час t тіло пройде шлях S t1 2c t2 6 с
S1 5 2 10 м S 2 5 6 30 м
Знайдемо їх відношення: t2 6 3 t1 2
S 2 30 3 S1 10
Відношення рівні, отже при рівномірному русі шлях прямо пропорційний часу. Коефіцієнт пропорційності дорівнює V. Якщо дві залежні величини залежні одна від одної так, що при зростанні однієї друга спадає в тому ж відношенні то величини називаються обернено пропорційними. Наприклад: Робітник може виготовити 100 деталей за 10 днів, тобто він виробляв 10 деталей в день, але він почав виробляти 20 деталей в день, то план виконав за 5 днів. Отже, n1 10 деталей, t1 10 днів, то при n2 20 деталей, одержуємо t 2 5 днів n 2 20 2 n1 10
t2 5 1 t1 10 2
відношення цих величин обернені за величиною. Для обернено пропорційних величин справедливо a
k b
або
b
k . a
29
2) Число 680 поділити на три частини обернено пропорційні числам 1 3 5 , та . 2 4 6
Розв’язання: Шукані частини позначимо x, y,z, k– коефіцієнт пропорційності. За умовою задачі х обернено пропорційно аналогічно y
k 4 k, 3 3 4
z
1 k , отже x 2k , 1 2 2
k 6 k. 5 5 6
4 3
6 68 k 5 15 680 15 =150 k 68 k 150
За умовою задачі 680 x y z 2k k k Із рівності 680
68 k знаходимо 15
Отже шукані частини поділу будуть x 2k 2 150 300, y
4 4 k 150 200, 3 3
z
6 150 180. 5
Задачі на відношення: №1 Робітник, виконуючи замовлення по обточці валиків, працював три дні. В перший день він виконав 2 усього замовлення, в другий - 5 частини, що 9
14
залишилась, і в третій – решту замовлення. Скільки валиків обточив робітник за всі три дні, якщо в третій він обточив на 160 валиків більше, ніж у другий? Розв’язання: Всю кількість валків, які потрібно обточити, позначимо через одиницю. Після роботи в перший день залишилося обточити 1
2 7 частини. 9 9
В другий день було обточено
5 14
частини валиків, що залишилася,
тобто 7 5 5 частини. 9 14 18
В третій день обточили 7 5 1 частини. 9 18 2
Відомо, що в третій день робітник обточив на 160 валиків більше, ніж у другий. Отже, в частинах на третій день залишилося обточити більше, ніж у другий на 1 5 2 частини. 2 18 9
30
Вся кількість валиків становить 160 :
2 9 160 720 штук. 9 2
Відповідь. за три дні робітник обточив 720 штук валків. №2 До складу легкоплавкого скла входять кремнезем, вапно, поташ. Вага 1 2
1 6
кремнезему відноситься до ваги вапна як 2 : 2 , а вага поташу становить
11 25
ваги всієї скляної маси. Визначити, скільки виготовлено скла, якщо поташу взято на 4,5 кг. більше, ніж вапна. Розв’язання: 11 ваги всієї скляної маси, 25 11 14 загальної ваги. разом з вапном становить 1 25 25
Якщо вага поташу дорівнює
Розділимо
14 25
вага кремнезему
пропорційно числам 1 1 5 13 2 : 2 : 15 : 13 ; 2 6 2 6
15+13=28 частин. Тоді вага кремнезему становитиме 14 15 3 , а вага вапна -
14 13 13 25 28 50
25 28
10
За умовою задачі поташу взято на 4,5 кг більше, ніж вапна або в частинах 11 13 9 . 25
50
50
Загальна вага виготовленого скла дорівнює 9 4,5 : 25 кг. 50
Відповіді. скла було виготовлено 25 кг. №3 Для розвантаження баржі з дровами найняли дві бригади робітників. Перша бригада може розвантажити баржу за шість днів, а друга – за чотири. За скільки днів була розвантажена баржа, якщо на протязі двох днів працювала тільки перша бригада, а потім на допомогу їй прийшла друга? Розв’язання: Всю роботу беремо за одиницю. Тоді перша бригада на протязі одного дня виконає
1 частину всієї роботи, а друга 6
1 4
частину. Перша бригада за два
дні розвантажить 1 1 2 частину баржі. 6 3
Отже, коли обидві бригади працюватимуть разом, то їм залишиться розвантажити тільки
31
1
1 2 частини баржі, 3 3
а за день вони розвантажать 1 1 5 частини всієї баржі. 6 4 12 2 частини 3
баржі бригади розвантажать за 2 5 8 : 1,6 дня 3 12 5
Таким чином, на розвантаження баржі бригадам потрібно 2 1,6 3,6 дня Відповіді. баржа була розвантажена за 3,6 дня. №4 З двох міст, віддаль між якими становить 59,5 км, відправляють назустріч один одному пішохід і вершник. Швидкість вершника відноситься до швидкості пішохода, як 12 : 5 .Знайти швидкість кожного з них, якщо вони зустрілися через 5 годин після відправлення. Розв’язання: Пішохід і вершник пройшли відстань 59,5 км за 5 годин, отже, сума швидкостей пішохода і вершника дорівнює 59.5 : 5 11.9 км/год. Суму їхніх швидкостей розділимо пропорційно числам 12 та 5. Для цього складемо: 12+5=17 частин. На одну частину припадає
11,9 , тоді 17
швидкість вершника дорівнюватиме 11,9 12 8,4 км/год. 17
швидкість пішохода 11,9 8,4 3,5 км/год.
Відповіді. швидкість вершника – 8,4 км/год, швидкість пішохода – 3,5 км/год. №5 Пасажирський і поштовий поїзди вийшли одночасно назустріч один одному з двох міст, відстань між якими дорівнює 607,6 км. Пасажирський поїзд проходить за годину на 5,5 км більше поштового. Яка швидкість кожного поїзда, якщо через 4,2 години після їхнього виходу віддаль між ними становила 290,5 км? Розв’язання: Знаходимо віддаль, яку пройшли обидва поїзди: 607,6-290,5=317,1 км. Визначимо суму швидкостей пасажирського і поштового поїздів: 317,1 : 4,2=75,5 км/год Відомо, що за годину пасажирський поїзд проходить на 5,5 км більше поштового, отже, обидва поїзди разом (при однаковій швидкості) пройдуть 75,5-5,5=70 км/год. Поштовий поїзд проходить за годину 70 : 2 35 км, пасажирський
32
35+5,5=40,5 км. Відповіді. швидкість поштового поїзду дорівнює 35 км/год , швидкість пасажирського 40,5 км/год. №6 Троє братів купили разом автомашину. Молодший брат вніс на цю покупку
1 3
частину грошей, що були внесені середнім і старшим братами
разом. Середній вніс половину того, що внесли молодший і старший брати, а старший – 1000 крб. Скільки коштує автомашина? Розв’язання: Беремо кількість грошей, що внесені молодшим братом, за умовну одиницю. Тоді кількість грошей, що їх внесли старший і середній брати, становитиме 3 таких умовних одиниці, а вартість автомашини 1+3=4 частини. Отже, гроші, які внесені молодшим братом, складають 1 частину 4
вартості автомашини. Беремо кількість грошей, що внесені середнім братом, за якусь іншу умовну одиницю. Тоді кількість грошей , внесених молодшим і старшим братами, становитиме 2 умовних одиниці, а вартість машини – 3 таких умовних одиниці. Таким чином, кількість грошей, що вніс середній брат дорівнює 1 частині вартості машини. 3
Знаходимо, яку частину вартості машини складають гроші, внесені молодшим і середнім братами разом: 1 1 7 частини. 3 4 12
Старший брат вніс 1
7 5 частини, 12 12
становить 1000 карбованців. Знаходимо вартість автомашини: 1000 :
5 2400 крб.. 12
Відповіді. автомашина коштує 2400 крб. Вправи: 1).Знайти невідомий член пропорції 0.(7) : x 2, (3) : 0, (3) ; а) x : 300 54 : 40 ; б) 855 : 720 570 : x ; в) 608 : 912 x : 768 ; г) 100 : x 300 : 480 ;
1 0, (4) : x ; 4 0, (12) : 0, (6) x : 0, (3) ; 3, (3) : 2
x : 0,8(3) 0,75 : 0,41(7). 1 3 2 Відповіді. а) 405; ; б) 480; ; в) 512; ; 9 10 33
г) 160; 1
403 . 752
33
2).Задане число А поділити на три частини пропорційно заданим числам B, C,D а) А=1815, В=9, С=11, D=13. 1 2
3 4
5 6
в) А=100, В= , С= ; D= . Відповіді. а) 495; 605; 715. б) 24; 36; 40. 3).Число 4800 поділити на дві частини, які обернено пропорційні заданим числам. а) 3 та 2; б) 4 та 21; в) 7 та 13. Відповіді: а) 1920 та 2880; б) 4032 та 768; в) 3120 та 1680. 4.2 Відсотки або проценти. Відсотком (процентом) числа називають соту частину цього числа. Три основані задачі на відсотки. 1. Знаходження заданого числа відсотків від даного числа Щоб знайти задане число відсотків від даного числа, треба це число розділити на 100 (тобто знайти 1% від числа) і одержану частку помножити на задане число процентів. ap 100
Р% від а складає Задача. Знайти 24% від 300. 300 24 72 100
Віповідь. 24% від 300 складає 72. 2. Знаходження числа по даній величині його відсотків. Щоб знайти все число по заданій величині його відсотків, необхідно розділити цю величину на задане число відсотків (тобто знайти 1% шуканого числа) і одержану частку помножити на 100 Р% від x дорівнює b, то x b 100 p
Задача: 12% числа x дорівнює 60. Знайти число x
60 100 500 12
3. Знаходження відсоткового (процентного) відношення двох чисел.
Щоб знайти процентне відношення двох чисел ( тобто взнати скільки відсотків складає одне число від іншого) необхідно одне число розділити на інше (на те, яке приймається за 100%) і результат помножити на 100. a від b складає
a 100 % b
Задача: Скільки відсотків складає число 15 від 60 60 складає 100% 15 складає p % отже p
15 100% 0,25 100 25% 60
p 25%
34
Увага! При розв’язуванні задач на відсотки слід пам’ятати: 1. при знаходженні декількох відсотків p від числа a, дане число приймаємо за 100% 2. при знаходженні числа за даним його відсотком, шукане число приймається за 100% 3. при знаходженні відсоткового відношення двох чисел за 100% приймається число, з яким порівнюється друге. Дані правила можна записати у вигляді пропорції: b 100 % a з якої слідує b 100, a p% p
a
b p, 100
p
a 100% b
Вправи: 2 1 2 1 1 1.Знайти 33 % від 2 3 8,4 ; 2 1 3 2 1 3 2 7 2 21 2.Знайти 80% від 3,5 6 2,5 5 3 40 4 0,1 5 3.Знайти число, якщо 0,2% його дорівнює ; 1 3 2 49 3 1 5 2 3 1 2,5 5 2 7 4. Знайти число, якщо 25% його дорівнює ; 0,01 1 49 4 2 3 9 від 4 3 ; 5. Скільки відсотків становить 5 4 6 150 5 3 4 13 0,05 1 17 2,2 . від 6. 4,6 2 1 1 3 30 7 8 10
Відповіді. 1) 14; 2) 12; 3) 7000; 4) 400; 5) 25%; 6) 80%. 5. ОДНОЧЛЕНИ І МНОГОЧЛЕНИ ТА ДІЇ НАД НИМИ 5.1 Дії над одночленами та многочленами. Одночленом називається добуток двох або декількох співмножників, кожний з яких є або число, або буква, або степінь букви. b 2 ; a; a 3b; 2a 2 b; 3abc; 4 x 2 y 2 ; 5 xy ;
Одночлени називаються подібними, якщо відрізняються коефіцієнтом. 1) 4ab та 6ab; 2) ax 2 та bx 2 ; 3) ax 2 y 2 , bx 2 y 2 та cx 2 y 2 ; Коефіцієнтами є 1) 4 та 6; 2) a та b; 3) a, b та c; Подібні одночлени додаються та віднімаються. Дія зводиться до виконання дій над коефіцієнтами. 1) 3x 2 y 2 5 x 2 y 2 6 x 2 y 2 (3 5 6) x 2 y 2 4 x 2 y 2 .
вони
однакові,
або
35
2) ax y bx y cx y (a b c) x y . 3) 4 x 2 y 3x 2 y 2 2 x 3 y 2 6 x 2 y 2 5 xy 2 xy 2 x 3 y 2 6 x 2 y 2 3xy. Сума, різниця одночленів називається многочленом. Додавання многочленів – це утворення нового многочлена, що включає в себе всі члени многочленів, що додаються. 4a 2 2b 2 x 2 y 2 3a 2 4b 5x 2 y 2 4a 2 2b 2 x 2 y 2 3a 2 4b 5x 2 y 2 (зводимо подібні доданки, якщо вони утворилися) 7a 2 2b x 2 y 2 . Віднімання многочленів виконується, як додавання многочлена протилежного знаку. 2
2
2
2
2
2
2
2
(4a 2 2b 2 x 2 y 2 ) (12a 2 c 3b 5 x 2 y 2 ) 4a 2 2b 2 x 2 y 2 12a 2 c 3b 5 x 2 y 2 8a 2 b 3x 2 y 2 c
Іншими словами при виконанні цих дій ми виконуємо розкривання дужок. Якщо перед дужкою стоїть знак мінус, то перед всіма одночленами в дужках міняємо знак на протилежний. Щоб помножити (поділити) многочлен на одночлен необхідно кожен член многочлена помножити (поділити) на одночлен.
a b c x ax bx c x ; a b c : x x : x b : x c : x , або
abc a b c . x x x x
Щоб помножити многочлен на многочлен необхідно кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого многочлена.
3x
2
2 x 54 x 2 3x 2 4 x 3x 2 2 2 x 4 x 2 x 2 5 4 x 5 2
12 x 3 6 x 2 8 x 2 4 x 20 x 10 12 x 3 2 x 2 16 x 10
.
Члени многочлена беруть із своїми знаками і уважно слідкуємо за правилом знаків: якщо множники однакових знаків, то одержуємо знак плюс, якщо знаки різні, то одержуємо знак мінус. Якщо за дужки виноситься від’ємний спільний множник, то в дужках всі знаки міняються на протилежні a 2 3a 2 b a 2 1 3b a 2 3b 1 . 5.2 Розкладання многочлена на множники Розкласти многочлен на множники — це означає замінити його на добуток. Випадки, що найбільш часто зустрічаються: 1. Якщо всі члени многочлена містять однаковий множник, то його виносимо за дужки.
1. 7 a 2 xy 14a 5 x 3 7 a 2 xy 7 2 a 2 a 3 x x 2 7 a 2 x y 2a 3 x 2
2 . 6 x 2 y 3 2axy 2 4a 2 xy 2 xy 3xy 2 ay 2a 2
2. Групування членів многочлена, щоб можна було з групи винести спільний множник, а в дужках отримати однаковий вираз, який потім винести за дужки. 1. ax bx ay by xa b y a b a b x y
2. 10a 3 6b 3 4ab 2 15a 2 b 5a 2 2a 3b 2b 2 2a 3b 2a 3b 5a 2 2b 2
36
Прийміть до уваги: 1. a-b=-(b-a); 2. a+b=b+a.
3. 6ax 2bx 9by 27 ay 2 x 3a b 9 y b 3a 2 x3a b 9 y 3a b 3a b 2 x 9 y
3. Введення нових, що взаємно знищуються, членів, або розкладання одного з них на два доданки. 1. p 2 pq 2q 2 p 2 2 pq pq 2q 2 p p 2q q p 2q p 2q p q 2 . a 2 6ab 9b 2 a 3b , 2
4 x 2 20 xy 25 y 2 2 x 5 y
2
Використовуються формули скороченого множення: a b 2 a 2 2ab b 2 , a 2 b 2 a b a b , a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 . 3.12 x 3 4 x 3x 2 34 x 2 x4 x 2 4 x 2 3 x 2 x 2 x 3 x
x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 4 x 2 1 4. 2 3 x6 1 x 1 x 4 x 2 1 x 2 1
x 1 1 x 1x 1 x 1
5.3 Перетворення необхідні і при розв’язуванні рівнянь. Наприклад: 1. x 4x 8 x 2 , x 2 4 x 8 x 32 x 2 , 4 x 32, x 8 2. x 3 5 x 2 x 5 0 , x 2 x 5 x 5 0 , x 5x 2 1 0 , x 5 x 1 x 1 0 , добуток дорівнює нулю, якщо один із множників дорівнює нулю. Отже : x 5 0 або або x 1 0 x 1 0 . x1 5
x2 1
x 3 1
1. При яких х значення виразу x 6 x 10 найменше? Перетворюємо вираз x 2 6 x 10 x 2 6 x 9 1 x 32 1 , одержаний вираз буде найменшим, якщо x 3 0 , тобто x 3 . 2. Довести, що сума квадратів трьох послідовних цілих чисел не ділиться на 3. Нехай ці числа будуть n, n+1, n+2, тоді сума їх квадратів n 2 n 12 n 22 (розкриємо дужки) n 2 n 2 2n 1 n 2 4n 4 3n 2 6n 5 . При кожному цілому числу n числа 3 n 2 i 6 n діляться на 3, але 5 на 3 не ділиться, отже їх сума на 3 не ділиться. 2
6. ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ. 6.1 Формули скороченого множення. Є випадки множення многочленів, що часто зустрічаються, тому їх корисно пам’ятати. 2 2 2 1. b a 2ab b Квадрат суми двох величин дорівнює квадрату першого доданка плюс подвоєний добуток першого на другий плюс квадрат другого доданка.
37
Приклади: а). 104 2 100 4 2 100 2 2 100 4 4 2 10000 800 16 10816 . б). 2ma 2 nb 2 2 2ma 2 2 2ma 2 nb 2 nb 2 2 4m 2 a 2 4mna 2b 2 n 2b 2 . в). 2 a b 2 2 a 2 2b2 a b 2 4 4a a 2 4b 2ab b 2 . 2. a b 2 a 2 2ab b 2 Квадрат різниці двох величин дорівнює квадрату першої мінус подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другої величини. Наприклад: а). 98 2 100 2 2 10000 400 4 9604 . б). 5 x 2 3 y 25 x 4 30 x 2 y 9 y 2 . 2
3. a b a b a 2 b 2
Добуток суми двох величин на їх різницю дорівнює різниці їх квадратів. Наприклад: а). 71 69 70 170 1 70 2 12 4900 1 4899 . б). 0,2a 2 c 0,2a 2 c 0,04a 4 c 2 4. a 3 b 3 a ba 2 ab b 2 Різниця кубів двох величин дорівнює різниці цих величин помноженій на неповний квадрат їх суми. 5. a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 Сума кубів двох величин дорівнює їх сумі помноженій на неповний квадрат їх різниці. Формули скороченого множення: a b 2 a 2 2ab b 2 1.Квадрат суми 2.Квадрат різниці a b 2 a 2 2ab b 2 3.Різниця квадратів a 2 b 2 a b a b a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 4.Різниця кубів a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 5.Сума кубів a b 3 a 3 3a 2 b 3b 2 a b 3 6.Куб суми a b 3 a 3 3 a 2 b 3b 2 a b 3 . 7.Куб різниці 6.2 Вивід формул скороченого множення:
1. a b a b a b a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 Степінь представили у вигляді добутку і виконали множення двочлена на двочлен. 2 2. a b a b a b a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2 Дії аналогічні попередньому доведенню. 3. a b a b a 2 ab ab b 2 a 2 b 2 Виконали множення двочлена на двочлен. 4. a b a 2 ab b 2 a 3 a 2 b ab 2 a 2 b ab 2 b 3 a 3 b 3 2
a b a
2
ab b a a b ab a b ab b a b 2
3
2
2
2
2
3
3
38 3
Виконали множення за правилом множення многочленів. Отже:
5. a b a b a b a 2ab b a b a 2a b ab a 3 b 3 a b a 2 ab b 2 a 3 b 3 a b a 2 ab b 2
3
2
2
2
3
2
2
a 2b
2ab 2 b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a b 3 a b 2 a b a 2 2ab b 2 a b a 3 2a 2 b ab 2 a 2 b
2ab 2 b 3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
Отже:
a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 a b 3 a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3
Використання даних формул при розв’язуванні прикладів: 1.Спростити вираз: 1.1 2 x3 8 x 4 x 0,52 6 x 16 x 2 16 x 2 4 x 0,25 6 x 16 x 2 16 x 2 4 x 0,25 10 x 0,25
1.2 a 82 2a 8a 2 a 2 2 a 8 a 2 2 a 8 a 2 2 10 2 100 1.3 b 2b 2b 2 4 b 2 2 2 b 2 4 b 2 4b 2 4 b 2 4 2 b 4 16 2
1.4 x 32 x 32 x 3x 3 2 x 2 9 x 4 18 x 2 81 1.5 3m 23m 2 4 3m 2 2 2 4 9m 2 4 4 9m 2 2.Обчислити: 2.1 412 312 41 3141 31 10 72 720 2
26 2 12 2 26 1226 12 14 38 1 2.2 2 54 16 2 54 1654 16 38 70 5
3.Перетворити в добуток: 3.1. 2b 52 36 2b 52 6 2 2b 5 6 2b 5 6 2b 112b 1 3.2. 2 x y 2 x 2 y 2 2 x y x 2 y 2 x y x 2 y 2 x y x 2 y 2 x y x 2 y x 3 y 3x y
3.3. a 3b 3 1 ab3 13 ab 1a 2 b 2 ab 1 4.Спростити вираз і обчислити при заданому значені x: 4.1. 5 2 x 2 2,5 x8 x 7 , при x=0,2;
5 2 x 2 2,5 x8 x 7 25 20 x 4 x 2 4 x 2 17,5 x 25 2,5 x ,
обчислюємо при x=0,2
25 2,5 0,2 25 0,05 25,05
4.2. x 1 x 2 при x=2,5 2
x 12 x 2 x 1 x x 1 x 2 x 1 1 2 x 1 , обчислюємо при х=2,5 2 2,5 1 5 1 6
4.3. y 5y 2 5 y 25 y y 3 3 при y=-2 Спрощуємо вираз
39
y 5 y 3 y 125 3 y, 3
3
3
обчислюємо при y=-2
125 3 2 125 6 131
5.Довести подільність на 5 виразу
2n 33n 7 n 1n 1;
Спростимо вираз:
6n
2
14n 9n 21 n 2 1 6n 2 14n 9n 21 n 2 1 5n 2 5n 20 5n 2 n 4
Один із множників виразу є число 5 , отже вираз ділиться на 5. 6.Виконати дії: c 2 2c 1 c 4 c 1 c4 c 1 2 6.1. c4 c 4 c 1c 1 c 1 c 1 2
a 8 a 8 64 a 2 a 8 a 8 16a 6.2. : 2 a 8a 8 16a a 8 a 8 64 a 2 2 2 2 a 16a 64 a 16a 64 a 64 32a 1 2 1 2 16a 1 16a a 2 64 2
2
Вправи: 1.Виконайте дії: 7. b-(4-2b)+(3b+1);
1.
(а+b)-(c-a);
2.
2m-(m-5);
8.
4x-(1-2x)+(2x-7);
3.
–(2a-b)+(2b-a);
9.
3(6-5x)-(17x+10);
4.
5-(a-3);
10.
-4(3,3-8c)+4,8c+5,2;
5.
x+(2x+0,5)-(x-1,5);
11.
(3x+2)(2x-1);
6.
(5x-1)-(2-8x);
12.
(5a-2)(4-2b)
2. Скоротити дріб: a a 4a b 4b 1. a 4 3a 2 2 a 5 8a 3 16 a a 7 5 a 3. 3 a 2a 2 4a 8 x5 x4 x3 x2 x 1 x2 2 5. 6 x 1 x x2 4
2
2
b 4 2b 3 3b 2 2b 8 2 . b 3 3b 4 b5 b3 b2 1 b 34 b 4 . 3 b b2 b 1
3. Розкласти на множники:
1). 2). 3). 4).
x 9c ,
27 a 3 ,
x 3 2 x 2 y xy 2 ,
a 2 16c 2 ,
8c 3 1 ,
a 4 2a 3 c a 2 c 2 ,
m 2 25 x 2 ,
27 n 3 a 3 ,
m 2 n 2 2 mn 2 n 2 ,
64 a 2 x 2 ,
1 64 z 3 ,
x5 2x 4 x3 ,
2
2
4. Довести, що число 1. 7 7 7 ділиться на 43 2. 79 78 77 ділиться на 57 3. 89 88 87 ділиться на 73 10
9
8
2 x 12 49 2 64 3 x 2 2 49 2 5 x 2 36 x 2 1 x
40
4. 8 8 8 7 8 6 ділиться на 71 5. Розв’язати рівняння: 2 1. x 3x 3x 9 x 3 3x 2. x 32 x 4 x 2 5 3. x 2x 2 2 x 4 x 3 2 x 4. x 1x 2 x 1 x 3 2 x 6.Спростити вираз: 2 x 5 ; x 2 2 x 6x 9 x2 2 ab a 2 1 ; 4. 2 2 2 ab b a b a b 3 8a 3 18a 2a 3 2 6. 2 ; 2 2a 3 4a 9 4a 12a 9 4a 9 a4 a 2 16 2 : ; 8. 2 a 6a 9 2a 6 a 3
5 30 ; a aa 6 3a 6 a 25 3. a : 3a ; a4 a 4 3 2x 3 12 x 5. 2 ; : 1 4x 9 3 2x 2x 3
1.
2.
x 8 x x 20 ; 2 : 2 2 x 25 x 10 x 25 x 5 a2 a a3 a2 : ; 2 2 9. a 5 a 10a 25 a 5 a 25
7.
2
x2 y x 1 1 : 2 ; 2 x y y x y 3a 2 a 1 : 1 14. 2 a 1 1 a
1 3a 3 a3 2 ; : 2 2 a 1 a a a a
12.
11.
a a2 13. 1 2 x x
1 1 2 ; 2 a 2a 1 a 1 a 1
10. a 12
a x3 1 3 ; 3 x a x
Відповіді.
.
1. 1) 2a b c ; 2) m 5 ; 3) 3 b a ; 4) 8 a 5) 2 x 1; 6) 13 x 3: 7) 3 2b 1; 8) 8 x 1; 9) 8 1 4 x ; 10) 8 1 4.6c ; 11) 6 x 2 x 2 ; 12) 20a 10ab 4b 8 .
a 2 4b ; 2) b 2 ; 3) 35; 4) 13; 5) 0. a2 2 3. 1) x 3c x 3c ; 3 a 9 3a a 2 ; x x y 2 ;
2. 1)
4 x 3 x 4 .
2c 1 4c 2 2c 1; a 2 a c ; 3 10 3 x 2 x . 2 3) m 5 x m 5 x ; 3n a 9n 2 3na a 2 ; n 2 m 1 ; 5 1 x 9 5 x . 2 4) 8a x 8a x ; 1 4 z 1 4 z 16 z 2 ; x 3 x 1 ; 7 x 15 x 1. 2) a 4c a 4c ;
5. 1) -9; 2)
2
1 1 ; 3) -4; 4) . 2 3
6. 1) 5 ; 2) 3 x ; 3) a 5 ; 4) 1 ; 5) 1 ; 6) 0 ; 7) 2 ; 8) 0 ; 6 2 a6 3 x 3a x5 a a 5 1 1 a 9) ; 10) 2 ; 11) ; 12) x y ; 13) 1; 14) . a5 3 1 2a
41
7. АЛГЕБРАЇЧНІ РІВНЯННЯ. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. 7.1 Алгебраїчні рівняння. Розглядаючи різні процеси, величини, що їх характеризують, позначають буквами. Так: час – t, швидкість – V, шлях – S, прискорення – а та інші. В математиці сталі величини позначають a, b, c, d,..., змінні величини – x, y, z, t, u, v,… Рівність, що містить в собі невідомі, називається рівнянням. Степінь рівняння визначається за вищим степенем невідомого. ax b 0 - рівняння першого степеня і називається лінійним. ax 2 bx c 0 , 2 x 2 3 x 0 - рівняння другого степеня або квадратні. 3 x 3 2 x 5 0 - рівняння третього степеня. Рівність, яка вірна при любих значеннях змінних, називається тотожністю. a b b a a ( b c ) ab ac
Два вирази, відповідні значення яких рівні при любих значеннях змінних, називаються тотожньо рівними. Приклади тотожньо рівних виразів 2c 3 та 6 c ; 3( x y ) та 3x 3 y ; (2a ) (7b) та 14a b . При розв’язкові рівнянь виконуємо тотожні перетворення, такі як зведення подібних, розкриття дужок, а також дії пов’язані з властивостями рівнянь. Розв’язати рівняння означає знайти значення невідомих, при яких рівняння перетворюється в правильну рівність. Одержані значення невідомих називаються розв’язком рівняння або коренями рівняння. Коренем рівняння називаються значення змінної, при яких рівняння перетворюється у правильну рівність. Наприклад: 4 x 15 x 15 Дане рівняння першого степеня має один корінь x=10 . Підставимо 10 в рівняння замість x 4 10 15 10 15
40 15 25 25 25
Рівняння ( x 2)( x 4 )( x 5) 0 має три корені 2, 4, 5. Ці числа перетворюють в нуль один із множників, тобто і всю ліву частину, тому що будь-який вираз помножений на нуль дорівнює нулю. Розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені або довести, що їх немає. Рівняння, що мають однакові корені називаються рівносильними. Рівняння, що не мають коренів, також вважаються рівносильними. Рівносильні перетворення рівнянь. а) Якщо до обох частин рівняння додати одне і те ж саме число (або вираз) то одержимо рівняння рівносильне попередньому.
42
б) Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те ж число (або вираз)відмінне від нуля, то одержимо рівняння рівносильне попередньому. На основі цих теорем виконуються перетворення рівнянь при зведені їх до виду ax b 1. Доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком (невідомі – вліво, відомі – вправо) перед цим розкривши дужки, якщо рівняння їх містило. 2. Якщо рівняння містить дробові вирази, то звільняємось від знаменника, помноживши обидві частини на знайдений спільний знаменник. 7.2 Розв’язування лінійних рівнянь і таких, що зводяться до лінійних.
Рівняння виду ax b ,де х – змінна, а та в – деякі числа, називаються лінійним рівнянням з однією змінною. Лінійне рівняння має корені: 1. ax b, a 0 , тоді ділимо на а і маємо x
b - корінь єдиний. a
2. ax b, a 0, b 0 , тоді 0 x 0 . Будь-яке значення х задовольняє рівняння. Коренів безліч. 3. ax b, a 0, b 0, тоді 0 x b , що неможливо. Коренів немає. Наприклад: Розв’язати рівняння: 1. 4( x 7) 3 x Розкриваємо дужки: 4 x x 3 28 Зводимо подібні: 5x 25 Ділимо обидві частини на 5: x 5 Ми виконали чотири рівносильних перетворення і одержали розв’язок рівняння х = - 5. Правильність розв’язку можна перевірити. Для цього -5 підставляємо замість х в умову 4 5 7 3 5 42 3 5 88
Одержана рівність правильна, отже, х = - 5 – корінь рівняння. Вправи: Розв’язати рівняння. 1). 5x 150 0 ; 2). 12 x 1 35 ; 3). 7 6 0,2 x ; 4). 48 3 x 0 ; 5). x 4 47 ;
6). 0,7 x 2 65 ;
9). x 7 8x 9 x 3 4 x ; 11).
1 3 5 ; 2 x 3 x( 2 x 3) x
1 3 1 1 1 1 y 3 y ; 8). p p ; 4 8 2 6 2 2 10). 15(2 3x ) 5( x 12) 8(1 7 x ) ; x3 6 2x 2 x 1 12). x ; 3 2
7).
43
13).
2 x a x b 3ax (a b) 2 ; b a ab
14).
1 9 x 8 5x 1 1 x 1 1 x 2 ; 5 2 7
2
1 1 1 15). x 4 x 8 x 8 16 ; 2 2 2
16. На заводі у трьох цехах працюють 624 робітники. У другому цеху робітників у 5 раз більше, ніж у першому, а в третьому стільки, скільки у двох перших разом. Скільки робітників у кожному цеху? 2x 2 x 1 5x 2 ; x 4 x 4 16 x 2 xm xn 2 ; 19). n m
17).
18).
2x2 1 x 5 1 2 ; 3 x 27 x 3x 9 x 3 y 1 y 1 ay 3 2 2 20). . a 2 a 2a a 4
Відповіді. 1) 30; 2) 3; 3) -5; 4) 16; 5) -43; 11)
4 ; 3
6) 90; 7) 5,25; 8) 1,25; 9) 1; 10)
12) -3; 13) 2b; 14) 2; 15) -16; 16) 52, 260, 312; 17)
19) m-n; 20)
1 ; 6
19 ; 3
18) 5;
a 2 2a 2 . 3a 2
7.3 Алгебраїчні рівняння та їх розв’язок (узагальнення) Рівність, що містить в собі змінну (невідоме) називається рівнянням. Розв’язати рівняння – це означає знайти всі значення змінної, при підстановці яких в рівняння одержуємо вірну рівність. Ці значення змінної називаються коренями рівняння. Рівняння, що мають однакові корені називаються рівносильними. Перетворення, що виконуються для спрощення рівняння і при цьому утворюються рівносильні рівняння: а) доданки можна перенести з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком; б)Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те саме число відмінне від 0.
в) Рівняння виду
f x 0 замінюємо рівносильною системою q x
f ( x) 0 g ( x) 0
г) Не можна ділити рівняння на вираз, що містить невідоме, тому що можна загубити корені. Потрібно перенести все в одну сторону і спільний множник винести за дужки. f x h x q x h x f x h x q x h x 0
h x f x q x 0
44
д) Якщо при розв’язані рівняння підносимо обидві частини до парного степеня, то необхідно перевірити корені, бо ця дія призводить до одержання лишніх коренів. Корені для перевірки підставляємо в умову! Приклади алгебраїчних рівнянь: ax b 0 , - лінійне рівняння з одним невідомим; ax by c 0 , - лінійне рівняння з двома невідомими; ax 2 bx c 0 - квадратне рівняння; ax 4 bx 2 c 0 - біквадратне рівняння. Якщо невідоме знаходиться під коренем, то рівняння ірраціональне. 8.СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ДВОМА НЕВІДОМИМИ.
Є досить багато задач, при розв’язуванні яких утворюються рівняння з двома змінними. Одна змінна позначається х, а друга у (можуть бути інші змінні z, t, u, v тощо.). Загальний вигляд рівняння першого степеня з двома змінними ax by c . Кожна пара чисел, яка задовольняє рівняння з двома змінними називається розв’язком цього рівняння. Щоб знайти розв’язок такого рівняння, слід підставити в рівняння довільне значення першої змінної і, розв’язавши утворене рівняння, знайти відповідне значення другої змінної. Наприклад: 3x y 5 Якщо x 1 , то 3 1 y 5 , звідки y 2 . Пара чисел x 1 і y 2 – розв’язок рівняння, який записують 1;2 . Якщо x 2 , то 3 2 y 5 ,-y=5-6, y=1. Розв’язок 2;1 Надаючи змінній x різних значень ми знайдемо відповідні значення y , тобто
розв’язків буде скільки завгодно. Кожне рівняння з двома змінними має безліч розв’язків. Всі властивості лінійних рівнянь з одним невідомим справедливі і для рівнянь з двома невідомими. Розв’язки рівняння першого степеня з двома невідомими є пара чисел, яка являє собою координати точки на y площині. Якщо сполучити ці точки, то ми одержимо пряму, яку називають графіком 2 1 даного рівняння. ● Наприклад: -2 -1 2 3 x Рівняння 3 x 2 y 6 має розв’язки 2;6 , -3 -4 1;4,5 , 0;3 , 2;0 , 3;1,5 . ●
-5 -6
45
Позначимо ці точки на координатній площині і проведемо лінію, яка має вигляд прямої. Кожна точка графіка рівняння має такі координати, що задовольняють дане рівняння. Щоб побудувати графік рівняння першого степеня з двома невідомими, досить знайти два його розв’язки, позначити на координатній площині відповідні їм точки і провести через них пряму. А(-2;6), В(2;0). Графіки рівнянь з одним невідомим будуть: 1. 2 y 8 , y 4 – це рівняння задовольняють всі точки з координатами a;4 . Мал.1. y 4
y
y=4 0x+2y=8
x=2
x Мал.1
2
3x+0y=6 x
Мал.2
2. 3x 6 , x 2 множина розв’язків 2;6 . Мал.2. 3. 0 x 0 y 0 — рівняння задовольняє будь-яка пара чисел, графік його — вся координатна площина 4. 0 x 0 y 2 — розв’язків не має, графік порожня множина. 8.1 Розв’язування систем двох лінійних рівнянь . (узагальнення)
Якщо вимагається знайти спільний розв’язок двох чи кількох рівнянь, то говорять, що ці рівняння утворюють систему. a1 x b1 y c1 , де a1, a2 , b1, b2 , c1,c 2 - деякі числа x, y - змінні, a2 x b2 y c2
Система виду
називається системою двох лінійних рівнянь з двома невідомими. Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називаються пара значень зміних , що перетворює кожне рівняння системи у правильну рівність. Дві системи називаються рівносильними , якщо вони мають одну і ту саму множину розв’язків. Кожне рівняння системи геометрично на площині зображається прямою. Графічно розв’язати систему –це означає відшукати координати точок спільних для графіків рівнянь. В залежності від розташування прямих на площині може система мати розв’язки: а) прямі перетинаються – єдиний розв’язок б) прямі паралельні — немає розв’язків
46
в) прямі співпадають – безліч розв’язків За коефіцієнтами системи можна визначити кількість розв’язків. Отже: a1 x b1 y c1 y k1 x b1 або a2 x b2 y c2 y k2 x b2
1)
k1 , k 2 - кутовий коефіцієнт прямої.
Прямі перетинаються, система має єдиний розв’язок, якщо a1 b1 або k1 k2 . a2 b2
2)
Прямі паралельні, система немає розв’язків, якщо a1 b1 c1 або k1 k2 , b1 b2 . a2 b2 c2
3) Прямі співпадають, система має безліч розв’язків, якщо a1 b1 c1 або k1 k2 , b1 b2 . a2 b2 c2
8.2 Методи розв’язування систем лінійних рівнянь.
1. Метод підстановки. 2. Метод додавання. 3. Графічний метод. 1. Метод підстановки полягає в тому, що ми визначаємо одну змінну з одного із рівнянь і підставляємо в друге. y 7 3x y 7 3x 3x y 7 5 x 12 y 2 5 x 127 3 x 2 5 x 84 36 x 2
а)
y 7 3x y 7 3x y 7 3 2 y 1 41x 82 x 2 x2 x 2
Відповідь. (2;1). x 3 2y x 3 2y 2 x 3 y 13 x 3 2 y x 2y 3 23 2 y 3 y 13 6 4 y 3 y 13 7 y 7
б)
x 3 2 1 x 5 y 1 y 1
Відповідь. (5;1). 2. Метод додавання полягає в тому, що ми множенням на числа рівнянь одержуємо, що при однаковому невідомому коефіцієнти будуть рівні за величиною і протилежні за знаком, потім ми додаємо до одного рівняння друге і одержуємо рівняння з одним невідомим.
47
2 x 3 y 5 а) x 3 y 38 3 x 33 x 3 y 38 x 11 3 y 38 11 x 11 y 9
2x 3 y 5 б) x 4 y 3 2 2x 3 y 5 2 x 8 y 6 11 y 11 x 4 y 3 y 1 x 3 4 1 x 1 y 1 1;1
11;9
2 x 3 y 6 3 в) 3x 2 y 4 2 6 x 9 y 18 6 x 4 y 8 13 y 26 2x 3y 6 y2 2 x 6 6 y 2 x 0 0;2
3.Графічний метод полягає в тому що ми знаходимо координати точок перетину прямих що є геометричним зображенням рівнянь системи на площині. x 2y 2 3 x 5 y 17
будуємо прямі за допомогою двох точок: x 2y 2
x 4 -1 y -1 -4
x 0 2 y 1 0 y А -1
В 4 ● -1 А1
3 x 5 y 17
A0;1 B2;0 x
A1 4;1 B1 1;4
Точка А1(4;-1) є точка перетину прямих. Отже х=4 у=-1 є розв’язком системи рівнянь. Відповідь. (4;-1).
В1
9. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ, ЇХ ВИДИ ТА РОЗВ’ЯЗУВАННЯ. Квадратні рівняння
Квадратним рівнянням називається рівняння виду: ax 2 bx c 0 де x - змінна, a, b, c - деякі числа, причому a 0 ax 2 bx c 0 — повне квадратне рівняння a 1 x 2 bx c 0 — зведене квадратне рівняння ax 2 bx 0 ax 2 c 0 — неповні квадратні рівняння. ax 2 0
48
Значення x, що задовольняють квадратне рівняння, називаються коренями рівняння. Виведемо формулу коренів квадратного рівняння. ax 2 bx c 0
Поділимо на перший коефіцієнт a , одержимо: x2
Виділимо повний квадрат:
b c x 0 a a
2
b b2 c b2 b b2 4ac b b2 4ac b2 4ac x 2 x 2 2 x x 2a 4a a 4a 4a2 2a 4a2 2a 2a 2
b b 2 4ac b b 2 4ac x . 2a 2a 2a Позначимо вираз b 2 4ac D і він називається дискримінант. x
x1
Отже,
b D b D , x2 . 2a 2a
Корені квадратного рівняння дорівнюють: другий коефіцієнт з протилежним знаком корінь з дискримінанту і все поділено на подвоєний перший коефіцієнт. Якщо: 1. D>0— дискримінант більший нуля, то рівняння має два різних корені x1 x2
2. D=0— дискримінант рівний нулю, корені рівняння рівні x1 x2 . 3. D<0— дискримінант менший нуля, рівняння коренів в області дійсних чисел не має. Наприклад: 2. x 2 4 x 4 0 3. x 2 2 x 3 0 1. 2 x 2 3 x 1 0
D 3 4 2 1 9 8 1 3 1 1 3 1 x1 , x2 1 22 2 22 1 Відповідь. x1 , x2 1 2 2
D 4 4 4 4 1 0 D 2 4 1 3 0 40 x1 x2 2 Відповідь. розв’язків в R немає. 2 2
2
Відповідь. x1 x2 2
9.2 Розв’язки неповних квадратних рівнянь. 1. ax 2 bx 0 Винесемо x за дужки, як спільний множник: xax b 0
Добуток рівний нулю, якщо один із співмножників дорівнює нулю. Отже: x 0 , або ax b 0 ax b b x a b Відповідь. x1 0, x2 . a
49
x 0 x 0 x 0 1 2 x 6 0 2 x 6 x 2 3
Наприклад: 2 x 2 6 x 0 x2 x 6 0 Відповідь. x1 0 , x2 3 .
c a
2. ax 2 c 0 ax 2 c x 2 x
c a
c c , x2 a a 2 2 Наприклад: 2 x 8 0 2 x 8 x 2 4 x 4 x 2 Відповідь. x1 2 , x2 2 .
Відповідь. x1
3. ax 2 0 , a 0 , отже x 2 0 , тобто x 0 . 9.3 Зведене квадратне рівняння, властивості його коренів—теорема Вієта. Квадратне рівняння ax 2 bx c 0 називається зведеним, якщо перший коефіцієнт a 1 . Поділимо рівняння на a , одержимо: x2
Корені рівняння рівні: x1.2
b c x 0 a a
b D b b 2 4ac 2a 2a
Знайдемо їх суму та добуток: b D b D b D b D 2b b 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a a b x1 x2 — сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому a
1. x1 x2
коефіцієнту з протилежним знаком поділеному на перший коефіцієнт. b D b D b D b D 2a 2a 2a 2a 2 a 2 a використовуючи формулу скороченого множення a b a b a 2 b2 , можемо
2. x1 x2
записати: 2
2 b 2 D b 2 b 2 4ac b 2 b 2 4ac 4ac c b D 2 4a 2 4a 2 4a 2 4a a 2a 2a c x1 x2 — добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному члену a
поділеному на перший коефіцієнт. Зведене квадратне рівняння скорочено записується x 2 px q 0 і теорема x x p
Вієта запишеться у такому вигляді 1 2 x1 x2 q Наприклад: x 2 3 x 2 0 Знайдемо корені за дискримінантом D b 2 4ac D 3 4 1 2 9 8 1 , тоді x1 2
3 1 3 1 1 , x2 2; 2 2
50
x1 1, x2 2
Перевіримо: x1 x2 1 2 3 — другий коефіцієнт з протилежним знаком. x1 x2 1 2 2 — вільний член. 9.4 Теорема (обернена до теореми Вієта). Якщо сума і добуток чисел m і n дорівнюють відповідно -p і q, то m і n — корені рівняння x 2 px q 0 Доведення. Нехай m n p і m n q . За цих умов рівняння x 2 px q 0 рівносильне рівнянню x 2 m nx mn 0 . Підставимо у це рівняння замість змінної x числа m і n: m 2 m n m mn m 2 m 2 mn mn 0 , n2 m n n mn n2 mn n2 mn 0 . Отже, m і n — корені даного рівняння, що і треба було довести. З теореми випливає, що цілі розв’язки рівняння x 2 px q 0 є дільниками числа q. Користуючись оберненою теоремою, можна перевіряти, чи є та чи інша пара чисел коренями квадратного рівняння, чи ні. Це дає можливість усно розв’язувати квадратні рівняння. Наприклад: Не розв’язуючи рівняння x 2 3 x 4 0 знайти x13 x2 3 x1 x2 3 x13 3 x12 x2 3 x2 2 x1 x23 x13 x23 3 x1 x2 x1 x2 , ( x1 x 2 ) 3 ( x13 x 23 ) 3x1 x2 ( x1 x2 )
x1 x2 3 x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 4 3 33 36 27 63 x1 x2 3, x1 x2 4 3
3
3
9.5 Розклад квадратного тричлена на множники. Квадратний тричлен має вигляд: ax 2 bx c . Множники лінійні, якщо вони першого степеня відносно x. Корені квадратного тричлена рівні кореням відповідного квадратного рівняння та їм властива теорема Вієта: x1 x2
c b , x1 x2 . a a
Отже:
b c ax 2 bx c a x 2 x a x 2 x1 x2 x x1 x2 a x 2 x1 x2 x x1 x2 a a 2 a x x1 x x2 x x1 x2 згрупуємо по два доданки, та спільний множник
винесемо за дужки
a x 2 x1 x x2 x x1 x2 a xx x1 x2 x x1 a x x1 x x2 .
Отже,
ax 2 bx c a x x1 x x2 .
(1)
51
x2 5x 4 Наприклад: Скоротити дріб: 2 x 3x 4
Розкладемо на множники чисельник та знаменник 1) x 2 5 x 4 за формулою (1) маємо D 52 4 1 4 25 16 9 32 53 53 4 1 x2 x 2 5 x 4 x 1 x 4 2 1 2 1 2 2) x 3x 4 x 4 x 1 x 4x 1 D 32 4 1 4 9 16 25 52 35 35 x1 4 x2 1 2 1 2 1 x 2 5 x 4 x 1 x 4 x 4 Отже маємо: 2 x 3x 4 x 4 x 1 x 4 x1
Вправи. 1. Розв’язати рівняння
1. 2 x x 6 0 2. x 2 11x 30 0 3. 2 x 2 5 x 2 0 4. x 2 5 x 36 0 5. x 2x 3 24 6. x 12 x 2 2 x 2 x 2 24 7. x 3x 2 14 8. x 2 2 x 12 x 1x 1 14 2
x x 1 5 x 1 x 2 1 x3 x3 3 10. x3 x3 3 1 3 1 11. x6 x2 3 2 1 2 12. 2 x 2x 1 x 1 x 1 2x2 x 1 0 13. 2 4x 4x 1 3 3 2 14. x 2 x x2 2 x 2 2 2 15. x 2 x x 1 1 x
9
2x2 x 1 1 x2 x 2 1 2 1 2 0 17. 2 2 x 1 x 1 x 1
16.
18. x 2 2 9x 2 2 14 0 2
19. x 2 x 3 12 x 2 12 x 63 0 2
20.
x2 2x 6 3x 2 2 x x 2x 6
21. x 2 3 2 x 2 1x 2 8 85 2
22. x 2 4 x 4 3x 2 2 4 2
23. x 2 3x 2x 2 3x 8 0 24. x 4 x 3 8 x 8 0 2
25.
x 2 3x 1 2x 7 2 x x 3x 1 2
26. x 4 x 2 2 x 24 0 4x2 5 27. x x 22 2
2. Відомо, що х1 та х2 корені рівняння x 2 6 x 2 0 . Знайти x12 x 22 не розв’язуючи рівняння. 3. При яких значеннях b рівняння 3 x 2 bx 12 0 не має коренів. 4. Складіть квадратне рівняння, корені якого у 3 рази більші за відповідні корені рівняння 2 x 2 14 x 11 0 . 5. Відомо, що x 2
1 23 . Знайдіть значення виразу x 2 x
1 . x
52
Відповіді. 3 1 }; 2) {5 ; 6}; 3) { ; 2}; 4) {-4 ; 9}; 5) {-6 ; 5}; 6) {-5 ; 3}; 2 2 1 7) {-4;5}; 8) {-2;4}; 9) {-2;1}; 10) {-6;6} 11){4;8}; 12) 2; 13) {-2; }; 2
1. 1) {-2 ;
2. 3. 4. 5.
14)-1; 15)-2; 16) Ø; 17) {0;3} 18) {-3;-2;2;3}; 19 {-4;-3;2;3}; 20 {-2;-1;3;6}; 21) { 2 ; 17 }; 22) {-3 ; -1}; 24) {1 ; 2}; 26) {4 ; 16}; 27) {-2 ; 1}. 40. (-12 ; 12). 2 x 2 42 x 99 0 . ± 5.
9.6 Розв’язування нелінійних систем. Для розв’язування системних рівнянь, що містять рівняння нелінійні, використовуються властивості перетворення систем, що і для лінійних систем. Для деяких систем існують інші методи. Введення нової змінної. Наприклад: x x y 9 y а) x y x 20 y x t , то система залишиться і приймає вигляд: y z t 9 z 9t z 9t 2 zt 20 9 t t 20 t 9t 20 0
Введемо нові змінні: x y z
З другого рівняння t1 4 t2 5 . Відповідно з першого рівняння z1 5 z2 4 . Наша система перетворюється у систему: x y 5 x 4 y
x 4y 4 y y 5 x 4 y y 1 x 4 y 1
або
x y 4 x 5 y
x 5y 5 y y 4 x 5 y y 2 3 10 x 3 2 y 3
53
Відповідь. 4;1 ,
10 2 ; . 3 3 x y xy 5
б)
2 2 x y xy 7
Додамо рівняння і розглянемо одержане з першим: x y xy 5 2 2 x 2 xy y x y 12
В другому рівнянні застосуємо формулу скороченого множення — квадрат суми: x 2 2 xy y 2 x y 2 , і отримаємо: x y 2 x y 12 0 . Зробимо заміну x y z , тоді z 2 z 12 0 . Розв’язавши квадратне рівняння знаходимо z1 4 , z 2 3 . Одержуємо слідуючі системи: x y xy 5 x y 4
або
x y 4 xy 9 x 4 y y 4 y 9 x 4 y 2 4 y y 9 y2 4y 9 0 D0
x y xy 5 x y 3 x y 3 xy 2 x 3 y y 3 y 2 x 3 y 2 3 y y 2 y 2 3y 2 0 y1 1 y 2 2
Система рівнянь в області
тоді
дійсних чисел розв ' язків немає
x1 2 x 2 1
Відповідь. (2;1) , (1;2). Якщо сума показників всіх невідомих доданків рівняння однакова, то рівняння називається однорідним: xy 2 x 2 0 сума показників – 2 xy 2 3 y 3 x 2 y 0 сума показників - 3 2 2 x xy y 0 сума показників – 2 Якщо в правій частині є число, то рівняння називається з однорідною лівою частиною: x 2 2 xy y 2 5 .
Системи з однорідними рівняннями розв’язуються за допомогою підстановки y tx
Наприклад:
54
4 x 2 2 xy y 2 4 2 2 6 x 3 xy y 4
Нехай ytx, тоді одержуємо систему: 4 x 2 2tx 2 t 2 x 2 4 2 2 2 2 6 x 3tx t x 4
Виносимо x 2 за дужки і ділимо перше рівняння на друге.
x 2 4 2t t 2 4 2 2 x 6 3t t 4 4 4 2t t 2 x 2 4 2t t 2 1 4 2t t 2 6 3t t 2 6 3t t 2 x 2 6 3t t 2 4 2 4 2t t 2 6 3t t 2 0 5t 2 0 t 5
2 5
Отже y x і з одержаним рівнянням розв’язуємо одне з двох заданої системи. 2 2 4 4 2 25 2 y x 2 2 4x 2x x x 4x2 x2 x 5 5 25 4 5 5 2 2 4 x 2 xy y 4 25 5 x 25 x 2 5 x 2 x 2 25 21x 2 25 x 2 21 21 2 Звідси y . 21 5 2 ; Відповідь. . 21 21
Вправи. 1. Розв’язати системи рівнянь: x y 1 2 x 3 y 12
1.
x y 5 2. y x 2 x y 3
x y 1 3. 3 x 2 y 8
x y xy 5 4. 2 2 x y xy 7 5 x y 14 x y 4 2x y 2 6. 2 2 4 x 4 xy y 2 x 2 y
5.
4 x 5 y 3 2x y 5
7.
3 y 2 xy 2 x 2 xy 5
8.
3 x y 7 2 x y 8
9.
4 x 2 2 xy y 2 4 10. 2 2 6 x 3 xy y 4
4 x 5 y 3 11. 2x y 5 x 2 8 xy 16 y 2 324
12.
xy 4 y 2 110
55
5x y 8 2 x 3 y 7
13.
x 3 y 3 72 14. x y6 3 y x 7 y 5x 5
15.
5x y 1 x 3 y 5
16.
x 2 y 2 10 17. xy 3
2 x 3 y 4 18. 3x 2 y 7 x y xy 1 x y xy 9
19.
2 x 3 y 4 20. 3x 2 y 7 x xy y 6 21. 2x 3 xy 28 y
1 1 3 x 4 4 y 3 22. x y 25 3 4 144 24 x 3y x y 23. x y x 3 y 5 5 x 8 y 18 3 4 x y 1 24. 1 1 2 x y
1 1 x y 7 1 y x 0,1 25. 1 1 0,3 x y 7 1 y x 1 4 x y 4 26. 1 2 10 y x
2. Знайдіть значення параметра а, при яких система має один розв’язок: x 2ay 1 1. 3a 1x ay 1
a 1x y a 2. a 3x ay 9
Відповіді. 1. 1) (3;2); 2) (1;2), (2;1); 3) (2;-1); 4) (1;2), (2;1); 5) (3;-1); 6) ; ; 7) (2;1); 4 2 3 3
1 15 ; , (1;2); 9) (3;2); 10 (±1; ±2); 11) (2;-1); 6 2
8)
11 11 12) (-2;-5), 29 ; , 29 ; , (2;5); 13) (-1;13); 14) (9; -3); 4 4
15) 1 ; 5 ; 2 2
16) 1 ; 3 ; 17) (±1; ±3), (±3; ±1); 18) (1;-2); 19) (1;4) ,(4;1); 20) (1;2); 2 2
11 7 18 54 18 27 1 1 21) (±4;±1); 22) 7 ; 1 ; 23) ; , ; ; 24) ; ; 25) ; . 19 19 11 22 7 5 12 12 2 2 2.
1 6
1) a ; 2) a 3 , a 1 .
56
10. НЕРІВНОСТІ ТА ЇХ СИСТЕМИ 10.1 Числові нерівності та їх властивості. Два дійсних числа або два вирази , сполучені між собою знаками < (менше), ≤ (менше або дорівнює), > (більше), ≥(більше або дорівнює), ≠ (недорівнює) утворюють нерівність. 1) a b , 2) a c , 3) c b , 4) a c ... Нерівності 1 і 2 – строгі 4 – нестрога Нерівності b< a < с – подвійна нерівність, що означає в < а та а < с – справедливі нерівності . Подвійну нерівність можна записувати у вигляді системи b a bac a c
а > в , с > d - нерівності однакового змісту. а > в , с < d – нерівності протилежного змісту. На числовій прямій меншому числу відповідає точка, яка лежить ліворуч від точки, що відповідає більшому числу. Наприклад : с < а, а < в, с < в с а в Основні властивості нерівностей:` 1. a b , то a b 0 ; a b , то a b 0 2. a b то b a 3. a b , b c , то a c (властивість транзитивності) 4. a b , то a c b c 5. a b , c 0 , то ac bc a b, c 0 , то ac bc a b 0 , то a c b d c d 0
6.
a b 0 , то a c b d c d 0
7.
a b 0 ,то ac bd c d 0
8.
a b 0 a b ,то d c c d 0
9.
Дані властивості характеризуються теоремами: ТЕОРЕМА 1 Якщо a b , b c , то а < с Доведення : Якщо a b i b c , то числа а-в та в-с – від’ємні. Їх сума (а-b)+(b-с)=а-с – число також від’ємне. Отже , а < с.
57
ТЕОРЕМА 2 Якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то дістанемо правильну нерівність . Доведення: Якщо a b то а-є – число від’ємне. Оскільки а-b=(а+с)-(b+с),то різниця (а+с)-(b+с) – число від’ємне. А це означає, що а+с < b+с. ТЕОРЕМА 3 Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одне й те саме додатне число , то дістанемо правильну нерівність. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити на одно й те саме від’ємне число і змінити знак на протилежний , то дістанемо правильну нерівність. Доведення: Нехай а < b і с – будь-яке додатне число. У цьому випадку числа а-b, (аb)·с, і різниця ас-bс – від’ємні, тобто, ас < bс. Якщо а < b і с – довільне від’ємне число, то добуток (а-b)с, а, отже, різниця ас-bс – числа додатні. Отже, ас > bс. Оскільки ділення можна замінити множенням на числа , обернені до дільника , то в теоремі 3 слово ”помножити” можна замінити словом “поділити”. a b ; c c a b Якщо а < b і с < 0 , то ; c c
Якщо а < b і с > 0 , то
ТЕОРЕМА 4 Нерівності з однаковими знаками можна почленно додавати. Наприклад а < b і с < d ,то а+с < b+d. Доведення: Якщо а < b і с < d ,то за т. 2 а+с < b+с і b+с < b+d, звідки а+с < b+d. ТЕОРЕМА 5 Нерівності з однаковими знаками можна почленно перемножити, якщо їх ліві і праві частини – додатні числа. Наприклад а<b, с < d і числа а, b, с, d – додатні , то ас < bd. Доведення: Нехай а < b і с < d, числа с і d – додатні. Згідно з т. 3 ас<bс і bс < bd, згідна за т. 1 ас < bd. ЗАУВАЖЕННЯ. Теореми 4 та 5 правильні також для трьох і довільного числа нерівностей. Наприклад, якщо a b , c d i n m , то a c n b d m . Доведення теорем 1-5 для нерівностей із знаком < майже дослівно можна повторити для аналогічних нерівностей із знаком >. 10.2 Лінійні нерівності та їх системи, властивості та розв’язування. Нерівність – це вираз що містить в собі знак > (більше), або < (менше), або ≠ (недорівнює). Нерівність виду ах<b, ах>b, ах≠b, де а, b – деякі числа, х – змінна називаються нерівностями з однією змінною. Розв’язком нерівності називаються значення змінної х, які перетворюють її в правильну числову нерівність. Нерівності виду ах>b, ах<b, де а, b — деякі числа , х — змінна називаються лінійними нерівностями з однією змінною протилежного змісту.
58
Розв’язком нерівності з однією змінною називається значення змінної, яке перетворює її в правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести , що їх немає. Нерівності, які мають одні і ті самі розв’язки, або розв’язків не мають називають рівносильними. При розв’язуванні нерівностей використовують такі властивості: 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу доданок з протилежним знаком, то дістанемо рівносильну їй нерівність. 2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити не одне і те саме додатнє число, то дістанемо рівносильну нерівність. 3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, замінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то дістанемо рівносильну нерівність. Наприклад: 1. 3(х-2)>2х+10; 2. 2х<2х+5 3. 3х>3х+2 4. х 2 2 х 3 5 х 3
3х-6>2х+10; 2х+3≤15х 3х-2х>10+6
2х-2х<5
3х-3х>0
0<5 (справедливе)
х>16.
хєR
6
2
2х-4-
0>2(неможливо)
15х≥-1
хєØ
х≥-
1 15
1 15
16
х є (16;+∞)
х є [-
1 ;+∞) 15
ax b ax b , 2. , де a , b , a1 , b1 – деякі числа, х – a1 x b1 a1 x b1
Вирази виду : 1.
змінна називаються системами лінійних нерівностей з однією змінною. Система 1 — однакового змісту, система 2 — протилежного змісту. Розв’язком системи з однією змінною називається значення змінної при якому вірна кожна з нерівностей системи. Розв’язати систему означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Наприклад: 2(x - 1) - 3(x - 2) x 6x - 3 17 - (x - 5) 2 x 2 3 x 6 x 6 x 3 17 x 5
x x 7 12 3 4 6 x 0 6 4 x 3 x 84 6 x 0
59
2 x 4 2 7 x 25 7 x 2 4 x 3 7
7 x 84 6 x x 12 x 6
2 3
12
6
4 7
4 x 2 ; 3 7
x ; 6
10.3 Розв’язування нерівностей методом інтервалів. 1)Р(х)≥0 Розкладаємо на множники а(х-х1)(х-х2)(х-х3)≥0, де х1 х2 х3 — корені функції Р(х), які ми наносимо на числову вісь, визначаємо знаки на одержаних інтервалах і вибираємо ті , які мають знак нерівності. Якщо серед коренів є такі, що повторюються парне число разів, то дріб при переході через нього не міняє знак, якщо непарне – то міняє. Р( х ) дробово-раціональна функція, Q( х) Р( х ) 0 Порядок розв’язку нерівності Q( х)
2)
1.
Домножимо нерівність на (Q(x))², тоді її знак залишається і одержуємо
2. 3.
Розкладаємо на множники Р(х) та Q(x). Наносимо на числову вісь корені, якщо строга нерівність, то всі точки виколоті, якщо нерівність не строга, то виколоті будуть точки рівні кореням знаменника. Позначаємо квадратиком точки, де знак не міняється. Визначаємо знаки Р(х) та Q(x) в кожному проміжку х. Вибираємо для відповіді інтервали, знак яких співпадає із знаком нерівності. Наприклад:
4. 5. 6.
P x Q x 0
x 2 0 х3 0 1) х2 x 2 0 x 2 2
x 3 0 ( х 1)( х 2) 0 2) х3 x 3 0 x 3 2
x 3x 22 0
x 1x 22 x 32 0
x2 x 3x 2 0 x1 3 x 2 2 — + +
x3 x 1x 2x 3 0 x1 1 x 2 2 x 2 x 4 3 + + — —
-2 В. х є (-2;3].
3
-3
-2
1
В. х є (-∞;-3) [-2] [1; ∞).
60
Вправи:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)
1. Розв’яжіть нерівності та їх системи. x 23 2 x 32 x 2 ; 5 3; 24)
5,6 y 3 2,83 y 2 0 ;
x 32 x 0;
2y y 3 1; 3 6 2 x 2 3x 7 ; 3 2 5 x 0; 7x 7 y 0; 8 y 3x 1; 6 x x 1; 2x 4 3y 2; 3 y x 3 3x 5 ; x 1 x 1 x2 3; x2 x 4x 0; x 16 0,8 0,4 3x 2,8 7 2x 2 5; 3 3x 83x 8 6 x 40 ;
16) 17) 3x 12 x 8x 4 13 ; 18) 2 x 3x 1 x 2 9 ; 19) 2 x 12 x 1x 7 5 ; x 3x x 1 3 2 x ; 8 4 2 x2 7x 8 0; 21) x 5 2 22) 2 x 4 6 ;
20)
25)
2 2x 3 5;
3 x 3 ; 5 x 10
26)
0,5 x 2 ; 3 x 9
27)
5 x 3 x 1 ; 0,6 x 5,2 2 x
28)
x 2 5 ; 29) 2x 0 5 0,33 x 4 x 1,2 0,4 ; 30) 1,2 x 3 2,5 x 0,3 x 2 3 x 1 3x 1 ; 31) 2 x 1 x 4 16 x 2 3 x 1 2 x ; 5 x 4 12 x 3
32)
x 2 x 1 0 ; x 0
33)
8 x 2 x x 4 4 34) 3 x 1 x 3 3; 4 10 x 1x 2 x 1 xx 2 5 4 ; 35) x 2 x 1 4 7 x 2 x 4 6 8 ; 36) 4 2 x 4 x 1 x 3 5
x 2 9 x 10 0 ; 37) 6 x x 2 0
23) x 2 3 ; Відповіді. 9 1) 2 ; ; 2) ; 4 ; 3) 2 ; 3; 4) ; ; 5) ; 5; 6) ; 7 5 ; ; 5 7) ; 8 7 ; ; 8) 6 ; 3; 9) 2 ; 4; 10) 3 ; 6; 11) 1; 4; 12) 4; 2 ;
61
4 13) ; 4 0 ; 4 4 ; ; 14) 0.8 ; 0.4; 15) 4 ; 6.5; 16) ; 2 ; 17) ; ; 3 2 18) ; 3 4 ; ; 19) ; 6 ; 3
20) 10 ;1;
21) ; 8 1; 5 5 ; ; 22) 1; 5.
2. Знайти область визначення.
1) y
x2 ; x 1
x5 ; x4 3) y 2 x x 3 ;
2) y
4) y
5 x 2 3 x 10
8 ; 2x 7
2 5) y x 2 x 8 ;
x2 x 2
11.ФУНКЦІЯ. ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЇ 11.1 Що таке функція? Властивості функції. Ми користуємось різними величинами: об’єм, площа, маса, сила, температура, шлях, швидкість та багато інших. Серед цих величин є такі, що для даного процесу залежать між собою. Так шлях залежить від часу руху і швидкості; маса — від об’єму; площа прямокутника— від величини сторін і т. д. В науці такі явища зустрічаються повсякчас, а тому необхідно вміти їх досліджувати. Математика узагальнює ці залежності і називає їх функціональними відповідностями або функціями. Змінна y називається функцією змінної x , якщо кожному допустимому значенню x, відповідає єдине значення y. Дане визначення записується y f (x) , де x — аргумент або незалежна змінна; y — функція або залежна змінна; f — знак відповідності між x та y. (Читається так: ігрек є функція від ікс). Множина допустимих значень x називається областю визначення і позначається D(y). На практиці це ті значення x, для яких y існує. Множина значень, яких набуває y в залежності від допустимих значень x, називається областю значень функції і позначається E(y). Функціональна залежність між x та y може задаватися декількома способами: формулою, графіком, таблицею, описово. Наприклад: 1) Площа кола C r 2 , шлях рівномірного руху S v t , об’єм куба V a 3 . Це записи для окремих випадків, а в математиці розглядаються: y kx b — узагальнення S v t , m v . y ax 2 bx c y
k x
— узагальнення C r 2 , S v0 t
at 2 . 2
— узагальнення pv c .
y x 3 — узагальнення V a 3 .
Прикладів можна навести багато, взяті ті що вже знайомі з курсу фізики, геометрії, хімії.
62
2) Існують вимірювальні прилади, наприклад: барографи (вимірюють залежність тиску від часу), термографи (вимірюють залежність температури від часу), кардіографи, сейсмографи тощо. Ці прилади записують покази, а спеціаліст їх прочитує. Ці графіки прочитуються на метеостанціях при прогнозах погоди, попереджені землетрусів, на заводах, в медицині. 4 3 2 1 -1
D
●
M●
P C
● N 0 ● 1 2 -1 B● -2 -3
-4 -5 A ● Мал. 1
Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції. Нехай y 3x 2 , де 1 x 2 . Складемо таблицю значень функції x від y. x -1 0 1 2 y -5 -2 1 4 Позначимо одержані точки на координатній площині. Це будуть точки A(-1;-5), B(0;-2), C(1;1) D(2;4). Вони розташовані на одній прямій. Відрізок AD є графіком функції y 3 x 2
на 1 x 2 . Щоб за графіком знайти значення функції для даного х, знаходимо дане значення х на вісі абсцис і з цієї точки до вісі х проводимо перпендикуляр до перетину з графіком і з точки на графіку проводимо перпендикуляр до OY. Відстань від початку координат до одержаної точки на OY є значення y. Знайти значення функції y 3x 2 для x 1,5 . ON=x, OP=y. За малюнком y=2,5. Точка M має координати (1,5; 2,5). Графічний спосіб задання функції зручний своєю наочністю. Дивлячись на графік, можна відразу сказати, при яких значеннях аргументу значення функції додатні або від’ємні, при яких рівні нулю, де функція зростає або спадає, приймає найбільше або найменше значення і т. п. Наприклад: Функція набуває додатних значень y>0, якщо 1 x 2 або 5 x . X2 Нулі функції, тобто значення x, X -2 -1 X11 2 3 4 5 які перетворюють функцію в нуль. y=0, якщо x=-1, x=2, x=5. Функція зростаюча на даному проміжку значень x , якщо більшому Мал..2 даного проміжку значенню x відповідає більше значення функції y, тобто x 2 x1 y 2 y1 . З малюнку2 функція зростає на проміжках x x1 і x2 x і спадає на проміжку x1 x x2 .
63
Функція спадна на даному проміжку значень x , якщо більшому значенню x, відповідає менше значення функції y, тобто x2 x1 y2 y1 . Значення функції при даному значенні аргументу називається частинним. x1 , x2 , x3 , ... — називаються частинними значеннями аргументу тоді f ( x1 ) y1 , f ( x 2 ) y 2 , f ( x3 ) y 3 , ... — частинні значення функції. Щоб знайти частинне значення функції необхідно в формулу замість x підставити частинне значення аргументу. Наприклад: Знайти частинні значення функції y 2 x 2 1 для x 2, 0, 1, 2. f ( 2) 2 ( 2) 2 1 8 1 7 ,
f ( 2) 7
f (0) 2 0 2 1 1,
f (0) 1
f (1) 2 12 1 1,
f (1) 1
f ( 2 ) 2 2 2 1 7,
f ( 2) 7
Частинні значення функції записуються: f (2) , або y (2) , або y x2 . Функція y f (x) називається парною, якщо зміна знаку аргументу не змінює значення функції: f ( x ) f ( x) . Графік парної функції симетричний відносно вісі OY. M1 N 4 M2 Наприклад: Функція y x 2 Дослідимо зміну знаку f ( x) ( x) 2 x 2 . Зміна 1 знаку аргументу не змінює значення функції і ми отримали вираз, що був в умові. 1 2 -2 -1 Для даної функції NM1=NM2
y (2) (2) 2 4
y (2) (2) 2 4
y (4) (4) 2 16
y (4) (4) 2 16
Отже, парність функції видно з конкретних прикладів. При побудові графіків парної функції достатньо побудувати графік для x 0 , а потім відобразити відносно вісі OY. Функція y f (x ) називається непарною, якщо зміна знаку аргументу змінює лише знак функції: f ( x ) f ( x) . Графік непарної функції симетричний відносно початку координат: OM 1 OM 2 . Наприклад: Функція y x 3 f ( x) ( x) 3 x 3 , одержаний вираз відрізняється від f ( x) f ( x) умови лише знаком. Отже умова M2 виконується, функція непарна. Для даної функції: -2 -1
y 3 27
0 1
M1
2
y3 27
Функція називається періодичною, якщо існує таке постійне число T, додавання якого до аргументу не змінює значення функції. f ( x T ) f ( x)
Найменше число T, що задовольняє цю рівність, називається періодом функції. Періодичними являються тригонометричні функції.
64
Розв’язання вправ по темі: При дослідженні функцій на область визначення слід врахувати : На нуль ділити не можна. 1. Вираз під коренем парного степеня невід’ємний. 2. Наприклад. 1. Знайти область визначення функцій: 3 2x 8
а) y
Область визначення знаходимо з умови, що 2x 8 0 . Тоді 2x 8 x4
.
4
Відповідь. D( y) ; 4 4 ; . б) y 3x 9 Область визначення знаходимо з умови 3x 9 0 . Тоді 3x 9 , x 3.
3
Відповідь. D( y) 3;. в) y
x 2x 6
.
Область визначення знаходимо з умови 2x 6 0.
Тоді
2x 6 x 3.
3
Відповідь. D ( y ) 3 ; . 2. Обчислити значення функції y 2 x 3 в точках x 2, 0 , 3 . y (2) 2 (2) 3 7 y (0) 2 0 3 3 y (3) 2 3 3 6 3 3. Відповідь. y ( 2) 7, y (0) 3, y (3) 3.
3. Дослідити функції на парність та непарність. а) y 2x 2 3x 4 2 Знайдемо y ( x) 2( x) 2 3( x) 4 2 2 x 2 3x 4 2 (Від’ємне число у парному степені є число додатнє). Ми одержали вираз такий же, як в умові, тобто f ( x) f ( x) . А це означає, що функція парна, її графік симетричний вісі OY. Відповідь. Функція парна. б) y x 3 2 x y ( x) ( x) 3 2( x) x 3 2 x
65
[вираз не такий як в умові, тому функція не є парною, винесемо мінус за дужки] ( x 3 2 x) Вираз в дужках такий же як в умові, а одержаний вираз відрізняється від умови лише знаком перед функцією, тобто f ( x) f ( x) . Отже задана функція непарна і її графік симетричний відносно початку координат. Відповідь. Функція непарна в) y x 3 2 x 2 2 y( x) ( x) 3 2( x) 2 2 x 3 2 x 2 2 (функція не є парною) ( x 3 2 x 2) — функція не є непарною. Відповідь. Функція до розряду парних чи непарних не відноситься. 4. Знайти нулі функції. а) y x 2 Для знаходження нулів функції потрібно y прирівняти до нуля, тобто x20 . x 2
Відповідь. x 2. б) y ( x 2)( x 3). y 0. Отже, ( x 2)( x 3) 0 , звідки x 2 0 або x 3 0 . Тобто x 1 2 або x2 3 . Графік перетинає вісь в точках (2;0) і (-3;0). Відповідь. x1 2, x2 3. Дану відповідь можна записати ще так x 3; 2. 5. Знайти проміжки знакосталості функції y 0,5 x 3 . Знайдемо проміжки, на яких функція набуває додатних значень: y 0,
0,5 x 3 0
0,5 x 3, x 6. Значення функції додатні на проміжку x (6; ) . Точки графіка на цьому
проміжку розташовані вище вісі OX. Знайдемо проміжки, на яких функція набуває від’ємних значень: y 0,
0,5 x 3 0
0,5 x 3 , x 6 Значення функції від’ємні на проміжку x ( ; 6 ) .Точки графіка на цьому
проміжку розташовані нижче вісі OX. Вправи: 1. Знайти область визначення функції: а) y
x ; 4x 8
б) y
1 ; x 1
2. Знайти нулі функції: а) y ( 2 x 3)( x 3) ;
б) y
2
7 x 14 ; x3
в) y x 3 ;
г) y
x 1 . 2x 2
в) y x 2 x 12 ; г) y x 2 1,2 x .
3. Знайти проміжки знакосталості: а) y
x2 ; x 1
б) y x 2 x 6 ;
4. Дослідити функцію на парність:
в) y
x3 ; 2x
г) y 2 x 2 4 x .
66
а) y 2 x 2 1 ; б) y x 2 4 ; в) y x 3 2 x ; г) y 3x 3 2x 1. 5. Побудувати графік функції. Знайти за графіком: 1) значення y при x= -1; 0 2) значення x при y=2. а) y 2 x 4 б) y 4 x 2 6. Знайти координати точок перетину графіків функцій: а) y x 2 4 , y 3x б) y x 2 , y 5 x 6 . Відповіді. 1. a ) ; 2 2 ; ; б ) ; ; в ) 3 ; ; г ) ; 0 0 ; . 3 2
2. a) 3 ; ; б ) 2 ; в ) 4 ; 3 ; г ) 1,2 ; 0 . 3. а) додатня ; 2 1; , від’ємна 2 ;1 ; б) додатня 3 ; 2 , від’ємна ; 3 2 ; ; в) додатня ; 3 0 ; , від’ємна 3 ; 0 ; г) додатня ; 0 2 ; , від’ємна 0 ; 2 . 4. а) парна; б) парна; в) непарна. 6. а) (1;-3), (-4;12); б) (2;4), (3;9). 11.2 Найпростіші функції та їх графіки. 11.2.1 Функція y = kx , її властивості і графік . Означення: Прямою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду y = kx, де х – незалежна змінна, k – число, що не дорівнює нулю . y = kx (k 0) є окремим випадок лінійної функції y = kx + b, коли b = 0. Звідси випливає, що графіком прямої пропорційності є пряма. Ця пряма проходить через початок кординат (якщо х = 0 , у = 0). Якщо х = 1, то у = k 1 = k . Отже, графік проходить через точку (1;k). Якщо k>0 , то точка (1; k) належить 1 чверті; якщо k<0, то точка (1; k) належить ΙV чверті Звідси випливає k>0 k<0 графік розміщений графік розміщений в Ι та ΙV в Ι та ΙΙΙ координатних координатних чвертях. чвертях
67
Властивості . 1. Областю визначення прямої пропорційності є множина всіх дійсних чисел .D(y)=R. 2. Областю значень функції є множина всіх дійсних чисел . E(y)=R. 3. Нулі функції :у=0 при х=0 ( графік проходить через початок координат ) 4. Проміжки знакосталості : k>0 k<0 y > 0 для х ( 0 ;+ ); y>0 для х (- ; 0 ) у<0 для х (- ; 0 ). y<0 для х ( 0;+ ) 5. Проміжки зростання , спадання : k>0 k<0 функція зростаюча функція спадна Доведення: Нехай x1, x2 D(y) такі, що x1<x2, тоді y1=kx1, y2=kx2. Оцінимо різницю y2-y1=kx2-kx1=k(x2-x1). x2-x1>0 так як x1<x2 (за умовою) отже, якщо k>0, то y2y1=k(x2-x1)>0, y2>y1 => функція зростає (більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції). Якщо k<0, то y2-y1=k(x2-x1)<0, y2<y1 => функція спадає (більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції). 6. Парність, непарність. Пряма пропорційність – функція непарна. Графік – симетричний відносно початку координат. 11.2.1 Функція y=kx+b, її властивості і графік. Означення. Лінійною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду y=kx+b, де x – незалежна змінна, k, b – деякі числа. Графіком лінійної функції є пряма. Щоб побудувати графік лінійної функції, досить знайти координати двох точок графіка, позначити ці точки в координатній площині і провести через них пряму.
Для побудови графіка часто зручно за одну з двох точок брати точку з абсцисою 0. Число k називають кутовим коефіцієнтом прямої – графіка функції y=kx+b. (k=tg, де - кут нахилу прямої до додатнього напрямку осі 0x). k>0 k<0 y=2x-1 y=-2x-1
68 A(0;-1) B(1;1)
y
1
A
B
B
0 -1
1
A(0;-1) B(-1;1)
y
x
-1
1
x
0 A -1
Якщо k=0, то y=0x+b, y=b – лінійна функція, яка задана формулою y=b, набуває одного і того самого значення при будь-якому x. Пряма паралельна осі 0x. Наприклад: y y=2 A: x=1, y=2 B: x=3, y=2
2 0
A
B
1
3
x
Якщо k=0 та b=0, то пряма співпадає з віссю 0x. Якщо k 0, b=0, то y=kx – пряма пропорційність, графік якої проходить через точки (0;0) та (1,k). Властивості. 1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел. D(y)=R. 2. Область значень – множина всіх дійсних чисел. E(y)=R. (при k=0, область значень – число b) 3. Нулі функції: при k0
x
b k
при k=0 4. Проміжки знакосталості: k>0 b y>0 для x( ; +) k b y<0 для x(-; ) k
5. Проміжки зростання, спадання. k>0 Функція зростаюча
- нулів немає. k<0 b k
y>0 для x(-; ) b k
y<0 для x( ; +) k<0 Функція спадна
Доведення: Нехай x1, x2D(y), x1<x2, тоді y2-y1=kx2+b-(kx1+b)=kx2+b-kx1-b= k(x2-x1) x2-x1 (за умовою x2>x1), отже, якщо k>0, то y2-y1=k(x2-x1)>0 , y2>y1 – функція зростає якщо k<0, то y2-y1=k(x2-x1)<0 , y2<y1 – функція спадає.
69
6. Функція ні парна ні непарна. f(x)=kx+b f(-x)=k(-x)+b=-kx+b f(x) f(-x)=k(-x)+b=-(kx-b) -f(x) 11.2.3 Функція y
k , її властивості і графік x
Означення: Оберненою пропорційністю називається функція, яку можна задати формулою виду y
k , де x – незалежна змінна, k0. x
k має зміст при всіх x0, отже область визначення – множина всіх x дійсних чисел, крім 0.
Вираз
Графіком y
k є крива, що складається з двох віток. Криву цю називають x
гіперболою. k>0 Вітки гіперболи в І та ІІІ чвертях y
k<0 Вітки гіперболи в ІІ та ІV чвертях
2 (k=2>0) x
y
x
-3
-2 -1 1
2
3
y
-2/3 -1 -2 2
1
2/3
x
-3
-2
-1 1 2 3
y
2/3
1
2
y3
y 2
-2 -1
0 -1
-2 -1 -2/3
3 2
1 -3
2 (k=-2<0) x
1 1
2
3
x
-3
-2 -1
0 -1
-2
-2
-3
-3
1
2
3
x
Вітки як завгодно близько підходять до осей, але їх не перетинають. x=0 не належить області визначення, тому гіпербола не перетинає вісь у. Оскільки ні при якому x значення у не дорівнює нулю, то графік не перетинає вісь x.
70
Властивості. 1. Областю визначення оберненої пропорційності є множина всіх дійсних чисел, крім нуля. D(y)=(-;0)(0;+) 2. Областю значень функції є множина всіх дійсних чисел, крім нуля. E(y)=(;0)(0;+) 3. Нулів функція не має. 4. Проміжки знакосталості: k>0 k<0 y>0 для x(0; +) y>0 для x(-;0) y<0 для x(-;0) y<0 для x(0; +) 5. Проміжки зростання, спадання: k>0 k<0 Спадає на проміжках: Зростає на проміжках: (-;0) та (0; +) (-;0) та (0; +) Хоч функція спадає(зростає) в кожному з проміжків (-;0) та (0; +) вона не є спадною (зростаючою) функцією на всій області визначення. Доведення: Наприклад, k>0, x1,x2(0; +), x2>x1. y2 y1
k k k ( x1 ) kx2 k ( x1 x2 ) 0 x2 x1 x2 x1 x2 x1
x1-x2<0 (за умовою), x1x2>0 (за умовою), k>0, отже y2-y1<0=> y2<y1, отже функція спадає при k>0 на проміжку (0; +). Аналогічно доводяться інші випадки. 6. Парність, непарність. Функція непарна. Доведення. Область визначення симетрична. k , k0 x k k f ( x) f ( x ) для будь-яких x з області визначення. Графік x x f ( x)
симетричний відносно початку координат. 11.2.4 Функція y=ax2+bx+c, її властивості і графік. Означення. Квадратичною функцією називають функцію, яку можна задати формулою виду y=ax2+bx+c, де x – незалежна змінна, a,b,c – деякі числа, при чому a0.
Побудова графіка квадратичної функції y=ax2+bx+c (a0). Графік функції y=(x-m)2+n є параболою, яку можна дістати за допомогою графіка функції y=ax2 за допомогою двох паралельних перенесень: зсуву вздовж осі x на m одиниць вправо, якщо m>0, або на m одиниць вліво, якщо m<0 і зсуву вздовж осі y на n одиниць вгору, якщо n>0, або на n одиниць вниз, якщо n<0.
71
Зведемо y=ax2+bx+c до виду y=(x-m)2+n Виділимо з квадратного тричлена ax2+bx+c квадрат двочлена: 2
2
b c b b b c ax bx c a( x x ) a( x 2 2 x ) a a a 2 a 2a 2a 2 2 b b 2 4ac b b 2 4ac a x a x a( x m) 2 n, 2 2a 4a 2a 4a 2
2
m
де
b b 2 4ac , n . 4a 2a
Отже, графіком функції y=ax2+bx+c є парабола, яку можна дістати з графіка функції y=ax2 за допомогою двох паралельних перенесень – зсуву вздовж осі x і зсуву вздовж осі у. Вершина – точка (m,n), де m
b 2 4ac b 2 4ac b , n . 4a 4a 2a
b Або n f (m) f . 2a
Віссю симетрії параболи є пряма x=m паралельна осі у. При a>0 вітки параболи напрямлені вгору, при a<0 – вниз. В залежності від a та D парабола розташована: D>0
D=0 y
a>0
y
y
n x1 0
m
x2
x
0
y
m
x
m
x
y x1=x2=m
n x1
0
x1=x2=m
y
0
x
m
n
a<0
D<0
m
x2
x
0
m
x
D=b2-4ac (дискримінант), x1, x2 – корені квадратного тричлена.
0 n
72
Властивості квадратичної функції.
1. Область визначення: D(y)=R 2. Область значень: При a>0
E(y)=[n;+)=
При a<0
E(y)=(-;n]= (;
D ; 4a D 4a
3. Нулі функції: При D>0 x1
b D b D ; x2 — графік перетинає вісь Ox в 2a 2a точках x1 ;0 x2 ;0 .
При D=0 один нуль x
b — графік дотикається до вісі Ox. 2a
При D<0 нулів немає — графік з віссю Ox спільних точок немає 4. Проміжки знакосталості: D>0
D=0
y>0, x(-;x1) та x (x2;+)
D<0
y>0, x(-;x1) та x (x2;+)
y>0, xR
y<0, x(-;x1) та x (x2;+)
y<0, xR
y<0, x(x1;x2) y>0, x(x1;x2) y<0, x(-;x1) та x (x2;+)
5. Проміжки монотонності: a>0
a<0
Зростає:
b x ; 2a
b x ; 2a
Спадає:
b x ; 2a
b x ; 2a
6. Парність, непарність: При b=0 (y=ax2+c) функція парна – графік симетричний відносно осі у. При b0 функція ні парна, ні непарна (графік функції немає симетрії відносно осі у, та не має симетрії відносно початку координат). f ( x) a( x) 2 b( x) c ax 2 bx c f ( x) f ( x) a( x) 2 b( x) c (ax 2 bx c) f ( x)
73
11.2.5 Степенева функція.Функція y=xn, її властивості і графік. Означення: функцію, заданою формулою y=xn, де x – незалежна змінна, а n – натуральне число називають степеневою функцією з натуральним показником.
Степеневі функції при n=1, 2, 3, та їх графіки: y=x2
y=x y
y=x3
y
y 4
1 1
0 1
x
0
1 2
x
-1 1
x
Вираз xn, де n – натуральне, має зміст при будь-якому натуральному n. Тому областю визначення степеневої функції з натуральним показником є множина всіх дійсних чисел. І. Показник – парне число. Властивості функції, коли n – парне, аналогічні властивостям функції y=x2. І. Властивості y=xn, n – парне, n=2k. 1. Область визначення – множина всіх дійсних чисел. 2. Область значень функції – множина невід’ємних чисел, тобто y[0;+). (при n – парному xn0) 3. Нулі функції, x=0=> y=0n=0, графік проходить через початок координат 4. Проміжки знакосталості. y>0 при y y=x2k x(-;0)(0;+). Графік розташований в І і ІІ координатній чверті. 5. Проміжки зростання спадання. При x[ –;0] – функція спадає; 1 При x[0;+) – функція зростає. x 0 1 Доведемо це: 1) Нехай x1>x2, x[0;+). Якщо x1=0, то очевидно x2n x1n Якщо x1>0, то перемноживши почленно n однакових нерівностей x2>x1, дістанемо правильну нерівність x2n x1n , тобто при x2>x10 y2>y1, отже в проміжку [0;+) функція зростає.
74
2) Нехай x1, x2(-;0] і x2<x10. Помножимо на (-1): -x2>-x10, тоді за доведеним вище ( x2 ) n ( x1 ) n , n – парне, ( x2 ) n ( x1 ) n , отже при x2<x1, y 2 y1 - функція спадає. 6. Функція парна f ( x) x n , n – парне f ( x) ( x) n x n f ( x) - функція парна, графік симетричний відносно осі 0y. ІІ. Властивості y=xn, n – непарне, n=2k-1. Властивості функції, коли n – непарне, аналогічні властивостям функції 3 y=x . 1. Область визначення функції – множина всіх y дійсних чисел. y=x2k-1 2. Область значень функції – множина всіх дійсних чисел. 3. Нулі функції, x=0=> y=0n=0, графік проходить -1 x 1 через початок координат. 4. Проміжки знакосталості. При n – непарному, знак y=xn співпадає із знаком аргументу x. y>0, якщо x>0, тобто x(0;+), y<0, якщо x<0, тобто x(-;0). 5. Проміжки зростання, спадання. Функція зростає на всієї області визначення. Доведення:
Розглянемо два проміжки: 1) (0;+); x2>x1, тоді перемноживши почленно n однакових нерівностей x2>x1 дістанемо правильну нерівність x2n x1n , отже при , x2>x1 y2>y1 – функція зростає на (0;+). 2) (-;0]; x2>x1. Помножимо на (-1). 0-x2<-x1, -x20, -x1>0, то ( x2 ) n ( x1 ) n , n – непарне ( x2 ) n ( x2 ) n x2n x1n , (-1)
, отже при x2>x1, y2>y1 – функція зростає на (-;0] Висновок: функція зростає на всій області визначення. 6. Функція непарна f ( x) x n , n – непарне f ( x) ( x) n x n f ( x) - функція непарна, графік симетричний відносно початку координат. x2n x1n
75
Найпростіші функції (узагальнення)
y kx ; k 0 — пряма
пропорційність 1. D ; , E ; .
Функція непарна Зростає при k 0 спадає при k 0 При x=0, y=0. 4.
2. 3.
y kx b Лінійна функція 1. D ; , E ; .
0 k>0
2. До розряду парних та непарних не відносяться 3. Зростає при k 0 спадає при k 0 4. При х=0 y=b, y=0 то x
b
b
Графіком є пряма, що проходить через початок координат; k tg — коефіцієнт пропорційності, кутовий коефіцієнт. k 1 — графік бісектриса I та III координатних кутів; k 1 — бісектриса II та IV координатних кутів Графік — пряма, що зміщена на b одиниць по осі oY. Точки перетину з осями 0; b , b ;0 k k tg
0 k<0
b k
k , k 0 x Обернена пропорційність D ;0 0; 1. E ;0 0; 2. Функція непарна 3. Cпадна при k>0 зростаюча при k<0 4. x 0 , y 0 y
k>0 0 k<0 0
Графік — гіпербола, вітки якої до осей наближаються, але не перетинають їх.
76 y ax 2 bx c , a 0 —
Квадратична функція. D ; , D ; E 4 a
a>0
X0
a>0
0
Y0
O1
Y0
1. 2. До розряду парних та непарних не відноситься 3. Спадна на b ; 2a проміжку
O1
a 0 , то на
зростаюча, а на
Вершина O1
b D ; 2a 4a
D=0 a>0
0 X0 O1
D<0 a>0
b ; проміжку 2a
b ; 2 a—
Графік — парабола. Вітки вгору при a>0 вниз при a<0
0 X0
зростаюча на для a 0 . Якщо випадку
O1
Y0
X0 0
0 Y0
X0 O1
D<0 a<0
b ; 2a —
Перетинає вісь Ox в точках x1 , x 2 при D>0. Якщо D=0, то вершина на осі Ox, графік дотикається до осі. D<0, графік осі Ox не перетинає і знаходиться над Ox при a>0, нижче Ox при a<0.
спадна. 4. Нулі функції y 0 ; ax 2 bx c 0 x1 , x 2 y x n — степенева
функція n 2, y x2
1.
D ; , E 0 ;
Y=x4 Y=x2
2. Функція парна. 3. Зростає на x 0 ; Спадає на x ; 0 Для всіх парних n=2k 4. x 0 , y 0 2k 5. y x для всіх парних графік аналогічний n 2k графік аналогічний. n 3 , y x3 5 D ; , 1. E ;
2. 3. 4. 5.
Y=x
Y=x3
Функція непарна Функція зростаюча x 0, y 0 y x 2 k 1 для всіх непарних n 2k 1
графік аналогічний.
Графік — парабола з вершиною в початку координат. Графік симетричний осі Oy
Для всіх непарних n=2k+1 графік аналогічний
Графік — кубічна парабола. Графік проходить через початок координат і симетричний відносно початку координат.
77 1 , y x 2 D 0 ; , 1. E 0 ; n
2. До розряду парних та непарних не відноситься 3. Функція зростаюча x 0, y 0 4.
y
x
y4 x
Графік — половина параболиоли відносно осі Ox.
Графік аналогічний для всіх n=2k парних
1 2k
графік 5. y x аналогічний для всіх парних n 2k . 3 1 n , y x 3 D ; 1. E ;
2. 3. 4. 5.
y3 x
y 5 x
Функція непарна Функція зростаюча x 0, y 0
Графік аналогічний для графік всіх непарних n=2k+1 аналогічний для всіх непарних n 2k 1 yx
1 2 k 1
Графік — кубічна параболаола відносно осі Ox. Графік проходить через початок координат і симетричний відносно початку координат.
78
11.3 Перетворення графіків функцій. 2).
1).
y=f(x)
y=f(x)
y=f(-x)
y=f(x) y= -f(x)
Задано графік функції y=f(x) . Побудувати графіки функції: 1. y=f(-x); 2. y=-f(x); 3. y=f(x+a)+b; 4. y=f(mx); 5.y=kf(x); 6. y=│f(x)│; 7. y=f(│x│).
Графік функції y=f(-x) одержуємо симетричним відображенням графіка y=f(x) відносно вісі OY. 4).
5).
y=f(x)
3). y=f(x)
y=f(x+a)+b
Графік функції y=f(x+a)+b одержуємо побудовою графіка y=f(x) відносно нової системи, яку одержуємо зміщенням: OX на a одиниць вліво , якщо a 0 , або в право, якщо a 0 ; вісі OY на b одиниць
Графік функції y=-f(x) одержуємо з графіка y=f(x) симетричним відображенням його відносно вісі OX.
Y=(mx)
Графік функції y=f(mx) одержуємо з графіка y=f(x) деформацією його по вісі OX: розтягуємо в 1 раз, якщо 0 m 1 , m та стискаємо в m раз, якщо m>1. Якщо m<0, то потім виконуємо ще побудову(1) 6).
y=f(x)
y=│f(x)│
y=kf(x)
y=f(x)
Графік функції y=kf(x) одержуємо деформацією графіка y=f(x) по вісі OY: розтягуємо в k раз, якщо k>1, або стискаємо в
1 k
раз,
якщо 0<k<1. Якщо k<0, то потім виконуємо ще побудову (1). 7). y=f(x)
y=f(│x│)
вгору, якщо b 0 , або b 0. вниз, якщо
O1 a; b
Наприклад: 2 1). y x 3 2, O13;2
2). y x 2 1 , O1 2;1 2
3).y x 3 , O13;0 3
4). y x2 1 , O10;1
Щоб побудувати графік y=│f(x)│ будуємо y=f(x) і частину, що лежить нижче вісі OX відображаємо симетрично OX .
Щоб побудувати графік y=f(│x│), будуємо графік y=f(x) для x 0 і одержану криву симетрично відображаємо відносно OY.
79
12. АРЕФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ 19.1 Арифметична прогресія . Числова послідовність , кожний наступний член якої відрізняється від попереднього на одне і теж число. Позначається a1 , a 2 , a 3 ,..., a n
За визначенням a2 a1 a3 a2 ... a n a n1
Ця різниця називається позначається d an an1
різницею
арифметичної
прогресії
і
a n —n-й член арифметичної прогресії, він дорівнює a n a1 d n 1 Арифметична прогресія має такі властивості: 1.Суми членів ,що стоять однаково від кінців, рівні a1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ...
Наприклад: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20,... 20+2=17+5=14+8=11·2=22 2.Кожен член, починаючи з другого ,є середнім арифметичним двох сусідніх an
an1 an1 2
Вивід формули суми n членів арифметичної прогресії S n a1 a 2 a3 ... a n
сума n членів арифметичної прогресії
+ S n a n an1 an2 ... a1 2S n a1 a n a 2 a n1 a3 a n2 ... a n a1
Записали цю ж суму в зворотньому напрямку і додали. Ми одержали в правій частині n рівних сум. За першою властивістю маємо: 2S n (a1 an )n . Тоді
Sn
a1 an n 2
Замінимо a n a1 d (n 1) , тоді Sn
a1 a1 d ( n 1) 2a d (n 1) n 1 n 2 2 Sn
2a1 d (n 1) n 2
80
Знаходження n-го члена арифметичної прогресії. a1 , a 2 , a3 ,..., a n ,... a n 1 —попередній член a n —наступний член a n a n 1 d — різниця арифметичної прогресії
Нехай задано a1 , d , кількість членів n . a 2 a1 d a3 a 2 d a1 d d a1 2d
a 4 a3 d a1 2d d a1 3d
далі пишемо такі суми до an . Записавши ми можемо помітити, що права частина є сума двох доданків: перший доданок — a1 перший член прогресії, другий доданок—добуток різниці прогресії d на число, що на одиницю менше номера шуканого члена, тобто a n a1 d (n 1)
12.2 Геометрична прогресія Числова послідовність, кожний наступний член якої дорівнює попередньому помноженому на одне і теж число, називається геометричною прогресією. ÷÷ b1 , b2 , b3 ,...bn ,... b b2 b3 ... n ... q — знаменник геометричної прогресії. b1 b2 bn 1 bn — n-й член геометричної прогресії, який дорівнює:
bn b1 q n1
b1 0, q 0
Для геометричної прогресії кожен член, починаючи з другого, є середнім геометричним сусідніх. bn bn1 bn1 або bn2 bn1 bn1 а також b1 bn b2 bn1 b3 bn2 Наприклад: 2, 6, 18, 54, 162, 486,... Маємо: 62 2 18 ; 182 6 54 ; 542 18 162 ; 36=36; 324=324; 2916=2916; а також 2 486 6 162 18 54 972 Вивід формули суми n членів геометричної прогресії. (1) S n b1 b2 b3 ... bn — помножимо на q (2) S n q b1 q b2 q b3 q bn q b2 b3 b4 ... bn bn q Віднімемо від (2) - (1) S n q S n bn q b1
S n q 1 b1 q n 1 q b1
Sn
b1 q n 1 q 1
81
Знаходження n-го члена геометричної прогресії. ÷÷ b1 , b2 , b3 ,...,bn ,... bn 1 — попередній член, bn — наступний член.
Отже,
bn q — знаменник геометричної прогресії. bn 1
Нехай задано b1 , q , . Знайдемо bn . За визначенням прогресії b2 b1 q
b3 b2 q b1 qq b1 q 2 b4 b3 q b1 q 2 q b1 q 3
Права частина цих рівностей є добуток першого члена b1 на знаменник прогресії q із показником на одиницю меншим ніж номер члена. Тому bn b1 q n 1 b S 1 — cума членів нескінчено-спадної геометричної прогресії. 1 q Вправи: 1. Знайти п’ятий член арифметичної прогресії (an), якщо a1=3;d=2. 2. Знайти сто перший член арифметичної прогресії (an), якщо a1=2;a4=14. 3. Знайти суму членів арифметичної прогресії (an), якщо a1=2;d=3;n=7. 4. Знайти п’ятий член геометричної прогресії (bn), якщо b1=1;q=2. 5. Знайти суму членів геометричної прогресії (bn), якщо b1=3;q=2;n=4. 6. Знайти суму п’яти членів геометричної прогресії (bn), якщо b1=2; b3=18. 7. Знайти b1 геометричної прогресії (bn), якщо S3=18 ; q=2. 8. Визначити перший член, різницю і число членів арифметичної прогресії, в якій: an = 55, a2+a5 = 32,5, S15 = 412,5. 9. Геометричну прогресію задано формулою n-го члена: bn = 3·2n-1. Знайти суму перших семи її членів. 10. Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 30. Якщо від першого числа відняти 5, від другого – 4, а третє залишити без змін, то отримані числа утворять геометричну прогресію. Знайти ці числа. 11. Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 35. Якщо до першого і другого додати по 1, а від третього відняти 4, то отримані числа утворять арифметичну прогресію. Знайти ці числа. 12. Знайдіть суму нескінченої геометричної прогресії bn , якщо b1 b3 20 ; b2 b4
20 . 3
13. Сума n перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою S n n 2 3n . Знайти 6-й член прогресії.
82
14. Між числами 8 та 0 вставити три таких числа, щоб вони разом із даними числами утворили арифметичну прогресію. Відповіді. 1) 11;
2) 1402;
3) 77;
8) a1 10 , d 2.5 , n 19 ; 11) 5, 10, 20; або 20, 10, 5;
4) 16;
5) 45;
9) 189; 12) 27;
6) 242;
7)
18 ; 7
10) 17, 10, 3; або 8, 10,12; 13) 54; 14) 6, 4, 2.
12.3Середнє арифметичне та середнє геометричне.
Вираз
ab — називається середнім арифметичним 2 ab — називається середнім геометричним
Теорема: Середнє арифметичне двох додатніх чисел не менше від їх середнього геометричного. ab ab , 2
a0 ,
b0
Доведення: Розглянемо різницю цих виразів ab a b 2 ab ab 2 2
a
2
2 ab 2
b 2
a b 2
Утворений вираз при будь – яких додатніх а та b невід’ємний. тобто
ab ab 0 2
отже
ab ab . 2
Рівність має місце тільки тоді, коли а =b. Приклад: Довести, що при а, b і с, > 0 виконується нерівність (a+b)(a+c)(b+c)≥8abc Доведення: за теоремою
ab ac bc ab , ac , bc 2 2 2
Перемножимо почленно ці нерівності
ab ac bc ab ac bc 2 2 2 a b a c b c a 2 b 2 c 2 8
a b a c b c 8 a 2 b 2 c 2 a b a c b c 8abc Що і треба було довести.
2
83
13. ДОПОВНЕННЯ. ЦЕ ПОТРІБНО ЗНАТИ! Шановний друже ! Усі вступні випробування проводяться на основі програм вступних випробувань із предметів, що відповідають навчальним програмам з відповідних предметів (алгебра, геометрія) загальноосвітніх навчальних закладів. При підготовці до вступу тобі допоможе програма з математики Почни з розділу „Арифметика". Перш за все вивчи залежність між компонентами і далі за темами. Зверни увагу на дії зі звичайними дробами, адже за правилами арифметичних дій над ними виконуються правила і з алгебраїчними дробами: 2m a 2 2m a a 2m 2am a ; 7ab 7ab 7ab 7b sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 1 1 tg 2 1 ; 2 2 2 2 cos cos cos cos cos 2 2m 2 5mn m2m 5n 2m 5n 14 2 7 7 ; . 18 2 9 9 m6 m6 m5 2
Скорочуємо дріб тільки на спільний множник! Навчись вільно розв'язувати квадратні рівняння за допомогою оберненої теореми Вієта: x 2 5x 6 0 x1 x 2 5 x x 6 1 2
x1 2 x 3 2
Через весь курс математики, вищої математики проходять формули скороченого множення. Вивчи і запам'ятай їх, і вмій розрізняти їх у прикладах, навчись виділяти повний квадрат: 2
13 1 1 a a b 2 a ; 2b 4b 2 3
1 3
1
x 2 6 x 3 x 2 2 x 3 9 9 3 x 3 12 . 2
Заслуговує на увагу тема „Стандартний запис числа". В фізиці, в інженерній практиці константи записують тільки в стандартному вигляді: наприклад 0,00028=2,8*10-4. При повторенні геометрії добре вивчи геометрію трикутника: медіани, бісектриси, висоти, значення точок їх перетину, центр описаного та вписаного кіл навколо трикутника; вивчи залежність між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику; умій користуватись теоремами Піфагора і Фалеса ... Екзаменаційний білет складається з одного теоретичного питання, яке береться з II частини програми, і двох практичних завдань (з алгебри і геометрії). Це можуть бути і приклади, і задачі. Тому при підготовці до екзаменів потрібно вивчити не тільки теоретичні положення, а й вміти розв'язувати на відповідні правила задачі і приклади.
84
Зразки екзаменаційних білетів з математики (на базі 9-ти класів).
Білет №1 1. Розв'язування лінійних рівнянь. 2. Сторона ромба дорівнює 10 см, а одна діагональ дорівнює 16 см. Знайти площу ромба. 1 3. Знайти область визначення функції: y x - 1 x4 Білет №2 1. Ознаки паралельних прямих. 1 1 1 2. Спростити вираз: 1 b 1 b 1 1 b2 3. Висота правильного трикутника дорівнює 10 3 см. Знайти периметр і площу трикутника.
Білет №3 1. Формули коренів квадратного рівняння. 2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 60 см, а його основа відноситься до бічної сторони як 6:7. Знайти сторони та площу трикутника. 3. Знайти суму нескінченної спадної геометричної прогресії; містить чотири 4 4 4 члени: 1; 4 ; ; ; .... 3 9 9
Білет №4 1. Функція y
k , її властивості і графік. x
2. Менша діагональ ромба дорівнює ЗО см. Перпендикуляр, проведений з вершини тупого кута ділить сторону ромба на відрізки, різниця між якими дорівнює 11 см. Знайти висоту ромба. 3 5 3. Знайти область визначення функції: y 9-x x
85
Білет № 5 1. Функція y x m , її властивості і графік. 2. Бісектриса тупого кута паралелограма, який дорівнює 120° , ділить сторону на відрізки 24 см і 16 см, починаючи від вершини гострого кута. Знайти відрізки, на які ділить бісектриса більшу діагональ паралелограма. x 3 - 7x 2 10x 3. Розв’язати нерівність: 0 9 x2 Білет №6 1. Рівняння кола. 2. Довести:
tgб cos 4 б cos 2 б tgб ctgб
3. Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну професію, дорівнює ЗО. Якщо від першого числа відняти „5”, від другого „4”, а третє залишити без зміни, то отримані числа утворять геометричну професію. Знайдіть ці числа. 13.2 Зразок правильної відповіді на былет. Білет № 7
1. Запис квадратного тричлена у вигляді добутку лінійних множників x5 x4 x2 x 1 2. Спростити вираз: x6 1 sinx cosx 3. Обчислити: sinx cosx Відповідь: 1. Запис квадратичного тричлена у вигляді добутку лінійних множників Означення: Квадратним тричленом називається многочлен виду ах2 +bх+с, де х — змінна; а, b, с — деякі числа, причому а 0. Означення: Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення цього тричлена дорівнює нулю. Теорема: Якщо x1 та x2 — корені квадратного тричлена ах2 +bх+с, то ах2+bх+с=а (x-x1)(х-x2) Доведення: b 1. Винесемо а за дужки: ах2 + bх + с = а x 2 x a
c a
86
2. Корені квадратного тричлена ах2+bх+с є також коренями квадратного рівняння ах2 +bх+с = 0 . 3 оберненої теореми Вієта маємо: b x1 x 2 a x x c 1 2 a
b c x2 x 0 a a b (x1 x2 ) , a
x1 x2
c тому що a
b c ax 2 bx c a x 2 x a(x 2 ( (x1 x2 )x) x1 x2 ) a(x 2 x1 x x2 x x1 x2 ) a a
a(x(x x1 ) x2 (x x1 )) a(x x1 ) (x x2 ) , отже ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Відповідь на перше питання закінчена.
2. Спростити вираз: x5 x4 x3 x2 x 1 x2 2 6 x 1 x x2 (x 5 x 4 ) (x 3 x 2 ) (x 1 ) x2 2 3 (x 1(x 2 ) (x ) 1
1 x 4(x 1 ) x 2(x 1 ) (x 1 ) 2 4 2 x 1 (x 1 )(x x 1 )
1 1 1 (x 1 )(x 4 x 2 1 ) 0 (x 1 )(x 1 )(x 4 x 2 1 ) x 1 x 1 x 1
Відповідь. 0. 3. Обчислити:
sin x cos x , якщо tgx=3 sin x cos x
Розв’язування: Поділимо кожен член чисельника і знаменника на cosx, отримаємо: sinx cosx sinx cosx cosx cosx tgx 1 3 1 2 sinx cosx sinx cosx tgx 1 3 1 cosx cosx Відповідь. 2.
87
Таблиця квадратів двозначних чисел Одиниці Десятки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 121 144 169 196 225 256 289 324 361 2 441 484 529 576 625 676 729 784 841 3 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521 4 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401 5 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481 6 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 7 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5819 6084 6241 8 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921 9 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801 Латинський алфавіт Друковані Рукописні Назви Друковані Рукописні Назви букви букви букв букви букви букв Aa а Nn ен Aa Nn Bb бе Oo о Bb Oo Cc це Pp пе Cc Pp Dd де Qq ку Dd Qq Ee е Rr ер Ee Rr Ff еф Ss ес Ff Ss Gg ге(же) Tt те Gg Tt Hh ха(аш) Uu у Hh Uu Ii і Vv ве Ii Vv Jj йот(жі) Ww дубль-ве Jj Ww Kk ка Xx ікс Kk Xx Ll ель Yy ігрек Ll Yy Mm ем Zz зет Mm Zz Грецький алфавіт Букви Назви букв Букви Назви букв Aα альфа Nν ню(ні) Bβ бета Ξξ ксі Гγ гамма Oо омікрон Δδ дельта Пπ пі Eε епсилон Pρ ро Zζ дзета Σσ сигма Hη ета Tτ тау Θθ тета Yυ іпсілон Iι йота Фφ фі Kκ Капа Xχ хі Λλ ламбда Ψψ псі Mμ мю(мі) Ωω омега
88
14. Література:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
С.А.Теляковский. Алгебра 5 кл. М.: Просвещение, 1989. С.А.Теляковский. Алгебра 6 кл. М.: Просвещение, 1989. С.А.Теляковский. Алгебра 7 кл. М.: Просвещение, 1989. С.А.Теляковский. Алгебра 8 кл. М.: Просвещение, 1990. С.А.Теляковский. Алгебра 9 кл. М.: Просвещение, 1989. Г.П.Бевз. Алгебра 7-9кл. К.: Освіта, 1996. В.Г.Коваленко, В.Я.Кривошеєв, О.В.Старосельцева. Алгебра 9кл. К.: Освіта, 1996. 8. Барковський В.В., Барковська Н.В. Основи елементарної математики. К.: НАУП, 1999. 9. В.С.Соломоник, П.Н.Милов. Зборник вопросов і задач по математике. М.: Висшая школа, 1967. 10. Г.Г.Островський, Л.Г.Капіца. Збірник конкурсних задач з математики для вступників у технікуми. — Х., 1972. 11. В.Я.Висотский. Справочник по елементарной математике. — М.: Наука, 1973. 12. З.Я.Слепкань. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри. — Х.: гімназія, 2001-02. 13. М.С.Собко, В.Я.Романюк. Завдання для письмового екзамену в 9 класах. — ББН, 1998. 14. О.Д.Дуда, В.Я.Романюк, Л.А.Болінська. Завдання для підготовки до екзамену в 9кл. — Л.: ВНТЛ, 1999. 15. Березанская Е.С. Зборник задач и упражнений по арифметике. — М.: Просвещение, 1948. 16. Ларичев П.А. Зборник задач по алгебре. — М.: Просвещение, 1967. 17. Н.А.Шапошников, Н.К.Вальцев. Зборник алгебраических задач. — 1948. 18. Л.А.Кондратьева, В.С.Соломоник. Зборник вопросов и задач по математике для поступающих в техникумы. — М.: Высшая школа, 1983. 19. В.С.Абрамчук, Л.А.Тютюн, Н.М.Шунда. Посібник з математики для вступників до вищих навчальних закладів. — Вінниця, 2003. 20. М.І.Сканаві. Збірник задач з математики для вступників до ВТУЗів. — К.: Вища школа, 1996. 21. В.В.Зорин. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. — М.: Высшая школа, 1969.